Post on 14-Feb-2020
1
Spis treści
1. Dyskretne widmo sygnałów okresowych
2. Związek między szeregiem i transformacją Fouriera
3. Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera
4. Widma sygnałów
5. Własności transformacji Fouriera
6. Przykład transformat Fouriera
7. Uogólniona transformacja Fouriera
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW
2
Trochę historiiBaron Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w wyniku ekspedycji z 1798 roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble. Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
3
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
Dla sygnałów spełniających dwa warunki: ),( Cs s t s t T( ) ( )
s t c c nf tnn
T n( ) cos
01
2
gdzie f TT 1 / oraz
c f s t dtT
T
00
( ) c a bn n n 2 2
n n nb a arc tg( )
a f s t nf t dtn T T
T
2 20
( ) cos( ) b f s t nf t dtn T T
T
2 20
( ) sin( )
można utworzyć szereg
widmo amplitudowe
widmo fazowe
4
Od zespolonego szeregu do transformacji
Fouriera
s t s enjnf t
n
T( )
2
gdzie
s f s t e dtn Tjnf t
f
T
T
( ) 2
0
1
T fT 1 /
Niech fnfT
czyli ,n fT 0
Po zmianie granic całkowania s f s t e dtn Tj n f tT
fT
fT
( ) 2
12
12
s t s enn
jnt T( ) /
2
+
sT
s t e dtn
Tj n t T 1
0
2( ) /
+
s f s fn T ( )Dodatkowo niech
5
Od szeregu do transformacji Fouriera
Podstawiając s f s fn T ( ) oraz nf fT
otrzymujemy ( ) ( )s f s t e dtjft
2 fT 0dla
Ze wzoru s t s n f e fTjn f t
Tn
T( ) ( )
2 oznaczając f dfT
otrzymujemy s t s f e dfjft( ) ( )
2
s f s t e dtn Tj n f tT
fT
fT
( ) 2
12
12
bo fT 0
6
Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera
Sygnał
Czas
-T 0 T
0
1
s(t)
-2/T -1/T 0 -1/T 2/T
0
1
s(f)^
Częstotliwość
Widmo jest funkcją rzeczywistą
s tT t T
t T t T( )
10
dladla i
( )sin( )
s f e dtj f
ef T
fjft jft
T
T
T
T
2 21
22
Obliczyć widmo sygnału
Posługując się definicją transformacji Fouriera
7
Definicja transformacji Fouriera
Ogólnie( ) ( )s f s t e dtj f t
s t s f e dfj f t( ) ( )
2
Dla nas 1 i 2
Często 1 i lub 1 1 2/ i 1
)(ˆ)( fsts
8
Warunki odwracalności transformacjiFouriera
Twierdzenie 1.Niech dany będzie sygnał s L 1( ) taki, że jego transformataFouriera ( )s L 1 , wtedy
s t e s t e dt dfjft jft( ) ( )
2 2
w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.
Twierdzenie 2.
Jeżeli sygnał s L L 1 2( ) ( )
to wtedy jego transformata ).(ˆ 2 Ls
dttsLsdf
)()(1
dttsLsdf
)()( 22
9
Widma sygnałów
( ) ( )s f s t e dtjft
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )s f r f j i f s f e A f ej f j f
( )s f , A f( ) - widma amplitudowe,( )f , ( )f - widma fazowe,( )r f - widmo rzeczywiste,( )i f - widmo urojone.
( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2
)(ˆ)(ˆtgarc)(
frfif
- widmo zespolone,
10
Widma sygnałów
arc tg : / , / 2 2 / ( ) /2 2f
A fr f i f
i ff f
r f f( )
( ) ( )( )
sin ( ) ( )
( ) ( )
2 2
0
0
dla
dla
0)(dla)(0)(dla)(
)(ˆarg)(<fAf
fAffsf
( )tWzajemna jednoznaczność między widmem ( )s f a widmami amplitudowymi i fazowymi:
( )s f razem z ( )flub
A f( ) ( )f)(ˆ)( fsfA
zatem
)(ˆ)(ˆtgarc)(
frfif
razem z
11
Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowegooraz nieparzystość widma urojonego i fazowego
( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft
2 2 2
gdzie( ) ( )cos( )r f s t ft dt
2
( ) ( ) sin( )i f s t ft dt
2
( ) ( )( ) ( )r f r fi f i f
)(ˆ)(ˆtgarc)(
frfif( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2
)()()(ˆ)(ˆfffsfs
12
Własności widm
( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2
( ) (( ) ( ))f i f r f arc tg
Dla sygnału s t s t( ) ( )
otrzymujemy
0
)2cos()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsfrfs
Dla sygnału s t s t( ) ( )
otrzymujemy
0
)2sin()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsjfijfs
( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft
2 2 2
13
Transformacja Fouriera jest przekształceniem liniowym
Addytywność s t s t e dt s f s fj f t1 2
21 2( ) ( ) ( ) ( )
Jednorodność a s t e dt as fjft( ) ( )
2
Zatem a s t b s t e dt a s f b s fjft1 2
21 2( ) ( ) ( ) ( )
14
Zachowanie iloczynu skalarnego
Twierdzenie Rayleigha
s t s t dt s f s f df1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
Wynika stąd
0ˆ,ˆ0, 2121 ssss
15
Zachowanie energii
Twierdzenie Parsevala
s sL L2 22 2
zatem
s t dt s f df2 2( ) ( )
16
Zachowanie odległości
Skoro
)()()( 21 tststs
otrzymujemy
dffsdtts 22 )(ˆ)(
to przyjmując
dffsfsdttsts 221
221 )(ˆ)(ˆ)()(
)(ˆ)( fsts bo dla parydzięki liniowości transformacji Fouriera )(ˆ)(ˆ)(ˆ 21 fsfsfs
17
Dualność transformacji Fouriera
( ) ( )s f s t e dtj f t
2
( ) ( )s e s t e dt dfjf j f t
2 2
Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera
( ) ( )s s
( ) ( ) ( ) ( )s f s t e dt s f s t e dtjft jft
2 2
-T 0 T
0
1
s(t)
-2/T -1/T 0 -1/T 2/T
0
1
s(f)^
Np.
18
Początkowa wartość transformaty Fouriera
( ) ( )s f s t e dtj f t
2
Podobnie, podstawiając do przekształcenia odwrotnego otrzymujemy
dffsdfefss jf )(ˆ)(ˆ)0( 02
Podstawiając do przekształcenia0f
otrzymujemy
dttss )()0(ˆ
0t
19
)()(1 tts
)()( 32
2 tts
2
2 π2π3sin
23)(ˆ
f
f
fs
2
1 ππsin)(ˆ
fffs
Zmiana skali czasu sygnału
s at a s f a( ) ( / ) 1
)(ˆ)( fsts
20
Przesunięcie w dziedzinie czasui częstotliwości
Przesunięcie w dziedzinie czasu
s t t s f e jft( ) ( ) 0
2 0
bo s t t e dtjft( )
02 po podstawieniu t t0 równa się
s e e djft jf( )
2 20
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
s t e s f fjf t( ) ( )20
0
s t e s f fjf t( ) ( ) 20
0
2 2 0 0 0s t f t s f f s f f( )cos( ) ( ) ( )
Sumując obustronnie otrzymujemy
21
)()( 23
1 ttts
ff
f
fffs
j2π
1π
)πsin(
π)πsin()(1̂
)1()1()( 21
12 tttsts
)j2πexp(j2π
1π
)πsin(
π)πsin()j2πexp()(ˆ)(ˆ 12 f
ff
f
ffffsfs
Przesunięcie w dziedzinie czasu
22
)12()12()(1 ttts)πcos(
π2πsin2
)(1̂ ff
f
fs
)j2πexp()12()12()(2 tttts
)1π(cos)1π(
2)1π(sin2
)1(ˆ)(ˆ 12
ff
f
fsfs
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
23
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli :
- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,
- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,
- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadajątransformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla t
d s tdt
jf s fn
nn( )( ) 2
to
24
)()(1 tts
)1()1()()( 12 tt
dttdsts
2
1 π)πsin()(ˆ
fffs
fffs
π)π(sinj2)(ˆ
2
2
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
sygnał parzysty
sygnał nieparzysty
Ograniczone nośniki
Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne sąrównież różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego
T
jftdtetsfs0
2)()(ˆ T
jftdtetstjdf
fsd
0
2)(2)(ˆ
T
jftnnn
n
dtetstjdf
fsd
0
2)(2)(ˆ 12)(2)(ˆ
0L
nnnT
nnnn
n
sTdttsTdf
fsd Oznacza to, że widmo )(ˆ fs jest funkcją analityczną.
0f
!)(ˆ
)(ˆ 0
00
nff
dfsdfs
n
ffnn
n
Niech sygnał ma ograniczony nośnik.
Zasada nieoznaczoności Heinsenberga
Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu przedstawione w postaci szeregu potęgowego,0f
-T 0 T
0
1
s(t)
-2/T -1/T 0 -1/T 2/T
0
1
s(f)^
0
0
0 !)(ˆ
)(ˆ0
n
nn
n
ffnn
n
fan
ffdf
sdfs
czyli nośnik widma nie może być ograniczony!
Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.
Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.
