1

Ekonometryczne modele

nieliniowe

Wykład 1

Dobromił Serwa

2

Zajęcia

• Wykład

• Laboratorium komputerowe

• Prezentacje

3

Zaliczenie

• EGZAMIN (50%) – Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje

przekazane w czasie wykładów (np. slajdy).

• Aktywność na zajęciach (50%) – dodatkowe zadania

co tydzień praca domowa na kolejne zajęcia

– obecności warunkiem zaliczenia: 2 nieobecności = ocena 2 (ndst)

• Kontakt: dserwa@sgh.waw.pl

• Konsultacje: szczegóły na stronie

akson.sgh.waw.pl/~dserwa/emn.htm

4

Pytania sprawdzające

1. Co to jest MNW i jak konstruowany jest estymator MNW dla modelu liniowego?

2. Podaj wzór dla estymatorów MZI i UMM dla modelu liniowego.

3. Jakie znasz metody gradientowe optymalizacji funkcji nieliniowej?

4. Co to jest model TAR i model STAR?

5. Co to jest mieszanina rozkładów (mixture of distributions)?

6. Co to jest model przełącznikowy Markowa i jak szacujemy jego parametry?

7. Co to jest model przestrzeni stanów?

8. Co to jest regresja kwantylowa?

9. Do czego służą metody bootstrap i jacknife?

5

Tematy wykładów

• NMNK, MNW, testy statystyczne

• Metody gradientowe itp.

• Modele regresji progowej

• Modele łagodnego przejścia + …

• Modele przestrzeni stanów + …

• Modele przełącznikowe Markowa + …

• Metody bootstrap i jacknife

• UMM, MZI, identyfikacja przez heteroskedastyczność…

• Modele regresji kwantylowej

6

Literatura

Lektury obowiązkowe

• J. D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University

Press, 1994

• B. Hansen, Econometrics, na jego stronie internetowej…

• P.H. Franses, D. Dijk, Non-linear time series models in

empirical finance, 2006

• Materiały na stronie internetowej: emn.dserwa.pl

Lektury dodatkowe

• J. Johnston, J.DiNardo, Econometric Methods, McGraw-

Hill, 1997

• G. Chow, Ekonometria, PWN, 1995

7

Model liniowy

• liniowy względem parametrów

• liniowy względem zmiennych

iikkiii uxxxy ,,22,11

8

Własności MNK

• Model i jego estymacja

tktktttt uxxxxy ...332211

uXβy

uX'XX'β

uXβX'XX'yX'XX'b

1

11

)(

)()()(

9

Założenia KMNK

• Estymator nieobciążony, zgodny,

efektywny, gdy:

– Z1:

– Z2: nielosowe, niezależne od

– Z3:

– Z4:

– Dodatkowo Z5:

czasami słabsze założenia niż niezależność :

Nkrz )(X

ix u

0u )(E

Iuu'u 22 )()( ED 2

),(~ 2I0u N

0Xu )|(E

uIXuu'Xu 22 )|()|( ED

10

Własności MNK

• Estymator nieobciążony

• Najefektywniejszy w swojej klasie

• Zgodny:

dla każdego

1)(lim

tt

bP

0

βb )(E

11

Własności MNK

1211 )(])()[(])')([( XX'XX'Xuu'X'XX'βbβb EE

))(,(~ 12 XX'βb N

Przy spełnionych założeniach Z1 do Z5 mamy:

))(,(~ iii bNb

)1,0(~)(

Nb

b

i

ii

12

Testy statystyczne

• Zastosowanie

iibH :0 iibH :1

)(~)(

kNtbS

b

i

ii

kNS

uu'2

iii dSbS )(

13

Testy statystyczne

• Przykład 2

531

42

4kLiczba parametrów:

Liczba warunków: 2m

1010

0101R

0

5r rRβ

14

Testy statystyczne

• Test F

• ponieważ prawdziwe twierdzenie:

Jeśli i nieosobliwa, to

))(,(~ 12 XX'βb N

)')(,(~ 12 RXX'RRβRb N

)(~)()')(()'( 2112 m rRbRXX'RrRb

),(~]1[ Ω0z Nn Ω

)(~ 21 nzΩz'

15

Testy statystyczne

• Test F c.d.

