MECHANIKA NIEBA
WYKŁAD 3
19.03.2008 r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
M
A
B
Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do B nie zależy od drogi po jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy polem potencjalnym (zachowawczym).
W polu potencjalnym praca wykonana po dowolnej linii zamkniętej jest równa zero.
W związku z tym praca jest tylko funkcją współrzędnych:
Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem
)z,y,x(mUWAB
mE
U p Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnejna jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty sposób wyznaczyć składowe siły grawitacyjnej:
zyx FzUm;F
yUm;F
xUm
W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnień mechaniki nieba) siła F zależy tylko od odległości od środka pola, wtedy:
)r(fF
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
A(x,y,z)
α β
γ
O
α,β,γ – kąty jakie kierunek OA tworzy z osiami układu współrzędnych
rzcos;
rycos;
rxcos
składowe siły:
rzFF;
ryFF;
rxFF zyx r
Pamiętając, że:2222 zyxr
otrzymujemy:
rz
zr;
ry
yr;
rx
xr
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
A(x,y,z)
α β
γ
O
r
Wprowadźmy funkcję:
dr)r(fFdrmU
wtedy dla składowej x:
i analogicznie dla y oraz z:
xFrxF
rx)r(f
xr
drdUm
xUm
zy FzUm;F
yUm
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
m2
O
r
Wynika stąd, że funkcja :
jest potencjałem.mFdr
U
m1
W polu grawitacyjnym (punkt m1 przyciągapunkt m2):
a więc:
221
rmmGF
rmGU 1
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
m2
O
r
m1
Praca wykonana przy rozsunięciu punktówm1 i m2 od r do r1 jest równa różnicy:
r1
r1mGm)r(Um)r(UmW1
21212
Jeżeli punkt m2 odsuniemy do nieskończoności (r1->∞), to:
otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną.
p221 E)r(Um
rmmGW
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał układu punktówSuma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas:
Wyznaczmy potencjały dla kilku prostychprzypadków…
z
y
x
0
n
n
3
3
2
2
1
1
rm
rm
rm
rmGU
Mmi
(xi,yi,zi)
Q(x,y,z)
Całkując dostajemy:
Ta funkcja zależy tylko od z. Aby otrzymać natężenie pola musimy policzyć pochodną:
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi pierścieniaPotencjał od elementu δM:
22 zaMGU
22 zaGMU
2/322 zaMzG
dzdU
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi jednorodnego dyskuPotencjał dysku jest sumą potencjałów pochodzących od elementarnych pierścieni:
2/1222/122 zrrr2G
zrMGdU
zza1z
aGM2
zrrdrG2U
2/1
2
2
2
a
02/122
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi jednorodnego dysku
W przypadku dużych z, możemy rozwinąć wyrażenie w nawiasie korzystając z uogólnienia dwumianuNewtona na dowolne potęgi.
Otrzymujemy:
zMGU
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego prętaPręt o gęstości σ
Potencjał w punkcie P, pochodzącyod elementu δx:
cos
GrxGU
Sumaryczny potencjał dostajemy całkując:
L2rrL2rrlnG
cosdGU
21
21
r
δx
δθθ
2L
P
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
r
δx
δθθ
2L
Dla r>>L możemy logarytmy rozwinąć w szereg Maclaurina.
Otrzymujemy:
czyli potencjał masy punktowej.
rMGU
rL1ln
rL1ln
L2MGU
Gdy r1 i r2 są duże możemy założyć:
wtedy:
rrr 21
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
r
δx
δθθ
2L
L2rrL2rrlnGU
21
21
W niewielkich odległościach od pręta powierzchnie ekwipotencjalne są elipsami (r1+r2=2a)
o wielkich półosiach równych:
LaLalnGU
GU
GU
e1
e1La
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masySuma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas:
z
y
x
0
n
1i i
i
n
n
3
3
2
2
1
1
rmG
rm
rm
rm
rmGU
Mmi
(xi,yi,zi)
Q(x,y,z)
gdzie:2
i2
i2
i2
i )zz()yy()xx(r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
z
y
x
0M
mi
(xi,yi,zi)
Q(x,y,z)
Pochodne potencjału (podobnie dla y i z):
n
1i5i
2i
i3i
i2
2
n
1ii3
i
i
r)xx(m3
rmG
xU
)xx(rmG
xU
Można pokazać, że:
które jest równaniem Laplace’a
0zU
yU
xU
2
2
2
2
2
2
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
z
y
x
0M
mi
(xi,yi,zi)
Q(x,y,z)
Ogólnie:Potencjał w punkcie leżącym nazewnątrz masy przyciągającejspełnia r-nie Laplace’a:
Potencjał w punkcie leżącym wewnątrz masy przyciągającejspełnia r-nie Poisson’a:
0zU
yU
xU
2
2
2
2
2
2
G4
zU
yU
xU
2
2
2
2
2
2
Top Related