Download - Logikalogika.uwb.edu.pl/KT/Logika Nauka i sztuka_stara_wersja.pdf · 2018-12-18 · WSTĘP 11 matematykaobejmującalogikę,metaﬁzykę,anawetteologię. Dlazadańtej naukipotrzebnybyłjęzyksymboliczny(linquacharacteristica),asamouzy

Logika

Nauka i sztuka

Kazimierz Trzęsicki

Białystok 2006

4

Wyd. III, poprawione i poszerzone. Wersja elektroniczna.

Spis treści

1 Język 151.1 Pojęcie języka i jego funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Pojęcie języka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Funkcje języka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Budowa i znaczenie wyrażeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Kategorie wyrażeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.1 Zdanie i prawdziwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.2 Nazwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.3.3 Predykaty, relacje, funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . 721.3.4 Spójniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.3.5 Słówka kwantyfikujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.3.6 Znaki interpunkcyjne i akcent logiczny . . . . . . . . . 1131.3.7 Tekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.4 Błędy w słownym przekazywaniu myśli . . . . . . . . . . . . . 124

2 Rozumowania i argumentacja 1412.1 Uznawanie i uzasadnianie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.2 Wynikanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3 Wnioskowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.3.1 Wnioskowanie dedukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.3.2 Dowód wprost i dowód niewprost . . . . . . . . . . . . 1592.3.3 Wnioskowanie uprawdopodobniające . . . . . . . . . . 1662.3.4 Wnioskowanie redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.3.5 Indukcja enumeracyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.3.6 Indukcja matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782.3.7 Wnioskowania statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . 1802.3.8 Klasyfikacja rozumowań . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

2.4 Argumentacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.4.1 Z dziejów teorii argumentacji . . . . . . . . . . . . . . 227

5

6 SPIS TREŚCI

2.4.2 Pojęcie argumentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302.4.3 Zasady argumentowania . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322.4.4 Metody argumentowania . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

2.5 Błędy w rozumowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2462.5.1 Błędy wieloznaczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2472.5.2 Non sequitur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2542.5.3 Petitio principii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2552.5.4 Non causa pro causa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2572.5.5 Błąd uznania następnika i błąd odrzucenia poprzednika 2582.5.6 Błędy nieuzasadnionego uogólnienia i prowincjonalizmu 2612.5.7 Błędy reguły i wyjątku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622.5.8 Paradoksy logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2662.5.9 Rola błędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

3 Wynikanie, schematy i prawa logiki 2753.1 Klasyczna logika zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

3.1.1 Język klasycznego rachunku zdań . . . . . . . . . . . . 2773.1.2 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2793.1.3 Wynikanie w klasycznej logice zdań . . . . . . . . . . . 2843.1.4 Schematy i prawa logiki zdań . . . . . . . . . . . . . . 287

3.2 Logika kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2943.2.1 Sylogistyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2953.2.2 Klasyczna logika predykatów . . . . . . . . . . . . . . 315

3.3 Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3393.3.1 Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych . . . . 3393.3.2 Reguły tworzenia dowodu założeniowego . . . . . . . . 342

3.4 Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

4 Konceptualizacja, definiowanie . . . 3654.1 Konceptualizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

4.1.1 Ekstensjonalna i intensjonalna charakterystyka zakre-sów nazw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

4.1.2 Podział logiczny i klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . . 3714.1.3 Partycja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3764.1.4 Definicja przez abstrakcję . . . . . . . . . . . . . . . . 3784.1.5 Pojęcia porządkujące i typologiczne . . . . . . . . . . . 380

4.2 Definiowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3854.2.1 Budowa definicji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3854.2.2 Podział definicji ze względu na pełność . . . . . . . . . 3864.2.3 Podział definicji ze względu na sposób definiowania . . 389

SPIS TREŚCI 7

4.2.4 Podział definicji ze względu na stylizację . . . . . . . . 3904.2.5 Podział definicji ze względu na zadania . . . . . . . . . 3914.2.6 Granice definiowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3954.2.7 Poprawność definicji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

4.3 Eksplikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

5 Pytanie i odpowiedź 4115.1 Budowa i rodzaje pytań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.2 Rodzaje odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4165.3 Praktyczne problemy stawiania pytań . . . . . . . . . . . . . 422

8 SPIS TREŚCI

Wstęp

Logika jako nauka, czyli teoretyczne i metodyczne dociekanie nad sposobamirozumowania i wypowiadania myśli, powstała w starożytnej Grecji. Prawalogiki są powszechne, to znaczy, że stosują się do wszystkich bez wyjątku ro-zumowań, niezależnie od tego, jakiej dziedziny przedmiotowej rozumowaniate dotyczą. Prawa logiki są również konieczne, to znaczy, że rozumowaniaz nimi niezgodne są niepoprawne.

Idei logiki jako nauki o powszechnych i koniecznych prawach rozumowa-nia możemy doszukiwać się w tekstach Platona (427–347 p.n.e.) — co nieznaczy jednak, że Platon taką ideę miał. W dialogu Timajos, 47c pisze:

Co się nas tyczy, powiemy, że Bóg wynalazł wzrok i obdarzyłnas nim, abyśmy oglądając na niebie periodyczne ruchy rozumuwykorzystali je w obrotach naszego rozumu, które są spokrew-nione z tamtymi ruchami, chociaż są one uporządkowane, a tew nas bywają niekiedy zakłócone; ponadto, byśmy studiując teruchy na niebie naśladowali ruchy Boskie, które nie dopuszczajążadnego błędu, i poprawiali nieregularność ruchów w nas.

Arystoteles (384–322 p.n.e.) jest autorem traktatów logicznych, którepóźniej nazwano Organon (narzędzie). Zawierają one pierwsze systema-tyczne badanie praw myślenia ze względu na pozyskiwanie wiedzy. Tworząfaktycznie pierwszą próbę uczynienia z logiki nauki i w konsekwencji czyniązasadne nazwanie ich autora twórcą logiki. Arystoteles nadał logice tak do-skonały kształt, że jeszcze w XVIII w. Immanuel Kant (1724–1804) uważał,że prawie niczego już do niej nie można dodać. Pisał, że logika1:

od czasów Arystotelesa nie musiała zrobić żadnego kroku wstecz[. . . ]. Osobliwe jest jeszcze to, że nie mogła dotychczas zrobić

1I. Kant, Krytyka czystego rozumu, tłum. R. Ingarden, Warszawa 1986, B VIII; s. 21–22.

9

10 WSTĘP

także ani kroku naprzód i że przeto wedle wszelkich danych wy-daje się zamknięta i wykończona.

Historycy idei dociekają powodów zrodzenia się w starożytnej Grecji fi-lozofii i nauki, bo przecież żadna inna cywilizacja nie stworzyła wystarcza-jących zalążków tego, co przesądza o obliczu współczesnego świata. Rozwójfilozofii i nauki wymagał dociekań nad ich narzędziem: logiką. Być może lo-gika rozwinęła się w Grecji i dlatego, że demokratyczny ustrój miast greckichumożliwiał i czynił pożyteczną sztukę dyskutowania oraz poprawnego rozu-mowania i skutecznego argumentowania. Wartości te dostrzegali równieżteoretycy demokracji amerykańskiej. Zdaniem Thomasa Jeffersona (1743–1826) idea demokratycznego samo-rządzenia opiera się na rozumie a nie nasile. W państwie demokratycznym, którego obywatele mają być kierowaniprzez racje i perswazję, a nie przez siłę, sposób rozumowania nabiera pierw-szorzędnego znaczenia. W 1815 r. w liście do Lafayette’a pisał:

Instead of that liberty which takes root and growth in the pro-gress of reason, if recovered by mere force or accident, it becomeswith an unprepared people a tyranny still of the many, the few,or the one.

Dziś, gdy świat coraz bardziej rządzony jest demokratycznie, gdy argu-ment siły zastępowany jest przez siłę argumentów, greckiemu wynalazkowidemokracji towarzyszy potrzeba znajomości innego greckiego wynalazku: lo-giki. Podobnie jak w starożytnych akademiach, średniowiecznych ośrodkachedukacyjnych i uniwersytetach Oświecenia, logika zajmuje ważne miejscew działalności naukowej i dydaktycznej współczesnych szkół.

Można sądzić, że istotnym powodem wzrastającego znaczenia logiki jestteż rozwój techniki komputerowej i powszechność jej zastosowań. Jak ma-szyny są wielokrotnie sprawniejsze niż człowiek w wykonywaniu pracy fizycz-nej, tak komputery w coraz większym zakresie sprawnie zastępują człowiekaw pracy umysłowej, pozostawiając do wykonania człowiekowi to, co najbar-dziej ludzkie: rozumowanie. Efektywność maszyn i możliwości komputerówczynią, że realizacja zadań zależy prawie wyłącznie od sprawnego i popraw-nego rozumowania posługującego się nimi człowieka.

Współcześnie najważniejszym i podstawowym działem logiki jest logikamatematyczna2. G. W. Leibniz (1646–1716) był pierwszym myślicielem,który w sposób wyraźny sformułował koncepcję logiki jako rachunku. Pro-jektował on naukę, którą określał jako mathesis universalis; miała to być

2Logika matematyczna to teoria rozumowań matematycznych lub — co mamy tu nauwadze — logika uprawiana metodami matematycznymi, rachunkowymi.

WSTĘP 11

matematyka obejmująca logikę, metafizykę, a nawet teologię. Dla zadań tejnauki potrzebny był język symboliczny (linqua characteristica), a samo uzy-skiwanie wiedzy miało się dokonywać za pomocą rachunku (calculus ratioci-nator). Pierwszymi logikami, których prace są realizacjami takiego pomysłu,byli G. Boole (1815–1864) i G. Frege (1848–1925), który świadomie nawiązałdo Leibniza. Prace Boole’a, z których najważniejsze są The mathematicalanalysis of logic (1847) i An investigation of the laws of thought (1854) orazprace Fregego, z których podstawową jest Begriffschrift3 (1879), dały wła-ściwy początek współczesnej logice formalnej. Istotny wkład w rozwój tejnauki wnieśli logicy polscy. Jeden z działów logiki, mianowicie logika zdań,była w okresie międzywojennym uznawana w świecie za polską specjalność.

Logika formalna jest podstawowa z punktu widzenia teorii logiki, stanowiwłaściwą teorię rozumowań. Rachunek logiczny stosuje się jednak do spe-cjalnego języka, różnego od języka naturalnego, w którym na co dzień prze-prowadzamy rozumowania. Z punktu widzenia zastosowania rachunku lo-gicznego konieczny jest więc «przekład» z języka naturalnego na język logikiformalnej. Przekład taki zaś wymaga aparatu pojęciowego, który umożliwiaanalizę logiczną języka naturalnego. Takiego aparatu pojęciowego dostarczasemiotyka logiczna4.

Logika formalna jest teorią, która jako taka nie musi być w pełni znana,aby mogła być stosowana. Umiejętnie rachujemy wcale nie zajmując się teo-rią arytmetyczną. Sprawnie korzystamy z komputerów nie studiując zasadbudowy i nie studiując zasad programowania. Mając na uwadze praktycznewykorzystanie logiki wystarczy więc ograniczyć znajomość do tych wyni-ków i fragmentów logiki formalnej, które mogą być zastosowane w pracy np.prawnika. Logika praktyczna obejmuje więc to, co można określić mianemlogiki nieformalnej, albo też semiotyki logicznej i te wyniki logiki formalnej,które mają charakter narzędziowy i mają przełożenie na zadania praktyczne,które stoją przed współczesnym człowiekiem.

Logika jest jedną z najstarszych nauk. Niektóre jej dawne osiągnięcianawet w tych działach, które lepiej i trafniej ujmuje logika współczesna,są przedmiotem współczesnych studiów i nauczania, jak to jest w wypadkusylogistyki, której znajomość jest ważna dla np. teologów a także prawników.

Mimo że łacina przestała być językiem nauki, podobnie jak wcześniejgreka — filozofii, nauka i filozofia czerpią ze skarbca i łaciny, i greki. Stwo-rzona dawniej terminologia, głównie pochodząca ze średniowiecza, utrzymujesię do dziś. Tu też pozostaniemy przy wielu tradycyjnych terminach mając

3Ideografia4Greckie σηµειoν znaczy tyle, co „znak”.

12 WSTĘP

na uwadze i to, że ich znajomość ułatwia rozumienie np. nie tak jeszczedawnych tekstów prawniczych.

Logika jest nauką (logica docens). Logika jest również sztuką (logicautens). O logice mówimy bowiem też jako o pewnej umiejętności, sprawnościw jasnym komunikowaniu myśli, poprawnym rozumowaniu i skutecznym ar-gumentowaniu. Kto posiadł tę umiejętność, ten potrafi sprawnie realizowaćswoje cele poszerzając wiedzę i pozyskując innych. Kto posiadł umiejętnośćkrytycznej oceny sensu czyjejś wypowiedzi, umie ocenić rozumowanie i nadaćwłaściwą wagę czyimś argumentom, ten będzie wolny od poddania się presjikomercyjnych mediów, przyrzeczeń polityków itp.

Logika nieformalna ma na celu ocenę, analizę i usprawnienie komuniko-wania i nieformalnych rozumowań, z którymi mamy do czynienia na co dzieńw różnych mediach i w kontaktach z innymi, w reklamach i debatach poli-tycznych oraz w argumentacji prawniczej. Choć w wielu wypadkach właściwewydają się rozwiązania, których nie znajdujemy w logice klasycznej, to jed-nak logika klasyczna wciąż pozostaje podstawowym narzędziem wszelkiegokrytycznego myślenia.

Sztuka logiki możliwa jest bez podręcznikowej znajomości logiki. Możnapoprawnie mówić nie znając teorii gramatycznej. Uczymy się jednak gra-matyki i wiemy, jak bardzo ta znajomość jest przydatna tym, którzy dbająo poprawność języka. Jak sama znajomość gramatyki nie gwarantuje jeszczepoprawności gramatycznej wypowiedzi, tak znajomość logiki nie gwarantujepoprawności logicznej. Są to sprawności i jak każda sprawność wymagająstałego ćwiczenia. Niniejszy podręcznik ma pomóc w usprawnieniu naszychumiejętności jasnego i jednoznacznego wypowiadania się, poprawnego rozu-mowania i skutecznego argumentowania.

Unika się na tyle, na ile to możliwe, wchodzenia w problematykę i termi-nologię, która ma znaczenie dla samej logiki jako teorii. Jeżeli jednak mó-wimy o zastosowaniu teorii logiki, to musimy zapoznać się z tym, co mamystosować. Współcześnie wykład logiki formalnej rozpoczyna się od rachunkuzdań. Wykład rachunku predykatów, na którym kończymy przedstawianielogiki formalnej, poprzedzony jest omówieniem sylogistyki. Od strony teo-retycznej wyniki sylogistyki stanowią fragment rachunku predykatów. Odstrony dydaktycznej ułatwia ona zrozumienie tego rachunku. Jej wykładjest pouczający, bowiem jest ona dydaktycznie dobrze opracowana a języksylogistyki, będąc bliższym językowi naturalnemu niż język logiki współcze-snej, nie stwarza specjalnych problemów w jej zastosowaniach do rozumowańprzeprowadzanych w języku naturalnym. W wykładzie rachunku zdań i ra-chunku predykatów ograniczamy się do podstawowych pojęć i metod ocenywnioskowań jako dedukcyjnych.

WSTĘP 13

Przyświecają nam cele praktyczne, stąd dużą wagę przywiązuje się doprzykładów. Znajdujemy ich wiele rozwiązując własne problemy, w kontak-tach z innymi, w środkach społecznego przekazu. Dla bardziej wyrazistegoukazania problemu lepiej nadają się przykłady sztuczne, zwykle cechuje jejednak swoista naiwność: trudno uwierzyć, że ktoś popełnia aż tak prostebłędy. Żywe przykłady z mediów, reklam i debat ukazują za to rzeczywistycharakter problemu. Do poszczególnych działów dołączmy zadania, którychrozwiązanie ma ułatwić zrozumienie wyłożonego materiału, usprawnić ko-rzystanie z niego i utrwalić umiejętności.

14 WSTĘP

Rozdział 1

Język

1.1 Pojęcie języka i jego funkcje

Językiem posługujemy się na co dzień przede wszystkim w celu porozumie-wania się. Używamy języka polskiego. Uczymy się angielskiego, niemieckiegolub innego języka, którym posługuje się jakiś naród. Najbardziej powszech-nym sposobem użycia języka jest mowa. Tekst pisany jest najstarszym i naj-częstszym sposobem utrwalania komunikatu językowego. Dziś powszechnestaje się przechowywanie tekstów w formie zapisu elektronicznego, np. nadysku komputerowym, a ich przekaz odbywa m.in. się za pomocą pocztyelektronicznej. Rodzi sie pytanie, czym jest język, jaka jest jego natura.Z pytaniem tym bezpośrednio wiąże się pytanie o funkcje języka, o to, doczego on służy.

1.1.1 Pojęcie języka

Język jest systemem znaków. To określenie języka wymaga objaśnienia tego,co to jest znak i co to jest system.

Definicja 1.1. Znak to typ rzeczy (przedmiotów materialnych), co do któ-rego istnieje umowa pewnej społeczności ludzkiej, do czego przedmioty tegotypu odnoszą się, jak je należy rozumieć.

Rzecz, materialny substrat znaku, może być znakiem ze względu na swójkształt, jak jest w wypadku znaków języka pisanego, lub ze względu na typbrzmienia, jak jest w wypadku języka mówionego. Pismo Braille’a, którymposługują się niewidomi, wykorzystuje typ odczuć dotykowych, zaś w wy-padku języka migowego rolę znaków pełnią typy ruchów (rąk).

15

16 ROZDZIAŁ 1. JĘZYK

Najogólniej biorąc każdy zmysł może być wykorzystany do utworzeniaznaku. Mogą więc być znaki: wzrokowe, słuchowe, dotykowe, węchowe, sma-kowe, równowagi.

Zrozumienie znaku wymaga poznania umowy danej społeczności, kon-wencji jak ten znak należy rozumieć. Konwencję dotyczącą znaków języka,którym posługujemy się jako członkowie danej społeczności, «wysysamyz mlekiem matki» w trakcie przekazu kulturowego. Odczytanie pisma sta-rożytnego Egiptu, hieroglifów, było możliwe po ustaleniu zasad, którymistarożytni Egipcjanie kierowali się w ich rozumieniu jako znaków. Czasemtwórcy języka celowo ograniczają krąg osób rozumiejących znaki, jak to mamiejsce w wypadku szyfru. Znak ze względu na to, że wymaga umowy jestczymś charakterystycznym dla człowieka jako istoty społecznej.

Typy znaków można wyróżniać ze względu na typ konwencji i zakresdostępności umowy. Mówi się więc o haśle, sygnale, symbolu, kodzie itp.Znak ikoniczny to znak, którego forma graficzna jest jakoś podobna do tego,na co wskazuje. Z powodu tego podobieństwa znaki ikoniczne są łatwe dozapamiętania oraz łatwe do zrozumienia. Znakami ikonicznymi sa znakidrogowe. Szczególnie rolę odgrywają w informatyce. Ikonki wykorzystywanesą do tworzenia interfejsu graficznego użytkownika.

Oznaka (objaw, symptom, ślad) podobnie jak znak jest rzeczą od-noszącą się do czegoś. Od znaku różni się przede wszystkim tym, że macharakter naturalny, czyli to, do czego się odnosi, nie jest przedmiotem ja-kieś umowy, lecz jest wyznaczone przez porządek naturalny. Dym jest w po-rządku naturalnym oznaką ognia. Dym może też być znakiem. Na to jednak,aby wiedzieć czego jest znakiem, trzeba znać odpowiednią umowę. W czasiekonklawe dym wydobywający się z komina Kaplicy Sykstyńskiej w zależno-ści od barwy jest znakiem tego, czy wybrano nowego papieża, czy też nie.Ktoś, kto nie zna stosownej umowy, będzie widział tylko dym. Ktoś, kto znaumowę, widząc kolor dymu będzie wiedział, jaki przebieg mają wybory. Abywidząc dym kojarzyć go z ogniem, nie trzeba znać żadnej umowy takiej lubinnej społeczności. Pszczoły «informują się» o miejscu, w którym są kwiatyza pomocą specjalnego tańca. Taniec ten jest «zrozumiały» dla wszystkichpszczół danego gatunku, jednak nie dlatego, żeby w obrębie gatunku istniałajakaś umowa, lecz dlatego, że gatunek ten zgodnie z prawami przyrody taka nie inaczej reaguje na bodźce naturalne. Badacze życia pszczół od badaczypisma węzełkowego Inków różnią się tym, że ci pierwsi poszukują prawa rzą-dzącego reakcjami pszczół na bodźce pochodzące z «tańca», a ci drudzy dążądo odtworzenia umowy, według której Inkowie rozumieli swoje «węzełki».Lekarz na podstawie oznak stawia diagnozę, mając na uwadze naturalnyzwiązek między tymi oznakami a chorobą, a nie ze względu na to, że w da-

1.1. POJĘCIE JĘZYKA I JEGO FUNKCJE 17

nej społeczności obowiązuje jakaś umowa co do rozumienia poszczególnychdanych o stanie zdrowia pacjenta, jako znaku jakiejś choroby. Społecznośći lekarz mogą żywić przekonanie, że takie a takie objawy (oznaki) wskazująna taką a taką chorobę. Lekarz powinien odrzucić takie przekonanie, jeśli sątylko wystarczające racje, że tak naprawdę nie jest.

Języki możemy dzielić ze względu na typ rzeczy używanych na znakiw tych językach. Najczęściej są to brzmienia, jak jest w wypadku językamówionego, lub napisy, jak jest w wypadku języka pisanego.

Języki możemy też dzielić ze względu na rodzaj konwencji. W wypadkujęzyka naturalnego sposób rozumienia jego znaków jest wynikiem historycz-nego procesu rozwoju tego języka i jest elementem przekazu kulturowego,który dokonuje się poprzez wychowanie i kształcenie. Takie języki, są nimijęzyki poszczególnych narodów, są językami naturalnymi. Język sztucznyto język, który powstał w wyniku świadomego zamiaru stworzenia języka,a umowa co do rozumienia jego znaków jest przedmiotem decyzji jego twór-ców. Przykładem języka sztucznego może być esperanto. Język nauki jestoparty na języku naturalnym, a wzbogacany jeszcze o nowe znaki decyzjamiposzczególnych naukowców z danej dyscypliny i podlegający akceptacji śro-dowiska naukowego. Szczególnymi językami są języki programowania, czylijęzyki którymi «komunikujemy się» z komputerem.

Wyróżnienie języków dokonywane jest ze względów metodologicznychrównież w ramach jednej dyscypliny. Prawnicy odróżniają język prawnyjako język aktów prawnych. W tym języku pisane są teksty publikowanew np. Dzienniku Ustaw i Monitorze Polskim. Język prawniczy to język,którym posługują się prawnicy, zarówno teoretycy jak i praktycy. W językutym komentuje się i interpretuje teksty języka prawnego. Język prawniczybyłby więc językiem drugiego stopnia.

Mając na uwadze określenie języka jako systemu znaków możemy wyróż-nić trzy aspekty, w których może być on opisywany i badany:

1. syntaktyczny, czyli dotyczący stosunków między wyrażeniami języka— bo znaki zestawiane są zgodnie z jakimiś regułami;

2. semantyczny, czyli dotyczący stosunku języka do rzeczywistości, domówienia o której ten język służy — bo znaki odnoszą się do czegoś;

3. pragmatyczny, czyli dotyczący stosunków między językiem a jegoużytkownikiem — bo na to, by jakiś typ rzeczy był znakiem potrzeba,by była społeczność, która go stworzyła i społeczność ta czymś kiero-wała się tworząc ten znak i tworząc go takim a nie innym.


Te trzy stosunki: syntaktyczny, semantyczny i pragmatyczny pozostająw zależnościach do siebie. A mianowicie pragmatyczny stosunek zakłada sto-sunki: semantyczny i syntaktyczny, a stosunek semantyczny zakłada stosu-nek syntaktyczny. Możemy badać system znaków rozważając tylko stosunkimiędzy znakami, czyli ograniczając się do aspektu syntaktycznego. Jeślijednak chcemy rozważać aspekt semantyczny znaku, to musimy uwzględnićaspekt syntaktyczny. To, jak kształtuje się relacja znaku do rzeczywisto-ści, wymaga uwzględnienia znajomości tego, jak odnoszą się znaki do siebie.Stosunek pragmatyczny zakłada zaś oba pozostałe stosunki: syntaktycznyi semantyczny. Można bowiem rozważać stosunek znaku do użytkownikatylko ze względu na stosunek znaku do rzeczywistości, a to nadto wymagarównież uwzględnienia stosunku znaków do siebie.

Reguły syntaktyczne umożliwiają tworzenie znaków ze znaków. Układznaków — zwykle jest to skończony ciąg — jest znakiem, gdy jest zbudowanyzgodnie z regułami syntaktycznymi.

Definicja 1.2. Znak złożony to znak zbudowany ze znaków zgodnie z re-gułami syntaktycznymi.

Definicja 1.3. Znak prosty to znak, który nie jest złożony.

Zauważmy, że znaki jako przedmioty materialne są złożone fizycznie. Samfakt, że w jakimś znaku dałoby się wyróżnić fragment, który oddzielnie jestznakiem nie oznacza, że znak jest złożony. Warunkiem złożenia jest bowiemto, aby znak ten jako całość dał się przedstawić jako zbudowany tylko zeznaków.

Naukę o znakach i ich funkcjach nazywa się „semiotyką”. Już sofiści(Kratylos i inni) oraz Platon okazjonalnie poruszali problemy semiotyczne.Systematyczne ujął ją jednak dopiero Arystoteles. Podziału semiotyki nasyntaktykę, semantykę i pragmatykę dokonał Ch. Morris, od którego pocho-dzi też nazwa tej dziedziny wiedzy. Użycie terminu „semantyka” na oznacze-nie badań nad stosunkami między znakiem a tym, czego jest to znak, zostałouznane w nauce dzięki Alfredowi Tarskiemu, światowej sławy logikowi pol-skiemu.

1.1.2 Funkcje języka

Język jest pewnego rodzaju narzędziem. Omówimy cztery podstawowe funk-cje tego narzędzia, a mianowicie:

1. przekazywania informacji,


2. wyrażania lub wywoływania stanów wewnętrznych,

3. powodowania działania lub powstrzymywania od działania,

4. zobowiązywania się użytkownika języka do czynienia czegoś lub do nie-czynienia czegoś.

Zadaniem pierwszej z tu wymienionych funkcji, funkcji informacyjnej,jest przekazywanie informacji o tym jak jest lub jak nie jest. Ta rola z punktuwidzenia logiki jest pierwotną funkcją języka. Logika zajmuje się językiemprzede wszystkim pod kątem jej prawidłowego wypełniania.

Informacja może być twierdząca, czyli głosząca, że taki a taki jest stanrzeczy, bądź przecząca, czyli głosząca, że tak a tak nie jest w rzeczywisto-ści, o której traktuje ta informacja. Informacja może być prawdziwa, czylizgodna ze stanem rzeczy, bądź fałszywa, czyli niezgodna z nim. Używamy ję-zyka w funkcji informacyjnej, gdy opisujemy jakiś stan rzeczy. Może to byćrzeczywistość postrzegana na co dzień lub może to być świat rzeczywisty,dany w doświadczeniu naukowym. Nie ma tu znaczenia, czy przekazywanainformacja jest doniosła, czy błaha, ogólna, czy szczegółowa.

Przykładem użycia języka w funkcji informacyjnej jest tekst naukowy.Raport, list handlowy są również tekstami, w których język wykorzystanyjest jako środek informowania. Nie znaczy to oczywiście, że język użytyw funkcji przekazu informacji nie może niejako ubocznie wypełniać innychról i nie tylko informować, ale także np. powodować stany emocjonalne. Ma-tematycy doceniają piękno tworzonych przez siebie teorii. Raport bankowymoże budzić zgoła inne emocje u tego, kogo informuje o zyskach, a inneu tego, kogo informuje o stratach. W wypadku takich tekstów wywoływanieemocji nie jest zamierzone, a w każdym razie nie jest pierwszoplanowe.

Ważną kategorią oceny wypowiedzi w funkcji informacyjnej jest wiel-kość informacji. Ocena ta może mieć charakter obiektywny lub subiektywny.Miernikiem wielkości informacji dla kogoś (charakter subiektywny) może byćstopień oczekiwania przez osobę informowaną tego, że zajdzie sytuacja, o któ-rej traktuje ta wypowiedź. Prawdziwy komunikat może dla kogoś nie miećżadnej wartości informacyjnej, jeśli ten ktoś już wiedział o tym, co jest za-warte w treści komunikatu. Wielkość informacji w sensie obiektywnym możebyć mierzona przez prawdopodobieństwo zajścia sytuacji opisywanej przezten komunikat: im mniejsze prawdopodobieństwo tym większa informacja.Informacja może być doniosła (obiektywnie) lub doniosła dla kogoś (subiek-tywnie), gdy może być wykorzystana dla celów praktycznych, odpowiednio,powszechnych lub indywidualnych; im więcej korzyści lub strat tym infor-macja bardziej doniosła. Informacja o pożarze fabryki jest doniosła dla tego,


kto był jej właścicielem i dla właściciela innej firmy, która może przejąć za-mówienia. Błaha zaś i bez znaczenia dla kogoś, kto z tego tytułu nie odniesieani korzyści, ani strat.

Wypowiedzi w funkcji informacyjnej oceniane są przede wszystkim w ka-tegoriach epistemologicznych, poznawczych. Podstawowymi zaś wartościamiepistemologicznymi są prawda i fałsz. Wypowiedzi w funkcji informacyjnejoceniane sa więc głównie jako prawdziwe albo fałszywe.

Tekst literacki jest przykładem użycia języka w funkcji wyrażania lub wy-woływania stanów wewnętrznych, inaczej, w funkcji ekspresywnej. Zada-niem tekstu literackiego nie jest informowanie o faktach, co nie znaczy, że niemoże być o nich mowy, mogą one nawet stanowić osnowę dzieła literackiego,jak jest w wypadku powieści historycznej. Celem nie jest przedstawianie teo-rii, co nie znaczy, że pisarz nie był inspirowany jakąś teorią, której dał lite-racki wyraz, jak to ma miejsce w wypadku literatury science fiction. Istotnedla tekstu literackiego jest dawanie wyrazu pewnym emocjom i wzbudzanieemocji u czytelnika.

Jak wypowiedzi w funkcji informacyjnej oceniane są przede wszystkimw kategoriach poznawczych, tak w wypadku ekspresywnej funkcji języka tymipodstawowymi kategoriami są kategorie estetyczne, np. piękno i brzydota.

W wypadku użycia języka w funkcji 3, w funkcji dyrektywnej, na planpierwszy wysuwa się powodowanie jakiegoś działania lub zakazywanie czynie-nia czegoś. Tego typu użycie jest charakterystyczne dla tekstów prawniczych:ustaw i przepisów. Funkcję dyrektywną tekst pełni w reklamie. W tej roliwystępują zdania rozkazujące i pytajne języka potocznego. Kiedy mówię:Zamknij okno!, nie zamierzam informować o czymś i nie dążę do budzeniajakichś emocji, lecz przede wszystkim chodzi o spowodowanie określonegodziałania: zamknięcia okna. Nie kradnij! zakazuje pewnego działania. Zda-nie pytajne różni się formą jako wypowiedź od zdania rozkazującego. Daje sięjednak całkowicie na wypowiedź rozkazującą przełożyć. Kiedy pytam: Którajest teraz godzina?, to w istocie domagam się pewnego działania, którym bę-dzie odpowiedź na moje pytanie. Z powodzeniem mogę więc powiedzieć,jeśli pominąć względy grzecznościowo-stylistyczne: Powiedz, która jest terazgodzina!. Polecenie działania i zakaz mogą być wykonalne lub nie. Osoba,osoby, do których skierowane jest polecenie lub zakaz, mogą się im poddać,wykonać co nakazują lub zakazują, albo nie. Nie powiemy jednak o zda-niach rozkazujących i pytajnych, jak to ma miejsce dla zdań informujących,że są prawdziwe lub nie. Oczywiście, takie wypowiedzi muszą nieść informa-cje pozwalające zidentyfikować te działania. Takie wypowiedzi mogą budzićemocje zarówno z powodu formy, w jakiej zostały wypowiedziane (grzecz-


nie lub nie), jak też z powodu tego, co nakazują lub czego zakazują. Dla«wzmocnienia» tekstu w funkcji dyrektywnej można też wzbudzać emocje.Publiczne wystąpienie np. na wiecu ma na celu podjęcie przez uczestnikówjakiś działań, np. oddanie w wyborach głosu na przemawiającego. Autortakiego wystąpienia może nie tylko ujawniać swoją postawę i emocje, alemoże poprzez budzenie emocji uczestników wiecu dążyć do osiągnięcia swo-jego celu. W tym wypadku wyrażanie i wzbudzanie emocji nie jest celemjak w wypadku funkcji ekspresywnej, lecz jest środkiem do celu, jakim jestoczekiwane działanie.

Wypowiedzi nakazujące jakieś działania lub je zakazujące, czyli wypowie-dzi w funkcji dyrektywnej oceniamy w kategoriach pragmatycznych, a więcprzede wszystkim jako skuteczne lub nie.

Przyrzeczenia, zobowiązania, potwierdzenia są rodzajami wypowiedzi,w których na plan pierwszy wysuwa się funkcja 4, funkcja zobowiązywa-nia się. Kiedy mówię: rzucę palenie, kiedy mówię: na następnych zajęciachbędziemy kontynuowali temat, to przyrzekam coś, zobowiązuję się do czegoś.Kontrakt, umowa, rota przysięgi są tekstami, w których ta funkcja językajest pierwszoplanowa. Ktoś, kto przyrzeka lub zobowiązuje się, jest konse-kwentny, gdy wypełnia to, co przyrzeka lub to, do czego się zobowiązuje.Wypowiedzi w funkcji zobowiązywania się zawierają jakąś informację, przy-najmniej tę, która pozwala zidentyfikować przedmiot zobowiązania i jegopodmiot. W wielu wypadkach teksty takie zwyczajowo winny budzić emo-cje, jak np. w wypadku zawierania związku małżeńskiego.

W ocenie wypowiedzi w funkcji zobowiązywania się ważne są intencjetych, którzy zobowiązują się do czynienia lub nieczynienia czegoś. Przyrze-czenie i zobowiązanie są szczere, gdy osoba przyrzekająca lub zobowiązującasię zamierza wypełnić to, co przyrzeka lub to, do czego się zobowiązuje. Wy-powiedzi w funkcji zobowiązywania się oceniane są przede wszystkim w ka-tegoriach moralnych.

Zauważmy, że funkcje języka 1 i 2 realizowane są przez opis, przedsta-wienie w wypadku 1 — świata obiektywnego, a w wypadku 2 — stanu su-biektywnej świadomości. Funkcje 3 i 4 można pojąć jako skutkujące zmianąw wypadku 3 — świata obiektywnego, a w wypadku 4 — stanu subiektywnejświadomości. Gdyby zgodzić się, że to, co składa się na naszą świadomość,to przekonania, uczucia i postawy, dążenia i oczekiwania wobec świata obiek-tywnego oraz intencje i zamiary w stosunku do samego siebie, to możemyprzyjąć, że komunikując przekonania używamy języka w funkcji 1, komuni-kując uczucia i postawy używamy języka w funkcji 2, komunikując dążeniai oczekiwania w stosunku do świata obiektywnego używamy języka w funk-


cji 3, a komunikując intencje i zamiary w stosunku do samego siebie używamyjęzyka w funkcji 4.

W gramatyce szkolnej wyróżnia się typy zdań: oznajmujące, pytajne,rozkazujące, wykrzyknikowe. Rodzaj użytych zdań nie rozstrzyga kwestiifunkcji, w jakiej zostały użyte. Można przecież zadać pytanie korzystającze zdania oznajmującego. Kiedy mówię do kelnera: Napiłbym się kawy, toużywam zdania oznajmującego dla spowodowania pewnego działania. Takzwane pytania retoryczne, to zdania pytajne użyte dla przekazania infor-macji. Wypowiedziane w odpowiednim kontekście zdanie jak długo jeszczew Rzeczypospolitej będzie rządziła prywata? może być pytaniem retorycz-nym. Celem jego wygłoszenia byłoby informowanie o stanie rzeczy, a niestawianie pytania o to, jaki ten stan rzeczy jest.

Wskazane zostały cztery funkcje języka. Nie znaczy to, że wypowiedzi,teksty wypełniają zawsze tylko jedną z tych funkcji. Jest raczej tak, żekażda wypowiedź realizuje w większym lub mniejszym stopniu więcej niżjedną funkcję. Tekst naukowy nie tylko informuje, ale i też może wyra-żać. Utwór literacki nie tylko coś wyraża, ale i informuje, a nadto ma jakieśprzesłanie, czyli ma na celu spowodowanie jakiegoś działania lub spowodo-wanie zaniechania działania. Są teksty, w których to połączenie funkcji niejest czymś uzupełniającym, dodatkowym, lecz jest czymś istotnym, ważnym.Modlitwa to — przyznajmy — dość swoisty tekst, który wypełnia funkcjęekspresywną, ma na celu spowodowanie jakiegoś działania (przez tego, dokogo się modlimy) oraz zawiera zobowiązania się modlącego do czynienialub nieczynienia czegoś. Kiedy oferuję jakiś towar do sprzedaży, to udzielaminformacji, co to jest, lecz jednocześnie tak dobieram słowa, aby przekonaćdo jego kupna, a więc przekonać do podjęcia pewnego działania. Moje in-formowanie o towarze nie było bezinteresowne, na celu miało spowodowaniepewnego działania, kupna. W reklamach dąży się nadto do wywoływaniapewnych postaw, wytworzenia stanu motywacji do kupna reklamowanegotowaru lub usługi. We wszelkiego rodzaju ceremoniach, takich jak ślub,tekst ma informować, ma wywoływać uczucia, powodować pewne działaniai nadto zawiera zobowiązania. Język kontraktu zbliżony jest do języka cere-monialnego.

Wskazane zostały cztery funkcje języka. Nie znaczy to, że język może byćużyty tylko w tych funkcjach. Głębsze analizy ukazują wielość i różnorodnośćfunkcji języka. Istnieje bogata i różnorodna terminologia dla określenia funk-cji języka. Funkcje można dzielić np. na poznawcze i instrumentalne. Funk-cja poznawcza języka to funkcja opisowa, deskryptywna i prawdziwościowa.W roli instrumentalnej język używany jest np. w funkcjach komunikatyw-nej, ewokatywnej, ekspresywnej, impresywnej, imperatywnej, promotywnej,


konotatywnej, perswazyjnej, argumentacyjnej, agitatywnej, performatywnej,estymatywnej, interrogacyjnej, terapeutycznej, fatycznej, dydaktycznej. Zeszczególnym wykorzystaniem języka mamy do czynienia w informatyce. Ję-zyk stosowany jest do zapisu programów, czyli systemów sterowania urzą-dzeniami elektronicznymi, w szczególności komputerów.

Języka brany jest w funkcji fatycznej, gdy używany jest dla nawiąza-nia i podtrzymania więzi towarzyskich: odzywamy się do kogoś, aby w tensposób dać wyraz chęci pozostawania z tym kimś w bliższych stosunkach.Kiedy z jakichś powodów rezygnujemy z tego, przestajemy się do tego kogośodzywać.

Języka używa się też dla «kreowania» rzeczywistości. Korzysta się wów-czas z wyrażeń performatywnych.

Definicja 1.4. Wyrażenie performatywne to wyrażenie, którego użyciew określonych okolicznościach (właściwych dla niego) powoduje zaistnienietego, co ono opisuje.

Formuła immatrykulacji powoduje, że zostaje studentem ktoś, do kogow czasie ceremonii inauguracji roku akademickiego rektor szkoły wyższejzwróci się słowami tej formuły. Formuła zawarcia związku małżeńskiegopowoduje, że ktoś, kto ją wygłasza w okolicznościach opisanych w odpo-wiednich aktach prawnych, wstępuje w związek małżeński. Kiedy (na serio)mówię „gratuluję”, to tym samym gratuluję, a więc dokonuję pewnego czynu(różnego od samego aktu użycia języka).

Język interesuje logikę głównie, choć nie jedynie, jako środek przekazy-wania informacji.

Zadania

Zadanie 1.1. Wskaż funkcje, które mogą spełniać poniższe wyrażenia.

1. Nastąpił mi pan na nogę.

2. Czy jest prawdą, że podpisanie paktu Ribentrop-Mołotow między Rze-szą Niemiecką, a Związkiem Sowieckim miało bezpośredni i istotnywpływ na wybuch II wojny światowej?

3. Jestem głodny.

4. Daj swemu dziecku to, co najlepsze!— (reklama)


5. Prosimy o zapięcie pasów.— (komunikat przed startem samolotu)

6. Tak dalej być nie musi.— (hasło wyborcze)

7. Siła spokoju.— (hasło wyborcze)

8. Nie chcę, ale muszę.— (Lech Wałęsa)

9. Wybierzmy przyszłość.— (hasło wyborcze)

10. Niech trójkąt ABC będzie trójkątem prostokątnym.

11. Załóżmy, że Jan dokonał wykroczenia.

Zadanie 1.2. W jakich funkcjach język użyty jest w prawie i w jego stoso-waniu?

Zadanie 1.3. Jakie funkcje pełni język w reklamach?

Zadanie 1.4. Podaj przykłady zdań orzekającego, pytajnego, rozkazującegoi wykrzyknikowego, które w określonych okolicznościach pełnią funkcję:

1. informacyjną,

2. ekspresywną,

3. dyrektywną,

4. zobowiązywania.

Zadanie 1.5. Jakiego rodzaju wyrażeniami są: „zatwierdzam”, „radzę”, „prze-praszam”, „oferuję”, „przyrzekam”, „sugeruję”, „ostrzegam”, „zamawiam”?

Zadanie 1.6. Czy słowo „niniejszym” jest charakterystyczne dla wypowiedziperformatywnych, czyli w zasadzie występuje tylko w takich wypowiedziachlub może być w nich użyte bez naruszenia sensu tych wypowiedzi?

1.2. BUDOWA I ZNACZENIE WYRAŻEŃ 25

Zadanie 1.7. Oceń racje stron sporu.„To był bezpodstawny atak, nie poparty żadnymi dowodami” — powta-

rzali w sądzie J.Sz., W.C. i D.T.Oskarżony A.L. bronił się, twierdząc, że w swoim wystąpieniu nie używał

zdań twierdzących, a tylko zadawał pytania. Nie było to więc według niegopomówienie czy oskarżenie.

Politycy zgodnie stwierdzili przed sądem, że stawiane przez A.L. znakizapytania były tylko formą ucieczki i miały uchronić A.L. przed odpowie-dzialnością polityczną.

„Przy takiej tchórzowskiej manierze polegającej na używaniu słowa ‘po-dobno’ oraz budowania zdań w formie aluzji i pytań ucieka się od odpo-wiedzialności” — zeznał minister W.C. Tego samego zdania byli pozostaliświadkowie: minister J.Sz. i poseł D.T.

J.Sz. stwierdził, że gdyby taka forma wypowiedzi, jaką zastosował A.L.była dopuszczalna w Sejmie, to „na podstawie zestawu kłamstw, nie mającdowodów na to co się mówi, można by oskarżać kogokolwiek bez ponoszeniaodpowiedzialności”.

1.2 Budowa i znaczenie wyrażeń

Na język jako system znaków składają się znaki, którymi są w wypadku ję-zyka pisanego typy napisów, a w wypadku języka mówionego typy głosów.Te napisy i głosy konstruowane są zgodnie z regułami syntaktycznymi (za-sadami gramatyki, składni) ze znaków w szczególności ze znaków prostych,czyli elementów słownika. Dochodzą do tego reguły, które mówią jak tenapisy i głosy należy rozumieć. Są to reguły znaczeniowe (semantyczne).

Definicja 1.5. Język J to obiekt składający się ze słownika S, reguł skła-dniowych (syntaktycznych) G i reguł znaczeniowych (semantycznych) Z,czyli:

J = 〈S,G,Z〉

Każdy język, jaki by on nie był, winien mieć te trzy składniki. Opis nie-których języków wyczerpuje się w określeniu tych trzech składników. Będzietak w wypadku języka rachunku arytmetycznego, języka rachunku logicz-nego, czy języka programowania. W wypadku niektórych języków, jak naprzykład języki naturalne dochodzą jeszcze inne reguły, choćby zasady sty-listyki. Są to reguły o charakterze pragmatycznym. Reguły pragmatyczneformułuje się też dla języków formalnych na przykład, gdy wprowadza się


zasady opuszczania nawiasów. Bez tych reguł języki te nie straciłyby nawartości, jedynie wydłużyłyby się odpowiednie napisy.

Podane określenie języka wymaga rozwinięcia i dopowiedzenia, co należyrozumieć przez słownik, reguły składni oraz reguły znaczeniowe.

Definicja 1.6. Znak prosty języka to wyraz (słowo) tego języka.

Rzeczy są złożone fizycznie. Poszczególne znaki mogą więc podlegać fi-zycznemu podziałowi. Te fizyczne części nawet gdyby były typem znaku niemuszą być znakami. W językach naturalnych wyrazy zwykle budowane są zeskończonego zbioru typów przedmiotów zwanych literami i głoskami. Wyrazklub ma jako swoją część właściwą lub, lecz klub nie jest znakiem złożonymjęzyka polskiego, bowiem nie powstał ze złożenia zgodnie z regułami językapolskiego jakichś wyrazów tego języka. Zauważmy, że k nie jest samodziel-nym znakiem języka polskiego. Litery i głoski, z których zbudowany jestznak prosty nie są znakami.

Wyrazy nie muszą być budowane z liter. Przykładem języka, któregowyrazy nie są budowane z liter (głosek) jest język chiński. Podobnie jestw wypadku języka arytmetyki, który jest rodzajem pisma ideograficznego.Tego rodzaju są też języki rachunków logicznych. Najprostsze znaki w piśmieideograficznym odpowiadają znaczeniom wyrazów lub nawet całych zwrotówjęzyka potocznego. Jego znaki wyrazowe to ideogramy. Zauważmy, że tegorodzaju znaki pełnią doniosłą rolę w wielu dziedzinach praktycznych. Sątu znaki ruchu drogowego, różnego rodzaju piktogramy, jak choćby te sto-sowane w niektórych programach komputerowych (np. program Windows).Oczywiście, nie o każdym systemie «pisma obrazkowego» możemy powie-dzieć, że jest to język. Czasem te «obrazki» nie wiążą się z żadną umowąa działają jedynie skojarzeniowo. Komunikacja niewerbalna dokonuje się nietylko za pomocą symboli graficznych. Ktoś, kto był na giełdzie, mógł podzi-wiać zręczność, z jaką korzysta się ze specjalnego kodu ruchowego, gdzie doporozumiewania się służą nie tylko ruchy rąk i ust, jak to jest w wypadkuosób głuchoniemych. Język nie jest też jedynym narzędziem komunikowaniasię ludzi. Aktor, a może jeszcze bardziej mim przekazuje swój komunikat zapomocą oznak.

Definicja 1.7. Słownik języka J to zbiór wszystkich i tylko wyrazów tegojęzyka.

Napis1 jest skończonym ciągiem wyrazów. Jednak nie każdy napis, niekażdy skończony ciąg wyrazów jest znakiem języka.

1Aby niepotrzebnie nie komplikować wykładu, będziemy ograniczać się do mówieniao języku pisanym. Zwykle jednak wszystko, co powiemy, będzie stosować się do języka


Definicja 1.8. Skończony ciąg elementów słownika S języka J jestwyraże-niem języka J wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbudowany zgodnie z regułamiG gramatyki języka J , inaczej — zgodnie z jego regułami składniowymi(syntaktycznymi).

O ciągu wyrazów zbudowanym zgodnie z regułami syntaktycznymi mó-wimy, że jest syntaktycznie spójny. Wyrażenia języka to syntaktyczniespójne skończone ciągi wyrazów tego języka. Języki, których reguły składnizależą wyłącznie od kształtu, formy wyrażeń to języki formalne. W wy-padku języka naturalnego reguły składni są zależne od znaczeń wyrażeń. Odznaczeń wyrażeń nie zależą reguły składniowe np. języka logiki formalnej.

Wyrażenia mogą być proste, gdy są wyrazami, i złożone, gdy zbudo-wane są z więcej niż jednego wyrazu.

Aby korzystać z języka, nie wystarczy mieć do dyspozycji słownik tegojęzyka i konstruować wyrażenia zgodnie z regułami składniowymi. Uczącsię języka uczymy się również rozumienia jego wyrażeń. Dziecko sposóbrozumienia wyrażeń języka ojczystego czerpie w procesie przekazu kulturo-wego: różne konkretne sytuacje dają rodzicom i wychowawcom okazję doprzekazywania sposobu, w jaki należy rozumieć wyrażenia. Gdy uczymy sięjęzyka obcego, o rozumieniu poszczególnych napisów i głosów w tym językujesteśmy zwykle informowani w naszym języku ojczystym. Znaczenie wyra-żenia to sposób jego rozumienia. Przyporządkowywanie znaczeń wyrażeniomdokonuje się według pewnych zasad. Te zasady zawarte są w regułach zna-czeniowych, semantycznych języka.

Definicja 1.9. Znaczenie wyrażenia języka J , to sposób rozumienia tegowyrażenia wyznaczony przez reguły znaczeniowe, czyli semantyczne, Z ję-zyka J .

Dla języków naturalnych typowe jest, że niektóre wyrażenia nie mająw pełni sprecyzowanego znaczenia.

Definicja 1.10. Wyrażenie ma jasne znacznie lub, po prostu, wyrażeniejest jasne wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie tego wyrażenia jest jednoznacz-nie określone.

Definicja 1.11. Znaczenie wyrażenia jest niejasne (mętne) lub, po prostu,wyrażenie to jest niejasne (mętne) wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie tegowyrażenia nie jest jednoznacznie określone.

w każdej innej formie i wystarczy jedynie dokonać stosownych modyfikacji, których wy-maga specyfika danej formy, np. mówionej.


Znaczenie wyrażenia jest bądź jasne, bądź jest niejasne, czyli mętne.O wypowiedzi mówimy, że jest jasna wtedy i tylko wtedy, gdy jej zna-

czenie jest jednoznacznie określone. Mówimy zaś, że jest niejasna (mętna),gdy tak nie jest. O autorze (nie)jasnej wypowiedzi mówimy, że wypowiadasię (nie)jasno.

O jasności lub niejasności i mętności wyrażenia możemy mówić jakoo pewnej nierelatywnej cesze tego wyrażenia. Może jednak być tak, że wy-rażenie, które jest jasne w sensie absolutnym (nierelatywnym), nie jest jasnesubiektywnie, czyli nie jest jasne dla kogoś.

Definicja 1.12. Znaczenie wyrażenia jest jasne dla kogoś wtedy i tylkowtedy, gdy ten ktoś to wyrażenie rozumie w dokładnie jeden określony spo-sób. Jest zaś niejasne dla kogoś, kto tego wyrażenia nie rozumie lub nierozumie w pełni.

Publikowane są słowniki, które podają znaczenie wyrazów. Mówimy więco słownikowym znaczeniu wyrazu.

W znaczeniu wyrażeń daje się wyróżnić sens deskryptywny (kognitywny)oraz pragmatyczny (emocjonalny).

Definicja 1.13. Sens deskryptywny (kognitywny) wyrażenia to to, cow jego znaczeniu odnosi się do przedmiotów, ich cech i związków (relacji)między nimi.

Definicja 1.14. Sens pragmatyczny (emocjonalny) wyrażenia to skład-nik jego znaczenia wyrażający postawy, uczucia lub oceny tego, na co wska-zuje sens deskryptywny (kognitywny) wyrażenia.

Sensy deskryptywne nazw „policjant”, „stróż porządku publicznego” i „gli-niarz” w zasadzie nie różnią się. Nazwy te mają jednak różne sensy emocjo-nalne. „Policjant” jest emocjonalnie neutralny, „stróż porządku publicznego”ma duże pozytywne zabarwienie emocjonalne, a „gliniarz” — odwrotnie, maduży pejoratywny ładunek emocjonalny.

Zwykle wyrażeniu przysługuje znaczenie określone przez znaczenia skła-dających się na nie wyrazów.

Definicja 1.15. Dosłowne znaczenie wyrażenia to znaczenie tego wyra-żenia określone przez znaczenia składających się na nie wyrazów.

Wyrażenia proste, jednowyrazowe, mogą mieć tylko znaczenie dosłowne.Niektórym wyrażeniom złożonym przysługuje znaczenie nie będące funkcjąznaczeń poszczególnych wyrazów.


Definicja 1.16. Idiomatyczne znaczenie wyrażenia to znaczenie tegowyrażenia, które przysługuje mu jako całości (i które jest różne od znaczeniadosłownego tego wyrażenia).

Zauważmy, że znaczenie idiomatyczne może przysługiwać tylko wyraże-niom złożonym.

Definicja 1.17. Idiom to wyrażenie, któremu przysługuje znaczenie idio-matyczne.

Idiomom, oprócz znaczenia idiomatycznego, może, choć nie musi, przy-sługiwać znaczenie określone przez reguły semantyczne języka i znaczeniawyrazów składających się na to wyrażenie, czyli znaczenie dosłowne. Wyra-żeniu „tu leży pies pogrzebany” oprócz znaczenia idiomatycznego przysługujeteż znaczenie dosłowne. Inaczej jest w wypadku „gwóźdź programu”. Ma onotylko znaczenie idiomatyczne. Ucząc się języka, oprócz zapamiętywania zna-czeń wyrazów słownika tego języka, musimy także uczyć się znaczeń jegowyrażeń idiomatycznych.

Zdarza się, że jakiś wyraz ma więcej niż jedno znaczenie, czyli jest wielo-znaczny, a nadto różne jego znaczenia nie są ze sobą związane, są przypad-kowe, jak np. „zamek”, „koza”. Słowo „szyje” użyte może być jako rzeczowniki jako czasownik.

Definicja 1.18. Homonim to wyraz, któremu przysługuje więcej niż jednoznaczenie i znaczenia te nie są ze sobą powiązane.

W wypadku homonimów wieloznaczność ma charakter przypadkowy. Ina-czej jest w wypadku wyrazów systematycznie wieloznacznych.

Definicja 1.19. Wyraz systematycznie wieloznaczny to wyraz, któregoposzczególne znaczenia pozostają ze sobą w systematycznych związkach wy-znaczonych przez reguły znaczeniowe.

Wyrazami systematycznie wieloznacznymi są w języku polskim czasow-niki. Np. „gra” w zdaniu „Jan gra na pianinie” może znaczyć, że Jan po-siada umiejętność gry na pianinie. W tym wypadku mówimy o znaczeniupotencjalnym. Może również znaczyć, że Jan w tym czasie, w którym do-konywana jest wypowiedź, siedzi przy pianinie powodując wydawanie przeznie dźwięków. Mówimy wówczas, że czasownik ten użyty jest w znaczeniuaktualnym.

Wyrazami systematycznie wieloznacznymi są również słówka okazjo-nalne. Znaczenie słówka okazjonalnego zależy od okoliczności i kontekstu


jego użycia, czyli jego znaczenie jest znaczeniem kontekstowym. Słów-kami okazjonalnymi są okoliczniki czasu, jak: „teraz”, „dzisiaj”; okolicznikimiejsca, jak: „tu”, „tam”; zaimki osobowe, jak: „ ja”, „ty”. Wyrażenie „będętam” nie ma określonego znaczenia, dopóki nie zostanie umieszczone w odpo-wiednim kontekście, który nadałby znaczenie wyrazowi „tam” oraz wskazałbytego, kto tam będzie. W wypadku słówek okazjonalnych ich znaczenie zależyod kontekstu językowego i od okoliczności, czyli pozajęzykowego kontekstuużycia.

W wypadku takich słówek jak „dużo”, „wysoki” i „dobry” ich znaczeniezależy zasadniczo od językowego kontekstu użycia. „Dużo” znaczy co innego,gdy mówimy, że w klubie na spotkaniu z autorem książki było dużo uczest-ników, a co innego, gdy mówimy, że na meczu piłkarskim było dużo kibiców.„Wysoki” w zdaniu „Jan jest wysoki” znaczy co innego niż w zdaniu „w Gąbi-nie był wysoki maszt radiowy”. „Dobry” w kontekście „dobry student” znaczyco innego niż w kontekście „dobry lekarz”. Dla podanych słówek charakte-rystyczne jest, że mówią o pewnych własnościach związanych z relacjami.„Dużo” wiąże się z relacją — więcej, „wysoki” — wyższy, „dobry” — lep-szy. Relacja jest określana przez rodzaj przedmiotów, pomiędzy którymizachodzi. Relacja pomiędzy licznością zbiorów uczestników literackich spo-tkań klubowych jest różna od relacji pomiędzy licznością zbiorów kibicówmeczów piłkarskich. Relacja pomiędzy ludźmi ze względu na ich wzrost jestróżna od relacji między masztami radiowymi ze względu na ich wysokość.Relacja bycia lepszym studentem jest różna od relacji bycia lepszym leka-rzem. To, o jaką relację w danym wypadku chodzi, jest wskazywane przezjęzykowy kontekst użycia.

Definicja 1.20. Wyraz relacyjnie wieloznaczny to wyraz, którego zna-czenie związane jest z relacją, ze względu na którą jest orzekany.

Zależy nam na bogatym języku. Jego wzbogacenie może nastąpić w dro-dze przypisywania wyrazom nowych znaczeń. Te nowe znaczenia mogą ba-zować na dotychczasowym znaczeniu wyrazu.

Definicja 1.21. Wyraz umyślnie wieloznaczny to wyraz, któremu do-dano znaczenie metaforyczne lub analogiczne.

Wyrazami umyślnie wieloznacznymi są np.: „gniazdo”, „miara”. Wielo-znaczność umyślna może być metaforą, czyli przenośnią, może też byćanalogią. W znaczeniu pierwotnym „gniazdo” oznacza miejsce wylęgu pi-skląt w warunkach naturalnych. W kontekstach „gniazdo oporu” i „gniazdorodzinne” wyraz ten zyskuje inne, przenośne znaczenia. W wypadku analogii


znaczenia są do siebie podobne. Podobne są np. znaczenia wyrazu „miara”w kontekstach: „miara wzrostu”, „miara wysokości”, „miara mądrości”, „miaradorosłości”.

Zamierzona wieloznaczność może mieć różne powody. Kiedy Brytyjczycyuznali, że czołgi mogą być skuteczną bronią, niewielką jednostkę czołgówskierowano do Francji przed ofensywą nad Sommą. Dla zmylenia Niemcówmówiono o dostawie zbiorników na wodę dla piechoty, stąd nazwa angielskanazwa czołgu: tank.

Zdarza się i tak, że to samo znaczenie przysługuje więcej niż jednemu wy-razowi. Ma to miejsce wówczas, gdy reguły znaczeniowe nakazują rozumiećtak samo różne wyrazy. Równoznaczność wyrazów jest faktem wewnątrz ję-zykowym, tzn. nie zależy od jakiegokolwiek (pozajęzykowego) stanu rzeczy,lecz jedynie od reguł znaczeniowych języka. Gdyby ktoś rozróżniał znaczeniawyrazów, które są w danym języku równoznaczne, to ten ktoś wykazywałbybrak wiedzy językowej (a nie wiedzy pozajęzykowej).

Definicja 1.22. Wyraz w1 użyty w znaczeniu z1 jest synonimem wyrazu w2

wziętemu w znaczeniu z2 wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenia z1 i z2 (istotnie)nie różnią się.

Wyrazów synonimicznych możemy używać wymiennie. Zamiast „i” mo-żemy użyć „oraz”, zamiast „kartofel” możemy napisać „ziemniak”. Czasemużycie jednego z wyrazów synonimicznych jest sprawą zwyczajów języko-wych środowiska, preferencji stylistycznych lub, po prostu, aby uniknąć po-wtarzania (polepsza styl). Tworzone są słowniki wyrazów bliskoznacznych,aby ułatwić użytkownikowi języka korzystanie z bogactwa wyrazów synoni-micznych.

Ciąg wyrazów, który narusza reguły budowy wyrażeń — reguły skła-dniowe — to nonsens. Nonsensem jest np. „spać Jan koniec”. Nonsensom,ponieważ nie są zbudowane zgodnie z regułami składniowymi, reguły zna-czeniowe nie przypisują znaczenia. Nonsensy mogą pełnić jakąś funkcję języ-kową np. w tekście literackim, gdy zapisane jako przez kogoś wypowiedzianesą oznaką tego, że ten ktoś nie kontroluje swoich wypowiedzi.

Może też być tak, że dany ciąg wyrazów zbudowany jest zgodnie z regu-łami syntaktycznymi, lecz nie można mu przypisać znaczenia zgodnie z re-gułami semantycznymi. W tym wypadku mówi się o bezsensie. Wyrażenie„młotek programu” jest zgodnie z regułami syntaktycznymi wyrażeniem. Jestto jednak bezsens, bowiem nie można mu przypisać znaczenia według regułsemantycznych. W języku matematyki bezsensem jest wyrażenie „większapołowa”. Jest to nazwa, a zatem nie jest to nonsens. Jednak tej nazwie nieprzysługuje znaczenie według reguł znaczeniowych języka matematyki.


Język służy nie tylko do komunikowania faktów, lecz także naszej wobecnich postawy. Kiedy mówię: „Nie jest prawdą, że dzisiaj jest wtorek”, negujęzachodzenie, istnienie pewnej sytuacji. W tej sprawie ktoś może mieć innezdanie. Różnimy się wówczas co do faktów. Kiedy mówię: „Dzisiaj mamydobrą pogodę”, to wyrażam pewną postawę, wypowiadam ocenę pogody.Ktoś inny może inaczej oceniać dzisiejszą pogodę. Różnimy się więc co dopostawy, oceny. Może być tak, że:

1. dwoje ludzi ani nie różni się co do faktu, ani nie różni się wobec niegopostawą;Dwie osoby lubiące słoneczną pogodę i będące na wczasach mogą byćnp. zgodne co do stanu pogody i w ocenie tej pogody.

2. dwoje ludzi nie różni się co do stwierdzenia pewnego faktu, a różni sięjego oceną;Dwie osoby, z których jedna lubi słoneczną i bezdeszczową pogodę i jestna wczasach, a druga prowadzi gospodarstwo rolne, w którym uprawywymagają znacznej ilości wilgoci, mogą być np. zgodne co do stanupogody — że jest słonecznie i bezdeszczowo — a różnić się w ocenietej pogody.

3. dwoje ludzi różni się co do faktu, a nie różni się w ocenie;Jedna osoba może np. twierdzić, że Jan zna język angielski, a druga,że Jan nie zna tego języka; osoby te różnią się więc co do faktu; osobyte mogą być jednak zgodne w ocenie przydatności znajomości językaangielskiego przez Jana.

Wreszcie czwarta i ostatnia możliwa sytuacja —

4. dwoje ludzi różni się zarówno w sprawie faktu, jak i postawą wobecniego.Jedna osoba może np. uważać, że Jan umie włamywać się do kas pan-cernych, a druga, że nie. Osoba, która uważa, że Jan umie włamywaćsię do kas pancernych może tę umiejętność oceniać pozytywnie a osoba,która ma inne zdanie w sprawie faktu — oceniać negatywnie. Możeteż być tak, że osoba, która uważa, że Jan umie włamywać się do kaspancernych, umiejętność tę ocenia negatywnie, a osoba, która uważa,że Jan nie potrafi włamywać się do kas pancernych — pozytywnie.

Wartościowanie, ocenianie czegoś może być ocenianiem z punktu widze-nia moralności, czyli przede wszystkim jako dobrego lub złego. Może to byćocena estetyczna, wówczas mówimy o pięknie i brzydocie. Możemy też mówić


o ocenach utylitarnych, wówczas mówimy o użyteczności i bezużyteczności.Nasze postawy i oceny możemy wyrażać korzystając ze specjalnych słówek:„dobre”, „złe”; „piękne”, „brzydkie”; „korzystne”, „niekorzystne” itd. Może sięto też dokonywać przez użycie wyrażeń nacechowanych pejoratywnie lubnacechowanych pozytywnie. W okresie PRL-u używano nazwy „ZwiązekRadziecki”. Był to termin wprowadzony do powszechnego użycia przez komu-nistów. W okresie przed II wojną światową stosowana była nazwa „ZwiązekSowiecki”. Konteksty, w których była używana, spowodowały, że była nace-chowana pejoratywnie i to stało się powodem używania w oficjalnym językuPRL-u wyłącznie terminu „Związek Radziecki”. Otóż ktoś, kto mówił: „Zwią-zek Sowiecki”, właśnie z powodu pejoratywnego nacechowania tego terminu,wyrażał swoją negatywną postawę wobec Związku Socjalistycznych Repu-blik Radzieckich. W działalności gospodarczej chroni się nazwę marki —osiągnięcie pozytywnego kojarzenia nazwy kosztuje, a następnie daje korzy-ści. Dlatego też oprócz uznanej nazwy firmowej „Panasonic” spotykamy np.„Pavasonic”, „Panasaonic”, „Panasonix”. Czasem tylko podejrzenie o pejora-tywne nacechowanie wystarcza, aby ich miejsce zajmowały słowa, które sięjeszcze nie «zużyły». Zamiast „dozorca” używa się „administrator domu”, dozajęcia miejsca „listonosza” pretendował „doręczyciel” itp. Wyrażeniami na-cechowanymi pejoratywnie są: „biurokrata”, „anarchista”, „faszysta”. Wyra-żeniami nacechowanymi pozytywnie są: „menedżer”, „demokrata”, „patriota”.W argumentacji, w zależności od jej celu, używa się takich słów, które przezswoje nacechowanie wzmacniają argumentację. Gdy ktoś argumentuje zaczymś, co opisuje się raczej wyrażeniami nacechowanymi pejoratywnie, zwy-kle dąży do stosowania określeń, które takiego nacechowania nie mają. Tensposób postępowania polega na stosowaniu eufemizmów. Zamiast powie-dzieć: „dokonał malwersacji”, można użyć eufemizmu i powiedzieć: „zrobiłfałszywy krok finansowy”. «Życie» eufemizmów jest krótkie. Eufemizm razużyty traci swoją rolę z powodu skojarzenia z rzeczywistością, do której sięodnosi. Zyskując pejoratywne nacechowanie musi być systematycznie zastę-powany przez eufemizm na samego siebie. Ktoś, kto może użyć w swojejargumentacji wyrażeń nacechowanych, zwykle tę sytuację wykorzystuje dlajej wzmocnienia. W dyskusji na temat legalizacji przerywania ciąży obser-wujemy używanie przez jedną ze stron określeń typu: „prawo do własnegociała”, „prawo wyboru”, „aborcja”, a przez drugą określeń typu: „prawo dożycia”, „zabójstwo nie narodzonych”.

Wypowiedź nacechowana emocjonalnie przeszkadza w racjonalnym po-dejściu do podejmowanego w niej zagadnienia. Bywa, że zależy nam naprzedstawieniu jakiejś sprawy bez wyrażenia naszego wobec niej stanowiska,a więc w języku nie nacechowanym emocjonalnie, czyli w języku neutral-


nym emocjonalnie. Mogę powiedzieć: „Drużyna piłkarska A wygrała 2:1z drużyną B”. Mogę powiedzieć: „Drużyna piłkarska B przegrała 1:2 z dru-żyną A”. Każda z tych dwu wypowiedzi jest nacechowana emocjonalnie. Tensam fakt mogę zakomunikować w sposób neutralny mówiąc: „Mecz międzydrużyną piłkarską A a drużyną B zakończył się wynikiem 2:1”2. Nie za-wsze jest to tak proste. Wypowiedzi „Prawo do niezawisłego sądu należy dopodstawowych praw człowieka” nie można — jak się zdaje — przeformuło-wać tak, aby ktoś, kto mówi o tym fakcie, mógł być odbierany jako ktoś,kto zajmuje stanowisko neutralne. Język nauki powinien być emocjonalnieneutralny. Nawet wyrażenia, które w języku potocznym są emocjonalnienacechowane, tracą to nacechowanie w języku nauki. Na przykład nazwa„szlachetny metal”, będąca w języku potocznym nacechowana pozytywnie,traci to nacechowanie w podręcznikach z fizyki i chemii.

Zadania

Zadanie 1.8. Podaj przykłady wyrażeń mających ten sam sens deskryptywnya różne sensy emocjonalne.

Zadanie 1.9. W wybranym tekście zastąp słowa nacechowane negatywnieprzez słowa emocjonalnie neutralne a następnie przez nacechowane pozy-tywnie.

Zadanie 1.10. Wskaż różnicę pomiędzy:

1. „wotum nieufności” a „wotum zaufania”

2. wotum nieufności a wotum zaufania.

Zadanie 1.11. Jak pod wpływem publicystyki może zmieniać się sens emo-cjonalny wyrazu „ciemnogród”?

Zadanie 1.12. Wskaż różnicę między nazwami „Włochy” i „Italia”.

Zadanie 1.13. W jakiej roli występuje słowo „logiczna” w wyrażeniu „logicznaprzesłanka”.

Zadanie 1.14. Czy w przekonaniu wypowiadającego zwrot: „nie wstydzę sięprzyznać, że jestem liberałem” wyraz „liberał” jest nacechowany emocjonal-nie?

2W języku środowiska sportowego obowiązują określone zasady podawania wyniku me-czu w zależności od tego, która drużyna to drużyną gospodarzy, a która gości. Tu mamyna uwadze język potoczny, który nie narzuca w tym względzie specjalnych zasad.


Zadanie 1.15. W trakcie jednej z debat telewizyjnych rzecznik SdRP zgłosiłzastrzeżenia wobec używania przez dziennikarzy określenia „partia postko-munistyczna”, po wyjaśnieniach musiał jednak przyznać, że określenie jegoparti jako partii postkomunistycznej jest zgodne ze znaczeniem tego wyra-żenia. Czym tłumaczysz postępowanie rzecznika SdRP?

Zadanie 1.16. Na podanym przykładzie wskaż rolę wyrażeń nacechowanych.Rosyjski prezydent Władimir Putin występując na Światowym Kongresie

Agencji Prasowych w Moskwie czynił zarzuty „niektórym mediom”. Wedługniego, media były zbyt neutralne w czasie kryzysu w Biesłanie.

„Jak możemy nazywać terrorystów angielskim słowem ‘rebels’ — po-wstańcy. Dla takich ludzi są tylko słowa ‘zabójca’ i ‘terrorysta’ ” — oświad-czył Putin.

Rosja wielokrotnie protestowała przeciwko «zbytniej wyrozumiałości»wobec czeczeńskich separatystów, których zachodnie media nazywają bo-jownikami, rebeliantami, powstańcami lub separatystami. Rosyjskie agencjei telewizje używają od lat sformułowań „bandyci”, „bojówkarze”, „członkowienielegalnych ugrupowań zbrojnych” czy „terroryści”.

Ulubionym obiektem krytyki Rosjan po biesłańskiej tragedii stała siębrytyjska BBC, która w odniesieniu do zbrojnego komanda nigdy nie użyłasłowa „terroryści”. Przedstawiciele BBC tłumaczą, że ich kodeks etycznysurowo zabrania używania tego słowa w jakichkolwiek materiałach.

Zadanie 1.17. W kampanii prezydenckiej w Polsce w 2005 r. o jednym z kan-dydatów informowano, że jego dziadek służył w Wermachcie. Która z rywa-lizujących stron o tym mówiła i dlaczego?

Zadanie 1.18. Podaj przykłady wyrażeń, które oprócz znaczenia idioma-tycznego mają znaczenie dosłowne oraz takich wyrażeń, które mają tylkoznaczenie idiomatyczne.

Zadanie 1.19. Niech słownikiem S języka J będzie zbiór { #, $, $, %, ! }.Niech gramatyka (reguły syntaktyczne) języka J są takie, że poprawnie zbu-dowanymi wyrażeniami języka J są skończone ciągi w elementów zbioru S,spełniające następujące warunki:

1. jeśli w ciągu w występują $ i $, to ciąg ten nie jest wyrażeniem językaJ ,

2. jeśli w ciągu w występują # i %, to ciąg ten nie jest wyrażeniem językaJ .

Czy warunki 1 i 2 określają język?


Zadanie 1.20. Niech słownikiem S języka J będzie zbiór { #, $, $, %, ! }.Niech gramatyka (reguły syntaktyczne) języka J są takie, że poprawnie zbu-dowanymi wyrażeniami języka J są wszystkie skończone ciągi w elementówzbioru S, spełniające następujące warunki:

1. w ciągu w nie występują zarazem $ i $,

2. w ciągu w nie występują zarazem # i %.

Czy wyrażeniami tak określonego języka są:

1. $$$

2. $#

3. $#$%

4. {$#

5. %$%}

Zadanie 1.21. Niech słownikiem S języka J będzie zbiór { #, $, $, %, ! }.Niech gramatyka (reguły syntaktyczne) języka J są takie, że poprawnie zbu-dowanymi wyrażeniami języka J są wszystkie skończone ciągi w elementówzbioru S, które spełniają przynajmniej jeden z warunków:

1. w ciągu w nie występują zarazem $ i $,

2. w ciągu w nie występują zarazem # i %.

Czy wyrażeniami tak określonego języka są:

1. $$$

2. $#

3. $#$%

4. {$#

1.3. KATEGORIE WYRAŻEŃ 37

1.3 Kategorie wyrażeń

Ze szkolnej nauki o języku znamy podział wyrażeń3. Wśród części mowywyróżnia się rzeczowniki, czasowniki, przymiotniki itd. Logika dla swoichpotrzeb też dokonuje podziału wyrażeń na kategorie. Wyrażeniom języko-wym przypisuje się kategorie syntaktyczne (odpowiadające rolom składnio-wym pełnionym przez te wyrażenia).

Definicja 1.23. Wyrażenie w1 w danym miejscu wystąpienia w wyrażeniuw2 (jako napis) jest wymienialne (wymienialne salva congruitate) z wyra-żeniem w3 wtedy i tylko wtedy, gdy po wpisaniu wyrażenia w3 w wyrażeniuw2 w to miejsce, w którym występuje wyrażenie w1 otrzymamy ciąg wyrazówbędący wyrażeniem.

Na przykład w wyrażeniu „Jan pisze listy” wyrażenie „pisze” jest wymie-nialne z wyrazem „czyta”. Wyraz „listy” nie jest zaś wymienialny z wyraże-niem „ładnie wygląda”.

Definicja 1.24. Kategoria składniowa (kategoria syntaktyczna) jestto klasa wszystkich i tylko wyrażeń wzajemnie wymienialnych.

Dwa wyrażenia należą więc do tej samej kategorii składniowej wtedyi tylko wtedy, gdy są wzajemnie wymienialne w dowolnych wyrażeniachw każdym miejscu ich wystąpienia. Wyrażeniami tej samej kategorii skła-dniowej są „ziemniak” i „seler”.

Kategoria syntaktyczna to każda (maksymalna) klasa wyrażeń należą-cych do tej samej kategorii składniowej. Dowolne dwa wyrażenia w1 i w2

należące do tej klasy są wzajemnie wymienialne w dowolnych wyrażeniachi nadto do tej klasy należy każde wyrażenie w3 wzajemnie wymienialne z wy-rażeniami należącymi do tej klasy.

W wypadku języka, którego wyrażeniom może przysługiwać więcej niżjedno znaczenie, jak to ma miejsce dla języka naturalnego, wyrażenie w za-leżności od tego, w jakim jest wzięte znaczeniu, ma taką lub inną kategorięskładniową. Wyraz „szyje” w jednym znaczeniu jest rzeczownikiem w liczbiemnogiej, a w drugim znaczeniu jest czasownikiem. Przypisując wyrażeniukategorię składniową mamy na uwadze wyrażenie wzięte w określonym zna-czeniu.

3W dalszym ciągu mówiąc o wyrażeniach będziemy mieli na uwadze wyrażenia jakiegośjednego ustalonego języka. Możemy więc używać terminu „wyrażenie” zamiast „wyrażeniejęzyka J ”. Podobnie — jeśli nie będzie to prowadzić do nieporozumienia — będziemypostępować z innymi terminami, których użycie powinno być zrelatywizowane do języka,jak np.: „wyraz”, „zdanie”, „nazwa”.


Dla nazwania kategorii składniowych stosowane są terminy znane z naukigramatyki. Terminom tym jednak w logice nadaje się specyficzne znaczenie.Wyróżnimy kategorie zdań, nazw, predykatów, spójników oraz słówek kwan-tyfikujących.

To, z wyrazów jakich rodzajów gramatycznych zbudowane jest wyra-żenie wyznacza strukturę lingwistyczną (gramatyczną) tego wyrażenia.Struktura logiczna wyrażenia wyznaczona jest przez kategorie syntak-tyczne wyrazów, z których to wyrażenie jest zbudowane. Problem przekładuwyrażenia języka naturalnego na wyrażenie języka logiki to przede wszyst-kim problem wskazania takiej struktury logicznej, aby zachodziła intuicyjnarównoznaczność wyrażenia przekładanego z jego przekładem.

Zadania

Zadanie 1.22. Wskaż niektóre wyrazy, które należą do tej samej kategoriiskładniowej co „i”.

Zadanie 1.23. Czy może być tak, że jakieś wyrażenie należy do różnychkategorii?

Zadanie 1.24. Czy jeżeli wyrażenie w1 należy do tej samej kategorii skła-dniowej, co wyrażenie w2, to wyrażenie w2 należy do tej samej kategoriiskładniowej, co wyrażenie w1?

Zadanie 1.25. Czy, jeżeli wyrażenie w1 należy do tej samej kategorii skła-dniowej, co wyrażenie w2, a w2 należy do tej samej kategorii składniowej cowyrażenie w3, to wyrażenie w1 należy do tej samej kategorii składniowej cowyrażenie w3?

1.3.1 Zdanie i prawdziwość

Pewne wyrażenia są prawdziwe lub fałszywe. O wypowiedzi „Warszawa jeststolicą Polski” powiemy, że jest prawdziwa. O wypowiedzi „Białystok jeststolicą Polski” powiemy, że jest fałszywa. O wyrażeniu „czerwony kwiat”ani nie powiemy, że jest fałszywe, ani że jest prawdziwe. Podobnie będziew wypadku „Zamknij drzwi!” i „Kto jest prezydentem Polski?”.

Definicja 1.25. Zdanie w sensie logicznym to takie i tylko takie wyrażenie,które jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe.

Definicja 1.26. Sąd to sposób rozumienia zdania, czyli znaczenie zdania.

Zdarza się, że jakieś wyrażenie służy do wypowiedzenia wielu zdań. Wy-rażenie takie ma syntaktyczną postać zdania, a wzięte poza kontekstem jest


wieloznaczne. Dopóki nie wiemy, jaki sąd należy wiązać z takim wyrażeniem,dopóty nie możemy ani twierdzić, że jest ono prawdziwe, ani twierdzić, żejest ono fałszywe. Może się bowiem zdarzyć, że wzięte w jednym znacze-niu jest zdaniem prawdziwym, a wzięte w innym znaczeniu, jest zdaniemfałszywym.

Definicja 1.27. Zdanie α języka J1 jest równoznaczne ze zdaniem β ję-zyka J2

4 wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie zdania α w języku J1 jest takiesamo jak znaczenie zdania β w języku J2.

Zdania równoznaczne to zdania z jednego języka, którym reguły znacze-niowe tego języka przyporządkowują jeden i ten sam sąd lub zdania z różnychjęzyków, którym w każdym z tych języków ich reguły znaczeniowe przypo-rządkowują to samo znaczenie. Przetłumaczyć zdanie jednego języka nazdanie drugiego to tyle, co znaleźć w języku, na który tłumaczymy, takiezdanie, które wyraża taki sam sąd jak zdanie, które tłumaczymy.

Zdania są podstawową kategorią wyrażeń. Na zdania w sensie logicznymnadają się zdania oznajmujące w sensie gramatycznym. Zdaniami w sensielogicznym nie są ani zdania pytajne, ani rozkazujące i wykrzyknikowe. Tegoustalenia terminologicznego nie należy rozumieć tak, że zasady logiki nie sto-sują się do wypowiedzi, w których występują zdania inne niż oznajmujące,lub że logika zajmuje się tylko zdaniami typu oznajmującego. Niewątpliwiejednak logika interesuje się przede wszystkim rozumowaniami, a dla nichpodstawowe są zdania jako wyrażenia prawdziwe lub fałszywe. Zrozumie-nie podanej definicji zdania wymaga dopowiedzenia, czym są prawdziwośći fałszywość.

Gdy w zwykłych codziennych sytuacjach mówimy o prawdziwości wy-powiedzi5, to mamy na uwadze zgodność tej wypowiedzi z tym, jak jestw rzeczywistości. Gdy mówię „pakunek A jest cięższy niż pakunek B”, too prawdziwości tej wypowiedzi rozstrzyga się porównując ciężary obu pa-kunków. Gdy w rzeczywistości pakunek A waży więcej niż pakunek B, tomoja wypowiedź jest uznawana za prawdziwą. Gdy zaś tak nie jest, a więcgdy A waży tyle samo, co B lub B waży więcej niż A, to moja wypowiedź

4Nie zakładamy, że język J2 jest różny od języka J1.5Słowa „prawdziwy” używa się też w innych kontekstach i znaczeniach, np. na odróż-

nienie produktów od ich namiastek i substytutów, jak w wypadku: „prawdziwa kawa”.Podobnie słowo „fałszywy” może być użyte nie tylko w odniesieniu do zdań. Mówimy np.o prawdziwym przyjacielu i o fałszywym przyjacielu, mówimy o prawdziwym pokoju, alenie ma czegoś, co określalibyśmy jako fałszywy pokój, o kimś, np. o Janie, możemy mówić,że jest fałszywy, ale nie mówimy (a w każdym razie nie wiemy, co to mogłoby znaczyć),że Jan jest prawdziwy (możemy zaś powiedzieć: „Jan jest prawdziwym przyjacielem”).


uznawana jest za fałszywą. Takie podejście wskazuje, że kierujemy się kla-sycznym rozumieniem prawdy.

Definicja 1.28. Zdanie jest prawdziwe wówczas i tylko, gdy w rzeczywi-stości jest tak, jak to zdanie głosi. Zdanie jest zaś fałszywe wówczas i tylko,gdy w rzeczywistości nie jest tak, jak zdanie to głosi.

Klasycznie rozumiana prawdziwość zdania nie zależy od tego, kto danezdanie wygłasza oraz od stanu wiedzy subiektywnie lub obiektywnie rozu-mianej.

Powyższe określenia prawdziwości i fałszywości zdań są potocznym sfor-mułowaniem klasycznej koncepcji prawdy. Klasyczne pojęcie prawdyjest dziełem starożytnych Greków i stanowi jeden z fundamentów cywili-zacji europejskiej. Takie określenia prawdziwości i fałszywości znajdujemyu Arystotelesa. Na przykład w swoim podstawowym dziele filozoficznym„Metafizyka” pisze on:

Twierdzenie o Bycie, że nie istnieje, albo o Nie-Bycie, że istnieje,jest fałszem; natomiast twierdzić, że Byt istnieje, a Nie-Byt nieistnieje, jest prawdą.

A w innym fragmencie tego dzieła głosi, że

Prawda albo fałsz z punktu widzenia rzeczy zależy od ich po-łączenia lub rozdzielenia; kto więc myśli o rozdzielonym, że jestrozdzielone, a o połączonym, że jest połączone, mówi prawdę,natomiast głosi fałsz, jeżeli się myśli przeciwnie o tym stanie rze-czy.

Duże uznanie zyskała definicja tak pojmowanej prawdy sformułowana przezżyjącego w Egipcie lekarza i filozofa żydowskiego Izaaka ben Salomona (845–940). W łacińskim przekładzie głosi ona:

Veritas est adaequatio intellectus et rei, secundum quod intellec-tus dicit esse quod est vel non esse quod non est.

Zwrot:

veritas est adaequatio intellectus et rei

można by przetłumaczyć:

prawda jest zgodnością poznania i rzeczy.


Problemem była definicja, która, po pierwsze, wyrażałaby to, co zawartejest w klasycznym rozumieniu prawdy, a po drugie, spełniałaby warunki po-prawności definicji formułowane w teorii definicji. Pierwszy warunek określasię jako warunek intuicyjnej trafności, a drugi — metodologicznej popraw-ności. Definicję klasycznego rozumienia prawdy, spełniającą oba warunki,podał A. Tarski (1901–1983) w pracy „Pojęcie prawdy w językach nauk de-dukcyjnych” z 1933 r. Definicja ta prowadzi do zgodnych z intuicyjną treściąklasycznego rozumienia prawdy twierdzeń takich, jak to, że każde zdaniejest prawdziwe albo fałszywe. Koncepcja prawdy według klasycznego, czylizgodnościowego rozumienia jest — jak też się mówi — koresponden-cyjną koncepcją prawdy.

Klasyczne rozumienie prawdy jest powszechne w nauce oraz w życiu co-dziennym. Filozofowie dyskutują nad innymi, różnymi od klasycznej kon-cepcjami prawdy, np. koherencyjną, pragmatyczną.

Wyrażając się swobodnie można powiedzieć, że w wypadku definicji ko-herencyjnej na to, aby zdanie było prawdziwe, potrzeba by nie wykluczałosię, by było zgodne ze zdaniami już uznanymi za prawdziwe. W sprawie tego,co wystarcza, aby było prawdziwe, istnieją jednak różne opinie zwolennikówtej koncepcji.

Zdanie prawdziwe w sensie klasycznym nie może się wykluczać z innymizdaniami prawdziwymi, sama zgodność nie wystarcza jednak, aby było praw-dziwe. Można bowiem wskazać zdanie fałszywe, które nie wyklucza się zezdaniami prawdziwymi.

W wypadku pragmatycznej koncepcji prawdy, pochodzącej od W. Ja-mesa (1842–1910), zdanie jest prawdziwe, gdy daje podstawę dla skutecz-nego działania. O przedmiocie powiemy, że jest niebieski nie dlatego, że jestniebieski, lecz dlatego, że jest to bardziej użyteczne. Czy Ziemia jest okrą-gła? Odpowiedź zależy od użyteczności odpowiedzi. Kiedyś użyteczna byłaodpowiedź, że jest płaska. Dzisiaj użyteczna jest odpowiedź, że jest okrągła.W przyszłości ta odpowiedź może być inna, jednak będzie o tym decydowałaużyteczność tej odpowiedzi.

Działa się skutecznie, opierając się na zdaniach prawdziwych w sensieklasycznym. Zdarza się jednak, że np. skutecznie leczy się jakieś schorze-nie, kierując się fałszywym przekonaniem co do działania stosowanego leku.Dowodzą tego doświadczenia z tzw. placebo.

Prawdziwość zdania w sensie koherencyjnym lub pragmatycznym jestzatem warunkiem koniecznym prawdziwości w sensie klasycznym. Nie jestzaś warunkiem wystarczającym.

Relatywność prawdy głoszą ci, co uważają, że prawdziwość zdaniazależy od okresu historycznego, kultury lub grupy społecznej. Zdanie, które


jest prawdziwe w jednym okresie historycznym nie musi być takie w innymczasie. Zdanie prawdziwe dla ludzi jednej kultury nie musi być takie dlaludzie innej tradycji. Grupa społeczna, klasa, a nawet płeć, ma swoje prawdy,które nie są prawdami innych grup.

Zgodnie z klasową koncepcją prawdy odrzucano jako burżuazyjne pseu-donauki np. teorię względności i genetykę. Podział ten utrzymał się naj-dłużej tam, gdzie sprawdzanie trwa najdłużej (ale i koszty są największe):w dziedzinie nauk społecznych.

Współcześnie wielu zwolenników ma feminizm. Na przykład femini-styczna matematyka w związku z mniejszym naciskiem na męską koncepcję„dowodu” ma zrewolucjonizować świat i doprowadzić do rozwiązania dotądnierozwiązywalnych problemów. Pogląd ten ma znajdować oparcie w kon-cepcji matematyki Stephen’a Wolframa.

Rozstrzygnięcia w zakresie rozumienia prawdy mają dalekosiężne konse-kwencje filozoficzne i światopoglądowe. Ci, którzy opowiadają się za kore-spondencyjną koncepcją prawdy, w etyce opowiadają się za etycznym reali-zmem. Zadaniem etyki jest poszukiwanie i uzasadnianie absolutnych prawdmoralnych. Normy etyczne są powszechne, tzn. obowiązują bez względuna czas historyczny, kulturę, grupę społeczną itp. Ci, którzy przyjmują re-latywistyczne rozumienie prawdy mogą w zgodzie z tak rozumianą prawdągłosić relatywizm moralny. Normy etyczne są różne w różnych czasach, róż-nych kulturach itp. Gdy przyjmie się, że prawdziwe jest to, co większośćludzi uważa za prawdziwe, to w sprawie norm moralnych można rozstrzygaćza pomocą referendum. Dla niektórych nawet wynika to z zasad demokra-tycznego charakteru życia społecznego. Rozstrzygnięcia w kwestii etyki mająistotne konsekwencje dla prawa.

Pytanie, co to jest prawda, które Piłat stawia stojącemu przed sądemChrystusowi, jest pytaniem, które musi stawiać sobie każdy.

Przyjęcie klasycznego rozumienia prawdy nie prowadzi do odrzucenia to-lerancji jako tolerancji dla osób, czyli poszanowania ludzi bez względu na ichpoglądy, bez względu na to, czy mają, czy też nie mają racji.

W naszych rozważaniach stać będziemy na gruncie klasycznego rozumie-nia prawdy. Dla logiki jest ono podstawowe. Zauważmy bowiem, że nawetci, którzy głoszą inne koncepcje, muszą stawiać pytanie, czy ich rozumienieprawdy jest zgodne z rzeczywistością, a więc pytają o prawdziwość, w sensieklasycznym, zdań, za pomocą których formułują swoją koncepcję.

Od prawdziwości i fałszywości odróżnić należy kategorie szczerości (praw-domówności) i kłamstwa. Prawdziwość i fałszywość są obiektywnymi wła-snościami zdań. O zdaniu możemy zaś orzekać, że jest szczere, lub że jestkłamstwem, ze względu na kogoś, kto to zdanie wypowiada.


Definicja 1.29. Ktoś jest szczery (prawdomówny) wypowiadając zdanieα, gdy wygłaszając α jako zdanie prawdziwe czyni to zgodnie ze swoimiprzekonaniami.

Może się zdarzyć, że ktoś wygłasza jakieś fałszywe zdanie będąc przeko-nanym o jego prawdziwości. W takim wypadku ten ktoś mówiąc nieprawdęmyli się. Zarzut kłamstwa wobec tego kogoś jest bezpodstawny. Mówienienieprawdy nie jest tym samym, co kłamanie.

Definicja 1.30. Ktoś kłamie wygłaszając zdanie α, gdy wygłaszając α jakozdanie prawdziwe czyni to niezgodnie ze swoimi przekonaniami.

Może się zdarzyć, że ktoś kłamiąc mówi prawdę. Jest tak, gdy mówiącyjest przekonany o fałszywości wygłaszanego zdania, a zdanie to jest praw-dziwe.

Od prawdziwości i fałszywości należy również odróżniać kategorie wie-dzy i niewiedzy subiektywnie lub obiektywnie rozumianych. Ktoś może niewiedzieć lub nikt może nie wiedzieć, a nawet czasem ze względów np. tech-nicznych nikt nigdy nie będzie wiedział, czy dane zdanie jest prawdziwe, czyfałszywe. Ono samo jednak jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe. Albowiemto, co ono głosi, jest bądź zgodne, bądź niezgodne ze stanem rzeczy.

Może się np. zdarzyć, że wątpię, czy jest tak, jak głosi jakieś zdanie α.Zatem ani nie twierdzę, że α jest prawdziwe, ani nie twierdzę, że α jestfałszywe. Czy zatem α nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe? To, że wątpię,czy jest tak jak głosi α, nie znaczy, że nie jest tak, że:

bądź jest tak, że α, bądź nie jest tak, że α.

Zauważmy, że klasyczne pojęcie prawdy jest pojęciem relacyjnym (nie na-leży tego mylić z relatywizmem w rozumieniu prawdy). To, czy zdanie jestprawdziwe, czy nie, zależy od stanu rzeczy, ze względu na który to zda-nie orzekamy. Zwykle gdy mówimy, że zdanie jest prawdziwe, nie mówimyo tym ze względu na jaki stan rzeczy, ze względu na jaki «świat», jest onoprawdziwe. Domyślnie przyjmujemy, że jest to świat realny, otaczająca nasrzeczywistość.

Pewne sytuacje życia codziennego sugerowałyby, że czasem przyjmujemynie relacyjne a relatywistyczne rozumienie prawdy. Jest tak jednak tylkopozornie. Kiedy bowiem zdarza się nam słyszeć?:

To jest prawdą dla ciebie, ale nie dla mnie.

Zwykle jest tak w wypadku wypowiedzi oceniających. Wypowiedź: „BillClinton jest dobrym prezydentem” może być różnie rozumiana ze względu na


możliwe różne rozumienia słowa „dobry”. Zależnie od rozumienia tego słowazdanie to jest prawdziwe lub fałszywe. „Jan jest dobrym kolegą” nawet przyjednym znaczeniu słowa „dobry” jest zdaniem prawdziwym dla tej osoby,dla której Jan jest dobrym kolegą, zaś fałszywym dla tej osoby, dla którejJan nie jest dobrym kolegą. Nie ma przecież żadnej sprzeczności w tym,by ta sama osoba była dobrym kolegą kogoś jednego i nie była dobrym ko-legą kogoś drugiego. Podobnie będzie w wypadku zdania „lody pistacjowesą smaczne”. Gdy mówię, że to nieprawda, to zwykle mam na uwadze to, żemi lody pistacjowe nie smakują. W istocie mówię więc o fałszywości zdania„lody pistacjowe mi smakują”. Powodem różnicy poglądów co do tego, czyzdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, może też być stan wiedzy osób, któreróżnią się poglądami. Stwierdzając więc, że zdanie α jest prawdziwe dla Janaa fałszywe dla Piotra, głosimy, że Jan uważa α za prawdziwe, a Piotr za fał-szywe. Sytuacja taka, że dwie osoby zajmują różne stanowisko w sprawieprawdziwości jakiegoś zdania, nie jest argumentem przeciwko klasycznemurozumieniu prawdy, daje się bowiem wyjaśnić także przy klasycznym rozu-mieniu prawdy.

Prawdziwość i fałszywość to wartości logiczne zdań. Stoimy na stano-wisku, że zdania są bądź prawdziwe, bądź fałszywe, czyli uznajemy zasadędwuwartościowości. Przyjmujemy więc, że oprócz prawdziwości i fałszy-wości nie ma innych wartości logicznych6. Zasada dwuwartościowości jestpodstawowym założeniem logiki klasycznej.

Określenie prawdziwości jako zgodności tego, co zdanie głosi z tym, jakjest w rzeczywistości, nic nie mówi o tym, jak tę zgodność stwierdzić, czylinie podaje kryterium (probierza) prawdziwości. Okazuje się, że mogąbyć różne sprawdziany tego, czy zdanie jest prawdziwe. W związku z dys-kusją koherencyjnej i pragmatycznej koncepcji prawdy zauważyliśmy, że niestoją one w sprzeczności z klasycznym rozumieniem prawdy. Mogą one sta-nowić podstawę dla kryterium prawdy rozumianej klasycznie. W wypadkukoherencyjnej koncepcji prawdy zdanie prawdziwe nie może wykluczać sięze zdaniami prawdziwymi, a więc gdy zdanie wyklucza się z jakimś zdaniemprawdziwym, to zdanie to można odrzucić jako fałszywe. W wypadku prag-matycznej koncepcji prawdy zdanie prawdziwe daje podstawę do skutecz-

6Rozważa się możliwość innych wartości logicznych niż prawda i fałsz. Badania nadlogikami więcej niż dwuwartościowymi, logikami wielowartościowymi, zostały zapocząt-kowane przez J. Łukasiewicza i E. Posta. Wielowartościowe rachunki logiczne znajdujązastosowanie w badaniach nad systemami logiki, mogą być wykorzystane dla opisu zagad-nień technicznych lub — przez filozofów przyrody — dla lepszego zrozumienia niektórychzjawisk, np. kwantowych. Jeśli chodzi o teorię rozumowań, to logiki wielowartościowe niespełniły oczekiwań ich twórców — naszym myśleniem «rządzi» logika dwuwartościowa.


nego działania, a więc nieskuteczne działanie wskazuje na fałszywość zdania,w oparciu o które działamy. Ze względu na rodzaj kryterium prawdy zdaniadzielimy na te, których wartość logiczna:

1. jest określona przez znaczenia składających się na nie wyrażeń;

2. jest zależna od rzeczywistości, o której jest zdanie.

W wypadku niektórych zdań dla stwierdzenia ich prawdziwości wystarczaznajomość znaczenia składających się nie wyrażeń. Ktoś, kto rozumie słowo„kawaler”, na podstawie samego znaczenia uznaje za prawdziwe zdanie „ka-waler nie ma żony”. Stwierdzenie prawdziwości zdania „α lub nieprawda, żeα” wymaga tylko rozumienia zwrotów „lub” i „nieprawda, że” oraz uwzględ-nienia budowy tego zdania.

Definicja 1.31. Zdanie analityczne to zdanie, które jest prawdziwe namocy znaczenia składających się na nie wyrażeń i swej budowy.

Zdanie analityczne to zdanie, którego nie można uznać za fałszywe beznaruszenia reguł semantycznych.

Podobnie jak można stwierdzić prawdziwość zdania na podstawie samegoznaczenia, tak można też stwierdzić fałszywość zdania. Ma to miejsce w wy-padku zdań „trójkąt ma cztery boki” oraz „α i nieprawda, że α”.

Definicja 1.32. Zdanie wewnętrznie sprzeczne (wewnętrznie kon-tradyktoryczne) to zdanie, które jest fałszywe na mocy znaczenia składa-jących się na nie wyrażeń i swej budowy.

Zdanie wewnętrznie sprzeczne (wewnętrznie kontradyktoryczne) to zda-nie, którego nie można uznać za prawdziwe bez naruszenia reguł seman-tycznych języka. Należy odróżniać między zdaniem kontradyktorycznyma bezsensem. Zdanie kontradyktoryczne nie jest bezsensem, bowiem wyrażapewien sąd, ma znaczenie. Bezsens mając nawet syntaktyczną postać zda-nia jest wyrażeniem, któremu zgodnie z regułami semantycznymi nie możnaprzypisać znaczenia, a tym samym nie przysługuje mu wartość logiczna.

Mówiąc o funkcji informacyjnej języka zauważyliśmy, że obiektywna za-wartość informacyjna komunikatu może być mierzona prawdopodobieństwemzajścia sytuacji opisywanej przez ten komunikat. Zgodnie z tym zdania anali-tyczne nie przekazywałyby żadnej informacji, zaś zdania wewnętrznie kontra-dyktoryczne byłyby zdaniami z maksymalną informacją (tyle że fałszywą).

W wypadku zdań analitycznych i wewnętrznie kontradyktorycznych dlaustalenia ich prawdziwości i, odpowiednio, fałszywości nie jest konieczny kon-takt poznawczy z rzeczywistością (pozajęzykową). Inaczej jest w wypadku


pozostałych zdań w sensie logicznym, czyli zdań, które nie są ani analityczne,ani wewnętrznie kontradyktoryczne.

Definicja 1.33. Zdanie syntetyczne to zdanie, stwierdzenie prawdziwościktórego wymaga poznawczego kontaktu z rzeczywistością, o której jest tozdanie.

Zdaniem syntetycznym jest „Jan Kowalski jest ojcem Piotra Kowalskiego”.Ustalenie ojcostwa nie jest proste. Nie jest jednak w ogóle możliwe na pod-stawie samych znaczeń wyrażeń i budowy zdania.

Znaczenie i budowa zdań mogą być źródłem pewnych związków międzynimi.

Definicja 1.34. Zdanie α jest logicznie równoważne zdaniu β wtedyi tylko wtedy, gdy analityczne jest zdanie „α wtedy i tylko wtedy, gdy β”.

Zdania równoznaczne są logicznie równoważne. Przykładem zdań lo-gicznie równoważnych są „Warszawa jest stolicą Polski” i „stolicą Polski jestWarszawa”. Dwa zdania tworzą parę zdań logicznie równoważnych wówczas,gdy na mocy ich znaczenia i budowy wykluczone jest, aby było możliwe, żejedno z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Zdania logicznie równoważnemogą być bądź współprawdziwe, bądź współfałszywe. Zdaniami logicznierównoważnymi są więc również „Białystok jest stolicą Polski” i „stolicą Pol-ski jest Białystok”. Każde zdanie jest logicznie równoważne samemu sobie.Zdaniami logicznie równoważnymi są „α ∧ β” i „β ∧ α”.

Definicja 1.35. Zdanie α jest sprzeczne ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy,gdy zdanie „α wtedy i tylko wtedy, gdy β” jest zdaniem wewnętrznie sprzecz-nym.

Przykładem zdań sprzecznych mogą być zdania: „Warszawa jest stolicąPolski”, „Warszawa nie jest stolicą Polski”. Dwa zdania tworzą parę zdańsprzecznych wtedy i tylko wtedy, gdy na mocy znaczenia wykluczona jestmożliwość ich współprawdziwości i wykluczona jest możliwość ich współfał-szywości. Zdaniami sprzecznymi są więc zawsze zdanie i jego negacja: α,nie-α. Zdaniami sprzecznymi są jednak nie tylko takie zdania. Sprzeczne sązdania: „każdy student ma wykłady z logiki”, „niektórzy studenci nie mająwykładów z logiki”7.

Definicja 1.36. Zdanie α dopełnia się ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy,gdy zdanie „α lub β” jest zdaniem analitycznym.

7Zdanie to (na mocy prawa De Morgana) jest logicznie równoważne negacji zdania„każdy student ma wykłady z logiki”.


Przykładem zdań dopełniających się są zdania: „niektóre stoły mającztery nogi”, „niektóre stoły nie mają czterech nóg”. Zdania dopełniają się,gdy na mocy ich znaczenia i budowy wykluczona jest ich współfałszywość.

Definicja 1.37. Zdanie α wyklucza się ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy,gdy zdanie „α i β” jest zdaniem wewnętrznie kontradyktorycznym.

Zdania, które się wykluczają, nie mogą być współprawdziwe. Przykła-dem takich zdań są: „ten stół jest biały”, „ten stół jest zielony”.

Zdania, które się dopełniają, nie muszą się wykluczać, a zdania, które sięwykluczają, nie muszą się dopełniać. Gdy tak jednak jest, to są to zdaniasprzeczne. Zdania są sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy się wykluczająi dopełniają zarazem.

Zadania

Zadanie 1.26. Czy kategorie: postępowe, współczesne, tak sądzi większośćludzi, są «konkurentami» kategorii prawdy?

Zadanie 1.27. Podaj jeszcze inne niż wymienione w zad. 1.26 powody, dlaktórych niektórzy uznają zdania.

Zadanie 1.28. Podaj przykład tekstu, w którym występują zdania fałszywei zdania prawdziwe oraz żadne z tych zdań nie wyklucza się z innymi.

Zadanie 1.29. Czy świadek zeznający pod przysięgą może być ukarany, gdy:

1. kłamie?

2. mówi nieprawdę?

Zadanie 1.30. Zaklasyfikuj podane zdania jako analityczne, kontradykto-ryczne lub syntetyczne:

1. Białystok jest w Polsce.

2. Każde polskie miasto jest w Polsce.

3. Niektóre psy są łaciate.

4. Wiem, co wiem.

5. Niektóre koty jedzą ryby, a niektóre nie jedzą ryb.

6. Niektóre koty jedzą ryby i nie jedzą ryb.


7. Większość kotów je ryby i większość nie je.

8. Jest wiele drzew w Puszczy Białowieskiej.

9. Wszystkie drzewa w Puszczy Białowieskiej są drzewami.

10. Niektórzy kawalerowie nie są szczęśliwi.

11. Wszyscy kawalerowie nie są żonaci.

12. Niektórzy kawalerowie są żonaci.

13. Niektórzy kawalerowie są kobietami.

14. Jesteśmy, kim jesteśmy.

15. Fałsz jest fałszem, niezależnie jak dawny; prawda jest prawdą, cho-ciażby zrodziła się wczoraj.

16. Nic w biznesie nie jest tak cenne, jak czas.

17. Jesteśmy na nieodwracalnej drodze wolności i demokracji — lecz możesię to zmienić.

18. Jestem tak bardzo za, że aż przeciw. (Lech Wałęsa)

19. Jeśli coś nie działa, to nie działa.

20. To, że wszystko jest inne, nie znaczy, że coś się zmieniło.

21. Byłem zdrowy przez całe życie oprócz kilku ostatnich lat, gdy chorujęna serce.

22. Wielkość jest wielkością, bez względu na setki błędów.

23. Główną przyczyną masowego analfabetyzmu jest fakt, że każdy umieczytać i pisać.

24. Analfabeta? Napisz jeszcze dziś prośbę o bezpłatną pomoc. (Napisw autobusach w San Francisco).

25. Gdy ludzi są bez pracy, mamy bezrobocie.

26. Jestem tolerancyjny wobec wszystkich z wyjątkiem nietolerancyjnych.

27. Nasza przeszłość jest historią.


28. Wszystkie dzieci są młode.

29. Istnieję.

30. Umowa nie zostanie dotrzymana chyba, że zdarzy się cud.

Zadanie 1.31. Podaj zdanie logicznie równoważne, zdanie sprzeczne, zdaniedopełniające się i zdanie wykluczające się ze zdaniem:

1. Nieprawda, że α;

2. α lub β;

3. α i β;

4. Jeżeli α, to β;

5. α wtedy i tylko wtedy, gdy β;

6. Każde x jest P;7. Niektóre x są P;8. Żadne x nie jest P;9. Niektóre x nie są P.

Zadanie 1.32. Czy prawdziwe może być zdanie „to, co mówię nie jest prawdą”8?

Zadanie 1.33. Nieomylnym jest ktoś, kto w wypadku dowolnego zdania αna pytanie, czy wie, że α, jeśli α jest fałszywe, odpowiada, że nie wie. Czymożna być nieomylnym?

Zadanie 1.34. Wszechwiedzącym jest ktoś, kto w wypadku dowolnego zdaniaα na pytanie, czy wie, że α, jeśli α jest prawdziwe, odpowiada, że wie. Czymożna być wszechwiedzącym?

1.3.2 Nazwa

Drugą, obok zdań, ważną kategorią wyrażeń są nazwy. Wyrażenia: „krze-sło”, „stół”, „Jan”, „najwyższy budynek świata”, „nauczyciel matematyki” sąnazwami.

Nazw używamy do wskazywania przedmiotów: osób, rzeczy, przedmiotówabstrakcyjnych. To, do wskazania jakich przedmiotów nazwy można użyć,jest składnikiem znajomości języka.

8Por. o paradoksie kłamcy w części 2.5.8 pt. Paradoksy logiczne.


Definicja 1.38. Nazwa to wyrażenie, które służy do wskazywania przed-miotów.

Ta semantyczna definicja nazwy przez jej funkcję może być zastąpionadefinicją syntaktyczną przez wyróżnienie w słowniku kategorii nazw i wska-zanie reguł syntaktycznych tworzenia nazw. Nazwy nadają się na podmiotlub orzecznik.

W języku naturalnym jako nazwy mogą być użyte rzeczowniki, przymiot-niki, imiesłowy przymiotnikowe, przysłówki, liczebniki.

Zakres i znaczenie nazwy

Definicja 1.39. Nazwa oznacza (denotuje) przedmiot, do wskazania któ-rego jest używana. Przedmiot oznaczany przez nazwę to jej desygnat9.

Pojęcie nazwy — jak w ogóle wyrażenia — zrelatywizowane jest to ję-zyka. Kiedy mówimy tu o nazwie mamy na uwadze nazwę jakiegoś języka J .Reguły semantyczne języka J wyznaczają jego dziedzinę, czyli uniwersum,tj. — mówiąc po prostu — świat, o którym można mówić za pomocą językaJ . Zwykle, w szczególności w przykładach, gdy nie jest zaznaczone, o jakijęzyk chodzi, mamy na uwadze język naturalny.

Definicja 1.40. Zbiór desygnatów wszystkich nazw danego języka to zbióruniwersalny (dziedzina) tego języka (symb.: U).

W wypadku arytmetyki liczb naturalnych zbiorem uniwersalnym jestzbiór liczb naturalnych. Elementy tego zbioru są desygnatami wszystkichnazw liczb naturalnych. Jeśli dziedziną rozważań jest świat roślin, co mamiejsce w wypadku botaniki, to zbiorem uniwersalnym jest zbiór roślin. Ro-śliny są wszystkimi desygnatami nazw języka botaniki.

Określenie zbioru uniwersalnego (dziedziny) jest składnikiem definicji ję-zyka.

Elementami zbioru uniwersalnego nie muszą być przedmioty (realnie) ist-niejące. Możemy tworzyć — i tworzymy — języki do mówienia o wytworachwyobraźni. Do zbioru uniwersalnego języka bajki o krasnoludkach i sierotceMarysii należeć będą krasnoludki, Marysia i inne postacie z tej bajki.

Desygnaty nazwy jednoznacznie określają jej zakres (denotację).

Definicja 1.41. Przedmiot a należy do zakresu nazwy „A” wtedy i tylkowtedy, gdy a jest desygnatem nazwy „A”.

9Designo — po łacinie — wyznaczam, wskazuję.


Stoły są desygnatami nazwy „stół”. Do zakresu tej nazwy należą wszyst-kie i tylko stoły.

Zakres nazwy zależy od uniwersum języka. Desygnatami nazwy mogąbyć bowiem tylko elementy zbioru uniwersalnego. Zakres nazwy nie możewychodzić poza dziedzinę języka.

Zakres nazwy można określać ze względu na stan faktyczny, czyli jak jestw rzeczywistości lub ze względu na logiczną możliwość. Rozróżniamy więcpomiędzy zakresem analitycznym a zakresem syntetycznym.

Definicja 1.42. Zakresem analitycznym nazwy jest zbiór wszystkichi tylko logicznie możliwych jej desygnatów.

Definicja 1.43. Zakresem syntetycznym nazwy jest zbiór wszystkichi tylko tych przedmiotów, które są jej desygnatami.

Zauważmy, że zakres syntetyczny zawiera się w zakresie analitycznym,tzn. każdy element zakresu syntetycznego jest elementem zakresu analitycz-nego, ale nie koniecznie na odwrót. Na przykład analityczny zakres nazwy„pasażerskie lotnisko w Białymstoku” jest niepusty, ale jej zakres syntetycznyjest pusty i taki będzie dopóki w Białymstoku nie zostanie pobudowane lot-nisko pasażerskie.

W wypadku syntetycznego rozumienia zakresu rozróżniać można zakresybiorąc pod uwagę sytuację aktualną lub historyczną. Można więc twierdzić,że nazwa „król Polski” jest pusta, mając na uwadze stan aktualny lub, żenazwa ta ma wiele desygnatów, kiedy pod uwagę bierzemy historię Polski.

Zdarza się, że te same co do kształtu wyrażenia służą do wypowiedzeniaróżnych nazw. Gdy zajdzie taka potrzeba będziemy mówić o wyrażeniunazwowym.

Definicja 1.44. Wyrażenie nazwowe to wyrażenie, które może być użytedo wypowiedzenia nazwy.

Definicja 1.45. Pojęcie to sposób rozumienia nazwy, czyli znaczenie na-zwy.

Wyrażeniu może przysługiwać więcej niż jedno znaczenie, a więc z wy-rażeniem nazwowym może być wiązane więcej niż jedno pojęcie. Dopókinie wiemy, jakie w danym wypadku pojęcie należy wiązać z wyrażeniemnazwowym, dopóty nie wiemy do wypowiedzenia jakiej nazwy jest to wy-rażenie użyte. Kiedy mówimy o „nazwie” mamy na uwadze wyrażenie na-leżące do kategorii nazw z przysługującym mu — jeżeli mu przysługuje —


znaczeniem. Kiedy mówimy tu np. o „nazwie wieloznacznej” to mamy nauwadze wyrażenie nazwowe, które może być użyte do wypowiedzenia róż-nych nazw. Wyrażenia „nazwa” używamy więc również w znaczeniu „wyra-żenie nazwowe”. Będziemy tak postępować w wypadkach użycia tradycyjnejterminologii. W każdym wypadku powinno być jasne, w jakim znaczeniutermin „nazwa” został użyty. Terminu „nazwa” będziemy tu z zasady uży-wać na oznaczenie wyrażeń kategorii nazwowej wziętej w dokładnie jednymznaczeniu. Unikniemy w ten sposób zwrotów w rodzaju „nazwa A wziętaw znaczeniu z”.

Definicja 1.46. Nazwa A z języka J1 jest równoznaczna z nazwą B z ję-zyka J2

10 wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie nazwy A w języku J1 jest takiesamo jak znaczenie nazwy B w języku J2.

Nazwy równoznaczne to nazwy z jednego języka, którym reguły zna-czeniowe tego języka przyporządkowują jedno i to samo pojęcie lub nazwyz różnych języków, którym w każdym z tych języków ich reguły przyporząd-kowują to samo znaczenie. Przetłumaczyć jakąś nazwę z jednego języka nadrugi to znaczy tyle samo, co wskazać w drugim języku nazwę, której przypo-rządkowane jest to samo pojęcie, co nazwie w języku, z którego tłumaczymy.Nazwami równoznacznymi są np. „kartofel” i „ziemniak”.

Terminu „pojęcie” używamy— jeśli nie będzie to specjalnie zaznaczone —w znaczeniu „znaczenie nazwy”. Samo słowo „pojęcie” ma więcej niż jednoznaczenie. O pojęciu mówimy jako o wiedzy, poglądzie lub opinii. Kiedymówię, że nie mam pojęcia jak działa komputer, to mówię, że nie wiem jakdziała komputer. Kiedy ktoś mówi, że nie ma pojęcia co sądzić o jakiejśsprawie, to mówi tyle, że nie ma w tej sprawie opinii. Ponieważ „pojęcie”jest wyrażeniem nazwowym, znaczy to więc, że przyporządkowane jest muwięcej niż jedno pojęcie. Gdy jednak mówimy o pojęciu jako o znaczeniuokreślonej nazwy, to nie możemy mówić, że jest ono wieloznaczne. Zda-nie stwierdzające to będzie zdaniem wewnętrznie kontradyktorycznym. Naprzykład zdanie „pojęcie zamku jest wieloznaczne” jest równoważne zdaniu„znaczenie słowa ‘zamek’ jest wieloznaczne” lub — co na jedno wychodzi —„znaczenie słowa ‘zamek’ ma więcej niż jedno znaczenie”. Zdaniami praw-dziwymi, a tym samym nie będącymi wewnętrznie kontradyktorycznymi sązdania:

Słowu „zamek” reguły semantyczne przyporządkowują więcej niż jednopojęcie.

Słowo „zamek” ma więcej niż jedno znaczenie.10Nie zakładamy, że język J2 jest różny od języka J1.


Definicja 1.47. Nazwa jestwieloznaczna zakresowo wtedy i tylko wtedy,gdy jej zakres w jednym znaczeniu jest różny od jej zakresu w innym zna-czeniu.

Wieloznaczna zakresowo jest np. nazwa „zamek”.Nazwy wieloznaczne zakresowo są wieloznaczne. Odwrotna sytuacja nie

musi mieć miejsca. Nazwy „mieszkaniec stolicy Polski” i „mieszkaniec War-szawy” są równozakresowe, ale nie są równoznaczne.

Znaczenie nazwy jest jej cechą obiektywną, określone jest bowiem przezreguły znaczeniowe języka. Użytkownicy języka nie naruszając tych regułmogą wiązać z nazwą przysługiwanie lub nie jakichś cech przez jej desygnaty.

Definicja 1.48. Treść językowa (konotacja) nazwy to zbiór tych i tylkotych cech, które zgodnie z regułami semantycznymi przypisywane są każdemujej desygnatowi.

Treść językowa nazwy:

1. nie zależy od posiadania przez nazwę desygnatów;Nazwy pustej użytkownik języka będzie używał do wskazania każdegoprzedstawienia przedmiotu, które będzie ujmowało cechy należące dotreści językowej takiej nazwy. Rysunek będzie uznany za przedsta-wienie krasnoludka, jeśli przedmiot przedstawiony na rysunku, będziemiał cechy zawarte w treści nazwy „krasnoludek”.

2. nie musi obejmować wszystkich wspólnych cech desygnatów;To, że treść językowa nazwy nie musi obejmować wszystkich cechwspólnych desygnatów tej nazwy może skutkować uznaniem pewnychprzedmiotów za desygnaty nazwy, choć nimi nie są, jak np. w wy-padku języka potocznego treść językowa nazwy „ryba” umożliwiałabyuznanie wieloryba za rybę (bo w treści nazwy „ryba” uwzględnione sątylko niektóre cechy wspólne wszystkim rybom i wszystkie te cechyprzysługują również wielorybom), a treść językowa nazwy „gwiazda”umożliwiałaby uznanie planet za gwiazdy (bo wszystkie cechy zawartew treści nazwy „gwiazda” posiadają również planety).ponadto

3. może obejmować cechy, które w rzeczywistości nie przysługują wszyst-kim jej desygnatom.W tym, że treść językowa można obejmować cechy, które nie przysłu-gują wszystkim jej desygnatom należy upatrywać trudności zwykłegoużytkownika języka w uznaniu nietoperza za ssaka (bo ssak potoczniekojarzy się ze zwierzęciem, które nie jest zdolne do latania).


Treść językowa ma charakter historyczny. Musimy być tego świadomiczytając dawne teksty: tym samym wyrazom niekoniecznie towarzyszyły tesame treści, które wiążemy z nimi współcześnie. Treść językowa ma równieżcharakter subiektywny. Musimy być tego świadomi w kontaktach z innymi:wpływ mają wykształcenie, środowisko, różnice kulturowe i religijne. Nietylko ważne jest, co się mówi (jakie słowa są wypowiadane), ale też ktomówi, np. z zasady polityk jest za postępem i rozwojem, lecz w zależnościod reprezentowanej przez niego opcji politycznej słowa „postęp” i „rozwój”mogą mieć zasadniczo różne treści. Zdarza się, że temu samemu wyrazowiróżne słowniki przypisują różną treść językową. Ta sama nazwa różni siętreścią w zależności od języka. Treść nazwy „woda” w języku potocznym niepozwala jej odnosić się do lodu, inaczej zaś jest w języku nauki.

Mówimy też o treści pełnej.

Definicja 1.49. Treścią pełną nazwy jest zbiór cech, które łącznie przy-sługują każdemu jej desygnatowi.

Nazwy są równoznaczne wtedy i tylko wtedy, gdy nie różnią się treścią.W zbiorze wszystkich cech można wyróżnić takie, które same w pełni

charakteryzują zakres nazwy. Będzie to treść charakterystyczna.

Definicja 1.50. Treścią charakterystyczną nazwy jest zbiór cech taki,że każdy desygnat tej nazwy posiada te cechy oraz tylko przedmioty będącejej desygnatami posiadają te cechy łącznie.

Treść charakterystyczna nazwy jest więc jednoznaczną charakterystykąjej zakresu. Na przykład treść charakterystyczną nazwy „człowiek” tworzącechy zwierzęcości i rozumności: człowiek to zwierze rozumne.

Danej nazwie można przyporządkować więcej niż jedną treść charaktery-styczną. Na przykład kwadrat jest jednoznacznie charakteryzowalny przezbycie prostokątem równobocznym, ale również może być jednoznacznie scha-rakteryzowany jako prostokąt równoboczny wpisywalny w koło. Wyróżnićmożemy treść charakterystyczną minimalną, czyli taką, że odrzucenie z niejjakiejkolwiek cechy powoduje, że treść ta przestaje być treścią charaktery-styczną tej nazwy.

Definicja 1.51. Treścią konstytutywną nazwy jest najmniejsza treśćcharakterystyczna tej nazwy. Cechy składające się na treść konstytutywnąto cechy konstytutywne.

Cechami konstytutywnymi człowieka są zwierzęcość i rozumność. Łączniete cechy składają się na treść konstytutywną nazwy „człowiek”.


Może być tak, że treści konstytutywne nazwy są różne. Na przykładkwadrat możemy minimalnie jednoznacznie charakteryzować jako prostokątrównoboczny lub możemy w taki sam sposób scharakteryzować go jako czwo-robok równoboczny (romb) wpisywalny w koło.

Ze względu na dane cechy konstytutywne wyróżniamy cechy względemnich pochodne.

Definicja 1.52. Cechą konsekutywną desygnatów nazwy są te cechy,które nie są konstytutywne a których przysługiwanie każdemu desygnatowinazwy wynika z faktu przysługiwania im cech konstytutywnych.

Cechami konsekutywnymi kwadratu jako prostokąta równobocznego sąnp. wpisywalność w koło, przecinanie się przekątnych pod katem prostym,równość obu przekątnych.

Każdemu desygnatowi nazwy może przysługiwać cecha, która nie jest anicechą konstytutywną ani cechą konsekutywną. Na przykład cecha dwunożno-ści należy do pełnej treści nazwy człowiek, a nie jest ani cechą konstytutywnaani konsekutywną człowieka. Taka cecha to cecha przygodna.

Supozycje

Nazwy mogą być użyte na różne sposoby, w logice tradycyjnej określane jakosupozycje11. Sposoby te charakteryzowane są przez to, do wskazania czegonazwa została użyta.

Definicja 1.53. Nazwa użyta jest w supozycji naturalnej (suppositio na-turalis) wtedy i tylko wtedy, gdy odnosi się do każdego ze swoich desygnatów.

W zdaniu „człowiek jest śmiertelny” nazwa „człowiek” odnosi się do każ-dego swojego desygnatu. Zdanie „człowiek jest śmiertelny” jest więc równo-ważne zdaniu „każdy człowiek jest śmiertelny”.

Definicja 1.54. Nazwa użyta jest w supozycji przedmiotowej (suppo-sitio personalis) wtedy i tylko wtedy, gdy odnosi się do jednego ze swoichdesygnatów.

W zdaniu „widzę człowieka” nazwa „człowiek” odnosi się do jednego zeswoich desygnatów.

Definicja 1.55. Nazwa użyta jest w supozycji formalnej (suppositio sim-plex, zwanej też suppositio formalis) wtedy i tylko wtedy, gdy użyta jest jakonazwa gatunku wszystkich i tylko swoich desygnatów.

11Supponere — po łacinie — zastępować, podstawiać, podkładać.


W zdaniach „w klasyfikacji zoologicznej człowiek zaliczony jest do gro-mady ssaków” oraz „w obrębie gromady ssaków człowiek należy do rzędunaczelnych” wyraz „człowiek” nazywa gatunek wszystkich i tylko desygna-tów nazwy „człowiek”. Kiedy mówimy, że człowiek pochodzi od małpy, tozarówno nazwa „małpa” jak i „człowiek” użyte są w supozycji formalnej.

Definicja 1.56. Wyrażenie użyte jest w supozycji materialnej (suppositiomaterialis) wtedy i tylko wtedy, gdy odnosi się do samego siebie.

Nazwa „człowiek” użyta jest w supozycji materialnej w zdaniu:

Wyraz „człowiek” jest nazwą.

Prawdą jest, że „człowiek” jest nazwą, a nie jest prawdą, że człowiek jestnazwą. W języku pisanym — co tu praktykujemy — użycie wyrażenia w su-pozycji materialnej zaznaczamy ujmując je w cudzysłowy12. W wypadku,gdy wyrażenie użyte w supozycji materialnej występuje w innym wyrażeniuużytym w supozycji materialnej będziemy stosować: ‘, ’.

W języku mówionym nie wypowiada się cudzysłowu. Użycie jednak wy-rażenia przez poprzedzenie go np. słowem „wyrażenie” tworzy kontekst,w którym to wyrażenie należy brać jako użyte w supozycji materialnej. Gdymówię: „krzesło pisze się przez erzet” to kontekst wskazuje na użycie wyrazu„krzesło” w supozycji materialnej mimo, że brak formalnych wyróżnikówtakiego użycia. Tego rodzaju praktyka rezygnowania z użycia formalnychwskaźników użycia wyrażenia w supozycji materialnej jest stosowana takżew języku pisanym i to również przez logików. Można tak postąpić, gdy kon-tekst jednoznacznie wskazuje na to, w jakiej supozycji wyrażenie jest użytea użycie cudzysłowu raczej utrudniało by percepcję tekstu.

Definicja 1.57. Nazwa cudzysłowowa to nazwa wyrażenia powstała przezujęcie tego wyrażenia w cudzysłowy.

Z pojęciem supozycji materialnej wiąże się pojęcie stopnia języka. Mającjakiś język J 1 (język przedmiotowy, język pierwszego rzędu) możemy chciećgo badać, wygłaszać o nim twierdzenia itp. Musimy więc dysponować ję-zykiem drugiego rzędu J 2, który nam to umożliwi. W języku J 2 możemytworzyć nazwy wyrażeń języka J 1 poprzez branie tych wyrażeń w cudzy-słowy.

12Zauważmy, że nie jest to jedyna funkcja cudzysłowu. Używa się go również, abywyróżnić tekst cytowany i jego tytuł, albo aby zaznaczyć użycie jakiegoś wyrażenia w in-nym znaczeniu niż dosłowne i słownikowe. Dla tego ostatniego celu w niniejszej książcezdecydowano się zastosować: « ».


Definicja 1.58. Język J2 jest metajęzykiem języka J 1 wtedy i tylkowtedy, gdy zawiera nazwy wyrażeń języka J 1.

Zdanie „w arytmetyce zwykle stosuje się cyfry arabskie” nie należy dojęzyka arytmetyki jak np. zdania: „2 + 2 = 4”, „2 + 2 = 5”, lecz do me-tajęzyka tego języka. Do języka matematyki nie należą terminy takie, jak„równość”, „równanie”, z którymi spotykamy się praktycznie w każdym pod-ręczniku matematyki. Do języka arytmetyki należy symbol „=”, w językuarytmetyki sformułowane jest równanie: „x + 3 = 5”.

Wyróżnia się języki ze względu na to, czy zawierają wyrażenia odnoszącesię do innego języka. Język pierwszego stopnia to język, za pomocą któ-rego mówimy o pewnej dziedzinie przedmiotowej. Jego metajęzyk to językdrugiego stopnia. Metajęzyk języka n-tego stopnia to język stopnia (n + 1).

Zakresowe stosunki między nazwami

Zakresy nazw są zbiorami. Możemy więc mówić o operacjach teoriomnogo-ściowych na zakresach nazw. Niech zakresem nazwy „X ” będzie zbiór X .

Suma zakresów nazw „A” i „B” to zbiór A ∪B taki, że

x ∈ (A ∪B)wtedy i tylko wtedy, gdy

x ∈ A lub x ∈ B.

Zbiór A ∪ B jest zakresem nazwy „A lub B”. Na przykład zakresem nazwy„krzesło lub fotel” jest suma teoriomnogościowa zakresu nazwy „krzesło” i za-kresu nazwy „fotel”.

Iloczyn zakresów nazw „A” i „B” to zbiór A ∩B taki, że

x ∈ (A ∩B)wtedy i tylko wtedy, gdy

x ∈ A i x ∈ B.

Zbiór A∩B jest zakresem nazwy „A i B”. Na przykład zakresem nazwy „stu-dent i sportowiec” jest przecięcie zakresu nazwy „student” i zakresu nazwy„sportowiec”.

Dopełnieniem do zbioru uniwersalnego zakresu nazwy „A” jest zbiór A′

taki, że

x ∈ A′

wtedy i tylko wtedy, gdyx 6∈ A.


Zbiór A′ jest zakresem nazwy „nie-A”. Na przykład zakresem nazwy „nie-student” jest dopełnienie do zbioru uniwersalnego zakresu nazwy „student”.

Dopełnieniem względnym do zakresu nazwy A zakresu nazwy B jest zbiórA \B taki, że

x ∈ A \Bwtedy i tylko wtedy, gdy

x ∈ A i x 6∈ B.

Operacje teoriomnogościowe są przydatne m.in. przy wyszukiwaniu da-nych. Praktycznie każda licząca się wyszukiwarka umożliwia wyszukiwaniezłożone. Na przykład możemy poszukiwać dokumentów, które zawierająsłowa „logika” i „prawo” a nie zawierają słowa „matematyka”:

(logika ∩ prawo) \matematyka,

czyli:(logika AND prawo) AND (NOT matematyka).

