Zjawiska generowane szumem

Ewa Gudowska-Nowak, Zakład Fizyki Statystycznej, IFUJ

Podstawowe kategorie zjawisk generowanych szumem

• Rezonans stochastyczny • Rezonansowa aktywacja• Histereza stochastyczna

Szum postrzegany wielokrotnie jako zjawisko niepoŜądane moŜe pełnić rolę konstruktywną:

Rezonans stochastyczny

RozwaŜmy cząstkę o masie m w symetrycznym dwudołkowym potencjale V(x)

Cząstka poddana jest dodatkowo :

Periodycznej sile zewnętrznej (asymetryzującej potencjał), jednak za słabej aby „przerzucić” cząstkę przez barierę.

Siłom fluktuującym (np. przez zanurzenie w kąpieli cieplnej), które stymulują przeskoki między sąsiadującymi studniami. Przejścia dane są tzw. częstością Kramersa :

∆−=D

Vconstrk exp*

wyobraźmy sobiedwustabilny czujnik, na którego wejście podamy sygnał sinusoidalny. Szum moŜe pomóc przekazać sygnał przez czujnik ułatwiając przełączanie (mimo Ŝe sygnał moŜe być bardzo słaby) :

Widać, Ŝe istnieje pewna wartość

natęŜenia szumu, przy której przekaz

sygnału jest optymalny i moŜliwa jest jego detekcja poprzez zbadanie spektrum mocy.

Sprz ęŜenie rezonatorów stochastycznychprowadzi do dalszego poprawienie detekcji (występuje silniejszy rezonans)

- rysunek przedstawia czasową ewolucję zestawu 251 oscylatorów stochastycznych sprzęŜonych liniowo

- kolor niebieski oznacza ze oscylator „znajduje się” w lewej a czerwony -w prawej studni

ZaleŜność SNR łańcucha 65 oscylatorów od natęŜenia szumu dla dwóch róŜnych wartości siły sprzęŜenia – piki na wykresie odpowiadają maksymalnemu czasoprzestrzennemu sprzęŜeniu.

Ewolucja układu 65 sprzęŜonych rezonatorów w zaleŜności od natęŜenia szumu i od siły sprzęŜenia (coupling)

Istnieje optymalna siła sprzęŜenia przy której obserwujemy maksimum SNR.

rezonans czasoprzestrzenny

Przykłady :

• Kanały jonowe – dla aktywowanych napięciem kanałów jonowych stwierdzono Ŝe stopień ich aktywacji zaleŜy silnie od przebiegu historii ich stanu.Obserwuje się opóźnioną odpowiedź na periodyczne pole zewnętrzne –tak jak w przypadku ferromagnetyków. Ponadto stwierdzono zjawiska podobne do przejść fazowych I rodzaju.

•Przejścia fazowe w modelu Isinga

•Przejścia fazowe pomiędzy róŜnymi fazami ciekłokrystalicznymi powodowane oscylacjami ciśnienia

•Przejścia fazowe ciecz-ciało stałe stymulowane oscylacjami temperatury

Aktywacja rezonansowa

fluktuacjom podlega tym razem wysokość bariery potencjału.

• wyjaśnienie zachowania pewnych typów laserów

• dynamika reakcji chemicznych

• selektywne pompy jonowe w błonach biologicznych

Dla pewnych wartości parametrów szumu transport przez barierę potencjału staje się znacznie bardziej prawdopodobny.

zastosowania :

Krzywa rezonansowa i jej asymptoty dla wysokich i niskich częstotliwości szumu

Rezonans stochastyczny pojawia się w dziedzinach nauki takich jak :

• paleoklimatologia– epoki lodowcowe

• systemy optyczne– „two-mode ring lasers”, optyczna bistabilność w półprzewodnikach indukowana termicznie, pułapki optyczne

• systemy elektroniczne i magnetyczne –dioda tunelowa, słabo zjonizowane magnetoplazmy, międzydomenowe tunelowanie w pewnych typach ferromagnetyków, superparamagnetyczne cząsteczki, EPR (electron paramagnetic resonance)

• neurofizjologia – wyjaśnienie wielu zjawisk związanych z siecią neuronów w mózgu człowieka i zwierząt

• fizyka kwantowa – zjawiska kwantowe aktywowane obecnością szumu kwantowego (fluktuacje próŜni)

Odkrycie rezonansu stochastycznego

związane jest z badaniami nad periodycznością pojawiania się epok lodowcowych (Benzi – 1981). Analogiczną hipotezę wysunęli w tym samym czasie bracia Nicolis.

