Post on 28-Jul-2020
บทท 4 ล าดบและอนกรม
(Sequences and Series)
4.1 ล าดบอนนต � ล าดบลเขา, ล าดบลออก, ล าดบทางเดยว, ล าดบมขอบเขต
4.2 อนกรมอนนต � อนกรมลเขา-ลออก, การทดสอบการลออก, อนกรมเรขาคณต 4.3 การทดสอบการลเขา-ลออกของอนกรม 4.3.1 การทดสอบแบบปรพนธ 4.3.2 การทดสอบแบบเปรยบเทยบและเปรยบเทยบลมต 4.3.3 การทดสอบแบบอตราสวน 4.3.4 การทดสอบแบบถอดรากท n 4.4 อนกรมสลบ
4.6 อนกรมก าลง � หารศมการลเขา 4.7 อนพนธและปรพนธของอนกรมก าลง 4.8 อนกรมเทยเลอร � เปนตวแทนของฟงกชน
4.1 ล าดบอนนต
บทนยาม 4.1.1 ให A �z เราจะเรยกฟงกชน f วาเปนล าดบอนนต (Infinite series) ในเซต A หรอ เรยกสน ๆ วา ล าดบ กตอเมอ
f : A� o โดยท n f(n) f (n) � “พจนท n ของล าดบ f ” ถา f (n)� � f เปนล าดบของจ านวนจรง ถา f (n)� � f เปนล าดบของจ านวนเชงซอน
ให f เปนล าดบของจ านวนจรง เราเขยน f เปนเซตของคอนดบดงน f { (n, f (n)) : n 1, 2, 3, }
และเขยนแทนล าดบ f ในรป
n n 1 n 1 2 3f {a } {a } a , a , a , f
เชน n 1 2 3{2 } 2 ,2 ,2 , 2,4,8,
n n i i{a } {b } a b , i � � ��
โดยทวไปเรามกจะนยามล าดบโดยการบอกพจนท n ของล าดบ
ตวอยาง 4.1.1 (หนา 202)
1. ^ `n 2
1{a } 2 ............................
n �
2. n{a } n{ ( 1) } ...................................�
3. n
n( 1)
{a } ................................n
½� ® ¾¯ ¿
4. n{a } ^ `nnsin ........................................
2
S§ · ¨ ¸© ¹
4.1.1 ลมตของล าดบ
บทนยาม 4.1.2 ให n{a } เปนล าดบและ L�
เรยก L วาลมตของล าดบ n{a } � 0�H! , N� � ซง
na L� � H ส าหรบ n : n N� !
เขยนแทนดวย nnlim a Lof
ถาไมม L� ทท าให nnlim a Lof
แลวล าดบ n{a } ไมมลมตหรอ
ลมตของล าดบ n{a } หาคาไมได
บทนยาม 4.1.3 ¾ n{a } เปนล าดบลเขา (Converge sequence)
� L� � , nnlim a Lof
และกลาววา n{a } ลเขาสคา L ¾ n{a } เปนล าดบลออก (Diverge sequence)
� n{a } ไมมลมตหรอลมตของล าดบ n{a }หาคาไมได
หมายเหต 4.1.3 � ถา n{a } เปนล าดบทมคาบวก และเพมขนไปเรอยๆ เมอ nof
แสดงวา n{a } ไมมลมต เขยนแทนดวย nnlim aof
�f
� ถา n{a } เปนล าดบทมคาลบและลดลงไปเรอยๆ เมอ nof
แสดงวา n{a } ไมมลมต เขยนแทนดวย nnlim aof
�f
ตวอยาง ก าหนดให k เปนคาคงตวใด ๆ พจารณาล าดบ ^ `k เมอ nof แลว ok k เขยนแทนดวย
of
nlim k k
วธท า
ตวอยาง พจารณาล าดบ ^ `1n เมอ nof แลว 1
0no เขยนแทนดวย
n
1lim 0
nof
วธท า
4.1.2 ทฤษฎบททเกยวกบลมตของล าดบ
ทฤษฎบท 4.1.1 ถา n 1nlim a Lof
และ n 2nlim a Lof
แลว 1 2L L
ทฤษฎบท 4.1.2 (หนา 205) ก าหนดให n{a } และ n{b } เปนล าดบลเขาและให c เปนคาคงตว โดยท n
nlim a Aof
และ nnlim b Bof
จะไดวา
1. nlim c cof
2. n nn nlim ca c lim a cAof of
�
3. n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A Bof of of
r r r
4. � � � �n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A Bof of of
� � �
5. n
nn
n n nn
lim aa A
lim ,b lim b B
ofof
of
§ · ¨ ¸
© ¹ เมอ B 0z และ nb 0z ทกคา n
6. � �cn nn n
c clim a lim a Aof of
7. n
nlim a
n
a Anlim c c cof
of 8.
1
n
nlim c 1of
ถา c 0!
9. n
nlim c 0of
ถา c 1�
10. n
nlim cof
fถา c 1!
