05.10.2018
1
Metody numeryczneMetody numeryczneWykład 1Wykład 1
Dr inż. Michał Dr inż. Michał ŁanczontŁanczont
Instytut Elektrotechniki i ElektrotechnologiiInstytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii
E419, tel. E419, tel. 4293, [email protected], http://m.lanczont.pollub.pl4293, [email protected], http://m.lanczont.pollub.pl
Informacje wstępneInformacje wstępneWykład Wykład –– 2h2h
Laboratorium Laboratorium –– 2h2h
Warunki zaliczenia:Warunki zaliczenia:
Wykład rozliczany jest w formie Wykład rozliczany jest w formie zaliczenia na podstawie ocen z zaliczenia na podstawie ocen z kolokwiów (sprawdzianów)kolokwiów (sprawdzianów)
22
10:3110:31
05.10.2018
2
LiteraturaLiteraturaD. D. KincaidKincaid, W. Chaney: , W. Chaney: Analiza numerycznaAnaliza numeryczna, WNT, , WNT,
Warszawa, 2006Warszawa, 2006Z. Fortuna, B. Z. Fortuna, B. MacukowMacukow, J. Wąsowski: , J. Wąsowski: Metody numeryczneMetody numeryczne, WNT, , WNT,
Warszawa, 1998Warszawa, 1998
A. A. BroziBrozi: : ScilabScilab w przykładachw przykładach, , NakomNakom, Poznań, 2007, Poznań, 2007
J. J. PovstenkoPovstenko: : Wprowadzenie do metod numerycznychWprowadzenie do metod numerycznych, EXIT, , EXIT, Warszawa, 2002Warszawa, 2002
A. Marciniak, D. A. Marciniak, D. GregulecGregulec, J. Kaczmarek: , J. Kaczmarek: Podstawowe procedury Podstawowe procedury numeryczne w języku Turbo Pascalnumeryczne w języku Turbo Pascal, , NakomNakom, Poznań, 2000, Poznań, 2000
B. Baron, A. Marcol, S. Pawlikowski: B. Baron, A. Marcol, S. Pawlikowski: Metody numeryczne w Delphi 4Metody numeryczne w Delphi 4, , Helion, Gliwice, 1999Helion, Gliwice, 1999
L. L. JaroszynskiJaroszynski, M. , M. ŁanczontŁanczont: : Laboratorium Metod NumerycznychLaboratorium Metod Numerycznych, , Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, Lublin, 2014Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, Lublin, 2014
10:3110:31
33
Zakres materiałuZakres materiału•• Pojęcia podstawowe Pojęcia podstawowe –– równanie Taylora, równanie Taylora, rząd zbieżności, równania różnicowerząd zbieżności, równania różnicowe
•• Arytmetyka komputerowa Arytmetyka komputerowa -- błędy, błędy, stabilność i niestabilność algorytmówstabilność i niestabilność algorytmów
•• Równania linioweRównania liniowe
•• Interpolacja i aproksymacjaInterpolacja i aproksymacja
•• Równania nielinioweRównania nieliniowe
•• Różniczkowanie i całkowanie numeryczneRóżniczkowanie i całkowanie numeryczne
•• Równania różniczkoweRównania różniczkowe
10:3110:31
44
05.10.2018
3
Środowisko programowaniaŚrodowisko programowaniaJęzyki programowaniaJęzyki programowania
FortranFortran
C, Pascal, C++, …C, Pascal, C++, …
Środowiska obliczenioweŚrodowiska obliczeniowe
MatlabMatlab
ScilabScilab
OpenModelicaOpenModelica
MathematicaMathematica
10:3110:31
55
ScilabScilabwww.scilab.orgwww.scilab.org
Aktualna wersja Aktualna wersja 6.0.16.0.1
Windows (32/64), Linux (32/64)Windows (32/64), Linux (32/64)
MacOSXMacOSX (64)(64)
Obliczenia matematyczne i symulacjeObliczenia matematyczne i symulacje
Wykresy 2D i 3DWykresy 2D i 3D
Statystyka, OptymalizacjaStatystyka, Optymalizacja
Analiza sygnałówAnaliza sygnałów
XcosXcos –– odpowiednik odpowiednik SimulinkSimulink ((MatlabMatlab))
10:3110:31
66
05.10.2018
4
Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?Właściwie dobrane i zastosowane metody Właściwie dobrane i zastosowane metody numeryczne umożliwiają symulację numeryczne umożliwiają symulację zjawisk rzeczywistych.zjawisk rzeczywistych.
10:3110:31
77
Katastrofa rakiety Katastrofa rakiety ArianeAriane 5 5 500 milionów $ (4.06.1996)500 milionów $ (4.06.1996)
Błędna konwersja 64Błędna konwersja 64--bit bit liczby zmiennoprzecinkowej liczby zmiennoprzecinkowej na 16na 16--bit liczbę całkowitąbit liczbę całkowitą
Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?Zatonięcie platformy wiertniczej Zatonięcie platformy wiertniczej SleipnerSleipner A na A na Morzu Północnym (23.08.1991)Morzu Północnym (23.08.1991)
Koszt Koszt –– 1 miliard $1 miliard $
Przyczyna: Niedokładność zamodelowania Przyczyna: Niedokładność zamodelowania elementu konstrukcji za pomocą metody elementu konstrukcji za pomocą metody elementów skończonych.elementów skończonych.
10:3110:31
88
05.10.2018
5
Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?Tragedia w Tragedia w DhahranDhahran w Arabii w Arabii
SaudyjskiejSaudyjskiej
21.02.1991 21.02.1991 –– zginęło 28 osóbzginęło 28 osób
Błąd w pomiarze czasu (w momencie Błąd w pomiarze czasu (w momencie wystrzału wynosił 1/3 s) spowodował wystrzału wynosił 1/3 s) spowodował błąd w pozycjonowaniu celu o 687 m. błąd w pozycjonowaniu celu o 687 m.
Gotowa poprawka systemu dotarła dzień Gotowa poprawka systemu dotarła dzień po tragedii.po tragedii.
10:3110:31
99
Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?NASA Mars NASA Mars ClimateClimate OrbiterOrbiter
23.09.1999 uległ zniszczeniu w atmosferze 23.09.1999 uległ zniszczeniu w atmosferze Marsa MCO, 700 milionów $Marsa MCO, 700 milionów $
10:3110:31
1010
Przyczyna: błąd w oprogramowaniu komunikacyjnym między Przyczyna: błąd w oprogramowaniu komunikacyjnym między napędami MCU spowodowany stosowaniem innym jednostek napędami MCU spowodowany stosowaniem innym jednostek metrycznych przez NASA i firmę brytyjską która napisała metrycznych przez NASA i firmę brytyjską która napisała oprogramowanie.oprogramowanie.
05.10.2018
6
Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe
Analiza numeryczna Analiza numeryczna –– tworzenie, tworzenie, badanie i analiza algorytmów, w celu badanie i analiza algorytmów, w celu otrzymania rozwiązania numerycznego otrzymania rozwiązania numerycznego różnorodnych zadań matematycznychróżnorodnych zadań matematycznych
Metody numeryczne Metody numeryczne –– tworzenie i tworzenie i badanie algorytmów (procedur) badanie algorytmów (procedur) obliczeniowych umożliwiających obliczeniowych umożliwiających przeprowadzenie analizy numerycznejprzeprowadzenie analizy numerycznej
10:3110:31
1111
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwiązanie analityczne danego zadania Rozwiązanie analityczne danego zadania
może być odmienne od jego rozwiązania może być odmienne od jego rozwiązania numerycznegonumerycznego
Rozwiązanie analityczne przy adaptacji Rozwiązanie analityczne przy adaptacji bezpośredniej do algorytmu numerycznego bezpośredniej do algorytmu numerycznego może być wolno zbieżne, długotrwałe w może być wolno zbieżne, długotrwałe w obliczeniach, a więc kłopotliwe lub bezużyteczne obliczeniach, a więc kłopotliwe lub bezużyteczne w analizie numerycznejw analizie numerycznej
Metody numeryczne stosuje się gdy Metody numeryczne stosuje się gdy stawiany problem nie posiada rozwiązania stawiany problem nie posiada rozwiązania analitycznego (określonego wzorem) lub analitycznego (określonego wzorem) lub stosowanie takich wzorów jest kłopotliwe ze stosowanie takich wzorów jest kłopotliwe ze względu na ich złożonośćwzględu na ich złożoność
10:3110:31
1212
05.10.2018
7
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweObliczenia numeryczneObliczenia numeryczne
Obliczenia wykonywane są bezpośrednio na Obliczenia wykonywane są bezpośrednio na liczbachliczbach
Obliczenia symboliczneObliczenia symboliczne
Przekształcenia zgodne z regułami Przekształcenia zgodne z regułami matematycznymi wykonywane są na symbolach matematycznymi wykonywane są na symbolach reprezentujących liczbyreprezentujących liczby
10:3110:31
1313
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwiązanie analityczneRozwiązanie analityczneDokładny wynik numeryczny lub symboliczny Dokładny wynik numeryczny lub symboliczny
(z wykorzystaniem symboli i funkcji matematycznych)(z wykorzystaniem symboli i funkcji matematycznych)
Rozwiązanie numeryczneRozwiązanie numeryczneWynik w postaci numerycznej, z określoną Wynik w postaci numerycznej, z określoną
dokładnościądokładnością
10:3110:31
1414
05.10.2018
8
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweGranicaGranica
Jeżeli funkcja Jeżeli funkcja ff zmiennej rzeczywistej zmiennej rzeczywistej iima wartości rzeczywiste, to jej granica w ma wartości rzeczywiste, to jej granica w punkcie punkcie cc jest określona (o ile istnieje) , jest określona (o ile istnieje) , jest określona:jest określona:
10:3110:31
1515
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweGranica i Ciągłość funkcjiGranica i Ciągłość funkcji
Jeżeli dla każdego dodatniego Jeżeli dla każdego dodatniego eeistnieje takie dodatnie istnieje takie dodatnie dd, że odległość , że odległość między między ff(x) (x) i i LL jest mniejsza od jest mniejsza od ee, jeżeli , jeżeli odległość miedzy odległość miedzy xx i i cc jest dodatnia i jest dodatnia i mniejsza od mniejsza od dd..
Definicja ciągłości w sensie Definicja ciągłości w sensie Cauchy’egoCauchy’ego w punkcie w punkcie cc..
10:3110:31
1616
05.10.2018
9
Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe10:3110:31
1717
GranicaGranica
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,52
x
y
y=x2
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweGranicaGranica
10:3110:31
1818
y
x
1
-1
1-1-2-3-4 0 2 3 4
05.10.2018
10
Pojęcia PodstawowePojęcia PodstawoweCiągłość funkcjiCiągłość funkcji
Jeżeli dla każdego ciągu liczb (Jeżeli dla każdego ciągu liczb (xxnn) ) należących do zbioru należących do zbioru MM, zbieżnego do , zbieżnego do xx00, ciąg , ciąg wartości funkcji (wartości funkcji (ff(x(xnn))) jest zbieżny do ) jest zbieżny do ff(x(x00) )
to funkcja to funkcja ff jest ciągła w sensie Heinego w jest ciągła w sensie Heinego w punkcie punkcie xx00 należącym do zbioru należącym do zbioru MM
10:3110:31
1919
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweWłasność Własność DarbouxDarboux’a’a funkcji ciągłychfunkcji ciągłych
Funkcja ciągła f w przedziale [Funkcja ciągła f w przedziale [a,ba,b] ] przyjmuje w nim wszystkie wartości przyjmuje w nim wszystkie wartości
zawarte między f(a) i f(b)zawarte między f(a) i f(b)
10:3110:31
2020
05.10.2018
11
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRóżniczkowalnośćRóżniczkowalność
Pochodna funkcji Pochodna funkcji ff w w cc (o ile istnieje) :(o ile istnieje) :
Jeżeli dla Jeżeli dla ff istnieje istnieje f’f’(c) (c) to funkcja jest to funkcja jest różniczkowalna w różniczkowalna w cc i jest równocześnie i jest równocześnie ciągła w ciągła w cc..
10:3110:31
2121
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweWzór TayloraWzór Taylora
Jeżeli funkcja Jeżeli funkcja ff (x) (x) ma w przedziale ma w przedziale [[aa,,bb]] pochodną rzędu pochodną rzędu nn−1−1 oraz pochodną oraz pochodną rzędu rzędu nn w przedziale w przedziale ((aa,,bb)) wówczas wówczas istnieje istnieje cc∈∈((aa,,bb)) , takie że , takie że
10:3110:31
2222
05.10.2018
12
Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe
Dla pewnego punktu Dla pewnego punktu aa zawartego w zawartego w przedziale (przedziale (cc,,xx) można określić :) można określić :
zwaną resztą zwaną resztą Lagrange’aLagrange’a wzoru wzoru TayloraTaylora
Definiuje ona dokładność otrzymanego Definiuje ona dokładność otrzymanego przybliżeniaprzybliżenia
10:3110:31
2323
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzczególnySzczególny przypadekprzypadek wzoruwzoru TayloraTaylora
dladla c=c=00 określanyokreślany jestjest wzoremwzorem MaclaurinaMaclaurina
10:3110:31
2424
05.10.2018
13
Pojęcia podstawowePojęcia podstawowePochodnePochodne
10:3110:31
2525
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzereg TayloraSzereg Taylora
Na podstawie wzoru Taylora Na podstawie wzoru Taylora wyprowadza się szereg wielomianowy wyprowadza się szereg wielomianowy Taylora:Taylora:
10:3110:31
2626
05.10.2018
14
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzereg TayloraSzereg Taylora
1.1. im wyższy jest jego stopień, tym lepiej (zwykle) im wyższy jest jego stopień, tym lepiej (zwykle) aproksymuje funkcję, aproksymuje funkcję,
2.2. twierdzenie Taylora, daje informację o błędzie twierdzenie Taylora, daje informację o błędzie aproksymacji (reszta),aproksymacji (reszta),
3.3. wielomiany to funkcje elementarne, które bardzo wielomiany to funkcje elementarne, które bardzo łatwo wyznaczać numerycznie łatwo wyznaczać numerycznie -- z tego względu z tego względu szereg kalkulatorów (czy programów / języków szereg kalkulatorów (czy programów / języków programowania) implementuje funkcje takie jak programowania) implementuje funkcje takie jak sin(sin(x)x), cos(, cos(x)x), , eexx, itp. poprzez odpowiednie , itp. poprzez odpowiednie wielomiany Taylora, wielomiany Taylora,
10:3110:31
2727
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzereg TayloraSzereg Taylora
4.4. wielomiany z łatwością poddają się wielomiany z łatwością poddają się różniczkowaniu i całkowaniu, różniczkowaniu i całkowaniu,
5.5. wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej, wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej, ułatwiając rozwiązywanie szeregu równań i ułatwiając rozwiązywanie szeregu równań i nierówności,nierówności,
6.6. wielomiany są określone na całej prostej wielomiany są określone na całej prostej rzeczywistej (zespolonej), co umożliwia analityczne rzeczywistej (zespolonej), co umożliwia analityczne "przedłużanie" wartości funkcji na dziedzinę, w "przedłużanie" wartości funkcji na dziedzinę, w której wyjściowa funkcja jest nieokreślona.której wyjściowa funkcja jest nieokreślona.
10:3110:31
2828
05.10.2018
15
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzereg Szereg MaclaurinaMaclaurina
Dla Dla xx00=0=0 szereg Taylora przyjmuje szereg Taylora przyjmuje postać:postać:
10:3110:31
2929
Przykład 1Przykład 1
ff(0)=sin(0)=(0)=sin(0)=00
f’f’(x)=2cos(2x)(x)=2cos(2x)
f’’f’’(x)=(x)=--4cos(2x)4cos(2x)
f’’’f’’’(x)=(x)=--8sin(2x)8sin(2x)
ff(4)(4)(x)=16cos(2x)(x)=16cos(2x)
ff(5)(5)(x)=32sin(2x)(x)=32sin(2x)
10:3110:31
3030
Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji
f(x)=sin(2x)
05.10.2018
16
Przykład 1Przykład 110:3110:31
3131
ff(0)=sin(0)=(0)=sin(0)=00
f’f’(x)=2(x)=2
f’’f’’(x)=0(x)=0
f’’’f’’’(x)=(x)=--88
ff(4)(4)(x)=0(x)=0
ff(5)(5)(x)=32(x)=32
Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji
f(x)=sin(2x) dla x=0dla x=0
Przykład 1Przykład 1Rozwinięcie w szereg Rozwinięcie w szereg MaclaurinaMaclaurina
nn –– przyjmuje tylko wartości z szeregu przyjmuje tylko wartości z szeregu 2k+12k+1
(1, 3, 5, 7, …, 2k+1)(1, 3, 5, 7, …, 2k+1)
10:3110:31
3232
05.10.2018
17
Przykład 1Przykład 110:3110:31
3333
5
7
9
11
13
151719
21
Stopnie przybliżenia:Stopnie przybliżenia:n=2k+1=1, 3, n=2k+1=1, 3, 55, , 77, , 99, , 1111, , 1313, , 1515, , 1717, , 1919, , 2121
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwinięcia w szereg Taylora Rozwinięcia w szereg Taylora
podstawowych funkcji matematycznychpodstawowych funkcji matematycznych
10:3110:31
3434
05.10.2018
18
Przykład 2Przykład 2Za pomocą wzoru Taylora można Za pomocą wzoru Taylora można
wyznaczać przybliżone wartości funkcji.wyznaczać przybliżone wartości funkcji.
, można wyznaczyć dla x, można wyznaczyć dla x00=9=9
10:3110:31
3535
Przykład 2Przykład 2Kolejne iteracje rozwinięcia:Kolejne iteracje rozwinięcia:
10:3110:31
3636
05.10.2018
19
Przykład 2Przykład 2Wynika ostatecznyWynika ostateczny
10:3110:31
3737
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweInnyInny wariantywarianty wzoruwzoru TayloraTaylora możnamożna
osiągnąćosiągnąć zamieniajączamieniając xx nana x+hx+h ii cc nana xx
PunktPunkt aa leżyleży pomiędzypomiędzy xx ii x+hx+h
10:3110:31
3838
05.10.2018
20
Przykład 3Przykład 3WW oparciuoparciu oo przedstawionyprzedstawiony wariantwariant
wzoruwzoru TayloraTaylora możnamożna obliczyćobliczyć przybliżonąprzybliżonąwartośćwartość funkcjifunkcji dladla wartościwartości rzeczywistejrzeczywistej..
ObliczyćObliczyć
NajbliższymNajbliższym znanymznanym całkowitymcałkowitymrozwiązaniemrozwiązaniem pierwiastkapierwiastka dającymdającym wynikwynikcałkowitycałkowity jestjest
10:3110:31
3939
Przykład 3Przykład 310:3110:31
4040
05.10.2018
21
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweWW obliczeniachobliczeniach numerycznychnumerycznych częstoczęsto
zamiastzamiast ostatecznegoostatecznego wynikuwyniku otrzymujeotrzymujesięsię ciągciąg przybliżonychprzybliżonych rozwiązań,rozwiązań,zazwyczajzazwyczaj corazcoraz dokładniejszychdokładniejszych..
RozwiązanieRozwiązanie określamyokreślamy wtedywtedy jakojako::
,,
aa wynikwynik określamyokreślamy ww sytuacjisytuacji gdygdy ::
10:3110:31
4141
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwiązania obliczeń numerycznych Rozwiązania obliczeń numerycznych
posiadają zazwyczaj więc rozwiązanie w posiadają zazwyczaj więc rozwiązanie w postaci ciągu zbieżnego. postaci ciągu zbieżnego.
Poszukiwane rozwiązanie może być Poszukiwane rozwiązanie może być zbieżne:zbieżne:
1.1.liniowoliniowo
2.2.nadliniowonadliniowo
3.3.kwadratowakwadratowa
4.4.rzędu rzędu aa
10:3110:31
4242
05.10.2018
22
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność liniowaZbieżność liniowa
Jeżeli istnieje stała c<1 i liczba Jeżeli istnieje stała c<1 i liczba całkowita N takie że:całkowita N takie że:
gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.
10:3110:31
4343
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność Zbieżność nadliniowanadliniowa
Jeżeli istnieje ciąg Jeżeli istnieje ciąg eenn zbieżny do zera i zbieżny do zera i liczba całkowita N takie że:liczba całkowita N takie że:
gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.
10:3110:31
4444
05.10.2018
23
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność kwadratowaZbieżność kwadratowa
Jeżeli istnieją stała C>0 i liczba Jeżeli istnieją stała C>0 i liczba całkowita N takie że:całkowita N takie że:
gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.
10:3110:31
4545
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność rzędu Zbieżność rzędu aa
Jeżeli istnieją stała C>0, stała Jeżeli istnieją stała C>0, stała aa>1 oraz >1 oraz liczba całkowita N takie że:liczba całkowita N takie że:
gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań. jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.
Dla Dla aa wynoszących:wynoszących:
1 < 1 < a a < 2 < 2 –– superliniowasuperliniowa
a a = 3 = 3 –– kubicznakubiczna
10:3110:31
4646
05.10.2018
24
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRównania różnicoweRównania różnicowe
Pod pojęciem równania różnicowego Pod pojęciem równania różnicowego rozumiemy związek pomiędzy kilkoma rozumiemy związek pomiędzy kilkoma elementami ciągu rekurencyjnego, elementami ciągu rekurencyjnego, natomiast jego rozwiązaniem jest natomiast jego rozwiązaniem jest nn--tytywyraz tego ciągu.wyraz tego ciągu.
Ciągiem rekurencyjnym Ciągiem rekurencyjnym określamy taki określamy taki ciąg którego każdy wyraz zdefiniowany ciąg którego każdy wyraz zdefiniowany jest poprzez odwołanie do wyrazów jest poprzez odwołanie do wyrazów poprzednich.poprzednich.
10:3110:31
4747
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRównania różnicoweRównania różnicowe
Symbol Symbol iloczynu iloczynu pewnej liczby pewnej liczby wyrazów w ciągu:wyrazów w ciągu:
Operator przesunięcia Operator przesunięcia EE określony na określony na ciągach:ciągach:
10:3110:31
4848
05.10.2018
25
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRównania różnicoweRównania różnicowe
Operator identyczności Operator identyczności II
Postać ogólna wielomianu stopnia Postać ogólna wielomianu stopnia kkzmiennej zmiennej ll
Operator wielomianowy Operator wielomianowy pp((EE))przyjmuje postać:przyjmuje postać:
10:3110:31
4949
Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRównania różnicoweRównania różnicowe
Na ciągu Na ciągu x(n)x(n) operator wielomianowy operator wielomianowy przyjmuje postać:przyjmuje postać:
10:3110:31
5050
05.10.2018
26
Przykład 4Przykład 4W chwili W chwili t=0t=0 pewna populacja liczy pewna populacja liczy PP(0)(0). .
Roczny wskaźnik urodzeń wynosi Roczny wskaźnik urodzeń wynosi bb, a , a współczynnik umieralności współczynnik umieralności dd. Zapisać równanie . Zapisać równanie różnicowe opisujące przyrost populacji.różnicowe opisujące przyrost populacji.
Jeżeli dla Jeżeli dla nn--tegotego roku stan populacji wynosi roku stan populacji wynosi P(n) to:P(n) to:
10:3110:31
5151
Przykład 4Przykład 4Dążąc do postaci ogólnej ciągu Dążąc do postaci ogólnej ciągu PP(n) (n)
wprowadzamy oznaczenie wprowadzamy oznaczenie r=br=b--dd
Można więc zaproponować postać Można więc zaproponować postać ogólną równania różnicowego:ogólną równania różnicowego:
10:3110:31
5252
05.10.2018
27
Przykład 4Przykład 4Na podstawie warunku początkowego Na podstawie warunku początkowego
dla dla n=0n=0, , P(n)=P(0)P(n)=P(0) można wyznaczyć można wyznaczyć wartość stałej wartość stałej AA::
Równanie różnicowe dla postawionego Równanie różnicowe dla postawionego problemu przyjmie więc postać:problemu przyjmie więc postać:
10:3110:31
5353
Przykład 4Przykład 4Dla P(0)=10 000 oraz dzietnością i umieralnością Dla P(0)=10 000 oraz dzietnością i umieralnością
opisanymi w tabeli można wykreślić rodzinę krzywych opisanymi w tabeli można wykreślić rodzinę krzywych wzrostu populacji. wzrostu populacji.
10:3110:31
54540
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Top Related