ZWARCIA W UKŁADACH - Elektrycy · P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI...

P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI

Katedra Elektroenergetyki

Prof. dr hab. inŜ. Ryszard Zajczyk

ZWARCIA W UKŁADACH

ELEKTROENERGETYCZNYCH

(materiał do wykładu )

Gdańsk 2005 r.

2

Opracowano na podstawie: Marcin Kleindienst: Program do obliczeń zwarciowych w sieciach WN.

Wydział Elektrotechniki i Automatyki Politechnika Gdańska Gdańsk 2002. Opiekun pracy prof. dr hab. inŜ. Ryszard Zajczyk.

Zwarcia w układach elektroenergetycznych 3

SPIS TREŚCI

1 ANALIZA ZWAR Ć W UKŁADACH ELEKTROENERGETYCZNYCH .................. ......................... 4

1.1 WIADOMOŚCI WSTĘPNE......................................................................................................................... 4

1.2 OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRĄDU ZWARCIOWEGO.......................................................................... 6

2 SKŁADOWE SYMETRYCZNE – PRZEKSZTAŁCENIE 0, 1, 2..... ..................................................... 9

2.1 PRĄDY I NAPIĘCIA W MIEJSCU ZWARCIA.............................................................................................. 12

2.1.1 Zwarcia trójfazowe........................................................................................................................ 12

2.1.2 Zwarcie dwufazowe ....................................................................................................................... 13

2.1.3 Zwarcie dwufazowe z ziemią ......................................................................................................... 15

2.1.4 Zwarcia jednofazowe..................................................................................................................... 18

3 OBLICZANIE WIELKO ŚCI ZWARCIOWYCH WEDŁUG ZALECE Ń NORMATYWNYCH..... 20

3.1 OBLICZANIE PRĄDÓW ZWARCIOWYCH PRZY ZWARCIACH ODLEGŁYCH OD GENERATORÓW ................ 21

3.1.1 Zwarcie trójfazowe ........................................................................................................................ 22

3.1.2 Zwarcia niesymetryczne ................................................................................................................ 23

3.2 OBLICZANIE PRĄDÓW ZWARCIOWYCH PRZY ZWARCIACH W POBLIśU GENERATORÓW........................ 25

3.2.1 Zwarcie trójfazowe ........................................................................................................................ 26

3.2.2 Zwarcia niesymetryczne ................................................................................................................ 28

4 METODY MACIERZOWE OPARTE O ZWARCIOWE IMPEDANCJE WŁA SNE I WZAJEMNE

29

4.1 WYZNACZANIE IMPEDANCJI WŁASNYCH I WZAJEMNYCH METODĄ DOŁĄCZANIA GAŁĘZI .................... 31

4.2 WYZNACZANIE IMPEDANCJI WŁASNYCH I WZAJEMNYCH METODĄ FAKTORYZACJI MACIERZY

ADMITANCYJNEJ................................................................................................................................................ 35

5 MODEL SIECI DLA PROGRAMU PLANS .......................................................................................... 38

6 PRZYKŁAD OBLICZENIOW Y.............................................................................................................. 41

6.1 SCHEMAT UKŁADU ORAZ WYNIKI OBLICZEŃ ZWARCIOWYCH.............................................................. 41

6.2 DANE DO PROGRAMU PLANS............................................................................................................. 42

6.3 WYNIKI OBLICZEŃ PROGRAMU PLANS.............................................................................................. 42

7 LITERATURA........................................................................................................................................... 54

4

1 ANALIZA ZWAR Ć W UKŁADACH ELEKTROENERGETYCZNYCH

1.1 Wiadomości wstępne

Zwarcie, to przypadkowe lub celowe połączenie przez względnie małą rezystancję lub

impedancję, pomiędzy dwoma lub więcej punktami obwodu, które w normalnych warunkach

mają róŜne potencjały [6].

Zwarciom poświęca się wiele uwagi, ze względu na duŜą częstotliwość występowania

w układach elektroenergetycznych oraz na skutki zjawisk im towarzyszących - przepięć

i przetęŜeń. Skutki występowania prądu zwarciowego moŜna pogrupować w następujący spo-

sób:

� cieplne – zaleŜne od ilości ciepła wydzielonego w elementach układu podczas przepływu

prądu zwarciowego,

� dynamiczne – związane z siłami dynamicznymi, oddziałującymi pomiędzy sąsiednimi

przewodami.

Istnieje wiele przyczyn występowania zwarć i są one zróŜnicowane. MoŜna je podzie-

lić na elektryczne i nieelektryczne. Do tych pierwszych naleŜą np. przepięcia atmosferyczne

i łączeniowe, pomyłki łączeniowe, długotrwałe przeciąŜenia elementów systemu; do drugich

– starzenie się izolacji, zanieczyszczenie izolatorów, wady urządzeń, uszkodzenia mechanicz-

ne, wpływ warunków atmosferycznych oraz zwierząt.

Charakter zwarć zaleŜy od róŜnych czynników, min. od ilości miejsc oraz ilości faz,

które zostały zwarte między sobą lub z ziemią. Najczęstszy podział zwarć wygląda następują-

co:

� pojedyncze - zakłócenie, w którym występuję tylko jedno zwarcie; wielokrotne

- co najmniej dwa zwarcia zlokalizowane w róŜnych miejscach,

� symetryczne - zakłócenie, w którym wektory napięć i prądów tworzą układ symetryczny;

niesymetryczne - pozostałe przypadki, do których naleŜą zwarcia jednofazowe, dwufazo-

we, dwufazowe z ziemią,

� jednoczesne - zakłócenie, w którym zwarcia zachodzą w tym samym momencie; niejed-

noczesne - zwarcia nie zachodzące w tym samym momencie.


g)f)

e)d)

c)b)a)

Rys.1.1. Rodzaje zwarć: a) trójfazowe symetryczne; b) trójfazowe symetryczne doziemne; c) trójfa-zowe symetryczne doziemne; d) dwufazowe; e) dwufazowe doziemne; f) jednofazowe doziemne o

sieci z uziemionym punktem zerowym; g) jednofazowe doziemne w sieci z izolowanym punktem ze-rowym [9]

Ze względu na prawdopodobieństwo wystąpienia, najczęściej analizuje się zwarcia po-

jedyncze. Na podstawie światowych statystyk moŜna przyjąć, Ŝe udziały róŜnych rodzajów

zwarć przyjmują w przybliŜeniu wartości, jakie przedstawiono w tabeli 1.1.

Rodzaj zwarcia Udział

Jednofazowe 65 %

Podwójne z ziemią i dwufazowe z ziemią 20 %

Dwufazowe 10 %

Trójfazowe 5 %

Tabela 1-1 Procentowy udział poszczególnych rodzajów zwarć [2]

6

1.2 Ogólna charakterystyka prądu zwarciowego

Pojawienie się zwarcia powoduje nagłe zmniejszenie impedancji obwodu zewnętrzne-

go względem źródeł energii. W efekcie powstaje stan przejściowy w obwodzie zwarciowym,

którego uproszczony schemat (jednej fazy) przedstawiono na rysunku 1.2.

U

Z=R+jX

W

Rys.1.2. Obwód elektryczny nieobciąŜony zwierany przez wyłącznik

Obwód zasilany jest napięciem sinusoidalnym

( )um tUtu ψω += sin)(

gdzie: UU m 2= – wartość maksymalna napięcia, U – wartość skuteczna napięcia, fπω 2=

– pulsacja, f – częstotliwość, uψ – faza napięcia w chwili t = 0.

Zamknięcie wyłącznika W spowoduje powstanie przebiegu przejściowego w obwo-

dzie, opisanego równaniem róŜniczkowym

( )um tUdt

diLRi ψω +=+ sin

gdzie i – wartość chwilowa prądu. Po rozwiązaniu równania (przy warunku początkowym

i = 0) otrzymuje się

( ) ( )ϕψϕψω −−−+=−

u

tL

Rm

um e

Z

Ut

Z

Uti sinsin)(

gdzie: 22 XRZ += – impedancja obwodu,

=R

Larc

ωϕ ctg – kąt przesunięcia fazowego.

Prąd zwarciowy jest zatem sumą dwóch prądów składowych

DCAC iiti +=)(

gdzie składowa okresowa o stałej amplitudzie

( )ϕψω −+= um

AC tZ

Ui sin)0(

a składowa nieokresowa


( ) )0(sin)0( ACu

tL

Rm

DC ieZ

Ui =−−=

−ϕψ

co oznacza, Ŝe obie składowe są równe pod względem wartości, lecz przeciwnie skierowane.

Składowa nieokresowa ma charakter prądu stałego, zanikającego wykładniczo w czasie zgod-

nie ze stałą czasową R

L=τ .

Przebieg przejściowy prądu przedstawiono na rysunku 1.3.

iAC

iAC+iDC

iDC

u

i,u

tϕψ

i DC(0

)iA

C(0

)

przy

t =

0

Rys.1.3. Przebieg przejściowy prądu dla obwodu z rys. 1.2

Do najwaŜniejszych wielkości charakteryzujących nieustalony przebieg zwarciowy

naleŜą:

� prąd zwarciowy początkowy ''kI – wartość skuteczna składowej okresowej prądu zwar-

ciowego wyznaczona dla chwili t = 0+, zgodnie z oznaczeniami z rysunku 1.4

22

0'' ABCI k == ,

� prąd zwarciowy udarowy ip – maksymalna wartość chwilowa obliczeniowego prądu

zwarciowego, DEi p = (rys.1.4),

� prąd zwarciowy wyłączeniowy symetryczny Ib – wartość skuteczna jednego pełnego okre-

su składowej okresowej obliczeniowego prądu zwarciowego w chwili rozdzielenia styków

bieguna łącznika otwierającego się na skutek zwarcia, FGI b = (rys.1.4),

8

� prąd zwarciowy ustalony Ik – wartość skuteczna prądu zwarciowego występującego po

wygaśnięciu zjawisk przejściowych, HII k = (rys.1.4),

� prąd zwarciowy cieplny Ith – wartość skuteczna prądu powodującego takie same skutki

cieplne, jak prąd zwarciowy podczas zwarcia trwającego Tk sekund,

� prąd zwarciowy nieokresowy iDC – wartość średnia między obwiednią górną i dolną prądu

zwarciowego, malejąca od wartości początkowej do zera,

� prąd zwarciowy wyłączeniowy niesymetryczny ib asym – prąd wyłączeniowy symetryczny

Ib uzupełniony o składową nieokresową iDC.

Rys.1.4. Parametry charakterystyczne prądu zwarciowego

Prąd zwarciowy początkowy I k’’

i

tD0

A

B

E

Udar prądu zwarciowego ip

Obwiednia amplitudy prądu zwarciowegoPrąd zwarciowy nieokresowy iDC

Wartość skuteczna C Prąd zwarciowy wyłączeniowy Ib

tk

GPrąd zwarciowy ustalony Ik

I

H

F


2 SKŁADOWE SYMETRYCZNE – PRZEKSZTAŁCENIE 0, 1, 2

Metoda składowych symetrycznych opiera się na idei liniowego przekształcenia ukła-

du współrzędnych fazowych A, B, C w układ współrzędnych składowych symetrycznych

0, 1, 2 (0 – składowa zerowa, 1 – zgodna, 2 – przeciwna). Zaletą metody jest symetryzacja

rozpatrywanych wielkości np. wektorów napięć i prądów, co pozwala na dalszą łatwiejszą

analizę zjawisk.