27
Nieoznaczoność Heinsenberga
Środek rozłożenia energii sygnału
dttstst 22* )(
Środek rozłożenia energii widma sygnału
dffsfsf 22* )(ˆ
Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów energii, czyli wariancje
dttsttst )()( 22*
22
dffsffsf22
*22 )(ˆ)(
Zasada Heinsenberga t f 0 5,
28
Różniczkowaniew dziedzinie częstotliwości
( ) ( ) ( )s f r f ji f
( ) ( ) ( ) ( )r f r f i f i f
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1nn
n
n
nn
n
n
n
n
d r fd f
d r fdf
d i fd f
d i fdf
n
nn
dffsdtsjt )(ˆ)()2(
Warunek wystarczający t s t d tn ( )
Obustronnie różniczkując otrzymujemy
Czyli parzyste pochodne zachowują parzystość części rzeczywistej i nieparzystość części urojonej. Czyli sygnał będzie miał wartości rzeczywiste. W przeciwnym wypadku będzie czysto urojony. Można udowodnić, że
29
Splot w dziedzinie czasu
s t s s t d( ) ( ) ( )
1 2 gdy s s L1 22, ( , )
Splot oznaczamy s t s t1 2( ) ( )
Przemienność splotu
s t s t s s t d s s t d s t s t1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Gdy s t1 0( ) i s t2 0( ) dla t 0 to t
dtsststs0
2121 )()()()(
Musi być t 0 aby s t2 ( ) nie było równe zeru
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( 2121 fsfsfsdttssts
30
Przykład splotu w dziedzinie czasu
31
f
ff
f
fstttsj2π
)πcos(π
)πsin(
)(ˆ)()( 11
fffstts
π)πsin()(ˆ)()( 22
ff
ff
f
fsfstttttttstsj2π
2π)π2sin(
π)πsin(
)(ˆ)(ˆ)(2
)(2
)(*)(
2
1121
2
21
2
21
Wzory do rysunków
Splatane sygnały
Splot w dziedzinie czasu i jego widmo
jdffsdtst
21)(ˆ)(
bo
32
Splot w dziedzinie częstotliwościi całkowanie w dziedzinie czasu
Całkowanie w dziedzinie czasu
s djf
s ft
( ) ( )
12
Warunek ( )s 0 0 s t dt( )
0
Splot w dziedzinie częstotliwości
s t s t s f s f s g s f g dg1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
Impuls paraboliczny
Dla sygnału
s t t t tt t
( )
6 6 1 1 10 1 1
2 dladla i
znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.
34
Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą
Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumęs s sp n
gdziesygnał parzysty s t s t s tp ( ) ( ) ( ) 1
2
sygnał nieparzysty s t s t s tn ( ) ( ) ( ) 12
tzn.s t s ts t s tn n
p p
( ) ( )( ) ( )
s t ts t t
p
n
( )( ) 6 1
6
2
Z teoretycznych rozważań wiemy, że sygnał parzysty ma widmo czysto rzeczywiste a nieparzysty widmo czysto urojone.
Dla rozważanego przykładu otrzymujemy
35
Widmo części parzystej
( ) ( )s f t e dtpjft
6 12 2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt ea
a t atatat
23
2 2 2 2
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( ) cos( ) sin( )s f ff f f
fp
6 2 1 7 3 22 2 2 2
jfa 2gdzie
36
Prezentacja części parzystej
-1 0 1
0
5
sp(t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
6
sp(f)^
SygnałWidmo
amplitudowe
Czas Częstotliwość
37
Widmo części nieparzystej
( )s f t e dtnjft
6 2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt ea
atatat
2 1
otrzymujemy widmo czysto urojone
fff
fjfsn
2
)2sin()2cos()(ˆ
gdzie jfa 2
38
Prezentacja części nieparzystej
-1 0 1
-5
0
5
sn(t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
6
sn(f)^
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
39
Wykresy do powyższego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
-1 0 1
0
10
s(t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
6
s(f)^
40
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału s tt t
tt
( )
2 0 11 1 20
dladladla pozostałych
Ze wzoru definiującego transformację Fouriera
( )s f t e dt e dtjft jft 2 2 2
1
2
0
1
Posługując się tożsamością t e dt ea
a t atatat
23
2 2 2 2 otrzymujemy
ffff
fjf
fff
ffs
)2cos()2sin()4cos(
21)4sin()2sin()2cos(
21)(ˆ 22
41
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
0 1 2
0
1
s(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
s(f)^
42
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość0 0.5 1 2
0
1
s(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
s(f)^
43
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
s tt
t( ),
1 0 0 50
dla i 1 t 2dla pozostałych
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( ),
s f e dt e dtjft jft 2
0
0 52
1
2
1)cos()2cos()4cos()sin()2sin()4sin(21
fffjffff
44
Wykresy do kolejnego przykładuWidmo amplitudowe równe modułowi części urojonej
widmaSygnał
Czas Częstotliwość
-T 0 T
-1
0
1
s(t)
-5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T0
1
s(f)^
Sygnał jest funkcja nieparzystą, więc widmo jest czysto urojone.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo urojone jest funkcją nieparzystą.