ตวอยาง จงหาลมตของล าดบตอไปน (ถาม)
1. of
�2
n
1lim
n
2. of
�n
n 1lim
n
3. of
��
5
7n
n 5nlim
n 1
4. of
��
9
9n
3 8nlim
n 13n
5. of
� ��
8 4
6 2n
n n 1lim
n n
6. of
� � � �� � � �
n n n
n n nn
2 10 5 9 3lim
7 2 5 10 1
7. � �
�of
��
n 2 n 2
n 1 nn
7 4lim
7 3
วธท า
ทฤษฎบท 4.1.3 [ฟงกชนตอเนองส าหรบล าดบ] ก าหนดให n{a } เปนล าดบของจ านวนจรง ถา n
nlim a Lof
และ f เปนฟงกชนตอเนองทจด L ซงนยามททกคา na
แลว � �n nn nlim f (a ) f lim a f (L)of of
ตวอยาง 4.1.4 (หนา 205; ฝาก) จงแสดงวา n
n 1lim 1
nof
�
วธท า
ตวอยาง จงหาคาของ �
of
n 1n
nlim e
วธท า
*ทฤษฎบท 4.1.4 ถา x
lim f (x) Lo�f
และ na f(n), n 1,2,3,
แลว nnlim a Lof
ตวอยาง 4.1.7 (หนา 206; ฝาก) จงหาคาของ n
n
2lim
5nof
ตวอยาง จงหาคาของ ofn
nlim
ln(n)
วธท า
ตวอยาง จงหาคาของ of
ne
nn
elim
e
วธท า
ตวอยาง จงหาคาของ ofn
ln(ln(n))lim
n
วธท า
ตวอยาง จงหาคาของ of
�1n
1n n
e 1lim
วธท า
ตวอยาง จงหาคาของ of
§ ·¨ ¸�© ¹
n
n
nlim
n 1
วธท า
*ทฤษฎบท 4.1.5 [The Sandwich Theorem for Infinite Sequences]
ให n n{a }, {b } และ n{c } เปนล าดบซง N �� � ซง
n n na b cd d ทกคา n N!
ถา n nn nlim a lim c Lof of
แลว nnlim b Lof
ตวอยาง 4.1.13 (หนา 210; ฝาก) จงหาคา n
sinnlim
nof
วธท า
ตวอยาง จงหาคา ofn
cosnlim
n
วธท า
ตวอยาง จงหาคา �
of
n
nlim 2
วธท า
ทฤษฎบท
ให n n{a }, {b } เปนล าดบซง N �� � ซง dn na b ทกคา n N!
ถา of
�fnnlim a แลว
of �fn
nlim b
ถา of
�fnnlim b แลว
of �fn
nlim a
ตวอยาง จงหาคา of
�2
nlim n (2 sinn)
วธท า
บทแทรก 4.1.1 (หนา 208) ให n เปนจ านวนเตมบวก และ c เปนคาคงตวทเปนจ านวนบวก (c 0)!
n1
n
n
lnn1. lim 0
n
2. lim n 1
of
of
cn
13. lim 0
nof
nc
n
c4. lim 1 e
nof
§ ·� ¨ ¸© ¹
5. ถา nnlim a 0of
แลว nnlim a 0of
ตวอยาง 4.1.9 (หนา 208; ฝาก) จงหาคาลมตของล าดบ ^ `2n
5n 3�
ตวอยาง 4.1.11 (หนา 209; ฝาก) จงหาคา n
n1lim 1
2nofª º�« »¬ ¼
ตวอยาง 4.1.12 (หนา 209; ฝาก) จงหาคา 2
n
nlim sin
2n 1 nof
S§ ·� ¨ ¸� © ¹
ตวอยาง 4.1.14 (หนา 210) จงพจารณาวาล าดบตอไปนเปนล าดบลเขาหรอไม
1. 2n 1
3n 2
½�® ¾�¯ ¿
2. n1 ( 1)
2
½� �® ¾¯ ¿
3. n( 1)
n
½�® ¾¯ ¿
4. ^ `2n 2n n� �
วธท า
ตวอยาง จงหาคาลมตของล าดบ 43n 2
5n 1
½�° °§ ·¨ ¸® ¾�© ¹° °¯ ¿
วธท า
ตวอยาง ก าหนดให
3
n
3
sin(n ), 1 n 60
na , n 61
n 5
n 1, n 62
S d d°° ® �°° � t¯
จงพจารณาวาล าดบ n{a } เปนล าดบลเขาหรอล าดบลออก
วธท า
พจารณาล าดบ 1 2 3 na , a , a , , a ,
ถาเราเลอกพจนจาก na มาเพยงบางพจน เชน 4 9 16 21a , a , a , a ,
และก าหนดให 1 4 2 9 3 16 4 21b a , b a , b a , b a ,
เราจะไดวา 1 4 2 9 3 16b a , b a , b a ,
4 21b a , กเปนล าดบซงไดจาก n{a } เรยก n{b } วาล าดบยอยของ
n{a }เขยนเปนนยามไดดงน
บทนยาม 4.1.4 ให n{a }เปนล าดบของจ านวนจรง สรางล าดบ k{n } โดยท kn � และ 1 2 3n n n� � �
ก าหนดให kk nb a จะไดวา k{b } เปนล าดบท
kk nb a
และเรยก k{b } วาเปนล าดบยอย (subsequence) ของ n{a }
ทฤษฎบท 4.1.6 ให n{a }เปนล าดบซง nnlim a Lof
โดยท L�
แลว ทกล าดบยอย n{b } ของ n{a } มลมตเปน L ดวย
**หมายเหต 4.1.3 จากทฤษฎบท 4.1.6 เราไดวา 1. ถา n{a } มล าดบยอยทลออก แลว n{a } เปนล าดบลออก
2. ถา n{a } มล าดบยอย 2 ล าดบซงมลมตตางกน แลว n{a } เปนล าดบลออก
ตวอยาง 4.1.18 (หนา 213;ฝาก)
จงตรวจสอบวาล าดบ 2
n 1 n( 1)
2n 1� ½
� �® ¾�¯ ¿ เปนล าดบลเขาหรอลออก
ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ � �^ `� S�n
cos nn 1
เปนล าดบลเขาหรอลออก
วธท า
4.1.3 ล าดบทางเดยว (Monotonic Sequences)