Transformacja polega na sprowadzeniu wielkości fazowych określonych w układzie osi fa-

zowych nieruchomych do trzech układów osi fazowych. Ilustrację przekształcenia pokazano

na rys.2.1.

a0

WB

WA

WC

ω ω

W0A W0BW0C

W1A

W1B

W1C

W2A

W2B

W2C

ωω

<=> + +

10 2

W 0= W 1=W 2=

Rys.2.1. Ilustracja układu osi fazowych a,b,c i układu osi 0,1,2

Macierze napięć i prądów w układzie osi fazowych (a,b,c) i osi składowych symetrycznych

(0,1,2) określone są następująco:

=

=

=

=

2

1

0

012

2

1

0

012

C

B

A

ABC

C

B

A

ABC , , ,

I

I

I

U

U

U

I

I

I

U

U

U

IUIU

Macierz przejścia S jest postaci:

23

21j

2

2 je ,

1

1

11132π

+−==

= a

aa

aaS

Macierz odwrotna jest równa:

=−

aa

aa2

21

1

1

111

3

1S

Wtedy:

012ABC

012ABC

SUU

SII

== oraz

ABC1

012

ABC1

012

USU

ISI−

−

=

=

Prawo Ohma zapisane w postaci macierzowej przyjmuje następującą postać:

10

UABC = ZABCIABC

lub

=

C

B

A

CCCBCA

BCBBBA

ACABAA

C

B

A

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

U

U

U

,

gdzie: ZAA, ZBB, ZCC – to impedancje własne poszczególnych faz,

ZAB, ZAC, ZBA, ZBC, ZCA, ZCB – impedancje wzajemne faz.

Stosując odpowiednio dobraną macierz przekształcenia Bu, która wraz z odwrotnością Bu-1

diagonalizuje macierz impedancji Z, otrzymujemy

012ABC012 SIZSU =

012ABC1

012 SIZSU −=

Zdiagonalizowana macierz impedancji składowych symetrycznych :

Z012 = S-1ZABCS

=

2

1

0

00

00

00

Z

Z

Z

.

Schematy zastępcze elementu dla składowych fazowych i symetrycznych przedstawiono na

rys.2.2.

Składowe fazowe A, B, C Składowe symetryczne 0,1,2

u

u

u

u

u

uc2

b2

a2

c1

b1

a1 i

i

ic

b

a R

R

R L

L

Le

e

e

eeM Me

e

e

n in 0=

o oI R X0)

U(0)1

o

U(0)2

1 1I R X1)

U(1)1

1

U(1)2

2 2I R X2)

U(2)1

2

U(2)2

Rys.2.2. Schemat zastępczy elementu we współrzędnych fazowych (a,b,c). ObciąŜenie syme-

trycznie. Schemat zastępczy elementu elektroenergetycznej w układzie składowych (0,1,2).


ZaleŜności na napięcia i prądy po przekształceniu będą równe:

U012 = S-1UABC

lub

( )CBA UUUU ++=3

10

( )CBA UaUaUU 21 3

1 ++=

( )CBA UaUaUU ++= 22 3

1.

Prądy:

I 012 = S-1IABC

lub

( )CBA IIII ++=3

10

( )CBA IaIaII 21 3

1 ++=

( )CBA aIIaII ++= 22 3

1.

Wzory transformujące napięcia oraz prądy z układu 0, 1, 2 do układu A, B, C przyjmują na-

stępującą postać:

Napięcia:

UABC = SU012

lub

210 UUUU A ++=

212

0 UaUaUU B ++=

22

10 UaUaUU C ++=

prądy:

IABC = SI012

lub

210 IIII A ++=

212

0 IaIaII B ++=

22

10 IaaIII C ++= .

12

2.1 Prądy i napięcia w miejscu zwarcia

2.1.1 Zwarcia trójfazowe

Na rysunku 2.3 przedstawiono schemat zwarcia trójfazowego przez impedancję ZZ.

W miejscu zwarcia wielkości fazowe spełniają warunki:

UA = ZZIA

UB = ZZIB

UC = ZZIC

oraz prądy IA, IB, IC są symetryczne.

W efekcie wartości prądów i napięć składowych symetrycznych wynoszą:

I0 = I2 = 0

ZZZ

EI

+=

11

oraz

U0 = U2 = 0 ,

gdzie E – to wartość zastępczej siły elektromotorycznej, która jest równa napięciu fazowemu

w rozpatrywanym węźle w chwili poprzedzającej zwarcie.

Rys.2.3. Zwarcie trójfazowe przez impedancję ZZ

Prądy w układzie fazowym wynoszą:

IA = I1

IB = a2I1

IA = aI1 .

Prąd zwarciowy początkowy ma wartość:

Z

CBAk ZZ

EIIII

+====

1

" .

IA IB IC

ZZ ZZ ZZ UB UCUA

A

B

C


Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla składowych symetrycznych przedstawiono

na rys. 2.4.

Rys.2.4. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia trójfazowego

2.1.2 Zwarcie dwufazowe

Schemat zwarcia dwufazowego przez impedancję ZZ faz B i C przedstawiono na ry-

sunku 2.5. W tym przypadku określone są następujące warunki brzegowe:

IA = 0

IB + IC = 0

UB – UC = ZZIB .

Rys.2.5. Schemat zwarcia dwufazowego przez impedancję ZZ faz B i C

Składowe symetryczne prądu wynoszą:

( ) 0113

10 =−= BII

( ) BB IjIaaI3

1

3

1 21 =−=

( ) 12

2 3

1IIaaI B −=−=

Z warunku napięciowego wynika, Ŝe:

( ) ( ) =+−+=− 22

1212 UaUaUaUaUU CB

( ) ( ) =−−−= 22

12 UaaUaa

UB UCU

A

A

B

CIA IB IC

ZZ

I1 Z1

U1 E ZZ

14

( )( ) ( )21212 3 UUjUUaa −−=−−= .

A więc:

ZZIUU 121 =− .

Wykorzystując dodatkowo równania:

111 ZIEU −=

21222 ZIZIU =−=

otrzymujemy:

ZZZZ

EII

++=−=

2121 .

Pozostałe wartości prądu w układzie 0, 1, 2 wynoszą:

00 =I

ZZZZ

EI

++−=

212

Wartości napięcia dla składowych zgodnych są następujące:

01 =U

Z

Z

Z ZZZ

ZZE

ZZZ

EZEZIEU

++−=

++−=−=

21

2

211111

ZZZZ

ZEZIU

++==

21

2212 .

Wartości prądów i napięć w układzie A, B, C wynoszą:

0=AI

Z

CB ZZZ

EjII

++−=−=

21

3

Z

ZA ZZZ

ZZEUUUU

+++=++=21

2210

2

Z

ZB ZZZ

ZZaEUaUaUU

++−=++=

21

22

212

0

Z

ZC ZZZ

ZZaEUaUaUU

+++=++=21

22

210 .


Z

Bk ZZZ

EII

++==

21

" 3 .



na rys. 2.6.

Rys.2.6. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia dwufazowego

2.1.3 Zwarcie dwufazowe z ziemią

Schemat zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedancję ZZ faz B i C przedstawiono

na rysunku 2.5.

Rys.2.7. Schemat zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedancję ZZ faz B i C

Warunki graniczne w miejscu zwarcia przyjmują następującą postać:

0=AI

ZZCB ZIUU ==

CBZ III += .

PoniewaŜ:

210 IIII A ++= , 021 III −=+

212

0 IaIaII B ++=

22

10 IaIaII C ++=

zatem

( ) 0210 32 IIIII Z =+−= .

I1 Z1

U1 E

ZZ I2=-I1 Z2

U2

UB UCU

A

A

B

CIA IB IC

ZZ

16

W układzie składowych symetrycznych napięcia wynoszą:

( ) ( ) ( ) ZBAZZBACBA ZIUUZIUUUUUU 00 33

13

3

1

3

1 +−=+−=++=

( ) ( )BACBA UUUaUaUU −=++=3

1

3

1 21

( ) ( )BACBA UUUaUaUU −=++=3

1

3

1 22 .

Wynika z tego, Ŝe:

ZZIUUU 0021 3−== .

Korzystając z zaleŜności:

ZZIUZIZIEU 0022111 3−=−=−=

( )ZZZIU 3000 +−=

otrzymujemy

( ) ( )ZZ ZZZ

IIZZ

Z

II 33 0

2

210

2

02 ++−=+= ,

czyli

Z

Z

ZZZ

ZZII

3

3

20

012 ++

+−= .

Prądy w układzie współrzędnych 0, 1, 2 wynoszą:

( )Z

Z

ZZZ

ZZZZ

EI

3

3

20

021

1

++++

=

ZZZ

ZZZZ

EI

30

2121

2

++++

=

( )ZZ ZZ

Z

ZZ

EI

ZZZ

ZI

313

02

11

120

20

+

++

=++

= .


( )Z

k

ZZZ

ZZ

EII

31

33

02

11

0"

+

++

== .

Prądy w układzie fazowym wynoszą:


0=AI

( )

120

022

3

3I

ZZZ

ZZaZaI

Z

ZB

++++−=

( )

120

02

2

3

3I

ZZZ

ZZaZaI

Z

ZC

++++−= .

Napięcia w układzie 0, 1, 2 przyjmują wartość:

( )ZZ ZZ

Z

ZZ

EZI

ZZZ

ZZZIU

313

02

11

01

20

02000

+

++

=++

=−=

( ) ( )

( )Z

Z

Z

Z

ZZZ

ZZ

EZZI

ZZZ

ZZZZIU

31

3

3

3

02

11

01

20

02221

+

++

+=++

+=−=

12 UU = .

Napięcia fazowe wynoszą:

( )

( )Z

ZA

ZZZ

ZZ

EZZUUUU

31

63

02

11

0210

+

++

+=++=

( )Z

ZZZB

ZZZ

ZZ

EZZIU

31

3

02

11 +

++

=

BC UU =


na rys. 2.8.

Rys.2.8. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedan-cję ZZ

I1 Z1

U1 E

3ZZ

I2 Z2

U0

U2

Z0 I0

18

2.1.4 Zwarcia jednofazowe

Schemat zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedancję ZZ faz B i C przedstawiono

na rysunku 2.9.

Rys.2.9. Schemat zwarcia jednofazowego przez impedancję ZZ

Warunki graniczne w miejscu zwarcia opisane są następująco:

ZAA ZIU =

0== CB II .

W układzie współrzędnych 0, 1, 2 prądy przyjmują wartość:

( ) ACBA IIIII3

1

3

10 =++=

( ) ACBA IIaIaII3

1

3

1 21 =++=

( ) ACBA IIaIaII3

1

3

1 22 =++=

więc

210 III == .

PoniewaŜ

ZAA ZIUUUU =++= 210

zatem:

ZAA ZIZIZIZIEU =−−−= 002211

( ) ZA ZIZZZIE =++− 0211

Z

A ZZZZ

EI

3

3

210 +++= .

Prądy w układzie składowych symetrycznych wynoszą:

Z

A ZZZZ

EIIII

33

1

210210 +++

==== .

UB UCU

A

A

B

CIA IB IC

ZZ



Z

Ak ZZZZ

EII

3210

"

+++== .

Składowe symetryczne napięcia w fazie A wynoszą:

ZZZZZ

ZEZIU

3210

0000 +++

−=−=

( )Z

Z

ZZZZ

ZZZEZIEU

3

3

210

20111 +++

++=−=

ZZZZZ

ZEZIU

3210

2222 +++

−=−=

Napięcia w układzie fazowym mają wartość:

Z

ZA ZZZZ

ZEUUUU

3

3

210210 +++

=++=

( ) ( )

Z

ZB ZZZZ

ZaZaaZaEUaUaUU

3

31

210

22

20

2

212

0 ++++−+−=++=

( ) ( )

Z

ZC ZZZZ

ZaZaaZaEUaUaUU

3

31

210

22

02

210 +++

+−+−=++= .


na rys. 2.10.

Rys.2.10. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia jednofazowego przez impedancję ZZ

I1 Z1

U1 E

3ZZ I2 Z2

U2 U0

Z0 I0

I1 = I0 = I2

20

3 OBLICZANIE WIELKO ŚCI ZWARCIOWYCH WEDŁUG ZALECE Ń NORMATYW-

NYCH

Metoda obliczeniowa przedstawiona w normie jest oparta w duŜej mierze na twier-

dzeniu Thevenina [1]. Idea tego twierdzenia została schematycznie zobrazowana na rysun-

ku 3.1.