45
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
Tt
TttT
tsdla0
0dla10dla1
)(
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( )s f e dt e dtjft
T
jftT
20
2
0
Po całkowaniu
( )s fjf
ejf
ejft
T
jftT
12
12
20
2
0
Po podstawieniu granic otrzymujemy widmo czysto urojone
( ) sin ( )s f jf
fT
2 2
46
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widmaSygnał
Czas Częstotliwość
-T 0 T
0
1
s(t)
-3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T
0
1
s(f)^
Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą.
47
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
TtTtTt
tTTtts
dla00dla
0dla)(
Korzystając z zależności
s t s t dtT
t
( ) ( )
i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki
( ) ( )
s fs f
j f
2otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( )sin ( )
s ffT
f 2
2 2
48
Jeszcze jeden przykład dzisiaj
Jakie jest widmo sygnału
s t e tt
Tt( )
dladla
00 0
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( ) ( ) ( )s f e dtT jf
eT jf
T jf t T jf t
2
0
20
12
12
49
Wykresy do jeszcze jednego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
0 T 2T 3T
0
1
s(t)
-3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T
0
1
s(f)^
50
Kolejny pouczający przykładtransformaty Fouriera
Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa
s t t( ) exp ( )
2 22
widmo ma postać
( ) exps ff
j f
22
2 2
51
Wykresy do kolejnego pouczającego przykładu
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-1 0 1
0
1
s(t)
= 2 = 0
-1 0 1
0
1
s(f)^
= 2 = 0
Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widma
Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą. Funkcja Gaussa jest niezmiennikiem transformacji Fouriera.
52
Uogólnienie transformacji Fouriera
lim ( ) ( )
0s t s t gdzie 0
lim ( ) ( )
0s f s f
( )s f uogólniona transformata Fouriera,czyli transformata w sensie granicznym
53
Widma impulsu Diraca i sygnału stałego
Widmo impulsu Diraca
s ts tTT ( )
( )
2s t
t T T tt T t T
t T ( )
dladladla
00
0
lim ( ) ( )T T
s t t
0
( )sin ( )
s ffT
f TT 2
2 2 2
lim ( )T Ts f
0
1
s t t s f( ) ( ) ( ) 1
Transformata Fouriera sygnału stałego
s t s f f( ) ( ) ( ) 1
54
Transformaty Fouriera sygnałów okresowych
s t a a nf t b nf tn nn
( ) cos( ) sin( )
0 0 01
2 2 lub
s t c enj n f t
n( )
2 0
Widmo )2cos()( 0tnftsc
s t nf t s f nf s f nf( )cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0
cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t f nf f nf
sin( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t j f nf j f nf
e nf t j nf tjnf t20 0
0 2 2 cos( ) sin( ) e f nfjnf t20
0 ( )
1
000 )()(5,0)()(ˆn
nnnn nffjbanffjbafafs
n
n nffcfs )()(ˆ 0
55
ttts
π)πsin()(1
)π(j2sin)(j2π)( 12 ttstts
)()(1̂ ffs
)()()(ˆ 21
21
2 fffs
Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości
n
nn
dffsdtsjt )(ˆ)()2( bo
56
)1()1(21)(ˆ)π2cos()( 22 fffstts
Iloczyn w dziedzinie czasu
fffstts
)sin()(ˆ)()( 11
)1π(2)1π(sin
)1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121
ff
fffsfstttsts
57
Iloczyn w dziedzinie czasu
)1π(2)1π(sin
)1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121
ff
fffsfstttsts
58
Transformacja Fouriera sygnałuz niezerową wartością średnią
s t s t s( ) ( ) 0
gdzie )(0 ts spełnia warunki dla klasycznej transformacji Fouriera
sT
s t dtT
T
T
lim ( )
12
s t s t s s f s f s f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
s sygnał o stałej wartości, czy
59
Transformacja Fouriera sygnału 2-D
Widmo sygnału dwu-wymiarowego
dydxeyxsffs yfxfjyx
yx )(2),(),(ˆ
s x y s f f e df dfx yj f x f y
x yx y( , ) ( , ) ( )
2
60
Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera
Jeśli x f n, to
( ) ( )s f s x e dx dxj f xn
xx
T
n
21
1
s x s f e df dfj f xn
ff
T
n
( ) ( )
21
1