บทนยาม 4.1.5 ¾ n{a } เปนล าดบไมลด (Non-decreasing Sequence)
กตอเมอ n n 1a a �d n 1,2,3,�
¾ n{a } วาเปนล าดบไมเพม (Non-increasing
Sequence) กตอเมอ n n 1a a �t n 1,2,3,�
¾ n{a } เปนล าดบทางเดยว (Monotonic Sequence)
ถา n{a } เปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม
ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบตอไปนเปนล าดบทางเดยวหรอไม 1. {3n}
2. ^ `�1
n 1
3. n( 1)
n
½�® ¾¯ ¿
4. ล าดบ {c} , เมอ c เปนคาคงตว
การตรวจสอบวาล าดบเปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม
ท าไดดงน (1.) พจารณา n 1 na a� �
1.1) ถา n 1 na a 0� � t แลวแสดงวา n{a } เปนล าดบไมลด
1.2) ถา n 1 na a 0� � d แลวแสดงวา n{a } เปนล าดบไมเพม (2.) ถา n{a } เปนล าดบท na 0! ทกคา n 1,2,3,
แลว พจารณาอตราสวน n 1
n
a
a�
2.1) ถา n 1
n
a1
a� t ทกคา n 1,2,3,
แลว n{a } เปนล าดบไมลด
2.2) ถา n 1
n
a1
a� d n 1,2,3,�
แลว n{a } เปนล าดบไมเพม
ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบตอไปนเปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม
1. ^ `�n
n 1 2. ^ `2
12
n�
3. ^ `1 2 3 n
1 3 5 (2n 1)
� �� � �
วธท า
การตรวจสอบวาล าดบเปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม (ตอ) (3) ส าหรบล าดบ n{a }ซง na 0! ทกคา n 1,2,3,
ให f (x) เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธไดทกคา x 1t และ nf (n) a ทกคา n 1, 2, 3,
3.1) ถา f (x) 0c d ทกคา x 1t แลว n{a } เปนล าดบไมเพม
3.2) ถา f (x) 0c t ทกคา x 1t แลว n{a } เปนล าดบไมลด
ตวอยาง พจารณาล าดบ ^ `nn
{a }2n 1
�
ให x
f (x)2x 1
�
ซง nf (n) a ทกคา n 1,2,3,
และ 2 2
(2x 1)(1) (x)(2) 1f (x) 0
(2x 1) (2x 1)
� � �c d� �
ทก x 1t
ดงนน n{a } เปนล าดบไมเพม
ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบ ^ `�ln(n 1) เปนล าดบไมลดหรอล าดบไมเพม วธท า
4.1.4 ล าดบทมขอบเขต (Bounded Sequence)
บทนยาม 4.1.6 ให n{a } เปนล าดบของจ านวนจรง
และ * *A, A ,B, B �
x A เปนขอบเขตบน (Upper Bound) ของ n{a } � na Ad , n� �
x *A เปนขอบเขตบนทมคานอยทสด (Least Upper Bound) ของ n{a } � A * เปนขอบเขตบนของ n{a } และ A * มคานอยกวาหรอเทากบขอบเขตบนทกตวของ n{a }
x B เปนขอบเขตลาง (Lower Bound) ของ n{a } � na Bt , n� �
x *B เปนขอบเขตลางทมคามากทสด (Greatest Lower Bound) ของ n{a } �B * เปนขอบเขตลางของ n{a }
และ B * มคามาก กวาหรอเทากบขอบเขตลางทกตวของ n{a }
x n{a } เปน ล าดบทมขอบเขต (Bounded)
� n{a } มทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง
ตวอยาง 4.1.21 (หนา 215)
1. n{( 1) } 1, 1, 1, 1, � � � 2. ^ `2n 2, 4, 6,
3. n( 1) 1 1 1 1 1
1, , , , , , n 2 3 4 5 6
½� � � �® ¾¯ ¿
สมบต 4.1.1 [สมบตของความบรบรณ] ให S เปนเซตยอยของเซตของจ านวนจรงซงไมเปนเซตวาง
1. ถา S มขอบเขตบน แลว S จะมขอบเขตบนทมคานอยทสด 2. ถา S มขอบเขตลาง แลว S มขอบเขตลางทมคามากทสด
ทฤษฎบท 4.1.7 ถา n{a } เปนล าดบทลเขา แลว n{a } เปนล าดบทมขอบเขต
ขอสงเกต 4.1.1 1. จากทฤษฎบท 4.1.7 ถา n{a } เปนล าดบทไมมขอบเขต แลว n{a } เปนล าดบทลออก 2. บทกลบของทฤษฎบท 4.1.13 ไมเปนจรง นนคอ ล าดบทมขอบเขตไมจ าเปนตองเปนล าดบลเขาเสมอไป
เชน n{( 1) }� มขอบเขตแตเปนล าดบลออก
ทฤษฎบท 4.1.8 ถา n{a } จะเปนล าดบทางเดยวทมขอบเขต
แลว n{a } จะเปนล าดบทลเขา
หมายเหต 4.1.16 ผลจากทฤษฎบท 4.1.8 ไดวา ถา n{a } เปนล าดบไมลด (หรอล าดบไมเพม) และ มขอบเขตบน แลว n
nlim aof
จะเทากบคาขอบเขตบนทมคานอยทสด (หรอขอบเขต
ลางทมคามากทสด) ของ n{a }
ตวอยาง 4.1.23 (หนา 217) จงพสจนวาล าดบ n2
n!