IF

k

Sieć

Z

Z

Z

E

E

E IF

k

Sieć+U k0

-Uk0

Z

Z

Z

E

E

E

E Z

IF0 = 0

k

Sieć+U k0

Z

Z

E

E

Zk

-Uk0

IF

SiećZ

Z

Zk

-Uk0

IF

SiećZ

Z

ZTk

IFT

ET

Rys.3.1. Poglądowe wyjaśnienie zasady Thevenina [1]

Koncepcja twierdzenia polega na zastąpieniu danego obwodu, widzianego od strony

wybranej pary zacisków, równowaŜnym schematem, składającym się z idealnego źródła na-

pięcia o sem ET równej napięciu stanu jałowego i szeregowej impedancji zastępczej ZT wi-

dzianej z tych zacisków.

Norma wprowadza pewne uproszczenia ze względu na fakt, iŜ najczęściej nie są znane

warunki napięciowe Uk0 w chwili poprzedzającej zwarcie. Napięcie źródła zastępczego jest

szacowane według wzoru: 3

ncU . Pomija się równieŜ wszystkie obciąŜenia nie wirujące

oraz admitancje poprzeczne elementów sieci. Skutki tych uproszczeń są rekompensowane

poprzez współczynnik c oraz w przypadku zwarć w pobliŜu generatorów – korektę impedan-

cji wybranych elementów sieci. Wartość współczynnika c dobiera się w zaleŜności, czy wy-

znaczany jest minimalny czy maksymalny prąd zwarciowy. Wartość:

� minimalna prądu zwarcia – stanowi podstawę doboru nastawień zabezpieczeń,


� maksymalna prądu zwarcia – określa wymagane parametry urządzeń elektrycznych.

Wartości współczynnika c przyjmuje się według tabeli 3.1, przy załoŜeniu, Ŝe najwyŜsze na-

pięcie w sieci nie róŜni się przeciętnie więcej niŜ ok. 10% (sieci WN) od jej napięcia znamio-

nowego.

Współczynnik napięciowy c w przypadku: Napięcie znamionowe Un Maksymalnego prądu zwarcia

cmin

Minimalnego prądu zwarcia cmax

Niskie napięcie do 1000 V

a) 230/400 V

b) inne napięcia

1,00

1,05

0,95

1,00

Średnie napięcia

1 < Un ≤ 35 kV 1,10 1,00

Wysokie napięcia

35 < Un ≤ 220 kV 1,10 1,00

Tabela 3-1 Dobór współczynnika c zastępczego źródła napięciowego [6]

3.1 Obliczanie prądów zwarciowych przy zwarciach odległych od generatorów

Zwarcie moŜna uwaŜać za odległe od generatora, jeŜeli reaktancja XTLV transformatora

zasilającego miejsce zwarcia jest ponad dwukrotnie większa od reaktancji zastępczej XQt sys-

temu przyłączonego do tego transformatora. Nie uwzględnia się wpływu silników na wartość

prądu zwarciowego, który jest sumą:

� składowej przemiennej o stałej amplitudzie w czasie trwania zwarcia,

� składowej nieokresowej zanikającej do zera.

Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu odległym od generatora przedstawiono

na rysunku 3.2.

22

i

t

0

Prąd udarowy ip

Obwiednia górna prądu zwarciowego

Prąd zwarciowy nieokresowy iDC

''22 kI

Obwiednia dolna prądu zwarciowego

Wartość początkowa składowej nieokresowej

''2222 kk II =

Rys.3.2. Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu odległym od generatora

3.1.1 Zwarcie trójfazowe

Wartość prądu zwarciowego początkowego jest wyznaczana według wzoru

k

n

kk

nk

Z

cU

XR

cUI

33 22

'' =+⋅

=

gdzie 3

ncU – napięcie źródła zastępczego, Zk = Z1 – impedancja obwodu zwarciowego

równa impedancji zastępczej zgodnej sieci widzianej w miejscu zwarcia, według oznaczeń

z tabeli 3.2.

Rodzaj zwarcia Połączenie sieci składowych i źródła zastępczego

Zwarcie trójfazowe (symetryczne)

A

B

C''3kI

(1) I1

Z1

3ncU

113

ZIcUn =

002 == II

Tabela 3-2 Oznaczenia i schemat zastępczy dla zwarcia trójfazowego [1]

Rezystancje mogą być w obliczeniach pominięte, jeśli spełniony jest warunek: Rk < 0,3 Xk.

Wartość prądu udarowego jest wyznaczana według wzoru

''2 kp Ii χ=

a wartość współczynnika udaru χ, uwzględniającą zanikanie składowej nieokresowej iDC,

podano na rysunku 3.3.


1,8

2,0

1,6

1,2

1,4

1,00,2 0,4 0,60 1,21,00,8

XR

χ

1,8

2,0

1,6

1,2

1,4

1,01 2 50,5 502010

RX

100 200

χ

Rys.3.3. Współczynnik udaru χ dla obwodów szeregowych w zaleŜności od R/X oraz X/R

Współczynnik χ moŜna równieŜ obliczyć z przybliŜonego wzoru

XRe 398,002,1 −+=χ

W sieciach zamkniętych o róŜnym stosunku R/X poszczególnych gałęzi wartość współczyn-

nika udaru χ moŜna wyznaczyć jedną z metod przybliŜonych:

Metoda A. Rozpatruje się tylko gałęzie sieci najbardziej obciąŜone prądem zwarcia, które

przewodzą łącznie co najmniej 80% prądu w miejscu zwarcia. Współczynnik χ przyjmuje się

dla najmniejszej wartości R/X (największej wartości X/R) wszystkich gałęzi sieci.

Metoda B. Dla impedancji zwarciowej Zk = Rk + jXk wyznacza się współczynnik udaru,

po czym do obliczenia prądu udarowego przyjmuje się zwiększoną wartość 1,15χ. Zatem

''215,1 kp Ii χ=

Metoda C. Wprowadza się tzw. Częstotliwość zastępczą fc, która dla częstotliwości sieciowej

f = 50 Hz wynosi fc = 20 Hz. Dla tej częstotliwości oblicza się impedancję zastępczą Zc = Rc

+ jXc, a następnie stosunek

f

f

X

R

X

R c

c

c ⋅=

dla którego wyznacza się wartość współczynnika χ.

3.1.2 Zwarcia niesymetryczne

Schematy zastępcze dla róŜnych rodzajów zwarć niesymetrycznych oraz oznaczenia

przedstawiono w tabeli 3.3.

Wartość prądu zwarciowego początkowego przy zwarciu dwufazowym bez udziału

ziemi jest wyznaczana według wzoru

121

''

2Z

cU

ZZ

cUI nn

k =+

= przy Z1 = Z2 ,

24

gdzie Z1 = Zk jest impedancją zastępczą zgodną sieci widzianą w miejscu zwarcia, Z2 – impe-

dancją przeciwną.

Ustalony prąd zwarciowy Ik2 jest równy prądowi zwarciowemu początkowemu Ik2’’

''22 kk II = .

Rodzaj zwarcia Połączenie sieci składowych i źródła zastępczego

Zwarcie dwufazowe bez udziału ziemi

A

B

C''2kI

(1)

I 0 = 0

3ncU

( )2113

ZZIcU n +=

22 II −=

(2)

Z1

Z2

Zwarcie dwufazowe z ziemią

A

B

C

''2EkEI

''2EkI

(1) 3ncU

++=

02

0211

3 ZZ

ZZZI

cU n

( )021 III +−=

(2)

Z1

Z2

(0)Z0

02

012 ZZ

ZII

+−=

02

210 ZZ

ZII

+−=

Zwarcie jednofazowe

A

B

C''1kI

(1) 3ncU

( )02113

ZZZIcU n ++=

021 III ==(2)

Z1

Z2

(0)Z0

Tabela 3-3 Oznaczenia i schematy zastępcze dla róŜnych rodzajów zwarć [1]

Prąd udarowy ip2 jest określony wzorem

''2 kp Ii χ=

gdzie współczynnik χ wyznaczany jest tak samo, jak dla zwarcia trójfazowego.

Wartość prądu zwarciowego początkowego przy zwarciu dwufazowym z ziemią jest

wyznaczana według wzoru


01

102

''2 2

1

ZZ

ZZacUI nEk +

++= dla fazy B (rysunek w tabeli 3.3),

01

10''2 2

1

ZZ

ZZacUI nEk +

++= dla fazy C,

gdzie Z1 jest impedancją zastępczą zgodną sieci widzianą w miejscu zwarcia, Z2 – impedan-

cją zerową, a = e j2π/3 oraz a2 = e -j2π/3 są operatorami obrotu.

Prąd doziemny I ’’kE2E wynosi

01

''2 2

3

ZZ

cUI n

EkE +=

Prądu udarowego ip2E nie wylicza się, gdyŜ

Epp ii 23 ≥ ewentualnie Epp ii 21 ≥ .

Wartość prądu zwarciowego początkowego przy zwarciu jednofazowym jest wyzna-

czana według wzoru

01021

''1 2

33

ZZ

cU

ZZZ

cUI nn

k +=

++=

gdzie Z1, Z2, Z0 to kolejno impedancje zastępcze: zgodna, przeciwna i zerowa sieci widziane

w miejscu zwarcia..

Ustalony prąd zwarciowy Ik1 jest równy prądowi zwarciowemu początkowemu Ik1’’

''11 kk II = .

Prąd udarowy ip1 jest określony wzorem

''12 kp Ii χ=

gdzie współczynnik χ wyznaczany jest tak samo, jak dla zwarcia trójfazowego.

3.2 Obliczanie prądów zwarciowych przy zwarciach w pobliŜu generatorów

Prąd zwarciowy przy zwarciu w pobliŜu generatora jest sumą:

� składowej przemiennej o amplitudzie malejącej w czasie trwania zwarcia,

� składowej nieokresowej malejącej do zera.

Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu w pobliŜu generatora przedstawiono

na rysunku 3.4.

26

i

t

0

Prąd udarowy ip

Obwiednia górna prądu zwarciowego

Prąd zwarciowy nieokresowy iDC

''22 kI

Obwiednia dolna prądu zwarciowego

Wartość początkowa składowej nieokresowej

kI22

Rys.3.4. Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu w pobliŜu generatora

Ze względu na zbyt duŜe przybliŜenie stosowane przy oszacowaniu źródła zastępczego na

poziomie 3

ncU w stosunku do źródła rzeczywistego w stanie obciąŜenia, norma wprowadza

w obliczeniach korektę wartości prądu początkowego ''kI (pośrednio – przez korektę impe-

dancji generatorów i transformatorów blokowych).

Przy ocenie, czy dany przypadek zwarcia zakwalifikować do kategorii zwarć pobliskich,

czy nie oraz, czy uwzględnić w obliczeniach wpływ silników, moŜna posłuŜyć się następują-

cymi wskazówkami:

� zwarcie naleŜy traktować jako odległe od generatora, gdy reaktancja XTLV transforma-

tora zasilającego miejsce zwarcia jest ponad dwukrotnie większa od reaktancji zastęp-

czej XQt systemu przyłączonego do tego transformatora,

� wpływ silników moŜna pominąć, jeśli suma prądów znamionowych silników induk-

cyjnych jest mniejsza niŜ 1% prądu zwarciowego obliczonego bez udziału silników:

∑≥⋅ rMk II ''01,0

� wpływ silników moŜna pominąć, jeśli ich udział w wartości prądu zwarciowego ''kI

jest mniejszy niŜ 5%.