• zlodowacenia następują średnio co 10000 lat – jedynym znanym zjawiskiem astronomicznym w tej skali czasowej są zmiany promienia orbity Ziemi w związku z pewnymi zaburzeniami grawitacyjnymi.

• wynikające z tego oscylacje w natęŜeniu promieniowania Słońca dochodzącego do Ziemi są rzędu 0.1% (słaba periodyczna „siła” zewnętrzna)

• hipoteza: ziemski klimat reprezentowany jest przez dwudołkowy potencjał. Jedna ze studni reprezentuje stan o niskiej temperaturze (zlodowacenie), druga stan w którym znajdujemy się obecnie.

• krótkoterminowe fluktuacje klimatu (np. roczne zmiany w natęŜeniu promieniowania) są modelowane przez Gaussowski biały szum.

• hipoteza: szum jest dostrojony tak, Ŝe poprawia odpowiedź klimatu na słabe zaburzenie związane ze zmianami orbity - periodyczność zlodowaceń.

Numeryczne rozwi ązanie modelu

symulacja pojedynczej realizacji procesu

rozkład czasów „rezydencji” w stanie +/-

rozkład wartości pól przy których następowało przełączanie

miarą stopnia magnetyzacji jest : ∫ ′′−=0

)(21)(h

h

hdhhM ρ

po scałkowaniu otrzymanych rozkładów otrzymuje się pętlę histerezy.

Zmiana kształtu histerezy wraz ze wzrostem natęŜenia szumu.

Wnioski :• pole histerezy jest miarą SNR

• Dla pewnej wartości natęŜenia szumu synchronizacja między siłą zewnętrzną a sygnałem wyjściowym jest maksymalna – pojawia się rezonans.

•istnieje wartość progowa szumu, przy której histereza znika

Związek pola histerezy z rezonansem stochastycznym

pole histerezy

natęŜenie szumu

Procesy stochastyczne, proste modele i zastosowania

•błądzenie przypadkowe, ruch Browna

•równanie dyfuzji

•stochastyczne równania róŜniczkowe

π2ln21

ln2

ln222

)1(2

ln21

2

)1(2

ln21

2ln)2/1(),(ln

−−+

++−+++

−

+−−

+

++−−+=

qmN

pmNmNmN

N

mNmN

N

mNmNNNNNmp

)(2ln21

ln)21

(!ln 1−++−+= NONNNN π

By using Stirling’s formula

22

,22

2

mNql

mN

mNpr

mN

mNNpmmm

δ

δδδ

−==−

+==++−=+=

−

+−−

+

++−−=

−

+−−

+

++−

−+

++

−

+=

Nq

mmNq

Np

mmNpNpq

Nq

mNq

mNq

Np

mNp

mNp

qm

Nqpm

Np

NNNmp

21ln

21

2

21ln

2

1

2)2ln(

2

1

)2

1(ln21

2

)2

1(ln2

1

2

ln2

ln2

2ln2

1ln

2

1),(ln

δδ

δδπ

δδ

δδ

δδ

π

In N steps the positionm achieved: l steps to the left (with probability q) andr

steps to the right (with probability p)!

r=m+l, m+2l=N

Expanding the logarithm,

Npq

pqm

Npq

mNpqNmp

yields

xOxxx

4)(

4)(

21

)2ln(21

),(ln

)(21

)1ln(

2

32

−−−−=

+−±=±

δδπ

))((4

)(

)()(

4

2/1

22

2

−=−=

=

NpONpq

pqm

Om

Npq

δσδ

σWe want to approximate thedistribution in its center and up to fluctuations around the mean value,

so we can neglect the last term in theabove equation for

−→Npq

m

NpqNmp

4)(

21

exp422

),(2δ

π

Continuum limit...