½® ¾¯ ¿
มลมต
วธท า ให n
n2
an!
พจารณา n 1
n 1n
n
a 2 n! 20
a (n 1) ! n 12
�� � !
� � ทก n 1,2,3,
นนคอ n2
n!
½® ¾¯ ¿
เปนล าดบไมเพม ดงนน n2
n!
½® ¾¯ ¿
เปนล าดบทางเดยว
และ n 10 a a 2d d ทก n 1,2,3,
นนคอ n2
n!
½® ¾¯ ¿
เปนล าดบทมขอบเขต
โดยทฤษฎบท 4.1.8 ไดวา n2
n!
½® ¾¯ ¿
เปนล าดบลเขา
4.2 อนกรมอนนต (Infinite Series)
บทนยาม 4.2.1 ถา n{a } เปนล าดบแลวจะเรยกผลบวกในรป
1 2 3 na a a a� � � � �
วาอนกรมอนนต (Infinite Series) หรอ อนกรม เขยนแทนดวย
nn 1
af
¦ หรอ na¦
และเรยก na แตละจ านวนวา พจนท n ของอนกรม
เนองจากมเพยงผลบวกของพจนเปนจ านวนจ ากดเทานนทสามารถหาไดโดยการบวกแบบพชคณตธรรมดา เราจงจ าเปนจะตองใหนยามของผลบวกของอนกรม
ผลบวกยอยท n (nth partial sum) ของอนกรม เขยนแทนดวย nS
หมายถง n 1 2 3 nS a a a a � � � �
ดงนน 1 1S a 2 1 2S a a � 3 1 2 3S a a a � �
เปนเชนนไปเรอย ๆ เราจะเรยกล าดบ 1 2 3 nS , S , S , , S ,
วาล าดบของผลบวกยอย (sequence of partial sum) ซงจะมความสมพนธกบอนกรม ดงบทนยามตอไปน
บทนยาม 4.2.2 ส าหรบอนกรม
n 1 2 3 na a a a a � � � � �¦
มล าดบของผลบวกยอย ^ `nS
x ถา มจ านวนจรง S ซง nnlim S Sof
แลว อนกรม na¦ ลเขา (converge)
และเรยก na¦ วาอนกรมลเขา (convergent series)
x ถา ไมมจ านวนจรง S ซง nnlim S Sof
แลว อนกรม na¦ ลออก (diverge)
และ เรยก na¦ วาอนกรมลออก (divergent series)
x ถา na¦ ลเขาและ nnlim S Sof
แลว เรยก S วาผลบวกของอนกรม และเขยนแทนดวย na S ¦
x ส าหรบอนกรมลออกเราจะกลาววาอนกรมไมมผลบวก
หมายเหต สญลกษณของอนกรมอนนตอาจเปนแบบอน
นอกเหนอจาก nn 1
af
¦ เชน n
n 0
af
¦ หรอ n
n 2
af
¦
ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 4.2.1 (หนา 220) จงกระจายอนกรมตอไปน
1. n 1
1
n
f
¦
2. n 0
1
n 1
f
�¦
3. 2n 2
lnn
n
f
¦
ตวอยาง 4.2.2 (หนา 220;ฝาก) จงแสดงวาอนกรม n 1
1
n(n 1)
f
�¦
เปนอนกรมลเขา พรอมทงหาผลบวกของอนกรม
ตวอยาง 4.2.3 (หนา 220;ฝาก) จงพสจนวา n 1
cos(n )f
S¦ ลออก
ตวอยาง 4.2.4 (หนา 221;ฝาก) จงพจารณาอนกรมตอไปนวาเปนอนกรมลเขาหรอไม ถาเปนอนกรมลเขาใหหาผลบวก
1. nn 1
1
2
f
¦
2. n 1
n 1
( 1)f
�
�¦
3. n 1
nf
¦
ตวอยาง จงตรวจสอบวาอนกรม f
�¦n 2
1
n(n 1) เปนอนกรมลเขาหรอลออก
ถาลเขาจงหาผลบวกของอนกรม วธท า
ทฤษฎบท 4.2.1 ถา na¦ เปนอนกรมลเขา แลว nnlim a 0of
*ขอสงเกต 4.2.1 บทกลบของทฤษฎบท 4.2.1 ไมจรง
นนคอ ถา nnlim a 0of
แลว na¦ อาจจะเปนอนกรมลเขา
หรอลออกกได
เชน 2
1
n¦ เปนอนกรมลเขา และ
1
n¦ เปนอนกรมลออก
ทงทอนกรมทงสองม nnlim a 0of
บทแทรก 4.2.1 [การทดสอบการลออกของอนกรม (Test for divergence)]
ถา nnlim a 0of
z แลว na¦ เปนอนกรมลออก
ตวอยาง 4.2.5 (หนา 222) จงทดสอบการลเขา-ลออกของอนกรมตอไปน
1. 2
2n 1
n 1
n
f
�¦ 2. � �n 1
n 1
1 3f
�
� �¦
3. n 1
n
2n 1
f
�¦ 4.
n
n 1
n 1
n
f
�§ ·¨ ¸© ¹¦
วธท า
ทฤษฎบท 4.2.2 ให ^ `nS เปนล าดบของผลบวกยอยของ na¦
ซงเปนอนกรมลเขา จะไดวา ส าหรบ 0H! ใด ๆ ทก าหนดให จะมจ านวนจรงบวก N ซงท าให R TS S� �H เมอ R N! และ T N!
ตวอยาง 4.2.6 (หนา 223)
อนกรมฮารมอนก n 1
1
n
f
¦ เปนอนกรมลออก
บทนยาม 4.2.3 อนกรมเรขาคณต (Geometric Series) คอ อนกรมทเขยนไดในรป
n 1 2 n 1
n 1
ar a ar ar arf
� �
� � � � �¦
เมอ a 0z เปนตวคงตว และ r เปนอตราสวนรวม
วธหาผลบวกยอยท n ของอนกรมเรขาคณตท าไดดงตอไปน
จาก 2 n 1nS a ar ar ar � � � � �
และ 2 3 n 1 nnrS ar ar ar ar ar� � � � � �
ดงนน nn nS rS a ar� �
ส าหรบ r 1z จะได n
na(1 r )
S1 r
� �
ทฤษฎบท 4.2.3 อนกรมเรขาคณต n 1
n 1
arf
�
¦
1. อนกรมลเขาเมอ r 1� และมผลบวกเปน a
1 r�
2. อนกรมลออกเมอ r 1t
ตวอยาง จงแสดงวาอนกรม
� � � � �2 3 n
1 1 1 1
3 3 3 3
ลเขาและหาผลบวกของอนกรม
วธท า
ตวอยาง ก าหนดอนกรม
�� � � � � �2 3 n 1
4 4 4 44
9 9 9 9
จงเขยน nS ใหอยในพจนของ n และ ถาเปนอนกรมลเขาจงหาผลบวกของ
อนกรม วธท า
ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม f
�
�¦ 2n 1 n
n 1
3 5 เปนอนกรมลเขาหรอลออก
วธท า
ตวอยาง 4.2.10 (หนา 226;ฝาก) จงแสดงวาสามารถเขยนทศนยมไมรจบ 0.535353 เปนจ านวนตรรกยะ (rational number) ได ตวอยาง จงแสดงวาสามารถเขยนทศนยมไมรจบ 4.921921921 เปนจ านวนตรรกยะ (rational number) ได
วธท า
ทฤษฎบท 4.2.8 ถา na¦ และ nb¦ เปนอนกรมซงมความแตกตาง
กน เฉพาะ m พจนแรก (นนคอ k ka b ถา k m! )
แลว na¦ และ nb¦ เปนอนกรมลเขาทงค หรอ ลออกทงค
ตวอยาง จงพจารณาวา f
�¦n 1
1
n 100 เปนอนกรมลเขาหรอลออก
วธท า
ทฤษฎบท 4.2.5 ถา na¦ และ nb¦ เปนอนกรมลเขาทมผลบวก
เทากบ A และ B ตามล าดบแลว
1. n n(a b )�¦ ลเขาและมผลบวกเทากบ A B�
2. ถา c เปนคาคงตวทเปนจ านวนจรง แลว nca¦ ลเขาและมผลบวกเทากบ cA
3. n n(a b )�¦ ลเขาและมผลบวกเทากบ A B�
ทฤษฎบท 4.2.6
ถา na¦ เปนอนกรมลเขา และ nb¦ เปนอนกรมลออก
แลว � �n na b�¦ เปนอนกรมลออก
ขอสงเกต 4.2.2 na¦ และ nb¦ เปนอนกรมลออกทงคแลว
n n(a b )�¦ อาจจะเปนอนกรมลเขา หรอเปนอนกรมลออกกได
¾ ถา n1
an
และ n1
bn
จะได n n2
a bn
� ทกคา
n 1,2,3, ซง n 1
2
n
f
¦ เปนอนกรมลออก
¾ แต ถา n1
an
และ n1
bn
� จะได n na b 0� ทกคา
n 1,2,3, ซง n 1
0f
¦ เปนอนกรมลเขา
ตวอยาง จงพจารณาการลเขา-ลออกของอนกรม ถาอนกรมลเขา จงหาผลบวก
1. � �
f
�
ª º�« »�¬ ¼
¦ n 1n 1
7 2
n n 1 3 2.