3.2.1 Zwarcie trójfazowe

Wartość prądu początkowego ''kI jest obliczana z uwzględnieniem korekty impedancji

generatorów i transformatorów blokowych:

– dla generatorów przyłączonych bezpośrednio do sieci


kG

nkG

Z

UcI

⋅=

3max''

gdzie ''dGGGGkG jXRKZKZ +=⋅= , w którym współczynnik korekcyjny KG jest okre-

ślony następująco:

nGdnG

nG x

c

U

UK

ϕsin1 ''max

+⋅=

– dla bloków generator – transformator

PSU

nkPSU

Z

UcI

⋅=

3max''

gdzie ( )THVGnPSUPSU ZZKZ += 2ϑ , w którym

nGTdn

fPSU xx

cK

ϕϑϑ

sin)(1 ''max

2

2

−+⋅=

przy czym cmax – współczynnik napięciowy (tabela 3.1),

Un – napięcie znamionowe sieci,

UnG – napięcie znamionowe generatora,

ϕnG – przesunięcie fazowe między InG a UnG generatora,

ZkG – skorygowana impedancja generatora,

ZG – impedancja generatora, ''dGG jXRZ +=

''dx – reaktancja podprzejściowa generatora (wartość względna),

ZTHV – impedancja transformatora odniesiona do strony górnego napięcia,

ϑn – przekładnia znamionowa transformatora ϑn = UnTHV / UnTLV,

ϑf – umowna przekładnia transformacji ϑf = UnQ/ UnG,

UnQ – napięcie znamionowe w miejscu zasilania,

Wartość prądu udarowego ip jest wyznaczana według wzorów i zasad podanych

w p. 3.1 (po uprzednim wyliczeniu prądu ''kI , uwzględniającego korektę impedancji).

Ustalony prąd zwarciowy Ik obliczany jest dla dwóch przypadków (gdy zwarcie jest

zasilane z jednej maszyny synchronicznej):

� przy stałym wzbudzeniu generatora w stanie biegu jałowego – minimalny ustalony prąd

zwarciowy

nGk II ⋅= minmin λ ,

28

� przy maksymalnym wzbudzeniu generatora – maksymalny ustalony prąd zwarciowy

nGk II ⋅= maxmax λ ,

gdzie λmin oraz λmax określa się na podstawie rys. 3.5, InG – znamionowy prąd generatora.

W przypadku zwarć zasilanych z bloku generator – transformator obliczenia wykonuje

się podobnie jak dla zwarcia zasilanego bezpośrednio z generatora.

W sieciach zamkniętych, przy zwarciach zasilanych z wielu źródeł, prąd zwarciowy

ustalony jest równy

''kMk II =

przy czym ''kMI jest prądem zwarciowym początkowym bez udziału silników.

a) b)

0,4

1,6

1,2

2,0

0,8

0

2,8

2,4

0 2 4 6 8

1,21,41,61,82,02,2

xdsatλmax

λmin

nGkG II ''

0,4

1,6

1,2

2,0

0,8

0

2,8

2,4

0 2 4 6 8

1,21,41,61,82,02,2

xdsat

λmin

λmax

nGkG II ''

λ

Rys.3.5. ZaleŜność współczynników λmin i λmax od nGkG II '' dla turbogeneratorów przy zwarciu trójfa-

zowym. Przyjęto najwyŜszy poziom wzbudzenia przy pracy w warunkach znamionowych, odpowiada-jący następującym krotnościom znamionowego napięcia wzbudzenia: rys. a) 1,3; rys. b) 1,6 [6]

3.2.2 Zwarcia niesymetryczne

W zakresie zwarć niesymetrycznych, występujących w pobliŜu generatorów, obowiązu-

ją wzory przedstawione przy zwarciach niesymetrycznych odległych od generatorów, przy

czym impedancja zgodna generatorów i bloków energetycznych jest korygowana zgodnie

z opisanymi ustaleniami. Impedancje zastępcze przeciwne i zerowe nie są korygowane, po-

niewaŜ są one i tak określane w sposób przybliŜony.


4 METODY MACIERZOWE OPARTE O ZWARCIOWE IMPEDANCJE WŁAS NE I

WZAJEMNE

W rozległej sieci wielokrotnie zamkniętej wygodnie jest opisywać jej stan zwarciowy

stosując metodę potencjałów węzłowych, którą charakteryzuje ogólne równanie macierzowe:

I = YU

lub po rozwinięciu

=

n

k

nnnkn

knkkk

nk

n

k

U

U

U

YYY

YYY

YYY

I

I

I

.

.

.

.

....

.......

.......

....

.......

.......

....

.

.

.

.1

1

1

11111

gdzie: I – wektor zespolonych prądów węzłowych,

U – wektor zespolonych napięć węzłowych,

Y – macierz admitancyjna zwarciowa.

Jest to liniowy układ n równań z n niewiadomymi. Jego rozwiązaniem jest prąd zwarciowy

w węźle k oraz napięcia węzłowe, na podstawie których moŜna obliczyć rozpływ prądów

zwarciowych w poszczególnych gałęziach sieci.

Macierz admitancyjna zwarciowa jest symetryczna. Na diagonali tej macierzy znajdują się

admitancje zwarciowe własne węzłów, a poza nią – admitancje zwarciowe wzajemne węzłów

sieci.

Równanie wykorzystywane w metodzie potencjałów węzłowych moŜna zapisać rów-

nieŜ z uŜyciem macierzy impedancyjnej zwarciowej:

U = Y-1I = ZI ,

gdzie Z = Y-1 – to macierz impedancyjna zwarciowa.

=

nnnkn

knkkk

nk

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z

....

.......

.......

....

.......

.......

....

1

1

1111

30

Elementy na diagonali macierzy, to impedancje zwarciowe własne węzłów, a pozostałe – im-

pedancje zwarciowe wzajemne węzłów sieci. Macierz impedancyjna zwarciowa jest syme-

tryczna i pełna (bez elementów zerowych).

Prąd zwarciowy w dowolnym węźle k rozpatrywanej sieci wynosi:

kk

kk

Z

UI = ,

gdzie: Zkk – zwarciowa impedancja własna węzła k,

Uk – napięcie zastępcze w k-tym węźle,

3

1,1 nk

UU = , Un – znamionowe napięcie przewodowe sieci.

Gdy znana jest wartość prądu zwarciowego, moŜna wyznaczyć napięcia w poszczególnych

węzłach sieci na podstawie wzoru:

kiki IZU =

gdzie Zik – odpowiednia impedancja wzajemna.

Po wyznaczeniu napięć w węzłach sieci, obliczamy rozpływ prądów w gałęziach i oraz j

zgodnie z równaniem:

kij

jkik

ij

jiij I

Z

ZZ

Z

UUI

−=

−= ,

gdzie: Ui, Uj – napięcia odpowiednich węzłów,

Zik, Zjk – odpowiednie elementy impedancji węzłowych,

Zij – impedancja gałęzi, w której obliczany jest prąd.

Ze względu na prowadzenie obliczeń w obwodzie zastępczym i zastosowanie twierdze-

nia Thevenina, gdzie zwarcie w węźle zamodelowano przez doprowadzenie do niego siły

elektromotorycznej równej napięciu występującemu w węźle przed zwarciem (w rzeczywisto-

ści panuje tam napięcie zerowe), rozpływ prądów w sieci rzeczywistej jest róŜny co do kie-

runku:

I ij rz = – Iij

a w konsekwencji napięcia węzłowe w sieci rzeczywistej wynoszą:

Ui rz = Uk – Ui .


4.1 Wyznaczanie impedancji własnych i wzajemnych metodą dołączania gałęzi

Metoda dołączania gałęzi (metoda El-Abiada [7]) polega na stopniowym rozbudowy-

waniu macierzy impedancyjnej zwarciowej. Odpowiada to włączaniu kolejnych gałęzi sieci

zgodnie z pewnymi załoŜeniami:

� pierwsza gałąź jest przyłączana do węzła odniesienia – jest to gałąź zasilająca,

� kaŜda następna – do węzła juŜ istniejącego lub węzła odniesienia.

Macierz zwarciowa impedancji własnych i wzajemnych jest macierzą kwadratową

o stopniu równym liczbie węzłów rozpatrywanego fragmentu sieci.

Istnieją cztery przypadki dołączania gałęzi p–q o impedancji zpq (p < q):

I. Nowa gałąź jest przyłączana jednym końcem do węzła zerowego (p = 0) – rysunek

4.1. Zwiększona zostaje liczba węzłów w układzie.

Rys.4.1. Włączenie gałęzi promieniowej zasilającej [5]

Gałąź ta zawiera wtedy źródło SEM i jest gałęzią zasilającą. Schemat pomocniczy do

wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przedstawiono na rysunku 4.2. Mo-

dyfikacja macierzy polega na dodaniu q-tego wiersza i kolumny. Impedancja własna

węzła q wynosi:

pqq

qqq z

I

UZ ==

a impedancje wzajemne:

0== qiiq ZZ i = 1, 2, ..., q-1

Zmodyfikowana macierz impedancyjna wygląda następująco:

[ ]

=

qq

old

new

Z

Z

Z

..0

.

.

0

.

q

0

i j1 ...

zpq

p

32

Rys.4.2. Schemat pomocniczy do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przy włączaniu gałęzi zasilającej

II. Nowa gałąź jest przyłączana jednym końcem do węzła p układu – rysunek 4.3. Zwięk-

sza się liczba węzłów w układzie.

Rys.4.3. Włączenie gałęzi promieniowej

Modyfikacja macierzy polega na dodaniu q-tego wiersza oraz kolumny. Zgodnie ze

schematem pomocniczym (rysunek 4.4), impedancja własna nowego węzła wynosi:

pqppq

qqq zZ

I

UZ +==

a impedancje wzajemne między węzłem q i pozostałymi wynoszą:

ipq

iqiiq Z

I

UZZ === i = 1, 2, ..., q-1 .

Zmodyfikowana macierz impedancyjna wygląda następująco:

[ ]

=

qqqi

iqold

new

ZZ

Z

Z

Z

..

.

.

q

0

i j1 ...

zpq

p

Uq

Iq

q

0

i j1 ...

zpq

p


Rys.4.4. Schemat pomocniczy do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przy włączeniu gałęzi promieniowej

III. Nowa gałąź jest przyłączana do istniejących juŜ w układzie węzłów – rysunek 4.5.

Stopień macierzy w tym przypadku pozostaje bez zmiany.

Rys.4.5. Włączenie gałęzi typu oczkowego

Przeliczeniu ulegają poszczególne elementy macierzy impedancyjnej. Chwilowo

do macierzy dopisuje się wiersz i kolumnę L, które następnie zostaną zredukowane:

[ ]

=

LLLi

iLold

new

ZZ

Z

Z

Z

..

.

.

Zgodnie z rysunkiem 4.6 między punkty L oraz q dołączono źródło napięcia ULq.

Rys.4.6. Schemat pomocniczy do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przy włączeniu

gałęzi oczkowej

q

0

i j1 ...

zpq

p

U

q

Iq

Ui

0

i j1 ...

zpq

p q

0

i j1 ...

zpq

p

L ULq

q Uq Up

34

Prąd ILq płynący w tak powstałym obwodzie, zastąpiono dwoma prądami – jednym

wpływającym do węzła p, drugim – wypływającym z węzła q (rysunek 4.7a). Zatem

impedancja własna węzła L wynosi:

Lq

qLLL

I

UUZ

−= .

Rys.4.7. Schemat zastępczy obwodu z rysunku 4.6

Korzystając z równowaŜnego schematu obwodu (rysunek 4.7b) otrzymujemy:

q

qq

q

qL

L

qL

L

LL

q

qqLq

L

qLLL

Lq

qLLL

I

U

I

U

I

U

I

U

I

UU

I

UU

I

UUZ +−−=

−−

−=

−=

Biorąc pod uwagę, Ŝe :

pppqL

LL ZzI

U += , pqL

qL ZI

U= , qq

q

qq ZI

U= , pq

q

Lq ZI

U=

to impedancja własna węzła L wynosi:

pqqqpppqLL ZZZzZ 2−++= .

