Zastosowania geodezyjne

arkusza kalkulacyjnegoCz.2

Obliczenia na macierzach

Andrzej Borowiecki

Kraków 2009

Macierze i krakowiany zaliczają się do liczb zespołowych. Są to tabele liczb uporządkowanych w wierszach i kolumnach.

598

443

726

231

A

A2,3 – to element leżący w drugim wierszu i trzeciej kolumnie

Dla liczb zespołowych zdefiniowano podstawowe działania:-dodawanie i odejmowanie- mnożenie- obliczanie odwrotności- transponowanie (czyli zamiana wierszy i kolumn)

Dodawanie i odejmowanie:

C = A + BCi,j = Ai,j + Bi,j

C = A – BCi,j = Ai,j – Bi,j

Mnożenie macierzy:

4124

868

031

120

202

111

2202

1131

A(2,4) B(4,3) C(2,3)

ka

njnniji BAC

1,,,

Transponowanie macierzy

35904

15324

31

55

93

02

44

B

BT

Funkcje arkusza kalkulacyjnego związane z działaniami na macierzach

Mnożenie macierzy: MACIERZ.ILOCZYN

Odwrotność macierzy: MACIERZ.ODW

Transponowanie macierzy: TRANSPONUJ

Mnożenie macierzy: MACIERZ.ILOCZYN

Odwrotność macierzy: MACIERZ.ODW

Transponowanie macierzy: TRANSPONUJ

Mnożenie macierzy:

Macierze należy wpisać do arkusza. Można nadać im nazwy np. zakres B4:E5 ma nazwę A.

Macierz będąca wynikiem mnożenia ma tyle wierszy ile pierwszy czynnik i tyle kolumn ile drugi czynnik (tu 2 i 3).

Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję MACIERZ.ILOCZYN, wpisujemy nazwy czynników A i B, po czym naciskamy klawisze Ctrl+Shift+Enter

Obliczanie odwrotności macierzy: MACIERZ.ODW

Macierz musi być kwadratowa żeby miała odwrotność. Macierz wynikowa ma takie same wymiary jak macierz odwracana.

Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję MACIERZ.ODW, wpisujemy nazwę macierzy odwracanej N, po czym naciskamy klawisze Ctrl+Shift+Enter

Transponowanie macierzy: TRANSPONUJ

W efekcie transponowania wiersze zamieniają się w kolumny a kolumny w wiersze.

Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję TRANSPONUJ, wpisujemy nazwę macierzy transponowanej T, po czym naciskamy klawisze Ctrl+Shift+Enter

Zastosowania rachunku macierzowego:

1.Rozwiązywanie układów równań liniowych jednoznacznie

określonych (tyle równań ile niewiadomych)

2.Rozwiązywanie układów równań liniowych nadokreślonych (więcej

równań niż niewiadomych)

3.Rozwiązywanie układów równań liniowych niedookreślonych (mniej

równań niż niewiadomych)

1. Rozwiązywanie układów równań liniowych jednoznacznie określonych (tyle równań ile niewiadomych)

1175

6325

9423

zyx

zyx

zyx

Zapis macierzowy: A . X = L

11

6

9

751

325

423

z

y

x

Rozwiązanie zadania: X = A-1 . L

2. Rozwiązywanie układów równań liniowych nadokreślonych (więcej równań niż niewiadomych)

y

x

0020.70

0000.40

0000.30

yx

y

x

LxA .

LxA .

0020.70

0000.40

0000.30

.

11

10

01

y

x

???1 LAx

TALxA /.

)(.)( LAxAA TT

)()( 1 LAAAx TT

3. Rozwiązywanie układów równań liniowych niedookreślonych (więcej niewiadomych niż równań)

1

2

3

4

5

1. 20.00002. 30.00003. 40.00004. 50.00305. 70.0020

0532

0421

532

421

vvv

vvv

0532

0421

532

421

vvv

vvv

30

20

10110

01011

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

325

214

532

421

vvv

vvv

A . V = W

WAAAV TT 1