Metody numeryczne Wykład 1 -...

05.10.2018

1

Metody numeryczneMetody numeryczneWykład 1Wykład 1

Dr inż. Michał Dr inż. Michał ŁanczontŁanczont

Instytut Elektrotechniki i ElektrotechnologiiInstytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii

E419, tel. E419, tel. 4293, [email protected], http://m.lanczont.pollub.pl4293, [email protected], http://m.lanczont.pollub.pl

Informacje wstępneInformacje wstępneWykład Wykład –– 2h2h

Laboratorium Laboratorium –– 2h2h

Warunki zaliczenia:Warunki zaliczenia:

Wykład rozliczany jest w formie Wykład rozliczany jest w formie zaliczenia na podstawie ocen z zaliczenia na podstawie ocen z kolokwiów (sprawdzianów)kolokwiów (sprawdzianów)

22

10:3110:31

05.10.2018

2

LiteraturaLiteraturaD. D. KincaidKincaid, W. Chaney: , W. Chaney: Analiza numerycznaAnaliza numeryczna, WNT, , WNT,

Warszawa, 2006Warszawa, 2006Z. Fortuna, B. Z. Fortuna, B. MacukowMacukow, J. Wąsowski: , J. Wąsowski: Metody numeryczneMetody numeryczne, WNT, , WNT,

Warszawa, 1998Warszawa, 1998

A. A. BroziBrozi: : ScilabScilab w przykładachw przykładach, , NakomNakom, Poznań, 2007, Poznań, 2007

J. J. PovstenkoPovstenko: : Wprowadzenie do metod numerycznychWprowadzenie do metod numerycznych, EXIT, , EXIT, Warszawa, 2002Warszawa, 2002

A. Marciniak, D. A. Marciniak, D. GregulecGregulec, J. Kaczmarek: , J. Kaczmarek: Podstawowe procedury Podstawowe procedury numeryczne w języku Turbo Pascalnumeryczne w języku Turbo Pascal, , NakomNakom, Poznań, 2000, Poznań, 2000

B. Baron, A. Marcol, S. Pawlikowski: B. Baron, A. Marcol, S. Pawlikowski: Metody numeryczne w Delphi 4Metody numeryczne w Delphi 4, , Helion, Gliwice, 1999Helion, Gliwice, 1999

L. L. JaroszynskiJaroszynski, M. , M. ŁanczontŁanczont: : Laboratorium Metod NumerycznychLaboratorium Metod Numerycznych, , Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, Lublin, 2014Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, Lublin, 2014

10:3110:31

33

Zakres materiałuZakres materiału•• Pojęcia podstawowe Pojęcia podstawowe –– równanie Taylora, równanie Taylora, rząd zbieżności, równania różnicowerząd zbieżności, równania różnicowe

•• Arytmetyka komputerowa Arytmetyka komputerowa -- błędy, błędy, stabilność i niestabilność algorytmówstabilność i niestabilność algorytmów

•• Równania linioweRównania liniowe

•• Interpolacja i aproksymacjaInterpolacja i aproksymacja

•• Równania nielinioweRównania nieliniowe

•• Różniczkowanie i całkowanie numeryczneRóżniczkowanie i całkowanie numeryczne

•• Równania różniczkoweRównania różniczkowe

10:3110:31

44

05.10.2018

3

Środowisko programowaniaŚrodowisko programowaniaJęzyki programowaniaJęzyki programowania

FortranFortran

C, Pascal, C++, …C, Pascal, C++, …

Środowiska obliczenioweŚrodowiska obliczeniowe

MatlabMatlab

ScilabScilab

OpenModelicaOpenModelica

MathematicaMathematica

10:3110:31

55

ScilabScilabwww.scilab.orgwww.scilab.org

Aktualna wersja Aktualna wersja 6.0.16.0.1

Windows (32/64), Linux (32/64)Windows (32/64), Linux (32/64)

MacOSXMacOSX (64)(64)

Obliczenia matematyczne i symulacjeObliczenia matematyczne i symulacje

Wykresy 2D i 3DWykresy 2D i 3D

Statystyka, OptymalizacjaStatystyka, Optymalizacja

Analiza sygnałówAnaliza sygnałów

XcosXcos –– odpowiednik odpowiednik SimulinkSimulink ((MatlabMatlab))

10:3110:31

66

05.10.2018

4

Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?Właściwie dobrane i zastosowane metody Właściwie dobrane i zastosowane metody numeryczne umożliwiają symulację numeryczne umożliwiają symulację zjawisk rzeczywistych.zjawisk rzeczywistych.

