Lev Kurlyandchik

Złote rybki w oceanie

matematyki

Lev Kurlyandchik

Złote rybki w oceanie matematyki

Redaktor wydania: Zdzisław Głowacki

Redakcja techniczna i przygotowanie do druku: Oleksandr Zaihraiev

Konsultacje: Joanna Karłowska-Pik

Ilustracje: Katarzyna Danielewska

Projekt okładki: Mirosław Głodkowski, Zdzisław Głowacki

Korekta: Iwona Cieślak

© Oficyna Wydawnicza „Tutor” Toruń 2005 r.

Oficyna Wydawnicza „Tutor” ul. Piskorskiej 7 L, 87-100 Toruń tel./fax (0-56) 65-999-55, 65-097-67 Wysyłkowa Księgarnia Internetowa: www.szkolna.pl

ISBN 83-89563-20-7

Mojej Siostrze

Polinie Melcer-Burrell

Niniejsza monografia powstała dzięki grantowi

przyznanemu mi przez Uniwersytet Mikołaja Kopernika

w Toruniu, za który chciałbym wyrazić swoją wdzięczność.

Autor

Przedmowa

Każda osoba odwiedzająca Paryż po raz pierwszy z pewnością wykrzyk-

nie: „Jakie piękne miasto!”. Ludzie godzinami mogą stać w Luwrze, nie od-

rywając wzroku od Giocondy i zachwycając się tym obrazem.

Człowiek został stworzony, aby rozkoszować się pięknem. Po przeczyta-

niu rozumowania Euklidesa o nieskończoności zbioru liczb pierwszych każdy

zachwyca się jego elegancją.

W matematyce istnieje dużo zdumiewająco ładnych faktów i rozumowań.

Są to swoiste „złote rybki” w wielkim oceanie matematyki. O niektórych

takich „rybkach” będzie mowa w niniejszej książce.

W pierwszym rozdziale, dotyczącym kombinatoryki, będzie mowa o kil-

ku bardzo ładnych, moim zdaniem, ideach. Pierwsza to metoda nieskończo-

nego schodzenia, pochodząca od słynnego Pierre’a Fermata. Metoda ta bę-

dzie często stosowana przy rozwiązywaniu niektórych klasycznych problemów

w rozdziale trzecim. Drugi podrozdział jest poświęcony rozwiązywaniu cieka-

wego problemu związanego z budowaniem konstrukcji z liczb naturalnych.

Zostanie przy tym rozważone stosowanie w podobnych zadaniach następują-

cych metod: zasady szufladkowej Dirichleta, układów pozycyjnych czy też...

szachów! W dwóch następnych podrozdziałach mowa jest o tak ważnych i in-

teresujących pojęciach matematycznych, jak niezmiennik oraz półniezmien-

nik. W ostatnim podrozdziale tego rozdziału będziemy mówić o dość zabaw-

nym problemie związanym z trudnymi do rozbicia szklanymi kulami.

Drugi rozdział jest poświęcony geometrii. Cóż jednak nowego można po-

wiedzieć o trójkącie prostokątnym? Wydaje się, że figura ta jest na tyle pro-

sta, że nie wiąże się z nią nic ciekawego. Ale to nieprawda. Na przykładzie

trójkąta prostokątnego chciałem pokazać, że ciekawe badania mogą być zwią-

zane nawet z tak prostymi obiektami, jak ten. Następny podrozdział jest

6

związany z rozcinaniem wielokątów na trójkąty. Tutaj rozważymy dość inte-

resujące konstrukcje. Przedstawimy dwa przykłady. Czy można rozciąć kwa-

drat na siedem trójkątów ostrokątnych? A czy można go rozciąć na siedem

trójkątów o jednakowym polu? W następnych dwóch podrozdziałach roz-

patrzymy kolejno zadania, do rozwiązywania których są stosowane pojęcia

otoczenia oraz średnicy figury. W ostatnim podrozdziale tego rozdziału roz-

ważane będą trójkąty o elementach całkowitych, czyli bokach, wysokościach

i dwusiecznych całkowitej długości.

Streszczenie trzeciego rozdziału zacznę od własnych wspomnień sprzed

czterdziestu lat. Będąc jeszcze uczniem, zainteresowałem się dwoma proble-

mami. Problem pierwszy to: czy istnieją cztery różne kwadraty liczb natural-

nych tworzące ciąg arytmetyczny? Problem drugi zaś to: rozwiązać równanie

y2 = x3 + 1 w liczbach całkowitych. Sporo czasu, wysiłku i papieru zaję-

ły mi próby rozwiązania tych problemów. Ale wszystko na próżno. Dopiero

znacznie później, kiedy już dowiedziałem się o krzywych eliptycznych, zrozu-

miałem, w jaki sposób można je rozwiązać. Pewne idee związane z tymi krzy-

wymi wydają się nadzwyczaj piękne i o ile mi wiadomo, nie zostały jeszcze

opisane w literaturze elementarnej. Na przykładach klasycznych problemów

Fermata i Eulera opowiem o nich w trzecim rozdziale.

