Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów

Dr inż. Jakub Gałka

C2-419, jgalka@agh.edu.pl

Tel. wew. AGH 50-68

Konsultacje, poniedziałek, 11:30-12:30

Literatura

1. Alan V. Oppenheim, Ronald W.Schafer: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Ł ączności, 1979.

2. Jerzy Szabatin: Podstawy teorii sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Ł ączności, 1982.

3. Richard G. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Ł ączności, WKŁ 1999, 2003.

5. Jacek Izydorczyk, Grzegorz Płonka, Grzegorz Tyma: Teoria Sygnałów. Helion 1999.

6. Marian Pasko, Janusz Walczak: Teoria sygnałów. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1999.

7. Adam Drozdek: Wprowadzenie do kompresji danych. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.

8. Khalid Sayood: Kompresja danych wprowadzenie. Wydawnictwo RM, 2002.

9. Włodzimierz Kwiatkowski: Wst ęp do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Warszawa 2003.

10. Dag Stranneby: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. BTC 2004.

11.Jacek Izydorczyk, Jacek Konopacki: Filtry analogowe i cyfrowe. 2004.

12.Tomasz Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WKŁ 2005.

13. Bartosz Ziółko, Mariusz Ziółko: Przetwarzanie mowy. AGH 2011.

3

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE

Spis treści

1. Definicja próbkowania sygnału

2. Twierdzenie Shanona

3. Aliasing

4. Przetwarzanie obrazów analogowych na dyskretne

4

Próbkowanie sygnałów (ang. sampling)

Dyskretyzacja czyli próbkowanie

+

Kwantyzacja

Sygnał cyfrowy

Czy znając dyskretne wartości sygnału można z nich odtworzyć sygnał analogowy?

5

Próbkowanie sygnału akustycznego

Przykład 256 próbek sygnału Starwars

Sygnał dyskretny powstaje z sygnału analogowego zgodnie ze wzorem

przy czym jest odstępem między próbkami, czyli okresem próbkowania.

Odwrotność okresu próbkowania jest częstotliwością próbkowania

[ ] MTMssss ℜ∈−= )1(,),1(),0( K

)()( tisis a ∆=t∆

tf p ∆

= 1

Sygnał dyskretny można zapisać w postaci wektorowej

czyli

[ ]Hzt

f p 100441 =∆

=

[ ] [ ] [ ]ssst µ68,2210226810044

1 8 =⋅==∆ −

Twierdzenie o próbkowaniuautorzy

Claude Elwood Shannon1916 - 2001

Harry Nyquist1889-1976

Владимир Котельников(W. Kotelnikow)

1908-2005

7

Twierdzenie Shanona

Jeżeli spełnione są warunki:

1) nośnik widma sygnału jest ograniczony, tzn. istnieje takie,

że dla ,

2) próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu

takich, że

to wtedy sygnał może być odtworzony z ciągu próbek za pomocą szeregu

0>mf0)(ˆ =fs mff ≥

{ }∞−∞=∆ ntns )(

,21 df

mp fft

≥=∆

)(ts

( ).

/)(

/)(sin)()( ∑

∞

−∞= ∆∆−∆∆−∆=

n ttnt

ttnttnsts

ππ

( )ℜ∈ 2ˆ Ls

t∆

Kotelnikow 1933 rok

Shannon 1949 rok

8

Przykład odtwarzania sygnału

( )∑

∞

−∞= ∆∆−∆∆−∆=

n ttnt

ttnttnsts

/)(

/)(sin)()(

ππ

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

0 5 10 15 20 25 30-2

0

2

4

6

8

0 π2π4π2− π6

π4−

t

t)sin(Funkcja

9

Zmiany częstotliwości próbkowania

,21 df

mp fft

≥=∆

Z twierdzenia Shanona wiemy, że

Zatem częstotliwość próbkowania może być dowolnie duża.

Co się jednak stanie jeżeli częstotliwość próbkowania będzie za mała?

10

Aliasing

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 ●● ●●

Przyjęta gęstość dyskretyzacji oznacza, że próbki mają takie same wartości dla dwóch różnych sygnałów.

1111

Sygnał 1fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)

całość prawy

Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniuc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

lewy

1212

Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)

1313

Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)

1414

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

lewy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniuc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego

1515

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

1616

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

całość prawy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniuc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

1717

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

1818

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

lewy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniuc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego

1919

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

2020

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

całość prawy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniuc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

2121

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

2222

Przykład sygnału dwuwymiarowego

{ }ZnmnmD ∈= ,:),(

{ } nmnms ,),(ℜ→ℜ2:sModel matematyczny obrazu analogowego jest odwzorowaniem

Obraz dyskretny jest zborem punktów

zdefiniowanych na dziedzinie

23

Model matematyczny dyskretnego obrazu

{ }ZnmnmD ∈= ,:),(

{ } nmnms ,),( NMs ×ℜ∈gdzie: M - ilość linii, N - ilość punktów (pikseli) w linii

m

n0,0

24

Twierdzenie Shanona dla sygnału 2-D

Jeżeli obraz analogowy ),( yxs spełnia następujące warunki:

1) nośnik widma obrazu ( )22ˆ ℜ∈ Ls jest ograniczony, tzn.

0),(ˆ =yx ffs jeśli xmx ff ≥ lub ,ymy ff ≥

2) próbki obrazu { }∞−∞=∆∆ nmynxms ,),( są pobierane w odstępach

takich, że xmxp ffx

21 df

≥=∆

,21 df

ymyp ffy

≥=∆

xmf

ymfyf

xf

yx ∆∆ i

oraz

25

Twierdzenie Shanona dla sygnału 2-D

Jeżeli obraz analogowy ),( yxs spełnia następujące warunki:

1) nośnik widma obrazu ( )22ˆ ℜ∈ Ls jest ograniczony, tzn.

0),(ˆ =yx ffs jeśli xmx ff ≥ lub ,ymy ff ≥

2) próbki obrazu { }∞−∞=∆∆ nmynxms ,),( są pobierane w odstępach

takich, że xmxp ffx

21 df

≥=∆

,21 df

ymyp ffy

≥=∆

yx ∆∆ i

oraz

to wtedy obraz analogowy ),( yxs może być zrekonstruowany

z obrazu dyskretnego { }∞−∞=∆∆ nmynxms ,),(

( ) ( )( )( ) .

)(sin)(sin),(),(

2∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞= −∆−∆−∆−∆∆∆=

m n nyymxx

nyymxxynxmsyxs

πππ

przy pomocy szeregu