10:3110:31

77

Katastrofa rakiety Katastrofa rakiety ArianeAriane 5 5 500 milionów $ (4.06.1996)500 milionów $ (4.06.1996)

Błędna konwersja 64Błędna konwersja 64--bit bit liczby zmiennoprzecinkowej liczby zmiennoprzecinkowej na 16na 16--bit liczbę całkowitąbit liczbę całkowitą

Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?Zatonięcie platformy wiertniczej Zatonięcie platformy wiertniczej SleipnerSleipner A na A na Morzu Północnym (23.08.1991)Morzu Północnym (23.08.1991)

Koszt Koszt –– 1 miliard $1 miliard $

Przyczyna: Niedokładność zamodelowania Przyczyna: Niedokładność zamodelowania elementu konstrukcji za pomocą metody elementu konstrukcji za pomocą metody elementów skończonych.elementów skończonych.

10:3110:31

88

05.10.2018

5

Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?Tragedia w Tragedia w DhahranDhahran w Arabii w Arabii

SaudyjskiejSaudyjskiej

21.02.1991 21.02.1991 –– zginęło 28 osóbzginęło 28 osób

Błąd w pomiarze czasu (w momencie Błąd w pomiarze czasu (w momencie wystrzału wynosił 1/3 s) spowodował wystrzału wynosił 1/3 s) spowodował błąd w pozycjonowaniu celu o 687 m. błąd w pozycjonowaniu celu o 687 m.

Gotowa poprawka systemu dotarła dzień Gotowa poprawka systemu dotarła dzień po tragedii.po tragedii.

10:3110:31

99

Po co metody numeryczne?Po co metody numeryczne?NASA Mars NASA Mars ClimateClimate OrbiterOrbiter

23.09.1999 uległ zniszczeniu w atmosferze 23.09.1999 uległ zniszczeniu w atmosferze Marsa MCO, 700 milionów $Marsa MCO, 700 milionów $

10:3110:31

1010

Przyczyna: błąd w oprogramowaniu komunikacyjnym między Przyczyna: błąd w oprogramowaniu komunikacyjnym między napędami MCU spowodowany stosowaniem innym jednostek napędami MCU spowodowany stosowaniem innym jednostek metrycznych przez NASA i firmę brytyjską która napisała metrycznych przez NASA i firmę brytyjską która napisała oprogramowanie.oprogramowanie.

05.10.2018

6

Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe

Analiza numeryczna Analiza numeryczna –– tworzenie, tworzenie, badanie i analiza algorytmów, w celu badanie i analiza algorytmów, w celu otrzymania rozwiązania numerycznego otrzymania rozwiązania numerycznego różnorodnych zadań matematycznychróżnorodnych zadań matematycznych

Metody numeryczne Metody numeryczne –– tworzenie i tworzenie i badanie algorytmów (procedur) badanie algorytmów (procedur) obliczeniowych umożliwiających obliczeniowych umożliwiających przeprowadzenie analizy numerycznejprzeprowadzenie analizy numerycznej

10:3110:31

1111

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwiązanie analityczne danego zadania Rozwiązanie analityczne danego zadania

może być odmienne od jego rozwiązania może być odmienne od jego rozwiązania numerycznegonumerycznego

Rozwiązanie analityczne przy adaptacji Rozwiązanie analityczne przy adaptacji bezpośredniej do algorytmu numerycznego bezpośredniej do algorytmu numerycznego może być wolno zbieżne, długotrwałe w może być wolno zbieżne, długotrwałe w obliczeniach, a więc kłopotliwe lub bezużyteczne obliczeniach, a więc kłopotliwe lub bezużyteczne w analizie numerycznejw analizie numerycznej