Pomiędzy zakresami nazw jako zbiorami mogą zachodzić różne stosunkiteoriomnogościowe. Stosunki między zakresami nazw omówimy zakładając,że

1. jej desygnaty dają się liczyć (nazwa policzalna),

2. dowolny przedmiot jest albo nie jest desygnatem danej nazwy (nazwama ostry zakres),

3. zakresy nie są zbiorami pustymi, czyli że nazwy mają przynajmniejjeden desygnat (nazwa jest niepusta),

oraz że

4. istnieje zbiór uniwersalny, czyli zbiór którego elementami są wszystkiedesygnaty tych nazw.

Zakresy nazw spełniających powyższe warunki 1–4 graficznie można przed-stawiać jako koła. Zbiór uniwersalny (U) zaś jako prostokąt, w którym tekoła znajdują się.

Definicja 1.59. Nazwy A i B są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdykażdy desygnat nazwy A jest desygnatem nazwy B i każdy desygnat nazwyB jest desygnatem nazwy A, czyli gdy zakresy tych nazw są równe.


Zakresowo równoważne są nazwy „mieszkaniec stolicy Polski” i „mieszka-niec Warszawy”. Zakresowo równoważne są wszystkie nazwy równoznaczne(synonimy). Odwrotnie być nie musi, czyli — o czym była mowa w związkuz wieloznacznością zakresową — zakresowa równoważność nie pociąga zasobą równoznaczności. Nazwy „mieszkaniec stolicy Polski” i „mieszkaniecWarszawy” są równozakresowe ale nie są równoznaczne.

U

AB

A = B

Definicja 1.60. Nazwa A jest nadrzędna względem nazwy B wtedy i tylkowtedy, gdy:

1. każdy desygnat nazwy B jest desygnatem nazwy A,

oraz

2. są desygnaty nazwy A, które nie są desygnatami nazwy B.

UA

B+

A ⊃ BNazwa „człowiek” jest nadrzędna w stosunku do nazwy „nauczyciel”. Każdynauczyciel jest człowiekiem, lecz nie każdy człowiek jest nauczycielem.


Zdarza się, że zakres wyrażenia nazwowego w jednym znaczeniu jest nad-rzędny względem zakresu tego wyrażenia w innym znaczeniu (znaczeniuwłaściwym — sensu proprio). Kiedy chcemy powiedzieć, że bierzemy towyrażenie w tym znaczeniu, w którym jest ono nazwą nadrzędna, to mówimy,że bierzemy je w szerszym znaczeniu (sensu largo). Zgodnie z prawdąmożemy powiedzieć: Gra w warcaby jest sportem w szerokim tego słowaznaczeniu.

Definicja 1.61. Nazwa A jest podrzędna względem nazwy B wtedy i tylkowtedy, gdy:

1. każdy desygnat nazwy A jest desygnatem nazwy Boraz

2. nie każdy desygnat nazwy B jest desygnatem nazwy A.

UB

A+

A ⊂ BNazwa „nauczyciel” jest podrzędna względem nazwy „człowiek”. Zdarza się,że zakres wyrażenia nazwowego w jednym znaczeniu jest podrzędny wzglę-dem zakresu w innym znaczeniu (znaczeniu właściwym— sensu proprio).Kiedy chcemy powiedzieć, że bierzemy wyrażenie w tym znaczeniu, w któ-rym jest ono podrzędne, to mówimy, że bierzemy je w węższym znaczeniu(sensu stricto). Zgodnie z prawdą możemy powiedzieć: Gra w warcaby niejest sportem w wąskim tego słowa znaczeniu.

Definicja 1.62. Nazwa A krzyżuje się z nazwą B wtedy i tylko wtedy,gdy:

1. istnieją desygnaty nazwy A, które nie są desygnatami nazwy B,2. istnieją desygnaty nazwy A, które są desygnatami nazwy B,


3. istnieją desygnaty nazwy B, które nie są desygnatami nazwy A.

U

BA + + +

A ⊃⊂ B

Krzyżują się nazwy „nauczyciel” i „inwalida”; nie krzyżują się nazwy „wo-jewództwo” i „gmina”.

Definicja 1.63. Nazwy A i B pozostają w stosunku przeciwieństwa(wykluczania) wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma takiego przedmiotu, którybyłby zarazem desygnatem nazwy A i desygnatem nazwy B.

UB

A

A ⊃ ⊂ B

Nazwy „A” i „B” są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = ∅.W stosunku przeciwieństwa pozostają nazwy „pies” i „kot”.

Definicja 1.64. Nazwy A i B pozostają w stosunku podprzeciwieństwa(dopełniania) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy przedmiot ze zbioru uniwer-salnego jest bądź desygnatem nazwy A, bądź desygnatem nazwy B.


U

AB

A ∪ B = UNazwy „A” i „B” dopełniają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich suma teo-

riomnogościowa jest równa zbiorowi uniwersalnemu. Jeśli zbiorem uniwer-salnym jest zbiór liczb całkowitych, to nazwami pozostającymi w stosunkupodprzeciwieństwa są „liczba całkowita mniejsza od 10” i „liczba całkowitadodatnia”. Jeśli zbiorem uniwersalnym jest zbiór państw, to nazwami pod-przeciwnymi są „państwo o gospodarce wolnorynkowej” i „państwo nieeuro-pejskie”.

Definicja 1.65. Nazwy A i B są sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy nazwyte wykluczają się i dopełniają się.

UA

B

A ∪ B = U , A ∩ B = ∅Nazwy „A” i „B” są sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy sumą ich zakresówjest zbiór uniwersalny a ich iloczynem teoriomnogościowym jest zbiór pusty.W wypadku, gdy zbiorem uniwersalnym jest zbiór liczb naturalnych, to na-zwami sprzecznymi są „liczba parzysta” i „liczba nieparzysta”. Każda liczbanaturalna jest bądź parzysta, bądź nieparzysta, a ponadto żadna liczba nie


jest parzysta i nieparzysta zarazem. Przykładem nazw sprzecznych w dzie-dzinie zwierząt są „pies” i „nie-pies”. Zauważmy tu, że przedrostek „nie” niezawsze tworzy nazwę sprzeczną, np. nazwami sprzecznymi nie są „przyjaciel”i „nieprzyjaciel”. Nazwami antonimicznymi, czyli nazwami o przeciw-stawnym znaczeniu są pary nazw takich jak np.: „dobry” — „zły”, „wy-soki” — „niski”. Nazwy antonimiczne pozostają w stosunku przeciwieństwalub sprzeczności. Stwierdzenie zachodzenia takiego stosunku uznaje się napodstawie samych znaczeń branych pod uwagę nazw antonimicznych, czylijest podobnie jak w wypadku nazw równoznacznych, gdy na podstawie zna-czeń nazw stwierdza się równość ich zakresów. Jak równość zakresów nazwnie przesądza tego, czy są to nazwy równoznaczne, tak przeciwieństwo lubsprzeczność nazw nie przesądzają tego, czy są nazwy antonimiczne.

Podział nazw

Nazwy ze względu na budowę dzielimy, tak jak wyrażenia w ogóle, na prostei złożone.

Definicja 1.66. Nazwa prosta zbudowana jest z (dokładnie) jednego wy-razu.

Nazwą prostą jest „dom”.

Definicja 1.67. Nazwa złożona składa się z więcej niż jednego wyraz.

Nazwą złożoną jest „stolica Polski”.Ze względu na stosunek do uniwersum nazwy dzielimy na uniwersalne i

nieuniwersalne.

Definicja 1.68. Nazwa uniwersalna to nazwa, której zakresem jest zbióruniwersalny.

W wypadku języka arytmetyki liczb naturalnych nazwą uniwersalną jestnazwa „liczba naturalna”. W wypadku języka botaniki nazwą uniwersalnajest „roślina”.

Definicja 1.69. Nazwa nieuniwersalna to nazwa, której zakres jest różnyod uniwersum.

Zakres nazwy „liczba pierwsza” jest różny od zbioru liczb naturalnych.W języku arytmetyki liczba naturalnych jest to zatem nazwa nieuniwersalna.„Drzewo” to nazwa nieuniwersalna języka botaniki.

Nazwy dzielimy na policzalne i niepoliczalne (masowe).


Definicja 1.70. Nazwa policzalna to nazwa, której desygnaty dają sięliczyć.

Nazwami policzalnymi są np. „człowiek”, „drzewo”. W wypadku nazwpoliczalnych możemy mówić o ich liczbie, np. o dziesięciu ludziach.

Istnieją przedmioty, które nie podlegają liczeniu. Są to przedmioty ma-sowe. Ilość przedmiotu masowego podlega mierzeniu. Na przykład mówimyo metrze sześciennym wody.

Definicja 1.71. Nazwa niepoliczalna (masowa) to nazwa przedmiotu,który nie podlega liczeniu, czyli przedmiotu masowego.

Nazwami niepoliczalnymi (masowymi) są np. „woda”, „powietrze”.Ze względu na liczbę desygnatów nazwy policzalne dzielimy na puste,

jednostkowe i ogólne. Określenie liczby desygnatów wymaga ustalenia:

1. jaki jest zbiór uniwersalny rozważanego języka,

2. jak rozumiany jest zakres, w szczególności, czy rozumiany jest anali-tycznie, czy syntetycznie,

3. czy mam się na uwadze sytuację aktualną, czy też historyczną.

Definicja 1.72. Nazwa pusta to nazwa, która nie ma desygnatów.

Przykładami nazw pustych są: „żonaty kawaler”, „krasnoludek”.

Definicja 1.73. Nazwa jednostkowa to nazwa, które ma dokładnie jedendesygnat.

Nazwami jednostkowymi są: „Białystok”, „najwyższy szczyt świata”.

Definicja 1.74. Nazwa ogólna to nazwa mająca więcej niż jeden desygnat.

Nazwami ogólnymi są: „mieszkaniec Białegostoku”, „stół”.Ze względu na sposób wskazywania desygnatów nazwy dzielimy na gene-

ralne i indywidualne.

Definicja 1.75. Nazwa generalna to nazwa przysługująca przedmiotowize względu na cechy, jakie są przypisywane temu przedmiotowi.

Nazwa „kwadrat” to nazwa generalna. Przysługuje ona wszystkim i tylkotym przedmiotom, które posiadają pewną cechę, mianowicie cechę bycia pro-stokątem równobocznym. Nie należy mylić nazw generalnych z nazwamiogólnymi.


W wypadku nazw indywidualnych nie są brane pod uwagę cechy, jak toma miejsce w wypadku nazw generalnych.

Definicja 1.76. Nazwa indywidualna przysługuje jakiemuś przedmiotowize względu na ustanowienie, że przedmiot ten tak będzie nazywany.

Stolica Polski nazywa się „Warszawa”. To miasto będzie się tak nazywaćrównież, gdyby zdarzyło się, że utraciło cechę bycia stolicą Polski. Nazwa„stolica Polski” to nazwa generalna, a nazwa „Warszawa” to nazwa indywidu-alna. Nasze nazwiska to nazwy indywidualne. Przysługują nam niezależnieod naszych cech. Nie należy mylić nazw indywidualnych z jednostkowymi.

Ze względu na rodzaj przedmiotów, którymi są desygnaty, nazwy dzie-limy na konkretne i abstrakcyjne.

Definicja 1.77. Nazwa konkretna to nazwa, której desygnatami są osoby,rzeczy i coś, co sobie jako osoby lub rzeczy wyobrażamy.

Nazwami konkretnymi są: „krzesło”, „krasnoludek”, „Henryk Sienkiewicz”.

Definicja 1.78. Nazwy abstrakcyjne to nazwy przedmiotów abstrakcyj-nych, a więc cech, stosunków, stanów, zjawisk itd.

Nazwami abstrakcyjnymi są: „białość” (cecha), „przyjaźń” (stosunek),„burza” (stan).

Kiedy nazwę abstrakcyjną traktuje się jak nazwę konkretną popełnia siębłąd.

Definicja 1.79. Błąd hipostazowania popełnia ktoś, kto nazwie abstrak-cyjnej przypisuje konkretne desygnaty.

Ze względu na strukturę, wewnętrzną budowę desygnatów, nazwy dzie-limy na zbiorowe i niezbiorowe. Podział ten jest oparty na podziale przed-miotów na zbiorowe i niezbiorowe. Przedmioty zbiorowe są wyraźnie złożonez jakichś przedmiotów. Więź łącząca te przedmioty, dzięki której możemymówić o przedmiocie zbiorowym (agregacie, zbiorze w sensie kolektywnym),może być różnoraka: przestrzenna, jak w wypadku lasu; organizacyjna, jakw wypadku wojska; przestrzenna i organizacyjna, jak w wypadku wojewódz-twa; społeczna, jak w wypadku organizacji społecznej. Innym rodzajemprzedmiotów byłyby przedmioty proste, niezłożone, jeśli złożoności nie poj-mujemy np. w sensie fizycznym, w jakim wszystkie w ogóle przedmiotymaterialne są złożone z dających się fizycznie wyróżnić części materialnych.

Definicja 1.80. Nazwa zbiorowa to nazwa, której desygnaty są przed-miotami zbiorowymi.


Nazwami zbiorowymi są np.: „armia” — gdyż armia to ustrukturowanagrupa żołnierzy, zespół osób; „las” — gdyż las to zespół drzew; „wojewódz-two” — gdyż województwo może być pojęte jako zespół gmin.

Definicja 1.81. Nazwy niezbiorowe to nazwy, których desygnaty są przed-miotami prostymi (niezłożonymi).

Nazwa „stół” to nazwa niezbiorowa.Nazwy ze względu na to, czy w swoim znaczeniu odnoszą się lub nie od-

noszą do innych przedmiotów dzieli się na relatywne (zależne) i nierelatywne(absolutne, niezależne).

Definicja 1.82. Nazwa relatywna (zależna) to nazwa, której desygna-tem jest każdy przedmiot, który pozostaje w określonym przez znaczenie tejnazwy związku z pewnym innym przedmiotem lub przedmiotami.

Nazwami relatywnymi są „dłużnik” i „syn”. Desygnaty nazw zależnychz konieczności pozostają w określonej relacji z pewnymi przedmiotami. W zna-czeniu nazwy „dłużnik” zawarte jest odniesienie do wierzyciela. Nie ma dłuż-nika bez wierzyciela. Nazwa „syn” w swoim znaczeniu odnosi się do matkii ojca. Nie ma syna bez ojca lub matki.

W wypadku nazw niezależnych to, czy dany przedmiot jest, czy też niejest ich desygnatem nie zależy od relacji, związków tego przedmiotu z innymiprzedmiotami.

Definicja 1.83. Nazwa nierelatywna (absolutna, niezależna) to na-zwa, której znaczenie nie wskazuje na jakiś stosunek jej desygnatów do ja-kiegoś przedmiotu lub przedmiotów.

Nazwami absolutnymi są: „człowiek”, „stół”. Ludzie mogą i są w róż-nych relacjach z innymi przedmiotami. Znaczenie nazwy „człowiek” jednaktego nie przesądza. Jest faktem biologicznym, że człowiek ma matkę i ojca.Fakt ten jednak nie jest «zakodowany» w treści nazwy „człowiek”. Inaczejmówiąc wyrażenie „ten człowiek nie miał ani ojca, ani matki” nie jest bez-sensem. Bezsensem zaś jest „ten syn nie miał ani ojca, ani matki”. Jest wielewyrażeń, które w jednym znaczeniu są nazwami relatywnymi, a w innym ab-solutnymi. W zdaniu „Jan jest nauczycielem” nazwa „nauczyciel” jest nazwąabsolutną i służy do wskazania wykonywanego zawodu. W zdaniu „Jan jestnauczycielem Piotra” wyraz „nauczyciel” jest użyty jako nazwa relatywna.

Nazwy ze względu na to, czy ich znaczenie wyraźnie przypisuje pewnecechy desygnatom lub ich wyraźnie odmawia dzieli się na, odpowiednio, pry-watywne i nieprywatywne.


Definicja 1.84. Nazwa prywatywna to nazwa, której znaczenie wyraźniewskazuje na brak (privatio) jakiejś cechy jej desygnatów (która naturalnielub racjonalnie powinna im przysługiwać).

Nazwa „niezdrowy” wskazuje wyraźnie na brak zdrowia. Nazwą prywa-tywną jest „nierozumny”. Jej znaczenie wyraźnie wskazuje na brak cechybycia rozumnym. Przedrostek „nie” nie zawsze jest wskaźnikiem nazwy pry-watywnej. Nazwa „nieprzyjaciel” wprost nie odmawia swoim desygnatomcechy bycia przyjacielem. Jej desygnatami są nie tyle ci, którzy nie są przy-jaciółmi, lecz ci, którzy są wrodzy, mają cechę wrogości w stosunku do tego,kogo są nieprzyjaciółmi.

Definicja 1.85. Nazwa nieprywatywna to nazwa, której znaczenie wy-raźnie nie wskazuje na brak jakiejś cechy jako własności jej desygnatów.

Definicja 1.86. Nazwa jest ostra wtedy i tylko wtedy, gdy zgodnie z re-gułami znaczeniowymi dowolny przedmiot należy albo nie należy do zakresutej nazwy.

Przykładem nazwy ostrej jest „kwadrat”. Podobnie nazwą ostrą jest„dziecko Matyldy” (nazwa „dziecko” jest tu użyta w znaczeniu relatywnym).Mogą być wątpliwości, czy dana osoba jest dzieckiem Matyldy, jest jednakjasne, że dana osoba jest albo nie jest dzieckiem Matyldy. Zgodnie z regu-łami znaczeniowymi nastolatkami są te i tylko te osoby, które mają «naście»lat, czyli więcej niż dziesięć, a mniej niż dwadzieścia. Nazwa „nastolatek”jest więc ostra.

Definicja 1.87. Nazwa jest nieostra wtedy i tylko wtedy, gdy są przed-mioty, które, nie naruszając reguł znaczeniowych, użytkownik języka może,ale nie musi uznać za jej desygnaty.

Przykładem nazwy nieostrej może być „dziecko” w znaczeniu, w którymwystępuje w zdaniu „Jaś jest jeszcze dzieckiem”, czyli w znaczeniu nierelatyw-nym. Istnieje powszechna zgoda użytkowników języka co do tego, że osobamająca dwa lata życia to dziecko, podobnie, że osoba mająca czterdzieścilat to już nie dziecko. W wypadku osoby mającej czternaście lat wystąpijednak różnica zdań. Ktoś może uważać, że osoba czternastoletnia to jeszczedziecko, ktoś inny, że już nie. Każda z odpowiedzi jest możliwa, reguły językabowiem tej kwestii nie rozstrzygają. Nazwy języka potocznego z zasady sąnieostre, ale nie tylko w tym języku występują takie nazwy. Paleontolodzy,poszukiwacze ogniwa łączącego w procesie ewolucji małpy z człowiekiem,mają problem z ostrością nazwy „człowiek” w języku biologii. W związku ze


stosowaniem do przetwarzania informacji technik komputerowych tworzonesą teorie zbiorów takich, które byłyby zakresami nazw nieostrych. Tu o za-kresach nazw mówiliśmy jako o zbiorach w zwykłym sensie (tak jak są onerozumiane w teorii mnogości).

Nazwa jest bądź ostra, bądź nieostra. Ten podział nazw jest ich podzia-łem ze względu na określoność zakresu. W wypadku nazwy ostrej zakres jestdobrze określony, zaś w wypadku nazwy nieostrej tak nie jest, zakres nie jestokreślony.

Treść językowa nie w każdym wypadku jest dobrze określona. Z całąpewnością będziemy mieli kłopoty z podaniem treści językowej tak zwykłychnazw, jak: „stół”, „krzesło”.

Definicja 1.88. Nazwa ma wyraźną treść (jest wyraźna) wtedy i tylkowtedy, gdy w wypadku dowolnej cechy, cecha ta należy albo nie należy dotreści językowej tej nazwy.

Definicja 1.89. Nazwa ma niewyraźną treść (nie jest wyraźna) wtedyi tylko wtedy, gdy są cechy, których przynależność do treści językowej tejnazwy nie jest określona.

Nazwa jeśli jest wyraźna, to jest ostra. Jeśli ma ona określoną treść, toma też określony zakres. Odwrotnie nie musi zachodzić: nazwa może byćostra a mimo to nie być wyraźna.

Fakt, że nazwa wyraźna jest ostra daje podstawę dla uczynienia ostrąnazwy nieostrej. W wielu wypadkach prawnicy i administratywiści i nietylko oni potrzebują nazw ostrych. Nazwa „małoletni” staje się ostra przezokreślenie jej treści, gdy podaje się granice wiekowe. Nazwa „ubogi” jakonazwa osoby uprawnionej do jakiegoś zasiłku społecznego, uczyniona jestostrą przez podanie wysokości maksymalnego dochodu na osobę żyjącą wewspólnym gospodarstwie domowym. Zauważmy jednak również, że w wieluwypadkach nie jest wskazane uczynienie nazwy ostrą. Możemy sobie tylkowyobrazić, jakie mogłyby pojawić się komplikacje, gdyby nazwa „zbrodniadokonana ze szczególnym okrucieństwem” miałaby być uczyniona ostrą.

Definicja 1.90. Nazwa intuicyjna to nazwa, która jest ostra, ale nie jestwyraźna.

Nazwy „stół”, „krzesło” i „konwalia” są nazwami intuicyjnymi. Ich zakresysą ostre. Jednak ich treści nie są dobrze określone.

Nazwa intuicyjna to nazwa o znaczeniu intuicyjnym (naocznym).Zauważmy, że sama definicja nazwy intuicyjnej nie pozwala nam w prosty

sposób stwierdzać, czy dana nazwa jest, czy też nie jest intuicyjna.


Inaczej niż w wypadku nazw intuicyjnych jest w wypadku terminów13.

Definicja 1.91. Termin to nazwa wyraźna (i tym samym ostra).

Nazwy możemy porównywać ze względu na stosunki między ich treściami.Treść jednej nazwy może być bogatsza niż innej. Treści nazw możemywzbogacać o pewne cechy. Do treści nazwy „student” możemy dodać ce-chę „zdolny”. Do treści „zdolny student” możemy dodać cechę „pracowity”.Nazwa „pracowity i zdolny student” jest podrzędna zakresowo względem na-zwy „zdolny student”, a ta względem nazwy „student”. Wzbogacając treśćdochodzimy więc do nazwy zakresowo podrzędnej w stosunku do nazwy,której treść wzbogacamy.

Definicja 1.92. Determinowanie treści nazwy, inaczej specjalizacja na-zwy to procedura wzbogacania treści tej nazwy.

Determinując treść nazwy otrzymujemy nazwę o zakresie nie większymniż zakres nazwy determinowanej.

Procedura odwrotna do determinowania to abstrahowanie.

Definicja 1.93. Abstrahowanie od treści nazwy, inaczej generalizacjanazwy, to procedura zubażania treści tej nazwy.

Odrzucając od treści nazwy „pracowity i zdolny student” cechę „praco-wity” otrzymujemy nazwę zakresowo nadrzędną względem tej nazwy. W wy-niku abstrahowania otrzymujemy nazwę o zakresie nie mniejszym niż zakresnazwy, od treści której abstrahujemy. Wskaźnikiem językowym operacji abs-trahowania jest zwrot np. „abstrahujmy”.

Pomiędzy zakresem nazwy a treścią nazwy zachodzi związek taki, że jeżelinazwa A jest nadrzędna względem nazwy B, to treść nazwy A jest uboższaod treści nazwy B. Odwrotnie, jeżeli treść nazwy A zawiera się w treścinazwy B, to nazwa B jest podrzędna względem nazwy A. Biorąc nazwęw sensie szerszym (sensu largo), bierzemy ją treściowo uboższą. Biorąc zaśnazwę w sensie węższym (sensu stricto), bierzemy ją treściowo bogatszą.Nazwa „student” oznacza kogoś, kto ma zdany egzamin maturalny i uczy się— w szerszym sensie słowa „student” — w dowolnej szkole, a w sensie węż-szym słowa „student” — w szkole wyższej14. Nazwa „uczeń szkoły wyższej”jest zakresowo podrzędna względem nazwy „uczeń szkoły pomaturalnej lubwyższej”. Treść nazwy „uczeń szkoły wyższej” jest jednak bogatsza od nazwy„uczeń szkoły pomaturalnej lub wyższej”.

13Terminus to rzymskie bóstwo granic. Nazwa ta w języku łacińskim oznaczała równieżznaki graniczne.

14Nazwa „student” może być jeszcze używana w innych węższych i szerszych znaczeniach.


Podsumowując zauważmy, że nazwy dzielimy:

według: na:

1. liczby wyrazów składowych — proste i złożone2. policzalności desygnatów — policzalne i niepoliczalne3. stosunku do uniwersum — uniwersalne, nieuniwersalne4. liczby desygnatów — ogólne, jednostkowe i puste5. sposobu wskazywania

desygnatów — generalne i indywidualne6. tego, do czego odnoszą się — konkretne i abstrakcyjne7. struktury desygnatów — zbiorowe i niezbiorowe8. określoności zakresu — ostre i nieostre9. wskazywania przez

znaczenie na stosunek — relatywne i absolutne10. wskazywania przez

znaczenie na brakjakiejś cechy desygnatów — prywatywne i nieprywatywne

11. określoności treści — wyraźne i niewyraźne

Zadania

Zadanie 1.35. Co jest desygnatem nazwy „krzesło” a co nazwy „‘krzesło’ ”?

Zadanie 1.36. W jakiej supozycji użyta jest nazwa „zając” w wyrażeniu:„zając jest popularny w Polsce”?

Zadanie 1.37. Czy czasownik jest rzeczownikiem? Czy „czasownik” jest rze-czownikiem?

Zadanie 1.38. Wskaż różnicę znaczeniową pomiędzy nazwami „liczba” i „cy-fra”.

Zadanie 1.39. Podaj przykłady wyrażeń metajęzykowych w:

1. języku polskim;

2. języku prawa.

Zadanie 1.40. Podaj przykłady wypowiedzi z użyciem w różnych supozy-cjach nazwy „prawo”.


Zadanie 1.41. Określ stosunki zakresowe między nazwami:

1. „drzewo”, „las”;

2. „generał”, „pułkownik”;

3. „gmina”, „województwo”;

4. „gmina”, „powiat”.

Zadanie 1.42. Czy nazwami sprzecznymi są:

1. „dobry”, „niedobry”?

2. „prawdziwy”, „nieprawdziwy’?

3. „przyjaciel”, „nieprzyjaciel”?

Zadanie 1.43. Opisz wszystkie zależności i różnice między nazwami:

1. „kaleka”, „niepełnosprawny”, „sprawny inaczej”, „sprawny”, „niekaleka”;

2. „legalny”, „nielegalny”, „bezprawny”, „pozaprawny”.

Zadanie 1.44. Czy „termin” jest terminem?

Zadanie 1.45. Przeanalizuj poniższy tekst.

1. W jakich funkcjach użyty został cudzysłów?

2. Zapisz ten tekst stosując cudzysłów tylko do zaznaczenia użycia wyra-żenia w supozycji materialnej.

Przeciętny człowiek „sposób działania” nazwałby pewnie „sposobem działa-nia”. No, ale to takie zwyczajne jakieś. Co innego „modus operandi”. To jużi fachowo brzmi, i minister jakoś tak lepiej w wywiadzie wypada. Dlaczegowięc nie powtarzać tego przy każdej dogodnej sytuacji? Podobnie z „przy-padkiem”. Słowo „przypadek” każdy zna i nie ma się czym ekscytować. Zato nie każdy zna „czasową koincydencję”. To już termin nawet nie fachowy,lecz superfachowy.


1.3.3 Predykaty, relacje, funkcje

Pojęcie predykatu i relacji

Na to, aby mając nazwę zbudować zdanie, potrzebne jest jeszcze jakieś wy-rażenie. Zdanie „Jan śpi” zbudowane jest z nazwy „Jan” i wyrażenia „śpi”,które nie jest nazwą. „Jan jest wyższy od Piotra” jest zdaniem zbudowanymz dwóch nazw „Jan” i „Piotr” oraz z wyrażenia „ jest wyższy od”.

Definicja 1.94. Predykat n-argumentowy to wyrażenie, które łączniez n nazwami tworzy zdanie15.

Wyraz „śpi” to przykład predykatu jednoargumentowego, a fraza „ jestwyższy od” jest predykatem dwuargumentowym.

Logika wyróżnia predykat równości. Jest to predykat dwuargumentowy.Z języka arytmetyki znamy symbol równości: „=”. Pisząc „2 + 2 = 2 × 2”dostajemy zdanie prawdziwe. Fałszywe jest zaś zdanie „2+2 = 5”. W językunaturalnym w roli predykatu równości może być użyte słowo „jest”. Jesttak w zdaniu „stolicą Polski jest Warszawa”, co też wypowiadamy zdaniem„stolica Polski to Warszawa”.

Przy okazji zauważmy, że słowo „jest” może znaczyć tyle, co „istnieje”,jak w zdaniu „ jest ktoś taki, kogo kocham” lub „był sad” („był” jest formączasu przeszłego od „ jest”). „Jest” jest wówczas predykatem jednoargumen-towym. Jako predykat jednoargumentowy służy do budowy zdań egzy-stencjalnych, czyli zdań stwierdzających istnienie. „Jest” jako predykatdwuargumentowy może być:

1. predykatem równości: a jest b, [a = b];w tym wypadku argumentami predykatu „ jest” są nazwy jednostkowe;

2. wskazywać na przynależność przedmiotu nazywanego przez pierwszyargument do zakresu nazwy będącej drugim argumentem,jak np. w zdaniu „Jan jest nauczycielem”, [w języku teorii zbiorów:a ∈ B]; w tym wypadku pierwszy argument predykatu „ jest” jest nazwąindywidualną, a drugi jego argument jest nazwą generalną;

3. wskazywać, że desygnaty nazwy będącej pierwszym argumentem sądesygnatami nazwy będącej drugim argumentem, przy tym oba argu-menty są nazwami ogólnymi.

15Zarówno pojęcie zdania jak i nazwy charakteryzowane było semantycznie. Pojęciepredykatu zdefiniowane jest w kategoriach syntaktycznych. Są tego powody natury dy-daktycznej. Wydaje się bowiem, że definicja predykatu n-argumentowego jako wyrażenia,którego znaczeniem jest n-członowa relacja byłaby trudniejsza do zrozumienia. W kate-goriach syntaktycznych sformułowana będzie też definicja spójnika.


Zdanie „człowiek jest ssakiem” głosi, że każdy desygnat nazwy „czło-wiek” jest desygnatem nazwy „ssak” [w języku teorii zbiorów: A ⊆ B];w tym wypadku oba argumenty predykatu „ jest” są użyte w supozy-cji naturalnej. Szczególnym wypadkiem takiego użycia „ jest” jest jegoużycie do stwierdzenia równości zakresów dwu nazw, czyli równoważ-ności nazw (a więc w roli nie różniącej się istotnie od roli wskazanejw pkt. 1), jak np. „człowiek jest zwierzęciem rozumnym”, „kwadrat jestprostokątem równobocznym”, [w języku teorii mnogości: A = B].

W logice tradycyjnej zdaniom zbudowanym za pomocą dwuargumento-wego predykatu „ jest” — są to zdania podmiotowo-orzecznikowe — przy-pisywano specjalną rolę. Oprócz zdań podmiotowo-orzecznikowych wyróż-niano jeszcze zdania podmiotowo-orzeczeniowe, które sprowadzano do po-staci podmiotowo-orzecznikowej. Zdanie podmiotowo-orzeczeniowe „Jan uczysię” przekształcane jest na zdanie podmiotowo-orzecznikowe „Jan jest uczą-cym się”.

Zdanie podmiotowo-orzecznikowe, w którym „jest” jest użyte jak w pkt. 1to zdanie identycznościowe.

Definicja 1.95. Zdanie identycznościowe to zdanie podmiotowo-orzecz-nikowe, w którym podmiot i orzecznik są nazwami jednostkowymi i którestwierdza identyczność desygnatów tych nazw.

Zdanie podmiotowo-orzecznikowe, w którym predykat „ jest” użyty jestjak w pkt. 3 to zdanie subsumpcyjne.

Definicja 1.96. Zdanie subsumpcyjne to zdanie, którego podmiot i orzecz-nik są nazwami ogólnymi i które stwierdza, że desygnaty podmiotu są desy-gnatami orzecznika.

Nazwy odnoszą się do pewnych przedmiotów, swoich desygnatów. Predy-katy też mają odpowiedniki w rzeczywistości. Jednoargumentowe predykatywskazują na cechy przedmiotów16. Na przykład predykat „. . . jest biały”może być użyty do zbudowania prawdziwego zdania wtedy i tylko wtedy,gdy desygnat nazwy, za pomocą której budujemy zdanie z tym predyka-tem, ma cechę białości. Predykaty dwu i więcej argumentowe odnoszą siędo relacji (stosunków). Na to, aby zdanie „Jan jest mężem Zofii” zbudowaneza pomocą predykatu „. . . jest mężem . . . ” było prawdziwe, konieczne jest

16Jednoargumentowym predykatem jest „ jest” w zdaniach egzystencjalnych. W tymwypadku predykat jednak nie odnosiłby się do cechy. Trudno przecież mówić o istnieniujako cesze. Miałyby ją bowiem wszystkie przedmioty istniejące, a nie miałyby wszystkie«przedmioty nie istniejące».


i wystarcza, aby Jan był mężem Zofii, czyli aby między Janem a Zofią zacho-dziła relacja (zachodził stosunek) bycia mężem. W formalnej teorii relacjimówi się o tym, że para uporządkowana, której pierwszym członem jest Jana drugim Zofia należy do relacji bycia mężem.

Elementy teorii relacji

W formalnej teorii relacji w definicji relacji korzysta się z pojęcia n-elemen-towego zbioru uporządkowanego, czyli — jak to będziemy mówić — n-tkiuporządkowanej (krotki). To, że zbiór A, którego wszystkimi elementamisą a1, . . . an jest n-elementowym zbiorem uporządkowanym, którego pierw-szym elementem jest a1, a n-tym elementem jest an będziemy zapisywali:

(a1, . . . , an).

Jasność wystarczającą dla dalszych wywodów uzyskamy ograniczając się doodpowiedzi na pytanie, kiedy dwie n-tki uporządkowane są równe:

(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) wtedy i tylko wtedy, gdy ai = bi, 1 ≤ i ≤ n.

Zauważmy, że równość w dziedzinie zbiorów uporządkowanych określona jesttylko dla zbiorów o tej samej liczbie elementów. Pytanie, czy np. dwuele-mentowy zbiór uporządkowany jest równy, powiedzmy, trójelementowemuzbiorowi uporządkowanemu nie ma sensu.

Definicja 1.97. Relacja n-członowa to klasa n-tek uporządkowanych.

Zgodnie z definicją między elementami n-tek uporządkowanych nie musizachodzić jakiś związek treściowy. Taki związek ma miejsce np. w wy-padku małżeństwa, jako zbioru par uporządkowanych wszystkich i tylko ta-kich ludzi, że pierwszy element pary jest małżonkiem drugiego elementu pary.Nie ma zaś związku treściowego w wypadku relacji {(Białystok, Warszawa),(Poznań, Rzeszów)}17. Ta relacja jest określona czysto formalnie.

Definicja 1.98. Niech R będzie n-członową relacją:

{(a11, a

12, . . . , a

1n), . . . , (am

1 , am2 , . . . , am

n ) . . . }.

Pole relacji R to zbiór: {a11, a

12, . . . a

1n, . . . , am

1 , am2 , . . . am

n . . . }.17W teorii mnogości {a1, a2, . . . } to zbiór, którego wszystkimi elementami są: a1, a2, . . . .


Pole relacji to zbiór przedmiotów, na którym relacja jest określona, czylizbiór tych i tylko tych przedmiotów, które mogą pozostawać w tej relacji.Na przykład zbiór wszystkich ludzi jest polem relacji bycia krewnym. Py-tanie o pokrewieństwo dwóch ludzi ma sens na gruncie znaczenia wyrazu„krewny” w języku polskim. Relacja ta nie jest określona na zbiorze roślin,komputerów, mebli itp.

Definicja 1.99. Niech R będzie n-członową relacją:

{(a11, . . . , a

1i , . . . , a

1n), . . . , (am

1 , . . . , ami , . . . , am

n ) . . . }.

I -tą dziedziną relacji R jest zbiór {a1i , a

2i , . . . a

mi , . . . }. W wypadku relacji

dwuczłonowej, czyli gdy n = 2, 1-dziedzina to dziedzina, a 2-dziedzina toprzeciwdziedzina tej relacji.

Umówmy się co do korzystania z następujących skrótów. Niech R będzierelacją. To, że przedmioty x i y z pola relacji R są w relacji dwuczłonowej Rbędziemy zapisywali: xRy. Uniwersalnym zapisem uwzględniającym relacjeo innej niż dwa liczbie członów jest: R(x1,. . . ,xn), gdzie n jest liczbą członów.Stosuje się też zapis: (x1, x2, . . . , xn) ∈ R.

Relacje zachodzą między obiektami formalnymi, rzeczami i ludźmi. Zro-zumienie relacji ważne jest więc dla poznania w jakiejkolwiek dziedzinie.Pojęcie społeczeństwa jest pojęciem zbiorowym. Na społeczeństwo składająsię ludzie i różnorodne relacje między nimi. Prawo reguluje stosunki (rela-cje) między ludźmi. Zrozumienie tego, czym jest relacja, jakie są szczególneklasy relacji itp. jest więc ważne dla prawnika.

n-argumentowy predykat odnosi się do relacji n-członowej.

Definicja 1.100. N -członowa relacja R, której polem jest zbiór U , jestzakresem n-argumentowego predykatu P wtedy i tylko wtedy, gdy dlakażdego x1, x2, . . . , xn ∈ U :

P(x1, x2, . . . , xn) wtedy i tylko wtedy, gdy (x1, x2, . . . , xn) ∈ R.

Definicja 1.101. N-członową relacją pełną, której polem jest zbiór Ujest zbiór wszystkich i tylko n-tek uporządkowanych, które dadzą się zbudo-wać z elementów zbioru U .

Definicja 1.102. N-członową relacją pustą, której polem jest zbiór Ujest pusty zbiór n-tek uporządkowanych, które dadzą się zbudować z elemen-tów zbioru U .


Między relacjami, ponieważ są zbiorami, mogą zachodzić stosunki, jakiemogą zachodzić między zakresami nazw. O predykatach n-argumentowych(relacjach n-członowych) możemy mówić jako pozostających w stosunku rów-noważności, podrzędności, nadrzędności, krzyżowania, przeciwieństwa (wy-kluczania się). Ponieważ mamy określoną relację pełną, to możemy mówićo stosunku dopełniania się relacji a tym samym o stosunku przeciwieństwai sprzeczności między predykatami. Oczywiście, określone są operacje teo-riomnogościowe.

W zbiorze ludzi sumą relacji ojcostwa i relacji macierzyństwa jest relacjarodzicielstwa. Sumą relacji bycia bratem i relacji bycia siostrą jest relacjabycia bratem lub siostrą. Niech U będzie polem relacji R i relacji S. Sumąrelacji R i relacji S jest relacja R ∪ S taka, że dla każdego x1, x2, . . . , xn ∈U : (x1, x2, . . . , xn) ∈ (R ∪ S) wtedy i tylko wtedy, gdy (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rlub (x1, x2, . . . , xn) ∈ S.

W zbiorze ludzi przecięciem (iloczynem) relacji bycia młodszym i relacjibycia ciotką jest relacja bycia młodszą i ciotką zarazem. Iloczynem relacjibycia bratem i bycia wyższym jest relacja bycia wyższym bratem. Niech Ubędzie polem relacji R i relacji S. Iloczynem relacji R i relacji S jest relacjaR ∩ S taka, że dla każdego x1, x2, . . . , xn ∈ U : (x1, x2, . . . , xn) ∈ (R ∩ S)wtedy i tylko wtedy, gdy (x1, x2, . . . , xn) ∈ R i (x1, x2, . . . , xn) ∈ S.

W wypadku relacji możemy rozważać nie tylko stosunki teoriomnogo-ściowe między nimi. Ich elementami są bowiem przedmioty złożone, jakimisą n-tki uporządkowane. Możliwe jest więc również badanie związków międzyrelacjami ze względu na same człony relacji, a ponadto możliwe są operacjena relacjach odnoszące się do ich elementów, n-tek uporządkowanych. Tegorodzaju operacją na relacjach dwuczłonowych jest operacja konwersji.

Definicja 1.103. Niech U będzie polem relacji R i relacji R−1. Dwuczło-nowa relacja R−1 jest konwersem dwuczłonowej relacji R wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego x, y ∈ U : xRy wtedy i tylko wtedy, gdy yR−1x.

Konwersem relacji bycia identycznym jest relacja bycia identycznym,czyli relacja bycia identycznym i jej konwers są sobie równe. Relacja byciaidentycznym i jej konwers są zakresami predykatu równości. W zbiorze ludzirelacja bycia rodzicem i jej konwers, czyli relacja bycia dzieckiem, wyklu-czają się, ale nie dopełniają się. Predykaty, których te relacje są zakresami,pozostają w stosunku przeciwieństwa. W zbiorze liczb naturalnych relacjawiększości lub równości dopełnia się, ale nie wyklucza ze swoim konwersem,czyli relacją mniejszości lub równości. Predykaty, których zakresami są terelacje, czyli „≤” i „≥”, pozostają do siebie w stosunku podprzeciwieństwa.


W zbiorze liczb naturalnych konwersem relacji mniejszości jest relacja więk-szości. Relacje te wykluczają i dopełniają się. Predykat mniejszości (<)pozostaje w stosunku sprzeczności z predykatem większości (>). Nie należymylić konwersu n-członowej relacji R z jej dopełnieniem do relacji pełnej,czyli z n-członową relacją S taką, że (x1

1, x12, . . . , x

1n) ∈ S wtedy i tylko wtedy,

gdy nieprawda, że (x11, x

12, . . . , x

1n) 6∈ R.

Definicja 1.104. Niech U będzie polem dwuczłonowych relacji R i S. Su-perpozycją (iloczynem względnym, złożeniem) relacji R i relacji Sjest relacja R ◦ S taka, że dla każdego x, y ∈ U :

x(R ◦ S)y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje z (∈ U) takie, że xRz i zSy.

Przykładem relacji, która jest wynikiem superpozycji, jest stosunek po-winowactwa, który zachodzi między jednym z małżonków a krewnymi dru-giego. Niech R będzie relacją bycia małżonkiem a S relacją bycia krewnym.Relacja (R ◦ S) jest relacją powinowactwa. x jest powinowatym y wtedyi tylko wtedy, gdy istnieje takie z, że x jest małżonkiem z a z jest krewnym y.Relacja bycia dziadkiem jest wynikiem złożenia relacji bycia ojcem i relacjibycia rodzicem. Jan jest dziadkiem Pawła wtedy i tylko wtedy, gdy Jan jestojcem jednego z rodziców Pawła.

Szczególnym wypadkiem operacji iloczynu względnego jest potęgowanierelacji. Jest to iloczyn względny relacji przez samą siebie. Relacja byciawnukiem jest wynikiem potęgowania relacji bycia dzieckiem. Jan jest wnu-kiem Pawła wtedy i tylko wtedy, gdy Jan jest dzieckiem jednego z dzieciPawła.

Możliwość formalnego opisu związków między relacjami jest szczególniedoniosła dla zastosowania technik informatycznych. Im więcej związków mię-dzy danymi można będzie opisać w sposób «zrozumiały» dla komputera, tymwięcej zadań będzie mógł on wykonać. Wskazywane tu związki można prze-łożyć na język, którym «posługuje» się komputer.

Definicja 1.105. N -członowa relacja R jest relacją w zbiorze U wtedyi tylko wtedy, gdy wszystkie n-tki uporządkowane składające się na rela-cję R zbudowane są z elementów zbioru U .

Szczególnie ważnymi klasami relacji dwuczłonowych są relacje zwrotne,symetryczne, przechodnie, równoważności, antysymetryczności, częściowegoporządku, spójności i porządku liniowego. Wszystkie one są relacjami dwu-członowymi. Relacja należy do określonej klasy relacji, jeśli wszystkie ele-menty pola relacji spełniają właściwy dla tej klasy warunek.


Definicja 1.106. Relacja R jest zwrotna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy,gdy dla każdego x ∈ U :

xRx.

Relacja jest zwrotna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy, gdy każdy elementzbioru U pozostaje w tej relacji sam do siebie. Zwrotna jest np. relacja byciatego samego wzrostu. Zwrotna nie jest relacja bycia wyższym.

Definicja 1.107. Relacja R jest symetryczna w zbiorze U wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego x, y ∈ U :

jeśli xRy, to yRx.

Relacja symetryczna w zbiorze U to relacja taka, że jeżeli przedmiot xze zbioru U pozostaje w tej relacji do przedmiotu y ze zbioru U , to rów-nież przedmiot y pozostaje w tej relacji do przedmiotu x. W zbiorze ludzisymetryczna jest relacja bycia krewnym, a nie jest relacja bycia przełożonym.

Definicja 1.108. Relacja R jest przechodnia w zbiorze U wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego x, y, z ∈ U :

jeśli xRy i yRz, to xRz.

Relacja przechodnia w zbiorze U to relacja taka, że jeżeli zachodzi międzyx i y oraz między y i z, to zachodzi również między x i z, gdzie x, y, z sąelementami zbioru U . W zbiorze ludzi przechodnia jest np. relacja byciawyższym. Przechodnia nie jest relacja bycia znajomym.

Definicja 1.109. Relacja równoważności (w zbiorze U) to relacja, którajest zwrotna, symetryczna i przechodnia (w zbiorze U).

Na przykład relacja urodzenia się w tym samym roku jest relacją rów-noważności, podobnie relacja wykonywania tego samego zawodu. Relacjapodobieństwa w zbiorze ludzi nie spełnia warunku przechodniości, nie jestzatem relacją równoważności. Znana z geometrii relacja podobieństwa trój-kątów jest relacją równoważności.

Relacją równoważności jest relacja identyczności. Zachodzenie relacjiidentyczności zapisujemy łącząc predykatem równości nazwy przedmiotów,które pozostają w tej relacji. Definicja relacji identyczności pochodzi od Lei-bniza i znana jest jako zasada identyczności przedmiotów nieodróżnialnych(identitas indiscernibilium).

Definicja 1.110. Przedmioty są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy niesą odróżnialne pod względem przysługujących im własności.


Leibniza definicja identyczności ma bardzo ważną konsekwencję. Mia-nowicie pozwala ona każde zdanie o jakimś przedmiocie a1, z zachowaniemwartości logicznej tego zdania, orzec o przedmiocie identycznym z a1. Jeżelia1 = a2, to w każdym zdaniu α możemy zastąpić „a1” przez „a2” i odwrotnie,i po tym zastąpieniu wartość logiczna zdania α nie ulegnie zmianie.

Przedmiot sam od siebie nie różni się pod względem swoich własności,zatem relacja identyczności jest zwrotna (prawo zwrotności dla relacji iden-tyczności). Jeżeli jeden przedmiot nie różni się od drugiego pod względemswoich własności, to drugi własnościami też nie różni się od pierwszego, czylirelacja identyczności jest symetryczna (prawo symetrii dla relacji identyczno-ści). Jeżeli drugi z przedmiotów nie różniących się własnościami nie różni sięod trzeciego, to pierwszy też nie różni się od trzeciego. Relacja identycznościjest więc przechodnia (prawo przechodniości dla relacji identyczności)18.

Ważnym typem relacji są relacje porządkujące. Porządkowanie przed-miotów ma znaczenie zarówno w nauce, jak i w działaniach praktycznych.Przeprowadza się je według jakiejś zasady wyznaczonej przez relację porząd-kującą.

Definicja 1.111. Relacja R jest antysymetryczna w zbiorze U wtedyi tylko wtedy, gdy dla każdego x, y ∈ U :

jeśli xRy, to nieprawda, że yRx.

Relacja antysymetryczna w zbiorze U to relacja taka, że jeżeli przedmiotx jest w relacji do przedmiotu y, to y nie jest w w tej relacji do x, gdzie x, ysą elementami zbioru U . Relacja bycia matką jest relacją antysymetryczną.Relacja znania kogoś nie jest antysymetryczna — zdarza się, że choć x znay, to i y zna x.

Definicja 1.112. Relacja, która jest antysymetryczna i przechodnia (w zbio-rze U) to relacja częściowo porządkująca (w zbiorze U).

Relacja bycia potomkiem jest relacją częściowo porządkującą. Relacjabycia ojcem nie jest przechodnia, zatem nie jest częściowo porządkująca.

O relacji częściowo porządkującej w zbiorze U mówimy, że częściowo po-rządkuje zbiór U .

18Paradoksalność identyczności stwierdzał Wittgenstein:

. . . powiedzieć o dwu rzeczach, że są identyczne, to niedorzeczność; a powie-dzieć o jednej, że jest identyczna sama ze sobą, to nie powiedzieć nic.

L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, tłum. B. Wolniewicz, Warszawa: Wydaw-nictwo Naukowe PWN 2000, 5.5303.


Definicja 1.113. Relacja R jest spójna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy,gdy dla każdego x, y ∈ U :

jeśli x 6= y, to xRy lub yRx.

Relacja spójna w zbiorze U to relacja taka, że dowolne dwa przedmiotyze zbioru U są same ze sobą w tej relacji.

Definicja 1.114. Relacja R jest (liniowo) porządkująca (w zbiorze U)wtedy i tylko wtedy, gdy jest antysymetryczna, przechodnia i spójna (w zbio-rze U).

Relacja większości w zbiorze liczb naturalnych jest relacją (liniowo) po-rządkującą. Relacja bycia potomkiem nie jest spójna, zatem nie jest relacjąliniowo porządkującą.

O relacji (liniowo) porządkującej w zbiorze U mówimy, że (liniowo) po-rządkuje zbiór U .

Ludzi możemy uporządkować korzystając z relacji bycia potomkiem, bę-dzie to wówczas częściowy porządek. Możemy również uporządkować alfa-betycznie, biorąc w kolejności alfabetycznej ich nazwiska i imiona. Będzieto wówczas porządek liniowy (jeśli pominąć trudności pojawiające się w wy-padku ludzi o tych samych nazwiskach i imionach). W książkach telefonicz-nych w porządku alfabetycznym podane są nazwiska abonentów telefonicz-nych. Urzędy skarbowe posługują się «peselem» dla uporządkowania danycho podatkach. Numery rejestracyjne samochodów też umożliwiają linioweuporządkowanie dokumentów.

Wiele relacji przechodnich i spójnych nie spełnia warunku antysyme-tryczności. W zbiorze zdarzeń są zdarzenia równoczesne, zatem relacjawcześniej-później nie jest w tym zbiorze antysymetryczna. Liniowo upo-rządkować można klasy zdarzeń równoczesnych. Jeżeli klasa zdarzeń równo-czesnych wyznacza moment czasowy, to relacja wcześniej-później wyznaczaliniowy porządek w zbiorze momentów czasowych.

Definicja 1.115. Porządek R jest gęsty w zbiorze U wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnych x, y ∈ U takich, że x 6= y istnieje z ∈ U takie, żexRz oraz zRy.

Porządek gęsty to taki porządek, że pomiędzy dowolnymi dwoma elemen-tami zbioru, z których jeden poprzedza drugi istnieje różny od nich trzecielement zbioru U , który «znajduje się między nimi». Tak uporządkowane sąliczby wymierne 〈Q, <〉: dla dowolnych dwóch liczb wymiernych x, y takich,że x < y istnieje trzecia z, że x < z i z < y. Tak uporządkowane są równieżliczby rzeczywiste 〈R, <〉.


Dyskretnie uporządkowane są liczby naturalne 〈N, <〉.

Definicja 1.116. Porządek R jest dyskretny w zbiorze U wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnego x ∈ U : jeżeli istnieje y ∈ U takie, że xRy, toistnieje z(∈ U) takie, że [xRz oraz (z = y lub zRy) i nie istnieje u(∈ U)takie, że xRu i uRz].

Definicja ta głosi, że każdy element zbioru U ma bezpośredni następnik(według relacji R). Sytuacja taka ma miejsce w wypadku liczb naturalnychi całkowitych 〈Z, <〉. W wypadku tych liczb każda liczba ma też bezpośrednipoprzednik, czyli < spełnia jeszcze następujący warunek.

Dla dowolnego x ∈ U : jeżeli istnieje y ∈ U takie, że yRx,to istnieje z (∈ U) takie, że [zRx oraz (z = y lub yRz)i nie istnieje u(∈ U) takie, że zRu i uRx].

W wypadku liczb naturalnych i całkowitych pomiędzy dwoma bezpośredniosąsiadującymi liczbami nie ma liczby pośredniej

Korzystamy z pojęć największego, najmniejszego, maksymalnego i mini-malnego elementów zbioru. Mówimy np., że ktoś jest najwyższy w jakiejśgrupie ludzi; że ktoś jest najlepszym studentem na jakimś roku studiów.O pewnych ludziach mówimy, że są naszymi najdalszymi żyjącymi przod-kami. Pojęcia te wymagają zdefiniowania.

Definicja 1.117. Element a zbioru U jest:

1. R-największym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy xRa, dlawszelkich x ze zbioru U takich, że x 6= a;

2. R-najmniejszym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy aRx, dlawszelkich x ze zbioru U takich, że x 6= a;

3. R-maksymalnym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorzeU nie istnieje x takie, że x 6= a i aRx;

4. R-minimalnym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze Unie istnieje x takie, że x 6= a i xRa.

Element R-największy (R-najmniejszy), jeśli istnieje, to jest tylko jeden.Elementów R-maksymalnych (R-minimalnych) może być więcej niż je-

den.ElementR-największy (R-najmniejszy) jest też elementemR-maksymal-

nym (R-minimalnym), lecz niekoniecznie na odwrót.


Pojęcia największego, najmniejszego, maksymalnego i minimalnego ele-mentu zbioru są zrelatywizowane do określonego stosunku. Kiedy mówimynp. o najlepszym studencie na jakimś roku, to mamy na uwadze relację bycialepszym studentem; kiedy zaś mówimy o najdalszym przodku, to mamy nauwadze relację bycia przodkiem. W języku potocznym to, o jakich mówimyelementach, jest zwykle domyślne. Na przykład o maksymalnych elemen-tach w zbiorze przodków mówimy jako o najdalszych przodkach. Domyślnąrelacją, ze względu na którą mówimy o elementach maksymalnych w zbiorzeprzodków, jest częściowo porządkująca relacja bycia przodkiem. Samo słowo„najdalszy” z powodzeniem zaś mogłoby być użyte na oznaczenie elementunajwiększego, np. w pytaniu o najdalej od Białegostoku położone miasto pol-skie na trasie Białystok-Warszawa-Poznań-Berlin. To, co decyduje, w jakimznaczeniu słowo „najdalszy” zostało użyte, to domyślna relacja, ze względuna którą pytamy, czy to o element największy, czy to o element maksymalny.Relacja bycia przodkiem jest relacją częściowo porządkującą i dlatego pyta-nie o najdalszych przodków jest pytaniem o elementy maksymalne. Relacjabycia położonym dalej na odcinku, którego początkiem jest jeden z członówrelacji, jest relacją liniowo porządkującą i dlatego pytanie o miasto polskiepołożone najdalej od Białegostoku na trasie Białystok-Warszawa-Poznań-Berlin jest pytaniem o element największy.

Predykaty są wyrażeniami, które łącząc się z nazwami dają w wyniku zda-nia. Podobnie, łącząc nazwy pewnymi wyrażeniami (a czasem przez prostezestawienie) możemy otrzymywać nazwy. Będą to nazwy złożone. Wyraże-nia, które łącząc nazwy dają w wyniku nazwy, mają odniesienia do funkcji.Znany z arytmetyki symbol „+” łącząc nazwy liczb daje nazwę liczby, np.„2 + 2” oznacza liczbę 4. W języku naturalnym taki charakter ma wyra-żenie „stolica. . . ”. Wstawiając w miejsce kropek nazwę państwa otrzymamynazwę (generalną) stolicy tego państwa. Od strony formalnej funkcje łączysię z relacjami.

Definicja 1.118. N -członowa relacja R jest jednoznaczna w m-tej dzie-dzinie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ U :jeżeli

1. R(x1,. . . ,xn) i R(y1,. . . ,yn)

oraz

2. xi = yi dla każdego i takiego, że 1 ≤ i ≤ (m−1) lub (m+1) ≤ i ≤ n,

to xm = ym.


Relacja jednoznaczna wm-tej dziedzinie to relacja taka, że gdy dla i 6= m,i -ty człon jednej n-tki uporządkowanej jest równy odpowiadającemu mu i-temu członowi drugiej n-tki uporządkowanej, to równe są też m-te członytych n-tek uporządkowanych.

Definicja 1.119. N -członowa relacja R jest jednoznaczna wtedy i tylkowtedy, gdy jest jednoznaczna w n-tej dziedzinie.

Relacje są przedmiotami. Termin „ jednoznaczny” jest tu użyty w za-sadniczo różnym znaczeniu niż gdy używany jest w odniesieniu do wyrażeń.Jednoznaczny predykat nie musi wskazywać jednoznacznej relacji. Na przy-kład predykat „. . . jest matką . . . ” jest jednoznaczny. Relacja bycia matkązaś nie jest jednoznaczna.

W wypadku jednoznacznej relacji dwuczłonowej ma miejsce jednoznaczneprzyporządkowanie elementom jednego zbioru (elementom dziedziny tej re-lacji) elementów drugiego zbioru (elementów przeciwdziedziny tej relacji).Takie przyporządkowanie poszczególnym elementom jednego zbioru dokład-nie jednego elementu drugiego zbioru jest funkcją. Najogólniej rzecz biorąc:

Definicja 1.120. Funkcja to relacja jednoznaczna. Kolejne początkowe(n− 1) człony tej relacji to argumenty a n-ty człon tej relacji to wartość(n− 1)-argumentowej funkcji, gdzie n jest liczbą członów relacji.

N-członową relację R, która jest funkcją, można pojąć jako przyporząd-kowanie każdemu (n− 1)-wyrazowemu ciągowi dokładnie jednego elementu.(N − 1)-argumentowa funkcja to funkcja (n− 1)-zmiennych.

Kiedy mówimy, że coś jest funkcją czegoś, to winniśmy mieć na uwadzeznaczenie, które wiąże się z terminem „funkcja” i nie używać tego terminuna oznaczenie takiej zależności, takiej relacji, która nie jest funkcją. Prawdąjest, że np. podatki są funkcją dochodów. Znaczy to, że wielkość dochodujednoznacznie wpływa na wielkość podatku19. Nie jest prawdą, że cena to-waru jest funkcją kosztów robocizny. Koszty robocizny mają znaczenie dlaustalenia ceny towaru, lecz nie musi to być wpływ jednoznaczny — dwajproducenci, mając różne koszty robocizny i jednakowe wszystkie pozostałekoszty, mogą sprzedawać swój wyrób po tej samej cenie (lub przy tych sa-mych kosztach robocizny po różnych cenach). Cena biletu kolejowego jestfunkcją długości trasy. Dwie osoby mające te same uprawnienia do zniżeki decydujące się na jazdę tego samego rodzaju pociągiem i klasą, jeśli dłu-gość ich tras przejazdu jest taka sama, zapłacą tyle samo za bilet. Funkcją

19Nie znaczy to, że dochód jest jedynym parametrem określającym wielkość podatku.Wartość podatku jest funkcją wielu zmiennych, w szczególności dochodu, ulg i zwolnień.


ceny biletu nie jest długość trasy. Dwie osoby jadące w tym samym prze-dziale, mające te same uprawnienia do zniżek, po poinformowaniu się, żezapłaciły tyle samo za bilet oraz wsiadły na tej samej stacji i jadą bez prze-siadki nie mogą na tej podstawie wnioskować, że wysiądą na tej samej stacji(ceny biletów naliczane są według stref). Opłata za rozmowę telefonicznąjest funkcją czasu rozmowy. Jednak czas rozmowy nie jest funkcją ceny:informacja o opłacie za rozmowę telefoniczną przy naliczaniu np. minuto-wym i strefowym nie pozwala na określenie czasu rozmowy. Zależność czasurozmowy od ceny rozmowy telefonicznej nie jest funkcją.

Definicja 1.121. Dwuczłonowa relacja taka, że ona i jej konwers są jedno-znaczne to funkcja wzajemnie jednoznaczna.

Definicja 1.122. Dwuczłonowa relacja, której konwers jest relacją jedno-znaczną to relacja odwrotnie jednoznaczna.

Relacja wzajemnie jednoznaczna to relacja, która jest jednoznaczna i od-wrotnie jednoznaczna.

Jednoargumentowa funkcja jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylkowtedy, gdy każda wartość tej funkcji jest przyporządkowana tylko jednejwartości argumentu. Funkcją wzajemnie jednoznaczną jest funkcja byciażoną w społeczeństwach, w których mężczyzna może mieć tylko jedną żonę,a kobieta tylko jednego męża. Funkcją wzajemnie jednoznaczną jest równieżzależność: y = 2x.

Skończone dwuczłonowe relacje można opisywać za pomocą grafu. Narysunku podaje się nazwy przedmiotów pozostających w relacji. Fakt za-chodzenia relacji między określonymi przedmiotami zaznaczany jest przezpołączenie nazw tych przedmiotów strzałkami w taki sposób, że przedmiotyx i y pozostają w relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy poruszając się od x zgod-nie z kierunkiem wskazywanym przez strzałkę dojdziemy do y. Na przykład,relacja {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} ma następujący graf:

Relacje binarne można przedstawić też za pomocą tablicy (macierzy).Relacja z powyższego przykładu miałaby następującą tablicę:


1 2 3 4

1 + +

2 + +

3 + +

4 +

Najogólniej rzecz biorąc opis skończonej relacji za pomocą tabeli, którejwiersze i kolumny przyporządkowane są wzajemnie jednoznacznie elementomdziedziny i przeciwdziedziny tej relacji przeprowadza się w ten sposób, żew wypadku, gdy między xi a xj zachodzi relacja, oznaczeniu podlega poletabeli wyznaczone przez wiersz xi i kolumnę xj .

Pojęcie relacyjnej bazy danych

Gromadzenie danych, przekształcanie ich zasobów oraz wyszukiwanie danychwymaga odpowiednich narzędzi.

Definicja 1.123. Baza danych to zbiór danych w postaci tabel oraz narzę-dzi stosowanych do gromadzenia, przekształcania oraz wyszukiwania danych.

Teoria baz danych oparta jest na teorii relacji. Dane zwykle przedsta-wiamy w postaci tabeli. Tabela ma kolumny i wiersze. Kolumny odpowia-dają dziedzinom. Wiersze n-tkom uporządkowanym. Informatycy posługująsię inną terminologią. W kolumnach zapisuje się atrybuty a w wierszach(krotkach) znajdują się rekordy. Dana to najmniejsza, elementarna jed-nostka informacji o obiekcie będąca przedmiotem przetwarzania. Zapisywanajest w polu, czyli na skrzyżowaniu kolumny i wiersza. Rekordy składają sięz pól. Dane mają określony typ, czyli formę zapisu informacji. Na przykładw wypadku typu liczbowego dane mogą być tylko liczbowe a w wypadkutypu logicznego dane przyjmują tylko jedną z dwu wartości: prawda, fałsz.Dane mają również określony format, czyli postać. Na przykład pod for-mat daty: dd-mm-yy podpada dana: 22-01-47 a nie podpada dana: 41-13-07.Określenie formatu danych ułatwia poprawne zapisywanie danych: programkomputerowy nie akceptuje danych niezgodnych z ustalonym formatem.

Przykładami tabel są tabela ocen i tabela pomocy stypendialnej.

Nazwisko i imię egz. ust. egz. pis. ocena końcowaKowalski Jan 5 4 4.5Nowak Zdzisław 4 5 4.5Malinowski Tomasz 4 4 4


Dane Nazwisko i imię są typu znakowego. Dane egz. ust., egz. pis., ocenakońcowa są typu liczbowego.

Nazwisko i imię rok st. soc. nauk. styp. łączneKowalski Jan II 140 250 390Nowak Zdzisław I 0 250 250Malinowski Tomasz III 200 0 200

Tabele w bazie danych powiązane są różnymi relacjami. W wypadkuprzykładów tabele powiązane są atrybutem nazwisko i imię.

Rekordy mogą być sortowane, czyli porządkowane według jakiegoś kry-terium. Kryterium to nazwa lub nazwy pól według których odbywa sięsortowanie. Sortowanie może być różnego rodzaju, np. rosnące (alfabe-tycznie lub liczbowo). Na przykład sortowanie rosnące tabeli ocen wedługkryterium nazwisko i imię daje w wyniku tabelę:

Nazwisko i imię egz. ust. egz. pis. ocena końcowaKowalski Jan 5 4 4.5Malinowski Tomasz 4 4 4Nowak Zdzisław 4 5 4.5

Zapytanie (kwerenda) to konstrukcja językowa, za pomocą której wy-szukuje się dane z bazy danych.

Tworzenie bazy danych, jej przekształcanie i sposoby wyszukiwania da-nych określone są przez system zarządzania bazą danych. Jest to pro-gram, za pomocą którego wykonuje się tabele i formularze, przeprowadzakwerendy, tworzy raporty, makra, procedury itd.

Zadania

Zadanie 1.46. Podaj przykład predykatu trójargumentowego.

Zadanie 1.47. Wskaż pole relacji bycia dłużnikiem.

Zadanie 1.48. Wskaż konwers relacji:

1. bycia dłużnikiem,

2. bycia małżonkiem,

Zadanie 1.49. Scharakteryzuj:


1. relację bycia przełożonym

2. bycia podwładnym.

Zadanie 1.50. Co to za relacja?{(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . , (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . . , . . . , (n, n + 1), (n, n + 2),

(n, n + 3), . . . }Zadanie 1.51. Czy relacja bycia nauczycielem jest funkcją?

Zadanie 1.52. Czy cena biletu kolejowego jest w Polsce funkcją:

1. długości trasy przejazdu?

2. wieku podróżnego?

3. zawodu podróżnego?

4. posiadania przez podróżnego legitymacji uprawniającej do zniżki?

5. rodzaju pociągu?

6. tego, czy jest to trasa krajowa, czy zagraniczna?

Zadanie 1.53. Udowodnij, że relacja jest równa swojemu konwersowi wtedyi tylko wtedy, gdy jest symetryczna.

Zadanie 1.54. Udowodnij, że relacje jest w stosunku wykluczania ze swoimkonwersem wtedy i tylko wtedy, gdy jest antysymetryczna.

Zadanie 1.55. Udowodnij, że relacja jest w stosunku dopełniania ze swoimkonwersem wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójna.

Zadanie 1.56. Udowodnij, że relacja antysymetryczna jest przeciwzwrotna.(Dwuczłonowa relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze U wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego x ∈ U : nieprawda, że xRx.)

Zadanie 1.57. Ile elementów ma zbiór {a1, a2, . . . , an} taki, że ai = aj , dlakażdego i, j: 1 ≤ i, j ≤ n?

Zadanie 1.58. Niech U = {1, 2, 3}. Określ pełną dwuczłonową relację.

Zadanie 1.59. Co jest superpozycją:

1. relacji bycia ojcem i relacji bycia matką

2. relacji bycia matką i relacji bycia ojcem?

Zadanie 1.60. Czy są dwa identyczne przedmioty? Jeśli tak, to wskaż je.


1.3.4 Spójniki

Ze zdań możemy budować zdania. W każdym języku istnieją różne sposobytworzenia zdań ze zdań. Służyć temu celowi mogą wyrażenia (w grama-tyce nazywane spójnikami i partykułami) lub zestawienie zdań (połączeniezdań składowych wraz z użyciem w języku mówionym stosownej intonacji,a w języku pisanym odpowiedniej interpunkcji). W języku polskim istniejesto kilkadziesiąt wyrazów, które w połączeniu ze zdaniami tworzą zdania.

Definicja 1.124. N-argumentowy spójnik to wyrażenie, które łączniez n zdaniami tworzy zdanie20. Zdania, z którymi spójnik tworzy zdanie toargumenty tego spójnika.

Słowo „lub” może być użyte do połączenia zdania „Jan kocha Zosię” zezdaniem „Jan kocha Marysię”. Z takiego połączenia otrzymujemy zdanie „Jankocha Zosię lub Jan kocha Marysię”. Zdanie to zwykle zapisujemy jako „Jankocha Zosię lub Marysię”. Zdanie „Jan kocha Zosię i Marysię” jest zdaniemotrzymanym przez połączenie naszych zdań spójnikiem „i”. Spójnikiem niejest „ jest”. Wyrażenie, które jest spójnikiem w sensie logicznym, nie musibyć spójnikiem w sensie gramatycznym. Podobnie, nie wszystkie spójnikiw sensie gramatycznym są wyrażeniami służącymi do budowy zdań z innychzdań, a więc nie wszystkie spójniki w sensie gramatycznym są spójnikamiw sensie logicznym.

Spójniki dzieli się ze względu na liczbę ich argumentów. Spójnik jestjednoargumentowy, gdy z jednym zdaniem tworzy zdanie. Przykładem spój-nika jednoargumentowego są wyrażenia: „nieprawda, że . . . ”, „możliwe, że. . . ”. Spójniki dwuargumentowe to: „. . . lub . . . ”, „. . . i . . . ”, „ jeżeli . . . , to. . . ”, „. . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . ”, „z tego, że . . . wynika, że . . . ”.

Definicja 1.125. Zdanie złożone to zdanie zbudowane za pomocą spój-nika.

Definicja 1.126. Zdanie proste to zdanie, które nie jest złożone.

„Jan kocha Zosię” i „Jan kocha Marysię” to zdania proste. Zdanie „Jankocha Zosię i Marysię” jest zaś zdaniem złożonym.

Definicja 1.127. Spójnikiem głównym w zdaniach o budowie: sα, αsβ,gdzie s jest spójnikiem a α i β są zdaniami jest s.

20Por. przypis 15 na stronie 72.


Spójniki prawdziwościowe

Definicja 1.128. Jednoargumentowy spójnik jest spójnikiem negacji wtedyi tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy zdanie-argument jest fałszywe

2. fałszywe, gdy zdanie-argument jest prawdziwe.

Definicja 1.129. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikanegacji i zdania β, będziemy mówili, że jest negacją (zaprzeczeniem)zdania β.

Zdanie „nieprawda, że Jan jest studentem” jest negacją zdania „Jan jeststudentem”. Podobnie jest ze zdaniem „Jan nie jest studentem”. Negację zda-nia β będziemy zapisywali: nie-β. W języku logiki formalnej, w rachunkachlogicznych, zapisuje się ją: ¬ β.

Zdanie i jego negacja tworzą parę zdań sprzecznych. Znaczy to, że przy-najmniej jedno z nich jest prawdziwe — jest to treścią zasady wyłączonegośrodka — i że przynajmniej jedno z nich jest fałszywe — jest to treścią za-sady niesprzeczności.

Zauważmy, że negacja negacji zdania jest logicznie równoważna temu zda-niu. Fakt ten jest treścią zasady podwójnego przeczenia. W niektórychjęzykach naturalnych, np. w łacinie i w niemieckim podwójnego przeczeniaużywa się dla stwierdzenia bardziej stanowczego uznania zdania podwójniezaprzeczanego. W języku polskim samo zaprzeczenie wyrażane bywa za po-mocą kilku „zaprzeczeń”, a czasem wielość przeczeń służy do wypowiedzeniabardziej stanowczego odrzucenia zdania zaprzeczanego. Ta ostatnia sytuacjama miejsce, gdy zamiast powiedzieć: „nie widziałem go” powiemy: „nigdynie widziałem go”.

Definicja 1.130. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem alternatywywtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnikajest:

1. prawdziwe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,

2. fałszywe, gdy oba zdania-argumenty są fałszywe.

Definicja 1.131. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikaalternatywy oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest alternatywą zdań βi γ. Zdania β i γ to człony tej alternatywy.


Zdanie „Jan jest nauczycielem lub pracuje w kuratorium oświaty” jest al-ternatywą zdań „Jan jest nauczycielem” i „Jan pracuje w kuratorium oświaty”.Kolejność argumentów w alternatywie nie ma znaczenia dla jej wartości lo-gicznej. Alternatywę zdań β i γ będziemy zapisywali: β lub γ. W rachunkachlogicznych alternatywę tę zapisuje się: β ∨ γ.

Zauważmy, że zdanie o postaci alternatywy zwykliśmy wygłaszać wów-czas, gdy nie wiemy, które ze zdań-argumentów jest prawdziwe. Na przykładmówię: „Jan studiuje prawo lub ekonomię”, gdy nie wiem, czy Jan studiujeprawo, czy też ekonomię, a jednak wiem, że Jan studiuje prawo lub ekono-mię. Gdy jednak wiem, że Jan studiuje prawo, a mówię: „Jan studiuje prawolub ekonomię”, to mówię mniej niż wiem. Moja wypowiedź pozostaje wszakprawdziwa, jeśli prawdą jest, że Jan studiuje prawo. Podobnie będzie w wy-padku, gdy wiedząc, że Jan studiuje prawo i że studiuje ekonomię mówię:„Jan studiuje prawo lub ekonomię”.

Spójnika „lub” używa się, gdy nie wie się które ze zdań-argumentów al-ternatywy jest prawdziwe i nie ma podstaw do wykluczenia, że wszystkiezdania-argumenty są prawdziwe. Zdarza się jednak, że są podstawy dla wy-kluczenia możliwości współprawdziwości branych pod uwagę zdań. Aby tenfakt zakomunikować tylko za pomocą spójnika, potrzebny jest spójnik alter-natywy rozłącznej.

Definicja 1.132. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem alternatywyrozłącznej wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocątego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,

2. fałszywe, gdy oba zdania-argumenty są prawdziwe lub oba są fałszywe.

Definicja 1.133. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikaalternatywy rozłącznej oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest alterna-tywą rozłączną zdań β i γ. Zdania β i γ to człony tej alternatywy.

Zdanie „Jan jest nauczycielem albo (Jan jest) urzędnikiem” jest alterna-tywą rozłączną zdań „Jan jest nauczycielem” i „Jan jest urzędnikiem”. Alter-natywę rozłączną zdań β i γ będziemy zapisywali: β albo γ. W rachunkachlogicznych zwykle nie wprowadza się specjalnego symbolu na alternatywęrozłączną, można ją bowiem w prosty sposób wypowiedzieć za pomocą kom-binacji negacji i równoważności (spójnika, który będzie tu omówiony jakoostatni). Jeżeli istnieje potrzeba wprowadzenia symbolu alternatywy roz-łącznej to stosowany jest znak: ⊕. W języku potocznym dla wyraźnego za-znaczenia, że chodzi o wypowiedzenie spójnika alternatywy rozłącznej używa


się np. frazy: „albo . . . , albo. . . ”. W wypowiedzi typu: „podlega karze pozba-wienia wolności lub grzywny, albo obu tych kar” słowo „lub” potraktowanejest tak, jakby wyrażało spójnik alternatywy rozłącznej. W zdaniu „bez cławolno przywieźć jedną butelkę wódki albo dwie butelki wina” wyraz „albo”użyty jest jako spójnik alternatywy rozłącznej. Ktoś, kto przywozi jednąbutelkę wódki i dwie butelki wina zobowiązany jest zapłacić cło. Inaczej by-łoby, gdyby przepis był sformułowany za pomocą spójnika „lub”, czyli gdybybrzmiał: „bez cła wolno przywieźć jedną butelkę wódki lub dwie butelkiwina”.

Mówimy: „ani mnie to grzeje, ani ziębi”, „ani widu, ani słychu”. Mówimy„ani Jan nie jest zdolny, ani nie jest pracowity”, choć w istocie to złożeniezdań „Jan jest zdolny” i „Jan jest pracowity” rozumiemy tak, jak złożeniezdań za pomocą „ani. . . , ani. . . ” bez słówka „nie”.

Definicja 1.134. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem binegacji(podwójnego przeczenia, funktorem Łukasiewicza) wtedy i tylko wtedy,gdy zdanie złożone zabudowane za pomocą tego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy oba zdania-argumenty są fałszywe,

2. fałszywe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe.

Definicja 1.135. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikabinegacji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest binegacją zdań β i γ.Zdania β i γ to człony tej binegacji.

Wartość logiczna zdania złożonego zbudowanego za pomocą spójnika bi-negacji jest zawsze taka sama jak wartość logiczna zaprzeczenia zdania zło-żonego zbudowanego z tych samych zdań-argumentów za pomocą spójnikaalternatywy (nierozłącznej), czyli zdania te są logicznie równoważne. W ra-chunkach logicznych dla zapisu binegacji stosuje się zapis: β ↓ γ, a odczytujesię: „ani β, ani γ”.

Definicja 1.136. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem koniunkcjiwtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnikajest:

1. prawdziwe, gdy oba zdania-argumenty są prawdziwe,

2. fałszywe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest fałszywe.

Definicja 1.137. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikakoniunkcji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest koniunkcją zdań βi γ. Zdania β i γ to człony tej koniunkcji.


Zdanie „Jan jest nauczycielem i pracuje w kuratorium oświaty” jest ko-niunkcją zdań „Jan jest nauczycielem” i „Jan pracuje w kuratorium oświaty”.Kolejność argumentów w koniunkcji nie ma znaczenia dla jej wartości lo-gicznej. Koniunkcję zdań β i γ będziemy zapisywali: β i γ. W rachunkachlogicznych stosuje się zapis: β ∧ γ.

Rozważając koniunkcję zauważmy, że jej definicja — podobnie jak defini-cje pozostałych spójników — nie podaje żadnego wyrażenia, które pełniłobyrolę tego spójnika. Jest to sprawą decyzji terminologicznej, któremu słowujęzyka polskiego zostanie powierzona rola czy to spójnika koniunkcji, czyto innego spójnika. Decyzja nie jest arbitralna, pod uwagę bierze się bo-wiem znaczenia poszczególnych słów w języku naturalnym. Konwencjonalnycharakter ustalenia terminologicznego bierze się stąd, że znaczenia wybra-nych słów różnią się od znaczeń, które przypisujemy spójnikom. W językunaturalnym udaje się wskazać takie użycia tych słów, które nie są zgodnez ich rolą jako spójników o znaczeniach określonych definicjami. Na przykładw wypadku słówka „i” — któremu wyznacza się rolę spójnika koniunkcji —tam, gdzie mamy do czynienia ze zdaniami odnoszącymi się do faktów ma-jących miejsce w różnym czasie, lecz nie zawierających dat, na znaczeniezdania złożonego zbudowanego za pomocą spójnika „i” ma wpływ kolejnościzdań połączonych tym słówkiem. Jest tak w wypadku zdań: „Zosia urodziłasyna”, „Zosia wyszła za mąż” oraz: „Jan zachorował”, „Jan poszedł na rentę”.W języku naturalnym zdanie koniunkcyjne wypowiada się też — jest to kwe-stia stylu — używając słówek np. „oraz”, „a”. I tak nie powiemy „Jan jestadwokatem i Piotr jest nauczycielem”, lecz „Jan jest adwokatem a Piotr jestnauczycielem”.

W logice rozważa się też spójnik, który jest zaprzeczeniem koniunkcji,podobnie jak binegacja jest zaprzeczeniem alternatywy.

Definicja 1.138. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem dysjunkcji(funktorem Sheffera) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zabudowaneza pomocą tego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy przynajmniej jedno ze zdań-argumentów jest fałszywe,

2. fałszywe, gdy oba zdania-argumenty są prawdziwe.

Definicja 1.139. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikadysjunkcji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest dysjunkcją zdań βi γ. Zdania β i γ to człony tej dysjunkcji.

W rachunkach logicznych dla zapisu dysjunkcji stosuje się zapis: β/γ.Spójnik ten można odczytywać korzystając z faktu, że zdanie zbudowane


za jego pomocą jest równoważne zaprzeczeniu koniunkcji jego argumentów,czyli zdanie β/γ czytamy: „nieprawda, że zarazem β i γ”.

W wypadku dwuargumentowego spójnika implikacji o zdaniu będącymjego pierwszym argumentem będziemy mówili, że jest poprzednikiem im-plikacji a o drugim, że jest następnikiem implikacji.

Definicja 1.140. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem implikacjiwtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnikajest:

1. prawdziwe, gdy

(a) poprzednik jest fałszywylub

(b) następnik jest prawdziwy,

2. fałszywe, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy.

Definicja 1.141. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikaimplikacji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest implikacją zdań β i γlub zdaniem warunkowym.

Zdanie „ jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra” jest implikacją. Implika-cję, której poprzednikiem jest zdanie β a następnikiem γ będziemy zapisy-wali: jeżeli β, to γ. W rachunkach logicznych stosuje się zapis: β ⇒ γ.

W języku naturalnym implikację wypowiada się za pomocą wielu fraz.Może to być „gdy. . . , to. . . ”, „skoro. . . , to. . . ”, „ponieważ. . . , to. . . ” itp.

Wypowiadamy z przekonaniem jako prawdziwe zdanie „ jeżeli β, to γ”,gdy nie wiemy czy β i γ są prawdziwe, lecz wiemy, że jeśli β jest prawdziwe,to i γ jest prawdziwe. Jeśli wiemy, że β jest prawdziwe i wiemy, że prawdziwejest zdanie „ jeżeli β, to γ”, to wiemy, że prawdziwe jest γ. Wiedząc zaś, żeγ jest prawdziwe raczej nie powiemy „jeżeli β, to γ”, a powiemy γ. Zdania„ jeżeli β, to γ” niezależnie od naszej wiedzy, co do prawdziwości poprzednikalub następnika możemy użyć w argumentacji. Implikacji używamy też dlawypowiedzenia niemożliwości. Zdanie β stwierdzające to, o czym chcemypowiedzieć, że jest niemożliwe, brane jest jako poprzednik, a jako następnikbierze się zdanie, które stwierdza coś, co jest powszechnie uznane za nie-możliwe. Chcąc np. powiedzieć, że niemożliwe jest, aby Jan wykonał swojąpracę na czas, mogę powiedzieć: „Jeżeli Jan wykona tę pracę na czas, to mikaktus na dłoni wyrośnie”.

Za pomocą spójnika implikacji, jak za pomocą każdego innego spójnika,możemy budować zdania z dowolnych zdań. Nie znaczy to jednak, by takie


dowolne połączenia faktycznie pojawiały się w naszych zwykłych wypowie-dziach. Wypowiedź, tekst jest o czymś. Tworzące ją zdania są o tym czymś,na temat, nie są przypadkowe. Pewna osobliwość zdań (wszystkie one sąprawdziwe zgodnie z podanymi rozumieniami spójników): „Jan jest nauczy-cielem lub Warszawa jest stolicą Polski”, „Księżyc jest naturalnym satelitąZiemi i w centrum Warszawy znajduje się Pałac Kultury i Nauki”, „ jeżeliKraków leży nad Wisłą, to złoto jest pierwiastkiem”, bierze się z tego, żetakie zdania nie pojawiają się w zwykłym sposobie mówienia. W praktycz-nie budowanych zdaniach, w wypadku alternatywy i koniunkcji ma miejscejakaś zgodność treści między zdaniami-argumentami. Może to być zgod-ność ze względu na to, że zdania te odnoszą się do tego samego aspektui fragmentu dziedziny przedmiotowej, jak np. w wypadku zdania „to jestczerwone lub różowe”, a co nie ma miejsca w wypadku zdania „to jest czer-wone lub jest kulą”. W zwykłym sposobie mówienia w wypadku implikacjimiędzy poprzednikiem a następnikiem zachodzi jakiś związek bogatszy niżtylko zgodność treściowa. Warto tu wskazać na cztery takie związki. Możnapowiedzieć, że wyraża je spójnik implikacji.

Pomiędzy tym, co stwierdza poprzednik a tym, co stwierdza następnikimplikacji, może zachodzić związek:

1. przyczynowo-skutkowy,Taka sytuacja ma miejsce w wypadku zdań: „ jeżeli na ciało działaniezrównoważona siła, to ciało porusza się ruchem przyśpieszonym”,„ jeżeli będziesz palił, to będziesz ponosił szkodę na zdrowiu”.

2. strukturalny,Związek taki zachodzi w wypadku zdań: „ jeżeli dzisiaj jest poniedzia-łek, to jutro będzie wtorek”, „ jeżeli spojrzysz na Mnicha od stronyMorskiego Oka, to na lewo zobaczysz Mniszka”. Związek strukturalnyto związek zachodzący ze względu na stosunek przestrzenny, czasowy,stosunek zależności służbowej itp.

3. tetyczny,Związek tetyczny to związek powstały z ustanowienia. Tego rodzajuzwiązek występuje w wypadku zdań: „Jeżeli jest się studentem, tomożna uzyskać odroczenie od służby wojskowej”, „Jeżeli prowadzi siędziałalność gospodarczą, to należy płacić podatki”.

4. wynikania,Jest to związek, który stanowi szczególny przedmiot zainteresowań lo-giki. O stosunku wynikania między zdaniami będzie mowa w związku


z rozumowaniami. Najogólniej rzecz biorąc, związek wynikania za-chodzi między zdaniami α i β wówczas i tylko wówczas, gdy prawdzi-wość zdania α gwarantuje prawdziwość zdania β. Szczególnym wypad-kiem wynikania jest wynikanie bezpośrednie na podstawie znaczeniapoprzednika i następnika implikacji. Taki związek to związek anali-tyczny Związek analityczny na miejsce w wypadku zdania: jeżeli Janjest kawalerem, to Jan nie ma żony.

Nie należy mylić implikacji ze stosunkiem wynikania. Implikacja jestspójnikiem, który może wyrażać stosunek wynikania. Inaczej mówiąc,jeśli z α wynika β, to prawdziwa jest implikacja: „ jeśli α, to β”; jednakprawdziwość tej implikacji nie oznacza, że z jej poprzednika wynika jejnastępnik.

W logice rozważa się ograniczenie możliwości użycia frazy „ jeżeli. . . ,to. . . ” do łączenia zdań, które pozostają w pewnych formalnych związkach.Oprócz warunków prawdziwości, które są takie same jak dla powyżej zdefi-niowanej implikacji, jako warunek konieczny poprawności podaje się różnewarunki formalne, jakie powinny zachodzić między zdaniami łączonymi frazą„ jeżeli. . . , to. . . ”. Każdy tak opisany spójnik to implikacja formalna. Dlaodróżnienia, powyżej zdefiniowaną implikację nazywa się implikacją mate-rialną. Implikacja materialna ma prowadzić do paradoksów. Tak twierdzązwolennicy implikacji ścisłej, która miałaby realizować — jak chciał twórcajej teorii C. I. Lewis (1883–1964) — ideę implikacji formalnej. Niezależnieod usiłowań stworzenia zadowalającej teorii implikacji formalnej, implikacjamaterialna ma trwałe miejsce w nauce: wystarcza do wypowiedzenia naj-bardziej skomplikowanych myśli i przeprowadzenia najbardziej subtelnychrozumowań.

W wypadku obu alternatyw: nierozłącznej i rozłącznej, binegacji oraz ko-niunkcji i dysjunkcji kolejność zdań-argumentów nie ma wpływu na wartośćlogiczną zdania złożonego zbudowanego za pomocą tych spójników. Inaczejjest w wypadku implikacji.

Definicja 1.142. Implikacja odwrotna (zdanie warunkowe odwrotne)do zdania „ jeżeli α, to β” to zdanie „ jeżeli β, to α”.

Implikacją odwrotną do zdania „ jeżeli Jan jest poetą, to (Jan) pisze wier-sze” jest zdanie „ jeżeli Jan pisze wiersze, to (Jan) jest poetą”.

Implikacja i implikacja do niej odwrotna dopełniają się, ale nie wyklu-czają, czyli nie mogą być współfałszywe, choć mogą być współprawdziwe.

Definicja 1.143. Implikacja przeciwna (zdanie warunkowe przeciw-ne) do zdania „ jeżeli α, to β” to zdanie „ jeżeli nie-α, to nie-β”.


Implikacja przeciwną do zdania „ jeżeli Jan jest poetą, to (Jan) piszewiersze” jest zdanie „ jeżeli Jan nie jest poetą, to (Jan) nie pisze wierszy”.

Implikacja i implikacja do niej przeciwna dopełniają się, ale nie wyklu-czają się.

Definicja 1.144. Implikacja przeciwstawna (zdanie warunkowe prze-ciwstawne) do zdania „ jeżeli α, to β” to zdanie „ jeżeli nie-β, to nie-α”.

Implikacją przeciwstawną do zdania „ jeżeli Jan jest poetą, to (Jan) piszewiersze” jest zdanie „ jeżeli Jan nie pisze wierszy, to (Jan) nie jest poetą”.

Implikacja i implikacja do niej przeciwstawna są zdaniami logicznie rów-noważnymi. Implikacja przeciwstawna jest implikacją odwrotną do implika-cji przeciwnej.

Definicja 1.145. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem równoważ-ności wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tegospójnika jest:

1. prawdziwe, gdy

(a) oba zdania-argumenty są prawdziwelub

(b) oba zdania-argumenty są fałszywe,

2. fałszywe, gdy jedno zdanie-argument jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Definicja 1.146. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikarównoważności oraz zdań β i γ będziemy mówili, że jest równoważnościązdań β i γ, a o zdaniach β i γ, że są sobie równoważne.

Zdanie „liczba a jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy sumajej cyfr jest podzielna przez 3” jest równoważnością. Zdania „liczba a jestpodzielna przez 3” i „suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3” są sobierównoważne. Równoważność należy odróżniać od równoznaczności. Zdaniamające to samo znaczenie, zdania równoznaczne, w myśl podanej definicjirównoważności są sobie równoważne. Zależność odwrotna nie zachodzi. Niewszystkie zdania równoważne są równoznaczne. Zdanie „liczba a jest po-dzielna przez 3” nie jest równoznaczne ze zdaniem „suma cyfr liczby a jestpodzielna przez 3”. Równoważność zdań β i γ będziemy zapisywali: β wtedyi tylko wtedy, gdy γ. W języku symbolicznym logiki formalnej zapisuje sięto zaś: β ⇔ γ.


Podobnie jak w wypadku implikacji, w zwykłym sposobie mówienia spój-nikiem równoważności łączymy zdania pozostające ze sobą w jakichś związ-kach. Nasze uwagi o implikacji można odnieść do równoważności.

Związki między implikacją a równoważnością staną się bardziej zrozu-miałe jeśli uświadomimy sobie, że równoważność „α wtedy i tylko wtedy,gdy β” daje się wyrazić za pomocą dwóch implikacji, a mianowicie „ jeśli α,to β” i implikacji do niej odwrotnej, „ jeśli β, to α”. Na jedno wychodzi, czywypowiemy te dwie implikacje, czy równoważność. Fakt ten tłumaczy teżdlaczego w zwykłym sposobie mówienia spójnik równoważności jest rzadkoużywany — myśl można bowiem wyrazić posługując się prostszym, choćbytylko w sposobie wysłowienia, spójnikiem implikacji.

Omówione spójniki: negacji, alternatyw, binegacji, koniunkcji, dysjunk-cji, implikacji i równoważności charakteryzują się tym, że wartości logiczneich argumentów jednoznacznie wyznaczają wartość logiczną zdania złożo-nego. Na tę wartość nie ma wpływu treść zdań-argumentów. Są to spójnikiprawdziwościowe.

Definicja 1.147. Spójnik prawdziwościowy to spójnik taki, że wartośćlogiczna zdania złożonego zbudowanego za pomocą tego spójnika jest w spo-sób charakterystyczny dla tego spójnika wyznaczona przez wartości logicznezdań-argumentów.

Przykładami spójników, które nie są prawdziwościowe, mogą być frazy„konieczne jest, że . . . ”, „możliwe, że . . . ”. Zdanie „2+2 = 4” jest prawdziweoraz zdanie „konieczne jest, że 2+2 = 4” jest prawdziwe. Jednak w wypadkuzdania prawdziwego „Warszawa jest stolicą Polski”, zdanie „konieczne jest, żeWarszawa jest stolicą Polski” jest zdaniem fałszywym. Zdanie „Kraków jeststolicą Polski” jest zdaniem fałszywym, a zdanie „możliwe, że Kraków jeststolicą Polski” jest zdaniem prawdziwym. Fałszywe jest zdanie „2 + 2 = 5”i fałszywe jest też „możliwe, że 2 + 2 = 5”.

Dwuargumentowym spójnikiem, który nie jest prawdziwościowy jest fraza„z tego, że . . . wynika, że . . . ”. W wypadku zdań: „a jest kwadratem”, „a macztery boki” zachodzi stosunek wynikania: prawdą jest, że „z tego, że a jestkwadratem wynika, że a ma cztery boki”. W wypadku zdań prawdziwych:„Słońce jest gwiazdą”, „Księżyc jest planetą” fałszywe jest zdanie „z tego, żeSłońce jest gwiazdą wynika, że Księżyc jest planetą”.Spójniki prawdziwościowe negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i rów-

noważności są przedmiotem rozważań w klasycznym rachunku logicznym.Interesującym zagadnieniem jest liczba spójników prawdziwościowych

różniących się tylko sposobem przyporządkowywania wartości logicznej zda-niu złożonemu. W wypadku spójników jednoargumentowych są dokładnie


cztery takie spójniki. Spójników dwuargumentowych jest dokładnie szesna-ście. Ogólnie biorąc jest 22n prawdziwościowych spójników n-argumentowych.Natychmiast powstaje pytanie, czy możliwe jest wypowiedzenie wszystkichspójników prawdziwościowych za pomocą pewnej skończonej ich liczby. Za-uważamy bowiem, że zamiast „ jeżeli α, to β” możemy równoważnie powie-dzieć „nie-α lub β”. Spójnik implikacji daje się więc wyeliminować, bo możnago wypowiedzieć za pomocą negacji i alternatywy. Może więc dałoby sięwypowiedzieć wszystkie dające się pomyśleć spójniki prawdziwościowe ko-rzystając tylko ze skończonego ich zbioru? Odpowiedź na to pytanie jestpozytywna. Okazało się, że są nawet dokładnie dwa dwuargumentowe spój-niki prawdziwościowe, z których każdy z osobna może wypełnić to zadanie.Są nimi binegacja i dysjunkcja. Dla nas istotne jest to, że omówione przez nasspójniki prawdziwościowe: negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i rów-noważności też umożliwiają wypowiedzenie wszystkich dających się choćbytylko pomyśleć spójników prawdziwościowych o skończonej liczbie argumen-tów.

Zdanie „Jan pracuje na uniwersytecie, na politechnice lub w liceum” jestprawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno zezdań: „Jan pracuje na uniwersytecie”, „Jan pracuje na politechnice”, „Janpracuje w liceum”. Zdanie to zbudowane jest z trzech zdań-argumentów po-łączonych spójnikiem trójargumentowym. Podobnie można budować zdaniezłożone z jeszcze większej liczby zdań-argumentów. Spójnik, który łączyłbyte zdania to n-argumentowa alternatywa.

Definicja 1.148. N -argumentowy spójnik jest spójnikiem n-argumen-towej alternatywy wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane zapomocą tego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,

2. fałszywe, gdy wszystkie zdania-argumenty są fałszywe.

Definicja 1.149. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikan-argumentowej alternatywy oraz zdań β1, β2, . . . , βn będziemy mówili, żejest n-członową alternatywą zdań β1, β2, . . . , βn. Zdania β1, β2, . . . , βn

to człony tej alternatywy.

Zdanie „Jan mieszka w Białymstoku, w Łapach albo w Ełku” jest zbudo-wane z trzech zdań-argumentów i trójargumentowego spójnika alternatywyrozłącznej. Ogólnie biorąc możemy mówić o n-argumentowym spójniku al-ternatywy rozłącznej.


Definicja 1.150. N -argumentowy spójnik jest spójnikiem n-argumen-towej alternatywy rozłącznej wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożonezbudowane za pomocą tego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,

2. fałszywe, gdy prawdziwe są co najmniej dwa lub fałszywe są wszystkiezdania-argumenty.

Definicja 1.151. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikan-argumentowej alternatywy rozłącznej oraz zdań β1, β2, . . . , βn będziemymówili, że jest n-członową alternatywą rozłączną zdań β1, β2, . . . , βn.Zdania β1, β2, . . . , βn to człony tej alternatywy rozłącznej.

W języku spotykamy też zdania, które należałoby uznać za zbudowanez n-argumentowego spójnika koniunkcji. Na przykład zdanie „Jan studiuje,pracuje i uprawia sport” zbudowane jest za pomocą trójargumentowego spój-nika koniunkcji.

Definicja 1.152. N -argumentowy spójnik jest spójnikiem n-argumen-towej koniunkcji wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane zapomocą tego spójnika jest:

1. prawdziwe, gdy wszystkie ze zdań-argumentów są prawdziwe,

2. fałszywe, gdy przynajmniej jedno ze zdań-argumentów jest fałszywe.

Definicja 1.153. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnikan-argumentowej koniunkcji oraz zdań β1,β2, . . . , βn będziemy mówili, żejest n-członową koniunkcją zdań β1, β2, . . . , βn. Zdania β1, β2, . . . , βn toczłony tej koniunkcji.

Zauważmy, że wskazane n-argumentowe spójniki to cała klasa spójni-ków. W wypadku n = 2 są to spójniki alternatywy, alternatywy rozłącznej,koniunkcji. W wypadku n > 2 mówimy, że są to spójniki wieloargumen-towe, a zdania zbudowane za ich pomocą to wieloczłonowa alternatywa,wieloczłonowa alternatywa rozłączna, wieloczłonowa koniunkcja.Jak możemy spójniki te wyrazić za pomocą spójników dwuargumentowych?Odpowiedź w tym wypadku jest szczególnie prosta. Zauważmy bowiem, żew wypadku zarówno alternatywy, alternatywy rozłącznej i koniunkcji mamiejsce własność łączności, czyli dla dowolnych zdań α, β, γ:

1. wartość logiczna zdania (α∨β)∨γ jest taka sama jak wartość logicznazdania α ∨ (β ∨ γ);


2. wartość logiczna zdania (α⊕β)⊕γ jest taka sama jak wartość logicznazdania α⊕ (β ⊕ γ);

3. wartość logiczna zdania (α∧β)∧γ jest taka sama jak wartość logicznazdania α ∧ (β ∧ γ).

Zatem zdanie złożone zbudowane ze zdań α1, α2, . . . , αn i

1. spójnika alternatywy jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy przynaj-mniej jedno ze zdań α1, α2, . . . , αn jest prawdziwe, czyli jego wartośćlogiczna jest taka sama jak wartość logiczna zdania zbudowanego z tychzdań i n-argumentowego spójnika alternatywy;

2. spójnika alternatywy rozłącznej jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy,gdy dokładnie jedno ze zdań α1, α2, . . . , αn jest prawdziwe, czyli jegowartość logiczna jest taka sama jak wartość logiczna zdania zbudowa-nego z tych zdań i n-argumentowego spójnika alternatywy rozłącznej;

3. spójnika koniunkcji jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkiezdania α1, α2, . . . , αn są prawdziwe, czyli jego wartość logiczna jesttaka sama jak wartość logiczna zdania zbudowanego z tych zdań i n-argumentowego spójnika koniunkcji.

Zadania

Zadanie 1.61. Podaj niektóre wyrażenia języka polskiego mogące pełnić rolęspójnika:

1. negacji,

2. alternatywy,

3. alternatywy rozłącznej,

4. binegacji,

5. koniunkcji,

6. dysjunkcji,

7. implikacji,

8. implikacji odwrotnej,

9. równoważności?


Zadanie 1.62. Wskaż różnice znaczeniowe między zdaniami: „Wyrażenie na-leży do jednej kategorii składniowej”, „Wyrażenie należy do tylko jednej kate-gorii składniowej”, „Wyrażenie należy do jednej i tylko jednej kategorii skła-dniowej”.

Zadanie 1.63. Jakim zdaniem jest implikacja, której:

1. poprzednik i następnik są zdaniami analitycznymi,

2. poprzednik i następnik są zdaniami kontradyktorycznymi,

3. poprzednik i następnik są zdaniami syntetycznymi,

4. której następnik jest zdaniem analitycznym,

5. której następnik jest zdaniem kontradyktorycznym,

6. której następnik jest zdaniam syntetycznym,

7. której poprzednik jest zdaniem analitycznym,

8. której poprzednik jest zdaniem kontradyktorycznym,

9. której poprzednik jest zdaniam syntetycznym?

Zadanie 1.64. Czy jest prawdą, że

1. wszystkie zdania analityczne są parami równoważne,

2. wszystkie zdania kontradyktoryczne są parami równoważne,

3. wszystkie zdania syntetyczne są parami równoważne?

Zadanie 1.65. Otrzymałeś zaproszenie na przyjęcie z adnotacją: „Proszę po-wiadomić tylko w wypadku rezygnacji”. Czy naruszasz tę prośbę, gdy:

1. powiadamiasz i nie przychodzisz,

2. powiadamiasz i przychodzisz,

3. nie powiadamiasz i przychodzisz,

4. nie powiadamiasz i nie przychodzisz?

Zadanie 1.66. Masz cztery karty. Na jednej stronie każdej z nich jest literaa na drugiej cyfra. Karty leżą na stole. Na widocznej stronie znajdują się,kolejno: A, 1, B, 2. Stawiasz hipotezę, że:


jeżeli na karcie znajduje się A, to na jej drugiej stronie jest 1.

Które karty musisz odkryć, aby mieć całkowitą pewność, że hipoteza jestprawdziwa, jeśli tych kart powinieneś odkryć jak najmniej?

Zadanie 1.67. Na pewnej wyspie mieszkają ludzie, którzy zawsze mówiąprawdę i ludzie, którzy zawsze mówią nieprawdę. Na rozdrożu dwóch dróg,z których jedna prowadzi do stolicy kraju stoi tubylec. Jakie jedno pytanienależy mu zadać, aby po usłyszeniu odpowiedzi „tak” albo „nie” wiedzieć,która droga prowadzi do stolicy kraju?

Słówka modalne

Spośród spójników, które nie są prawdziwościowe, ze względu na rolę w na-szych wypowiedziach na szczególną uwagę zasługują słówka modalne. Z fraz„konieczne jest, że” i „możliwe jest, że” korzystaliśmy, aby pokazać, że wartośćlogiczna ich argumentów sama nie wyznacza wartości logicznej zdania zło-żonego i trzeba brać pod uwagę treść zdań-argumentów. Frazy te to słówkamodalne. Modalnością zajmował się już Arystoteles. W tradycyjnej logiceograniczano się do zdań podmiotowo-orzecznikowych: S jest P. Współcze-sne ujęcie jest ogólniejsze. Tradycyjne ujęcie — jak się wydaje — ma jednakpewne zalety dydaktyczne.

W tradycyjnej ontologii mówi się o sposobie przysługiwania lub nieprzy-sługiwania własności P przedmiotowi a (modalność de re). Są to:

1. konieczność (necessarium est), jeśli własność P nie może nie przy-sługiwać przedmiotowi a;

2. niemożliwość (impossibile est), jeśli własność P nie może przysługi-wać przedmiotowi a;

3. niekonieczność, czyli przygodność (contingens est), jeśli własnośćP może nie przysługiwać przedmiotowi a;

4. możliwość (possibile est), jeżeli własność P może przysługiwać przed-miotowi a.

Definicja 1.154. Zdaniem modalnym (w sensie tradycyjnym) jest zda-nie, które stwierdzając przysługiwanie przedmiotowi a własności P mówinadto o tym, jak własność ta przysługuje przedmiotowi a.


Rola słówka modalnego w zdaniu polega na określeniu tego, jak własnośćP przysługuje przedmiotowi a. Frazy, które służą jako słówka modalne, by-wają niejednoznaczne. W zdaniu „Jan musi mieć matkę” mówi się o koniecz-ności biologicznej. Z inną koniecznością mamy do czynienia w zdaniu „Janmusi udać się do lekarza”. Podobnie jest z możliwością. O innej możliwościmowa w zdaniu „Jan może zdać egzamin”, a o innej w zdaniu „Jan możelewitować”.

Logika współczesna nie ogranicza się do zdań podmiotowo-orzecznikowych.Modalność jest czymś, co cechuje sytuację, ze względu na którą zdanie jestprawdziwe lub fałszywe (modalność de dicto). Słówka modalne traktowanesą zaś jako spójniki. Podobnie jak jakaś własność może na różne — wyżejopisane — sposoby przysługiwać przedmiotowi, tak też w różny sposób mogązachodzić sytuacje.

Co znaczy to, że sytuacja może zachodzić, nie może zachodzić, jest ko-nieczna lub jest niekonieczna?

Wyobraźmy sobie świat, w którym wszystko jest jak w świecie rzeczywi-stym, poza tym że podręcznik z logiki nie leży na stole, lecz na półce, czyliw tym świecie zamiast pewnej sytuacji (a mianowicie, że podręcznik leży nastole) ma miejsce sytuacja od niej różna. Ten świat jest możliwy z punktuwidzenia świata rzeczywistego. Odpowiedź na nasze pytanie wymaga od-powiedzi na pytanie, jakie światy są możliwe i na pytanie, jak rozumiećto, że świat jest osiągalny z «naszego świata», czyli możliwy ze względu na«nasz świat». Świat możliwy z punktu widzenia praw przyrody nie musi byćmożliwy z punktu widzenia zasad moralnych, zasad prawnych lub uznanychnorm zachowań. Sytuacja jest możliwa, jeśli zachodzi w możliwym świecieosiągalnym (z «naszego świata»). Sytuacja jest konieczna, jeśli ma miejscew każdym z takich możliwych światów.

Ograniczenia na konstrukcje możliwych światów wyznaczają specyficznerozumienie sposobu, w jaki zachodzi sytuacja. Inne będzie ono, gdy bę-dziemy mieli na uwadze ograniczenia przez prawa przyrody, inne, gdy będąto ograniczenia przez zasady moralne lub prawne, inne gdy będzie to ograni-czenie przez zasady logiczne. Na przykład jeśli weźmiemy pod uwagę świat,w którym obowiązują prawa fizyki i biologii, to Jan może głośno rozmawiaćna wykładzie. Możliwa jest również sytuacja, że Jan nie rozmawia na wy-kładzie. Jeśli weźmiemy pod uwagę normy obowiązujące studentów uczest-niczących w wykładzie, to Jan nie może głośno rozmawiać na wykładzie.Jakiekolwiek jednak ograniczenie weźmiemy pod uwagę, to nie może jednakbyć tak, aby jakaś sytuacja była możliwa, a nie była możliwa ze względu nazasady logiczne: to, co jest możliwe, jest możliwe w sensie logicznym, alenie na odwrót: to, co jest możliwe w sensie logicznym nie musi być możliwe


w innym sensie, np. moralnym. To, co jest konieczne w sensie logicznym, jestkonieczne w każdym innym sensie, ale nie na odwrót: to, co jest koniecznew jakimś sensie nie musi być konieczne w sensie logicznym.

Możemy mówić o sposobach zachodzenia sytuacji, czyli modalnościachfizycznych, praktycznych, moralnych, normatywnych itp. Modalność ale-tyczna21 (logiczna, metafizyczna) odnosi do sposobu zachodzenia sytuacji.Modalność epistemiczna22 odnosi do sposobu poznania. Modalność deon-tyczna23 dotyczy sposobu obowiązywania zasad moralnych i prawnych. Mo-dalność egzystencjalna dotyczy sposobu istnienia.

Kiedy będziemy mówili tu o możliwości i konieczności, będziemy mielina uwadze ich rozumienie, jako możliwości i konieczności logicznych.

Definicja 1.155. Zdaniem modalnym jest zdanie, które oprócz tego, żestwierdza zachodzenie pewnej sytuacji mówi też o sposobie jej zachodzenia.

Z punktu widzenia modalności zdania dzieli się na asertoryczne, apodyk-tyczne i problematyczne.

Definicja 1.156. Zdanie asertoryczne to zdanie, które stwierdza zacho-dzenie pewnej sytuacji (bez określenia sposobu jej zachodzenia, modalności).

Zdaniem asertorycznym jest wyrażenie „Jan jest prawnikiem”.

Definicja 1.157. Zdanie apodyktyczne to zdanie (modalne), które stwier-dza konieczność lub niemożliwość pewnej sytuacji.

Zdaniami apodyktycznymi są: „niemożliwe, że Jan był wczoraj w kinie”,„konieczne jest uzyskanie zaliczenia z logiki”, „podatnik musi rozliczyć sięz podatku do końca kwietnia”.

Definicja 1.158. Zdanie problematyczne to zdanie (modalne), którestwierdza niekonieczność (przygodność) lub możliwość pewnej sytuacji.

Zdaniami problematycznymi są: „możliwe, że Jan był wczoraj w kinie”,„testament nie musi być sporządzony przez notariusza”.

Zdania modalne tworzymy za pomocą słówek modalnych. Słówka mo-dalne są spójnikami jednoargumentowymi.

Definicja 1.159. Jednoargumentowy spójnik jest spójnikiem możliwościwtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnikajest:

21Greckie „aletheia” znaczy tyle, co „prawda”.22Greckie „episteme” znaczy tyle, co „poznanie”, „wiedza”.23Greckie „deon” znaczy tyle, co „powinność”.


1. prawdziwe, gdy w jakimś możliwym świecie prawdziwe jest zdanie-argument;

2. fałszywe, gdy w żadnym możliwym świecie zdanie-argument nie jestprawdziwe.

Jako modalny spójnik możliwości stosuje się wyrażenie „możliwe, że”.

Definicja 1.160. Jednoargumentowy spójnik jest spójnikiem koniecz-ności wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tegospójnika jest:

1. prawdziwe, gdy w każdym możliwym świecie prawdziwe jest zdanie-argument;

2. fałszywe, gdy w przynajmniej w jednym możliwym świecie zdanie-argument nie jest prawdziwe.

Jako modalny spójnik konieczności stosuje się wyrażenie „konieczne, że”.Pomiędzy zdaniami modalnymi — przypomnijmy, że mamy na uwadze

modalności logiczne — zachodzą następujące związki:

1. jeśli prawdziwe jest zdanie „konieczne jest, że α”, to prawdą jest, żeα (jeśli sytuacja, która zachodzi, jest jedną z alternatywnych sytuacji,które bierzemy pod uwagę);

2. jeśli prawdą jest, że α, to prawdziwe jest zdanie „możliwe jest, że α”(jeśli sytuacja, która zachodzi, jest jedną z sytuacji alternatywnych);

konsekwencją 1 i 2 jest, że

3. jeśli prawdziwe jest zdanie „konieczne jest, że α”, to prawdziwe jestzdanie „możliwe jest, że α”;

4. zdanie „nie jest możliwe, że nie-α jest równoważne zdaniu „koniecznejest, że α;

5. zdanie „nie jest konieczne, że nie-α równoważne jest zdaniu „możliwejest, że α.

Niektóre ze wskazanych związków między modalnościami logicznymi mogązachodzić również dla innych niż logiczne rozumień modalności. Na przykładdla modalności w sensie prawnym zachodzi związek 3.

Związki logiczne między modalnościami logicznymi można przedstawićna diagramie.


Niech ¤ będzie skrótem dla „konieczne, że . . . ” a ♦ nie będzie skrótemdla „możliwe, że . . . ”.

¤ α ¤ ¬α

♦ α ♦ ¬α

s p r z e c z n o œ æs pr z

e

c z n

oœ æ

p o

d p

o r

z ¹

d k

o w

a n

i e

p o

d p

o r

z ¹

d k

o w

a n

i e

p r z e c i w i e ñ s t w o

p o d p r z e c i w i e ñ s t w o

Zdania ¤α i ¤¬α są przeciwne, tzn. nie mogą być współprawdziwe, choćmogą być współfałszywe.

Zdania ♦α i ♦¬α są podprzeciwne, tzn. mogą być współprawdziwe a niemogą być współfałszywe.

Zdanie ♦α jest podporządkowane zdaniu ¤α, tzn. prawdziwość zdania¤α gwarantuje prawdziwość zdania ♦α. Podobnie zdanie ♦¬α jest podpo-rządkowane zdaniu ¤¬α.

Zdania ¤α i ♦¬α oraz zdania ¤¬α i ♦α są sprzeczne, tzn. dokładniejedno z pary zdań sprzecznych jest prawdziwe i dokładnie jedno jest fałszywe.

Słówka modalne bez względu na to, jakie ich rozumienie jest wyznaczoneprzez ograniczenia na konstrukcję możliwych światów, zawsze mogą być in-terpretowane dwojako: epistemicznie i nieepistemicznie. Konstrukcja możli-wego świata jest konstrukcją myślową i nie przesądza odpowiedzi na pytanie,czy chodzi o możliwość i konieczność jako coś wyznaczonego przez naturę rze-czy, czy też jest to coś wyznaczone przez nasze poznanie — świat jest jakijest, a jedynie w naszym poznaniu jawi się jako mogący być innym. Kiedymówię, że „ jutro może spotkam Jana”, to mogę mieć na uwadze stwierdzenie— będzie to rozumienie nieepistemiczne — że natura rzeczy i zdarzeń jesttaka, że sytuacja opisywana przez to zdanie jest możliwa bądź też mogę miećna uwadze stwierdzenie — będzie to interpretacja epistemiczna — że mojawiedza na temat rzeczy i zdarzeń oraz praw nimi rządzących nie wykluczazajścia sytuacji, że jutro spotykam Jana.

W języku prawa oraz zarządzeń i regulaminów słówka modalne pełniąważną rolę. Modalności wyrażane są też przez wypowiedzi, które formąnie różnią się od zdań asertorycznych. Wypowiedź „głosowanie w sprawach


osobowych jest tajne” wyraża konieczność tajnego głosowania w sprawachosobowych. Słowo „może” w wypowiedzi „obywatel może złożyć odwołanieod decyzji administracyjnej organu pierwszej instancji” wyraża obowiązekpaństwa rozpatrzenia takiego odwołania przez odpowiedni organ administra-cyjny. Fraza „powinien” jest mniej kategoryczna niż „musi” lub odpowiedniawypowiedź asertoryczna wyrażająca obowiązek.

Zadania

Zadanie 1.68. Dla jakich znaczeń „mógł” fałszywe jest zdanie „Jan mógłokraść Piotra”?

Zadanie 1.69. Jakie znaczenia ma zdanie: „nikt nie mógł dosiąść konia Alek-sandra Wielkiego”?

Zadanie 1.70. Jaką wartość logiczną ma zdanie „konieczne, że α” jeżeli α jestzdaniem:

1. analitycznym?

2. wewnętrznie kontradyktorycznym?

3. syntetycznym?

Zadanie 1.71. Jaką wartość logiczną ma zdanie „możliwe, że α” jeżeli α jestzdaniem:

1. analitycznym,

2. kontradyktorycznym,

3. syntetycznym?

Zadanie 1.72. Dla jakiego znaczenia „konieczne” prawdą jest, że „ jeżeli niejest konieczne, że α, to konieczne jest, że nie-α”?

Zadanie 1.73. Przeanalizuj poniższy tekst i odpowiedz na następujące pyta-nia:

1. Czy odróżniasz to, co wiesz od tego, w co wierzysz?

2. Czy to, w co wierzysz, jest składnikiem twojej wiedzy?

3. Według jakich kryteriów z zewnątrz można by wyróżniać w twoichprzekonaniach to, co wiesz, od tego, w co wierzysz?


4. Kto byłby uprawniony do rozstrzygania, które z twoich przekonań sąprawdziwe, a które są fałszywe?

Wyrażenia „wiem, że α” i „wierzę, że α” intuicyjnie różnią się zasad-niczo. Wiara jest stanem subiektywnym, podczas gdy wiedzę winiencharakteryzować obiektywizm. Jeśli ktoś — powiedzmy — Zenek, mawybitnie staroświeckie poglądy i w swojej wiedzy astronomicznej za-trzymał się na piątym stuleciu przed naszą erą, to prawdziwe może byćzdanie „Zenek wierzy, że Ziemia spoczywa na żółwiu niesionym przezcztery słonie”, ale — i to niezależnie od poglądów Zenka — niedorzecz-nością byłoby stwierdzenie „Zenek wie, że Ziemia spoczywa na żółwiuniesionym przez cztery słonie”. Rzecz w tym, że nie można wiedziećczegoś, co nie jest prawdą, można w to najwyżej wierzyć. Inna rzecz,że różnica ta jest dostrzegalna jedynie z zewnątrz: dla samego Zenkajego wiara od jego wiedzy może być nieodróżnialna.

Zadanie 1.74. Które z poniższych zdań są prawdziwe?:

1. To, co jest zakazane nie jest dozwolone.

2. Dozwolone jest to, co nie jest zakazane.

3. To, co nie jest zakazane jest dozwolone.

4. To, co jest zakazane jest niedozwolone.

5. To, co jest niedozwolone nie jest dozwolone.

6. To, co jest obowiązkowe jest dozwolone.

7. To, co jest obowiązkowe nie jest zakazane.

8. To, co nie jest obowiązkowe jest dozwolone.

1.3.5 Słówka kwantyfikujące

Spośród typów wyrażeń, z których budowane są zdania, warto wyróżnićsłówka kwantyfikujące. Przykładami takich słówek są: każdy, niektó-rzy, nikt; zawsze, czasem, nigdy. Za ich pomocą budujemy zdania takie jak:„każdy dąży do szczęścia”, „niektórzy są pracowici”, „czasem mamy szczęście”.W zdaniu „każdy dąży do szczęścia” słowo „każdy” odnosi się do każdego czło-wieka. Zdanie to jest prawdziwe, gdy o każdym człowieku jest prawdą, żedąży do szczęścia. W przeciwnym wypadku, a więc gdy chociaż o jednymczłowieku nie jest prawdą, że dąży do szczęścia, zdanie to jest fałszywe.


Słowo „niektórzy” w zdaniu „niektórzy są pracowici” też odnosi się do ludzi.Zdanie „niektórzy są pracowici” jest prawdziwe, gdy chociaż w wypadku jed-nego człowieka jest prawdą, że jest pracowity. W przeciwnym razie, a więcgdy nikt nie jest pracowity, zdanie to jest fałszywe.

Użycie słówek kwantyfikujących stwarza wiele problemów chociażby przyzaprzeczaniu zdań, w których występują. Zaprzeczenie zdania „każdy dążydo szczęścia” równoważne jest zdaniu „niektórzy nie dążą do szczęścia”, a niejest równoważne zdaniu „nikt nie dąży do szczęścia”. Zaprzeczenie zdania„niektórzy nie dążą do szczęścia” równoważne jest zdaniu „wszyscy dążą doszczęścia”. Zaprzeczenie zdania „niektórzy dążą do szczęścia” równoważnejest zdaniu „nikt nie dąży do szczęścia”. Zaprzeczenie zdania „nikt nie dążydo szczęścia” równoważne jest zdaniu „niektórzy dążą do szczęścia”, a nie jestrównoważne zdaniu „każdy dąży do szczęścia”.

Porównując powyższe przykłady widzimy, że są cztery nierównoważnezdania zbudowane z użyciem negacji i słówek kwantyfikujących „każdy” i „nie-którzy”. Zdanie „każdy dąży do szczęścia” przypisuje każdemu człowiekowipewną cechę — dążenie do szczęścia. Zdanie „niektórzy dążą do szczęścia”przypisuje to niektórym ludziom. Zdanie „nikt nie dąży do szczęścia” stwier-dza brak pewnej cechy — dążenia do szczęścia — u każdego człowieka, a zda-nie „niektórzy nie dążą do szczęścia” stwierdza to w odniesieniu do niektó-rych. Zdania te różnią się tylko rodzajem użytych słówek kwantyfikującychi pozycją przeczenia — mówiąc swobodnie — przed lub po słówku kwanty-fikującym.

Użycie słówek kwantyfikujących i negacji wymaga takiej konstrukcji zda-nia, aby było jasne, czy negacja obejmuje słówko kwantyfikujące, czy też nie.Ta różnica ról negacji nie jest jasna w zdaniu „zawsze nie udaje się”. Możemyje rozumieć jako zdanie równoważne zdaniu „nigdy nie udaje się” albo jakozdanie równoważne zdaniu „niekiedy nie udaje się”. Podobnie jest ze zda-niami: „wszyscy nie lubią płacić podatków”, „każdy nie dąży do szczęścia”.

W języku naturalnym można wypowiadać zdania równoważne zdaniomze słówkiem kwantyfikującym bez jego wyraźnego użycia. Gdy czytamy: „in-walidzi obsługiwani są poza kolejnością”, rozumiemy to jako: „każdy inwalidaobsługiwany jest poza kolejnością”.

To samo słówko kwantyfikujące może też występować w różnych rolach.Mówiąc: „ktoś, kto pali, naraża swoje zdrowie”, stwierdzam, że każdy palącynaraża swoje zdrowie. Kiedy mówię: „ktoś tu pali”, mam na uwadze pewienfakt jednostkowy, że jest ktoś taki, kto tu pali.

Problem z rozumieniem stwarzają słówka takie jak: „niektórzy”, „nie-kiedy” itp. Czy kiedy mówię: „niektórzy studenci przygotowali się do zajęć”,to czy w konsekwencji nie stwierdzam również, że niektórzy studenci nie


przygotowali się do zajęć? Po odpytaniu kilku, ale nie wszystkich studen-tów, okazało się, że są oni przygotowani do zajęć. Mam więc prawo wygłosićzdanie „niektórzy studenci przygotowali się do zajęć”. Nie mam zaś żadnychracji dla twierdzenia, że niektórzy studenci nie przygotowali się do zajęć.Niekiedy jednak słówko „niektórzy” brane jest w znaczeniu „tylko niektórzy”;podobnie „niekiedy” — „tylko niekiedy” (jak choćby w tym zdaniu).

Przez zdanie ogólne rozumiemy zdanie, które o wszystkich desygnatachnazwy N 1 stwierdza — jest to wówczas zdanie ogólno-twierdzące — lub za-przecza — jest to wówczas zdanie ogólno-przeczące — że są desygnataminazwy N 2. Zdanie szczegółowe zaś to zdanie, które stwierdza — jest towówczas zdanie szczegółowo twierdzące — lub zaprzecza — jest to wówczaszdanie szczegółowo przeczące — o pewnych (wprost niewskazanych) desy-gnatach nazwy N 1, że są desygnatami nazwy N 2. „Każdy student jest spor-towcem” to zdanie ogólno-twierdzące. „Żaden student nie jest sportowcem”to zdanie ogólno-przeczące. „Niektórzy studenci są sportowcami” to zdanieszczegółowo twierdzące. Zdaniem szczegółowo przeczącym jest zdanie „nie-którzy studenci nie są sportowcmi”.

Określenie „zdanie ogólne” stosowane jest nie tylko do zdań wyżej omó-wionego typu. W kontekście szeroko rozumianego użycia tego terminu poja-wiają się też określenia „zdanie szczegółowe” i „zdanie jednostkowe”.

Definicja 1.161. Zdanie ogólne to zdanie, które stwierdza posiadanie lubnieposiadanie pewnej cechy bądź pozostawanie w pewnym stosunku przezwszystkie desygnaty jakieś nazwy ogólnej.

W tym sensie zdaniami ogólnymi są wyżej omówione zdania ogólno-twier-dzące i ogólno-przeczące, a nie są nimi wyżej omówione zdania szczegółowo-twierdzące i szczegółowo-przeczące. Pojęcie zdania ogólnego związane jestz jakąś nazwą ogólną, o której — mówiąc swobodnie — wszystkich desygna-tach jest to zdanie.

Definicja 1.162. Zdaniem szczegółowym ze względu na dane zdanieogólne jest zdanie, które stwierdza lub zaprzecza o pewnych (wprost niewska-zanych) desygnatach to, co zdanie ogólne stwierdza lub zaprzecza o wszyst-kich desygnatach pewnej nazwy.

Definicja 1.163. Zdaniem jednostkowym ze względu na dane zdanieogólne jest zdanie, które stwierdza lub zaprzecza o jednym desygnacie (wska-zywanym przez nazwę indywidualną lub jednoznaczny opis) to, co zdanieogólne stwierdza lub zaprzecza o wszystkich desygnatach pewnej nazwy.


Zdaniem ogólnym jest „każdy (człowiek) powinien dbać o sprawy pu-bliczne”, zdaniem szczegółowym — „ktoś powinien dbać o sprawy publiczne”,a jednostkowym — „Jan powinien dbać o sprawy publiczne”.

Słówka kwantyfikujące w rodzaju: „każdy”, „zawsze”, wszędzie i „nikt”,„nigdy”, „nigdzie” oraz „niektórzy”, „czasem”, „gdzieniegdzie” są szczególnieważne. W logice formalnej wprowadza się specjalne symbole: ∀ (dla każ-dego), ∃ (dla pewnego). Są to kwantyfikatory. Wystarczają one do for-mułowania zdań matematyki klasycznej. Inaczej jest w języku naturalnym— występują w nim też słówka kwantyfikujące innego rodzaju, jak: „wielu”,„niewielu”, „rzadko”, „często”, „przeważnie”. Nie dają się one wypowiedzieć zapomocą słówek „dla każdego” i „dla pewnego”. Ponadto są nieostre i ich rozu-mienie zależy od kontekstu użycia. Na przykład słówko „niewielu” może zna-czyć co innego w zależności od ilości elementów branego pod uwagę zbioru.Kiedy w wypadku obecności 20 studentów na zajęciach można powiedzieć,że w tych zajęciach uczestniczyło niewielu studentów? Odpowiedź zależyod liczności branej pod uwagę grupy studentów. Jeśli grupa ta liczy 500studentów, to prawdą jest, że w zajęciach uczestniczyło niewielu studentów.Jeżeli zaś liczy 25 studentów, to nie jest to prawdą. Ponadto pojawiają sięspecyficzne problemy z negacją. Czy zdanie „Jan nie ma wielu kolegów” jestrównoważne zdaniu, że „Jan ma niewielu kolegów”?

Stosunki logiczne między zdaniami ogólnymi a szczegółowymi można zo-brazować następująco:

∀vφ ∀v¬φ

∃vφ ∃v¬φ


e

c z n

oœ æ

p o

d p

o r

z ¹

d k

o w

a n

i e

p o

d p

o r

z ¹

d k

o w

a n

i e



Zadania

Zadanie 1.75. Wskaż różnicę między zdaniami: „Każde wyrażenie języka Jnależy do tylko jednej kategorii składniowej.”, „Wyrażenia języka J należądo tylko jednej kategorii składniowej.”


Zadanie 1.76. Zbuduj negację zdania:

1. Przez każdy punkt poza prostą można przeprowadzić jedną i tylkojedną prostą prostopadłą do niej.

2. Wstęp mają tylko studenci.

3. Rzadko spotykamy ludzi życzliwych.

4. Przeważnie politycy są nieuczciwi.

Zadanie 1.77. Wskaż zdania równoważne:

1. Każdy student i studentka mają prawo do zniżki kolejowej.

2. Każdy student i każda studentka mają prawo do zniżki kolejowej.

3. Każdy student lub studentka mają prawo do zniżki kolejowej.

4. Każdy student lub każda studentka mają prawo do zniżki kolejowej.

Zadanie 1.78. Wskaż różnicę znaczeń zdań:

1. Są studenci i studentki, którzy pilnie uczą się logiki.

2. Są studenci lub studentki, którzy pilnie uczą się logiki.

Zadanie 1.79. Czy równoważne są zdania:

1. „Każdy jeżeli czegoś chce, to to osiągnie.”, „Jeżeli każdy czegoś chce, tokażdy to osiągnie.”

2. „Tylko niewielu miało parasole.”, „Niewielu miało tylko parasole.”

Zadanie 1.80. Wskaż różnicę znaczeń słówek „każdy” i „wszyscy” (podaj zda-nia, w których słówka ten nie są wymienialne bez zmiany znaczeń tych zdań).


1.3.6 Znaki interpunkcyjne i akcent logiczny

Pisząc korzystamy z kropek, przecinków, średników itp. Są to znaki inter-punkcyjne. W języku mówionym wypowiadamy je posługując się intona-cją i przerwami. Znaki interpunkcyjne są niezbędne w języku naturalnym,o czym można przekonać się biorąc dowolny sensowny tekst i pozbawiającgo choćby tylko niektórych kropek i przecinków. Możemy sobie wyobrazić,jakie trudności mają badacze takich dawnych dokumentów, w których bra-kuje znaków interpunkcyjnych (znaki interpunkcyjne wymyślono później niżlitery).

Na rolę znaków interpunkcyjnych zwrócił już uwagę Arystoteles. W Re-toryce pisał:

Jest generalną zasadą, ażeby utwór pisany był łatwy do czytaniai łatwy do wygłaszania. Nie będzie to możliwe, jeżeli znajdziesię w nim wiele wyrazów łączących albo gdy interpunkcja będzienastręczać trudności, tak jak w pismach Heraklita. Ustalić inter-punkcję w dziele Heraklita, to nie lada zadanie, gdyż często niewiemy, czy poszczególne słowo należy do tego, co je poprzedza,czy do tego, co po nim następuje, tak np. jak na początku jegodzieła «Bo chociaż wszystko się dzieje według tego logosu zawszeludzie tego nie pojmują». Nie jest wszak jasne do czego «zawsze»powinno być punktacją przydzielone.

Rolę przecinka ilustruje następująca sprawa. Sejm dopisał do Kodeksukarnego przecinek, który zakwestionował w lipcu Trybunał Konstytucyjny(TK). Tym razem dopisanie przecinka odbyło się zgodnie z procedurą —w drodze zwykłej nowelizacji ustawy.

W lipcu TK uznał, że dopisanie tego przecinka do Kodeksu karnegow 1997 r., już po jego uchwaleniu, było niezgodne z Konstytucją. Przeci-nek „wypadł” z projektu kodeksu na etapie prac w komisji sejmowej i w tejformie uchwalono Kodeks karny.

Błąd starał się naprawić ówczesny prezes rady ministrów, publikując ob-wieszczenie ze sprostowaniem. Trybunał orzekł jednak, że taka forma zmianyprzepisu jest niedopuszczalna i utrzymał w mocy kodeks bez przecinka.

Sprawa przecinka ma natomiast ważne znaczenie dla rozumienia artykułu156 Kk. Pojawił się on bowiem między słowami „długotrwałej” a „choroby”.

W uchwalonym przez Sejm latem 1997 r. Kodeksie karnym jeden z prze-pisów stanowił, że karze podlega ten, kto powoduje

ciężki uszczerbek na zdrowiu w postaci ciężkiej choroby nieule-czalnej lub długotrwałej choroby realnie zagrażającej życiu.


Po dopisaniu przecinka w obwieszczeniu z 13 października 1997 r. przepisbrzmiał: kara grozi temu,

kto powoduje ciężki uszczerbek na zdrowiu w postaci ciężkiejchoroby nieuleczalnej lub długotrwałej (,) choroby realnie zagra-żającej życiu24.

Skutkiem wstawienia przecinka jest pojawienie się osobnego pojęcia praw-nego „choroby realnie zagrażającej życiu”. Przed tą korektą stosowano poję-cie „długotrwała choroba realnie zagrażająca życiu”. Nie wiadomo więc, czyaby uznać czyjąś winę, muszą zostać spełnione obie przesłanki jednocześnie,czy tylko jedna.

Od rozstrzygnięcia tej kwestii zależała kwalifikacja prawna czynu i karawymierzona przez sąd Mirosławowi P., który złożył w Trybunale Konstytu-cyjnym skargę na ten przepis i wygrał, gdyż TK uznał, że przecinek pojawiłsię bezprawnie.

Mirosław P. spowodował wypadek drogowy, w rezultacie którego u osobypokrzywdzonej wystąpiła choroba uznana za realnie zagrażającą życiu — coudowodniono w procesie sądowym. W związku z tym sąd okręgowy uznał, iżoskarżony dopuścił się czynu określonego w zmienionym tymczasem przepisiekodeksu karnego. Jako, że choroba skarżącego spowodowana wypadkiem niebyła długotrwała, gdyby nie dodany przecinek, odpowiadałby on za występekłagodniej karany — naruszenie zasad bezpieczeństwa ruchu — uważa autorskargi konstytucyjnej.

Sejm naprawił teraz ten błąd i dopisał przecinek we właściwym trybie— nowelizacji.

Znaki interpunkcyjne występują też w językach formalnych. Taką rolęw języku matematyki pełnią nawiasy25.

Brak właściwej interpunkcji jest źródłem wieloznaczności wyrażeń. Wy-powiedź „kawę bym wypił z kobietą w łóżku poleżał”26 dopuszcza dwie in-terpretacje: „kawę bym wypił z kobietą, w łóżku poleżał” i „kawę bym wypił,z kobietą w łóżku poleżał”. Podobnie jest w wypadku zdań: „biegli i świad-kowie, którzy byli przesłuchani mogą pozostać na sali rozpraw”, „samochódJana rozbił samochód Piotra”. Bez użycia nawiasów nie byłoby możliweodróżnienie 2 · 3 + 4 od 2 · (3 + 4).

24W nawiasie oznaczono przecinek dodany sprostowaniem.25Logicy postawili sobie pytanie o niezbędność nawiasów. J. Łukasiewicz podał zasady

konstrukcji języków, w których nawiasy nie są potrzebne. Pomysł ten znajduje zastoso-wanie w językach używanych przez informatyków.

26Autentyczna wypowiedź Lecha Wałęsy.


Wadliwa interpunkcja może powodować niejednoznaczność struktury skła-dniowej wyrażenia. Tym samym wyrażenie to jest wieloznaczne.

Definicja 1.164. Amfibolia (lub amfibologia) to wypowiedź wieloznacznaz powodu niedookreślonej struktury składniowej.

Niedookreślenie struktury składniowej ma miejsce w wyrażeniu „ochronapaństwa”. Może tu bowiem chodzić o ochronę udzielaną przez państwo jaki o ochronę, którą otacza się państwo.

Źródłem wątpliwości, co do rozumienia wypowiedzi może być niedookre-ślenie miejsca akcentowania. 9 lutego 1996 r. w programie II TVP miałamiejsce rozmowa między K.K. a A.M. K.K. zwracając się do A.M. powiedział:„Zadzwoniła do mnie twoja przyjaciółka, znana aktorka, co mnie bardzo zdzi-wiło.” Na to A.M.: „Czy chodzi o to, że zadzwoniła moja przyjaciółka, czy żeznana aktorka?” K.K. odpowiedział: „Nie. Zdziwiło mnie, że do mnie.” Py-tanie A.M. jest pytaniem o miejsce akcentowania. Sam wskazał dwa możliwemiejsca, na trzecie wskazał zaś K.K. W wypadku zdania „Jan nie powinienpublicznie ganić swoich pracowników” można np. wskazać następujące miej-sca akcentowania, miejsca podkreślenia:

1. Jan nie powinien publicznie ganić swoich pracowników.



W wypadku 1 można przyjąć, że publiczne zganienie pracowników Jananie jest wykluczone, jedynie Jan nie powinien być tym, kto to czyni.

W wypadku 2 teraz tym, co można uznać za zakwestionowane jest fakt,że zganienie miało charakter publiczny. Zganienie pracowników przez Jananie jest wykluczone, lecz nie powinno to się odbyć publicznie.

W wypadku 3 nie wyklucza się zganienia przez Jana publicznie pracow-ników, lecz Jan nie powinien tego czynić w stosunku do swoich pracowników.

Różnice w zaakcentowaniu logicznym wyznaczają np. różny tok dyskusji.W wypadku 1 uzasadnione byłoby pytanie „a kto to miał uczynić?”; w wy-padku 2 — „dlaczego nie należało tego czynić publicznie?”; w wypadku 3 —„dlaczego swoich pracowników powinien pozostawić w spokoju?”. W językupisanym, aby wskazać różnice w akcentowaniu, użyte zostało podkreślenie.W wypadku braku podkreślenia lub ujednoznaczniającego kontekstu mieli-byśmy do czynienia z niedopowiedzeniem.


Zadania

Zadanie 1.81. Spójnik jest prefiksem, jeśli pisany jest przed argumentami,infiksem — jeśli pisany jest między argumentami, a sufiksem, gdy jest pi-sany po swoich argumentach. Pokaż, że w wypadku języka (formalnego),w którym wszystkie spójniki są prefiksami i w wypadku języka (formal-nego), którego wszystkie spójniki są sufikasami dla jednoznacznego zapisuzdań zbyteczne jest stosowanie nawiasów dla wskazania argumentów spój-nika. Uwzględnij fakt, że każdy spójnik ma określoną argumentowość.Zadanie 1.82. Wskaż możliwe rozumienia wybranego zdania ze względu nasposób akcentowania.Zadanie 1.83. Co jest powodem wieloznaczności wypowiedzi:

1. Sprawcą czynu jest ojciec Jana, który jest dobrze znany sądowi.

2. Pozwany powinien płacić 100 zł renty alimentacyjnej łącznie z dodat-kiem rodzinnym.

3. Skazano Jana i Pawła lub Piotra.

4. W wypadku znalezienia niewypału należy powiadomić policję lub organadministracji publicznej, zabezpieczając go przedtem kołkami i dru-tem.

5. Urlopy dla matek wychowujących dzieci do lat dwóch.

6. Przyjmę gosposię do dwóch osób plus dziecko.

7. Z powodu likwidacji przedsiębiorstwa na korzystnych warunkach, sprze-dam surowiec i aparaturę.

8. Poszukuje się sekretarza dla adwokata, posiadającego umiejętność ko-rzystania z komputera, bez nałogów.

9. Na wycieczce nauczyłem się odróżniać wronę i gawrona od siebie.

10. Sąd zakończył postępowanie dowodowe i wydał wyrok nazajutrz.

11. Kontrola prezesa była szczegółowa.

12. Kryzys spowodował chaos gospodarczy.

13. Promotorem pracy magisterskiej za zgodą rady wydziału może byćstarszy wykładowca lub specjalista spoza uczelni ze stopniem doktora(fragment regulaminu studiów jednej z wyższych uczelni).


14. Straszne były te krzyżackie mordy.

15. Wyrokiem sądu miał publicznie stwierdzić:

Pan Rosenblum nie jest świnią.

Powiedział:

Pan Rosenblum nie jest świnią?

16. Po zamordowaniu Róży Luksemburg i Karola Liebknechta Julian Mar-chlewski wyjechał z Berlina.

Zadanie 1.84. Jak rozumiemy zdanie „według policji kierowca był prawdo-podobnie trzeźwy”?

Zadanie 1.85. Wiedząc, że filozof Croce miał na imię Benedetto wskaż sposóbuniknięcia wieloznaczności przy czytaniu tekstu?: Croce a filozofia współcze-sna.

1.3.7 TekstPut it before them briefly so they will read it, clearly sothey will appreciate it, picturesquely so they will remem-ber it and, above all, accurately so they will be guidedby its light.

Joseph Pulitzer

Z nazw i predykatów buduje się zdania. Ze zdań i spójników tworzysię zdania złożone. Ze zdań buduje się teksty. Tekst stanowi najwyższąi ostateczną formę językową, czyli jakiekolwiek właściwe złożenie tekstów jesttekstem. Pytanie o to, czym jest tekst wymaga odpowiedzi na zasadniczodwa pytania:

• jakie są reguły budowy tekstu?

• jakie są reguły sensu (rozumienia tekstu), czyli reguły określenia zna-czenia?

Struktura tekstu

Podobnie jak w wypadku zdań budową tekstu rządzą pewne reguły «syn-taktyczne». Tekst ma swoją «gramatykę». Zdaniom przysługuje znaczenie.To, jakie jest to znaczenie wyznaczone jest przez znaczenia składającychsię na nie wyrazów i to jak te wyrazy składają się na zdanie, przez struk-turę zdania. Gdyby znaczenie tekstu było prostym zsumowaniem znaczeń


składających się na niego zdań, to struktura tekstu byłaby tylko «graficzną»organizacją tekstu. Tak nie jest. Znaczenie, sens tekstu wyznaczone są przezznaczenia składających się na niego zdań i przez jego strukturę. Zdania sąpodstawowymi elementami składowymi tekstu. Nie jest to jednak ich pro-ste nagromadzenie. W wypadku języka mówionego zdania są wypowiadanejedno za drugim, a w wypadku języka pisanego zapisywane jedno po drugim— wynika to z natury naszych zmysłów, w szczególności wzroku i słuchu.Kolejność zdań oraz, w wypadku języka mówionego wielkość pauz, a wy-padku języka pisanego podział na akapity, paragrafy i rozdziały itd., czylipodział na jednostki tekstowe wyznaczają strukturę tekstu tekstu.

Każda jednostka tekstowa jest tekstem. Każda jednostka tekstowa da-nego tekstu jest jego częścią. Tekst ma zatem budowę hierarchiczną.

Największa jednostką tekstową tekstu T jest sam tekst T. Najmniejsząjednostką tekstową tekstu T jest tekst taki T1, że żaden tekst T2 tekstu T

nie jest jego częścią. Najmniejsza jednostka tekstowa to akapit. W szcze-gólności może być tak, że tekst T, czyli największa jednostka tekstowa jestjednocześnie najmniejszą jednostką tekstową tego tekstu. Po prostu, tekstmoże być jednoakapitowy.

Podział na jednostki tekstowe ma strukturę zwielokrotnionego podziałulogicznego. Podział jednostki tekstowej Tn na jednostki tekstowe

Tn.1, Tn.2., . . . ,Tn.m

jest poprawny wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. dla każdego i (1 ≤ i ≤ m) : Tn.i jest niepuste — warunek niepustości;

2. dla każdego i, j (1 ≤ i, j ≤ m) : jeżeli i 6= j, to Tn.i nie ma żadnegoelementu wspólnego z Tn.j — warunek rozłączności;

3. suma wszystkich jednostek Tn.1, . . .Tn.m równa się Tn — warunek zu-pełności.

Warunek niepustości mówi, że jednostka tekstowa musi zawierać przy-najmniej jeden akapit, czyli jedną najmniejsza jednostkę tekstową. Warunekrozłączności mówi, że każda jednostka tekstowa, składająca się na dzielonąjednostkę, w szczególności akapit, jest fragmentem co najwyżej jednej jed-nostki tekstowej. Warunek zupełności mówi, że każda jednostka tekstowaz dzielonej jednostki tekstowej przynależy do przynajmniej jednego z czło-nów podziału.

Warunki te pomijają fakt, że niejako przed podziałem jednostki tekstowejmoże pojawić się wstęp do niej. Wstęp zwykle ma charakter metaprzedmio-towy, tzn. mówi o samym tekście, we wstępie np. wskazuje się potrzebę


podjęcia tematu i zasady podziału, wstęp zawiera streszczenie, we wstępieuzasadnia się wybór metod itp.

Zauważmy również, że podział jednostki tekstowej wymaga przynajmniejdwóch członów podziału. Wykluczona jest zatem sytuacja, aby np. rozdziałmiał tylko jeden podrozdział: albo jest podzielony na podrozdziały i wtedysą przynajmniej dwa podrozdziały, albo nie jest w ogóle podzielony.

Jednostki tekstowe można charakteryzować przez ich rząd określony przezpoziom podziału, na jakim zostały one wyróżnione.

Definicja 1.165 (Równorzędności jednostek tekstowych). W tekście T jed-nostka tekstowa Tn jest jednostką tekstową tego samego rzędu, co jednostkatekstowa Tm wtedy i tylko wtedy, gdy Tn i Tm są elementami podziałujednostek tekstowych tego samego rzędu.

Rozdziały książki są jednostkami tego samego rzędu. Podobnie jestz podrozdziałami. Rozdziały i podrozdziały są jednostkami różnych rzędów.

Tekst Tn jest w tekście T jednostką tekstową rzędu wyższego niż tekstTm wtedy i tylko wtedy, gdy Tm jest częścią właściwą jednostki tekstowejtego samego rzędu, co Tn. Analogicznie można określić pojęcie jednostkirzędu niższego.

Jeżeli w tekście T jednostka tekstowa Tn jest częścią właściwą jednostkitekstowej Tm, to jednostka Tm jest rzędu wyższego niż Tn. Jednak nie naodwrót — z tego, że Tm jest wyższego rzędu niż Tn nie wynika, iż Tn jestczęścią właściwą Tm.

Jeżeli w tekście T jednostka tekstowa Tn jest częścią właściwą jednostkitekstowej Tm, to jednostka Tn jest rzędu niższego niż Tm. Jednak nie naodwrót — z tego, że Tn jest niższego rzędu niż Tm nie wynika, iż Tn jestczęścią właściwą Tm.

Tekst T jest jednostką tekstową najwyższego rzędu w tekście T.Jednostka tekstowa najniższego rzędu w tekście T to taka jednostka, dla

której nie istnieje jednostka niższego rzędu. Może być tak, że dla tekstuT nie istnieje jednostka tekstowa rzędu niższego. Tekst T będzie wówczasjednostką tekstową najniższego rzędu w tekście T.

Rząd jednostek tekstowych może być określony liczbowo.

Definicja 1.166 (Rzędu jednostki tekstowej). Tekst T jest jednostką tek-stową rzędu 0. Jeżeli tekst Tn jest jednostką tekstową rzędu m, to tekst Tn.k

będący wynikiem jego podziału jest tekstem rzędu (m + 1).

Jednostki tekstowe można opisywać za pomocą ciągów cyfr rozdzielonychkropkami. Jednostki tekstowe najwyższego rzędu niższego niż tekst, jak np.


rozdziały w książce opisywane są za pomocą kolejnych liczb: 1, 2 itd. Jeżelijednostka tekstowa opisywana jest za pomocą ciągu n1.n2. . . . .nm, to jed-nostki tekstowe najwyższego rzędu niższego niż jednostka opisywana za po-mocą n1.n2. . . . .nm opisywane są za pomocą n1.n2. . . . .nm.1, n1.n2. . . . .nm, 2itd27.

Przez głębokość podziału rozumiemy wielokrotność podziału logicznego.Głębokość podziału jednostki tekstowej Tn to największy rząd jednostki tek-stowej składającej sie na tę jednostkę tekstową.

Dobrze przeprowadzony podział tekstu powinien być równomierny, czylitaki, że poszczególne jednostki tego samego rzędu są:

• mniej więcej tej samej wielkości,

• dzielą się na mniej więcej tyle samo jednostek tekstowych,

• w zasadzie nie różnią się głębokością podziału.

W definicji tekstu ujęta jest właściwa dla tekstu hierarchia jednostektekstowych. Definicja ta nic nie mówi ani o ich kolejności, ani o kolejnościskładających się na nie zdań. Te elementy budowy tekstu są istotnie zależneod znaczenia. W prezentacji tekstu, czy to pisanej, czy mówionej ich ko-lejność może być różna z zachowaniem znaczenia, sensu jaki chcemy nadaćtekstowi.

Należy zauważyć, że kodyfikacja zasad budowy tekstu i ich rygoryzm niemają takiego charakteru, jak to jest w wypadku poprzednio rozważanychwyrażeń, w szczególności języka naturalnego. Syntaktyczne zasady tworze-nia tekstu nie są ani tak znane, ani ich przestrzeganie nie jest traktowanejako warunki konieczne syntaktycznej poprawności jak to jest w wypadkugramatyki poprzednio rozważanych kategorii wyrażeń.

Semantyka tekstu

Fakt, że T spełnia warunki poprawności syntaktycznej, czyli jest tekstem nieprzesądza tego, czy tekst ten ma sens, znaczenie. Najprościej mówiąc tekstT jest semantycznie poprawny wtedy i tylko wtedy, gdy każda jego jednostkatekstowa tworzy sensowną całość.

Kolejność jednostek tekstowych a znaczenie Podział tekstu na aka-pity, paragrafy, podrozdziały, rozdziały, najogólniej na jednostki tekstowenie jest dowolny, a jego powody nie są natury graficzno-estetycznej. Akapit

27System ten zastosowany jest w niniejszej książce.


to najmniejsza jednostka, która tworzy sensowną całość i w związku z tymmoże pełnić rolę samodzielnego tekstu. Paragrafy i rozdziały są sensownymijednostkami tekstowymi wyższych rzędów. Naruszając podział tekstu mo-żemy spowodować, że straci on w ogóle sens lub zyska inny. Aby mieć tegoprzykład, można wziąć dowolne jednostki niniejszego tekstu i zmienić ichpodział. Kolejność jednostek tekstowych, podobnie jak kolejność składają-cych się na nie zdań, ma podstawy logiczne i rzeczowe. Kolejność ta możebyć uwarunkowana chronologią zdarzeń, które tekst opisuje. Uwarunkowanajest też potrzebą uczynienia tekstu zrozumiałym dla odbiorcy. Dla osiągnię-cia tego celu istotne jest respektowanie związków znaczeniowych i logicznychzachodzących między zdaniami składającymi się na tekst.

Nie każda wypowiedź tworzy sensowną całość. O sensowności wypowie-dzi decyduje nie sama sensowność użytych zdań; konieczne jest, by zdaniate wiązały się ze sobą i to w sposób zgodny ze strukturą tekstową wypo-wiedzi. Zdania niniejszego akapitu będą ze sobą powiązane tak, jak są pozmianie ich kolejności. Powiązanie to może nie być jednak zgodne ze struk-turą tej nowej wypowiedzi. Ta nowa wypowiedź może stracić sens właśnieprzez brak powiązania zdań zgodnego z jej strukturą. Pytanie o to, kiedyustrukturowany zbiór zdań tworzy sensowną całość, zakłada odpowiedź napytanie, kiedy wyrażenie jest sensowne, w szczególności, kiedy zdanie jestsensowne. Na pytanie, kiedy wyrażenie jest sensowne, odpowiedzieliśmy za-dowalając się stwierdzeniem, że wówczas, gdy reguły semantyczne językaprzyporządkowują mu znaczenie. Na pytanie, kiedy ustrukturowany zbiórzdań jest tekstem, odpowiadamy zadowalając się stwierdzeniem, że wów-czas, gdy składające się na niego zdania są sensowne i powiązane ze sobą,czyli tworzą spójną całość.

Tekst:

Jan uczy się logiki. Suma kątów w trójkącie wynosi 2π.

nie tworzy sensownej całości. W wypowiedzi tej bowiem nie ma żadnegozwiązku między tworzącymi ją zdaniami. Tekstem ma być niniejsza książka.Dąży się do tego, aby występujące w niej zdania wiązały się z pozostałymi,a nadto, aby poszczególne akapity, paragrafy i rozdziały komponowały sięw jedną sensowną całość, czyli aby tekst był spójny.

Wiązanie ze sobą zdań w tekście może nastąpić przez anaforę, czyli byćefektem użycia wyrażeń, których znaczenie jest kontekstowe, jak np. zaim-ków. Tego rodzaju powiązanie ma miejsce w tekście:

Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — Nawet jej niewidziałam. Ale mąż ją miał. I czytał kilka razy. On był mądry


człowiek. Siedem klas skończył. A ja jedną czy dwie. Nie umiemni pisać ni czytać — przyznaje.

Zauważmy, że zmiana kolejności zdań może prowadzić do tekstu, który:

• zachowuje znaczenie (i tym samym spójność),

• ma inne znaczenie (i jest spójny),

• pozbawiony jest znaczenia.

Tekst

Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — Nie umiem nipisać ni czytać — przyznaje. Nawet jej nie widziałam. Ale mążją miał. I czytał kilka razy. On był mądry człowiek. Siedem klasskończył. A ja jedną czy dwie.

zachował spójność i znaczenie mimo zmiany kolejności zdań.Podobnie zmiana kolejności zdań drugiego i trzeciego w tekście:

Jan i Piotr są przyjaciółmi. Jan jest studentem. Piotr rozpocząłpracę jako informatyk.

nie prowadzi do zmiany sensu.Zmiana kolejności może pociągać zmianę znaczenia, jak jest to w tekście:

Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — Nawet jej niewidziałam. Ale mąż ją miał. On był mądry człowiek. I czytałkilka razy. Siedem klas skończył. A ja jedną czy dwie. Nieumiem ni pisać ni czytać — przyznaje.

Podobnie zmiana kolejności zdań drugiego i trzeciego w tekście:

Janina zdała maturę. Dwa lata później wyszła za mąż. Rokpóźniej urodził się jej pierwszy syn, Jan.

prowadzi do tekstu sensownego, lecz o różnym znaczeniu.Tekst

Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — On był mądryczłowiek. Siedem klas skończył. I czytał kilka razy. Ale mąż jąmiał. A ja jedną czy dwie. Nawet jej nie widziałam. Nie umiemni pisać ni czytać — przyznaje.

pozbawiony jest znaczenia.


Temat i tytuł Pojęciami, którym posługujemy się w odniesieniu do tekstusą pojęcia tematu i tytułu.

Definicja 1.167. Temat tekstu to jego najogólniejsze znaczenie, inaczejrama znaczeniowa tekstu.

Temat nie charakteryzuje tekstu do końca. Pojęcie określa nazwę, niewskazując jednoznacznie na język i jego synonimy. Sąd określa zdanie, nierozstrzygając ani języka ani zdania z klasy zdań z nim logicznie równoważ-nych. Temat nie określa ani języka, w którym tekst jest napisany, ani zdań,które się na niego składają, ani nie wyznacza żadnych innych relacji pomię-dzy tekstami na ten sam temat. Teksty na ten sam temat mogą różnić sięswoim znaczeniem.

Temat określa dziedzinę oraz aspekt, w jakim dziedzina jest rozważana,czyli temat określa przedmiot materialny i przedmiot formalny tekstu.

Tematem tekstu może mogą być operacje dodawania i mnożenia w zbiorzeliczb naturalnych, a więc będzie to 〈N, +, ·〉. Zbiór liczb naturalnych N jestprzedmiotem materialnym a przedmiotem formalnym są własności operacjidodawania i mnożenia. Ten sam przedmiot materialny, lecz różny przedmiotformalny będzie miał tekst na temat operacji mniejszości w zbiorze liczbnaturalnych: 〈N, <〉. Tekst o liczbach wymiernych oraz operacjach mnożeniai dzielenia 〈Q, ·, : 〉 będzie różnił się od poprzednich zarówno przedmiotemmaterialnym jak i formalnym.

Podział tekstu na jednostki tekstowe powinien być tak przeprowadzony,aby tematy jednostek uzyskanych z podziału spełniały warunki poprawnościlogicznej, czyli każdy temat powinien być niepusty, tematy nie zachodziły nasiebie i aby ich suma pokrywała temat dzielony. Na przykład temat 〈N, +, ·〉mógłby być podzielony na 〈N, +〉, 〈N, ·〉 oraz na 〈N, +/·〉, gdzie przez +/·wskazujemy problemy związków między operacją dodawania a mnożenia.Temat 〈N, n

√〉 byłby pusty, bowiem w zbiorze liczb naturalnych pierwiastko-wanie nie jest określone. Dopuszczenie tematu 〈N2,+, ·〉, gdzie N2 to zbiórliczb parzystych, dawałoby podział, który nie spełnia warunku rozłączności.Opuszczenie któregoś z tematów 〈N,+〉, 〈N, ·〉 lub 〈N, +/·〉 dawałoby podziałniezupełny.

Tekst może mieć tytuł.

Definicja 1.168. Tytuł tekstu to określenie tematu tego tekstu.

Tytuł powinien być adekwatny do tematu, czyli temat winien być zakre-sem tytułu. Tytuł: Dodawanie i odejmowanie w zbiorze liczb naturalnychjest adekwatny dla tematu 〈N, +, ·〉. Tytuł ten jest za szeroki dla tematu


〈N,+〉, zaś za wąski dla tematu 〈Q,+, ·〉. Dla tematu 〈Q, +〉 jest za szerokii za wąski zarazem.

Interpretacja Jak reguły znaczeniowe określają znaczenia wyrażeń a w szcze-gólności zdań, tak zasady interpretacji określają sens tekstu.

Tekstowi jako całości przysługuje znaczenie, sens. Reguły znaczenioweprzyporządkowujące znaczenia poszczególnym zdaniom same nie wystarczajądla określenia znaczenia tekstu. Tekst bowiem — jak wyżej zostało to stwier-dzone — nie jest tylko prostym nagromadzeniem zdań. Sposób rozumieniatekstu, zasady określające jego znaczenie opisywane są przez reguły inter-pretacji.

Definicja 1.169. Interpretacja tekstu to określenie znaczenia (sensu)tekstu.

Zasady interpretacji tekstu są przedmiotem specjalnych badań. Teore-tycy literatury zajmują się sposobami interpretacji tekstów literackich. Hi-storycy muszą ustalić sposoby interpretacji dawnych tekstów. Teoretycyprawa ustalają zasady interpretacji tekstów prawnych.

1.4 Błędy w słownym przekazywaniu myśli

Tworząc tekst należy tak go skonstruować, aby czytelnik (ewentualnie słu-chacz) był w stanie go zrozumieć i to zrozumieć zgodnie z intencją autora.Oczywiście, autor tekstu sam powinien wiedzieć, co chce za pomocą tegotekstu przekazać i komu to przekazać.

Tekst winien spełniać postulat ekonomii: powinien być tak skonstru-owany, aby jego zrozumienie było optymalne od strony wielorako rozumia-nego wysiłku, możliwie łatwe. Tę samą myśl można bowiem wypowie-dzieć tekstem zawierającym słowa trudno lub łatwo zrozumiałe dla odbiorcy.Tekst może zawierać lub nie zawierać tego, co dla odbiorcy jest oczywistei nie wymaga przypomnienia. Tekst może być napisany stylem ciężkim lubklarownym. Tekst może być «przegadany» lub w sposób «skondensowany»przedstawiać temat. Tekst może nie spełniać postulatu ekonomii z tegopowodu, że jego autor nie potrafi temu zadaniu sprostać. Powodem niespeł-nienia postulatu ekonomii może też być świadome działanie autora tekstu,co ma miejsce np. w wypadku, gdy licząc na zmęczenie i zniecierpliwie-nie czytelnika podsuwa mu się do podpisu dokument z ustaleniami, którychzaakceptowanie czytelnik w swoim dobrze pojętym interesie powinien sta-rannie przemyśleć, a które to ustalenia są (zwykle) korzystne dla autora

1.4. BŁĘDY W SŁOWNYM PRZEKAZYWANIU MYŚLI 125

tego dokumentu. Postulat ekonomii powinien być — jeśli państwo ma byćprzyjazne dla obywatela — przestrzegany w dokumentach organów państwai samorządów. Postulat ekonomii narusza np. ogłoszenie: zatrudnię osobęna stanowisko kelnera. Wystarczyłoby napisać: zatrudnię kelnera.

To, że tekst nie jest łatwy do zrozumienia przez kogoś lub przez wielu nieprzekreśla wartości myśli, które ten tekst ma wyrażać. Ma to miejsce rów-nież w wypadku tekstu, który stwarza trudności w jego rozumieniu nawetprzez tych, do których tekst jest skierowany. Już w starożytności niejasnośćtekstów Heraklita stała się przysłowiowa. Mówiono o nim jako o „mówiącymzagadkami”. Cyceron pisze o Heraklicie jako o tym, „któremu dano przydo-mek skoteinos, czyli «ciemnego», gdyż zbyt niezrozumiale mówił o naturze”.Dla Lukrecjusza był Heraklit clavus obobscuram linguam, czyli „sławnymz powodu niezrozumiałego języka”. Dodajmy jednak, że pojawiały się teżopinie skrajnie odmienne. Diogenes Laertios twierdził, że Heraklit

czasem wypowiadał swe myśli w sposób tak jasny i zrozumiały,że nawet najbardziej ograniczony umysł mógł łatwo je zrozumieći czerpać z nich. Zwięzłość i powaga jego wykładu są niezrów-nane.

Powstaje pytanie, jak pochodzić do «trudnych» tekstów. Jednym z możli-wych zaleceń byłaby proponowanie postawy, jaka daje się odczytać z odpo-wiedzi Sokratesa na pytanie Eurypidesa, co sądzi o dziele Heraklita:

To, co zrozumiałem, jest znakomite, a sądzę, że jest takie równieżi to, czego nie zrozumiałem; lecz do zgłębienia tego potrzebny bybył nurek delijski.

Zróżnicowanie opinii o tekstach Heraklita uzmysławia trudności w sformuło-waniu uniwersalnych zasad jasnego stylu.

Powodem niezrozumienia tekstu lub zrozumienia niezgodnego z intencjąjego autora może być:

1. nieznajomość przez adresata tekstu niektórych wyrażeń składającychsię na ten tekst,

2. różnice między autorem a adresatem tekstu w rozumieniu treści uży-tych wyrażeń,

3. aktualna wieloznaczność składających się na ten tekst wyrażeń,

4. niedopowiedzenie.


Autor tekstu, jeśli jego intencją jest zakomunikowanie komuś czegoś, wi-nien uwzględnić poziom znajomości języka przez tego kogoś. Inaczej piszesię dla osób, które są dziećmi, inaczej dla osób, które ukończyły tylko szkołępodstawową, inaczej dla osób, które mają tylko maturę, a jeszcze inaczejdo absolwentów szkół wyższych, inaczej dla specjalistów. Owszem, absol-went szkoły wyższej zrozumie tekst, którego odbiorcą ma być dziecko, lecztekst ten — jeśli pominąć proste sprawy życiowe — nie jest z pewnościąnajlepszym sposobem komunikowania się z nim. Naruszona będzie bowiemzasada ekonomii, aby tekst wypowiedzieć możliwie najkrócej. Dziecko maprawo nie rozumieć tekstu, który jest przeznaczony do osoby z wyższymwykształceniem, w którym występują słowa, których znaczeń może ono nieznać. Prawnik, lekarz, urzędnik powinni to mieć na uwadze i tego, czy zo-stali właściwie zrozumiani nie opierać na „tak” swojego słuchacza. Wieluludzi bowiem z nieśmiałości przytaknie, choć naprawdę niewiele rozumie.Od rozumienia zaś może wiele zależeć. Na przykład pacjent, który nie dokońca lub źle zrozumiał lekarza może zaszkodzić swojemu zdrowiu na własnąrękę próbując zinterpretować zalecenia lekarza. Prawnik i urzędnik musząmieć pewność, że interesant prawidłowo zrozumiał to, co mieli mu do przeka-zania. Zarówno w wypadku lekarza, jak prawnika i urzędnika jest to kwestiaetycznego wykonywania przez nich funkcji społecznych.

Treść wyrażeń ma charakter subiektywny. Dwie osoby mogą temu sa-memu wyrażeniu użytemu w tym samym sensie przypisywać różną treść.Autor tekstu winien konstruować tekst tak, aby wyrażenia były wyraźne,czyli, aby miały określoną treść. Niewyraźność występujących wyrażeń dajeokazję dla nadania im przez odbiorcę treści, która w danym momencie od-powiada intencjom odbiorcy. Treść nazwy „burza” dla kogoś, kto nie mawykształcenia i żył w bliskim kontakcie z przyrodą jest inna niż dla osobywykształconej, która nie miała okazji przeżyć burzy w otwartej przestrzeni.Treść nazwy „wojna” będzie inna dla osób, które jej doświadczyły, a inna dlaosób, które wiedzą o wojnie tylko z historii i doniesień prasowych. Używająctych wyrazów należy mieć na uwadze treści, które odbiorca tekstu będziez nimi wiązał.

Wieloznaczność jest zjawiskiem wszechobecnym w języku naturalnymlecz nie tylko, np. w języku matematyki znane z arytmetyki symbole: +, −są wieloznaczne — mogą być użyte jako symbole operacji arytmetycznychlub symbole, odpowiednio, liczby dodatniej i ujemnej. Wieloznaczność możedotyczyć różnych jednostek językowych: wyrazów, zdań i tekstów. Znaczeniewyrażeń języka zależy nie tylko od tych wyrażeń, lecz również od okolicznościobiektywnych i okoliczności subiektywnych, psychologicznych.

W tekście, który w intencji jego twórcy ma być jednoznaczny, każde wy-


rażenie w tym miejscu, w którym jest użyte, powinno mieć dokładnie jednoznaczenie. To samo wyrażenie może wystąpić w tekście w wielu znaczeniach,lecz w każdym wypadku winno być użyte w tak odpowiednio dobranym kon-tekście, aby zakładając sensowność całości tekstu można mu było w poszcze-gólnych miejscach użycia przypisać dokładnie jedno znaczenie. Wyrażenie,które ma potencjalnie wiele znaczeń winno więc być użyte tak, aby byłoaktualnie jednoznaczne. W tekście spójnym musi być jasne, w jakim zna-czeniu w danym miejscu wyrażenie jest użyte. Tekst „zepsuł się zamek i będęmusiał prosić ślusarza o pomoc” zawiera mający więcej niż jedno znaczeniewyraz „zamek”. Ponieważ jednak tylko przy rozumieniu słowa „zamek” jakoodnoszącego się do zamka drzwiowego ta wypowiedź jest dorzeczna, a przyinnych jawnie niedorzeczna, to nie ma potrzeby rozbudowywania jej o dopo-wiedzenie, o jakiego rodzaju zamek chodzi. Powinniśmy więc — kierując siępostulatem ekonomii — zrezygnować z bliższych dookreśleń jakiegoś wielo-znacznego słowa, jeżeli to nie utrudnia rozumienia tego tekstu lub nie czynitego tekstu wieloznacznym. O autorze tekstu zakłada się, że nie wygłaszajawnych głupstw, i podobnie o odbiorcy tekstu, że życzliwie podchodzi dojego rozumienia.

W tekście: „W ruinach zamku natrafiliśmy na drzwi. Niestety, zamek byłtak zardzewiały, że nie udało się nam go otworzyć”, słowo „zamek” występujew dwóch znaczeniach. W wypadku każdego wystąpienia reguły znaczeniowejęzyka i wiedza, którą mamy prawo zakładać u odbiorcy tekstu, dopuszczajądokładnie jedno znaczenie, które możemy przypisać temu słowu. Gdybyktoś tej wiedzy nie posiadał lub ją ignorował, mógłby na podstawie przy-toczonego tekstu twierdzić, że nie dość, że zamek był w ruinie, to jeszczebył zardzewiały. W takim wypadku powiedzielibyśmy, że został popełnionybłąd ekwiwokacji.

Bywają sytuacje, że wypowiedź ze względu na kontekst jest jednoznaczna,jednak może dawać okazję do skojarzeń niekoniecznie oczekiwanych przezautora wypowiedzi. Przykładem może być tekst wygłoszony przez spra-wozdawcę z zawodów kolarskich (Wyścig Pokoju): „Jedzie Szozda, cudownedziecko dwóch pedałów!”.

Definicja 1.170. Niech wyrażenie w użyte jest w tekście T w jednym miej-scu w znaczeniu z1, a w innym miejscu w znaczeniu z2 różnym od znaczeniaz1. Ktoś popełnia błąd ekwiwokacji wówczas i tylko, gdy wyrażeniu ww jednym i w drugim miejscu jego użycia przypisuje to samo znaczenie.

Wyrażenie występujące w tekście faktycznie w różnych znaczeniach, możebyć w tym tekście traktowane jako mające tylko jedno znaczenie. O takimtekście powiemy, że zawiera błąd ekwiwokacji. Jest tak w wypadku tekstu:


Kobieta i mężczyzna różnią się fizycznie i psychicznie. Płci niesą równe, a zatem w prawie nie powinno się przyjmować, że sąrówne.

Pierwsze w tym tekście wystąpienie wyrazu „równe” jest użyciem tego wyrazuw innym znaczeniu niż w wypadku jego drugiego wystąpienia. W pierwszymwypadku przez „równość” rozumie się posiadanie tych samych cech, a w dru-gim mowa o równości wobec prawa. Tekst straci swój wymiar argumentu,gdy doprecyzujemy go stosując jednoznacznie określające wyrażenia:

Kobieta i mężczyzna różnią się fizycznie i psychicznie. Płci niesą równe ze względu na cechy, a zatem w prawie nie powinno sięprzyjmować ich równości wobec prawa.

Definicja 1.171. Spór powstały w wyniku brania przez kogoś wyrażenia ww jednym znaczeniu, a przez kogoś drugiego w innym to spór werbalnylub (z grecka) logomachia.

Na temat «czy życie zgodne z naturą daje szczęście?» można prowadzićdługą dyskusję niczego nie osiągając, dopóki nie uzgodni się, co się rozumieprzez życie zgodne z naturą i co to jest szczęście.

Definicja 1.172. Wyraz ma w tekście chwiejne znaczenie, gdy kontekstużycia do końca nie dookreśla znaczenia, w którym wyraz został użyty w tek-ście i tylko pozornie ma on jedno znaczenie.

Słowo „postęp” ma chwiejne znaczenie w tekście:

We współczesnym świecie odnotowujemy postęp we wszelkichdziedzinach. Postępowi w nauce i technice towarzyszy dominacjasił postępowych w życiu społecznym i politycznym.

Czym innym jest postęp w nauce, a czym innym postęp w życiu społecz-nym i politycznym. Wyraz „postępowe” — szczególnie w kontekście pozy-tywnie nacechowanych wyrazów „nauka” i „technika” — jest nacechowanypozytywnie i może być wykorzystywany jako eufemistyczne określenie tychsił społecznych, których zwykła nazwa nie budzi pozytywnych emocji, a na-wet u niektórych może budzić emocje negatywne. A te przecież trudno miećw wypadku czegoś, co jest postępowe.

Źródłem wieloznaczności tekstu może być użycie wyrażeń systematyczniewieloznacznych. Wieloznaczny jest tekst: „Jan spotkał Piotra. Nie wiedziałon, o czym z nim rozmawiać”, ponieważ nie wiadomo, do kogo odnosi się „on”(i „nim”) — do Jana, czy do Piotra. W Oakland, mieście Jacka Londona,


w drewnianym budynku o położeniu znacznie odbiegającym od poziomu, cozostało spowodowane przez słynne trzęsienie ziemi w San Francisco, znajdujesię napis „Jutro darmowe drinki”. Albert Camus w powieści Obcy pisze:

Dzisiaj umarła mama. Albo wczoraj, nie wiem. Dostałem depe-szę z przytułku: „Matka zmarła. Pogrzeb jutro. Wyrazy współ-czucia.” Niewiele z tego wynika. To stało się być może wczoraj.

Widząc karteczkę z napisem „wrócę za chwilę” nie wiemy, kiedy wróci jegoautor, tym bardziej że i wyraz „chwila” nie jest w miarę jednolicie rozu-miany. W przytoczonych tekstach występują słówka okazjonalne. Kontekstich użycia nie dookreśla wystarczająco ich znaczenia. Teksty te pozostająwięc wieloznaczne.

Wieloznaczne jest zdanie „Jan gra w karty”. Nie wiadomo bowiem, czyJan gra teraz, czy też teraz nie gra, lecz umie grać. Tekst: „Ja przygotowujęteraz kolację. Jan gra w karty” ujednoznacznia to zdanie. Jest jasne, żechodzi o „gra” w znaczeniu aktualnym.

Powodem problemów ze zrozumieniem tekstu może być używanie słó-wek kwantyfikujących bez wyraźnych racji i bez potrzeby. Chcę na przykładomówić błąd amfibolii. Nasuwa się myśl, aby rozpocząć: „częstym powodemwieloznaczności . . . ”, a przecież nie ma żadnych racji dla stwierdzenia, żejest to częsty powód — czy ktoś przeprowadzał w ogóle badania, które po-zwoliłyby to stwierdzić? Nie ma też potrzeby mówienia o tym, czy często,czy też nie. Błąd amfibolii można omówić bez uwzględniania częstości jegopopełniania.

Powodem wieloznaczności tekstu bywa niemożność określenia, w jakiejsupozycji użyte jest dane wyrażenie. Może tak być w wypadku zdania „kotlubi się z psem”. Jeśli „kot” i „pies” użyte są w supozycji naturalnej, czylizdanie „kot lubi się z psem” znaczy tyle samo, co „każdy pies lubi każdegopsa”, to zgodnie z naszą potoczną wiedzą jest to zdanie fałszywe. Wiemyjednak, że zdarza się, że kot lubi się z psem. Zatem, jeśli „pies” i „kot”odnoszą się w tym zdaniu do jakiegoś psa i jakiegoś kota, czyli obie nazwy„pies” i „kot” są użyte w supozycji przedmiotowej, to zdanie to może byćprawdziwe. Znaczy ono bowiem wówczas tyle, co „ten oto kot lubi tego otopsa”.

Tekst może być wieloznaczny z powodu wystąpienia w nim wieloznacz-nego zdania, którego wieloznaczność ma źródło w niedookreślonej strukturzeskładniowej, czyli zdania, w którym został popełniony błąd amfibolii. Wie-loznaczne jest zdanie „każdy człowiek nie jest szczęśliwy”. W zależności odtego, jak dookreślimy związki składniowe, możemy je rozumieć jako stwier-


dzające, że żaden człowiek nie jest szczęśliwy, albo jako stwierdzające, żeniektórzy ludzie nie są szczęśliwi. Tekst:

Wszyscy dążymy do szczęścia. Niektórzy osiągają ten cel. Nie-którzy nie. Każdy człowiek nie jest szczęśliwy.

jest jednoznaczny. Kontekst, w którym użyte zostało wieloznaczne zdanie„każdy człowiek nie jest szczęśliwy”, powoduje, że czytelnik tego tekstu niepowinien mieć kłopotów z jego jednoznacznym rozumieniem.

Powodem nieporozumienia może być niedookreślenie w tekście, czy mowaw nim o całości jaką tworzą przedmioty, czy o każdym z nich z osobna.W tekście:

Cała grupa wybrała się na kilkudniową wycieczkę. Wszyscy mielido dyspozycji jednoosobowy kajak.

nie jest jasne, czy każdy z uczestników wycieczki miał jednoosobowy ka-jak, czy też jednoosobowy kajak był dla wszystkich. Porównajmy zdanie„wszystkie nowo wybudowane domy znajdowały się na działce o powierzchni300 m2” ze zdaniem „wszystkie nowo wybudowane domy znajdowały się natrzy hektarowej działce”. W wypadku pierwszego zdania możemy się domy-ślać, że każdy dom z osobna znajdował się na działce o powierzchni 300 m2,zaś w wypadku drugiego zdania, że wszystkie domy łącznie znajdowały sięna działce o powierzchni trzech hektarów. Jest to jednak wynik naszej do-myślności oparty o znajomość realiów. Nie wynika to zaś z samej treścizdań.

Źródłem wieloznaczności tekstu może być niedookreślenie zasięgu działa-nia niektórych słówek, takich jak: „nie”, „tylko”, „przynajmniej”, „co najwy-żej”. Z tego powodu wieloznaczna jest wypowiedź „Kup tylko jedną czekoladęi dwa chleby” (podobnie będzie jeśli „tylko” zastąpimy przez „przynajmniej”i „co najwyżej”). Nie wiadomo, czy „tylko” odnosi się do „ jedną czekoladę”,czy odnosi się do „ jedną czekoladę i dwa chleby”.

Słówka modalne: „możliwe”, „konieczne” itp. są wieloznaczne. Ich użyciemoże być źródłem wieloznaczności tekstu. „Może” może znaczyć tyle, co:„fizycznie możliwe”, „logicznie możliwe”, „dozwolone”. W rozmowie:

(A) — „Tu nie można głośno rozmawiać!(B) — Można. Przecież słychać jak głośno mówię.

osoba (A) używa „można” w znaczeniu „ jest dozwolone”, zaś osoba (B) w zna-czeniu „ jest fizycznie możliwe”.

Źródłem wieloznaczności tekstu może być niedopowiedzenie.


Definicja 1.173. Niedopowiedzenie ma miejsce wówczas, gdy autor niewypowiadając do końca jakiejś myśli pozostawia jej dokończenie domyślnościczytelnika.

Może się zdarzyć, że wskazówki tego, czego należy się domyślić, są na tyleniedookreślone, że odbiorca tekstu rozumie go inaczej niż to było w zamiarzeautora. Kiedy nauczyciel prowadzący ze studentami ćwiczenia mówi „proszęprzygotować kartki”, to pozostawia domyślności studentów, o jakie kartkichodzi. Sytuacja wskazuje, że chodzi o czyste kartki do napisania spraw-dzianu. Student, który wziąłby zapisaną kartkę, domyśliłby się znaczeniawypowiedzi niezgodnego z intencją nauczyciela. Nasze zwykłe wypowiedzisą pełne niedopowiedzeń, a każdy zwykł dopowiadać, jak mu korzystniej.Żona mówiąc mężowi, aby kupił coś smacznego na kolację, musi liczyć sięz tym, że efekt realizacji będzie różny od tego, który byłby, gdyby to samopolecenie miała wykonać jej dziesięcioletnia córka.

To, co niedopowiedziane w komunikacji werbalnej może być dopowie-dziane w sposób niewerbalny. Zasada ekonomii nakazywałaby, aby konstru-ując tekst możliwie najkrótszy (ale spełniający warunki, o których tu mó-wimy) uwzględnić nie tylko kontekst sytuacyjny, lecz również towarzyszącąjego przekazowi komunikację niewerbalną.

Źródłem niezrozumienia lub zrozumienia niezgodnego z intencją autoramoże być wystąpienie w tekście wyrażeń, które oprócz znaczenia dosłownegomają znaczenie niedosłowne, jak jest to w wypadku idiomów lub dosłownegorozumienia jakiegoś fragmentu, który ma być brany w tym tekście w zna-czeniu obrazowym. Idiomy szczególny kłopot sprawiają osobom niedosta-tecznie obznajomionym z językiem. Na trudność tę napotykamy więc przedewszystkim w wypadku tekstów obcojęzycznych. Wypowiedzi obrazowe mająznaczenie dla wartości literackiej tekstu i mogą sprzyjać rozumieniu myśli,którą dany tekst ma przedstawiać. Jednocześnie jednak kryją niebezpie-czeństwo dosłownego ich rozumienia. Kiedy mówię: „ty karmisz swoje dzieciananasami, a mnie dla moich na chleb nie stać”, to przecież ani nie mówięo ananasach, ani o chlebie, czyli nie mam na uwadze dosłownego znaczeniawyrazów „ananas” i „chleb”.

Fakt, że mimo wystąpienia w tekście zdań dopuszczających różne ichrozumienie, tekst może być jednoznaczny, daje okazję do nadużyć lub po-myłek. Fragment tekstu, cytat, wzięty poza swoim kontekstem, może byćwieloznaczny. Może się zdarzyć też, że taki fragment umieszczony w in-nym kontekście uzyskuje znaczenie różne od znaczenia, które miał w tekście,z którego jest cytatem. Wykorzystywane jest to szczególnie w dziedzinie spo-łecznej i politycznej. Polityk musi się mieć na baczności, aby nie powiedzieć


czegoś, co cytowane poza kontekstem jego wypowiedzi nabierze sensu róż-nego od intencji wypowiedzi. Dotyczy to nie tylko polityków. Tekst należyformułować, aby omówionego rodzaju manipulacja nie była możliwa a przy-najmniej istotnie utrudniona.

Wydawać by się mogło, że wieloznaczność jest niepożądana a nawet szko-dliwa. Jednak wieloznaczność zapobiega zbytniemu rozrostowi słownictwa.Nazwy „komórka”, „mysz” są dziś w powszechnym użyciu a ich wieloznacznośćnie stanowi żadnego utrudnienia w porozumiewaniu się. Jeśli wieloznacznośćoparta jest na jakiegoś rodzaju analogii — co jest zjawiskiem najczęstszym— to ułatwia to zapamiętanie nowych wyrażeń.

Intencją autora może być tekst dopuszczający różne jego rozumienia.Może to mieć wartość literacką. Teksty kabaretowe aż roją się od wielo-znaczności. Żartobliwa, dowcipna gra słów oparta na ich niejednoznacznościmoże być świetną formą dowcipu językowego. Kalambury są jednym z chwy-tów poetyckich.

Mogą być też inne powody tworzenia wypowiedzi wieloznacznej. Urzęd-nik, który mówi „ jak się da, to się zrobi” w ten sposób sugeruje możliwośćwydania oczekiwanej przez petenta decyzji po otrzymaniu łapówki. „Da”może bowiem znaczyć tyle, co „możliwe”, ale i może znaczyć tyle, co „dać”.

Czasem się słyszy: „kontynuować dalej”, „cofnąć się do tyłu”, „potencjalnemożliwości”. Są to pleonazmy.

Definicja 1.174. Pleonazm to wyrażenie, w którym występują dwa lubwięcej wyrazów:

1. to samo lub prawie to samo znaczących,bądź

2. znaczenie jednego z nich jasno zawarte jest w znaczeniu drugiego.

Znaczenie wyrażenia bez któregoś z tych wyrazów nie różni się (zasadniczo)od znaczenia tego wyrażenia.

Zamiast powiedzieć „prace będą dalej kontynuowane” wystarczy powie-dzieć „prace będą kontynuowane”. Zamiast powiedzieć „proszę cofnąć się dotyłu” wystarczy powiedzieć „proszę się cofnąć” lub „proszę przesunąć się dotyłu”. Zamiast mówić „potencjalne możliwości” wystarczy powiedzieć „moż-liwości”. Nie ma potrzeby mówić: „w miesiącu maju” wystarczy powiedzieć:„w maju”. Użycie pleonazmu — pomijając względy językowe — naruszazasadę ekonomii wypowiedzi.

Myśl możemy w różnej formie powtórzyć w tekście. Postępujemy tak,gdy chcemy podkreślić ważność tej myśli, albo gdy chcemy, aby była dobrze


zrozumiana i zapamiętana. Postępujemy tak np. ze względów dydaktycz-nych.

Definicja 1.175. Tekst redundantny to tekst, w którym sens pewnegojego fragmentu jest taki sam lub różni się nieistotnie od sensu innego jegofragmentu.

Redundantność sama przez się nie jest wadą. Staje się wadą, gdy brakpowodu dla powtórzenia. Powtórzenie nie służące niczemu wydłuża tylkotekst, co przeczy zasadzie ekonomii wypowiedzi.

Tworząc tekst winniśmy troszczyć się o dobór takich słów, które trafnie,prosto i krótko pozwolą wypowiedzieć naszą myśl. Wypowiedzi nie spełnia-jące tego warunku «marnotrawią» słowa, a w życiu społecznym i politycznymnie sprowadza się to tylko do marnotrawienia słów. Ile to razy słyszy się:„Tak dużo mówiono, a tak mało powiedziano”. W szczególności należy uni-kać frazesów, czyli wyrażeń, które pięknie brzmią, ale w gruncie rzeczy nicnie znaczą. O co chodzi, gdy słyszymy?:

Postęp ludzkości jest celem wszystkich światłych obywateli. Zjed-noczenie działań na rzecz postępu jest wyzwaniem współczesnegoświata.

Oczywiście, można dopisać jeszcze wiele takich zdań niczego sensownego niewnosząc.

Jednym z czynników ułatwiających rozumienie tekstu jest styl. Ten pro-blem wykracza poza logikę. Nie znaczy to, że nie ma punktów stycznych.Jak się bowiem wydaje, łatwość rozumienia tekstu — jest to jedna z funkcjidobrego stylu — uzyskuje się poprzez zapisanie zdań w kolejności zgodnejz porządkiem wyznaczonym przez związki logiczne między tymi zdaniami.Do takiego wniosku może prowadzić analiza przykładów. Jak się wydajeteksty 1 i 2 oraz, odpowiednio, 3 i 4 nie różnią się sensem, który można imprzypisać, różnią się zaś łatwością rozumienia.

1. „Osiąganie celów możliwe jest tylko przez pracę albo szczęśliwy zbiegokoliczności. Szczęśliwy zbieg okoliczności jest od nas niezależny. To,że pracujemy, jest sprawą naszej decyzji. Zatem najpewniejszym spo-sobem na sukces jest praca”.

2. „Najpewniejszym sposobem na sukces jest praca. Osiąganie celów moż-liwe jest tylko przez pracę albo szczęśliwy zbieg okoliczności. Szczę-śliwy zbieg okoliczności jest od nas niezależny. To, że pracujemy, jestsprawą naszej decyzji”.


Kolejność zdań w tekście 1 jest zgodna z porządkiem wyznaczonymprzez związki logiczne między zdaniami. Kolejność zdań w tekście 2narusza ten porządek.

Do podobnych wniosków prowadzi analiza drugiego przykładu, w któ-rym w wypadku tekstu 3 jest zachowany porządek logiczny, a w wy-padku 4 nie jest zachowany.

3. „Cierpliwość zazwyczaj ułatwia osiągnięcie celu. Zdarza się, że przykońcu posiedzenia, gdy wszyscy są już zmęczeni, wnioski przechodządużo łatwiej. Mówi się o tym w dość dosadny sposób: Twardy tyłekjest przy rokowaniach tak samo ważny jak bystra głowa.”

4. „Mówi się o tym w dość dosadny sposób: Twardy tyłek jest przy ro-kowaniach tak samo ważny jak bystra głowa. Cierpliwość zazwyczajułatwia osiągnięcie celu. Zdarza się, że przy końcu posiedzenia, gdywszyscy są już zmęczeni, wnioski przechodzą dużo łatwiej”.

Rozumienie tekstu ma uwarunkowania fizyczne i psycho-fizjologiczne.Sposób przekazu tekstu winien uwzględniać możliwości percepcyjne adre-sata. Do kogoś, kto ma problemy ze słuchem należy inaczej wypowiadaćsłowa niż do kogoś, kto takich problemów nie ma. Podobnie w wypadku tek-stu pisanego — pod uwagę trzeba wziąć sprawność wzroku. Zdarza się, żektoś nie chce, aby osoba mająca podpisać dokument ten dokument w pełnizrozumiała. Tekst takiego dokumentu będzie zapisany małym gęstym dru-kiem a do tego skomplikowanym stylem z wieloma odnośnikami. Może byćrównież i tak, że mogą zaistnieć jakieś obiektywne przeszkody techniczne.Nadawca w takiej sytuacji winien tekst tak skonstruować by mimo zakłóceńadresat zrozumiał tekst właściwie. Przykładem zakłóceń technicznych jestsprawa wypowiedzi Neil’a Armstronga, kiedy wylądował na Księżycu. Tekstw wersji rozpowszechnianej przez NASA:

One small step for [a] man, one giant leap for mankind

zawierał rodzajnik „a” w nawiasach. Uważano, że tego rodzajnika nie byłow wypowiedzi Armstronga, a więc, że wypowiedź Armstronga była niepo-prawna gramatycznie. W 2006 r. analizy nagrania za pomocą programuGoldWave przeprowadzone przez Petera Shanna Forda wykazały, że racjęmiał Armstrong, który twierdził, że jego wypowiedź zawierała „a”.


Percepcja tekstu ma też uwarunkowania psychofizjologiczne. Dla przy-kładu można rozważyć następujący test.

Na ilustracji są dwa słowa ME oraz YOU. To, co odczytamy ma uwarunko-wania psycho-fizjologiczne. Podobnie jest, gdy mamy policzyć, ile razy literaF występuje w tekście:

FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY COMBINED WITHTHE EXPERIENCE OF YEARS. . .

Poprawna odpowiedź na to pytanie to: 6. Jeżeli pomyliliśmy się to dlatego,że mózg nie zarejestrował występującego dwukrotnie wyrazu OF.

Zauważmy również, że mimo poważnych zakłóceń przekazu potrafimyczasem zrozumieć komunikat. Przykładem tego może być następujący tekst:

O lny srmat poelpe can raed tihs.

cdnuolt blveiee taht I cluod aulaclty uesdnatnrd waht I was rda-nieg. The phaonmneal pweor of the hmuan mnid, aoccdrnig to arscheearch at Cmabrigde Uinervtisy,

it deosn’t mttaer in waht oredr the ltteers in a wrod are, the olnyiprmoatnt tihng is taht the frist and lsat ltteer be in the rghitpclae. The rset can be a taotl mses and you can sitll raed itwouthit a porbelm.

Tihs is bcuseae the huamn mnid deos not raed ervey lteter byistlef, but the wrod as a wlohe. Amzanig huh? yaeh and I awlyastghuhot slpeling was ipmorantt! if you can raed tihs psas it on !!

Fakt, że mimo wielorakich błędów tekst może być właściwie rozumiany jestwykorzystywany przez m.in. internautów. Korzystający z komunikatorów


tekstowych nie przywiązują wagi do poprawności językowej i stylistycznej.Ważne, żeby było szybko.

Problem technicznych przeszkód w przekazie informacji jest przedmio-tem rozważań teorii informacji. Z punktu widzenia logiki są to zagadnieniapragmatyczne.

Zadania

Zadanie 1.86. Co jest źródłem kłopotów mera?Mer pewnego miasta na północy Normandii jednego wieczoru zderzył się

z przechodniem. Po tym zdarzeniu wydał zarządzenie zakazujące wychodze-nia bez latarni wieczorem na ulicę. Mimo tego ponownie zderzył się z tymsamym mieszczaninem.

— Czy nie czytał Pan mojego zarządzenia? — zapytał mer srogo.— Czytałem — odpowiedział Normandczyk — Oto moja latarnia.— Ale w latarni nic nie ma!— W zarządzeniu o tym mowy nie było.Nazajutrz pojawiło się zarządzenie nakazujące, jeśli chce się wyjść wie-

czorem na ulicę, wstawić w latarnie świece. Tego samego wieczoru doszło doponownego zderzenia burmistrza z przechodniem.

— Gdzie latarnia?! — zakrzyczał mer.— Oto ona, a w niej jest świeca.— No tak, ale nie zapalona.— W zarządzeniu nic nie było o zapaleniu świecy.Mer musiał więc wydać nowe zarządzenie.

Zadanie 1.87. Co jest powodem możliwości różnego rozumienia wypowiedziprezydenta USA?

Terroryści nigdy nie przestają myśleć, w jaki sposób skrzywdzićnasz kraj i naród. Ale i my też.

Zadanie 1.88. Czy poniższe wyrażenia są pleonazmami?:

1. Zabija owady, na śmierć!

2. kartka papieru,

3. Jem tylko i wyłącznie margarynę „Rama”.

Zadanie 1.89. Skróć napis na szyldzie: Tu się sprzedaje świeże śledzie.

Zadanie 1.90. Zredaguj właściwe nazwę wyrobu „Pokarm wątrobowo-mięsnydla ryb w tabletkach”.


Zadanie 1.91. Wskaż znaczenia poniższych wyrażeń:

1. Ktoś się zawsze spóźnia.

2. Każdy ma prawo wybrać najwyżej jeden deser z dowolnego zestawu.

3. Jeśli ktoś pomoże Janowi, to wiele zyska.

4. Każdy uznaje czyjś autorytet.

Zadanie 1.92. Oceń poprawność zdania:Bohater próbuje napisać swoją autobiografię28.

Zadanie 1.93. Wskaż różnicę znaczeń zdania:

1. Można wątpić, czy udałoby się znaleźć dwoje ludzi, którzy używalibywszystkich wyrażeń języka potocznego w tym samym znaczeniu.

i zdania

2. Można wątpić, czy udałoby się znaleźć dwoje ludzi, którzy używalibykażdego wyrażenia języka potocznego w tym samym znaczeniu.

Zadanie 1.94. Wskaż niektóre znaczenia słów:

1. wolność,

2. demokracja,

3. tolerancja

Zadanie 1.95. Wskaż znaczenia, jakie może mieć słówko „chociaż”.Zadanie 1.96. W jakim znaczeniu użyto słówka „mogą” w tekście: Władzeostrzegają, że spółdzielnie mogą usuwać niebezpieczny dla zdrowia azbestniezgodnie z prawem.Zadanie 1.97. Oceń poprawność tekstu (jest to 13-ty i zarazem ostatni punktgwarancji na telefon bezprzewodowy, model SP-R915PL):

Autoryzowany Serwis, firma handlowa, która sprzedała urządzenia orazSamsung Electronics i ich filie i oddziały nie udzielają upoważnień ani gwa-rancji odnośnie produktów, z wyjątkiem tych, które wyraźnie określono w ni-niejszym dokumencie. W żadnym wypadku nie będą odpowiedzialni zaszkody spowodowane wadami produktu, inne niż realnie poniesione szkodyw posiadaniu majątku lub naruszenia dóbr osobistych. W szczególnościuprawnienia z tytułu gwarancji nie obejmują prawa klienta do domaganiasię zwrotu utraconych zysków w związku z awarią produktu.

28Zob. Encyklopedia Guinnessa, Guinness Publishing Ltd, 1991, s. 68.


Zadanie 1.98. Zapoznaj się z poniższym tekstem29 i odpowiedz na pytania:

1. Czy autor słusznie ogranicza się do jednego rozumienia słowa „wzór”?

2. Co sądzisz o cytowanej definicji ze słownika PWN?

3. Co sądzisz o użyciu terminu „wzór” w ostatnim i przedostatnim zda-niach tekstu?

Jako przedstawiciel nauk ścisłych traktuję wzory zgodnie z ich definicją.Słownik języka polskiego M. Szymczaka (PWN) mówi, że są to „symbole wy-rażające prawa matematyczne”. Tymczasem we wzorze Kuryłowa to, co wy-gląda na licznik i mianownik — nimi nie jest. [. . . ] Nie ja jeden zauważyłemdziwny wzór.

Zadanie 1.99. Jak można rozumieć zdanie: „kłopot w tym, że akurat w sferzepodatków i finansów publicznych, program jest wyjątkowo niespójny”?

Zadanie 1.100.30 Jak rozumieć można tekst?

My też nie pytamy o wszystkie miejsca pamięci budowane wWar-szawie. Nie mogę sobie przypomnieć i nic o tym nie wiem, żebykiedyś proszono Niemcy o udział w upamiętnieniu PowstaniaWarszawskiego. Też można by spytać: »dlaczego nas nie pytacie,przecież my zniszczyliśmy wtedy Warszawę«. Niemcy miałybyw tym taki sam uprawniony interes.

Czy i jak zmienia się sens analizowanego tekstu po uzupełnieniu go o zda-nie:

Nie przyszłoby nam jednak nigdy do głowy, żeby postawić takieżądanie.

Zadanie 1.101. Co jest źródłem opisanego problemu?Jedna z wpadek związana z wykorzystywaniem górlaszczyzny dotyczyła

reklamy piwa. Użyto w niej zwrotu: „Sakramencko dobre”, nie zważając, żena Podhalu słowo to jest uważane za szczególnie obraźliwe.

Zadanie 1.102. Przy założeniu, że wychodzenie za mąż, kiedy się jest w ciążyjest gorzej oceniane niż wychodzenie za mąż, kiedy nie jest się w ciąży prze-analizuj tekst:

29Zob. Wiedza i Życie, Maj 1995, s. 10–11.30Jest to wypowiedź Eriki Steinbach, przewodniczącej Związku Wypędzonych (Bund der

Vertriebenen). Przedmiotem polemiki ze strony Związku Wypędzonych był to, że w ŻyciuWarszawy opuszczono ostatnie zdanie.


Moja córka Karolina wychodzi za mąż, ale nie jest w ciąży.

W analizie uwzględnij różne możliwości sytuacyjne:

1. autorka komunikatu wychodziła za mąż będąc/nie będąc w ciąży,

2. adresatka komunikatu wychodziła za mąż będąc/nie będąc w ciąży,

3. Karolina przez kilka lat mieszkała/nie mieszkała ze swoim przyszłymmężem.

W analizie uwzględnij również brak wiedzy o faktach przez autorkę i/lubadresatkę komunikatu.

Zadanie 1.103. Korzystając z poniższych uwag wskaż możliwe powody wy-boru terminologii.

Nazywanie rzeczy po imieniu to nic szczególnego. Ważny minister powi-nien posługiwać się fachową terminologią.

Przeciętny człowiek sposób działania nazwałby pewnie „sposobem dzia-łania”. Co innego „modus operandi”. To już i fachowo brzmi, i ministerjakoś tak lepiej w wywiadzie wypada. Dlaczego więc nie powtarzać tegoprzy każdej dogodnej sytuacji? Podobnie z przypadkiem. Słowo „przypa-dek” każdy zna i nie ma się czym ekscytować. Za to nie każdy zna „czasowąkoincydencję”. To już termin nawet nie fachowy, lecz superfachowy.

Rozdział 2

Rozumowania i argumentacja

Gebraucht der Zeit, sie geht so schnell von hinnen,Doch Ordnung lehrt Euch Zeit gewinnen.Mein teurer Freund, ich rat Euch drumZuerst Collegium Logicum.Da wird der Geist Euch wohl dressiert,In spanische Stiefeln eingeschnürt,Daß er bedächtiger so fortanHinschleiche die Gedankenbahn,Und nicht etwa, die Kreuz und Quer,Irrlichteliere hin und her.Johann Wolfgang von Goethe:Faust — Der Tragödie erster Teil

Rozumowania i argumentacja są zasadniczym przedmiotem logiki. Mówisię, że logika to teoria rozumowań. Logika jako nauka klasyfikuje rozumowa-nia i wyszczególnia typy argumentacji. Ważnym zadaniem logiki jest ocenaracjonalności rozumowań a co za tym idzie określenie kryteriów poprawnościi opis typowych błędów. Logika dokonuje opisu typowych chwytów erystycz-nych oraz ukazuje powody ich skuteczności. Rozumowanie poszerza wiedzęobiektywną i subiektywną o zdania będące jego wynikiem. Argumentującdoprowadzamy do uznania lub odrzucenia przekonań1.

Arystoteles (384–322 p.n.e.) położył fundamenty pod logikę jako systemzasad, na których opiera się wszelka wiedza. Logika jest ważna dla każdego,

1Przekonania mogą różnić się treścią a nadto sposobem, w jaki ktoś je żywi. Możnabyć pewnym (przekonanym, wiedzieć lub wierzyć), że α; można wątpić, że α; możnaprzypuszczać, że α. Powiemy więc, odpowiednio, że ktoś jest przekonany, iż na pewnojest tak, że α; że ktoś jest przekonany, iż wątpliwe jest, że α; że ktoś jest przekonany, iżprzypuszczalnie jest tak, że α.

141

142 ROZDZIAŁ 2. ROZUMOWANIA I ARGUMENTACJA

ponieważ ludzie mogą rozumować o wszystkim, o czym mogą myśleć. Poli-tyka, sztuka, literatura, biznes, nauka i codzienne problemy, wszystkie mogąbyć przedmiotem rozumowania. Rozumowanie może być poprawne bądź nie-poprawne. Logika ma wskazać to, dzięki czemu rozumowania są poprawnei to, z jakiego powodu mogą być niepoprawne. Znajomość logiki usprawniaargumentację i ułatwia jej krytyczną ocenę.

Prawa takich nauk jak fizyka lub psychologia mają treści empiryczne.Zdają sprawę z prawidłowości dających się stwierdzić na drodze poznaniadoświadczalnego, Jeżeli sprawy mają się inaczej niż głosi prawo, to prawoulega modyfikacji lub nawet odrzuceniu jako błędne. Prawa logiki mającharakter normatywny. Jeżeli coś — jakieś rozumowanie — nie przebiegazgodnie z nimi, to rozumowanie a nie prawo jest błędne. Gdyby prawalogiki były takimi prawami jak prawa psychologii, to ludzie nie popełnialibybłędów logicznych. Skoro ludzie popełniają błędy logiczne, prawa logiki niedeterminują jednoznacznie przebiegu rozumowania.

Logika to nie sztuka dla sztuki. Zbieranie informacji i ich porządkowa-nie, podejmowanie decyzji i realizacja planów wymagają rozumowania. Nie-poprawne rozumowanie może doprowadzić do podjęcia niewłaściwej decyzjii utrudniać realizację planów. Konsekwencje poprawnego lub niepopraw-nego rozumowania daleko wykraczają poza życie jednostek. Postęp naukii techniki w XX wieku zmienił życie całych społeczności. Nie dokonał się onbez bardzo złożonych i skomplikowanych poprawnych rozumowań. Wiek XXto także wiek narodowego socjalizmu i komunizmu, Oświęcimia i Katynia.Teoretyczne podstawy jednego i drugiego, narodowego socjalizmu i komu-nizmu, pełne są rozumowań. Czy mogły to być rozumowania poprawne?Czy dane, które stanowiły podstawę przesłanek tych rozumowań mogły byćprawdziwe? Pytamy się, w jaki sposób tak liczne rzesze ludzi przekonano douczestnictwa w realizacji planów Lenina, Stalina, Hitlera, Pol Pota i innych.Wchodzimy w wiek XXI nie bez obaw. Pojawiają się nowe ideologie dą-żące do podporządkowania sobie zachowań społecznych. Pojawiają się nowefilozofie i światopoglądy pretendujące do roli wyznaczania kierunków i spo-sobów myślenia oraz postępowania jednostek. Stajemy wciąż przed trudnymzadaniem oddzielenia «ziarna od plew». Znajomość logiki ma więc nie tylkowymiar pragmatyczny. Poznanie jej zasad i stosowanie się do nich ma zatemrównież — co twierdzili już stoicy — wymiar etyczny.

2.1. UZNAWANIE I UZASADNIANIE 143

2.1 Uznawanie i uzasadnianie

Pojęcie uznawania zdań jest pojęciem relacyjnym: o uznaniu zdania mówimyze względu na coś lub na kogoś.

W systemach wiedzy wyróżnione są pewne zdania zwane twierdzeniamilub tezami tych systemów wiedzy.

Definicja 2.1. Zdanie uznane w systemie wiedzy to zdanie będące twier-dzeniem, inaczej tezą, tego systemu wiedzy (wiedza obiektywna).

Ludzie żywią jakieś przekonania tzn. zajmują jakąś postawę (emocjo-nalną, praktyczną lub racjonalną) wobec tego, co zdania głoszą.

Definicja 2.2. Zdanie uznane przez kogoś to zdanie, którego treścią jestprzekonanie, które ten ktoś żywi (wiedza subiektywna).

Uznanie zdania jest jedną z możliwych sytuacji. Inną jest odrzuceniezdania.

Definicja 2.3. Zdanie odrzucone w systemie wiedzy to zdanie, któregoprzynależność do tego systemu wiedzy jest wykluczona zgodnie z zasadamiodrzucaniami przyjętymi w tym systemie wiedzy.

Definicja 2.4. Zdanie odrzucone przez kogoś to zdanie, które ten ktośwyklucza ze swoich przekonań.

Są zdania, które ani nie są uznane, ani nie są odrzucone. Nie każdezdanie dające się sformułować w języku jakiejś dziedziny wiedzy jest uznanelub odrzucone w teorii tej dziedziny. Chociaż każde zdanie jest prawdziwelub fałszywe, to do systemu wiedzy należą jednak tylko te zdania, którezostały uzasadnione w sposób właściwy dla danej nauki. Odrzucone są te,co do których udało się w sposób właściwy dla danej nauki pokazać, że nienależą do teorii dziedziny tej nauki. Jest cała sfera zdań, dla których nieprzeprowadzono takich uzasadnień; takie uzasadnienia nie są wykluczonew dalszych badaniach. W wypadku przekonań są zdania, co do których niemamy stanowiska: ani ich nie uznajemy, ani ich nie odrzucamy.

Pojęcia uznawania i odrzucania są pojęciami pragmatycznymi, czyli od-noszą się do relacji między językiem (znakiem) a jego użytkownikiem.

Jeżeli zdanie α należy do systemu wiedzy, to chcielibyśmy, aby zaprze-czenie zdania α, czyli nie-α, nie należało do niego. Więcej, chcemy, abybyło odrzucone. Gdyby bowiem w wyniku jakiegoś rozumowania okazałosię, że nie-α również należy do tego systemu wiedzy, to taki system byłbysprzeczny.


Definicja 2.5. Teoria jest sprzeczna (system wiedzy jest sprzeczny) wtedyi tylko wtedy, gdy dla pewnego zdania α jej twierdzeniami są zdania α i nie-α.

Sprzeczny system wiedzy jest bezwartościowy, bo wiedza ma być wiedząo czymś, a w jakiejkolwiek rzeczywistości nie może być zarazem tak, by dlajakiegoś zdania α prawdą było, że α i prawdą było, że nie-α2. Gdyby tak sięzdarzyło, że dla jakiegoś α zarówno zdanie α, jak i zdanie nie-α należą dosystemu wiedzy, to dowolne zdanie, które dałoby się sformułować w językutego systemu, należałoby do niego, jeśli tylko byłby to system obejmującywszystkie zdania, które dadzą się wywnioskować ze zdań należących do tegosystemu. Gdy więc udaje się pokazać, że jakieś zdanie nie należy do systemuwiedzy, to tym samym pokazuje się niesprzeczność tego systemu.

Definicja 2.6. Teoria jest niesprzeczna (system wiedzy jest niesprzeczny)wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sprzeczny, czyli z dwu zdań α i nie-α conajmniej jedno nie należy do tej teorii.

Jeśli system jest niesprzeczny i należy do niego zdanie α, to do tegosystemu nie należy zaprzeczenie α (nie-α). Jeżeli system jest niesprzecznyi wykluczona jest przynależność zdania α do systemu, to na tej tylko pod-stawie nie możemy twierdzić, że zaprzeczenie α, czyli nie-α, należy do tegosystemu wiedzy. Chociaż bowiem jedno z dwu zdań α bądź nie-α jest praw-dziwe, to na to, by zdanie należało do systemu wiedzy, potrzeba by było onouzasadnione w sposób właściwy dla tego systemu.

Definicja 2.7. Teoria jest zupełna (system wiedzy jest zupełny) wtedyi tylko wtedy, gdy z dowolnych dwu zdań α i nie-α co najmniej jedno jesttwierdzeniem tej teorii (należy do tego systemu wiedzy).

Zauważmy, że w wypadku zupełnej teorii niesprzecznej dokładnie jednoz dwu zdań: α i nie-α jest twierdzeniem tej teorii.

2Arystoteles za podstawowe przyjmował trzy zasady: tożsamości, niesprzeczności i wy-łączonego środka. Z nich zaś zasada niesprzeczności została uznana za najbardziej pod-stawową („Metafizyka”, 1005 b):

Ta bowiem zasada, którą każdy musi uznać, jeżeli chce cokolwiek rozumieć,nie może być hipotezą; a to, co każdy powinien znać, ażeby wiedzieć cokol-wiek, musi to już mieć zanim przystąpi do badań szczegółowych. Oczywiście,taka zasada jest najpewniejsza ze wszystkich; jaka to jest zasada? Pozna-jemy ją, oto ona: to samo nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwaćtemu samemu i pod tym samym względem (mogą też być dodane inne jeszczeokreślenia, ażeby zabezpieczyć się przed dialektycznymi zarzutami.)


Jeśli ktoś żywi przekonanie, że α, to chcąc być racjonalnym winien odrzu-cić przekonanie, że nie-α. Odrzucając zaś α wcale nie musi tym samym —pod rygorem racjonalności przekonań — zgodzić się na uznanie jako przeko-nania zaprzeczenia zdania α (nie-α). Zdarza się jednak, że nie zgadzając sięna zdanie α akceptujemy jego zaprzeczenie. Przekonania zmieniają się. Ktośmógł w jakimś czasie żywić przekonanie, że α, a w innym nie żywić tego prze-konania, albo też żywić przekonanie, że nie-α. Jeśli tylko w danym czasie nieżywi przekonań sprzecznych, to nie można temu komuś z tego powodu czynićzarzutu braku logicznej poprawności. Z faktu, że ktoś nie uznaje jakiegośzdania α nie możemy wnioskować, że całość przekonań, które ten kogoś żywijest niesprzeczna. W systemie wiedzy poprawnie wyprowadzone konsekwen-cje uznanych w nim zdań, czyli twierdzeń są twierdzeniami. W wypadkuprzekonań odrzucamy pewne zdania nie rozważając, czy są one konsekwen-cjami wszystkich innych naszych przekonań. Uznawanie przez nas zdań macharakter dynamiczny: wraz z przemyśleniami konsekwencji żywionych przeznas przekonań i poszerzania naszej wiedzy dokonujemy modyfikacji przeko-nań.

Na to, aby zdanie mogło być uznane, potrzeba, żeby była jakaś racjauznania. Ktoś, kto uznaje zdanie, ma powód, dla którego to zdanie uznaje.Powodu tego może sobie nawet nie uświadamiać lub nie umieć go wyraźniewskazać, lecz jakiś powód faktycznie ma. Można więc przyjąć, że dla przeko-nania, które ktoś żywi, istnieje racja lub racja ta jest rekonstruowalna. Możeto być racja emocjonalna, uprzedzenie, oparcie się na stereotypie. Przedsta-wiając racje człowiek racjonalizuje, czyli wskazuje racjonalne powody uzna-nia swoich przekonań, choć w rzeczywistości mogą to być pobudki innegorodzaju. Zdarza się bowiem, że żywimy pewne przekonania nie dlatego, iżmamy dla nich racjonalne powody, lecz znajdujemy te powody, gdy przycho-dzi nam je wskazać.

Warunkiem uznania zdania w systemie wiedzy, warunkiem bycia tezątego systemu wiedzy, jest istnienie racji, które są przez ten system określonejako wystarczające dla włączenia zdania do systemu.

Postulat racji uznania zdania otrzymał nazwę i sformułowanie w pracachLeibniza jako zasada racji dostatecznej (principium rationis sufficientis,lex rationis determinantis sive sufficientis). Według Leibniza — jest to tezaontologiczna — nic nie dzieje się bez dostatecznych racji. Bóg, stwarzającświat, wybrał z możliwych najlepszy, najbardziej celowo zbudowany. Racjąkażdego faktu jest zatem jego celowość i odpowiedniość. Prawdy dzielą się napierwotne (absolutnie pierwsze) i pochodne (wtórne). Wszelka prawda możebyć dowiedziona z prawd absolutnie pierwszych lub sama jest absolutniepierwsza. Prawdy pochodne ze względu na sposób wywodzenia ich z prawd


pierwotnych dzielił na:

• pochodne-rozumowe,

• pochodne-faktyczne.

Prawdy pierwotne opierają się na zasadzie tożsamości. Prawdy pochodne-rozumowe to te, które sprowadzają się do pierwotnych na gruncie zasadyniesprzeczności. Są to prawdy konieczne. Ich zaprzeczenie jest niemożliwe,bo prowadzi do sprzeczności. Wywód prawd faktycznych wymaga innej pod-stawy niż wywód prawd koniecznych; zasada sprzeczności nie wystarcza,potrzebna jest oprócz niej inna zasada, wyróżniająca rzeczywistość wśródtego, co możliwe. Zasadą tą jest zasada racji dostatecznej: nic w rzeczywi-stości nie jest bez racji, każda prawda faktyczna może i powinna być uza-sadniona za pomocą prawd pierwotniejszych. Prawdy pochodne-faktycznemożna więc wywieść z praw bardziej pierwotnych przez odwołanie się do za-sady racji dostatecznej. Zasada racji dostatecznej obok zasady tożsamości izasady niesprzeczności jest jedną z trzech podstawowych zasad, które dająwyrażają racjonalizm Leibniza.

Zgodnie z zasadą racji dostatecznej, wyrażającą postulat krytycyzmu,można uznać lub odrzucić zdanie wtedy i tylko wtedy, gdy są tego racjewskazane według rozsądnych dyrektyw poznawczych.

W różnych systemach wiedzy obowiązują różne racje uznawania. Zewzględu na ich rodzaje systemy wiedzy dzielimy na naukę i na to, co na-uką nie jest. Ze względu na typ racji naukę dzieli się na nauki empiryczne,humanistyczne oraz matematyczne. Również ze względu na rodzaj racji, alew innym aspekcie, dzielimy systemy wiedzy na racjonalne, pararacjonalnei irracjonalne. Ocena i systematyzacja rodzajów racji jest przedmiotem teo-rii poznania i metodologii nauk. Podobnie ma się rzecz z przekonaniami.Mówimy, że ktoś jest racjonalny, gdy w doborze swoich przekonań kieruje sięracjonalnymi zasadami. Pytanie, jakie zasady można uznać za racjonalne,jest pytaniem filozoficznym. W życiu codziennym kierujemy się zdroworoz-sądkowym rozumieniem racjonalności. Źródłem zdrowego rozsądku jest sze-roko rozumiana kultura i tradycja danej społeczności oraz przede wszystkimpraktyka dnia codziennego.

Odróżniamy dwa typy racji uznawania zdań: racje czerpane z różnegorodzaju spostrzeżeń i doświadczenia oraz racje wskazywane na drodze argu-mentacji i poprzez rozumowanie.

Definicja 2.8. Uzasadnianie to wskazywanie racji dla uznania albo od-rzucenia zdania.


Wskazywane racji mogą prowadzić do całkowitego uznania lub do całko-witego odrzucenia, mogą też prowadzić tylko do wzmocnienia jednej z tychpostaw lub do jej osłabienia.

Ze względu na to, jakie są racje uznania zdania, wyróżnia się uzasadnianiebezpośrednie i pośrednie.

Bezpośrednio poznajemy za pomocą spostrzeżenia i obserwacji, doświad-czenia i eksperymentu. Obserwacja różni się od spostrzeżenia tym, że składasię na nią szereg spostrzeżeń. Zwykle jest celowa i ma charakter systema-tyczny. Wiedzę możemy pozyskiwać na drodze spostrzeżeń i obserwacji ce-lowo przygotowanego stanu rzeczy lub wywołanego zjawiska, czyli doświad-czenia i eksperymentu. Eksperyment może być pozytywny — kiedy zamie-rzamy potwierdzić przypuszczenie, hipotezę — lub negatywny, gdy jego ce-lem jest jej odrzucenie.

Definicja 2.9. Uzasadnianie bezpośrednie polega na odwoływaniu siędo danych bezpośredniego poznania jako do racji uznania albo odrzuceniazdania.

Spostrzeżenia i doświadczenie mogą być zmysłowe lub niezmysłowe. Zmy-słowe mogą być zewnętrzne lub wewnętrzne. Gdy uznaję zdanie „ jest wie-czór”, to czynię to na podstawie spostrzeżenia zmysłowego zewnętrznego. Napodstawie spostrzeżenia zmysłowego wewnętrznego uznaję zdanie „boli mnieząb”. Stan psychicznej radości stwierdzany przez niezmysłowe spostrzeżeniewewnętrzne daje podstawę dla uznania zdania „ jestem (teraz) radosny”. Spo-strzeżenie i doświadczenie są tym, co łączy nasze poznanie z przedmiotempoznania. Z uzasadnienia bezpośredniego korzysta się też np. przy uza-sadnianiu wyroków sądowych, gdy przeprowadza się oględziny osób, rzeczy,miejsc.

Uzasadnienie przez odwołanie się do danych zmysłowych nie jest nieza-wodne; zmysły mogą nas zwodzić. Spostrzeżenia niezmysłowe też mogą byćmylące.

Definicja 2.10. Uzasadnianie pośrednie polega na odwoływaniu się dowcześniej uznanych albo odrzuconych zdań.

W uzasadnianiu inaczej korzysta się ze zdań uznanych a inaczej ze zdańodrzuconych. Uzasadnianie pośrednie może być niezawodne, np. może da-wać podstawy dla pewności co do prawdziwości uzasadnianego zdania podwarunkiem, że zdania, do których się odwołuje, są prawdziwe.

Definicja 2.11. Rozumowanie to pośrednie uzasadnianie zdań.


Definicja 2.12. Argumentacja to wskazywanie komuś racji dla przyjęcialub odrzucenia przekonań.

W argumentacji mogą być użyte racje bezpośrednie, jak odwołanie siędo doświadczenia. Mogą również być użyte racje pośrednie, tzn. zdania.

Rozumowanie winno być poprawne a argumentacja skuteczna. Popraw-ność ma charakter obiektywny a skuteczność subiektywny. Cel rozumowaniaosiągamy biorąc pod uwagę zdania. Aby osiągnąć cel argumentacji trzebawziąć jeszcze pod uwagę osobę/osoby, do której/których argumentacja jestskierowana.

W rozumowaniach występują zawsze zdania, które stanowią punkt wyj-ścia i zdanie, które jest punktem dojścia, wynikiem procesu rozumowania.

Definicja 2.13. Przesłanki są zdaniami będącymi podstawą rozumowanialub argumentacji.

Bywa, że nie wszystkie przesłanki są wyraźnie wskazane. Jeżeli jakaśprzesłanka należy do zdań powszechnie uznawanych lub za taką się ją uważa,to nie wymienia się jej. A ona sama nie wymaga uzasadnienia zgodnie z za-sadą: manifestum non eget probatione — fakty powszechnie znane nie wy-magają dowodu.

Definicja 2.14. Przesłanka entymematyczna to przesłanka nie wymie-niona we wnioskowaniu z powodu uznania jej za oczywistą.

To, co zdaniem jednego jest oczywiste i nie wymaga wyraźnego wska-zania, dla kogoś innego nie musi być oczywiste. Korzystanie z przesłanekentymematycznych może więc być źródłem nieporozumienia. Inną kwestiąjest, że z powodu braku refleksji nad tym, co powszechnie uznane, funkcjo-nują w społeczeństwie różne rzekome prawdy.

W podręczniku G. I. Nierenberga, Sztuka negocjacji, s. 85–86, możemyprzeczytać następującą historyjkę:

Pewnego razu mąż obserwował, jak żona przygotowywała pie-czeń na obiad. Po umieszczeniu kawałka wołowiny na desce dokrojenia odkroiła plaster i wyrzuciła do kosza.

„Dlaczego to zrobiłaś, kochanie?” — spytał zaciekawiony.

„Nie wiem. Moja matka zawsze tak robiła” — usłyszał w odpo-wiedzi.

Kiedy więc następnym razem widział swoją teściową, zapytał, czyrzeczywiście przed przygotowaniem pieczeni odkrawała kawałekmięsa i wyrzucała go. I znów odpowiedź brzmiała:


„Tak. Moja matka zawsze tak robiła.”

Zaintrygowany mąż zatelefonował do babki swojej żony.

„O, tak, zawsze odkrawałam kawałek z pieczeni, ponieważ patel-nia, której używałam, była za mała” wyjaśniła starsza pani.

Do przesłanek entymematycznych należy podchodzić krytycznie. W Za-sadach filozofii Descartes zaleca:

Ponieważ przyszliśmy na świat jako dzieci i ponieważ wpierw, za-nim w pełni zaczęliśmy się posługiwać naszym rozumem, już wy-dawaliśmy rozmaite sądy o rzeczach zmysłowych, dlatego wieleprzesądów oddaliło nas od poznania prawdy; od tych [przesądów]zaś — jak się zdaje — będziemy mogli uwolnić sie tylko wtedy:jeżeli raz w życiu postaramy się zwątpić o wszystkim, w czymwykryjemy choćby cień niepewności3.

Z przesłanek entymematycznych nie należy rezygnować. Trudno sobiewyobrazić, aby np. w artykule skierowanym do określonego grona specja-listów powtarzać prawdy, które są dla tych specjalistów oczywiste. Zawszeprzygotowując jakiś tekst winniśmy wziąć pod uwagę to, do kogo ten tekstjest skierowany, i pominąć to, co dla wszystkich odbiorców jest (powinnobyć) oczywiste, a włączyć wszystko to, co nie jest oczywiste, choć może ta-kim być dla autora tekstu. Inaczej mówiąc, trzeba wziąć pod uwagę «środo-wisko intelektualne» danej sprawy — na przesłankę entymematyczną nadająsię te i tylko te zdania, które są oczywiste dla wszystkich odbiorców danegorozumowania (tekstu).

Źródłem przesłanek entymematycznych jest kultura, którą przyswajamyw procesie wychowania, wykształcenie, mody wieku. Źródłem takich prze-słanek jest też sam język; zauważmy na przykład, że mówiąc „zachód słońca”lub „wschód słońca”, podtrzymujemy stare poglądy, że Słońce krąży wokółZiemi. Słowo „sekretarka” jakby wyklucza mężczyzn z roli sekretarki. Po-dobnie wyklucza mężczyzn z zawodu pielęgniarki sposób zwracania się dopielęgniarki przez „siostro”.

Ocena poprawności rozumowania wymaga uwzględnienia jego przesła-nek entymematycznych. Zdarza się bowiem, że jakaś taka przesłanka jestfałszywa lub bezpodstawnie uznana.

3Zarówno sformułowana tu dyrektywa postępowania, jak i cała część pierwsza Zasadjest właściwie powtórzeniem treści Medytacji o pierwszej filozofii z uwzględnieniem pole-miki zawartej w Zarzutach i Odpowiedziach.

Descartes, Zasady filozofii, przekł. I. Dąmbska, Warszawa 1960.


Definicja 2.15. Wniosek (konkluzja) to zdanie będące punktem dojścia,wynikiem rozumowania lub argumentacji.

Między przesłankami a wnioskiem powinien zachodzić stosunek uzasad-niania. Od rodzaju rozumowania i argumentacji zależy, czy przesłanki uza-sadniają wniosek, czy odwrotnie, wniosek uzasadnia przesłanki.

Definicja 2.16. Zdania α1, . . . , αn uzasadniają zdanie β wtedy i tylkowtedy, gdy zdania α1, . . . , αn stanowią dostateczną rację uznania zdania β.

Rozumowanie przeprowadzane jest z uwagi na uzasadniane zdanie. W wy-padku argumentacji dochodzi jeszcze wzgląd na osobę/osoby, którą/które sięprzekonuje. Rozumowanie ma miejsce w wypadku uzasadniania zdań w celuwłączenia ich w system wiedzy obiektywnej, argumentacja — wiedzy subiek-tywnej. W rozumowaniu liczą się racjonalne związki między przesłankamia wnioskiem. Poprawne rozumowanie może nie być skuteczną argumenta-cją, np. z powodu niedostatecznego wzięcia po uwagę stanu wiedzy osoby,dla której argumentacja jest przeprowadzana. Skuteczna argumentacja możeokazać się niepoprawna, gdy oceniać ją jako rozumowanie.

Uzasadnianie może być różnorakie. Podział rozumowań i argumentacjidokonywany jest między innymi ze względu na to, jakiego rodzaju stosunekuzasadniania zachodzi między przesłankami a wnioskiem.

Miejsce wniosku w tekście nie jest przesądzone. Może być on podanyprzed przesłankami, między nimi bądź na końcu. Bywa i tak, że seria przesła-nek następuje lub wyprzedza serię wniosków, które one uzasadniają. W stan-dardowym zapisie wniosek następuje po przesłankach.

W wypadku „nic, co jest dowiedzione nie jest oczywiste; jest tak dla-tego, że to, co jest oczywiste, nie podlega dowodowi” wniosek wyprzedzaprzesłankę. Standardowo możemy to zapisać jak następuje:

Przesłanka: To, co jest oczywiste, nie podlega dowodowi.Wniosek: Nic, co jest dowiedzione, nie jest oczywiste.

W wypadku „w większości problemy logiczne nie są trudne. Nic, co proste,nie przyprawia mnie o ból głowy. Dlatego też tym, co przyprawia mnieo ból głowy, nie są problemy logiczne” wniosek następuje po przesłankach.Standardowo zapisujemy to następująco:

Przesłanka I: W większości problemy logiczne nie są trudne.Przesłanka II: Nic, co proste, nie przyprawia mnie o ból głowy.Wniosek: Tym, co przyprawia mnie o ból głowy, nie są

problemy logiczne.


W wypadku „rośnie ciśnienie i niebo jest bezchmurne. Zapowiada się więcładna pogoda tym bardziej, że wieje ciepły południowy wiatr” wniosek znaj-duje się między przesłankami. Standardowo można więc to rozumowanieprzedstawić następująco:

Przesłanka I: Rośnie ciśnienie i niebo jest bezchmurnePrzesłanka II: Wieje południowy wiatr.Wniosek: Zapowiada się ładna pogoda.

Uznanie zdania czy to w nauce, czy też przez kogoś, nie jest nieodwołalne.Nauka zmienia się nie tylko przez zwiększanie zasobu twierdzeń, lecz też

przez odrzucanie pewnych wcześniej uznanych zdań, które w świetle nowychdanych przestały spełniać kryteria uznania. Tworzone są nowe teorie, którelepiej niż stare opisują badaną rzeczywistość. Przykładem takiej teorii możebyć Einsteinowska teoria względności, która trafniej niż Newtonowska fizykaklasyczna opisuje świat fizyczny.

Podobnie jest z systemami przekonań. Są ludzie, którzy mimo oczywi-stych racji nie zmieniają swoich przekonań. Są i tacy, którzy przekonaniazmieniają bez dostatecznych racji. Człowiekowi racjonalnemu obca jest za-równo pierwsza jak i druga postawa. Zmienia on swe przekonania, gdy są kutemu wystarczające racje.

W wypadku dołączania nowych zdań do zasobu wiedzy obiektywnej lubsubiektywnej mówimy o ekspansji. Kontrakcja wiedzy ma miejsce w wy-padku odrzucania pewnych zdań. W wypadku zastępowania twierdzenia lubprzekonania przez jego negację mówimy o rewizji.

Zadania

Zadanie 2.1. Wskaż przesłanki i wniosek:

1. Można mieć za wiele. Ktoś kto ma jeden zegarek wie, która godzina;ktoś kto ma dwa zegarki nigdy nie jest pewien.

2. Gdyby nie było kobiet wciąż mieszkalibyśmy w jaskiniach jedząc su-rowe mięso. Wymyśliliśmy cywilizację, aby zrobić wrażenie na naszychprzyjaciółkach.

3. Ktoś, kto wierzy w takie rzeczy musi być inteligentem; zwykły człowieknie mógłby być tak głupi.

Zadanie 2.2. Zapisz w standardowej postaci poniższą argumentację:


Gdy negocjujesz z człowiekiem, który wziął zakładników, jesteś zobowią-zany w negocjacjach iść na ustępstwa. Może to być niewiele, może to byćdużo, tak czy owak musi to być coś. Raz dając coś porywaczowi nagradzaszjego działanie. Jaka jest więc jego zwykła i spontaniczna reakcja? Czynito kolejny raz, sądząc, że w ten sposób osiągnie coś, czego nie mógł dostaćzwykłymi sposobami. Oto dlaczego nie wolno negocjować z terrorystą.Zadanie 2.3. Wymień wyrażenia wskazujące zachodzenie stosunku uzasad-niania. Które z nich pisane są po przesłankach a przed wnioskiem, a którepo wniosku a przed przesłankami? (Np. „zatem” piszemy po przesłankacha przed wnioskiem, zaś „ponieważ” piszemy po wniosku a przed przesłan-kami.)Zadanie 2.4. Czy twierdzenie, będące treścią poniższego tekstu spełnia za-sadę racji dostatecznej?

Urodzeni 7 sierpnia potrafią zrobić użytek ze swoich zdolności,wiedzą, że mają przewagę nad innymi. Są bardzo ambitni, mająprzywódcze zdolności. Im są starsi, tym pragnienie przewodzeniainnym jest silniejsze.

2.2 Wynikanie

Szczególnym rodzajem stosunku uzasadniania, jaki może zachodzić międzyprzesłankami a wnioskiem (i ogólnie, między zdaniami) jest stosunek wyni-kania.

Definicja 2.17. Zdanie α wynika ze zdań α1, α2, . . . , αn wtedy i tylkowtedy, gdy nie jest logicznie możliwe, by wszystkie zdania α1, α2, . . . , αn

były prawdziwe, a zdanie α było fałszywe.

Przypomnijmy, że zdanie wewnętrznie kontradyktoryczne to zdanie fał-szywe na mocy znaczeń wyrażeń, z których jest zbudowane. Nie jest więcmożliwa nawet do pomyślenia taka sytuacja, ze względu na którą zdanie tobyłoby prawdziwe. Wniosek wynika więc z przesłanek wtedy i tylko wtedy,gdy koniunkcja przesłanek i negacji wniosku jest zdaniem wewnętrznie kon-tradyktorycznym.

Definicja 2.18. Zdanie α wynika entymematycznie ze zdań α1, α2, . . . ,αn wtedy i tylko wtedy, gdy wynika z tych zdań i powszechnie uznanychzdań αn+1, . . . , αm.

O wynikaniu entymematycznym mówimy więc w wypadku, gdy wniosekwynika z przesłanek jawnych i przesłanek entymematycznych.

2.2. WYNIKANIE 153

Definicja 2.19. Zdanie α jest wyprowadzalne ze zdań (lub, jest konse-kwencją zdań) α1, α2, . . . , αn wtedy i tylko wtedy, gdy α wynika z α1, α2,. . . , αn.

Definicja 2.20. Jeżeli ze zdań α1, α2, . . . , αn wynika zdanie α, to zdaniaα1, α2, . . . , αn są racjami zdania α a zdanie α jest następstwem zdańα1, α2, . . . , αn.

Definicja 2.21. Jeżeli ze zdań α1, α2, . . . , αn wynika zdanie α, to mó-wimy, że zdania α1, α2, . . . , αn pozostają ze zdaniem α w stosunku racja-następstwo, albo że zachodzi między nimi stosunek wynikania.

Zgodnie z określeniem stosunku wynikania i rozumieniem spójnika ko-niunkcji zdanie α wynika ze zdań α1, α2, . . . , αn wtedy i tylko wtedy, gdy αwynika z koniunkcji zdań α1, α2, . . . , αn. Z faktu tego będziemy korzystali,gdy dla wygody będziemy mówili tylko o wynikaniu jednego zdania z dru-giego — to zdanie, z którego jakieś zdanie wynika, może być koniunkcją kilkuzdań.

Jeżeli ze zdania α wynika zdanie β, to:

1. może być tak, że α i β są zdaniami prawdziwymi;

2. może być tak, że α jest fałszywe a β prawdziwe;

3. może być tak, że zarówno α jak i β są zdaniami fałszywymi;

4. nie może być tak, aby α było prawdziwe, a β fałszywe.

Jeżeli wiemy tylko to, że α wynika z α1, α2, . . . , αn, to w związku z 3 niemamy prawa twierdzić, że α jest prawdziwe. Możemy tak twierdzić, zgodniez 4, tylko wówczas, gdy prawdziwe są zdania: α1, α2, . . . , αn. Ze zdań „posobocie następuje niedziela” i „dziś jest sobota” wynika zdanie „ jutro będzieniedziela”. Dla uznania prawdziwości tego zdania wystarcza prawdziwośćobu zdań-przesłanek.

To, że α wynika z α1, α2, . . . , αn i to, że α jest prawdziwe, w związkuz 2, nie daje podstaw do twierdzenia, że tym samym zdania α1, α2, . . . , αn

są prawdziwe. Zdanie „ulica jest mokra” wynika z tego, że „padał deszcz”.Zdanie „ulica jest mokra” może być prawdziwe w sytuacji, gdy zdanie „pa-dał deszcz” jest fałszywe. Może tak być w wypadku, gdy ulica jest mokra,ponieważ przejechał beczkowóz.

To, że α wynika z α1, α2, . . . , αn i to, że nie wszystkie zdania α1, α2, . . . ,αn są prawdziwe, zgodnie z 2 nie daje podstaw do twierdzenia, że zdanie α


jest fałszywe. Fałszywość zdania „padał deszcz” nie przesądza o fałszywościzdania „ulica jest mokra”.

Na to, aby ze zdania α wynikało β, jest konieczne, aby nie było tak,że α jest prawdziwe, a β fałszywe. Na to zaś, aby implikacja zbudowanaz tych zdań była prawdziwa, wystarcza, aby nie było tak, że poprzednik αjest prawdziwy, a następnik β jest fałszywy. Inaczej mówiąc, prawdziwośćimplikacji „ jeżeli α, to β” jest warunkiem koniecznym, ale nie jest warunkiemwystarczającym, aby prawdą było, że z α wynika β. Nie wolno więc mylićstosunku wynikania z implikacją.

Jednym z najważniejszych celów logiki jest dostarczenie narzędzi do znaj-dowania odpowiedzi na pytanie, czy między jakimiś zdaniami zachodzi stosu-nek wynikania, czy też nie. Zasadniczą ideą logiki formalnej jest stworzenierachunku, który umożliwiałby znajdowanie odpowiedzi na to pytanie w takisposób, jak rachunek arytmetyczny umożliwia odpowiedź na pytanie o wynikoperacji arytmetycznych. Ze znajomości rachunku arytmetycznego korzystasię na co dzień. Z rachunków logicznych korzysta się wyjątkowo. Zwykle naco dzień wystarcza nam intuicyjne uznanie zachodzenia stosunku wynikania.Intuicję tę możemy znacznie usprawnić zajmując się logiką.

Stosunek wynikania pełni szczególną rolę w nauce. Podstawowe twier-dzenia, główne tezy systemu nauki, to te, z których wyprowadzalne są (wy-nikają) liczne inne twierdzenia i tezy. W wypadku systemu aksjomatycz-nego z określonej grupy zdań-tez, zwanych aksjomatami, wyprowadzalnesą (wynikają) wszystkie pozostałe twierdzenia tego systemu.

Stosunek wynikania zachodzi między zdaniami „ jeżeli Jan jest studen-tem, to przysługuje mu zniżka kolejowa” i „Jan jest studentem” a zdaniem„Janowi przysługuje zniżka kolejowa”. Podobnie też między zdaniami „każdyczłowiek jest śmiertelny” i „Sokrates jest człowiekiem” a zdaniem „Sokratesjest śmiertelny”. Aby wykazać to, należałoby odwołać się do technik logikiformalnej.

Gdy chcemy pokazać brak zachodzenia stosunku wynikania są jeszczemożliwości inne niż odwołanie się do technik logiki formalnej.

Zwykle dla wykazania, że nie zachodzi wynikanie stosujemy wizualiza-cję lub analogię.

Brak zachodzenia stosunku wynikania sposobem wizualizacji wykazujesię rozważając rzeczywistą lub wyimaginowaną sytuację, w której prawdziwesą wszystkie zdania, z których ma wynikać jakieś zdanie, a ono samo jest fał-szywe. Stosunek wynikania nie zachodzi między zdaniami „ jeżeli pracownikotrzymuje niskie wynagrodzenie, to źle pracuje” i „pracownik nie otrzymujeniskiego wynagrodzenia” a zdaniem „pracownik dobrze pracuje” — możnawskazać rzeczywiste sytuacje, w których pracownik nie otrzymuje niskiego

2.2. WYNIKANIE 155

wynagrodzenia, a źle pracuje. Ze zdań „ jeżeli istnieje własność prywatna, toistnieje niesprawiedliwość społeczna” i „nie ma własności prywatnej” nie wy-nika zdanie „nie ma niesprawiedliwości społecznej” — w krajach, w którychnie było własności prywatnej nie było też sprawiedliwości społecznej. Ze zda-nia „Białystok jest miastem wojewódzkim” nie wynika „Warszawa jest stolicąPolski” — logicznie możliwa jest sytuacja, że Warszawa nie jest stolicą, mimoże Białystok jest miastem wojewódzkim.

Dla wykazania braku zachodzenia stosunku wynikania w ocenianym ro-zumowaniu można wziąć rozumowanie, które nie różni się od niego co doformy a mimo, iż ma prawdziwe przesłanki ma jawnie fałszywy wniosek.Taki sposób postępowania oparty jest na analogii.

Analogia wykorzystana jest w następującym tekście (Shaw, B., Virtuesfor a postmodern world, Business Ethics Quarterly, vol. 5 nr 4, 1995):

Postmodernistyczny charakter etyki biznesu Green zdaje się uza-sadniać następująco:

Jeśli X jest postmodernistyczne, to X ma cechy A i B.Etyka biznesu ma cechy A i B.Dlatego, etyka biznesu jest postmodernistyczna.

Rozważmy analogiczne wnioskowanie:

Jeśli X jest prezydentem, to X mieszka w Białym Domu.Chelsea Clinton mieszka w Białym Domu.Dlatego, Chelsea Clinton jest prezydentem.

Wnioskowanie przeprowadzone przez Green’a jest więc błędne.

W wypadku, gdy nie potrafimy wskazać rzeczywistej lub wyimaginowanejsytuacji, w której zdanie mające być racją jest prawdziwe, a zdanie mającebyć następstwem jest fałszywe lub nie potrafimy wskazać zdań nie różniącychsię formą od racji i zdania nie różniącego się formą od następstwa takich, żepierwsze są prawdziwe, a drugie jest fałszywe, to nie mamy prawa twierdzić,że wynikanie zachodzi. Oba sposoby bowiem zależą od naszej pamięci i wy-obraźni. Pozytywne stwierdzenie zachodzenia wynikania zdania α ze zdaniaβ wymaga wskazania takiego prawa logiki, które jest schematem implikacji,której poprzednikiem jest β a następnikiem jest α.

Wskaźnikiem tego, czy ktoś przyjmuje istnienie stosunku wynikania mię-dzy zdaniami, może być nie tylko słowne stwierdzenie zachodzenia tegozwiązku przez użycie słowa „wynika”, lecz także np. całkowita pewność,


z jaką uznaje się wniosek — całkowitą pewność uznania wniosku możnamieć tylko w wypadku, gdy wniosek wynika z prawdziwych przesłanek.

Bywa, że forma argumentacji utrudnia zauważenie związku wynikania lubzwodzi wskazując na jego rzekome istnienie, co jest wykorzystywane w nie-uczciwej argumentacji.

2.3 Wnioskowanie

Omówimy teraz jeden z rodzajów rozumowań. Będą to wnioskowania. Teoriawnioskowania jest podstawowa dla teorii rozumowania. Jej pojęcia i twier-dzenia wykorzystywane są w teorii innych rodzajów rozumowań.

Definicja 2.22. Wnioskowanie to rozumowanie, w którym:

1. przesłanki są zdaniami uznanymi (wniosek jest zdaniem nieuznanym),

2. przesłanki uzasadniają wniosek (wniosek jest uzasadniany przez prze-słanki).

Wnioskowanie wzbogaca naszą wiedzę o wnioski ze zdań już należącychdo tej wiedzy oraz wzbogaca nasze przekonania o wnioski ze zdań wyrażają-cych nasze przekonania.

Definicja 2.23. Wnioskowanie entymematyczne to wnioskowanie, w któ-rym występują przesłanki entymematyczne.

Wnioskowania dzielimy na dedukcyjne i na uprawdopodobniające.

2.3.1 Wnioskowanie dedukcyjne

Definicja 2.24. Wnioskowanie jest dedukcyjne wtedy i tylko wtedy, gdywniosek wynika z przesłanek.

Wnioskowanie dedukcyjne to wnioskowanie, w którym prawdziwość prze-słanek gwarantuje prawdziwość wniosku. Forma wnioskowania wykluczamożliwość, aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy.

Wnioskowanie dedukcyjne jest charakterystyczne dla nauk dedukcyjnych.W tych naukach jest to jedyny uznany sposób wnioskowania. Nauki deduk-cyjne to przede wszystkim teorie matematyczne. Dla nauk tych znamiennejest to, że przedstawiane są w formie systemów aksjomatycznych: z już uzna-nych zdań, czyli twierdzeń, wyprowadza się kolejne twierdzenia. Tak to wy-gląda na etapie przedstawienia systemu jako czegoś już gotowego. Proces

2.3. WNIOSKOWANIE 157

znajdowania nowych twierdzeń i znajdowania dla nich przesłanek ma cha-rakter twórczy i jak każdy proces twórczy nie ogranicza się do dających sięopisać rodzajów rozumowań. Ważną rolę pełni w nim intuicja.

Wniosek nie jest zdaniem, które samo przez się, niejako automatycznie,wypływa z przesłanek. Wskazanie wniosku jest pewnym twórczym aktemumysłu. Dane przesłanki mogą uzasadniać różne zdania. To, które nasw danej sytuacji interesuje, stanowi przedmiot naszej decyzji związanej z re-alizacją określonych celów rozumowania. Jasne jest więc, że może być tak,iż tym, co jest pierwsze w naszym zamyśle, jest zdanie, które ma być wnio-skiem. Dopiero później poszukujemy wśród zdań uznanych takich, które byje uzasadniały. Jest to pewien zabieg twórczy. A to znaczy między innymi,że nie zawsze daje się opisać w sposób intersubiektywnie komunikowalny.Wielką rolę pełni tu intuicja, która z natury rzeczy nie podlega intersubiek-tywnej kontroli.

Logika formalna określa, które schematy wnioskowań są schematami wnio-skowań dedukcyjnych. Ktoś rozumując dedukcyjnie nie musi się schematemposługiwać, jednak jego wnioskowanie przebiega zgodnie z prawami logiki.Jeżeli jakieś wnioskowanie jest dedukcyjne, to każde inne wnioskowanie nieróżniące się od niego formą jest również wnioskowaniem dedukcyjnym. Od-powiedzi na pytanie, co to jest forma wnioskowania dostarcza logika for-malna. Problem ten będzie przedmiotem szerszych rozważań w niniejszejksiążce. Teraz dla przykładu wskażemy niektóre najprostsze schematy wnio-skowań dedukcyjnych.

Modus ponens Modus tollens

Jeżeli α, to β Jeżeli α, to βα nie-β

zatem β zatem nie-α

Prawa De Morgana logiki zdań

nie-(α lub β) nie-(α i β)

zatem nie-α i nie-β zatem nie-α


Prawa De Morgana logiki predykatów

nie-(dla każdego x : Px) nie-(dla pewnego x : Px)

zatem dla pewnego x : nie-Px zatem dla każdego x : nie-Px

Jeżeli wnioskowanie jest dedukcyjne, to dodanie jakiejkolwiek przesłankinie zmieni faktu wynikania wniosku z przesłanek4. Rozważmy np. wniosko-wanie (według schematu modus ponens):

Jeżeli Jan spotkał Zosię, to powiedział jej o spotkaniu.Jan spotkał Zosię.

ZatemJan powiedział jej (Zosi) o spotkaniu.

Wnioskowanie z dodatkowymi przesłankami:

Jeżeli Jan spotkał Zosię, to powiedział jej o spotkaniu.Jan spotkał Zosię.Jan spotkał Marysię.Zosia widziała się z Piotrem.


jest również wnioskowaniem, w którym wniosek wynika z przesłanek (chociażnie przebiega ono już według schematu modus ponens). Wniosek będzie wy-nikał z przesłanek i wówczas, gdy dodamy jako przesłanki zdania sprzecznez którąś z przesłanek lub z wnioskiem. Np.

Jeżeli Jan spotkał Zosię, to powiedział jej o spotkaniu.Jan spotkał Zosię.Jan nie spotkał Zosi.


4Rozumowania, które mają taką własność, że:jeżeli α wynika z Σ, to wynika z każdego zbioru Γ takiego, że Σ ⊆ Γ

to rozumowania monotoniczne.


Jeżeli Jan spotkał Zosię, to powiedział jej o spotkaniu.Jan spotkał Zosię.Jan nie powiedział jej (Zosi) o spotkaniu.


Stosunek wynikania między przesłankami a wnioskiem będzie zachodził takdługo, jak długo wśród przesłanek będą zdania, z których wniosek wynika.Jeżeli więc z jakichś przesłanek wynika wniosek, to dołączenie nowych prze-słanek nie ma najmniejszego wpływu na zachodzenie stosunku wynikania;może mieć jedynie wpływ na poprawność wnioskowania. Inaczej będzie, gdyodrzucimy którąś z przesłanek. W takim wypadku stosunek wynikania możeprzestać zachodzić.

Fakt, że dodawanie kolejnych przesłanek do wnioskowania dedukcyjnegonie ma wpływu na wynikanie wniosku z przesłanek daje podstawę dla postu-latu, aby ograniczyć liczbę przesłanek do tych, które są konieczne dla zacho-dzenia wynikania. Jest to postulat ekonomii dla wnioskowania dedukcyjnego.Zbędne przesłanki nie tylko, że niepotrzebnie wydłużają wnioskowanie, leczrównież mogą pomniejszać jego wartość argumentacyjną. Taka sytuacja mamiejsce w wypadku, gdy któraś ze zbędnych przesłanek jest fałszywa lubnieuzasadniona. Zbędna przesłanka może też nie mieć związku z wnioskiemlub go nieuzasadniać. Wszystko to może stać się źródłem zastrzeżeń i wąt-pliwości.

2.3.2 Dowód wprost i dowód niewprost

Szczególny wypadek wnioskowania dedukcyjnego, gdy właściwe wnioskowa-nie dedukcyjne poprzedzone jest procedurą poszukiwania przesłanek dla jużdanego zdania-wniosku, to dowodzenie.

Definicja 2.25. Zdanie, dla którego poszukuje się dowodu to teza tegodowodu.

Definicja 2.26. Dowodzenie tezy α to znajdowanie wśród zdań uznanych(twierdzeń) przesłanek, z których wynika α.

Samo wnioskowanie, jako już zakończone rozumowanie przedstawionew postaci językowej, to dowód.

Definicja 2.27. Dowód tezy α może być:


1. dowodem wprost, gdy wskazane są twierdzenia, z których wynika α,

bądź

2. dowodem niewprost (apagogicznym, przez sprowadzenie doniedorzeczności, reductio ad absurdum), gdy z negacji zdania do-wodzonego dowodzi się wprost negacji pewnego twierdzenia, czyli gdyz nie-α jako przesłanki dowodzi się wprost zaprzeczenia już udowod-nionego zdania.

Różnice między dowodem wprost a dowodem niewprost są różnicamiw sposobie poszukiwania przesłanek i w strukturze dowodu. Istotną rolęw dowodzie niewprost pełni zasada dwuwartościowości. Chodzi o to, żeskoro negacja dowodzonego zdania ma fałszywe konsekwencje, to jest zda-niem fałszywym, ponieważ fałszywe zdanie może wynikać tylko z fałszywegozdania. Opierając się na zasadzie dwuwartościowości stwierdzamy, że je-żeli negacja zdania dowodzonego jest zdaniem fałszywym, to ono samo jestzdaniem prawdziwym. W wypadku dowodu wprost w samym dowodzie niebierzemy pod uwagę negacji zdania dowodzonego, a dowód może przebiegaćbez wykorzystania sposobów rozumowania, które oparte byłyby na zasadziedwuwartościowości.

Dowieść można tylko zdania; tego, że wynika ono ze wskazanych prze-słanek. Żaden dowód — w tu podanym znaczeniu terminu „dowód” — niejest dowodem na to, że dane zdanie nie wynika ze wskazanych przesłanek.Możemy dowodzić negacji jakiegoś zdania α, czyli dowodzić zdania nie-α.Dowód dla nie-α nie jest jednak dowodem na to, że α nie ma dowodu. Zda-rzyć się bowiem może tak, że dowód ma nie tylko zdanie α lecz równieżzdanie nie-α. Będzie to wskazywać na wadliwość przesłanek lub wadliwośćwnioskowania. System wiedzy, w którym dowód ma zarówno α jak i nie-αjako sprzeczny jest bezwartościowy.

Fakt, iż nie mamy dowodu jakiegoś zdania, nie stanowi podstawy dotwierdzenia, że zdanie to nie jest dowodliwe, czyli że w przyszłości nie znaj-dzie się dowodu tego zdania. W wypadku korzystania z metody niewprostw dowodzie na to, że zdanie α należy do jakiegoś systemu, pokazujemy, żenegacja dowodzonego zdania, czyli nie-α, ma konsekwencje sprzeczne z jużuznanymi zdaniami. Nie znaczy to jednak, że dowiedliśmy, że ta negacja,nie-α, nie należy do tego systemu. Dowiedliśmy tylko, że dowodzone zdanieα należy do systemu.

Zdanie może wynikać z różnych zbiorów przesłanek. To, czy jakieś wska-zane przesłanki, z których wynika zdanie dowodzone, mogą być uznane zawłaściwe dla dowodu tego zdania zależy: w wypadku wiedzy w sensie obiek-


tywnym — od tego, czy przesłanki te są udowodnione; a w wypadku wiedzyw sensie subiektywnym — od tego, czy są one uznane przez osobę, dla którejdowód jest przeprowadzany.

Fakt, że to samo zdanie może być wnioskiem z różnych zbiorów zdańdaje podstawę dla postulatu, aby znajdować dowód najprostszy. Postulatprostoty dowodu wiąże się z postulatem ekonomii dla wnioskowania. Jeżeliza cechę ekonomicznego wnioskowania uznamy nie tylko jego krótkość, leczrównież łatwość jego zrozumienia, to tak rozumiany postulat ekonomii byłyrównoważny postulatowi prostoty. Łatwość dowodu nie jest mierzalna, jakto jest w wypadku krótkości. To, co może być łatwe do zrozumienia przezkogoś nie musi być takie dla kogoś innego. Oczywistość wynikania wnioskuz przesłanek jest ważnym składnikiem prostoty dowodu. Czasem uzyska-nie takiego efektu wymaga wydłużenia dowodu. Ocena łatwości dowodujest sprawą kulturową, praktyczną i związaną z doświadczeniem. Nie jestto przedmiot wiedzy (w sensie zbioru postulatów), lecz intuicji, której źró-dłem jest kultura dowodzenia. Matematyk o dużym doświadczeniu wyróżnia«eleganckie» dowody twierdzeń.

Dowodzenie jest procedurą poszukiwania racji. Jako procedura nie jestczymś gotowym, lecz dynamicznym, złożonym z faz. Może ono przebiegaćw dwojaki sposób. W początkowej fazie przytacza się racje dla dowodzo-nego zdania, które same wymagają dowodu. Dla tych racji szuka się do-wodu. Dowód jest zakończony, gdy ostatecznie dojdzie się do racji, które— w wypadku wiedzy obiektywnej — są twierdzeniami, lub — w wypadkuwiedzy subiektywnej — są zdaniami uznanymi przez osobę, dla której do-wód był przeprowadzany. Takie dowodzenie to dowodzenie regresywne,czyli analityczne. Inaczej jest w wypadku dowodzenia progresywnego,czyli syntetycznego. Najpierw wskazuje się następstwa pewnych twierdzeńlub przekonań. W kolejnym kroku wskazuje się następstwa tych następstw.Procedura kończy się, gdy jako następstwo pojawia się zdanie dowodzone.Dla samego dowodu nie ma znaczenia droga, którą doszliśmy do wskazaniaprzesłanek będących twierdzeniami albo przekonaniami, z których wynikazdanie dowodzone.

Dotychczas mówiliśmy o dowodzie jako uzasadnianiu pośrednim. Słowa„dowód” używa się też na oznaczenie pewnego rodzaju uzasadniania pośred-niego. Dowodem jest wskazywanie racji empirycznych dla uznania jakiegośzdania.

Definicja 2.28. Dowód rzeczowy to fakty empiryczne, które są racjamidowodzonej tezy.

Dowodem rzeczowym są rzeczy, które wskazują np. poprzez związek


przyczynowo-skutkowy na prawdziwość dowodzonej tezy. Na przykład odci-ski palców na pistolecie stanowią dowód rzeczowy na to, że osoba, której od-ciski znaleziono, trzymała ten pistolet w ręku. Prawnicy terminów „dowód”i „dowodzenie” zwykli używać też w innych znaczeniach, np. „dowodzenie”może oznaczać uzasadnianie.

Zadania

Zadanie 2.5. Jesteś w kraju, w którym policjanci zawsze mówią prawdę,a złodzieje zawsze mówią nieprawdę. Spotykasz dwoje ludzi, Pawła i Gawła.Czy na podstawie tego, co tobie powiedzieli — zakładając, że każdy z nichjest policjantem lub złodziejem — potrafisz wywnioskować kim oni są5?

1. Paweł : Jestem policjantem lub nie.

2. Paweł : Jeśli Gaweł jest złodziejem, to ja też.

3. Gaweł : Jeśli ja jestem policjantem, to Paweł jest złodziejem.

4. Paweł : Nikt z nas nie jest policjantem.

5. Gaweł : Obaj nie jesteśmy policjantami.

6. Paweł : Gaweł jest policjantem, a ja jestem złodziejem.

7. Paweł : Jeśli ktoś z nas jest policjantem, to jest to Gaweł.

8. Gaweł : Jeśli ktoś z nas jest policjantem, to ja nim jestem.

9. Gaweł : Paweł jest złodziejem.

Paweł : Obaj jesteśmy złodziejami.

10. Gaweł : Paweł jest policjantem.

Paweł : Przynajmniej jeden z nas jest złodziejem.

11. Gaweł : Paweł jest policjantem wtedy i tylko kiedy jest nim jego brat.

Paweł : Niestety, mój brat jest złodziejem.

12. Gaweł : Paweł i jego brat są obaj policjantami.

Paweł : Ja jestem policjantem, a mój brat nie.5Oparte na: Raymond Smullyan, What is the Name of this Book?, Englewood Cliffs,

N.J.: Prentice-Hall, 1978.


Zadanie 2.6. Jesteś w kraju, w którym policjanci zawsze mówią prawdę,a złodzieje mówią nieprawdę. Spotykasz troje ludzi, Pawła, Gawła i Kubę.Czy na podstawie tego, co tobie powiedzieli — zakładając, że każdy z nichjest policjantem lub złodziejem — potrafisz wywnioskować kim oni są6:

1. Paweł : Kuba jest złodziejem.

Gaweł : Bądź Paweł, bądź Kuba jest policjantem.

Kuba: Jeśli ja jestem złodziejem, to oni są też.

2. Paweł : Gaweł jest policjantem.

Gaweł : Wszyscy jesteśmy złodziejami.

Kuba: Paweł, Gaweł i ich kuzyni są wszyscy złodziejami.

3. Paweł : Wszyscy nie jesteśmy złodziejami.

Gaweł : Paweł jest.

Kuba: Jeśli jest Paweł, to Gaweł też.

Zadanie 2.7. Wskaż przesłanki entymematyczne.

1. Teraz mamy październik. Zatem następny miesiąc to listopad.

2. Jan nie pożyczył mi pieniędzy. Nie jest więc, jak myślałem, moimdobrym kolegą.

3. Zmiana skali podatkowej i wprowadzenie 19% podatku dla osób o naj-niższych dochodach, poprawi sytuację materialną najuboższych.

4. Należy przeciwdziałać komercjalizacji mediów. Zwiększa się bowiemudział programów naruszających zasady dobrych obyczajów i moral-ności.

5. Czy jest pan poważnym kandydatem?

Nie jestem w ogóle pokazywany w telewizji. Mimo to moje notowaniaustawicznie wzrastają. Jestem więc poważnym kandydatem chociażwciąż opowiada się za mną niewielu wyborców. (Na podstawie roz-mowy z kandydatem na prezydenta RP, w programie TV „Rozmowyw dwójce”, 13 października 1995 r.)

6Oparte na: Raymond Smullyan, What is the Name of this Book?, Englewood Cliffs,N.J.: Prentice-Hall, 1978.


6. Nie wiesz, kim był Bertrand Russell, a zatem nie interesujesz się filo-zofią XX wieku.

7. Skoro nie czytałeś Nocy i dni, a znasz treść tej powieści, więc oglądałeśjej adaptację filmową.

8. Ponieważ ceny wzrosły, więc jeśli podaż się nie zmieniła, to wzrósłpopyt.

Zadanie 2.8. Czy poniższe wnioskowanie-rozmowa jest wnioskowaniem de-dukcyjnym?

— Zdecydowałem się na wyjazd do Ameryki.— Chcesz się dorobić?— Będę musiał się pogodzić na rozstanie przez kilka lat z rodziną i zre-

zygnować na ten czas z planów zawodowych.— Nie masz wyjścia, jeśli nie chcesz biedy klepać.— Niestety.

Zadanie 2.9. Czy prawdą jest, że7 „[. . . ] skonstruować można argument,który wykazuje, że z jakiejkolwiek pary sprzecznych stwierdzeń nic w ogólenie można wydedukować”, jeśli „poprawny argument może mieć fałszyweprzesłanki, a niepoprawny argument może mieć prawdziwe przesłanki” i gdy„ jedyną kombinacją, która nie może się zdarzyć jest: prawdziwe przesłanki,poprawny argument, ale fałszywy wniosek?

Zadanie 2.10. Które z poniższych wnioskowań są dedukcyjne (jeśli nie są townioskowania entymematyczne):

1. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Zatem4 jest parzyste.

2. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Zatem4 nie jest nieparzyste.

3. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Ani 2,ani 4 nie są zarazem parzyste i nieparzyste. Zatem 4 jest parzyste.

4. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Ani 2,ani 4 nie są zarazem parzyste i nieparzyste. Zatem 4 nie jest nieparzy-ste.

7Zob. Encyklopedia Guinnessa, Guinness Publishing Ltd., wyd. polskie 1991, s. 494.


5. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Ani2, ani 4 nie jest zarazem parzyste i nieparzyste. 4 jest parzyste lubnieparzyste. Zatem 4 jest parzyste.

6. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. 2 i 4 sąparzyste lub nieparzyste. Zatem 4 jest parzyste.

Zadanie 2.11. Czy w poniższym rozumowaniu wniosek wynika z przesłanek?Do lekarza przychodzi pacjent, który twierdzi, że jest chory na grypę.

Lekarz mówi: „Gdyby pan był rzeczywiście chory na grypę, to miałby pankatar, podwyższoną temperaturę, ból głowy. Tych objawów nie stwierdzam,a zatem nie jest pan chory na grypę.”

Zadanie 2.12. Czy ze zdania:„Nieprawda, że życie nie ma sensu, jeśli Bóg nie istnieje”wynika zdanie:„Bóg nie istnieje”?

Zadanie 2.13. Bajtek i Kajtek są bliźniakami. Jeden z nich mówi nieprawdęw poniedziałki, wtorki i środy, a w pozostałe dni tygodnia mówi prawdę.Drugi zaś nieprawdę mówi w czwartki, piątki i soboty, a w pozostałe dnitygodnia mówi prawdę. Pewnego dnia spotyka ich Jasio. Jeden z bliźniakówprzedstawia się jako Bajtek, a drugi jako Kajtek.

Który z bliźniaków ma na imię Bajtek, a który Kajtek?

Zadanie 2.14. Z którego z układów przesłanek można wyprowadzić dowolnywniosek?

1. Żadne zdanie nie wynika ze zdania, które mu przeczy. Każde zda-nie przeczy jakiemuś zdaniu. Istnieją zdania, z których wynika każdezdanie.

2. Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania. Istnieją zdania, którez pewnych zdań nie wynikają. Dla każdego zdania można podać takie,które zeń nie wynika. Dla każdego zdania można podać takie, z któregoono nie wynika.

3. Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania i z których każdezdanie wynika. Jeśli jakieś zdanie wynika z każdego zdania, to jestono prawdą logiczną. Jeśli zdanie jest prawdą logiczną, to jest praw-dziwe. Jeśli z jakiegoś zdania wynika każde zdanie, to to pierwszejest podstawieniem kontrtautologii. Żadne zdanie prawdziwe nie jestpodstawieniem kontrtautologii.


Zadanie 2.15. Oskarżeni są: S, W i M. Oto ich zeznania:S: W jest winny, natomiast M jest niewinny.W: Jeśli S jest winny, to również M jest winny.M: Ja jestem niewinny, ale co najmniej jeden z nich jest winny.Odpowiedz na następujące pytania:

1. czy zeznania są zgodne,

2. jeśli wszyscy są niewinni, to kto mówił nieprawdę,

3. jeśli wszyscy mówią prawdę, to kto jest winny,

4. jeśli niewinny mówi prawdę, a winny mówi nieprawdę, to kto jestwinny?

Zadanie 2.16. W sprawie o zabójstwo jest dwóch podejrzanych — Stachui Jachu. Zeznaje czterech świadków. Pierwszy powiedział:

— Wiem tylko to, że Stachu nie jest winien.Drugi świadek zeznał:— Wiem tylko, że Jachu nie jest winien.Trzeci świadek:— Wiem, że z dwóch poprzednich zeznań przynajmniej jedno jest praw-

dziwe.Czwarty:— Wiem, że zeznania trzeciego świadka są fałszywe.Okazało się, że czwarty świadek mówił prawdę. Kto dokonał przestęp-

stwa?

2.3.3 Wnioskowanie uprawdopodobniające

Wnioskowanie dedukcyjne jest charakterystyczne dla nauk matematycznych:jest to jedyny uprawniony w tych naukach sposób wnioskowania. Wniosko-wanie dedukcyjne wyróżnia to, że wniosek «zawiera» się w przesłankach,prawdziwość wniosku jest bowiem zagwarantowana przez prawdziwość prze-słanek. Można powiedzieć, że wniosek ujawnia tylko to, co zawarte jest jużw przesłankach. W naukach przyrodniczych i społecznych «wychodzi się»poza to, co dane jest w przesłankach. Takie wnioskowania nie będą jed-nak dawały podstaw dla całkowitej pewności co do prawdziwości wniosku,mimo prawdziwości przesłanek. Wnioskowania takie będą miały zaś walorpoznawczy, gdy będą dawały większe podstawy dla uznania wniosku niż dlajego zaprzeczenia.


W 1996 r. przypadła dziesiąta rocznica tragicznego wybuchu elektrowniatomowej w Czernobylu. Przy okazji bilansowano skutki tego wybuchu.Na podstawie wiedzy przyrodniczej i faktu, że od tamtego okresu w Polscetrzykrotnie wzrosła zachorowalność na raka tarczycy, a na Białostocczyźniedotkniętej w większym stopniu opadem radioaktywnym zachorowalność tawzrosła dziesięciokrotnie wnioskowano, że wybuch w Czernobylu jest przy-czyną wzrostu zachorowalności na raka tarczycy. Przesłanki tego wniosko-wania nie gwarantują prawdziwości wniosku. Nie można bowiem wykluczyćinnych powodów, dla których odnotowano wzrost zachorowań, chociażby ta-kich jak lepsza diagnostyka, będąca wtórnym efektem informacji o zagrożeniurakiem tarczycy przez opady radioaktywne pochodzące z wybuchu. Wnio-skowanie to jest jednak poprawne jako uprawdopodobniające.

Na praktyczny walor wnioskowań uprawdopodobniających zwraca uwagęw Zasadach filozofii Descartes:

Co się zaś tyczy praktyki życiowej, niejednokrotnie musimy imaćsię tego, co tylko prawdopodobne, albo też, gdy z dwóch rzeczyżadna nie wydaje się bardziej prawdopodobna, mimo to tymcza-sowo jedną z nich wybierać. Bo najczęściej przepadłaby sposob-ność do działania, zanim zdołalibyśmy pozbyć się naszych wąt-pliwości8.

Definicja 2.29. Wnioskowanie uprawdopodobniające to wnioskowa-nie, w którym:

1. prawdziwość przesłanek nie gwarantuje prawdziwości wniosku, czyli niejest wykluczona fałszywość wniosku mimo prawdziwości przesłanek;

2. prawdziwość przesłanek czyni bardziej prawdopodobną prawdziwośćwniosku niż jego fałszywość;

3. stopień pewności, z jakim uznaje się wniosek, nie jest większy niż praw-dopodobieństwo prawdziwości wniosku (określone dla danych przesła-nek).

W każdym wnioskowaniu wniosek, jak każde zdanie, jest albo prawdziwy,albo fałszywy. W wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego na pod-stawie danych przesłanek nie można pokazać, że wniosek jest prawdziwy(ani, że jest fałszywy). Mówi o tym pkt 1. definicji. Punkt ten mówi, żewnioskowanie uprawdopodobniające nie jest wnioskowaniem dedukcyjnym.

8Descartes, Zasady filozofii, przekł. I. Dąmbska, Warszawa 1960.


Wnioskowanie uprawdopodobniające różni się od wnioskowania deduk-cyjnego tym, że w wypadku wnioskowania dedukcyjnego prawdziwość wnio-sku jest zagwarantowana przez prawdziwość przesłanek, a w wypadku wnio-skowania uprawdopodobniającego tak nie jest. Powstaje pytanie o wielkośćprawdopodobieństwa. Pkt. 2 mówi tylko tyle, że prawdopodobieństwo praw-dziwości wniosku winno być większe niż jego fałszywości. W wypadku wnio-skowań uprawdopodobniających musimy więc dążyć do zwiększenia praw-dopodobieństwa wniosku. Dołączanie nowych przesłanek do wnioskowaniadedukcyjnego nie ma wpływu na wynikanie wniosku z przesłanek, a możemieć jedynie walor pragmatyczny: dla kogoś może być łatwiej zrozumiałelub przekonywające ze względu na uznawanie przez tego kogoś tych, a nieinnych przesłanek. W wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego do-datkowe przesłanki mogą zmieniać prawdopodobieństwo prawdziwości wnio-sku. Dodatkowe przesłanki mogą zwiększać prawdopodobieństwa ale i mogąbyć takie przesłanki, które zmniejszają prawdopodobieństwo. W szczególno-ści może zdarzyć się tak, że dodatkowe przesłanki prowadzą do odrzuceniawniosku.

W wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego prawa do całkowitejpewności nie mamy. Mówi o tym pkt 3. Jednak posiadana przez nas wiedza,przesłanki naszego rozumowania, dają nam prawo do większej pewności codo prawdziwości wniosku niż pewności co do prawdziwości jego zaprzeczenia,a przecież bądź wniosek, bądź jego negacja jest zdaniem prawdziwym. Sto-pień pewności, z jakim na podstawie prawdziwych przesłanek mamy prawouznać wniosek, może być określany przez prawdopodobieństwo prawdziwo-ści wniosku w warunkach prawdziwości przesłanek. Nie wolno jednak mylićstopnia pewności z tym prawdopodobieństwem. Powtórzmy: zdania są bądźprawdziwe, bądź fałszywe. Wniosek jest więc bądź prawdziwy, bądź fałszywy,a nie prawdopodobny. Uznajemy zdanie za prawdziwe, z tym że przesłankinie dają nam prawa uznać tego zdania z całą pewnością, lecz z jakimś stop-niem pewności (większym niż stopień pewności, z jakim moglibyśmy uznaćnegację tego zdania i nie większym niż prawdopodobieństwo jego prawdzi-wości).

Mamy prawo uznać (z całą pewnością) zdanie „ jest prawdopodobne, żeJan (który pali papierosy) zachoruje na raka płuc” (zresztą takie zdanie by-łoby również prawdziwe w wypadku, gdyby Jan nie palił). Nie mamy jednakprawa uznać zdania „Jan (który pali papierosy) zachoruje na raka płuc”.Prawdopodobieństwo tego, że Jan zachoruje, jest mniejsze niż tego, że niezachoruje. Stopień pewności, z jakim mielibyśmy prawo uznać zdanie „Janzachoruje na raka płuc”, jest bowiem mniejszy niż stopień pewności, z jakimmielibyśmy prawo uznać zdanie „Jan nie zachoruje na raka płuc”. Badania


naukowe dowodzą prawdziwości zdania „prawdopodobieństwo zachorowaniana raka płuc przez osobę palącą tytoń jest większe niż w wypadku osobyniepalącej”.

Jesteśmy zainteresowani określeniem, z jakim stopniem pewności mo-żemy uznać jakieś zdanie α przy założeniu prawdziwości zdań α1, α2, . . . ,αn, czyli jesteśmy zainteresowani prawdopodobieństwem logicznym zdania αze względu na zdania α1, α2, . . . , αn. Określenia prawdopodobieństwa logicz-nego najprościej można dokonać przyjmując, że jest ono równe prawdopodo-bieństwu zaistnienia sytuacji opisywanej zdaniem α w takich okolicznościach,w których prawdziwe są wszystkie zdania α1, α2, . . . , αn. Do oceny tegoprawdopodobieństwa możemy wykorzystać narzędzia matematyczne: teorięprawdopodobieństwa i statystykę. Utożsamiamy wówczas prawdopodobień-stwo logiczne z prawdopodobieństwem matematycznym. W podstawowymwypadku P(A/B), prawdopodobieństwo częstościowe zbioru A ze względuna niepusty zbiór B, oblicza się według wzoru:

P(A/B) =N (B ∩ A)N (B)

,

gdzie NX jest liczbą elementów zbioru X .

Zwykle przy określaniu prawdopodobieństwa kierujemy się jednak in-tuicją i doświadczeniem życiowym. Postępujemy tak również w sprawachważnych. Biegły powołany przez sąd np. w sprawie o sfałszowanie pod-pisu mówi o prawdopodobieństwie tego, że badany przez niego podpis jestfałszywy. Jest to prawdopodobieństwo psychologiczne tego zdarzenia.

Doświadczenie życiowe i poziom wykształcenia różnie kształtują intu-icję. Różne oszacowania prawdopodobieństwa psychologicznego mogą staćsię powodem sporu. Wielki polski matematyk Hugo Steinhaus radzi w grachliczbowych takich jak totolotek zakreślać psychologicznie najmniej prawdo-podobne układy liczb, wówczas bowiem wzrasta szansa na wysoką wygranąbez zmiany szansy na wygraną w ogóle. Możliwość, że wygra układ:

[1, 2, 3, 4, 5, 6]

jest taka sama jak ta, że wygra układ, na przykład:

[4, 16, 21, 31, 36, 47].

Psychologiczne prawdopodobieństwo pierwszego jest bardzo małe w porów-naniu z psychologicznym prawdopodobieństwem drugiego (wystarczy zapy-tać gracza, który układ zakreśliłby). Zakreślając pierwszy albo drugi układmamy takie same szanse na trafienie. Jednak w wypadku, gdy wygrywa


układ pierwszy — ponieważ wysokość wygranej zależy od tego, ilu graczytrafnie zakreśliło — wygramy najwięcej.

Ocena prawdopodobieństwa metodami matematycznymi też może byćróżna. Wynik jest przecież zależny od danych wyjściowych i uwzględnianialub nieuwzględniania pewnych okoliczności. Efekty tych możliwości widzimyw czasem diametralnie różnych wynikach, np. badania opinii społecznejlub różniących się danych statystycznych. Płynie z tego wskazówka, że nimoprzemy się w swoim postępowaniu i działaniu na tych danych, dobrze przy-patrzmy się założeniom i metodzie badań. Firmy wyspecjalizowane w ta-kich badaniach chronią jednak swoje metody. Przykładem złożoności badańmoże badanie marketingowe. Działające w Polsce doświadczone zachodniefirmy badań rynkowych opiniowały dla handlowych firm zachodnich brakpopytu na jakiś towar, który jednak — jak się później okazało — dobrze sięsprzedawał (sytuacje takie miały miejsce w wypadku towarów luksusowych).Metoda, która przyniosła sukces firmom w wypadku badań rynkowych w kra-jach zamożnych, jak się okazuje, zawiodła w Polsce.

Wnioskowanie uprawdopodobniające pełni istotną rolę w naukach przy-rodniczych. Metody statystyczne stosowane są w fizyce, biologii, chemii.W naukach stosowanych, gdzie istotne jest przewidywanie trudno byłobyz tych metod zrezygnować.

Wnioskowanie uprawdopodobniające stosowane jest w wielu zwykłychsprawach praktycznych. Kiedy jadę samochodem staram się wybrać opty-malną drogę: możliwie krótką i najmniej zatłoczoną. Moje przewidywaniejest tylko prawdopodobne. Kiedy podejmuję decyzję o zachowaniu się nagiełdzie intuicyjnie oceniam najkorzystniejsze sprzedaże i zakupy akcji.

Wnioskowanie uprawdopodobniające jest stosowane przez prawników. Do-wód poszlakowy to materiał uprawdopodobniający uzasadnianą tezę. Prze-słanki dla uznania kogoś za winnego jakiegoś czynu nie dają w sensie logicz-nym podstaw do całkowitej pewności. Prawnik z wnioskowaniem uprawdo-podobniającym spotyka się również w związku z pojęciami niebezpieczeństwaw prawie karnym i ryzyka w prawie cywilnym.

Wnioskowanie uprawdopodobniające jest też źródłem różnych przesądów.Ludzie podchodzą selektywnie do faktów: dostrzegają to, co im odpowiada,a pomijają to, co nie jest dla nich wygodne; pamiętają to, co potwierdzaich oczekiwania, a zapominają o tym, co tym oczekiwaniom zaprzecza. Ktośupiera się, że liczba 13 jest dla niego nieszczęśliwa, podając wszystkie wy-padki, kiedy w pewnym związku z 13 miało miejsce jakieś nieprzyjemnezdarzenie, zaś nie pamięta i pomija wypadki, gdy tak nie było. „Kominiarzszczęście przynosi” — rzeczywiście, okolice, w których byli kominiarze byłybogatsze od tych, w których kominiarzy nie było (z powodu mniejszej liczby


pożarów).Wśród wnioskowań uprawdopodobniających wyróżniamy wnioskowania

redukcyjne.

Zadania

Zadanie 2.17. Wskaż sposoby zwiększenia prawdopodobieństwa wniosku opi-sane w poniższym tekście.

Długoterminowe prognozy pogody nigdy nie będą dokładne. Możemyjednak spokojnie ufać prognozom pogody na najbliższe trzy dni.

Krótkoterminowe prognozy pogody, obejmujące około trzech dni, są wia-rygodne. Gorzej jest z prognozami tygodniowymi, natomiast prognozy dłu-goterminowe są niewiele więcej warte niż przepowiednie starych górali.

Możemy liczyć na to, że w przyszłości będzie można w miarę dokład-nie przewidzieć pogodę z najwyżej dwutygodniowym wyprzedzeniem. Nadłuższy okres nie będzie to możliwe.

Próby prognozowania, jak będzie wyglądała np. najbliższa zima, opierająsię jedynie na tym, co mówi nam nasze doświadczenie, statystyki, co wynikaz danych.

Precyzyjne prognozy długoterminowe są niemożliwe w związku z naturąsamej atmosfery. Jest ona bardzo niestabilna. Wystarczy jeden czynnik, bynagle zaczęła działać w zupełnie innym trybie. Nawet bardzo mały bodziecmoże wywołać olbrzymie zmiany.

Można za to oczekiwać coraz lepszych prognoz kilkudniowych. Bardzoszybki rozwój komputerów i modeli obliczeniowych pomagają coraz trafniejprognozować pogodę. Coraz lepiej rozumiemy też różne zjawiska fizyczne,determinujące pogodę, np. te, które zachodzą w chmurach.

Aby prognozować pogodę, nie wystarczy jednak znajomość jej stanuw danej chwili i prowadzenie pomiarów. Trzeba umieć rozwiązywać rów-nania, dotyczące praw fizyki atmosfery. Rozwiązywanie tych równań w co-dziennej praktyce umożliwił dopiero rozwój komputerów.

2.3.4 Wnioskowanie redukcyjne

Definicja 2.30. Wnioskowanie redukcyjne jest wnioskowaniem upraw-dopodobniającym, w którym przesłanki wynikają lub wynikają entymema-tycznie z wniosku.

W wnioskowaniu redukcyjnym zwykle przesłanki wynikają nie z samegowniosku lecz z wniosku dodatkowych przesłanek uznanych za oczywiste, czyliwynikają z wniosku entymematycznie.


W wypadku wnioskowania dedukcyjnego z przesłanek wynika wniosek.W wypadku wnioskowania redukcyjnego przesłanki wynikają z wniosku. Wewnioskowaniu dedukcyjnym stosunek uzasadniania (wniosku przez przesłan-ki) jest zgodny z kierunkiem wynikania. We wnioskowaniu redukcyjnymstosunek uzasadniania (wniosku przez przesłanki) jest odwrotny do stosunkuwynikania.

Widząc w czasie suchego i upalnego lata, że na drzewie schną liście wnio-skujemy, że temu drzewu brakuje wilgoci. Z tego, że „drzewu brakuje wilgoci”i z przesłanki (entymematycznej), że „ jeżeli drzewu brakuje wilgoci, to schnąjego liście” wynika, że „na drzewie schną liście”. Z tego jednak, że „na drzewieschną liście” nie wynika, że „drzewu brakuje wilgoci”. Może być zupełnie innatego przyczyna. Drzewo przecież może być podlewane, a schnięcie liści byćspowodowane jakąś chorobą. Wnioskowanie będzie poprawne, gdy wniosekzostanie uznany przez nas w stopniu, na jaki pozwalają przesłanki, a prze-słanki czynią bardziej prawdopodobnym wniosek niż jego zaprzeczenie. Niewolno jednak uznać wniosku z całą pewnością. Może przecież być tak, żewniosek jest zdaniem fałszywym.

Fakt, że przesłanki wynikają (entymematycznie) z wniosku, nie wystar-cza dla uznania wnioskowania za poprawne wnioskowanie redukcyjne. Gdybyktoś na podstawie tego, że „Jan jest łysy” wnioskował, że „wszyscy ludzie sąłysi”, to ten ktoś nie wnioskowałby poprawnie. Jest tak, mimo iż z tego,że „wszyscy ludzie są łysi”, i z tego, że „Jan jest człowiekiem” (przesłankaentymematyczna), wynika, że „Jan jest łysy”. Wnioskowanie redukcyjnejest wnioskowaniem uprawdopodobniającym. Jako takie jest poprawne, gdyprawdopodobieństwo prawdziwości wniosku jest większe niż jego negacji (napodstawie danych przesłanek), a stopień uznania wniosku nie przekraczaprawdopodobieństwa jego prawdziwości wyznaczonego przez przesłanki.

Jeżeli jedna z przesłanek we wnioskowaniu redukcyjnym jest fałszywa, towniosek jest też fałszywy. Jest tak, ponieważ przesłanki wynikają z wnio-sku, zaś fałszywe zdanie może wynikać tylko z fałszywego zdania. Jest więcinaczej niż w wypadku wnioskowania dedukcyjnego, gdzie fałszywość któ-rejś z przesłanek jedynie nie pozwala na uznanie wniosku za prawdziwy,ale i nie przesądza jego fałszywości. Z przesłanek, z których nie wszystkiesą prawdziwe, dedukcyjnie można bowiem wywnioskować zarówno zdanieprawdziwe, jak i można wywnioskować zdanie fałszywe.

Wnioskowania redukcyjne pełnią doniosłą rolę w procesie stawiania hi-potez. Kiedy w Wielkiej Brytanii stwierdzono masowe zachorowania bydłana tzw. «chorobę wściekłych krów», naukowcy chcieli znaleźć tego przy-czynę. Hipotezy stawia się też w celach wyłącznie praktycznych. Kiedyw kilka minut po starcie z lotniska J. F. Kennedy’ego samolot linii TWA


z pasażerami runął do Atlantyku, chciano znać powód, dla którego się takstało. W jednym i drugim wypadku — choroby «wściekłych krów» i tragediisamolotu — stawiano hipotezy, czyli przypuszczenia, co do przyczyn. Napodstawie zdań stwierdzających fakty wnioskowano o zdaniu stwierdzają-cym przyczynę. Przy tym chodziło o takie zdanie stwierdzające przyczynę,z którego wynikałyby wszystkie zdania stwierdzające fakty. Naukowiec chcestawiać trafne hipotezy. Policjant jest tym bardziej ceniony, im częściej udajemu się rozwiązać «kryminalną zagadkę», czyli postawić taką hipotezę, którejnie udaje się nikomu obalić.

2.3.5 Indukcja enumeracyjna

W tradycyjnej logice wnioskowania dzielono na dedukcyjne — miały to byćrozumowania, jak to określano, od ogółu do szczegółu — i na indukcyjne— te miały być wnioskowaniami od szczegółu do ogółu. Mimo zarzuceniatego podziału, utrzymały się pewne terminy. Stąd niektóre wnioskowaniadedukcyjne noszą nazwę indukcyjnych. Niektóre wnioskowania indukcyjnesą wnioskowaniami redukcyjnymi9.

Definicja 2.31. Indukcja enumeracyjna to wnioskowanie, w którym:

1. występują przesłanki

(a) stwierdzające przynależność n przedmiotów a1, a2, . . . , an do ro-dzajów, odpowiednio: R1,R2, . . . ,Rn, czyli stwierdzające praw-dziwość zdań:

R1(a1),R2(a2), . . . ,Rn(an);

oraz

(b) orzekające, że dla tych przedmiotów zachodzi określona prawidło-wość P, czyli prawdą jest, że P(a1, a2, . . . , an).

2. Wniosek jest zaś zdaniem stwierdzającym zachodzenie prawidłowościP dla wszystkich przedmiotów rodzajów R1,R2, . . . ,Rn, czyli:dla każdego x1, x2, . . . , xn :

jeżeli [R1(x1) i R2(x2) . . . i Rn(xn)], to P(x1, x2, . . . , xn)

Zdania „ten oto kawałek substancji to sól” i „znajdująca się w tym otonaczyniu ciecz to woda” określają rodzaje przedmiotów. Zdanie „ten oto

9W literaturze spotyka się użycie terminu „wnioskowanie indukcyjne” w znaczeniu,które tu zostało nadane wyrażeniu „wnioskowanie uprawdopodobniające”.


kawałek substancji rozpuszcza się w cieczy znajdującej się w tym oto naczy-niu” stwierdza pewną prawidłowość o rozważanych przedmiotach. Zdanie„sól rozpuszcza się w wodzie” orzeka tę prawidłowość o wszystkich przedmio-tach rozważanych rodzajów.

Definicja 2.32. Przesłanka w indukcji enumeracyjnej, która stwierdza przy-należność n przedmiotów do rodzajów R1, R2, . . . , Rn oraz stwierdza, że dlatych n przedmiotów zachodzi prawidłowość P to przesłanka indukcyjna.

Przesłankę indukcyjną można sformułować jako implikację. Będzie więcmiała postać:

jeżeli [R1(a1) i R2(a2) . . . i Rn(an)], to P(a1, a2, . . . , an).

Korzystając z symboli logicznych przesłankę indukcyjną w postaci implikacjimożna zapisać następująco:

[R1(a1) ∧R2(a2) · · · ∧ Rn(an)] ⇒ P(a1, a2, . . . , an). (2.1)

Implikacja jest prawdziwa w każdym wypadku, w którym fałszywy jest jejpoprzednik lub prawdziwy jest jej następnik. Ocena wartości przesłankiindukcyjnej w postaci implikacyjnej dla uzasadnienia wniosku zależeć więcbędzie nie tylko od jej prawdziwości, lecz również od prawdziwości poprzed-nika implikacji. Dla tej oceny liczą się tylko te prawdziwe implikacje, któremają prawdziwy poprzednik.

Wniosek we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną jest zdaniem po-staci:dla każdego x1, x2, . . . , xn :

{jeżeli [R1(x1) i R2(x2) . . . i Rn(xn)], to P(x1, x2, . . . , xn)}

co — korzystając z symboli logicznych — można zapisać:

∀x1, x2, . . . , xn{[R1(x1)∧R2(x2) · · · ∧Rn(xn)] ⇒ P(x1, x2, . . . , xn)}. (2.2)

Szczególnym wypadkiem indukcji enumeracyjnej jest indukcja enumera-cyjna niezupełna. W indukcji enumeracyjnej niezupełnej jedynymi przesłan-kami są przesłanki indukcyjne, czyli zdania postaci 2.1.

Definicja 2.33. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezu-pełną jest wnioskowaniem, w którym:

1. każda przesłanka stwierdza zachodzenie prawidłowości P dla n przed-miotów rodzajów R1, R2, . . . , Rn;


2. wniosek orzeka zaś, że prawidłowość P zachodzi dla wszystkich przed-miotów rodzajów R1, R2, . . . , Rn.

Prawdziwość przesłanek we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjnąniezupełną nie daje gwarancji prawdziwości wniosku, czyli tego, że prawi-dłowość P zachodzi dla wszystkich przedmiotów rodzajów R1, R2, . . . , Rn.Niewykluczone jest istnienie innych przedmiotów niż te, o których mowaw poszczególnych przesłankach. Nie jest więc też wykluczone, że dla które-goś z tych przedmiotów prawidłowość P nie będzie zachodzić.

Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest wnioskowa-niem redukcyjnym: wszystkie przesłanki tego wnioskowania wynikają z jegowniosku. Fałszywość jakiegoś zdania o postaci przesłanki indukcyjnej prze-sądza więc o fałszywości wniosku. Skoro bowiem przesłanki wynikają z wnio-sku, a z prawdziwego zdania nie może wynikać fałszywe, zatem jeśli jakaśprzesłanka jest fałszywa, to wniosek jest też fałszywy.

Ocena poprawności wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezu-pełną wymaga określenia prawdopodobieństwa prawdziwości wniosku przydanych przesłankach. Czy np. odpowiedź jednego studenta na pytanie o po-wód wyboru kierunku studiów wystarcza dla przyjęcia wniosku, że taki sampowód mieli wszyscy inni studenci tego kierunku? Czy też trzeba przepy-tać ponad 50% studentów, aby móc z wystarczającym stopniem pewnościwskazywać powód wyboru studiów?

Wnioskujemy przez indukcję enumeracyjną niezupełną, gdy na podstawietego, że w zarejestrowanych dotychczas (jest to pewna skończona liczba)zachorowaniach na malarię w każdym wypadku chory był ukąszony przezkomara, stwierdzamy:

w każdym wypadku (zarejestrowanym a także w każdym nie zare-jestrowanym, który miał miejsce w przeszłości i w każdym, którybędzie miał miejsce w przyszłości), gdy ktoś jest chory na mala-rię, to ten ktoś był ukąszony przez komara.

Czy to, że we wszystkich dotychczas zarejestrowanych wypadkach taki zwią-zek miał miejsce wystarcza dla jego uogólnienia?

Są to pytania, na które szuka się odpowiedzi w logice indukcji. Wskażmyniektóre aspekty tych odpowiedzi.

Prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku, a co zatem idzie stopieńpewności, z jakim mamy prawo uznać wniosek, we wnioskowaniu przez in-dukcję enumeracyjną niezupełną zależy od jego ogólności. Po przebadaniugrupy studentów szkoły Sz, kierunku studiów K i rocznika R oraz stwierdze-niu, że wszyscy przebadani mieli cechę c, mogę np. wnioskować:


1. Wszyscy studenci mają cechę c;

albo

2. Wszyscy studenci kierunku studiów K mają cechę c;

albo

3. Wszyscy studenci szkoły Sz na kierunku K mają cechę c.

W stosunku do 1–3 najmniej ogólny byłby wniosek, że

4. Wszyscy studenci szkoły Sz studiujący na kierunku K z rocznika Rmają cechę c.

Czynnikami wpływającymi na zwiększenie prawdopodobieństwa praw-dziwości wniosku we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną niezupełnąsą:

1. liczba przesłanek indukcyjnych stwierdzających prawidłowość P,2. zróżnicowanie rozważanych przedmiotów pod względem cech znaczą-

cych dla prawidłowości P, której zachodzenie stwierdzamy we wniosku.

Im więcej przesłanek, tym większy prawdopodobieństwo wniosku. Po-wody ekonomiczne (badania są kosztowne) i czasowe (badania są czaso-chłonne a ich wyniki ulegają dezaktualizacji, gdy zajdzie sytuacja, którąmiały przewidywać; w wypadku zbytniego rozciągnięcia badań w czasie na-leży się również liczyć z dezaktualizacją wcześniej uzyskanych wyników) na-kazują nam jednak ograniczyć liczbę przebadanych wypadków. Chodzi więci o to, aby — skoro musimy się ograniczyć — dobrać przedmioty tak, abyprzebadane wypadki prowadziły do możliwie największego prawdopodobień-stwa wniosku. Przedmioty dobieramy tak, aby uwzględnić wszystko to, cojest znaczące dla danej prawidłowości. Określenie tego, co znaczące, jestw głównej mierze sprawą intuicji, która jest doskonalona — np. w wypadkunauki — przez doświadczenie i tradycję szkoły badawczej.

Może się zdarzyć, że przedmioty, o których mowa w przesłankach in-dukcyjnych są wszystkimi przedmiotami rozważanych rodzajów. W takimwnioskowaniu oprócz przesłanek indukcyjnych występuje więc jeszcze prze-słanka stwierdzająca fakt, że przedmioty, o których mowa w przesłankachindukcyjnych są wszystkim przedmiotami, o których mówi wniosek.

Definicja 2.34. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną zupełnąjest wnioskowaniem, w które:


1. występują przesłanki indukcyjne, czyli zdania stwierdzające o poszcze-gólnych układach n przedmiotów ai

1, ai2, . . . , a

in, 1 ≤ i ≤ m, że są

rodzajów, odpowiednio: R1,R2, . . . ,Rn, a więc stwierdzające praw-dziwość zdań:

R1(ai1),R2(ai

2), . . . ,Rn(ain), 1 ≤ i ≤ m;

oraz orzekające, że dla tych przedmiotów zachodzi określona prawidło-wość P, czyli prawdą jest, że

P(ai1, a

i2, . . . , a

in), 1 ≤ i ≤ m;

2. występuje przesłanka stwierdzająca, że układy przedmiotów:ai

1, ai2, . . . , a

in, 1 ≤ i ≤ m,

o których mowa w poszczególnych przesłankach indukcyjnych, są wszyst-kimi możliwymi układami przedmiotów rodzajów R1, R2, . . . , Rn;

3. wniosek orzeka zaś, że prawidłowość P zachodzi dla wszystkich przed-miotów rodzajów R1, R2, . . . , Rn.

We wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną prawdziwość przesłanekgwarantuje prawdziwość wniosku. Jest to więc wnioskowanie dedukcyjne.

Rozważmy przykłady:

1. W dostawie bluzek w dniu 30 kwietnia o poszczególnych bluzkach — naprzykład wyjmowanych z jakiegoś zbiorczego opakowania — stwierdzasię, że mają rozmiar M . Następnie stwierdza się, że są to wszystkiebluzki — zbiorcze opakowanie jest puste. Na tej podstawie uznaje sięz całą pewnością zdanie: „wszystkie bluzki w dostawie z 30 kwietniamają rozmiar M ”.

2. Po przepytaniu wszystkich studentów z pewnej grupy G, stwierdzająco każdym poszczególnym studencie, że przygotował się do zajęć, mamprawo uznać z całkowitą pewnością zdanie: „wszyscy studenci z grupyG przygotowali się do zajęć”.

Ponieważ wniosek we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną zu-pełną jest zdaniem stwierdzającym prawidłowość P o wszystkich przedmio-tach rodzajów R1, R2, . . . , Rn, zatem przesłanki stwierdzające prawidło-wość P o poszczególnych przedmiotach rodzajów R1, R2, . . . , Rn wynikająz wniosku. Fałszywość którejkolwiek z tych przesłanek przesądza więc o fał-szywości wniosku — fałszywe zdanie nie może wynikać ze zdania prawdzi-wego. W tym omawiany sposób wnioskowania podobny jest do wnioskowa-nia redukcyjnego. Z wniosku nie wynika jednak przesłanka stwierdzająca, że


przedmioty, o których mowa w poszczególnych przesłankach indukcyjnych,są wszystkimi przedmiotami rodzajów R1, R2, . . . , Rn. Wnioskowanie przezindukcję enumeracyjną zupełną nie jest więc wnioskowaniem redukcyjnym.Fałszywość tej przesłanki nie przesądza zatem fałszywości (ani prawdziwo-ści) wniosku. Może się zdarzyć, że ta przesłanka jest fałszywa, a mimo towniosek jest prawdziwy. Np. w wypadku, gdy w wyliczeniu pominęliśmyjakiś przedmiot rodzaju Ri. Jednak, gdy dla tego przedmiotu, z odpowied-nimi innymi z pozostałych rodzajów, będzie zachodzić prawidłowość P, towniosek będzie prawdziwy.

Z wnioskowaniem przez indukcję enumeracyjną wiąże się uzasadnianieprzez przykłady10. Ten zabieg w istocie nie różni się formalnie od wniosko-wania przez indukcję enumeracyjną. Jest tu raczej różnica w punkcie wyjściarozumowania. Jeśli bowiem w indukcji enumeracyjnej kładziemy akcent nato, że mamy dane przesłanki, to w uzasadnianiu przez przykłady tym, codane w punkcie wyjścia, jest wniosek. We wnioskowaniu przez indukcję enu-meracyjną niezupełną, jeśli z wniosku wynika zdanie fałszywe, to wniosekjest fałszywy. Jeśli uzasadniając przez przykłady znajdziemy kontrprzykład,to również teza, którą chcieliśmy uzasadnić, będzie fałszywa.

2.3.6 Indukcja matematyczna

Szczególnym wnioskowaniem jest indukcja matematyczna. Jest to wnio-skowanie charakterystyczne dla nauk matematycznych. Indukcja matema-tyczna, jak wszystkie wnioskowania w matematyce jest wnioskowaniem de-dukcyjnym, czyli jest wnioskowaniem, w którym prawdziwość wniosku jestzagwarantowana przez prawdziwość przesłanek. Tradycyjna nazwa tego wnio-skowania ma oparcie w fakcie, że jedna z przesłanek (baza indukcji) oraz tezaindukcyjna mają postać przesłanki indukcyjnej, czyli o układzie n przedmio-tów rodzajów, odpowiednio,R1,R2, . . . ,Rn stwierdza się, że posiadają cechęP. Wniosek również ma postać wniosku indukcyjnego: o wszystkich przed-miotach rodzajów R1,R2, . . . ,Rn stwierdza się, że mają cechę P.

Ograniczmy się do najprostszego wypadku zastosowania wnioskowaniaprzez indukcję matematyczną, a więc gdy mamy na uwadze tylko jeden ro-dzaj przedmiotów (przedmioty te mogą być wewnętrznie złożone): wszystkieelementy jakiegoś zbioru Z. Warunkiem zastosowania wnioskowania przez

10Termin „przykład” ma też inne znaczenia niż to, jakie ma, gdy mówimy o uzasadnianiuprzez przykłady. O przykładzie mówimy w dydaktyce, gdy w sposób przystępny, na ile tomożliwe, chcemy obrazować jakąś tezę, teorię itp. Na przykład w niniejszej książce poda-jemy przykłady rozumowań. Zauważmy, że w wychowaniu przykład to tyle, co wzorzec,ktoś do naśladowania.


indukcję matematyczną jest to, aby elementy Z można było ustawić tak, jakliczby naturalne: w ciąg z elementem pierwszym i ściśle określonym miejscemkażdego elementu. Jak w wypadku liczb naturalnych będzie więc można mó-wić o pierwszym, drugim itd. elemencie zbioru Z, inaczej mówiąc elementyzbioru Z dają się ustawić w ciąg: a1, a2, . . . ,.

Definicja 2.35. Wnioskowanie przez indukcję matematyczną o wy-razach ciągu: a1, a2, . . . , że mają cechę P to wnioskowanie, w którym napodstawie przesłanki stwierdzającej, że:

1. prawidłowość P zachodzi dla a1, czyli prawdą jest, że P(a1),

oraz przesłanki stwierdzającej, że

2. jeżeli prawidłowość P zachodzi dla ak, to prawidłowość P zachodzi dlaak+1,

wnioskuje się, że

3. dla wszystkich wyrazów ciągu: a1, a2, . . . , zachodzi prawidłowość P.Przesłanka 1 to baza indukcji a przesłanka 2 to krok indukcyjny.

Obie przesłanki indukcji matematycznej wymagają dowodu. Przesłanka2, mając postać implikacji zwykle dowodzona jest — korzystając z twier-dzenia o dedukcji — w ten sposób, że zakłada się poprzednik tej implikacjii na tej podstawie dowodzi następnika. Założenie to określa sie jako zało-żenie indukcyjne. Zdanie: „prawidłowość P zachodzi dla ak” to założenieindukcyjne. Na jego podstawie dowodzi się zdania będącego następnikiemimplikacji 2: (prawidłowość P zachodzi dla ak+1).

Rozważmy przykład. Powiedzmy, że chcemy dowieść tezy:Dla dowolnej liczby naturalnej n:

1 + 2 + · · ·+ n = [n(n + 1)]/2.

Bazą wnioskowania indukcyjnego będzie zdanie stwierdzające zachodze-nie dowodzonej tezy dla n = 1. W tym wypadku będzie to zdanie:

[1(1 + 1)]/2 = 1

Po wykonaniu odpowiednich działań arytmetycznych stwierdzamy praw-dziwość tego zdania. Zatem prawdziwa jest przesłanka, o której mowa w pkt.1 definicji wnioskowania indukcyjnego. Teraz należy udowodnić przesłankę 2:

Jeżeli [1 + 2 + · · ·+ k] = [k(k + 1)]/2, to


[1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1)] = [(k + 1)(k + 1 + 1)]/2.

Zdanie to jest implikacją. Jego dowód przeprowadza się przyjmując jakozałożenie jej poprzednik, czyli zakłada się (założenie indukcyjne), że

[1 + 2 + · · ·+ k] = [k(k + 1)]/2.

Oczywiście:

[1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1)] = [(1 + 2 + · · ·+ k) + (k + 1)].

Korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy:

[1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1)] = [[k(k + 1)/2] + (k + 1)].

Na podstawie tego mamy:

[1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1)] = [(k + 1)(k + 2)/2].

A to kończy dowód dowód przesłanki 2.Udowodniliśmy obie przesłanki, o których mowa w definicji wnioskowa-

nia przez indukcję matematyczną. W takim razie możemy przyjąć wniosek,jaki zgodnie ze schematem wnioskowania przyporządkowany jest obu tymprzesłanką, a mianowicie zdanie:

Dla dowolnej liczby naturalnej n : 1 + 2 + · · ·+ n = [n(n + 1)]/2.

2.3.7 Wnioskowania statystyczne

Trudno dzisiaj wyobrazić sobie funkcjonowanie społeczeństwa bez korzysta-nia z uogólnienia statystycznego. Czynią z niego użytek instytucje ważne dlażycia społecznego i gospodarczego: towarzystwa ubezpieczeniowe, agencjemarketingowe, ośrodki badania opinii publicznej itp. Statystyka matema-tyczna jest działem matematyki wyższej. Nie podejmujemy tu problematykistatystyki i dlatego w opisie wnioskowań statystycznych możemy jedynie dą-żyć do urobienia siebie lepszego poglądu.

Towarzystwo ubezpieczeniowe korzystając z wnioskowania statystycznegoocenia wysokość składki ubezpieczenia samochodów od uszkodzeń i kra-dzieży: bada się częstość tego rodzaju zdarzeń, przeciętną wysokość szkodyw zależności od wartości samochodu itp. Badania te przeprowadza się napewnej niewielkiej (w stosunku do wszystkich) liczbie samochodów. Firmaprodukująca makarony zainteresowana jest określeniem popytu na określony


rodzaj makaronu: badania przeprowadza się na niewielkiej liczbie konsumen-tów. Ośrodek badania opinii publicznej chce przewidzieć wyniki wyborówprezydenckich11: ankietuje pewną liczbę uprawnionych do głosowania. Wy-niki tych badań zostają statystycznie (tzn. zgodnie z zasadami statystyki)uogólnione. To statystyczne uogólnienie obejmuje określenie wiarygodności(w) oraz wskazuje dopuszczalną wielkość błędu (b).

Najogólniej rzecz biorąc:

Definicja 2.36. Wnioskowanie statystyczne (indukcja statystyczna)to wnioskowanie, w którym przesłanka stwierdza, że dla p% z m wypadkówn przedmiotów a1, . . . , an należących do rodzajów, odpowiednio: R1, R2,. . . , Rn, czyli próby, zachodzi prawidłowość P [P(ai

1, . . . , ain), 1 ≤ i ≤

m] a wniosek — że ze stopniem wiarygodności w dla (p ± b)% wszystkichwypadków n przedmiotów a1, . . . , an należących do rodzajów, odpowiednio:R1, R2, . . . , Rn, czyli populacji, zachodzi prawidłowość P.

Badanie statystyczne jest pełne wówczas i tylko, gdy badanie obejmujecałą populację, czyli próba jest taka sama jak populacja. Badanie staty-styczne częściowe to badanie statystyczne, które nie obejmuje całej popu-lacji, czyli w którym próba jest mniejsza od populacji.

Decyzja na badanie częściowe, podobnie jak w wypadku wnioskowaniaprzez indukcję enumeracyjną niezupełną, uwarunkowana jest racjami prag-matycznymi: wielkość populacji może wykluczać jej zbadanie ze względówekonomicznych lub czasowych, niektóre elementy populacji mogą być trudnodostępne lub w ogóle niedostępne dla badań, badanie może wiązać się zezniszczeniem badanych obiektów itd.

Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną jest skrajnym wypadkiemwnioskowania statystycznego: wnioskowanie statystyczne jest wnioskowa-niem przez indukcję enumeracyjną niezupełną, gdy we wszystkich badanychwypadkach, czyli gdy p = 100%, dla n przedmiotów należących do rodzajówR1, R2, . . . , Rn zachodzi prawidłowość P. We wnioskowaniu przez indukcjęenumeracyjną niezupełną jeden wypadek n przedmiotów należących do ro-dzajów R1, R2, . . . , Rn, dla których nie zachodzi prawidłowość P, powoduje

11Systematyczne badania tego rodzaju zostały zapoczątkowane przez George’a HoracegoGallupa (1901–1984). W 1936 r. bardzo dokładnie przewidział wyniki wyborów prezy-denckich w Stanach Zjednoczonych Ameryki (wybrano wówczas Franklina D. Roosevelta).Pierwsza pomyłka w przewidywaniach miała miejsce w 1948 r. gdy prezydentem wybranoHarry S. Trumana, jak się okazało w związku niewzięciem pod uwagę dużej grupy niezde-cydowanych wyborców w badaniu przeprowadzonym na dwa tygodnie przed wyborami.Później Gallup przyjął, że niezdecydowani głosują przede wszystkim na osobę sprawującąurząd.


odrzucenie wniosku. We wnioskowaniu statystycznym takie przypadki mająjedynie wpływ na wielkość procentu p. Stosowanie aparatu statystyki mate-matycznej jest tym, co różni istotnie wnioskowania statystyczne od wniosko-wań przez indukcję enumeracyjną niezupełną. Zapoznamy się z niektórymipojęciami teorii wnioskowań statystycznych rezygnując z ich ścisłego opisu,jest on bowiem możliwy tylko z zastosowaniem aparatu statystyki matema-tycznej.

Wnioskując coś o wielkiej liczbie przypadków na podstawie informacjio małej ich liczbie zakładamy, że ta mała grupa zbadanych przypadków,zwykle określana jako próba, reprezentuje tę dużą grupę przypadków,którą nazywa się populacją. To reprezentowanie ma miejsce wówczas, gdystosowne cechy przypadków składających się na pobraną próbę są typowe dlareprezentowanej grupy. Dla uogólnienia statystycznego stopień uzasadnieniawniosku istotnie zależy od tego, jak trafnie została dobrana próba.

Podobnie jak w wypadku wnioskowania przez indukcję enumeracyjną nie-zupełną, stopień uzasadnienia wniosku wzrasta wraz ze wzrostem liczby zba-danych przypadków. Jak wielką próbę należy rozważyć, aby móc uznawaćwniosek? Zbyt mała nie daje podstaw do uznania, za duża zbyt wiele «kosz-tuje». Odpowiedź na postawione pytanie zależy od określenia dwóch czyn-ników: przedziału ufności (marginesu błędu, stopnia dokładności),jaki dopuszczamy i poziomu ufności (stopnia wiarygodności), któregooczekujemy.

Dla ułatwienia zrozumienia, czym są te czynniki, rozważmy przykładpomiaru odcinków. Powiedzmy, że mamy dziesięć odcinków, których długo-ści są wyrażone w w milimetrach: 98.9, 99.5, 99.55, 99.98, 99.999, 100.01,100.02, 100.45, 100.5, 101.4. Mierząc z dokładnością do 0.01 mm, mamy dwaodcinki długości 10 cm (99.999, 100.01), czyli 20% wszystkich odcinków. Je-śli mierzymy z dokładnością do 0.1 mm, długość 10 cm mają odcinki: 99.98,99.999, 100.01, 100.02, tj. 40% wszystkich odcinków. Jeśli zwiększymy do-puszczalny błąd pomiaru i mierzymy z dokładnością do 1 mm, długość 10 cmmają odcinki: 99.5, 99.55, 99.98, 99.999, 100.01, 100.02, 100.45, 100.5, czyli8 odcinków, co daje 80% ich ogólnej liczby. Jeśli wykonujemy pomiary, po-wiedzmy z dokładnością do 5 mm, wszystkie nasze odcinki mają długość 10cm. Stopień pewności, że wskazany odcinek ma długość 10 cm zależy odprzyjętego dopuszczalnego błędu pomiaru. Gdy będzie to 0.01 mm, to tenstopień pewności wynosi 20%, 0.1 mm — 40%, 1 mm — 80%, 5 mm —100%.

Powiedzmy, że chcemy określić, jaki procent z 50.000 studentów uniwer-sytetów podziela poglądy demokratyczne.


Po pierwsze, musimy zdecydować się na wielkość dopuszczalnego błędu.Niech ten błąd wynosi 5%. Wielkość błędu w publikowanych wynikach wska-zywana jest np. frazami „z dokładnością do 5%”, „plus minus 5%”. Niechz badań ankietowych wynika, że 40% studentów to demokraci. W tym wy-padku mamy prawo twierdzić, że od 35% do 45% studentów podziela poglądydemokratyczne. Przedział ufności tych badań mieści się między 35% a 45%.Badania są przeprowadzone ze stopniem dokładności 5% — margines błędu.

Po drugie, musimy określić oczekiwany poziom ufności lub stopień wiary-godności. Chcemy wiedzieć, z jakim stopniem pewności można przyjąć uogól-nienie. Gdy przyjmiemy 90-procentowy poziom wiarygodności, to dziesięciudemokratów poza jednym znajdzie się w przedziale ufności, czyli między 35%a 45%. Osiągnięcie tego przedziału ufności przy dopuszczalnym 5% błędziejest możliwe — jest to wynik obliczeń statystycznych — po określeniu poglą-dów 270 studentów. Okazuje się — są to wyniki obliczeń statystycznych —że w wypadku, gdy próba liczy 270 studentów można dokonać uogólnieniaz prawie takim samym poziomem ufności i takim samym marginesem błędurównież wtedy, gdy populacja liczy 6.000, 25.000, 50.000 lub 500.000. W wy-padku statystycznego uogólnienia procent populacji, który stanowi próba,jest zwykle bez znaczenia dla poziomu ufności. Ten zaskakujący fakt dajepraktyczną możliwość sprawnego przeprowadzania badań ankietowych.

Im mniejszy margines błędu zamierzamy tolerować i im większego stopniaufności oczekujemy, tym próba musi być większa. Poniższa tabela ilustrujete zależności dla wypadku, gdy populacja liczy 330.000, przy założeniach,że przynajmniej połowa populacji ma cechę, która nas interesuje i że jest topopulacja jednorodna ze względu na badaną charakterystykę.

Ufność: 99% 95% 90% 80%

du: 10% 154 96 68 41

Mar- 1% 16.650 9.600 6.725 4.100gi- 2% 4.163 2.400 1.681 1.025nes 3% 1.850 1.067 747 456

4% 1.041 600 420 256błę- 5% 666 384 269 164

Zwykle grupy, których cechy badamy, nie są jednorodne. Podobnie jakw wypadku wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną należydążyć do jak największego zróżnicowania branych pod uwagę członków grupy.Jest to jeden ze sposobów zwiększania poziomu ufności uogólnienia.


Powiedzmy, że prowadzimy badania cen w sklepach z artykułami spożyw-czymi. Poziom ufności będzie różny w wypadkach, gdy pod uwagę weźmiemytylko ceny:

1. chleba,

2. chleba, bułek, ziemniaków i marchwi;

3. chleba, bułek, ziemniaków, marchwi, jabłek i ryżu.

W wypadku 3 wyniki naszych badań będą miały największy stopień wia-rygodności.

Jak wybrać próbę, aby była możliwie reprezentatywna? Najbardziej po-wszechną praktyką jest przeprowadzenie badań na próbie losowej.

Definicja 2.37. Próba losowa to taka próba, w której każdy element po-pulacji ma jednakowe szanse bycia elementem tej próby.

Losowy charakter próby nie gwarantuje jeszcze jej reprezentatywności.Czyni ją jednak prawdopodobną. Próba taka wystarcza w wypadku, gdypopulacja jest jednorodna. Jednak w wypadku, gdy tak nie jest, lepiej prze-prowadzić badania na ustratyfikowanej próbie losowej. Populacja dzie-lona jest na podgrupy charakterystyczne dla badanej cechy. W ramach każ-dej podgrupy brana jest próba losowa. Wyborców ze względu na preferencjewyborcze w wyborach prezydenckich można podzielić np. na mieszkańcówmiast i mieszkańców wsi. Można podzielić ze względu na rodzaj wykształce-nia: zawodowe, średnie, wyższe. Preferencje zależą też od sytuacji społecznej— inaczej zachowują się w wyborach osoby uczące się a inaczej pracujące,jeszcze inaczej bezrobotne. Te podziały można krzyżować uzyskując więcejpodgrup. Z każdej podgrupy należy wziąć próbę losową tak, aby proporcjeliczbowe tych prób losowych były takie same, jak proporcje liczbowe podgrupw populacji.

Uzyskanie próby losowej nie jest sprawą prostą. Idealna metoda pole-gałaby na ponumerowaniu wszystkich elementów populacji i wybór próbyprzez losowy ciąg liczb. Po pierwsze, jest jednak sprawą trudną ponumero-wanie elementów niektórych populacji. Jak np. ponumerować wróble, nawetgdyby chodziło o wróble w jednym mieście? Tylko pozornie prościej wyglądato w wypadku ludzi. Powiedzmy, że w wyborach prezydenckich biorą udziałtylko ludzie, którzy mają PESEL. Jednak oprócz pełnej listy PESEL po-trzebne są jeszcze nazwiska i adresy wylosowanych osób, a to należy do sferyprywatności i jest zastrzeżone. Po drugie, gdyby nawet udało się dotrzećdo wszystkich wybranych osób, to może się zdarzyć, że dana osoba odmówi


udzielenia stosownych odpowiedzi. Powody nieudzielania odpowiedzi by-wają różne. Począwszy od braku czasu, a na obawie przed wypełnianiemjakichkolwiek druków skończywszy. Osoba ankietowana nawet w wypadkuzachowania pełnej anonimowości i dyskretności może też udzielić odpowie-dzi fałszywej. Na przykład w wyborach prezydenckich w 1995 r. część osób,które głosowały na A.K., w wypełnianych przez siebie anonimowych ankie-tach nie potwierdzała faktu, że głosowała na A.K. Wyniki uzyskane z ankietwskazywały na minimalną wygraną L.W. Wybory wygrał zaś A.K.

Zwykle wybór ankietowanych osób dokonywany jest w sposób mniej ide-alny niż poprzez ponumerowanie wszystkich członków populacji. Ankieterzykorzystają np. z książek telefonicznych. Przeprowadzana w ten sposób an-kieta na temat preferencji przy zakupach kurtek zimowych nie uwzględniatych, którzy nie posiadają telefonów i przez to dane tej ankiety mogą byćzafałszowane, jeśli chodzi np. o akceptowane ceny kurtek. Zagrożeniemdla ankiety w sprawie kosmetyków samochodowych przeprowadzonej wedługwylosowanych numerów rejestracyjnych jest fakt, że nie wszyscy posiadaczesamochodów mają jednakowe szanse, większe mają ci, którzy mają więcejniż jeden samochód. Losowanie według numerów praw jazdy uwzględniarównież osoby, które mają prawo jazdy, ale nie mając samochodu nie sąnabywcami kosmetyków samochodowych. Praktykowane sposoby ankieto-wania przechodniów na ulicy, tzw. sonda uliczna, budzą jeszcze mniej za-ufania. Grupa ankietowana nie jest próbą losową — nie każdy bowiem majednakowe szanse znajdowania się w danym czasie w danym miejscu

Próbę można określić przez samowybór. Jest to sposób budzący szeregzastrzeżeń. W telewizyjnym programie „100 pytań do . . . ” komputer reje-struje telefony na „tak” i na „nie”. Próba jest wynikiem samowyboru: dopróby należą tylko ci, którzy sami zdecydowali się na to. Decyzja w sprawiebycia respondentem lub nie zależy od zainteresowania ludzi danym proble-mem i ich możliwości czasowych, technicznych, finansowych (opłata za roz-mowę telefoniczną) itp. Wyniki ankiet rozprowadzanych przez czasopismaz trudem daje się uznać za rzetelnie przedstawiające opinie czytelników da-nego czasopisma, a co dopiero gdyby chcieć je uogólnić np. na wszystkichobywateli państwa. Decyzja o nadesłaniu odpowiedzi na ankietę jest decy-zją czytelnika pisma i powstała w ten sposób próba jest daleka od próbylosowej. Opinie wyrażane w listach do parlamentu to opinie ludzi, którzysami zdecydowali się napisać list. Próba powstaje więc na drodze samowy-boru. Uogólnienia danych zebranych na próbie będącej wynikiem samowy-boru mogą być interesujące, nie mogą być jednak uznane za reprezentatywnei oparte na nich statystyczne uogólnienie budzi wątpliwości.

Zwykle nie wszyscy, którzy znaleźli się w reprezentatywnej próbie losowej,


odpowiadają na pytania ankiety. Czy mimo to próba pozostaje reprezenta-tywna? Byłoby tak, gdyby grupa, która nie udzieliła odpowiedzi powstałapoprzez wybór losowy. Najczęściej jednak tak nie jest. W wypadku badańpopulacji obejmującej całe społeczeństwo należy się np. liczyć z brakiemodpowiedzi ze strony ludzi z najniższego i najwyższego szczebla drabiny spo-łecznej. Z tego powodu nawet najstaranniej dokonana próba losowa nie możedawać wyników, które można przyjmować bez zastrzeżeń.

Zadania

Zadanie 2.18. Wskaż w poniższych tekstach wnioskowania redukcyjne.

1. Przeciwnicy kary śmierci, abolicjoności, twierdzą, że karę śmierci na-leży znieść ponieważ jest ona okrutna i niezwyczajna, i dlatego jestkarą niedopuszczalną. Według nich nic co pozbawia człowieka życianie może być zwyczajną karą, i jest to okrucieństwo wobec każdego,kto oczekuje końca swych dni przed powieszeniem, spaleniem na krze-śle elektrycznym lub zagazowaniem. Zatem jakikolwiek byłby to sku-teczny środek zapobiegający przestępczości, egzekucja jest złem i musibyć odrzucona.

2. Odrzucamy argument tych, którzy twierdzą, że powinno się odstąpićod wymierzania kary śmierci 16- i 17-letnim przestępcom dlatego, iżnie jest to zgodne z uprawnionymi celami kary. Ich zdaniem bowiemkara ta nie odstrasza ponieważ młodzi mając mniej niż dorośli rozwi-nięte zdolności poznawcze, w mniejszym stopniu obawiają się śmierci.Ponadto nie jest spełniony również warunek retrybucji — młodzi sąmniej dojrzali i odpowiedzialni, a tym samym mniej moralnie odpo-wiedzialni.

3. Edukacja jest tak stara jak ludzkość. W każdym wieku i we wszystkichspołeczeństwach zawsze czyniono coś, aby przekazać następnym poko-leniom wiedzę i wartości, które stanowiły podstawę kultury. Zawszewystępowały trudności, ponieważ żadne społeczeństwo nie wypraco-wało systemu edukacji, który w pełni i całkowicie realizowałaby dualnepotrzeby — zachowania zdrowych wartości oraz wspierania innowacjii tworzenia nowych idei właściwie służących potrzebom wzrastająceji zmieniającej się kultury.

Zadanie 2.19. Czy przytoczona argumentacja jest poprawna?Wszystkiemu winne są ogórki. Praktycznie wszyscy chronicznie chorzy jedli


ogórki. 99,9% ludzi umierających na raka jadło ogórki. 99,7% ludzi, którzyzginęli w wypadkach, czy to drogowych, czy lotniczych, jadło ogórki. 93,1%przestępców pochodzi z rodzin, w których jedzono ogórki.

Zadanie 2.20. Podaj przykład wnioskowania uprawdopodobniającego, w któ-rym dołączenie nowej przesłanki:

1. wzmacnia wniosek,

2. osłabia wniosek,

3. wyklucza wniosek.

Zadanie 2.21. Latem 1996 r. informowano o wynikach badań przeprowadzo-nych w Brazyli. Obserwacji poddano grupę królików na wysoko tłuszczowejdiecie. Części tych królików podawano wino. Okazało się, że króliki, którympodawano czerwone wino były mniej zagrożone chorobami serca niż króliki,którym wina nie podawano. Czy wyniki tych badań można odnieść do ludzi?

Zadanie 2.22. Oceń poprawność rozumowania:Na ocenę wartości dzieła wpływa wiedza o tym, ile czasu autor poświęcił

na jego stworzenie. W Journal of Experimental Social Psychology opisanezostały badania przeprowadzone przez Justina Krugera.

W jednym z badań 144 studentów losowo podzielono na dwie grupy.Oceniali oni atrakcyjność wiersza współczesnego poety na skali od 1 (bardzozły) do 11 (rewelacyjny). Jedną grupę poinformowano, że poeta stworzyłwiersz w ciągu 4 godzin, a drugiej powiedziano, że potrzebował na to aż 18godzin. Badani przeliczali również wartość wiersza na sumę pieniędzy, jaką— ich zdaniem — powinien otrzymać autor za jego publikację w czasopiśmieliterackim.

Zgodnie z przewidywaniami badaczy, studenci przekonani, że poeta spę-dził nad pisaniem utworu 18 godzin, oceniali go bardziej przychylnie. Uwa-żali też, że skoro praca nad wierszem zajęła aż tyle czasu, to honorarium zapublikację powinno wzrosnąć.

Uczeni twierdzą, że z heurystyki wysiłku korzystamy niemal codziennie.Jako konsumenci, recenzenci, pracodawcy lub nauczyciele często oceniamyjakość pracy innych osób. Im więcej ktoś włożył wysiłku w oceniane dzieło,tym więcej warte nam się ono wydaje.

Zadanie 2.23. Na podstawie analizy opisanych badań wskaż możliwe źródłabłędów w badaniach statystycznych.


Centralny Ośrodek Badań Społecznych (CBOS) na zlecenie Fundacji im.Batorego przeprowadził badania opinii publicznej na temat partii politycz-nych, które postrzegane są jako najbardziej skorumpowane. W raporcie opu-blikowanym 5 września 2006 r. podano, że że za najbardziej skorumpowanepartie respondenci uznali: PiS (35 proc. wskazań), Samoobronę (10 proc.),LPR (9 proc.), PO (9 proc.), SLD (8 proc.) oraz PSL (3 proc.).

Wskutek protestów zainteresowanych stwierdzono, że wystąpił błąd infor-matyczny w trakcie prac obliczeniowych (z tego powodu „autorka raportu,CBOS oraz Fundacja im. Stefana Batorego wyrażają ubolewanie i prze-praszają wszystkich zainteresowanych za zaistniałą sytuację”). Zgodnie zezweryfikowanymi danymi, wśród partii, które respondenci postrzegają jakoskorumpowane, na pierwszym miejscu znalazły się: Samoobrona i SLD (po2,8 proc. wskazań spośród wszystkich objętych badaniem), a na dalszychmiejscach: PiS (1,47 proc.), LPR (0,94 proc.), PO (0,7 proc. wskazań)i PSL (0,1 proc.).

Badanie zostało zrealizowane w czerwcu i lipcu przez COBS na loso-wej próbie 950 dorosłych Polaków. Na pytanie o to, które partie respondentuważa za skorumpowane, odpowiadało 336 osób, tzn. tyle ile wcześniej wska-zało politykę jako skorumpowaną dziedzinę życia społecznego. Badani mogliwskazać bądź to różne partie, instytucje i urzędy, bądź poszczególnych poli-tyków.

Zadanie 2.24. Na podstawie analizy poniższego tekstu odpowiedz na pytanieo

1. wiarygodność badań opinii publicznej,

2. przydatność badań opinii publicznej,

3. założenia badania opinii publicznej.

Ponad 317 tysięcy osób wzięło udział w największej chyba światowejankiecie dotyczącej zachowań seksualnych. Uwagę mediów zwrócił zwłasz-cza fakt, że średnia światowa wynosi dziś 103 stosunki seksualne rocznie.W Hiszpanii wynik był nawet nieco lepszy — 105 stosunków na rok, choćliderami w tej dziedzinie okazali się Grecy (ze 138 stosunkami rocznie), zaśJapończycy znaleźli się na szarym końcu listy podając, że współżyją zaledwie45 razy w roku.

„Czy rzeczywiście kochamy się dwa razy w tygodniu?” — zapytałemdwanaście osób z mojego środowiska. Większość z nich zareagowała na to zesceptycyzmem, a nawet z pewną zawiścią. Specjaliści od sondaży ostrzegają,że badania przeprowadzono na zbyt małej liczbie osób, by można z nich było


wysnuć wiarygodne wnioski. Poza tym czy warto ufać odpowiedziom setekanonimowych internautów w przypadku tak osobistego pytania?.

Firmy sondażowe zdają sobie doskonale sprawę, że respondenci nie zawszeszczerze odpowiadają na zadane im pytania. Gdy mowa jest o alkoholu czypapierosach, zaniżają ilości spożywanych używek, a zapytani o seks, chętnieprzechwalają się swoimi wyczynami.

Antonio Casaubon, przewodniczący Hiszpańskiej Federacji StowarzyszeńSeksuologicznych (FESS) wyjaśnia: „W tego typu ankietach mężczyźni chęt-nie kłamią zawyżając swoje wyniki, podczas gdy kobiety — wręcz przeciwnie— wolą je zaniżyć. Tym trudniej wydedukować, czy wynik badania zawierabłąd. Ponadto musimy zdać sobie sprawę, że tego typu dane są tylko orien-tacyjne”.

„Dlaczego mężczyźni kłamią?” — pytam. „Z powodu panującego stereo-typu — słyszę w odpowiedzi. — W Hiszpanii wszyscy muszą być macho:bardzo męscy i zdecydowani. Ponadto każdy z nas ma tendencję do udzie-lania takiej odpowiedzi, jakiej się po nim można spodziewać. W rezultaciepodajemy nieprawdę, myląc nasze pragnienia z faktycznym stanem rzeczy”.

Ale dlaczego liczby są dla nas takie ważne? Częstotliwość współżycia sek-sualnego zawsze była istotnym tematem. Dawniej sądzono, że zbyt częsteuprawianie miłości może prowadzić do poważnych szkód w naszym zdrowiufizycznym i psychicznym. Obecnie niepokoi nas, że nie staniemy na wyso-kości zadania, a przyznanie się do częstej abstynencji może zostać uznaneza nienormalne. Zawsze istniały kryteria określające zalecaną częstotliwośćwspółżycia. Psychiatra Jesús Ramos zajmujący się seksuologią klinicznąopisał modele zachowania zalecane w różnych epokach historycznych. Tal-mud mówi, że mężczyzna, jeśli tylko zawód mu na to pozwala (gdy nie jestmarynarzem opuszczającym dom na długie tygodnie), powinien współżyćze swoją żoną codziennie. Jeden z listów świętego Pawła do Koryntian za-leca, aby małżonkowie uprawiali seks z taką częstotliwością, która pozwoliim trzymać na wodzy swoje grzeszne instynkty, gdyż nadmierna abstynencjamoże dodatkowo rozniecić ich żądze.

Silvia de Bejar, autorka popularnonaukowych książek na temat seksual-ności uważa, że nie powinniśmy oceniać naszej intymności za pomocą liczb.Po pierwsze zupełnie niepotrzebnie zaczynamy wtedy porównywać się do in-nych, a po drugie takie porównania mogą budzić nasz niepokój. Dlategopisarka radzi, aby każdy z nas postawił sobie pytanie: „Czy naprawdę wie-rzysz w odpowiedzi pochodzące z internetowej ankiety?”.

Wiemy przecież doskonale, że w tego typu badaniach dochodzi do wstęp-nej selekcji ankietowanej grupy i zazwyczaj pytania kierowane są do naj-młodszych, najaktywniejszych członków społeczeństwa. Jest rzeczą zdumie-


wającą, że tego typu ankiety odbijają się później tak wielkim echem w me-diach. Pogoń za sensacją prowadzi do umieszczania na czołówkach takich ototytułów: „65 procent Hiszpanów kocha się w samochodzie!”, do czego mniej-szymi literkami należałoby dopisać, że wcale nie zamienili oni na stałe łóżkana samochód, tylko okazjonalnie zdarzyło im się uprawiać seks w samocho-dzie. Albo: „11 procent mieszkańców Madrytu gotuje nago”, co nie znaczy,że co dziesiąty madrileno jest zatwardziałym nudystą. Po prostu niektórzyz nich przyznają, że kiedyś zdarzyło im się gotować coś bez ubrania.

Zadanie 2.25. Co sądzisz o wypowiedzi Gallupa?:

I could prove God statistically.Mógłbym statystycznie dowieść istnienie Boga.

Zadanie 2.26. Jakie założenia można/trzeba przyjąć, aby ugruntować bada-nia opinii publicznej? W odpowiedzi wykorzystaj myśl Gallupa:

The common people of America display a quality of good com-mon sense which is heartening to anyone who believes in thedemocratic process.Zwykli ludzie Ameryki wykazują zdrowy rozsądek, który umac-nia każdego, kto wierzy w demokratyczne procedury.

Zadanie 2.27. Przeprowadź analizę uzasadnienia tezy, że ojcowie córek czę-ściej chorują na raka prostaty.

Posiadanie samych córek może wskazywać u ojca na zwiększone ryzykorozwoju raka prostaty. Przyczyną tej zbieżności może być wada męskiegochromosomu płciowego Y. Naukowcy zbadali ponad 38 tys. mężczyzn. U 712z nich stwierdzili raka prostaty. Później dane o rodzinach tych mężczyznporównali z danymi o rodzinach zdrowych osób.

Ostatecznie okazało się, że w porównaniu z mężczyznami mającymi przy-najmniej jednego syna ojcowie samych córek mieli o 40 proc. większe ryzykorozwoju raka prostaty. Ryzyko rosło do 60 proc., gdy mężczyzna miał trzylub więcej córek i żadnego syna.

Naukowcy szukali wyjaśnienia tej wyraźnej różnicy. Ponieważ problemyz prostatą często wykrywa się jedynie przy rutynowych badaniach, naukowcynie wykluczają, że życie w sfeminizowanej rodzinie może sprawiać, że męż-czyzna bardziej dba o zdrowie i częściej się bada — rośnie więc nie tyle ryzykochoroby, co prawdopodobieństwo jej wykrycia.

Niewykluczone też, że mężczyźni posiadający same córki mogą częściejtrafiać do lekarza i na odpowiednie badania, chcąc wykluczyć ewentualneproblemy związane ze zdolnością do spłodzenia syna.


Naukowcy nie posiadali danych potwierdzających te spekulacje. Za tozasugerowali, że fakt płodzenia samych córek i ryzyko raka prostaty mogąsię wiązać z czynnikiem genetycznym.

Aby zapłodnić komórkę jajową, mężczyźni przekazują w nasieniu jedenchromosom płciowy. Jeśli będzie to Y, urodzi się syn, X oznacza córkę.

Jak zasugerowali naukowcy, wady męskiego chromosomu Y mogą nietylko wpływać na prawdopodobieństwo poczęcia lub rozwoju potomków płcimęskiej, ale i prowadzić do rozwoju raka prostaty.

Milla kanony indukcji eliminacyjnej

Do wnioskowań dedukcyjnych może być zaliczone wnioskowanie zwane in-dukcją eliminacyjną12. Pierwszy systematyczny wykład tej teorii wnio-skowań dał Franciszek Bacon (początek XVII w.). Istotne jej rozwinięciei klasyczne sformułowanie jest dziełem innego brytyjskiego filozofa, JohnaStuarta Milla (połowa XIX w.). Indukcja eliminacyjna obejmuje pięć spo-sobów wnioskowania zwanych kanonami (jak nazywał je sam Mill) lub me-todami Milla. Kanony te to metoda zgodności, metoda różnicy, połączonametoda zgodności i różnicy, metoda reszt oraz metoda zmian towarzyszą-cych.

Kanony indukcji eliminacyjnej Milla są pewnymi sposobami rozumowa-nia. Można je postrzegać również jako metody heurystyczne, czyli narzędziaznajdowania praw.

Sądzi się, że podstawą praw przyrody są związki przyczynowo-skutkowemiędzy zjawiskami. Na przykład w medycynie poszukuje się przyczynyśmierci łóżeczkowej, która jest najczęstszym wypadkiem śmierci dzieci w wie-ku od tygodnia do jednego roku. Zdarza się to najczęściej w wypadku chłop-ców i w rodzinach o niskim statusie społecznym. Jak dotąd, żadne wyjaśnie-nia tego zjawiska nie okazały się w pełni zadowalające. Pisano już o niepra-widłowościach pracy serca dziecka, przegrzaniu, starych materacach pełnychbakterii Helicobacter, a nawet o snach, pod wpływem których dziecku zdajesię, że znów jest w macicy i nie musi oddychać. Najpopularniejsza teoriawskazuje na niewłaściwą pozycję w czasie snu — na brzuchu.

O związku przyczynowo-skutkowym mówią również prawnicy, np. w uza-sadnieniu wyroku z 29 lipca 1996 r., uniewinniającego gen. Cz.K., mówi sięo braku dowodów na istnienie związku przyczynowego między szyfrogramem,a tragicznymi wydarzeniami w kopalniach.

12Oryginale sformułowania nasuwają szereg wątpliwości. Wnioskowanie przez indukcjęeliminacyjną zostało zinterpretowane jako dedukcyjne przez np. K. Ajdukiewicza.


Kanony Milla miałyby służyć do wykrywania przyczyny lub skutku ja-kiegoś zjawiska. Omówienie kanonów Milla musimy zatem poprzedzić próbązrozumienia, czym są przyczyna i skutek oraz czym jest związek przyczynowo-skutkowy.

Związek przyczynowo-skutkowy Określenie, czym jest związek przy-czynowo-skutkowy wymaga uprzedniego zdefiniowania pojęcia warunku ko-niecznego, pojęcia warunku wystarczającego oraz warunku konicznego i wy-starczającego.

Definicja 2.38. Warunkiem koniecznym (conditio sine qua non) zja-wiska Z jest różne od niego zjawisko Z1 takie, że zawsze jeśli nie zaistniejezjawisko Z1, to nie zaistnieje zjawisko Z.

Warunek konieczny zjawiska Z, to takie zjawisko Z1, bez zaistnieniaktórego nie może zaistnieć Z. Jest zatem tak, że jeżeli zachodzi zjawisko Z,to również zachodzi zjawisko Z1, czyli13:

Z ⇒ Z1.

Warunkiem koniecznym tego, aby żarówka świeciła, jest sprawność spiralkijarzeniowej (aby nie była przepalona). Gdy spiralka jest przepalona, żarówkanie będzie świecić. Jeżeli żarówka świeci, to jej spiralka nie jest przepalona.Całość spiralki nie wystarcza jednak, aby żarówka świeciła. Spełnienie wa-runku koniecznego zjawiska Z nie musi pociągać za sobą zajścia tego zjawi-ska. Warunkiem koniecznym wymierzenia komuś kary pozbawienia wolnościjest uznanie tego kogoś za winnego popełnienia czynu niezgodnego z pra-wem. Uznanie kogoś za winnego popełnienia czynu niezgodnego z prawemnie musi jednak pociągać za sobą kary pozbawienia wolności. Zjawisko możemieć więcej niż jeden warunek konieczny. Na przykład warunkami koniecz-nymi wymierzenia komuś kary pozbawienia wolności są uznanie tego kogoś zawinnego czynu zagrożonego karą pozbawienia wolności, uznanie tego kogoś zapoczytalnego, odpowiedni wiek. Pytanie, czy każde zjawisko musi mieć jakiśwarunek konieczny, jest pytaniem ontologicznym i wiąże się z zagadnieniemprzyczynowości.

Definicja 2.39. Warunkiem wystarczającym zjawiska Z jest różne odniego zjawisko Z1 takie, że zawsze jeśli zaistnieje zjawisko Z1, to zaistniejezjawisko Z.

13Przyjmujemy, że „Z” i „Z1” są zdaniami.


Warunkiem wystarczającym zjawiska Z jest zjawisko Z1 takie, że niemoże być tak, aby zaistniało Z1, a nie zaistniało Z, czyli14:

Z1 ⇒ Z.

Warunkiem wystarczającym świecenia się żarówki są:

1. sprawność żarówkii

2. podłączenie do prądu elektrycznego o parametrach właściwych dla da-nej żarówki.

Zjawisko może mieć więcej niż jeden warunek konieczny. Wszystkie wa-runki konieczne mogą łącznie tworzyć warunek wystarczający. Każdy z wa-runków 1 i 2 jest warunkiem koniecznym świecenia się żarówki. Łącznietworzą one warunek wystarczający. Jeśli tylko oba zjawiska, 1 i 2, będązachodziły, to żarówka będzie świecić.

Zjawisko może mieć więcej niż jeden warunek wystarczający. Na przy-kład na niektórych kierunkach studiów, aby zostać studentem, wystarczyzdać egzamin wstępny lub wystarczy być laureatem olimpiady przedmioto-wej zgodnej z tym kierunkiem studiów. Pytanie, czy każde zjawisko musimieć jakiś warunek wystarczający, jest pytaniem ontologicznym i wiąże sięz zagadnieniem przyczynowości.

Definicja 2.40. Warunkiem koniecznym i wystarczającym zjawiskaZ jest różne od niego zjawisko Z1 takie, że zawsze jeśli zaistnieje zjawiskoZ, to zaistnieje zjawisko Z1 oraz zawsze, jeśli zaistnieje zjawisko zjawiskoZ1, to zaistnieje zjawisko Z.

Warunek konieczny i wystarczający zarazem to warunek, który jest ko-nieczny i warunek, który jest wystarczający. Fakt, że Z1 jest warunkiemkoniecznym i wystarczającym zjawiska Z możemy wyrazić następująco15:

(Z ⇒ Z1) ∧ (Z1 ⇒ Z)

lub w sposób równoważny:Z ⇔ Z1.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, by prostokąt był kwadratem,jest równość jego boków. Takim warunkiem jest też równość przekątnych.

14Zob. przypis 13.15Zob. przypis 13.


Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby ciało poruszało się ruchemprzyśpieszonym jest, aby na to ciało działała nie zrównoważona siła.

Nazwa „przyczyna” może być użyte w znaczeniu „warunek konieczny”i może być użyte w znaczeniu „warunek wystarczający”. Ta różnica w uży-ciu nazwy „przyczyna” ma charakter pragmatyczny, czyli znajduje oparciew naszej postawie wobec zjawiska, o którego przyczynie mowa.

Pytamy o przyczynę w sensie warunku koniecznego, gdy pytamy o przy-czynę zjawiska niepożądanego, gdy jesteśmy zainteresowani jego eliminacją:cessante causa, cessat effectus (gdy znika przyczyna znika skutek). Dla jegowyeliminowania wystarcza usunięcie któregoś z warunków koniecznych. Le-karz mówiąc, że infekcja jest przyczyną choroby, mówi o przyczynie jakowarunku koniecznym choroby. Przepisuje lekarstwo, które tę przyczynę usu-nie. Wynikiem jej likwidacji będzie powrót pacjenta do zdrowia. Przyczynąwysokiego bezrobocia w jakimś regionie jest niedorozwój gospodarczy tegoregionu. Jest to warunek konieczny, ale niewystarczający. W warunkachsystemu socjalistycznego bezrobocia nie ma mimo niedorozwoju gospodar-czego. Trwałego rozwiązania problemu wysokiego bezrobocia w warunkachgospodarki rynkowej dokonuje się poprzez wsparcie rozwoju gospodarczegoregionu, w którym występuje wysokie bezrobocie.

Pytamy o przyczynę w sensie warunku wystarczającego, gdy pytamyo przyczynę zjawiska pożądanego, gdy jesteśmy zainteresowani zaistnieniemtego zjawiska: durante causa durat effectus (dopóki działa przyczyna, trwaskutek). Dla jego zaistnienia wystarcza stworzenie któregoś z warunków wy-starczających. Pytamy więc o przyczynę dobrej kondycji fizycznej. Pytamyo przyczynę wzrostu gospodarczego. W jednym i w drugim wypadku chodzinam o wszystko to, dzięki czemu — w pierwszym wypadku — ktoś utrzymujesię w dobrej kondycji fizycznej, a w drugim — następuje wzrost gospodarczy.

W innym sensie niż jako warunek konieczny lub wystarczający o przy-czynę pyta np. policja lub firma ubezpieczeniowa. Instytucjom tym chodzinie o zjawiska, lecz o działanie (lub brak działania) i jego sprawcę. Coinstytucjom tym przyszłoby z tego, że zostałby dobrze określony warunekwystarczający pożaru, a nie byłoby odpowiedzi na pytanie, czy ktoś był jegosprawcą?

Wskazane wyżej znaczenia terminu „przyczyna” nie wyczerpują wszyst-kich jego rozumień. Świadomość jego wieloznaczności jest dawna. Już np.Arystoteles wyróżniał cztery rodzaje przyczyn: sprawczą, materialną, for-malną i celową.

O zjawisku, dla którego wskazujemy przyczynę mówimy, że jest skut-kiem tej przyczyny. Zjawisko-przyczyna i zjawisko-skutek pozostają ze sobąw związku przyczynowo-skutkowym. W wypadku, gdy przyczyna ja-


kiegoś zjawiska ma przyczynę w innym zjawisku, a to w innym itd., mówimyo łańcuchu przyczynowo-skutkowym. Jeśli mamy łańcuch przyczynowo-skutkowy, to możemy mówić o przyczynie bezpośredniej (causa proxima),bliższej i dalszej (causa ramota). Ma to miejsce dla ostatniego, trzeciego,z omówionych rozumień słowa „przyczyna”. Na przykład, bezpośrednią przy-czyną pożaru fabryki było zaprószenie ognia przez jej właściciela. Pośredniąprzyczyną była chęć uzyskania odszkodowania od firmy ubezpieczeniowej.Dalszą przyczyną był stan techniczny fabryki wymagający znacznych inwe-stycji modernizacyjnych. Oczywiście, przedstawiciel firmy ubezpieczeniowejjest zainteresowany bezpośrednią przyczyną pożaru.

Dość powszechnie podzielana jest opinia, że «nic nie dzieje się bez przy-czyny» (nihil fit sine causa). Myśl tę wyraża

Definicja 2.41. Zasada przyczynowości: dla zjawiska Z1 zachodzącegow chwili t1 istnieje zjawisko Z2 zachodzące w chwili t2 wcześniejszej niż t1(t2 < t1), które jest przyczyną zjawiska Z1.

Słyszymy czasem, że «nic nie pozostaje bez skutku». Stwierdzeniu temumożna by nadać postać analogiczną do zasady przyczynowości. Byłaby to

Definicja 2.42. Zasada skutkowości: dla zjawiska Z1 zachodzącego w chwi-li t1 istnieje zjawisko Z2 zachodzące w chwili t2 późniejszej niż t1 (t1 < t2),które jest skutkiem Z1.

W opisie kanonów Milla pomija się stosunek wcześniej-później międzyprzyczyną a skutkiem i mówi się o nich po prostu jako o zjawiskach towa-rzyszących.

Żywimy przekonanie, że zjawisko może mieć więcej niż jedną przyczynę.Przyczyną zwyżki cen ropy naftowej może być groźba wojny w Zatoce Per-skiej, może być spadek wydobycia i eksportu z obszarów byłego ZwiązkuRadzieckiego, może być zwiększony popyt powstały przez zlecenia wojskowena uzupełnienie zapasów strategicznych, może być zmowa największych eks-porterów w sprawie podwyżki cen itd. Każda ze wskazanych przyczyn jest —jak się zdaje — warunkiem wystarczającym. Idea wielości przyczyn jest nie-zgodna z koncepcją dokładnie jednej przyczyny danego skutku, czyli zasadąjedności przyczyny. Ma to być jedna przyczyna, choć może być złożona,może składać się z wielu czynników, które wszystkie muszą zachodzić, abyzaszedł dany skutek. Gdyby w wypadku przykładu ze wzrostem cen ropychcieć pogodzić przekonanie o różnych przyczynach z koncepcją jednej przy-czyny, to można przyjąć, że choć zwyżka cen ropy w ogóle ma wiele przyczyn,to ta oto zwyżka cen ma dokładnie jedną przyczynę. Pozorna wielość przy-czyn znika, gdy skutek jest opisany wystarczająco szczegółowo. Idei wielości


przyczyn przeciwstawia się stwierdzenie, że „każda różnica musi powodowaćróżnicę”. Jeśli skutki się nie różnią, to i ich przyczyny się nie różnią.

Zdanie do powyższego odwrotne, a mianowicie: „ jeśli przyczyny się nieróżnią, to ich skutki się nie różnią” lub — co na jedno wychodzi — „po-dobne przyczyny powodują podobne skutki” wyraża zasadę dającą podstawędla możliwości praw przyczynowych, czyli zdań stwierdzających zachodzeniezwiązku przyczynowo-skutkowego pomiędzy zjawiskami z jednej określonejklasy zjawisk-przyczyn i zjawiskiem z innej określonej klasy zjawisk-skutków.

Prawa przyczynowe mają stosować się do sytuacji rzeczywistych. Sytu-acje rzeczywiste są konkretne. Zatem odkrycie prawa przyczynowego wiążesię z pojęciowaniem, inaczej konceptualizacją. Konkretny wypadek przy-czyny musi być desygnatem pewnego pojęcia, podobnie skutek. Prawomusi być ogólne, czyli stosować się do pewnej klasy związku przyczynowo-skutkowego. W wypadku nietrafnego wyróżnienia klasy zjawisk, które mia-łyby być przyczynami, lub klasy zjawisk, które miałyby być skutkami, niedochodzi do właściwego uchwycenia związku przyczynowo-skutkowego. Naprzykład, gdy nie odróżnia się dwóch rodzajów wirusów powodujących różneschorzenia, nie można sformułować prawa mówiącego o związku przyczynowo-skutkowym między infekcją a schorzeniem. Podobnie, gdybyśmy nie odróż-niali dwóch rodzajów schorzeń powodowanych przez różne infekcje. Gatunkizwierzęce nie są czymś oczywistym samo przez się. Mają one podstawyw rzeczywistości. Jednak człowiek ostatecznie zdecydował o takim a nie in-nym rozumieniu, co to jest ryba i co to jest ssak. Ten wybór podyktowanywzględami nauk biologicznych spowodował, że wieloryb nie jest desygna-tem nazwy „ryba”, a jest desygnatem nazwy „ssak” (nim w biologii tegonie rozstrzygnięto, pojęcie ryby było takie, że jego desygnatami były wie-loryby; reliktem tego rozumienia ryby jest nazwa wieloryba). Do dziś np.utrzymał się pochodzący od Teofrasta (371–285 r. p.n.e.) podział roślin nazielne, krzewy i drzewa. Zajmujący się biologią molekularną zgłaszają wąt-pliwości co do trafności dotychczasowej systematyki świata ożywionego. Ge-neralizacja, czyli uogólnienie obserwowanych związków między określonymizjawiskami-przyczynami i określonymi zjawiskami-skutkami oraz sformuło-wanie prawa przyczynowego możliwe są wówczas, gdy mamy właściwe poję-cia (trafnie wyróżniamy klasy) zjawisk-przyczyn i zjawisk-skutków. O tym,że nasze rozważania nie są czysto abstrakcyjne, świadczy to, iż np. dziśjeszcze spotykamy się z poszukiwaniem istnienia związku przyczynowo-skut-kowego między tym, jak ktoś spojrzał, a tym, że ktoś na kogo spojrzał zacho-rował, lub pomiędzy charakterem i losem kogoś, a tym, pod jakim znakiemzodiaku ten ktoś się urodził.


Zadania

Zadanie 2.28. W podanych typowych kontekstach mowa o związku przy-czynowo-skutkowym. W każdym wypadku scharakteryzuj ten związek jakowarunek konieczny lub/i wystarczający oraz poprzez miejsce w łańcuchuprzyczynowo-skutkowym (przyczyna dalsza lub bliższa).

1. Przyczyną dolegliwości był brak higieny.

2. Infekcja była przyczyną choroby.

3. Przyjęcie przepisanych lekarstw spowodowało ustąpienie choroby.

4. Śmierć nastąpiła wskutek uduszenia.

5. Awaria autobusu była przyczyną spóźnienia.

6. Wskutek zastosowania nowoczesnych maszyn nastąpiła poprawa jako-ści wyrobów.

7. Wirus był przyczyną awarii komputera.

8. Powodem rezygnacji z wyjazdu była zmiana pogody.

9. Niezrozumienie problemu było przyczyną nie zdania egzaminu przezJana.

10. Nieprawidłowe sędziowanie było przyczyną tego, że Tomasz Borowskinie otrzymał medalu na olimpiadzie w Atlancie.

11. Zeznania świadka spowodowały zmianę postawy sędziów.

12. Nawożenie jest przyczyną wzrostu plonów.

13. Powódź spowodowały obfite deszcze.

14. Przyczyną nieurodzaju jest susza.

15. Wskutek mroźnej zimy i upalnego lata spadła produkcja.

16. Z powodu upałów zabrakła napojów chłodzących.

17. Brak sznurka do snopowiązałek spowodowany jest żniwami.

18. Czerwona płachta spowodowała agresywne zachowanie się byka.


19. Niechęć Jana do Piotra spowodowana jest dobrymi wynikami Piotraw nauce.

20. Upadek jabłka na ziemię spowodowany jest przyciąganiem ziemskim.

Zadanie 2.29. Wskaż przyczyny i scharakteryzuj je:

1. wybuchu bomby w parku olimpijskim w trakcie olimpiady w Atlancie,

2. wzrostu gospodarczego w Polsce w latach 1995–1996,

3. wygranej 1.000.000 zł. przez Jana,

4. zostania ojcem przez Jana,

5. zostania wujkiem przez Jana,

6. zostania dziadkiem przez Jana,

7. odejścia z funkcji premiera przez J. Oleksego,

8. przegranej w wyborach prezydenckich przez L. Wałęsę,

9. katastrofy samolotu TWA i śmierci 230 pasażerów tego samolotu.

Zadanie 2.30. W jakim sensie mówi się o związku przyczynowo-skutkowymw następującym tekście?

Naczelny Sąd Administracyjny stwierdził, że aby określony wydatek możnabyło uznać za koszt uzyskania przychodu, to między tym wydatkiem a osią-gnięciem przychodu musi zachodzić związek przyczynowo-skutkowy tego ro-dzaju, iż poniesienie wydatku ma wpływ na powstanie lub zwiększenie przy-chodu.

Zadanie 2.31. Co jest przyczyną a co skutkiem?Słuch absolutny to umiejętność rozpoznawania dowolnego dźwięku bez

konieczności odwołania się do jakiejkolwiek wysokości wyjściowej. Większośćmuzyków, którzy podjęli naukę muzyki przed ukończeniem 7 lat, ma takisłuch. Prawie nikt natomiast jeśli kształcenie muzyczne rozpoczął po 11 rokużycia.


Indukcja eliminacyjna Dla uzasadnienia prawa przyczynowego stwier-dzającego zachodzenie związku przyczynowo-skutkowego można wykorzy-stać wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną (niezupełną — prawo winnobowiem stosować się do nieograniczonej liczby wypadków). Wnioskowa-nie przez indukcję nie wyczerpuje jednak wszystkich sposobów uzasadnia-nia praw przyczynowych. Do tego celu mogą być też wykorzystane metodywnioskowania przez indukcję eliminacyjną, która ma jeszcze i tę zaletę, żedaje podstawę dla metod odkrywania praw przyczynowych. Dodajmy jed-nak, że sama taką metodą nie jest, choć inaczej sądził jej pomysłodawca,Mill. Najogólniej rzecz biorąc

Definicja 2.43. Indukcja eliminacyjna jest wnioskowaniem, w którym:

1. jedna z przesłanek — pa — jest alternatywą (n + 1) zdań ogólnychstwierdzających pewną prawidłowość dla zjawisk określonych rodza-jów,

2. pozostałe przesłanki — p1, p2, . . . , pn — są zdaniami szczegółowymi za-przeczającymi prawidłowościom stwierdzanym w poszczególnych czło-nach alternatywy pa z wyjątkiem tylko jednego członu,

3. wniosek jest zdaniem ogólnym; członem alternatywy pa, który nie zo-stał zaprzeczony przez przesłanki szczegółowe p1, p2, . . . , pn.

Wnioskowanie przez indukcję eliminacyjną jest wnioskowaniem deduk-cyjnym — prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku. Prze-słanka pa jest alternatywą. Dla prawdziwości alternatywy konieczna jestprawdziwość przynajmniej jednego jej członu. Ponieważ przesłanki p1, p2,. . . , pn wykluczają prawdziwość wszystkich członów z wyjątkiem jednego,zatem ten jeden musi być prawdziwy. Człon ten jest wnioskiem, a więcwniosek ma zagwarantowaną prawdziwość — jeśli tylko wszystkie przesłankisą prawdziwe.

Poszczególne kanony różnią się głównie sposobem «eliminowania» (z wy-jątkiem jednego) członów alternatywy pa.

Mill utrzymywał, że jego metody są:

1. regułami dowodzenia

oraz

2. narzędziem odkrywania praw (metodą heurystyczną).


Jeśli przyjąć zasadę przyczynowości, czyli uznać, że zjawisko ma wśród zja-wisk mu towarzyszących swą przyczynę, oraz przyjąć zasadę jedności przy-czyny, czyli uznać, że dane zjawisko ma tylko jedną przyczynę, powyższerozumowanie daje podstawę dla dyrektywy praktycznej:

Jeśli wiadomo, że jedno ze zjawisk Z1, Z2, . . . , Zn jest przyczynązjawiska Z to, aby znaleźć przyczynę Z, wystarczy dla każdegopoza jednym ze zjawisk Z1, Z2, . . . , Zn wskazać (na drodze eks-perymentu lub obserwacji) takie sytuacje, w których zachodzi Z,a to zjawisko nie zachodzi.

To, w jaki sposób wskazuje się sytuacje, w których jedno zjawisko zachodzi,a drugie nie zachodzi różnicuje metody Milla.

Istotnym problemem praktycznym realizacji powyższej dyrektywy jestwskazanie zjawisk Z1, Z2, . . . , Zn tak, aby wśród nich było zjawisko bę-dące przyczyną zjawiska Z. Korzystając z zasady przyczynowości możemyprzyjąć, że wśród zjawisk towarzyszących zjawisku Z zawsze, kiedy tylko tozjawisko wystąpi, będzie też miało miejsce zjawisko będące jego przyczyną.Pozostawałby więc tylko problem identyfikacji zjawisk towarzyszących zja-wisku Z. Należałoby przyjąć, że każde kilka zjawisk tworzy zjawisko zło-żone. Takie zjawisko, które nie dawałoby się zanalizować jako złożone tozjawisko proste. Gdyby więc były wskazane absolutnie wszystkie zjawiskatowarzyszące zjawisku Z, to na mocy zasady przyczynowości uprawnionebyłoby stwierdzenie, że wśród tych zjawisk znajduje się zjawisko będąceprzyczyną Z. Jeżeli zaś tak nie jest, jeśli wymienione są tylko proste —jeśli to jest możliwe — dające się wyróżnić zjawiska towarzyszące zjawiskuZ, to uprawnione jest stwierdzenie, że jakaś kombinacja tych zjawisk jestprzyczyną Z, zaś te, które tę kombinację tworzą, są jej częściami. Możnawięc przyjąć, że wśród prostych zidentyfikowanych zjawisk towarzyszącychzjawisku Z jest przyczyna lub część przyczyny zjawiska Z. Tak czy owak,przesłanka pa nie jest prosta w sformułowaniu. Nie tylko trafne pojęciowa-nie, ale i trafne zaobserwowanie relewantnych zjawisk towarzyszących Z jestważne dla jej wyrażenia. Wszystko to wymaga dużego doświadczenia w dzie-dzinie przedmiotowej, w której zamierza się stwierdzić zachodzenie związkuprzyczynowo-skutkowego.

Mimo tego że wnioskowanie według kanonów Milla — tak jak tu zo-stało przedstawione — jest wnioskowaniem dedukcyjnym, to jednak w wy-padku, gdy przesłanka nie ma zagwarantowanej prawdziwości, również wnio-sek nie może mieć zagwarantowanej prawdziwości — wniosku nie możemywięc uznać z całą pewnością, obciążony jest bowiem wątpliwościami, które


budzi przesłanka. Wniosek zaś może być uznany w stopniu nie przewyższa-jącym żadnego ze stopni pewności, z jakimi uznane są przesłanki.

Metoda zgodności

Rozważmy wypadek dolegliwości żołądkowej trzech osób, które były razemw kawiarni. Istnieje podejrzenie, że przyczyną jest skonsumowanie czegośniezdrowego. Jedna z tych trzech osób zjadła lody i wypiła kawę, druga jadłalody i wypiła herbatę, trzecia zamówiła lody i coca-colę. Na tej podstawiewnioskujemy, że przyczyną dolegliwości było zjedzenie lodów.

W naszym przykładzie z dolegliwością żołądkową z góry nie wzięliśmypod uwagę wszystkich zjawisk towarzyszących, założyliśmy bowiem, że przy-czyną dolegliwości żołądkowej mogło być tylko zjedzenie czegoś niezdrowego.Pominięte zostały więc np. dzień tygodnia, położenie Księżyca, wielkość ka-wiarni, jej umiejscowienie; to, czy ktoś palił. Nadto, dolegliwość w wypadkukażdej z trzech osób uznana została za podpadającą pod to samo pojęciedolegliwości żołądkowej.

Definicja 2.44. Metoda zgodności jest wnioskowaniem według następu-jącego wzoru. Jeśli dwóm lub więcej wypadkom zjawiskaZ towarzyszą któreśze zjawisk Z1, Z2, . . . , Zn i w każdym wypadku występuje zjawisko Zi a dlakażdego zjawiska Zj , j 6= i, miał miejsce wypadek, że wystąpiło zjawiskoZ a nie wystąpiło zjawisko Zj , to Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny(skutkiem bądź częścią skutku) zjawiska Z16.

Metodę zgodności i pozostałe metody zilustrujemy na diagramie. Przyj-mijmy tu i w następnych opisach, że zjawisku Z, którego przyczyny poszu-kujemy, towarzyszą różne od niego zjawiska Z1, Z2 . . .Z5. To, że w danymwypadku jakieś zjawisko Zi zaszło zaznaczymy pisząc: +, a że nie zaszłopisząc: −. To, że zjawisko Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny zjawiskaZ zapisujemy: Zi ∴ Z. Sposób wnioskowania metodą zgodności możemyopisać następująco:

16Mill formułuje metodę zgodności tak, że pozwala ona na wykrywanie zjawisk koniecz-nie towarzyszących zjawisku Z. Takim zjawiskiem może być nie tylko przyczyna, lecztakże skutek Z. Aby metoda ta pozwalała na wykrywanie skutków, należałoby odpo-wiednio przeformułować przesłankę pa — powinna to być alternatywa zjawisk-skutków —oraz przyjąć analogiczne do założeń o przyczynie założenia o skutku: zasadę skutkowości,zasadę jedności skutku. Metoda zgodności sformułowana została przez J. St. Milla nastę-pująco: „If two or more cirumstances of the phenomenon under investigation have onlyone circumstance in common, the circumstance in which alone all the instances agree, isthe cause (or effect) of the given phenomenon” (A System of Logic, s. 390).


Lp. Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z

1. + + + + − +

2. + + + − + +

3. + + − + + +

4. + − + + + +

Wniosek: Z1 ∴ Z.

Pod kątem wykorzystania kanonu jedynej zgodności warto przeanalizo-wać list opublikowany w The Economist (24–30 września 1994):

„W Pańskim artykule Demokracja i wzrost (27 sierpnia), stwierdza Pankorelację między wolnością a dobrobytem i dedukuje z tego korelację międzydemokracją a dobrobytem. Jest to nietrafne.

Rzeczywistym źródłem dobrobytu nie jest demokracja, lecz praworząd-ność. Jest prawdą, że praworządność jest w wysokim stopniu skorelowanaz politycznymi instytucjami liberalno-demokratycznymi, lecz daleki od ja-sności jest związek przyczynowy. Jeśli cokolwiek historia sugeruje to to, żepraworządność jest pierwszym warunkiem szerokiej wolności obywatelskiejw formie politycznej zwanej ‘demokracją’, a nie, że jest odwrotnie. Repu-blikę Wenecką i Holandię pod Stanami Generalnymi trudno byłoby nazwaćopartymi na szerokiej bazie demokracjami, chociaż cieszyły się wyjątkowąprosperity.

Rosyjskie problemy nie są spowodowane przez zbyt wiele zbyt późnozastosowanej demokracji: spowodowane są one przez trudności w przejściuod «prawa» socjalistycznego do prawa «burżuazyjnego».”

Policja wykorzystuje metodę zgodności, kiedy np. w sprawach o włama-nia zauważając, że dokonywane są tą samą metodą wnioskuje, że włamaniate dokonane zostały przez tę samą osobę lub tę samą grupę przestępczą.W miejscu trzech przestępstw zabezpieczono wiele śladów. W każdym z tychmiejsc powtarzały się ślady jednej osoby. Czy policja może wnioskować, żesą to ślady przestępcy?

Dla lepszego zrozumienia wcześniej sygnalizowanych problemów z wła-ściwą konceptualizacją i identyfikacją zjawisk towarzyszących zjawisku, któ-rego przyczyny poszukujemy, warto rozważyć następujący żartobliwy przy-kład zwykle przytaczany przez krytyków metod Milla w ogólności, a w szcze-gólności metody zgodności. Był sobie pijak-naukowiec, wielki amator trun-


ków. Pijany był każdego wieczoru. Zrujnował zdrowie, karierę, stracił przy-jaciół. Stwierdzając, że dalej tak być nie może, zdecydował się przeprowadzićeksperyment, aby odkryć rzeczywistą przyczynę swojej częstej nietrzeźwości.Przez pięć wieczorów rejestrował dane. Były to kolejno: szkocka z wodą so-dową, burbon z wodą sodową, koniak z wodą sodową, rum z wodą sodową,gin z wodą sodową. Według metody zgodności to popijanie wodą sodowąbyło przyczyną nietrzeźwości pijaka-naukowca.

Metoda różnicy

Podejmijmy na nowo przykład z dolegliwością żołądkową osób, które byływ kawiarni. Powiedzmy, że w kawiarni były dwie osoby. Jedna ma dolegli-wość żołądkową, a druga nie. Okazuje się, że ta, która ma dolegliwość, jadłalody i ciastko oraz piła kawę. Ta zaś osoba, która nie ma dolegliwości, jadłatylko ciastko i piła kawę. Na podstawie tych danych wnioskujemy, że kon-sumpcja lodów jest istotna dla dolegliwości żołądkowej; mówimy: zjedzenielodów jest przyczyną lub częścią przyczyny dolegliwości żołądkowej (częścią— bo przyczyną mogło być «połączenie» lodów i ciastka).

Definicja 2.45. Metoda różnicy jest wnioskowaniem według następują-cego wzoru. Jeśli wypadkowi zajścia zjawiska Z towarzyszą zjawiska Z1, Z2,. . . , Zn, a w jakimś wypadku, gdy zjawisko Z nie występuje, a występująwszystkie zjawiska Z1, Z2, . . . , Zn z wyjątkiem jednego, powiedzmy Zi,to Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny (skutkiem bądź częścią skutku)zjawiska Z17.

Sposób wnioskowania metodą różnicy można zilustrować następująco(dla n = 5; zob. str. 201):


1. + + + + + +

2. − + + + + −

Wniosek: Z1 ∴ Z.17J. St. Mill formułuje ten kanon następująco: „If an instance in which the phenomenon

under investigation occurs, and an instance in which it does not occur, have every circum-stance in common save one, that one occurring only in the former; the circumstance inwhich alone the two instances differ, is the effect, or the cause, or an indispensable partof the cause, of the phenomenon” (A System of Logic, s. 391).


Wykorzystanie metody różnicy ma miejsce w badaniach Pasteur’a. W 1861Pasteur odrzucał koncepcję samorództwa na podstawie następującego eks-perymentu. Wywar z mięsa umieścił w butelce zabezpieczając go przed do-stępem bakterii. W zawartości nie następowały zmiany. Następnie otworzyłbutelkę umożliwiając dostęp bakteriom. W ciągu kilku godzin nastąpiłycharakterystyczne zmiany psucia się mięsa. To, że bakterie były przeno-szone przez powietrze, zostało pokazane przez dwukrotne filtrowanie powie-trza przez sterylne filtry. Okazało się, że w wypadku kontaktu z pierwszymfiltrem następuje psucie, a w wypadku drugiego — nie (na drugim nie byłodrobnoustrojów, zostały bowiem zatrzymane przez pierwszy filtr).

Wykorzystanie metody różnicy ma miejsce w wielu sytuacjach codzien-nych. Na przykład mamusia twierdzi, że jej dziecko straciło apetyt z powoduprzyjmowanych lekarstw. Bowiem gdy lekarstw nie przyjmowało, to apetytmiało.

Połączona metoda zgodności i różnicy

W głośniku radiomagnetofonu w trakcie odtwarzania taśmy magnetofono-wej istotnie zwiększył się poziom szumu. Chcemy znaleźć przyczynę tegozjawiska Z. Jako ewentualne przyczyny Z bierzemy: Z1 — zły stan ta-śmy magnetofonowej, Z2 — uszkodzenie wzmacniacza (część wspólna radiai magnetofonu), Z3 — uszkodzenie magnetofonu. Rozpoczynamy od zmianytaśmy. Bierzemy przetestowaną taśmę i mimo to mamy zły odbiór. Na pod-stawie metody zgodności możemy więc wyeliminować Z1 jako przyczynę Z.Po przełączeniu na radio stwierdzamy, że odbiór jest prawidłowy. Metodaróżnicy pozwala wyeliminować Z2 jako przyczynę Z. Wnioskujemy zatem, żeZ3 jest przyczyną Z. (Nasz wniosek wynika logicznie z przyjętych przesłanek— gdyby więc przesłanki były prawdziwe, to i wniosek byłby prawdziwy.)

Definicja 2.46. Połączona metoda zgodności i różnicy polega na za-stosowaniu w jednym wnioskowaniu zarówno metody zgodności, jak i metodyróżnicy18.

Sposób wnioskowania połączoną metodą zgodności i różnicy można zilu-strować następująco (dla n = 5; zob. str. 201):

18J. St. Mill formułuje ten kanon następująco: „If two or more instances in which thephenomenon occurs have only one circumstance in common, while two or more instancesin which it does not occur have nothing in common save the absence of that circumstance;the circumstance in which alone the two sets of instances differ, is the effect, or the cause,or an indispensable part of the cause, of the phenomenon (A System of Logic, s. 396).



1. + + + + − +

2. + + + − + +

3. + + − + + +

4. − + − − + −

Wniosek: Z1 ∴ Z.

Metoda zgodności pozwoliła wyeliminować jako przyczyny (skutki) zjawi-ska Z3, Z4, Z5. Jako «kandydaci» na przyczyny (skutki) pozostały Z1 i Z2.Metodą różnicy wyeliminowane zostało Z2. Pozostałe Z1 jest przyczyną lubczęścią przyczyny (skutkiem bądź częścią skutku) zjawiska Z.

Metoda reszt

Rozważmy na nowo wypadek dolegliwości żołądkowej. Niech tym razembędzie to tylko jedna osoba, która ma tę dolegliwość. Powiedzmy, że osobata skonsumowała lody, wypiła kawę i coca-colę. Aby określić przyczynęmoże rozumować następująco: na pewno kawa i coca-cola nie zaszkodziły(znane są skutki picia przez tę osobę kawy i coca-coli oraz skutki te niesą dolegliwością żołądkową.), zatem zaszkodziły lody. To rozumowanie jestprzykładem wnioskowania zgodnego z metodą reszt.

Definicja 2.47. Metoda reszt jest wnioskowaniem według następującegowzoru. Jeżeli zjawiskom Z1, Z2, . . . , Zn towarzyszą różne od nich zjawiskaZ ′1, Z ′2, . . . , Z ′n, a nadto jeśli wiadomo, że Z2 jest przyczyną (skutkiem)Z ′2, Z3 jest przyczyną (skutkiem) Z ′3, . . . , Zn jest przyczyną (skutkiem) Z ′n,to Z1 jest przyczyną lub częścią przyczyny (skutkiem bądź częścią skutku)zjawiska Z ′119.

Metoda reszt, w odróżnieniu od metod zgodności i różnicy, wymaga zba-dania tylko jednego wypadku, co czyni ją szczególnie przydatna tam, gdziez różnych przyczyn, np. ekonomicznych (koszty) lub etycznych (narażenie na

19J. St. Milla formułuje ten kanon następująco: „Subduct from any phenomenon suchpart as is known by previous inductions to be the effect of certain anteccedents, and theresidue of the phenomenon is the effect of the remaining antecedents” (A System of Logic,s. 398).


uszkodzenie lub cierpienie) nie dysponujemy innymi wypadkami tego zdarze-nia. Metoda ta jednak wymaga znajomości przyczyn zjawisk towarzyszących(wykrytych we wcześniejszych eksperymentach lub obserwacjach). ZdaniemMilla, ze wszystkich sposobów badania praw przyrody metoda ta jest naj-bardziej płodna w nieoczekiwane wyniki.

Zjawisko-skutek jest zjawiskiem, któremu towarzyszą inne zjawiska-skutki.W wypadkach poprzednio omawianych kanonów można było tego nie braćpod uwagę. W opisie metody reszt ten fakt musi być uwzględniony.

Lp. Z1 Z2 Z3 Z4 Z ′1 Z ′2 Z ′3 Z ′4

1. + + + + + + + +

2. Z2 ∴ Z ′2

3. Z3 ∴ Z ′3

4. Z4 ∴ Z ′4

Wniosek: Z1 ∴ Z ′1.Jako wykorzystanie metody reszt daje się opisać jedno z największych od-

kryć astronomii matematycznej, jakim było odkrycie planety Neptun. Mia-nowicie Leverrier w 1845 r., po stwierdzeniu poprawności wszystkich obliczeńdotyczących ruchu planety Uran, dla wyjaśnienia niezgodności między wyni-kami obliczeń a danymi obserwacyjnymi, przyjął istnienie nieznanej jeszczeplanety. Zjawiskiem-resztą, dla którego szukano przyczyny, były niezgodno-ści między obliczoną i faktyczną orbitą planety Uran. Tym, co ze zjawisktowarzyszących mogło wchodzić w grę, była nieznana dotąd planeta. Zgod-nie z metodą reszt ta planeta miała być przyczyną «reszty». Dwudziestegotrzeciego września 1846 r. Galle, który dysponował odpowiednimi przyrzą-dami obserwacyjnymi, kierując się wskazówkami Leverrier’a, w niespełnagodzinę odnalazł ciało nie zaznaczone na znanych wówczas mapach nieba.Nowo odkrytą planetę nazwano „Neptunem”.

Metoda zmian towarzyszących

Nie zawsze jest tak, by było możliwe obserwowanie lub eksperymentowanieeliminujące wszystkie zjawiska towarzyszące zjawisku, dla którego szukamyprzyczyny — czego wymaga metoda zgodności — lub wypadek, by zjawi-sko to nie zaszło — czego wymaga metoda różnicy. Metoda reszt z kolei


zakłada znajomość przyczyn wszystkich zjawisk towarzyszących zjawisku,dla którego szukamy przyczyny. Związek przyczynowo-skutkowy może byćjednak stwierdzany również w wypadku, gdy zachodzą jakieś zależności mię-dzy wielkościami zjawisk. Obserwujemy np. zmiany ceny towaru. Możemywięc pytać o przyczynę tego zjawiska. Okazuje się, że zmianie ceny towarutowarzyszą zmiany wskaźnika popytu i podaży.

Metoda zmian towarzyszących wymaga oprócz zasad, których założeniebyło wymagane przez poprzednie metody, założenia, że zmiany wielkościprzyczyny i skutku pozostają względem siebie w stałym związku: zależnośćta jest taka sama dla określonej klasy przyczyn i określonej klasy skutków.

Jako zastosowanie metody zmian towarzyszących można opisać postę-powanie B. Pascala. Idąc w góry wziął ze sobą nie do końca nadmuchanypęcherz. Zauważył, że w miarę zwiększania wysokości zwiększała się objętośćpęcherza. W drodze powrotnej zaś następowało jej zmniejszenie. Pęcherzuzyskał pierwotne wymiary po powrocie na miejsce wyjścia. Ponieważ ci-śnienie zmniejszało się wraz ze zwiększaniem wysokości a towarzyszyło temupowiększanie pęcherza, to dowodzi to, iż ciśnienie wewnątrz pęcherza zmniej-szało się. W trakcie schodzenia wysokość zmniejszała się, a więc ciśnienierosło. Ponieważ towarzyszyło temu zmniejszanie objętości pęcherza, więctym samym zwiększało się ciśnienie wewnątrz pęcherza. Obserwacja ta dajepodstawy do stwierdzenia, że zmianom wielkości ciśnienia zewnętrznego to-warzyszą zmiany ciśnienia wewnętrznego. W 1653 r. Pascal sformułowałprawo: Jeżeli na ciecz lub gaz w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ci-śnienie zewnętrzne, to ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowei równe ciśnieniu zewnętrznemu.

Definicja 2.48. Metoda zmian towarzyszących jest wnioskowaniem,w którym na podstawie przesłanki stwierdzającej, że wszystkimi zjawiskamitowarzyszącymi zjawisku Z są zjawiska Z1, Z2, . . . , Zn oraz przesłanekstwierdzających kolejno zmianę wielkości Z bez zaistnienia zmiany wielkościktóregoś ze zjawisk Z1, Z2, . . . , Zn z wyjątkiem zjawiska Zi, pozwala wnio-skować, że Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny (skutkiem bądź częściąskutku) zjawiska Z20.

20J. St. Mill formułuje ten kanon następująco: „Whatever phenomenon varies in anymanner, is either a cause or an effect of that phenomenon, or is connected with it throughsome fact of causation” (A System of Logic, s. 401).



1. + + + + + +

2. Ã + + + + Ã

Wniosek: Z1 ∴ Z.

„Ã” oznacza zmianę wielkości zjawiska.

Metoda zmian towarzyszących ma bardzo szerokie zastosowanie: rolnikzauważa zależność między wielkością nawożenia a wielkością plonu; kupiecobserwuje zależność między wielkością reklamy a popytem na towar; fizykopisuje zależność między ciśnieniem a objętością gazu. Metoda zmian to-warzyszących wyróżnia się od pozostałych metod tym, że tamte pozwalająstwierdzić zachodzenie bądź niezachodzenie związku przyczynowego, majązatem charakter jakościowy, ta zaś metoda wykorzystuje zależności międzywielkościami zjawisk, a więc ma charakter ilościowy. Jest w ogóle pierwsząmetodą ilościową. Jej zastosowanie wymaga znajomości metody pomiarulub sposobu oceny stopnia zmiany zjawiska.

Nasze dążenie do zrozumienia i kontrolowania świata, w którym żyjemy,wyraża się ustalaniem związków przyczynowo-skutkowych. Chcemy miećprawa mające charakter zdań ogólnych, których uszczegółowieniami są zda-nia stwierdzające poszczególne wypadki związku przyczynowo-skutkowego.Metody Milla — z tego powodu, że wymagają uprzedniego przyjęcia alter-natywy zdań, z których jedno jest «kandydatem» na prawo — bezpośred-nio nie prowadzą do takich praw. Kanonom Milla nie można zatem przy-pisać charakteru metody odkrywania praw przyczynowo-skutkowych. Conajwyżej można im przypisać charakter metody eliminowania ewentualnych«kandydatów» na takie prawa. Kanony Milla jako metody rozumowanianie są metodami dającymi podstawę dla uznania z całą pewnością wniosku.Wprawdzie wniosek wynika z przesłanek, jednak fakt, iż jedna z przesłanek,mianowicie ta będąca alternatywą zdań ogólnych (pa, zdań «kandydatów» naprawa) nie jest zdaniem, które mamy podstawy uznać z całą pewnością, po-woduje, że nie mamy prawa uznania z całą pewnością wniosku. Metody Millaopisują jednak rzeczywisty sposób postępowania w celu ustalenia związkówprzyczynowo-skutkowych. Po prostu, w badaniach tych związków musimyzadowalać się wynikami tylko z niepełnym stopniem pewności i tym, że sfor-mułowania są zwykle tylko stwierdzeniami przypuszczeń, które ma badającydaną dziedzinę. Wnioskowanie według kanonów Milla nie daje prawa douznania wniosku z całą pewnością, a same metody nie prowadzą same przez


się do odkrycia praw i dlatego nie są heurystycznie całkowicie skuteczne.

Zadania

Zadanie 2.32. Omów zastosowany kanon i jeśli rozumowanie jest niepo-prawne wskaż błąd.

1. Pewien uczeń przedstawił hipotezę: stwierdził, że pająki mają organysłuchowe w nogach. Położył schwytanego pająka na stole i zawołał, abybiegł. Pająk biegł. Następnie młody eksperymentator urwał pająkowinogi. Położył go na stole i zawołał, aby biegł. Pająk nie biegł. Zatemtrafna jest hipoteza — po oderwaniu nóg pająk ogłuchł i nie słyszałwołania chłopca.

2. Firma „Pollena Uroda” zaobserwowała stopniowy spadek obrotów w os-tatnich latach. Aby ustalić przyczynę tego zjawiska firma zbadała po-tencjalne źródła owej tendencji: reklamę, dystrybucję oraz same wy-roby. Firma zaczęła od wykreowania nowej reklamy, lecz mimo zmianobroty wciąż spadały. Następnie porównując swoje kanały dystrybucjiz kanałami innej firmy z tej samej branży doszła do wniosku, że jejwłasne działają prawidłowo. Owe badania potwierdziły trzecią hipo-tezę: spadek obrotów jest wywołany przez same wyroby. Ich jakośći styl odbiegają od światowych wymogów21.

3. Powszechnie uznaje się, że Grecy i Żydzi swoje pismo zapożyczyli odFenicjan. Znajduje to potwierdzenie w podobieństwie nazw liter grec-kich: alfa, beta, gamma i hebrajskich: alef, bet, gimel.

4. Gdy obniża się podatki wzrastają wpływy do budżetu państwa. Ludziechcą więcej i zarabiają więcej. Deficyt nie jest spowodowany przezobniżkę podatków. Deficyt wzrośnie jeśli wybierzemy tych, którzy chcązwiększyć nasze podatki. (Ronald Reagan)

5. Mama wierzyła, że czosnek jest dobry na każdą chorobę. Każdegoranka smarowała nim moje plecy. Prosiłem, „Mamo, nie rób tego”.Posyłała mnie tak «pachnącego» do szkoły. Muszę jednak zdradzićwam, że nigdy nie chorowałem. Mam swoją teorię: nikt nie zbliżył siędo mnie na taką odległość, aby mnie zarazić. (Leo Buscagila)

6. Mycie oczyszcza z poczucia winy Kłamcy, oszuści, kobieciarze i mor-dercy nie słyną z wyjątkowej higieny osobistej, z drugiej strony jednaknikt dotąd nie studiował ich kąpielowych nawyków.

21Por. Kobieta i styl, marzec 1994 r.


Jak wykazały badania, osoby, które umyły ręce po dokonaniu nieetycz-nego czynu były mniej trapione przez swoje myśli niż te, które nie myłyrąk.

Związek pomiędzy moralną a fizyczną czystością wydaje się oczywistyod dawna. Naukowcy nazywają to pragnienie oczyszczenia się efektemMakbeta, od sceny w tragedii Szekspira, w której Lady Makbet zawodzi:Precz, przeklęta plamo! Precz, mówię! zakrwawiwszy swoje ręce, gdymąż za jej namową zamordował króla Duncana.

Podczas jednego z eksperymentów, przeprowadzonych wśród studen-tów, badacze polecili jednej z grup przypomnieć sobie nieetyczny po-stępek z przeszłości, jak zdradzenie przyjaciela, zaś innej grupie —rozmyślać nad czynem etycznym w rodzaju zwrócenia znalezionychpieniędzy. Następnie studenci mogli wybrać, czy chcą dostać ołówek,czy antyseptyczną chusteczkę. Ci, którzy zastanawiali się nad wstydli-wym uczynkiem, dwa razy częściej wybierali chusteczkę.

Eksperymentalnie wykazano, że studenci, którzy rozmyślali o swymnieetycznym postępowaniu ocenili wartość środków czyszczących znacz-nie wyżej niż ich koledzy, którzy koncentrowali się na dobrym uczynku.

Psychologowie od lat wiedzieli, że gdy ludzie zdradzają swoje wartości,czują potrzebę kompensacji. Chrześcijanie po przeczytaniu bluźnier-czej opowieści o Jezusie wyrażają pragnienie częstszego chodzenia dokościoła; socjal-liberałowie, którzy czują, że kogoś dyskryminowali wy-rażają zwiększoną chęć zgłaszania się na ochotnika do akcji obronypraw obywatelskich.

Naukowcy wykazali, że studenci, którzy myśleli o swoich wcześniejszychgrzechach chętniej zgłaszali się do pomocy innym studentom w przy-gotowaniu pracy magisterskiej — chyba, że pozwolono im umyć ręce,co obniżało ich skłonność do poświęcenia swego czasu mniej więcejo połowę.

— Uważamy, że zwykłe mycie rąk może być skuteczne w oczyszczaniusumienia — ale do pewnych granic. Trzeba więc jeszcze ustalić, gdzieprzebiega ta granica.

Zadanie 2.33. Korzystając z metod Milla wytłumacz uzyskane wyniki i wskażdalsze możliwe eksperymenty.

1. Stwierdzono, że osoby, które czy to razem z pokarmem, czy też w for-mie tabletek otrzymują w dużych ilościach takie witaminy antyoksy-dancyjne, jak witamina E lub beta-karoten, rzadziej chorują na no-


wotwory (a zwłaszcza na raka płuc) niż reszta populacji oraz rzadziejwystępuje u nich choroba niedokrwienia serca.

Na przykład badania przeprowadzone wśród Chińczyków z prowincjiLin-Xian wykazały, że w grupie osób stosujących dietę bogatą w beta-karoten, witaminę E oraz w selen liczba zgonów z powodu raka żołądkabyła niższa o 21% niż w grupie kontrolnej. [. . . ]

Próba [. . . ] przeprowadzona pod nadzorem fińskiego Narodowego In-stytutu Raka oraz Narodowego Instytutu Zdrowia Publicznego doty-czyła ponad 29 000 mężczyzn w średnim wieku palących papierosy. Dobadań wybrano palaczy, właśnie ze względu na znacznie częstsze wy-stępowanie u nich nowotworów (szczególnie raka płuc) i chorób układukrążenia. Wyłonionej drogą losowania grupie przez 6 lat podawanobeta-karoten, a część tej grupy zażywała także witaminę E. [. . . ]

Rezultaty badań były równie jednoznaczne, co zaskakujące. Wbrewwszelkim przypuszczeniom nie wykazano w nich znaczącego statystycz-nie ochronnego wpływu tej witaminy. Gorzej: okazało się, że w gru-pie osób otrzymujących beta-karoten nowych przypadków raka płucbyło znacząco więcej niż w grupie kontrolnej. Częstość występowa-nia raka płuc była aż o 18% większa wśród 14 500 osób zażywającychbeta-karoten niż pośród tej samej liczby osób, które tej witaminy niezażywały22.

2. Osoby z wysokim IQ rzadziej cierpią na kaca. Osoby z bardzo wysokimilorazem inteligencji rzadziej cierpią na kaca po całonocnych imprezachalkoholowych — wskazują szkockie badania, które publikuje pismo Jo-urnal of Epidemiology and Community Health. Naukowcy z Uniwer-sytetu w Edynburgu doszli do takiego wniosku po przeanalizowaniudanych zebranych w grupie 7 tys. osób, które w wieku 11 lat (w roku1962) przeszły testy na inteligencję. Średnio 40 lat później poproszonoich o wypełnienie ankiety na temat ich nawyków i doświadczeń alko-holowych.

Okazało się, że będąc w średnim wieku osoby, które jako nastolatkimiały wysokie IQ, rzadziej doświadczały objawów kaca (np. silnegobólu głowy, nudności, wzmożonego pragnienia, nadwrażliwości na świa-tło i dźwięki) po wypiciu alkoholu, niż osoby z niższym ilorazem inte-ligencji.

„Być może inteligentne osoby po prostu słuchają dobrych rad i unikają22Zob. Wiedza i Życie, Maj 1995, str. 22–23.


tzw. ciągów picia, tj. intensywnego spożywania alkoholu w dłuższychokresach czasu” — spekuluje prowadzący badania dr David Batty. Na-ukowcy planują zweryfikować tę hipotezę w przyszłości.

3. Sąsiedzi chwalą bezinteresowność ponieważ jest ona dla nich korzystna.

4. Głównym powodem powszechnego analfabetyzmu jest fakt, że więk-szość umie pisać i czytać.

Zadanie 2.34. Lekarz włoski, psychiatra Cezare Lombroso przeprowadził ba-dania więźniów i stwierdził, że pewne cechy układu twarzy, wymiarów twa-rzy itp. są cechami przestępcy z urodzenia. Czy można uznać taki wynikbadań?

Zadanie 2.35. Opisz zastosowanie rozumowanie i oceń jego poprawność.

1. Flawonoidy zawarte w kakao są znane przede wszystkim ze swojego ko-rzystnego wpływu na układ krążenia i serce. Aby sprawdzić działanietych związków na skórę, amerykańsko-niemiecki zespół badaczy z Uni-wersytetu Witten-Herdecke w Witten zaprosił do testów 24 zdrowekobiety (od 18 do 65 roku życia). Połowa z nich przez okres 12 tygo-dni codziennie piła napój kakaowy bogaty we flawonoidy, a połowa —napój ubogi w te związki.

Na trzech różnych etapach badań sprawdzono stan ich skóry — m.in.nawilżenie, odporność na promienie UV, ukrwienie i strukturę.

Okazało się, że regularne picie kakao bogatego we flawonoidy wyraź-nie poprawiało wygląd i strukturę skóry — podnosiło jej nawilżenie,obniżało szorstkość i minimalizowało łuszczenie. Po raz pierwszy za-obserwowano też, że flawonoidy z kakao poprawiały zdolności skóry doobrony przed promieniami UV. Po naświetlaniu UV pacjentki regular-nie pijące kakao bogate we flawonoidy miały mniej zaczerwienień naskórze niż pacjentki z drugiej grupy.

2. Mrówki pustynne mają wewnętrzny licznik, który pozwala im oceniaćpokonywane odległości na podstawie liczby wykonanych kroków.

Niektóre gatunki mrówek znajdują powrotną drogę do domu na pod-stawie informacji wzrokowych bądź zostawianych przez siebie śladówzapachowych. Na pustyni brakuje jednak znaków szczególnych w kra-jobrazie pustyni a zapach szybko ulatnia się. Mimo to, mrówki żyjącena pustyni z niewiarygodną dokładnością trafiają do swoich gniazd.


Istnieją dowody na to, że mrówki mogą kierować się w swoich wę-drówkach pozycją słońca. Wymaga to jednak umiejętności pomiaruodległości. Aby to sprawdzić badania mrówki z gatunku Cataglyphisfortis. Okazało się, że owady, którym skrócono nogi, miały kłopotyz powrotem do gniazda.

W kolejnym doświadczeniu badano dwie grupy mrówek. Jednej grupieskrócono nogi o ok. 1 milimetr, a drugiej — wydłużono, przyczepiając1 milimetrowe „szczudła” z leciuteńkich szczecinek. Przed modyfikacjądługości odnóży mrówki nauczyły się drogi między gniazdem a źródłempokarmu, do którego chodziły 10-metrowym tunelem w aluminiowejrurce.

Okazało się, że po modyfikacji długości odnóży mrówki nie potrafiłyprawidłowo oceniać odległości do gniazda. Te, które chodziły na szczu-dłach wykonywały trasę o 50 proc. dłuższą,od normalnej, a późniejbiegały w przód i w tył w poszukiwaniu domu. Z kolei mrówki z krót-szymi kończynami zaczynały w panice szukać domu już po przejściupołowy zwykłej odległości.

Zdolność odnajdywania gniazda wracała w kolejnych wyprawach.

Odkrycie to wskazuje, że u mrówek pustynnych istnieje wewnętrznysystem, który w jakiś sposób „odlicza” liczbę kroków. Ten automa-tyczny pedometr, który jest prawdopodobnie elementem mrówczegoukładu nerwowego, ulega „zresetowaniu” za każdym razem, gdy mrówkawraca do rodzinnego gniazda.

3. Jabłka, a także sok jabłkowy, mogą być doskonałym lekiem poprawia-jącym pamięć w starszym wieku (Journal of Alzheimer’s Disease).

Osłabienie zdolności umysłowych w tym pamięci jest częstym zaburze-niem w podeszłym wieku. Mózg starzeje się pod wpływem gromadzą-cych się w nim wolnych rodników, które mają silne zdolności utlenia-jące, przez co niszczą komórki nerwowe. Jabłka zawierają wyjątkowąmieszankę związków neutralizujących wolne rodniki.

Sok z jabłek zwiększa w mózgu produkcję acetylocholiny — związku,który reguluje zapamiętywanie. Jest to jeden z tzw. neuroprzekaźni-ków, odpowiedzialnych za przekazywanie informacji między komórkaminerwowymi. Poziom acetylocholiny spada w mózgach starszych osób.

Najnowsze doświadczenia prowadzono na myszach w sile wieku (9-12miesięcy) oraz starych (2-2,5 lat). Część gryzoni miała genetyczne


predyspozycje do zaburzeń przypominających chorobę Alzheimera uludzi.

Ze względu na rodzaj diety myszy podzielono na trzy grupy. Jednabyła na diecie standardowej, a pozostałe dwie — na diecie z niedobo-rem różnych składników odżywczych (witaminy E i kwasu foliowego),takiej która prowadzi do spadku produkcji acetylocholiny. Część my-szy na zubożonej diecie dostawała jednak do picia wodę z dodatkiemkoncentratu soku jabłkowego. We wszystkich przypadkach dietę pro-wadzono przez miesiąc.

U myszy genetycznie predysponowanych do alzheimera oraz starychniedobory składników odżywczych powodowały spadek poziomu acety-locholiny w obszarach mózgu odpowiedzialnych za procesy umysłowe.Wzbogacenie diety w sok jabłkowy pozwoliło natomiast utrzymać jejprodukcję na zwykłym poziomie. Gryzonie pijące sok z jabłek wypa-dały znacznie lepiej w testach oceniających zdolność uczenia się i za-pamiętywania niż myszy będące wyłącznie na diecie zubożonej.

Wyniki te wskazują, że u starszych osób sok jabłkowy może spowalniaćrozwój demencji związanej z niedoborami pewnych składników w diecielub predyspozycjami genetycznymi. Działanie soku jabłkowego możnatu porównać do grupy leków na Alzheimera, które podnoszą poziomacetylocholiny w mózgu.