Impedancje wzajemne dla kolejnych węzłów przyjmują wartość:

ILq=IL

0

i j1 ...

Zpq

p

L

q

UiL UqL

ULL Iq= - ILq

q

0

i j1 ...

Zpq

p

L

ULq

Uiq Uqq

ILq=IL

0

i j1 ...

Zpq

p

L

q

ILq= - Iq

a)

b)


q

iq

L

iL

Lq

iLiiL

I

U

I

U

I

UZZ −===

a zatem

iqipLiiL ZZZZ −== .

Następnie eliminuje się pomocniczy węzeł L stosując wzór eliminacji Gaussa. Nowe

elementy macierzy wynoszą:

LL

LjiLijij

Z

ZZZZ −=' i, j = 1, 2, ..., n .

IV. Nowa gałąź łączy istniejący juŜ w układzie węzeł z węzłem odniesienia (p = 0) – ry-

sunek 4.8. Nie zmienia się wtedy wymiar macierzy, lecz przeliczone zostają wszystkie

jej elementy. Elementy pomocnicze wynoszą:

qqpqLL ZzZ +=

iqLiiL ZZZ −==

Nowe elementy macierzy po redukcji obliczamy zgodnie ze wzorem:

LL

LjiLijij

Z

ZZZZ −=' i, j = 1, 2, ..., n .

Rys.4.8. Włączanie gałęzi oczkowej zasilającej

4.2 Wyznaczanie impedancji własnych i wzajemnych metodą faktoryzacji ma-

cierzy admitancyjnej

Faktoryzacja macierzy admitancyjnej zwarciowej, która jest macierzą rzadką, tzn., Ŝe

przy odpowiednio wysokim stopniu macierzy – 95% jej elementów, to elementy zerowe, po-

lega na zredukowaniu macierzy wyjściowej Y stopnia n metodą krok po kroku do formy ma-

cierzy jednostkowej. Redukcji tej dokonuje się za pomocą lewo i prawostronnego mnoŜenia

macierzy Y przez macierze elementarne, tzw. faktory, oznaczone przez L oraz R (z ang. od-

0

i j1 ...

Zpq

p q

36

powiednio left i right). Macierze te składają się z jedynek na diagonali oraz w L występują

niezerowe elementy tylko w jednej kolumnie, a w macierzy R – tylko w jednym wierszu.

Elementy niezerowe macierzy L i R dobiera się w ten sposób, Ŝeby wyzerować kolumnę

i wiersz macierzy wyjściowej Y, a jej element diagonalny stał się jedynką. W pierwszym kro-

ku zatem otrzymujemy:

A(1) = L (1) Y(0) R(1)

lub w formie rozszerzonej:

=

1..00

....

..0.

0.010

.1

...

....

...

...

.

1.00

.....

0.10

0.01

0..0

..0

....

....

..0

0..01 11312

1

31

2221

1131211

1

31

21

11

)1()1(2

)1(2

)1(22

n

nnn

n

nnnn

n

rrr

yy

y

yy

yyyy

l

l

l

l

yy

yy

Operację tę powtarza się jeszcze n - 1 razy, w efekcie czego otrzymujemy jednostkową ma-

cierz Y(n). W dowolnym j-tym kroku redukcji wyraŜenie ogólne przyjmuje postać:

A(j) = L (j) Y(j-1) R(j)

lub w formie rozszerzonej:

=

1..00

..0..

10.

0.010

0..01

..0

.....

...

...10

0..01

1.00

....

.00.

0.010

0..01

.00

.....

...

0..10

0..01

)()(

)()(jnjk

nnnj

jnjj

nj

kj

jj

jnn

jnj

jjn

jjj rr

yy

yy

l

l

l

yy

yy

Elementy zredukowanej macierzy Y(j) oraz faktorów L (j) i R(j) są obliczane z następujących

wzorów (i, k = j + 1, ..., n):

)1(

)1()1()1()(

−

−−− −= j

jj

jkj

jjkj

ikj

ik y

yyyy ; )()( j

jij

ij yy = ; 1)( =jjjy

1)( =jikl dla i = k ; 0)( =j

ikl dla i ≠ k

)1(

)1()(

−

−

−= jjj

jijj

ij y

yl ; 0)( =j

jkl ; )1()( 1

−= jjj

jjj y

l

1)( =jikr dla i = k ; 0)( =j

ikr dla i ≠ k

0)( =jijr ; )1(

)1()(

−

−

−= jjj

jjkj

jk y

yr ; 1)( =j

jjr


Przedstawione wzory pokazują, Ŝe macierz L (j) ma na głównej przekątnej jedynki oprócz ele-

mentu l jj , a pozostałe elementy macierzy są zerowe, za wyjątkiem tych, które są połoŜone

w kolumnie j poniŜej elementu diagonalnego l jj. Macierz R(j) ma na diagonali same jedynki,

a pozostałe elementy zerowe za wyjątkiem wiersza połoŜonego na prawo od elementu r jj.

Po obliczeniu wszystkich faktorów L (j) i R(j) moŜna przedstawić algorytm redukcji macierzy

admitancyjnej Y jako mnoŜenie macierzowe faktorów elementarnych:

L (n) L (n-1) ... L(2) L (1) Y R(1) R(2) ... R(n-1) = 1

gdzie 1 – macierz jednostkowa rzędu n.

MnoŜąc lewostronnie kolejno przez odwrotności L -1 macierzy L , a prawostronnie przez L ,

otrzymujemy:

L (n)-1 L (n) L (n-1) ... L(2) L (1) Y R(1) R(2) ... R(n-1) L (n)= 1

i w dalszym kroku:

Y R(1) R(2) ... R(n-1) L (n) L (n-1) ... L(2) L (1) = 1

a więc:

R(1) R(2) ... R(n-1) L (n) L (n-1) ... L(2) L (1) = Y -1 = Z

Wynika z tego, Ŝe macierz impedancji zwarciowych Z, która jest odwrotnością macierzy ad-

mitancyjnej zwarciowej Y, moŜe być obliczona na podstawie mnoŜenia faktorów. PoniewaŜ

w obliczeniach zwarciowych zwykle wystarczy poznać jedną kolumnę macierzy odwrotnej –

Y -1 = Z, to przyjmując oznaczenia:

Z[kol] k – kolumna macierzy impedancyjnej zwarciowej o indeksie k,

mamy:

Y Z [kol] k = 1k ,

gdzie 1k – jest macierzą kolumnową zer z jedynką na pozycji k:

1k = [0(1), 0(2), ..., 1(k), ..., 0(n)] T .

Rozwiązanie tego równania przyjmuje postać:

Z[kol]k = Y -1 1k .

A zatem otrzymujemy:

Z[kol]k = R(1) R(2) ... R(n-1) L (n) L (n-1) ... L(2) L (1) 1k .

38

5 MODEL SIECI DLA PROGRAMU PLANS

Przy planowaniu pracy sieci przesyłowych jednym z wielu kryteriów technicznych są spo-

dziewane warto ci mocy zwarciowych. Sposób obliczania oddziaływań prądów zwarciowych

określa Polska Norma PN/E-05002. Podstawową wielkości, jaką wyznacza się, jest prąd po-

czątkowy w miejscu zwarcia Ik", który oblicza się ze wzoru:

)(3"

ZZ

kmUI ns

k ∆+=

w którym:

Uns - napięcie znamionowe sieci w miejscu zwarcia np.: 220 kV, 110 kV, ..., k - współczynnik podwyŜszenia napięcia , zwykle przyjmuje się k= l. l,

m - współczynnik zaleŜny od rodzaju zwarcia, Z - impedancja zastępcza pętli zwarciowej,

∆Z - bocznik zwarciowy charakteryzujący rodzaj zwarcia;

Impedancja Z zaleŜy od rodzaju zwarcia, a ponadto od miejsca zwarcia. Do obliczania im-

pedancji zastępczej w sieciach zamkniętych wyznacza się macierze impedancyjne zwarciowe.

W obliczeniach zwarciowych dla sieci przesyłowych (zamkniętych), naleŜy brać pod uwag

pełną sieć elektroenergetyczną najwyŜszych napięć wraz z modelami źródeł prądu zwarcio-

wego.

Rys.5.1. Model zwarciowy sieci przesyłowej.

Źródłami prądu zwarciowego są generatory, które praktycznie zastępuje się siłami

elektromotorycznymi Eq" za reaktancjami Xd" generatorów połączonych szeregowo z reak-

tancjami Xt transformatorów blokowych. Sieci sąsiednie (nie uwzględniane w obliczeniach

rozpływowych) mogą być teŜ źródłem prądu zwarciowego, wtedy na podstawie oszacowanej

mocy zwarciowej pochodzącej od sieci zewnętrznej oblicza się reaktancję zastępczą Xs takie-

go źródła.


Zastosowanie twierdzenia Thevenina prowadzi do uzyskania sieci zastępczej, w której

zwarto siły elektromotoryczne E" do węzła odniesienia i wstawiono E" do węzła, w którym

wystąpiło zwarcie (oznaczonego literą k na Rys.5.1). Sieć taka jest opisana macierzą admi-

tancyjną zwarciową Yz. Macierz admitancyjną zwarciową otrzymuje się z macierzy admitan-

cyjnej węzłowej uŜywanej do obliczeń rozpływowych dodając do admitancji własnych wę-

złów admitancje gałęzi modelujących źródła prądu zwarciowego (Xd"+Xt lub Xs ). Inwersja

macierzy Y, jest macierzą impedancyjną zwarciową Z, a elementy diagonalne Zkk stanowią

poszukiwane impedancje zwarciowe Z. Jak widać podstawową trudność w obliczeniach

zwarciowych stanowi inwersja macierzy admitancyjnej zwarciowej.

Obliczenia zwarciowe wykonywane są nie tylko dla zwarć symetrycznych (trójfazowych),

ale muszą być brane pod uwagę zwarcia niesymetryczne - jednofazowe i dwufazowe, bo-

wiem w praktyce najczęściej występują zwarcia jednofazowe. W obliczeniach zwarć niesy-

metrycznych naleŜy stosować metodę składowych symetrycznych, a więc stan niesymetrycz-

ny układu trójfazowego jest analizowany poprzez uŜycie trzech oddzielnych schematów za-

stępczych - dla składowej zerowej, zgodnej i przeciwnej, (trzech macierzy admitancji wła-

snych i wzajemnych). W obliczeniach rozpływowych jest uŜywana tylko macierz dla skła-

dowej zgodnej, bowiem rozwaŜa się stan symetryczny. Zatem do obliczeń zwarciowych nale-

Ŝy modele elementów sieci elektroenergetycznej uzupełnić o impedancje dla składowej ze-

rowej, a dla składowej przeciwnej przyjmuje się, Ŝe impedancje są takie same jak dla skła-

dowej zgodnej. Model linii elektroenergetycznej do obliczeń rozpływowych stanowi czwór-

nik typu P, zawierający rezystancję i reaktancję wyraŜone w Ohm oraz pojemność doziemną

wyraŜoną w µS. Wszystkie te parametry są wyznaczone dla składowej zgodnej. Do obliczeń

zwarciowych bierze się pod uwagę tylko impedancje (reaktancję) wzdłuŜną oraz dodatkowo

naleŜy określić reaktancję dla składowej zerowej, (zadając stosunek X0/X1), rys.4.2a. W

obliczeniach rozpływowych modelem autotransformatora jest dwójnik R,X zawierający rezy-

stancję i reaktancję dla składowej zgodnej pary uzwojeń: góme-dolne (400-220 kV). W obli-

czeniach zwarć taki model jest niewystarczający, zwłaszcza przy analizie zwarć z udziałem

ziemi. Dwójnik R,X zastępuje się schematem gwiazdowym jak na rys.4.2b. Wartości impe-

dancji schematu gwiazdowego wynikają z konstrukcji autotransformatora: napięć zwarcia par

uzwojeń, układu połączeń uzwojeń i sposobu uziemienia punktu zerowego.

