Analiza matematycznaWYKAD 5Funkcje II wasnoci podstawoweIII. FunkcjeKrzysztof KucabRzeszw, 2012
Plan wykadu
asymptoty funkcji;funkcje cige i ich wasnoci.
Asymptoty funkcjiProsta x=a jest asymptot pionow lewostronn (prawostronn) funkcji f, jeli:
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Asymptoty funkcjiProsta jest asymptot pionow obustronn funkcji, jeeli jest jednoczenie jej asymptot lewostronn i prawostronn.
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Asymptoty funkcjiProsta y=A+x+B+ jest asymptot ukon funkcji f w , jeli:
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Asymptoty funkcjiAnalogicznie definiujemy asymptot ukon y=A-x+B- w -.W przypadku, gdy wspczynnik A jest rwny 0, to asymptot ukon nazywamy asymptot poziom.
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Asymptoty funkcjiWarunek istnienia asymptoty ukonej:
Prosta y=A+x+B+ jest asymptot ukon funkcji f w , wtedy i tylko wtedy, gdy:
Asymptoty funkcjiWarunek istnienia asymptot poziomych:
Prosta y=B+ jest asymptot poziom funkcji f w , wtedy i tylko wtedy, gdy:
Asymptoty funkcji
Analogiczne warunki istniej dla asymptot w -.
Funkcje cige i ich wasnociOtoczenie punktu
Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbir:
Funkcje cige i ich wasnociOtoczenie punktu
Otoczeniem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbir:
Otoczeniem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbir:
Funkcje cige i ich wasnociNiech x0R oraz niech funkcja f bdzie okrelona przynajmniej na otoczeniu O(x0).Funkcja f jest ciga w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Funkcje cige i ich wasnoci
Analogicznie definiujemy funkcj lewostronnie i prawostronnie cig w punkcie, tj.:
Funkcje cige i ich wasnoci
Funkcja jest ciga w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciga lewostronnie i prawostronnie.
Niecigo funkcjiNiecigo funkcjiNiech x0R oraz niech funkcja f bdzie okrelona przynajmniej na otoczeniu O(x0).
Funkcja f jest nieciga w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica albo
Niecigo funkcji badamy wycznie w punktach nalecych do jej dziedziny.
Niecigo funkcjiNiecigo pierwszego rodzaju
Funkcja f ma w punkcie x0 niecigo pierwszego rodzaju, jeeli istniej granice skoczone oraz
Niecigo funkcjiNiecigo pierwszego rodzajuFunkcja f ma w punkcie x0 niecigo pierwszego rodzaju typu skok, jeeli:
Funkcja f ma w punkcie x0 niecigo pierwszego rodzaju typu luka, jeeli:
Niecigo funkcji
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Niecigo funkcjiNiecigo drugiego rodzajuFunkcja f ma w punkcie x0 niecigo drugiego rodzaju, jeeli co najmniej jedna z granic nie istnieje lub jest niewaciwa.
Niecigo funkcji
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Dziaania na funkcjach cigych
Jeeli funkcje f i g s cige w punkcie x0, to:
- funkcja f+g jest ciga w punkcie x0;
- funkcja f-g jest ciga w punkcie x0;
- funkcja fg jest ciga w punkcie x0;
- funkcja f/g jest ciga w punkcie x0, o ile g(x0)0.
Dziaania na funkcjach cigych
Jeeli funkcja f jest ciga w punkcie x0 oraz funkcja g jest ciga w punkcie y0=f(x0), to:
- funkcja zoona jest ciga w punkcie x0.
Jeeli funkcja f jest ciga i rosnca w przedziale [a,b], to funkcja odwrotna f -1 jest ciga i rosnca w przedziale [f(a),f(b)],
Dziaania na funkcjach cigych
Funkcje elementarne s cige w swoich dziedzinach.
Jeeli funkcja jest ciga na przedziale domknitym i ograniczonym, to jest na nim ograniczona.
Dziaania na funkcjach cigychJeeli funkcja f jest ciga na przedziale [a,b] oraz spenia warunek f(a) < f(b), to:
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Dziaania na funkcjach cigychJeeli funkcja f jest ciga na przedziale [a,b] oraz spenia warunek f(a) f(b) < 0, to istnieje punkt taki, e f(c)=0:
rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.
Top Related