Wnioskowanie przez analogię

Wiele naszych codziennych rozumowań to wnioskowania przez analogię. Ro-zumowania takie pojawiają się w dyskusjach na tematy etyczne, prawnei polityczne. Słowo „analogia” pochodzi z greki, gdzie oznaczało proporcję,stosunek arytmetyczny lub geometryczny. Na przykład 1 : 2 ma się tak samojako 2 : 4, a okrąg do sfery ma się tak samo jako trójkąt do stożka.

Zachodzenie takiej samej proporcji między C i D jak między A i B zapisaćmożna następująco:

A : B = C : D.

Formuła ta daje się odczytać: „Jak A ma się do B, tak C ma się do D.W przypadku danych trzech wartości — jeśli są to wartości liczbowe a „:”jest symbolem dzielenia — można obliczyć czwartą. Analogia opiera się napodobieństwach między różnymi przedmiotami23.

23Już John Stuart Mill zauważał, że There is no word which is used more loosely, orin greater variety of senses, than Analogy. Zob. Mill, J. S. 1882. A System of Logic,Ratiocinative and Inductive (8th ed.). New York: Harper and Bros, s. 393.


Ponieważ zakupy w jakimś sklepie były udane, o kolejnych zakupach, któ-rych zamierzamy dokonać w tym sklepie, sądzimy, że będą udane. Doświad-czenia przeszłości odnosimy do przyszłości. Coś jadłem i to coś wówczas minie smakowało. W przyszłości odmawiam jedzenia tego czegoś, sądząc, żenie będzie mi smakowało. Dziecko, które poparzyło się żelazkiem, będziebało się je dotknąć. Wiele argumentów filozoficznych odwołuje się do ana-logii. Z faktu, że otaczające mnie rzeczy zostały przez kogoś wytworzone,wnioskuję, że świat został przez kogoś stworzony. Z wnioskowaniem przezanalogię ma się do czynienia w wypadku systemu prawnego opartego o tzw.precedensy (jak np. angielski). Wskazuje się na uprzednie sprawy (są toprecedensy) i na ich podobieństwo z rozpatrywaną sprawą. Wyrok, któryzapadł w tamtych sprawach, winien więc zapaść i w aktualnie rozważanejsprawie. W prawie cywilnym, na przykład, adwokat strony pozywającejz zasady cytuje jeden lub więcej rozstrzygniętych wypadków (znanych jako«precedensy») dla wsparcia strony pozywającej. Adwokat argumentuje, że,ponieważ poprzednie wypadki są podobne do rozważanego i były rozstrzy-gnięte na rzecz pozwa, to aktualna sprawa powinna być rozstrzygnięta narzecz jego klienta (wniosek).

W związku ze sprawą fałszywej informacji o posiadaniu przez A.K. wyż-szego wykształcenia powoływano się na wypadek ukarania kogoś, kto za-biegając o stanowisko wójta podał fałszywe dane o posiadaniu średniegowykształcenia. Ten argument był nieskuteczny, ponieważ w polskim prawiekarnym nie stosuje się analogii24.

Wnioskowanie przez analogię zastosowane jest w następującej argumen-tacji:

Gdyby programy wojskowe telewizji redagowali niewojskowi, tośrodowisko wojskowe byłoby niezadowolone. Gdyby programykatolickie przygotowywali ateiści, to środowisko katolickie byłobyoburzone. Zrozumiałe jest więc, że środowisko wiejskie oczekuje,by programy o wsi przygotowywali ludzie z tego środowiska25.

Definicja 2.49. We wnioskowaniu przez analogię na podstawie przesła-nek stwierdzających:

1. zachodzenie podobieństw P1, . . . ,Pm między wszystkimi sytuacjamis1, s2, . . . , sn, sn+1, czyli przesłanek:

24Por. uwagi w sprawie argumentum a simili25Por. wywiad telewizyjny R.M., członka Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji, w dniu

01.08.95.


• P1(s1), . . . ,Pm(s1);• P1(s2), . . . ,Pm(s2);

. . .• P1(sn), . . . ,Pm(sn);• P1(sn+1), . . . ,Pm(sn+1);

oraz

2. zachodzenie podobieństw Pm+1, . . .Pm+j między wszystkimi sytuacjamis1, s2, . . . , sn, czyli przesłanek:

• Pm+1(s1), . . . ,Pm+1(s1),• . . . ,• Pm+j(sn), . . . ,Pm+j(sn);

dochodzi się do uznania wniosku stwierdzającego, że

3. Pm+1(sn+1), . . . ,Pm+j(sn+1).

W wypadku wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną napodstawie przesłanek stwierdzających pewną prawidłowość w pewnego ro-dzaju n sytuacjach wnioskujemy, że prawidłowość ta ma miejsce dla wszyst-kich sytuacji tego rodzaju. W wypadku wnioskowania przez analogię napodstawie n przesłanek stwierdzających pewną prawidłowość w n podob-nych sytuacjach wnioskujemy tylko o podobnej (n + 1)-sytuacji, że zachodzidla niej ta sama prawidłowość.

W wypadku wnioskowania przez analogię dostrzegamy tylko podobień-stwa, w odróżnieniu od wnioskowania przez indukcję enumeracyjną, gdziema się do czynienia z przedmiotami (sytuacjami) określonych rodzajów (ato jest czymś więcej niż tylko podobieństwem).

Wnioskowanie przez analogię nie jest, jak wnioskowanie przez indukcjęenumeracyjną niezupełną, wnioskowaniem redukcyjnym, nie jest też wnio-skowaniem dedukcyjnym. W wypadku wnioskowania redukcyjnego stwier-dzenie sytuacji zaprzeczającej przesłance skutkuje odrzuceniem wniosku.W wypadku wnioskowania przez analogię stwierdzenie sytuacji, w którejnie potwierdza się zachodzenia pewnej prawidłowości, mimo zachodzeniawszystkich prawidłowości, ze względu na które przesłanki stwierdzają podo-bieństwo, nie przekreśla prawa do uznania wniosku, lecz ma jedynie wpływna stopień, z jakim wolno ten wniosek uznać.

Wnioskowanie przez analogię jako rozumowanie ma charakter pomocni-czy. Zasadniczo pełni rolę heurystyczną i dydaktyczną.


Wnioskowanie przez analogię jest wnioskowaniem uprawdopodobniają-cym, w którym stopień pewności, z jakim można uznać wniosek:

1. wzrasta ze wzrostem:

(a) liczby przesłanek,oraz

(b) liczby i jakości (powiązania) prawidłowości, ze względu na którestwierdza się podobieństwo (P1, . . . , Pm).

2. maleje, gdy:

(a) wzrasta liczba lub jakość prawidłowości stwierdzanych we wniosku(Pm+1, . . . , Pm+j)oraz

(b) wzrasta liczba sytuacji podobnych ze względu na prawidłowości,o których mowa w przesłankach, dla których nie zachodzą prawi-dłowości stwierdzane we wniosku.

ad 1a. Gdy uzasadniam komuś, że warto zjeść obiad w restauracji „Prima”,bo raz tam byłem i byłem usatysfakcjonowany, to mój argument mamniejszą siłę przekonywania, niż wtedy, gdy podam cztery przesłankistwierdzające o pobycie w „Primie” jako satysfakcjonującym mnie (tecztery przesłanki mogą być wypowiedziane w formie: byłem czteryrazy w „Primie” i za każdym razem byłem usatysfakcjonowany).

ad 1b. Zamierzam zakupić buty. Dotychczas posiadana para Pr0 była bar-dzo wygodna. Chcę kupić równie wygodną. Znajduję w sklepie dwiepary. Para Pr1 jest podobna do pary Pr0 nie tylko pod tymi samymiwzględami co para Pr2, ale nadto podobna jest jeszcze pod innymiwzględami. Zakupuję parę Pr1. Tu zdecydowała liczba podobieństw.Podobnie z jakością podobieństw. Powiedzmy, że para Pr1 jest po-dobna do posiadanej przeze mnie pod względem jakości materiałów,zaś para Pr2 pod względem kolorów. Ponieważ kolor nie jest ważnyze względu na jakość obuwia, a materiał, z którego jest wykonane tak,więc dokonuję zakupu pary Pr1.

ad 2a. Powiedzmy, że posiadana przeze mnie para obuwia Pr0 była nietylko wygodna, ale i modna. W sprawie dokonanego zakupu, w którymkierowałem się tylko podobieństwem jakości materiałów, mam prawodo mniejszego stopnia pewności, że jest parą wygodną i modną niż


gdybym miał na uwadze tylko wygodę (przy założeniu, że jakość ma-teriałów nie ma powiązania z modą).

ad 2b. Wypadki, gdy mimo właściwego podobieństwa nie zachodzi po-dobieństwo stwierdzane we wniosku, pomniejszają stopień pewności,z jakim można uznać wniosek. Jeżeli już na przykład trzy razy zaku-piłem buty, które były podobne pod względem jakości materiału, a niebyły wygodne, to stopień pewności, że nowo zakupiona para obuwiabędzie wygodna, jest mniejszy, niż gdyby te trzy wypadki zakupówbutów niewygodnych nie miały miejsca.

Wnioskowanie przez analogię jest nam wspólne ze światem zwierzęcym.Ma ono podstawy psychofizjologiczne. Jeśli w n sytuacjach wraz z bodź-cem B1 występuje bodziec B2, to gdy w sytuacji (n + 1) pojawi się bodziecB1, organizm zareaguje (dla wystarczająco dużego n) tak, jakby pojawił sięrównież bodziec B2.

Ponieważ wnioskowanie przez analogię nie jest niezawodne, nie zawszektoś stosujący je w argumentacji ma rację. Najłatwiej odrzucić argumenta-cję opartą na takim wnioskowaniu, stosując ten sam wzorzec, tę samą formęi z prawdziwych przesłanek dochodząc do znanego jako fałszywy wniosku.Językowymi wskaźnikami zastosowania tego rodzaju argumentacji są zwrotyw rodzaju: „ten sam argument dowodzi”, „ ja mógłbym użyć tego samegoargumentu”, „mógłbyś równie dobrze powiedzieć”. Powiedzmy, że ktoś wnio-skuje następująco: „Premier rządu sam decyduje o kierunkach pracy rządu,jak kierowca sam ma prawo trzymać kierownicę jadącego samochodu.” Moż-liwa jest następująca kontrargumentacja: „Równie dobrze można by w tensposób dowodzić, że członkowie rządu nie mają prawa rozmawiać z pre-mierem, jak pasażerowie nie mają prawa rozmawiać z kierowcą.” Przykładpokazuje, że należy bardzo przemyślanie korzystać z wnioskowania przezanalogię. Ten ktoś, kto chciał uzasadnić prawo premiera do jednoosobowegodecydowania o pracach rządu, dobierając taką a nie inną analogię stworzyłmożliwość kontrargumentacji, która całkowicie zniweczyła jego argument.Nawet trafne tezy ulegają «nadwerężeniu», jeśli argumentacja na ich rzeczspotyka się z przekonywającą kontrargumentacją. Jest to zresztą generalnazasada, że nieumiejętna argumentacja znacznie ułatwia kontrargumentacjęi czasem nie mając dobrych argumentów lepiej jest domagać się kontrargu-mentów. Chcąc zaś skompromitować jakąś tezę, bywa że specjalnie umawiasię kogoś, kto nieumiejętnie argumentuje na rzecz tej tezy.

Mimo «słabości», wnioskowanie przez analogię pełni doniosłą rolę w na-uce. Nie sposób wyobrazić sobie pewnych badań organizmu ludzkiego (to,


czego nie sposób sobie wyobrazić miało miejsce choćby w niemieckich obo-zach koncentracyjnych w czasie II wojny światowej). W wypadku badań,które mogą prowadzić do uszkodzenia organizmu lub jego zniszczenia wyko-rzystuje się zwierzęta. Wyniki będą tym pewniejsze, im większe jest podo-bieństwo organizmu zwierzęcia do organizmu ludzkiego. Stąd też w ostatniejfazie badań zdarza się wykorzystywanie do eksperymentu małp.

Nie sposób przecenić heurystycznej roli analogii. Lot ptaków inspirowałtwórców pierwszych maszyn latających. Można tylko podziwiać Newtona, żedostrzegł analogię między spadającym jabłkiem a ruchem Księżyca. Analo-gia jest niezbędnym narzędziem heurezy w matematyce. Współcześnie «bu-duje się» komputerowe modele: programuje się właściwości znane i odnajdujesię w modelu nieznane, które następnie przypisuje się temu co rzeczywiste(wnioskując przez analogię). Takie modele używane są do wspomagania za-rządzania. Każdy w szkole spotkał się z mechanicznymi modelami zjawiskniemechanicznych; ułatwiają one zrozumienie tych zjawisk. Tu ujawnia siędydaktyczna rola analogii. Wzorem łączenia funkcji wnioskowania z funkcjądydaktyczną są przypowieści Pisma Świętego.

Terminu „analogia” używa się też w znaczeniu „podobieństwo”. Z dawiendawna pisarze wykorzystują podobieństwo dla ożywienia opisu.

Bo każda chmura inna: na przykład jesiennaPełźnie jak żółw leniwa, ulewą brzemienna.

A. Mickiewicz, Pan Tadeusz, ks. III, 636–637.

Zadania

Zadanie 2.36. Opisz rozumowanie zastosowane w poniższym tekście.

1. Praktyka bez nauki — to tak jakby sternik prowadzący statek bezsteru lub kompasu; nigdy nie będzie pewien dokąd płynie. (Leonardoda Vinci)

2. Gdyby prasa donosiła o wszystkich i tylko przypadkach śmierci na stoleoperacyjnym — co mieści się w ryzyku chirurgicznym — to doprowa-dzono by do całkowitego braku zaufania do chirurgii.

3. Brak społecznej zgody na udzielanie przepustek dla więźniów bierze sięz tego, że prasa donosi o wszystkich i tylko wypadkach, gdy więźniowiena przepustce popełniają przestępstwo. Przestępstwa te jednak stano-wią zaledwie 0.25% wszystkich przestępstw. (Min. L.K., 27.02.97 r.)


Zadanie 2.37. W środę dokonano kradzieży znacznej kwoty pieniędzy z bankuA. Przestępcy mieli rozeznanie systemu alarmowego i posterunków strażni-ków. System został wyłączony, a strażnicy obezwładnieni. Kasy otworzonoposługując się kluczami i narzędziami, którymi dysponowali złodzieje.

Czy wniosek, że kradzieży w banku B dokonała ta sama grupa przestęp-cza jest uprawniony na podstawie tego, że

1. kradzieży dokonano w środę,

2. ukradziono tyle samo pieniędzy, co z banku A,

3. zastosowano te same narzędzia, które zastosowano dla dokonania kra-dzieży w banku A,

4. wyłączono system alarmowy i obezwładniono strażników,

5. system alarmowy był tego samego rodzaju, co w banku A,

6. wyłączono system alarmowy, obezwładniono strażników oraz zastoso-wano te same narzędzia, z których korzystano w kradzieży w bankuA?

Zadanie 2.38. Wskaż człon X stosunków tak, aby zachodziła analogia:

1. głęboki : kosztowny : : płytki : X,

2. człowiek : skrzela : : ryba : X,

3. ABC : ABCD : : X : PQRS,

4. X : lekarstwo : : sklep spożywczy : żywność,

5. chirurg : skalpel : : X : pióro,

6. X : restauracja : : przewodnik : miasto,

7. X : drzewo : : jajko : ptak,

8. termometr : temperatura : : X : czas,

9. X : szczekanie : : kot : miauczenie,

10. kuchnia : X : : sypialnia : spanie.

Zadanie 2.39. Określono rodzaj rozumowania użytego w podanej argumen-tacji oraz dokonaj jego analizy:


1. Rozmawiałem z prezydentem Jelcynem. Pytałem o stosunki ze Sta-nami Zjednoczonymi. Odpowiedział, że są znakomite. Pytałem o sto-sunki z Niemcami. Odpowiedział, że świetne. Podobnie ocenił stosunkiz Francją i Wielką Brytanią. Kiedy zapytałem z stosunki z Polską pre-zydent Jelcyn stwierdził ich niezadowalający stan. Stany Zjednoczonesą w NATO, tak samo Niemcy, Francja i Wielka Brytania. Polska nienależy do NATO. Powiedziałem prezydentowi Jelcynowi, że dla polep-szenia stosunków z Rosją trzeba, aby Polska przystąpiła do NATO. —Argumentacja zastosowana przez A.K. na spotkaniu w siedzibie NATO.

2. Pierwsza rewolucja techniczna zdewaluowała pracę fizyczną przez prze-wagę maszyn. Zapłata za pracę kopacza nie będzie w USA wystar-czająco niska, aby była konkurencyjna z pracą koparki. Współczesnarewolucja techniczna (bardzo szybkie komputery, tak zwane „myślącemaszyny”) podobnie skazują na dewaluację ludzki mózg przynajmniejw wypadku prostych i rutynowych decyzji. Oczywiście, podobnie jaksprawny stolarz, sprawny mechanik, sprawny krawiec w pewnym stop-niu przeżyli pierwszą rewolucję przemysłową, tak sprawny naukowieci sprawny zarządca mogą przeżyć drugą. (N. Wiener, Cybernetics, NewYork 1948.)

3. Obserwujemy bardzo duże podobieństwo między Ziemią, którą za-mieszkujemy a innymi planetami: Saturnem, Jowiszem, Marsem, We-nus i Merkurym. Wszystkie one krążą wokół Słońca, jak Ziemia, aczkol-wiek w różnych odległościach i z różnymi okresami. Wszystkie świecąświatłem słonecznym, jak Ziemia. O kilku z nich wiadomo, że kręcą sięwokół własnej osi, jak Ziemia i w ten sposób muszą mieć dnie i nice.Niektóre mają księżyce, które dają światło w wypadku braku słońca,jak nasz Księżyc to czyni. Wszystkie one, w swoim ruchu, podlegajątemu samemu prawu grawitacji, jak Ziemia. Z wszystkich tych podo-bieństw nie jest to nieracjonalne, aby myśleć, że planety te, podob-nie jak Ziemia, są zamieszkiwane przez różnego rzędu stworzenia żywe.(T. Reid, Essays on the Intellectual Powers of Man, Pennsylvania StateUniversity Press, 2002.)

Zadanie 2.40. Oceń krytycznie poniższe argumentacje.

1. Nie powinniśmy oskarżać mediów o psucie obyczajów. Prasa, radioi telewizja są podobne do prognozujących pogodę, a do nich nie mamypretensji, że informują o złej pogodzie.


2. Demokracja nie sprawdza się w rodzinie. Rodzice mają decydującygłos, bo oni wiedzą najlepiej, co jest dobre dla ich dzieci. Podobnienajlepszym ustrojem nie jest ustrój demokratyczny, lecz ten, w którymprzywódcy wiedzą co najlepsze dla obywateli.

Zadanie 2.41. Czy w rozumowania przez analogię są dopuszczalne w kwe-stiach etycznych?

Filozof Judith Thomson w bardzo znanym tekście A Defense of Abortionz 1971 r., prawo kobiet do aborcji w wypadku niechcianej ciąży uzasadniaprzez analogię. Ktoś budząc się stwierdza, że jego ciało wykorzystane zostałodo podtrzymania przy życiu nieprzytomnego skrzypka. Thomson twierdzi,że ten ktoś ma prawo do odłączenia od skrzypka, nawet gdyby spowodowałoto śmierć skrzypka. W takim razie również w pewnych wypadkach kobietama prawo do aborcji niechcianego dziecka.

2.3.8 Klasyfikacja rozumowań

Wnioskowania, o których tu przede wszystkim mowa, nie są jedynym rodza-jem czynności umysłowych, za pomocą których wzbogacamy wiedzę i docho-dzimy do przekonań. Te czynności umysłowe, które, jak wnioskowania, mająna celu ustalenie stosunku uzasadniania między zdaniami (zbiorami zdań),to różnego rodzaju rozumowania.

W dotychczasowych rozważaniach zarysował się zasadniczy podział wnio-skowań ze względu na stopień zagwarantowania prawdziwości wniosku na:

1. wnioskowania dedukcyjne,czyli takie, w których prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwośćwniosku, lub — co na jedno wychodzi — wniosek wynika z przesłanek,

2. wnioskowania uprawdopodobniające,czyli takie, w których prawdziwość przesłanek nie gwarantuje prawdzi-wości wniosku, lecz gwarantuje większe prawdopodobieństwo prawdzi-wości wniosku niż jego zaprzeczenia.

Wnioskowania uprawdopodobniające można podzielić ze względu nato, czy ma, czy też nie ma miejsce wynikanie przesłanek z wniosku natakie, w których:

(a) przesłanki wynikają z wniosku,są to wnioskowania redukcyjne, jak np. wnioskowania przez in-dukcję enumeracyjną niezupełną,


(b) przesłanki nie wynikają z wniosku,jak np. wnioskowania przez analogię.

Innym zasadniczym podziałem wnioskowań byłby ich podział według kie-runku wynikania na:

1. wnioskowania dedukcyjne,czyli takie, w których wniosek wynika z przesłanek,

2. wnioskowania redukcyjne,czyli takie, w których przesłanki wynikają z wniosku.

Ten podział nie obejmuje wszystkich wnioskowań. Do wnioskowań zaliczy-liśmy np. wnioskowania przez analogię, a nie są one ani dedukcyjne, aniredukcyjne.

Tradycyjny podział wnioskowań na:

1. wnioskowania dedukcyjne,jako wnioskowania od ogółu do szczegółu,

2. wnioskowania indukcyjne,jako wnioskowania od szczegółu do ogółu,

nie jest jasny, bo nie jest wyraźne, co tu należy rozumieć przez „ogólne” a coprzez „szczegółowe”.

Interesujące byłoby podjęcie próby zdefiniowania rozumowania tak, abyzgodnie z taką definicją rozumowaniem były wszystkie te procedury, którezwykło się nazywać rozumowaniami. Interesowałyby nas rozumowania po-jęte jako wytwory, jako przedstawienie w szacie językowej procesu myśle-nia z pominięciem wszystkiego tego, co w nim było przypadkowe i nie jestistotne dla jego wyniku. Myślenie jest procesem natury duchowej, nieko-niecznie intersubiektywnie komunikowalnym, a być może nawet nie do końcawerbalizowalnym. Myślenie, w odróżnieniu od rozumowania, jest procesemindywidualnym, niepowtarzalnym.

Rozumowanie jako wytwór można opisać następująco.

Definicja 2.50. Rozumowanie to dwa niepuste zbiory zdań Z1 i Z2 takie,że

1. zdania ze zbioru Z1 uzasadniają zdania ze zbioru Z2

lub odwrotnie,zdania ze zbioru Z2 uzasadniają zdania ze zbioru Z1,


2. zdania ze zbioru Z1 są uznane, a ze zbioru Z2 nie są uznanelub odwrotnie,zdania ze zbioru Z2 są uznane, a ze zbioru Z1 nie są uznane.

W punkcie wyjścia rozumowania dany jest zbiór Z1, w wyniku procesurozumowania stworzony jest zbiór Z2.

Pojęcia uzasadniania i uznawania są pojęciami relacyjnymi. Uzasadnia-nie, o którym mowa w definicji jest pojęte jako związek między zbioramizdań Z1 i Z2. Nie jest więc tu ważne, czy zdania z jednego lub drugiegozbioru są uzasadnione w jakimś innym sensie, np. w systemie wiedzy. Py-tamy tylko o to, czy zdania ze zbioru Z1 uzasadniają zdania ze zbioru Z2,czy też odwrotnie, zdania ze zbioru Z2 uzasadniają zdania ze zbioru Z1. Torozstrzygnięcie ma konsekwencje dla rozumienia uznawania. Kiedy np. mó-wimy, że zdania są uznane, a szuka się zdań, które by je uzasadniały, to nietwierdzimy tym samym, że te uznane zdania nie są uzasadnione. Podobniekiedy mówimy, że dane są zdania, które uzasadniają, to nie przesądzamytego, czy są one uznane. Gdyby było inaczej, to byłoby to sprzeczne z wcze-śniejszymi ustaleniami, że zdania, które są uznane, powinny być uzasadnione;a jeśli są uzasadnione, to powinny być uznane. Charakterystyka rozumowańpoprzez pojęcia relacyjne sama będzie relacyjna. To, jakiego rodzaju jestdane rozumowanie zależy od odniesienia składających się na jego charak-terystykę pojęć relacyjnych uznawania i uzasadniania. Podana klasyfikacjarozumowań ma więc charakter pragmatyczny.

Każdy rodzaj rozumowania daje się scharakteryzować przez własności 1–2 wyróżnione w definicji 2.50. Ponieważ wskazaliśmy dwie własności (uzasad-nianie, uznawanie), więc czysto kombinatorycznie można scharakteryzowaćcztery rodzaje rozumowań.

1. (a) dany jest zbiór zdań, które mają być uzasadniane i nie są uznane;

(b) tworzony jest zbiór zdań, które uzasadniają i są uznane;

2. (a) dany jest zbiór zdań, które mają być uzasadniane, a są uznane;

(b) tworzony jest zbiór zdań, które mają uzasadniać, a nie są uznane;

3. (a) dany jest zbiór zdań, które uzasadniają, a nie są uznane;

(b) tworzony jest zbiór zdań, które będą uzasadniane i są uznane;

4. (a) dany jest zbiór zdań, które uzasadniają i są uznane;

(b) tworzony jest zbiór zdań, które będą uzasadniane i nie są uznane.


Rozumowanie 1 to uzasadnianie. W wypadku, gdy stosunkiem uzasadnia-nia jest stosunek wynikania to jest to dowodzenie. Dowodzenie to uza-sadnianie, w którym dla nie uznanego zdania poszukujemy uznanych racji.Dowodzone zdanie wynika z tych uznanych racji, inaczej mówiąc zdania tepozostają w stosunku racja-następstwo.

Powiedzmy, że ktoś nie uznaje zdania α, bo brak temu komuś wystar-czających racji dla jego uznania. Uzasadnić temu komuś zdanie α to znaleźćtakie zdania uznawane przez tego kogoś, aby stanowiły one dla tego kogośwystarczającą rację uznania α. W wypadku systemu wiedzy w sensie obiek-tywnym uzasadnienie zdania α polega na wskazaniu wśród zdań uznanychw tym systemie takich zdań, które zgodnie z jego zasadami stanowią wystar-czającą rację dla włączenia do niego zdania α.

Uzasadnianie od wnioskowania różni się punktem wyjścia. W wypadkuuzasadniania punkt wyjścia stanowią zdania będące w wypadku wnioskowa-nia wnioskami, a punkt dojścia stanowią zdania będące we wnioskowaniuprzesłankami.

Rozumowanie 2 to wyjaśnianie.W połowie 1996 r. obserwowany był spadek wzrostu gospodarczego Pol-

ski. Prasa wyjaśniała to twierdząc, że błędna jest polityka gospodarczarządu. Lekarz stwierdzając u pacjenta wysoką temperaturę i katar wyjaśniato twierdząc, że pacjent jest chory na grypę. Zdania o stanie gospodarki i sta-nie zdrowia pacjenta są zdaniami uznanymi. Racjami ich uznania są dane.Zarówno zdanie stwierdzające, że rząd prowadzi błędną politykę gospodar-czą jak i zdanie stwierdzające, że pacjent jest chory na grypę nie są zdaniamiuznanymi. Zdania te uzasadniają zdania, że następuje spadek tempa wzrostugospodarczego i, odpowiednio, wysoką temperaturę oraz katar pacjenta.

Rozumowanie 3 to sprawdzanie.Sprawdzanie pozostaje w związku z wyjaśnianiem. Zauważmy bowiem,

że punktem dojścia wyjaśniania jest zbiór zdań nie uznanych, które uzasad-niają. Takiego rodzaju zbiór zdań jest zaś punktem wyjścia sprawdzania.Jeśli katastrofę samolotu TWA w lipcu 1996 r. wyjaśnimy, że był to za-mach terrorystyczny, to będziemy chcieli to sprawdzić. Czynić będziemy tow ten sposób, że będziemy rozważali nieuznane zdania, które uzasadniajątaki przebieg zdarzeń. Oczywiście, im więcej takich zdań zostanie następniepotwierdzonych przez zebrany materiał dowodowy, tym pewniejsze będzie,że taki a nie inny był powód katastrofy samolotu.

Rozumowanie 4 to wnioskowanie.Uzasadnianie, wyjaśnianie i sprawdzanie jeśli spojrzymy na nie czysto

formalnie, z pominięciem aspektu pragmatycznego, nie różnią się od wniosko-


wania. We wnioskowaniu w punkcie wyjścia, przesłankami są zdania uznanei uzasadnione. W punkcie dojścia, wnioskiem jest zdanie nieuznane i uza-sadniane przez przesłanki.

Zadania

Zadanie 2.42. Określ rodzaj rozumowania:

1. Tegoroczne plony są niskie. Jest tak z powodu suszy panującej w czasiewegetacji roślin.

2. Panuje susza, zatem należy spodziewać się niskich plonów.

3. Zwiększa się udział programów naruszających zasady dobrych obycza-jów i moralności. Spowodowane jest to postępującą komercjalizacjąmediów.

4. Gdyby Jan brał udział w napadzie, to nie byłoby go wówczas w domu.Jana w czasie napadu nie było w domu.

2.4 ArgumentacjaLogic is the science needed in order to test arguments.

C. S. Peirce[. . . ] i nie chciałbym, aby w cokolwiek ktoś uwierzył,dopóki by go nie przekonały oczywiste i niezbite argu-menty.

Descartes

Sztuka przekonywania ma duże znaczenie praktyczne w systemach demo-kratycznych i wolnorynkowych. W demokracji osiąganie celów politycznychi społecznych wymaga szerokiego poparcia, a więc trzeba umieć przekonaći to nie tyle do siebie, co — w wypadku dojrzałej demokracji — do trafnościprogramu i podejmowanych działań. Im większe umiejętności argumento-wania choćby przez adwokatów i prokuratorów, tym wyższy poziom prawo-rządności. W systemie wolnorynkowym, cechującym się nadwyżką podażytowarów i usług nad popytem, trzeba umieć przekonać klienta do oferowa-nego przez siebie towaru lub usługi. Reklama nastawiona jest w zasadzie naspowodowanie jedynie określonego zachowania się klienta, odwołuje się więcgłównie do emocji, stąd najskuteczniejsza jest w stosunku do dzieci. Ludziedojrzali chcą być jeszcze przekonani o trafności swojej decyzji. Zarówno poli-tykowi jak i handlowcowi pożytek przynosi umiejętność negocjowania, którejnieodłącznym elementem jest umiejętność przekonywania.

2.4. ARGUMENTACJA 227

Sztuką argumentowania zajmowali się już starożytni filozofowie. Stała sięspecjalnością sofistów. Uważali, że «doskonałość» człowieka nie jest sprawąani przypadku, ani losu i urodzenia, lecz dziełem «rzemiosła» i że można jejnauczać i uczyć się. Cel ten osiąga się przez nauczanie sztuki przemawiania,nauczanie języka i publicznego występowania.

Współczesne zainteresowanie retoryką jako sztuką przekonywania ma m.in.związek z rozwojem rozwojem demokracji i gospodarki wolnorynkowej.

Eris rzuciła jabłko z napisem „najpiękniejsza”. Spór między pretendent-kami do tego tytułu rozstrzygnął Parys na korzyść Afrodyty. Otrzymał za toHelenę, lecz wywołał krwawą wojnę trojańską. Od imienia bogini Eris bierzesię nazwa sztuki prowadzenia sporu — erystyki. Zajmowali się nią sofiści.Uprawiana była w szkole megarejskiej założonej przez Euklidesa z Megary(V–IV w. p.n.e.), ucznia Sokratesa. W sztuce erystycznej nie chodzi o docie-kanie prawdy, lecz o wygranie sporu. Stosowana jest argumentacja „czy sięgodzi, czy nie” (per fas et nefas).

2.4.1 Z dziejów teorii argumentacji

Protagoras (ok. 491–411 p.n.e.) był „pierwszym filozofem w nowym stylu:mniej badaczem, więcej nauczycielem, mówcą, popularyzatorem” (Tatarkie-wicz Wł., Historia filozofii; t. 1, s. 67.). Głosił, że „człowiek jest miarąwszystkich rzeczy, istniejących, że istnieją, i nieistniejących, że nie istnieją”.Nie ma bezwzględnej prawdy i w ogóle wartości. Kryterium prawdy i warto-ści jest konkretny człowiek. Ponieważ w każdej sprawie poszczególni ludziemogą się między sobą różnić, więc w każdej sprawie uzasadnione mogą byćsądy przeciwne. Sofista naucza, jak człowiek ma swoje przekonania uzasad-niać i ukazywać sądy mniej uzasadniony jako najbardziej «prawdziwe». So-fiści byli pierwszymi, którzy świadomie zaczęli stosować socjotechnikę. Pro-tagoras mówił:

Moje nauczanie ma na oku zręczności zarówno w sprawach pry-watnych — czyli jak najlepiej zarządzać własnym domem, jaki w sprawach publicznych — to znaczy jak stać się w najwyższymstopniu biegłym w kierowaniu sprawami publicznymi, i w czy-nach i słowach. (Platon, Protagoras, 318e)

Gorgiasza z Leontinoi (ok. 483–375 p.n.e.) przeszedł do historii jakodoskonały retor a także polityk. Zachwala swoją naukę, dzięki której:

to niewolnikiem będziesz miał lekarza, niewolnikiem i nauczycielagimnastyki, a ów dorobkiewicz, pokaże się, że się dla kogoś innego


dorabia: nie dla siebie, tylko dla ciebie, który potrafisz mówići nakłaniać tłumy. (Platon, Gorgiasz, 452d–e)

Jego zdaniem sofista tylko ćwiczy do życia publicznego. Jak nie możnakarać nauczyciela gimnastyki za to, że uczeń schodzi na złą drogę i zaczynaprowadzić życie grabieżcy i rozbójnika, tak samo nie można czynić zarzutusofiście. Jest on bowiem tylko nauczycielem retoryki, a ta może być użytazarówno dla różnych celów, zarówno dobrych jak i złych.

Sami sofiści niekoniecznie byli dobrymi retorami. Przykładem może byćIsokrates (ok. 436–338 p.n.e.), któremu zarówno brak silnego głosu i posturauniemożliwiały bycie retorem, czego pragnął. Dzięki założonej w Atenachszkole retorycznej (pierwszej w ogóle szkole średniej), którą prowadził przez50 lat stał się sławny i bogaty. W najbardziej znanej i najważniejszej mowiepolitycznej „Panegiryk”, Isokrates wzywa wszystkich Greków do zjednoczeniasię przeciwko Persom. Isokrates widział we wzrastającej potędze Macedo-nii oparcie dla Grecji przeciwko Persji. Po bitwie pod Cheroneą popełniłsamobójstwo.

Sofiści jako pierwsi w starożytnej Grecji zaczęli pobierać pieniądze zauczenie, czego nie czynili filozofowie. Tytułując się nadto sofistami, czylimędrcami, musieli narazić się filozofom, czyli tylko miłośnikom mądrości.Potęga słowa rozwijała się wraz z demokracją, kiedy to za pomocą daru wy-mowy, można było osiągnąć sukces. Sofiści byli doskonali w swoim fachu,gdyż zyskali sobie wielki rozgłos i popularność. Starożytni Grecy cenili zna-jomość sztuki argumentowania, skoro chcieli płacić za naukę swoich dzieci.Mówi się, że Protagorasowi płacili nawet 10 tys. drachm, aby w ciągu trzech,czterech lat ich synowie stali się popularnymi mówcami i mężami stanu.

W Rzymie Cycero uczył pisania na temat i w stylu różnych autorów.Dodajmy, że współcześnie A. P. Dale Carnegie (1888–1962) zrobił karieręi majątek ucząc w Stanach Zjednoczonych sztuki przemawiania i przekony-wania.

Sofistyka pozostaje w związku z retoryką, czyli sztuką wymowy. Sofi-ści uczyli jak przekonywać indywidualne osoby, retorzy zaś jak przekonywaćwiększe audytoria. Sofiści uchodzą za ojców retoryki. Retorzy uczyli sofi-styki. «Wynalazcą» retoryki i autorem razem ze swoim uczniem Tyzjaszempierwszego podręcznika był urodzony ok. 476 r. na Sycylii Koraks z Sy-rakuz. Dla Koraksa retoryka to „rzemiosło perswazji”. Od jego nazwiskapochodzi nazwa jednego ze sposobów przekonywania — argument Koraksa.Arystoteles tak go opisuje:

Jeśli bowiem oskarżony nie jest w stanie popełnić zarzucanego muczynu, bo np. jest słaby — a obwinia się go o pobicie, broni się,


że jest to nieprawdopodobne. Jeśli natomiast jest w stanie tegodokonać, bo jest silny, również twierdzi, że jest to nieprawdopo-dobne, ponieważ jest prawdopodobne, że wydałby się winnym.(Arystoteles, Retoryka, 1402a17–1402a28)

Zauważał, że typowe przemówienie zawiera pięć części: wstęp, przedstawie-nie faktów omawianego przypadku, argumenty odnoszące do danego przy-padku, uwagi pomocnicze i zakończenie.

Arystoteles (384–322) wskazywał trzy sposoby retorycznego uzasadnia-nia. Na skuteczność argumentacji wpływa:

1. Ethos: charakter i wiarygodność tego, kto argumentuje.

2. Pathos: umiejętność wywoływania u tych, wobec których się argumen-tuje właściwych dla argumentacji stanów emocjonalnych.

3. Logos: poprawność logiczna argumentacji.

Quintilian (35–100) był najbardziej wpływowym rzymskim nauczycielemretoryki. Określił pięć jej zasad:

1. inventio: proces wyszukiwania i opracowywania argumentów,

2. dispositio: określenie i uporządkowanie argumentów,

3. elocutio: dobranie słów i określenie stylu.

4. pronuntiatio: określenie głosu, wyglądu i gestykulacji.

5. memoria: zapamiętanie argumentacji.

Św. Augustyn (354–430), choć nie jest uważany za retora, to dał pod-stawy homiletyce, czyli retoryce kazań.

W okresie od renesansu do oświecenia rozwijała się sztuka kazań (arsdictaminis) oraz sztuka pisania listów (ars dictaminis). Retoryka jest obokgramatyki i logiki, jedną z trzech sztuk wyzwolonych. Sztuki te były na-uczane w szkołach Zachodu w ramach trivium. Studenci pisali na tematyhistoryczne (suasoriae) oraz prawnicze (controversiae).

Francis Bacon (1561–1626) podjął problem pisania tekstów naukowych.Właściwy styl miał służyć przedstawieniu faktów i argumentów, czemu niesprzyjał modny wówczas styl ozdobny. Wagę należało przywiązywać do kwe-stii rzeczowych, trafności i głębokości argumentów. Styl — jak później topodkreślał Hobbes (1588–1679) — powinien być prosty i naturalny.


2.4.2 Pojęcie argumentacji

Argumentacja to dobieranie racji dla doprowadzenia do uznania lub odrzu-cenia przez kogoś jakiegoś przekonania. Tym kimś może być również osobaargumentująca — czy nie zdarza się nam, że sami siebie próbujemy do cze-goś przekonać? Mamy tu na uwadze przekonania bardzo szeroko rozumiane.Nie tylko chodzi o przekonania, które są zwerbalizowane lub ujęte myślą jakopewne zdania, lecz również przekonania, których żywienie wyraża się tylkoodpowiednim działaniem lub niedziałaniem. Chodzi również o przekonania,które wyrażają się naszymi postawami, ocenami i emocjami. Mówiąc o do-bieraniu racji mamy na uwadze szerokie ich rozumienie. Racje mogą miećcharakter racjonalny lub irracjonalny, teoretyczny lub pragmatyczny.

Większą część naszej wiedzy (wiedzy subiektywnej) nabywamy na pod-stawie tego, co twierdzą inni. Stąd też istotne jest badanie sposobów skutecz-nego przekonywania, a także metod obrony przed przyjmowaniem przekonań,które ktoś (w interesie własnym a nie naszym) stara się nam narzucić.

Teoria rozumowań jest nauką aprioryczną. Uzasadniając poszczególnesposoby wnioskowania nie odwołujemy się do doświadczenia. Odwrotnie,gdy ktoś przedstawia przebieg jakiegoś zdarzenia, uznajemy za fałsz to comówi, gdy kłóci się to z zasadami logiki. Inaczej jest w wypadku teorii ar-gumentacji. Jest to teoria oparta na doświadczeniu. Opisuje ona, jak ludziezwykli argumentować, jakie argumenty bywają skuteczne i — ewentualnie— konstruować nowe skuteczne sposoby argumentacji. Intuicja poprawno-ści rozumowania jest składnikiem natury umysłu. Uczenie się logiki jest«odkrywaniem» tego, co jest w naszym umyśle. Umiejętność skutecznej ar-gumentacji jest czymś, czego uczymy się «naprawdę», nie jest bowiem namdane przez naturę, a jest zawartością pewnej wiedzy o człowieku (również po-wziętej z introspekcji) i o zachowaniach społecznych. Umiejętność poprawnejargumentacji jest sztuką.

Powody, dla których żywimy jakieś przekonania bywają różne. Może tobyć wynik przemyśleń. Mogą to być też lenistwo, strach, chęć przypodobaniasię innym itp. Mogą to być pobudki czysto praktyczne bądź emocjonalne.Człowiek musi mieć jakieś przekonania światopoglądowe, czyli — najpro-ściej mówiąc — przekonania dotyczące sensu własnego życia. To, jakie sąnasze przekonania światopoglądowe zależy od wychowania, tradycji i kultury,w jakiej przyszło nam żyć. Przekonania przez nas żywione zwykle tworząhierarchię. W tej hierarchii przekonania światopoglądowe zajmują zwykledominującą pozycję. Przekonania są odrzucane lub przyjmowane w zależno-ści od tego, czy są niezgodne, czy też nie z dominującymi przekonaniami.


Definicja 2.51. Argumentacja to wskazywanie racji dla przyjęcia lub od-rzucenia przekonania.

Przekonaniami mogą być jakieś sądy, oceny, dążenia. Racje mogą byćróżnorakie, nie koniecznie racjonalne i nie koniecznie uczciwe. Mogą byćprzytaczane racje wskazujące na prawdziwość przekonania. Mogą to też byćracje pragmatyczne, np. wskazujące na użyteczność lub korzyści płynącez przyjęcia danego przekonania.

W argumentacji korzystamy z logiki formalnej, jeśli ułatwia to osiągnię-cie celu argumentacji. Argumentacja uwzględnia jednak również poza racjo-nalne aspekty, jak np. zasady uzasadniania przyjęte przez tych, do którychjest skierowana. Zwykle argumentacja bywa zabiegiem erystycznym. Opróczdowodzenia i wskazywania racji racjonalnych stosuje się również perswazję,która jest przekonywaniem retorycznym, dokonującym sie w sferze subiek-tywnej.

Definicja 2.52. Perswazja to argumentacja, w której dominują racje prag-matyczne.

Z argumentacją mamy do czynienia m.in. w wypadku:

• uzasadniania komuś twierdzeń,

• agitacji,

• propagandy,

• nauczania,

• reklamy.

Z punktu widzenia logiki istotny jest rodzaj związku między argumentema tezą. Na przykład teza może być uzasadniania w argumentacji poprzez:

• wnioskowanie niezawodne,

• wnioskowanie uprawdopodobniające,

• chwyt (fortel) erystyczny.


2.4.3 Zasady argumentowaniaIf you would persuade, you must appealto interest rather than intellect.

B. Franklin

Wnioskowanie ocenia się jako poprawne lub nie. Wnioskowanie poprawneto takie wnioskowanie, w którym wniosek jest uzasadniony przez przesłanki,a więc gdy wynika z prawdziwych przesłanek lub gdy prawdopodobieństwojego prawdziwości ze względu na dane prawdziwe przesłanki jest większe niżprawdopodobieństwo jego negacji.

Argumentację należałoby oceniać jako skuteczną lub nie.

Definicja 2.53. Argumentacja skuteczna to argumentacja, która prowa-dzi do osiągnięcia celu: do uznania lub odrzucenia przekonania, które byłoprzedmiotem argumentacji.

Argumentacja skuteczna w wypadku jednej osoby może nie być skutecznaw wypadku innej. Sukces zależy od retorycznego charakteru argumenta-cji i od racjonalnych i pozaracjonalnych (psychologicznych) składników po-staw osób, wobec których przeprowadzana jest argumentacja. Wnioskowanie,szerzej rozumowanie, jest środkiem argumentacji. Poprawne wnioskowaniejest skutecznym sposobem argumentowania w wypadku osób kierujących sięw doborze przekonań przede wszystkim racjami racjonalnymi.

Skuteczna argumentacja, podobnie jak wnioskowanie, może być prze-prowadzona większym lub mniejszym nakładem środków. Argumentacja,podobnie jak rozumowanie, powinna być sprawna.

Definicja 2.54. Argumentacja sprawna to argumentacja, która prowa-dzi do założonego celu za pomocą możliwie najmniejszego wielorako rozu-mianego wysiłku zarówno osoby argumentującej, jak i osoby, dla której jestona przeprowadzana.

Argumentacja jest skuteczna i sprawna gdy:

1. Jako przesłanki użyte są tylko zdania, które osoba przekonywana uważaza uzasadnione. Ponadto, przesłankami entymematycznymi tej argu-mentacji są te i tylko te zdania, które należą do domyślnych prawd tejosoby.

2. Osoba przekonywana jest przeświadczona, że przesłanki uzasadniająwniosek.


3. Poszczególne przesłanki są nieodzowne dla skuteczności przekonywa-nia.

Kolejne warunki odnoszą się do uczciwej argumentacji. Argumentacjamoże być sprawna i skuteczna, mimo że nie spełnia tych warunków.Argumentacja, która je spełnia, jest argumentacją poprawną logicz-nie. Warunki 1–3 są warunkami pragmatycznymi. Rozumowanie, którespełnia warunki 4–6, jest poprawne logicznie.

4. Wszystkie przesłanki, jawne i domyślne, są zdaniami prawdziwymi.

5. Przesłanki uzasadniają wniosek.

6. Przesłanki są konieczne logicznie dla uzasadnienia wniosku.

ad 1. Spełnienie tego warunku wymaga pewnej wiedzy o osobie przekonywa-nej. Przede wszystkim musimy wiedzieć, czy są przez nią uznawane zdania,które zamierza się wykorzystać jako przesłanki. Wiedząc, że osoba przeko-nywana jest przesądna możemy odwieść ją od jakiegoś działania wskazując,że dany dzień to piątek 13-tego. Jeśli ktoś nie wie, że woda może przy-brać postać skały (lód), to zastosowanie przesłanki to stwierdzającej możenawet osłabić argumentację, co zdarzyło się holenderskiemu ambasadorowiw rozmowie z królem Syjamu26.

Jeśli chodzi zaś o przesłanki entymematyczne, to z jednej strony trzebajako przesłanek entymematycznych unikać zdań, które dla tej osoby nie sądomyślne, z drugiej zaś strony — mając na uwadze względy ekonomii —należy jako przesłanek entymematycznych użyć wszystkich tych zdań, którezamierza się wykorzystać jako przesłanki, a które wyrażają prawdy domyślnetej osoby.

Poddanie w wątpliwość poprzez uzasadnianie czyjeś przesłanki entmema-tycznej może wywołać niepożądany skutek i osłabić argumentację. Będzietak np. w wypadku, gdy komuś, dla kogo oczywiste jest, że Bóg istniejebędziemy to uzasadniać.

Do tego punktu w szczególności, ale i do kolejnych dwóch, 2 i 3, ma za-stosowanie rada Teofrasta, ucznia Arystotelesa. Zaleca on, aby nie rozwlekaćsię z dokładnością nad wszystkimi szczegółami. Pisze, aby pozwolić samemusłuchaczowi dorozumieć się i domyślić pewnych rzeczy. Gdy sam dostrzeżeto, coś pominął, stanie się nie tylko twoim słuchaczem, lecz także świad-kiem, i to życzliwym. Albowiem zdaje mu się, że jest inteligentny, gdyżty pobudziłeś jego inteligencję. Natomiast wyjaśnianie wszystkiego, jakby

26Zob. Locke, J. An Essay Concerning Human Understanding ; ks. 4, rozdz. 15.


nierozgarniętemu, stwarza pozór, że nie przywiązujesz wagi do pojętnościsłuchacza27.ad 2. Jeśli argumentacja ma być skuteczna, to przesłanki nie powinny bu-dzić zastrzeżeń osoby przekonywanej co do wypełniania przez nie funkcjiuzasadniania. Jeśli na przykład ktoś nie widzi związku między przeszło-ścią polityczną a aktualnymi działaniami, to przesłanka, że prezes NBP byłczłonkiem partii komunistycznej nie spełni swojej roli w przekonywaniu, żejego postępowanie w sprawie połączenia banku PKO SA i banku BPH jestniezgodne z interesem państwa.

Nawet gdy jakieś zdanie faktycznie uzasadnia wniosek, ale nie dostrzegatego osoba przekonywana, to z takiego zdania jako przesłanki należy zrezy-gnować, ewentualnie odrębną argumentacją przekonać o związku tego zdaniaz wnioskiem. Na przykład jeśli ktoś nie widzi związku inflacji z wielkościąstóp procentowych, to w przekonywaniu go na taki związek nie możemy siępowoływać.ad 3. Warunek ten podyktowany jest względami ekonomii. Nie należy bo-wiem mnożyć przesłanek bez potrzeby. Nadmiar przesłanek może nawetutrudniać uzasadnienie wniosku.

Argumentując trzeba liczyć się z:

• możliwością utrzymywania uwagi i cierpliwością tych, wobec którychargumentujemy;Mało kto, nie będąc do tego jakoś zobligowany lub zainteresowany jestzdolny słuchać przez 10 godzin, i niewielu zmobilizujemy do przeczy-tania 1000 stronicowego dzieła.

• zasadami kultury osobistej, która nakazuje zmieszczenie się w z góryokreślonych ramach czasowych lub wielkości publikacji;

• prawem innych do zaprezentowania swojego stanowiska i ich prawemdo polemiki.

Spośród możliwych argumentów należy stosować te, które mają większą mocprzekonywania dla tych, dla których argumentujemy. Pomijać należy argu-menty słabsze lub nieuznawane przez pewną część audytorium. Wzbudzićto bowiem może podejrzenie, że nie mamy argumentów mocniejszych. Ar-gument mocniejszy dla jednego może być słabszy dla drugiego. Uwzględniaćnależy poziom intelektualny tego, dla kogo argumentujemy: «mądrzejsze»argumenty mogą okazać się mniej sprawne — ludzie chętniej akceptują to,

27Zob. Demetriusz, O wyrażaniu się [w:] Trzy stylistyki greckie, Wrocław 1953, s. 222.


co rozumieją i co potwierdza ich «mądrość». Moc argumentu zależy teżod jego miejsca w argumentacji. Należy więc zwracać uwagę na kolejność,w jakiej argumenty są podawane. Ważne jest «środowisko», jakim się poja-wiają. Jeśli audytorium nie będzie odpowiednio przygotowane, to argumentmoże okazać się jałowy, a nawet przynosić odwrotne od zamierzonych skutki.Inaczej argumentujemy wobec dzieci, inaczej wobec dorosłych. Nie należystosować argumentów nie mających — przynajmniej w przeświadczeniu tegokogoś, kogo przekonujemy — związku z uzasadnianą tezą. Mogą dawać oneskutek odwrotny od zamierzonego, mogą osłabiać argumentację. Jeśli ar-gumentacja skierowana jest do wielu, to mocniejszym argumentem jest ten,który jest przekonywujący dla wszystkich a nie tylko części słuchaczy.ad 4. Warunek 1 mówił tylko o tym, że wszystkie przesłanki mają być uzna-wane przez osobę przekonywaną. Osoba przekonywana może jednak uznawaćjakieś zdania fałszywe. Warunek 1 ma charakter pragmatyczny i podykto-wany jest tym, by wnioskowanie było skuteczne. Spełnienie tego warunkuwymaga pewnej wiedzy o osobie, wobec której argumentujemy. Warunek 4jest warunkiem logicznej poprawności wnioskowania. Łącznie z warunkiem 1ogranicza możliwości wyboru przesłanek do prawdziwych zdań akceptowa-nych przez osobę przekonywaną. W zwykłych sytuacjach sprawdzenie tego,czy dana osoba uznaje jakieś zdanie, nie przedstawia specjalnej trudności.Prawdziwość przesłanek nie zawsze daje się stwierdzić w tak kategorycznysposób. Osoba przeprowadzająca argumentację może się mylić i nawet w do-brej wierze przyjmować jako przesłanki zdania fałszywe.ad 5. Zauważmy, że warunek 2 ma charakter pragmatyczny i mówi tylkoo tym, że osoba przekonywana zgadza się z tym, że przesłanki uzasadniająwniosek. Osoba ta może się co do tego mylić. Warunek 5 mówi o tym,że przesłanki obiektywnie, a więc niezależnie od czyichś opinii, uzasadniająwniosek. Warunki 2 i 5 brane łącznie ograniczają wybór przesłanek do zdań,które obiektywnie, w sensie logicznym, i subiektywnie dla osoby przekony-wanej uzasadniają wniosek.ad 6. W wypadku, gdy wniosek wynika z jakichś przesłanek, to wynika onrównież z tych przesłanek uzupełnionych o inne zdania, nawet takie, które niemają żadnego związku z tym wnioskiem. Dodatkowe zbyteczne przesłanki,w szczególności nieakceptowane przez przekonywaną osobę mogą prowadzićdo wzbudzenia wątpliwości lub stracenia wątku.

Skuteczność argumentacji zależy od bardzo wielu czynników, np. za-leży do kolejności, w jakiej wskazywane są poszczególne racje. Badanie tychczynników i tworzenie wzorców skutecznej argumentacji jest przedmiotemrefleksji teoretycznej. Umiejętność sprawnego i skutecznego przekonywania


jest sztuką, «rzemiosłem», które jest przedmiotem nauczania.

2.4.4 Metody argumentowania

Niektóre metody argumentacji zostały opisane i wyróżnione. Jedne z tychmetod bardziej powszechne. Inne są typowe np. dla argumentacji prawni-czej. Tu omówimy te, które znajdują szersze zastosowanie.

Argument Koraksa odwołuje się do przewidywanych skutków czynu.Stosowany jest wówczas, gdy: człowiek, który miał powód do dokonaniaprzestępstwa twierdzi, że nie mógł go popełnić, bo jasne było, że na niegopadnie podejrzenie; ktoś znany jako prawdomówny powołuje się na swojąopinię jako osoby prawdomównej; ktoś znany z kłamliwości powołuje się natę opinię twierdząc, że zdaje sobie sprawę z bezcelowości kłamstwa.

Sam Sokrates znany jest z dwóch metod przekonywania:

• elenktycznej — odrzucanie twierdzeń przeciwnika dokonuje się przezpokazywanie, że są nieprawdziwe lub niesłuszne;

• majeutycznej — czyli akuszeryjnej, polegającej na zadawaniu pytańtak, aby sam dyskutant doszedł do danego przekonania. Sokrates naj-chętniej stosował tę metodę: akuszerka tylko płód przyjmuje — on samnie ma nic mądrego do powiedzenia i tylko innych pyta. Dlatego teżo metodzie tej mówi się, że jest metodą sokratyczną.

Wypracowane sposoby przekonywania, będące czasem chwytami nielojal-nymi (fortelami), noszą łacińskie nazwy. Chwyty erystyczne nie są regu-łami poprawnego wnioskowania; są sposobami, które ludzie stosują w argu-mentacji. Stosują je zaś — jak można sądzić — bo są skuteczne. Omówimyniektóre z nich.

Argumentum ad hominem 28 — argument dostosowany do człowieka.Jedną z postaci tego argumentu jest odwoływanie się do poglądów głoszo-nych przez przekonywanego (niezależnie od tego, czy te poglądy podzielaargumentujący). Może to być pokazanie, że teza, którą przekonywany ne-gował daje się wyprowadzić z innych żywionych przez niego przekonań lubmoże to być wypadek, gdy pokazuje się, że przekonanie żywione przez prze-konywanego jest sprzeczne z innymi jego przekonaniami.

28Określenia „argumentum ad hominem” używa się czasem w znaczeniu, które przypi-szemy tu określeniu „argumentum ad personam” i odwrotnie, „argumentum ad personam”używane jest w znaczeniu „argumentum ad hominem”. Zob. str. 238.


Argumentum ad baculum — argument odwołujący się do kija. Polegana aktualnym lub potencjalnym zagrożeniu użyciem środków przymusu (fi-zycznego lub psychicznego) wobec przekonywanego.

Argumentum ad ignorantiam — argument odwołujący się do niewie-dzy. Istota argumentu polega na stwierdzeniu, że przekonywany powinienprzyjąć dane przekonanie, skoro nie potrafi wykazać jego fałszywości. Wy-korzystywane może być w tym powoływanie się na rzekome fakty, którychprzekonywany nie jest w stanie stwierdzić (np. z powodu braku dostatecz-nych kwalifikacji) lub na prawdy przekraczające kompetencje przekonywa-nego, które faktycznie nie uzasadniają tezy, do której chce się go przekonać.

Argumentum ad misericordiam — argument odwołujący się do litości.Polega na wzbudzeniu litości i współczucia u przekonywanego.

Argumentum ad vanitatem — argument odwołujący się do próżności(pochlebstwo). Wykorzystuje słabości natury ludzkiej, próżność. Po stwier-dzeniach w rodzaju „pana głęboka znajomość rzeczy”, „pan jako fachowiecdoskonale wie” wypowiada się pogląd, który ma uznać osoba komplemento-wana.

Argumentum ad verecundiam — argument odwołujący się do nieśmia-łości. Polega na powoływaniu się na jakiś powszechnie uznany autorytetlub autorytet uznany przez przekonywanego, nie będący jednak autoryte-tem w dziedzinie, która jest przedmiotem argumentacji. Przekonywany niemoże zakwestionować tego autorytetu z obawy o zarzut zarozumiałości bądźskrępowany uczuciami szacunku.

Argumentum ad auditorem — argument odwołujący się do słuchaczy,do audytorium. Polega na przekonywaniu poprzez odwoływanie się do osóbprzysłuchujących się i pozyskanie ich nie przez podanie właściwych racji dlagłoszonej tezy, lecz przez odwołanie się do emocji.

Argumentum ad crumenam — argument odwołujący się do sakiewki,kieszeni (łapówka).

Argumentum ad populum — argument odwołujący się do ludu, dema-gogia, «pod publiczkę». Polega na odwoływaniu się do uczuć zbiorowych,


takich jak duma i egoizm narodowy lub rasowy, czy do instynktów i przesą-dów zbiorowych.

Argumentum e consensu gentium —wnioskowanie ze zgody powszech-nej.

Argumentum ad personam 29 — (argument nakierowany na osobę).Najogólniej biorąc argumentum ad personam ma następującą postać:

przesłanka: O jest złą osobą.Dlategowniosek: argument osoby O jest nieprawdziwy

(nieprzekonywający)W wypadku, gdy o przekonanie grupy ludzi zabiega kilka osób (kon-

kurentów, oponentów), jednym ze sposobów pozyskania tej grupy ludzi jest«wyeliminowanie» konkurentów i oponentów. Argumentum ad personam mana celu ich dyskredytację jako ludzi, a nie przeciwstawienie się podawanymprzez nich racjom. Argumentacja ta wykorzystuje psychologiczną skłonnośćdo mylenia niektórych ułomności, «defektów» ludzi lub środowisk, z któ-rymi są związani, z wypowiadanymi przez tych ludzi racjami. W zależnościod tych ułomności, w zależności od tego, w jakim sensie mówimy, że osobajest zła, możemy wyróżnić szczególne wypadki argumentum ad personam:

• Osoba O uczyniła coś moralnie złego, np. argument osoby O jestfałszywy, bo O była członkiem partii komunistycznej; argument O narzecz pacyfizmu jest fałszywy, bo O zdezerterowała. Zdarza się teżkwestionowanie prawdziwości argumentu O ze względu na złe czynypopełnione przez jego krewnych lub przyjaciół.

• Osoba O nie jest lepsza (tu quoque)– „czy ty jesteś inny?”, np. ktośoskarżony przez O o branie łapówki odpowiada: O też bierze łapówki;O zarzuca komuś niemoralne życie, ten ktoś kontrargumentuje, że Owcale moralniej nie żyje. Argument ten jest szczególnym wypadkiempoprzedniego30.

• Osoba O pełni określoną rolę społeczną, np. argument działacza związ-kowego jest fałszywy/nieprzekonywający, bo wygłasza oficjalne stano-wisko swojego związku; argument teologa na rzecz istnienia Boga jest

29Zob. przypis do argumentum ad hominem, str. 236.30Argumenty te mają dużą siłę przekonywającą, stąd ważną rzeczą jest, aby np. sędzio-

wie, prokuratorzy, pracownicy NIK-u byli ludźmi bez zarzutu.


fałszywy/nieprzekonywający, bo jako teolog innego poglądu nie możegłosić.

• Osoba O jest hipokrytą, czyli co innego mówi, a co innego robi. Naprzykład głoszone przez moralizatora zasady etyczne są fałszywe, bosam według nich nie postępuje31.

• Osoba O ma złe zamiary, np. O jako parlamentarzysta występuje narzecz określonej ustawy bankowej, bowiem jeśli ustawa zostanie przy-jęta, to O jako współwłaściciel banku odniesie korzyści32.

Przykładami argumentum ad personam są zarzuty podnoszone prze-ciw:

• prezydenturze Franklina Roosevelta, że nie jest on zdrowy umysłowo,że cierpi na kompleks Edypa itp., zamiast argumentacji wprost przeciwjego poglądom,

• głoszonej przez Berkeley’a koncepcji rzeczy jako zespołu idei, że cier-piał on na neurozy,

• filozofii Fryderyka Nitzschego, że jest dziełem lunatyka (Nitzsche ostat-nie lata życia spędził w szpitalu dla umysłowo chorych),

• prezydenturze Lecha Wałęsy, że jego pełnoletni syn popełnił przestęp-stwo drogowe.

Argumentum ad auctoritate — argument odwołujący się do autory-tetu. Argument ten ma duże zastosowanie w nauce. O jego zasadniczejroli można mówić w wypadku teologii. W innych naukach ma charakterpomocniczy i praktyczny. Argument ten stosowany jest również w prawie.

Argument odwołujący się do powszechnej praktyki (owczy pęd)Ten argument stosowany jest wówczas, gdy uzasadnia się jakiś pogląd po-wołując się na to, że jest to pogląd większości lub, że większość w swoimpostępowaniu kieruje się tym poglądem. Czasem słyszymy jak dzieci uspra-wiedliwiają swoje zachowanie stwierdzeniem, że wszyscy tak postępowali.W ten sposób argumentuje też ktoś, kto mówi, że w Polsce powinno być tak,a tak, bo tak a tak jest na całym świecie.

31O pewnym etyku opowiada się, że na pytanie dlaczego nie postępuje tak, jak głosi,odpowiedział: „czy drogowskaz chodzi drogą, którą wskazuje?”.

32Stąd w państwach demokratycznych obowiązuje szereg ograniczeń na działalność go-spodarczą parlamentarzystów.


Argumentum ad judicium — argument odwołujący się do zdrowego roz-sądku. Argument ten ma zastosowanie w prawie.

Na zastosowanie argumentu odwołującego się do zdrowego rozsądku wska-zuje opinia Naczelnego Sądu Administracyjnego. W Nowej Europie (12 lipca1995, s. 14) czytamy:

Oddalając skargę Naczelny Sąd Administracyjny przy okazji wy-raził pogląd, że większość wydatków ponoszonych przez podat-ników stanowi bezspornie koszt uzyskania przychodu. Są jed-nak sytuacje, w których związek przyczynowo-skutkowy międzywydatkiem a osiągnięciem przychodu jest trudny do wykazania,stąd wszystkie te sytuacje należy rozwiązywać w oparciu o za-sadę zdrowego rozsądku. Nie ma tu żadnych reguł i każda sprawawymaga odrębnego potraktowania.

W wyżej cytowanym tekście pojawia się reguła uzasadniania w prawie:„wszystkie te sytuacje należy rozwiązywać w oparciu o zasadę zdrowego roz-sądku. Nie ma tu żadnych reguł i każda sprawa wymaga odrębnego potrak-towania.” Może być ona pojęta jako reguła logiki prawniczej, rozumianejjako nauka o specyficznych dla prawa zasadach rozumowania (uzasadniania,wyjaśniania, sprawdzania i wnioskowania).

Omówione wypadki argumentacji nie obejmują wszystkich możliwych jejtypów. Istota argumentacji zawsze jest ta sama: podać argument, którydla danej osoby jest przekonywający, bądź dlatego, że jest racjonalny, bądźdlatego, że jest dla tej osoby psychologicznie przekonywający.

Do chwytów erystycznych należy też stosowanie takich środków jak np.:insynuacja, aluzje, bluff, szantaż, prowokacja, ironia, bezczelność, definicjeperswazyjne, apelowanie do uczuć, dogmatyzm, wieloznaczność, wyrażeniaokazjonalne, ekwiwokacja, amfibologia, myślenie figuralne, niepoprawne de-finicje33.

Ustawiczne powtarzanie — jest środkiem przekonywania. Jest ono sto-sowane w szczególności w reklamach. Zwykle prosty tekst, łatwa melodiai/lub przyjemne obrazy powtarzane są wielokrotnie. Jest to skuteczne, skorofirmy płacą za to bardzo dużo środkom masowego przekazu.

Argumentum per eloquentiam (urok słowa) — argument z urokusłów. Łatwiej przekonać, gdy argumentacja jest piękna, literacko dobra.

33Występujące w tym fragmencie terminy logiczne są objaśnione w niniejszej książce.


Stosowanie różnego rodzaju sentencji i aforyzmów ma znaczenie dla skutecz-ności przekonywania.

Erudycja — demonstrowana przez argumentującego sprzyja skuteczno-ści przekonywania. Przypisy, noty, odwołania do literatury, znajomość wy-bitnych ludzi i naukowych problemów, posługiwanie się cytatami, najlepiejw oryginale i w różnych językach zjednują przekonywanego.

Dezorientowanie przekonywanego — polega na umiejętnym odwra-caniu uwagi od właściwego toku myśli i znaczeń podstawowych terminów.Mogą temu służyć np. dygresje.

Argumentacją rządzą pewne zasady.

Audiatur et altera pars — należy wysłuchać stronę przeciwną. Zasadata jest szczególnie ważna w sprawach procesowych ale również w debatachpolitycznych w państwie demokratycznym. Zasada ta winna być przestrze-gana przez wszystkich, którzy dążą do wyrobienia sobie obiektywnego osądu.

Argumenta ponderantur, non numerantur — dowodów nie należy li-czyć, należy je ważyć. To zalecenie różnicowania argumentów stosuje sięzarówno do tych, którzy argumentują, jak i do tych, dla których jest prze-prowadzana argumentacja.

Contra facta non valent argumenta — argumenty muszą ustąpić wo-bec faktów, wobec faktów argumenty nie mają znaczenia. To zaleceniew sprawie różnicowania argumentów dotyczy odróżnienia argumentów bez-pośrednich i pośrednich oraz ich wagi. Faktom, czyli argumentom bezpo-średnim przypisuje się wagę największą.

Zadania

Zadanie 2.43. Jakiego rodzaju argumentami są:

1. Tak jest na Zachodzie.

2. I my jesteśmy w Europie?!

Kto takich argumentów używa, dla kogo są one przekonywujące?


Zadanie 2.44. Jaką rolę pełni wypowiedź N. Bohra w opisanej sytuacji?W czasie prowadzenia zajęć dydaktycznych w Getyndze N. Bohr jednego

razu słabo przygotował się i miał bardzo zły wykład. Na koniec wykładupowiedział: Wysłuchałem tu tak wiele złych wykładów, że proszę uważaćmój dzisiejszy za jeden z nich.

Zadanie 2.45. Oceń argumentację:

1. Z tego nie wynika, iż filozofia analityczna nie ma żadnego społecznegoznaczenia. Wydaje się, że takie znaczenie jest i to dość istotne. Moimzdaniem, można je znaleźć przede wszystkim w tym, że filozofia anali-tyczna przyczynia się do zachowania i pielęgnowania rozumu ludzkiego.Największym niebezpieczeństwem, które nam dzisiaj grozi jest corazpowszechniejsze odwracanie się człowieka od rozumu. Już sama liczbatych, którzy wydają ciężkie pieniądze na astrologię, numerologię i tympodobne zabobony, świadczy, jak bardzo ludzie są nieracjonalni. Jakiesą następstwa takiej nierozumnej postawy, pokazuje jasno mordowanieniewinnych w imię pewnej, takiej czy innej „ideologii” — dzisiaj prakty-kowane tak często, że aż uchodzi za coś normalnego. (I. M. BocheńskiLogika i filozofia, Warszawa 1993, s. 48–49.)

2. Można by sądzić, że to naukowcy powinni być stróżami i opiekunamirozumu. W rzeczy samej pracują oni (przede wszystkim przyrodnicy)w swoich dziedzinach w największym stopniu racjonalnie — i tej ra-cjonalności zawdzięczają swoje osiągnięcia.

Zadziwiające jednak, jak dalece ci sami naukowcy mogą być irracjo-nalni, gdy myślą i wypowiadają się poza swoją dziedziną — choćbyna tematy filozoficzne czy polityczne. Można by zebrać całą biblio-tekę nonsensów wypowiedzianych przez naukowców na temat zagad-nień filozoficznych. Jest więc jasne, że naukowcy jako tacy nie mogą,pomimo racjonalności w ich własnych dziedzinach, uchodzić za nauczy-cieli i obrońców rozumu u ludzi. (I. M. Bocheński, Logika i filozofia,1933, s. 49)

3. prezydenta A.K., gdy w związku z dyskusją po uchwaleniu przez Sejmustawy liberalizującej aborcję uzasadniał swoje stanowisko tym, że po-przednia ustawa była obłudna.

4. Kiedy matka wielkiego Macedończyka, Aleksandra Wielkiego nalegała,aby zgładził niewinnego człowieka. Miała nadzieję, że to osiągnie, bo— jak mówiła — przez dziewięć miesięcy nosiła go przecież w swym


łonie. Odpowiedział jej: „Innej, najlepsza matko, żądaj ode mnie za-płaty: życie ludzkie bowiem nie jest równoważne z żadnym dobrymuczynkiem”.

5. Kalif Omar przeprowadził następujące rozumowanie: Jeżeli książkiz Biblioteki Aleksandryjskiej są zgodne zKoranem, to są zbędne. Jeżelinie są zgodne, to są szkodliwe. Książki z Biblioteki Aleksandryjskiejsą zatem zbędne lub szkodliwe. Jeżeli są zbędne, to należy jest spalić.Jeżeli są szkodliwe, to tym bardziej należy to uczynić. Zatem należyspalić książki z Biblioteki Aleksandryjskiej.

6. W związku z wejściem z dniem 1 stycznia 2007 r. ustawy o ratownictwiemedycznym specjalista od ratownictwa uzasadniał przyjęte rozwiąza-nie ustawowe. Jego zdaniem szanse na uratowanie życia są większe, gdydo wypadku przyjeżdża paramedyk, a nie lekarz. Widać to przy po-równaniu danych statystycznych. W krajach, gdzie w karetkach jeżdżąlekarze, przeżywa mniej poszkodowanych niż tam, gdzie w karetkach sąratownicy. Zdaniem przedstawicieli rządu strach przed paramedykamipodsycają też lekarze, którzy na dyżurze w pogotowiu zarabiają od 25do 30 złotych na godzinę. Według niego trudno więc, by środowiskonie protestowało, gdy odbiera mu się szansę na dodatkowy zarobek.

Zadanie 2.46. Określ rodzaj środków zastosowanych w argumentacji przy-toczonej za radzieckim podręcznikiem logiki:

1. Logika to silna broń w rękach radzieckiego człowieka, głęboko miłują-cego ojczyznę i posiadającego niezbędną wiedzę.

2. Ludzie radzieccy, uzbrojeni w przodującą teorię marksistowsko-leni-nowską i w świadomość słuszności dzieła Lenina i Stalina, wycho-dzą zwycięsko z odpowiedzialnych i zawiłych dyskusji z dyplomatamii przedstawicielami zagranicznej «nauki». Jaskrawym tego przykłademsą świetne wystąpienia delegatów radzieckich na międzynarodowychkonferencjach i obradach. Wystąpienia te wykazują nie tylko głębokąznajomość istoty omawianych zagadnień, lecz są także wzorami niezbi-tej logiki.

3. Człowiek radziecki, najbardziej kulturalny człowiek na świecie, powi-nien umieć świadomie posługiwać się prawami logicznymi, ażeby za-wsze prawidłowo myśleć i umieć demaskować nieuzasadnione twierdze-nia, fałsz i oszczerstwa wrogów swego narodu.


Zadanie 2.47. Oceń poprawność argumentacji:

1. Jeśli Sokrates umarł, to umarł, gdy żył albo gdy był martwy. Nieumarł, gdy żył, nadto na pewno nie umarł, gdy był martwy. ZatemSokrates nie umarł (Sekstus Empiryk)

2. Każdy, kto nie jest idiotą potrafi stwierdzić, że Jan kłamie. Niektórzyludzie w tym pokoju nie potrafią powiedzieć, że Jan kłamie. Zatempewni ludzie w tym pokoju są idiotami.

3. Zawsze wierzyliśmy, że tak jest.

4. Wszyscy tak uważają.

5. Każdy to wie.

6. Sławna osoba to taka i tylko taka osoba, o której wszyscy słyszeli.Zatem wszyscy sławni ludzie słyszeli jeden o drugim.

Zadanie 2.48. Która z dwu argumentacji jest przekonywująca?

1. Albo będziesz miał żonę ładną, albo brzydką. Jeśli będzie ładna, bę-dziesz się nią dzielił z innymi jako wspólną; jeśli będzie brzydka, bę-dziesz cierpiał mękę. I jedna, i druga możliwość jest niedobra. Nienależy więc się żenić.

Jeśli będziesz miał ładną żonę, nie będziesz cierpiał męki, a jeśli brzydką,nie będziesz się nią dzielił z innymi. Należy więc się żenić.

2. Greczynka mówi do syna: Albo będziesz dobrze sprawował urząd pu-bliczny albo źle. Jeżeli dobrze, to nie spodobasz się ludziom, więcnie powinieneś przyjmować tego urzędu. Jeśli źle, to nie spodobaszsię bogom, więc nie powinieneś przyjmować tego urzędu. Zatem niepowinieneś przyjmować urzędu.

Syn mówi do matki: Albo będę dobrze sprawował urząd publicznyalbo źle. Jeśli dobrze, to spodobam się bogom, więc powinienem urządprzyjąć. Jeśli źle, to spodobam się ludziom, więc powinienem ten urządprzyjąć. Zatem powinienem urząd przyjąć.

Zadanie 2.49. Podaj przykłady argumentów, o których mówi niniejszy tekst.Oceń ich skuteczność.

Grupy zajmujące się ochroną środowiska i prasa przedstawiają apoka-liptyczne wizje zmian klimatycznych. Raport brytyjskiego IPPR (Institute


for Public Policy Research) stwierdza, że tworzenie takich przygnębiającychprognoz ma motywy komercyjne.

Według raportu IPPR charakterystyczne dla dyskusji o zmianach kli-matycznych w Wielkiej Brytanii jest to, iż skupia się ona na maksymalizo-waniu potencjalnych zagrożeń i nie podawaniu informacji o możliwych roz-wiązaniach problemu. Według autorów raportu w ciągu ostatnich kilku latzaobserwowano wiele zjawisk, które mogą sugerować poważniejsze zmianyklimatyczne. Jednak dotychczas nie powstał żaden poważny raport, któryby tłumaczył, co z nich może wyniknąć lub dowodził, że niosą one poważnezagrożenie.

Po przeanalizowaniu setek prognoz pogody oraz artykułów prasowychi programów telewizyjnych dotyczących zmian klimatycznych, eksperci wy-różnili kilka charakteryzujących je cech:

1. Alarmujący ton, wprowadzany przez obrazy i słowa przywołujące wy-obrażenie katastrofy.

2. Użycie „zdroworozsądkowych” argumentów w taki sposób, by podważaćopinie naukowców.

3. Wprowadzanie sceptycyzmu, który sugeruje, że naukowcy mają złe za-miary i ukrywają realne zagrożenie.

4. „Techniczny” optymizm, który polega na przekonaniu, że ostateczniewszystkie zagrożenia można pokonać przy użyciu nowoczesnej techno-logii.

Taka forma przekazu powoduje, że po wywoływaniu początkowo paniki,informacje o zagrożeniach spowodowanych zmianami klimatycznymi — pa-radoksalnie — stają się dla ludzi niewiarygodne i zaczynają być lekceważone.

Jeśli nasi czytelnicy uwierzą, że umieszczamy informacje o zmianach kli-matycznych na czołówkach gazet z tych samych powodów, z jakich umiesz-czamy tam nagie kobiety, przestaną je traktować serio i przestaną czytać —przestrzegł Ian Birrell z The Independent.

Zadanie 2.50. Określ sposoby argumentacji stosowane w modlitwie. Co na-leży założyć o adresacie modlitwy, aby zastosowana argumentacja mogła byćskuteczna?

Zadanie 2.51. Określ sposoby i środki argumentacji stosowane w reklamach.Wskaż aktualną reklamę, w której ma miejsce omawiany sposób i środek ar-gumentacji oraz wskaż zawarte w tej reklamie założenia o adresacie reklamy.


2.5 Błędy w rozumowaniu

Rozumowanie może być poprawne lub zawierać błędy. Mogą to być dwoja-kiego rodzaju błędy. Źródłem jednych jest wadliwość zdań będących punk-tem wyjścia rozumowania. Drugiego rodzaju błędy biorą się z wadliwościzwiązku między zdaniami, od których rozpoczynamy rozumowanie, a zda-niem będącym celem rozumowania. Niektóre błędy popełniane w rozumo-waniach są typowe. Tym błędom nadano specjalne nazwy. Znane są różneich klasyfikacje.

Rozumowania niepoprawne, lecz mające pozór poprawnych to sofizmaty(po łacinie — fallacia), czyli rozumowania zwodnicze. Od sofizmatów od-różniano paralogizmy. W wypadku sofizmatu przeprowadzający rozumo-wanie miał być świadomy jego niepoprawności. W wypadku paralogizmuprzeprowadzający rozumowanie popełniał błąd nie będąc świadomym tego.Odróżnienie to jest natury psychologicznej i etycznej, i nie ma ono znaczeniaz punktu widzenia logiki.

Arystoteles dzielił sofizmaty na błędy wypowiedzi (in dictione) i błędymyśli (extra dictione). Te pierwsze już omówiliśmy jako błędy w słownymprzekazywaniu myśli. Obecnie będziemy mówili o błędach w rozumowaniu,czyli o tych drugich.

Wadliwość wnioskowania może być spowodowana:

1. brakiem uzasadnienia przesłanek.

Celem wnioskowania ma być wzbogacenie wiedzy, a to może mieć miej-sce tylko w wypadku, gdy przesłanki są uzasadnione.

Wnioskowanie może też być błędne z powodu:

2. braku uzasadnienia wniosku przez przesłanki.

Czasem może wydawać się, że przesłanki uzasadniają wniosek, a fak-tycznie tak nie jest. Wadliwość stosunku między przesłankami a wnio-skiem może mieć dwa źródła. Ze względu na te źródła rozróżniamy:

(a) błędy nieformalnei

(b) błędy formalne.

Definicja 2.55. Błąd nieformalny w rozumowaniu to błąd, który maźródło w treści przesłanek lub wniosku.

Definicja 2.56. Błąd formalny w rozumowaniu to błąd, który ma źródłow formie, inaczej strukturze, kształcie wnioskowania.

2.5. BŁĘDY W ROZUMOWANIU 247

W wypadku błędu formalnego dla jego stwierdzenia wystarczy określićkształt wnioskowania. W wypadku błędu nieformalnego konieczne jest roz-różnienie znaczeń wyrażeń składających się na rozumowanie.

Błędy nieformalne to zasadniczo błędy, których źródłem jest wieloznacz-ność wyrażeń występujących we wnioskowaniu. Błąd formalny popełnia sięnp. wnioskując z implikacji i jej następnika o prawdziwości poprzednika tejimplikacji (ten i inne rodzaje błędu formalnego zostaną omówione w niniej-szym rozdziale).

2.5.1 Błędy wieloznaczności

Wieloznaczność wypowiedzi jest powodem błędów we wnioskowaniach. Różnerozumienia przesłanek i wniosku mogą stwarzać pozór poprawności rozumo-wania. Rozumowanie jest bowiem oceniane dwojako: w aspekcie prawdzi-wości występujących w nim zdań oraz ze względu na zachodzenie związkuuzasadniania między przesłankami a wnioskiem. Jeżeli jednej z tych ocendokona się mając na uwadze inne rozumienie wyrażeń występujących w ro-zumowaniu niż gdy dokonuje się drugiej, to może się zdarzyć, że te ocenywypadną pomyślnie. Jeżeli zaś dokonuje się ich biorąc w wypadku każdejz ocen jedno i to samo znaczenie, to tak może nie być. W takim wypadkurozumowanie nie jest poprawne.

Definicja 2.57. Błąd wieloznaczności ma miejsce w rozumowaniu, gdyznaczenia przyporządkowywane pewnym słowom lub frazom (jako napisom)występującym w rozumowaniu są inne w wypadku oceny prawdziwości prze-słanek i wniosku niż w wypadku oceny zachodzenia stosunku uzasadniania.

Zwykle różnice znaczeń przypisywanych słowom (lub frazom) są na tylesubtelne, że stwarzają pozory poprawności wnioskowania i czynią to wnio-skowanie psychologicznie przekonywającym.

Błędy wieloznaczności można wyróżniać w zależności od źródła wielo-znaczności. I tak na przykład możemy mówić o błędzie akcentu, gdypowodem wieloznaczności jest różne akcentowanie.

Błąd ekwiwokacji

Zwykle słowa mają więcej niż jedno słownikowe, czyli dosłowne znaczenie.Wyrażeniu może przysługiwać znaczenie wyznaczone przez znaczenia słow-nikowe składających się na nie wyrazów, a ponadto może przysługiwać muznaczenie idiomatyczne. Są to słownikowe znaczenia tego wyrażenia. O wy-rażeniu, któremu przysługuje więcej niż jedno znaczenie słownikowe mówimy,


że jest wieloznaczne słownikowo. Tekst winien być tak konstruowany, abyz kontekstu użycia wyrażenia można było bez naruszenia spójności tekstuokreślić jego dokładnie jedno znaczenie, w którym w danym miejscu zostałoużyte. Wyrażenie to należy brać w danym miejscu w tym i tylko w tymjednym znaczeniu, niezależnie od tego, czy mamy na uwadze ocenę wartościlogicznej przesłanek i wniosku, czy też mamy na uwadze ocenę uzasadnianiawniosku przez przesłanki.

Definicja 2.58. Błąd ekwiwokacji to błąd wieloznaczności w rozumowa-niu, którego źródłem jest wieloznaczność słownikowa wyrażeń.

Rozważmy przykłady.Przykład 2.1. We wnioskowaniu: „Kot złapał mysz. Mysz jest gatunkiem.Zatem kot złapał gatunek.” w pierwszej przesłance wyraz „mysz” użytyjest w supozycji przedmiotowej, zaś w drugiej w supozycji formalnej. Wewnioskowaniu popełniono więc błąd ekwiwokacji.Przykład 2.2. „Piąte przykazanie dekalogu głosi «nie zabijaj». Wymierza-nie kary śmierci jest zabijaniem. Zatem wymierzania kary śmierci zakazujepiąte przykazanie.” Taki argument pojawił się w programie publicystycz-nym telewizji dotyczącym kary śmierci. Jeden z uczestników tego «sądunad karą śmierci» wykazał, że w przytoczonej argumentacji popełniono błądekwiwokacji. Zauważył mianowicie, że w języku hebrajskim, w którym de-kalog był sformułowany występują trzy wyrażenia na określenie uśmierceniaczłowieka. Jedno z nich oznacza zabicie człowieka niewinnego. To właśniewyrażenie użyte jest w sformułowaniu piątego przykazania. Argument stracizaś swą moc jeśli piąte przykazanie sformułujemy: «nie zabijaj niewinnego»,ewentualnie: «nie morduj».Przykład 2.3. „Bankowcy muszą być bardzo odpowiedzialnymi ludźmi. Co-kolwiek złego dzieje się w gospodarce odpowiedzialnymi wydają się ban-kowcy.” „Odpowiedzialność” w pierwszym zdaniu (które jest wnioskiem) zna-czy tyle, co „rzetelny, wiarygodny”. W drugim zdaniu (które jest przesłanką)„odpowiedzialność” znaczy tyle, co „być sprawcą, dać powód”. Wnioskowa-nie może wydawać się poprawne tylko wówczas, gdy oba wystąpienia słowa„odpowiedzialność” brane są jako mające jeden i ten sam sens. Tak zaś niejest. Konteksty wystąpienia tego słowa we wniosku i w przesłance wskazująna jego różne znaczenia w tych zdaniach.

Podobnie we wnioskowaniu:Przykład 2.4. „Socjaliści dążą do sprawiedliwości społecznej. Sprawiedliwośćspołeczna jest dobrem. Zatem socjaliści dążą do dobra.” W pierwszym zda-niu (przesłance) termin „sprawiedliwość społeczna” — aby przesłanka ta była


prawdziwa— winien być rozumiany, najprościej mówiąc, jako „równy podziałdóbr”. Drugie zdanie (przesłanka) jest prawdziwe, gdy sprawiedliwość spo-łeczna jest pojęta, najprościej mówiąc, jako prawo człowieka do tego, co musię słusznie należy. W naszym przykładzie wniosek wynikałby z przesłanek,gdyby fraza „sprawiedliwość społeczna” w jednej i drugiej przesłance miałajedno i to samo znaczenie. Tak jednak nie jest.

Błąd terminów relacyjnych

Błąd terminów relacyjnych jest w istocie szczególnym rodzajem błędu ekwi-wokacji. Znaczenie terminów relacyjnych zależy od kontekstu ich użycia. Coinnego znaczy „wyższy” w zdaniu „Jan jest wyższy niż Piotr”, a co innegow zdaniu „stopień generała jest wyższy niż stopień pułkownika”. Co innegoznaczy „dobry” we frazie „dobry student”, a co innego we frazie „dobry czło-wiek”. O różnicy znaczeń terminów relacyjnych decyduje różnica kategoriiprzedmiotów, o których są orzekane.

Definicja 2.59. Błąd terminów relacyjnych to błąd ekwiwokacji, któ-rego źródłem jest wieloznaczność terminów relacyjnych.

Z zdania „student jest człowiekiem” mogę wnioskować, że „łysy studentjest łysym człowiekiem” (w wypadku terminu „łysy” nie ma różnicy zna-czeniowej zależnej od tego, czy orzekamy go o studencie, czy o człowieku).Inaczej jest w wypadku wniosku „dobry student jest dobrym człowiekiem”.Ze zdania „słoń jest zwierzęciem” nie można wyprowadzić, że „mały słońjest małym zwierzęciem”. Można zaś wyprowadzić, że „oswojony słoń jestoswojonym zwierzęciem”.

Każde wnioskowanie przebiegające według schematu:

∀x[P (x) ⇒ Q(x)]∀x[R(x) ∧ P (x) ⇒ R(x) ∧Q(x)]

jest niezawodne. Prawdziwość przesłanek takiego wnioskowania gwarantujeprawdziwość wniosku, czyli schemat ten jest logiczny. Wnioskowanie z prze-słanki, że student jest człowiekiem o tym, że łysy student jest łysym człowie-kiem daje się przedstawić jako przebiegające według tego schematu. Wnio-skowanie zaś z tej przesłanki, że dobry student jest dobrym człowiekiem tylkopozornie przebiega według tego schematu. Źródłem tego pozoru jest to, żesłowo „dobry” w każdym ze swoich wystąpień ma inne znaczenie. Nie jestzaś logiczny następujący schemat:

∀x[P (x) ⇒ Q(x)]∀x[R(x) ∧ P (x) ⇒ S(x) ∧Q(x)]


Błąd podziału

Innym szczególnym źródłem wieloznaczności wypowiedzi jest możliwość uży-cia terminu na oznaczenie wszystkich desygnatów, tylko jednego desygnatubądź na oznaczenie zbioru wszystkich desygnatów. To, co daje się zgod-nie z prawdą orzec o zbiorze wszystkich desygnatów jakiegoś terminu, niemusi dać się orzec zgodnie z prawdą o jego desygnatach. Stosunki międzyzakresami nazw nie są stosunkami między desygnatami tych nazw.

Zakres nazwy jest zbiorem, którego elementami są wszystkie i tylko teprzedmioty, które są desygnatami tej nazwy. O takich zbiorach mówi się, żesą zbiorami w sensie dystrybutywnym.

W wypadku nazw zbiorowych ich desygnaty są przedmiotami o wewnętrz-nej strukturze. Desygnaty te są więc złożone z różnych przedmiotów po-wiązanych jakimiś relacjami. Przedmioty te są częściami tych desygnatów.Zbiory, które złożone są z części, to zbiory w sensie kolektywnym. Częścizbioru w sensie kolektywnym nie muszą wszystkie być desygnatami jedneji tej samej nazwy. To, co zgodnie z prawdą daje się orzec o zbiorze kolek-tywnym, nie musi przysługiwać jego częściom.

W zdaniu „człowiek pojawił się na Ziemi ok. 2 mln lat temu”, termin„człowiek” użyty jest w supozycji formalnej. Zdanie to byłoby fałszywe,gdyby rozumieć je jako równoważne zdaniu „każdy człowiek pojawił się naZiemi ok. 2 mln lat temu”. O każdym człowieku nie jest prawdą, że pojawiłsię na Ziemi ok. 2 mln lat temu. Inaczej jest zaś w wypadku zdania „człowiekjest ssakiem”. Nazwa „człowiek” użyta jest tu w supozycji naturalnej i zdanie„każdy człowiek jest ssakiem” jest również prawdziwe.

Ze zdań „człowiek jest ssakiem” i „Jan jest człowiekiem” wynika zdania„Jan jest ssakiem”. Gdyby ze zdania „człowiek jest jedyną rozumną istotą naZiemi” wnioskować, że „każdy człowiek jest jedyną istotą rozumną na Ziemi”lub wnioskować, że „Jan jest jedyną istotą rozumną na Ziemi”, to popełniłobysię błąd podziału.

Definicja 2.60. Błąd podziału (fallacia a sensu composito ad sensum di-visum) popełnia się wówczas, gdy na podstawie przesłanki stwierdzającejcoś o pewnej całości przyjmuje się wniosek stwierdzający to coś o elemen-cie/elementach lub części/częściach tej całości.

Błąd podziału ma miejsce, gdy na podstawie przesłanki stwierdzającejcoś o zbiorze przedmiotów wnioskuje się to coś o jego elementach. Błąd tenmoże w tym wypadku przyjąć jedną z dwu postaci:(Ia)

Przesłanka: Zbiór Z ma cechę c.


Zatem,Wniosek: każdy przedmiot ze zbioru Z ma cechę c.

(Ib)Przesłanka: Zbiór Z ma cechę c.

Zatem,Wniosek: P (pewien przedmiot ze zbioru Z)

ma cechę c.Przykład 2.5. Gdyby ktoś na podstawie tego, iż drużyna piłkarska FC jestnajlepszą drużyną świata wnioskował, że

1. każdy piłkarz drużyny FC jest najlepszym piłkarzem świata,

lub, że

2. P (pewien piłkarz drużyny FC) jest najlepszym piłkarzem świata,

to ten ktoś popełniłby błąd podziału.

O błędzie podziału mówi się też w wypadku wnioskowania z faktu przy-sługiwania jakieś cechy całości, o przysługiwaniu tej cechy wszystkim czę-ściom lub pewnej części tej całości. W tym wypadku błąd podziału możeprzybrać jedną z dwu postaci:(IIa)

Przesłanka: Przedmiot P ma cechę c.Zatem,

Wniosek: każda część P ma cechę c.(IIb)

Przesłanka: Przedmiot P ma cechę c.Zatem,

Wniosek: C (pewna część P) ma cechę c.Z tego, że przedmiot jest ciężki nie można wnioskować, że każda lub

jakaś poszczególna jego część jest ciężka. Z tego, że przedmiot jest warto-ściowy nie można wnioskować, że każda lub jakaś poszczególna jego częśćjest wartościowa. Na podstawie tego, że armia stoczyła ciężki bój nie możnawnioskować, że wszystkie jej części-oddziały stoczyły ciężki bój.

W zagadce: „Dlaczego białe owce jedzą więcej niż czarne?” wykorzystujesię możliwość użycia nazwy „owce” na wskazanie jakiejś zbiorowości lub naoznaczenie poszczególnych elementów tej zbiorowości.

Błąd złożenia

Źródłem błędu złożenia jest ta sama wieloznaczność, która jest źródłembłędu podziału. W wypadku błędu podziału w przesłance termin jest użyty


na oznaczenie pewnej całości, a we wniosku jest użyty na oznaczenie elemen-tów lub części tej całości. W wypadku błędu złożenia sytuacja jest odwrotna— w przesłance termin użyty jest na wskazanie elementów lub części, a wewniosku jest użyty na oznaczenie całości, której są to elementy lub części.

Definicja 2.61. Błąd złożenia (fallacia a sensu diviso ad sensum com-positum) popełnia się wówczas, gdy na podstawie przesłanki, stwierdzającejcoś o elementach lub częściach pewnej całości, przyjmuje się wniosek stwier-dzający to coś o tej całości.

Błąd złożenia ma miejsce wówczas, gdy z własności elementów zbioruwnioskuje się o własności tego zbioru lub gdy z własności części jakiegośprzedmiotu wnioskuje się o własności tego przedmiotu. Błąd złożenia możewięc przyjąć jedną z dwu postaci:1.

Przesłanka: Każdy element Z ma cechę c.Zatem,

Wniosek: zbiór Z ma cechę c.Popełniałby błąd złożenia ktoś, kto sądziłby, że drużyna piłkarska zło-

żona z najlepszych w świecie piłkarzy jest najlepszą w świecie drużyną pił-karską.2.

Przesłanka: Każda część przedmiotu Pma cechę c.Zatem,

Wniosek: przedmiot P ma cechę c.Kopernik pisał, że wszechświat jest sferyczny, ponieważ wszystkie jego

części konstytutywne: Słońce, Księżyc i planety ukazują się w takiej postaci.W tym wnioskowaniu Kopernik popełnił błąd złożenia.

Błąd stwierdzenia alternatywy rozłącznej

Zgodnie z przyjętym rozumieniem spójnika „lub” służy on do wypowiedzeniaalternatywy (nierozłącznej). Ktoś, kto rozumie go jak alternatywę rozłącznąpopełnia błąd stwierdzenia alternatywy rozłącznej.

Definicja 2.62. Błąd stwierdzenia alternatywy rozłącznej popełniasię, gdy rozumuje się według schematu:

α lub βα

Zatem: nie-β


Błąd ten ma miejsce we wnioskowaniu:

Jan jest obywatelem Niemiec lub PolskiJan jest obywatelem Niemiec

Zatem: Jan nie jest obywatelem Polski.

Błędne jest też wnioskowanie:

Mogę otrzymać pomoc finansową lub rzeczowąOtrzymałem pomoc finansową

Zatem: Nie mogę otrzymać pomocy rzeczowej.

Błąd znaczenia względnego i znaczenia bezwzględnego

Definicja 2.63. Błąd przejścia od znaczenia względnego do bez-względnego (transitus a dicto secundum quid ad dictum simpliciter) to błądpopełniany wówczas, gdy na podstawie tego, że coś przysługuje czemuś podpewnym względem wnioskuje się, że to coś przysługuje temu czemuś bez-względnie.

Omówiony błąd popełnia się np. wówczas, gdy na podstawie tego, że Janinteligentnie gra w szachy wnioskuje się, że Jan jest inteligentny.

Błędy przypadkowości

W tradycji filozoficznej wyróżnia się cechy istotne przedmiotu. Są nimi tewłasności, bez których ten przedmiot nie byłby tego rodzaju przedmiotem,jakim jest. Bycie rozumnym jest istotną cechą człowieka. Coś, co nie jestrozumne, nie jest człowiekiem. Cechą nieistotną jest na przykład to, że jestsię czytelnikiem tej książki.

Definicja 2.64. Błąd przypadkowości (fallacia accidentis) to błąd po-pełniany wówczas, gdy przypadkową własność uważa się za istotną lub gdyistotną uważa się za przypadkową.

Błąd przypadkowości popełnia ktoś, kto na podstawie tego, że zwierzęszczeka wnioskuje, że jest to pies. Własność nieistotna — szczekanie —uznana została za istotną. Jako błąd potraktowania czegoś istotnego jakonieistotnego można uznać rozumowanie Marii Antoniny, gdy ludowi żądają-cemu chleba proponowała ciastka.


Błąd zmiany rodzaju

Wiedza jest wiedzą o jakiejś dziedzinie. Na przykład przedmiotem fizyki jestświat materialny, a jej zadaniem ustalenie praw, według których przebiegająwszystkie procesy i zjawiska materialne. Biologia zajmuje się światem oży-wionym i określa prawa rządzące w tym świecie. Poszerzenie, czy to jednychczy drugich praw nie jest uprawnione. Przedmiot fizyki jest bowiem dzie-dziną różną od dziedziny będącej przedmiotem biologii.

Definicja 2.65. Sofizmat przejścia z jednego rodzaju do drugiego(transitus de genere ad genus) popełnia się wówczas, gdy zdanie prawdziwew jednej dziedzinie uznaje się za prawdziwe w innej, istotnie od niej różnej.

Błąd ten popełnia się np. wówczas, gdy na podstawie tego, że człowiekmyśli pojęciowo uważa się, że również zwierzęta myślą pojęciowo.

2.5.2 Non sequitur

Podejmując problem błędów we wnioskowaniu wyróżniliśmy błędy mająceźródło w braku uzasadnienia wniosku przez przesłanki. Teraz szczegółowozajmiemy się tym rodzajem błędów.

Definicja 2.66. Błąd non sequitur ma miejsce wówczas, gdy przyjmujesię, że wniosek wynika z przesłanek, a faktycznie tak nie jest.

Tak szeroko rozumianym błędem non sequitur są omawiane powyżejbłędy. Jako tego rodzaju błąd może zostać zinterpretowany błąd w uzasad-nianiu, mający miejsce wówczas, gdy przytacza się jako przesłanki zdania,które nie są argumentami na rzecz uzasadnianej tezy.

Definicja 2.67. Błąd ignoratio elenchi (nieznajomość dowodzonej tezy)lub po polsku stracenie wątku ma miejsce wówczas, gdy przesłanki nieuzasadniają wniosku.

Ze straceniem wątku pozostaje w związku zabieg argumentacyjny polega-jący na celowym odwróceniu uwagi od zasadniczego problemu. Wykorzystujesię do tego zagadnienie wtórne. Staje się ono zasadniczym tematem głów-nie dlatego, że wszyscy uczestnicy dyskusji mają w sprawie tego zagadnie-nia wyrobione zdanie lub zagadnienie to budzi większe emocje uczestnikówdyskusji. Na przykład dość łatwo dyskusję na temat, które samochody sąnajbezpieczniejsze, sprowadzić do dyskusji na temat samochodów produkcjikrajowej i zagranicznej. Dyskusję na temat ochrony życia poczętego dość


łatwo sprowadzić do dyskusji na temat żony pijaka i jej kilkorga dzieci lubdo dyskusji na temat zgwałconej córki zwolennika ochrony życia poczętego.

Podobny charakter ma wypadek, gdy teza będąca przedmiotem dyskusjizostaje przedstawiona w sposób karykaturalny tak, aby łatwo było ją obalić.Przytaczane przesłanki-(kontr)argumenty skierowane są nie przeciw tezie,lecz przeciw jej karykaturalnemu sformułowaniu. Na przykład w dyskusjitelewizyjnej w dniu 12 listopada 1995 roku kandydat na prezydenta odwoła-nie się w Konstytucji III Rzeczpospolitej do chrześcijańskiej tradycji naroduutożsamił z wpisaniem kierowniczej roli PZPR do Konstytucji PRL.

W węższym rozumieniu termin „non sequitur” rezerwujemy na określenietych błędów non sequitur w szerszym znaczeniu, które nie mają swojegoszczególnego określenia.

2.5.3 Petitio principii

Przesłanki we wnioskowaniu powinny być zdaniami uzasadnionymi. W wy-padku wnioskowania dedukcyjnego ich prawdziwość gwarantuje prawdziwośćwniosku. Wnioskowanie to (pośrednie) uzasadnianie zdań, a więc wskazywa-nie racji dla uznania wniosku. Tę rolę wnioskowanie może spełnić tylkowówczas, gdy przesłanki są zdaniami uzasadnionymi. Jeśli patrzeć od stronypragmatycznej, przesłanki winny być — jak to ujmowano w znaczącej sie-demnastowiecznej Logice z Port Royal — zdaniami, które są bardziej znanei bardziej oczywiste niż wniosek. Uzasadnianie powinno dawać podstawy docoraz większego stopnia pewności co do prawdziwości wniosku. Czysto for-malnie możemy ustalać stosunek wynikania między jakimiś zdaniami. Niebędzie to jednak wnioskowanie we właściwym tego słowa znaczeniu, jeśliprzesłanki nie będą zdaniami uzasadnionymi.

Definicja 2.68. W rozumowaniu popełnia się błąd petitio principii , codosłownie znaczy tyle, co „żądanie początku”, gdy któraś z przesłanek niejest uzasadniona.

Szczególnym wypadkiem błędu petitio principii jest błąd circulus in pro-bando, czyli błędne koło w rozumowaniu.

Definicja 2.69. Błędne koło bezpośrednie ma miejsce w rozumowaniuwówczas, gdy wniosek jest jedną z przesłanek (ewentualnie różniącą się sty-listycznie od wniosku).

Bardziej złożony jest wypadek, gdy wniosek nie występuje bezpośredniojako przesłanka, lecz jest użyty w uzasadnieniu przesłanki.


Definicja 2.70. Błędne koło pośrednie ma miejsce w rozumowaniu wów-czas, gdy wniosek (ewentualnie różniąc się stylistycznie) występuje we wnio-skowaniu uzasadniającym jedną z przesłanek.

Wniosek, szczególnie w wypadku wnioskowania dedukcyjnego, jest jakoś«obecny» w przesłankach. Gdyby jego prawdziwość była nam znana (a tymsamym uzasadniona), to wnioskowanie byłoby niepotrzebne. Wnioskujemy,aby znaleźć racje dla uznania. Choć więc ze zdania α wynika zdanie α, townioskowanie to nie jest poprawne, bo albo mieliśmy racje dla uznania zda-nia α i wnioskowanie nie było potrzebne, albo ich nie mieliśmy, a wówczasprzesłanka, zdanie α, nie jest uzasadniona i tym samym wnioskowanie tonie może uzasadniać wniosku, czyli zdania α. Podobnie będzie w wypadkubłędnego koła pośredniego, gdy we wnioskowaniu na rzecz α jako przesłankawystępuje α1, we wnioskowaniu na rzecz α1 występuje α2, . . . , we wniosko-waniu na rzecz αi jako przesłanka występuje α(i+1), . . . , a we wnioskowaniuna rzecz αn występuje α. Przykładem wnioskowania z błędnym kołem po-średnim może być następująca argumentacja:

Przykład 2.6. „Bóg istnieje, ponieważ tak mówi Pismo Święte. Pismo Świętejest zaś napisane przez Boga, który nie kłamie.”

Całkiem szczególną sytuację mamy w wypadku, gdy przesłanka jest fał-szywa.

Definicja 2.71. We wnioskowaniu popełniony został błąd materialny(merytoryczny) w wypadku, gdy któraś z przesłanek nie jest prawdziwa.

Zdanie stwierdzające możliwe stany rzeczy w określonej dziedzinie dajesię przedstawić jako alternatywa, której człony stwierdzają poszczególnez tych stanów. Może nie być wiadomo, który z członów jest prawdziwy.Jednak zdanie będzie prawdziwe i uzasadnione, gdy wykazane będzie, żewyczerpane są wszystkie możliwości. W wypadku, gdy tak nie jest, gdy po-minięty jest choć jeden człon i gdy żaden z członów nie jest uzasadniony,takie zdanie nie jest uzasadnione.

Definicja 2.72. Fałszywy dylemat to zdanie, które ma postać alterna-tywy (lub zdanie, które równoważnie daje się przedstawić jako alternatywa)i które nie jest uzasadnione.

Słyszymy, że „zwiększenie dochodów ludzi o małych i średnich docho-dach może nastąpić tylko przez zmniejszenie podatków dla tej grupy”. Zatym kryje się fałszywy dylemat „albo dochody ludzi o małych i średnich do-chodach nie zwiększą się, albo zmniejszone zostaną im podatki”. Pytanie


w ankiecie „czy Polska bardziej potrzebuje silnej władzy niż demokratycz-nych stosunków” zakłada fałszywy dylemat: albo władza jest silna, albo jestdemokratyczna. Demokratyczna władza nie jest przecież tym samym, cosłaba władza. Za fałszywy dylemat można też uznać znane powiedzenia:„będę kimś albo nikim” i „America: Love it or Leave it”. Rozbójnik stawianapadniętego przed dylematem „życie albo śmierć”. Fidel Castro przewo-dzi Kubie pod hasłem „socjalizm albo śmierć”. W dyskusji przed referendumkonstytucyjnym argumentowano: jeżeli nie będziesz głosował na przedłożonąkonstytucję, to opowiesz się za konstytucją stalinowską34. Inaczej: jesteś zakonstytucją uchwaloną przez zgromadzenie narodowe w 1997 r. albo jesteśza stalinowską konstytucji PRL.

Fałszywy dylemat używany jest w argumentacji jako przesłanka. Wyko-rzystuje się brak dostatecznej wiedzy, albo zawężenie widzenia innych moż-liwości rozwiązań przez niezreflektowane przekonania nabyte w procesie wy-chowania i bezkrytyczną akceptację zasad i norm obowiązujących w środo-wisku.

Najłatwiej popełnić błąd petitio principii w wypadku przesłanek entyme-matycznych. Natura tych przesłanek jako powszechnie akceptowanych prawdpowoduje, że pytanie o ich racje, o ich uzasadnienie umyka uwadze. Więcej,trzeba się «zdobyć na odwagę», aby takie przesłanki zakwestionować. Prze-łomy lub, jak to się mówi we współczesnej filozofii nauki, rewolucje, w naucei filozofii dokonywały się poprzez zakwestionowanie zdawało się oczywistychdla wszystkich twierdzeń i przekonań.

2.5.4 Non causa pro causa

W 1994 r. nastąpił w Polsce wzrost gospodarczy. W tym czasie władzęsprawowała koalicja PSL i SLD. W propagandzie obozu rządowego pojawiałasię następująca argumentacja:

W okresie sprawowania władzy przez koalicję PSL i SLD nastąpiłwzrost gospodarczy. Stąd: Polska zawdzięcza wzrost gospodar-czy rządom koalicji PSL i SLD.

Podobnie postępuje oskarżyciel, gdy na podstawie faktu, że śmierć na-stąpiła po uderzeniu twierdzi, że nastąpiła wskutek uderzenia.

W argumentacji powyższej wnioskuje się według zasady post hoc ergopropter hoc. Najogólniej rzecz biorąc wnioskowanie to ma postać:

34Ujawniono teksty projektu tej konstytucji, na której znajdują się poprawki osobiścieuczynione przez J. Stalina.


Zdarzenie Z1 nastąpiło po zdarzeniu Z; dlatego zdarzenie Z1

nastąpiło z powodu zdarzenia Z.

Wnioskowanie według zasady post hoc, ergo propter hoc jest błędne. Jestto szczególny wypadek błędu non causa pro causa.

Definicja 2.73. Błąd non causa pro causa (fallacia non causae utcausae, fallacia propter non causam ut causam) polega na wzięciu zdarzeniaZ1 za przyczynę zdarzenia Z, gdy faktycznie Z1 nie jest przyczyną Z.

Pretekstem do przyjęcia istnienia związku przyczynowo-skutkowego mię-dzy Z a Z1 jest jakaś relacja między Z a Z1. W wypadku post hoc ergopropter hoc jest to następstwo czasowe. W Faraonie B. Prus pisał o tym,że po słowach kapłana nastąpiło zaćmienie Słońca i ponownie po słowachtegoż kapłana, tym razem wypowiedzianych na prośbę ludu, Słońce wróciłodo normalnego stanu. Lud uwierzył, że kapłan swoimi słowami spowodowałte sytuacje. Ile to razy uzdrowienie po przyjmowaniu jakichś lekarstw dajepodstawę do przekonania o skuteczności tychże lekarstw?

Błąd non causa pro causa jest błędem, którego źródłem jest nadanierelacji między zdarzeniami charakteru relacji przyczynowo-skutkowej, gdyfaktycznie zdarzenia te nie pozostają w tej relacji. W przesłance stwierdzasię jakąś relację między dwoma zdarzeniami, a we wniosku uznaje się, że tezdarzenia pozostają w związku przyczynowo-skutkowym.

2.5.5 Błąd uznania następnika i błąd odrzucenia poprzed-nika

Błędy we wnioskowaniu, które nie są ewidentne, nie stanowią problemu.Wnioskowanie z takimi błędami nie jest bowiem psychologicznie przeko-nywające. Oczywiście, mówimy tu o psychologicznej mocy przekonywaniaw sensie domniemanej możliwości. Mówimy jednak również o tej psycho-logicznej mocy przekonywania w sensie empirycznym, można bowiem beztrudu wskazać przykłady stosowania takich wnioskowań w praktyce. Skorosię takie wnioskowania pojawiają, to ktoś, kto je przeprowadza, sądzi, żewnioskuje poprawnie, lub ktoś, kto je przeprowadza, wie, że są skutecznew sensie przekonywania innych.

Błędy nieformalne mają źródło w treści wnioskowania. Błędy formalnemają źródło w formie, strukturze wnioskowania. Błąd formalny ma miej-sce wówczas, gdy wydaje się (jest to psychologicznie przekonywające), żewnioskowanie ma strukturę wnioskowania dedukcyjnego, a faktycznie taknie jest. Szczególną okazję do takiego pomylenia dają wnioskowania według


wzoru określanego jakomodus ponens i według wzorumodus tollens. Takiegorodzaju błąd to fallacia consequentis.

Błąd uznania następnika

W każdym wnioskowaniu postaci:Jeżeli α, to βα

Zatem: βwniosek (β) wynika z przesłanek. Taki sposób wnioskowania to modus

ponens.Podobną postać ma wzór:

Jeżeli α, to ββ

Zatem: α.Nie w każdym wnioskowaniu takiej postaci wniosek wynika z przesłanek.

Forma ta poprzez podobieństwo do modus ponens potrafi zwodzić. Wnio-skowanie, w którym nastąpiło takie pomylenie to wnioskowanie, w którympopełniono błąd uznania następnika.

Definicja 2.74. Błąd uznania następnika popełnia się, gdy wnioskujesię według schematu:

Jeżeli α, to ββ

Zatem: α

Przykładem wnioskowania z błędem uznania następnika jest następującewnioskowanie:Przykład 2.7.

Jeżeli drogi są śliskie, to autobusy spóźniają się.Autobusy spóźniają się.

Zatem: Drogi są śliskie.

We wnioskowaniach, w których popełnia się błąd uznania następnikajako przesłanki, występują zdanie o postaci implikacji oraz zdanie będącenastępnikiem tej implikacji. Nazwa błędu utworzona jest ze względu na tęprzesłankę. Wniosek jest poprzednikiem implikacji.

Jako szczególną klasę błędu uznania następnika można zanalizować błędnewnioskowanie według zasady post hoc ergo propter hoc. Mianowicie:

Jeśli Z1 jest przyczyną Z2, to Z2 następuje po Z1.


Z2 następuje po Z1.Zatem: Z1 jest przyczyną Z2.

Błąd odrzucenia następnika

W każdym wnioskowaniu postaci:

Jeżeli α, to βnie-β

Zatem: nie-α

wniosek (nie-α) wynika z przesłanek. Taki sposób wnioskowania to modustollens.

Podobną formę ma wzór:

Jeżeli α, to βnie-α

Zatem: nie-β.

Nie w każdym wnioskowaniu takiej postaci wniosek wynika z przesłanek.Forma ta poprzez podobieństwo do modus tollens potrafi zwodzić. Wnio-skowanie, w którym nastąpiło takie pomylenie to wnioskowanie, w którympopełniono błąd odrzucenia poprzednika.

Definicja 2.75. Błąd odrzucenia poprzednika popełnia się, gdy wnio-skuje się według schematu:

Jeżeli α, to βnie-α

Zatem: nie-β.

Przykładami wnioskowań z błędem odrzucenia poprzednika są:

Przykład 2.8.

Jeśli jest własność prywatna, to jest niesprawiedliwość społeczna.Nie ma własności prywatnej.

Zatem: Nie ma niesprawiedliwości społecznej.

Przykład 2.9.

Jeżeli wzrasta podaż artykułu, to jego cena spada.Podaż artykułu nie wzrasta.

Zatem: Cena tego artykułu nie spada.


We wnioskowaniach, w których popełnia się błąd odrzucenia poprzednikajako przesłanki, występują zdanie o postaci implikacji oraz zdanie będącenegacją poprzednika tej implikacji. Nazwa błędu utworzona jest ze względuna tę przesłankę. Wniosek jest negacją następnika implikacji.

Obie formy wnioskowania, według których przebiegają wnioskowania ob-ciążone błędem uznania następnika i błędem odrzucenia poprzednika, sameprzez się nie przesądzają, że wniosek jest fałszywy. Błąd ma miejsce wów-czas, gdy wnioskowania te są traktowane jako dedukcyjne, o co łatwo zewzględu na łatwość pomylenia form tych wnioskowań z wzorami wniosko-wań dedukcyjnych.

Omówione błędy uznania następnika i odrzucenia poprzednika są opisanejako typowe. Nie są to jedyne błędy wnioskowania, których źródło tkwiw niepoprawnej formie, mogą być inne psychologicznie przekonywające, np.:

Jeżeli wzrasta podaż artykułu, to spada jego cena.Zatem: Jeżeli nie wzrasta podaż artykułu, to nie spada jego cena.

Jak wykazać, że takie wnioskowanie jest niepoprawne, bo przesłanka nieuzasadnia wniosku? Otóż należy znaleźć wnioskowanie tej samej postaci,którego wszystkie przesłanki są prawdziwe a wniosek fałszywy. W wypadkunaszego przykładu mogłoby to być wnioskowanie:

Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to jest parzysta.Zatem: Jeżeli liczba nie dzieli się przez 4, to nie jest parzysta.

2.5.6 Błędy nieuzasadnionego uogólnienia i prowincjonali-zmu

Przyjrzyjmy się głoszonym tezom. Zauważmy, ile razy występują w nichsłówka „często”, „zawsze”, „wszyscy” „wszędzie” i podobne. Zastanówmy się,czy są rację dla ich użycia. Okaże się, że nie zawsze. Jeden, dwa lub kilkawypadków ma potwierdzać, że jest tak, jak w tych wypadkach często, zawszelub wszędzie, choć w rzeczywistości wszystkich wypadków jest nieporównaniewięcej niż tylko kilka.

We wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną popełnia się błąd nieuza-sadnionego uogólnienia, gdy liczba wypadków stwierdzanych przez przesłankipozostaje w wyraźnej dysproporcji do liczby wypadków, do których odnosisię wniosek. Odpowiedź na pytanie, kiedy ma miejsce ta «wyraźna dyspro-porcja» należy do logiki indukcji. W sytuacjach praktycznych kierujemy sięintuicją.


Błąd nieuzasadnionego uogólnienia

Definicja 2.76. Błąd nieuzasadnionego uogólnienia (sophisma induc-tionis) to błąd we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną niezupełną,gdy wniosek nie jest dostatecznie uzasadniony przez przesłanki.

Popełnia błąd nieuzasadnionego uogólnienia ktoś, kto będąc raz zmuszo-nym dać urzędnikowi łapówkę twierdzi, że wszyscy urzędnicy biorą łapówki.Podobnie, gdy komuś się zdarzyło, że korzystając ze społecznej służby zdro-wia musiał zapłacić lekarzowi i na tej podstawie twierdzi, że zawsze i każ-demu lekarzowi trzeba zapłacić. Niedostateczne uzasadnienie wniosku przezprzesłanki w indukcji enumeracyjnej niezupełnej może mieć miejsce bądźz powodu niewystarczającego zróżnicowania branych pod uwagę przedmio-tów, bądź z powodu niedostatecznej ich liczby.

Błąd prowincjonalizmu

Błąd prowincjonalizmu polega na uznaniu jako wniosku zdania odnoszącegosię do obszarów geograficznych lub kulturowych większych niż te, do któregoodnosi się przesłanka. Błąd ten można zinterpretować jako szczególną postaćbłędu nieuzasadnionego uogólnienia.

Definicja 2.77. Błąd prowincjonalizmu to błąd we wnioskowaniu, w któ-rym to, co przesłanka stwierdza o pewnej dziedzinie, we wniosku bezpod-stawnie stwierdzane jest o dziedzinie obszerniejszej.

Błąd prowincjonalizmu popełnia ktoś, kto na podstawie tego, że na tere-nie dzisiejszej Polski chleb i kartofle są codziennymi artykułami spożywczymiwnioskuje, że tak jest na całym świecie, albo gdy wnioskuje, że tak byłow Polsce w okresie panowania dynastii Piastów. Podobnie jest w wypadkukogoś, kto żyjąc w środowisku, w którym zwykle jada się trzy posiłki dziennieżywi przekonanie, że taki jest powszechny zwyczaj na całym świecie.

2.5.7 Błędy reguły i wyjątku

Zwykle od reguł istnieją wyjątki. Jest tak w świecie przyrodniczym, np.reguła dotycząca zwiększania objętości ciał pod wpływem ogrzewania mawyjątek jeśli chodzi o wodę. Ta anomalia jest ważna dla przetrwania życiabiologicznego w wodzie. Wyjątków nie brakuje w normach zwyczajowychi prawnych. Przepisowi określającemu dopuszczalną prędkość pojazdów to-warzyszy wyjątek zezwalający na jej przekroczenie przez np. pojazdy poli-cyjne, które ścigają przestępcę.


Definicja 2.78. Błąd wnioskowania z reguły na wyjątek popełnia sięwówczas, gdy odwołując się do reguły pomija się istnienie wyjątków.

Tego rodzaju błąd popełnia ktoś, kto odwołując się do przykazania: «niezabijaj», argumentuje na rzecz zniesienia kary śmierci. Podobnie popełniabłąd ktoś, kto na podstawie prawa stwierdzającego, że ciała pod wpływemciepła zwiększają swoją objętość wnioskuje, że woda o temperaturze 2oC mawiększą masę właściwą niż woda o temperaturze 0oC.

Definicja 2.79. Błąd wnioskowania z wyjątku na regułę popełnia sięwówczas, gdy wyjątek od reguły uznaje sie za regułę.

Tego rodzaju błąd popełniły ktoś, kto przepis wyjątkowy traktowałbyjako zasadę ogólną. Mogłoby to mieć miejsce np. w wypadku, gdy stwier-dzałoby się brak ograniczeń prędkości pojazdów na podstawie przepisu ze-zwalającego policji na poruszanie się bez ograniczeń prędkości w warunkachtego wymagających dla wykonania zadania służbowego.

Zadania

Zadanie 2.52. Co jest źródłem błędu w poniższych rozumowaniach?

1. Starożytni Grecy wnieśli istotny wkład do filozofii. Spartańczycy tostarożytni Grecy. Zatem Spartańczycy wnieśli istotny wkład do filozo-fii.

2. Człowiek podbija kosmos. Jan jest człowiekiem. Zatem Jan podbijakosmos.

3. Cieszę się, że nie lubię szpinaku. Gdybym go lubił musiałbym go jeść.

4. Ciężka praca jest kluczem do sukcesu. Klucz można założyć na kółku.Zatem ciężką pracę można założyć na kółku.

5. Psychologia bada psychikę człowieka. Jan jest człowiekiem. Zatempsychologia bada psychikę Jana.

6. Ludzie są jedynymi zwierzętami, które się śmieją. Kasia jest człowie-kiem. Zatem Kasia jest jedynym zwierzęciem, które się śmieje.

7. Nie wszystko co się świeci jest złotem. Złoto się świeci. Zatem niewszystko złoto jest złotem.


8. Żywność jest konieczna dla życia. Bigos jest żywnością. Zatem bigosjest konieczny do życia.

9. Zła wiadomość to dobra wiadomość. Dobra wiadomość to żadna wia-domość. Zatem zła wiadomość to żadna wiadomość.

10. Zofia zabiera parasol, kiedy wychodzi na deszcz. Zofia zabiera parasol,zatem pada.

11. Mieszczę się w moim płaszczu. Mój płaszcz mieści się w mojej torbie.Zatem ja mieszczę się w mojej torbie.

Zadanie 2.53. Czy rozumowanie Woltera jest poprawne?Przypisywany Mojżeszowi Pięcioksiąg jest fałszerstwem z czasów, gdy

w basenie Morza Śródziemnego dominowała kultura grecka. Wystarczy spoj-rzeć na tytuły poszczególnych ksiąg: Genesis, Exodus, . . . . Czyż te greckienazwy nie świadczą dobitnie o tym, że autorzy Pięcioksięgu mówili na codzień po grecku?

Zadanie 2.54. Na opakowaniach znajdującej się w sklepie partii jogurtów nie-czytelny jest termin przydatności do spożycia. Klient kupujący jogurt chceuzyskać zapewnienie ekspedientki, czy w wypadku stwierdzenia, że jogurtjest nieświeży będzie mógł dokonać jego zwrotu. Ekspedientka zapewniawielokrotnie, że jest to świeży towar i nie chce zgodzić się na zapewnieniemożliwości zwrotu w obawie, że może to być zrozumiane jako brak gwarancjiświeżości.

1. Co sądzisz o rozumowaniu ekspedientki?

2. Czy zgodziłbyś się, że ekspedientka zakłada następujące rozumowanieklienta:

Przesłanka I Jeśli jogurt jest świeży, to nie będzie mógł być zwrócony.Przesłanka II Jogurt będzie mógł być zwrócony.Wniosek: Jogurt nie jest świeży.

Zadanie 2.55. Czy i jaki błąd popełniono we wnioskowaniu:

1. Traktat Wersalski stał się przyczyną inflacji rujnującej gospodarkę Nie-miec, a tym samym wzrostu znaczenia narodowego socjalizmu. A za-tem naziści doszli do władzy dzięki traktatowi wersalskiemu.

2. Janina jest dobrą żoną. Jan jest dobrym mężem. Zatem Janina i Jansą dobrym małżeństwem.


3. Dla logika nie ulega wątpliwości, że ilekroć ustawodawca tylko z warun-kami V1 w łączności z V2 pozwala łączyć skutki r (względnie formułujenormę w postaci równoważności „zawsze i tylko, jeśli zachodzi V1 i V2

— zachodzi r”), wówczas na zasadzie prostego odwrócenia równoważ-ności oraz transpozycji implikacji odwrotnej wolno twierdzić, że jeślinie zachodzą warunki V1 i V2 — nie zachodzi r.

4. Ktoś, kto sądzi, że zawsze ma rację, uważa siebie za nieomylnego. Tyzawsze sądzisz, że masz rację. Zatem uważasz siebie za nieomylnego.

5. Rozmowa z programu telewizyjnego „MdM”

Man: Na klatce schodowej przeczytałem, że gabaryty wywożą tylko wewtorki. Nie wiem, co to jest gabaryt. Czy ja jestem gabarytem?

Materna: Czy byłeś wywożony we wtorek?

Man: Tak

Materna: Jesteś więc gabarytem.

Zadanie 2.56. Wskaż przesłanki entymematyczne i oceń poprawność rozu-mowań:

1. Stwierdzany jest wysoki poziom przestępczości. Ludzie boją się wy-chodzić na ulice. Należy zatem znacznie zwiększyć dolegliwość kar.

2. Nie stwierdza się żadnej zależności pomiędzy wykonywaniem kary śmierci,a liczbą najcięższych przestępstw, za które taka kara jest lub mogłabybyć wymierzana. Zatem należy odstąpić od wymierzania kary śmierci.

3. W Arabii Saudyjskiej złodziejowi obcina się ręce. Rocznie sześciu, sied-miu ludzi pozbawianych jest rąk. W siedmiomilionowej Arabii Saudyj-skiej ludzie nie kradną. Czy jest tu gorzej niż w Ameryce, gdzie niema tak okrutnych kar, a gdzie tygodniowo na Park Avenue w NowymJorku pozbawianych jest życia więcej niewinnych osób niż w ArabiiSaudyjskiej rocznie obcina się rąk złodziejom? Co jest ważniejsze ży-cie niewinnych ludzi, czy ręce złodziei? Coś za coś. Kwestionując karyw Arabii Saudyjskiej wybiera się widok niewinnego człowieka zabitegona ulicy.

Zadanie 2.57. 13 kwietnia 1995 r. B.G. komentując wynik spotkania natemat polskiej polityki zagranicznej i udziału w Moskwie w uroczystościach50 rocznicy zakończenia II wojny światowej powiedział:

„Nie jest winien ani prezydent, ani premier. Winni są obaj.”Czy wypowiedź B.G. jest wewnętrznie sprzeczna?


Zadanie 2.58. Gdzie popełniono błąd w rozumowaniu:

1. To, czego nie mam, a co wcześniej miałem, to zgubiłem. Miałem 10książek. Zgubiłem 1 książkę. Ponieważ miałem 10 książek, a nie mam10 książek, więc mogę powiedzieć, że zgubiłem 10 książek.

2. Niektóre małżeństwa posiadają potomstwo. Każde małżeństwo jestumową, a zatem niektóre umowy posiadają potomstwo.

3. Grać źle Chopina to zbrodnia. Zbrodnia to przestępstwo zagrożonekarą pozbawienia wolności co najmniej 3 lat. Za złe granie Chopinagrozi kara pozbawienia wolności powyżej 3 lat.

Zadanie 2.59. O jaki błąd w rozumowaniu chodzi w niniejszym tekście?

Osąd taki wyrasta z tego, co logicy określają mianem błędu kate-gorialnego — wprost przerażającego. Ustrój demokratyczny ka-pitalizmu nie jest królestwem Bożym. Nie jest on Kościołem aninawet filozofią, lecz tylko w pewnym zewnętrznym sensie „sposo-bem życia”35.

2.5.8 Paradoksy logiczne

Pewne błędne rozumowania zasługują na szczególną uwagę. Konstruowanoje już w starożytnej Grecji, celował w tym Zenon z Elei. Znane są jego argu-menty przeciw ruchowi. Na przykład w paradoksie „Achilles i żółw” dowodzion, że Achilles nie dogoni żółwia. Achilles zgodził się, aby żółw wyruszył dowyścigu o godzinę wcześniej. Achilles w przeciągu pięciu minut dotarł dopunktu A na trasie, do którego doszedł żółw. W tym czasie żółw pokonałjednak pewien odcinek i doszedł do punktu B. Nim Achilles dotarł do punktuB, żółw zdołał dotrzeć do punktu C na trasie. I tak szybkonogi Achilles niezdołał dogonić powolnego żółwia. Tu zajmujemy się tylko paradoksami uka-zującymi trudności natury czysto logicznej. Odegrały ważną rolę w filozofiii logice. Charakteryzuje je paradoksalność (od „para” — wbrew, „doksa”— mniemanie, rozsądek): przekonywające i pozornie poprawne, wychodzącz tych samych przesłanek prowadzą do sprzecznych wniosków. Z tego po-wodu określa się je jako antynomie logiczne.

Niektóre z poniższych paradoksów są znane od starożytności, inne odśredniowiecza, a inne są współczesne. Wiele wciąż budzi dyskusje filozofówi logików.

35Zob. Etyka kapitalizmu, Kraków 1994, str. 146.


Paradoks „Kłamca” Najsłynniejszym paradoksem Eubulidesa z Miletujest paradoks „kłamca”. Poeta Epimenides z Knossos na Krecie (miał żyćw VI w. przed Chr. — postać częściowo legendarna) powiedział: „Kreteń-czycy zawsze kłamią, złe bestie, brzuchy leniwe”36. Jeśli Kreteńczyk wypo-wiedział zdanie „Ja kłamię”, to czy wypowiedział on zdanie prawdziwe, czyfałszywe?37

Paradoks „Łysy” (Eubulides z Miletu): „Każdy człowiek, który nie mawłosów jest łysy. Lecz jeśli dodać łysemu jeden włos, to pozostanie on łysy.Dlatego, każdy człowiek jest łysy, bez względu na to, ile ma na swojej głowiewłosów.” Co jest źródłem niepoprawności argumentu?

Paradoks „Rogacz” (Eubulides z Miletu38): „Czego nie zgubiłeś to masz.Lecz nie zgubiłeś rogów. Zatem, masz rogi.” Co jest źródłem niepoprawnościargumentu?

Paradoks „Człowiek w kapturze” (Eubulides z Miletu): „Znasz swojegobrata. Ten człowiek w kapturze jest twoim bratem, lecz ty go nie znasz.”Jak to jest możliwe?

Paradoks „Sąd” (por. Diogenes Laertios, Żywoty i poglądy słynnych filo-zofów, IX 54, 56)39:

Podaje się, że sofista Protagoras zobowiązał się wykształcić Eu-atlosa na prawnika przyjmując połowę wynagrodzenia z góry,a drugą połowę, gdy Euatlos wygra pierwszy proces. Euatlos niepodjął jednak żadnej sprawy. Protagoras zdecydował się wyto-czyć mu proces dowodząc: Jeśli przegrasz, to zapłacisz na mocywyroku. Jeśli zaś wygrasz, to zapłacisz na mocy umowy. Na toEuatlos: Jeśli przegram, to według naszej umowy jestem wolnyod zapłacenia. Jeśli zaś wygram, to nie zapłacę na mocy wyrokusądowego.

36Zob. Św. Paweł, List do Tytusa 1,12.37Podobno Philates z Kos zamartwił się na śmierć, nie mogąc rozwiązać tego paradoksu.38Zob. Diogenes Laertios Żywoty i poglądy słynnych filozofów, VII, 187; por. tamże, II,

108–111.39W innej wersji tej historii osobami sporu byli sławny nauczyciel retoryki Koraks i Ty-

zjasz. Jest to klasyczny przykład argumentu określanego jako antistrefon (zwracającysię w drugą stronę). Tak nie należy argumentować, bowiem zręczny oponent może łatwoobrócić tę argumentację przeciwko proponentowi.


Kto ma rację Protagoras, czy Euatlos? Co jest źródłem sporu?Dla uzupełnienia dodajmy, że sędziowie uznali, że przedstawione przez

obu przeciwników argumenty są wątpliwe. Z obawy, że jeśli się opowiedząza jedną lub za drugą stroną, ich wyrok sam siebie unieważni, nie wydaliwerdyktu, odraczając bezterminowo rozstrzygnięcie sprawy.

W ten sposób sławny nauczyciel wymowy został pokonany własnym ar-gumentem przez młodego ucznia. Nadaremnie próbował zastosować chytrzeobmyśloną sztuczkę retoryczną.

Bardzo podobną sytuację przedstawia kolejny starożytny paradoks.

Krokodyl Krokodyl porwał matce jej ukochane dziecko. Na usilne błaga-nie, by je zwrócił, krokodyl po namyśle dał jej jedyną szansę: jeśli zgadnie,czy odda jej dziecko, czy też nie odda — dziecko zostanie zwrócone. Matkapo zastanowieniu się odpowiedziała.

— „Ty mi dziecka nie oddasz”.— „Skoro tak — odrzekł krokodyl — to straciłaś dziecko! Jeśli bowiem

powiedziałaś prawdę, to nie mogę tobie dziecka oddać. W przeciwnym wy-padku nie byłaby to prawda. Jeśli zaś nie powiedziałaś prawdy, to dzieckonależy do mnie na mocy naszej umowy”.

— „Nie umiesz myśleć krokodylu — zawołała oburzona matka. Ja prze-cież zgadłam, że mi dziecka nie oddasz. Powiedziałeś zaś wyraźnie, że jeślipowiem prawdę, to mi dziecko oddasz! Gdybym się pomyliła i tak musiał-byś mi dziecko oddać. Aby dowieść, że się pomyliłam musiałbyś bowiem midziecko oddać.”

Kto ma rację w tym sporze? Co jest źródłem sporu?

Średniowieczna zagadka Każda część Sokratesa jest mniejsza od Sokra-tesa. Lecz jeśli wszystko z Sokratesa jest mniejsze niż Sokrates, to Sokratesjest mniejszy od siebie.

Gdzie tkwi błąd rozumowania?

Inna średniowieczna zagadka Przypuśćmy, że jeden kot, Mruczek, sie-dzi na macie. Powiedzmy, że Mruczek ma 1000 włosów. Jeśli straci jakiśwłos (powiedzmy w), to to, co pozostanie (Mruczek-w) wciąż jest kotem.Lecz Mruczek nie jest tożsamy z Mruczkiem-w. Ponadto, wyciągnięcie włosaz kota nie wytwarza kota. Zatem, jest przynajmniej 1001 kotów na macie.

Gdzie tkwi błąd rozumowania?


Most Don Kichota Cervantes w Don Kichote pisze o ustawie nakazu-jącej stawianie przed sądem wszystkich przechodzących przez pewien most.W wypadku, gdy zeznający mówił prawdę zostawał zwolniony, zaś w wy-padku, gdy mówił nieprawdę zostawał natychmiast powieszony. Jaki wyrokwinien wydać trybunał w wypadku osoby zeznającej, że przeszła most jedy-nie po to, aby być powieszoną?

Mocny kłamca 40: To zdanie nie jest prawdziwe.Czy zdanie to jest prawdziwe, fałszywe, lub żadne z tych?

Paradoks wykonania Nie wykonuj tego polecenia.Czy polecenie to może być wykonane? Czy może nie być wykonane?

Paradoks przyrzeczenia Przyrzekam nie dotrzymać tego przyrzeczenia.Czy to przyrzeczenie może być dotrzymane?

Paradoks wiedzy To (zdanie) nie może być znane.Czy zdanie to jest prawdziwe, czy fałszywe?

Paradoks „Golibroda” W pewnym miasteczku był golibroda, który goliłtych i tylko tych, którzy nie golili się sami.

Kto golił golibrodę?

Paradoks Russella Czy zbiór wszystkich zbiorów, które nie są swoimielementami jest swoim elementem?

Paradoks Grellinga Wyrażenie nazywamy heterologicznym wtedy i tylkowtedy, gdy nie jest swoim desygnatem. ‘Pies’ jest wyrażeniem heterologicz-nym, nie jest bowiem swoim desygnatem. ‘Rzeczownik’ nie jest heterolo-gicznym, bowiem słowo ‘rzeczownik’ jest swoim desygnatem. Czy termin‘heterologiczny’ jest heterologiczny?

Paradoks niespodziewanego egzaminu Profesor zapowiedział na na-stępny tydzień ostateczny egzamin na godz. 900, lecz studenci aż do tegodnia nie będą wiedzieli, w który dzień tygodnia (poniedziałek, wtorek, środa,czwartek, piątek) ten egzamin odbędzie się. Pewien student rozumował jaknastępuje: Egzamin nie może odbyć się w piątek; gdyby bowiem nie odbył

40Wariant „kłamcy”, zwany „mocnym kłamcą”.


się do czwartku, do godz. 901, wszyscy wiedzieliby — na dzień przed egza-minem — że będzie to piątek. Nie może też odbyć się w czwartek; gdybynie odbył się do godz. 901 w środę, wszyscy wiedzieliby, że odbędzie sięw czwartek, ponieważ wiadomo, że nie może odbyć się w piątek. W ten samsposób można wnioskować o pozostałych dniach tygodnia. Zatem egzaminnie może się odbyć. Przekonany do tego rozumowania student nie przygoto-wywał się do egzaminu. Ku zaskoczeniu większości studentów egzamin odbyłsię w czwartek, a nasz student nie zaliczył semestru.

W którym miejscu student popełnił błąd w rozumowaniu?

Bohater opowiadania Tristram Shandy, autorstwa Laurence Sterne, pró-buje napisać autobiografię. Ponieważ po dwóch latach opisał tylko pierwszedwa dni ze swojego życia, dochodzi do wniosku, że jego wysiłek skazany jestna niepowodzenie. Możliwość, że tak nie musiałoby być wskazał BertrandRussell. W jakim wypadku nasz bohater mógłby napisać swoją autobiografięopisując w przeciągu jednego roku zdarzenia z jednego dnia swojego życia?

2.5.9 Rola błędu

Hominis est errare, insipientis in errore perseverare. 41

Mistakes are the portals of Discovery.James Joyce

Życie codzienne pełne jest różnego rodzaju błędów. Nie unika ich równieżnauka. Errare human est porzekali już starożytni. Prawa nauki są uniwer-salne. Znaczy to, że stosują się nie tylko do sytuacji, w których zostały po-twierdzone doświadczalnie i eksperymentalnie, lecz do wszystkich sytuacji,które miały miejsce w całej przeszłości i będą miały miejsce w przyszłości.Tym samym wykraczamy poza to, co potwierdzone.

Fizyka klasyczna, której fundamenty położył Isaac Newton (1642–1727)potwierdzana była przez obserwację za obserwacją, eksperyment za ekspery-mentem, daleko więcej niż stulecie; dziś uważamy ją, ściśle rzecz biorąc, zabłędną. Różnica między tym, co głosi ta teoria, a tym, jak jest w rzeczy-wistości, jest jednak nieistotna w zakresie problemów podstawowych takichjak mechaniczne, konstrukcyjne i inne w skali «ziemskiej». Wiele testówprzeprowadzonych w tym stuleciu potwierdziło teorię względności AlbertaEinsteina (1879–1955), wciąż jednak może się ona okazać błędna. Musimyliczyć się z błędem. Jak jednak moglibyśmy żyć i działać nie podejmująctego ryzyka błędu? Błąd może pojawiać się na różnych etapach uprawiania

41Rzeczą ludzką jest błądzić, rzeczą głupców jest trwać w błędzie.


nauki. Z błędem mamy do czynienia w różnych sytuacjach życiowych. Błądjest błędem, jednak jego rola nie zawsze jest negatywna. Ameryka zostałaodkryta przez pomyłkę, czego śladem jest choćby nazwa rdzennych mieszkań-ców Ameryki: Indianie. Błąd może okazać swoją skuteczność jednak tylkowówczas, gdy w naszym poznawaniu kierować będziemy się tylko dążeniemdo prawdy i opierać na samym rozumie. Jak pisze św. Augustyn:

Sapientia et veritas nisi totis viribus concupiscatur, null modoinveniri potest.

W wypadku nauki błąd może być na etapie:

1. stawiania hipotezy,Arystoteles utrzymywał, że przyśpieszenie swobodnie spadających ciałzależy od ich masy. Galileo (1564–1642) sformułował prawo, że przy-śpieszenie to jest niezależne od masy ciała i stałe. Prawo grawitacjiNewtona wyjaśniło tę hipotezę. Zgodnie z fizyką newtonowską, przy-ciąganie grawitacyjne zależy od masy spadającego ciała i odległościmiędzy ciałem a środkiem Ziemi. Zatem cięższe ciała Ziemia przy-ciąga z większą siłą niż ciała lżejsze. Tymczasem, zgodnie z drugimprawem Newtona, siła — w tym wypadku, przyciąganie grawitacyjne— jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia. Zatem skutek masy,spowodowany przyciąganiem, znosi się ze skutkiem masy, wynikającymz drugiego prawa Newtona, czyli większa siła grawitacyjna przyśpieszawiększą masę w tym samym stopniu co lżejsze przedmioty.

Teoria Newtona różni się wszak istotnie od teorii Galileo. Prawo gra-witacji Newtona stwierdza, że siła grawitacyjne jest większa bliżej po-wierzchni Ziemi niż dalej. Dla średniej wielkości przedmiotów względ-nie blisko Ziemi, skutki są niewielkie: niezauważalne przewidywaniazgodne z prawem Newtona różnią się tylko nieznacznie od tych wedługprawa Galileo. W wypadku braku bardzo dokładnych przyrządów po-miarowych testy potwierdzą oba prawa. Prawa te dają jednak różneprzewidywania w wypadku przedmiotów znajdujących się bardzo da-leko od Ziemi.

2. projektowania eksperymentu i przeprowadzania doświadczenia,John Hunter (1728–1793), angielski biolog, sprawdzał na sobie swojąhipotezę, że ten sam czynnik biologiczny odpowiedzialny jest za syfilisi rzeżączkę. Zaraził się rzeżączką. Sądził, że wyleczy oba schorzenia.Był w tragicznym błędzie. Umarł na syfilis potwierdzając swoją hipo-tezę. Mimo to hipoteza okazała się błędna: różne czynniki powodująte dwa schorzenia.


3. testowania hipotezy,W tym wypadku musimy się liczyć z dwojakiego rodzaju błędami.Mogą to być:

(a) błędne założenia pomocnicze (towarzyszące testowanej hipotezie):Konsekwencją teorii Kopernika jest teza, że pozycja gwiazd sta-łych w stosunku do punktu obserwacyjnego na Ziemi ulega zmia-nie w wyniku obrotu Ziemi. Taka teza nie jest konsekwencją teoriiPtolemeusza. Tycho Brahe (1546–1601) przez sześć miesięcy reje-strował dane swoich obserwacji i stwierdził, że pozycja gwiazd nieulega zmianie. Powodem takiego wyniku nie była jednak błęd-ność teorii Kopernika, lecz błędne założenie pomocnicze. Miano-wicie Tycho Brahe był przekonany o niedużej odległości gwiazdod Ziemi. Przyrządy, którymi się posługiwał, w takim wypadkubyłyby wystarczające. To założenie, jak wiemy, było błędne. Pa-ralaksa gwiazd, tak bowiem określa się zmianę pozycji gwiazdw stosunku do punktu obserwacyjnego na Ziemi, odkryta zostaładopiero w 1838 r., gdy dysponowano już doskonalszymi przyrzą-dami obserwacyjnymi.Badania akustyczne w związku ze śledztwem w sprawie zabój-stwa prezydenta USA, J. F. Keneddy’ego stwierdzały cztery wy-strzały, co uzasadniało stanowisko komisji kongresowej, że w tymwypadku miał miejsce spisek. Inni jednak odrzucali to twier-dząc, że «czwarty» strzał powstał nie wyniku oddania czwartegostrzału, lecz był efektem akustycznym powstałym w wyniku od-dania trzech strzałów.

(b) błędne dane obserwacyjne,Mogą być one wynikiem:

i. błędu matematycznego lub logicznego,Teoria Newtona nie potrafi wyjaśnić pewnych aspektów per-turbacji orbity Księżyca. Powodem jest błąd matematycznyw pracy Newtona; gdyby błąd ten poprawić, przewidywaniabyłyby zgodne z danymi obserwacyjnymi. (Newton sam zna-lazł ten błąd, lecz obawiał się opublikowania tego.)

ii. błędnej obserwacji,Błędna obserwacja może być spowodowana przez:— przyrząd,W wywiadzie telewizyjnym 9 lipca 1995 r. prof. AleksanderWolszczan o swoim odkryciu pulsara, które to odkrycie po-


równywane jest z osiągnięciem M. Kopernika powiedział, żepulsar ten zostałby odkryty prędzej czy później. To, że to sięstało, dokonało się dzięki zepsuciu teleskopu.— obserwatora,Obserwator może być roztargniony, niekompetentny, podle-gać autosugestii (wishful thinking), zapomnieć, mieć wady,np. wzroku itp. Wszyscy podlegamy złudzeniom — znane sąrysunki, na których widzimy co innego w zależności od tego,jak patrzymy.Gdyby na serio traktowano wyniki «eksperymetów» labora-toryjnych przeprowadzanych w ramach ćwiczeń przez studen-tów, to nie ostałaby się chyba żadna teoria.Gregor Mendel (1822–1884), twórca współczesnej genetyki,liczył kwiaty mające różne cechy w celu potwierdzenia swo-jej hipotezy genetycznej. Wyniki tak dokładnie potwierdzająprzewidywania teoretyczne, że nie mogą być rzetelne.Panująca nie tak dawno wśród fizyków moda na cząstki ele-mentarne «kazała» obserwować i opisywać fizykom cząstki,których tak naprawdę nie było.

Błędne mogą okazać się również przewidywania, co do wyników zasto-sowania odkryć naukowych. Będą to błędy w zastosowaniach. Na przy-kład w 1948 nagrodę Nobla za odkrycie owadobójczych właściwości DDTotrzymał Szwajcar Paul Hermann Muller (1899–1965). Wtedy pestycydywydawały się kluczem do rozwiązania problemu głodu i chorób zakaźnychprzenoszonych przez owady. Jednak wkrótce owady uodporniły się na dzia-łanie DDT, natomiast DDT, bardzo trwała substancja, choć od dawna wy-cofana z użycia, do dziś krąży w przyrodzie i wywiera szkodliwy wpływ nazwierzęta i ludzi. W 1949 r. nagrodę Nobla przyznano Antonio EgasowiMonizowi (1874–1955), portugalskiemu neurologowi, twórcy „psychochirur-gii”. W 1936 jako pierwszy wykonał leukotomię — przeciął włókna nerwoweprzewodzące impulsy z płatów czołowych mózgu, by usunąć u chorego ob-jawy pobudzenia, depresji i stany lękowe. Zmodyfikowana przez Wattsai Freemana metoda zwana „lobotomią” była — jako wielokrotnie tańsza niżutrzymanie chorego w szpitalu — stosowana na całym świecie. Lobotomiipoddawano dziesiątki tysięcy chorych, niekiedy wykorzystując tę metodę do„unieszkodliwienia” osób kłopotliwych dla otoczenia lub niewygodnych po-litycznie. W Japonii zabieg ten stosowano nawet u dzieci słabo radzącychsobie w szkole. W latach 50. pojawiły się silnie działające leki przeciwpsy-chotyczne i przeciwdepresyjne. Okazało się wówczas, że lobotomia nie była


skuteczniejsza w terapii rzeczywiście chorych psychicznie osób niż pozosta-wienie pacjenta w spokoju (część chorych zdrowieje sama).

Błędy mają również miejsce w naukach formalnych. Błąd popełnionyprzez jednego z twórców współczesnej logiki formalnej, G. Fregego, a odkrytyprzez B. Russella, zaowocował znakomitymi wynikami w logice i matematyce.

Rozdział 3

Wynikanie, schematy i prawalogiki

Quo facto, quando orientur controversiae, non magis di-sputatione opus erit inter duos philosophos, quam interduos Computistas. Sufficiet enim calamos in manus su-mere sedereque ad abacos, et sibi mutuo (accito si placetamico) dicere: c a l c u l e m u s.

J. W. Leibniz1

Definicja wynikania głosi, że zdanie α wynika ze zdań α1, α2, . . . , αn

wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwość zdań α1, α2, . . . , αn gwarantuje praw-dziwość zdania α. Zamiast o gwarancji mówi się też, że nie może być tak,aby zdania α1, α2, . . . , αn były prawdziwe a zdanie α fałszywe. Można za-pytać, co to znaczy, że nie może. Potrzebne jest też skorzystanie z definicjiprawdy, która spełnia wymogi metodologiczne logiki. Nie można bowiemtylko ograniczyć się do pogłębionego rozumienia prawdy. Na te pytanie dajeodpowiedź logika definiując pojęcie wynikania semantycznego. Interesującysię logiką wyłącznie jako narzędziem mogą jednak tym zagadnieniem nie byćzainteresowani i zadowolić się metodami pozwalającymi bez jakichkolwiekwątpliwości stwierdzić, czy w określonym wypadku ma miejsce wynikaniesemantyczne. Logika dostarcza takich narzędzi. Są nimi reguły, schematyi prawa logiki, a najogólniej biorąc, rachunek logiczny. Rachunek logicznyopisuje wynikanie syntaktyczne. Termin „rachunek” jest znany, a kojarzy

1Gdyby spór powstał, dysputa między dwoma filozofami nie wymagałaby większegowysiłku niż między dwoma rachmistrzami. Wystarczyłoby bowiem, aby wzięli ołówki wswoje ręce, usiedli przy swoich tabliczkach i jeden drugiemu (z przyjacielem jako świad-kiem, gdyby zechcieli) powiedzieli: P o l i c z m y.

275

276 ROZDZIAŁ 3. WYNIKANIE, SCHEMATY I PRAWA LOGIKI

się przede wszystkim z rachunkiem arytmetycznym. Uczono nas pisemniedodawać i odejmować, mnożyć i dzielić. Przeprowadzenie rachunku wyma-gało zapisania liczb w systemie dziesiętnym, arabskim. Nie potrafimy prze-cież pisemnie wykonywać operacji arytmetycznych, gdy liczby zapisane sąnp. cyframi rzymskimi. Rachunek wymaga więc specjalnego języka2 a jeślitak, to nadto należy rozumieć, że jest on w istocie pewną operacją mecha-niczną, czyli operacją polegającą na przyporządkowywaniu sobie obiektówfizycznych, jakimi w wypadku rachunku są napisy. Reguły rachunku aryt-metycznego muszą być takie, aby w wyniku przeprowadzenia tego rachunkuotrzymać wynik, który jest taki, jaki jest rzeczywisty wynik danej operacjiarytmetycznej. Odpowiednikiem rzeczywistego wyniku wykonania operacjiarytmetycznej jest wynikanie semantyczne, wynik pisemnego wyrachowaniaodpowiada wynikaniu syntaktycznemu. W arytmetyce istnieje zgodność mię-dzy rzeczywistym wynikiem operacji arytmetycznej, a wynikiem uzyskanymna drodze rachunkowej. Dlatego też nie odróżniamy np. dodawania jakopewnej operacji od dodawania pisemnego. Mówimy po prostu o dodawa-niu. Podobnie, jeśli jest tak, że z jakichś zdań wynika semantycznie jakieśzdanie wtedy i tylko wtedy, gdy wynika ono z tych zdań syntaktycznie, tow zastosowaniach nie ma potrzeby odróżniania jednego od drugiego, wyni-kania semantycznego od syntaktycznego. Co się też czyni mówiąc po prostuo wynikaniu. Idea rachunku logicznego, jaka pojawiła się u Leibniza dała po-czątek współczesnej logice formalnej. Leibniz marzył o czasach, gdy zamiasttoczyć spory weźmiemy ołówek i papier i wyrachujemy kto ma rację.

Nasze rozważania z zakresu logiki formalnej rozpoczniemy od logiki zdań.Logika zdań traktuje zdanie jako zbudowane ze zdań i spójników. Zdanie pro-ste zaś to najmniejsza, wewnętrznie nieanalizowalna jednostka, atom. Pozazdaniami wyróżnia się tylko spójniki (i znaki interpunkcyjne — nawiasy).Zdania języka nauki i języka potocznego zbudowane są również z wyrażeń,które nie są ani zdaniami, ani nie są spójnikami. Znaczenia tych wyrażeńsą źródłem związków wynikania semantycznego. Spośród nich szczególnieważne są słówka kwantyfikujące „dla każdego” i „dla pewnego”. Związki lo-giczne wyznaczone przez te słówka są przedmiotem sylogistyki i logiki predy-katów. W sylogistyce rozważa się zdania podmiotowo-orzecznikowe i przyj-muje, że wszystkie inne dadzą się do nich sprowadzić. We współczesnej logicekwantyfikatorów zdanie jest zanalizowane i ujęte jako zbudowane z predy-katów, słówek kwantyfikujących oraz nazw, a dokładniej stałych indywidu-

2Arystoteles był pierwszym logikiem, który użył symboli. Stoicy uczynili powszechnąpraktykę zastępowania zdań numerami. Pełny rozwój symboliki logicznej datuje się odXIX w., gdy George Boole (1815–1864) zauważył korzyści, jakie logika może odnieść z ję-zyka symbolicznego.

3.1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ 277

owych i zmiennych nazwowych (zmienne nazwowe służą do wypowiadanianazw generalnych).

3.1 Klasyczna logika zdań

Opisując język, zdanie zbudowane ze zdań i spójników określiliśmy jako zda-nie złożone. Zdanie proste to zdanie, które nie jest złożone. W klasycznejlogice zdań pod uwagę bierze się tylko spójniki prawdziwościowe. Zwykle sąto negacja, alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność. Tak też tupostąpimy. Spójniki te wystarczają do wypowiedzenia wszystkich spójnikówprawdziwościowych. Specjalna pozycja klasycznej logiki zdań spowodowanajest podstawowym charakterem wskazanych spójników. Wydaje się bowiem,że są one niezbędne w każdej nauce. Język danej nauki może być bogat-szy i mogą pojawić się w nim inne spójniki. Prawnicy zainteresowani sąnp. spójnikami: „ jest dozwolone, że”, „ jest zakazane, że”, „ jest nakazane,że”. Logika języka z takimi spójnikami jest zwykle nadbudowana nad logikąklasyczną.

3.1.1 Język klasycznego rachunku zdań

Na opis języka klasycznego rachunku zdań, tak jak każdego języka, skła-dają się słownik, reguły składniowe (syntaktyczne) oraz reguły znaczeniowe(semantyczne).

Definicja 3.1. Słownik (alfabet) języka rachunku zdań jest zbioremnastępujących symboli:1. p0, p1, p2 . . . — litery zdaniowe;2. ¬ — spójnik jednoargumentowy;3. ¬,∨,∧,⇒,⇔ — spójniki dwuargumentowe;4. ), ( — znaki interpunkcyjne (nawiasy prawy i lewy).

Litery zdaniowe reprezentują zdania proste, czyli zdania, w których niewystępują spójniki.

W języku rachunku zdań zdania są tu jedynym rodzajem wyrażeń po-prawnie zbudowanych. Stąd definicja zdania wyczerpuje reguły syntaktycznejęzyka rachunku zdań. Zdanie definiujemy przez podanie reguł konstrukcji(definicja indukcyjna, rekurencyjna).

Definicja 3.2 (zdania języka rachunku zdań). Niech α i β będą dowolnymiciągami symboli.


1. litery zdaniowe są zdaniami;

2. jeżeli α jest zdaniem, to ¬ α jest zdaniem;

3. jeżeli α i β są zdaniami, to (α ⇒ β), (α ∨ β), (α ∧ β), (α ⇔ β) sązdaniami;

4. nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych ciągów sym-boli, które są skończonymi ciągami elementów słownika spełniającymiwarunki 2 lub 3.

Warunek 4 można zastąpić warunkiem równoważnym:

4’ zbiór zdań jest najmniejszym zbiorem, którego elementami są wszyst-kie litery zdaniowe i wszystkie skończone ciągi elementów słownika,które spełniają jeden z warunków 2–3.

Przykład 3.1. Zdaniami są:

p0,¬p1, (p2 ∨ p1).

Zdaniami nie są:(p0), (p0 ∨ p1) ∧ (p2 ∨ p3).

Litery „α”, „β”, „γ”, . . . oraz ciągi zbudowane z tych liter i elementówsłownika stosowane są w języku, w którym mówimy o języku rachunku zdań.Należą więc do metajęzyka. Służą one do nazywania ciągów elementów słow-nika języka rachunku zdań. Umawiamy się, że jeśli nie będzie powiedzianeinaczej, to litery „α”, „β”, „γ”, . . . będą odnosiły się tylko do zdań.

W dalszych rozważaniach uprościmy stosowanie nawiasów i zawsze za-miast pisać: (α), będziemy pisali: α, czyli będziemy opuszczać nawiasy ze-wnętrzne. Ponadto umówimy się, że spójniki mają różną moc wiązania, czylipostąpimy tak, jak postępuje się w arytmetyce przyjmując, że np. symbolmnożenia wiąże mocniej niż symbol dodawania. Jeżeli dwuargumentowyspójnik s1 wiąże mocniej niż dwuargumentowy spójnik s2, to zamiast:

(αs1β)s2γ

będziemy mogli pisać:αs1βs2γ,

a zamiast:αs2(βs1γ)


będziemy mogli pisać:αs2βs1γ.

Przyjmuje się, że najmocniej wiążącym spójnikiem jest negacja. Zatem za-miast pisać:

(¬α)s1β

możemy pisać:¬αs1β

Po negacji najmocniej wiążą kolejno: koniunkcja, alternatywa i równoważ-ność. Najsłabiej wiążącym spójnikiem jest implikacja. Czasem dla większejprzejrzystości jest wygodniej użyć więcej nawiasów niż na to pozwalałabyprzyjęte reguły. Ponadto stosuje się nawiasy różnych kształtów. Wreszcie,dla wygody, zwykle jako liter zdaniowych będziemy używali małych kolej-nych liter alfabetu: p, q, r, . . . .

Definicja 3.3. s jest spójnikiem głównym w zdaniu α wtedy i tylko wtedy,gdy α jest zdaniem postaci: sβ lub βsγ.

3.1.2 Tautologia

Zdania języka rachunku zdań zbudowane są z liter zdaniowych i ze spójnikówprawdziwościowych. Zdaniom przyporządkowywać będziemy jedną z dwuliter: v, f3.

Definicja 3.4. Wartość logiczna zdania to jedna z liter: v, f .

Definicja 3.5. Interpretacja zdania to przyporządkowanie literom zda-niowym jednej z dwu wartości logicznych: v, f .

Wartość logiczną zdania α, w zależności od wartości logicznych liter zda-niowych, określa się zgodnie z następującymi tabelkami:

Jeżeli zdanie α, to zdanie ¬β:

β ¬β

v ff v

Jeżeli α, to zdanie postaci: βsγ, gdzie s to spójnik dwuargumentowy:3Verum — po łacinie znaczy tyle co — prawda, a falsum — fałsz. W wielu wykładach

logiki zamiast tych liter używane są cyfry „1” i „0”.


β γ β ⇒ γ β ∨ γ β ∧ γ β ⇔ γ

v v v v v vv f f v f ff v v v f ff f v f f v

W wypadku interpretacji takiej, że p0 przyjmuje wartość v, a p1 przyj-muje wartość f zdanie:

¬(p0 ∨ p1)

przyjmuje wartość f . Zgodnie z tabelką mamy bowiem, że

p0 ∨ p1

przyjmuje wartość v. A zatem jego negacja, czyli rozważane zdanie, przyj-muje wartość f .

Definicja 3.6. Zdanie α jest tautologią (symbolicznie.: ` α) wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartość v.

Przykład 3.2. Tautologią jest zdanie:

p0 ∨ ¬p0.

Jeżeli α i α ⇒ β są tautologiami, to tautologią jest też β, czyli

Twierdzenie 3.1. Jeżeli ` α i ` α ⇒ β, to ` β.

Dowód. Niech α i α ⇒ β będą tautologiami. Gdyby β nie było tautologią, toistniałaby taka interpretacja, dla której β przyjmowałoby wartość f . Zgodniez definicją implikacji, dla tej interpretacji również α przyjmowałoby wartośćf , co przeczy założeniu, że α jest tautologią.

Definicja 3.7. Kontrtautologia to zdanie, które dla dowolnej interpretacjiprzyjmuje wartość f .

Przykład 3.3. Kontrtautologią jest: α ∧ ¬α.

Można zauważyć, że zdanie jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdyjego negacja jest tautologią.

Okazuje się, że problem, czy zdanie jest tautologią, jest rozstrzygalny.Znaczy to, że istnieje rachunek, który w wypadku dowolnego zdania pozwalaw ograniczonej liczbie operacji rachunkowych znaleźć odpowiedź na pytanie,


czy zdanie to jest tautologią, czy nie jest tautologią. Zauważmy, że każdemuzdaniu można przyporządkować tylko skończoną ilość interpretacji. Jeśliw zdaniu występuje n liter zdaniowych (bez względu na to, ile razy zostałyużyte poszczególne litery zdaniowe), to możliwych jest 2n interpretacji tegozdania. Jest to liczba skończona. Określenie wartości zdania dla każdejinterpretacji jest operacją dającą się wykonać w skończonej liczbie kroków.Iloczyn dwóch skończonych liczb jest liczbą skończoną. Zatem wykonanieskończonej liczby operacji rachunkowych wystarcza, aby znaleźć odpowiedźna pytanie, czy dane zdanie jest tautologią.

Odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią, możemy szukać przy-porządkowując literom zdaniowym kolejno wszystkie możliwe wartości. Tensposób postępowania to metoda wprost. Zdanie jest tautologią, jeśli dlawszystkich możliwych układów wartości przyjmuje wartość v. Możemy rów-nież postępować niewprost. Stosując metodę niewprost zakładamy, żezdanie nie jest tautologią. Następnie kierując się zasadami przyporządkowy-wania wartości logicznych przypisujemy wartości logiczne zdaniom składo-wym. Postępujemy tak tak długo aż stwierdzimy, że

1. jakiemuś zdaniu składowemu rozważanego zdania należałoby przypo-rządkować zarówno wartość v jak i wartość f. Wówczas stwierdzamy,że nie może być tak, aby to zdanie nie było tautologią. A więc, że jestono tautologią.

2. poszczególnym literom zdaniowym zostanie przyporządkowana dokład-nie jedna wartość v lub f. Wówczas stwierdzamy, że zdanie to dla tychwłaśnie wartości przyjmuje wartość f. A więc, że nie jest tautologią.

Zaletą metody niewprost jest możliwość skrócenia sprawdzania. Metodawprost wymaga sprawdzenia wszystkich układów wartości liter zdaniowych.Już przy sześciu literach trzeba rozważyć 64 układy. Poszukuje się innychsposobów. Wielka liczba koniecznych działań jest bowiem w ogóle cechąszczególną metody zero-jedynkowej. Charles Dodgson (1832–1898), mate-matyk i logik, fotograf i literat, bardziej znany pod literackim pseudoni-mem Lewis Carroll, zaprojektował zagadkę, „problem żaby”, która wymagaosiemnastu liter zdaniowych. Należałoby rozważyć więc 262144 możliwości.Gdyby przyjąć, że jeden symbol wpisywany jest w przeciągu jednej sekundy,to na wykonanie wszystkich operacji potrzeba by było prawie roku.

O opisanych wyżej metodach wprost i niewprost z tego powodu, że zwyklestosuje się cyfry „1” i ”0” mówi się, że jest to metoda zero-jedynkowa4

4Metoda ta została rozwinięta w 1921 niezależnie przez amerykańskiego logika Emila


Zadania

Zadanie 3.1. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami, czy kontrtauto-logiami:

1. p ⇔ ¬p

2. ¬(¬p ⇒ p)

3. ¬(¬p ⇒ q)

4. (q ⇒ p) ⇒ q

5. (p ⇒ q) ∧ ¬(q ⇒ p)

6. (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ q)

7. (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)

8. (p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)

9. p ∨ ((p ⇔ q) ∧ (p ⇔ ¬q))

10. p ⇔ ((p ⇒ ¬q) ∧ (p ⇒ ¬¬q))

11. (q ∧ r) ⇔ ((p ⇔ q) ∨ (p ⇔ r))

12. (p ∨ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ∨ q) ⇒ (p ∨ r))

13. (p ⇔ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇔ r))

14. (p ⇒ (q ⇔ r)) ⇔ ((p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ r))

15. ¬(p ⇔ ¬(q ⇒ r)) ⇔ ¬(¬(p ⇔ q) ⇒ ¬(p ⇔ r))

16. p ∨ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ (r ∨ ¬q)))

Zadanie 3.2. Dla jakiej liczby wystąpień litery zdaniowej p tautologią jestzdanie:

(. . . ((p ⇒ p) ⇒ p) . . . ) ⇒ p?

Zadanie 3.3. Niech α będzie zdaniem zbudowanym za pomocą tylko spójnikarównoważności. Udowodnij, że α jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdyjeśli litera zdaniowa występuje w α, to występuje parzystą ilość razy.

Posta (urodzony w Augustowie, w Polsce) oraz austriackiego filozofa Ludwika Wittgen-steina.


Zadanie 3.4. Niech α będzie zdaniem zbudowanym za pomocą tylko spójnikarównoważności. Niech β różni się os α tylko miejscem poszczególnych literzdaniowych i nawiasów. Udowodnij, że β jest równoważne α.

Zadanie 3.5. Niech α będzie zdaniem zbudowanym za pomocą tylko spójni-ków alternatywy i koniunkcji. Niech αd będzie zdaniem otrzymanym ze zda-nia α przez zastąpienie w każdym miejscu wystąpienia spójnika alternatywyprzez spójnik koniunkcji, a spójnika koniunkcji przez spójnik alternatywy.Niech α∗ będzie zdaniem otrzymanym ze zdania α przez poprzedzenie każ-dego wystąpienia litery zdaniowej przez spójnik negacji (zastąpienia literyzdaniowej pi w każdym miejscu jej wystąpienia przez ¬pi). Udowodnij, że¬αd jest równoważne α∗.

Zadanie 3.6. Niech α i β będą zdaniami zbudowanymi za pomocą tylko spój-ników alternatywy i koniunkcji. Niech α będzie równoważne β. Udowodnij,że αd jest równoważne βd.

Zadanie 3.7. Niech p0 = p, a p1 = ¬p. Niech ij ∈ {0, 1}. Dla jakich ciągów:i0, i1, . . . , in tautologią jest zdanie:

(. . . ((pi0 ⇒ pi1) ⇒ pi2) . . . ) ⇒ pin?

Zadanie 3.8. Mówimy, że n-argumentowy spójnik s jest definiowalny za po-mocą spójników s1, s2, . . . sn wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zdanie zbudo-wane tylko za pomocą spójników s1, s2, . . . sn równoważne zdaniu s(p1, . . . , pn).

Udowodnij, że każdy spójnik jest definiowalny za pomocą spójników:

1. negacji i alternatywy;

2. negacji i koniunkcji;

3. negacji i implikacji;

4. dyzjunkcji;

5. jednoczesnego zaprzeczenia.

Zadanie 3.9. Udowodnij, że

1. za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji;

2. za pomocą negacji i równoważności nie można zdefiniować alternatywyi koniunkcji.


3.1.3 Wynikanie w klasycznej logice zdań

Podstawowym problemem logiki jest odpowiedź na pytanie o warunki po-prawności rozumowań. Wnioskowanie dedukcyjne to rozumowanie, w którymna podstawie wcześniej uznanych zdań-przesłanek uznajemy zdanie-wniosek.Wnioskowanie dedukcyjne wyróżnia od innych poprawnych rozumowań to,że w jego wypadku prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wnio-sku. Zajmujemy się rachunkiem logicznym, aby podać zasady rachunkowe,których przestrzeganie zagwarantuje, że wnioskowanie będzie dedukcyjne.Reguły rachunku logicznego są mniej skomplikowane niż np. pisemnego do-dawania.

Reguły rachunku specyficznym dla danej reguły napisom określonym za-równo co do liczby jak i kształtu przyporządkowują jakiś określony co dokształtu napis. W wypadku rachunku logicznego to przyporządkowanie okre-śla się też jako wyprowadzalność (inferencję). Reguła MP napisom αoraz α ⇒ β przyporządkowuje napis α.

Definicja 3.8. Reguła odrywania (Modus Ponens):(MP) z α i α ⇒ β wyprowadzalne jest β.

Zamiast mówić o wynikaniu wniosku z przesłanek możemy mówić o wy-nikaniu zdania ze zbioru zdań.

Definicja 3.9. Ze zbioru zdań Σ wynika zdanie α (symbolicznie: Σ ` α)wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg zdań α0, α1, . . . , αn taki, żedla każdego αi, 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest jeden z warunków:

1. αi jest elementem zbioru Σ,

2. αi jest tautologią,

3. istnieją j, k < i takie, że αk jest zdaniem αj ⇒ αi.

Ciąg zdań α0, α1, . . . , αn spełniający warunki 1–3 to dowód zdania αze zbioru zdań Σ.

Warunek 3 można sformułować równoważnie:

3’. istnieją j, k < i takie, że αi jest wyprowadzalne z αj i αk za pomocąreguły MP.

Zbiór zdań Σ to zbiór przesłanek, albo inaczej założeń. Σ możew szczególności być zbiorem pustym (∅).


Twierdzenie 3.2. Zdanie α wynika z pustego zbioru zdań (∅ ` α) wtedyi tylko wtedy, gdy jest tautologią (` α).

Dowód. Niech α będzie tautologią. Jednoelementowy ciąg α spełnia warunek2 definicji wynikania. Zatem α wynika z pustego zbioru założeń.

Niech α wynika z pustego zbioru założeń. Istnieje zatem ciąg:

α0, α1, . . . αn,

który spełnia warunki dowodu. Zdanie αn, ostatni wyraz tego ciągu, tozdanie α. Pokażemy, że każdy element tego ciągu jest tautologią. W szcze-gólności tautologią będzie więc zdanie α. Pierwsze dwa wyrazy dowodu sątautologiami lub elementami zbioru założeń. Zatem, gdy zbiór założeń jestpusty, zdania α0 i α1 muszą być tautologiami. Załóżmy, że jest taki wyrazciągu dowodowego, który nie jest tautologią. Niech αi będzie pierwszymwyrazem ciągu, który nie jest tautologią. Ponieważ poprzedzające go wy-razy są tautologiami a zbiór Σ jest pusty, więc αi mogło zostać otrzymanetylko przez zastosowanie reguły MP. Ponieważ zgodnie z twierdzeniem 3.1,zastosowanie reguły MP do tautologii daje w wyniku tautologię, otrzymu-jemy sprzeczność z założeniem. Zatem wszystkie wyrazy rozważanego ciągusą tautologiami. W szczególności tautologią jest αn.

Twierdzi się (tu dowód tego jest pominięty), że wynikanie zgodnie z zasa-dami dowodu w rachunku zdań (wynikanie syntaktyczne) pokrywa się z wy-nikaniem semantycznym, czyli takim, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy,gdy prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku.

Twierdzenie o dedukcji

Mając do dowiedzenia zdanie α ⇒ β do zbioru przesłanek Σ zwykliśmydołączać zdanie α i ze zbioru przesłanek Σ∪ {α} dowodzić zdanie β. Mającdowieść zdanie „ jeżeli trójkąt ma dwa równe boki, to ma dwa równe kąty”,do zbioru przesłanek — w tym wypadku są to udowodnione twierdzeniageometrii — dołączamy zdanie „trójkąt ma dwa boki równe”. Dokonujemytego mówiąc „załóżmy, że trójkąt ma dwa równe boki”. Dowodzimy zaśzdania „trójkąt ma dwa równe kąty”. Czy nasz sposób postępowania jestuprawniony, czy jest zgodny z logiką? Pozytywną odpowiedź na to pytaniedaje twierdzenie o dedukcji.

Twierdzenie 3.3. O dedukcji

Σ ` α ⇒ β


wtedy i tylko wtedy, gdyΣ ∪ {α} ` β.

Dowód. Udowodnimy dwie tezy, które łącznie składają się na twierdzenieo dedukcji, a mianowicie:

jeżeli Σ ` α ⇒ β, to Σ ∪ {α} ` β, (3.1)

jeżeli Σ ∪ {α} ` β, to Σ ` α ⇒ β (3.2)

Dowód 3.1Dowód 3.1 jest krótki. Niech ze zbioru Σ wynika zdanie α ⇒ β. Zgod-

nie z definicją wynikania istnieje ciąg α1, α2, . . . , αn, który jest dowodemze zbioru Σ zdania α ⇒ β. Ciąg α1, α2, . . . , αn, α jest dowodem ze zbioruΣ∪{α} zdania β. Zgodnie z definicją wynikania zdanie αn to zdanie α ⇒ β.Zdanie α wolno dołączyć do dowodu na mocy pkt 1 definicji wynikania,gdyż jest założeniem tego dowodu. Zdanie β otrzymujemy stosując regułęodrywania do αn [= α ⇒ β] i α.

Dowód 3.2Dowód tezy 3.2 jest bardziej złożony. Niech β ma dowód ze zbioru

Σ ∪ {α}, czyli Σ ∪ {α} ` β. Niech dowodem tym będzie α1, α2, . . . , αn.Udowodnimy, że dla każdego i, 1 ≤ i ≤ n, Σ ` α ⇒ αn. Tym samymudowodnimy tezę 3.2, bowiem zgodnie z definicją dowodu αn to zdanie β.3.2 (0)

W wypadku i = 1, α1 może być tautologią lub elementem zbioru Σ∪{α}.Jeżeli α1 jest tautologią, to tautologią jest też α ⇒ α1. Zdanie α ⇒ α1

jako tautologia ma dowód z pustego, a zatem i z dowolnego zbioru zdań,w szczególności z Σ. Niech α1 będzie założeniem, czyli α1 ∈ Σ ∪ {α}. α1

może być zdaniem α. Wówczas zdanie α ⇒ α1 [= α ⇒ α] jest tautologią,a więc ma dowód z dowolnego zbioru zdań, w szczególności z Σ. α1 możebyć elementem Σ. Ciąg:

1. α1 ⇒ (α ⇒ α1) tautologia2. α1 założenie3. α ⇒ α1 (MP; 1,2)

jest dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ α1.3.2 (k+1)Założenie indukcyjne. Niech dla pewnego k zachodzi: Σ ` α ⇒ αi, jeślii ≤ k. Pokażemy, że dla i = k + 1 zachodzi:


Σ ` α ⇒ αk+1.

Zgodnie z definicją dowodu αk+1 może być tautologią, założeniem lubmoże być uzyskane przez zastosowanie reguły odrywania do poprzedzającychje elementów ciągu. W wypadku, gdy αk+1 jest tautologią lub założeniempostępujemy jak w 3.2(0). Pozostaje więc rozważyć wypadek, gdy αk+1 jestuzyskane za pomocą reguły odrywania. Niech to będzie wynik zastosowaniatej reguły do αm i αm ⇒ αk+1. Zgodnie z założeniem indukcyjnym zdaniaα ⇒ αm oraz α ⇒ (αm ⇒ αk+1) mają dowody ze zbioru Σ. Niech ciąg:

β1, β2, . . . , βl[= α ⇒ αm]

będzie dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ αm, a ciąg:

γl+1, γl+2, . . . , γl+u[= α ⇒ (αm ⇒ αk+1)]

niech będzie dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ (αm ⇒ αk+1). Ciąg:

β1, β2, . . . , βl, γl+1, γl+2, . . . , γl+u

przedłużony o następujące trzy zdania:

l + u + 1. [α ⇒ (αm ⇒ αk+1)] ⇒ [(α ⇒ αm) ⇒ (α ⇒ αk+1)] tautologial + u + 2. (α ⇒ αm) ⇒ (α ⇒ αk+1) (MP;l+u+1,l+u)l + u + 3. α ⇒ αk+1 (MP;l+u+3,l)

jest dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ αk+1.

3.1.4 Schematy i prawa logiki zdań

Dla logiki zdań jako jedyną regułę rachunku logicznego przyjęliśmy regułęodrywania (MP). Dla celów praktycznych korzystnie jest wzbogacić zasóbreguł. W wypadku rachunków arytmetycznych też zwykliśmy tak postępo-wać. Korzystamy z różnych wzorów jak np. na kwadrat różnicy: a2 − b2 =(a+b)(a−b). Wwypadku logiki takimi wzorami są schematy/reguły wniosko-wań. Ogólnie biorąc reguła wnioskowania to zasada przyporządkowywaniazdania określonego kształtu zdaniom określonym co do liczby i kształtu.

Między wnioskowaniami, w których zachodzi wynikanie wniosku z prze-słanek, a tautologiami istnieje ścisły związek. Mianowicie ze zdań α0, α1, . . . , αn

wynika zdanie β wtedy i tylko wtedy, gdy tautologią jest zdanie (α0 ∧ α1 ∧. . . αn) ⇒ β. O fakcie tym mówi następujące twierdzenie.


Twierdzenie 3.4.{α0, α1, . . . , αn} ` β

wtedy i tylko wtedy, gdy

` (α0 ∧ α1 ∧ . . . αn) ⇒ β.

Dowód. Na podstawie twierdzenia o dedukcji mamy, że

{α0, α1, . . . , αn} ` β

wtedy i tylko wtedy, gdy:

∅ ` α0 ⇒ (α1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ β) . . . ))

To zaś na podstawie twierdzenia 3.2 ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy:

` α0 ⇒ (α1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ β) . . . ))

Zdanie:α0,⇒ (α1,⇒ (. . . ,⇒ (αn ⇒ β) . . . )

przyjmuje wartość f wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zdania α0, α1, . . . , αn

przyjmują wartość v, a zdanie β przyjmuje wartość f . Jest to również wa-runek konieczny i wystarczający przyjmowania wartości f przez zdanie:

(α0 ∧ α1 ∧ . . . αn) ⇒ β.

Zatem:` α0 ⇒ (α1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ β) . . . ))

wtedy i tylko wtedy, gdy:

` (α0 ∧ α1 ∧ . . . αn) ⇒ β.

Wnioskowaniu dedukcyjnemu: {α0, α1, . . . , αn} ` β odpowiada tautolo-gia: ` (α0∧α1∧ . . . αn) ⇒ β. Tautologii: ` (α0∧α1∧ . . . αn) ⇒ β odpowiadazaś wnioskowanie dedukcyjne: {α0, α1, . . . , αn} ` β.

Okazuje się, że każde zdanie: α ∨ ¬α jest tautologią niezależnie od tego,jakie zdanie będzie zdaniem α.


Nie potrafimy powiedzieć, czy zdanie: α∨¬β jest, czy też nie jest tauto-logią. Potrzebna jest wiedza do jakiego zdania języka rachunku zdań odnosisię „α” a do jakiego odnosi się „β”. Jeśli α to zdanie:

p0 ∨ p1

a β to zdanie:p0 ∧ p2

to zdanie α ∨ ¬β jest tautologią. Nie byłaby to tautologia, gdyby α byłozdaniem:

p0 ∧ p1

a β byłoby zdaniem:p0 ∨ p1.

Liter: „α”, „β”, . . . używamy w języku, w którym mówimy dla wskazywa-nia zdań języka, o którym mówimy. Bywa, że nie określamy, do jakich zdańlitery te się odnoszą. Na przykład, gdy mówimy „jeśli α i β są zdaniami, tozdaniem jest również α ⇒ β”. Nie wiemy jednak, jakie jest to zdanie pókinie wiemy, jakimi zdaniami są α i β. Takie wyrażenie, w którym występujątylko spójniki, nawiasy i litery: „α”, „β”, . . . i które w wypadku, gdy α, β,. . . są zdaniami jest też zdaniem, to schemat zdania.

Definicja 3.10. Prawo logiki zdań to schemat tautologii.

Prawem logiki jest: α∨¬α. Tautologiami, których prawo to jest schematem,są następujące zdania: p ∨ ¬p, q ∨ ¬q, p ∧ q ∨ ¬(p ∧ q), (p ⇒ q) ∨ ¬(p ⇒ q).To, że schemat Φ5 jest prawem logiki będzie zapisywane:

` Φ.

Zgodnie z wyżej udowodnionym twierdzeniem, niektórym tautologiomodpowiadają wnioskowania dedukcyjne. Schematom tautologii, czyli pra-wom logiki w podobny sposób odpowiadają schematy wnioskowań dedukcyj-nych, czyli schematy logiczne.

Definicja 3.11. Schemat logiczny to schemat wnioskowania dedukcyj-nego.

5Na oznaczenie schematów zdań używać będziemy wielkich liter greckich. Jeśli językrachunku zdań jest językiem przedmiotowym, to wielkie litery greckie będą należały dometametajęzyka tego języka.


Schematy logiczne będą zapisywane:

Φ0

Φ1...Φn

Ψ

lub:Φ0, Φ1, . . . ,Φn ` Ψ.

Schemat ten odpowiada prawu logiki:

(Φ0 ∧ Φ1 ∧ · · · ∧ Φn) ⇒ Ψ.

Wnioskowanie, które przebiega zgodnie ze schematem logicznym, jestwnioskowaniem, w którym z przesłanek wynika wniosek. Stwierdzenie, czywnioskowanie jest dedukcyjne, może być dokonane w oparciu o zasady wyni-kające ze sposobu sprawdzania, czy zdanie jest tautologią. Stwierdzenie, czyschemat jest prawem logiki lub czy schemat wnioskowania jest schematemlogicznym dokonywane jest w podobny sposób jak stwierdzenie, czy zdaniejest tautologią lub czy wnioskowanie jest dedukcyjne. W schematach niewystępują litery zdaniowe. Występują zaś zmienne metaprzedmiotowe: „α”,„β”, „γ”, . . . . Im to przyporządkowywane są wartości logiczne w taki samsposób jak są one przyporządkowywane literom zdaniowym. Problemy, czyschemat zdania języka rachunku zdań jest prawem logiki lub czy schematwnioskowania w języku rachunku zdań jest logicznym schematem wniosko-wania są rozstrzygalne.

Podamy niektóre ważniejsze prawa logiki i — jeśli są — odpowiadająceim schematy logiczne.

Nazwa

prawo schemat

zasada tożsamości(principium identitatis)

α ⇒ αzasada (nie)sprzeczności

(principium noncontradictionis)


¬(α ∧ ¬α)zasada wyłączonego środka(principium tertii exclusi)

α ∨ ¬α

zasada podwójnego przeczenia

¬(¬α) ⇒ α

modus ponendo ponens6

[(α ⇒ β) ∧ α] ⇒ β α ⇒ βα

β

modus tollendo tollens7

[(α ⇒ β) ∧ ¬β] ⇒ ¬α α ⇒ β¬β

¬α

transpozycja zwykła

(α ⇒ β) ⇒ (¬β ⇒ ¬α) α ⇒ β

¬β ⇒ ¬α

modus tollendo ponens

[(α ∨ β) ∧ ¬α] ⇒ β α ∨ β¬α

β

6Inaczej: sylogizm konstrukcyjny. Modus — po łacinie tyle co sposób; a pono — kłaść,zakładać, twierdzić. Zwykle krótko nazywany: modus ponens

7Inaczej: sylogizm destrukcyjny. Tollo — po łacinie — znieść, zburzyć, usunąć, za-przeczyć. Zwykle krótko nazywany: modus tollens.


modus ponendo tollens

[(¬α ∨ ¬β) ∧ α] ⇒ ¬β ¬α ∨ ¬βα

¬β

I prawo De Morgana

¬(α ∧ β) ⇒ (¬α ∨ ¬β) ¬(α ∧ β)

¬α ∨ ¬β

II prawo De Morgana

¬(α ∨ β) ⇒ (¬α ∧ ¬β) ¬(α ∨ β)

¬α ∧ ¬β

sylogizm hipotetyczny

[(α ⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)] ⇒ (α ⇒ γ) α ⇒ ββ ⇒ γ

α ⇒ γ

transpozycja złożona

[(α ∧ β) ⇒ γ] ⇒ [(α ∧ ¬γ) ⇒ ¬β] (α ∧ β) ⇒ γ

(α ∧ ¬γ) ⇒ ¬β

dylemat konstrukcyjny

[(α ⇒ γ) ∧ (β ⇒ γ) ∧ (α ∨ β)] ⇒ γ α ⇒ γβ ⇒ γ


α ∨ β

γ

dylemat destrukcyjny

[(γ ⇒ α) ∧ (γ ⇒ β) ∧ (¬α ∨ ¬β)] ⇒ ¬γ γ ⇒ αγ ⇒ β¬α ∨ ¬β

¬γ

Zadania

Zadanie 3.10. Czy poniższe schematy są logiczne:

1. α ⇒ (α ⇒ β), α ` β;

2. (α ∧ β) ⇒ γ,¬γ, α ` ¬β;

3. α ⇒ β, α ⇒ ¬β ` ¬α;

4. α ⇒ α,¬α ⇒ α ` α;

5. γ, α ⇒ ¬β ` ¬β;

6. ¬(γ ⇒ α) ` γ ⇒ ¬α;

7. γ, (γ ∨ α) ⇒ α ` γ ∧ α;

8. γ ⇒ (¬¬α ⇒ β) ` (γ ∧ ¬β) ⇒ ¬α;

9. α ⇔ (γ ⇒ (α ∨ ¬β)),¬(γ ⇒ (α ∨ β)) ` ¬β;

10. (γ ∨ ¬α) ⇔ (γ ⇔ (α ∧ (β ⇒ ¬γ)) ` ¬α;

11. ¬(γ ⇔ ¬α), γ ⇔ (β ⇔ α) ` ¬(α ⇒ (γ ⇔ β));

12. γ ∨ (α ∨ (¬γ ∧ β)),¬((γ ∧ ¬α) ⇒ (γ ∨ γ)) ` ¬(¬γ ⇔ ¬β);

13. ((γ ⇒ α) ⇒ γ) ⇒ β, ((β ⇒ γ) ⇒ β) ⇒ α ` ((α ⇒ β) ⇒ α) ⇒ γ;

14. ¬α ∨ β,¬β,¬α ⇔ γ ` ¬γ ⇔ β;

15. ¬α ∨ β,¬β,¬α ⇒ γ ` ¬γ ⇒ β;


16. γ ⇒ (α ⇔ δ),¬β ∨ (¬γ ⇔ ¬α),¬((δ ∧ η) ⇔ (α ⇒ γ)) ` η ∧ ¬β;

17. α ⇒ (β ⇒ (γ ∧ ¬α)),¬α ⇒ ¬(δ ∨ ϕ), (ψ ∧ η) ⇔ β ` δ ⇒ (ψ ⇒ ¬η).

3.2 Logika kwantyfikatorów

W rachunku zdań najmniejszą, wewnętrznie nieanalizowalną jednostką jestzdanie. Ze zdań:1. Wieloryby są ssakami.2. Ssaki są kręgowcami.

wynika semantycznie — co tu stwierdzamy kierując się intuicją — zdanie:W. Wieloryby są kręgowcami.

Z punktu widzenia języka rachunku zdań zarówno przesłanki (1) i (2) jaki wniosek (W) są zdaniami prostymi i jedyny schemat, jaki możemy temuwnioskowaniu przyporządkować to schemat:

α

β

γ

Schemat ten nie jest logiczny. Znaczy to, że w analizowanym wnioskowaniureguły rachunku zdań okazały się niewystarczające dla «wyrachowania» za-chodzenia wynikania semantycznego. Musimy dysponować więc bogatszymrachunkiem. Reguły takiego rachunku odnosić się będą do wewnętrznych ele-mentów składowych zdania. O związkach logicznych zachodzących międzyzdaniami złożonymi decydują spójniki, za pomocą których te zdania zostałyzbudowane. Powstaje pytanie, jakie wyrażenia «z wnętrza» zdań wyznaczajązwiązki logiczne między tymi zdaniami? Takimi wyrażeniami są te, które sąuniwersalne, a więc niezależne od specyficznej dziedziny, jaką te zdania opi-sują. Logicy takie uniwersalne wyrażenia nazywają „stałymi logicznymi”.Logika klasyczna wskazuje na słówka kwantyfikujące „każdy” i „pewien” jakonajistotniejsze stałe logiczne obok klasycznych spójników zdaniowych, nazy-wając je kwantyfikatorami. Pozostaje wybór języka, który nadawałby się narachunek kwantyfikatorów. Rozważymy dwie propozycje. Jedną, którą da-wała logika tradycyjna zwana sylogistyką i współczesną, którą daje klasycznalogika predykatów.

W sylogistyce, której twórcą był Arystoteles, a doskonalona była przezscholastyków w średniowieczu, zdanie ma postać podmiotowo-orzecznikowąlub jest zdaniem podmiotowo-orzeczeniowym i daje się sprowadzić do postaci

3.2. LOGIKA KWANTYFIKATORÓW 295

podmiotowo-orzecznikowej8. Po łacinie „podmiot” to „Subiectum”, a „orzecz-nik” — „Predicatum”. Zdania naukowe— a takimi zdaniami miała się zajmo-wać logika — mogły być zdaniami podmiotowo-orzecznikowymi, w którychzarówno podmiot jak i orzecznik są nazwami ogólnymi. Są to zdania katego-ryczne — poza ewentualnie negacją nie zawierają żadnego innego spójnikazdaniowego.

W logice współczesnej zdanie analizuje się jako zbudowane z predyka-tów, stałych indywiduowych (nazw jednostkowych), zmiennych nazwowych,czyli zmiennych, których zakresem zmienności jest zbiór przedmiotów orazze słówek kwantyfikujących, którymi są — najprościej mówiąc — słówka„każdy” i „pewien”. Stosowana jest też symbolika inna niż w sylogistyce. Dlawyrażenia słówka kwantyfikującego „każdy” używa się symbolu „∀”, zaś dlawyrażenia słówka kwantyfikującego „pewien” używa się symbolu „∃”.

3.2.1 Sylogistyka

Jeszcze w XVIII w. wydawało się — głosił to E. Kant — że logika Arysto-telesa jest tak wszechstronnie i doskonale zbudowana, że prawie niczego jużdo niej nie można dodać. System tej logiki wykładany jest współcześnie i tonie bynajmniej tylko w ramach historii logiki. Wykład taki można zwykleteż znaleźć w podręcznikach logiki dla prawników i teologów. Znakomityhistoryk logiki i współtwórca logiki współczesnej Jan łukasiewicz pisze:

Sylogistyka Arystotelesa jest systemem o ścisłości przewyższają-cej nawet ścisłość teorii matematycznej i to nadaje jej nieprze-mijającą wartość9.

Zdania kategoryczne będące przedmiotem logiki tradycyjnej, czyli sylo-gistyki10, mogły być jednego z czterech rodzajów, a mianowicie takimi, którestwierdzają, że

1. każdy desygnat podmiotu jest desygnatem orzecznika,

2. żaden desygnat podmiotu nie jest desygnatem orzecznika,

3. niektóre desygnaty podmiotu są desygnatami orzecznika,

4. niektóre desygnaty podmiotu nie są desygnatami orzecznika.8Zob. w tej sprawie rozdz. 1.9Zob. Sylogistyka Arystotelesa z punktu widzenia współczesnej logiki formalnej, War-

szawa 1988, s. 178.10Greckie σνλλoγισµoς znaczy tyle, co „obliczanie”, „rozumowanie”.


Zdania 1 i 2 od 3 i 4 różnią się ilością: pierwsze są ogólne (propositio uni-versalis), drugie szczegółowe (propositio particularis)11. Zdania 1 i 3 od 2i 4 różnią się jakością: pierwsze są twierdzące (propositio affirmativa), dru-gie są przeczące (propositio negativa). Zatem mamy zdania: ogólnotwier-dzące, szczegółowo twierdzące, ogólnoprzeczące, szczegółowo przeczące. Połacinie „twierdzę” — „affirmo”, „przeczę” — „nego”. Pierwsze samogłoskiz tych słów zostały użyte dla oznaczenia zdań ogólnych, odpowiednio, twier-dzącego i przeczącego. Drugie samogłoski zostały zaś użyte dla oznaczeniazdań szczegółowych, odpowiednio, twierdzącego i przeczącego. Zatem SaPto zdanie ogólnotwierdzące, SeP — ogólnoprzeczące, SiP — szczegółowotwierdzące, SoP — szczegółowo przeczące.

Definicja 3.12. Termin to podmiot lub orzecznik zdania kategorycznego.

Definicja 3.13. Kategoryczne zdanie ogólnotwierdzące (symbolicz-nie.: SaP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem jest na-zwa ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza, że każdydesygnat S jest desygnatem P.

Przykładami zdań ogólnotwierdzących są zdania: Każdy człowiek jestśmiertelny. Każdy człowiek jest rozumny. Każdy adwokat jest prawnikiem.

Definicja 3.14. Kategoryczne zdanie szczegółowo twierdzące (sym-bolicznie.: SiP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotemjest nazwa ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza,że pewien desygnat S jest desygnatem P.

Przykładami zdań szczegółowo twierdzących są: Pewien człowiek jestfilozofem. Pewien student jest grającym w tenisa.

Definicja 3.15. Kategoryczne zdanie ogólnoprzeczące (symbolicznie.:SeP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem jest nazwaogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza, że żadendesygnat S nie jest desygnatem P.

Przykładami zdań ogólnoprzeczących są: Żaden analfabeta nie jest pisa-rzem. Żaden student nie jest małoletni. Żaden koń nie jest latający.

11W logice tradycyjnej ze względu na ilość wyróżniano jeszcze zdania jednostkowe (pro-positio singularis) i zdania nieokreślone (propositio indefinita). Zdania jednostkowe są tozdania, których podmiot wskazuje dokładnie jeden określony przedmiot, jak np. w zdaniu„Sokrates jest śmiertelny”. Zdania nieokreślone, to zdania, które mogły być przez dodaniekwantyfikacji przekształcone na zdania ogólne lub szczegółowe. Zdaniem nieokreślonymjest np. „Kreteńczycy kłamią”.


Definicja 3.16. Kategoryczne zdanie szczegółowo przeczące (symbo-licznie.: SoP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem jestnazwa ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza, żepewien desygnat S nie jest desygnatem P.

Przykładami zdań szczegółowo przeczących są zdania: Pewien człowieknie jest filozofem. Pewien student nie jest uczącym się logiki. Pewien słońnie jest oswojony.

W sylogistyce rozważa się też związki logiczne ze względu na dopełnieniezakresu podmiotu lub orzecznika do zakresu dziedziny rozważań. Potrzebnyjest wskaźnik nazwy sprzecznej do danej nazwy. Nazwą sprzeczną z nazwąN jest nazwa nonN .

Język sylogistyki

Na język sylogistyki, jak na każdy język składają się słownik, reguły syntak-tyczne oraz reguły semantyczne. W języku sylogistyki mamy dwa rodzajewyrażeń poprawnie zbudowanych: terminy i zdania.

Definicja 3.17. Słownik (alfabet) języka sylogistyki jest zbiorem wszyst-kich i tylko symboli:

1. A, B, C, . . . ,2. non

3. a, i, e, o.

Definicja 3.18 (terminu).

1. Litery: A, B, C, . . . są terminami,

2. jeśli S jest terminem, to nonS jest terminem,

3. nie ma innych terminów poza tymi skończonymi ciągami symboli, któredadzą się utworzyć zgodnie z punktami 1 i 2.

Definicja 3.19 (zdania).

1. Jeśli S i P są terminami to zdaniami są: SaP, SiP, SeP, SoP,2. nie ma innych zdań oprócz wyrażeń dających się zbudować zgodnie

z pkt. 1.


Diagramy Venna

Szwajcarski matematyk Leonard Euler (1707–1783) i brytyjski matematykJohn Venn (1834–1923) wymyślili diagramy dla przedstawiania znaczeniazdań kategorycznych. Reguły semantyczne języka sylogistyki wskażemy po-mocą diagramów Venna. Diagramy pozwolą na określenia znaczenia wyrażeńjęzyka sylogistyki.

Zbiór wszystkich przedmiotów dziedziny rozważań, zbiór uniwersalny(symbolicznie: U) reprezentowany jest przez prostokąt. Zakresy nazw repre-zentowane są przez wzajemnie przecinające się koła znajdujące się wewnątrzprostokąta. Brak przedmiotów w jakimś obszarze wyznaczonym przez gra-nice kół zaznaczany jest przez zakreskowanie tego obszaru liniami pozio-mymi, a istnienie przedmiotu w takim obszarze zaznaczane jest przez posta-wienie w tym obszarze znaku plus (+).

PS

SaP

Diagram wskazuje, że wszystkie elementy S są elementami P. Zdanie SaPjest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nazwy S i P są równoważne lubnazwa S jest podrzędna względem nazwy P.

S P+

SiP


W obszarze będącym częścią wspólną zakresu S i zakresu P znajduje sięznak plus. Wskazuje on, że w obszarze tym znajduje się przynajmniej jedenprzedmiot. Przedmiot ten jest desygnatem nazwy S i jednocześnie jest de-sygnatem nazwy P. Zdanie SiP jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdynazwa S jest równoważna, podrzędna, nadrzędna lub krzyżuje się z nazwąP.

S P

SeP

Część wspólna zakresu nazwy S i zakresu nazwy P jest zakreskowana. Zna-czy to, że w obszarze tym nie ma żadnego przedmiotu, obszar ten jest pusty.Nie ma przedmiotu, który byłby zarazem desygnatem nazwy S i desygnatemnazwy P. Zdanie SeP jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nazwy S i Pwykluczają się, w szczególności, gdy są przeciwne lub sprzeczne.

S P+

SoP

W obszarze S, który nie jest wspólny z obszarem P, znajduje się znak „+”.Wskazuje on, że w obszarze tym jest przynajmniej jeden przedmiot, czyli żejest przedmiot będący desygnatem S, a nie będący desygnatem P. ZdanieSoP jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nazwa S wyklucza, krzyżujesię lub jest nadrzędna względem nazwy P.


Wnioskowanie bezpośrednie

Związki logiczne zachodzące między zdaniami kategorycznymi prowadzą dologicznych schematów wnioskowań.

Definicja 3.20. Wnioskowanie bezpośrednie to wnioskowanie, w któ-rym występuje tylko jedna przesłanka.

Prawami logiki odnoszącymi się do wnioskowania bezpośredniego są prawakwadratu logicznego, konwersji i obwersji.

Nazwa nonS jest sprzeczna z nazwą S. Nazwą sprzeczną z nazwą nonSjest nazwa S. Mając na uwadze ten fakt opis wnioskowania bezpośredniegomożna ograniczyć do zdań następujących postaci: S-P, nonS-P, S-nonP,nonS-nonP; P-S, nonP-S, P-nonS, nonP-nonS, gdzie w miejsce „-” możebyć wpisana jedna z liter: a, i, e, o.

Prawa kwadratu logicznego Mamy cztery zdania kategoryczne nie róż-niące się między sobą podmiotami i orzecznikami: SaP, SiP, SeP, SoP.Związki logiczne między tymi zdaniami tradycyjnie przedstawiane są na dia-gramie o postaci kwadratu i określane jako stosunki opozycji (oppositio).Stosunki opozycji opisywane są przez prawa kwadratu logicznego.

SaP SeP

SiP SoP


e

c z n

oœ æ

p o

d p

o r

z ¹

d k

o w

a n

i e

p o

d p

o r

z ¹

d k

o w

a n

i e



Zdania pozostające w stosunku przeciwieństwa (oppositio contraria)to zdania, które się wykluczają, lecz nie dopełniają. Zdania SaP i SeP niesą nigdy współprawdziwe, lecz mogą być współfałszywe. Zdania „każdy lubipsy” i „nikt nie lubi psów” nie mogą być współprawdziwe (bez względu nato, jak kształtuje się stosunek ludzi do psów), lecz mogą być (i faktycznie są)współfałszywe. Kategoryczne zdania przeciwne (propositiones contrariae)


mają tę samą ilość — każde jest ogólne — różnią się natomiast jakością:zdanie SaP jest twierdzące, a zdanie SeP jest przeczące.

Zdania pozostające w stosunku podprzeciwieństwa (oppositio sub-contraria) to zdania, które się dopełniają, lecz nie wykluczają. Zdania SiPi SoP nie są nigdy współfałszywe, lecz mogą być współprawdziwe. Zdania„niektórzy lubią psy” i „niektórzy nie lubią psów” nie mogą być współfał-szywe (bez względu na to, jak kształtuje się stosunek ludzi do psów), leczmogą być (i faktycznie są) współprawdziwe. Kategoryczne zdania pod-przeciwne (propositiones subcontrariae) mają tę samą ilość — każde jestszczegółowe — różnią się natomiast jakością: zdanie SiP jest twierdzące,a zdanie SoP jest przeczące.

Zdania pozostające w stosunku sprzeczności (oppositio contradictio-nis) to zdania, które się wykluczają i dopełniają. Zdania SaP i SoP orazzdania SeP i SiP ani nie są współprawdziwe, ani nie są współfałszywe.Jedno ze zdań sprzecznych jest prawdziwe, a drugie jest fałszywe. Zda-nia „wszyscy lubią psy” i „niektórzy nie lubią psów” oraz zdania „nikt nielubi psów” i „niektórzy lubią psy” są parami zdań sprzecznych. Zawsze, bezwzględu na stosunek ludzi do psów, jedno z nich jest prawdziwe i jedno z nichjest fałszywe. Kategoryczne zdania sprzeczne (propositiones contrariae)różnią się zarówno co do ilości jak i jakości. W kwadracie logicznym są dwiepary zdań sprzecznych. Są to pary zdań SaP, SoP oraz SeP, SiP.

Zdania pozostają w stosunku podporządkowania (oppositio subal-terna) wtedy i tylko wtedy, gdy z jednego wynika drugie. W kwadracielogicznym są dwie pary zdań pozostających w tym stosunku: SaP, SiPoraz SeP, SoP. Prawdziwość zdania SaP gwarantuje prawdziwość zdaniaSiP (jeśli S nie jest nazwą pustą), a prawdziwość zdania SeP gwarantujeprawdziwość zdania SoP (jeśli S nie jest nazwą pustą). Ze zdania „każdylubi psy” wynika zdanie „niektórzy lubią psy”, zaś ze zdania „nikt nie lubipsów” wynika zdanie „niektórzy nie lubią psów”.

Stosunek wynikania nie jest symetryczny. Zdania pozostające w stosunkupodporządkowania w zależności od tego, z którego wynika które, mogą po-zostawać w stosunku nadrzędności lub stosunku podrzędności.

Zdanie α pozostaje w stosunku nadrzędności do zdania β wtedy i tylkowtedy, gdy ze zdania α wynika zdanie β. W kwadracie logicznym są dwiepary zdań pozostających w tym stosunku: zdanie SaP jest nadrzędne w sto-sunku do SiP, a zdanie SeP jest nadrzędne w stosunku do SoP.

Stosunek podrzędności jest odwrotny do stosunku nadrzędności. Zdanieα pozostaje w stosunku podrzędności do zdania β wtedy i tylko wtedy,gdy ze zdania β wynika zdanie α. W kwadracie logicznym są dwie pary zdańpozostających w tym stosunku: zdanie SiP jest podrzędne w stosunku do


SaP, a zdanie SoP jest podrzędne w stosunku do SeP.Prawa kwadratu logicznego obowiązują przy założeniu, że podmiot (na-

zwa S) nie jest nazwą pustą.Prawa kwadratu logicznego opisują związki między zdaniami, które nie

różnią się między sobą podmiotami i orzecznikami. Związki między zdaniamikategorycznymi, w których oba terminy (podmiot i orzecznik) jednego zdaniasą takie same lub sprzeczne z terminami drugiego zdania, opisywane są przezreguły konwersji i obwersji.

Konwersja Istotą konwersji jest zamiana ról terminów: termin, którypełnił rolę podmiotu w zdaniu będącym argumentem konwersji, pełni rolęorzecznika w zdaniu będącym jej wynikiem.

Definicja 3.21. Konwersją zdania α, w którym S jest podmiotem, a Pjest orzecznikiem jest zdanie takie samo jak α co do jakości, w którym Pjest podmiotem, a S jest orzecznikiem.

Wyróżnia się trzy rodzaje konwersji:

1. prostą,

2. przez zmianę ilości,

3. przez kontrapozycję.

Definicja 3.22. Konwersja prosta (conversio simplex, seu simpliciter,seu mutua) zdania α, w którym S jest podmiotem, a P jest orzecznikiem tozdanie takie samo jak α co do jakości i ilości, w którym P jest podmiotem,a S jest orzecznikiem.

Konwersją prostą zdania SaP jest zdanie PaS. W wypadku zdania„każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „każdy prawnik jest pro-kuratorem”.

Definicja 3.23. Konwersja przez zmianę ilości (conversio per accidens,seu non mutua), zwana też konwersją z ograniczeniem, zdania α, w któ-rym S jest podmiotem a P jest orzecznikiem, to zdanie takie samo jak zdanieα co do jakości, lecz różne co do ilości, w którym P jest podmiotem, a S jestorzecznikiem.

Konwersją z ograniczeniem zdania SaP jest zdanie PiS. W wypadkuzdania „każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „niektórzy prawnicysą prokuratorami”.


Definicja 3.24. Konwersja przez kontrapozycję (conversio per contra-positionem) zdania α, w którym S jest podmiotem, a P jest orzecznikiem,to zdanie takie samo jak α co do jakości i ilości, w którym nonP jest pod-miotem, a nonS jest orzecznikiem.

Konwersją przez kontrapozycję zdania SaP jest zdanie nonPa nonS.W wypadku zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „każdynieprawnik jest nieprokuratorem”.

Konwersja od zdania prawdziwego nie musi prowadzić do zdania prawdzi-wego. Jest tak np. w wypadku konwersji prostej zdania ogólnotwierdzącego.Reguły konwersji dla poszczególnych zdań mówią, kiedy ma miejsce wynika-nie, tzn. kiedy prawdziwość zdania gwarantuje prawdziwość jego konwersji.

Zdanie ogólnoprzeczące SeP i jego konwersja prosta PeS mają takiesame diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:

SePPeS

Ze zdania „żaden pies nie jest kotem” można wywnioskować zdanie „żadenkot nie jest psem”.

Zdanie szczegółowo twierdzące SiP i jego konwersja prosta PiS majątakie same diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowa-nia:

SiPPiS

Ze zdania „niektórzy studenci są sportowcami” można wywnioskować zdanie„niektórzy sportowcy są studentami”.

Diagram Venna dla zdania ogólnotwierdzącego SaP — jeśli założymyniepustość nazwy S — jest również diagramem dla jego konwersji przezzmianę ilości, PiS. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania (je-śli S 6= ∅):

SaPPiS

Ze zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” można wywnioskować zdanie„niektórzy prawnicy są prokuratorami”.


Zdanie szczegółowo przeczące SoP i jego konwersja przez kontrapo-zycję nonPiS mają takie same diagramy Venna. Logiczny jest następującyschemat wnioskowania:

SoPnonPiS

Ze zdania „niektórzy prawnicy nie są sędziami” można wywnioskować zdanie„niektórzy niesędziowie są prawnikami”.

Zauważmy, że ściśle rzecz biorąc konwersją przez kontrapozycję zdaniaSoP jest zdanie nonPo nonS. Zdanie to jest jednak równoważne zdaniunonPiS.

W logice tradycyjnej, mającej zamiłowanie do tekstów mnemotechnicz-nych, reguły odnoszące się do konwersji zdań ujmowano następująco:

Simpliciter fEcI convertitur;EvA per accid;AstO per contrap;sic fit conversio tota.

Obwersja Operacja obwersji polega na zastąpieniu orzecznika przez ter-min z nim sprzeczny i zmianie jakości.

Definicja 3.25. Obwersją (ekwipolencją) zdania α, w którym S jestpodmiotem a P jest orzecznikiem jest zdanie takie samo jak α co do ilościa różniące się jakością, w którym S jest podmiotem, a nonP jest orzeczni-kiem.

Na przykład obwersją zdania ogólnotwierdzącego SaP jest zdanie Se nonP.W wypadku zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „żadenprokurator nie jest nieprawnikiem”.

Obwersja od zdania prawdziwego prowadzi do zdania prawdziwego. Re-guły obwersji dla poszczególnych zdań mówią, że ma miejsce wynikanie, tzn.że prawdziwość zdania gwarantuje prawdziwość jego obwersji.

Zdanie ogólnotwierdzące SaP i jego obwersja, Se nonP, mają takiesame diagramy Venna.Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:

SaPSe nonP

Ze zdania „każdy człowiek jest rozumny” można wywnioskować zdanie „żadenczłowiek nie jest nierozumny”.


Zdanie szczegółowo twierdzące SiP i jego obwersja, So nonP, mają ta-kie same diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:

SiPSo nonP

Ze zdania „niektórzy studenci są sportowcami” można wywnioskować zdanie„niektórzy studenci nie są niesportowcami”

Zdanie ogólnoprzeczące SeP i jego obwersja, Sa nonP, mają takie samediagramy Venna.Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:

SePSa nonP

Ze zdania „żaden kot nie jest psem” można wywnioskować zdanie „każdy kotjest niepsem”.

Zdanie szczegółowo przeczące SoP i jego obwersja, Si nonP, mają takiesame diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:

SoPSi nonP

Ze zdania „niektórzy studenci nie są sportowcami” można wywnioskowaćzdanie „niektórzy studenci są niesportowcami”.

Założenia egzystencjalne sylogistyki

Załóżmy, że nazwa S jest pusta. Przy tym założeniu zdanie SaP jest zda-niem prawdziwym, a zdanie SiP jest fałszywe. Zatem ze zdania SaP niewynika zdanie SiP, co jest wbrew prawu kwadratu logicznego. Fakt tenprosto stwierdzamy korzystając z diagramów Venna.

Zdanie SaP, gdy S jest nazwą pustą ma następujący diagram Venna:

PS


SaP

W diagramie zdania SaP brak znaku „+”, który musi wystąpić w dia-gramie zdania SiP. Zakładając jednak niepustość nazwy S w diagramie:

PS+

SaP

w obszarze S musimy wpisać znak „+”. Jedynym możliwym obszarem dlajego wpisania jest obszar wspólny S i P. Przy takim założeniu prawdziwejest więc zdanie SiP.

Podobnie można pokazać, że jeśli zostanie pominięte założenie niepusto-ści, z wyjątkiem związków sprzeczności nie będą obowiązywały pozostałeprawa kwadratu logicznego.

Prawa kwadratu logicznego są szczególnymi związkami logicznymi, jakiezachodzą między zdaniami kategorycznymi nie różniącymi się między sobąpodmiotami i nie różniącymi się między sobą orzecznikami.

Prawa kwadratu logicznego obowiązują przy założeniu, że podmiot jestnazwą niepustą. P jest podmiotem zdania będącego konwersją zdania o pod-miocie S i orzeczniku P. Non-P jest podmiotem zdania będącego jego kon-trapozycją. Non-S jest zaś podmiotem konwersji kontrapozycji. Na to, abyprawa kwadratu logicznego mogły być stosowane do wszystkich omawianychzdań należy więc założyć, że zarówno podmiot jak i orzecznik są nazwaminiepustymi oraz, że żadne z nich nie jest nazwą pełną, czyli nazwą, której de-sygnatami są wszystkie przedmioty dziedziny rozważań, bowiem tylko przytakim założeniu niepuste będą nazwy nonS i nonP.

Powyższe założenia są istotnymi ograniczeniami logiki Arystotelesow-skiej. Dla ich uniknięcia współcześni logicy zwykle odrzucają prawa kwa-dratu logicznego będące źródłem trudności i pozostawiają tylko związki sprzecz-ności, które obowiązują bez względu na pustość lub niepustość podmiotui orzecznika.


Zadania

Zadanie 3.11. Korzystając z praw wnioskowania bezpośredniego pokaż, żelogiczne są następujące schematy wnioskowania:

1.SaP

nonPi nonS2.

SePPi nonS

3.SoP

Si nonP4.

SiPPo nonS

5.SoP

nonPiSZadanie 3.12. Podaj przykłady wnioskowań według wzorów z zad. 3.11.

Sylogizm

Wnioskowania, których schematy rozważane są w sylogistyce to sylogizmy.Arystoteles zdefiniował sylogizm bardzo szeroko. Rozważał jednak tylko bar-dzo ograniczoną postać tego wnioskowania.

W stosunku do praw kwadratu logicznego następuje ograniczenie językaprzez brak możliwości tworzenia nazwy sprzecznej z daną nazwą. W językutym nie ma wskaźnika „non”. Terminami mogą być tylko litery: A, B, C,. . . .

Sylogizm w postaci prostej (istnieją też sylogizmy złożone) składa sięz trzech zdań: dwóch przesłanek i wniosku (konkluzji). Zdania te są zbu-dowane z trzech terminów. Termin będący podmiotem wniosku to terminmniejszy. Termin będący orzecznikiem wniosku to termin większy. Terminnie występujący we wniosku, lecz znajdujący się w obu przesłankach, totermin średni.

Definicja 3.26. Sylogizm jest to wnioskowanie, w którym:


• wniosek jest zdaniem, którego podmiotem jest S, a orzecznikiem jestP,

• pierwsza przesłanka zwana przesłanką większą (praemissa maior)ma jako terminy P – jest to termin większy (terminus maior) —oraz M — jest to termin średni (terminus medius),

• druga przesłanka zwana przesłanką mniejszą (praemissa minor) majako terminy S — jest to termin mniejszy (terminus minor) — orazM.

Na przykład sylogizmem jest wnioskowanie:

Każdy ssak jest kręgowcem.Każdy człowiek jest ssakiem.Każdy człowiek jest kręgowcem.

W poprawnym sylogizmie mogą być tylko trzy terminy: większy, mniej-szy i średni. Błąd czterech terminów (quaternio terminorum) ma miej-sce wówczas, gdy w sylogizmie występują cztery terminy. Niepoprawne jestwnioskowanie:

Mysz jest wyrazem jednosylabowym.Mysz jest ssakiem.Niektóre ssaki są wyrazami jednosylabowymi.

We wnioskowaniu tym popełniony został błąd czterech terminów. Wyraz„mysz” w przesłance większej występuje w supozycji naturalnej, a w prze-słance mniejszej występuje w supozycji materialnej.

Definicja 3.27. Tryb (sylogistyczny) (modus syllogismi) to schemat (forma)sylogizmu.

Na przykład powyższe wnioskowanie przebiega według następującegotrybu:

MaPMaPSiP

Klasy trybów wyróżnia się ze względu na role pełnione w obu przesłan-kach przez terminy większy, średni i mniejszy.

Definicja 3.28. Figura (sylogistyczna) (figura syllogismi) to klasa trybów,które nie różnią się między sobą miejscem w schemacie odpowiednich termi-nów: większego, średniego i mniejszego.


Na przykład oba tryby:MaPSaMSaP

i MePSaMSeP

należą do tej samej figury sylogistycznej.Są cztery figury sylogistyczne. Tradycyjnie porządkuje się je następująco:

I figura II figura III figura IV figuraPrzesłanka większa M P P M M P P MPrzesłanka mniejsza S M S M M S M S

Wniosek S P S P S P S P

Istnieją 64 tryby jednej figury. Zatem łącznie mamy 256 trybów. Pro-blem, które z trybów są logicznymi schematami wnioskowania, logicy śre-dniowieczni rozwiązywali korzystając z teorii dystrybucji. Dla celów dy-daktycznych zaś opracowano specjalny tekst. Jest to heksametr autorstwaPiotra Hiszpana12.

Barbara, Celarent, Darii, Ferio-que priorisCesare, Camestres, Festino, Baroco — secundaeTertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,Bocardo, Fresison habet. Quarta insuper additBramanti, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.Quinque subalterni, totidem generalibus orti,Nomen habent nullum, nec — si bene collogis — usum.

Pierwsza samogłoska każdego z «imion» wskazuje na ilość i jakość prze-słanki większej, druga zaś na ilość i jakość przesłanki mniejszej, a trzecia nailość i jakość wniosku. Podany heksametr wskazuje 24 tryby jako logiczneschematy wnioskowania.

19 z tych 24 trybów to tryby główne. Pozostałe 5 to tryby osłabione.Różnią się one od trybów głównych ze schematami wniosków ogólnych: Bar-bara, Celarent, Camestres, Cesare, Calemes, przez zastąpienie tych schema-tów schematami wniosków tej samej jakości, ale różnych co do ilości, przez

12Ur. ?–1277, autor Summulae Logicales, jako papież nosił imię „Jan XXI”.


zastąpienie ogólnych szczegółowymi: Barbari, Celaront, Camestros, Cesaro,Calemos.

Na podstawie podanego heksametru np. Baroco jest następującym try-bem z drugiej figury:

PaMSoMSoP

Według tego trybu przebiega wnioskowanie:

Każdy Polak jest Europejczykiem.Niektórzy mieszkańcy Polski nie są Europejczykami.Niektórzy mieszkańcy Polski nie są Polakami.

Rodzaje sylogizmów

Omówione zostały sylogizmy o ściśle określonej formie. Z tego powodu na-zywano je sylogizmami uformowanymi. Konsekwentne — nawet gdybybyło możliwe — stosowanie sylogizmów uformowanych w tekstach pisanychi wypowiedziach ustnych byłoby sztuczne. Od sylogizmów uformowanychodróżniano sylogizmy nieuformowane, czyli takie sylogizmy, jakie byłystosowane w zwykłym sposobie pisania i wypowiadania.

Sylogizmy uformowane można podzielić na:

1. sylogizmy doskonałe, tzn. takie, które explicite zawierają wszystko,co powinien zawierać sylogizm,

2. sylogizmy niedoskonałe, różniące się od doskonałych bądź przez po-minięcie np. jednej z przesłanek, bądź przez rozwinięcie i rozbudowanieo przesłanki.

Sylogizmami niedoskonałymi są: entymemat, epicheremat, soryt i poli-sylogizm.

Definicja 3.29. Entymemat (sylogizm retoryczny) to sylogizm, w któ-rym jedna z przesłanek jest domyślna.

Entymemat określany jest też jako sylogizm retoryczny, ponieważ retorzyzalecali, aby w argumentacji nie wypowiadać wszystkich przesłanek jeśli sąone łatwo domyślne. Miało to nie tyle skrócić argumentację, co ją wzmocnić.Uważano bowiem, że osoba przekonywana dostrzegając to, co jest pominięte,znajdzie w tym uznanie dla swojej inteligencji i chętniej zaakceptuje argu-mentację. Na ogół nie wypowiada się przesłanki większej. Jest to entymemat


pierwszego rodzaju. Entymemat drugiego rodzaju to sylogizm, w którym do-myślna jest przesłanka mniejsza.

Definicja 3.30. Epicheremat to sylogizm, w którym do przesłanki/przesłanekdołączone jest uzasadnienie.

Przykładem może być następujące wnioskowanie:

Prokuratorzy są z wykształcenia prawnikami, bo prokurator winienznać prawo.Prawnicy uczyli się logiki, bo znajomość logiki jest pomocna w two-rzeniu i stosowaniu prawa.Prokuratorzy uczyli się logiki.

Soryt13 (po polsku: łańcusznik) składa się z przynajmniej trzech prze-słanek. Kolejne przesłanki łączy bądź jednakowy orzecznik i podmiot, bądźjednakowy podmiot i orzecznik. Stąd wyróżnia się dwie postacie sorytu:

Definicja 3.31. Soryt Arystotelesa to sylogizm, w którym orzecznik każ-dej kolejnej przesłanki jest podmiotem przesłanki po niej bezpośrednio na-stępującej. Podmiotem wniosku jest podmiot pierwszej przesłanki. Orzecz-nikiem wniosku jest orzecznik ostatniej przesłanki.

Definicja 3.32. Soryt Gocleniusa to sylogizm, w którym podmiot każdejkolejnej przesłanki jest orzecznikiem przesłanki po niej bezpośrednio nastę-pującej. Podmiotem wniosku jest podmiot ostatniej przesłanki. Orzeczni-kiem wniosku jest orzecznik pierwszej przesłanki.

Sorytem Arystotelesa jest następujące rozumowanie:

Zmianom ustrojowym towarzyszą zmiany prawa.Zmiany prawa powodują utrudnienia w jego stosowaniu.Utrudnienia w stosowaniu prawa są okazją szybkiego bogacenia się.Zmiany ustrojowe są okazją szybkiego bogacenia się.

Definicja 3.33. Polisylogizm to wnioskowanie składające się z kilku sy-logizmów powiązanych ze sobą tak, że wniosek jednego sylogizmu jest prze-słanką następnego.

13Nazwa pochodzi z języka greckiego, gdzie oznacza „stos”.


Sylogistyczne schematy wnioskowań

Język sylogizmów różnił się od opisanego przez nas języka sylogistyki przezpominięcie „non” jako wskaźnika tworzenia nazwy sprzecznej. Dysponującnarzędziem, jakim są diagramy Venna, możemy rozważać logiczność schema-tów wnioskowań bez ograniczeń nałożonych na język sylogizmów. Terminamibędą mogły być nie tylko: S, P, M, lecz także nonS, nonP, nonM. Jestto język bogatszy niż język sylogizmów Arystotelesowskich. Możemy w nimzapisać wszystkie rozważane sylogizmy, a nadto takie sposoby wnioskowania,które w tamtym języku nie były wyrażalne. Rozważmy np. czy następującewnioskowanie jest dedukcyjne:

PaMSa nonMSeP

Wnioskowaniu temu przyporządkowujemy następujący diagram.

M

S

P

Została zastosowana metoda wprost. Stosowanie metody wprost polegana:

1. wpisaniu w prostokąt tylu wzajemnie przecinających się kół, ile jestterminów w rozważanym wnioskowaniu,

2. zapisaniu zgodnie z przyjętymi zasadami prawdziwości przesłanek, przyczym rozważamy tyle diagramów, ile jest możliwych sposobów uczy-nienia tego,

3. w każdym z otrzymanych diagramów sprawdzamy, czy wniosek możebyć fałszywy. Gdy w każdym rozważanym wypadku taka możliwośćjest wykluczona, wówczas wnioskowanie jest dedukcyjne. Gdy chociażw jednym z rozważanych wypadków wniosek może nie być prawdziwy,to dane wnioskowanie nie jest dedukcyjne.


Czasem korzystniej jest zastosować metodę niewprost. Stosowanie me-tody niewprost polega na:

1. wpisaniu w prostokąt tylu wzajemnie przecinających się kół, ile jestterminów w rozważanym wnioskowaniu,

2. zapisaniu zgodnie z przyjętymi zasadami fałszywości wniosku, przyczym rozważamy tyle diagramów, ile jest możliwych sposobów uczy-nienia tego,

3. w każdym z otrzymanych diagramów sprawdzamy, czy są prawdziwewszystkie przesłanki. Jeżeli chociaż w jednym wypadku wszystkie prze-słanki mogą być prawdziwe, to wnioskowanie nie jest dedukcyjne. Je-żeli we wszystkich wypadkach chociaż jedna z przesłanek musi byćfałszywa, to rozważane wnioskowanie jest dedukcyjne.

Zastosujmy metodę niewprost do stwierdzenia dedukcyjności następują-cego wnioskowania:

nonPe nonMnonSi nonMnonSiP

Stosując metodę niewprost kolejno postępujemy następująco:

1. Zapisujemy fałszywość wniosku. Możemy to uczynić w tylko jedensposób.

MP

S

Nieprawda, że nonSiP

2. Zapisujemy prawdziwość pierwszej przesłanki. Możemy uczynić to


tylko w jeden sposób.

PM

S

Nieprawda, że nonSiP oraz nonPe nonM

Stwierdzamy, że nie jest możliwa prawdziwość drugiej przesłanki. Zatemrozważane wnioskowanie jest dedukcyjne.

Zadania

Zadanie 3.13. Stosując metodę diagramów Venna sprawdź, które z poniż-szych schematów są logiczne:

1.nonMe nonPnonSi nonMnonSoP

2.Me nonPnonSi nonMnonSeP

3.nonPe nonMnonMi nonSnonSoP

4.nonMi nonPnonSa nonMnonSeP


3.2.2 Klasyczna logika predykatów

Analiza zdania dokonana w sylogistyce nie jest wystarczająca z punktu wi-dzenia języka współczesnej nauki. Rozważmy wnioskowanie:

1. Istnieje liczba naturalna, która jest równa lub mniejsza od każdej liczbynaturalnej.Zatem,

2. dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba od niej mniejsza lub jejrówna.

Zgodnie z intuicją wniosek 2 wynika z przesłanki 1. Czy w takim razie dajesię to stwierdzić za pomocą sylogistyki? A więc, czy wnioskowanie to daje sięprzedstawić jako przebiegające według jakiegoś schematu sylogistyki? Od-powiedź jest negatywna. Nie jest możliwe przełożenie 1 i 2 na zdania językasylogistyki takiego, jaki został tu opisany. 1 i 2 są różnymi zdaniami, costwierdzamy zauważając, że z 2 nie wynika 1. Tej różnicy sensów tych zdańnie potrafimy wyrazić za pomocą języka sylogistyki. Język sylogistyki jestzbyt ubogi dla wypowiedzenia wszystkich zdań, którymi posługujemy sięw nauce.

Inną niż w sylogistyce analizę zdań wskazali około 1879 r. pracującyniezależnie od siebie dwaj logicy — Gottlob Frege (1848–1925), Niemiec,i Charles Sanders Peirce (1839–1914), Amerykanin.

W języku sylogistyki, tak jak tu został opisany, możemy wypowiedziećzdania ogólne i szczegółowe. Możliwość takich wypowiedzi zawarta jestw użyciu jako podmiotu nazwy, która może mieć więcej niż tylko jeden de-sygnat. Gdy przyjmie się, że nie tyle ważna jest nazwa występująca w rolipodmiotu, co jej zakres, zbiór przedmiotów, do których odnosi się, to możnazapytać się o możliwe charakterystyki tego zbioru. Otóż zbiór można charak-teryzować ekstensjonalnie, przez wskazanie wszystkich i tylko tych przedmio-tów, które należą do tego zbioru. Charakterystyka taka może być dokonana— jak ma to miejsce w sylogistyce — przez podanie nazwy tych przedmiotów.Zbiór można również scharakteryzować intensjonalnie przez podanie cechy,która przysługuje wszystkim i tylko przedmiotom z tego zbioru. W teo-rii mnogości aksjomatycznie przyjmuje się, że charakterystyki te są sobierównoważne. Dla konstrukcji języka, w którym zbiory mogłyby być charak-teryzowane intensjonalnie potrzebna jest nazwa, która ma szerszy zakres niżcharakteryzowany zbiór. Ponieważ dla danych rozważań ustalony jest zbiórbranych pod uwagę przedmiotów — jest to dziedzina tych rozważań — możeto być nazwa, której ten zbiór/dziedzina jest zakresem. Mając na uwadze


to, że będziemy chcieli charakteryzować różne zbiory, potrzebnych będziewięcej takich nazw. Dziedzinę rozważań, czyli zbiór uniwersalny, będziemyoznaczali „U”. Nazwy, których zakresem jest dziedzina rozważań, określa sięmianem „zmiennych indywiduowych”. Zakresem zmiennych indywiduowychjest U . Dysponujemy również stałymi indywiduowymi, które są nazwaminiektórych poszczególnych przedmiotów z dziedziny rozważań, czyli z U .

Język klasycznego rachunku predykatów

Język klasycznego rachunku predykatów nadbudowany jest nad językiemklasycznego rachunku zdań. Znaczy to, że alfabet języka rachunku zdańjest składnikiem alfabetu języka rachunku predykatów, a zasady budowywyrażeń obowiązujące w języka rachunku zdań obowiązują też w rachunkupredykatów.

Definicja 3.34. Słownik (alfabet) klasycznego rachunku predykatówjest zbiorem następujących przedmiotów (symboli):1. x0, x1, x2 . . . — zmienne indywiduowe;2. a0, a1, a3 . . . — stałe indywiduowe;3. P0, P1, P2 . . . — litery predykatowe;4. ∀, ∃ — kwantyfikatory;5. ¬,∨,∧,⇒,⇔ — spójniki;6. ), ( — znaki interpunkcyjne

(nawiasy prawy i lewy).

Każdej literze predykatowej przyporządkowana jest dokładnie jedna liczbanaturalna wskazująca na argumentowość tej litery. Jak w rachunku zdańprzyjmowaliśmy, że zdania proste nie są wewnętrznie analizowalne, tak tuprzyjmujemy to o prostych predykatach reprezentowanych przez litery pre-dykatowe. Użycie terminu „litera” ma przypominać o wewnętrznej niezłożo-ności tych wyrażeń.

„∀” to kwantyfikator ogólny (duży), „∃” — szczegółowy (mały, egzysten-cjalny).

Zwykle zamiast: x0, x1, x2 . . . będziemy używali liter: x, y, z, . . . , za-miast: a0, a1, a2 . . . będziemy pisali: a, b, c . . . a zamiast P0, P1, P2 . . . bę-dziemy pisali: P, Q,R, . . . . Podobnie jak w wypadku rachunku zdań stoso-wać będziemy nawiasy innych kształtów.

Zmienne indywiduowe i stałe indywiduowe to termy.

Definicja 3.35. Jeżeli P jest n-argumentową literą predykatową a t1, . . . , tnsą termami (zmiennymi lub stałymi indywiduowymi), to Pt1t2. . .tn jest for-mułą atomową.


Definicja 3.36 (formuły).

1. formuły atomowe są formułami,

2. jeżeli ϕ jest formułą a v jest zmienną indywiduową, to

(a) ¬ϕ jest formułą,

(b) ∀vϕ jest formułą,

(c) ∃vϕ jest formułą,

3. jeżeli ϕ i ψ są formułami, to (ϕ ⇒ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ ⇔ ψ) sąformułami;

4. nie ma innych formuł oprócz formuł atomowych oraz tych ciągów sym-boli, które są skończonymi ciągami elementów słownika spełniającymiwarunki 2 lub 3.

Warunek 4 można zastąpić warunkiem równoważnym:

4’ zbiór formuł jest najmniejszym zbiorem, którego elementami są wszyst-kie formuły atomowe i wszystkie skończone ciągi elementów słownika,które spełniają jeden z warunków 2–3.

Liter greckich: „ϕ”, „φ”, „ψ”, . . . używamy jako zmiennych metaprzed-miotowych. Ich zakresem jest zbiór formuł języka rachunku predykatów.Zmiennymi metaprzedmiotowymi są też litery:

• „t” (ewentualnie z indeksem), zakresem zmienności jest zbiór termów;

• „v” (ewentualnie z indeksem), zakresem zmienności jest zbiór zmien-nych indywiduowych;

• „c” (ewentualnie z indeksem), zakresem zmienności jest zbiór stałychindywiduowych.

Stosowane będą wszystkie zasady opuszczania nawiasów przyjęte dla ra-chunku zdań, nadto umówimy się, że zamiast: ∀v(ϕ) będziemy pisali: ∀v[ϕ],a zamiast: ∃v(ϕ) będziemy pisali: ∃v[ϕ]. Zwykle też zamiast: Pv0v1. . .vn pi-sze się: P (v0, v1. . .vn). Zamiast: ∀v0∀v1 . . .∀vn będziemy pisali: ∀v0v1. . .vn

Podobnie zamiast: ∃v0∃v1 . . .∃vn piszemy: ∃v0v1. . .vn

Przykład 3.4. Zgodnie z definicją formułami są:

P0a2, ∀x0P0x0, ∀x0∃x1P0x0x1.


(jeśli P0 jest jednoargumentową literą predykatową, a P1 jest dwuargumen-tową literą predykatową).

Formułami zaś nie są:

∀x0P0x ∨ P1x1, ∀x0 ∧ ∃x1P1x0x1.

W języku rachunku zdań definiowaliśmy zdanie. W wypadku języka ra-chunku predykatów definiujemy formułę. Zdanie to wyrażenie, które jestprawdziwe lub fałszywe. Wyrażenia poprawnie zbudowane języka rachunkupredykatów mogą nie być ani prawdziwe, ani fałszywe. Po prostu niekoniecz-nie są zdaniami. Wszystkie wyżej podane przykładowe formuły są zdaniami.Wyrażeniami poprawnie zbudowanymi, nie będącymi zdaniami są:

P0x0, ∀x0P0x0x1.

Dla klarowności wykładu i jasności użytecznych pojęć niezbędna jest de-finicja podformuły. Będzie to, podobnie jak definicja formuły, definicja in-dukcyjna. Definicja formuły pokazywała jak budować formułę. Definicjapodformuły pokazuje jak ją analizować.

Definicja 3.37 (podformuły).

1. Jeżeli ϕ jest formułą, to ϕ jest podformułą tej formuły;

2. jeżeli φ jest podformułą ϕ i jest to formuła ¬ψ, to ψ jest podformułąϕ;

3. jeżeli φ jest podformułą ϕ i jest to jedna z formuł: ψ∨χ, ψ∧χ, ψ ⇒ χ,ψ ⇔ χ, to ψ i χ są podformułami ϕ;

4. jeżeli φ jest podformuła ϕ i jest to jedna z formuł: ∀vψ, ∃vψ, to ψ jestpodformułą ϕ.

Na przykład P (x) ∨R(y) jest podformułą formuły:

∀x[S(x) ∧ ∃y[P (x) ∨R(y)]].

Definicja 3.38. Niech Qvϕ będzie podformułą formuły ψ, gdzie Q jestkwantyfikatorem. Zakresem (działania) kwantyfikatora Q występującegona początku podformuły Qvϕ jest (pod)formuła ϕ.

W formule ∀x1(P0x1 ∨ ∀x2P1x1x2) zakresem działania pierwszego liczącod lewej dużego kwantyfikatora jest formuła: P0x1 ∨∀x2P1x1x2, a zakresemdrugiego licząc od lewej dużego kwantyfikatora jest formuła: P1x1x2.


Definicja 3.39. Zmienna v jest zmienną wolną w danym miejscu wystą-pienia w formule ϕ wtedy i tylko, gdy zmienna ta w tym miejscu nie znajdujesię w zakresie działania kwantyfikatora Qv.

Definicja 3.40. Zmienna v w danym miejscu wystąpienia jest zmiennązwiązaną w formule ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna ta w tym miejscuznajduje się w zakresie działania kwantyfikatora Qv.

W formule:∀x0Px0x1 ∨Qx0x2

zmienna x0 jest zmienną związaną w wypadku jej pierwszego wystąpienialicząc od lewej, jest zaś wolna w wypadku jej drugiego wystąpienia licząc odlewej. Pierwsze i drugie wystąpienia zmiennej x0 są jej wystąpieniami jakozmiennej związanej w formule:

∃xo[∀x0Px0x1 ∨Qx0x2].

Zauważmy, że w wypadku pierwszego wystąpienia x0 wiązane jest przezkwantyfikator ogólny, zaś w wypadku drugiego wystąpienia x0 jest wiązaneprzez kwantyfikator szczegółowy stojący na samym początku formuły.

Definicja 3.41. Formuła jest zdaniem (języka rachunku predykatów)wtedy i tylko wtedy, gdy żadna z występujących w niej zmiennych nie jestzmienną wolną.

Zmienne związane są zmiennymi pozornymi. W ich miejsce nie możnaniczego podstawiać. Inaczej jest w wypadku zmiennych wolnych. Są tozmienne rzeczywiste. Operacja podstawiania «wartości» w miejsce tychzmiennych podlega jednak ograniczeniom.

Definicja 3.42. Term t jest podstawialny w formule ψ w miejsce zmien-nej v wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym miejscu wystąpienia zmiennej v jakozmiennej wolnej żadna ze zmiennych indywiduowych występujących w termiet nie znajduje się w zakresie działania kwantyfikatora wiążącego tę zmienną.

Podstawienie termu t za zmienną indywiduową v w formule ψ polegana wpisaniu termu t w miejsce każdego wystąpienia v jako zmiennej wolnej.Formuła otrzymana w wyniku tego podstawienia to ψ(v/t).

Na podstawianie stałych indywiduowych nie ma żadnych ograniczeń.Inaczej jest w wypadku, gdy w termie występują zmienne indywiduowe14.Na przykład w formule:

14Tu termami są stałe i zmienne indywiduowe. W wypadku języka rachunku predyka-tów, w którym występują również litery funkcyjne, term jest wyrażeniem złożonym.


∃y(x 6= y) (3.3)

term „y” nie jest podstawialny w miejsce zmiennej wolnej „x”. Gdyby takiegopodstawienia dokonać, otrzymalibyśmy zdanie:

∃y(y 6= y). (3.4)

Formuła 3.3 po związaniu zmiennej x kwantyfikatorem ogólnym przecho-dzi w zdanie prawdziwe w każdej dziedzinie, w której są przynajmniej dwaprzedmioty:

∀x∃y(x 6= y). (3.5)

Formuła 3.4 jest zaś zdaniem fałszywym w każdej dziedzinie. Operacja pod-stawiania — tak ją chcemy zaprojektować — nie powinna prowadzić do zda-nia fałszywego od formuły, która po związaniu wszystkich występującychw niej zmiennych wolnych przez kwantyfiktory ogólne przechodzi w zdanieprawdziwe.

Język rachunku predykatów a język sylogistyki

Zdanie „każdy ssak jest kręgowcem” możemy rozumieć tak jak:

Dla każdego x: jeśli x jest ssakiem, to x jest kręgowcem.

Zdanie to może być reprezentowane przez formułę języka rachunku predyka-tów:

∀x[S(x) ⇒ K(x)].

Zdanie „niektórzy studentami są inwalidami” możemy rozumieć tak jak:

Dla pewnego x: x jest studentem i x jest inwalidą.

Zdanie to może być reprezentowane przez:

∃x[S(x) ∧ I(x)].

Zdanie „żaden student nie jest małoletni” możemy rozumieć tak jak:

Dla każdego x: jeśli x jest studentem, to x nie jest małoletni.


∀x[S(x) ⇒ ¬M(x)].

Zdanie „niektórzy studenci nie są pilni” możemy rozumieć tak jak:


Dla pewnego x: x jest studentem i x nie jest pilny.


∃x[S(x) ∧ ¬P (x)].

Na podstawie powyższego mamy, że zdania kategoryczne sylogistyki mogązostać zapisane w języku rachunku predykatów w sposób następujący:

SaP — ∀x[S(x) ⇒ P(x)]SiP — ∃x[S(x) ∧ P(x)]SeP — ∀x[S(x) ⇒ ¬P(x)]SoP — ∃x[S(x) ∧ ¬P(x)]

Zdanie ogólnoprzeczące może być w sposób równoważny wypowiedzianenastępująco:

¬∃x[S(x) ∧ P(x)].

«Tłumaczenia» te będą trafne, jeśli będziemy pamiętać o obowiązującymw sylogistyce założeniu niepustości podmiotu i orzecznika oraz o tym, że ichzakresy nie mogą być równe zbiorowi uniwersalnemu. Takich założeń nie maw rachunku predykatów.

Język rachunku predykatów a język naturalny

Język rachunku predykatów może zaskakiwać swoją prostotą. Elementy jegosłownika dzielą się na stałe indywiduowe, zmienne indywiduowe, predykaty,spójniki logiczne a nadto są dwa kwantyfikatory: szczegółowy i ogólny. W ję-zyku tym można precyzyjnie i trafnie wyrażać myśli. Jaka jest więc jego rolaw naszej aktywności intelektualnej. Oto niektóre tezy:

• Wszystko, co da się zgodnie z prawdą stwierdzić o świecie, daje sięwypowiedzieć w języku rachunku predykatów. Wszystkie prawdziwemyśli, które mogliby mieć naukowcy i matematycy (nie mówiąc o lo-gikach) są więc wyrażalne w tym języku. W konsekwencji wszelkieprawdziwe zdania o świecie dające się wypowiedzieć w jakimkolwiekjęzyku naturalnym są przetłumaczalne na język rachunku predykatów.

• Uważa się również — ujmując problem w innym aspekcie — że naszerozumowania są w pełni opisywalne przez logikę kwantyfikatorów. My-śli przed zakomunikowaniem są przetwarzane, a wynikiem tego są wy-powiedzi w języku naturalnym: polskim, angielskim, niemieckim itd.Język naturalny jest «szatą, w którą ubierane są myśli przed opuszcze-niem domu», rozumu.


• Ponadto sądzi się, że zależności między logiką predykatów a językiemnaturalnym pozostają w istotnym związku z naturą rzeczy (problemymetafizyczne) i zagadnieniem ludzkiego poznania (problemy teoriopo-znawcze, kognitywne). Przykładem może być debata nad tym, jakienaprawdę istnieją rodzaje przedmiotów.

• Współcześnie, w związku z rozwojem techniki komputerowej, na do-niosłości praktycznej zyskuje problem sztucznej inteligencji. Wierzysię, że język rachunku predykatów stanowi podstawę języka, którymmaszyna posługując się będzie zdolna wykonywać wiele z zadań inte-lektualnych. W szczególności będzie rozumiała języki naturalne.

Niezależnie od dogłębności naszego rozumienia wskazanych zagadnieńwidać, że rozważanie związków między językiem naturalnym a językiem ra-chunku predykatów jest ważnym przedmiotem studiów dla filozofii, lingwi-styki, psychologii, informatyki. Rozwiązania mają dalekosiężne konsekwen-cje teoretyczne i praktyczne. Konsekwencje te, zarówno w aspekcie teore-tycznym jak i praktycznym, dotyczą również dziedzin prawa i ekonomii.

Mając na uwadze praktyczne zastosowania rachunku logicznego i fakt,że zwykle rozumowania są zapisywane w języku naturalnym, warto dobrzezrozumieć związki między wyrażeniami języka naturalnego a wyrażeniamijęzyka rachunku predykatów.

Schemat i forma zdania języka naturalnego Rozumowania możemyprzeprowadzać bezpośrednio formułując przesłanki i wnioski w języku ra-chunku predykatów. Taki sposób postępowania jeżeli jest stosowany, tow ograniczonym zakresie i w zasadzie tylko w matematyce i logice. Zwy-kle rozumowanie sformułowane jest w języku, który jeśli chodzi o gramatykęi podstawowy zasób słów w istotny sposób nie różni się od języka natu-ralnego. Różnice ograniczają się do specjalistycznej terminologii. Jest taknawet w wypadku tekstów matematycznych, tekstów z fizyki, chemii, biolo-gii nie mówiąc o językach nauk humanistycznych i filozofii. Możliwość sto-sowania rachunków logicznych do tak przeprowadzanych wnioskowań wiążesię z zadaniem przekładu wypowiedzi w języku naturalnym na formuły ję-zyka rachunku predykatów. To, czy taki przekład jest trafny, nie jest przed-miotem żadnego dowodu. Nie mamy bowiem procedur, które by nam toumożliwiały. O tym, czy przekład jest właściwy, decydujemy stwierdzającintuicyjną równoważność przekładanego zdania i formuły języka rachunkupredykatów przy założonym rozumieniu liter predykatowych, stałych indy-widuowych oraz dziedziny rozważań. Tak na przykład przekładem zdania


„człowiek jest rozumny” jest formuła:

∀x[C(x) ⇒ R(x)],

gdzie literę predykatową „C” rozumiemy jak predykat „. . . jest człowiekiem”,literę predykatową „R” — „. . . jest rozumny” i przyjmujemy, że dziedzinąrozważań jest zbiór zwierząt.

Definicja 3.43. Schemat zdania języka naturalnego w języku rachunkupredykatów to formuła języka rachunku predykatów, która przy założonymrozumieniu liter predykatowych i stałych indywiduowych jest w danej dzie-dzinie rozważań intuicyjnie równoważna temu zdaniu.

Może być tak, że danemu zdaniu odpowiada więcej niż jeden schemat.Zdaniu „pilni studenci mają dobre oceny” odpowiada zarówno schemat:

∀x[R(x) ⇒ D(x)],

jak i schemat∀x[P (x) ∧ S(x) ⇒ D(x)].

Drugi schemat jest bardziej szczegółowy niż pierwszy. W wypadku pierw-szego literę predykatową „R” musimy rozumieć jak predykat „. . . jest pilnymstudentem”. W wypadku drugiego ze wskazanych schematów literze pre-dykatowej „P ” odpowiada predykat „. . . jest pilny”, a literze predykatowej„S” odpowiada predykat „. . . jest studentem”. Z punktu widzenia stosowa-nia rachunku logicznego zależy nam na możliwie najbardziej szczegółowymschemacie. Chodzi bowiem o uchwycenie wszystkich możliwych związkówlogicznych zachodzących między zdaniami. Gdyby zdaniu „studenci, którzynie są pilni, mają dobre oceny” przyporządkować schemat:

∀x[T (x) ⇒ D(x)],

to na poziomie schematów nie są widoczne wszystkie związki logiczne zezdaniem „pilni studenci mają dobre oceny”. Inaczej jest w wypadku, gdyweźmiemy schematy:

∀x[P (x) ∧ S(x) ⇒ D(x)]

i∀x[¬P (x) ∧ S(x) ⇒ D(x)].

Za pomocą rachunku logicznego możemy teraz pokazać, że zdania te dopeł-niają się, czyli nie mogą być współfałszywe.


Wydaje się, że w wypadku zdania języka naturalnego zawsze istnieje naj-bardziej szczegółowy schemat tego zdania. Otrzymać go można wyróżnia-jąc w zdaniu wszystkie najprostsze predykaty i przyporządkowując im literypredykatowe oraz przyporządkowując stałe indywiduowe wszystkim nazwomjednostkowym. Ponadto wydaje się, że wszystkie najbardziej szczegółoweschematy zdania są sobie równoważne.

Definicja 3.44. Forma zdania języka naturalnego w języku rachunku pre-dykatów to najbardziej szczegółowy schemat tego zdania, jaki można dlaniego wskazać w języku rachunku predykatów.

Możliwość przypisania zdaniu form, które nie byłyby wzajemnie rów-noważne, wskazywałaby na brak dookreślenia składni tego zdania, a więczdanie to byłoby amfibologią.

Tu opisany język rachunku predykatów nie wystarcza dla zapisania wszyst-kich zdań języka naturalnego. Nie dysponujemy np. słówkami modalnymi.Stąd jeśli istnieje taka potrzeba, wzbogaca się ten język o potrzebne symbole.

Omówimy teraz, jak poszczególne rodzaje wyrażeń języka naturalnegoprzekłada się na język rachunku predykatów.

Jak wyrażenia języka naturalnego wypowiadamy w języku rachunkupredykatów? W słowniku języka naturalnego wyróżnia się rzeczowniki,zaimki, przyimki, przymiotniki, czasowniki, przysłówki itd. Sposób wy-powiedzenia w języku rachunku predykatów nie jest jednak jednoznacznieokreślony przez rodzaj wyrazu. Rzeczownik może być nazwą indywidualną.Rzeczowniki są również nazwami generalnymi lub ich składowymi. Co istot-niejsze, wypowiedzenie zależy też od kontekstu, w którym wyraz występuje.W języku rachunku predykatów rzeczownik „student” wypowiadamy inaczejw wypadku frazy „pilny student”, a inaczej w wypadku wyrażenia „rzekomystudent”. Wynika to z tego, że pilny student jest studentem, a rzekomystudent nie jest studentem.

Rzeczownik Rzeczowniki mogą być nazwami indywidualnymi, nazwamigeneralnymi lub ich składowymi.

Nazwy indywidualne Nazwy indywidualne wypowiadamy w językupredykatów przyporządkowując każdej nazwie jedną i tylko jedną stałą in-dywiduową. Zdanie „Jan jest studentem” wyrażamy więc formułą: P (a),gdzie literę „P ” rozumiemy jako predykat „. . . jest studentem”, a stała in-dywiduowa „a” oznacza Jana. Sposób postępowania nie zależy od tego, czy


nazwa zbudowana jest z jednego, czy więcej wyrazów. Zdanie „Rzeczpospo-lita Polska jest państwem demokratycznym” zapisujemy: P (a), gdzie literę„P ” rozumiemy jako predykat „. . . jest państwem demokratycznym”, a „a”oznacza Rzeczpospolitą Polską. W roli nazw indywidualnych mogą wystąpićzaimki.

Nazwy generalne W wypadku nazw generalnych — inaczej niż w wy-padku nazw indywidualnych — znaczenie ma, czy nazwa ta jest prosta (zbu-dowana z jednego wyrazu), czy złożona (zbudowana z więcej niż jednegowyrazu).

Jeśli rzeczownik użyty jest jako nazwa generalna, to:

1. gdy zakres nazwy generalnej jest równy zbiorowi wszystkich przedmio-tów dziedziny rozważań U , to nazwa taka wyrażalna jest przez zmienneindywiduowe. Zmienna indywiduowa to odpowiednik nazwy general-nej, której zakresem jest zbiór wszystkich i tylko elementów dziedzinyrozważań.

2. gdy desygnaty nazwy nie są wszystkimi przedmiotami z dziedziny roz-ważań, to należy wskazać jednoargumentowy predykat P taki, że P (x)wtedy i tylko wtedy, gdy x jest desygnatem rozważanej nazwy. „x”jest zaś zmienną indywiduową, której zakresem jest zbiór wszystkichi tylko elementów dziedziny rozważań.

Powiedzmy, że dziedziną rozważań jest zbiór ludzi. Zdanie „człowiek jest ro-zumny” — jest to wypadek opisany w 1 — przekładamy wówczas na formułę:

∀xR(x).

W tej sytuacji nazwie „człowiek” w języku rachunku predykatów odpowiadazmienna indywiduowa. Jeśli zaś byłby to zbiór zwierząt — czyli mamy wy-padek opisany w 2 — to mielibyśmy formułę:

∀x[C(x) ⇒ R(x)],

gdzie litera predykatowa „R” zastępuje predykat „. . . jest rozumny”, a literapredykatowa „C” zastępuje predykat „. . . jest człowiekiem”.

Rzeczownik może wystąpić jako składowa nazwy generalnej sam w tejroli nie występując. Jest tak w wypadku nazwy „student” jako składowejnazwy generalnej „rzekomy student”.

W roli nazw generalnych mogą wystąpić zaimki.


Zaimek Zaimek może być użyty zamiast nazwy indywidualnej lub za-miast nazwy generalnej. W wypadku tekstu: „Jan zdał wszystkie egzaminy.Z logiki otrzymał on ocenę bardzo dobrą” zaimek „on” użyty jest zamiastnazwy indywidualnej „Jan”. W tekście: „Człowiek jest rozumny. Umiejętniewykorzystuje on przyrodę” zaimek „on” występuje zamiast nazwy generalnej„człowiek”.

Wyrażeniami składowymi nazw są przymiotniki.

Przymiotnik Przymiotniki z nazwami tworzą nazwy. Nazwami są:„student”, „dobry student”, „zdolny student”, „pilny student”, „bardzo pilnystudent”, „były student”, „rzekomy student”. Znaczenie przymiotnika — mó-wiliśmy o tym dyskutując błąd terminów relacyjnych — może się zmieniaćw zależności od kontekstu użycia. Znaczenie „łysy” jest takie samo nieza-leżnie od tego, czy mówimy „łysy człowiek”, czy „łysy student”. Inaczej jestw wypadku słowa „dobry”. Co innego słowo to znaczy w kontekście „dobryczłowiek”, a co innego w kontekście „dobry student”. W tu opisanym językurachunku predykatów nie mamy rodzaju wyrażeń, które łącznie z nazwamitworzyłyby nazwy.

W wypadku nazw generalnych „student”, „dobry student”, „zdolny stu-dent” i „bardzo zdolny student” ich zakres jest podrzędny względem zakresunazwy student. Inaczej jest w wypadku nazwy „rzekomy student” — rzekomistudenci nie są studentami.

Przymiotniki, które w połączeniu z nazwą generalną przyporządkowująjej zakresowo podrzędną nazwę generalną, wyrażamy w języku rachunku pre-dykatów poprzez jednoargumentowe predykaty. Postępujemy więc tak samojak w wypadku rzeczowników jako nazw generalnych. Jeśli dziedziną rozwa-żań będzie zbiór ludzi, to np. dla słowa „łysy” możemy ustalić jedną i tylkojedną literę predykatową. Inaczej jest w wypadku słowa „dobry”. Potrzebawziąć tyle liter predykatowych, w ilu znaczeniach używamy słowa „dobry”.Frazom: „łysy student”, „łysy dziadek” przyporządkowujemy schematy, od-powiednio:

(. . . ) ∧ S(. . . ),

(. . . ) ∧D(. . . ).

Frazom: „dobra kobieta”, „dobry student” przyporządkowujemy zaś sche-maty:

D(. . . ) ∧K(. . . ),

R(. . . ) ∧ S(. . . ).


W wypadku słowa „łysy” zakres nazwy „łysy n” jest iloczynem teoriomnogo-ściowym zbioru łysych i zakresu nazwy „n”. W wypadku nazwy „dobry n” jejzakres też jest iloczynem teoriomnogościowym zakresu nazwy „n” i zbioru,którego określenie wymaga ustalenia znaczenia, w jakim zostało użyte słowo„dobry”.

Inaczej postępujemy w wypadku, gdy modyfikacja nazwy nie prowadzido nazwy o określonym stosunku zakresowym do zakresu tej nazwy. Takasytuacja ma miejsce we frazie „rzekomy student”. Tym razem niewłaściwebyłoby przyporządkowywanie litery predykatowej słowu „rzekomy”. Terazcałej frazie możemy przyporządkować literę predykatową.

Przymiotniki mogą być składowymi nazw same będąc modyfikowaneprzez inne wyrażenia, jak ma to miejsce dla nazwy „bardzo pilny student”.W tu opisanym języku rachunku predykatów nie mamy możliwości bezpo-średniego opisania operacji modyfikacji predykatów. Nie ma możliwości od-dania znaczenia i funkcji samego „bardzo”. Musimy wziąć pod uwagę frazę„bardzo pilny”. Frazie tej możemy przyporządkować literę predykatową.

Pilny jest każdy, kto jest bardzo pilny. Tłumacząc zdanie „Jan jest bar-dzo pilny” możemy użyć litery predykatowej odpowiadającej frazie „bardzopilny” (B) i litery predykatowej odpowiadającej przymiotnikowi „pilny” (P ).Predykat „. . . bardzo pilny student” może być przełożony na:

B(. . . ) ∧ P (. . . ) ∧ S(. . . ),

gdzie „S” jest literą predykatową odpowiadają predykatowi „. . . jest studen-tem”. Od strony treściowej wystarczałoby użycie litery predykatowej „B”.Od strony formalnej właściwe jest użycie jeszcze litery predykatowej „P ”.Gdyby użyć tylko litery „B”, to w języku rachunku predykatów nie byłby wi-doczny związek zachodzący między „bardzo pilny student” a „pilny student”.Gdy w języku rachunku predykatów „bardzo pilny student” jest reprezento-wany przez:

B(. . . ) ∧ P (. . . ) ∧ S(. . . )

widać, że bardzo pilny student jest pilnym studentem:

P (. . . ) ∧ S(. . . ).

Czasownik Czasowniki przekładalne są na litery predykatowe. Jednez nich mogą być wyrażalne przez predykaty jednoargumentowe, jak np. „pi-sze” w zdaniu „Jan pisze”. Zwykle też te same czasowniki występują w rolipredykatów dwuargumentowych, jak „pisze” w zdaniu „Jan pisze książkę”.Mogą to być również predykaty trójargumentowe jak „pisze” w zdaniu „Jan


pisze piórem list”. Czasowniki nieprzechodnie tłumaczone są na jednoargu-mentowe litery predykatowe, a przechodnie na wieloargumentowe.

Czasowniki mogą być modyfikowane przez przysłówki.

Przysłówek Przysłówki modyfikują czasowniki. Ich przykładami są:„powoli”, „dobrze”, „często”, „rzekomo”. Czasownikom w języku rachunku pre-dykatów mogą być przyporządkowywane litery predykatowe. W języku tymnie mamy specjalnej operacji modyfikacji predykatów. Nie jest więc moż-liwe bezpośrednie wyrażenie przysłówków. Zwykle frazom z przysłówkamiprzyporządkowujemy literę predykatową. Jednak w wypadku przysłówkówkwantyfikacji jak np. „czasem” postępujemy inaczej.

Gdy frazie z przysłówkiem przyporządkowujemy literę predykatową, mamysytuację analogiczną do przymiotników i fraz przymiotnikowych, których niemożna było oddać przez przyporządkowanie im litery predykatowej. Jeśli jesttak jak w wypadku „biegnie powoli”, że jeżeli ktoś biegnie powoli, to ten ktośbiegnie, to taką frazę można oddać uwzględniając literę predykatową na „po-woli biegnie” i literę predykatową na „biegnie”. Jeśli zaś tak nie jest, jak np.w wypadku „rzekomo pisze” — ktoś kto rzekomo pisze nie pisze — pozostajenam użycie tylko jednej litery predykatowej, która odpowiada branej poduwagę frazie.

Przysłówki kwantyfikujące przekładamy za pomocą kwantyfikatorów. Po-trafimy oddać jednak tylko te, które wyrażają kwantyfikatory ogólny i szcze-gółowy lub ich kombinacje. Można wyrazić np. „czasem”. Weźmy zdanie„Jan czasem popełnia błąd”. Niech „P ” będzie trójargumentową literą pre-dykatową i wyraża predykat „. . . popełnia . . . w chwili . . . ”. Niech „B” bę-dzie jednoargumentową literą predykatową: „. . . jest błędem”, „T ” — „. . . jestchwilą”. Interesujące nas zdanie możemy przełożyć na:

∃x∃y[B(x) ∧ T (y) ∧ P (a, x, y)],

gdzie stała indywiduowa „a” oznacza Jana. Nie potrafimy wyrazić np. „czę-sto”.

Przyimek Przyimkami są: „w”, „na”, „o”, „od”, „do”, „nad”, „przez”,„przy”, „między”. Łącznie z frazami rzeczownikowymi tworzą frazy, które za-chowują się jak przymiotniki lub przysłówki. Przykładami ich użycia mogąbyć zdania: „Jan jest w Londynie”, „książka leży na stole”, „Jan dostał pre-zent od Piotra”, „Piotr napisał podanie do dziekana o zgodę na inny terminegzaminu”. Przyimki przekładane są łącznie z innymi wyrażeniami na wie-loargumentowe litery predykatowe. Przyimkowi „w” — takiemu jak użyty


w zdaniu „Jan jest w Londynie” — przyporządkowujemy dwuargumentowąliterę predykatową „W ”, której odpowiada predykat: „. . . jest w . . . ”. Przy-imek „na” ze zdania „książka leży na stole” przekładamy na dwuargumentowąliterę predykatową „L” — „. . . leży na . . . ”. Przyimkowi „od” ze zdania „Jandostał prezent od Piotra” przyporządkowujemy trójargumentową literę pre-dykatową „D” — „. . . dostał . . . od . . . ”.

