MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 3

19.03.2008 r

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

M

A

B

Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do B nie zależy od drogi po jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy polem potencjalnym (zachowawczym).

W polu potencjalnym praca wykonana po dowolnej linii zamkniętej jest równa zero.

W związku z tym praca jest tylko funkcją współrzędnych:

Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem

)z,y,x(mUWAB

mE

U p Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnejna jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty sposób wyznaczyć składowe siły grawitacyjnej:

zyx FzUm;F

yUm;F

xUm

W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnień mechaniki nieba) siła F zależy tylko od odległości od środka pola, wtedy:

)r(fF

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

A(x,y,z)

α β

γ

O

α,β,γ – kąty jakie kierunek OA tworzy z osiami układu współrzędnych

rzcos;

rycos;

rxcos

składowe siły:

rzFF;

ryFF;

rxFF zyx r

Pamiętając, że:2222 zyxr

otrzymujemy:

rz

zr;

ry

yr;

rx

xr

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

A(x,y,z)

α β

γ

O

r

Wprowadźmy funkcję:

dr)r(fFdrmU

wtedy dla składowej x:

i analogicznie dla y oraz z:

xFrxF

rx)r(f

xr

drdUm

xUm

zy FzUm;F

yUm

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

m2

O

r

Wynika stąd, że funkcja :

jest potencjałem.mFdr

U

m1

W polu grawitacyjnym (punkt m1 przyciągapunkt m2):

a więc:

221

rmmGF

rmGU 1

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

m2

O

r

m1

Praca wykonana przy rozsunięciu punktówm1 i m2 od r do r1 jest równa różnicy:

r1

r1mGm)r(Um)r(UmW1

21212

Jeżeli punkt m2 odsuniemy do nieskończoności (r1->∞), to:

otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną.

p221 E)r(Um

rmmGW

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał układu punktówSuma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas:

Wyznaczmy potencjały dla kilku prostychprzypadków…

z

y

x

0

n

n

3

3

2

2

1

1

rm

rm

rm

rmGU

Mmi

(xi,yi,zi)

Q(x,y,z)

Całkując dostajemy:

Ta funkcja zależy tylko od z. Aby otrzymać natężenie pola musimy policzyć pochodną:

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał na osi pierścieniaPotencjał od elementu δM:

22 zaMGU

22 zaGMU

2/322 zaMzG

dzdU

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał na osi jednorodnego dyskuPotencjał dysku jest sumą potencjałów pochodzących od elementarnych pierścieni:

2/1222/122 zrrr2G

zrMGdU

zza1z

aGM2

zrrdrG2U

2/1

2

2

2

a

02/122

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał na osi jednorodnego dysku

W przypadku dużych z, możemy rozwinąć wyrażenie w nawiasie korzystając z uogólnienia dwumianuNewtona na dowolne potęgi.

Otrzymujemy:

zMGU

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał od jednorodnego prętaPręt o gęstości σ

Potencjał w punkcie P, pochodzącyod elementu δx:

cos

GrxGU

Sumaryczny potencjał dostajemy całkując:

L2rrL2rrlnG

cosdGU

21

21

r

δx

δθθ

2L

P

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał od jednorodnego pręta

r

δx

δθθ

2L

Dla r>>L możemy logarytmy rozwinąć w szereg Maclaurina.

Otrzymujemy:

czyli potencjał masy punktowej.

rMGU

rL1ln

rL1ln

L2MGU

Gdy r1 i r2 są duże możemy założyć:

wtedy:

rrr 21

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał od jednorodnego pręta

r

δx

δθθ

2L

L2rrL2rrlnGU

21

21

W niewielkich odległościach od pręta powierzchnie ekwipotencjalne są elipsami (r1+r2=2a)

o wielkich półosiach równych:

LaLalnGU

GU

GU

e1

e1La

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał dowolnej masySuma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas:

z

y

x

0

n

1i i

i

n

n

3

3

2

2

1

1

rmG

rm

rm

rm

rmGU

Mmi

(xi,yi,zi)

Q(x,y,z)

gdzie:2

i2

i2

i2

i )zz()yy()xx(r

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał dowolnej masy

z

y

x

0M

mi

(xi,yi,zi)

Q(x,y,z)

Pochodne potencjału (podobnie dla y i z):

n

1i5i

2i

i3i

i2

2

n

1ii3

i

i

r)xx(m3

rmG

xU

)xx(rmG

xU

Można pokazać, że:

które jest równaniem Laplace’a

0zU

yU

xU

2

2

2

2

2

2

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał dowolnej masy

z

y

x

0M

mi

(xi,yi,zi)

Q(x,y,z)

Ogólnie:Potencjał w punkcie leżącym nazewnątrz masy przyciągającejspełnia r-nie Laplace’a:

Potencjał w punkcie leżącym wewnątrz masy przyciągającejspełnia r-nie Poisson’a:

0zU

yU

xU

2

2

2

2

2

2

G4

zU

yU

xU

2

2

2

2

2

2