• Dodatkowa własność )(~ 2

2kN

uu'

),(~/

/)()')(()'(22

112

kNmFS

mF

rRbRXX'RrRb

)(~)()')(()'( 2112 m rRbRXX'RrRb

),(~/)()')(()'( 112 kNmFmSF rRbRXX'RrRb

16

Testy statystyczne

• Statystyka Walda

• Przykład dla

0:0 iH

),1(~)var(

2

kNFb

bF

i

i

)(~)(

kNtbS

bt

i

i

)(~)()')(()'( 2112 mSWa

rRbRXX'RrRb

17

Własności estymatorów MNK

Źródło: J. Hamilton, TSA, str. 209

18

Dodatek: słaba zbieżność

• Słaba zbieżność (convergence in

distribution) Ciąg zmiennych losowych

- dystrybuanta

Istnieje dystrybuanta , taka że

w każdym punkcie ,

w którym jest ciągła.

zbiega słabo do :

1NNX

)(xFNX NX

)(xFX

)()(lim xFxF XXN N

x

)(XF

XX L

N

NX X

19

Testy statystyczne

• Nieliniowe restrykcje na parametry

• Przykład:

)()()()( 2

1

12 mSW L

bgβ

gXX'

β

gbg

bβbβ

0βg )( mk :g

13

2

1

3k

20

Testy postaci liniowej

• Test liczby serii

• RESET test

• Testy Chowa

• Test Quandta-Andrewsa

• Test CUSUM, CUSUMSQ

21

Testy …

• Test liczby serii

– r – liczba serii

– N1 – liczba dodatnich reszt

– N2 – liczba ujemnych reszt

• H0: model liniowy r<=r*

• H1: model nieliniowy r>r*

22

Testy …

• RESET test Ramseya

Model podstawowy i rozszerzony

),(~)/()1(

/)(2

22

mkNmFmkNR

mRRF

r

r

t

m

tmtktktttt uyyxxxxy 12

1332211ˆ...ˆ...

tktktttt uxxxxy ...332211

23

Testy …

• Chow’s breakpoint test:

Czy parametry równe w podpróbach?

… i rozszerzenie testu …

)2,(~)2/()(

/)(

21

21 kNkFkNRSSRSS

kRSSRSSRSSF

24

Testy …

• Test Quandta-Andrewsa

nieznany moment zmiany strukturalnej

Przybliżone rozkłady asymptotyczne:

Hansen (1997)

25

Testy …

• Chow forecast test (kiedy małe)

• Chow test dla prób z różnymi wariancjami

reszt

),(~)/(

/)(12

11

21 kNNFkNRSS

NRSSRSSF

)(~)())(( 2

21

1

2121 kW bbVVbb

2N

26

Testy …

• Test CUSUM

1ˆ

tttt yu bx

')'(1 111 ttttttf xXXx

),0(~')'(1

ˆ 2

11

Nu

wtttt

tt

xXXx

t

k

tS

wW

1

27

Testy …

• Test CUSUM c.d.

Źródło: Eviews 6 Users Guide

p=0,01 a=1,143

p=0,05 a=0,948

p=0,10 a=0,850

28

Testy …

• Test CUSUMSQ

T

k

t

kt

w

w

W

1

2

1

2

kN

ktWE t

)(

Tablice z wartościami kryzytycznymi np. w: Johnston, DiNardo …

Źródło: Eviews 6 Users Guide

29

Testy … • Rekursywne reszty

• Rekursywne oszacowania parametrów

… i problemy …

Źródło: Eviews 6 Users Guide

30

Pytania

• Jak wykorzystać statystykę F do

testowania stabilności parametrów?