Probability of findinga random walker in aninterval of width 2

around a position x attime t.

We require now:

x∆

constDt

xpq

tx

==∆∆

→∆→∆2)(

2

0,0

dxDt

xx

Dtdxtxp

−−=

2

)(

21

exp22

1),(

2

π

t

xpqD

tNt

xmxxmx

∆∆=

∆=∆=∆=

2)(2

,

−−∆=∆∆

Dt

xx

Dt

xtNxmp

2

)(

21

exp22

2),(

2

π

constvt

xptx

tt

xpxNpmxtx

==∆∆−→∆→∆

∆∆−=∆−=∆=

)21

(2,0,0

)21

(2)21

(2)(

−−∆=Dt

vtx

Dt

xtxp

2)(

21

exp22

2),(

2

π

Continuum limit...

Probability of findinga random walker in anintervalof width 2

around a position x attime t.

We require now:

x∆

constDt

xpq

tx

==∆∆

→∆→∆2)(

2

0,0

dxDt

xx

Dtdxtxp

−−=

2

)(

21

exp22

1),(

2

π

t

xpqD

tNt

xmxxmx

∆∆=

∆=∆=∆=

2)(2

,

−−∆=∆∆

Dt

xx

Dt

xtNxmp

2

)(

21

exp22

2),(

2

π

constvt

xptx

tt

xpxNpmxtx

==∆∆−→∆→∆

∆∆−=∆−=∆=

)21

(2,0,0

)21

(2)21

(2)(

−−∆=Dt

vtx

Dt

xtxp

2)(

21

exp22

2),(

2

π

With starting condition

and boundary condition),(),(),(

0),(

)()0,(

2

2

txpx

Dtxpx

vtxpt

txp

xxpx

∂∂+

∂∂−=

∂∂

→=

±∞→

δ

t

xxvpDp

t

xxvqDq

t

xqxvq

t

xpxpv

t

xp

t

xpp

t

xpqD

NmqpNmppNmp

∆∆∆+=

∆∆∆−=

∆∆+∆=

∆∆−+∆−=

∆∆−+

∆∆−−=

∆∆=

++−=+

2

2

22

222

)()(

)()(

)()()1()1(

)()1(

)()1)(12(

)(2

),1(),1()1,(

A master equation for thediscrete random walker

Fokker-Planck-Smoluchowskiequation

),(1

)(

2

)(

),1(),(2),1(

),1(),1(),()1,(

2

2

Nmptx

D

x

NmpNmpNmpD

Nmpx

vqNmp

x

vp

t

NmpNmp

∆−

∆+

∆−+−++

+∆

−−∆

=∆

−+

),(1

)(2

)(),1(),(2),1(

),(),1(

),1(),(),()1,(

),(1

)(2

)(),1(),(2),1(

),1(),1(),()1,(

2

2

2

2

Nmpx

vq

x

vp

tx

D

x

NmpNmpNmpD

x

NmpNmpvq

x

NmpNmpvp

t

NmpNmp

Nmptx

D

x

NmpNmpNmpD

Nmpx

vqNmp

x

vp

t

NmpNmp

∆−

∆+

∆−

∆+

∆−+−++

∆−+−

∆−−−=

∆−+

∆−

∆+

∆−+−++

+∆

−−∆

=∆

−+Reinsert v and D

into the lastterm of eq.

Taking the continuum limit and keeping v and D constant, we arrive again at the Fick-diffusionequation!

Błądzenie przypadkowe z symetrycznym prawdopodobieństwemp=q=1/2 (…nieco inne rozwiązanie)

Simple polymer models... Random walk revisited.

Thermodynamics....

F