Post on 03-Feb-2018
Analiza matematyczna II
De�nicje, twierdzenia
6 maja 2013
� K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiówtechnicznych, cz. 2, HELPMATH, ×ódz 2007
� M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O�cynaWydawnicza GiS, Wroc÷aw2000
� M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró·zniczkowe zwyczajne, O�cyna Wydawnicz GiS,Wroc÷aw 2005
� W. ·Zakowski, W. Ko÷odziej, Matematyka II, WNT, Warszawa 1984
� W. ·Zakowski, W. Leksinski, Matematyka IV, WNT, Warszawa 1984
� F. Leja, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1963
� W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976
1 Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy funkcji wielu zmiennych
1.1 Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów w przestrzeniach me-trycznych
De�nicja 1.1 Niech X b ¾edzie niepustym zbiorem. Dowoln ¾a funkcj ¾e d : X �X ! R tak ¾a,·ze
1.V
p1;p22Xd (p1; p2) = 0, p1 = p2
2.V
p1;p22Xd(p1; p2) = d (p2; p1) (symetria)
3.V
p1;p2;p32Xd (p1; p3) � d (p1; p2) + d (p2; p3) (nierównosc trójk ¾ata)
nazywamy metryk ¾a w zbiorze X.Zbiór X wraz z ustalon ¾a metryk ¾a d nazywamy przestrzeni ¾a metryczn ¾a.
Mo·zna wykazac, ·ze nast¾epuj ¾ace funkcje s ¾a metrykami w zbiorze Rn:
�
de (p; q) =
vuut nXi=1
(xi � yi)2 (metryka euklidesowa)
1
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
�dt (p; q) =
nXi=1
jxi � yij (metryka miejska/taksówkowa)
�dm (p; q) = max
i=1;:::;njxi � yij (metryka maksimum)
gdzie p = (x1; :::; xn) i q = (y1; :::; yn).
W dalszym ci ¾agu przez przestrzen (metryczn ¾a) Rn b¾edziemy rozumiec zbiór Rn wraz zmetryk ¾a euklidesow ¾a.
Niech d b¾edzie ustalon ¾a metryk ¾a w zbiorze X.
De�nicja 1.2 Kul ¾a (otwart ¾a) o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
K (p; r) = fq 2 X : d (p; q) < rg:
Przyk÷ad 1.3 Kule o srodku (0; 0) i promieniu 1 w R2 w metryce euklidesowej (a), miejskiej(b) i maksimum (c):
x
y
1 x
y
1 x
y
1
1 1 1
(a) (b) (c)
De�nicja 1.4 Mówimy, ·ze zbiór A � X jest ograniczony, je·zeli istnieje p 2 X i r > 0takie, ·ze A � K (p; r) (tzn. A zawiera si ¾e w pewnej kuli). Mówimy, ·ze A jest nieogranic-zony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si ¾e w ·zadnej kuli).
De�nicja 1.5 Mówimy, ·ze zbiór U � X jest otwarty (w X), gdy dla dowolnego p 2 Uistnieje r > 0 takie, ·ze
K (p; r) � U:
Twierdzenie 1.6 Niech X b ¾edzie przestrzeni ¾a metryczn ¾a.
1. ;, X i kule otwarte s ¾a zbiorami otwartymi w X
2. Je·zeli U i V s ¾a otwarte w X, to U \ V jest zbiorem otwartym w X
3. Je·zeli fU�g�2I jest rodzin ¾a zbiorów otwartych w X, to sumaS�2I
U� jest zbiorem ot-
wartym w X
De�nicja 1.7 Otoczeniem punktu p 2 X nazywamy dowolny zbiór otwarty U � X taki,·ze p 2 U . S ¾asiedztwem punktu p nazywamy ka·zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jestotoczeniem p.
2
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
De�nicja 1.8 Niech A � X. Punkt p 2 X nazywamy
� punktem wewn ¾etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ·ze K (p; r) � A
� punktem zewn ¾etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ·ze K (p; r) � XnA
� punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istniej ¾a punkty nale·z ¾ace do Ai punkty nale·z ¾ace do XnA
� punktem skupienia zbioru A, je·zeli ka·zde s ¾asiedztwo punktu p zawiera jakis punktzbioru A; punkty nale·z ¾ace do zbioru A, które nie s ¾a jego punktami skupienia nazywamypunktami izolowanymi
Przyk÷ad 1.9 p � punkt wewn¾etrzny; q � punkt zewn¾etrzny; r; u � punkty brzegowezbioru A.
De�nicja 1.10 Mówimy, ·ze zbiór C � X jest domkni ¾ety (w X), gdy jego dope÷nienie XnCjest zbiorem otwartym. Je·zeli p 2 X i r > 0, to kul ¾a domkni ¾et ¾a o srodku p i promieniu rnazywamy zbiór
�K (p; r) = fq 2 X : d (p; q) � rg:
Twierdzenie 1.11 Niech X b ¾edzie przestrzeni ¾a metryczn ¾a.
1. ;, X i kule domkni ¾ete s ¾a domkni ¾etymi podzbiorami X:
2. Je·zeli C i D s ¾a zbiorami domkni ¾etymi w X, to C [D jest zbiorem domkni ¾etym w X.
3. Je·zeli fC�g�2I jest rodzin ¾a zbiorów domkni ¾etych w X, to iloczynT�2I
C� jest zbiorem
domkni ¾etym w X.
Twierdzenie 1.12 Zbiór jest domkni ¾ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swojepunkty skupienia.
De�nicja 1.13 Wn¾etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn ¾etrznych A.Wn ¾etrze A oznaczamy przez IntA.Domkni ¾eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia
zbioru A. Domkni ¾ecie A oznaczamy przez �A.Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy
go przez @A (bdA, FrA). Zachodzi przy tym
@A = �A n IntA:
De�nicja 1.14 Niech A � X. Mówimy, ·ze zbiór A jest spójny, je·zeli przy dowolnymrozk÷adzie A na sum ¾e dwóch roz÷¾acznych i niepustych zbiorów U i V , którys z nich zawierapunkty skupienia drugiego zbioru.
Krzyw ¾a ci ¾ag÷¾a w przestrzeni Rn nazywamy dowolne odwzorowanie ci ¾ag÷e : [0; 1] !Rn, tzn.
(t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; :::; xn (t)) ; t 2 [0; 1] ;
gdzie funkcje xi : [0; 1] ! R s ¾a ci ¾ag÷e. Punkt p = (0) nazywamy pocz ¾atkiem krzywej ,zas q = (1) � koncem krzywej . Mówimy wtedy, ·ze jest krzyw ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a punkty p i q.
3
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Przyk÷ad 1.15 Odcinek [p; q] o pocz ¾atku p i koncu q, gdzie p; q 2 Rn
(t) = p+ t (q � p) ; t 2 [0; 1] :
Mo·zna wykazac, ·ze A � Rn jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnychpunktów p; q 2 A istnieje krzyw ¾a ci ¾ag÷a o pocz ¾atku p i koncu q taka, ·ze (t) 2 A dlaka·zdego t 2 [0; 1].
Przyk÷ad 1.16 Wyznaczyc wn¾etrzne, domkni¾ecie i brzeg zbioru. Okreslic, czy zbiór jestspójny.
1. A = f(x; y) 2 R2 : �2 � y < 1 ^ x > 0g
2. B = f(x; y) 2 R2 : 1 < jxj � 2 ^ 0 � y < 1g
3. C = f(x; y) 2 R2 : x = 1 + 1n ; n 2 Ng
De�nicja 1.17 Zbiór D nazywamy obszarem, je·zeli D jest otwarty i spójny. Powiemy, ·zeD jest obszarem domkni ¾etym, gdy jest domkni ¾eciem obszaru.
1.2 Powierzchnie stopnia II w R3
Powierzchni ¾a stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów (x; y; z) 2 R3 spe÷niaj ¾acych rów-nanie
Ax2 +By2 + Cz2 + axy + bxz + cyz + �x+ �y + z + � = 0;
przy czym A2 +B2 + C2 + a2 + b2 + c2 > 0:
1. Walce
(a) walec eliptyczny x2
a2 +y2
b2 = 1; z 2 R; a; b > 0; a 6= b
(b) walec ko÷owy x2 + y2 = r2; z 2 R; r > 0
(c) walec hiperboliczny x2
a2 �y2
b2 = 1; z 2 R(d) walec paraboliczny y = x2; z 2 R
2. Sfera (x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2 = r2
3. Elipsoida (x�x0)2a2 + (y�y0)2
b2 + (z�z0)2c2 = 1
4. Paraboloidy
(a) paraboloida eliptyczna x2
a2 +y2
b2 = z
(b) paraboloida obrotowa x2 + y2 = z
(c) paraboloida hiperboliczna x2
a2 �y2
b2 = z
5. Hiperboloidy
(a) h. jednopow÷okowa x2
a2 +y2
b2 = 1 +z2
c2
(b) h. dwupow÷okowa x2
a2 +y2
b2 = �1 +z2
c2
6. Sto·zek x2
a2 +y2
b2 = z2
4
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.3 Granica i ci ¾ag÷osc funkcji wielu zmiennychMówimy, ·ze ci ¾ag punktów pk =
�xk1 ; x
k2 ; :::; x
kn
�2 Rn jest zbie·zny do punktu p = (x1; x2; :::; xn),
je·zelilimk!1
d (pk; p) = 0
(gdzie zgodnie z przyj¾et ¾a umow ¾a d oznacza metryk¾e euklidesow ¾a).
Twierdzenie 1.18 Ci ¾ag (pk) punktów pk =�xk1 ; x
k2 ; :::; x
kn
�jest zbie·zny do p = (x1; x2; :::; xn)
wtedy i tylko wtedy, gdylimk!1
xki = xi; i = 1; 2; :::; n:
De�nicja 1.19 (Heinego) Niech f : D ! R, D � Rn i niech p0 =�x01; x
02; :::; x
0n
�b ¾edzie
punktem skupienia zbioru D. Mówimy, ·ze g jest granic ¾a funkcji f w punkcie p0 je·zeli
limk!1
f (pk) = g
dla ka·zdego ci ¾agu (pk) punktów zbioru D takiego, ·ze limk!1
pk = p0. Piszemy wtedy
limp!p0
f (p) = g
W przypadku, gdy g =1 (�1), to mówimy o granicy niew÷asciwej. g nazywamy te·z granic ¾an-krotn ¾a funkcji f w punkcie p0. Je·zeli n = 2, to mówimy o granicy podwójnej w punkciep0 i jesli p0 = (x0; y0), to oznaczamy j ¾a przez
lim(x;y)!(x0;y0)
f (x; y) :
Uwaga 1.20 Granica w punkcie p0 nie istnieje, gdy istniej ¾a ró·zne ci ¾agi (pk) i (qk) owyrazach w zbiorze D takie, ·ze lim
k!1pk = p0 = lim
k!1qk, ale
limk!1
f (pk) 6= limk!1
f (qk) :
De�nicja 1.21 (Cauchy�ego) Niech f : D ! R, D � Rn i niech p0 b ¾edzie punktemskupienia zbioru D. Mówimy, ·ze g jest granic ¾a (w÷asciw ¾a) funkcji f w punkcie p0, je·zeli^
">0
_�>0
^p2D
(0 < d (p; p0) < � ) jf (p)� gj < ") :
Zadanie 1 Podac de�nicj¾e Cauchy�ego granicy niew÷asciwej.
Twierdzenie 1.22 De�nicje granicy w sensie Heinego i Cauchy�ego s ¾a sobie równowa·zne.
Niech f : D ! R, D � R2 i niech p0 = (x0; y0) b¾edzie punktem skupienia dziedziny D.Je·zeli istnieje granica
limx!x0
�limy!y0
f (x; y)
�;
to nazywamy j ¾a granic ¾a iterowan ¾a gdy najpierw y ! y0, a nast¾epnie x! x0. Podobnie,gdy istnieje granica
limy!y0
�limx!x0
f (x; y)
�to nazywamy j ¾a granic ¾a iterowan ¾a gdy x! x0, a nast¾epnie y ! y0.
5
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Uwaga 1.23 Istnienie granicy podwójnej jest niezale·zne od istnienia granic iterowanych.Co wi¾ecej, je·zeli granice iterowane istniej ¾a, to mog ¾a byc ró·zne.
Przyk÷ad 1.24
1. f (x; y) = xyx2+y2
limx!0
�limy!0
f (x; y)
�= 0 = lim
y!0
�limx!0
f (x; y)�;
ale lim(x;y)!(0;0)
f (x; y) nie istnieje.
2. f (x; y) = x2�y2x2+y2
limx!0
�limy!0
x2 � y2x2 + y2
�= 1; lim
y!0
�limx!0
x2 � y2x2 + y2
�= �1
i granica podwójna nie istnieje.
3. f (x; y) = x sin 1x sin
1y
limy!0
�limx!0
x sin1
xsin
1
y
�= 0
ale limx!0
�limy!0
x sin 1x sin
1y
�nie istnieje;
lim(x;y)!(0;0)
x sin1
xsin
1
y= 0:
Twierdzenie 1.25 Je·zeli istnieje granica podwója w punkcie (x0; y0) funkcji f i istniejejedna z granic iterowanych, to s ¾a sobie równe.
Wniosek 1.26 Je·zeli istniej ¾a ró·zne granice iterowane w punkcie (x0; y0), to nie istniejegranica podwójna w tym punkcie.
De�nicja 1.27 Niech f : D ! R, gdzie D � Rn i niech p0 2 D b ¾edzie punktem skupieniazbioru D. Mówimy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie p0, je·zeli
limp!p0
f (p) = f (p0) :
Je·zeli f jest ci ¾ag÷a w ka·zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ·ze jest ci ¾ag÷a
Twierdzenie 1.28 Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ci ¾ag÷e, to
1. f � g
2. f � g
3. fg (o ile g 6= 0)
s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
6
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 1.29 (o lokalnym zachowywaniu znaku) Je·zeli f : D ! R jest ci ¾ag÷a wp0 i f (p0) > 0 (f (p0) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p0 takie, ·ze f (p) > 0 (f (p) < 0)dla ka·zdego p 2 U \D.
Twierdzenie 1.30 (Weierstrassa) Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a okreslon ¾ana domkni ¾etym i ograniczonym zbiorze D. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ¾ecejistniej ¾a takie punkty p0,p00 2 D, ·ze
f (p0) = infp2D
f (p) = infff (p) : p 2 Dg;
f (p00) = supp2D
f (p) = supff (p) : p 2 Dg:
Twierdzenie 1.31 (Darboux) Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a i D jest zbioremspójnym. Je·zeli f (p0) < � < f (p00), gdzie p0; p 2 D, to istnieje taki punkt q 2 D, ·ze� = f (q).
Twierdzenie 1.32 (Cantora) Je·zeli f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a okreslon ¾a na domkni ¾e-tym i ograniczonym zbiorze D, to f jest jednostajnie ci ¾ag÷a tzn.^
">0
_�>0
^p;q2D
(d (p; q) < � ) d (f (p) ; f (q)) < ") :
1.4 Pochodne kierunkowe i cz ¾astkowe. Ró·zniczkowalnoscNiech f : D ! R, D � Rn i niech p 2 D b¾edzie punktem wewn¾etrznym zbioru D.
De�nicja 1.33 Pochodn ¾a kierunkow ¾a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h 2 Rnnazywamy liczb ¾e
f 0h (p) = limt!0
f (p+ th)� f (p)t
;
o ile powy·zsza granica istnieje i jest skonczona.
Uwaga 1.34 Pochodna w kierunku wektora h jest równa pochodnej funkcji
' (t) = f (p+ th)
w punkcie t = 0.
De�nicja 1.35 Pochodn ¾a kierunkow ¾a w kierunku wektora
ei = [0; :::; 1i; :::; 0]
nazywamy pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f w punkcie p wzgl ¾edem zmiennej xi. Oznaczamyj ¾a symbolem
@f
@xi(p) ;
a zatem@f
@xi(p) = f 0ei (p) = limt!0
f (p+ tei)� f (p)t
:
7
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
W szczególnym przypadku, gdy n = 2 i funkcja f jest funkcj ¾a zmiennych x i y, pochodnecz ¾astkowe oznaczamy odpowiednio przez @f
@x (dfdx , f
0x) i
@f@y (
dfdy , f
0y). Jesli p = (x0; y0), to
@f
@x(x0; y0) = lim
t!0
1
t(f (x0 + h; y0)� f (x0; y0)) ;
@f
@y(x0; y0) = lim
t!0
1
t(f (x0; y0 + t)� f (x0; y0)) :
De�nicja 1.36 Je·zeli funkcja f ma pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl ¾edem zmiennej xi dla ka·zdegopunktu p 2 D, to funkcj ¾e @f
@xi: D ! R
p 7! @f
@xi(p)
nazywamy pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f wzgl ¾edem zmiennej xi.
Uwaga 1.37 Je·zeli 'i (t) = f (p+ tei), to
@f
@xi(p) = '0i (0) :
Wpraktyce oznacza to, ·ze obliczanie pochodnej cz ¾astkowej wzgl¾edem zmiennej xi to obliczanie�zwyk÷ej�pochodnej wzgl¾edem xi, traktuj ¾ac pozosta÷e zmienne jak sta÷e.
Uwaga 1.38 Istnienie pochodnych cz ¾astkowych w punkcie p, a nawet istnienie wszystkichpochodnych kierunkowych w punkcie p nie gwarantuje ci ¾ag÷osci funkcji w tym punkcie.
Twierdzenie 1.39 Je·zeli f; g : D ! R, D � Rn i istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe @f@xi
(p),@g@xi
(p) dla pewnego punktu p 2 D, to
1. @@xi
(f � g) (p) = @f@xi
(p)� @f@xi
(p)
2. @@xi
(f � g) (p) = @f@xi
(p) g (p) + f (p) @g@xi
(p)
3. @@xi
�fg
�(p) =
f 0xi(p)g(p)�f(p)g0xi (p)
(g(p))2; g (p) 6= 0
De�nicja 1.40 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD,je·zeli istnieje otoczenie U punktu p, na którym istniej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe funkcjif i s ¾a one ci ¾ag÷e w punkcie p. Mówimy, ·ze funkcja jest ró·zniczkowalna (jest klasy C1) nazbiorze otwartym D, gdy ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe na D.
Twierdzenie 1.41 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to dladowolnego wektora h 2 Rn istnieje pochodna kierunkowa f 0h (p), przy czym
f 0h (p) =nXi=1
@f
@xi(p)hi;
gdzie h = [h1; :::; hn].
Wniosek 1.42 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to
8
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1. f 0h+k (p) = f 0h (p) + f0k (p)
2. f 0�h (p) = �f 0h (p)
dla dowolnych wektorów h;k 2 Rn i � 2 R.
Przyk÷ad 1.43 Obliczyc f 0h (p), gdzie f (x; y) = x2y, p = (1; 2) i h = [a; b] jest dowolnymwektorem.
De�nicja 1.44 Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p. Ró·zniczk ¾a(zupe÷n ¾a) funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe df (p) : Rn ! R okreslonewzorem
df (p) (h) =nXi=1
@f
@xi(p)hi:
Twierdzenie 1.45 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to istniejefunkcja ' okreslona w otoczeniu 0 2 Rn, ci ¾ag÷a w 0, ' (0) = 0 oraz
f (p+ h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) � jhj
(jhj oznacza d÷ugosc wektora h:).
Wniosek 1.46 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to
1. f jest ci ¾ag÷a w p
2. dla ma÷ych jhj zachodzi przybli·zony wzór
f (p+ h) � f (p) + df (p) (h) :
Niech g : D ! R, D � Rn, f1; :::; fn : �! R, � � R, przy czym
f (t) = (f1 (t) ; f2 (t) ; :::; fn (t)) 2 D; t 2 �:
Wówczas jest sens mówic o z÷o·zeniu
(g � f) (t) = g (f1 (t) ; :::; fn (t)) :
Twierdzenie 1.47 Je·zeli funkcje fi s ¾a ró·zniczkowalne w punkcie t0 2 � (i = 1; :::; n) orazg jest ró·zniczkowalna w punkcie p0 = f (t0), to z÷o·zenie g � f jest ró·zniczkowalna w t0; przyczym
(g � f)0 (t0) =nXi=1
@g
@xi(f (t0)) � f 0i (t0)
= dg (f (t0)) ([f01 (t0) ; :::; f
0n (t0)]) :
Twierdzenie 1.48 Za÷ó·zmy, ·ze funkcje fi : � ! R (i = 1; :::; n), � � Rm maj ¾a pochodnecz ¾astkowe
@fi@tj
(t0)
9
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
dla pewnego t0 2 � oraz ustalonego j (1 � j � m). Wówczas przy za÷o·zeniu, ·ze g : D ! R,D � Rn,
f (t) = (f1 (t) ; :::; fn (t)) 2 D; t 2 �i ró·zniczkowalnosci funkcji g w punkcie f (t0) istnieje pochodna cz ¾atkowa @
@tj(g � f) (t0) przy
czym@
@tj(g � f) (t0) =
nXi=1
@g
@xi(f (t0)) �
@fi@tj
(t0) :
Twierdzenie 1.49 (o wartosci sredniej) Je·zeli f : D ! R, D � Rn jest zbiorem ot-wartym i f jest ró·zniczkowalna na zbiorze D, to dla dowolnego punktu p0 2 D i wektorah 2 Rn takiego, ·ze odcinek [p0; p0 + h] zawiera si ¾e w D, istnieje t 2 (0; 1), ·ze
f (p0 + h)� f (p0) = df (p0 + th) (h) :
De�nicja 1.50 Niech f : D ! R i p0 2 D. Poziomic ¾a funkcji f przechodz ¾ac ¾a przez punktp0 nazywamy zbiór
S (p0) = fp 2 D : f (p) = f (p0)g:
De�nicja 1.51 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 IntD.Gradientem f w punkcie p0 nazywamy wektor
rf (p0) =�@f
@x1(p0) ; :::;
@f
@xn(p0)
�:
Je·zeli rf (p0) = 0 (wektor zerowy!), to mówimy, ·ze p0 jest punktem stacjonarnym funkcjif .
Uwaga 1.52 1. Mo·zna wykazac, ·ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszegowzrostu wartosci tej funkcji. Ponadtorf (p0) jest wektorem prostopad÷ym do poziomicyfunkcji f przechodz ¾acej przez p0.
2.df (p0) (h) = rf (p0) � h
(� oznacza iloczyn skalarny wektorów).
1.5 Pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu drugiegoNiech f : D ! R, D � Rn b¾edzie zbiorem otwartym i za÷ó·zmy, ·ze istnieje pochodnacz ¾astkowa @f
@xi(p) dla ka·zdego p 2 D. Je·zeli istnieje pochodna cz ¾astkowa
@
@xj
�@
@xi
�(p0)
w punkcie p0 2 D, to nazywamy j ¾a drug ¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl¾edem i-tej i j-tej zmien-nej. Oznaczamy j ¾a przez
@2f
@xj@xi(p0) lub f 00xixj (p0) :
Pochodn ¾a @2f@xi@xi
(p0) oznaczamy przez
@2f
@x2i(p0) :
10
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
De�nicja 1.53 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkciep0, je·zeli istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu drugiego na pewnym otoczeniu p0 i s ¾a ci ¾ag÷e wtym punkcie. Mówimy, ·ze funkcja f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna (jest klasy C2 na zbiorzeD; f 2 C2 (D)), je·zeli ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu na D.
Twierdzenie 1.54 (Schwarza o symetrii drugiej ró·zniczki) Je·zeli f : D ! R jestdwukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D, to
@2f
@xi@xj(p0) =
@2f
@xj@xi(p0) ; i; j = 1; :::; n:
De�nicja 1.55 Za÷ó·zmy, ·ze f jest dwrukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D. Drug ¾aró·zniczk ¾a f w punkcie p nazywamy odwzorowanie
d2f (p0) : Rn � Rn ! R
okreslone wzorem
d2f (p0) (h;k) =nX
i;j=1
@2f
@xi@xj(p0)hikj
gdzie h = [h1; :::; hn], k = [k1; :::; kn].
W szczególnym przypdaku dla n = 2
d2f (p0) (h;k) =@2f
@x2(p0)h1k1 +
@2f
@x@y(p0) (h1k2 + h2k1) +
@2f
@y2(p0)h2k2
i jesli h = k, to
d2f (p0) (h;h) =@2f
@x2(p0)h
21 + 2
@2f
@x@y(p0)h1h2 +
@2f
@y2(p0)h
22;
w skrócie b ¾edziemy pisac d2f (p0)h2:
1.6 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennychDe�nicja 1.56 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R, D � Rn ma maksimum [minimum]lokalne w punkcie p0 2 D, je·zeli istnieje otoczenie U punktu p0 takie, ·ze
^p2U
f (p) � f (p0)
24^p2U
f (p) � f (p0)
35 :Je·zeli w powy·zszym warunku spe÷niona jest nierównosc ostra, to mówimy o maksimum [min-imum] lokalnym w÷asciwym.Je·zeli ^
p2Df (p) � f (p0)
24^p2D
f (p) � f (p0)
35 ;to mówimy, ·ze funkcja f ma w punkcie p0 maksimum [minimum] absolutne � oznaczamyje przez
maxp2D
f (p)
�minp2D
f (p)
�:
11
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 1.57 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je·zeli funkcjaf ma pochodne cz ¾astkowe w punkcie p0 2 IntD i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
@f
@xi(p0) = 0; i = 1; :::; n:
Uwaga 1.58
1. Funkcja mo·ze miec ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnychcz ¾astkowych, np. f (x; y) =
px2 + y2.
2. Je·zeli f jest ró·zniczkowalna w p0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p0) =0 (tzn. p0 jest punktem stacjonarnym).
3. Zerowanie si¾e pochodnych cz ¾astkowych nie wystarcza do tego, ·zeby istnia÷o ekstremumlokalne, np dla funkcji f (x; y) = x2� y2 mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie maekstremum lokalnego w punkcie (0; 0).
Twierdzenie 1.59 (warunek wystraczaj ¾acy na istnienie ekstremum lokalnego) Za÷ó·zmy,·ze f : D ! R, D � R2 jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkciep0 2 D. Je·zeli
1. rf (p0) = 0
2. W (p0) =
���� f 00xx (p0) f 00xy (p0)f 00xy (p0) f 00yy (p0)
���� > 0to funkcja f ma w punkcie p0 ekstremum lokalne w÷asciwe, przy czym jest to
� maksimum lokalne, gdy f 00xx (p0) < 0
� minimum lokalne, gdy f 00xx (p0) > 0
Je·zeli W (p0) < 0, to f nie ma ekstremum w p0. Je·zeli W (p0) = 0, to jest to przypadekw ¾atpliwy, tzn. w zale·znosci od funkcji f mo·ze, ale nie musi byc ekstremum w tym punkcie.
De�nicja 1.60 Niech A 2 Mn;n (R) b ¾edzie macierz ¾a symetryczn ¾a (tzn. AT = A). Form ¾akwadratow ¾a o macierzy A nazywamy odwzorowanie ' : Rn ! R okreslone wzorem
' (h) = hAhT = [h1; :::; hn]
264 a11 ::: a1n...
...an1 ::: ann
375264 h1
...hn
375 = nXi;j=1
aijhihj ;
gdzie A =
264 a11 ::: a1n...
...an1 ::: ann
375 i h = [h1; :::; hn].Przyk÷ad 1.61 Gdy n = 2, A =
�a bb c
�, h = [h1; h2]
' (h) = [h1; h2]
�a bb c
� �h1h2
�= [h1; h2]
�ah1 + bh2bh1 + ch2
�= ah21 + bh1h2 + bh1h2 + ch
22 = ah21 + 2bh1h2 + ch
22:
12
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
W szczególnym przypadku, gdy f : D ! R, D � R2 jest zbiorem otwartym i f jest klasyC2 na D, to dla dowolnego punktu p 2 D otrzymujemy macierz symetryczn ¾a�
f 00xx (p) f 00xy (p)f 00xy (p) f 00yy (p)
�:
Form ¾a kwadratow ¾a wyznaczon ¾a przez t¾e macierz jest
' (h) = d2f (p)h2 = d2f (p) (h;h) = f 00xx (p)h21 + 2f
00xy (p)h1h2 + f
00yy (p)h
22:
De�nicja 1.62 Mówimy, ·ze forma kwadratowa ' jest dodatnio [ujemnie] okreslona,je·zeli ^
h2Rnnf0g
' (h) > 0
24 ^h2Rnnf0g
' (h) < 0
35 :Mówimy, ·ze ' jest form ¾a kwadratow ¾a nieujemn ¾a [niedodatni ¾a], je·zeli
^h2Rn
' (h) � 0" ^h2Rn
' (h) � 0#:
Przyk÷ad 1.63 Forma ' (h1; h2) = h21 jest form ¾a nieujemn ¾a, ale nie jest dodatnio okreslon ¾a.
De�nicja 1.64 Mówimy, ·ze forma kwadratowa ' jest pó÷okreslona dodatnio, je·zeli jestnieujemna, ale nie jest dodatnio okreslona. Mówimy, ·ze ' jest pó÷okreslona ujemnie,je·zeli jest niedodatnia, ale nie jest ujemnie okreslona. Mówimy, ·ze forma ' jest nieokreslona,gdy ' przyjmuje wartosci dodatnie i ujemne.
Przyk÷ad 1.65 Forma ' (h1; h2) = h21 � h22 jest nieokreslona.
De�nicja 1.66 Niech A 2Mn;n (R). Minorem g÷ównym stopnia k (1 � k � n) macierzyA nazywamy wyznacznik
�k = det
264 a11 ::: a1k...
...ak1 ::: akk
375 :Twierdzenie 1.67 Niech A = [aij ] b ¾edzie macierz ¾a formy kwadratowej ' : Rn ! R. Forma' jest
� dodatnio okreslona wtedy i tylko wtedy, gdyV
k2f1;:::;ng�k > 0;
� ujemnie okreslona wtedy i tylko wtedy,gdyV
k2f1;:::;ng(�1)k �k > 0:
Je·zeli f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym i f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna wpunkcie p0 2 D, to mo·zemy okreslic form¾e kwadratow ¾a
' (h) = d2f (p0) (h;h) =nX
i;j=1
f 00xixj (p0)hihj :
13
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Macierz ¾a tej formy jest macierz drugich pochodnych f w punkcie p026664f 00x1x1 (p0) f 00x1x2 (p0) ::: f 00x1xn (p0)f 00x2x1 (p0) f 00x2x2 (p0) ::: f 00x2xn (p0)
......
...f 00xnx1 (p0) f 00xnx2 (p0) ::: f 00xnxn (p0)
37775 :Nazywamy j ¾a macierz ¾a Hessego, zas jej wyznacznik � hesjanem.
Twierdzenie 1.68 (warunek wystarczaj ¾acy na istnienie ekstremum lokalnego) Za÷ó·zmy,·ze f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym, f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie
p0 2 D i rf (p0) = 0. Je·zeli forma kwadratowa h 7! d2f (p0) (h;h) =nP
i;j=1
f 00xixj (p0)hihj
� jest dodatnio okreslona, to f ma minimum lokalne w p0;
� jest ujemnie okreslona, to f ma maksimum lokalne w p0;
� jest nieokreslona, to f nie ma ekstremum lokalnego w p0.
Je·zeli forma jest pó÷okreslona dodatnio [ujemnie], jest to przypadek w ¾atpliwy.
1.7 Funkcja uwik÷anaDe�nicja 1.69 Niech f : D ! R, D � R2. Za÷ó·zmy, ·ze ' : I ! R (I � R jest przedzia÷em)jest tak ¾a funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, ·ze
1.Vx2I
(x; ' (x)) 2 D;
2.Vx2I
f (x; ' (x)) = 0:
Wówczas funkcj ¾e ' nazywamy funkcj ¾a uwik÷an ¾a okreslon ¾a równaniem (przez rów-nanie) f (x; y) = 0. Oznacza to, ·ze jesli S = f(x; y) 2 D : f (x; y) = 0g, to pewna cz ¾esczbioru S jest wykresem funkcji '.
Twierdzenie 1.70 (o istnieniu funkcji uwi÷anej) Je·zeli f : D ! R jest klasy C1 nazbiorze otwartym D � R2, (x0; y0) 2 D oraz
f (x0; y0) = 0 i f 0y (x0; y0) 6= 0;
to istnieje dok÷adnie jedna funkcja y = ' (x) uwik÷ana przez równanie f (x; y) = 0 okreslonana pewnym przedziale (x0 � �; x0 + �) przy czym ' (x0) = y0, ' jest klasy C1 oraz
'0 (x) = �f0x (x; ' (x))
f 0y (x; ' (x)); x 2 (x0 � �; x0 + �) : (*)
Uwaga 1.71 Równosc (*) otrzymujemy przez zró·zniczkowanie stronami równosci f (x; ' (x)) =0 :
0 = f 0x (x; ' (x)) � x0 + f 0y (x; ' (x)) � '0 (x)= f 0x (x; ' (x)) + f
0y (x; ' (x)) � '0 (x) ;
14
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
w szczególnosci
'0 (x0) = �f 0x (x0; y0)
f 0y (x0;y0);
bo ' (x0) = y0.
Uwaga 1.72 Je·zeli f 0y (x0; y0) = 0, to mo·ze si¾e zdarzyc, ·ze nie zachodzi teza twierdzenia oistnieniu funkcji uwik÷anej.
1. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = x2 � y2
� istniej ¾a dwie ró·zne ró·zniczkowalne funkcje uwik÷ane '1 (x) = x oraz '2 (x) = �x;
2. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = x2 + y2
� nie istnieje funkcja uwik÷ana okreslona na otoczeniu x0 = 0, bo f(x; y) : f (x; y) =0g = f(0; 0)g;
3. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = 0
� w tym przypadku S = f(x; y) : f (x; y) = 0g = R2
Je·zeli funkcja f jest klasy C2, to funkcja uwik÷ana ' jest te·z klasy C2 przy czym namocy (*) mamy
0 = f 0x + f0y'
0:
Ponownie ró·zniczkuj ¾ac stronami otrzymamy
0 = f 00xxx0 + f 00xy'
0x +
�f 00yxx
0 + f 00yy'0�'0 + f 0y'00
0 = f 00xx + 2f00xy'
0 + f 00yy ('0)2+ f 0y'
00
st ¾ad
'00 (x) = � 1
f 0y (x; ' (x))
�f 00xx (x; ' (x)) + 2f
00xy (x; ' (x))'
0 (x) + f 00yy (x; ' (x))'0 (x)
2�:
W szczególnosci
'00 (x0) = �1
f 0 (x0; y0)
�f 00xx (x0; y0) + 2f
00xy (x0; y0)'
0 (x0) + f00 (x0; y0)'
0 (x0)2�
i jesli '0 (x0) = 0, to
'00 (x0) = �f 00xx (x0; y0)
f 0y (x0; y0):
Twierdzenie 1.73 (o ekstremach funkcji uwik÷anej) Niech f : D ! R b ¾edzie funkcj ¾aklasy C2 na zbiorze otwartym D � R2 i niech (x0; y0) 2 D. Je·zeli
1. f (x0; y0) = 0, f 0x (x0; y0) = 0 i f0y (x0; y0) 6= 0;
2. f 00xx (x0; y0) 6= 0;
to funkcja uwik÷ana y = ' (x) ma ekstremum lokalne w punkcie x0, przy czym jest to
� maksimum lokalne, gdy '00 (x0) < 0;
� minimum lokalne, gdy '00 (x0) > 0;
gdzie
'00 (x0) = �f 00xx (x0; y0)
f 0y (x0; y0): (**)
15
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.8 Pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu > 2. Wzór TayloraDe�nicja 1.74 Niech f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym i p0 2 D. Za÷ó·zmy, ·ze dlapewnej liczby naturalnej k w ka·zdym punkcie p 2 D istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu k�1.Pochodnymi cz ¾astkowymi rz ¾edu k w punkcie p0 nazywamy pochodne cz ¾astkowe pochodnychcz ¾astkowych rz ¾edu k � 1 w punkcie p0.
De�nicja 1.75 Mówimy, ·ze funkcja f jest k-krotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D,je·zeli istniej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe w pewnym otoczeniu punktu p0 i s ¾a ci ¾ag÷e w tympunkcie. Mówimy, ·ze funkcja f jest klasy Ck na zbiorze otwartym D, je·zeli ma wszystkiepochodne cz ¾astkowe rz ¾edu k na D i s ¾a one ci ¾ag÷e.
De�nicja 1.76 Niech f : D ! R, gdzie D � Rn jest zbiorem otwartym, b ¾edzie funkcj ¾ak-krotnie ró·zniczkowaln ¾a w punkcie p0 2 D. Ró·zniczk ¾a rz ¾edu k funkcji f w punkcie p0nazywamy odwzorowanie
dkf (p0) : Rn � :::� Rn| {z }k razy
�! R
dkf (p0)�h1; :::;hk
�=
nXi1;:::;ik=1
@k
@xi1 :::@xikh1i1 � ::: � h
kik;
gdzie hi =�hi1; :::; h
in
�, i = 1; :::; k. Przyjmujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a umow ¾e
dkf (p0)h(k) = dkf (p0) (h; :::;h) :
Twierdzenie 1.77 (Taylora) Je·zeli funkcja f : D ! R, gdzie D � Rn jest zbiorem ot-wartym, jest ró·zniczkowalna w ka·zdym punkcie odcinka [p0; p0 + h] � D, to istnieje takaliczba � 2 (0; 1), ·ze
f (p0 + h) = f (p0) + df (p0)h+1
2!d2f (p0)h
(2) + :::
+1
(k � 1)!dk�1f (p0)h
(k�1) +1
k!dkf (p0 + �h)h
(k):
Twierdzenie 1.78 (o ca÷ce zale·znej od parametru) Za÷ó·zmy, ·ze funkcja F : [a; b] �[�; �]! R jest ci ¾ag÷a. Wówczas funkcja
f : [�; �]! R
f (x) =
bZa
F (t; x) dt
jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na przedziale [�; �]. Je·zeli F ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a @F@x , to wów-
czas f jest ró·zniczkowalna i
f 0 (x) =
bZa
@F
@x(t; x) dt:
Przyk÷ad 1.79 Niech f (x) =�2R0
ex sin tdt. Wówczas
f 0 (x) =
Z �2
0
sin tex sin tdt:
16
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.9 Ca÷ka podwójnaDe�nicja 1.80 Przedzia÷em 2-wymiarowym nazywamy zbiór P postaci
P = [a1; b1]� [a2; b2] ; ai < bi; i = 1; 2:
Obj ¾etosci ¾a 2-wymiarow ¾a przedzia÷u P nazywamy liczb ¾e jP j zde�niowan ¾a jako
jP j = (b1 � a1) � (b2 � a2) ;
zas srednic ¾a przedzia÷u P liczb ¾e
diam (P ) =
q(b1 � a1)2 + (b2 � a2)2:
De�nicja 1.81 Podzia÷em przedzia÷u P nazywamy ka·zd ¾a rodzin ¾e � = fP1; :::; Pmg (m 2N) przedzia÷ów 2-wymiarowych takich, ·ze
1. P = P1 [ ::: [ Pm;
2. IntPi \ IntPj = ;, i 6= j:
Srednic ¾a podzia÷u � nazywamy liczb ¾e
� (�) = maxi=1;:::;m
diam (Pi) :
Zbiór wszystkich podzia÷ów przedzia÷u P oznaczamy przez P (P ).
De�nicja 1.82 Wartosciowaniem podzia÷u � = fP1; :::; Pmg nazywamy zbiór T = fp1; :::; pmgtaki, ·ze pi 2 Pi, i = 1; :::;m. Zbiór wszystkich wartosciowan podzia÷u � oznaczamy przezT (�).
De�nicja 1.83 Niech f : P ! R, gdzie P jest przedzia÷em 2-wymiarowym, � = fP1; :::; Pmg 2P (P ), T 2 T (�). Sum ¾a Riemanna dla funkcji f , podzia÷u � i wartosciowania T nazy-wamy liczb ¾e
� (f; �; T ) =mXi=1
f (pi) jPij :
De�nicja 1.84 Liczb ¾e � (f) nazywamy ca÷k ¾a Riemanna funkcji f : P ! R na przedzialeP , je·zeli ^
">0
_�>0
^�2P(P )
0@� (�) < � )^
T2T (�)
j� (f; �; T )� � (f)j < "
1A :
Liczb ¾e � (f) b ¾edziemy dalej oznaczac przez
� (f) =
ZZP
f (x; y) dxdy
i nazywac ca÷k ¾a podwójn ¾a z funkcji f na przedziale P . Mówimy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalnana przedziale P .
De�nicja 1.85 Ci ¾ag podzia÷ów (�k)k2N nazywamy normalnym, je·zeli limk!1
� (�k) = 0.
17
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 1.86 Funkcja f : P ! R jest ca÷kowalna na przedziale P iRRP
f jest ca÷k ¾a
Riemanna f na P wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego normalnego ci ¾agu podzia÷ów (�k)i ci ¾agu wartosciowan (Tk), Tk 2 T (�k),
limk!1
� (f; �k; Pk) =
ZZP
f:
Twierdzenie 1.87 (warunek wystarczaj ¾acy ca÷kowalnosci) Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f :P ! R okreslona na przedziale P jest ca÷kowalna.
Interpretacja geometryczna ca÷ki podwójnej.Je·zeli f : P ! R jest funkcj ¾a nieujemn ¾a okreslon ¾a na przedziale P , to ca÷ka
RRP
f jest
równa obj¾etosci obszaru
V = f(x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 P ^ 0 � z � f (x; y)g:
Twierdzenie 1.88 (Fubiniego) Je·zeli P = [a; b] � [c; d], f : P ! R jest ca÷kowalna orazdla ka·zdego x 2 [a; b] istnieje ca÷ka oznaczona
f1 (x) =
dZc
f (x; y) dy
(dla ka·zdego y 2 [c; d] istnieje ca÷ka f2 (y) =bRa
f (x; y) dx), to
ZZf (x; y) dxdy =
bZa
0@ dZc
f (x; y) dy
1A dx
0@ZZP
f (x; y) dxdy =
dZc
0@ bZa
f (x; y) dx
1A dy
1A :
Uwaga 1.89 1. Za÷o·zenie ca÷kowalnosci funkcji f i istnienie ca÷ek f1 (x) (f2 (y)) s ¾a nieza-le·zne od siebie.
2. Je·zeli f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, to f jest ca÷kowalna oraz istniej ¾a ca÷ki f1 i f2 � za÷o·zeniatwierdzenia s ¾a wi¾ec automatycznie spe÷nione.
3. Je·zeli f (x) = g1 (x) � g2 (y) i funkcje g1, g2 s ¾a ci ¾ag÷e, toZZP
f (x; y) dxdy =
Z b
a
g1 (x) dx �Z d
c
g2 (y) dy
De�nicja 1.90 Niech D � R2 b ¾edzie zbiorem ograniczonym, f : D ! R. Mówimy, ·zefunkcja f jest ca÷kowalna (w sensie Riemanna) na zbiorze D, je·zeli istnieje przedzia÷P � Dtaki, ·ze funkcja
�f (x) =
�f (x) ; x 2 D0; x 2 P nD
18
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
jest ca÷kowalna na P . Przyjmujemy wtedyZZD
fdef=
ZZP
�f:
De�nicja 1.91 Niech D � R2, P b ¾edzie takim przedzia÷em, ·ze D � P oraz � 2 P (P ).Przyjmijmy
�Z = fQ 2 � : Q \D 6= ;g�W = fQ 2 � : Q � Dg
Liczb ¾eZ (D) = inff
XQ2�Z
jQj : � 2 P (P )g
nazywamy zewn ¾etrzn ¾a miar ¾a Jordana zbioru D, zas liczb ¾e
W (D) = supfXQ2�W
jQj : � 2 P (P )g
� wewn ¾etrzn ¾a miar ¾a Jordana zbioru D.Mówimy, ·ze zbiór D jest mierzalny w sensie Jordana, je·zeli Z (D) =W (D). Wówczas
liczb ¾ejDj = Z (D) =W (D)
nazywamy (2-wymiarow ¾a) miar ¾a Jordana zbioru D.
Mo·zna wykazac, ·ze przedzia÷y 2-wymiarowe s ¾a mierzalne w sensie Jordana; miara Jor-dana przedzia÷u P jest równa jP j (zwyk÷a"miara P ).
De�nicja 1.92 Mówimy, ·ze zbiór D � R2 ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e Jordana równ ¾a zero,je·zeli Z (D) = 0.
Twierdzenie 1.93 Je·zeli funkcja f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to wykres funkcji f
f(x; f (x)) : x 2 [a; b]g
ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e Jordana równ ¾a zero.
Twierdzenie 1.94 Ograniczony podzbiór D � R2 jest mierzalny w sensie Jordana, je·zelibrzeg zbioru D ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e równ ¾a zero.
De�nicja 1.95 Ograniczony obszar D � R2 nazywamy regularnym, je·zeli jego brzeg jestsum ¾a skonczonej ilosci wykresów funkcji ci ¾ag÷ych.
Wniosek 1.96 Je·zeli D � R2 jest regularny, to jest mierzalny w sensie Jordana.
Twierdzenie 1.97 (warunek konieczny ca÷kowalnosci) Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalnana domkni ¾etym regularnym obszarze D, to jest ograniczona na D.
Twierdzenie 1.98 (warunek wystarczaj ¾acy ca÷kowalnosci) Je·zeli funkcja f
� jest ci ¾ag÷a na domkni ¾etym obszarze regularnym D;
19
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
lub
� jest ograniczona na domkni ¾etym obszarze regularnym D i jest ci ¾ag÷a poza skonczon ¾ailosci ¾a wykresów funkcji ci ¾ag÷ych,
to jest ca÷kowalna.
Twierdzenie 1.99 (w÷asnosci ca÷ki podwójnej) Za÷ó·zmy, ·ze D jest domkni ¾etym obszaremregularnym.
1. Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ca÷kowalne na D, to funkcja �f + �g jest ca÷kowalna na D(�; � 2 R) oraz ZZ
D
(�f + �g) dxdy = �
ZZD
fdxdy + �
ZZD
gdxdy:
2. Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ca÷kowalne na D orazV
(x;y)2Df (x; y) � g (x; y), to
ZZD
fdxdy �ZZD
gdxdy:
3. Je·zeli f : D ! R jest ca÷kowalna, to jf j jest te·z ca÷kowalna, przy czym������ZZD
fdxdy
������ �ZZD
jf j dxdy:
4. Je·zeli f : D ! R jest ca÷kowalna orazV
(x;y)2Dm � f (x; y) �M , to
m jDj �ZZD
fdxdy �M jDj :
5. Je·zeli f; g : D ! R ró·zni ¾a si ¾e na zbiorze miary zero, to f jest ca÷kowalna wtedy i tylkowtedy, gdy g jest ca÷kowalna; wówczasZZ
D
fdxdy =
ZZD
gdxdy:
6. Je·zeli D = D1 [D2, IntD1 \ IntD2 = ;, zbiory D1 i D2 s ¾a domkni ¾etymi obszaramiregularnymi oraz f : D ! R jest ca÷kowalna, to f jest ca÷kowalna na D1 i D2 przyczym ZZ
D
fdxdy =
ZZD1
fdxdy +
ZZD2
fdxdy:
7. Je·zeli funkcja f : D ! R jest ci ¾ag÷a, to istnieje taki punkt (x0; y0) 2 D, ·zeZZD
fdxdy = f (x0; y0) jDj :
20
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
1.9.1 Zamiana ca÷ki podwójnej na ca÷k¾e iterowan ¾a
De�nicja 1.100 Obszar domkni ¾ety D nazywamy normalnym wzgl ¾edem osi OX, je·zeli
D = f(x; y) : a � x � b ^ g (x) � y � h (x)g;
gdzie g; h : [a; b] ! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·zeV
x2(a;b)g (x) < h (x). Mówimy, ·ze D
jest normalny wzgl ¾edem osi OY , je·zeli
D = f(x; y) : � � y � � ^^
y2[�;�]
' (y) � x � (y)g;
gdzie '; : [�; �]! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·zeV
y2(�;�)' (y) < (y) :
Uwaga 1.101 Obszary normalne s ¾a regularne.
Twierdzenie 1.102 (o zamianie ca÷ki podwójnej na iterowan ¾a) Za÷ó·zmy, ·ze f : D !R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Je·zeli D jest obszarem normalnym wzgl ¾edem osi OX
D = f(x; y) : a � x � b ^ g (x) � y � h (x)g;
to ZZD
f (x; y) dxdy =
bZa
0B@ h(x)Zg(x)
f (x; y) dy
1CA dx:
Je·zeli D jest obszarem normalnym wzgl ¾edem osi OY
D = f(x; y) : � � y � � ^ ' (y) � x � (y)g;
to ZZD
f (x; y) dxdy =
�Z�
0B@ (y)Z'(y)
f (x; y) dx
1CA dy:
1.9.2 Zamiana zmiennych w ca÷ce podwójnej
De�nicja 1.103 Za÷ó·zmy, ·ze dana jest funkcja F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)), gdzie x; y :D ! R s ¾a klasy C1 na zbiorze otwartym D � R2. Jakobianem przekszta÷cenia F wpunkcie (u; v) 2 D nazywamy liczb ¾e
J (u; v) =
���� @x@u (u; v)
@x@v (u; v)
@y@u (u; v)
@y@v (u; v)
���� :Przyk÷ad 1.104 1. F (u; v) = (au+ bv; cu+ dv), gdzie (u; v) 2 R2 i a; b; c; d s ¾a ustalonymi
liczbami rzeczywistymi. Wtedy
J (u; v) = ad� bc:
2. F (u; v) =�p
uv ;puv�, u; v 2 (1; 2). Wtedy
J (u; v) =1
2v:
21
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
3. F (r; ') = (r cos'; r sin'). Wtedy
J (r; ') = r:
Twierdzenie 1.105 (o zamianie zmiennych w ca÷ce podwójnej) Je·zeli
1. F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)) przekszta÷ca wzajemnie jednoznacznie wn ¾etrze domkni ¾etegoobszaru regularnego � � R2 na wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego D � R2;
2. funkcje x i y s ¾a klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym U takim, ·ze � � U
3. funkcja f : D ! R jest ci ¾ag÷a
4. jakobian J (u; v) odwzorowania F jest ró·zny od zera dla ka·zdego (u; v) 2 Int�,
to ZZD
f (x; y) dxdy =
ZZ�
f (x (u; v) ; y (u; v)) jJ (u; v)j dudv:
De�nicja 1.106 P÷atem powierzchniowym nazywamy zbiór
S = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ z = f (x; y)g;
gdzie D � R2 jest obszarem domkni ¾etym i f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.
Twierdzenie 1.107 Je·zeli D jest domkni ¾etym obszarem regularnym i f jest klasy C1 nazbiorze D (tzn. jest klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym U takim, ·ze D � U), to polepowierzchni p÷ata S jest równe
jSj =ZZD
q1 + (f 0x)
2+�f 0y�2dxdy:
Twierdzenie 1.108 Je·zeli
V = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ f1 (x; y) � z � f2 (x; y)g;
gdzie f1; f2 : D ! R s ¾a ci ¾ag÷e na domkni ¾etym obszarze regularnym D � R2 orazV
(x;y)2Df1 (x; y) �
f2 (x; y), to obj ¾etosc jV j zbioru V jest równa
jV j =ZZD
(f2 (x; y)� f1 (x; y)) dxdy:
1.10 Ca÷ka potrójnaPrzedzia÷em 3-wymiarowym nazwyamy zbiór
P = [a1; b1]� [a2; b2]� [a3; b3] ; ai < bi; i = 1; 2; 3;
obj¾etosci ¾a P nazywamy liczb¾e
jP j = (b1 � a1) � (b2 � a2) � (b3 � a3) ;
22
1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
zas srednic ¾a � liczb¾e
diam (P ) =
q(a1 � b1)2 + (a2 � b2)2 + (a3 � b3)2:
Podobnie jak w pryzpadku 2-wymiarowym de�niujemy poj¾ecie podzia÷u przedzia÷u P , wartos-ciowania podzia÷u, sumy i ca÷ki Riemanna dla funkcji f : P ! R, ca÷ki z funkcji f : V ! P ,gdzie V jest zbiorem ograniczonym. Ca÷k¾e z f : V ! R, gdzie V � R3 jest zbiorem ogranic-zonym, nazywamy ca÷k ¾a potrójn ¾a z funkcji f na V i oznaczamy symbolemZZZ
V
f (x; y; z) dxdydz:
U·zywaj ¾ac poj¾ecia 3-wymiarowych przedzia÷ów de�niujemy 3-wymiarow ¾a miar¾e Jordanaograniczonego zbioru V � R3; oznaczamy j ¾a przez jV j.
De�nicja 1.109 Ograniczony obszar V � R3 nazywamy regularnym, je·zeli jego brzeg jestsum ¾a skonczonej ilosci p÷atów powierzchniowych.
Interpretacja ca÷ki potrójnej: je·zeli V jest obszarem regularnym, to
�RRRV
1dxdydz = jV j
� je·zeli � (x; y; z) jest g¾estosci ¾a w punkcie (x; y; z) 2 V , to masa V jest równa
m =
ZZZV
� (x; y; z) dxdydz:
De�nicja 1.110 Domkni ¾ety i ograniczony obszar V � R3 nazywamy normalnym wzgl ¾edemp÷aszczyzny OXY , je·zeli
V = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ g (x; y) � z � h (x; y)g;
gdzie D � R2 jest domkni ¾etym obszarem regularnym oraz g; h : D ! R s ¾a funkcjamici ¾ag÷ymi, przy czym
V(x;y)2IntD
g (x; y) < h (x; y).
Twierdzenie 1.111 Je·zeli funkcja f : V ! R jest ci ¾ag÷a na domkni ¾etym obszarze V normalnymwzgl ¾edem p÷aszczyzny OXY , to przy powy·zszych oznaczeniach
ZZZV
f (x; y; z) dxdydz =
ZZD
0B@ h(x;y)Zg(x;y)
f (x; y; z) dz
1CA dxdy:
De�nicja 1.112 Niech F (u; v; w) = (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)), gdzie (u; v; w) 2 i jest zbiorem otwartym. Je·zeli funkcje x; y; z s ¾a ró·zniczkowalne na D, to jakobianem Fnazywamy funkcj ¾e
J (u; v; w) =
������x0u x0v x0wy0u y0v y0wz0u z0v z0w
������ :Przyk÷ad 1.113
23
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� wspó÷rz¾edne walcowe 8<: x = r cos'y = r sin'z = h
wtedy
J (r; '; h) =
������cos' �r sin' 0sin' r cos' 00 0 1
������ = r cos2 '+ r sin2 ' = r;
� wspó÷rz¾edne sferyczne 8<: x = r cos' cos �y = r sin' cos �z = r sin �
wtedy
J (r; '; �) =
������cos' cos � �r sin' cos � �r cos' sin �sin' cos � r cos' cos � �r sin' sin �sin � 0 r cos �
������ = r2 cos �:
Twierdzenie 1.114 (o zamianie zmiennych w ca÷ce potrójnej) Je·zeli
F (u; v; w) = (x (u; v; w; ) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w))
1. przekszta÷ca wzajemnie jednoznacznie wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego �R3 na wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego V � R3
2. funkcje x; y; z s ¾a klasy C1 na
3. f jest ci ¾ag÷a na V
4. jakobian J (u; v; w) 6= 0 dla ka·zdego (u; v; w) 2 Int, toZZZV
f (x; y; z) dxdydz
=
ZZZ
f (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)) � jJ (u; v; w)j dudvdw
2 Równania ró·zniczkowe zwyczajne
2.1 Równania ró·zniczkowe zwyczajne rz ¾edu pierwszegoNiech � R�R� R b¾edzie zbiorem otwartym i F : ! R b¾edzie tak ¾a funkcj ¾a, ·ze pochodnaF wzgl¾edem ostatniej zmiennej nie jest to·zsamosciowo równa zero.
De�nicja 2.1 RównanieF (x; y; y0) = 0; (2.1)
w którym niewiadom ¾a jest pewna funkcja y zmiennej x okreslona na pewnym przedziale ot-wartym I � R, nazywamy równaniem ró·zniczkowym zwyczajnym rz ¾edu pierwszego.
24
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
De�nicja 2.2 Rozwi ¾azaniem szczególnym (ca÷k ¾a szczególn ¾a) równania (2.1) nazy-wamy ka·zd ¾a funkcj ¾e ' : I ! R okreslon ¾a na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie)tak ¾a, ·ze
1. ' jest ró·zniczkowalna na I;
2. f(x; ' (x) ; '0 (x)) : x 2 Ig � ;
3.^x2I
F (x; ' (x) ; '0 (x)) = 0:
Wykres rozwi ¾azania ' nazywamy krzyw ¾a ca÷kow ¾a tego równania.
De�nicja 2.3 Zbiór wszystkich rozwi ¾azan szczególnym równania (2.1) nazywamy rozwi ¾azaniemogólnym (ca÷k ¾a ogóln ¾a) tego równania.
De�nicja 2.4 Niech ' : I ! R oraz : J ! R b ¾ed ¾a rozwi ¾azaniami równania (2.1) takimi,·ze I � J oraz
^x2I
' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed÷u·zeniem rozwi ¾azania '
(' nazywamy zaw ¾e·zeniem ). Je·zeli I 6= J , to nazywamy przed÷u·zeniem w÷asciwym.Rozwi ¾azanie nazywamy globalnym, je·zeli nie istnieje jego w÷asciwe przed÷u·zenie.
De�nicja 2.5 Równanie ró·zniczkowe zapisane w postaci
y0 = f (x; y) ; (2.2)
gdzie f : D ! R, D � R2 jest znan ¾a funkcj ¾a dwóch zmiennych, nazywamy normalnym.Postac (2.2) nazywamy postaci ¾a normaln ¾a równania ró·zniczkowego zwyczajnego rz ¾edu I.
Funkcja ' : I ! R jest wi¾ec rozwi ¾azaniem równania (2.2), gdy
1. ' jest ró·zniczkowalna na I;
2. f(x; ' (x)) : x 2 Ig � D;
3.^x2I
'0 (x) = f (x; ' (x)) :
De�nicja 2.6 Niech (x0; y0) 2 D. Zadanie polegaj ¾ace na znalezieniu rozwi ¾azania szczegól-nego ' równania (2.2) spe÷niaj ¾acego warunek ' (x0) = y0 nazywamy zagadnieniem pocz ¾atkowymlub zagadnieniem Cauchy�ego dla równania (2.2).
Geometrycznie sprowadza si¾e do znalezienia krzywej ca÷kowej równania (2.2) przechodz ¾acejprzez z góry zadany punkt (x0; y0).
De�nicja 2.7 Rozwi ¾azanie szczególne równia (2.1) (lub (2.2)) nazywamy
� regularnym, je·zeli przez ·zaden punkt krzywej ca÷kowej wyznaczonej przez to rozwi ¾azanienie przechodzi ·zadna inna krzywa ca÷kowa tego równania
� osobliwym, je·zeli przez ka·zdy punkt krzywej ca÷kowej wyznaczonej przez to rozwi ¾azanieprzechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca÷kowa
25
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
Twierdzenie 2.8 (Peano) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na obszarze D � R2, to przez ka·zdypunkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca÷kowa równania
y0 = f (x; y) :
Twierdzenie 2.9 (Cauchy�ego) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a i ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a f 0y naobszarze D � R2, to przez ka·zdy punkt tego obszaru przechodzi dok÷adnie jedna krzywaca÷kowa równania y0 = f (x; y).
2.1.1 Równanie o zmiennych rozdzielonych
De�nicja 2.10 Równaniem ró·zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy rów-nanie postaci
y0 = f (x) g (y) ; (2.3)
gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi. Niech D = (a; b)� (c; d) :
Przypadek (i)^
y2(c;d)
g (y) 6= 0:
Twierdzenie 2.11 Ka·zde rozwi ¾azanie ' równania (2.3) w prostok ¾acie D jest okreslonewzorem
' (x) = ��1 (� (x) + C) ; x 2 (�; �) � (a; b) ; (2.4)
gdzie � jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji 1g , � jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f . ��1 oznacza funkcj ¾e
odwrotn ¾a do � oraz C jest tak ¾a sta÷¾a, ·ze^
x2(�;�)
� (x) + C nale·zy do dziedziny funkcji ��1.
W tym przypadku zagadnienie Cauchy�ego y (x0) = y0 ma dok÷adnie jedno rozwi ¾azanie:
y0 = ��1 (� (x0) + C)
i st ¾ad' (x) = ��1 (� (x) + � (y0)� � (x0)) :
Przypadek (ii) Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d).
Za÷ó·zmy, ·ze y1 2 (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y1) = 0. Niech '1 (x) = y1(funkcja sta÷a). ×atwo widac, ·ze jest to rozwi ¾azanie szczególne równania (2.3).Je·zeli y1; :::; yk s ¾a miejscami zerowymi funkcji g, yi 2 (c; d), i = 1; :::; k, to dziel ¾ac zbiór
D na zbiory(a; b)� (c; y1) ; (a; b)� (y1; y2) ; :::; (a; b)� (yk; d)
mo·zemy na ka·zdym z nich znalezc rozwi ¾azanie równania (2.3) wyra·zone wzorem (2.4). Pon-adto funkcje sta÷e 'k (x) = yi, i = 1; :::; k s ¾a rozwi ¾azaniami szczególnymi równania (2.3).
De�nicja 2.12 Niech f : (a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Równanie ró·zniczkowe postaci
y0 = f�yx
�(2.5)
nazywamy równaniem jednorodnym wzgl ¾edem x i y.
26
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
Niech
D1 = f(x; y) : a <y
x< b ^ x > 0g; D2 = f(x; y) : a <
y
x< b ^ x < 0g:
Poszukujemy krzywych ca÷kowych równania (2.5) w zbiorze D = D1 [D2.
Twierdzenie 2.13 Funkcja ' : (�; �)! R jest rozwi ¾azaniem równania (2.5) wtedy i tylkowtedy, gdy u (x) = '(x)
x jest rozwi ¾azaniem równania o zmiennych rozdzielonych
u0 =f (u)� u
x:
2.1.2 Równanie liniowe pierwszego rz ¾edu i równanie Bernoullego
Niech p; q : (a; b)! R b¾ed ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
De�nicja 2.14 Równaniem liniowym pierwszego rz ¾edu nazywmy równanie postaci
y0 + p (x) y = q (x) : (2.6)
Równaniem jednorodnym odpowiadaj ¾acym równaniu (2.6) nazywamy równanie
y0 + p (x) y = 0: (2.7)
Równanie (2.6) nazywamy niejednorodnym.
Twierdzenie 2.15 Zbiór rozwi ¾azan równania jednorodnego (2.7) jest podprzestrzni ¾a lin-iow ¾a o wymiarze jeden przestrzeni C0 ((a; b)) (zbiór funkcji ci ¾ag÷ych na przedziale (a; b)).Je·zeli P : (a; b)! R jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p, to funkcja
�' (x) = e�P (x); x (a; b)
jest baz ¾a tej przestrzeni.
Wniosek 2.16 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania jednorodnego (2.7) jest zbiór funkcji '0 (x) = Ce�P (x),gdzie P jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p i C jest dowoln ¾a sta÷¾a.
Uwaga 2.17 1. Je·zeli '1 i '2 s ¾a rozwi ¾azaniami równania niejednorodnego (2.6), to '1�'2 jest rozwi ¾azaniem równania jednorodnego (2.7).
2. Je·zeli 's jest rozwi ¾azaniem równani niejednorodnego (2.6) i '0 jest rozwi ¾azaniemrównania jednorodnego (2.7), to 's + '0 jest rozwi ¾azniem równania (2.6).
Wniosek 2.18 Rozwi ¾azaniem ogólnym równania liniowego (2.6) jest klasa funkcji
's + '0;
gdzie 's jest ca÷k ¾a szczególn ¾a równania (2.6) i '0 jest ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.7).
Metody poszukiwania ca÷ki szczególnej
27
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� metoda Lagrange�a (uzmienniania/wariacji sta÷ej)Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.7) jest klasa funkcji '0 (x) = e�P (x), gdzie P jest jak ¾akolwiekfunkcj ¾a pierwotn ¾a f-cji p. Poszukujemy ca÷ki szczególnej w postaci
's (x) = C (x) e�P (x) (2.8)
(w miejscu sta÷ej C pojawi÷a si¾e nieznana funkcja zmiennej x). Skoro 's ma byc ca÷k ¾aszczególn ¾a równania niejednorodnego (2.6), to
C 0 (x) = q (x) eP (x)
i st ¾ad
C (x) =
Zq (x) eP (x)dx:
Przyk÷ad.y0 + y cosx = e� sin x:
� metoda przewidywanJe·zeli fukcja p jest sta÷a, p (x) = p 2 R, x 2 (a; b), to rozwi ¾azaniem ogólnym równaniajednorodnego (2.7) s ¾a funkcje postaci '0 (x) = Ce�px; C 2 R. Je·zeli dodatkowofunkcja q jest postaci
q (x) = e�x (Wn (x) cos�x+ Vm (x) sin�x) ;
gdzie
Wn, Vm s ¾a wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m
�; � � pewne sta÷e,
to istnieje rozwi ¾azanie szczególne równania (2.6) postaci
's (x) = xke�x (Rl (x) cos�x+ Sl (x) sin�x) ;
gdzie
Rl, Sl s ¾a wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm;ng
k =
�0; �+ i� 6= �p1; �+ i� = p
:
Twierdzenie 2.19 Je·zeli 'i : (a; b) ! R jest rozwi ¾azaniem równania y0 + p (x) y = qi (x),
i = 1; :::; n, to ' (x) =nPi=1
'i (x) jest rozwi ¾azaniem równania
y0 + p (x) y =
nXi=1
qi (x) :
De�nicja 2.20 Równaniem ró·zniczkowym Bernoullego nazywamy równanie postaci
y0 + p (x) y = q (x) yr; r 6= 0 ^ r 6= 1;
gdzie p; q : (a; b)! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
Równanie Bernoullego mo·zna sprowadzic do równania liniowego za pomoc ¾a podstawienia
u (x) = y1�r (x) :
28
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
2.2 Równania ró·zniczkowe zwyczajne rz ¾edu drugiegoDe�nicja 2.21 Równaniem ró·zniczkowym zwyczajnym rz ¾edu drugiego nazywamy równaniepostaci
F (x; y; y0; y00) = 0; (2.9)
gdzie F : ! R, � R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl ¾edem ostatniej zmiennejnie jest to·zsamosciowo równa zero oraz y jest niewiadom ¾a funkcj ¾a zmiennej x okreslon ¾a napewnym przedziale otwartym.
De�nicja 2.22 Odwzorowanie ' : I ! R nazywamy rozwi ¾azaniem równania (2.9), je·zeli
1. ' jest funkcj ¾a dwukrotanie ró·zniczkowaln ¾a na I;
2.Vx2I
(x; ' (x) ; '0 (x) ; '00 (x)) 2 ;
3.Vx2I
F (x; ' (x) ; '0 (x) ; '00 (x)) = 0:
De�nicja 2.23 Postac równania ró·zniczkowego
y00 = f (x; y; y0) (2.10)
nazywamy postaci ¾a normaln ¾a.
De�nicja 2.24 Zagadnieniem Cauchy�ego (zagadnieniem pocz ¾atkowym) nazwyamy zadaniepolegaj ¾ace na znalezieniu rozwi ¾azania ' równania (2.9) lub (2.10) takiego, ·ze
' (x0) = y0 ^ '0 (x0) = y00:
Równania sprowadzalne do równan pierwszego rz¾edu
� F (x; y0; y00) = 0 � stosujemy podstawienie u (x) = y0 (x)
� F (y; y0; y00) = 0 � stosujemy podstawienie y0 = u (y)
2.2.1 Równanie ró·zniczkowe liniowe rz ¾edu II
Niech p; q; f : (a; b)! R b¾ed ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.
De�nicja 2.25 Równaniem ró·zniczkowym liniowym rz ¾edu II nazywamy równanie postaci
y00 + p (x) y0 + q (x) y = f (x) : (2.11)
Równaniey00 + p (x) y0 + q (x) = 0 (2.12)
nazywamy równaniem jednorodnym odpowiadaj ¾acym równaniu (2.11).
Podobnie jak w przypadku równania liniowego rz¾edu pierwszego wykazuje si¾e, ·ze
� je·zeli '1 i '2 s ¾a rozwi ¾azaniami szczególnymi równania niejednorodnego (2.11), to '1�'2 jest rozwi ¾azaniem równania (2.12);
29
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� je·zeli ' jest rozwi ¾azaniem szczególnym równania (2.12) i jest rozwi ¾azaniem równania(2.11), to '+ jest rozwi ¾azniem równania (2.11).
Wniosek 2.26 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.11) jest rodzina funkcji postaci
'0 + 's;
gdzie '0 oznacza ca÷k ¾e ogóln ¾a równania jednorodnego (2.12) i 's � ca÷k ¾e szczególn ¾a równa-nia niejednorodnego (2.11).
De�nicja 2.27 Mówimy, ·ze funkcje '1; '2 : (a; b)! R s ¾a liniowo zale·zne, je·zeli istniej ¾asta÷e C1; C2 takie, ·ze C21 + C
22 6= 0 oraz C1'1 + C2'2 = 0, tzn.^x2(a;b)
C1'1 (x) + C2'2 (x) = 0:
Mówimy, ·ze '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·zne, gdy nie s ¾a liniowo zale·zne.
Twierdzenie 2.28 Zbiór rozwi ¾azan równania jednorodnego (2.12) jest podprzestrzeni ¾a wymi-aru 2 przestrzeni C ((a; b)). Ka·zd ¾a baz ¾e tej przestrzeni nazywamy uk÷adem podstawowymca÷ek (fundamentalnym uk÷adem rozwi ¾azan). Rozwi ¾azania '1 i '2 tworz ¾a baz ¾e tejprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy s ¾a liniowo niezale·zne. Wtedy ka·zde rozwi ¾azanie ' mo·znazapisac w postaci
' = C1'1 + C2'2;
gdzie C1 i C2 s ¾a jednoznacznie wyznaczonymi sta÷ymi.
Twierdzenie 2.29 Ca÷ki '1 i '2 równania (2.12) s ¾a liniowo niezale·zne wtedy i tylko wtedy,gdy ^
x2(a;b)
W (x) =
���� '1 (x) '2 (x)'01 (x) '02 (x)
���� 6= 0:Wyznacznik W (x) nazywamy wronskianem (wyznacznikiem Wronskiego).
Wniosek 2.30 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.11) jest zbiór funkcji postaci
' (x) = C1'1 (x) + C2'2 (x) + 's (x) ;
gdzie '1 i '2 jest uk÷adem podstawowym ca÷ek równania (2.12), C1; C2 s ¾a dowolnymi sta÷ymioraz 's jest dowoln ¾a ca÷k ¾a szczególn ¾a równania niejednorodnego (2.11).
Twierdzenie 2.31 Je·zeli '1 : (a; b) ! R jest rozwi ¾azaniem równania jednorodnego (2.12)i '1 (x) 6= 0 dla x 2 (a; b), to
'2 (x) = '1 (x)
Z1
'21 (x)e�P (x)dx;
gdzie P (x) jest dowoln ¾a funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p na (a; b), jest rozwi ¾azaniem równaniajednorodnego (2.12), przy czym '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·zne.
Metody poszukiwania ca÷ki szczególnej
30
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
� metoda Lagrange�a (uzmienniania sta÷ych)Za÷ó·zmy, ·ze '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·znymi rozwi ¾azaniami równania jednorodnego(2.12). Poszukujemy rozwi ¾azania szczególnego równania (2.11) w postaci
's (x) = C1 (x)'1 (x) + C2 (x)'2 (x) ;
gdzie C1 i C2 s ¾a pewnymi funkcjami ró·zniczkowalnymi na przedziale (a; b). Te niewiadomefunkcje mo·zna wyznaczyc przez rozwi ¾azanie uk÷adu równan�
C 01 (x)'1 (x) + C02 (x)'2 (x) = 0
C 01 (x)'01 (x) + C
02 (x)'
02 (x) = f (x)
:
Zauwa·zmy, ·ze wyznacznikiem tego liniowego uk÷adu równan jest
W (x) =
���� '1 (x) '2 (x)'01 (x) '02 (x)
���� :� metoda przewidywanZa÷ó·zmy, ·ze funkcje p i q w równaniu (2.11) s ¾a sta÷e; otrzymujemy wtedy
y00 + py0 + qy = 0; p; q 2 R: (2.13)
Równaniem charakterystycznym odpowiadaj ¾acym równaniu (2.13) nazywamy równanie
r2 + pr + q = 0: (2.14)
Niech � = p2 � 4q. Mamy nast¾epuj ¾ace przypadki:
�� > 0 � wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró·zne pierwiastki r1, r2;niech
'1 (x) = er1x; '2 (x) = er2x;
�� = 0 � wtedy równanie (2.14) ma jeden podwójny pierwiastek r0; niech
'1 (x) = er0x; '2 (x) = xer0x;
�� < 0 � wtedy równanie (2.14) ma dwa pierwiastki zespolone sprz¾e·zone r =�� i�, �; � 2 R; niech
'1 (x) = e�x cos�x; '2 (x) = e�x sin�x:
W ka·zdym z tych trzech przypadków funkcje '1 i '2 tworz ¾a fundamentalny uk÷adrozwi ¾azan równania (2.13). Je·zeli w równaniu o sta÷ych wspó÷czynnikach
y00 + py0 + qy = f (x) (2.15)
funkcja f jest postaci
f (x) = e�x (Wn (x) cos�x+ Vn (x) sin�x) ;
gdzie �; � 2 R i Wn, Vm s ¾a wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, toistnieje rozwi ¾azanie szczególne równania (2.15) postaci
's (x) = xke�x (Rl (x) cos�x+ Sl (x) sin�x) ;
gdzieRl, Sl s ¾a wielomianami stopnia l = maxfm;ng oraz k 2 f0; 1; 2g oznacza krotnoscpierwiastka �+ i� równania charakterystycznego r2 + pr + q = 0:
31
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
2.3 Transformata Laplace�aDe�nicja 2.32 Funkcj ¾a zespolon ¾a zmiennej rzeczywistej nazywamy dowolne odwzorowanief : I ! C, gdzie I � R jest przedzia÷em.
Niechu (t) = Re (f (t)) ; v (t) = Im (f (t)) :
Wówczas u; v s ¾a funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej oraz
f (t) = u (t) + iv (t) :
Mówimy, ·ze f jest ci ¾ag÷a (ró·zniczkowalna) w punkcie t0, gdy funkcje u oraz v s ¾a ci ¾ag÷e(ró·zniczkowalne) w t0.
De�nicja 2.33 Funkcj ¾e zespolon ¾a f zmiennej rzeczywistej nazywamy orygina÷em, je·zelif spe÷nia warunki:
1. f i f 0 s ¾a przedzia÷ami ci ¾ag÷e dla t 2 [0;1) (tzn. f i f 0 maj ¾a skonczon ¾a ilosc punktównieci ¾ag÷osci pierwszego rodzaju)
2. f (t) = 0 dla t < 0
3. f jest funkcj ¾a rz ¾edu wyk÷adniczego o wskazniku �0, tzn. istniej ¾a sta÷e M > 0; �0 � 0takie, ·ze ^
t2Rjf (t)j < Me�0t:
De�nicja 2.34 Transformat ¾a (przekszta÷ceniem) Laplace�a nazywamy przekszta÷cenie L,które ka·zdemu orygina÷owi f przyporz ¾adkowuje pewn ¾a funkcj ¾e zespolon ¾a L [f ] zmiennej ze-spolonej i jest okreslone wzorem
L [f ] (s) =
Z 1
0
f (t) e�stdt; s 2 C
Je·zeli f jest orygina÷em o wskazniku wzrostu �0, to powy·zsza ca÷ka jest bezwzgl¾edniezbie·zna w pó÷p÷aszczyznie Re s > �0.
Twierdzenie 2.35 W÷asnosci transformaty Laplace�a.
1. L [a1f1 + a2f2] = a1L [f1] + a2L [f2], gdzie a1; a2 2 C s ¾a dowolnymi sta÷ymi.
2. L [f 0] (s) = sL [f ] (s)� f (0+), gdzie f (0+) = limt!0+
f (t) :
3. L�f (n)
�(s) = snL [f ] (s)� sn�1f (0+)� sn�2f 0 (0+)� :::� f (n�1) (0+) :
4. L [�tf (t)] (s) = L [f ]0(s) :
5. L [f (at)] (s) = 1aL [f ]
�sa
�:
6. L [f (t� a)] (s) = e�asL [f ] (s) ; a > 0:
7. L [e�tf (t)] (s) = L [f ] (s� �) :
32
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
Transformata L [f ] Orygina÷f1s 11s�a eat
ss2+a2 cos at1
s2+a21a sin at
1sn+1
tn
n! ; n 2 N1
(s�a)2+b21b eat sin bt
Transformata L [f ] Orygina÷fs�a
(s�a)2+b2 eat cos bt1
(s�a)n+1 eat tn
n! ; n 2 N1
s2�a21a sinh at
ss2�a2 cosh at2as
(s2+a2)2t sin at
s2�a2(s2+a2)2
t cos at
Przyk÷ad 2.36 Wyznaczyc transformat¾e Laplace�a funkcji
� f (t) = e2t � e�t
L�e2t � e�t
�= L
�e2t � 1
�� L
�e�t � 1
�= L [1] (s� 2)� L [1] (s+ 1)
=1
s� 2 �1
s+ 1
� f (t) = 1� e3t + cos t
L�1� e3t + cos t
�= L [1]� L
�e3t � 1
�+ L [cos t]
=1
s� 1
s� 3 +s
s2 + 1
� f (t) = 12 (sin t+ t cos t)
L [f ] =1
2(L [sin t] + L [t cos t])
=1
2
1
s2 + 1+
s2 � 1(s2 + 1)
2
!=1
2
s2 + 1 + s2 � 1(s2 + 1)
2 =s2
(s2 + 1)2
Przyk÷ad 2.37 Wyznaczyc orygina÷
1. � (s) = 1(s�1)(s�2)(s+3)
Rozk÷adamy � (s) na u÷amki proste
1
(s� 1) (s� 2) (s+ 3) =1
5 (s� 2) �1
4 (s� 1) +1
20 (s+ 3)
i st ¾ad orygina÷em jest
f (t) = L�1 [�] = L�1�
1
5 (s� 2) �1
4 (s� 1) +1
20 (s+ 3)
�=
1
5e2t � 1
4et +
1
20e�3t:
2. � (s) = 1(s2+4)s
1
(s2 + 4) s=1
4s� 14
s
s2 + 4
33
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
i st ¾ad
f (t) = L�1 [�] = L�1�1
4s� 14
s
s2 + 4
�=
1
4L�1
�1
s
�� 14L�1
�s
s2 + 4
�=
1
4� 14cos 2t:
3. � (s) = s+1(s�1)2+3
f (t) = L�1 [�] = L�1
"s+ 1
(s� 1)2 + 3
#
= L�1
"s� 1
(s� 1)2 + 3+
2
(s� 1)2 + 3
#
= L�1
"s� 1
(s� 1)2 + 3
#+ 2L�1
"1
(s� 1)2 + 3
#= et cos
p3t+ 2et sin
p3t:
De�nicja 2.38 Równaniem ró·zniczkowym liniowym stopnia n o sta÷ych wspó÷czynnikachnazywamy równanie postaci
y(n) + pn�1y(n�1) + :::+ p1y
0 + p0y = f (t) ; (2.16)
gdzie f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na pewnym przedziale otwartym, pi 2 R, i = 0; :::; n� 1.
Zak÷adamy dalej, ·ze funkcja f oraz szukane rozwi ¾azanie y wraz z pochodnymi do rz¾edun s ¾a orygina÷ami. Poszukujemy takiego rozwi ¾azania szczególnego y, które spe÷nia warunkipocz ¾atkowe
y (0) = y0; y0 (0) = y1; :::y(n�1) (0) = yn�1:
W celu wyznaczenia rozwi ¾azania równania (2.16) przyk÷adamy stronami transformat¾e Laplace�a.
Przyk÷ad 2.39 Rozwi ¾azac równanie
y00 � 2y0 + y = t2et; y0 (0) = y (0) = 0:
Przyk÷admy stronami transformat¾e Laplace�a
L [y00 � 2y0 + y] = L�t2et
�czyli
L [y00]� 2L [y0] + L [y] = L�t2et
�:
Korzystaj ¾ac z odpowiednich w÷asnosci transformaty obliczamy
L [y00] = s2L [y]� sy�0+�� y0
�0+�= s2L [y]
L [y0] = sL [y]� y�0+�= sL [y]
L�t2et
�= 2L
�t2
2!et�=
2
(s� 1)3:
34
2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE
St ¾ad otrzymujemy
s2L [y]� 2sL [y] + L [y] = 2
(s� 1)3
L [y]�s2 � 2s+ 1
�=
2
(s� 1)3
L [y] (s� 1)2 = 2
(s� 1)3
L [y] =2
(s� 1)5:
Ostatecznie
y (t) = L�1
"2
(s� 1)5
#=2
4!ett4 =
1
12t4et:
Przyk÷ad 2.40 Rozwi ¾azac równanie
y000 + y0 = e2t y (0) = y0 (0) = y00 (0) = 0:
L [y000 + y0] = L�e2t�
s3L [y]� s2y�0+�� sy0
�0+�� y00
�0+�+ sL [y]� y
�0+�=
1
s� 2
s3L [y] + sL [y] =1
s� 2
L [y] s�s2 + 1
�=
1
s� 2
L [y] =1
(s� 2) s (s2 + 1) :
Wyznaczymy orygina÷funkcji � (s) = 1(s�2)s(s2+1) . Rozk÷adaj ¾ac na u÷amki proste mamy
1
(s� 2) s (s2 + 1) =1
10 (s� 2) �1
2s+
2s
5 (s2 + 1)� 1
5 (s2 + 1)
i st ¾ad
y (t) = L�1�
1
(s� 2) s (s2 + 1)
�= L�1
�1
10 (s� 2) �1
2s+
2s
5 (s2 + 1)� 1
5 (s2 + 1)
�=
1
10e2t � 1
2+2
5cos t� 1
5sin t:
35