Metody numeryczne stosuje się gdy Metody numeryczne stosuje się gdy stawiany problem nie posiada rozwiązania stawiany problem nie posiada rozwiązania analitycznego (określonego wzorem) lub analitycznego (określonego wzorem) lub stosowanie takich wzorów jest kłopotliwe ze stosowanie takich wzorów jest kłopotliwe ze względu na ich złożonośćwzględu na ich złożoność

10:3110:31

1212

05.10.2018

7

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweObliczenia numeryczneObliczenia numeryczne

Obliczenia wykonywane są bezpośrednio na Obliczenia wykonywane są bezpośrednio na liczbachliczbach

Obliczenia symboliczneObliczenia symboliczne

Przekształcenia zgodne z regułami Przekształcenia zgodne z regułami matematycznymi wykonywane są na symbolach matematycznymi wykonywane są na symbolach reprezentujących liczbyreprezentujących liczby

10:3110:31

1313

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwiązanie analityczneRozwiązanie analityczneDokładny wynik numeryczny lub symboliczny Dokładny wynik numeryczny lub symboliczny

(z wykorzystaniem symboli i funkcji matematycznych)(z wykorzystaniem symboli i funkcji matematycznych)

Rozwiązanie numeryczneRozwiązanie numeryczneWynik w postaci numerycznej, z określoną Wynik w postaci numerycznej, z określoną

dokładnościądokładnością

10:3110:31

1414

05.10.2018

8

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweGranicaGranica

Jeżeli funkcja Jeżeli funkcja ff zmiennej rzeczywistej zmiennej rzeczywistej iima wartości rzeczywiste, to jej granica w ma wartości rzeczywiste, to jej granica w punkcie punkcie cc jest określona (o ile istnieje) , jest określona (o ile istnieje) , jest określona:jest określona:

10:3110:31

1515

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweGranica i Ciągłość funkcjiGranica i Ciągłość funkcji

Jeżeli dla każdego dodatniego Jeżeli dla każdego dodatniego eeistnieje takie dodatnie istnieje takie dodatnie dd, że odległość , że odległość między między ff(x) (x) i i LL jest mniejsza od jest mniejsza od ee, jeżeli , jeżeli odległość miedzy odległość miedzy xx i i cc jest dodatnia i jest dodatnia i mniejsza od mniejsza od dd..

Definicja ciągłości w sensie Definicja ciągłości w sensie Cauchy’egoCauchy’ego w punkcie w punkcie cc..

10:3110:31

1616

05.10.2018

9

Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe10:3110:31

1717

GranicaGranica

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,52

x

y

y=x2

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweGranicaGranica

10:3110:31

1818

y

x

1

-1

1-1-2-3-4 0 2 3 4

05.10.2018

10

Pojęcia PodstawowePojęcia PodstawoweCiągłość funkcjiCiągłość funkcji

Jeżeli dla każdego ciągu liczb (Jeżeli dla każdego ciągu liczb (xxnn) ) należących do zbioru należących do zbioru MM, zbieżnego do , zbieżnego do xx00, ciąg , ciąg wartości funkcji (wartości funkcji (ff(x(xnn))) jest zbieżny do ) jest zbieżny do ff(x(x00) )

to funkcja to funkcja ff jest ciągła w sensie Heinego w jest ciągła w sensie Heinego w punkcie punkcie xx00 należącym do zbioru należącym do zbioru MM

10:3110:31

1919

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweWłasność Własność DarbouxDarboux’a’a funkcji ciągłychfunkcji ciągłych

Funkcja ciągła f w przedziale [Funkcja ciągła f w przedziale [a,ba,b] ] przyjmuje w nim wszystkie wartości przyjmuje w nim wszystkie wartości

zawarte między f(a) i f(b)zawarte między f(a) i f(b)

10:3110:31

2020

05.10.2018

11

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRóżniczkowalnośćRóżniczkowalność

Pochodna funkcji Pochodna funkcji ff w w cc (o ile istnieje) :(o ile istnieje) :

Jeżeli dla Jeżeli dla ff istnieje istnieje f’f’(c) (c) to funkcja jest to funkcja jest różniczkowalna w różniczkowalna w cc i jest równocześnie i jest równocześnie ciągła w ciągła w cc..