Wiele problemów rozważanych w tej książce zostało przedyskutowanych

z różnymi osobami. W związku z tym chciałbym wspomnieć swojego nauczy-

ciela Jurija Ionina i Grigorija Rozenbljuma, z którym razem uczyłem się na

Uniwersytecie Leningradzkim, a także Borisa Lurjego, z którym razem praco-

wałem. Jestem wdzięczny także swoim byłym uczniom Siergiejowi Genkino-

wi, Olegowi Iżbołdinowi, Aleksandrowi Kokorewowi, Dmitrijowi Fominowi.

Składam im wszystkim wielkie podziękowania.

Autor

7

Spis treści

1. Kombinatoryka 11

1.1. Metoda nieskończonego schodzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Konstrukcje liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1. Znajdź sumę . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2. Zasada szufladkowa Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.3. Układy pozycyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.4. Konstruowanie według indukcji matematycznej . . . . . . . 351.2.5. Szachownica . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.6. Zadanie o 2n liczbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.3. Poszukiwanie niezmienników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.4. Szkice o półniezmiennikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.5. Zadania o szklanych kulach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.6. Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2. Geometria 127

2.1. Trójkąt prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.2. Otoczenie figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.3. Rozcinamy na trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.3.1. Trójkąty ostrokątne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.3.2. Trójkąty o czystym brzegu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.3.3. Bez wspólnych boków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.3.4. Nierówność W 6 T +2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.3.5. Rozwiązanie przykładu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.3.6. Znowu trójkąty ostrokątne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672.3.7. Trójkąty o jednakowym polu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682.3.8. Mozaika rozcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.4. Duży tort na małych talerzykach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702.4.1. Średnica figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702.4.2. Rozcięcie kwadratu na dwie, trzy i cztery części . . . . . . 1722.4.3. Rozcięcie kwadratu na pięć części . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.4.4. Tort kwadratowy dla sześciu osób . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8

2.5. Trójkąty o elementach całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792.6. Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3. Metody geometryczne w arytmetyce 203

3.1. Metoda siecznych. Rozwiązania parametryczne . . . . . . . . . . 2033.2. Przekształcania do postaci standardowej . . . . . . . . . . . . . . . 2103.3. Krzywe eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.4. Równanie y2 = x3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.5. Schodzenie nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.6. Równanie y2 = x3 − 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.7. Zadanie Eulera o trójkącie pitagorejskim . . . . . . . . . . . . . . . 2333.8. Zadanie Eulera o trójkącie równoramiennym . . . . . . . . . . . . 2403.9. Zadanie Eulera o trzech sześcianach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483.10. Pole trójkąta pitagorejskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2533.11. Cztery kwadraty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573.12. Punkty wymierne na krzywych eliptycznych . . . . . . . . . . . . 2583.13. Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Spis literatury 267

Rozdział I

Kombinatoryka

Rozdział 1.

Kombinatoryka

1.1. Metoda nieskończonego schodzenia

Która liczba niewymierna jest najstarsza? Niewątpliwie jest to liczba√2. Opowieść o metodzie nieskończonego schodzenia zaczniemy od trzechdowodów niewymierności tej liczby.

Dowód 1. Przypuśćmy, że liczba√2 jest wymierna. Geometrycznie ozna-

cza to, że przekątna c kwadratu jest współmierna z jego bokiem a, czyliznajdzie się odcinek d i liczby całkowite m i n takie, że c = dm, a = dn. Za-znaczmy zatem na przekątnej AC m− 1 punktów, zaś na boku DC n− 1punktów, które dzielą te odcinki na kawałki o długości d. Odłóżmy na ACodcinek AK równy odcinkowi AD, naDC odcinek DE równy odcinkowi KC.Punkty K i E trafią w punkty zaznaczone (patrz rys. 1.1). Udowodnijmy, żetrójkąty ACD i KEC są podobne. Kąt C jest dla nich wspólny. Wystarczywięc sprawdzić równość

|KC ||EC | =

|DC ||AC | .

Zauważmy, że

|KC |= c− a, |EC |= 2a− c.

12 ROZDZIAŁ 1.

��

��

��

��

��

��

��

�

A •

B •

D•

C•

K•

E•

❅❅

❅❅❅

K1•

E1•

Rys. 1.1.

Zatem

|KC |2|EC |2 =

c2 + a2 − 2acc2 + 4a2 − 4ac.

Ponieważ c2 = 2a2, to

|KC |2|EC |2 =

3a2 − 2ac6a2 − 4ac =

1

2=|AD |2|AC |2 .

Trójkąt KEC, podobny do trójkąta ACD, jest więc prostokątny i równo-ramienny. Możemy więc zbudować na nim taką samą konstrukcję, jak natrójkącie ACD. Odłóżmy na EC odcinek EK1 równy odcinkowi KC, naKC odcinek KE1 równy odcinkowi K1C. Punkty K1 oraz E1 znowu trafiąw punkty podziału. Trójkąt K1CE1 ponownie okaże się prostokątny i rów-noramienny. W ten sam sposób zbudujmy dla niego trójkąt K2CE2. Takąprocedurę można przedłużać w nieskończoność, przy czym trójkąty KjCEjbędą coraz mniejsze, ale za każdym razem punkty Kj oraz Ej będą trafia-ły w początkowe punkty podziału odcinków AC i CD. Liczba tych punk-tów jest jednak skończona, a trójkątów KjCEj jest nieskończenie wiele. Tasprzeczność dowodzi niewymierności liczby

√2.

KOMBINATORYKA 13

Dowód 2. Niewymierność liczby√2 oznacza, że nie istnieją naturalne

rozwiązania x, y równania x2 = 2y2. Przypuśćmy, że takie rozwiązania ist-nieją i x = m, y = n jest jednym z nich.Z równania wynika, że liczba m jest parzysta, czyli m = 2m1. Podsta-

wiając tę równość do równania, otrzymujemy n2 = 2m21, czyli para liczb

x = n, y = m1 też jest jego rozwiązaniem. Zaznaczmy przy tym, że n < m,m1 < n. Teraz widać, że liczba n też jest parzysta, czyli n = 2n1, takwięc m2

1= 2n2

1. Oznacza to, że x = m1, y = n1 jest rozwiązaniem równa-

nia, przy czym m1 < n, n1 < m1. Postępujemy dalej podobnie, otrzymująccoraz mniejsze rozwiązania równania. A tu już mamy sprzeczność. Rzeczywi-ście, wszystkie liczby m, n, m1, n1, . . . są naturalne i zachodzą nierównościm > n > m1 > n1 > . . . , zaś nieskończony malejący ciąg liczb naturalnychnie istnieje! Nasze założenie było więc błędne i liczba

√2 jest niewymierna.

Oba dowody były w istocie rzeczy przeprowadzone według jednego sche-matu: zakładając, że problem ma rozwiązanie, konstruowaliśmy pewien ciągnieskończony, zaś równocześnie z samego określenia problemu wynikało, żeciąg ten musi być skończony. Taka metoda dowodu nazywa sięmetodą nieskoń-czonego schodzenia. Są podstawy, aby przypuszczać, że Fermat próbował do-wodzić swoje słynne twierdzenie właśnie tą metodą.Często metodę schodzenia stosuje się w prostszej wersji. Mianowicie za-

kładając, że już dotarliśmy do naturalnego końca procesu, widzimy, że niemożemy się zatrzymać.

Dowód 3. Niech para liczb x = m, y = n będzie rozwiązaniem równaniax2 = 2y2 o najmniejszej możliwej wartości x. Liczba m musi być parzysta,czyli m = 2m1, a więc x = n, y = m1 też jest rozwiązaniem tego równa-nia. Jednak m > n, co jest sprzeczne z wyborem rozwiązania m, n jako„najmniejszego”.W tej wersji dowodu widać, że metoda schodzenia jest spokrewniona

z metodą indukcji matematycznej. Obie metody polegają na tym, że każdyniepusty zbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy. Metoda scho-dzenia jest szczególnie wygodna dla dowodu twierdzeń „zaprzeczających”.

14 ROZDZIAŁ 1.

Przykład 1.Udowodnić nierozwiązywalność w liczbach naturalnych rów-nania

8x4 + 4y4 + 2z4 = t4.

Rozwiązanie. Przypuśćmy, że to równanie posiada rozwiązania i niechx = m, y = n, z = p, t = r będzie jego rozwiązaniem o najmniejszejmożliwej wartości x. Z równania wynika, że liczba r jest parzysta, czylir = 2r1.Podstawiając tę równość do równania i dzieląc obie strony przez 2, otrzy-

mujemy

4m4 + 2n4 + p4 = 8r41.

Teraz widać, że liczba p też jest parzysta, czyli p = 2p1, tak więc

2m4 + n4 + 8p41= 4r4

1.

Postępujemy dalej w ten sam sposób, otrzymując n = 2n1 oraz

m4 + 8n41+ 4p4

1= 2r4

1.

Wreszcie mamy m = 2m1 i

8m41+ 4n4

1+ 2p4

1= r41.

Oznacza to, że x = m1, y = n1, z = p1, t = r1 jest rozwiązaniem równaniawyjściowego, ale przecież m1 < m! Otrzymaliśmy sprzeczność z wyboremrozwiązania m, n, p, r jako „najmniejszego”.

Rozpatrzmy teraz bardziej skomplikowany przykład.

Przykład 2.Udowodnić nierozwiązywalność w liczbach naturalnych rów-nania

x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu.