Post on 03-Jul-2015
BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK
Metoda indeksowa
Uwagi ogólne
W trakcie analizy procesów i zjawisk masowych, badacz bardzo często zmuszony
jest do korzystania, obok liczb absolutnych, z liczb względnych zwanych też
stosunkowymi.
Liczba względna powstaje w wyniku porównania ze sobą dwóch liczb (wielkości)
absolutnych. Liczba względna w zależności od tego, jakie liczby absolutne
porównujemy, może być liczbą mianowaną lub niemianowaną.
Przyjmując za kryterium treść liczby względnej, wyróżniamy:
1) Współczynniki natężenia - są to liczby względne uzyskane w wyniku porównania
dwóch różnoimiennych wielkości absolutnych pozostających ze sobą w związku
logicznym. Przykładami mogą być:
miernik ogólnego zadłużenia,
płynność finansową,
współczynnik rentowności sprzedaży, współczynnik rentowności aktywów
2) Wskaźnik struktury - jest to stosunek części danej zbiorowości do całości tej
zbiorowości. Stanowi on relację liczby jednostek danej zbiorowości, posiadających
wyróżnioną kategorię cechy do ogólnej liczby jednostek danej zbiorowości.
Może być wyrażony w postaci niemianowanej lub w procentach. Stosujemy
go w opisie wewnętrznej morfologii badanej zbiorowości, prowadząc analizę
porównawczą w ujęciu tak statycznym jak i dynamicznym.
3) Wskaźnik dynamiki - jest to liczba względna, którą uzyskujemy w wyniku
porównania tego samego zjawiska w kolejnych momentach lub okresach czasu.
W zależności od tego, czy porównanie dotyczy stałego bądź zmiennego punktu
odniesienia, mówimy o:
a) wskaźnikach o podstawie stałej,
b) wskaźnikach o podstawie zmiennej.
W zależności od tego natomiast jakie zjawiska są przedmiotem badania dynamiki
wyróżnia się z reguły:
indeksy indywidualne,
indeksy agregatowe.
1
Wskaźniki dynamiki są specyficznymi liczbami względnymi, w tym sensie, że mają
bezpośrednie zastosowanie do badania zmian w czasie jakim podlegają rozpatrywane
zjawiska. Tą specyfiką nie charakteryzują się ani wskaźniki struktury ani też
współczynniki natężenia.
Indeksy indywidualne
Indeksy indywidualne mają zastosowanie wtedy, kiedy przedmiotem analizy są
zjawiska, które z punktu widzenia celu badania traktowane są jako pewna jednolita
całość. Zjawiska te występują wtedy w postaci pojedynczych szeregów czasowych.
Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wielkości statystycznych uporządkowanych wg
kryterium następstwa czasowego.
Jeśli wielkości statystyczne ujęte w szeregu czasowym dotyczą zjawisk ekonomicznych,
mówimy o tzw. ekonomicznym szeregu czasowym.
Wyróżnia się indeksy indywidualne:
jednopodstawowe (o podstawie stałej) − obliczamy je korzystając ze wzoru:
iY
Yttt
00
100 ; t=1, 2, ..., n
gdzie:
− poziom zjawiska w okresie badanym t,
− poziom zjawiska w okresie podstawowym 0.
Warto przy tym zauważyć, że indeksy te powiązane są ściśle z jednopodstawowym
przyrostem względnym. Mamy bowiem :
PY Y
Y
Y
Yit
t tt/ /0
0
0 001 1
Indeksy jednopodstawowe dają nam odpowiedź na dwa pytania:
1. O ile % poziom zjawiska w okresie t wzrósł bądź spadł w stosunku do okresu
podstawowego ( bazowego)?
2. Jaki jest trend rozwojowy zjawiska w analizowanym przedziale czasowym?
2
Podstawowym problemem metodologicznym w procesie konstrukcji indeksów
jednopodstawowych jest wybór podstawy odniesienia. Wydaje się, że trzeba tu wziąć
pod uwagę następujące przesłanki:
a) Podstawa nie powinna odnosić się do okresów, w których badane zjawisko osiąga
bardzo mały bądź bardzo duży poziom.
b) Podstawa odniesienia nie powinna być zbyt odległa w czasie. Dotyczy to
szczególnie porównań długookresowych.
c) Gdy mamy trudności z jednoznacznym wyborem podstawy odniesienia, to
wybieramy przynajmniej 2 lub 3 podstawy.
d) Z przyjętej podstawy odniesienia należy się „wylegitymować”, tj. należy ją
uzasadnić.
Łańcuchowe (o podstawie ruchomej) − obliczamy je z kolei korzystając ze wzoru:
iY
Yt tt
t/
1
1
100 ; t = 2, 3, 4,..., n
gdzie:
− poziom zjawiska w okresie poprzedzającym okres badany t.
Biorąc pod uwagę, że łańcuchowy przyrost względny dany jest relacją:
PY Y
Yit t
t t
tt t/ /
1
1
11 1 ; mamy, że:
i Pt t t t/ / 1 1 1
Oznacza to, że indeks łańcuchowy jest sumą jedności i łańcuchowego przyrostu
względnego. Indeks łańcuchowy pozwala nam znaleźć odpowiedź na następujące
pytania:
1. O ile % wzrósł bądź spadł poziom zjawiska w okresie badanym t w stosunku do
okresu t-1?
2. W jakim tempie z okresu na okres rozwijało się zjawisko w analizowanym
przedziale czasowym?
Znajomość indeksów łańcuchowych dla t = 2, 3, ..., n pozwala na obliczenie tzw.
średniookresowego tempa zmian. Wykorzystujemy wtedy relację:
3
S it t t t/ / 1 1 1; lub
S it t t t/ / 10
0 10
0 100
gdzie:
− średni indeks łańcuchowy, przy czym:
i i i it t n nn
/ / /... 1 2/1 3 2 1
1
gdzie:
− indeksy łańcuchowe ( t = 2, 3, ..., n),
n = liczba okresów badanych.
Warto zauważyć, że wzór nr 1 można zapisać w postaci:
iY
Yit t
nn nn
/ / 11
1 11
gdzie:
− poziom zjawiska w ostatnim okresie badanym,
− poziom zjawiska w pierwszym okresie badanym,
− indeks jednopodstawowy, utworzony poprzez porównanie poziomu zjawiska w
okresie n z poziomem zjawiska w okresie początkowym.
Średniookresowe tempo zmian ( wyrażone w %) określa, jaki jest przeciętny
okresowy przyrost procentowy analizowanego zjawiska w badanym przedziale
czasowym.
Obliczone można wykorzystać w celach prognostycznych. Zakładając, że w
okresie prognostycznym zjawisko badane będzie rozwijać się w tempie
dotychczasowym (czyli, że zasada dynamicznego status quo będzie zachowana) oraz
znając , mamy, że:
gdzie:
T − numer okresu prognozowanego.
Przeprowadzenie szacunku zmiennej Y przy wykorzystaniu powyższej reguły
wymaga jednak, by rozwój dotychczasowy tej zmiennej był jednokierunkowy i by nie
podlegał zbyt dużej zmienności. Stosując tą regułę, nie możemy też ustalić błędu
prognozy.
4
Kolejne zagadnienie, które wiąże się z indeksami indywidualnymi to zamiana
podstaw indeksów. Z problemem tym możemy się spotkać korzystając z danych
publikowanych przez GUS w różnego rodzaju rocznikach. Wiele informacji podanych
jest tam właśnie w postaci indeksów dynamiki (wskaźników dynamiki), nie zawsze
takich, jakie potrzebne są nam do analizy. Wyróżnić tu można trzy sytuacje:
zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe,
zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe,
zamiana indeksów jednopodstawowych o podstawie K na indeksy jedno-
podstawowe o podstawie M.
1. Zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe:
Lata Indeks (2000 = 100)
Indeks(rok poprzedni = 100)
20022003200420052006
95 105 110 115 125
.(105/95)100 = 110,53(110/105)100 = 104,76(115/110)100 = 104,55(125/115)100 = 108,70
2. Zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe:
t < t0 :
t > t0 :
gdzie: symbol s oznacza indeks o stałej podstawie, natomiast z o zmiennej
podstawie
Przyjęto t0 = 2003:
Lata Indeksy(rok poprzedni = 1)
Indeksy(2003 = 1)
20012002
.0,80
(1,111 / 0,80) = 1,389(1,00 / 0,90) = 1,111
2003 0,90 1,002004 1,10
5
20052006
1,051,20
3. Zamiana indeksów jednopodstawowych o podstawie „K” na indeksy jedno-
podstawowe o podstawie „M”:
Lata Indeks(1999 = 100)
Indeks(2006 = 100)
20022003200420052006
114,0120,5125,0120,0115,0
(114,0 / 115,0)100 = 99,1(120,5 / 115,0)100 = 104,8(125,0 / 115,0)100 = 108,7(120,0 / 115,0)100 = 104,3(115,0 / 115,0)100 = 100,0
Przykłady
Zadanie 1.
Liczba bezrobotnych zarejestrowanych w Polsce w latach 2000–2006 (w tys.)
przedstawiała się następująco:
Lata 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Liczbabezrobotnych
2703 3115 3217 3176 3000 2773 2309
6
a) Scharakteryzuj dynamikę bezrobocia w Polsce w badanym okresie używając w tym
celu indeksów jednopodstawowych 2000 = 100.
b) Jak zmieniała się liczba bezrobotnych w Polsce w badanych latach z roku na rok?
Rozwiązanie:
Tabela robocza:
Lata Liczbabezrobotnych
Indeksy(2000 = 100)
Indeksy (rok poprzedni = 100)
2000200120022003200420052006
2703311532173176300027732309
100(3115 / 2703)100 = 115,2(3217 / 2703)100 = 119,0(3176 / 2703)100 = 117,5(3000 / 2703)100 = 111,0(2773 / 2703)100 = 102,6(2309 / 2703)100 = 85,4
.(3115 / 2703)100 = 115,2(3217 / 3115)100 = 103,3(3176 / 3217)100 = 98,7(3000 / 3176)100 = 94,5(2773 / 3000)100 = 92,4(2309 / 2773)100 = 83,3
ad a) W kolejnych latach, do roku 2005, liczba bezrobotnych była większa niż w roku
2000. Natomiast w roku 2006 było ich już o 14,6 % mniej niż w roku
wyjściowym. Najwięcej bezrobotnych w porównaniu z rokiem 2000 było w roku
2002 i było to o 19 % więcej.
ad b) W całym badanym okresie nie było jednej tendencji zmian bezrobocia. W latach
2000−2002 liczba bezrobotnych z roku na rok rosła. Najsilniejszy roczny przyrost
bezrobocia miał miejsce w 2001 roku i wyniósł 15,2 % w stosunku do roku 2000.
W latach 2003–2006 bezrobocie z roku na rok spadało, najsilniej w 2006 roku –
o 16,7% w stosunku do roku 2005.
Zadanie 2.
Dynamikę liczby rozwodów w Polsce w latach 2000−2006 przedstawia następujący
szereg indeksów:
Lata Indeksy 2000=100
2000 100,02001 105,82002 106,1
7
2003 113,62004 131,52005 157,92006 167,5
a) Jak zmieniała się liczba rozwodów w Polsce w badanym okresie z roku na rok?
b) Oblicz średnio-roczne tempo zmian liczby rozwodów w Polsce w tym okresie.
c) Jakiej liczby rozwodów można oczekiwać w 2008 r., jeżeli w 2006 r. było ich
w Polsce 71,7 tys.?
Rozwiązanie:
ad a) Odpowiedzi na to pytanie można udzielić po obliczeniu indeksów łańcuchowych:
Lata Indeksy2000 = 100
Indeksyrok poprzedni = 100
2000200120022003200420052006
100105,8106,1113,6131,5157,9167,5
.(105,8 / 100,0)100 = 105,8(106,1 / 105,8)100 = 100,3(113,6 / 106,1)100 = 107,1(131,5 / 113,6)100 = 115,8(157,9 / 131,5)100 = 120,1(167,5 / 157,9)100 = 106,1
Obliczone indeksy łańcuchowe wskazują na stały przyrost liczby rozwodów w Polsce
w badanych latach. Największy roczny przyrost liczby rozwodów w Polsce miał
miejsce w 2005r. i wyniósł 20,1 % w stosunku do roku 2004. Natomiast najmniejszy
przyrost był w 2002 r. Liczba rozwodów wzrosła wówczas w stosunku do roku 2001
tylko o 0,3 %.
ad b) Obliczamy średnio-roczne tempo wzrostu liczby rozwodów:
S it t t t/ / 10
0 10
0 100
i i i it t n nn
/ / /... 1 2/1 3 2 1
1
W latach 2000 – 2006 liczba rozwodów w Polsce wzrastała średnio-rocznie o 9,0 %.
ad c) Wykorzystujemy wcześniej podany wzór:
Yn = 71,7 T = 9 n = 7
Jeżeli tempo wzrostu liczby rozwodów z lat 2000 – 2006 utrzyma się nadal, to w roku
2008 powinno ich być w Polsce 85,2 tys.
8
Zadanie 3.
Dynamikę liczby studentów w Polsce w latach 2000–2006 przedstawia następujący
szereg indeksów:
Lata 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006Indeksyrok poprzedni = 100
. 108,45 104,77 103,22 103,60 101,45 101,18
a) Oblicz średnio-roczne tempo wzrostu liczby studentów w Polsce w badanym
okresie.
b) Oszacuj przypuszczalną liczbę studentów w Polsce w 2008 r., wiedząc, że w 2006
było ich 1977 tys.
c) O ile procent wzrosła liczba studentów w 2006 r. w stosunku do 2002 r. ?
Rozwiązanie:
ad a) Obliczamy średnio-roczne tempo
S it t t t/ / 10
0 10
0 100
i i i it t n nn
/ / /... 1 2/1 3 2 1
1
W latach 2000 – 2006 liczba studentów w Polsce rosła przeciętnie rocznie o 3,75 %.
ad b) Wykorzystujemy wzór:
Jeżeli tempo wzrostu liczby studentów w Polsce z lat 2000–2006 utrzyma się nadal to
liczba studentów w 2008 roku powinna wynieść około 2128 tys. Można jednak
podejrzewać, że jest to liczba zawyżona, gdyż w dwóch ostatnich latach roczne
przyrosty liczby studentów były zdecydowanie niższe.
ad c) Należy zamienić podane indeksy łańcuchowe na indeksy jednopodstawowe
2002=100 (obliczenia w tabeli):
Lata Indeksyrok poprzedni = 100
Indeksy2002 = 100
2000 .
9
200120022003200420052006
108,45104,77103,22103,60101,45101,18
100(100,00 x 103,22)/100 = 103,22(103,22 x 103,60)/100 = 106,94(106,94 x 101,45)/100 = 108,49(108,49 x 101,18)/100 = 109,77
Liczba studentów w 2006 roku wzrosła w stosunku do roku 2002 o 9,77 %.
Indeksy agregatowe
Indeksy agregatowe – mają zastosowanie w przypadku badania dynamiki
zespołów zjawisk tworzących tzw. agregaty. Zjawiska cząstkowe wchodzące w skład
danego agregatu są nieporównywalne, stąd należy znaleźć wspólny dla nich punkt
odniesienia ( wspólny mianownik ). Jest nim pieniądz.
W związku z powyższym, podstawową konstrukcją agregatowego indeksu jest indeks
wartości. Obliczamy go wg wzoru:
gdzie:
10
, - cena jednostkowa zjawiska cząstkowego wchodzącego w skład danego
agregatu w okresie podstawowym 0 i badanym t.
, - fizyczne rozmiary (wolumen, ilość ) zjawiska cząstkowego wchodzącego w
skład danego agregatu w okresie podstawowym 0 i badanym t .
Indeks ten (wyrażony w %) wskazuje o ile % wartość agregatu w okresie
badanym wzrosła bądź spadła w stosunku do okresu podstawowego.
Łatwo więc zauważyć, że indeks wartości ma ograniczone możliwości poznawcze, stąd
stosowany jest jako wskaźnik podstawowy, służący jako punkt wyjścia do dalszych
przeszacowań. Dotyczy to konieczności badania wpływu na dynamikę wartości
agregatu dynamiki cen i dynamiki ilości.
W tym celu tworzymy agregatowe indeksy cen i ilości. Do ich konstrukcji
posługujemy się zasadą naukowego (świadomego) abstrahowania, która polega na tym,
że chcąc określić zmiany w cenach przyjmujemy ilości za stałe (niezmienne)
i odwrotnie. Oznacza to, że chcąc uchwycić dynamikę cen standaryzujemy ilości, chcąc
zaś zbadać dynamikę ilości standaryzujemy ceny.
Standaryzacja może przy tym być prowadzona na różnych poziomach. W szczególności
odbywa się ona na poziomie:
okresu podstawowego,
okresu badanego.
W pierwszym przypadku mówimy o indeksach wg formuły Laspeyresa, w drugim
zaś Paaschego.
Konstrukcja indeksów agregatowych cen i ilości wg powyższych formuł jest
następująca:
1. indeksy wg formuły Paaschego
Iq p
q ppP t t
t
0
; Iq p
q pqP t t
t
0
2. indeksy wg formuły Laspeyresa
Iq p
q pqL t
0
0 0 ; I
q p
q ppL t
0
0 0
Obliczone w podany wyżej sposób indeksy agregatowe mają swoją interpretację
poznawczą, tak np.:
agregatowy indeks cen Paaschego (wyrażony w %) wskazuje o ile % ceny danego
agregatu, w okresie badanym wzrosły bądź spadły w stosunku do okresu
11
podstawowego, przy ceteris paribus fizycznych rozmiarów tego agregatu na
poziomie okresu badanego.
Analogicznie interpretujemy z tym, że wtedy ilości są takie jak w okresie
podstawowym.
agregatowy indeks ilości Laspeyresa określa natomiast o ile % fizyczne rozmiary
agregatu wzrosły bądź spadły w okresie badanym, w stosunku do okresu
podstawowego, przy założeniu stałości cen na poziomie okresu podstawowego.
Podobnie interpretujemy IqP , wtedy jednak zakładamy niezmienność cen na
poziomie okresu badanego.
Warto dalej zauważyć, że pomiędzy indeksem wartości oraz indeksami cen i ilości
zachodzą następujące powiązania:
I I Iw qL
pP
I I Iw qP
pL
Jest to tzw. podwójna równość indeksowa.
Szacowanie agregatowych indeksów cen i ilości w ich klasycznej postaci wymaga
określonej struktury danych. Musimy mianowicie mieć dane empiryczne dotyczące cen
i ilości wszystkich zjawisk cząstkowych składających się na dany agregat.
Nie zawsze taka struktura informacji jest możliwa do uzyskania. Stąd konieczne staje
się korzystanie z nieklasycznych postaci agregatowych indeksów cen i ilości.
Szczególnie przydatne spośród tych postaci są:
Postać średnio-arytmetyczna, którą wykorzystujemy, gdy posiadamy informacje
o wartościach zjawisk cząstkowych wchodzących w skład danego agregatu
w okresie podstawowym oraz indywidualne indeksy cen bądź indywidualne indeksy
ilości:
Iq p i
q ppL p
0 0
0 0 ; i
P
ppt0
Iq p i
q pqL q
0 0
0 0 ; i
q
qqt0
Postać średnio-harmoniczna, którą stosujemy, gdy posiadamy informacje o war-
tościach zjawisk cząstkowych w okresie badanym oraz informacje o indywidu-
alnych indeksach cen bądź ilości.
12
Iq p
q p
i
pP t t
t t
p
; ip
ppt0
Iq p
q p
i
qP t t
t t
q
; iq
qqt0
Interpretacja indeksów obliczanych wg tych postaci jest taka sama jak indeksów
w wersji klasycznej.
Warto ponadto zwrócić uwagę na fakt, że o ile w indeksach obliczonych wg wersji
klasycznej wagami są odpowiednio ceny bądź ilości w okresie badanym lub
podstawowym, to w przypadku obliczania indeksów o postaci średnio-harmonicznej
i średnio-arytmetycznej wagami są wartości z okresu badanego bądź podstawowego
Przykłady
Zadanie 1.
Pewien zakład produkujący zabawki drewniane podał następujące informacje o rozmia-
rach produkcji i cenach jednostkowych trzech rodzajów zabawek produkowanych
w I-ym i II-im półroczu 2006 r.
ZabawkaJednostka
miaryRozmiary produkcji
(tys. jednostek)Cena jednostkowa ( zł.)
I półrocze II półrocze I półrocze II półroczesamochódklockimebelki
sztukapudełkokomplet
3,52,11,2
4,12,01,2
301525
332028
Scharakteryzuj dynamikę wartości, ilości i cen zabawek produkowanych przez ten
zakład w drugim półroczu w porównaniu z półroczem pierwszym.
Rozwiązanie:
13
Oznaczamy ilości i ceny odpowiednimi symbolami i wykonujemy potrzebne
obliczenia:
Zabawka Rozmiary produkcji
Cena (zł) q0p0 qtpt qtp0 q0pt
q0 qt p0 pt
samochódklockimebelki
3,52,11,2
4,12,01,2
301525
332028
105,0 31,5 30,0
135,3 40,0 33,6
123,0 30,0 30,0
115,5 42,0 33,6
X X X X 166,5 208,9 183,0 191,1 Liczymy indeks wartości:
Indeks wartości w procentach: 125,5 %.
Wartościowo produkcja wymienionych zabawek wzrosła w drugim półroczu 2006 r.
w stosunku do pierwszego półrocza o 25,5 %.
Liczymy agregatowe indeksy cen:
- Paaschego:
- Laspeyresa:
Jeżeli przyjąć jako stałe ilości produkcji z drugiego półrocza to ceny zabawek wzrosły
w drugim półroczu w stosunku do pierwszego przeciętnie o 14,2 %.
Jeżeli natomiast przyjmiemy za stałe ilości produkcji z pierwszego półrocza to
przeciętny wzrost cen wyniósł 14,8 %.
Liczymy indeksy ilości:
- Paaschego:
- Laspeyresa:
Przy założeniu stałych cen z drugiego półrocza produkcja ilościowo wzrosła o 9,3 %
w stosunku do półrocza pierwszego. Jeżeli natomiast jako stałe przyjmiemy ceny
z pierwszego półrocza to wówczas wzrost ilości produkcji wynosi 9,9 %.
Zadanie 2.
14
Uzyskano następujące informacje o wartości sprzedaży czterech artykułów
budowlanych przez pewną firmę w 2005 i 2006 r., oraz o zmianach cen tych artykułów
w 2006 r.
Artykuły Wartość sprzedaży (tys. zł.) Zmiana cen1.01.2006 r.2005 r. 2006 r.
ABCD
50 110 80 65
65 120 85 75
- 5,0 %+ 2,5 %- 1,5 %+ 6,5 %
Scharakteryzuj dynamikę wartości, ilości i cen sprzedaży tych artykułów w 2006 roku
w porównaniu z 2005 r.
Rozwiązanie:
Liczymy indeks wartości:
Wartość sprzedaży analizowanych czterech artykułów wzrosła w 2006 r. w stosunku do
2005 r. o 13,1 %.
Informacje o zmianie cen wykorzystujemy do ustalenia indywidualnych
indeksów cen poszczególnych artykułów, a następnie liczymy średnio-
harmoniczną postać indeksu cen Paaschego (potrzebne obliczenia w tabeli):
Artykuł Wartość sprzedaży (tys.zł) Zmiana cen1.01.2006 r. ip
(%)2005 r. 2006 r.
ABCD
50 110 80 65
65 120 85 75
-5,0+2,5-1,5+6,5
95,0 102,5 98,5 106,5
68,42 117,07 86,29 70,42
305 345 X X 342,20
Indeks ten informuje nas, że jeżeli jako stałe przyjmiemy ilości sprzedaży z 2006 r, to
można powiedzieć, że ceny wzrosły przeciętnie o 0,8 % w 2006r. w porównaniu
z rokiem.
Wykorzystując równość indeksową liczymy agregatowy indeks ilości Laspeyresa:
15
Mamy: stąd:
Z tego wynika, że ilościowo sprzedaż tych artykułów wzrosła w 2006 r. w stosunku do
2005 r. przeciętnie o 12,2 % (przy założeniu stałych cen z 2005 r.).
16