10:3110:31

2121

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweWzór TayloraWzór Taylora

Jeżeli funkcja Jeżeli funkcja ff (x) (x) ma w przedziale ma w przedziale [[aa,,bb]] pochodną rzędu pochodną rzędu nn−1−1 oraz pochodną oraz pochodną rzędu rzędu nn w przedziale w przedziale ((aa,,bb)) wówczas wówczas istnieje istnieje cc∈∈((aa,,bb)) , takie że , takie że

10:3110:31

2222

05.10.2018

12

Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe

Dla pewnego punktu Dla pewnego punktu aa zawartego w zawartego w przedziale (przedziale (cc,,xx) można określić :) można określić :

zwaną resztą zwaną resztą Lagrange’aLagrange’a wzoru wzoru TayloraTaylora

Definiuje ona dokładność otrzymanego Definiuje ona dokładność otrzymanego przybliżeniaprzybliżenia

10:3110:31

2323

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzczególnySzczególny przypadekprzypadek wzoruwzoru TayloraTaylora

dladla c=c=00 określanyokreślany jestjest wzoremwzorem MaclaurinaMaclaurina

10:3110:31

2424

05.10.2018

13

Pojęcia podstawowePojęcia podstawowePochodnePochodne

10:3110:31

2525

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzereg TayloraSzereg Taylora

Na podstawie wzoru Taylora Na podstawie wzoru Taylora wyprowadza się szereg wielomianowy wyprowadza się szereg wielomianowy Taylora:Taylora:

10:3110:31

2626

05.10.2018

14


1.1. im wyższy jest jego stopień, tym lepiej (zwykle) im wyższy jest jego stopień, tym lepiej (zwykle) aproksymuje funkcję, aproksymuje funkcję,

2.2. twierdzenie Taylora, daje informację o błędzie twierdzenie Taylora, daje informację o błędzie aproksymacji (reszta),aproksymacji (reszta),

3.3. wielomiany to funkcje elementarne, które bardzo wielomiany to funkcje elementarne, które bardzo łatwo wyznaczać numerycznie łatwo wyznaczać numerycznie -- z tego względu z tego względu szereg kalkulatorów (czy programów / języków szereg kalkulatorów (czy programów / języków programowania) implementuje funkcje takie jak programowania) implementuje funkcje takie jak sin(sin(x)x), cos(, cos(x)x), , eexx, itp. poprzez odpowiednie , itp. poprzez odpowiednie wielomiany Taylora, wielomiany Taylora,

10:3110:31

2727


4.4. wielomiany z łatwością poddają się wielomiany z łatwością poddają się różniczkowaniu i całkowaniu, różniczkowaniu i całkowaniu,

5.5. wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej, wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej, ułatwiając rozwiązywanie szeregu równań i ułatwiając rozwiązywanie szeregu równań i nierówności,nierówności,

6.6. wielomiany są określone na całej prostej wielomiany są określone na całej prostej rzeczywistej (zespolonej), co umożliwia analityczne rzeczywistej (zespolonej), co umożliwia analityczne "przedłużanie" wartości funkcji na dziedzinę, w "przedłużanie" wartości funkcji na dziedzinę, w której wyjściowa funkcja jest nieokreślona.której wyjściowa funkcja jest nieokreślona.

10:3110:31

2828

05.10.2018

15

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweSzereg Szereg MaclaurinaMaclaurina

Dla Dla xx00=0=0 szereg Taylora przyjmuje szereg Taylora przyjmuje postać:postać:

10:3110:31

2929

Przykład 1Przykład 1

ff(0)=sin(0)=(0)=sin(0)=00

f’f’(x)=2cos(2x)(x)=2cos(2x)

f’’f’’(x)=(x)=--4cos(2x)4cos(2x)

f’’’f’’’(x)=(x)=--8sin(2x)8sin(2x)

ff(4)(4)(x)=16cos(2x)(x)=16cos(2x)

ff(5)(5)(x)=32sin(2x)(x)=32sin(2x)

10:3110:31

3030

Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji

f(x)=sin(2x)

