Analiza matematyczna

Analiza matematycznaWYKAD 5Funkcje II wasnoci podstawoweIII. FunkcjeKrzysztof KucabRzeszw, 2012

Plan wykadu

asymptoty funkcji;funkcje cige i ich wasnoci.

Asymptoty funkcjiProsta x=a jest asymptot pionow lewostronn (prawostronn) funkcji f, jeli:

rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

Asymptoty funkcjiProsta jest asymptot pionow obustronn funkcji, jeeli jest jednoczenie jej asymptot lewostronn i prawostronn.


Asymptoty funkcjiProsta y=A+x+B+ jest asymptot ukon funkcji f w , jeli:


Asymptoty funkcjiAnalogicznie definiujemy asymptot ukon y=A-x+B- w -.W przypadku, gdy wspczynnik A jest rwny 0, to asymptot ukon nazywamy asymptot poziom.


Asymptoty funkcjiWarunek istnienia asymptoty ukonej:

Prosta y=A+x+B+ jest asymptot ukon funkcji f w , wtedy i tylko wtedy, gdy:

Asymptoty funkcjiWarunek istnienia asymptot poziomych:

Prosta y=B+ jest asymptot poziom funkcji f w , wtedy i tylko wtedy, gdy:

Asymptoty funkcji

Analogiczne warunki istniej dla asymptot w -.

Funkcje cige i ich wasnociOtoczenie punktu

Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbir:

Funkcje cige i ich wasnociOtoczenie punktu

Otoczeniem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbir:

Otoczeniem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbir:

Funkcje cige i ich wasnociNiech x0R oraz niech funkcja f bdzie okrelona przynajmniej na otoczeniu O(x0).Funkcja f jest ciga w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:


Funkcje cige i ich wasnoci

Analogicznie definiujemy funkcj lewostronnie i prawostronnie cig w punkcie, tj.:

Funkcje cige i ich wasnoci

Funkcja jest ciga w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciga lewostronnie i prawostronnie.

Niecigo funkcjiNiecigo funkcjiNiech x0R oraz niech funkcja f bdzie okrelona przynajmniej na otoczeniu O(x0).

Funkcja f jest nieciga w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica albo

Niecigo funkcji badamy wycznie w punktach nalecych do jej dziedziny.

Niecigo funkcjiNiecigo pierwszego rodzaju

Funkcja f ma w punkcie x0 niecigo pierwszego rodzaju, jeeli istniej granice skoczone oraz

Niecigo funkcjiNiecigo pierwszego rodzajuFunkcja f ma w punkcie x0 niecigo pierwszego rodzaju typu skok, jeeli:

Funkcja f ma w punkcie x0 niecigo pierwszego rodzaju typu luka, jeeli:

Niecigo funkcji


Niecigo funkcjiNiecigo drugiego rodzajuFunkcja f ma w punkcie x0 niecigo drugiego rodzaju, jeeli co najmniej jedna z granic nie istnieje lub jest niewaciwa.

Niecigo funkcji


Dziaania na funkcjach cigych

Jeeli funkcje f i g s cige w punkcie x0, to:

- funkcja f+g jest ciga w punkcie x0;

- funkcja f-g jest ciga w punkcie x0;

- funkcja fg jest ciga w punkcie x0;

- funkcja f/g jest ciga w punkcie x0, o ile g(x0)0.


Jeeli funkcja f jest ciga w punkcie x0 oraz funkcja g jest ciga w punkcie y0=f(x0), to:

- funkcja zoona jest ciga w punkcie x0.

Jeeli funkcja f jest ciga i rosnca w przedziale [a,b], to funkcja odwrotna f -1 jest ciga i rosnca w przedziale [f(a),f(b)],


Funkcje elementarne s cige w swoich dziedzinach.

Jeeli funkcja jest ciga na przedziale domknitym i ograniczonym, to jest na nim ograniczona.

Dziaania na funkcjach cigychJeeli funkcja f jest ciga na przedziale [a,b] oraz spenia warunek f(a) < f(b), to:


Dziaania na funkcjach cigychJeeli funkcja f jest ciga na przedziale [a,b] oraz spenia warunek f(a) f(b) < 0, to istnieje punkt taki, e f(c)=0:


Analiza matematyczna

Documents

Transcript of Analiza matematyczna