40

Rys.5.2. Model zwarciowy: a)linii, b) autotransformatora; (l) - dla składowej zgodnej i prze-

ciwnej, (0) - dla składowej zerowej


6 PRZYKŁAD OBLICZENIOWY

6.1 Schemat układu oraz wyniki obliczeń zwarciowych

Schemat badanego układu przedstawiono na rys.6.1

SEE

400 kV

400 kV

110 kV

220 kV

160 MVA

220 kV

220 kV

BOZ_O1

BOZ-T1

L6 , 50 km

(50+j30) MVA

L5 , 50 km L7 , 100 km

2 x 500 MVA (100+j50)MVA

(150+j50)MVA

L4B, 150 km

L4A, 150 km

L1B, 100 km

L1A, 100 km

SYS412

MIL412 MOR411

PAT421

PAT211

BOZ211

BOZ111

x

x

wył

wył

2 x 200 MW

KOZ211

NAR_G2

2 x 360 MW

~ ~

NAR412

NAR_G1

L2 , 50 km

L8 , 50 km

L3 , 100 km

L9 , 100 km

(150+j100)MVA

PAT411

PAT-T1 PAT-T2

~ ~KOZ_G1 KOZ_G2

PAT_O1

400 kV

(200+j75)MVA

(300+j100)MVAPAT_O2

PAT_O3

MIL_O1 MOR_O1

Rys.6.1. Schemat układu testowego sieci

42

6.2 Dane do programu PLANS

Dane do programu PLANS zostały opracowane w dwóch wersjach:

Plik z danymi w formacie *.IEN

Plik z danymi w formacie *.KDM

Postać plików przedstawiono w tablicach 6.1 i 6.2

6.3 Wyniki obliczeń programu PLANS

Wyniki obliczeń badanego układu przedstawiono w tablicach 6.3÷6.8. W tablicy 6.3 przed-

stawiono wyniki obliczeń rozpływowych – poziomy napięć w węzłach sieci oraz przepływy

mocy czynnej i biernej w poszczególnych liniach i transformatorach .

W tablicy 6.4 i 6.7 przedstawiono macierz zwarciowych impedancji własnych i wzajemnych

badanego układu. W tablicy 6.7 uwzględniono rezystancje elementów.

W tablicy 6.5 przedstawiono moce zwarciowe i prądy zwarciowe dla zwarć symetrycznych i

niesymetrycznych obliczone przy pominięciu rezystancji zwarciowej.

W tablicy 6.6 przedstawiono rozpływ mocy zwarciowych oraz prądów zwarciowych wokół

badanego węzła przy zwarciu w tym węźle.

W tablicy 6.8 przedstawiono moce zwarciowe i prądy zwarciowe dla zwarć symetrycznych i

niesymetrycznych obliczone przy uwzględnieniu rezystancji zwarciowej.

Tabela 6-1. Dane układu dla programu PLANS w formacie *.IEN

*Opis Obliczanie rozpływów mocy i zwar ć *Gal Poc Kon Rg Xg BC I max(Sn) Teta Delta Tmin Tmax PAT-T1 PAT411 PAT211 0.5860 39.8700 0.0 500.0 1.690000 0.000 1.45455 2.01818 PAT-T2 PAT421 PAT211 0.5860 39.8700 0.0 500.0 1.690000 0.000 1.45455 2.01818 BOZ-T1 BOZ211 BOZ111 0.5100 21.3400 0.0 250.0 2.088000 0.000 1.67997 2.08800 L1A SYS412 MIL412 2.8700 31.8000 176.0 2060.0 L1B SYS412 MIL412 2.8700 31.8000 176.0 2060.0 L2 MIL412 MOR411 1.4350 15.9000 88.0 2060.0 L3 MOR411 PAT411 2.8700 31.8000 176.0 2060.0 L4A MIL412 PAT421 4.3050 47.7000 264.0 2060.0 -L4B MIL412 PAT411 4.3050 47.7000 264.0 2060.0 L5 PAT211 KOZ211 2.8730 20.6000 68.0 1030.0 L6 KOZ211 BOZ211 2.8730 20.6000 68.0 1030.0 L7 PAT211 BOZ211 5.7470 41.2000 136.0 1030.0 L8 NAR412 MOR411 1.4350 15.9000 88.0 2060.0 L9 NAR412 SYS412 2.8700 31.8000 176.0 2060.0 !PAT411 PAT411 PAT421 0.0100 0.1000 0.0 2300.0 *Wezel Typ Vz Pz Qz Pg Q g Qmin Qmax Pb Qb Vi Di Vn (G,B) KOZ211 3 235.0 0.00 0.00 380.00 5. 97 -250.0 246.0 0.00 0.00 235.000000 3.4 61190 220.00 BOZ211 1 220.0 0.00 0.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 232.469795 0.9 16425 220.00 BOZ111 1 110.0 -50.00 -30.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 109.925421 -0.2 12974 110.00 PAT211 1 220.0 -200.00 -50.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 233.051978 -2.1 59127 220.00 PAT411 1 400.0 -300.00 -100.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 397.874328 -3.0 79969 400.00 PAT421 1 400.0 -200.00 -75.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 397.876648 -3.0 80171 400.00 MOR411 1 400.0 -150.00 -100.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 408.352642 -0.4 69831 400.00 MIL412 1 400.0 -150.00 -100.00 0.00 0. 00 0.0 0.0 0.00 0.00 409.710912 -0.9 80674 400.00 NAR412 3 415.0 0.00 0.00 680.00 80. 69 -328.0 450.0 0.00 0.00 415.000000 2.0 72428 400.00 SYS412 4 415.0 0.00 0.00 0.09 52. 21 -300.0 300.0 0.00 0.00 415.000000 0.0 00000 400.00 *Koniec #G_NzG Wez Sn Typ Pg Pmin Pmax Qg Qmin QMax Ppw Qpw Kmin KMax Un Teta R Xt X" X' X X0 Tm KOZ_G1 KOZ211 235.0 1 190.00000 170.00 200.00 2.98738 -125.00 123.00 0.00000 0.00000 0.00 0.0 0 220.00 1.00000 0.000 35.160 50.800 72.000 500.0 00 16.734 5.0 KOZ_G2 KOZ211 235.0 1 190.00000 170.00 200.00 2.98738 -125.00 123.00 0.00000 0.00000 0.00 0.0 0 220.00 1.00000 0.000 35.160 50.800 72.000 500.0 00 16.734 5.0 NAR_G1 NAR412 426.0 1 340.00000 300.00 362.00 40.34716 -164.00 225.00 0.00000 0.00000 0.00 0. 00 400.00 1.00000 0.000 48.510 95.010 133.410 1051 .140 28.0 6.0 NAR_G2 NAR412 426.0 1 340.00000 300.00 362.00 40.34716 -164.00 225.00 0.00000 0.00000 0.00 0. 00 400.00 1.00000 0.000 48.510 95.010 133.410 1051 .140 28.0 6.0 SYS_G1 SYS412 588.0 1 0.09049 -500.00 500.00 52.21437 -300.00 300.00 0.00000 0.00000 0.00 0. 00 400.00 1.00000 0.000 0.000 35.200 9999.0 9999. 00 35.20 6.0 #O_NzG Wez Sn Typ Pl Pmin PMax CP Ql Qmin QMax CQ Kmin KMax Un Teta R Xt X 0 BOZ_O1 BOZ111 75.0 1 -50.00000 0.00 0.00 1. 00 -30.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 110.00 1.00000 0.000 64.000 999.000 PAT_O1 PAT211 250.0 1 -200.00000 0.00 0.00 1.00 -50.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 220.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000

44

PAT_O2 PAT411 350.0 1 -300.00000 0.00 0.00 1.00 -100.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 PAT_O3 PAT421 250.0 1 -200.00000 0.00 0.00 1.00 -75.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 MOR_O1 MOR411 250.0 1 -150.00000 0.00 0.00 1.00 -100.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 MIL_O1 MIL412 250.0 1 -150.00000 0.00 0.00 1.00 -100.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 #Lin_In Pocz. Kon. Vn Typ In1 In2 In3 In4 Szwp Szwk Kmin Kmax L,km S,mm2 X0 Xm0 Lin. M Go #T_Nzt Pocz. Kon. Sn Typ Teta Delt Tmin T max WezReg Uz Szwp Szwk Kmin Kmax Vn1 Vn2 Lz Z0 dU/z Alfa X0G X0D X0W Ukł.Poł. Go PAT-T1 PAT411 PAT211 500.0 11 1.690000 0.000 1.45455 2.01818 PAT211 237.90 0 0 0.00 0.00 400.0 220.0 25 8 3.2000 0.0 19.000 19.000 0.00 1,, 0.000 PAT-T2 PAT421 PAT211 500.0 11 1.690000 0.000 1.45455 2.01818 PAT211 237.90 0 0 0.00 0.00 400.0 220.0 25 8 3.2000 0.0 19.000 19.000 0.00 1,, 0.000 BOZ-T1 BOZ211 BOZ111 160.0 11 2.088000 0.000 1.67997 2.08800 BOZ111 115.00 0 0 0.00 0.00 220.0 110.0 17 17 0.0140 0.0 16.350 16.350 0.00 1 0.00 0.0

#Area_Nzw Kraj ODM ZE Region KOZ211 1,1,0,0,210.00,245.00 BOZ211 1,1,0,0,210.00,245.00 BOZ111 1,1,0,0,105.00,123.00 PAT211 1,1,0,0,210.00,245.00 PAT411 1,1,0,0,380.00,420.00 PAT421 1,1,0,0,380.00,420.00 MOR411 1,1,0,0,380.00,420.00 MIL412 1,2,0,0,380.00,420.00 NAR412 1,2,0,0,380.00,420.00 SYS412 1,2,0,0,380.00,420.00 #Koniec


Tabela 6-2. Dane układu dla programu PLANS w formacie *.KDM

KOMENTARZ Obliczanie rozpływów mocy i zwar ć WEZLY KOZ211 3 235.00 -0.000 -0.000,380.000, 5.975,24 6.00,-250.00,,,,,,220.00,1.068182 3.461190 BOZ211 1 220.00 0.000 0.000,,,,,,,,,,220.00,1.05 6681 0.916425 BOZ111 1 110.00 50.000 30.000,,,,,,,,,,110.00,0. 999322 -0.212974 PAT211 1 220.00 200.000 50.000,,,,,,,,,,220.00,1 .059327 -2.159127 PAT411 1 400.00 300.000 100.000,,,,,,,,,,400.00, 0.994686 -3.079969 PAT421 1 400.00 200.000 75.000,,,,,,,,,,400.00,0 .994692 -3.080171 MOR411 1 400.00 150.000 100.000,,,,,,,,,,400.00, 1.020882 -0.469831 MIL412 1 400.00 150.000 100.000,,,,,,,,,,400.00, 1.024277 -0.980674 NAR412 3 415.00 -0.000 -0.000,680.000, 80.694,45 0.00,-328.00,,,,,,400.00,1.037500 2.072428 SYS412 4 415.00 -0.000 -0.000, 0.090, 52.214,30 0.00,-300.00,,,,,,400.00,1.037500 0.000000 WEZLY-LS PAT411 PAT421 GALEZIE PAT-T1 PAT411 PAT211 0.586 39.870 0.00 500.0 PAT-T2 PAT421 PAT211 0.586 39.870 0.00 500.0 BOZ-T1 BOZ211 BOZ111 0.510 21.340 0.00 250.0 L1A SYS412 MIL412 2.870 31.800 176.00 2060 .0 L1B SYS412 MIL412 2.870 31.800 176.00 2060 .0 L2 MIL412 MOR411 1.435 15.900 88.00 2060. 0 L3 MOR411 PAT411 2.870 31.800 176.00 2060 .0 L4A MIL412 PAT421 4.305 47.700 264.00 2060 .0 L4B MIL412 PAT411 4.305 47.700 264.00 2060 .0 L5 PAT211 KOZ211 2.873 20.600 68.00 1030. 0 L6 KOZ211 BOZ211 2.873 20.600 68.00 1030. 0 L7 PAT211 BOZ211 5.747 41.200 136.00 1030 .0 L8 NAR412 MOR411 1.435 15.900 88.00 2060. 0 L9 NAR412 SYS412 2.870 31.800 176.00 2060 .0 GALEZIE-ST L4B -1 GALEZIE-TT PAT-T1 0.929500 0.000000 1.109999 0.800003 PAT-T2 0.929500 0.000000 1.109999 0.800003 BOZ-T1 1.044000 0.000000 1.044000 0.839985 KONIEC