05.10.2018

16

Przykład 1Przykład 110:3110:31

3131

ff(0)=sin(0)=(0)=sin(0)=00

f’f’(x)=2(x)=2

f’’f’’(x)=0(x)=0

f’’’f’’’(x)=(x)=--88

ff(4)(4)(x)=0(x)=0

ff(5)(5)(x)=32(x)=32

Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji

f(x)=sin(2x) dla x=0dla x=0

Przykład 1Przykład 1Rozwinięcie w szereg Rozwinięcie w szereg MaclaurinaMaclaurina

nn –– przyjmuje tylko wartości z szeregu przyjmuje tylko wartości z szeregu 2k+12k+1

(1, 3, 5, 7, …, 2k+1)(1, 3, 5, 7, …, 2k+1)

10:3110:31

3232

05.10.2018

17


3333

5

7

9

11

13

151719

21

Stopnie przybliżenia:Stopnie przybliżenia:n=2k+1=1, 3, n=2k+1=1, 3, 55, , 77, , 99, , 1111, , 1313, , 1515, , 1717, , 1919, , 2121

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwinięcia w szereg Taylora Rozwinięcia w szereg Taylora

podstawowych funkcji matematycznychpodstawowych funkcji matematycznych

10:3110:31

3434

05.10.2018

18

Przykład 2Przykład 2Za pomocą wzoru Taylora można Za pomocą wzoru Taylora można

wyznaczać przybliżone wartości funkcji.wyznaczać przybliżone wartości funkcji.

, można wyznaczyć dla x, można wyznaczyć dla x00=9=9

10:3110:31

3535

Przykład 2Przykład 2Kolejne iteracje rozwinięcia:Kolejne iteracje rozwinięcia:

10:3110:31

3636

05.10.2018

19

Przykład 2Przykład 2Wynika ostatecznyWynika ostateczny

10:3110:31

3737

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweInnyInny wariantywarianty wzoruwzoru TayloraTaylora możnamożna

osiągnąćosiągnąć zamieniajączamieniając xx nana x+hx+h ii cc nana xx

PunktPunkt aa leżyleży pomiędzypomiędzy xx ii x+hx+h

10:3110:31

3838

05.10.2018

20

Przykład 3Przykład 3WW oparciuoparciu oo przedstawionyprzedstawiony wariantwariant

wzoruwzoru TayloraTaylora możnamożna obliczyćobliczyć przybliżonąprzybliżonąwartośćwartość funkcjifunkcji dladla wartościwartości rzeczywistejrzeczywistej..

ObliczyćObliczyć

NajbliższymNajbliższym znanymznanym całkowitymcałkowitymrozwiązaniemrozwiązaniem pierwiastkapierwiastka dającymdającym wynikwynikcałkowitycałkowity jestjest

10:3110:31

3939


4040

05.10.2018

21

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweWW obliczeniachobliczeniach numerycznychnumerycznych częstoczęsto

zamiastzamiast ostatecznegoostatecznego wynikuwyniku otrzymujeotrzymujesięsię ciągciąg przybliżonychprzybliżonych rozwiązań,rozwiązań,zazwyczajzazwyczaj corazcoraz dokładniejszychdokładniejszych..

RozwiązanieRozwiązanie określamyokreślamy wtedywtedy jakojako::

,,

aa wynikwynik określamyokreślamy ww sytuacjisytuacji gdygdy ::

10:3110:31

4141

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRozwiązania obliczeń numerycznych Rozwiązania obliczeń numerycznych

posiadają zazwyczaj więc rozwiązanie w posiadają zazwyczaj więc rozwiązanie w postaci ciągu zbieżnego. postaci ciągu zbieżnego.

Poszukiwane rozwiązanie może być Poszukiwane rozwiązanie może być zbieżne:zbieżne:

1.1.liniowoliniowo

2.2.nadliniowonadliniowo

3.3.kwadratowakwadratowa

4.4.rzędu rzędu aa

10:3110:31

4242

05.10.2018

22

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność liniowaZbieżność liniowa

Jeżeli istnieje stała c<1 i liczba Jeżeli istnieje stała c<1 i liczba całkowita N takie że:całkowita N takie że:

gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.

10:3110:31

4343

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność Zbieżność nadliniowanadliniowa

Jeżeli istnieje ciąg Jeżeli istnieje ciąg eenn zbieżny do zera i zbieżny do zera i liczba całkowita N takie że:liczba całkowita N takie że:

gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.

10:3110:31

4444

05.10.2018

23

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność kwadratowaZbieżność kwadratowa

Jeżeli istnieją stała C>0 i liczba Jeżeli istnieją stała C>0 i liczba całkowita N takie że:całkowita N takie że:

gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.

10:3110:31

4545

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweZbieżność rzędu Zbieżność rzędu aa

Jeżeli istnieją stała C>0, stała Jeżeli istnieją stała C>0, stała aa>1 oraz >1 oraz liczba całkowita N takie że:liczba całkowita N takie że:

gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań. jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań.

Dla Dla aa wynoszących:wynoszących:

1 < 1 < a a < 2 < 2 –– superliniowasuperliniowa

a a = 3 = 3 –– kubicznakubiczna

10:3110:31

4646

05.10.2018

24

Pojęcia podstawowePojęcia podstawoweRównania różnicoweRównania różnicowe

Pod pojęciem równania różnicowego Pod pojęciem równania różnicowego rozumiemy związek pomiędzy kilkoma rozumiemy związek pomiędzy kilkoma elementami ciągu rekurencyjnego, elementami ciągu rekurencyjnego, natomiast jego rozwiązaniem jest natomiast jego rozwiązaniem jest nn--tytywyraz tego ciągu.wyraz tego ciągu.

Ciągiem rekurencyjnym Ciągiem rekurencyjnym określamy taki określamy taki ciąg którego każdy wyraz zdefiniowany ciąg którego każdy wyraz zdefiniowany jest poprzez odwołanie do wyrazów jest poprzez odwołanie do wyrazów poprzednich.poprzednich.

10:3110:31

4747


Symbol Symbol iloczynu iloczynu pewnej liczby pewnej liczby wyrazów w ciągu:wyrazów w ciągu:

Operator przesunięcia Operator przesunięcia EE określony na określony na ciągach:ciągach:

10:3110:31

4848

05.10.2018

25


Operator identyczności Operator identyczności II

Postać ogólna wielomianu stopnia Postać ogólna wielomianu stopnia kkzmiennej zmiennej ll

Operator wielomianowy Operator wielomianowy pp((EE))przyjmuje postać:przyjmuje postać:

10:3110:31

4949


Na ciągu Na ciągu x(n)x(n) operator wielomianowy operator wielomianowy przyjmuje postać:przyjmuje postać:

10:3110:31

5050

05.10.2018

26

Przykład 4Przykład 4W chwili W chwili t=0t=0 pewna populacja liczy pewna populacja liczy PP(0)(0). .

Roczny wskaźnik urodzeń wynosi Roczny wskaźnik urodzeń wynosi bb, a , a współczynnik umieralności współczynnik umieralności dd. Zapisać równanie . Zapisać równanie różnicowe opisujące przyrost populacji.różnicowe opisujące przyrost populacji.

Jeżeli dla Jeżeli dla nn--tegotego roku stan populacji wynosi roku stan populacji wynosi P(n) to:P(n) to:

10:3110:31

5151

Przykład 4Przykład 4Dążąc do postaci ogólnej ciągu Dążąc do postaci ogólnej ciągu PP(n) (n)

wprowadzamy oznaczenie wprowadzamy oznaczenie r=br=b--dd

Można więc zaproponować postać Można więc zaproponować postać ogólną równania różnicowego:ogólną równania różnicowego:

10:3110:31

5252

05.10.2018

27

Przykład 4Przykład 4Na podstawie warunku początkowego Na podstawie warunku początkowego

dla dla n=0n=0, , P(n)=P(0)P(n)=P(0) można wyznaczyć można wyznaczyć wartość stałej wartość stałej AA::

Równanie różnicowe dla postawionego Równanie różnicowe dla postawionego problemu przyjmie więc postać:problemu przyjmie więc postać:

10:3110:31

5353

Przykład 4Przykład 4Dla P(0)=10 000 oraz dzietnością i umieralnością Dla P(0)=10 000 oraz dzietnością i umieralnością

opisanymi w tabeli można wykreślić rodzinę krzywych opisanymi w tabeli można wykreślić rodzinę krzywych wzrostu populacji. wzrostu populacji.

10:3110:31

54540

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Metody numeryczne Wykład 1 -...

Documents

Transcript of Metody numeryczne Wykład 1 -...