Do zagadnień związanych z «tłumaczeniem» wyrażeń języka naturalnegona język rachunku predykatów należą też problemy specjalnych konstrukcjizdaniowych tworzonych za pomocą takich słówek jak „że”, „kiedy”, „który”.Przykładami zdań z tymi słówkami są: „Jan pisze, że zdał egzamin z logiki”,„wykład rozpoczął się, kiedy wszyscy studenci zajęli miejsca”, „na stole le-żał podręcznik, który ktoś pozostawił”. Tu omówimy jeszcze tylko problemwyrażeń, za pomocą których wypowiadane są kwantyfikatory i spójniki.

Kwantyfikatory i spójniki w języku naturalnym W języku natural-nym występuje wiele słówek kwantyfikujących, lecz tylko dla niektórychz nich kwantyfikatory są odpowiednikami w języku rachunku predykatów.Choćby użyte w poprzednim zdaniu słówko kwantyfikujące „wiele” nie prze-kłada się na żaden z kwantyfikatorów, podobnie jest ze słówkami: „często”,„kilka”. W języku rachunku predykatów możemy wypowiedzieć: „każdy”, „pe-wien” (przynajmniej jeden). Jeżeli nadto dysponujemy dwuargumentowympredykatem równości, to w języku tym możemy wypowiedzieć wyrażeniakwantyfikujące takie jak: „przynajmniej dla n przedmiotów”, „dokładnie dlan przedmiotów”.

Kwantyfikator duży może się pojawić w formule będącej odpowiedni-kiem zdania języka naturalnego, w którym to zdaniu nie występują wyraże-nia kwantyfikujące. W zdaniu „człowiek jest ssakiem” nie występuje żadnesłówko kwantyfikujące. Jednak jego właściwym odpowiednikiem w językurachunku predykatów jest formuła, w której występuje duży kwantyfikator:

∀x[C(x) ⇒ S(x)].

Jednak brak słówka kwantyfikującego może też mieć miejsce w wypadku,gdy odpowiednikiem zdania jest formuła z kwantyfikatorem szczegółowym.Jest tak w wypadku „człowiek” w zdaniu „ślady wskazywały na to, że byłtu człowiek”. Myśl zawartą w tym zdaniu moglibyśmy wypowiedzieć: „śladywskazywały na to, że był tu ktoś”, inną treść zawiera zaś zdanie: „śladywskazywały na to, że był tu każdy człowiek”.

Gdy występują słowa: „pewien”, „ktoś”, „coś” z zasady używamy kwanty-fikatora szczegółowego. Jest tak w wypadku zdania: „ktoś uczy się logiki”.


Odpowiada mu:∃xU(z).

Nie zawsze tak być musi. Słowu „ktoś” ze zdania „ jeżeli ktoś do czegośkonsekwentnie dąży, to to coś osiągnie” odpowiada duży kwantyfikator:

∀x, y[D(x, y) ⇒ O(x, y)].

Poprzednik zdania „ jeśli Jan otrzyma kredytu, to nie będzie miał kło-potu” przekładamy na formułę: ∃xO(a, x), gdzie „a” odpowiada „Janowi”.Następnik naszej implikacji przekłada się na: ¬K(a). Dla rozważanego zda-nia mamy formułę:

∃xO(a, x) ⇒ ¬K(a).

Taki sposób postępowania zawodzi w wypadku zdania „ jeśli Jan otrzymakredyt, to będzie musiał go spłacić”. Formułą właściwą dla tego zdania jest:

∀x[O(a, x) ⇒ S(a, x)].

Chociaż poprzedniki omawianych zdań się nie różnią, to w pierwszym wy-padku użyliśmy kwantyfikatora szczegółowego, a w drugim — gdy w następ-niku występuje zmienna występująca w poprzedniku — używa się kwantyfi-katora ogólnego.

Spójniki W języku rachunku predykatów używamy spójników. Jak jużto stwierdziliśmy omawiając problem sposobu, w jaki kwantyfikatory są wy-powiadane w języku naturalnym, nie zawsze przekład dokonuje się poprzezpołączenie odpowiednimi spójnikami przekładów zdań składowych. Możebyć tak, że zakresem działania kwantyfikatora jest fraza złożona za pomocąspójnika.

Słówka, których używa się na odczytanie spójników logicznych, są w ję-zyku naturalnym używane nie tyle na połączenie zdań, ile fraz i to zarównorzeczownikowych jak i czasownikowych. Mówimy np. „Jan i Jakub otrzymalidobre oceny z egzaminu”, „Jan napisał list i pomógł zrobić zakupy”. Zdaniate zaś przekładamy, odpowiednio, tak samo jak zdania: „Jan otrzymał dobrąocenę z egzaminu i Jakub otrzymał dobrą ocenę z egzaminu”, „Jan napisałlist i Jan pomógł zrobić zakupy”.

Zdanie „Rad i polon są promieniotwórcze” rozumiemy tak jak „rad jestpromieniotwórczy i polon jest promieniotwórczy” i przekładamy na:

∀x[R(x) ⇒ Q(x)] ∧ ∀[P (x) ⇒ Q(x)]


lub, co na jedno wychodzi:

∀x[(R(x) ⇒ Q(x)) ∧ (P (x) ⇒ Q(x))],

gdzie „R” rozumiemy „. . . jest radem”, „Q” — „. . . jestpromieniotwórcze”, „P ” — „. . . jest polonem”.Formuła:

∀x[(R(x) ∧ P (x)) ⇒ Q(x)]

nie oddaje trafnie znaczenia przekładanego zdania.Tego rodzaju problemu nie stwarza „lub”. Zdanie „Zając lub królik zjadł

kapustę” rozumiemy jak zdanie „Zając zjadł kapustę lub królik zjadł kapustę”i przekładamy:

∃x[Z(x) ∧ P (x)] ∨ ∃x[K(x) ∧ P (x)]

lub też:

∃x[(Z(x) ∧ P (x)) ∨ (K(x) ∧ P (x)],

ale można również:

∃x[(Z(x) ∨K(x)) ∧ P (x)],

gdzie „K” — „. . . jest królikiem”, „Z” rozumiemy jak „. . . jest zającem”,„P ” — „. . . zjadł kapustę”.

Słowo „i” i jego równoważniki nie zawsze dadzą się rozumieć jako odpo-wiedniki spójników prawdziwościowych. W logice zdanie α ∧ β jest równo-ważne zdaniu β∧α. Zmieniając kolejność zdań składowych w zdaniu „Janinawyszła za mąż i urodziła dziecko” nie otrzymamy zdania mu równoważnego.W wypadku zdania „Jan i Piotr są właścicielami firmy «PLAJTA»” słówko„i” nie może być rozumiane jako spójnik. Nie jest bowiem ani prawdą to,że Jan jest właścicielem firmy «PLAJTA», ani to, że Piotr jest właścicielemfirmy «PLAJTA». Tym razem „i” służy do utworzenia nazwy indywidualneji frazie „Jan i Piotr” w języku rachunku predykatów odpowiadać będzie stałaindywiduowa.

Dla słówka „i” wskazuje się trzy znaczenia. W znaczeniu enumeratyw-nym (wyliczeniowym) występuje ono w zdaniu „Na spotkanie z Zosią przy-szli Jan i Piotr”. W znaczeniu koniunkcyjnym występuje ono w zdaniu „Janpowinien zdać egzamin z logiki i z ekonomii politycznej”. W zdaniu „małżeń-stwo jest związkiem kobiety i mężczyzny” słowo „i” występuje w znaczeniusyntetycznym.


Zadania

Zadanie 3.14. Zapisz w języku rachunku predykatów poniższe zdania:

1. Każdy lubi każdego.

2. Każdy lubi kogoś.

3. Ktoś lubi każdego.

4. Ktoś lubi kogoś.

5. Każdy nie lubi nikogo.

6. Każdy nie lubi kogoś.

7. Ktoś nie lubi nikogo.

8. Ktoś kogoś nie lubi.

9. Są książki, które warto przeczytać dwa razy.

10. Pod Termopilami nie ocalał żaden Grek.

11. Są ludzie, którzy są szczęśliwi nie wiedząc o tym.

12. Tylko dobrzy umierają młodo.

13. Wszystkich, których znam poznałem po trzydziestce.

14. Ktoś, lecz nie wszyscy z nas, pisze wiersze.

15. Nie wszystko złoto, co się świeci.

16. Wszystkie drogi prowadzą do Rzymu.

17. Pewna droga prowadzi do Rzymu.

18. Żadna droga nie prowadzi do Rzymu.

19. Pewna droga nie prowadzi do Rzymu.

20. Nikt nie wyjątkiem jeśli chodzi o mówienie bzdur.

21. Co serce wie dziś, rozum pojmie jutro.

22. Żaden zwycięzca nie wierzy w przypadek.


23. Nieobecni nie mają racji.

24. Wszystkie mądrości już kiedyś zostały pomyślane.

25. Nie ma doskonałości bez trudności.

26. Dobrzy sprzedawcy znajdują bez trudu kupców.

27. Dla dowolnych dwóch punktów istnieje prosta, która przez nie prze-chodzi.

Wynikanie w klasycznej logice predykatów

Rachunek predykatów zawiera rachunek zdań. Zasady logiki predykatów,które nie odnoszą się do kwantyfikatorów są takie same jak zasady logikizdań. W rachunku zdań mówimy o zdaniach, a w rachunku predykatówo formułach. W rachunku predykatów pojawiają się specyficzne zasady do-tyczące kwantyfikatorów.

W logice zdań tautologia została zdefiniowana jako zdanie przyjmującewartość t dla dowolnego wartościowania. Terminu „tautologia” będziemy teżużywać w rachunku predykatów. Będzie to formuła, którą można otrzymaćprzez zastąpienie liter zdaniowych przez formuły. Taka konstrukcja jest teżformułą.

Definicja 3.45. Tautologią języka rachunku predykatów jest każdewyrażenie, które można otrzymać przez podstawienie formuł języka rachunkupredykatów w miejsce wszystkich liter zdaniowych występujących w tauto-logii języka rachunku zdań.

Definicja wynikania w klasycznej logice predykatów jest poszerzeniemdefinicji wynikania w klasycznej logice zdań o zasady specyficzne dla językarachunku predykatów. Nie każde poprawnie zbudowane wyrażenie językarachunku predykatów, formuła, jest zdaniem. Zamiast mówić o wynikaniazdania ze zbioru zdań — jak to jest w wypadku logiki zdań — będziemymówili o wynikaniu formuły ze zbioru formuł.

Definicja 3.46. Ze zbioru formuł Σ wynika formuła ψ (symbolicznie: Σ` ψ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg formuł ψ0, ψ1, . . . , ψn

taki, że dla każdego ψi, 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest jeden z warunków:

1. ψi jest elementem zbioru Σ;

2. ψi jest tautologią (języka rachunku predykatów);


3. istnieją j, k < i takie, że ψk jest formuła ψj ⇒ ψi;

4. istnieje k < i, oraz term t i zmienna v takie, że t jest podstawialne za vw formule ψk, a formuła ψi to formuła ψk(v/t);

5. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ϕ ⇒ ∀vφ, a formuła ψi to formułaϕ ⇒ φ;

6. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ϕ ⇒ φ i zmienna v nie występujejako zmienna wolna w ϕ, a formuła ψi to formuła ϕ ⇒ ∀vφ;

7. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ∃vϕ ⇒ φ, a formuła ψi to formułaϕ ⇒ φ;

8. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ϕ ⇒ φ i zmienna v nie występujejako zmienna wolna w φ, a formuła ψi to formuła ∃vϕ ⇒ φ.

Ciąg formuł ψ0, ψ1, . . . , ψn, spełniający warunki 1–8, to dowód formułyψ ze zbioru formuł Σ.

Zbiór formuł Σ to zbiór przesłanek albo inaczej założeń. Σ możew szczególności być zbiorem pustym.

Definicja 3.47. Formuła, dla której istnieje dowód z pustego zbioru formułto teza rachunku predykatów.

To, że ϕ jest tezą zapisujemy: ` ϕ.Wykorzystane w definicji dowodu reguły to w wypadku 3 znana już re-

guła odrywania (MP). Pozostałe to, kolejno, 4 — reguła podstawiania (jejzastosowanie zaznaczać można wskazując term i zmienną, za którą term tenjest podstawiany), 5 — reguła opuszczania dużego kwantyfikatora (O∀), 6— reguła dołączania dużego kwantyfikatora (D∀), 7 — reguła opuszczaniamałego kwantyfikatora (O∃), 8 — reguła dołączania małego kwantyfikatora(D∃).Przykład 3.5. Korzystając z definicji dowodu możemy dowieść, że

` ∀xPx ⇒ Px. (3.6)

Dowód.

1. ∀xPx ⇒ ∀xPx tautologia2. ∀xPx ⇒ Px (O∀; 1)


Odnotujmy prosty fakt:

jeżeli ϕ jest tautologią, to jest tezą rachunku predykatów.

Rachunek predykatów jest pełny. Najprościej mówiąc znaczy to, że wynika-nie zgodnie z regułami dowodu w rachunku predykatów pokrywa się z wy-nikaniem semantycznym, czyli takim, które zachodzi między przesłankamia wnioskiem wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwość przesłanek gwarantujeprawdziwość wniosku.

Dla rachunku predykatów zachodzi twierdzenie o dedukcji.

Twierdzenie 3.5. (O dedukcji) Niech ϕ będzie zdaniem, a φ formułą (niemusi być zdaniem):

Σ ∪ {ϕ} ` φ

wtedy i tylko wtedy, gdyΣ ` ϕ ⇒ φ.

Dowód tego twierdzenia pominiemy. Przebiega on analogicznie do do-wodu twierdzenia o dedukcji dla rachunku zdań. Jest jednak bardziej zło-żony. Należy bowiem uwzględnić specyficzne dla rachunku predykatów re-guły dowodowe.

Schematy i prawa logiki predykatów

Pojęcia prawa i logicznego schematu wnioskowania dla logiki kwantyfikato-rów są takie same jak dla logiki zdań. Różnice w definicjach spowodowane sąwyłącznie różnicami między językiem rachunku zdań a językiem rachunkupredykatów. Istotna różnica między logiką zdań a logiką kwantyfikatorówma miejsce jeśli chodzi o metodę wskazywania praw i logicznych schematówwnioskowania. W wypadku rachunku zdań mieliśmy prostą metodę pozwa-lającą w wypadku dowolnego zdania lub wnioskowania znaleźć odpowiedź napytanie, czy zdanie to jest tautologią lub czy wnioskowanie jest dedukcyjne.Jest to metoda zero-jedynkowa. W wypadku tego fragmentu logiki kwan-tyfikatorów, który zawiera się w sylogistyce, też jest taka metoda. Jest niąmetoda diagramów Venna. Metoda ta może być stosowana szerzej niż tylkow sylogistyce. Pierwszym i istotnym ograniczeniem jest możliwość jej stoso-wania tylko do tego fragmentu języka rachunku kwantyfikatorów, w którymużywane są wyłącznie jednoargumentowe litery predykatowe. Nie potrafimyzastosować tej metody, gdy mamy litery predykatowe dwu lub więcej argu-mentowe. Okazuje się, że nie ma żadnej takiej procedury, która w wypadku


dowolnego schematu pozwoliłaby na znalezienie odpowiedzi na pytanie, czyschemat ten jest logiczny, czy też nie. Rachunek predykatów — inaczej niżrachunek zdań — nie jest rozstrzygalny. W wypadku rachunku predykatówjest jednak tak, że w wypadku dowolnego wnioskowania (zapisanego w ję-zyku rachunku predykatów), w którym wniosek wynika z przesłanek, istniejedowód (zgodnie z definicją dowodu w rachunku predykatów) tego faktu.

Mając wyrażenie zbudowane ze zmiennych metaprzedmiotowych (na for-muły, termy, stałe i zmienne indywiduowe języka rachunku predykatów),spójników, kwantyfikatorów i nawiasów dopóki nie wiemy, do jakich formułodnoszą się zmienne metaprzedmiotowe, możemy nie być w stanie odpowie-dzieć na pytanie, czy formuła, którą to wyrażenie wskazuje jest, czy też niejest tezą rachunku predykatów. Jest tak np. w wypadku:

∀vϕ ⇒ ∃v1ψ.

Może też być tak, że bez względu na to jakie formuły, termy i zmienne sąwskazywane przez zmienne metaprzedmiotowe dane wyrażenie odnosi się doformuły będącej tezą rachunku predykatów. Jest tak np. w wypadku:

ϕ ⇒ ∃vϕ.

Wyrażenie zbudowane wyłącznie ze zmiennych metaprzedmiotowych (naformuły, termy, stałe i zmienne indywiduowe) takie, że po ustaleniu, jakieformuły, termy, stałe i zmienne wskazują występujące w nim zmienne jestformułą to schemat formuły.

Definicja 3.48. Prawo logiki predykatów to schemat tezy rachunku pre-dykatów.

Ponieważ każda tautologia jest tezą rachunku predykatów, więc każdeprawo logiki zdań jest również prawem logiki predykatów.

Podane zostaną niektóre specyficzne prawa i schematy logiczne rachunkupredykatów.

Prawo Schemat

Dictum de omni

∀vϕ ⇒ ϕ(v/t), ∀vϕjeśli t jest podstawialne za v.

ϕ(v/t)

Dictum de singulo


ϕ(v/t) ⇒ ∃vϕ, ϕ(v/t)jeśli t jest podstawialne za v.

∃vϕ

*

∀v1∀v2ϕ ⇒ ∀v2∀v1ϕ ∀v1∀v2ϕ

∀v2∀v1ϕ

*

∃v1∃v2ϕ ⇒ ∃v2∃v1ϕ ∃v1∃v2ϕ

∃v2∃v1ϕ

*

∃v1∀v2ϕ ⇒ ∀v2∃v1ϕ ∃v1∀v2ϕ

∀v2∃v1ϕ

Kwantyfikatory a spójnik negacji

I prawo De Morgana

¬∀vϕ ⇒ ∃v¬ϕ ¬∀vϕ

∃v¬ϕ

II prawo De Morgana

¬∃vϕ ⇒ ∀v¬ϕ ¬∃vϕ

∀v¬ϕ

Kwantyfikatory a spójnik implikacji

∀v(ϕ ⇒ φ) ⇒ (∀vϕ ⇒ ∀vφ) ∀v(ϕ ⇒ φ)

∀vϕ ⇒ ∀vφ

∀v(ϕ ⇒ φ) ⇒ (∃vϕ ⇒ ∃vφ) ∀v(ϕ ⇒ φ)


∃vϕ ⇒ ∃vφ

Kwantyfikatory a spójnik koniunkcji

∀v(ϕ ∧ φ) ⇒ (∀vϕ ∧ ∀vφ) ∀v(ϕ ∧ φ)

∀vϕ ∧ ∀vφ

(∀vϕ ∧ ∀vφ) ⇒ ∀v(ϕ ∧ φ) ∀vϕ ∧ ∀vφ

∀v(ϕ ∧ φ)

∃v(ϕ ∧ φ) ⇒ (∃vϕ ∧ ∃vφ) ∃v(ϕ ∧ φ)

∃vϕ ∧ ∃vφ

Kwantyfikatory a spójnik alternatywy

(∀vϕ ∨ ∀vφ) ⇒ ∀v(ϕ ∨ φ) ∀vϕ ∨ ∀vφ

∀v(ϕ ∨ φ)

(∃vϕ ∨ ∃vφ) ⇒ ∃v(ϕ ∨ φ) ∃vϕ ∨ ∃vφ

∃v(ϕ ∨ φ)

∃v(ϕ ∨ φ) ⇒ (∃vϕ ∨ ∃vφ) ∃v(ϕ ∨ φ)

∃vϕ ∨ ∃vφ

Kwantyfikatory a spójnik równoważnosci

∀v(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∀vϕ ⇔ ∀vφ) ∀v(ϕ ⇔ φ)

∀vϕ ⇔ ∀vφ

∀v(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∃vϕ ⇔ ∃vφ) ∀v(ϕ ⇔ φ)

∃vϕ ⇔ ∃vφ

3.3. DEDUKCJA NATURALNA 339

3.3 Dedukcja naturalna

Opisany w poprzednim rozdziale sposób dowodzenia pozwala w skończonejliczbie kroków dowieść każdego twierdzenia logiki predykatów. Choć dlacelów teoretycznych, dla badań logiki predykatów jest to wystarczające, todla celów praktycznych, dla korzystania z rachunku predykatów jest małointuicyjne. Stąd też tworzone są rachunki predykatów, które by tej wadybyły pozbawione, które by były zgodne z naturalnym sposobem dowodzenia.Należą do nich systemy dedukcji naturalnej15.

Jeden z systemów dedukcji naturalnej to metoda dowodów założenio-wych.

Dowód założeniowy jest ciągiem formuł. Te formuły to wiersze do-wodowe. O tym, w jaki sposób buduje się dowód, mówią reguły tworze-nia dowodu. Od tych reguł należy odróżnić reguły dołączania nowychwierszy dowodowych.

3.3.1 Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych

Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych mówią o zasadach dołącza-nia nowych wierszy do dowodu założeniowego.

Jeśli reguła oparta jest o schemat:

Φ0

Φ1

.

.

.Φn

Ψ

to wówczas gdy w dowodzie występują jako wiersze dowodowe formuły, dlaktórych schematami są: Φ0, Φ1, . . . ,Φn, jako kolejny wiersz dowodowy wolnodopisać formułę o schemacie Ψ.

Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych dzieli się na pierwotnei wtórne. Reguły pierwotne to reguły przyjęte bez dowodu. Regułamiwtórnymi są wszystkie reguły oparte o udowodnione schematy logiczne.Szczególnym schematem jest schemat, który ma pusty zbiór przesłanek, czylinie ma formuł nad kreską. Formułę o takim schemacie, tautologię, możemy

15Pierwsze systemy dedukcji naturalnej zostały opracowane w latach 1934–35 niezależnieod siebie przez Stanisława Jaśkowskiego i Gerharda Gentzena.


więc bezwarunkowo dopisywać jako wiersz dowodowy w każdym dowodziezałożeniowym.

Reguły pierwotne

(RO) Reguła odrywania:ϕ ⇒ φϕ

φ

(DK) Reguła dołączania koniunkcji :

ϕ ϕφ φ

ϕ ∧ φ φ ∧ ϕ

(OK) Reguła opuszczania koniunkcji :

ϕ ∧ φ ϕ ∧ φ

ϕ φ

(DA) Reguła dołączania alternatywy :

ϕ φ

ϕ ∨ φ ϕ ∨ φ

(OA) Reguła opuszczania alternatywy :

ϕ ∨ φ ϕ ∨ φ¬ϕ ¬φ

φ ϕ

(DE) Reguła dołączania równoważności :

ϕ ⇒ φ ϕ ⇒ φφ ⇒ ϕ φ ⇒ ϕ

ϕ ⇔ φ φ ⇔ ϕ

(OE) Reguła opuszczania równoważności :

ϕ ⇔ φ ϕ ⇔ φ

ϕ ⇒ φ φ ⇒ ϕ


(D∀) Reguła dołączania dużego kwantyfikatora:Niech na Z składają się wszystkie i tylko te założenia, które są użyte do

dowodu ϕ.

Zϕ

∀vϕ

jeśli zmienna v nie występuje jako zmienna wolna w żadnej formulew Z.

(O∀) Reguła opuszczania dużego kwantyfikatora:

∀vϕ

ϕ(v/t)

jeśli term t jest podstawialny w miejsce zmiennej wolnej v

(D∃) Reguła dołączania małego kwantyfikatora:

ϕ

∃vϕ(t/v)

jeśli zmienna v jest podstawialna w miejsce termu t

(O∃) Reguła opuszczania małego kwantyfikatora:Niech w formule ϕ(v0. . .vi. . .vn) wszystkimi zmiennymi wolnymi będą

v0. . .vi. . .vn.

∃viϕ(v0. . .vi. . .vn)

ϕ(vi/v0v1...vi−1vi+1...vn)

gdzie cv0v1...vi−1vi+1...vn

jest stałą, która nie wystąpiła w dowodzie. Jej określenie wymaga ustalenia,jakie stałe występują w miejscach v0, v1, . . ., vi−1, vi+1, . . ., vn

Stosując tę regułę należy zwrócić uwagę na to, aby na oznaczenie stałejużyć symbolu, który nie został już użyty w danym dowodzie.


3.3.2 Reguły tworzenia dowodu założeniowego

Reguły tworzenia dowodu założeniowego wprost

Mając do udowodnienia:ϕ1, . . . , ϕn ` φ

1. (a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły: ϕ1, . . . , ϕn. Są to za-łożenia dowodu wprost.

(b) kolejne wiersze dowodowe dopisuje się stosując reguły dołączanianowych wierszy dowodowych,

(c) dowód kończy się, gdy jako wiersz dowodowy uzyskuje się formułęφ.

2. jeśli φ jest formułą ψ1 ⇒ (ψ2 ⇒ (· · · ⇒ (ψn ⇒ χ) . . . )), to

(a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły:

ϕ1, . . . , ϕn

orazψ1, ψ2, . . . , ψn.

Są to założenia dowodu wprost.


(c) dowód kończy się, gdy jako wiersz dowodowy uzyskuje się formułęχ.

Reguły tworzenie dowodu założeniowego niewprost

Mając do udowodnienia:ϕ1, . . . , ϕn ` φ

1. (a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły: ϕ1, . . . , ϕn oraz ¬φ. Sąto założenia dowodu niewprost.


(c) dowód kończy się, gdy otrzymuje się dwa wiersze dowodowe, z któ-rych jeden to formuła ς, a drugi to formuła ¬ς.

2. jeśli φ jest formułą ψ1 ⇒ (ψ2 ⇒ (· · · ⇒ (ψn ⇒ χ) . . . )), to


(a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły: ϕ1, . . . , ϕn, ψ1, ψ2, . . . ,ψn oraz ¬χ. Są to założenia dowodu niewprost.


(c) dowód kończy się, gdy otrzymuje się dwa wiersze dowodowe, z któ-rych jeden to formuła ς, a drugi to formuła ¬ς.

Dowodzenie założeniowe

Obok wierszy dowodowych zaznacza się, czy zostały one przyjęte jako zało-żenia, czy na podstawie reguł. W tym ostatnim wypadku zaznacza się użytąregułę i wiersze dowodowe, do których została zastosowana. Stosowane będąnastępujące skróty:

zał. — założeniez.d.n. — założenie dowodu niewprostsprzecz. — sprzeczność

W logice dowodzi się, że wnioskowanie jest dedukcyjne wtedy i tylkowtedy, gdy ma dowód założeniowy.

Trudność praktyczną stwarzać mogą dowody w wypadku, gdy brak wier-szy «nad kreską», a więc gdy mamy dowieść:

` φ

a φ nie jest implikacją, np. α ∨ ¬α, ∀v(ψ ⇒ ψ). Ograniczając się opisanychreguł tworzenia dowodu musimy przeprowadzać dowód niewprost. Przykładytakich wypadków są podane poniżej.

Przykład 3.6. Sylogizm warunkowy

p ⇒ qq ⇒ r

p ⇒ r

Dowód wprost:

1. p ⇒ q zał.2. q ⇒ r zał.3. p zał.4. q (RO; 1,3)5. r (RO;2,4)


Przykład 3.7. Zasada podwójnej negacji (z.p.n.)

¬¬p

p

Dowód niewprost:

1. ¬¬p zał.2. ¬p z.d.n.

sprzecz. (1,2)

Przykład 3.8. Modus tollens

p ⇒ q¬q

¬p

Dowód niewprost:

1. p ⇒ q zał.2. ¬q zał.3. ¬¬p z.d.n.4. p (r.p.n.;3)5. q (RO;1,4,)

sprzecz. (2,5)

Przykład 3.9. W dowodzie I prawa De Morgana dla rachunku zdań skorzy-stamy z następujących reguł:

¬(p ∨ q)

¬p

Dowód niewprost:

1. ¬(p ∨ q) zał.2. ¬¬p z.d.n.3. p (r.p.n.;2)4. p ∨ q (DA;3)

sprzecz. (1,4)


Przykład 3.10.¬(p ∨ q)

¬q

Dowód jako analogiczny do poprzedniego pomijamy.

Przykład 3.11. I prawo De Morgana dla rachunku zdań

¬(p ∨ q)

¬p ∧ ¬q

Dowód

1. ¬(p ∨ q) zał.2. ¬p (4a;1)3. ¬q (4b;1)4. ¬p ∧ ¬q (DK;4)

` p ∨ ¬p

Przykład 3.12. Przestawianie kwantyfikatorów ogólnych

∀x∀yP (x, y)

∀y∀xP (x, y)

Dowód wprost:

1. ∀x∀yP (x, y) zał.2. ∀yP (x, y) (O∀;1)3. P (x, y) (O∀;2)4. ∀xP (x, y) (D∀;3)5. ∀y∀xP (x, y) (D∀;4)

Przykład 3.13. Przestawianie małych kwantyfikatorów

∃x∃yP (x, y)

∃y∃xP (x, y)


Dowód wprost:

1. ∃x∃yP (x, y) zał.2. ∃yP (c1, y) (O∃;1)3. P (c1, c2) (O∃;2)4. ∃xP (x, c2) (D∃;3)5. ∃y∃xP (x, y) (D∃;4)

Przykład 3.14. Przestawiane dużego i małego kwantyfikatorów

∃x∀yP (x, y)

∀y∃xP (x, y)

Dowód wprost:

1. ∃x∀yP (x, y) zał.2. ∀yP (c1, y) (O∃;1)3. P (c1, y) (O∀;2)4. ∃xP (x, y) (D∃;3)5. ∀y∃xP (x, y) (D∀;4)

Przykład 3.15.∀x(P (x) ⇒ Q(x))∃x(P (x) ∧R(x))

∃x(Q(x) ∧R(x))

Dowód wprost:

1. ∀x(P (x) ⇒ Q(x)) zał.2. ∃x(P (x) ∧R(x)) zał.3. P (c) ∧R(c) (O∃;2)4. P (c) ⇒ Q(c) (O∀;1)5. P (c) (O∃;3)6. R(c) (O∃;3)7. Q(c) (RO; 3,5)8. Q(c) ∧R(c) (DK;7,8)9. ∃x(Q(x) ∧R(x) (D∃;8)

Zadania

Zadanie 3.15. Udowodnij metodą założeniową, że następujące wnioskowaniasą dedukcyjne:


1.1. p ⇒ q 1.2. p ⇔ q

(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r) (p ∧ r) ⇔ (q ∧ r)

1.3. p ⇒ q 1.4. p ⇒ qr ⇒ s p ⇒ rp ∨ r ¬q ∨ ¬r

q ∨ s ¬p

1.5. p ⇒ q 1.6.r ⇒ q p ⇒ q¬q ∨ ¬s r ⇒ s

¬p ∨ ¬r (p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)

1.7. ∃xP (x) 1.8. ∀x(P (x) ⇒ Q(x))∀xQ(x) ∀x¬Q(x)

∃x(P (x) ∧Q(x)) ¬∃xP (x)

1.9. ∀x[(P (x) ∧Q(x)) ⇒ R(x)] 1.10. ∀x[P (x) ⇒ (Q(x) ∨R(x))]∀xP (x) ∀x(P (x) ⇒ ¬Q(x))∃xQ(x) ∃xP (x)

∃xR(x) ∃R(x)

Zadanie 3.16. Pokaż przytaczając kontrprzykłady, że następujące wniosko-wania nie są dedukcyjne:

2.1. ∀x(P (x) ∨Q(x)) 2.2. ∃x(P (x) ∧ ∃xQ(x))

∀xP (x) ∨ ∀xQ(x) ∃x(P (x) ∧Q(x))

2.3. ∀x∃yP (x, y) 2.4. ∀xP (x) ⇒ ∀xQ(x)

∃y∀xP (x, y) ∀x(P (x) ⇒ Q(x))

Zadanie 3.17. Oceń poprawność następującego rozumowania:

W pewnej określonej grupie ludzi:


1. większość ma na sobie koszule,

2. Większość ma na nogach buty.

Zatem są tacy, którzy mają koszule i buty.

Czy potrafisz wskazać schemat tego wnioskowania?

Zadanie 3.18. Dylematem jest następujące wnioskowanie:

Kara za przestępstwo wychowuje lub kara za przestępstwo odstrasza.Jeżeli kara wychowuje, to powinna być wymierzona.Jeżeli kara odstrasza, to powinna być wymierzona.Kara za przestępstwo powinna być wymierzona.

Gdyby nie uznać pierwszej przesłanki, to nasze wnioskowanie byłoby ob-ciążone błędem fałszywego dylematu.

Zadanie 3.19. Zapisz w języku rachunku kwantyfikatorów i wskaż zdanieparadoksalne (wewnętrznie sprzeczne).

1. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił wszystkich tych, któ-rzy nie golili się sami.

2. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił tylko tych, którzy niegolili się sami.

3. W pewnymmiasteczku był golibroda, który golił wszystkich tych i tylkotych, którzy nie golili się sami.

3.4 Tablice semantyczne

Metoda dowodów założeniowych jest zgodna z naturalnym sposobem dowo-dzenia. Intuicja «podpowiada» właśnie taki sposób postępowania. W częścipoświęconej sylogistyce dla znajdowania odpowiedzi, czy tryb jest poprawnystosowana była metoda diagramów Venna. Ponieważ sylogistyka obejmujetylko fragment rachunku logicznego, jest to metoda o ograniczonym zakre-sie zastosowań. Ograniczoność zastosowań cechuje również metodę zero-jedynkową — metoda ta stosuje się tylko rachunku zdaniowego. Metodadowodów założeniowych stosuje się zarówno do rachunku zdaniowego jaki rachunku predykatów. Takich uniwersalnych metod jest więcej. W tej czę-ści książki zapoznamy się z metodą tablic semantycznych. Metod ta jestnie tylko uniwersalna ale i intuicyjna a co najważniejsze i co ją wyróżnia od

3.4. TABLICE SEMANTYCZNE 349

metody dowodów założeniowych prostsza, tzn. sprawniej można wykazywaćlogiczność schematów.

Podane zostaną reguły budowy pewnych konstrukcji, które są rysunkiemschematycznym drzewa postawionego pniem do góry. Konstrukcje te bę-dziemy nazywali tablicami semantycznymi. Górę drzewa tworzy jegokorzeń. Na dole są liście. Odcinki łączące korzeń z liśćmi to gałęzie.Drzewo, które ma więcej niż jedną gałąź, rozdziela się, rozgałęzia. Drzewoma tyle gałęzi, ile ma liści. Odcinek powyżej rozgałęzień to pień.

Opisane zostaną reguły dla języka rachunku predykatów. Reguły odno-szące do spójników stosują sie również do języka rachunku zdań. Reguły,które stosują się do spójników to reguły zdaniowe. Reguły, które odnosząsię do kwantyfikatorów to reguły kwantyfikatorowe.

Definicja 3.49. Tablica semantyczna to drzewo ze zdaniami. Zdaniemoże znajdować się po lewej bądź po prawej stronie gałęzi. Zdania znajdu-jące się na pniu znajdują się na każdej gałęzi.

Definicja 3.50. Niech ϕ i φ będą różnymi napisami (napis ϕ różni się odnapisu φ miejscem, lecz niekoniecznie kształtem). Zdanie ϕ leży poniżejzdania φ wtedy i tylko wtedy, gdy od zdania φ można „przejść” do zdania ϕporuszając się odcinkami wyłącznie w dół drzewa.

Stosunek leżenia poniżej jest więc tego rodzaju, że jeżeli ϕ leży poniżej φ,a φ leży poniżej ψ, to ϕ leży poniżej ψ (czyli, stosunek ten jest przechodni).

Definicja 3.51. Gałąź jest sprzeczna (zamknięta) wtedy i tylko wtedy,gdy po obu stronach, prawej i lewej, odcinków wskazujących stosunek leżeniaponiżej znajduje się jakieś zdanie ϕ, czyli na tej gałęzi po każdej ze jej stronznajdują się, przynajmniej po jednym, równokształtne napisy.

Fakt, że gałąź jest sprzeczna zaznacza się pisząc kreskę poziomą na końcutej gałęzi (na poziomie najniżej leżącego zdania).

Definicja 3.52. Gałąź, która nie jest zamknięta jest otwarta.

Definicja 3.53. Tablica jest zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy za-mknięte są wszystkie gałęzie składające się na tę tablicę.

Definicja 3.54. Tablica, która nie jest zamknięta, jest otwarta.

Będziemy mieli reguły, które wymagają tylko dopisania jednego odcinkapod każdą gałęzią, na której znajduje się badane zdanie; oraz takie, którewymagają dopisania dwóch odcinków pod każdą gałęzią, na której znajduje


się badane zdanie. Te ostatnie reguły powodują rozgałęzienie. Tablicabędzie binarna, tzn. rozgałęzienie dokonuje się na dokładnie dwie gałęzie.

Będziemy mieli reguły jednokrotne i wielokrotne. Reguły jednokrotneto reguły, które mogą być zastosowane do danego napisu tylko raz. Reguływielokrotne to reguły, które będą mogły być stosowane do danego napisuwielokrotnie.

Metoda tablic semantycznych oparta jest na strategii „z góry do dołu”— rozpoczynamy od wartości logicznej przypisywanej rozważanemu zdaniu,dochodząc do wartości logicznych zdań atomowych (liter zdaniowych). Re-guły tworzenia tablic semantycznych są regułami analitycznymi — zdaniuzłożonemu przyporządkowują jego części składowe. Zaczynamy zawsze odspójnika głównego lub — jeżeli jest to zdanie postaci ∀vϕ lub ∃vϕ od kwan-tyfikatora. Zdanie może być prawdziwe lub nie, czyli mieć wartość v lub f .W zależności od tego, piszemy je po, odpowiednio, lewej lub prawej stronieodcinka. Dla każdego spójnika i kwantyfikatora potrzebujemy dwóch reguł:jedna mówi jak postępować ze zdaniem znajdującym się po lewej, a druga jakpostępować ze zdaniem znajdującym się po prawej stronie gałęzi. Będziemywięc odróżniali reguły lewostronne (L) i prawostronne (P ). Będziemy mielizatem reguły: ¬L, ¬P , ∧L, ∧P , ∨L, ∨P , ⇒ L, ⇒ P , ⇔ L, ⇔ P , ∀L, ∀P ,∃L, ∃P . Fakt zastosowania reguły — jeżeli jest to reguła jednokrotna — za-znaczać będziemy pisząc przy odpowiednim zdaniu X. W wypadku reguływielokrotnej fakt jej zastosowania będzie zaznaczany za pomocą ?. Zdańzaznaczonych za pomocą X nie bierze się pod uwagę w dalszej konstruk-cji drzewa; informacja w nich zawarta została wykorzystana do rozbudowydrzewa. Zdania oznaczone X to zdaniamartwe, zdania bez tego zaznaczeniato zdania żywe.

Definicja 3.55 (tablicy zakończonej). Tablica jest zakończona wtedyi tylko wtedy, gdy jest (a) zamknięta lub (b) jedynymi żywymi zdaniami naniej są zdania atomowe (litery zdaniowe).

Konstrukcję tablicy można prowadzić tak długo, aż otrzyma się tablicęzamkniętą lub gdy jedynymi żywymi zdaniami będą zdania atomowe.

REGUŁY

¬L ¬ϕX

...

ϕ


Reguła stosuje się do zdania ¬ϕ, znajdującego się po lewej stronie gałęzi.Ta strona reprezentuje wartość v. Jeśli zdanie ¬ϕ ma wartość v, to jakąwartość ma ϕ? Oczywiście, ϕ ma wartość f . Zatem piszemy ϕ po prawejstronie na każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ¬ϕ(jako napisu).

¬P ¬ϕX

...

ϕ

Reguła ta stosuje się do zdania ¬ϕ, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Strona ta reprezentuje wartość f . Jeśli zdanie ¬ϕ ma wartość f , tojaką wartość ma ϕ? Oczywiście, zdanie ϕ ma wartość v. Zatem piszemyϕ po lewej stronie na każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej sięponiżej ¬ϕ (jako napisu).

∧L ϕ ∧ φX

...

ϕ

φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ∧ φ, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie ϕ∧φ ma wartość v, a więc zarówno ϕ jak i φ mają wartość v.Oba te zdania, ϕ i φ, piszemy więc jedną pod drugą na przedłużeniu drzewapo lewej stronie każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ∧ φ (jakonapisu).

∧P ϕ ∧ φX

...

ϕ φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ∧φ, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Strona ta reprezentuje wartość f . Zdanie ϕ ∧ φ ma wartość f , gdyϕ ma wartość f lub gdy φ ma wartość f . W celu zapisania tego faktu dokażdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej zdania ϕ ∧ φ


(jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Po prawej stronie na jednej piszemyϕ, a na drugiej φ.

∨L ϕ ∨ φX

...

ϕ φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ∨ φ, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość v, zatem wartość v ma zdanie ϕ lub wartośćv przysługuje zdaniu φ. W celu zapisania tego faktu do każdej już istniejącejotwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ∨φ (jako napisu), dopisujemy dwiegałęzie. Po lewej stronie na jednej piszemy ϕ, a na drugiej φ.

∨P ϕ ∨ φX

...

ϕ

φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ∨φ, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem wartość f przysługuje zdaniuϕ i wartość f przysługuje zdaniu φ. Zatem po prawej stronie na każdejjuż istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ∨ φ (jako napisu),piszemy jedno pod drugim ϕ i φ.

⇒ L ϕ ⇒ φX

...

ϕ φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇒ φ, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość v, zatem ϕ ma wartość f lub φ ma wartość v.Nasze drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartejgałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ⇒ φ (jako napisu), dopisujemy dwie gałęzie.Po prawej stronie jednej z nich piszemy ϕ, a po lewej stronie drugiej piszemyφ.


⇒ P ϕ ⇒ φX

...

ϕ

φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇒ φ, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Zdanie takie wartość f , zatem ϕ ma wartość v, a φ ma wartość f . Nakażdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ⇒ φ (jako napisu), piszemypo lewej stronie ϕ, a po prawej φ.

⇔ L ϕ ⇔ φX

...

ϕ ϕ

φ φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇔ φ, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość v, zatem wartość v przysługuje zarównozdaniu ϕ jak i zdaniu φ lub wartość f mają zdania ϕ i φ. Drzewo będziesię więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującejsię poniżej ϕ ⇔ φ (jako napisu), dopisujemy dwie gałęzie. Po lewej stroniejednej z nich piszemy jedno pod drugim ϕ i φ i tak samo po prawej stroniedrugiej z nich.

⇔ P ϕ ⇔ φX

...

ϕ ϕ

φ φ

Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇔ φ, znajdującej się po prawej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem zdaniu ϕ przysługuje wartość v,a zdaniu φ przysługuje wartość f lub odwrotnie: zdanie ϕ ma wartość f ,a zdanie φ ma wartość v. Drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdejjuż istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ⇔ φ (jako napisu),dopisujemy dwie gałęzie. W wypadku jednej z nich, po lewej stronie piszemy


ϕ a po prawej φ, a w wypadku drugiej z nich odwrotnie, po prawej piszemyϕ a po lewej φ.

∃L ∃vψX

...

ψ(v/c)

Reguła ∃L stosuje się do zdania ∃vψ zapisanego po lewej stronie gałęzi.Zdanie ∃vψ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej stałej c praw-dziwe jest zdanie ψ(v/c). Zdanie to zapisujemy po lewej stronie na każdejgałęzi, na której znajduje się analizowane zdanie ∃vψ. Stała indywiduowac musi być stałą, która nie występuje na gałęziach, na których dopisujemyzdanie ψ(v/c). Do danego zdania regułę ∃L stosujemy tylko raz. Jest toreguła jednokrotna. Fakt zastosowania ∃L zaznaczamy za pomocą X.

∃P ∃vψ?

...

ψ(v/c)

Reguła ∃P stosuje się do zdania ∃vψ zapisanego po prawej stronie ga-łęzi. Zdanie ∃vψ nie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdejstałej c nie jest prawdziwe ψ(v/c). Zdanie ψ(v/c) piszemy po prawej stroniekażdej gałęzi, na której znajduje się ∃vψ. Stała c jest dowolna. Ponieważbez względu na to, jaką weźmiemy stałą c nie jest prawdziwe ψ(v/c), więcreguła ∃P może być do tego zdania stosowana wielokrotnie. Jest to reguławielokrotna. Fakt zastosowania ∃P zaznaczamy za pomocą ?.

∀L ∀vψ?

...

ψ(v/c)

Reguła ∀L stosuje się do zdania ∀vψ zapisanego po lewej stronie gałęzi.Takie zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej stałej cprawdziwą jest ψ(v/c). Zdanie ψ(v/c) zapisujemy po lewej stronie każdejgałęzi, na której znajduje się ∀vψ. Stała c jest dowolna. Ponieważ bezwzględu na to, jaką weźmiemy stałą c prawdą jest ψ(v/c), więc regułę ∀Lmożemy stosować do tego zdania wielokrotnie. Jest to reguła wielokrotna.Fakt zastosowania ∀L zaznaczamy pisząc ?.


∀P ∀vψX

...

ψ(v/c)Reguła ∀P stosuje się do zdania ∀vψ zapisanego po prawej stronie gałęzi.

Zdanie takie nie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla przynajmniejjednej stałej c nie jest prawdziwe ψ(v/c). Zdanie ψ(v/c) piszemy po prawejstronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∀vψ. Stała c nie może wystą-pić wcześniej na żadnej gałęzi, na której dopisujemy ψ(v/c). Regułę ∀Pstosujemy tylko raz. Fakt zastosowania ∀P zaznaczamy za pomocą X.

Reguły dla spójników oraz reguły ∀P i ∃L to reguły niepowtarzalne,jednokrotne.

Reguły ∀L i ∃P to reguły powtarzalne, wielokrotne.To, że reguły ∀L i ∃P mogą być wielokrotnie stosowane do tej samego

zdania powoduje, że tam, gdzie z tych reguł korzystamy proces konstrukcjidrzewa nie jest ograniczony.

Podane reguły są tego rodzaju, że stosują się do dwóch dowolnych skoń-czonych zbiorów zdań: jednego zapisanego po lewej, a drugiego zapisanegopo prawej stronie pnia. Konstrukcję uzyskaną dla danych zbiorów zdań na-zywamy tablicą semantyczną lub drzewem analitycznym tych zbiorów.

W wypadku, gdy mamy do czynienia tylko ze spójnikami ponieważ re-guły dla nich maja charakter analityczny — w wyniku zastosowania regułyotrzymujemy zdanie/formułę mniej złożoną — liczba zastosowań tych regułbędzie skończona. Tym samym liczba elementów tablicy otrzymanych w wy-niku zastosowania tych reguł będzie skończona. Znaczy to, że zawsze gdynie musimy stosować reguł kwantyfikatorowych tablica będzie zakończona,a tym samym dana będzie odpowiedź na pytanie, czy zdanie jest tezą. Takasytuacja ma miejsce w wypadku zdań języka rachunku zdań (zamiast zdańatomowych mamy litery zdaniowe). Dla dowolnego zdania języka rachunkuzdań znajdujemy odpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest tautologią. Ozna-cza, że rachunek zdań jest rozstrzygalny.

W wypadku, gdy w rozważanym zdaniu występują kwantyfikatory i mogąbyć stosowane reguły wielokrotne, proces konstrukcji tablicy może nie miećkońca.

Rachunek predykatów okazuje się być półrozstrzygalny. Problem jestpółrozstrzygalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje efektywna procedura po-zwalająca w skończonej liczbie kroków dać odpowiedź na każde pytanie, je-śli odpowiedź na to pytanie jest pozytywna (lub, symetrycznie, jeśli odpo-wiedź jest negatywna). Rachunek predykatów jest pełny, a więc każde zdanie


prawdziwe ma dowód. Ponieważ każdy dowód jest skończony, zatem w skoń-czonej ilości kroków można uzyskać pozytywną odpowiedź na pytanie, czyzdanie jest tezą (pod warunkiem, że zdanie jest tezą). Gdyby zdanie niebyło tezą — ponieważ rachunek predykatów jest niesprzeczny — dowodu nieuzyskamy. Jednak fakt nieuzyskania dowodu po wykonaniu n-kroków nieprzesądza tego, że w kolejnym (n + 1)-kroku dowodu nie uzyskamy, zatemtylko na podstawie tego, że po pewnej ilości kroków dowodu nie uzyskaliśmy,nie możemy dawać odpowiedzi negatywnej.

Jeżeli tablica semantyczna jest zamknięta, to analizowane zdanie jest teząlub ma miejsce wynikanie, czyli z koniunkcji zdań znajdujących się po lewejstronie wynika alternatywa zdań znajdujących się po stronie prawej.

Jeżeli zdanie jest tezą lub ma miejsce wynikanie, czyli z koniunkcji zdańznajdujących się po lewej stronie wynika alternatywa zdań znajdujących siępo stronie prawej, to istnieje dla nich zamknięta tablica semantyczna. Dlakażdej tezy lub wypadku, gdy z koniunkcji zdań znajdujących się po stronielewej wynika alternatywa zdań znajdujących się po stronie prawej, istniejewięc taki skończony zbiór stałych, dla których tablica jest zamknięta. Jednakz góry nie potrafimy określić wielkości tego zbioru. Fakt ten jest równoważnypółrozstrzygalności rachunku predykatów.

Jeżeli zdanie nie jest tezą lub z koniunkcji zdań znajdujących sie po lewejstronie nie wynika alternatywa zdań znajdujących sie po prawej stronie, totablica nie musi być skończona.

Fakt, że dla wyrażeń języka rachunku predykatów metoda tablic seman-tycznych nie ma tej własności, że dla dowolnego zdania tego języka dajeodpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest tezą, czy nie, nie przesądza sprawyrozstrzygalności tego rachunku. Aby tego dowieść należy dowieść, że w ogólenie ma żadnej takiej metody. Tak faktycznie jest. Takiej metody nie ma.Rachunek predykatów jest nierozstrzygalny.

Struktura zdania w języku rachunku zdań i formuły języka rachunku pre-dykatów jednoznacznie wskazuje na to, jaka reguła może być użyta do ichanalizy. W wypadku reguł zdaniowych jednoznacznie określony jest wynikanalizy. Nie jest tak w wypadku reguł ∃L i ∀P oraz ∀L i ∃P . Dla ∃L i ∀P for-malnie wykluczone jest użycie niektórych stałych. Zaś dla ∀L i ∃P to, którejstałej użyjemy, nie jest w ogóle wyznaczone przez formalne reguły konstruk-cji drzewa. Ta swoboda wyboru stałych wymusza namysł nad tym, jakiejstałej użyje się. Można bowiem postępować tak, że mimo iż badane zdaniejest tezą, nie będzie dochodzić do zamknięcia tablicy, choćby po prostu zakażdym krokiem stosując stałą, która jeszcze nie była użyta.

Fakt, że na danym etapie konstrukcji tablica semantyczna tezy nie jestzamknięta nie przesądza, że w kolejnym kroku to nie nastąpi. Nie wiemy


bowiem z góry jak wielka ma być konstrukcja. Ponadto, formalne regułykonstrukcji umożliwiają tworzenie również dla niektórych tez niekończącychsię niezamkniętych tablic. Na przykład, mając po stronie lewej zdanie postaci∀φ wystarczy ograniczyć się do stosowania tylko reguły ∀L — jest to reguławielokrotna, a stałych mamy nieskończenie wiele.

Reguły odnoszące się do poszczególnych spójników i kwantyfikatorówmogą być stosowane w dowolnej kolejności. Z formalnego punktu widze-nia kolejność stosowania reguł nie ma znaczenia, czyli — inaczej mówiąc— odpowiedź na pytanie, czy dla danych zbiorów zdań — jednego zapisa-nego po lewej a drugiego zapisanego po prawej stronie pnia — drzewo jestzamknięte, nie zależy od tego, w jakiej kolejności stosujemy poszczególne re-guły. Od ich kolejności zależy jednak kształt drzewa, w szczególności jednedrzewa mogą być większe (w sensie ilości gałęzi) od innych. Zależy nam namożliwie najmniejszym drzewie. Uzyskaniu takiego drzewa sprzyja stosowa-nie reguł o charakterze pragmatycznym, a mianowicie:

• Reguły nierozgałęźne stosujemy przed regułami rozgałęźnymi.

• Reguły jednokrotne stosuje przed regułami wielokrotnymi.

• Stałe powinno dobierać się tak, aby poszczególne gałęzie zamykały się.Nie ma tu jednak jakieś jednej uniwersalnej reguły, jak należy te stałedobierać. Można jednak przyjąć, że należy dążyć do użycia możliwienajmniej różnych stałych.

Wyniki konstrukcji tablicy semantycznej mogą być następujące:

1. Tablica jest zamknięta; na każdej gałęzi po lewej i prawej stronie wy-stępuje jakaś jedno i to samo zdanie, czyli — jak to mówimy — nakażdej gałęzi ma miejsce sprzeczność.Sytuacja taka ma miejsce np. w wypadku pytania, czy tezą rachunkupredykatów jest: ∀xP (x) ⇒ ∃xP (x), oraz w wypadku pytania, czytezą rachunku predykatów jest: ∃x∀yR(x, y) ⇒ ∀y∃xR(x, y).

2. Istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzeczność,a ewentualne stosowanie reguł ∀L i ∃P (powtarzalnych) do takiej sprze-czności nie doprowadzi, jak na przykład wówczas, gdy na gałęzi pozo-stało tylko stosowanie do jakiegoś zdania reguły ∀L albo ∃P i miałymiejsce wszystkie wypadki stosowania tej reguły z użyciem stałych jużwykorzystanych na tej gałęzi.Sytuacja taka ma miejsce np. w wypadku pytania, czy tezą rachunku


predykatów jest: ∃xP (x) ⇒ ∀xP (x), oraz czy tezą rachunku predyka-tów jest: ∀x∃yR(x, y) ⇒ ∀x∀yR(x, y).

3. Istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzecznośći brak podstaw, aby twierdzić, że stosowanie reguł ∀L i ∃P w jakimśmomencie nie doprowadzi do sprzeczności.Podanie w tym wypadku jakiegoś przykładu sprawia kłopot spowodo-wany tym, że mówimy tu o braku podstaw dla uznania, że stosowaniereguł nie doprowadzi do sprzeczności. Dlatego też w tym wypadku niemożemy dać żadnej odpowiedzi. Nie możemy bowiem wykluczyć, żekolejne zastosowania reguł może takie podstawy stworzyć.Jako przykład wskażmy pytanie, czy tezą rachunku predykatów jest:¬{∀x∃yR(x, y) ∧ ∀x¬R(x, x) ∧ ∀x, y, z[R(x, y) ∧R(y, z) ⇒ R(x, z)]}.

W wypadku 1 twierdzimy, że pytanie o istnienie dowodu danego zdaniaz danego zbioru zdań ma odpowiedź pozytywną. W wypadku 2 zaś, że maodpowiedź negatywną. Wypadek 3 pozostawia to pytanie nierozstrzygnię-tym.

Przykład 3.16. PYTANIECzy tautologią jest zdanie:

((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))?

TABLICA SEMANTYCZNA

((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))X

(p ∧ (q ∨ r))X ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))X

p (p ∧ q)X

(q ∨ r)X(p ∧ r)X

q r

p q p q

p r

ODPOWIEDŹZdanie:

((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))


jest tautologią.Przykład 3.17. PYTANIECzy możliwa jest taka interpretacja, aby zdaniu ¬(p ⇔ q) przysługiwaławartość f w wypadku, gdy zdaniom (p ⇔ ¬(q ⇔ r)) i r przysługuje wartośćv?Problem ten można w sposób równoważny można sformułować następująco:Czy tautologią jest zdanie:

(((p ⇔ ¬(q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))?

Z tego zdania — jako zdania początkowego konstrukcji — po zastosowaniuwłaściwych reguł dojdziemy do zdań, które są w treści naszego pytania.TABLICA SEMANTYCZNA

((p ⇔ ¬(q ⇔ r) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))X

(p ⇔ ¬(q ⇔ r) ∧ r)X (¬(p ⇔ q))X

(p ⇔ ¬(q ⇔ r))X

r

(p ⇔ q)X

p p

q q

p p p p

¬(q ⇔ r) ¬(q ⇔ r)

¬(q ⇔ r)X ¬(q ⇔ r)X(q ⇔ r)X (q ⇔ r)X

q q q q

r r r r

ODPOWIEDŹWykluczona jest interpretacja taka, żeby zdaniom (p ⇔ ¬(q ⇔ r)) oraz rprzysługiwała wartość v a zdaniu ¬(p ⇔ q) przysługiwała wartość f (lub, cojest temu równoważne, zdanie:

(((p ⇔ ¬(q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))


jest tautologią).

Przykład 3.18. PYTANIECzy tautologią jest zdanie:

((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))?

TABLICA SEMANTYCZNA

((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))X(p ⇒ q)X

(¬p ⇒ ¬q)X(¬p)X

(¬q)Xq

p

p q

ODPOWIEDŹZdanie:

((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))

nie jest tautologią. Przyjmuje ono wartość f dla takiej interpretacji, gdy pprzyjmuje wartość f a q wartość v.

Przykład 3.19. PYTANIECzy prawdą jest, że

∀x(Px ⇒ Qx), ∀xPx ` ∀xQx?

TABLICA SEMANTYCZNA


∀x(Px ⇒ Qx)? ∀xQxX

∀xPx?

(Pa ⇒ Qa)X Qa

Pa

Pa Qa

ODPOWIEDŹPrawdą jest, że: ∀x(Px ⇒ Qx), ∀xPx ` ∀xQx.

Przykład 3.20. PYTANIECzy prawdą jest, że

∀x(Px ⇒ Qx), ∀xQx ` ∀xPx?

TABLICA SEMANTYCZNA

∀x(Px ⇒ Qx)? ∀xPxX

∀xQx?

(Pa ⇒ Qa)X Pa

Qa


ODPOWIEDŹNie jest prawdą jest, że: ∀x(Px ⇒ Qx), ∀xQx ` ∀xPx. Tablica nie możezostać zamknięta. Zauważmy bowiem, że pozostaje tylko stosowanie reguły∀L do zdania ∀x(Px ⇒ Qx) lub do zdania ∀xQx. Kontynuując konstrukcjęna kolejnych gałęziach dopisywać będziemy po lewej stronie tylko Pc ⇒ Qci Qc, a po prawej stronie tylko Pc, gdzie c jest dowolną stałą.

Przykład 3.21. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił wszystkichi tylko tych, którzy nie golili się sami. Kto golił golibrodę?Niech dwuargumentowa litera predykatowa: G(. . . , . . . ) znaczy:

. . . goli . . .

Nasze zdanie możemy zapisać:

∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)].

PYTANIECzy wewnętrznie sprzeczne jest zdanie:

∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]?

TABLICA SEMANTYCZNA

∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]X

∀y[G(a, y) ⇔ ¬G(y, y)]?

G(a, a) ⇔ ¬G(a, a)X

G(a, a) G(a, a)

¬G(a, a)X ¬G(a, a)X

G(a, a) G(a, a)

ODPOWIEDŹZdanie:

∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]

jest wewnętrznie sprzeczne.

Przykład 3.22. Czy poniższe rozumowanie jest poprawne16?Wszyscy kochają kochającego.

16Zob. J. L. Casti, W. DePauli, Gödel. Życie i logika, Warszawa 2003, s. 95.


Jerzy nie kocha siebie.Wobec tego Jerzy nie kocha Marty.Niech K . . . , . . . będzie dwuargumentową literą predykatową; skrótem

dla: . . . kocha . . . . Niech a będzie skrótem dla: Jerzy; a b niech będzieskrótem dla: Marta.

Rozważane rozumowanie możemy zatem zapisać:

∀x[∃yK(x, y) ⇒ ∀z K(z, x)],¬K(a, a) ` ¬K(a, b)

TABLICA SEMANTYCZNA

∀x[∃yK(x, y) ⇒ ∀z K(z, x)]?

¬K(a, a)X

K(a, b)

∃yK(a, y) ⇒ ∀z K(z, a)X

¬K(a, b)X

K(a, a)

∃yK(a, y)? ∀z K(z, a)?

K(a, b) K(a, a)

ODPOWIEDŹ: Tablica semantyczna jest zamknięta, zatem w omawianymrozumowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek. ©Przykład 3.23. Czy poniższe rozumowanie jest poprawne17?

Albo wszyscy kochają, albo niektórzy ludzie nie kochają.Jeśli wszyscy kochają, to z pewnością Piotr kocha.Jeśli nie wszyscy kochają, to istnieje co najmniej jedna osoba, która nie

kocha; nazwiemy ją Anią.Wobec tego, jeśli Ania kocha, to wszyscy kochają.Niech K . . . , . . . będzie dwuargumentową literą predykatową; skrótem

dla: . . . kocha . . . . Niech a będzie skrótem dla: Piotr; a b niech będzieskrótem dla: Ania.

Rozważane rozumowanie możemy zapisać:

∀x∃yK(x, y) ∨ ∃x∀y¬K(x, y), ∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃yK(a, y),¬∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)] ` ∃yK(b, y) ⇒ ∀x∃yK(x, y).

Zauważmy, że pierwsze dwie przesłanki są tezami rachunku predykatów.Możemy je zatem pominąć w konstrukcji tablicy semantycznej. Wystarczy

17Zob. J. L. Casti, W. DePauli, Gödel. Życie i logika, Warszawa 2003, s. 95.


rozważyć tylko poprawność następującego rozumowania:

¬∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)] ` ∃yK(b, y) ⇒ ∀x∃yK(x, y).

TABLICA SEMANTYCZNA

¬∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)]X ∃yK(b, y) ⇒ ∀x∃yK(x, y)X

∃yK(b, y)X ∀x∃yK(x, y)X

K(b, c) ∃yK(d, y)?

¬∀x∃yK(x, y)X ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)]X

∀x∃yK(x, y)? ∀y[¬K(b, y) ∧ (b = b)]?

∃yK(d, y)X

K(d, e)

K(d, e) K(d, e)

[¬K(b, y) ∧ (b = b)]X

¬K(bc)X

(b = b)K(b, c)

ODPOWIEDŹ: Tablica semantyczna jest zamknięta, zatem w omawianymrozumowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek. ©

Rozdział 4

Konceptualizacja, definiowanie,eksplikacja

The art of ranking things in genera and species is of no small impor-tance and very much assists our judgment as well as our memory.You know how much it matters in botany, not to mention animalsand other substances, or again moral and notional entities as somecall them. Order largely depends on it, and many good authorswrite in such a way that their whole account could be divided andsubdivided according to a procedure related to genera and species.This helps one not merely to retain things, but also to find them.And those who have laid out all sorts of notions under certain he-adings or categories have done something very useful.Gottfried Wilhelm von LeibnizNew Essays on Human Understanding

Myślimy pojęciami. Pojęcia są wytworami, wynikiem pojęciowania, ina-czej konceptualizacji. Zasób pojęć wyznacza granice naszego myślenia.Myślenie zyskuje walor intersubiektywnej komunikowalności dzięki językowi.W języku następuje przyporządkowanie pojęć słowom — ażeby język giętkipowiedział wszystko, co pomyśli głowa. Temu służy definiowanie. Zasóbsłów wyznacza granice werbalnego porozumiewania się — o czym nie możnamówić, o tym trzeba milczeć. Coraz lepsze i pełniejsze poznanie jest współ-zależne od znaczeń wyrażeń, dzięki którym jest intersubiektywnie komuni-kowalne. I aby odpowiednie dać rzeczy słowo musimy przeprowadzać analizęznaczeń, czyli eksplikację.

Prawnikowi zależy na jednoznacznym rozumieniu takich nazw jak „kra-dzież”, przywłaszczenie”; „oszustwo”, „sprzeniewierzenie”. Ostrość tych nazwjest pożądana dla trafnego nazywania odpowiednich czynów. Nie powinno

365

366 ROZDZIAŁ 4. KONCEPTUALIZACJA, DEFINIOWANIE . . .

być niejasności jak np. rozumieć nazwę „osoba najbliższa” w kontekścieprawa do uchylenia się od składania zeznań. Znajomość zasad tworzenia po-jęć, definiowania i eksplikacji może ułatwić pracę w zakresie tworzenia prawaoraz w jego stosowaniu. Nie tylko nauka i dziedziny praktyczne, ale i życiecodzienne stawia nas przed koniecznością określenia znaczenia wyrażeń.

4.1 Konceptualizacja

Język służy do wypowiadania myśli, a zatem w tym porządku pierwotnajest myśl, język jest wtórny. Atomy naszej myśli, elementy, z których naszemyśli są budowane, to pojęcia (po łacinie conceptus). Myślimy o pewnejrzeczywistości. Nasze myślenie jest aktywne. W wypadku rzeczywistościpozaempirycznej myślenie w pewnym sensie konstruuje tę rzeczywistość. Naprzykład obiekty matematyczne nie istnieją dla naszego poznania dopóki ichnie skonstruujemy. Dopóki nie mieliśmy pojęcia zera1, dopóki nie było gow poznaniu matematycznym. Rzeczywistość empiryczna dla jej poznania —również przy założeniu, że jest niezależna od poznania — wymaga pojęć.Pojęcia tę rzeczywistość jednak tę rzeczywistość jakoś kształtują. Naszewidzenie świata dokonuje się z perspektywy naszych pojęć. Od tego, jakiemamy pojęcie ryby «zależy», czy wieloryb jest rybą, czy też nią nie jest.Rzeczywistość ujmujemy myślą, czyli pojmujemy dzięki pojęciom. Pojęciasą w tej rzeczywistości «zakotwiczone», mają w niej «fundament».

To, co tu nazywamy konceptualizacją, zwykle określa się jako definicjęrealną.

Definicja 4.1. Definicja realna, inaczej konceptualizacja, to charakte-rystyka przedmiotu lub przedmiotów pewnego rodzaju, którą temu i tylkotemu przedmiotowi lub rodzajowi przedmiotów można przypisać.

Termin „konceptualizacja” wyraźnie odróżnia specyfikę tworzenia pojęćod operacji językowej, jaką jest definiowanie. Niemniej tam, gdzie to jest uza-sadnione obowiązującą konwencją terminologiczną, nie zrezygnujemy z tra-dycyjnej terminologii używając terminu „definicja”, choć mamy na uwadzeto, co nazwaliśmy konceptualizacją. Utworzenie pojęcia zbiega się ze wskaza-niem lub wprowadzeniem do języka odpowiedniego wyrażenia, czyli z definio-waniem. Konceptualizacja nie jest procesem psychicznym i konstruowaniapojęcia nie należy utożsamiać z wyobrażaniem (choć taki proces może jejtowarzyszyć).

1Pojęcie zera trafiło do średniowiecznej Europy za pośrednictwem Arabów. Wcześniejznane było w Indiach.

4.1. KONCEPTUALIZACJA 367

Punktem wyjścia konceptualizacji może być sama rzeczywistość. Jej pod-stawą mogą też być już wytworzone pojęcia. Proces ten w sposób równole-gły przebiega na poziomie języka: może być opisany jako wzbogacanie językao nowe wyrażenia lub nadanie nowego znaczenia już istniejącym wyrażeniom.Te zabiegi językowe to definiowanie (nominalne).

4.1.1 Ekstensjonalna i intensjonalna charakterystyka zakre-sów nazw

Tworzenie pojęć dokonuje się przez tworzenie zbiorów, zakresów nazw.Zakres nazwy może zostać scharakteryzowany ekstensjonalnie.

Definicja 4.2. Ekstensjonalna charakterystyka zakresu nazwy (zbio-ru) dokonywana jest przez wymienienie wszystkich i tylko elementów tegozbioru lub, odpowiednio, podanie wszystkich i tylko desygnatów tej nazwy.

Zakres nazwy „szkoła wyższa w Białymstoku” charakteryzujemy wymie-niając wszystkie szkoły wyższe działające w Białymstoku, czyli: Uniwersytetw Białymstoku, Politechnika Białostocka, Akademia Medyczna w Białym-stoku, Akademia Muzyczna im. F. Chopina w Warszawie — Filia w Białym-stoku, Akademia Teatralna im. A. Zelwerowicza w Warszawie — WydziałSztuki Lalkarskiej w Białymstoku, Wyższa Szkoła Finansów i Zarządzaniaw Białymstoku, Wyższa Szkoła Ekonomiczna w Białymstoku, NiepaństwowaWyższa Szkoła Pedagogiczna w Białymstoku, Wyższa Szkoła Kosmetolo-gii, Wyższa Szkoła Administracji Publicznej im. Stanisława Staszica, Wyż-sza Szkoła Menedżerska Stowarzyszenia Inicjatyw Gospodarczych, WyższaSzkoła Gospodarowania Nieruchomościami w Białymstoku, Wyższa SzkołaMatematyki i Informatyki Użytkowej, Wyższa Szkoła Dziennikarska im. Mel-chiora Wańkowicza w Warszawie — Wydział Zamiejscowy w Białymstoku,Nauczycielskie Kolegium Rewalidacji i Resocjalizacji i Wychowania Fizycz-nego, Wyższa Szkoła Gospodarowania Nieruchomościami — Wydział Za-miejscowy w Białymstoku, Archidiecezjalne Wyższe Seminarium Duchownew Białymstoku.

Zakres nazwy może zostać scharakteryzowany intensjonalnie.

Definicja 4.3. Intensjonalnie charakteryzuje się zakres nazwy (zbiór)przez podanie cechy, która przysługuje wszystkim i tylko desygnatom danejnazwy lub, odpowiednio, elementom tego zbioru.

Zakres nazwy „liczba parzysta” charakteryzujemy intensjonalnie: „liczbaparzysta to liczba podzielna przez 2”. Podobnie — „pierwszoklasista to uczeńI klasy szkoły podstawowej”.


Jeżeli zakres nazwy jest scharakteryzowany ekstensjonalnie, to istniejejego charakterystyka intensjonalna. Nazwę „miasto wojewódzkie” charakte-ryzujemy ekstensjonalnie wymieniając wszystkie 49 miast polskich, które sąmiastami wojewódzkimi. Charakterystyki intensjonalnej możemy dokonaćwskazując na cechę bycia miastem wojewódzkim.

W sytuacjach praktycznych zwykle nie dokonuje się pełnego wyliczeniawszystkich elementów zakresu. Ograniczamy się do kilku charakterystycz-nych przedmiotów p1, p2, . . . , pn, które należą do zakresu nazwy oraz kilkuinnych przedmiotów q1, q2, . . . , qm, które nie należą do zakresu tej nazwy.Przedmioty te dobieramy tak, aby było możliwe przejście do charaktery-styki intensjonalnej. Charakterystykę tę tworzy się jako zespół wszystkichcech wspólnych przedmiotów p1, p2, . . . , pn bez tych cech, które są cechamiprzedmiotów q1, q2, . . . , qm, a których przysługiwanie nie jest wykluczoneprzez cechy przedmiotów p1, p2, . . . , pn. Tego rodzaju zabieg określa sięjako definicję ostensywną (lub, deiktyczną)2.

Charakterystyka zakresu nazwy może być werbalna lub niewerbalna, de-iktyczna.

Definicja 4.4. Definicja deiktyczna (ostensywna) to ekstensjonalnacharakterystyka zakresu nazwy.

Wskazanie zakresu nazwy jest zwykłym sposobem postępowania z dziećmiuczącymi się ojczystego języka. Na pytanie dziecka „co to jest pies?” (dzieckomówi raczej „piesek”) po prostu pokazuje mu się kilka egzemplarzy tego ga-tunku i wyprowadza się dziecko z błędu, gdy wskazując na kota mówi, żeto pies. Taki sposób definiowania nie jest też obcy nauce. Szczególnym wy-padkiem takiego definiowania jest definicja „metra” jako jednostki długościwyznaczonej przez wzorzec znajdujący się w Sèvres pod Paryżem3.

Ekstensjonalna charakterystyka zakresu nazwy może być dokonana nadrodze indukcyjnej. Najogólniej rzecz biorąc można wyróżnić dwa etapy de-finiowania indukcyjnego. Na pierwszym etapie wylicza się pewne przedmioty,o których wiadomo, że należą do zakresu lub bierze się zbiór takich przed-miotów. Może to być zbiór skończony albo nieskończony. Następnie podajesię zasady, według których, biorąc pod uwagę przedmioty już należące docharakteryzowanego zakresu, dochodzi się do określenia innych przedmio-tów z tego zakresu. Ważnym elementem definicji indukcyjnej jest ustalenie,że charakteryzowany zbiór jest najmniejszym zbiorem, który można w tensposób uzyskać.

2Od łacińskiego lub, odpowiednio, greckiego „pokazywać”.3Obecnie tę jednostkę długości definiuje się korzystając z osiągnięć współczesnej fizyki.


Definicja 4.5. Definicja indukcyjna (rekurencyjna) to charaktery-styka zakresu nazwy poprzez:

1. wskazanie pewnych desygnatów tej nazwy (może to być zbiór skoń-czony lub nieskończony),

2. podanie reguły lub reguł, których zastosowanie do przedmiotów, będą-cych desygnatami tej nazwy jednoznacznie wskazuje przedmiot równieżbędący jej desygnatem;

3. stwierdzenie, że desygnatami tej nazwy są tylko przedmioty, o którychmówią pkt. 1 i 2.

Warunek 1 to warunek początkowy a warunek 2 to warunek induk-cyjny.

W podany sposób możemy scharakteryzować zakres nazwy „liczba na-turalna”. Zbiorem danych wyjściowych desygnatów tej nazwy niech będziezbiór, którego jedynym elementem jest: |. Następnie przyjmijmy, że jeżeliσ należy do zakresu nazwy „liczba naturalna”, to σ| należy do tego zakresu.Zakresem nazwy „liczba naturalna” jest najmniejszy zbiór, który spełnia obawarunki. Można zauważyć, że ||||| jest elementem charakteryzowanego za-kresu, a: ||?||| nie jest4.

Podobnie charakteryzujemy zakres nazwy „przodek O”. Danymi desygna-tami nazwy „przodek O” niech będzie zbiór rodziców O. Reguła indukcyjnamówi, że jeżeli A należy do zakresu nazwy „przodek O”, to rodzice A należądo tego zakresu.

Specjalna zasada zwana zasadą ektensjonalności głosi, że zbiory ma-jące te same elementy są sobie równe. Oznacza to między innymi, że zbiórscharakteryzowany ekstensjonalnie jest równy zbiorowi scharakteryzowanemuintensjonalnie, jeśli tylko oba te zbiory nie różnią się swoimi elementami. Ta-kie języki, w których równozakresowe nazwy są wymienialne w dowolnychzdaniach z zachowaniem wartości logicznej tych zdań (salva veritate), tojęzyki ekstensjonalne. Języki, w których to nie ma miejsca, to języki

4Definicje indukcyjne pozwalają na drodze wnioskowania określanego jako wnioskowa-nie przez indukcję (matematyczną) dowodzić własności obiektów spełniających warunkidefinicji. Na przykład na to, aby dowieść, że każda liczba naturalna posiada jakąś własnośćW wystarczy pokazać, że

1. własność ta przysługuje obiektowi: |oraz

2. jeżeli przysługuje obiektowi σ, to przysługuje obiektowi: σ|.Zob. o wnioskowaniu indukcyjnym w niniejszej książce.


intensjonalne. W wypadku języka intensjonalnego równość zakresów nazwnie gwarantuje, że zastąpienie w jakimś zdaniu jednej nazwy przez innąo takim samym zakresie nie doprowadzi do zmiany wartości logicznej tegozdania.

Język teorii matematycznych jest językiem ekstensjonalnym: zastąpieniejakiejś nazwy przez inną o takim samym zakresie nie zmienia wartości lo-gicznej zdania, w którym tego zastąpienia dokonano. Na przykład „kwadrat”i „prostokąt równoboczny” są nazwami równozakresowymi. Nie znajdziemyzdania z geometrii, w którym zastąpienie nazwy „kwadrat” przez „prostokątrównoboczny” lub na odwrót, zdanie prawdziwe przeprowadzałoby w fał-szywe (a fałszywe w prawdziwe).

Języki naturalne są językami intensjonalnymi (nie są ekstensjonalne).Lech Wałęsa i prezydent RP w roku 1994 to jedna i ta sama osoba. Prawdąjest, że „Lech Wałęsa przeskoczył ogrodzenie Stoczni Gdańskiej”, nie jestzaś prawdą, że „Prezydent Rzeczpospolitej Polskiej z 1994 r. przeskoczyłogrodzenie Stoczni Gdańskiej”. Autorem „Ballad i romansów” jest AdamMickiewicz, ale nie jest prawdą, że „Ballady i romanse” pisał autor „Dziadów”,chociaż autor „Dziadów” i Adam Mickiewicz to jedna i ta sama osoba.

Charakterystyka ekstensjonalna zakresu scharakteryzowanego intensjo-nalnie nie zawsze jest prosta, czasem jest to poważny problem. Problemempraktycznym jest np. rejestr osób chorych na AIDS. Zakres nazwy „choryna AIDS” jest scharakteryzowany intensjonalnie. Z powodów praktycznychzainteresowani jednak jesteśmy jego charakterystyką ekstensjonalną. Każderównanie matematyczne jest charakterystyką intensjonalną zbioru liczb, któreto równanie spełniają. Rozwiązanie równania nie jest niczym innym jakcharakterystyką ekstensjonalną tego zbioru. W teorii mnogości definiuje sięspecjalny operator, operator abstrakcji, który jest znakiem operacji prze-chodzenia od charakterystyki intensjonalnej do ekstensjonalnej.

Mając zbiory (zakresy nazw) scharakteryzowane ekstensjonalnie lub in-tensjonalnie możemy „wytwarzać” zbiory (zakresy nazw) poprzez operacjena tych zbiorach, w szczególności poprzez operacje teoriomnogościowe, jaknp. sumę, iloczyn lub różnicę zbiorów. Tak czysto formalnie można opisaćnp. definicję klasyczną. Definicja klasyczna to charakterystyka przedmiotówpewnego rodzaju poprzez część wspólną zakresów dwóch nazw. Jeden tozakres pojęcia rodzajowego (genus), a do drugiego należą te i tylko te przed-mioty, którym przysługuje pewna cecha, tzw. różnica gatunkowa (differen-tia specifica). Stąd formuła tej definicji: definitio fit per genus proximum etdifferentiam specificam (definicja powstaje za pomocą najbliższego rodzajui różnicy gatunkowej).


Definicja 4.6. Definicja klasyczna to charakterystyka przedmiotów pew-nego rodzaju jako elementów zbioru będącego częścią wspólną zakresówdwóch nazw. Zakres pierwszej z nazw to zakres pojęcia rodzajowego,a zakres drugiej określa tzw. różnicę gatunkową.

W definicji „Człowiek to zwierzę rozumne” pojęciem rodzajowym jestpojęcie zwierzęcia, a różnica gatunkowa to cecha rozumności. Zbiór ludzijest częścią wspólną (iloczynem) zbioru zwierząt i zbioru istot rozumnych5.

4.1.2 Podział logiczny i klasyfikacja

Procedura tworzenia pojęć za punkt wyjścia może brać zakres jednej nazwyi na nim jako zbiorze dokonywać pewnych operacji. Takim zabiegiem jestpodział logiczny zakresu nazwy.

W teorii mnogości dopuszcza się możliwość nieskończenie wielu członówpodziału. Niech BT będzie rodziną zbiorów. Rodzina ta jest podziałemlogicznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicja 4.7. Podział logiczny zakresu nazwy A to klasa zakresów nazwB1, B2, . . . , Bn podrzędnych względem A takich, że

1. każda z nazw B1, B2, . . . , Bn jest niepusta, czyli ma przynajmniej jedendesygnat (warunek niepustości podziału);

2. każdy desygnat nazwy A jest desygnatem przynajmniej jednej z nazwB1, B2, . . . , Bn (warunek zupełności podziału).

3. każdy desygnat nazwy A jest desygnatem co najwyżej jednej z nazwB1, B2, . . . , Bn (warunek rozłączności podziału)6

5Takie definicje pozostają w związku z dwuczłonowymi nazwami składającymi się z na-zwy rodzajowej, np. „Homo” — „człowiek” i epitetu gatunkowego „sapiens” — „rozumny”.Ich rozpowszechnienie zawdzięczamy Linneuszowi (1707–1778). Rozwinął on koncepcjędwuczłonowych nazw roślin, która jest dziełem Kaspra Bauhina (1560–1624).

6W teorii mnogości dopuszcza się możliwość nieskończenie wielu członów podziału.Niech BT będzie rodziną zbiorów. Rodzina ta jest podziałem logicznym zbioru A wtedyi tylko wtedy, gdy:

(a) ∀t∈T Bt 6= ∅,(b)

St∈T Bt = A,

(c) ∀t1, t2∈T (t1 6= t2 ⇒ Bt1 ∩Bt2 = ∅).


Definicja 4.8. Niech klasa zakresów nazw B1, B2, . . . , Bn będzie podziałemlogicznym zakresu nazwy A. Zakres nazwy A jest to zakres dzielony (to-tum divisionis) tego podziału, a zakresy nazw B1, B2, . . . , Bn są członamipodziału (membra divisionis).

Na przykład podział nazw języka polskiego na (1) proste i (2) złożone,spełnia wszystkie warunki poprawnego podziału logicznego. Nazwą, którejzakres dzielimy, jest nazwa „nazwa języka polskiego”. Człony podziału sązakresami nazw: „prosta nazwa języka polskiego”, „złożona nazwa językapolskiego”.

Warunku niepustości nie spełnia podział trójkątów na: (1) takie, którenie mają żadnego kąta prostego, (2) takie, które mają dokładnie jeden kątprosty, i (3) takie, które mają dokładnie dwa kąty proste. Z geometrii wia-domo, że nie ma trójkątów, które miałyby dwa kąty proste. Warunku niepu-stości nie spełnia podział koni na czteronożne i dwunożne. Od strony czystopraktycznej zauważmy, że nie prowadzi się kartoteki, w której pewien dział(podkartoteka) będzie pusty. Ktoś, kto pracuje na komputerze, nie tworzypustej podkartoteki (jeśli nie ma być ona choćby tylko czasowo wypełniana).Prowadzący ewidencję towarów w hurtowni nie będzie tworzył działu w kar-totece towarów sprzedawanych przez hurtownię dla rodzaju towarów, którychta hurtownia nigdy nie sprzedaje.

Warunku zupełności nie spełnia podział trójkątów na: (1) prostokątne,i (2) równoboczne. Istnieją bowiem trójkąty, które nie są ani prostokątne,ani równoboczne. Warunku tego nie spełnia też podział wędlin na szynkii kiełbasy podsuszane.

Warunek rozłączności naruszony jest, gdy dzielimy zbiór trójkątów na:(1) prostokątne, (2) takie, które mają dokładnie dwa kąty ostre, i (3) ta-kie, które mają trzy kąty ostre. Jest tak, ponieważ wszystkie trójkąty mająprzynajmniej dwa kąty ostre, w szczególności wszystkie trójkąty prostokątnemają jeden kąt prosty i dwa kąty ostre. Warunku tego nie spełnia też po-dział gospodarstw na rolnicze, ogrodnicze i sadownicze. Źródłem problemówz rozłącznością podziału logicznego jest nieostrość nazw, których zakresamisą człony podziału. Jeśli nie uczynimy ostrymi nazw „dowód osobowy” i „do-wód rzeczowy (nieosobowy)” to podział dowodów w postępowaniu proceso-wym nie będzie spełniał warunku rozłączności.

Podział jest (powinien być) dokonywany według jakiejś jednej zasady.

Definicja 4.9. Zasada podziału (fundamentum divisionis) to reguła, we-dług której przedmioty ze zbioru dzielonego są elementami poszczególnychczłonów podziału.


W szczególności zasadę tę może stanowić posiadanie lub nieposiadaniepewnej cechy przez przedmiot. Zakres dzielony jest wówczas na dwa zbiory:elementami jednego zbioru są przedmioty, które daną cechę posiadają, a ele-mentami drugiego zbioru są przedmioty, które tej cechy nie posiadają. Naprzykład meble możemy dzielić na: (1) te, które są zrobione z litego drewna,i (2) te, które nie są zrobione z litego drewna.

Definicja 4.10. Podział dychotomiczny to podział, którego jednym czło-nem są wszystkie i tylko te przedmioty z zakresu dzielonego, które posiadająpewną cechę c i którego drugim członem są wszystkie i tylko te przedmiotyz zakresu dzielonego, które cechy c nie posiadają.

Cechy c i nie-c to cechy kontradyktoryczne.Zauważmy, że podział dychotomiczny spełnia zawsze warunki rozłącz-

ności i zupełności podziału. Spełnienie warunku niepustości wymaga, abybrana pod uwagę cecha przysługiwała jakimś przedmiotom, ale nie przysłu-giwała wszystkim przedmiotom zakresu dzielonego. W wypadku tego po-działu jeden z członów podziału jest zakresem nazwy prywatywnej, a drugijest zakresem nazwy nieprywatywnej. Zadania praktyczne wymagają jednakzwykle innego podziału niż dychotomiczny.

W wypadku podziału dychotomicznego zakres dzielony jest na dwa człony.Podział wieloczłonowym to podział, który ma więcej niż dwa człony.

W zależności od zasady podziału mówimy o podziale genetycznym, struk-turalnym, funkcjonalnym.

Dokonanie podziału logicznego według jednej zasady jest ważne. W wy-padku gdyby tak nie było, podział może nie spełniać warunku rozłącznościlub zupełności. Na przykład podział trójkątów na trójkąty prostokątne (ro-dzaj kątów) i na trójkąty równoramienne (rodzaj boków) nie spełnia warun-ków rozłączności i zupełności. Podział tworzy się według odmian jednej cechyogólnej. Ta cecha to determinanda, jej odmiany to determinanty. Butymożemy dzielić według rodzaju osób, dla których są przeznaczone (determi-nanda). Mogą to być buty dziecięce, damskie i męskie (są to determinanty).

Wyszczególnione trzy warunki poprawnego podziału logicznego: niepu-stości, rozłączności i zupełności mają charakter formalny.

Definicja 4.11. Formalnie poprawny podział logiczny to podział, któryjest niepusty, rozłączny i zupełny.

Jasne jest, że podział musi mieć jakiś cel. Możemy więc mówić o niefor-malnych warunkach poprawności podziału.

Definicja 4.12. Pragmatycznie poprawny podział logiczny to po-dział, który służy jakimś celom teoretycznym lub praktycznym.


Nie jest celowy, jak się zdaje, podział komputerów ze względu na ko-lor obudowy, celowy jest zaś podział ze względu na monitor: kolorowy lubczarno-biały. Kolor wykładziny podłogowej ma znaczenie i może stanowićzasadę podziału tych wyrobów. Dla botanika ważnym i płodnym podzia-łem jest podział roślin kwiatowych na nago- i nienagonasienne. Nie jest zaśużyteczny podział na te, które podobają się i te, które nie podobają się Zosi.

Podział logiczny jest pragmatycznie poprawny, gdy jest naturalny. Na-turalny podział logiczny to podział dokonany według takiej zasady po-działu odwołującej się do cech, że przedmioty znajdujące się w jednym czło-nie podziału mają wiele cech wspólnych. Ponadto zasada ta podporządko-wana jest celowi podziału. Podział, który nie jest naturalny to podziałsztuczny. Podział książek w bibliotece według ich formatu jest podzia-łem sztucznym. Taki zaś podział książek w pakowni może być przydatnyi naturalny.

Każdy człon podziału sam może podlegać podziałowi. Zakres nazwy„samochód” może zostać podzielony według marek samochodów: Mercedes,BMW, Opel, Peugeot, Renault itd. Następnie możemy dzielić marki wedługtypów. Podobnie czyny ludzkie możemy podzielić na zakazane przez prawo(np. napad rabunkowy) i na nie zakazane przez prawo. Czyny nie zakazaneprzez prawo możemy podzielić na czyny nakazane przez prawo (np. obowią-zek służby wojskowej) i na czyny nie nakazane przez prawo (np. podjęciestudiów prawniczych). Taki zwielokrotniony podział, gdy człony jednegopodziału podlegają dalszemu podziałowi, to klasyfikacja.

Zwielokrotnienie podziału prowadzi do coraz nowych nazw (zbiorów jakoich zakresów). Nazwy (zbiory) te mogą być porównywane ze względu na to,w wyniku którego kolejnego podziału zostały otrzymane. Podamy definicjęindukcyjną nazw (zbiorów) współrzędnych.

Definicja 4.13 (Nazwy współrzędne ze względu na podział).

1. Nazwy, których zakresami są człony podziału to nazwy współrzędne.

2. Jeżeli nazwy n1 i n2 są współrzędne, to współrzędne są nazwy otrzy-mane w wyniku podziału zakresów nazw n1 i n2.

3. Nie ma innych nazw współrzędnych niż te, których współrzędność dajesię stwierdzić zgodnie z pkt.1 i 2.

Zamiast mówić o nazwach współrzędnych możemy mówić o zbiorachwspółrzędnych jako ich zakresach. Podział studentów według rocznika stu-diów wyznacza jako nazwy współrzędne: „student I roku studiów”, „student


II roku studiów” itd. Współrzędne będą również nazwy otrzymane ze zwie-lokrotnienia tego podziału przez podział na otrzymujących i nieotrzymują-cych stypendium, czyli współrzędne są nazwy: „student I roku otrzymującystypendium”, „student I roku nieotrzymujący stypendium”, „student II rokuotrzymujący stypendium”, „student II roku nieotrzymujący stypendium” itd.

Klasyfikacja przedmiotów pewnego rodzaju (zakresu nazwy) to zwielo-krotniony (wielostopniowy) podział logiczny, w którym zbiorami dzielonymisą zbiór przedmiotów pewnego rodzaju, człony podziału tego zbioru i ewen-tualnie człony kolejnych podziałów logicznych.

Pojęcie n-stopniowej klasyfikacji definiowane jest indukcyjnie.

Definicja 4.14 (N -stopniowej klasyfikacji zakresu nazwy U).

1. Jednostopniową (1-stopniową) klasyfikacją zakresu nazwy U jest po-dział logiczny zakresu nazwy U .

2. Podział logiczny (niekoniecznie wszystkich) zakresów nazw współrzęd-nych otrzymanych w wyniku klasyfikacji k-stopniowej jest (k + 1)-stopnia klasyfikacją zakresu nazwy U .

3. Nie ma innych klasyfikacji n-tego stopnia niż te, które tworzone sązgodnie z pkt. 1 i 2.

Dobrze napisany tekst jest podzielony na rozdziały, te zaś są podzielonena podrozdziały itd. Klasyfikacja tekstu może być opisana za pomocą sym-boli liczbowych. Poszczególne człony są tego samego rzędu jeśli ich opisliczbowy jest tyle samo członowy. Szeroko znana jest klasyfikacja świataroślinnego7 i zwierzęcego, która dała podstawę dla systematyki roślin i zwie-rząt.

Wielkim odkryciem naukowym dokonanym przez Mendelejewa był układokresowy pierwiastków. Jest to klasyfikacja pierwiastków oparta o budowęatomową. Pierwiastki w poszczególnych członach podziału mają wiele wspól-nych istotnych własności, o których mówi prawo okresowości.

Klasyfikacja ma wymiar wiedzotwórczy. Obejmując wszystkie przed-mioty z dziedziny rozważań porządkuje wiedzę poprzez prawa rządzące przed-miotami z poszczególnych członów podziału a także, będąc oparta na natu-ralnych własnościach przedmiotów ułatwia pozyskanie nowej wiedzy.

Definicja 4.15. Systematyka to praktyczne przyporządkowanie przedmio-tów pewnego rodzaju członom podziału w klasyfikacji tych przedmiotów.

7Pierwszą klasyfikację roślin opracował w 1737 r. szwedzki przyrodnik Karol Lineusz.


Klasyfikacja jest zabiegiem czysto teoretycznym. Człony składającychsię na nią podziałów mogą być scharakteryzowane (intensjonalnie) przez ce-chy przedmiotów (które do nich należą). Dla potrzeb praktycznych nie-zbędna jest odpowiedź, do których członów podziału należą poszczególneprzedmioty, czyli potrzebna jest charakterystyka ekstensjonalna poszczegól-nych członów podziału. Jest to zadanie systematyki. Systematyka określamiejsce poszczególnych przedmiotów w członach klasyfikacji (w której ta sys-tematyka ma swoją podstawę teoretyczną). Na przykład botanik systematykpo określeniu cech rośliny wskazuje jej miejsce w klasyfikacji roślin.

Z problemami dokonania poprawnego podziału logicznego, klasyfikacjii systematyki spotykamy się na co dzień. Może to być sprawa uporządkowa-nia książek w domowej biblioteczce lub ułożenia odzieży w szafach. Mamyproblem z wygodnym i prostym uporządkowaniem zbiorów na dysku kompu-terowym. Problemy z podziałem ma hurtownik i sprzedawca. Po dokonaniupodziału (jako abstrakcyjnego zabiegu myślowego) podejmujemy decyzje wsprawie poszczególnych przedmiotów, gdzie jest ich miejsce.

Prawnik jako kodyfikator musi dokonać poprawnego podziału kwestii re-gulowanych w ustawie. Nie jest sprawą prostą podział logiczny przepisóww kodeksie. Ustawa winna być przejrzysta, czyli poszczególne kwestie nie po-winny być regulowane przez przepisy z różnych jej działów (warunek rozłącz-ności podziału). Ustawa winna regulować wszystkie zagadnienia z zakresu,który obejmuje, czyli winna być kompletna, niczego nie pomijać (warunekzupełności podziału logicznego). Podział powinien być dokonany według za-sady naturalnej. Sztuczny podział tworzyłby dużą przeszkodę z rozumieniui stosowaniu ustawy.

Od podziału logicznego należy odróżnić podział fizyczny.

4.1.3 Partycja

Podział logiczny to podział zbioru w sensie dystrybutywnym. Jeśli zbiórten jest zakresem nazwy N , to wszystkie jego elementy są desygnatami tejnazwy. Inaczej jest w wypadku zbioru w sensie kolektywnym. O elementachtakiego zbioru mówimy, że są częściami tego zbioru. Otóż jeśli zbiór w sen-sie kolektywnym jest desygnatem nazwy N , to żaden jego element-część niejest desygnatem tej nazwy. Podział zbioru w sensie kolektywnym należy od-różnić od podziału zbioru w sensie dystrybutywnym. Każdy element zbiorużołnierzy jest żołnierzem. Zbiór ten jest bowiem zbiorem w sensie dystrybu-tywnym. Pułk dzielony jest np. na bataliony, a te na kompanie. Żadna częśćpułku nie jest pułkiem. Pułk jest zbiorem w sensie kolektywnym. Podobniezbiorem w sensie kolektywnym jest batalion i kompania. Terytorium państwa


dzielone jest na województwa, a te na gminy. Gminy to części województwi państwa. Województwa to części państwa. Żadna część województwa niejest województwem. Żadna część gminy nie jest gminą.

Definicja 4.16. Partycja (podział mereologiczny) przedmiotu to wy-różnianie jego części.

Podział terytorialny jest partycją8, a nie podziałem w sensie logicznym.Nazwy „województwo” i „gmina” mają rozłączne zakresy. Gmina jest częściąwojewództwa, a nie elementem zakresu nazwy „województwo”. Podział stołuna jego części składowe to także partycja. Noga od stołu jest częścią stołui nie należy do zakresu nazwy „stół” (bo nie jest stołem). Z problemem par-tycji mamy do czynienia w wypadku nazw zbiorowych, a więc tych, którychdesygnaty są konglomeratami, przedmiotami złożonymi. Konceptualizacjaw wypadku tworzenia pojęcia przez partycję uwzględnia całość, której częściąjest obiekt, pojęcie którego tworzymy. Na przykład ministerstwo będziemyopisywać jako część składową rządu. Podobnie gminę opisujemy jako częśćpowiatu, ten jako część województwa a województwo jako część kraju.

Podział może m.in. być przestrzenny: dyspozycja i szeregowanie lubczasowy: periodyzacja.

Człony podziału są policzalne — charakteryzowane mogą być przez liczbęelementów. Części podziału merologicznego charakteryzowane mogą być ja-kąś miarą wielkości. Na przykład w wypadku podziału terytorialnego krajuczęści tego podziału mogą być charakteryzowane przez ilość hektarów, jakiezajmuje ich obszar.

Można wskazać następujące warunki poprawności logicznej partycji.Niech U będzie przedmiotem dzielonym merologicznie na przedmioty:

C1, C2, . . . Cn. Podział jest poprawny jeśli:

1. każda z części C1, C2, . . . Cn ma wielkość— niepustość podziału merologicznego (partycji),

2. przedmioty C1, C2, . . . Cn nie mają części wspólnej— rozłączność podziału merologicznego (partycji),

3. nie ma takiej części przedmiotu U , która nie byłaby częścią któregośz przedmiotów przedmiotów C1, C2, . . . Cn

— zupełność podziału merologicznego (partycji).

Podane warunki są warunkami koniecznymi poprawności podziału mero-logicznego. Uznać je można również za warunki wystarczające.

8Od greckiego słowa oznaczającego bryłę.


Podane warunki poprawności podziału merologicznego spełnia podziałterytorialny kraju na województwa.

Części przedmiotu, który podlega podziałowi merologicznemu same mogąpodlegać dalszej partycji (podziałowi merologicznemu). W wypadku po-działu kraju województwa dzielone są na powiaty a te na gminy. Możemymówić tu o trzystopniowym podziale merologicznym kraju. Stopień podziałumierzymy biorąc pod uwagę stopień przedmiotu jako wyniku partycji. Przed-miot wyjściowy bierzemy jako przedmiot stopnia 0. Jeśli przedmiot jestprzedmiotem k-tego stopnia, to części wyróżnione z niego przez kolejną par-tycję będą stopnia (k + 1).

4.1.4 Definicja przez abstrakcję

Pewnym sposobem konceptualizacji metodą podziału logicznego jest defini-cja przez abstrakcję.

Przypomnijmy, że relacja równoważności to relacja zwrotna, symetrycznai przechodnia, a pole relacji to zbiór wszystkich przedmiotów, które mogąpozostawać w tej relacji.

Definicja 4.17. Klasą abstrakcji relacji równoważności R wyzna-czoną przez przedmiot p jest zbiór [p]R wszystkich i tylko tych przedmio-tów, które pozostają w relacji R z przedmiotem p.

Relacja bycia z tego samego rocznika jest w zbiorze ludzi relacją równo-ważności. Klasą abstrakcji tej relacji wyznaczona przez Jana, który urodziłsię w 2006 r. jest zbiór wszystkich i tylko tych ludzi, którzy urodzili sięw 2006 r. Rocznik to klasa abstrakcji tej relacji.

Zasada abstrakcji głosi, że zbiór wszystkich klas abstrakcji wyznaczo-nych przez elementy pola relacji równoważności jest podziałem logicznympola tej relacji. Zauważmy, że każda klasa abstrakcji jest niepusta. Przy-najmniej jeden przedmiot do niej należy, mianowicie przedmiot, który jąwyznacza — ponieważ relacja równoważności jest zwrotna. Spełniony jestwarunek zupełności. Każdy element pola relacji równoważności wyznaczajakąś klasę abstrakcji. Ze zwrotności tej relacji zaś wynika, że każdy elementnależy do tej klasy, którą wyznacza. Pokazanie, że spełniony jest warunekrozłączności, czyli warunek, że przedmioty należące do pola relacji równo-ważności należą do co najwyżej jednej klasy abstrakcji, wymaga skorzystaniaz faktu, że relacja równoważności jest symetryczna i przechodnia.

Można pokazać również, że jeżeli mamy jakiś podział logiczny zbioru,to relacja R taka, że dwa przedmioty z tego zbioru pozostają w relacji Rwtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego członu podziału, jest relacją


równoważności. Ponadto dowodzi się, że klasy abstrakcji tej relacji są równeczłonom tego podziału logicznego.

Klasy abstrakcji relacji równoważności charakteryzują w sposób jedno-znaczny przedmioty pewnego rodzaju. Mogą więc być wykorzystane w kon-ceptualizacji.

Definicja 4.18. Definicja przez abstrakcję to charakterystyka przed-miotów pewnego rodzaju jako klasy abstrakcji wyznaczonej przez pewienprzedmiot z pola określonej relacji równoważności.

Pasterz liczył swoje owce dokonując nacięć na kiju: tyle było nacięć, ilebyło owiec. Dziecko na paluszkach pokazuje, ile ma cukierków: tyle, ile po-kazuje paluszków. Tak liczyli też pierwotni ludzie. Ta procedura liczeniaopiera się na relacji równoliczności, czyli relacji, która elementom jednegozbioru przyporządkowuje dokładnie jeden element drugiego zbioru i odwrot-nie. Inaczej, elementom jednego zbioru w sposób wzajemnie jednoznacznyprzyporządkowuje elementy drugiego zbioru. Na przykład elementom zbiorupalców lub nacięć na kiju wzajemnie jednoznacznie przyporządkowuje ele-menty zbioru liczonego.

Relacja równoliczności zbiorów jest relacją równoważności.Każdy zbiór jest równoliczny z samym sobą. Dla każdego zbioru ist-

nieje bowiem funkcja, która w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowujeten zbiór na siebie, a mianowicie: x = f(x). Spełniony jest więc warunekzwrotności.

Symetryczność wynika z faktu, że jeżeli zbiór A jest równoliczny ze zbio-rem B, to istnieje funkcja f , która w sposób wzajemnie jednoznaczny od-wzorowuje zbiór A na zbiór B :

f : A → B.

Funkcja odwrotna do f , czyli funkcja f−1 : B → A zdefiniowana następująco:

x = f−1(y) wtedy i tylko wtedy, gdy y = f(x),

w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór B na zbiór A, zatemzbiór B jest równoliczny ze zbiorem A.

Przechodniość wynika z tego, że jeżeli A jest równoliczne z B, a B rów-noliczne z C, to istnieje funkcja f : A → B, która w sposób wzajemnie jedno-znaczny odwzorowuje zbiór A na zbiór B i istnieje funkcja f1 : B → C, któraw sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór B na zbiór C. Funkcjaf2 taka, że

f2(x) = f1(f(x))


jest funkcją, która w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór Ana zbiór C. Relacja równoliczności dzieli klasę zbiorów na podklasy zbiorówrównolicznych.

Można przyjąć, że pojęcia liczb zostały ukształtowane na drodze abstrak-cji, czyli odrzucenia wszystkiego, co różniło zbiory równoliczne. Zostało to,co było wspólne: liczba. Wyrażając się bardziej technicznie: liczba to klasaabstrakcji relacji równoliczności. Na przykład liczba 3 to klasa abstrakcjirelacji równoliczności wyznaczona przez zbiór trójelementowy.

Innym przykładem tworzenia pojęć na drodze definicji przez abstrakcjęjest definiowanie kolorów. Relacja równobarwności jest relacją równoważno-ści. Tworzy się klasy abstrakcji tej relacji. Kolor to klasa abstrakcji relacjirównobarwności. Kształt zaś to klasa abstrakcji relacji równokształtności.

Biorąc relację równoczesności zdarzeń definiuje się moment czasowy jakoklasę abstrakcji tej relacji9.

4.1.5 Pojęcia porządkujące i typologiczne

Problem pojęcia czasu, o którym była wyżej mowa, nie zamyka się na poję-ciu momentu czasowego. Chcemy czas mierzyć. Podobnie chcemy mierzyćjakość wyrobów, chcemy znać stopień zainteresowania konsumentów jakimśproduktem lub usługą. Pojęć tych nie da się zdefiniować korzystając tylkoz relacji równoważności, potrzebne są jeszcze relacje porządkujące. W kon-ceptualizacji, najogólniej rzecz biorąc, można wykorzystywać konstrukcje,struktury złożone ze zbiorów i z różnych relacji. Takie struktury — struk-tury relacyjne — opisuje się jako układy 〈Z1, . . .Zm,R1, . . . ,Rn〉, gdzie Zi

to zbiór, a Rj to relacja, której członami są elementy zbiorów Zi, 0 ≤ i ≤ n.

Definicja 4.19. Relacja W jest relacją wyprzedzania związaną z rela-cją równoważności R wtedy i tylko wtedy, gdy relacja W jest:

1. przechodnia,czyli dla każdego x, y, z: jeśli xWy i yWz, to xWz;

2. R-owo przeciwsymetryczna,czyli dla każdego x, y: jeśli xRy, to nie−(yWx);

3. R-owo spójna,czyli dla każdego x, y: jeśli nie−(xRy), to (xWy lub yWx).

9Okazuje się, że relacja równoczesności jest relacją równoważności w wypadku czasuklasycznego. W wypadku czasu relatywistycznego ta relacja nie spełnia warunku przechod-niości. W związku z tym rozważa się inną możliwość definiowania momentu czasowego(i innych pojęć abstrakcyjnych) niż jako klasy abstrakcji relacji równoważności.


Zauważmy, że warunek 2 wyklucza możliwość, by przedmioty równo-ważne ze względu na R były w stosunku wyprzedzania W. Warunek 3gwarantuje zaś, że dowolne dwa przedmioty nie będące równoważnymi zewzględu na R, są ze sobą porównywalne ze względu na stosunek wyprzedza-nia W.

Pojęcia porządkujące tworzymy biorąc relację równoważności i związanąz nią relację wyprzedzania.

Definicja 4.20. Pojęcie porządkujące (nazwa porządkująca) definio-wane jest przez strukturę 〈Z,R,W〉, gdzie Z jest zbiorem, R relacją rów-noważności, a W związaną z nią relacją wyprzedzania. Polem relacji R i Wjest zbiór Z.

Po wprowadzeniu do zbioru zdarzeń relacji równoczesności można byłozdefiniować moment czasowy. Aby zdefiniować czas, do zbioru zdarzeń opróczrelacji równoczesności trzeba dołączyć związaną z nią relację wcześniej-później,W-P.

Relacja równoczesności jest relacją równoważności. RelacjaW-P w zbio-rze zdarzeń rozumianych w sensie fizyki klasycznej jest relacją przechodnią— spełniony jest więc warunek 1. Jest też R-owo przeciwsymetryczna: jeżelidwa zdarzenia są równoczesne, to nie pozostają w relacji wcześniej-później— spełniony jest więc warunek 2. Relacja wcześniej-później jest w zbiorzezdarzeń R-owo spójna: z dowolnych dwóch nierównoczesnych zdarzeń jednojest wcześniejsze od drugiego — tym samym spełniony jest warunek 3. Takopisany czas daje się mierzyć.

Czas jest strukturą złożoną ze zbioru zdarzeń oraz dwóch relacji określo-nych na tym zbiorze: 〈T ,R,W-P〉, gdzie T jest zbiorem zdarzeń, R — jestrelacją równoczesności, a W-P jest związaną z R relacją wcześniej-później.

Podobnie możemy zdefiniować jakość produktu. Tym razem bierzemyzbiór wyrobów pewnego rodzaju, relację równej jakości oraz związaną z niąrelację bycia lepszej jakości.

Tego rodzaju pojęciami jak czas i jakość produktu są też pojęcia twar-dości minerałów, siły wiatru w skali Beauforta, ilorazu inteligencji.

Pozostaje problem skali pomiaru. Inna będzie ona w wypadku czasu —mogą to być pewne liczby ze zbioru liczb rzeczywistych. W wypadku jakości,jeśli wprowadza się liczby, zwykle jest to kilka liczb porządkowych, np. jakośćpierwsza, jakość druga. Problem pomiaru jest przedmiotem teorii pomiaru.

W ekonomii, naukach społecznych i humanistyce, oprócz pojęć porządku-jących wyżej omówionego rodzaju — nazwiemy je pojęciami porządkującymijednowymiarowymi — używamy pojęć porządkujących wielowymiarowych.


Chcę ocenić pracownika. Ocenę tę przeprowadzam nie według stopnia na-silenia jednej cechy, lecz kilku ważnych ze względu na rodzaj zatrudnieniatego pracownika. Mogą to być np. przezorność, pracowitość, solidność fi-nansowa. Mam wystawić studentowi ocenę. Uwzględniam wiele aspektów,cech ocenianej pracy. Gdyby wziąć pod uwagę stopień nasilenia tylko jed-nej cechy, to mielibyśmy pojęcie porządkujące jednowymiarowe. Ważne jestjednak uwzględnienie pozostałych.

Definicja 4.21. Pojęcie porządkujące n-wymiarowe (nazwa porząd-kująca n-wymiarowa) to pojęcie definiowane przez strukturę:

〈Z,R1, . . . ,Rn,W1, . . . ,Wn〉,

gdzie Wi jest relacją wyprzedzania związaną z relacją równoważności Ri,1 ≤ i ≤ n, a polem wszystkich relacji R1, . . . ,Rn,W1, . . . ,Wn jest zbiór Z.

Strukturę definiującą pojęcie porządkujące n-wymiarowe tworzą relacjerówności pod względem nasilenia pewnej cechy oraz towarzyszące im relacjewyprzedzania pod względem nasilenia tej cechy. Pojęcie porządkujące n-wymiarowe jest jakby zlepkiem pojęć porządkujących jednowymiarowych.

W wypadku pojęć porządkujących wielowymiarowych komplikuje się spra-wa pomiaru rozumianego jako odwzorowanie na skali uporządkowanej li-niowo. Niezbędne jest wówczas sprowadzenie pojęcia porządkującego wielo-wymiarowego do pojęcia porządkującego jednowymiarowego. Mamy z tymdo czynienia w sytuacjach praktycznych, np. gdy chcemy z grona pracowni-ków wybrać najlepszego, gdy wystawiamy studentowi ocenę (musimy wybraćjedną z kilku na skali liczbowej).

Pojęcia porządkujące dają podstawę do utworzenia pojęć typologicznych.Pojęciami typologicznymi są pojęcia ustroju demokratycznego, systemu wol-norynkowego, jazzu, baroku, mody, urody.

Pojęcia typologiczne charakteryzują się tym, że odnoszą do tych przed-miotów, które posiadają w wystarczającym stopniu cechy ujęte w pojęciu-typie. Powiemy o kimś, że jest człowiekiem racjonalnym, jeśli ten ktoś po-siada w wystarczającym stopniu cechy, które uważamy za istotne dla czło-wieka racjonalnego. Przedmiot, który posiadałby je w pełni, byłby typemczłowieka racjonalnego. Typy pojęć tworzone mogą być w różny sposób.

Definicja 4.22. Typ krańcowy polega na wzięciu pod uwagę maksymal-nego nasilenia cech branych pod uwagę i minimalnego nasilenia tych cech(jeśli cechy dają się porównywać).


Typy krańcowe otrzymują nazwy. Na przykład „ustrój demokratyczny”— „ustrój totalitarny”; „gospodarka wolnorynkowa” — „gospodarka central-nie planowana”.

Definicja 4.23. Typ modalny tworzony jest przez branie pod uwagę tychwszystkich cech, które przysługują większości przedmiotów.

Definicja 4.24. Zakresem typu przeciętnego jest zbiór wszystkich przed-miotów, którym brane pod uwagę cechy przysługują w stopniu przeciętnym.

Wyróżnione wyżej typy dają podstawę dla tworzenia typów mieszanych.Warto tu zauważyć, że może się zdarzyć, iż realnie nie istnieje żaden

przedmiot, który byłby przedmiotem typowym. Mówimy wówczas, że jestto typ idealny. Gdy istnieje co najmniej jeden przedmiot-typ, to mówimyo typie empirycznym. Na rewię mody można spojrzeć jako na prezentacjętypów empirycznych strojów modnych w sezonie.

Definicja 4.25. Pojęcie typologiczne (nazwa typologiczna) definio-wane jest przez pojęcie-typ i stopień nasilenia cech składających się napojęcie-typ.

To, jakie ma być nasilenie cech, składających się na pojęcie-typ w naucejest precyzowane; w życiu codziennym kierujemy się w tej sprawie intuicją.

Definicja 4.26. Pojęcie klasyfikujące (nazwa klasyfikująca) to pojęcieokreślone przez zbiór, którego elementami są te i tylko te przedmioty, doktórych to pojęcie się odnosi.

Dla pojęć klasyfikujących charakterystyczne jest to, że dzielą, klasyfi-kują zbiór wszystkich przedmiotów dziedziny rozważań na te, które są ichdesygnatami i te, które nie są ich desygnatami. Można je opisać jako poję-cia porządkujące, których strukturę tworzy relacja równoważności dzielącazbiór przedmiotów na dwie klasy — jedną tworzą desygnaty pojęcia, drugąprzedmioty nie będące jego desygnatami — i pusta relacja W (żaden przed-miot nie pozostaje z drugim w relacji wyprzedzaniaW ze względu na relacjęrównoważności R).

Zakresem nazw ostrych jest zbiór w zwykłym sensie (zbiór klasyfikujący).Nazwy typologiczne są nieostre. Ich zakresy nie są zbiorami w zwykłymsensie.

Podział logiczny zakresu nazwy jest wyznaczany przez klasę pojęć klasy-fikujących. Podobnie, mając na uwadze pojęcia typologiczne można mówićo podziale typologicznym.


Definicja 4.27. Podziałem typologicznym zakresu nazwy N jest klasaN1, N2, . . . nazw typologicznych wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są na-stępujące warunki:

1. każda z nazw N1, N2, . . . jest niepusta— warunek niepustości,

2. dla każdych dwóch nazw Ni, Nj ; i 6= j, istnieje przynajmniej jedendesygnat nazwy N , który jest desygnatem dokładnie jednej z nazwNi, Nj

— osłabiony warunek rozłączności,

3. każdy desygnat nazwy N jest desygnatem przynajmniej jednej z nazwN1, N2, . . .— warunek zupełności.

Definicje podziału logicznego i podziału typologicznego różnią się warun-kiem 2, osłabionym warunkiem rozłączności. Osłabiony warunek rozłączno-ści ma zagwarantować to, że żaden z członów podziału nie jest podrzędnywzględem innego. Warunek ten mógłby być inaczej sformułowany, np. w wy-padku nazw typologicznych wyznaczonych przez typy empiryczne mógłby tobyć warunek:

4. Zbiory przedmiotów wyznaczających typy empiryczne są parami roz-łączne.

Warunek ten ograniczony do typów empirycznych nie różni się więc sformu-łowaniem od warunku rozłączności podziału logicznego.

Warunek 2, osłabiony warunek rozłączności, winien być tak sformuło-wany, aby podział logiczny był podziałem typologicznym.

Mając pojęcie podziału typologicznego możemy wprowadzić pojęcie kla-syfikacji typologicznej, jako zwielokrotnionego podziału typologicznego.

Pojęcie n-stopniowej klasyfikacji typologicznej definiowane jest indukcyj-nie.

Definicja 4.28 (N -stopniowej klasyfikacji typologicznej zbioru U).1. Jednostopniową klasyfikacją typologiczną zakresu nazwy U jest podział

typologiczny zakresu tej nazwy.

2. Podział typologiczny (niekoniecznie wszystkich) zakresów współrzęd-nych nazw typologicznych10 otrzymanych w wyniku typologicznej kla-

10Definicja nazw współrzędnych dla podziału typologicznego nie różni się od definicjidla podziału logicznego. Oczywiście, w każdym wypadku mamy na uwadze odpowiednipodział: typologiczny lub logiczny.

4.2. DEFINIOWANIE 385

syfikacji k-stopniowej jest (k + 1)-stopnia typologiczną klasyfikacją za-kresu nazwy U .

3. Nie ma innych typologicznych klasyfikacji n-tego stopnia niż te, któretworzone są zgodnie z pkt. 1 i 2.

Pojęcie klasyfikacji typologicznej jest takie, że klasyfikacja jest klasyfika-cją typologiczną. Ponieważ podział logiczny jest podziałem typologicznym,więc tworzące klasyfikację typologiczną wielokrotne podziały jedne mogą byćpodziałami logicznymi a inne typologicznymi (w sensie węższym).

4.2 Definiowanie

Procedura tworzenia pojęć opisywana jest w języku. To sprzężenie koncep-tualizacji z językiem daje ścisły jej związek z definiowaniem (w sensie wła-ściwym). Mówiąc teraz o definiowaniu będziemy mieli na uwadze określanieznaczenia wyrażeń, czyli definicje to definicje nominalne11.

Definicja 4.29. Definiowanie to operacja językowa prowadząca do wzbo-gacenia języka o nowe wyrażenie i sposób jego rozumienia lub tylko o nowysposób rozumienia jakiegoś wyrażenia (już istniejącego w języku). Znaczeniewyrażenia definiowanego podaje definicja (nominalna).

Definicje mogą się różnić budową, zakresem wypełnienia swojej roli, spo-sobem definiowania, sposobem zapisania, rodzajem zadań. Definiowanie maswoje ograniczenia. Warunki poprawności definicji zależą od jej rodzaju.

4.2.1 Budowa definicji

Definicja zasadniczo składa się z członu zawierającego definiowane wyraże-nie (definiendum) i członu definiującego (definiens) połączonych spój-nikiem definicyjnym (copula).

W definicji: „kwadrat jest to prostokąt równoboczny” wyraz „kwadrat”to definiendum, wyrażenie „prostokąt równoboczny” — definiens, spójnikiemdefinicyjnym jest „ jest to”. „Jest to” jest tu użyte dla stwierdzenia równościzakresów definiendum i definiensa. W definicji rodzeństwa: „dwie osobysą rodzeństwem wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólnego ojca lubwspólna matkę” wyrażenie „dwie osoby są rodzeństwem” to definiendum,„wtedy i tylko wtedy, gdy” to spójnik definicyjny a „mają one wspólnegoojca lub wspólna matkę” to definiens.

11Od łacińskiego nomen — nazwa.


W wypadku ogólnym definiendum może składać się tylko z wyrażeniadefiniowanego lub może być zbudowane nie tylko z wyrażenia definiowanego.Spójnik definiujący zaś może być użyty nie tylko dla stwierdzenia równo-ści zakresów definiendum i definiensa. Może być tak, że spójnik ten służydo stwierdzenia zawierania się zakresu definiendum w zakresie definiensa,albo odwrotnie — zakresu definiensa w zakresie definiendum. W wypadku,gdy definiendum i definiens są zdaniami, spójnik definicyjny może służyćdo stwierdzenia równoważności tych zdań, albo do stwierdzenia zachodze-nia stosunku implikacji bądź z definiendum w roli poprzednika i definiensemw roli następnika, bądź odwrotnie — z definiensem w roli poprzednika i de-finiendum w roli następnika.

4.2.2 Podział definicji ze względu na pełność

W wypadku, gdy nazwa N1 jest nadrzędna względem nazwy N2, każdy de-sygnat nazwy N2 jest desygnatem nazwy N1. A zatem na to, aby danyprzedmiot był desygnatem nazwy N2 konieczne jest, aby był desygnatemnazwy N1. To jednak nie wystarcza. Są bowiem desygnaty N1, które nie sądesygnatami N2.

W wypadku, gdy nazwa N1 jest podrzędna względem nazwy N2, każdydesygnat nazwy N1 jest desygnatem nazwy N2. A więc na to, aby danyprzedmiot był desygnatem nazwy N2 wystarcza, aby był desygnatem nazwyN1. To jednak nie jest konieczne. Są bowiem desygnaty N2, które nie sądesygnatami N1.

W wypadku, gdy nazwy N1 i N2 są równozakresowe, to na to, aby przed-miot był desygnatem nazwy N1 potrzeba i wystarcza, aby był on desygnatemnazwy N2.

Może się zdarzyć, że nazwa nie daje się zdefiniować poprzez wskazanienazwy, która ma to samo znaczenie. Możemy jednak częściowo zdefiniowaćtę nazwę wskazując nazwę względem niej nadrzędną lub nazwę względemniej podrzędną. W pierwszym wypadku powiemy, że zdefiniowaliśmy tę na-zwę tylko poprzez warunek konieczny, a w drugim wypadku powiemy, żezdefiniowaliśmy ją tylko poprzez warunek wystarczający.

W wypadku definiowania tylko poprzez warunek konieczny, zakres nazwydefiniowanej będzie węższy niż zakres nazwy, za pomocą której definiujemy.W wypadku definiowania tylko poprzez warunek wystarczający, zakres na-zwy definiowanej będzie szerszy niż zakres nazwy, za pomocą której definiu-jemy. W wypadku definiowania poprzez warunek konieczny i wystarczający,zakres nazwy definiowanej jest równy zakresowi nazwy, za pomocą którejdefiniujemy. W tym wypadku powiemy, że definicja jest adekwatna.


Powiedzmy, że ktoś nie potrafi dokładnie powiedzieć, co znaczy wyraz„ssak”. Ten ktoś może powiedzieć, że ssaki są kręgowcami. Definiuje więcwyraz „ssak” poprzez warunek konieczny. Zakres definiowanej nazwy „ssak”jest węższy niż zakres nazwy „kręgowiec”, za pomocą której definiuje się.

Może być tak, że koniunkcja kilku warunków koniecznych tworzy wa-runek wystarczający. Wówczas ta koniunkcja warunków koniecznych jestwarunkiem koniecznym i wystarczającym. W wypadku definicji nazwy, na-zwa ta zostaje zdefiniowana poprzez nazwę z nią równozakresową. Warun-kiem koniecznym bycia kwadratem jest bycie prostokątem. Warunkiem ko-niecznym jest też posiadanie wszystkich boków równych. Oba te warunkiłącznie tworzą warunek konieczny i wystarczający — kwadrat to prostokątrównoboczny. Nazwa „prostokąt równoboczny” adekwatnie definiuje wyraz„kwadrat”.

Nazwę „obywatel polski” można zdefiniować poprzez warunek wystarcza-jący: jest to ktoś, kogo rodzice są obywatelami polskimi i kto nie utraciłprawa do obywatelstwa polskiego. Nazwa „obywatel polski” została tu zde-finiowana tylko poprzez warunek wystarczający. Zakres nazwy „obywatelpolski” jest szerszy niż zakres nazwy „ktoś, kogo rodzice są obywatelami pol-skimi i kto nie utracił prawa do obywatelstwa polskiego”.

Może być tak, że alternatywa kilku warunków wystarczających tworzywarunek konieczny. W wypadku, gdy mamy do czynienia z nazwą, możemyją wówczas zdefiniować poprzez nazwę z nią równozakresową. Na to np., abybyć obywatelem polskim wystarczy urodzić się w rodzinie obywateli polskichi nie utracić prawa do obywatelstwa polskiego. Również wystarczy uzyskaćpozytywną decyzję władz polskich na wniosek o przyznanie obywatelstwapolskiego. Alternatywa obu warunków wystarczających jest warunkiem ko-niecznym i wystarczającym. Nazwa „ktoś, kogo rodzice są obywatelami pol-skimi i kto nie utracił prawa do obywatelstwa polskiego lub ktoś, kto uzyskałpozytywną decyzję władz polskich na wniosek o przyznanie obywatelstwapolskiego” adekwatnie definiuje wyrażenie „obywatel polski”.

W wypadku definicji, która adekwatnie definiuje A jako B, wyrażenie Bw każdym miejscu, w którym występuje w zdaniu Z, może zostać zastąpioneprzez A i na odwrót, wyrażenie A może zostać zastąpione przez B, a wartośćlogiczna każdego w ten sposób uzyskanego zdania będzie taka sama jak war-tość logiczna zdania Z. Znaczy to, że zastąpienie wyrażenia definiującegoprzez wyrażenie definiowane i na odwrót dokonane jest salva veritate. Wyraz„kwadrat” jest adekwatnie definiowany jako „prostokąt równoboczny”, zatemzdania różniące się tylko wystąpieniami na tych samych miejscach jednegoz tych wyrażeń nie różnią się wartościami logicznymi.

Definicje dzielimy na normalne (pełne) i cząstkowe.


Definicja 4.30. Definicja normalna (pełna) określa znaczenie definio-wanego wyrażenia poprzez warunek konieczny i wystarczający (adekwatnie).

Definicja 4.31. Definicja cząstkowa określa znaczenie definiowanego wy-rażenia poprzez warunek konieczny lub poprzez warunek wystarczający i wa-runki, poprzez które określa, nie tworzą łącznie warunku koniecznego i wy-starczającego.

Definicja „urzędnicy urzędów wojewódzkich są urzędnikami państwowymi”może być cząstkową definicją wyrażenia „urzędnik państwowy”. Definicja taokreśla znaczenie wyrażenia „urzędnik państwowy” poprzez warunek wystar-czający i nie jest to warunek konieczny.

Definicja „urzędnik państwowy jest urzędnikiem” może być cząstkowądefinicją wyrażenia „urzędnik państwowy”. Definicja ta określa znaczeniewyrażenia „urzędnik państwowy” poprzez warunek konieczny i nie jest towarunek wystarczający.

Z punktu widzenia roli definicji pożądane są definicje normalne (pełne).Nie zawsze jest jednak możliwe podanie takiej definicji i z konieczności mu-simy się zadowolić definicją cząstkową. Powody mogą być rzeczowe. Stylew sztuce zwykle definiowane są cząstkowo; podawany jest warunek wystar-czający. „Środowisko naturalne” lub „obszar ekologicznie czysty” mogą byćdefiniowane cząstkowo poprzez warunki konieczne. Mogą też być powodysubiektywne podania definicji cząstkowej. Na przykład nie mam wystarcza-jącej wiedzy o maklerach. Na pytanie „kto to jest makler?” mogę tylkopodać definicję cząstkową: „makler to osoba zawodowo związana z giełdą”.Nie każda osoba związana zawodowo z giełdą jest maklerem; podana definicjacząstkowa dostarcza tylko warunku koniecznego.

Do definicji cząstkowej w szczególności poprzez warunek konieczny odno-siłoby się zalecenie logiki tradycyjnej, aby nie definiować przez zaprzeczanie(definitio non sit pure negativa), bo w definicji chodzi o to, co dane słowoznaczy, a nie o to, co nie znaczy. Tego zalecenia nie realizują np. definicje:„kolor czerwony to kolor, który nie jest czarny, który nie jest zielony, którynie jest biały”, „klaret — wino, które nie jest słodkie i które nie jest ani białe,ani czerwone”.

Czasem jednak jesteśmy skazani na taki «negatywny» sposób definio-wania. Ciemność definiuje się jako brak światła. Łysy to ktoś nie mającywłosów. Biedny to ktoś kto nie posiada wystarczających środków material-nych dla zaspokojenia podstawowych potrzeb w społeczności, w której żyje.


4.2.3 Podział definicji ze względu na sposób definiowania

Definicja 4.32. Definicja wyraźna to definicja, której definiendum za-wiera tylko wyrażenie definiowane.

Definicją wyraźną jest więc: „Kwadrat to prostokąt równoboczny”.

Definicja 4.33. Definicja kontekstowa to definicja, której definiendumoprócz wyrażenia definiowanego zawiera jeszcze inne wyrażenia.

Spójnik „ani nie . . . , ani nie . . . ” możemy zdefiniować następująco: „(aninie α, ani nie β) wtedy i tylko wtedy, gdy (nie-α i nie-β)”. Kontekstowajest definicja „dziadka”: „A jest dziadkiem B wtedy i tylko wtedy, gdy A jestojcem matki B lub jest ojcem ojca B”.

Warunkiem poprawności definicji jest, aby definiens zawierał tylko wy-rażenia o określonych znaczeniach, a więc definiens jest (powinien być) zbu-dowany z wcześniej zdefiniowanych wyrażeń. Jeżeli chcemy, aby znaczeniawszystkich używanych wyrażeń były określone, aby wyrażenia te były zde-finiowane — takie wymaganie stawiają np. matematycy — to grozi namregresus in infinitum (cofanie się w nieskończoność). Uniknięcie regresus ininfinitum jest jednak możliwe, gdy będzie się dysponować i takimi sposobamiokreślania znaczenia, które nie wymagają odwoływania się do znaczeń jużzdefiniowanych wyrażeń. Do takiej roli nadaje się definicja w uwikłaniu.

Definicja 4.34. Zdanie „Z” jest postulatem wtedy i tylko wtedy, gdyw zdaniu tym występuje jeden lub więcej terminów — są to terminy pier-wotne tego postulatu— co do których zakłada się, że należy je tak i tylkotak rozumieć, aby zdanie „Z” było prawdziwe.

Pojęcie postulatu zobrazować można najprościej na przykładzie równa-nia, np.: x + 1 = 3. «Terminem pierwotnym» jest x. «Postulat» wyznaczajego «znaczenie»: x = 2.

Definicja 4.35. Definicja w uwikłaniu (definicja aksjomatyczna, de-finicja przez postulaty) jednego lub więcej terminów to układ postulatów,zawierających te terminy jako terminy pierwotne. Są to terminy zdefinio-wane w uwikłaniu.

Matematycy, i nie tylko matematycy, budują systemy aksjomatyczne.Najstarszy jest system geometrii Euklidesa. Aksjomaty są postulatami, któredefiniują znaczenia terminów pierwotnych aksjomatyzowanej teorii. Jej po-zostałe terminy są już definiowane za ich pomocą.


Definiowanie w uwikłaniu daje się zastosować wszędzie tam, gdzie ist-nieje potrzeba określenia znaczenia pewnych terminów, a z jakichś powo-dów trudno podać inną definicję. Najogólniej o definiowaniu przez postulatymówimy wówczas, gdy podajemy (typowe) konteksty, w których występujedefiniowany termin, przyjmując, że termin ten należy tak rozumieć, abywszystkie podane konteksty były prawdziwe.

Na podstawie tekstu:

Towary docierają na rynek przez kanały dystrybucji. Przecho-dząc przez kanały dystrybucji towary podlegają szeregowi czyn-ności, które zwiększają ich wartość. W krajach rozwiniętych po-wszechnie wykorzystuje się pośredników, a typowe kanały dystry-bucji składają się z trzech podstawowych czynności: produkcji,handlu hurtowego i handlu detalicznego.

możemy określić (częściowo) znaczenie terminu „kanał dystrybucji”. Tekstten może więc pełnić rolę definicji kontekstowej tego terminu. Ktoś, ktonie wie, co znaczy termin „kanał dystrybucji”, po zapoznaniu się z tym tek-stem — przyjmując, że termin ten należy rozumieć tak, aby wszystkie zdaniatekstu były prawdziwe — będzie (częściowo) wiedział, co to jest kanał dys-trybucji. Dla określania znaczenia słowa użytego w tekście może więc byćzastosowana metoda filologiczna12. Wymaga ona w zasadzie dwóch zało-żeń:

1. wyrażenie, którego znaczenie określa się, ma w branym pod uwagętekście dokładnie jedno znaczenie;

2. wszystkie zdania tego tekstu są prawdziwe.

4.2.4 Podział definicji ze względu na stylizację

Definicja może być różnie wypowiedziana. Definiendum i definiens mogąbyć użyte w różnych supozycjach.

Wyrażenie definiowane i człon definiujący mogą być użyte w supozycjinaturalnej, jak w wypadku definicji „Dom jest to budynek mieszkalny”. Takwysłowiona definicja to definicja w stylizacji przedmiotowej.

Definicja 4.36. Definicja w stylizacji przedmiotowej to definicja, w któ-rej definiendum i definiens są użyte w supozycji naturalnej.

12Zob. sposoby opisu znaczeń explicandum.


Niewątpliwie jest to najprostszy sposób wypowiedzenia definicji. W spo-sobie sformułowania nie różni się od twierdzeń i tym samym może nie byćjasne, czy mamy do czynienia z definicją, czy z twierdzeniem. Jak bowiemodróżnić, które ze zdań jest definicją, a które jest twierdzeniem: „Kwadrat toprostokąt równoboczny”, „Kwadrat to czworobok równoboczny prostokątny”.Wówczas, gdy nie jest jasne, że mamy do czynienia z definicją, należy wy-powiedzieć ją w innej stylizacji umożliwiającej konstatację tego faktu.

Wyrażenie definiowane może być wzięte w supozycji materialnej, a człondefiniujący może być wypowiedziany w supozycji naturalnej. Tak wysło-wiona definicja to definicja w stylizacji semantycznej.

Definicja 4.37. Definicja w stylizacji semantycznej to definicja, w któ-rej wyrażenie definiowane jest użyte w supozycji materialnej, a definiens jestwyrażeniem użytym w supozycji naturalnej.

Przykładem takiej definicji jest: „Wyraz ‘dom’ oznacza budynek miesz-kalny”. Definicja w stylizacji semantycznej różni się od definicji w stylizacjiprzedmiotowej sposobem wypowiedzenia definiendum. W stylizacji seman-tycznej definiendum wypowiadane jest w supozycji materialnej, a w stylizacjiprzedmiotowej w supozycji naturalnej.

W supozycji materialnej może być wysłowione nie tylko wyrażenie defi-niowane, ale także człon definiujący (definiens). Możemy powiedzieć:

Wyraz ‘dom’ znaczy to samo, co wyrażenie ‘budynek mieszkalny’.

Taka definicja to definicja w stylizacji słownikowej.

Definicja 4.38. Definicja w stylizacji słownikowej to definicja, w którejwyrażenie definiowane i definiens są użyte w supozycji materialnej.

Zauważmy, że w wypadku definicji w stylizacji przedmiotowej człon de-finiowany („dom”) z członem definiującym („budynek mieszkalny”) łączonebyły zwrotem „jest to”. W wypadku stylizacji semantycznej był to zwrot„oznacza”, a w wypadku stylizacji słownikowej — „znaczy”. Zwrot „ jestto” wyraża pewną zależność przedmiotową. „Oznacza” wskazuje na zależ-ność między językiem a rzeczywistością, jest to więc zależność semantyczna.Zwrot „znaczy” swoim znaczeniem wskazuje na to, że jest to definicja (no-minalna). Charakter połączenia członu definiowanego z definiującym jestzasadniczy dla odróżniania definicji ze względu na ich stylizacje.

4.2.5 Podział definicji ze względu na zadania

Definiuje się w jakimś celu. Wskazać można cztery takie cele:


1. podanie znaczenia definiowanego wyrażenia,

2. uczynienie jasnym znaczenia definiowanego wyrażenia,

3. wprowadzenie do słownika nowego wyrażenia,

4. ukształtowanie postawy użytkownika języka wobec przedmiotu, do któ-rego odnosi definiowane wyrażenie.

Ad. 1. Definiuje się, aby podać znaczenie definiowanego wyrażenia komuś,kto tego wyrażenia nie rozumie. Uczymy się znaczeń wyrażeń języka, którymposługujemy się na co dzień. Uczymy się też języków obcych, musimy więczaznajamiać się ze znaczeniami ich wyrażeń.Ad. 2. Niejasność wyrażeń bywa źródłem sporu werbalnego. Niejasność niepowinna mieć miejsca w żadnym tekście, szczególnie w tekście pełniącymfunkcję informacyjną. Tekst z powodu niejasności może bowiem tej funkcjinie wypełniać lub nie wypełniać właściwie. Jasny powinien być język prze-pisów prawnych i język dokumentów prawnych. Jasność możemy nadać wy-rażeniu na drodze definicji. Pełna jasność nie zawsze jest osiągalna. Mimowszystko definicja umożliwia zmniejszenie niejasności do poziomu wystar-czającego dla potrzeb praktycznych. W wypadku nazw zwykle wystarczauczynienie ich ostrymi (o ostrym zakresie).Ad. 3. Mówiąc o wzbogacaniu słownika można mieć na uwadze słownik ja-kiegoś języka. Może tu chodzić o język np. fizyki, ekonomii, prawa — rozwo-jowi nauki towarzyszy pojawianie się nowych terminów. Jest tak w wypadkufizyki, która odkrywa nowe obiekty fizyczne, dostrzega nowe zjawiska i nowezwiązki. Ekonomiści i prawnicy potrzebują nowych słów dla nowych koncep-cji, które mają trafniej opisywać zjawiska życia społecznego, dla nazwanianowych instytucji, które efektywniej wypełniają społecznie oczekiwane zada-nia. Nowe słowa są wygodnymi «skrótami» dla dłuższych określeń. Mówiąco wzbogacaniu słownika można mieć na uwadze też czyjś zasób słów. Uczeniesię nowych wyrażeń nie kończy się z okresem dzieciństwa. Nawet ktoś ogra-niczający się do praktycznych potrzeb wzbogaca swe słownictwo o nazwynowości handlowych i technicznych.Ad. 4. W wyrażeniach wyróżnione zostały składniki deskryptywny i emocjo-nalny. Definicja może być głównie zorientowana na składnik deskryptywny,ale też może «eksploatować» składnik emocjonalny.

Definicja 4.39. Definicja perswazyjna to definicja, której zadaniem jestkształtowanie postawy użytkownika języka wobec przedmiotu, do któregoodnosi definiowane wyrażenie.


Chcąc pozyskać zwolennika demokracji do socjalizmu możemy definio-wać:

Termin ‘socjalizm’ znaczy to samo, co ‘poszerzenie demokracji na obszargospodarki’.

Przeciwnik podatków będzie definiował:

‘Podatek’ oznacza karę za uczciwą pracę i przedsiębiorczość.

Ghandi wykorzystywał definicje perswazyjne dla realizacji celów etycznych.Jego autorstwa miałaby być następująca definicja:

Zwycięstwo polega na tym, iż pokonany nie czuje nienawiści do zwycięzcy.

Definicje można by podzielić na perswazyjne i nieperswazyjne. Pierw-sze mają jako cel kształtowanie postawy. Drugie takiego celu nie mają.Nie znaczy to jednak, że nigdy nie kształtują postawy użytkownika wobecprzedmiotu, do którego odnosi definiowane wyrażenie. Unormowania prawnew zakresie upowszechniania publikacji wymagają nieperswazyjnej definicjiterminu „pornografia”. Jest to jednak zagadnienie budzące tyle emocji, żeo taką definicję trudno.

Ze względu na zadania — pomijając ewentualny podział na perswazyjnei nieperswazyjne — definicje dzieli się je zasadniczo na:

1. sprawozdawcze (analityczne),

2. projektujące (syntetyczne).

(a) regulujące,(b) konstrukcyjne.

Definicja 4.40. Definicja sprawozdawcza to definicja, której celem jestzdanie sprawy ze znaczenia, które definiowane wyrażenie ma w języku.

Ktoś nie wie, co znaczy w języku polskim „spółka”. W słowniku językapolskiego odnajduje poszukiwaną informację. To samo pytanie o znaczeniewyrazu „spółka” można postawić w stosunku do języka prawa handlowego.Znaczenia tego wyrazu trzeba wówczas szukać w słowniku prawniczym.

Zdanie sprawy ze znaczenia, jakie wyrażenie ma języku może być zreali-zowane przez wskazanie wyrażenia równozakresowego — wówczas znaczeniemoże nie być w pełni oddane — lub przez wskazanie wyrażenia równoznacz-nego. Definicje sprawozdawcze ze względu na to, czy istnieje zgodność de-finiendum i definiensa co do zakresu, czy też co do znaczenia, dzielimy nadefinicje zakresowe i definicje treściowe.


Definicja 4.41. Definicja sprawozdawcza zakresowa to definicja, w któ-rej definiens jest równozakresowy z definiensem.

Definicja 4.42. Definicja sprawozdawcza treściowa to definicja, w któ-rej definienes jest równoznaczny z definiendum.

Zauważmy, że definicje sprawozdawcze treściowe są definicjami sprawoz-dawczymi zakresowymi, lecz nie na odwrót. Ponadto, różnica między obomarodzajami definicji może mieć miejsce tylko w wypadku języka intensjonal-nego a nie ma miejsca w wypadku języka ekstensjonalnego (języka, w którymwyrażenia równozakresowe sa równoznaczne).

Przy tworzeniu definicji sprawozdawczej można korzystać zmetody sło-wotwórczej, zwanej też etymologiczną13. Na przykład znaczenie wyrazu„samolot” podaje się wskazując na jego złożoność z „sam” i „lot”. Podobniejest w wypadku nazwy „teologia”. Tym razem wskazuje się na wzięte z Grekiwyrazy i ich znaczenie: „theos = Bóg”, „logos = nauka”.

Definicja 4.43. Definicja projektująca to definicja ustalająca znaczeniewyrażenia na przyszłość (na użytek jednego tekstu, na użytek jakiejś teorii,albo po prostu języka potocznego).

Definicja projektująca ma więc charakter konwencji terminologicznej.Takiego rodzaju zabieg definiowania jest stosowany w niniejszej książce.Ustaliliśmy między innymi, że wyrazu „zdanie” będziemy używać w zna-czeniu „wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe”.

Wprowadzanie skrótów jest swoistym definiowaniem projektującym. Skró-ty wprowadzamy kierując się zasadą ekonomii. Skróty tworzyć należy tak,aby łatwo było je zrozumieć a wprowadzać je tylko wówczas, gdy będą częstoużywane. Zamiast pełnej nazwy np. choroby używa się jej skrótu: AIDS.Zamiast pisać „wtedy i tylko wtedy” w logice — gdzie zwrot ten jest częstoużywany — można zastosować skrót np. „wttw”

Definicja 4.44. Definicja regulująca to definicja projektująca, która usta-la znaczenie wyrażenia na przyszłość licząc się ze znaczeniem, które wyraże-nie to miało dotychczas w języku.

Miało to miejsce w wypadku tu przyjętej definicji „zdania”. Ustalającznaczenie terminu „zdanie” w logice, braliśmy pod uwagę znaczenie, któretermin ten ma w gramatyce — zdanie w sensie logicznym jest zdaniem w sen-sie gramatycznym, choć nie na odwrót.

Definicja projektująca może nie liczyć się z dotychczasowym znaczeniemdefiniowanego wyrażenia.

13Zob. sposoby opisu znaczeń explicandum.


Definicja 4.45. Definicja konstrukcyjna (arbitralna) to definicja pro-jektująca, która ustalając znaczenie wyrażenia na przyszłość nie liczy się zeznaczeniem, które wyrażenie to miało dotychczas lub definicja, która wpro-wadza nowe wyrażenie do języka.

W języku polskim do niedawna nie było znane określenie „aids”. Zo-stało wprowadzone do języka, a dzięki propagandzie tak się przyjęło, że jegoznaczenie jest znane prawie każdemu. Pojawiają się nowe słowa w związkuz wytwarzaniem nowych wyrobów i urządzeń. Rozwój nauki wiąże się z two-rzeniem nowych pojęć. Dla pojęć tych dobiera się słowa już istniejące w ję-zyku, nadając im tylko nowe znaczenie, lub tworzy się nowe słowa. To, jaksię te słowa tworzy, jest interesujące samo przez się. Na przykład „aids”jest akronimem opisowego określenia aids w języku angielskim: a(cquired)i(mmune) d(eficiency) s(yndrome).

4.2.6 Granice definiowania

Mając skończony słownik bez popadnięcia w błędne koło nie możemy zde-finiować wszystkich jego wyrazów inaczej niż przez wyróżnienie terminówpierwotnych i ich definicję w uwikłaniu. Jest to pierwsze zasadnicze ograni-czenie na możliwości definiowania: każdy język zawiera terminy pierwotne.

Na terminy pierwotne nadają się te terminy, które są najbardziej «płodne»,w oparciu o które można zdefiniować możliwie najwięcej elementów słownika.Nadto intuicyjne znaczenie tych terminów powinno być możliwie najbar-dziej jasne. Terminami pierwotnymi arytmetyki Peano są „0” i „następnik. . . ”. Wystarczają one dla zdefiniowania wszystkich pozostałych terminówarytmetyki, jakie znamy ze szkolnej nauki matematyki. Ich intuicyjny sensrównież nie stwarza specjalnych problemów z rozumieniem.

W wypadku definicji, która zbudowana jest z nazwy najbliższego rodzajui określenia różnicy gatunkowej (definicja klasyczna) można mówić o termi-nach prostych jako tych, dla których brak różnicy gatunkowej i terminachpowszechnych jako tych, dla których brak najbliższego rodzaju. Terminyte nie byłyby więc definiowalne za pomocą definicji klasycznej. Terminyproste nazywają cechy proste, czyli nierozkładalne. Takim terminem pro-stym w języku fizyki jest „masa”. Terminem złożonym w tym języku jest np.„siła”: F = a ·m, gdzie a to przyśpieszenie, m — masa. Z kolei terminempowszechnym byłaby np. „materia”. Nie ma w świecie fizycznym substancji,której tylko pewna część byłaby materią, jeśliby posiadała określoną cechę.

Definiujemy nazwy ogólne. To, co jest jednostkowe, wyróżnia się spośródprzedmiotów tego samego rodzaju licznym zespołem cech. Trudno jest wska-zać różnicę numeryczną. Jak np. zdefiniować ten oto egzemplarz książki?


Pragmatycznym warunkiem nakładanym na definicję jest wymóg, abywyrażenia za pomocą których definiujemy były bardziej zrozumiałe niż wyra-żenie, które definiujemy. Znaczenia nazw doznań są podstawowe i intuicyjne.Żadne określenie nie odda tego, co daje przeżycie: bólu, ciepła, przyjemności.

Wówczas, gdy definicja nie jest możliwa, lub gdy dla celów praktycznychnie trzeba jej przytaczać, posługiwać się można czynnościami zastępczymi.Są to:

1. wskazanie (na jakąś rzecz), np.: to jest kolor turkusowy;

2. charakterystyka — wymienia się szczególnie uderzające cechy. Cha-rakterystyka użyteczna jest w wypadku osób. Wymienia się ich znakiszczególne, np.: chudy z długim nosem. W urzędach jesteśmy iden-tyfikowani przez imię i nazwisko, datę i miejsce urodzenia, imię ojcai matki.

3. opis — wymienia się niekoniecznie charakterystyczne, lecz jakiekolwiekcechy. Opisujemy komuś zdarzenia.

4. porównanie — gdy np. mówi się, że zdrajca to ktoś, kto postępuje jakJudasz;

5. odróżnienie — przybliża znaczenie przez oddzielenie go od innego, np.„egoizm jest tym, co przeciwne miłości”.

Celem definiowania jest określenie znaczenia wyrażenia. Wyrażenie zde-finiowane musi być brane w znaczeniu, jakie zostało mu przypisane. Może sięokazać, że zaistnieje różnica między intuicyjnym i oczekiwanym np. prawo-dawcę rozumieniem wyrażenia a znaczeniem, jakie mu przypisano w tekścieprawnym. Sytuacja taka utrudnia stosowanie prawa. Stąd zasada: omnisdefinitio in iure civili periculosa est — wszelka definicja w prawie cywilnymjest ryzykowna.

4.2.7 Poprawność definicji

Możemy mówić o formalnych i pragmatycznych warunkach poprawności defi-nicji. Inne są warunki poprawności definicji sprawozdawczej, a inne definicjiprojektującej.

Błąd błędnego koła w definiowaniu (circulus in definiendo; idem peridem) występuje w dwóch odmianach.

Definicja 4.46. Błędne koło bezpośrednie w definiowaniu to błądw definiowaniu mający miejsce wówczas, gdy wyrażenie definiowane (ewen-tualnie w innej odmianie stylistycznej) pojawia się w definiensie.


Definicję obarczoną błędnym kołem bezpośrednim określa się też jakodefinicję tautologiczną. Taki błąd ma miejsce w definicjach: „Logika jestto nauka o zasadach logicznego myślenia”, „obrona konieczna to obrona, którajest konieczna”.

Definicja 4.47. Błędne koło pośrednie w definiowaniu to błąd w de-finiowaniu mający miejsce wówczas, gdy w definiensie występuje wyrażenie,które zostało zdefiniowane przy zastosowaniu wyrażenia definiowanego.

Takim błędem obciążona jest definicja „Logika to nauka o zasadach po-prawnego rozumowania”, jeśli „zasady poprawnego rozumowania” definiujesię jako „zasady ustalane w logice”.

Definicja 4.48. Błąd nieznane przez nieznane (ignotum per ignotum) tobłąd w definiowaniu mający miejsce wówczas, gdy w definiensie występujewyrażenie, którego znaczenie nie jest znane temu, do kogo definicja byłaskierowana.

Błąd ten ma charakter pragmatyczny i jego zachodzenie jest względne.Jeśli ktoś nie wie, co znaczy „kwadrat”, a wie, co znaczy „prostokąt” i „równo-boczność”, to definicja: „kwadrat jest to prostokąt równoboczny” jest defini-cją poprawną. Gdyby jednak ten ktoś, komu chcemy powiedzieć, co znaczy„kwadrat”, nie wiedział, co znaczy „prostokąt”, to taka definicja nie będziepoprawna. Obciążona będzie błędem ignotum per ignotum. Podobnie będziew wypadku, gdy ktoś, do kogo definicja jest skierowana coś wie o tym, czymsą kwadrat i prostokąt, lecz więcej wie o tym, czym jest kwadrat niż o tym,czym jest prostokąt.

Zadaniem definicji sprawozdawczej jest zdanie sprawy ze znaczenia, którema w języku wyrażenie definiowane. Definiens musi zatem zachować wszyst-kie «wady» i «zalety» wyrażenia definiowanego. Zachowane muszą więc być— jeśli definiowanym wyrażeniem jest nazwa — ostrość/nieostrość oraz wy-raźność/niewyraźność wyrażenia definiowanego. W wypadku normalnej defi-nicji sprawozdawczej zakres zdefiniowanej nazwy musi być równy zakresowi,który ta nazwa ma faktycznie w języku.

W normalnej definicji sprawozdawczej znaczenie wyrażenia definiowanegowinno być równe znaczeniu wyrażenia definiującego, czyli definicja sprawoz-dawcza winna być adekwatna. Nieadekwatność definicji ma miejsce, gdytak nie jest. Wyróżnia się trzy typy definicji nieadekwatnych: definicja zawąska, definicja za szeroka, definicja za wąska i za szeroka zarazem.

Definicja 4.49. Normalna definicja sprawozdawcza jest za wąska wtedyi tylko wtedy, gdy definiens określa znaczenie definiendum poprzez warunekwystarczający, a nie określa go poprzez warunek konieczny.


Definicja „handlowcem jest ta i tylko ta osoba, która zawodowo zajmujesię sprzedażą artykułów spożywczych” jest za wąska. Handlowcem jest ktoś,kto zawodowo zajmuje się sprzedażą i kupnem. Handlowcem może więc byćosoba zawodowo zajmująca się handlem artykułami niespożywczymi. Zawąska jest też definicja bycia potomkiem: „ktoś jest potomkiem kogoś wtedyi tylko wtedy, gdy ten ktoś jest dzieckiem tego kogoś lub wnukiem tegokogoś”. Za wąska jest też definicja: „zbrodnia to przestępstwo przeciwkożyciu ludzkiemu”.

W za wąskiej definicji sprawozdawczej nazwy, zakres definiendum jestnadrzędny wobec zakresu definiensa.

Definicja 4.50. Normalna definicja sprawozdawcza jest za szeroka wtedyi tylko wtedy, gdy definiens określa znaczenie definiendum poprzez warunekkonieczny, a nie określa go poprzez warunek wystarczający.

Za szeroka jest definicja handlowca: „handlowcem jest ta i tylko ta osoba,która kupuje lub sprzedaje”. Według takiej definicji wszyscy byliby han-dlowcami — każdemu zdarzyło się coś kupować. Za szeroka jest też definicjapodwładności: „ktoś jest podwładnym kogoś wtedy i tylko wtedy, gdy tenktoś zajmuje niższe stanowisko od tego kogoś”. Za szeroka jest też definicja:„przestępstwo to czyn społecznie niebezpieczny”.

W za szerokiej definicji sprawozdawczej nazwy, zakres definiendum jestpodrzędny w stosunku do zakresu definiensa.

Definicja 4.51. Normalna definicja sprawozdawcza jest za szeroka i zawąska zarazem wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie definiendum określanejest poprzez warunek, który ani nie jest warunkiem wystarczającym, ani niejest warunkiem koniecznym.

Definicja sprawozdawcza nazwy jest za szeroka i za wąska zarazem, gdyzakresy definiendum i definiensa krzyżują się.

Za szeroka i za wąska jest definicja handlowca: „handlowcem jest ta i tylkota osoba, która kupuje”. Według tej definicji wszyscy, którzy kupują są han-dlowcami, co nie jest prawdą — nie tylko handlowcy kupują. Z drugiejstrony handlowcy zajmujący się zawodowo sprzedażą nie należą do zakresudefiniensa. Podobnie za szeroka i za wąska zarazem będzie definicja nauczy-ciela: „nauczyciel to ktoś, kto ukończył studia uniwersyteckie”.

Z możliwych stosunków zakresowych między definiendum a definiensempozostał nam wypadek, gdy zakresy definiendum i definiensa wykluczają się.Taka sytuacja może mieć miejsce, gdy definiendum odnosi do przedmiotuinnej kategorii ontycznej niż definiens.


Definicja 4.52. W normalnej definicji sprawozdawczej popełniono błądprzesunięcia kategorialnego wtedy i tylko wtedy, gdy przedmioty wska-zywane przez definiendum należą do innej kategorii ontycznej niż przedmiotywskazywane przez definiens.

Błąd przesunięcia kategorialnego ma miejsce np. w wypadku definicji„przyjaźń to wzajemne pomaganie sobie” — przyjaźń to pewien stosunekmiędzy ludźmi zaś wzajemne pomaganie sobie to pewne zachowania, czyn-ności. Formalnie poprawna będzie definicja: „osoby przyjaźnią się wtedyi tylko wtedy, gdy wzajemnie pomagają sobie”.

W wypadku definicji projektujących mówi się o pragmatycznych kryte-riach poprawności.

Wprowadzając nowy termin do języka należy uwzględnić reguły słowo-twórcze i znaczeniowe tego języka. Tego warunku nie spełniono, gdy w la-tach sześćdziesiątych słowo „krawat” chciano zastąpić określeniem „zwis mę-ski ozdobny”. Udaną zaś konstrukcją była propozycja słowa „podomka” dlazastąpienia słowa „szlafrok”. Konstrukcje typu „roboczogodzina” są obce ję-zykowi polskiemu (inaczej niż w wypadku języków np. niemieckiego i rosyj-skiego). Często nowe wyrazy zapożycza się z języków obcych, w szczególnościgreki, łaciny, a ostatnio z języka angielskiego. Trudno powiedzieć, jakie rzą-dzą tym reguły. „Kto zatrzymał w locie żurawia i kazał mu się pochylić nadstudnią?” — możemy pytać za J. Parandowskim14.

Definicje projektujące nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Można je trak-tować jako zdania nakazujące takie, a nie inne rozumienie terminu definiowa-nego. W prawie charakter projektujący mają definicje legalne. W teoriiprawa przypisuje się im charakter norm, czyli zdań powinnościowych.

Wprowadzając nowy termin trzeba też mieć na uwadze jego użyteczność.Niewątpliwie potrzebne są słowa np. „komputer”, „plik”, „dyskietka”. Nie wy-daje się zaś celowe wprowadzenie specjalnego terminu na oznaczenie pudełkado przechowywania dziesięciu dyskietek.

W wypadku definicji regulującej należy liczyć się z «duchem» języka.Definicja regulująca nie powinna «zwodzić», co może mieć miejsce wówczas,gdy «reguluje» się w innym wymiarze niż oczekiwany przez użytkownikówjęzyka. Kiedy prawnik definiuje termin „małoletni”, to uściśla jego znacze-nie poprzez określenie granicy wiekowej, a więc w wymiarze uznanym przezużytkowników języka. Nie byłoby tak, gdyby uściślał poprzez wskazanieklasy szkolnej, do której małoletni uczęszcza. Jeśli w ustawie o rybołów-stwie mówi się o rybach, to wymagana jest definicja, co znaczy wyraz „ryba”.Definicja „ryby” jako „zwierzęcia żyjącego w wodzie” jako definicja regulująca

14Zob. Alchemia słowa, wyd. 4, 1965, s. 161.


naruszałaby postulat nieodbiegania od znaczenia, jakie jest temu wyrażeniupowszechnie przypisywane.

Polski logik Stanisław Leśniewski (1886–1939) podał dwie współczesnereguły poprawności definicji15. Są to:

1. Reguła eliminowalności.Zdefiniowany termin musi być eliminowalny z każdego zdania, w któ-rym występuje.

2. Reguła nietwórczości.Ze zbioru zdań, do którego dołączono definicję nie wynika żadne zdanienie zawierające terminu definiowanego, które nie wynikałoby z tegozbioru zdań bez tej definicji.

Reguła eliminowalności umożliwia zrezygnowanie z definiowanego ter-minu bez zubażania możliwości wyrażania przez język. Termin definiowanymoże być zastąpiony przez inne wyrażenia języka i mimo tego nie dochodzido ograniczenia możliwości wypowiadanie myśli.

Reguła eliminowalności mówi, że przez definicję język «nie zyskał» namocy wyrażania. Reguła nietwórczości mówi, że przez definicję język «niezyskał» na mocy logicznej.

Reguła nietwórczości umożliwia zrezygnowanie z definiowanego terminubez zubażania wiedzy. Wzbogacamy język, ułatwiamy wypowiadanie się,lecz nie dochodzimy do zdań, które nie zawierałyby zdefiniowanego terminu,a byłyby uzasadnione na gruncie posiadanej wiedzy tylko wówczas, gdybydefinicja była jej składnikiem. Jeżeli α nie zawiera terminu definiowanegoi wynika z Σ, to α wynika też z takiego podzbioru Σ, którego elementy-zdanianie zawierają terminu definiowanego.

Definicja „kwadrat to prostokąt równoboczny” spełnia oba warunki po-prawności definicji. Termin „kwadrat” jest eliminowalny. W każdym zdaniuzawierającym wyraz „kwadrat” możemy na jego miejsce wpisać wyrażenie„prostokąt równoboczny” i żadne z tych zdań nie zmieni wartości logicznej.Nietwórczość definicji kwadratu wynika z faktu, że każde twierdzenie geome-trii, jeśli nie zawiera terminu „kwadrat”, to jest dowodliwe bez użycia jakoprzesłanki zdania „kwadrat to prostokąt równoboczny”.

Zadania

Zadanie 4.1. W jakim znaczeniu występuje słowo „logika” w tekście?

15Nie stosują się one do definicji cząstkowych i przez postulaty.


We do lament the inequitable distribution of wealth in the world,and Third World voices may be quite right that there is some-thing unfair about it. No one wants uncritically to defend profi-teering industrialists. But, it is important to get the logic right.Philosophers have to follow their logic where it leads them whe-ther they want to go there or not. Conservation based on anunsound logic will come undone sooner or later. Surely thereis a sounder logic by which fair and equitable conservation canbe achieved.” Environmental protection and an equitable inter-national order: ethics after the earth summit, „Business EthicsQuarterly” October 1995, vol. 5 no. 4, str. 749

Zadanie 4.2. Czy poprawny jest podział norm na:

1. leges plusquamperfectae (zagrażające nieważnością danej czynności i sank-cją karną),

2. leges perfectae (zagrażające nieważnością, lecz bez sankcji karnej),

3. leges imperfectae )nie zgarażające ani karą, ani nieważnością)?

Zadanie 4.3. Czy poprawna jest definicja?Lekarz to ktoś, kto leczy ludzi.

Zadanie 4.4. Dokonaj klasyfikacji czasopism.

Zadanie 4.5. Co sądzisz o definicjach?

1. Perfidia jest to złośliwość delikatnych.

2. Weterynarz to lekarz, któremu żaden pacjent nie podaje ręki.

3. Malarz jest to człowiek, który maluje to, co sprzedaje; artysta malarzjest to człowiek, który sprzedaje to, co maluje.

4. Mędrzec to człowiek, który ustępuje, gdy nie ma racji.

5. Wolny jest ten, kto nie siedzi w więzieniu.

Zadanie 4.6. Jaka to definicja?

Podatki pośrednie to podatki od rozumu.

Milton Friedman (laureat ekonomicznej nagrody Nobla) mawiał tak dla-tego, że


1. płacący je ludzie często nie wiedzą, że płacą,

2. bo nakłada się je na towary i usługi, czyli wszystko to, co jest wytworemdziałalności ludzi pracowitych i przedsiębiorczych, jednym słowem —rozumnych.

Zadanie 4.7. Podaj definicję regulującą:

1. długiej podróży,

2. starca,

3. wysokiego człowieka.

Zadanie 4.8. W jaki sposób wskazać znaczenie poniższych wyrażeń jeśli niemiałaby to być definicja:

1. obrona konieczna,

2. bohaterski czyn,

3. wybryk chuligański,

4. akt terroryzmu,

5. katastrofa w ruchu drogowym?

Zadanie 4.9. Które z poniższych określeń można nazwać definicjami?

1. Demokracja to władza ludu.

2. Demokracja nie jest gestem władzy.

3. Demokracji nie da się zadekretować.

4. Demokracja sama nie zapuka do drzwi.

5. Demokracja to kontrola władzy przez społeczeństwo.

Zadanie 4.10. Czy i jaka jest to definicja?

1. Przez umowę sprzedaży sprzedawca zobowiązuje się przenieść na ku-pującego własność rzeczy i wydać mu rzecz, a kupujący zobowiązujesię rzecz odebrać i zapłacić.


2. Z zastrzeżeniem wyjątków w ustawie przewidzianych, wola osoby doko-nującej czynności prawnej może być wyrażona przez każde zachowaniesię tej osoby, które ujawnia jej wolę w sposób dostateczny (oświadcze-nie woli).

3. Posiadaczem rzeczy jest zarówno ten, kto nią faktycznie włada jakwłaściciel (posiadacz samoistny), jak i ten, kto nią faktycznie włada jakużytkownik, zastawnik, najemca, dzierżawca lub mający inne prawo,z którym łączy się określone władztwo nad cudzą rzeczą (posiadaczzależny).

4. VAT, czyli podatek od wartości dodanej (z ang. Value Added Tax),zobowiązany jest płacić płaci każdy, kto sprzedaje towary, odpłatnieświadczy jakiekolwiek usługi, dokonuje darowizn, eksportuje oraz im-portuje towary i usługi.

5. Akcyza to opłata nakładana na wybrane artykuły konsumpcyjne.

Zadanie 4.11. Zdaniem prof. B. Wolniewicza przeszczep jest kanibalizmem.Dla jakiego rozumienia terminów „kanibalizm” i „przeszczep” jest to prawdą?

Zadanie 4.12. Scharakteryzuj metodologiczne warunki, jakie powinna speł-niać definicja śmierci, aby uznanie kogoś za zmarłego było zgodne z normamietycznymi.

Zadanie 4.13. O jaką definicję chodzi w poniżej opisanej sprawie?

Proponowana w 2005 r. przez władze Unii Europejskiej definicjawódki zezwala na sprzedaż mocnego alkoholu z winogron podnazwą „wódka”.

Cztery kraje — Polska, Szwecja, Finlandia i Estonia — formal-nie zaprotestowały i chcą restrykcyjnej definicji wódki. Podobnezdanie mają Łotwa i Litwa. Bałtycka koalicja może nie wystar-czyć jednak do zablokowania szerszej definicji tego alkoholu.

Zadanie 4.14. Jakiego rodzaju jest definicja małżeństwa w prawie?

Zadanie 4.15. Filozof Gottfried Leibniz zdefiniował dobrą osobę jako kogośtakiego, kto kocha każdego (tak bardzo jak rozum pozwala). Które z poniż-szych zdań sa prawdziwe na mocy tej definicji?

1. Wszyscy dobrzy ludzie kochają kogoś lub innego.

2. Wszyscy dobrzy ludzie kochają samych siebie.


3. Ktoś jest kochany przez wszystkich dobrych ludzi.

4. Ktoś kocha wszystkich dobrych ludzi.

5. Każdy dobry człowiek jest kochany przez kogoś lub innego.

6. Wszyscy dobrzy ludzie lubią wszystkich dobrych ludzi.

7. Każdy jest kochany przez kogoś lub innego.

8. Jeśli są dobrzy ludzie, to każdy jest kochany przez kogoś.

9. Nikt, kto nie jest dobry nie kocha kogoś.

10. Każdy, kto jest dobry kocha każdego, kto nie jest dobry.

Zadanie 4.16. Przeanalizuj i oceń poniższe definicje.

1. Tunel to budowla na drodze oznaczona odpowiednimi znakami drogo-wymi.

2. Samochód osobowy to pojazd, który jest konstrukcyjnie przeznaczonydo przewozu osób (9 z kierowcą) oraz ich bagażu.

3. Ustąpienie pierwszeństwa przejazdu to powstrzymanie się od ruchu,jeżeli ruch mógłby zmusić kierującego innym pojazdem do zmiany kie-runku lub pasa ruchu, albo istotnej zmiany prędkości jazdy, a pieszegodo zatrzymania się, zwolnienia lub przyspieszenia kroku.

W ocenie tej definicji uwzględnij następujące konteksty użycia definio-wanego wyrażenia (pierwszeństwo pojazdu):

(a) Kierujący pojazdem zmieniając poza skrzyżowaniem zajmowanypas ruchu, jest obowiązany ustąpić pierwszeństwa pojazdowi ja-dącemu po pasie, na który zamierza wjechać oraz wjeżdżającemuna ten pas z prawej strony.

(b) Jeśli jezdnia ma trzy pasy ruchu i z lewego pasa, po wyprze-dzeniu chcemy zjechać na środkowy, to dodatkowo musimy ustą-pić pierwszeństwa (czyli „powstrzymać się od ruchu”) pojazdowi,który wjeżdża na ten pas z prawej strony (ze skrajnego zewnętrz-nego, a więc głównie autobusów).

4. Motorower to pojazd, który jeździ z szybkością do 45 km/h.

(Co w takim razie mają zrobić dzisiejsi posiadacze motorowerów i mo-torynek, które osiągają 50 km/h? Wygląda na to, że automatyczniezostaną motocyklistami.)


Zadanie 4.17. Jaka to definicja?

1. Cząstka elementarna to np. elektron.

2. Faszyzm— jawna terrorystyczna dyktatura najbardziej reakcyjnej czę-ści burżuazji w warunkach imperializmu.

Zadanie 4.18. Jakiego rodzaju procedurę zastosowano w opisanej zmianiedotyczącej Plutona?

Pluton nie jest już planetą — zdecydowali astronomowie obradującyw Pradze w 2006 r. Według nowych, naukowych wytycznych Układ Sło-neczny będzie się teraz składał z ośmiu, a nie dziewięciu planet. Decyzjao tym, że odkryty 76 lat temu Pluton nie jest planetą, zapadła w wynikugłosowania, w którym wzięło udział 2,5 tysiąca astronomów.

Gdyby chcieć ze względów historycznych utrzymać planetarny status Plu-tona, to trzeba by nazwać planetami mnóstwo innych ciał np. co najmniejjedną z planetoid znajdujących się między Marsem a Jowiszem. To by wy-wołało o wiele większe zamieszanie niż odebranie mu tego statusu. Jeżeliskupimy się na tym, co jest najistotniejsze z punktu widzenia powstawaniaplanet, to nie powinno być ich więcej niż osiem. W pełni uformowana pla-neta czyści całkowicie przestrzeń wokół siebie z drobnych ciał. Dzieje się takdlatego, że wszystkie albo ogromna większość z nich znalazła się już w jejwnętrzu. Te ciała, które są w pasie Kuipera i te, które znajdują się międzyMarsem a Jowiszem nie potrafiły tego zrobić. W ich przypadku nie doszłowięc do powstania prawdziwej planety. Mamy zatem osiem planet.

Sprawa budzi szczególne emocje za oceanem. Pluton był bowiem jedynąplanetą odkrytą przez Amerykanina. Doktor Alan Stern z instytutu w SanAntonio uważa, że decyzja podjęta w głosowaniu była fatalna i jest przykła-dem naukowego niechlujstwa.

Międzynarodowa Unia Astronomiczna (IUA) liczy prawie 10 tysięcy człon-ków na całym świecie. W głosowaniu nad nową definicją planety wzięłyudział zaledwie 424 osoby.

Historyczne głosowanie zorganizowane przez IAU w 2006 r. w Pradze za-kończyło kontrowersje, które ponad dwa lata wcześniej wywołał Mike Brown,astronom z Kalifornijskiego Instytutu Technologicznego, ogłaszając, że jegozespół odkrył „dziesiątą planetę” krążącą wokół Słońca. Wtedy astronomo-wie z całego świata zaczęli się głowić nad definicją planety.

Wynik głosowania w Pradze był zaskoczeniem, bo tydzień wcześniej po-wołany przez IAU specjalny komitet wydał zalecenie o zupełnie innej tre-ści. Według członków komitetu, Pluton miał zachować swój status planety,a Układ Słoneczny wzbogacić się o trzy nowe: Ceres — asteroidę krążącą


wokół słońca pomiędzy Marsem a Jowiszem; Charona — jeden z księżycówPlutona; oraz odległy od nas o 16 miliardów kilometrów obiekt, który Brownnazwał Xeną.

Nowa definicja prawdziwej planety pojawiła się po tygodniu gorącychdyskusji.

Planeta musi obecnie odpowiadać trzem kryteriom: mieć masę i grawi-tację na tyle duże, by przybrała kształt bliski kulistemu, sama musi okrążaćgwiazdę (a nie być tylko satelitą innego ciała niebieskiego), i musi stanowićnajwiększy obiekt w swoim bezpośrednim sąsiedztwie.

Odkryty w 1930 r. przez astronoma Clyde’a Tombaugh’a Pluton niepasuje do tego opisu.

Zadanie 4.19. Dokonaj analizy poniższej definicji.Osoby fizyczne, jeżeli mają miejsce zamieszkania na terytorium Polski,

podlegają obowiązkowi podatkowemu od całości swoich dochodów (przycho-dów) bez względu na miejsce położenia źródeł przychodów — nieograniczonyobowiązek podatkowy. Natomiast osoby fizyczne, jeżeli nie mają na tery-torium Polski miejsca zamieszkania, podlegają obowiązkowi podatkowemutylko od dochodów (przychodów) osiąganych na terytorium RP — ograni-czony obowiązek podatkowy.

Od 2007 roku miejsce zamieszkania będzie się określać, stosując bardziejobiektywne przesłanki zbliżone do tych, które są zawarte w umowach o uni-kaniu podwójnego opodatkowania.

Zgodnie z nowym ust. 1a, dodanym do art. 3 ustawy o PIT, za osobęmającą miejsce zamieszkania na terytorium Rzeczypospolitej Polskiej uważasię osobę fizyczną, która posiada na terytorium Polski centrum interesówosobistych lub gospodarczych (ośrodek interesów życiowych) lub przebywana terytorium Polski dłużej niż 183 dni w roku podatkowym.

Przed 2007 r. dla określenia miejsca zamieszkania stosowano przepisykodeksu cywilnego, które nie były ani precyzyjne, ani obiektywne. Zgodniez art. 25 kodeksu cywilnego miejscem zamieszkania danej osoby jest miejsco-wość, w której ta osoba przebywa z zamiarem stałego pobytu. Jak udowod-nienie faktycznego przebywania w danym kraju nie powinno być trudne, takokreślenie zamiaru pobytu jest przesłanką subiektywną i w praktyce przy-sparza wielu problemów interpretacyjnych. Jest też polem sporów z fisku-sem. To na podatniku spoczywa obowiązek udowodnienia, gdzie znajduje sięjego miejsce zamieszkania. Wprowadzenie bardziej rozbudowanej definicji doustawy podatkowej pozwoliło usunąć te wątpliwości.

4.3. EKSPLIKACJA 407

4.3 Eksplikacja

Konceptualizacja to procedura tworzenia pojęć. Definiowanie pojęciom przy-porządkowuje słowa. Eksplikację można określić jako przyporządkowywaniepojęć słowom. R. Carnap pierwszy opisywał i stosował eksplikację w swoichbadaniach naukowych. Zapoczątkował tym metodologiczną refleksję nad tąoperacją.

Definicja 4.53. Eksplikacja to procedura opisywana znaczeń wyrażeń i ichdostosowywania do zadań danego języka.

Poznanie ma charakter historyczny i społeczny. Gromadząc wiedzę i ze-spalając wysiłek badawczy dochodzimy do pełniejszego poznania. Wiedzanasza, jak pokazuje historia nauki, składa się nie tylko z prawdziwych zdań,a i prawdziwe nie do końca są rozumiane. Wiedza wyrażona jest w języku.Te same słowa służą do wypowiedzenia coraz pełniejszej wiedzy. Koniecznajest więc refleksja nad zmiennością znaczeń słów, nad pojęciami, dla któ-rych słowa te są znakami. Definiując pojęciom przyporządkowujemy słowa.Eksplikując słowom przyporządkowujemy pojęcia. Mamy słowa, które cośznaczą. Znaczenie to jednak «przeżyło się». Tworzymy nowe pojęcie, którewywodzi się «genetycznie» ze starego, lecz odzwierciedla współczesny stanwiedzy w danej dziedzinie. Tak opisana eksplikacja ma pewne podobieństwado konceptualizacji — bo tworzymy nowe pojęcie — jest też podobna do de-finicji regulującej — istniejącemu słowu nadajemy nowe znaczenie licząc sięze znaczeniem, które mu dotychczas przysługiwało. Czasem, aby uniknąćwieloznaczności, dla nowego pojęcia wprowadza się nowy termin. W tymeksplikacja jest podobna do definicji konstrukcyjnej. Eksplikacja sama przezsię jest zabiegiem wiedzotwórczym. Dużą rolę poznawczą ma do spełnie-nia w dziedzinie nauk humanistycznych i filozoficznych. Zgodnie z ogólnątendencją, w nauce chodzi zwykle o zastąpienie starych pojęć przez pojęciametryczne, dzięki czemu możliwa staje się matematyzacja danej dyscyplinynaukowej.

Definicja 4.54. Explicandum to termin, który stanowi przedmiot ekspli-kacji.

Definicja 4.55. Explicatum to termin, który jest wynikiem eksplikacji.

Na explicandum nadaje się termin już używany w nauce lub wyrażeniez języka potocznego, jeśli jest ono naukowo użyteczne. Na przykład słowomjęzyka potocznego: „woda”, „sól” nadano w nauce ściśle określone znacze-nie i w języku nauki zastąpiono je nazwami, odpowiednio: „H2O”, „NaCl”.


W wypadku wyrażeń: „informacja”, „inteligencja” itp. w języku nauki po-zostały te same słowa, choć w wyniku eksplikacji przysługuje im bardziejprecyzyjnie określone znaczenie, a nie jako słowom języka potocznego dośćnieokreślone. Dla filozofa i metodologa nauk interesującym explicandum jest„przyczyna”. Prawnika i polityka interesuje eksplikacja terminu „terroryzm”.

Niezbędnym etapem eksplikacji jest możliwie pełny opis znaczeń dotych-czas przysługujących explicandum. Chodzi o wyróżnienie znaczeń explican-dum i podanie odpowiednich definicji sprawozdawczych. Zamierzając wyeks-plikować znaczenie słowa „prawdziwy” wskazuję na jego różne znaczenia, naktóre wskazują konteksty: „prawdziwe złoto”, „prawdziwy przyjaciel”, „praw-dziwe zdanie”. Podejmując się eksplikacji znaczenia terminów: „przyczyna”,„terroryzm” trzeba podjąć trud opisania znaczeń, w których te słowa byłyużywane.

Dla opisu znaczeń dotychczas przysługujących explicandum może byćzastosowana:

1. metoda filologiczna.Bada się teksty, w których wyrażenie występuje i analizuje przysługu-jące mu znaczenie i związki znaczeniowe z innymi wyrażeniami.

2. metoda indukcyjna.Polega ona na badaniu i opisie przedmiotów, do wskazywania którychużywa się wyrażenia. Tą drogą można eksplikować np. terminy „nie-rząd”, „pornografia”.

3. metoda etymologiczna.Polega ona na badaniu historii danego wyrazu: jak ukształtował się,jakie przysługiwały mu znaczenia, jakie inne wyrazy mają ten samwspólny rdzeń itp.

Wyeksplikowany termin, explicatum, aby pełnił swoją rolę w języku naukimusi zostać włączony w system pojęć danej nauki, bowiem dopiero wówczasuzyskuje walor naukowej przydatności. Na przykład termin „wzrost gospo-darczy” występuje w języku potocznym w dość nieokreślonym znaczeniu.W wyniku eksplikacji uzyskujemy termin o bardziej precyzyjnym znaczeniu,a o jego roli w teorii ekonomii decydują związki z innymi terminami tej nauki.Każdy coś rozumie przez „terroryzm”. Termin będący wynikiem eksplikacjiuzyska walor poznawczy, gdy włączony zostanie w system pojęć prawnychi politycznych.

Ukazując miejsce explicatum w systemie pojęć danej nauki, pokazujemyjego naukową użyteczność. Im więcej powiązań, im bardziej są one podsta-

4.3. EKSPLIKACJA 409

wowe, czyli im więcej terminów danej nauki definiowanych jest za pomocąexplicatum, tym większy jest jego walor naukowej użyteczności.

Explicatum, w odróżnieniu od explicandum, powinno być terminem o ści-śle określonym znaczeniu. Procedura eksplikacji byłaby bezcelowa, gdybyterminy o niejasnym znaczeniu były zastępowane terminami o znaczeniurównie niejasnym. We współczesnej nauce w zasadzie dąży się do tego byexplicatum było terminem metrycznym, czyli aby było możliwe mierzenietreści opisywanej znaczeniem terminu. Na przykład zainteresowani jesteśmytakim pojęciem wzrostu gospodarczego, aby można było ten wzrost mierzyć.

Explicatum pozostaje w związku «genetycznym» z explicandum. Znaczyto, że jest jego odpowiednikiem, udoskonalonym i dostosowanym do celównaukowych. W tym aspekcie eksplikacja jest podobna do definicji regulują-cej.

Wskazuje się też na potrzebę prostoty explicatum. Chodzi o prostotę de-finicji explicatum oraz o prostotę twierdzeń ustalających jego miejsce w sys-temie pojęć danej nauki. Zauważmy tu, że nie jest łatwo powiedzieć, co ro-zumie się przez prostotę. Termin „prostota” jest przykładem terminu, którywymaga eksplikacji.

Rozdział 5

Pytanie i odpowiedź

Pytał głupi mądrego: na co rozum zda się?Mądry milczał; gdy coraz bardziej naprzykrza się,Rzekł mu: na to się przyda według mego zdania,Żeby nie odpowiadać na głupie pytania.

I. Krasicki

Nie wszystko jako jednostki wiemy. W nauce też są obszary nie do końcapoznane. Dążymy do uzupełnienia naszej wiedzy subiektywnej. Nauka dążydo wiedzy możliwie pełnej. Dążymy do uzupełnienia naszej wiedzy obiek-tywnej. My jako jednostki i nauka stawiamy pytania. Logiczna teoria pytańjest przedmiotem logiki erotetycznej.

Pytania stawia prawnik. Sędzia przesłuchuje oskarżonych, świadków,biegłych stawiając pytania. Głosowanie sędziów odbywa się na podstawiepytań dotyczących winy i kary. Stawianie pytań przysięgłym podlega okre-ślonym rygorom. Pytania stawia urzędnik. Od dobrego stawiania pytańzależy uzyskanie właściwego obrazu sprawy. Pytania są ważnym elementemkażdej działalności praktycznej. Stawia je lekarz i biznesmen. Pytania sta-wia socjolog. Poprawne sformułowanie pytania jest warunkiem koniecznympoprawnej odpowiedzi. Wiedzą o tym chociażby ci, którym przyszło zmagaćsię z różnymi pytaniami egzaminacyjnymi.

5.1 Budowa i rodzaje pytań

Definicja 5.1. Pytanie to wyrażenie, które określa brak wiedzy, subiek-tywnej lub obiektywnej, i wskazuje na dążenie do uzupełnienia tego braku.

Na postawione pytania chcemy uzyskać odpowiedź.

411

412 ROZDZIAŁ 5. PYTANIE I ODPOWIEDŹ

Definicja 5.2. Odpowiedź (na pytanie) to wyrażenie, którego zadaniemjest przekazanie wiedzy, której brak stwierdzany był w pytaniu.

Takie są zasadnicze właściwe funkcje pytań i odpowiedzi. Środkami wyra-żania pytań są: szyk zdania, intonacja, użycie partykuł pytajnych. Zwyklepytania stawiamy wykorzystując zdania pytajne. Zdanie pytajne nie jestzdaniem w sensie logicznym. Odpowiedź jest zdaniem w sensie logicznym.Zdanie może pełnić funkcję odpowiedzi nie będąc zdaniem prawdziwym.

Wyrażenie „Jan zapytał, kto jest prezydentem RP” jest w sensie gra-matycznym zdaniem oznajmującym. Informuje o tym, że Jan zadał pewnepytanie i że tym pytaniem było „kto jest prezydentem RP?”. Wyrażenie„Jan zapytał, kto jest prezydentem RP” jest zdaniem w sensie logicznym.Podobnie będzie w wypadku wyrażenia „biologia pyta o istotę życia”.

Definicja 5.3. Pytanie zawisłe to zdanie w sensie logicznym, które infor-muje o postawieniu lub istnieniu pytania.

Wyrażeniem, które nadaje się na wypowiedzenie pytania, jest zdanie py-tajne „kto jest prezydentem RP?”. Pytania w sensie określonym wyżej jakostwierdzenia braku wiedzy i dążenia do jej uzyskania, to pytania nieza-wisłe. Tu zajmiemy się pytaniami niezawisłymi. Wyrażenia służące dowypowiedzenia pytań i odpowiedzi mogą też być wykorzystane do innychcelów, na przykład w retoryce i dydaktyce.

Stawiając pytanie korzystamy ze zdań pytajnych. Zdania te zawierajątakie wyrażenia, jak: „kto”, „co”, „gdzie”, „dlaczego”, „czy”. Są to party-kuły pytajne. Można wypowiedzieć zdanie pytajne nie używając wprostpartykuły pytajnej i ograniczając się w języku pisanym do znaku „?”, a w mó-wionym do odpowiedniej intonacji. Takie zdania pytajne są jednak równo-znaczne ze zdaniami zawierającymi partykułę pytajną. Zdanie pytajne „Janmieszka w Warszawie?” jest równoznaczne ze zdaniem „czy Jan mieszkaw Warszawie?”.

Nie wiem, gdzie mieszka Jan. Pytam więc:

1. Gdzie mieszka Jan?

Jestem zainteresowany tym, kto jest obecnie prezydentem USA. Pytamwięc:

2. Kto jest prezydentem USA?

Nie jestem pewien, czy Jan mieszka w Warszawie. Pytam więc:

3. Czy Jan mieszka w Warszawie?

5.1. BUDOWA I RODZAJE PYTAŃ 413

Nie jestem pewien, czy Bill Clinton jest prezydentem USA. Pytamwięc:

4. Czy Bill Clinton jest prezydentem USA?

Wiem, że Jan mieszkał w Warszawie, ale nie wiem, czy w dalszymciągu mieszka. Pytam więc:

5. Czy Jan wciąż mieszka w Warszawie?

Wiem, że Bill Clinton jest prezydentem USA, ale interesuje mnie, czybędzie ponownie prezydentem USA. Pytam więc:

6. Czy Bill Clinton będzie ponownie prezydentem USA?

W wypadku każdego z pytań 1–6 określona jest wiedza, o którą chodzipytającemu (miejsce zamieszkania Jana, nazwisko prezydenta USA),i wskazane jest dążenie do uzyskania tej wiedzy. W pytaniach 3, 4, 5i 6 występuje ta sama partykuła pytajna „czy”. Pytania 5 i 6 różniąsię tym od 3 i 4, że oprócz informacji o tym, czego dotyczy samopytanie, zdania te stanowią okazję do przekazania pewnej informacjidodatkowej. W wypadku 5 jest to informacja o tym, że Jan mieszkałw Warszawie, a w wypadku 6, że Bill Clinton jest prezydentem USA.Innego rodzaju pytaniem niż 1–6 jest:

7. Jakie są przyczyny konfliktu na terenie byłej Jugosławii?.

W wypadku pytań 1 „gdzie mieszka Jan?” i 2 „kto jest prezydentemUSA?” występują partykuły pytajne „gdzie” i „kto”. Kto zrozumiał pytaniena podstawie samego zdania pytajnego, może określić kształt zdań, które sąoczekiwane jako odpowiedź. W wypadku tych pytań będą to „Jan mieszkaw . . . ” i „. . . jest prezydentem USA”. Wpisując w miejsce kropek nazwęmiasta i, odpowiednio, nazwisko otrzymamy odpowiedzi o oczekiwanej treści.Są to pytania dopełnienia.

Definicja 5.4. Pytanie dopełnienia to pytanie, które zawiera partykułypytajne takie, jak: „kto”, „co”, „kiedy” i które wyznacza kształt oczekiwanejodpowiedzi. Powstaje ona z tego pytania przez wstawienie odpowiednichdanych w miejsce partykuł pytajnych.

Pytaniem dopełnienia zawierającym więcej niż jedną partykułę pytajnąjest „kto i gdzie spotkał się celem dokonania podziału II Rzeczypospolitej?”

W wypadku pytań: 3 „czy Jan mieszka w Warszawie?”, 4 „czy Bill Clintonjest prezydentem USA?”, 5 „czy Jan wciąż mieszka w Warszawie?” i 6 „czy


Bill Clinton będzie ponownie prezydentem USA?”, występuje partykuła py-tajna „czy”. Tym razem również wyznaczony jest kształt odpowiedzi. W wy-padku 3 i 4 może to być zdanie „Jan mieszka w Warszawie” lub jego negacja,czyli „Jan nie mieszka w Warszawie i, odpowiednio, „Bill Clinton jest pre-zydentem USA” lub jego negacja, czyli „Bill Clinton nie jest prezydentemUSA”. Odpowiedzi te są skrótowo wypowiadane jako „tak” i, odpowiednio,„nie”. W wypadku 5 i 6 odpowiedzi „tak” lub „nie” są skrótami dla, odpowied-nio, „Jan wciąż mieszka w Warszawie”, „Jan już nie mieszka w Warszawie”;„Bill Clinton będzie ponownie prezydentem USA”, „Bill Clinton nie będzieponownie prezydentem USA”. Te cztery pytania 3–6 z „czy” jako partykułąpytajną to pytania rozstrzygnięcia.

Definicja 5.5. Pytanie rozstrzygnięcia to pytanie czy α?, na które ocze-kiwaną odpowiedzią jest jedno ze zdań α lub nie-α.

Zauważmy, że warunkiem sensowności semantycznej zdań „Jan wciążmieszka w Warszawie” i „Jan już nie mieszka w Warszawie” jest prawdzi-wość zdania „Jan mieszkał w Warszawie” a w wypadku zdań „Bill Clintonbędzie ponownie prezydentem USA” i „Bill Clinton nie będzie ponownie pre-zydentem USA” jest nim prawdziwość zdania „Bill Clinton jest prezydentemUSA”.

Definicja 5.6. Zdanie α jest presupozycją (założeniem) zdania β wtedyi tylko wtedy, gdy prawdziwość α jest koniecznym warunkiem sensowności(semantycznej) zdania β.

Definicja 5.7. Pytanie założeniowe to pytanie takie, że dla pewnegozdania α, α jest presupozycją (założeniem) wszystkich odpowiedzi, które sązgodne ze schematem wyznaczonym przez to pytanie. Pytanie, które nie jestpytaniem założeniowym to pytanie bezzałożeniowe.

Dwa pierwsze z pytań, 3 i 4, to bezzałożeniowe, a dwa drugie, 5 i 6, tozałożeniowe pytania rozstrzygnięcia.

Definicja 5.8. N-członowe pytanie rozstrzygnięcia to pytanie, na któreoczekiwana odpowiedź jest jednym z n zdań.

Pytania rozstrzygnięcia, na które oczekiwana odpowiedź polega na wybo-rze jednej z dwu możliwych odpowiedzi, to dwuczłonowe pytania rozstrzy-gnięcia. Takim pytaniem jest np. „czy stolicą Polski jest Warszawa, czyKraków?”.

Definicja 5.9. Pytanie zamknięte to pytanie, które wyznacza kształtoczekiwanej odpowiedzi.

5.1. BUDOWA I RODZAJE PYTAŃ 415

Pytaniami zamkniętymi są pytania dopełnienia i pytania rozstrzygnięcia.Pytania tego rodzaju, jak 7 „ jakie są przyczyny konfliktu na terenie byłej

Jugosławii?” i, podobnie, pytania z partykułą pytajną „dlaczego”, nie dająpodstawy do określenia kształtu odpowiedzi.

Definicja 5.10. Pytanie otwarte to pytanie, które nie wyznacza kształtuoczekiwanej odpowiedzi.

W wypadku pytań zamkniętych oczekiwana odpowiedź jest jednozda-niowa. W wypadku pytań otwartych odpowiedź może być wielozdaniowa.

Definicja 5.11. Dana pytania (datum questionis), czyli osnowa pytaniato schemat oczekiwanej odpowiedzi wyznaczony przez pytanie zamknięte.

Partykuła pytajna wskazuje na niewiadomą pytania.

Definicja 5.12. Niewiadoma pytania to miejsce do uzupełnienia w sche-macie odpowiedzi (może być ich kilka).

Niewiadoma pytania pojawia się w schemacie odpowiedzi w miejscu,w którym w pytaniu znajdowała się partykuła pytajna. Partykuła pytajnawskazuje na zakres niewiadomej pytania. Jeżeli jest to partykuła pytajna „wjakim mieście”, to jej zakresem jest zbiór wszystkich miast, ale jeśli jest tonp. fraza „w jakim mieście Europy”, to jej zakresem jest zbiór miast Europy.Jeżeli partykułą jest „kto”, to jej zakresem jest zbiór ludzi, ale jeśli jest tonp. fraza „kto z Polaków”, to jej zakresem jest zbiór Polaków.

Definicja 5.13. Zakres niewiadomej pytania to zbiór wyrażeń, którezgodnie z sensem partykuły pytajnej nadają się na jej miejsce w schemacieodpowiedzi.

W zdaniach pytajnych dana pytania i zakres niewiadomych pytania po-winny być jasno wskazane, w przeciwnym wypadku pytanie może być źlezrozumiane lub w ogóle nie być zrozumiane.

Szczególnym rodzajem pytań — spotykamy się z nimi w ankietach, te-stach, quizach — są pytania, którym towarzyszy zbiór ewentualnych odpo-wiedzi. Są to pytania wyboru.

Definicja 5.14. Pytanie wyboru to pytanie, na które dany jest zbiórwszystkich możliwych oczekiwanych odpowiedzi.

Mogę zapytać „gdzie mieszka Jan?” i jednocześnie podać ewentualnemiejscowości, z których należy wybrać właściwą, np.: „(a) Warszawa, (b)


Białystok”. Stawiając pytanie „co jest przyczyną wojny na terenie byłej Ju-gosławii?” mogę podać następujące odpowiedzi do wyboru „przyczyną wojnyna terenie byłej Jugosławii są konflikty natury: (a) etnicznej, (b) religijnej,(c) ekonomicznej”. Pytania wyboru są pytaniami zamkniętymi, określonyjest bowiem kształt odpowiedzi. Nie każde pytanie zamknięte jest pytaniemwyboru. Więcej, pytania wyboru mogą zawierać partykuły pytajne, takiejak „dlaczego”, „ jakie”, które są charakterystyczne dla pytań otwartych. Py-tania rozstrzygnięcia, w szczególności wieloczłonowe pytania rozstrzygnięciasą pytaniami wyboru. Pytania, które oprócz kilku wskazanych do wyboruodpowiedzi dopuszczają jeszcze możliwość dowolnej odpowiedzi — w kwe-stionariuszach i ankietach określanej jako „inna” — z formalnego punktuwidzenia można uznać za pytania, którym nie towarzyszy zbiór możliwychodpowiedzi, mogą to więc być zarówno pytania zamknięte, jak i otwarte.

Pytania wyboru można podzielić ze względu na liczbę możliwych oczeki-wanych odpowiedzi, którą dopuszcza pytanie. W zależności od sformułowa-nia, pytania wyboru mogą być pytaniami jednego wyboru, dwu — i, ogólnie,n-wyborów. Liczba wyborów może być różnie określona, np. przez procentodpowiedzi do wyboru. Liczba oczekiwanych odpowiedzi może też nie byćokreślona, wówczas mówimy o pytaniu wielu wyborów. Pytanie „którąrzecz chciałbyś zakupić w pierwszej kolejności: pralka, telewizor, magneto-wid, komputer?” jest pytaniem jednego wyboru. Pytaniem dwóch wyborówjest pytanie „które dwie rzeczy zakupiłbyś w pierwszej kolejności: pralka,telewizor, magnetowid, komputer?”. Natomiast pytanie „które przedmiotychciałbyś zakupić w pierwszej kolejności: pralka, telewizor, magnetowid,komputer?” jest pytaniem wielu wyborów.

5.2 Rodzaje odpowiedzi

Odpowiedź jest zdaniem w sensie logicznym. Zdanie w sensie logicznym jestodpowiedzią ze względu na zaistnienie pytania. Nasze przekonanie o ścisłymzwiązku odpowiedzi z pytaniem wyraża potoczne powiedzenie „ jakie pytanie— taka odpowiedź”.

W wypadku pytania zamkniętego oczekiwana odpowiedź jest elementemzbioru zdań określonego przez to pytanie. Pytanie zamknięte wyznacza moż-liwe oczekiwane odpowiedzi.

Definicja 5.15. Odpowiedź właściwa to każda odpowiedź:

1. na pytanie dopełnienia: powstała z uzupełnienia schematu odpowiedziprzez wyrażenia z zakresu niewiadomych pytania,

5.2. RODZAJE ODPOWIEDZI 417

2. na pytanie rozstrzygnięcia: czy α? bądź α, bądź nie-α;

3. na pytanie wyboru: ze zbioru możliwych odpowiedzi towarzyszącychpytaniu.

W wypadku pytania „Jakie konflikty są przyczyną wojny na terenie by-łej Jugosławii: (a) etniczne, (b) religijne, (c) ekonomiczne?” każda z od-powiedzi: (a), (b), (c), jest odpowiedzią właściwą. Odpowiedź „przyczynąkonfliktu jest różnica interesów Rosji i USA” nie jest odpowiedzią właściwą.W wypadku pytania „kiedy i gdzie doszło do zamordowania arcyksięcia Fer-dynanda?” jego datum questionis jest „. . . w . . . doszło do zamordowaniaarcyksięcia Ferdynanda”, a niewiadomymi pytania są data i nazwa miejsco-wości. Odpowiedź „w 1994 w Wiedniu doszło do zamordowania arcyksięciaFerdynanda” jest odpowiedzią właściwą chociaż fałszywą. Odpowiedź „w1914 w Sarajewie doszło do zamordowania arcyksięcia Ferdynanda” jest od-powiedzią właściwą i prawdziwą. W wypadku pytania „czy będzie utrzymanepołączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą?” każda z odpowiedzi właści-wych, pozytywna „tak” i negatywna „nie”, jest fałszywa.

W wypadku pytań dopełnienia i wyboru może być więcej niż jedna od-powiedź prawdziwa. Jest tak np. w wypadku pytania „kto był prezydentemII Rzeczypospolitej?”. W wypadku (założeniowych i bezzałożeniowych) py-tań rozstrzygnięcia możliwe są tylko dwie odpowiedzi właściwe, „tak” i „nie”,i co najwyżej jedna z odpowiedzi na takie pytanie może być prawdziwa. Ktoś,kto stawia na serio pytanie, przyjmuje, że istnieje na nie jakaś odpowiedź.

Musi nie tylko istnieć choć jedna prawdziwa odpowiedź właściwa, alei też nie może być wykluczona możliwość choć jednej właściwej odpowiedzifałszywej. Pytanie przecież jest wyrazem stanu niewiedzy. Nie może więcbyć wykluczona możliwość odpowiedzi prawdziwej i nie może być wyklu-czona możliwość odpowiedzi fałszywej. Możemy to oddać stwierdzeniem, żealternatywa wszystkich odpowiedzi właściwych powinna być zdaniem praw-dziwym.

Definicja 5.16. Pozytywne założenie pytania to alternatywa wszystkichodpowiedzi właściwych.

Warunek, że istnieje przynajmniej jedna odpowiedź fałszywa możemyoddać stwierdzeniem, że koniunkcja wszystkich odpowiedzi właściwych jestzdaniem fałszywym.

Definicja 5.17. Negatywne założenie pytania to koniunkcja wszystkichmożliwych odpowiedzi właściwych.


Pytanie, które spełnia te warunki to pytanie właściwie postawione.

Definicja 5.18. Pytanie właściwie postawione to pytanie, którego po-zytywne założenie jest zdaniem prawdziwym a negatywne założenie jest zda-niem fałszywym. Pytanie, które nie jest właściwie postawione to pytanieniewłaściwie postawione.

W wypadku pytań wyboru może być określony zbiór możliwych odpo-wiedzi pozytywnych i/lub zbiór możliwych odpowiedzi negatywnych. Po-zytywne założenie takiego pytania jest alternatywą wszystkich wskazanychodpowiedzi pozytywnych, a negatywne założenie pytania jest koniunkcjąwszystkich wskazanych odpowiedzi negatywnych. W wypadku, gdy brakwskazania któregokolwiek z tych zbiorów odpowiedzi, odpowiedni zbiór od-powiedzi traktujemy tak samo jak w wypadku pytań, dla których nie zostałwskazany zbiór odpowiedzi pozytywnych lub/i negatywnych.

Pytanie niewłaściwie postawione to pytanie, na które nie jest możliwaodpowiedź prawdziwa lub nie jest możliwa odpowiedź fałszywa. Odpowiedźna pytanie niewłaściwie postawione polega na ujawnieniu fałszywego założe-nia tego pytania. I tak na pytanie „gdzie w Białymstoku mieści się fabrykasamochodów?” oraz na pytanie „gdzie w Białymstoku mieści się fabrykasamochodów: przy (a) Al. Piłsudskiego, (b) ul. Wiejskiej?”, należy odpowie-dzieć: „w Białymstoku nie ma fabryki samochodów”. Na pytanie „pod jakimkątem powinny przecinać się przekątne kwadratu, aby równe były wszyst-kie jego boki?” należy odpowiedzieć: „w każdym kwadracie wszystkie bokisą równe”. Na założeniowe pytanie rozstrzygnięcia „czy utrzymane będziepołączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą?” („ jest połączenie lotniczeBiałegostoku z Warszawą i czy będzie?”) należy odpowiedzieć, że „pomiędzyBiałymstokiem a Warszawą nie ma połączenia lotniczego”. Podobnie będziew wypadku pytania „czy samolot utrzymujący połączenie lotnicze Białego-stoku z Warszawą to ATR?”.

Jeśli chodzi o pytania dopełnienia i pytania wyboru nie będące pytaniamirozstrzygnięcia, to:

1. może być tak, że spełnione są warunki prawdziwości pozytywnego i ne-gatywnego założeń pytania.Jest tak w wypadku pytania „gdzie w Białymstoku mieści się WyższaSzkoła Finansów i Zarządzania?” Podając zły adres dajemy odpowiedźfałszywą, a podając właściwy adres — prawdziwą.

2. może być tak, że fałszywe jest negatywne założenie pytania, czyli niema na nie właściwej odpowiedzi fałszywej.


Kiedy pytam „która liczba parzysta dzieli się przez 2?”, to zakresemtego pytania jest zbiór liczb parzystych. Osnową tego pytania, sche-matem odpowiedzi właściwej, jest „. . . dzieli się przez 2”. Jakąkolwiekliczbę z zakresu niewiadomej weźmiemy pod uwagę, otrzymamy od-powiedź prawdziwą. Na pytanie to nie ma więc fałszywej odpowiedziwłaściwej. Odpowiedź znosząca fałszywe założenie tego pytania to„wszystkie liczby parzyste dzielą się przez 2”.

3. może być tak, że nie ma właściwej odpowiedzi pozytywnej.Schematem odpowiedzi na pytanie „który bok kwadratu jest dłuższy odpozostałych?” jest „. . . jest dłuższy od pozostałych boków kwadratu”,a zakresem niewiadomej pytania jest zbiór boków kwadratu. Jakikol-wiek bok wzięlibyśmy pod uwagę, zdanie otrzymane przez uzupełnienieschematu odpowiedzi będzie fałszywe. Odpowiedź znosząca fałszywezałożenie tego pytania to „wszystkie boki kwadratu są równe”;

4. może być i tak, że zarówno negatywne, jak i pozytywne założenia py-tania są fałszywe.Kiedy pytam „jaką objętość ma kwadrat o boku 2?”, to schematemodpowiedzi na to pytanie jest „. . . objętości ma kwadrat o boku 2”. Ja-kąkolwiek wartość wzięlibyśmy z zakresu niewiadomej pytania otrzy-mamy nonsens, czyli zdanie, któremu reguły semantyczne języka nieprzyporządkowują żadnego znaczenia. Odpowiedź znosząca fałszywezałożenie tego pytania to „kwadrat nie ma objętości”.

W wypadku bezzałożeniowych pytań rozstrzygnięcia warunki prawdzi-wości pozytywnego i negatywnego założenia są zawsze spełnione, czyli tepytania są zawsze właściwie postawione. Zgodnie z przyjętym przez nas ro-zumieniem zdania i zasadą dwuwartościwości, zdanie lub jego negacja jestprawdziwa (pozytywne założenie pytania) oraz zdanie lub jego negacja jestfałszywa (negatywne założenie pytania).

Założeniowe pytania rozstrzygnięcia są pytaniami rozstrzygnięcia zada-nymi przy założeniu prawdziwości presupozycji odpowiedzi. W wypadkupytania czy β? postawionego przy założeniu α odpowiedź „tak” jest ko-niunkcją zdania α i zdania β (α i β), odpowiedź „nie” jest koniunkcją zdaniaα i negacji zdania β (α i nie-β). Zawsze jedno ze zdań-odpowiedzi jest więcfałszywe. W związku z występowaniem zdania α jako członu koniunkcji za-równo w odpowiedzi „tak”, jak i „nie” nie jest zagwarantowana prawdziwośćprzynajmniej jednej odpowiedzi. Warunkiem koniecznym i wystarczającymtego jest prawdziwość zdania α. W wypadku założeniowych pytań rozstrzy-gnięcia może się więc zdarzyć, że nie jest spełniony warunek prawdziwości


pozytywnego założenia pytania. Ma to miejsce w wypadku pytań: „czyutrzymane będzie połączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą?”, „czy zgu-biłeś rogi?”1.

Odpowiedzią niewłaściwą jest odpowiedź, w której użyto wyrażenia nienależącego do zakresu niewiadomej. Na pytanie „kto z Polaków otrzymałnagrodę Nobla?” można odpowiedzieć:

1. Henryk Sienkiewicz otrzymał nagrodę Nobla— jest to właściwa odpowiedź prawdziwa;

2. Maria Konopnicka otrzymała nagrodę Nobla— jest to odpowiedź właściwa, choć fałszywa;

3. Albert Einstein otrzymał nagrodę Nobla— jest to odpowiedź prawdziwa, choć niewłaściwa;

4. Bill Clinton otrzymał nagrodę Nobla— jest to odpowiedź niewłaściwa i nieprawdziwa.

Definicja 5.19. Odpowiedź całkowita wprost to odpowiedź właściwa.

Definicja 5.20. Odpowiedź całkowita niewprost to odpowiedź, z którejwynika odpowiedź właściwa.

Definicja 5.21. Odpowiedź całkowita to odpowiedź całkowita wprostlub odpowiedź całkowita niewprost.

Definicja 5.22. Odpowiedź wyczerpująca na dane pytanie to odpowiedźcałkowita, z której wynika każda prawdziwa odpowiedź na to pytanie.

Na pytanie „w którym miesiącu rozpoczyna się rok akademicki w WyższejSzkole Finansów i Zarządzania w Białymstoku?” można odpowiedzieć:

1. Rok akademicki w Wyższej Szkole Finansów i Zarządzania w Białym-stoku rozpoczyna się w październiku— Jest to odpowiedź całkowita wprost.

Bądź:

2. Rok akademicki na wszystkich wyższych uczelniach białostockich roz-poczyna się w październiku— Jest to odpowiedź całkowita niewprost. Z odpowiedzi tej wynikaodpowiedź 1.

1Pytanie to daje podstawę do znanego w starożytności sofizmatu „Rogacz”.


Odpowiedzi 1 i 2 są prawdziwe. Odpowiedź całkowita może też byćfałszywa. Byłoby tak, gdyby odpowiedzieć: „rok akademicki na wyższychuczelniach białostockich rozpoczyna się w listopadzie.”

Definicja 5.23. Odpowiedź częściowa to odpowiedź, która nie jest od-powiedzią całkowitą i która wyklucza niektóre odpowiedzi właściwe.

Na pytanie „w którym miesiącu rozpoczyna się rok akademicki w WyższejSzkole Finansów i Zarządzania w Białymstoku?” można odpowiedzieć:

1. Rok akademicki w Wyższej Szkole Finansów i Zarządzania w Białym-stoku rozpoczyna się jesienią— Jest to odpowiedź częściowa wprost.

2. Rok akademicki we wszystkich białostockich szkołach wyższych rozpo-czyna się jesienią— Jest to częściowa odpowiedź niewprost.

W wypadku, gdy pytanie dotyczyło sytuacji niedeterministycznej, a więctakiej, której stan faktyczny nie jest przesądzony jednoznacznie, odpowiedźo postaci odpowiedzi właściwej, może być dana pod pewnym warunkiem.Na pytanie „kto wygra mecz piłkarski, drużyna A, czy drużyna B?” możnadać odpowiedź uzupełniając ją o jakiś warunek. Na przykład może to byćodpowiedź: „drużyna A wygra, jeśli będzie skutecznie grała w obronie”. Takaodpowiedź to właściwa odpowiedź warunkowa.

Definicja 5.24. Warunkowa odpowiedź właściwa to odpowiedź złożonaz odpowiedzi właściwej i warunku prawdziwości tej odpowiedzi.

Gdyby warunek „ jeśli będzie skutecznie grała w obronie” umieścić w py-taniu, brzmiałoby ono wówczas: „kto wygra mecz, drużyna A, czy drużynaB, jeśli drużyna A będzie skutecznie grała w obronie?”. Odpowiedź na topytanie może już być bezwarunkową odpowiedzią właściwą. Warunkowy cha-rakter może mieć również odpowiedź w wypadku pytań rozstrzygnięcia. Napytanie „czy wojna na terenie byłej Jugosławii kiedykolwiek zakończy się?”można odpowiedzieć: „tak, pod warunkiem, że społeczność międzynarodowabędzie zachowywała się w tej sprawie konsekwentnie”. Warunek „społecz-ność międzynarodowa będzie zachowywała się konsekwentnie” mógłby byćzawarty w samym pytaniu — „czy wojna na terenie byłej Jugosławii kie-dykolwiek zakończy się, jeśli społeczność międzynarodowa będzie się zacho-wywać w tej sprawie konsekwentnie?” Odpowiedź na to pytanie może jużbyć bezwarunkowa, ale nie musi. W wypadku zarówno pytań dopełnienia,


jak i pytań rozstrzygnięcia mogą pojawić się kolejne warunki. Warunkowycharakter mogą mieć odpowiedzi całkowite, częściowe, wprost i niewprost.Warunki winny być tak skonstruowane, aby wykluczały się, czyli nie byływspółprawdziwe, i aby dopełniały się, czyli nie były współfałszywe. W wy-padku pytania „kto wygra mecz piłkarski, drużyna A, czy drużyna B?” mo-żemy dać następującą odpowiedź: „ jeśli drużyna A będzie grać skuteczniew obronie, to wygra drużyna A. Jeśli drużyna A nie będzie grać skuteczniew obronie, a drużyna B nie wystąpi w najmocniejszym składzie, to wygradrużyna A. Jeśli drużyna A nie będzie skuteczna w obronie, a drużyna Bwystąpi w najmocniejszym składzie, to wygra drużyna B.”.

Czy na każde poprawnie postawione pytanie będzie można znaleźć od-powiedź. Pod koniec XIX wieku Emil du Bois-Reymond wygłosił słynneignoramus et ignorabimus — nie wiemy i wiedzieć nie będziemy. Na przeło-mie XIX i XX w. odpowiadał mu David Hilbert: Wir müssen wissen. Wirwerden wissen. —Musimy wiedzieć. Będziemy wiedzieć. Stawia Hilbert pro-blem metody, która w sposób nie budzący wątpliwości pozwoli rozstrzygnąćdowolne pytanie, przynajmniej w obszarze matematyki. Postawione przezHilberta pytania-problemy zaowocowały znakomitymi wynikami. W tezieChurcha-Turinga określone zostało to, co można uznać za rachunkową me-todę nie budzącą wątpliwości. Udowodnione zostało, że są pytania, na którenie można znaleźć odpowiedzi, jeśli tylko ograniczyć się do takiej metody.Rozważania te stworzyły teoretyczny fundament współczesnej informatyki.Na tym przykładzie nie sposób nie zauważyć naukotwórczej roli pytań.

5.3 Praktyczne problemy stawiania pytań

Pytania i odpowiedzi oprócz wyżej omówionych funkcji właściwych wyko-rzystywane są też do innych celów, przede wszystkim retorycznych i dydak-tycznych.

Nauczyciel pytając ucznia nie czyni tego w związku z brakiem swojejwiedzy i chęci jej uzupełnienia, co miałoby miejsce, gdyby stawiał pytaniew sensie, który wyżej był dyskutowany. Odwrotnie, powinien tę wiedzę po-siadać. Celem postawienia pytania dydaktycznego, które co do formynie różni się od pytania w jego roli właściwej, jest sprawdzenie opanowaniawiedzy przez ucznia. Odpowiedź podlega ocenie. Ocena ta zależy od treścipytania, ale i od jego formy — zasadniczo łatwiejszymi pytaniami są pyta-nia rozstrzygnięcia. Zależy też od odpowiedzi, oczekiwana jest odpowiedźwłaściwa całkowita. W wypadku pytań otwartych ocena zależy od trafnościi od stopnia rozwinięcia odpowiedzi.

5.3. PRAKTYCZNE PROBLEMY STAWIANIA PYTAŃ 423

Pytania są narzędziem w negocjacjach. W negocjacjach ważne jest pod-jęcie trzech decyzji:

1. jakie pytania wybrać,

2. jak je formułować,

3. kiedy zadawać.

O znaczeniu formy pytania może świadczyć następująca historia.

Pewien duchowny zapytał swego przełożonego: „Czy mogę palićpapierosa w czasie modlitwy?”. Uzyskał odpowiedź negatywną.Inny duchowny zadał temu samemu przełożonemu pytanie: „Czymogę się modlić, kiedy palę papierosa?” Na tak postawione py-tanie ów przełożony dał odpowiedź pozytywną.

O doniosłości sposobu formułowania pytań świadczy praktyka sądowni-cza. W pewnym okresie (po 1688) obrońca w sprawach kryminalnych tylkomógł pytać oskarżonego. Dlatego też w tradycji anglosaskiej wystąpienia są-dowe zachowały formę pytań. Oczywiście, pytania te trzeba tak formułować,aby można było wypełnić rolę obrońcy.

Zwykle pytaniu, nazwijmy jest pytaniem głównym, towarzyszą inne py-tania, mówimy że są to pytania dodatkowe lub że są to pytania uzupeł-niające. Pytania uzupełniające zależą od odpowiedzi na pytanie główne.Oskarżonemu, który odpowiedział „tak” na pytanie, czy przyznaje się dozarzuconego czynu, zadaje się pytania o motyw czynu, sposób działania itp.

Jeśli stawia się więcej niż jedno pytanie, to należy — mając na uwadzezależności między pytaniami — stawiać je we właściwej kolejności wyznaczo-nej przez związki logiczne zachodzące między odpowiedziami na te pytanialub względy natury praktycznej. Z tych ostatnich powodów chcąc odnaleźćdane o kimś na liście sporządzonej alfabetycznie wpierw zapytam o nazwisko,a następnie o imię. Odwrotna kolejność pytań byłaby niewłaściwa.

W logice tradycyjnej wskazuje się na niewłaściwość zadawania więcej niżjednego pytania w formie jednego pytania.

Definicja 5.25. Sofizmat podwójnego pytania (sophisma duplicis in-terrogationis ut unius) ma miejsce wówczas, gdy więcej niż jedno pytaniepostawione jest w formie jednego pytania.

Był to ulubiony chwyt retoryczny starożytnych sofistów. W forma wy-rażenia „czy lubisz zagraniczne i drogie wczasy?” sugeruje dwie możliwe od-powiedzi: „tak”, „nie”. Jednak postawione są dwa pytania i na każde z nich


możliwe są dwie odpowiedzi. Łącznie mogą być cztery stanowiska w sprawiedrogich wczasów zagranicznych.

Pytania należy stawiać mając na uwadze określony cel ich stawiania.Pytanie nie jest zdaniem w sensie logicznym. Nie jest ani prawdziwe anifałszywe. Musi być jednak celowe. Chcąc się dowiedzieć, gdzie ktoś pracujenie będę się pytał, ile ma on dzieci. Ustawy procesowe wyraźnie zabraniająpytań nieistotnych. Nieistotne są pytania nie zmierzające do realizacji celówprocesowych. Zadawanie pytań niecelowych i powtarzanie pytań, na którejuż uzyskano odpowiedź jest sposobem udręczania osoby przesłuchiwanej.

Pytania należy stawiać kierując się zasadą ekonomii: za pomocą naj-mniejszej liczby pytań uzyskać najwięcej potrzebnej informacji. O poprzed-nich zasadach, a w szczególności tej, wiedzą osoby zabawiające się „dwudzie-stoma pytaniami” — za pomocą dwudziestu pytań rozstrzygnięcia należyustalić, co na myśli ma partner zabawy.

Pytania winny być jednoznaczne i zrozumiałe dla pytanego.Praktycznym problemem stawiania pytań jest zagadnienie, kogo pytać.

Najprościej mówiąc tego, kto wie i potrafi udzielić odpowiedzi. Są ludzie,którzy wiedzą, ale nie umieją dać odpowiedzi. Może tak być dlatego, że

1. nie potrafią jednoznacznie formułować myśli, bo ich wypowiedzi sązaburzane przez różne emocje, przez co pojawiają się zdania nie natemat lub fałszywe,

2. nie chcą jednoznacznie sformułować odpowiedzi, bo ich zaangażowaniew sprawę — względy rodzinne albo interesy — skłaniają od odpowiedziniezgodnych z prawdą itp.

Wiedzą o tym prawnicy. Świadkowie jeśli są chorzy psychicznie, nieletni,osoby, o których wiadomo, że składały fałszywe zeznania są niewiarygodnijako informatorzy. Osoby bliskie związkami rodzinnymi z oskarżonym niemuszą występować jako świadkowie. W prawie regulują to zasady odbieraniaprzyrzeczenia od osób powołanych na świadków.

Odpowiedź może zakładać jakieś zdanie, może być zdaniem z presupozy-cją (jako warunkiem sensowności). Taka odpowiedź pośrednio zawiera uzna-nie tej presupozycji przez kogoś, kto tej odpowiedzi udziela. Fakt uznaniaw ten sposób jakiegoś zdania jest łatwy do przeoczenia. Stwarza to okazjędla pytań sugestywnych.

Definicja 5.26. Pytanie sugestywne to pytanie, które stawiane jest, abyudzielić osobie pytanej informacji, której ona nie posiada i zasugerować od-powiedź.


Domaganie się odpowiedzi właściwej, co jest chociażby domniemane przezpytanego, daje okazję do zasugerowania pytanemu odpowiedzi. Wiedzą do-brze o tym autorzy ankiet. Najłatwiej opracować wyniki ankiety, która za-wiera tylko pytania rozstrzygnięcia: „tak” lub „nie”. Pytania rozstrzygnię-cia, wiedzą o tym z kolei osoby wypełniające ankiety, istotnie ograniczająswobodę odpowiedzi. W angielskiej procedurze prawnej przestrzega się, byświadkowi nie stawiano pytań rozstrzygnięcia. Ławie przysięgłych stawia sięzaś tylko pytania rozstrzygnięcia. Najmniej sugestywne są pytania otwarte,ale one, choćby jako pytania ankietowe, znacznie utrudniają opracowaniewyników ankiety.

Pytania mogą być stawiane podchwytliwie, mianowicie wówczas, gdyich założenie stwierdza coś, czego osoba pytana nie chce uznać. Stawiane jest,aby uzyskać odpowiedź sprzeczną z wcześniejszą odpowiedzią lub w celu uzy-skania informacji, którą pytany chce zataić. Ktoś twierdzi, że nie był w Rzy-mie. Pytanie „z kim był pan w Rzymie?” jeśli doczekałoby się odpowiedziwłaściwej, to pośrednio przyznawałoby, że osoba pytana była w Rzymie.

Przykład 5.1. W telewizji (23 października 1994 r.) miała miejsce następu-jąca rozmowa. Dziennikarz zapytał wicemarszałka Sejmu, J.Z.:

— Czy będzie pan kandydował w wyborach prezydenckich?

Wicemarszałek J.Z. odpowiedział:

— Rozważę to pytanie, gdy władze mojej partii złożą mi takąpropozycję.

Dziennikarz na to:

— Czy pan tę propozycję przyjmie?

Rozmowę na ten temat zamknęła wypowiedź J.Z.:

— O, panie redaktorze, próbuje pan stosować podchwytliwe pytania,od których specjalistą mógłbym być ja jako prawnik.

Zauważmy, że J.Z. dając odpowiedź właściwą na pytanie o przyjęcie propo-zycji kandydowania w wyborach prezydenckich dałby pośrednią odpowiedźwłaściwą na pytanie, czy będzie kandydował w wyborach prezydenckich, naktóre takiej odpowiedzi dać nie chciał.

Kto dobrze zrozumiał sugestywny i podchwytliwy charakter sposobu sta-wiania pytań zauważy, jak ważne to narzędzie w dyskusjach, negocjacjachi argumentacji.

Ustawy procesowe zabraniają stawiania pytań sugestywnych, podchwy-tliwych i dokuczliwych lub wulgarnych. Na pytania sugestywne szczególnie


podatne są osoby o mało wyrobionym krytycyzmie, a więc w szczególnościosoby małoletnie.

Definicja 5.27. Pytanie retoryczne to wypowiedź o formie pytania. Ce-lem takiej wypowiedzi nie jest zadanie pytania, lecz jest to wypowiedź prze-kazująca informację i to w taki sposób, aby podkreślić niekwestionowalnośćtej informacji.

Retoryczny charakter pytania jest wyraźny w kontekście wypowiedzi,w której ono znajduje się.

Pytania w ogóle, a nie tylko retoryczne, mogą być wykorzystane do prze-kazania informacji. Takiego rodzaju pytaniami są pytania z tezą. W tejroli mogą wystąpić pytania zamknięte: rozstrzygnięcia, dopełnienia i pytaniaotwarte. Kiedy stawiane jest pytanie „czy byłeś chory na chorobę alkoho-lową?”, to w stosunku do osoby, której jest ono zadane, dopuszczona jestmożliwość, że osoba ta mogła być nałogowym alkoholikiem. Pytany możewięc poczuć się obrażonym, chociaż pytanie to nie jest założeniowym pyta-niem rozstrzygnięcia. Oczywiście, w wypadku założeniowych pytań sytuacjajest jasna. Pytania te przekazują informację. Informacja ta może być ob-raźliwa dla kogoś (niezależnie od tego, czy jest to informacja prawdziwa,czy fałszywa). Informować można również pytaniami dopełnienia. Pytanie„gdzie Korea Północna składuje swoje bomby atomowe?” informuje, że Ko-rea Północna posiada bomby atomowe. Pytanie „ile wczoraj się nauczyłeś?”informuje, że osoba, której to pytanie jest postawione, wczoraj się uczyła.Pytanie otwarte „dlaczego wybuchła wojna w Bośni?” informuje, że w Bośniwybuchła wojna. Pytanie „dlaczego wziąłeś rozwód?” informuje, że osoba,do której pytanie to jest skierowane, rozwiodła się. Pytania są zręczną formąprzekazywania pewnych informacji.

W wypadku pytań podchwytliwych należy nie ulegać presji i odpowie-dzieć przez zanegowanie założenia pytania. W wypadku, gdy pytanie ujaw-nia informację, której ujawnienie nie jest pożądane, nie należy zadowalać sięstwierdzeniem osoby pytającej, że było to tylko pytanie.

Zadając pytanie można nieświadomie dotknąć jakiegoś emocjonalnegoproblemu. Na przykład pytając „kiedy się pani urodziła?” muszę się liczyćz możliwością próby uniknięcia pytania, gdy osobą pytaną jest starsza za-dbana pani.

O możliwościach kształtowania opinii, jakie stwarzają pytania z tezą wie-dzą dobrze dziennikarze. W wypadku pytania skierowanego do polityka:

To bardzo intensywny tryb życia, jeśli do tego dodać obowiązkirodzinne. Kto na tym cierpi najbardziej?


Odpowiedź, jakakolwiek by nie była pozostawi w świadomości czytelnikaprzekonanie, że polityk zaniedbuje rodzinę.

Pytanie:

Jakie szanse mają dzisiaj młodzi ludzie, którzy chcą pozostać wkraju a nie wyjechać za granicę?

Tworzy opinię o małych szansach dla młodych ludzi w kraju.Pytanie „ jaki jesteś naprawdę?” nie tylko zakłada, że osoba, do której

jest ono skierowane „gra”, ale stawiane przez dziennikarza w wypadku osóbznanych ma na celu tworzyć atmosferę zainteresowania czytelnika.

Zadania

Zadanie 5.1. Która z odpowiedzi „tak” lub „nie” na pytanie „czy był pan/i ka-rana sądownie lub administracyjnie?” jest wieloznaczna? Jak te odpowiedzirozumieć?

Zadanie 5.2. Czy poprawne jest pytanie:

1. czy od razu po studiach dostaniesz pracę i będziesz mógł wybrać miej-sce pracy?

2. czy dostałeś wynagrodzenie i oddałeś je żonie?

Zadanie 5.3. Jakie informacje zawierają pytania:

1. dlaczego twój samochód stoi pod domem twojego kolegi?

2. ile wynosi twój dodatek funkcyjny?

3. dlaczego Jan ożenił się z Zosią?

Zadanie 5.4. Pytanie główne jest następujące:

W jakim zawodzie będziesz pracował?

Podaj kilka pytań dodatkowych.

Zadanie 5.5. Jaka będzie odpowiednia odpowiedź na pytanie?

Pewna pani dzieliła ludzi na tych, którzy siebie lubią i tych, któ-rzy siebie nie lubią. Nie lubiła tych, którzy siebie lubią a lubiłatych, którzy siebie nie lubią. Czy ta pani lubiła siebie?

Zadanie 5.6. Przeanalizuj pytania (typowe dla wywiadów z ludźmi estradyi życia publicznego zadawane przez dziennikarzy szukających sensacji):


1. To bardzo intensywny tryb życia, jeśli do tego dodać obowiązki ro-dzinne. Kto na tym cierpi najbardziej?

2. Jaką szansę na odniesienie sukcesu na rynku muzycznym mają dziśpańskim zdaniem młodzi ludzie?

3. Czy jesteśmy zdrowym psychicznie, normalnym społeczeństwem?

4. Polacy, w zależności od opcji politycznej, jak im wygodnie, wykorzy-stują autorytet papieża, jego stanowisko w sprawie Unii Europejskiej,Iraku. Czy to objaw moralnej schizofrenii?

5. Jaki/jaka jesteś naprawdę?

6. Czy to prawda, że od kiedy nie jesz mięsa, zaprzestałeś też praktykhomoseksualnych?

7. Czy również ty kompensujesz na estradzie swoje niespełnienia?

Indeks

i-ta dziedzina relacji, 75n-argumentowy spójnik alternatywy,

98n-argumentowy spójnik alternatywy

rozłącznej, 99n-argumentowy spójnik koniunkcji, 99n-członowa alternatywa rozłączna zdań,

99n-członowa alternatywa zdań, 98n-członowa koniunkcja zdań, 99n-członowe pytanie rozstrzygnięcia, 414n-stopniowa klasyfikacja, 375, 384n-tka uporządkowana, 74ślad, 16łańcuch przyczynowo-skutkowy, 195łańcusznik, 311antistrefon, 267Argumenta ponderantur, non nume-

rantur, 241Argumentum per eloquentiam, 240Audiatur et altera pars, 241Contra facta non valent argumenta,

241argumentum ad auctoritate, 239argumentum ad auditorem, 237argumentum ad baculum, 237argumentum ad crumenam, 237argumentum ad hominem, 236argumentum ad ignorantiam, 237argumentum ad judicium, 240argumentum ad misericordiam, 237argumentum ad personam, 238

argumentum ad populum, 237argumentum ad vanitatem, 237argumentum ad verecundiam, 237ars dictaminis, 229calculus ratiocinator, 11causa proxima, 195causa ramota, 195cessante causa, cessat effectus, 194circulus in definiendo, 396circulus in probando, 255conceptus, 366conditio sine qua non, 192contingens est, 102controversiae, 229copula, 385datum questionis, 415definiendum, 385definiens, 385definitio non sit pure negativa, 388differentia specifica, 370dispositio, 229durante causa durat effectus, 194elocutio, 229ethos, 229explicandum, 407explicatum, 407fallacia accidentis, 253fallacia a sensu composito ad sensum

divisum, 250fallacia a sensu diviso ad sensum com-

positum, 252fallacia consequentis, 259

429

430 INDEKS

fallacia non causae ut causae, 258fallacia propter non causam ut cau-

sam, 258fallacia, 246fundamentum divisionis, 372genus, 370idem per idem, 396identitas indiscernibilium, 78ignoratio elenchi, 254ignotum per ignotum, 397impossibile est, 102inventio, 229lex rationis determinantis sive suffi-

cientis, 145linqua characteristica, 11logica docens, 12logica utens, 12logos, 229manifestum non eget probatione, 148mathesis universalis, 10membra divisionis, 372memoria, 229modus ponens, 259modus tollens, 260necessarium est, 102nihil fit sine causa, 195non causa pro causa, 258non sequitur, 254omnis definitio in iure civili pericu-

losa est, 396pathos, 229per fas et nefas, 227petitio principii, 255, 257post hoc, ergo propter hoc, 258principium rationis sufficientis, 145privatio, 67pronuntiatio, 229regresus in infinitum, 389salva congruitate, 37salva veritate, 369

sophisma duplicis interrogationis utunius, 423

sophisma inductionis, 262suasoriae, 229totum divisionis, 372transitus a dicto secundum quid ad

dictum simpliciter, 253transitus de genere ad genus, 254

abstrahowanie, 69affirmo, 296agregat, 65akapit, 118, 121akcent logiczny, 115aksjomat, 154aktualna wieloznaczność, 127alternatywa rozłączna zdań, 90alternatywa zdań, 89amfibolia, 115, 129amfibologia, 115analogia, 30, 154antynomia logiczna, 266argument funkcji, 83argument Koraksa, 228, 236argument odwołujący się do powszech-

nej praktyki, 239argument spójnika, 88argumentacja, 148, 230argumentacja „czy się godzi, czy nie”,

227argumentacja skuteczna, 232argumentacja sprawna, 232argumentowość litery predykatowej, 316argumentum a simili, 215argumentum ad hominem, 238argumentum ad personam, 236atrybut, 85

błąd akcentu, 247

INDEKS 431

błąd błędnego koła w definiowaniu,396

błąd czterech terminów, 308błąd ekwiwokacji, 248błąd formalny, 246błąd hipostazowania, 65błąd materialny, 256błąd merytoryczny, 256błąd nieformalny, 246błąd nieuzasadnionego uogólnienia, 262błąd odrzucenia poprzednika, 260błąd podziału, 250błąd prowincjonalizmu, 262błąd przejścia od znaczenia względ-

nego do bezwzględnego, 253błąd przesunięcia kategorialnego, 399błąd przypadkowości, 253błąd stwierdzenia alternatywy rozłącz-

nej, 252błąd terminów relacyjnych, 249błąd uznania następnika, 259błąd wieloznaczności, 247błąd wnioskowania z reguły na wyją-

tek, 263błąd wnioskowania z wyjątku na re-

gułę, 263błąd złożenia, 252błędne koło bezpośrednie, 255błędne koło bezpośrednie w definio-

waniu, 396błędne koło pośrednie, 256błędne koło pośrednie w definiowa-

niu, 397badanie statystyczne częściowe, 181badanie statystyczne pełne, 181baza danych, 85baza indukcji, 179bezpośredni następnik, 81bezpośredni poprzednik, 81bezsens, 31

binegacja zdań, 91

cecha konsekutywna, 55cecha konstytutywna, 54cechy kontradyktoryczne, 373charakterystyka, 396charakterystyka ekstensjonalna zakresu

nazwy, 367charakterystyka ekstensjonalna zbioru,

367chwiejne znaczenie, 128chwyt erystyczny, 141, 236conversio per accidens, seu non mu-

tua, 302conversio per contrapositionem, 303conversio simplex, seu simpliciter, seu

mutua, 302człon podziału, 372człony alternatywy, 89człony alternatywy rozłącznej zdań,

90człony binegacji zdań, 91człony dysjunkcji zdań, 92człony koniunkcji zdań, 91

dana, 85dana pytania, 415dedukcja naturalna, 339definicja, 366definicja adekwatna, 386definicja aksjomatyczna, 389definicja arbitralna, 395definicja cząstkowa, 388definicja deiktyczna, 368definicja indukcyjna, 369definicja klasyczna, 370, 371definicja konstrukcyjna, 395definicja kontekstowa, 389definicja legalna, 399definicja nominalna, 367, 385

432 INDEKS

definicja normalna, 388definicja ostensywna, 368definicja pełna, 388definicja perswazyjna, 392definicja projektująca, 394definicja przez abstrakcję, 379definicja przez postulaty, 389definicja realna, 366definicja regulująca, 394definicja rekurencyjna, 369definicja sprawozdawcza, 393definicja sprawozdawcza treściowa, 394definicja sprawozdawcza zakresowa, 394definicja tautologiczna, 397definicja terminu, 297definicja wyraźna, 389definicja w stylizacji przedmiotowej,

390definicja w stylizacji słownikowej, 391definicja w stylizacji semantycznej, 391definicja w uwikłaniu, 389definicja za szeroka, 398definicja za szeroka i za wąska, 398definicja za wąska, 397definicja zdania, 277, 297definiowanie, 385denotacja, 50denotowanie, 50desygnat nazwy, 50determinanda, 373determinant, 373determinowanie, 69dezorientacja przekonywanego, 241diagram Venna, 298dopełnienie relacji, 77dopełnienie względne, 58dowód apagogiczny, 160dowód formuły, 334dowód niewprost, 160

dowód przez sprowadzenie do niedo-rzeczności, 160

dowód rzeczowy, 161dowód wprost, 160dowód założeniowy, 339dowód zdania, 159, 284dowodzenie, 159, 162, 225dowodzenie analityczne, 161dowodzenie progresywne, 161dowodzenie regresywne, 161dowodzenie syntetyczne, 161drzewo analityczne, 355dysjunkcja zdań, 92dyspozycja, 377dziedzina, 50dziedzina języka, 50dziedzina relacji, 75

ekspansja wiedzy, 151eksplikacja, 407ekwipolencja, 304ekwiwokacja, 127elementR-maksymalny w zbiorze, 81element R-minimalny w zbiorze, 81element R-najmniejszy w zbiorze, 81element R-największy w zbiorze, 81entymemat, 310epicheremat, 310, 311epistemiczne rozumienie modalności,

106erudycja, 241erystyka, 227eufemizm, 33

fałszywy dylemat, 256figura syllogismi, 308figura sylogistyczna, 308forma wnioskowania, 157formalna poprawność podziału logicz-

nego, 373

INDEKS 433

formalne warunki poprawności defi-nicji, 396

format danej, 85formuła, 317formuła atomowa, 316fortel, 236frazes, 133funkcja, 83funkcja agitatywna języka, 23funkcja argumentacyjna języka, 23funkcja deskryptywna języka, 22funkcja dydaktyczna języka, 23funkcja dyrektywna języka, 20funkcja ekspresywna języka, 20, 22funkcja estymatywna języka, 23funkcja ewokatywna języka, 22funkcja fatyczna języka, 23funkcja imperatywna języka, 22funkcja impresywna języka, 22funkcja informacyjna języka, 19funkcja instrumentalna języka, 22funkcja interrogacyjna języka, 23funkcja komunikatywna języka, 22funkcja konotatywna języka, 23funkcja opisowa języka, 22funkcja performatywna języka, 23funkcja perswazyjna języka, 23funkcja poznawcza języka, 22funkcja prawdziwościowa języka, 22funkcja promotywna języka, 22funkcja terapeutyczna języka, 23funkcja wzajemnie jednoznaczna, 84funkcja zobowiązywania się, 21funkcje języka, 18funktor Łukasiewicza, 91funktor Sheffera, 92

głębokość podziału tekstu, 120gałąź, 349gałąź otwarta, 349

gałąź sprzeczna, 349gałąź zamknięta, 349generalizacja, 69graf, 84gramatyka języka, 27

hasło, 16homonim, 29

I prawo De Morgana dla rachunkuzdań, 345

ideogram, 26idiom, 29, 131ilość, 296iloczyn relacji, 76iloczyn względny relacji, 77implikacja, 154implikacja ścisła, 95implikacja formalna, 95implikacja materialna, 95implikacja odwrotna, 95implikacja przeciwna, 95implikacja przeciwstawna, 96implikacja zdań, 93indukcja eliminacyjna, 191, 199indukcja enumeracyjna, 173indukcja enumeracyjna zupełna, 174indukcja matematyczna, 178, 369indukcja statystyczna, 181inferencja, 284intensjonalna charakterystyka zakresu

nazwy, 367intensjonalna charakterystyka zbioru,

367interpretacja tekstu, 124interpretacja zdania, 279

język, 15, 25język n-tego stopnia, 57język ekstensjonalny, 369język formalny, 27

434 INDEKS

język intensjonalny, 369język migowy, 15język naturalny, 17język neutralny emocjonalnie, 33język prawniczy, 17język prawny, 17język sylogistyki, 297język sztuczny, 17jakość, 296jasne znaczenie, 27jednostka tekstowa, 118

kłamstwo, 43kanon indukcji eliminacyjnej Milla, 191kanon Milla, 200kategoria składniowa, 37kategoria syntaktyczna, 37kategoryczne zdanie ogólnoprzeczące,

296kategoryczne zdanie ogólnotwierdzące,

296kategoryczne zdanie szczegółowo prze-

czące, 297kategoryczne zdanie szczegółowo twier-

dzące, 296klasa abstrakcji, 378klasyczna koncepcja prawdy, 40kod, 16koherencyjna koncepcja prawdy, 41komunikacja niewerbalna, 131konceptualizacja, 366konceptualizacja a związek przyczynowo-

skutkowy, 196konieczność, 102koniunkcja zdań, 91konkluzja, 150konotacja nazwy, 53konsekwencja zdań, 153kontrakcja, 151kontrtautologia, 280

konwers relacji, 76konwersja, 302konwersja prosta, 302konwersja przez kontrapozycję, 303konwersja przez zmianę ilości, 302konwersja z ograniczeniem, 302korespondencyjan koncepcja prawdy,

41korzeń drzewa, 349krok indukcyjny, 179krotka, 74kryterium prawdy, 44kryterium sortowania, 86kwantyfikator, 111, 316kwerenda, 86

liść, 349liczba naturalna, 369litera, 26litera predykatowa, 316litera zdaniowa, 277logika, 9, 10, 141logika erotetyczna, 411logika formalna, 11logika jako sztuka, 12logika matematyczna, 10logika nieformalna, 11logika praktyczna, 11logika zdań, 11logomachia, 128

mętne znaczenie, 27macierz, 84margines błędu, 182metafora, 30metajęzyk, 57metoda diagramów Venna, 348metoda dowodów założeniowych, 339,

348metoda elenktyczna, 236

INDEKS 435

metoda etymologiczna, 394, 408metoda filologiczna, 390, 408metoda indukcyjna, 408metoda majeutyczna, 236metoda Milla, 200metoda różnicy, 203metoda reszt, 205metoda słowotwórcza, 394metoda tablic semantycznych, 348metoda zero-jedynkowa, 281, 348metoda zero-jedynkowa wprost, 281metoda zerojedynkowa niewprost, 281metoda zgodności, 201metoda zmian towarzyszących, 207metodologia nauk, 146możliwość, 102moc wiązania przez spójniki, 278modalność de dicto, 103modalność de re, 102modalność aletyczna, 104modalność deontyczna, 104modalność egzystencjalna, 104modalność epistemiczna, 104modalność fizyczna, 103modalność logiczna, 103–105modalność metafizyczna, 104modalność moralna, 103modalność normatywna, 103modus syllogismi, 308modus tollens, 344monotoniczność rozumowania, 158

największa jednostka tekstowa, 118następnik implikacji, 93następstwo zdań, 153naturalny podział logiczny, 374nazwa, 49nazwa sensu largo, 69nazwa sensu stricto, 69nazwa absolutna, 66

nazwa abstrakcyjna, 65nazwa cudzysłowowa, 56nazwa generalna, 64nazwa indywidualna, 65nazwa intuicyjna, 68nazwa klasyfikująca, 383nazwa konkretna, 65nazwa masowa, 64nazwa nieostra, 67nazwa niepoliczalna, 64nazwa nieprywatywna, 67, 373nazwa nierelatywna, 66nazwa nieuniwersalna, 63nazwa niewyraźna, 68nazwa niezależna, 66nazwa niezbiorowa, 66nazwa ogólna, 64nazwa ostra, 67nazwa o znaczeniu intuicyjnym, 68nazwa o znaczeniu naocznym, 68nazwa policzalna, 64nazwa porządkująca, 381nazwa porządkująca n-wymiarowa, 382nazwa prosta, 63nazwa prywatywna, 67, 373nazwa pusta, 64nazwa relatywna, 66nazwa typologiczna, 383nazwa uniwersalna, 63nazwa wieloznaczna zakresowo, 53nazwa wyraźna, 68nazwa w sensie szerszym, 69nazwa w sensie węższym, 69nazwa złożona, 63nazwa zależna, 66nazwa zbiorowa, 65nazwy antonimiczne, 63nazwy o przeciwstawnym znaczeniu,

63nazwy podprzeciwne, 62

436 INDEKS

nazwy przeciwne, 61nazwy równoważne, 58nazwy równoznaczne, 52, 59nazwy sprzeczne, 62nazwy współrzędne ze względu na po-

dział, 374negacja zdania, 89negatywne założenie pytania, 417nego, 296nieadekwatność definicji, 397niedopowiedzenie, 131nieepistemiczne rozumienie modalno-

ści, 106niejasne znaczenie, 27niekonieczność, 102niemożliwość, 102niepustość partycji, 377niepustość podziału logicznego, 371niepustość podziału merologicznego,

377nierozstrzygalność rachunku predyka-

tów, 356niesprzeczność przekonań, 145niesprzeczny system wiedzy, 144niewiadoma pytania, 415nieznane przez nieznane, 397nonsens, 31

obiektywna wielkość informacji, 19objaw, 16obwersja, 304odpowiedź, 412odpowiedź całkowita, 420odpowiedź całkowita niewprost, 420odpowiedź całkowita wprost, 420odpowiedź częściowa, 421odpowiedź właściwa, 416odpowiedź właściwa warunkowa , 421odpowiedź wyczerpująca, 420odróżnienie, 396

odrzucanie zdania w systemie wiedzy,143

odrzucenie zdania przez kogoś, 143ogólność wniosku we wnioskowaniu in-

dukcyjnym, 175operator abstrakcji, 370opis, 396oppositio contradictionis, 301oppositio contraria, 300oppositio subalterna, 301oppositio subcontraria, 301osłabiony warunek rozłączności, 384osnowa pytania, 415owczy pęd, 239oznaczanie, 50oznaka, 16

półrozstrzygalność, 355paradoks, 266paradoks „Łysy”, 267paradoks „Człowiek w kapturze”, 267paradoks „Golibroda”, 269paradoks „Kłamca”, 267paradoks „Mocny kłamca, 269paradoks „Rogacz”, 267Paradoks „Sąd”, 267paradoks Grellinga, 269paradoks niespodziewanego egzaminu,

269paradoks przyrzeczenia, 269paradoks Russella, 269paradoks wiedzy, 269paradoks wykonania, 269paralogizm, 246partycja, 377partykuła pytajna, 412periodyzacja, 377perswazja, 228pień drzewa, 349pismo Braille’a, 15

INDEKS 437

pismo ideograficzna, 26pleonazm, 132połączona metoda zgodności i różnicy,

204podformuła, 318podział czasowy, 377podział dychotomiczny, 373podział funkcjonalny, 373podział genetyczny, 373podział logiczny, 371podział mereologiczny, 377podział przestrzenny, 377podział strukturalny, 373podział typologiczny, 384podział wieloczłonowy, 373pojęcie, 51, 366pojęcie klasyfikujące, 383pojęcie porządkujące, 381, 383pojęcie porządkujące n-wymiarowe, 382pojęcie porządkujące jednowymiarowe,

381pojęcie porządkujące wielowymiarowe,

381pojęcie rodzajowe, 370, 371pojęcie typologiczne, 382, 383pojęciowanie a związek przyczynowo-

skutkowy, 196pole, 85pole relacji, 74polisylogizm, 310, 311pomiar, 381poprzednik implikacji, 93populacja, 181, 182porównanie, 396porządek dyskretny, 81porządek gęsty, 80post hoc ergo propter hoc, 259postulat, 389postulat ekonomii, 124

postulat ekonomii dla wnioskowaniadedukcyjnego, 159

postulat prostoty dowodu, 161potęgowanie relacji, 77potencjalna wieloznaczność, 127poziom ufności, 182poznanie bezpośrednie, 147pozytywne założenie pytania, 417próba, 181, 182próba losowa, 184praemissa maior, 308praemissa minor, 308pragmatyczna koncepcja prawdy, 41pragmatyczna poprawność podziału

logicznego, 373pragmatyczne warunki poprawności de-

finicji, 396pragmatyka, 17prawa konwersji, 300prawa kwadratu logicznego, 300prawa obwersji, 300prawda absolutnie pierwsza, 145prawda konieczna, 146prawda pierwotna, 145prawda pochodna, 145prawda pochodna rozumowa, 146prawda pochodna-faktyczna, 146prawda wtórna, 145prawdopodobieństwo częstościowe, 169prawdopodobieństwo logiczne, 169prawdopodobieństwo matematyczne,

169prawdopodobieństwo psychologiczne,

169prawo logiki, 9prawo logiki predykatów, 336prawo logiki zdań, 289predykat n-argumentowy, 72predykat równości, 72presupozycja pytania, 414

438 INDEKS

probierz prawdy, 44program komputerowy, 23propositio affirmativa, 296propositio indefinita, 296propositio negativa, 296propositio particularis, 296propositio singularis, 296propositio universalis, 296propositiones contrariae, 300, 301propositiones subcontrariae, 301przecięcie relacji, 76przeciwdziedzina relacji, 75przedmiot formalny, 123przedmiot masowy, 64przedmiot materialny, 123przedmiot zbiorowy, 65przedmioty identyczne, 78przedział ufności, 182przekonanie racjonalne, 145przenośnia, 30przesłanka, 148, 284, 334przesłanka entymematyczna, 148przesłanka indukcyjna, 174przesłanka mniejsza, 308przesłanka większa, 308przestawianie kwantyfikatorów ogól-

nych, 345przyczyna, 194przyczyna jako warunek konieczny, 194przyczyna jako warunek wystarcza-

jący, 194przyczyna sprawcza, 194przygodność, 102pytanie, 411pytanie n-wyborów, 416pytanie bezałożeniowe, 414pytanie dodatkowe, 423pytanie dopełnienia, 413pytanie dydaktyczne, 422pytanie niewłaściwie postawione, 418

pytanie niezawisłe, 412pytanie otwarte, 415pytanie podchwytliwe, 425pytanie retoryczne, 426pytanie rozstrzygnięcia, 414pytanie sugestywne, 424pytanie uzupełniające, 423pytanie właściwie postawione, 418pytanie wielu wyborów, 416pytanie wyboru, 415pytanie z tezą, 426pytanie założeniowe, 414pytanie zamknięte, 414pytanie zawisłe, 412

quaternio terminorum, 308

różnica gatunkowa, 370, 371równomierność podziału, 120równorzędność jednostek tekstowych,

119równoważność zdań, 96rachunek logiczny, 10racja uznania, 145racja zdania, 153racjonalizacja, 145reductio ad absurdum, 160reguła ∃L, 354reguła ∃P , 354reguła ∀L, 354reguła ∀P , 355reguła ∧L, 351reguła ∧P , 351reguła ⇔ L, 353reguła ⇔ P , 353reguła ¬L, 350reguła ¬P , 351reguła ∨L, 352reguła ∨P , 352reguła ⇒ L, 352

INDEKS 439

reguła ⇒ P , 353reguła dołączania alternatywy, 340reguła dołączania dużego kwantyfika-

tora, 341reguła dołączania koniunkcji, 340reguła dołączania małego kwantyfi-

katora, 341reguła dołączania nowych wierszy do-

wodowych, 339reguła dołączania równoważności, 340reguła eliminowalności, 400reguła jednokrotna, 350, 354, 355reguła kwantyfikatorowa, 349reguła lewostronna, 350reguła nietwórczości, 400reguła odrywania, 284reguła opuszczania alternatywy, 340reguła opuszczania dużego kwantyfi-

katora, 341reguła opuszczania koniunkcji, 340reguła opuszczania małego kwantyfi-

katora, 341reguła opuszczania równoważności, 340reguła pierwotna dowodu założenio-

wego, 339, 340reguła prawostronna, 350reguła rozgałęźna, 350reguła semantyczna, 25reguła składniowa, 25reguła syntaktyczna, 25reguła tworzenia dowodu założenio-

wego, 342reguła tworzenia dowodu założenio-

wego niewprost, 342reguła tworzenia dowodu założenio-

wego wprost, 342reguła wielokrotna, 354, 355reguła wtórna dowodu założeniowego,

339reguła zdaniowa, 349

reguła znaczeniowa, 25reguły dołączania nowych wierszy do-

wodowych, 339reguły tworzenia dowodu, 339reguły wielokrotne, 350rekord, 85relacja n-członowa, 74relacja antysymetryczna, 79relacja częściowo porządkująca, 79relacja identyczności, 79relacja jednoznaczna, 83relacja jednoznaczna w m-tej dziedzi-

nie, 82relacja leżenia poniżej, 349relacja liniowo porządkująca, 80relacja odwrotnie jednoznaczna, 84relacja pełna, 75relacja porządkująca, 79, 80relacja przechodnia, 78relacja pusta, 75relacja równoważności, 78relacja spójna, 80relacja symetryczna, 78relacja wyprzedzania związana z re-

lacją równoważności, 380relacja w zbiorze, 77relacja zwrotna, 78relatywność prawdy, 41reprezentowanie, 182retoryka, 227, 228rewizja wiedzy, 151rozłączność partycji, 377rozłączność podziału logicznego, 371rozłączność podziału merologicznego,

377rozgałęzienie, 349rozstrzygalność rachunku zdań, 355rozumienie racjonalności, 146rozumowanie, 141, 147, 223rząd jednostki tekstowej, 119

440 INDEKS

słówko kwantyfikujące, 108słówko modalne, 102, 130słówko okazjonalne, 29słownik, 25, 26słownik języka rachunku zdań, 277słownik języka sylogistyki, 297słowo, 26sąd, 38samowybór, 185schemat formuły, 336schemat logiczny zdania, 289schemat zdania, 289semantyczna poprawność tekstu, 120semantyka, 17, 18semiotyka, 18semiotyka logiczna, 11sens deskryptywny, 28sens emocjonalny, 28sens kognitywny, 28sens pragmatyczny, 28sensowna całość, 120skala pomiaru, 381skutek, 194sofistyka, 227, 228sofizmat, 246sofizmat podwójnego pytania, 423sofizmat przejścia z jednego rodzaju

do drugiego, 254sortowanie, 86soryt, 310, 311soryt Arystotelesa, 311soryt Gocleniusa, 311spójnik, 316spójnik n-argumentowy, 88spójnik alternatywy, 89spójnik alternatywy rozłącznej, 90spójnik binegacji, 91spójnik definicyjny, 385spójnik dwuargumentowy, 277spójnik dysjunkcji, 92

spójnik główny, 88, 279spójnik implikacji, 93spójnik jednoargumentowy, 88, 277spójnik konieczności, 105spójnik koniunkcji, 91spójnik mozliwości, 104spójnik negacji, 89spójnik podwójnego przeczenia, 91spójnik prawdziwościowy, 97spójnik równoważności, 96spójnik wieloargumentowy, 99spór werbalny, 128specjalizacja, 69sprawdzanie, 225sprzeczny system wiedzy, 144stała indywiduowa, 316stopień dokładności, 182stopień wiarygodności, 182stosunek dopełniania, 61stosunek krzyżowania, 60stosunek nadrzędności, 59, 301stosunek podporządkowania, 301stosunek podprzeciwieństwa, 61, 301stosunek podrzędności, 60, 301stosunek przeciwieństwa, 61, 300stosunek równoważności, 59stosunek racja-następstwo, 153stosunek sprzeczności, 301stosunek wykluczania, 61stosunek wynikania, 153stracenie wątku, 254struktura lingwistyczna wyrażenia, 38struktura logiczna wyrażenia, 38struktura tekstu, 118subiektywna wielkość informacji, 19substrat znaku, 15suma relacji, 76superpozycja relacji, 77supozycja, 129supozycja formalna, 55

INDEKS 441

supozycja materialna, 56supozycja naturalna, 55supozycja przedmiotowa, 55suppositio formalis, 55suppositio materialis, 56suppositio naturalis, 55suppositio personalis, 55suppositio simplex, 55sygnał, 16sylogistyka, 11sylogizm, 307sylogizm doskonały, 310sylogizm niedoskonały, 310sylogizm retoryczny, 310sylogizm warunkowy, 343symbol, 16symptom, 16synonim, 31syntaktyczna spójność, 27syntaktyka, 17system aksjomatyczny, 154system zarządzania baza danych, 86systematyka, 375szczerość, 43szeregowanie, 377sztuczny podział logiczny, 374szyfr, 16

tablica, 84tablica binarna, 350tablica otwarta, 349tablica semantyczna, 349, 355tablica zakończona, 350tablica zamknięta, 349tautologia, 280tautologia języka rachunku predyka-

tów, 333tekst, 117tekst redundantny, 133tekst spójny, 121

temat, 123teoria niesprzeczna, 144teoria pomiaru, 381teoria poznania, 146teoria rozumowań, 141teoria sprzeczna, 144teoria zupełna, 144term, 316term podstawialny, 319termin, 69, 296termin średni, 308termin mniejszy, 308termin pierwotny, 395termin pierwotny postulatu, 389termin powszechny, 395termin prosty, 395termin większy, 308termin zdefiniowany w uwikłaniu, 389terminus maior, 308terminus medius, 308terminus minor, 308teza dowodu, 159teza rachunku predykatów, 334treść charakterystyczna nazwy, 54treść językowa nazwy, 53treść konstytutywna nazwy, 54treść niewyraźna, 68treść pełna nazwy, 54treść wyraźna, 68trivium, 229tryb sylogistyczny, 308twierdzenie o dedukcji, 285typ danej, 85typ empiryczny, 383typ idealny, 383typ krańcowy, 382typ modalny, 383typ przeciętny, 383tytuł, 123tytuł adekwatny, 123

442 INDEKS

tytuł za szeroki, 123tytuł za szeroki i za wąski zarazem,

124tytuł za wąski, 124

uniwersum języka, 50urok słowa, 240ustawiczne powtarzanie, 240ustratyfikowana próba losowa, 184uzasadnianie, 146, 150, 225uzasadnianie bezpośrednie, 147uzasadnianie pośrednie, 147uzasadnianie przez przykłady, 178uznawanie zdania, 143uznawanie zdania przez kogoś, 143uznawanie zdania w systemie wiedzy,

143

wartość funkcji, 83wartość logiczna, 279wartość logiczna zdania, 44warunek indukcyjny definicji, 369warunek konieczny, 192, 386warunek konieczny i wystarczający,

193, 386warunek niepustości, 118, 384warunek początkowy definicji, 369warunek rozłączności, 118warunek wystarczający, 192, 386warunek zupełności, 118, 384werbalna charakterystyka zakresu na-

zwy, 368wiedza obiektywna, 143wiedza subiektywna, 143wielkość informacji, 19wieloczłonowa alternatywa, 99wieloczłonowa alternatywa rozłączna,

99wieloczłonowa koniunkcja, 99wiersz dowodowy, 339

wizualizacja, 154wniosek, 150wnioskowanie, 156, 225wnioskowanie bezpośrednie, 300wnioskowanie dedukcyjne, 156, 158,

173, 223wnioskowanie entymematyczne, 156wnioskowanie indukcyjne, 173wnioskowanie przez analogię, 214, 215,

217, 223wnioskowanie przez indukcję enume-

racyjną zupełną, 176wnioskowanie przez indukcję matema-

tyczną, 179wnioskowanie redukcyjne, 175, 222,

223wnioskowanie statystyczne, 181wnioskowanie uprawdopodobniające,

167wskazanie, 396wyjaśnianie, 225wynikanie, 152, 154, 284wynikanie entymematyczne, 152wyprowadzalność, 284wyprowadzalność zdania, 153wyrażenie, 27wyrażenie nacechowane pejoratywnie,

33wyrażenie nacechowane pozytywnie,

33wyrażenie nazwowe, 51wyrażenie performatywne, 23wyrażenie proste, 27wyrażenie wymienialne, 37wyrażenie złożone, 27wyraz, 26wyraz relacyjnie wieloznaczny, 30wyraz systematycznie wieloznaczny, 29wyraz umyślnie wieloznaczny, 30

INDEKS 443

złożenie relacji, 77założenie, 284, 334założenie indukcyjne, 179założenie pytania, 414zakres analityczny nazwy, 51zakres działania kwantyfikatora, 318zakres dzielony, 372zakres nazwy, 50, 367zakres niewiadomej pytania, 415zakres predykatu, 75zakres syntetyczny nazwy, 51zaprzeczenie zdania, 89zapytanie, 86zasada abstrakcji, 378zasada dwuwartościowości, 44zasada ekonomii, 394, 424zasada ekstensjonalności, 369zasada identyczności przedmiotów nie-

odróżnialnych, 78zasada jedności przyczyny, 195zasada niesprzeczności, 89, 144zasada podwójnego przeczenia, 89zasada podwójnej negacji, 344zasada podziału, 372zasada przyczynowości, 195zasada racji dostatecznej, 145zasada skutkowości, 195zasada tożsamości, 144zasada wyłączonego środka, 89, 144zbiór dystrybutywny, 250zbiór kolektywny, 65, 250zbiór uniwersalny, 50zbiory współrzędne ze względu na po-

dział, 374zdania dopełniające się, 46zdania logicznie równoważne, 46zdania podporządkowane, 106zdania podprzeciwne, 106, 301zdania przeciwne, 106, 300zdania równoznaczne, 39

zdania sprzeczne, 46, 106, 301zdania wykluczające się, 47zdanie, 277zdanie żywe, 350zdanie analityczne, 45zdanie apodyktyczne, 104zdanie asertoryczne, 104zdanie egzystencjalne, 72zdanie fałszywe, 40zdanie identycznościowe, 73zdanie języka rachunku predykatów,

319zdanie jednostkowe, 110zdanie martwe, 350zdanie modalne, 102, 104zdanie ogólne, 110zdanie ogólno-przeczące, 110zdanie ogólno-twierdzące, 110zdanie ogólnoprzeczące, 296zdanie ogólnotwierdzące, 296zdanie podmiotowo-orzecznikowe, 102zdanie powinnościowe, 399zdanie prawdziwe, 40zdanie problematyczne, 104zdanie proste, 88zdanie subsumpcyjne, 73zdanie syntetyczne, 46zdanie szczegółowe, 110zdanie szczegółowo przeczące, 296zdanie szczegółowo twierdzące, 296zdanie warunkowe, 93zdanie warunkowe odwrotne, 95zdanie warunkowe przeciwne, 95zdanie warunkowe przeciwstawne, 96zdanie wewnętrznie kontradyktoryczne,

45zdanie wewnętrznie sprzeczne, 45zdanie w sensie logicznym, 38zdanie złożone, 88zgodnościowe rozumienie prawdy, 41

444 INDEKS

zjawisko proste, 200zjawisko złożone, 200zmienna indywiduowa, 316zmienna wolna, 319zmienna związana, 319znaczenie sensu largo, 60znaczenie sensu proprio, 60znaczenie sensu stricto, 60znaczenie aktualne, 29znaczenie dosłowne, 28, 131znaczenie idiomatyczne, 29znaczenie kontekstowe, 30znaczenie potencjalne, 29znaczenie słownikowe, 28znaczenie szersze, 60znaczenie właściwe, 60znaczenie węższe, 60znaczenie wyrażenia, 27znak, 15znak dotykowy, 16znak ikoniczny, 16znak interpunkcyjny, 113, 277, 316znak prosty, 18znak równowagi, 16znak słuchowy, 16znak smakowy, 16znak węchowy, 16znak wzrokowy, 16znak złożony, 18zupełność partycji, 377zupełność podziału logicznego, 371zupełność podziału merologicznego, 377zupełny system wiedzy, 144związek analityczny, 95związek przyczynowo-skutkowy, 94, 194związek strukturalny, 94związek tetyczny, 94związek wynikania, 94