46

*G_NzG Wez Sn Typ Pg Pmin Pmax Qg Qmin QMax Ppw Qpw Kmin KMax Un Teta R Xt X" X' X X0 Tm KOZ_G1 KOZ211 235.0 1 190.00000 170.00 200.00 2.98738 -125.00 123.00 0.00000 0.00000 0.00 0.0 0 220.00 1.00000 0.000 35.160 50.800 72.000 500.0 0 16.734 5.00 KOZ_G2 KOZ211 235.0 1 190.00000 170.00 200.00 2.98738 -125.00 123.00 0.00000 0.00000 0.00 0.0 0 220.00 1.00000 0.000 35.160 50.800 72.000 500.0 0 16.734 5.00 NAR_G1 NAR412 426.0 1 340.00000 300.00 362.00 40.34716 -164.00 225.00 0.00000 0.00000 0.00 0. 00 400.00 1.00000 0.000 48.510 95.010 133.410 1051 .140 28.0 6.0 NAR_G2 NAR412 426.0 1 340.00000 300.00 362.00 40.34716 -164.00 225.00 0.00000 0.00000 0.00 0. 00 400.00 1.00000 0.000 48.510 95.010 133.410 1051 .140 28.0 6.0 SYS_G1 SYS412 588.0 1 0.09049 -500.00 500.00 52.21437 -300.00 300.00 0.00000 0.00000 0.00 0. 00 400.00 1.00000 0.000 0.000 35.200 9999.00 9999 .00 35.20 6.0 *O_NzG Wez Sn Typ Pl Pmin PMax CP Ql Qmin QMax CQ Kmin KMax Un Teta R Xt X 0 BOZ_O1 BOZ111 75.0 1 -50.00000 0.00 0.00 1. 00 -30.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 110.00 1.00000 0.000 64.000 999.000 PAT_O1 PAT211 250.0 1 -200.00000 0.00 0.00 1.00 -50.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 220.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 PAT_O2 PAT411 350.0 1 -300.00000 0.00 0.00 1.00 -100.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 PAT_O3 PAT421 250.0 1 -200.00000 0.00 0.00 1.00 -75.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 MOR_O1 MOR411 250.0 1 -150.00000 0.00 0.00 1.00 -100.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 MIL_O1 MIL412 250.0 1 -150.00000 0.00 0.00 1.00 -100.00000 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 400.0 0 1.00000 0.000 64.000 999.000 *Lin_In Pocz. Kon. Vn Typ In1 In2 In3 In4 Szwp Szwk Kmin Kmax L,km S,mm2 X0 Xm0 Lin. M Go *T_Nzt Pocz. Kon. Sn Typ Teta Delt Tmin T max WezReg Uz Szwp Szwk Kmin Kmax Vn1 Vn2 Lz Z0 dU/z Alfa X0G X0D X0W Ukł.Poł. Go PAT-T1 PAT411 PAT211 500.0 11 1.690000 0.000 1.45455 2.01818 PAT211 237.90 0 0 0.00 0.00 400.0 220.0 25 8 3.2000 0.0 19.000 19.000 0.00 1,, 0.000 PAT-T2 PAT421 PAT211 500.0 11 1.690000 0.000 1.45455 2.01818 PAT211 237.90 0 0 0.00 0.00 400.0 220.0 25 8 3.2000 0.0 19.000 19.000 0.00 1,, 0.000 BOZ-T1 BOZ211 BOZ111 160.0 11 2.088000 0.000 1.67997 2.08800 BOZ111 115.00 0 0 0.00 0.00 220.0 110.0 17 17 0.0140 0.0 16.350 16.350 0.00 1 0.000 0.0

*Area_Nzw Kraj ODM ZE Region KOZ211 1,1,0,0,210.00,245.00 BOZ211 1,1,0,0,210.00,245.00 BOZ111 1,1,0,0,105.00,123.00 PAT211 1,1,0,0,210.00,245.00 PAT411 1,1,0,0,380.00,420.00 PAT421 1,1,0,0,380.00,420.00 MOR411 1,1,0,0,380.00,420.00 MIL412 1,2,0,0,380.00,420.00 NAR412 1,2,0,0,380.00,420.00 SYS412 1,2,0,0,380.00,420.00 *Koniec


Tabela 6-3. Wydruk wyników obliczeń rozpływowych dla badanego układu.

*Bilanse w ęzłowe Węzeł Typ Uz Ui Ui' Di Pl Ql Pg Qg dP dQ Pb Qb - - kV kV - stop. MW Mvar MW Mvar MW Mvar MW Mvar KOZ211 3 235.0 235.000 1.07 3.461 0.000 0.000 380.000 5.975 0.000 0.000 _ _ BOZ211 1 220.0 232.470 1.06 0.916 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 _ _ BOZ111 1 110.0 109.925 1.00 -0.213 -50.000 -30.000 0.000 0.000 0.000 0.000 _ _ PAT211 1 220.0 233.052 1.06 -2.159 -200.000 -50.000 0.000 0.000 0.000 -0.000 _ _ PAT411 1 400.0 397.874 0.99 -3.080 -300.000 -100.000 0.000 0.000 -0.000 -0.000 _ _ PAT421 1 400.0 397.877 0.99 -3.080 -200.000 -75.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 _ _ MOR411 1 400.0 408.353 1.02 -0.470 -150.000 -100.000 0.000 0.000 -0.000 -0.000 _ _ MIL412 1 400.0 409.711 1.02 -0.981 -150.000 -100.000 0.000 0.000 0.000 -0.000 _ _ NAR412 3 415.0 415.000 1.04 2.072 0.000 0.000 680.000 80.694 -0.000 0.000 _ _ SYS412 4 415.0 415.000 1.04 0.000 0.000 0.000 0.090 52.214 -0.000 -0.000 _ _ *Przepływy gał ęziowe Gał ąź Pocz. Kon. P_pocz Q_pocz P_ko ńc Q_ko ńc dP Iobc In1 StopObc Transf. - - - MW Mvar MW Mvar MW A(MVA) A(MVA) kV/kV PAT-T1 PAT411 PAT211 -62.556 41.509 -6 2.577 40.089 0.021 75 500.0 15 1.69 PAT-T2 PAT421 PAT211 -62.570 41.532 -6 2.591 40.112 0.021 75 500.0 15 1.69 BOZ-T1 BOZ211 BOZ111 50.033 31.377 5 0.000 30.000 0.033 59 250.0 24 2.09 L1A SYS412 MIL412 97.022 30.739 9 6.803 88.169 0.219 185 2060.0 9 _ L1B SYS412 MIL412 97.022 30.739 9 6.803 88.169 0.219 185 2060.0 9 _ L2 MIL412 MOR411 -89.887 28.759 -8 9.972 57.260 0.085 151 2060.0 7 _ L3 MOR411 PAT411 243.313 88.548 24 2.055 131.817 1.258 400 2060.0 19 _ L4A MIL412 PAT421 133.493 47.579 13 2.820 126.224 0.674 266 2060.0 13 _ L4B MIL412 PAT411 _ _ _ _ _ _ _ _ _ L5 PAT211 KOZ211 -256.671 22.846 -26 0.193 5.040 3.522 639 1030.0 62 _ L6 KOZ211 BOZ211 119.807 11.015 11 9.049 13.010 0.758 297 1030.0 29 _ L7 PAT211 BOZ211 -68.496 7.355 -6 9.016 18.368 0.519 177 1030.0 17 _ L8 NAR412 MOR411 485.412 125.025 48 3.285 131.288 2.127 708 2060.0 34 _ L9 NAR412 SYS412 194.588 -44.331 19 3.954 9.264 0.634 278 2060.0 13 _ !PAT411 PAT411 PAT421 4.611 -9.691 4.611 -9.691 0.000 16 2300.0 1 _

48

Tabela 6-4. Macierz zwarciowych impedancji własnych i wzajemnych dla badanego układu (wydruk z programu PLANS).

Macierz impedancyjna zwarciowa Z1 (R1 równe zero)

KOZ211 BOZ211 BOZ111 PAT211 PAT411 PAT421 MOR411 MIL412 NAR412 SYS412 T*1 T*2 T*3

KOZ211 19,889 17,121 8,561 11,588 15,179 15,179 9,763 9,21 7,608 6,668 18,124 18,124 17,121

BOZ211 17,121 29,473 14,736 12,976 16,998 16,998 10,933 10,314 8,519 7,467 20,295 20,295 29,472

BOZ111 8,561 14,736 12,703 6,488 8,499 8,499 5,466 5,157 4,259 3,733 10,148 10,148 20,071

PAT211 11,588 12,976 6,488 15,754 20,636 20,636 13,273 12,521 10,342 9,065 24,639 24,639 12,976

PAT411 15,179 16,998 8,499 20,636 41,393 41,392 26,623 25,116 20,745 18,183 39,456 39,455 16,997

PAT421 15,179 16,998 8,499 20,636 41,392 41,393 26,623 25,116 20,745 18,183 39,455 39,456 16,997

MOR411 9,763 10,933 5,466 13,273 26,623 26,623 31,379 25,452 23,784 19,134 25,377 25,377 10,933

MIL412 9,21 10,314 5,157 12,521 25,116 25,116 25,452 30,237 20,834 20,83 23,941 23,941 10,314

NAR412 7,608 8,519 4,259 10,342 20,745 20,745 23,784 20,834 28,253 17,913 19,775 19,775 8,519

SYS412 6,668 7,467 3,733 9,065 18,183 18,183 19,134 20,83 17,913 23,408 17,333 17,333 7,467

T*1 18,124 20,295 10,148 24,639 39,456 39,455 25,377 23,941 19,775 17,333 52,094 42,126 20,295

T*2 18,124 20,295 10,148 24,639 39,455 39,456 25,377 23,941 19,775 17,333 42,126 52,094 20,295

T*3 17,121 29,472 20,071 12,976 16,997 16,997 10,933 10,314 8,519 7,467 20,295 20,295 40,142


Tabela 6-5. Wydruk wyników obliczeń zwarciowych dla badanego układu - poziomy mocy zwarciowych w poszczególnych węzłach układu.

Poziomy mocy zwarciowych Szyny Vn Sz3F Iz3F Iz2F Iz1F 3I0 X1 X0 - kV MVA kA kA kA kA Ohm Ohm KOZ211 220.00 2683 7.041 6.098 9.028 9.028 19.89 6.76 BOZ211 220.00 1811 4.751 4.115 5.923 5.923 29.47 11.98 BOZ111 110.00 1050 5.512 4.773 7.122 7.122 12.70 4.09 PAT211 220.00 3387 8.889 7.698 12.279 12.279 15.75 2.71 PAT411 400.00 4262 6.151 5.327 8.357 8.357 41.39 8.61 PAT421 400.00 4262 6.151 5.327 8.357 8.357 41.39 8.61 MOR411 400.00 5622 8.114 7.027 8.365 8.365 31.38 28.55 MIL412 400.00 5834 8.420 7.292 8.188 8.188 30.24 32.81 NAR412 400.00 6243 9.012 7.804 11.248 11.248 28.25 11.40 SYS412 400.00 7536 10.877 9.420 11.161 11.161 23.41 21.62

Tabela 6-6. Wydruk wyników obliczeń zwarciowych dla badanego układu - rozpływ prądów i mocy zwarciowych w poszczególnych węzłach układu przy zwarciu w danym węźle.