n 1 n
n 2n 1
2 5
3
�f
�
ª º�« »¬ ¼
¦
วธท า
4.3 การทดสอบการลเขาและการลออกของอนกรม
เราจะศกษา 4 วธ คอ 1. การทดสอบแบบปรพนธ 2. การทดสอบแบบเปรยบเทยบ และ
การทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต 3. การทดสอบแบบอตราสวน
4. การทดสอบโดยการถอดรากท n
4..3.1 การทดสอบแบบปรพนธ (The integral test)
ทฤษฎบท 4.3.1 [การทดสอบแบบปรพนธ (The integral test)]
ให na¦ เปนอนกรมบวก และให f (x) เปนฟงกชนคาบวก
ทตอเนองและมคาไมเพมขนส าหรบ x 1t
โดยท nf (n) a ส าหรบ n 1,2,3,
แลว อนกรม na¦ และ ปรพนธไมตรงแบบ
�f
o�f
³ ³t
tx 1 x 1
f (x)dx lim f (x)dx
มผลการลเขา - ลออก เหมอนกน
บทนยาม 4.3.1 อนกรมบวก (positive series) หมายถง อนกรม
na¦ ซง na 0! ทกคา n 1,2,3,
หมายเหต ถาอนกรม na¦ ไมไดเรมตนท n 1 การทดสอบแบบ
ปรพนธยงคงใชได (เรมตนทจ านวนเตมบวก N ใด ๆ กได)
นนคออนกรม nn N
af
¦ และปรพนธไมตรงแบบ
�f
o�f
³ ³t
tx N x N
f (x)dx lim f (x)dx
มผลการลเขา - ลออกเหมอนกน โดยขอก าหนดในทฤษฎบท 4.3.1 ตองเปนจรงเสมอส าหรบ n Nt
ตวอยาง 4.3.1 (หนา 232;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. n 1
1
2n 3
f
�¦
2. 2n 1
1
n 4
f
�¦
3. n
n 1
nef
�
¦
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. f
¦n 1
1
n
2. f
�
¦
2n
n 1
ne
3. f
¦n 1
1
n(lnn)(ln(lnn))
วธท า
บทนยาม 4.3.2 อนกรม p (p-series) คอ อนกรมทอยในรป
pn 1
1
n
f
¦ เมอ p เปนคาคงตวใด ๆ
p 1 � เรยก n 1
1
n
f
¦ วาอนกรมฮารโมนค
ทฤษฎบท 4.3.2 อนกรม p เปนอนกรมลเขาเมอ p 1!
และเปนอนกรมลออกเมอ p 1d
ตวอยาง 4.3.4 (หนา 234)
1) อนกรม 4 4 4 4n 1
1 1 1 1
n 1 2 3
f
� � �¦
2) อนกรม 1 1 1 1n 1 2 2 2 2
1 1 1 1
n 1 2 3
f
� � �¦
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. f
¦n 1
1
n
2. f
¦ 2n 1
1
n
3. f
�
¦ 1.0123
n 1
2020n
4. f
�¦ 4n 1
1
n n
วธท า
หมายเหต จากการทดสอบแบบปรพนธ เราไมสามารถสรปวา “ผลบวกของอนกรมเทากบคาปรพนธ”
นนคอ โดยทวไปแลว nn 1 1
a f (x)dxff
z¦ ³
เชน 2n 1
1
6n
f
S ¦ แต 21
1dx 1
x
f
³
4.3.2 การทดสอบแบบเปรยบเทยบและการทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต (Comparison Test and Limit Comparison Test)
ทฤษฎบท 4.3.3 ก าหนดให na¦ อนกรมบวก และ nS เปน
ผลบวกยอยท n ของ na¦
1. ถามจ านวนจรง M ท nS M� ทกคา n แลว na¦ จะลเขา
และมผลบวกนอยกวาหรอเทากบ M
2. ถาไมมคา M ท nS M� ทกคา n แลว na¦ ลออก
ทฤษฎบท 4.3.4 การทดสอบแบบเปรยบเทยบ
(The comparison test)
ก าหนดให na¦ และ nb¦ เปนอนกรมบวก
1. ถา nb¦ ลเขาและ n na bd , n k� t เมอ k ��
แลว na¦ ลเขา
2. ถา nb¦ ลออก และ n na bt , n k� t เมอ k ��
แลว na¦ ลออก
ตวอยาง 4.3.5 (หนา 236;ฝาก)
จงพจารณาวาอนกรม n 1n 1
1
3 2
f
� �¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง 4.3.6 (หนา 236;ฝาก)
จงแสดงวา n 1
1
ln(n 1)
f
�¦ ลออก
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. f
�¦ 2n 1
1
2n n 2.
f
�¦n 1
7
2n 5 2.
f
�¦ n 3n 1
1
3 n
วธท า
ขอสงเกต ในการทดสอบแบบเปรยบเทยบพจนของอนกรมทเราตองการทดสอบจะตองเลกกวาพจนของอนกรมทลเขา หรอใหญกวาพจนของอนกรมทลออก แต ถาพจนของอนกรมทเราตองการทดสอบใหญกวาอนกรมทลเขาหรอเลกกวาอนกรมทลออก แลวเราไมสามารถสรปผลจากการทดสอบแบบเปรยบเทยบได
ตวอยางเชน อนกรม nn 1
1
2 1
f
�¦
x เราไมสามารถใชอสมการ n n
1 1
2 1 2!
� ในการทดสอบแบบเปรยบเทยบ
ได เนองจาก n nn 1
1b
2
f
¦ ¦ เปนอนกรมเรขาคณตซงลเขา แต
n na b!
x แต เรารสกวาอนกรม nn 1
1
2 1
f
�¦ นาจะลเขา เพราะมลกษณะคลาย
อนกรมเรขาคณต
n
nn 1 n 1
1 1
22
f f
§ · ¨ ¸© ¹¦ ¦
ซงลเขา
x ส าหรบกรณเชนน เราจะใชการทดสอบอกรปแบบหนง คอ การทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต
ทฤษฎบท 4.3.5 การทดสอบแบบเปรยบเทยบลมต
(The limit comparison test)
ก าหนด na¦ และ nb¦ เปนอนกรมบวกและ c�
1. ถา n
n n
alim c 0
bof !
แลว อนกรมทงสองมผลการลเขา - ลออกเหมอนกน
2. ถา n
n n
alim 0
bof และ nb¦ ลเขา
แลว na¦ ลเขา
3. ถา n
n n
alim
bof �f และ nb¦ เปนลออก
แลว na¦ ลออก
ตวอยาง 4.3.9 (หนา 237;ฝาก)
1. จงทดสอบการลเขา-ลออกของอนกรม nn 1
1
2 1
f
�¦
2. จงทดสอบวาอนกรม 2
5n 1
2n 3n
5 n
f
�
�¦ ลเขาหรอลออก
3. จงทดสอบวาอนกรม 2n 1
arctann
n
f
¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. f
��¦ 2
n 1
3n 1
(n 1)
2. f
�¦ n nn 1
1
2 5
3. f
� �� �¦
3 2
8 5n 1
3n 2n 4
n n 1
4. f
��¦ 2
n 1
1 nlnn
n 5
วธท า
4.3.3 การทดสอบแบบอตราสวน (The ratio test)
ทฤษฎบท 4.3.6 [การทดสอบแบบอตราสวน (The ratio test)]
ก าหนดให na¦ เปนอนกรมบวก และ L�
1. ถา n 1
n n
alim L 1
a�
of � แลว na¦ ลเขา
2. ถา n 1
n n
L 1alim
a�
of
! ® f¯
แลว na¦ ลออก
3. ถา n 1
n n
alim 1
a�
of แลว สรปไมไดเกยวกบ na¦
ตวอยาง 4.3.13 (หนา 240;ฝาก)
จงพจารณาวาอนกรม n
n 1
1n
2
f
§ ·�¨ ¸© ¹¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง 4.3.15 (หนา 240;ฝาก)
จงพจารณาวาอนกรม n
n 1
n
n!
f
¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. f
¦ nn 1
(2n) !
5
2. f
¦
n
n 1
2
n!
วธท า
4.3.4 การทดสอบโดยการถอดรากท n
ทฤษฎบท 4.3.7 [การทดสอบโดยการถอดรากท n
(The thn Root Test)]
ให nn 1
af
¦ เปนอนกรมซง na 0t ทก n 1,2,3,
พจารณา n nnlim a Rof
เมอ R เปนจ านวนจรง จะไดวา
1. ถา R 1� แลว nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขา
2. ถา nn
n
R 1lim aof
! ®�f¯
แลว nn 1
af
¦ เปนอนกรมลออก
3. ถา R 1 แลวไมสามารถสรปผลเกยวกบ nn 1
af
¦ ได
หมายเหต ทฤษฎบท 4.3.7 ยงคงเปนจรงเมอแทนเงอนไข na 0t ทก
n 1,2,3, ดวย na 0t ทก n Nt
เมอ N เปนจ านวนเตมบวกคงตว
ตวอยาง 4.3.16 (หนา 242;ฝาก) จงพจารณาการลเขา-ลออกของ
1. 2
nn 1
n
2
f
¦ 2.
n
2n 1
2
n
f
¦ 3.
n
n 1
1
1 n
f
§ ·¨ ¸�© ¹¦
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก
1. f
�§ ·¨ ¸�© ¹¦n
n 1
4n 5
2n 3
2. f
�¦ nn 1
1
(ln(n 1))
วธท า
4.4 อนกรมสลบ (Alternating Series)
บทนยาม 4.4.1 อนกรมสลบ (alternating series) หมายถง อนกรมทมพจนเปนบวกและลบสลบกน ไดแก อนกรม
n
n 1 2 3( 1) a a a a� � � � �¦
หรอ n 1
n 1 2 3 4( 1) a a a a a�� � � � �¦
เมอ na 0! ทกคา n 1,2,3,
ทฤษฎบท 4.4.1 [การทดสอบอนกรมสลบ (Leibniz’s alternating series test)] ถา n{a } เปนล าดบท k k 1a a 0, k�t ! � � และ n
nlim a 0of
แลว n 1
n( 1) a��¦ ลเขา
ขอสงเกต 4.4.1
1. ส าหรบอนกรมสลบในรป n
n( 1) a�¦ เราสามารถพสจนได
เชนกนวา ถา k k 1a a 0, k�t ! � � และ n
nlim a 0of
แลว n
n( 1) a�¦ ลเขา เพราะ n n 1
n n( 1) a ( 1) a�� � �¦ ¦
2. ส าหรบอนกรมสลบ n 1
n( 1) a��¦ ซงมคณสมบตวา
k k 1a a 0, k m (m )�t ! � t � และ nnlim a 0of
จะไดวา n 1
n( 1) a��¦ ลเขา
เพราะ m 1
n 1 n 1 n 1n n n
n 1 n m
( 1) a ( 1) a ( 1) a� f� � �
� � � �¦ ¦ ¦
ซงจะเหนวา m 1
n 1n
n 1
( 1) a�
�
�¦ เปนอนกรมจ ากดจะตองลเขา
และ n 1n
n m
( 1) af
�
�¦ ลเขา โดยทฤษฎบท 4.4.1
ดงนนโดยทฤษฎบท 4.2.5 ขอ 1. ไดวา n 1
n( 1) a��¦ ลเขาดวย
3. ส าหรบการทดสอบวาอนกรมสลบลออกนน เราจะใชทฤษฎบท 4.4.1 ไมไดตองกลบไปใชบทแทรก 4.2.1
ตวอยาง 4.4.1 (หนา 246;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ n 1
n 1
( 1)
n
�f
�¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง 4.4.2 (หนา 247;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ n 1 n
2n 1
( 1) 2
n
�f
� �¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง 4.4.3 (หนา 247;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ n 1
n 1
( 1)
ln(n 1)
�f
��¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง 4.4.4 (หนา 247;ฝาก) จงทดสอบวาอนกรมสลบ
n 1
n 1
3n( 1)
2n 1
f�
� �
�¦ ลเขาหรอลออก
ตวอยาง จงทดสอบวาอนกรมสลบตอไปนลเขาหรอลออก
1. �f
��¦
n 1
n 1
( 1)
n 1
2. �f
� ��¦
n 1
n 1
( 1) (1 n)
n(n 1)
วธท า
4.5 การลเขาสมบรณและการลเขามเงอนไข
(Absolute and Conditional Convergence)
บทนยาม 4.5.1 อนกรม nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขาสมบรณ (Absolute
convergence) ถา nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขา
ขอสงเกต ถา nn 1
af
¦ เปนอนกรมบวก จะไดวา n na a
ดงนนการลเขาสมบรณกคอการลเขาธรรมดา
ทฤษฎบท 4.5.1 ถา nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขาสมบรณ
แลว nn 1
af
¦ จะเปนอนกรมลเขา
บทนยาม 4.5.2 อนกรม nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขามเงอนไข
(Conditional convergence)
ถา nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขา แต n
n 1
af
¦ เปนอนกรมลออก
ตวอยาง จงตรวจสอบวาอนกรมตอไปนลเขาสมบรณ/ลเขาแบบมเงอนไข หรอลออก
1. f
�¦n
2n 1
( 1)
n
2. �f
�¦n 1
n 1
( 1)
n
3. n 1n
n 1
n( 1)
2
f�
� �¦
การทดสอบการลเขาสมบรณ
ทฤษฎบท 4.5.2 [การทดสอบแบบอตราสวน (The ratio test)]
ให nn 1
af
¦ เปนอนกรมซง na 0z
พจารณา n 1
n n
alim L
a�
of เมอ L เปนจ านวนจรง จะไดวา
1. ถา L 1� แลว nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขาสมบรณ
2. ถา n 1
n n
L 1alim
a�
of
! ®�f¯
แลว nn 1
af
¦ เปนอนกรมลออก
3. ถา L 1 แลว ไมสามารถสรปผลได
ตวอยาง 4.5.2 (หนา 250;ฝาก) จงทดสอบอนกรมตอไปนวาเปนอนกรมลเขาสมบรณ หรอ ลออก
1) n
n 1
2
n!
f
¦ 2) n 1
nn 1
n( 1)
2
f�
� �¦ 3)
n 1n 1
2n 1
3( 1)
n 1
�f�
� �
�¦
ตวอยาง จงทดสอบการลเขาของอนกรมตอไปน
1. �f
�¦n 1 n
n 1
( 1) 2
n!
2. f
� �¦n n
n 1
( 100) n
n!
วธท า
ทฤษฎบท 4.5.3 [การทดสอบโดยการถอดรากท n
(The thn Root Test)]
ให nn 1
af
¦ เปนอนกรมซง na 0z
พจารณา nn
nlim a Rof
เมอ R เปนจ านวนจรง จะไดวา
1. ถา R 1� แลว nn 1
af
¦ เปนอนกรมลเขาสมบรณ
2. ถา nn
n
R 1lim aof
! ®�f¯
แลว nn 1
af
¦ เปนอนกรมลออก
3. ถา R 1 แลว ไมสามารถสรปผลได
ตวอยาง 4.5.3 (หนา 250) จงทดสอบอนกรมตอไปนวาเปน
อนกรมลเขาสมบรณ หรอ ลออก
1. n 1n
n 1
1( 1)
n
f�
� �¦ 2.
2n
nn 1
e
2
f
¦
ตวอยาง จงทดสอบการลเขาของอนกรมตอไปน
1. f
�
§ ·� ¨ ¸
© ¹¦
1n
n2
n 1
n 1
1( 1)
n
2. f
�
�¦ n n
n 1
(1 e )
3. �f
�
� �¦n 1 n
n 1n 1
( 1) (n 1)
n
วธท า