Zwarcia - Udziały pr ądowe – rozpływ pr ądów i mocy zwarciowych Szyny Vn SzWył. Sz3F Iz3F Iz2F Iz1F 3I0 Iw X1 X0 - kV MVA MVA kA kA kA kA kA Ohm Ohm KOZ211 220.00 2683 7.041 6.098 9.028 9.028 19.89 6.76 Udział od: PAT211 L5 1081 2.837 2.457 2.738 0.940 -0.899 BOZ211 L6 360 0.946 0.819 1.074 0.796 -0.139 KOZ_G1 621 1.629 1.411 2.608 3.646 0.519 KOZ_G2 621 1.629 1.411 2.608 3.646 0.519 BOZ211 220.00 1811 4.751 4.115 5.923 5.923 29.47 11.98 Udział od: T*3 BOZ-T1 0 0.000 0.000 1.447 4.341 1.447 KOZ211 L6 1086 2.849 2.467 2.708 1.023 -0.843 PAT211 L7 725 1.902 1.648 1.767 0.559 -0.604

50

Szyny Vn SzWył. Sz3F Iz3F Iz2F Iz1F 3I0 Iw X1 X0 - kV MVA MVA kA kA kA kA kA Ohm Ohm BOZ111 110.00 1050 5.512 4.773 7.122 7.122 12.70 4.09 Udział od: T*3 BOZ-T1 1050 5.512 4.773 7.122 7.122 0.000 PAT211 220.00 3387 8.889 7.698 12.279 12.279 15.75 2.71 Udział od: T*1 PAT-T1 1237 3.246 2.811 4.917 5.784 0.433 T*2 PAT-T2 1237 3.246 2.811 4.917 5.784 0.433 KOZ211 L5 685 1.798 1.557 1.813 0.474 -0.670 BOZ211 L7 228 0.599 0.519 0.631 0.237 -0.197 PAT411 400.00 4262 6.151 5.327 8.357 8.357 41.39 8.61 Udział od: T*1 PAT-T1 414 0.598 0.518 1.804 3.789 0.992 MOR411 L3 1979 2.857 2.474 2.742 0.464 -1.139 MOR411 L4B PAT421 !PAT411 1868 2.697 2.335 3.811 4.105 0.147 PAT421 400.00 4262 6.151 5.327 8.357 8.357 41.39 8.61 Udział od: T*2 PAT-T2 414 0.598 0.518 1.804 3.789 0.992 MIL412 L4A 1454 2.099 1.818 2.007 0.316 -0.845 PAT411 !PAT411 2393 3.454 2.992 4.546 4.252 -0.147 MOR411 400.00 5622 8.114 7.027 8.365 8.365 31.38 28.55 Udział od: MIL412 L2 2096 3.025 2.620 2.840 2.284 -0.278 PAT411 L3 841 1.213 1.051 1.571 2.212 0.320 NAR412 L8 2685 3.876 3.357 3.954 3.869 -0.042


Szyny Vn SzWył. Sz3F Iz3F Iz2F Iz1F 3I0 Iw X1 X0 - kV MVA MVA kA kA kA kA kA Ohm Ohm MIL412 400.00 5834 8.420 7.292 8.188 8.188 30.24 32.81 Udział od: SYS412 L1A 1726 2.491 2.157 2.203 1.763 -0.220 SYS412 L1B 1726 2.491 2.157 2.203 1.763 -0.220 MOR411 L2 1756 2.534 2.195 2.632 2.967 0.167 PAT421 L4A 626 0.904 0.783 1.151 1.695 0.272 PAT421 L4B NAR412 400.00 6243 9.012 7.804 11.248 11.248 28.25 11.40 Udział od: MOR411 L8 1755 2.533 2.194 2.494 1.159 -0.668 SYS412 L9 2030 2.930 2.538 2.747 0.927 -0.910 NAR_G1 1229 1.774 1.536 3.003 4.581 0.789 NAR_G2 1229 1.774 1.536 3.003 4.581 0.789 SYS412 400.00 7536 10.877 9.420 11.161 11.161 23.41 21.62 Udział od: MIL412 L1A 611 0.882 0.764 0.968 1.095 0.063 MIL412 L1B 611 0.882 0.764 0.968 1.095 0.063 NAR412 L9 1302 1.880 1.628 1.991 2.115 0.062 SYS_G1 5011 7.233 6.264 7.233 6.856 -0.189

52

Tabela 6-7. Macierz zwarciowych impedancji własnych i wzajemnych dla badanego układu (wydruk z programu PLANS). Uwzględniono rezystancje elementów.

Macierz impedancyjna zwarciowa Z1

KOZ211 BOZ211 BOZ111 PAT211 PAT411 PAT421 MOR411 M IL412 NAR412 SYS412 T*1 T*2 T*3

0,864 0,582 0,291 0,019 0,168 0,169 -0,118 -0,144 -0,236 -0,273 0,101 0,101 0,582

KOZ211 19,921 17,143 8,572 11,589 15,185 15,186 9,759 9,205 7,599 6,657 18,128 18,128 17,143

0,582 2,375 1,188 0,215 0,442 0,442 0,03 -0,007 -0,138 -0,195 0,416 0,417 2,375

BOZ211 17,143 29,488 14,744 12,977 17,002 17,002 10,93 10,31 8,514 7,46 20,298 20,298 29,487

0,291 1,188 0,721 0,107 0,221 0,221 0,015 -0,004 -0,069 -0,097 0,208 0,208 1,315

BOZ111 8,572 14,744 12,707 6,488 8,501 8,501 5,465 5,155 4,257 3,73 10,149 10,149 20,078

0,019 0,215 0,107 0,607 0,99 0,99 0,328 0,266 0,06 -0,038 1,047 1,047 0,215

PAT211 11,589 12,977 6,488 15,754 20,636 20,636 13,273 12,521 10,343 9,064 24,639 24,639 12,977

0,168 0,442 0,221 0,99 1,902 1,898 0,604 0,481 0,077 -0,114 1,851 1,849 0,442

PAT411 15,185 17,002 8,501 20,636 41,394 41,394 26,623 25,115 20,745 18,181 39,457 39,457 17,002

0,169 0,442 0,221 0,99 1,898 1,904 0,603 0,482 0,076 -0,113 1,849 1,852 0,442

PAT421 15,186 17,002 8,501 20,636 41,394 41,394 26,623 25,115 20,745 18,181 39,457 39,457 17,002

-0,118 0,03 0,015 0,328 0,604 0,603 0,997 0,478 0,279 -0,083 0,6 0,6 0,03

MOR411 9,759 10,93 5,465 13,273 26,623 26,623 31,381 25,452 23,788 19,134 25,377 25,377 10,93

-0,144 -0,007 -0,004 0,266 0,481 0,482 0,478 0,906 0,048 0,041 0,482 0,483 -0,007

MIL412 9,205 10,31 5,155 12,521 25,115 25,115 25,452 30,238 20,835 20,832 23,94 23,94 10,31

-0,236 -0,138 -0,069 0,06 0,077 0,076 0,279 0,048 0,611 -0,193 0,092 0,092 -0,138

NAR412 7,599 8,514 4,257 10,343 20,745 20,745 23,788 20,835 28,263 17,912 19,775 19,775 8,514


KOZ211 BOZ211 BOZ111 PAT211 PAT411 PAT421 MOR411 M IL412 NAR412 SYS412 T*1 T*2 T*3

-0,273 -0,195 -0,097 -0,038 -0,114 -0,113 -0,083 0,041 -0,193 0,218 -0,091 -0,091 -0,195

SYS412 6,657 7,46 3,73 9,064 18,181 18,181 19,134 20,832 17,912 23,414 17,33 17,33 7,46

0,101 0,416 0,208 1,047 1,851 1,849 0,6 0,482 0,092 -0,091 2,024 1,876 0,416

T*1 18,128 20,298 10,149 24,639 39,457 39,457 25,377 23,94 19,775 17,33 52,095 42,127 20,298

0,101 0,417 0,208 1,047 1,849 1,852 0,6 0,483 0,092 -0,091 1,876 2,024 0,416

T*2 18,128 20,298 10,149 24,639 39,457 39,457 25,377 23,94 19,775 17,33 42,127 52,095 20,298

0,582 2,375 1,315 0,215 0,442 0,442 0,03 -0,007 -0,138 -0,195 0,416 0,416 2,63

T*3 17,143 29,487 20,078 12,977 17,002 17,002 10,93 10,31 8,514 7,46 20,298 20,298 40,157

Tabela 6-8. Wydruk wyników obliczeń zwarciowych dla badanego układu - poziomy mocy zwarciowych w poszczególnych węzłach układu. Uwzględniono rezystancje elementów.

Poziomy mocy zwarciowych Szyny Vn Sz3F Iz3F Iz2F Iz1F 3I0 X1 X0 - kV MVA kA kA kA kA Ohm Ohm KOZ211 220.00 2676 7.023 6.082 9.008 9.008 19.94 6.76 BOZ211 220.00 1804 4.734 4.099 5.906 5.906 29.58 11.99 BOZ111 110.00 1048 5.501 4.764 7.111 7.111 12.73 4.09 PAT211 220.00 3385 8.882 7.692 12.270 12.270 15.77 2.71 PAT411 400.00 4257 6.144 5.321 8.349 8.349 41.44 8.62 PAT421 400.00 4257 6.144 5.321 8.349 8.349 41.44 8.62 MOR411 400.00 5618 8.110 7.023 8.361 8.361 31.40 28.56 MIL412 400.00 5831 8.416 7.289 8.185 8.185 30.25 32.82 NAR412 400.00 6240 9.007 7.800 11.242 11.242 28.27 11.40 SYS412 400.00 7534 10.874 9.417 11.158 11.158 23.41 21.63

7 LITERATURA

1. Kacejko P., Machowski J.: Zwarcia w sieciach elektroenergetycznych. Podstawy obliczeń. War-szawa, WNT 1993.

2. Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. Warszawa, WNT 1996. 3. Kujszczyk S., Brociek S., Flisowski Z., Gryko J., Nazarko J., Zdun Z.: Elektroenergetyczne układy

przesyłowe. Warszawa, WNT 1997. 4. Kinsner K., Serwin A., Sobierajski M., Wilczyński A.: Sieci elektroenergetyczne. Wrocław, Wy-

dawnictwo Politechniki Wrocławskiej 1993. 5. Jasicki Z., Kierzkowski Z.: Algorytmy obliczeń elektroenergetycznych. Warszawa, WNT 1968. 6. Tłumaczenie publikacji IEC 909/1988. 7. El-Abiad A. H.: Digital calculation on line to ground short circuit by matrix method. AIEE Trans-

actions 1960. 8. Brandwajn V., Tinney W. F.: Generalized method of fault analysis. IEEE Transactions

on Power Apparatus and Systems. Vol. 104, No 6. 9. Kahl T.: Sieci elektroenergetyczne. Warszawa, WNT 1984. 10. Poradnik inŜyniera elektryka. Tom 3. Warszawa WNT 1996. 11. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. Warszawa, WNT 1998. 12. Kaczorek T.: Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. Warszawa, WNT 1998. 13. Gładyś H.: Komputery w kierowaniu pracą systemu elektroenergetycznego. Warszawa, WNT

1980. 14. Filipek Z.: Metoda stopniowej eliminacji węzłów przy obliczaniu zwarć w systemach elektroener-

getycznych. Biuletyn Instytutu Energetyki, Nr 5/6 1972.

ZWARCIA W UKŁADACH - Elektrycy · P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI...

Documents

Transcript of ZWARCIA W UKŁADACH - Elektrycy · P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI...