Zadania z mechaniki teoretycznej1. Znaleźć trajektorię ruchu cząstki o masie m i energii E w polu o potencjale [1]:

V (r) = − αr2

Założyć przypadek, kiedy energia całkowita E < 0 (stan związany).

2. Cienki prostoliniowy jednorodny pręt o długości l i masie m obraca się ze stałą prędko-ścią kątową ω wokół nieruchomego punktu A, zakreślając w trakcie ruchu powierzchnięboczną stożka. Obliczyć kąt odchylenia φ pręta od pionu oraz siłę reakcji w punkcieA [1].

A

l

mg

φ

3. Dwa jednorodne prostoliniowe pręty o długościach a i b są sztywno połączone tak,że tworzą ze sobą kąt prosty, którego wierzchołek A jest przymocowany na zawiasachdo pionowego wału. Wał obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Znaleźć zależnośćpomiędzy ω i kątem φ jaki tworzy pręt o długości a z pionem [1].

a bφ

ω

A

4. Rozwiązać równanie ruchu dla jednorodnego walca o promieniu a i masie m, toczącegosię bez poślizgu po wewnętrznej stronie powierzchni walcowej o promieniu R w polusiły ciężkości [1]:

1

R

a

5. Punkt porusza się na płaszczyźnie po elipsie:

( xa

)2+

(yb

)2= 1

z przyśpieszeniem równoległym do osi y. Znaleźć wartość przyśpieszenia jako funkcjęy [2].

6. Punkt porusza się na płaszczyźnie po trajektorii zadanej we współrzędnych biegunowych:

r = a exp (kϕ)

ze stałą prędkością polową ~σ = 12~r × ~v. Znaleźć prędkość punktu ~v (t) [2].

7. Punkt porusza się na płaszczyźnie po kardioidzie o równaniu we współrzędnych biegu-nowych:

r = 2a cos2 ϕ

2

ze stałą co do wartości prędkością. Znaleźć prędkość i przyśpieszenie jako funkcje r [2].

8. Punkt materialny porusza się w polu siły o potencjale:

V (r) = − αr6

Przy założeniu, że całkowita energia E = 0 określić trajektorię ruchu [2].

9. Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 połączone są nicią o długości l. Punkt 1 możeporuszać się po poziomej płaszczyźnie. Przez otwór w tej płaszczyźnie przechodzi nićdo drugiego punktu, który może poruszać się w pionie, w polu siły ciężkości. Znaleźćruch układu [2].

m

m

1

2

2

10. Ruch punktu materialnego o masie m w polu siły ciężkości ograniczony jest do pewnejkrzywej na pionowej płaszczyźnie. Płaszczyzna obraca się w pionie z prędkością kątowąω. Znaleźć kształt krzywej, jeśli ma ona tę własność, że każdy jej punkt jest położeniemrównowagi dla masy m [2].

11. Punkt materialny w polu siły ciężkości porusza się po powierzchni walca, którego oś jestnachylona pod kątem α do pionu. Obliczyć siłę reakcji jako funkcję położenia punktu [2].

12. Na jednym końcu nici o długości l przerzuconej przez bloczek (masa bloczka do zanie-dbania) zawieszona jest masa m1. Na drugim końcu nici wspina się do góry masa m2 (naprzykład małpa) ze stałą prędkością v0 względem nici. Rozwiązać równania ruchu [2].

13. Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 są połączone nieważkim prętem o długości l.Mogą się one poruszać po dwóch liniach pod kątem prostym i pod kątami 45◦ do pionu.Rozwiązać równanie ruchu w polu siły ciężkości [2].

1

2

l

14. Masa m1 podwieszona na pionowej sprężynie o współczynniku sprężystości k jest jed-nocześnie punktem zaczepienia wahadła matematycznego o masie m2 i długości l. Roz-wiązać równania ruchu [2].

15. Jednorodny pręt o długości l jednym końcem opiera się o pionową, a drugim o poziomągładką płaszczyznę. W chwili początkowej pręt spoczywa nieruchomo pod kątem α dopionu. Sprawdzając znak siły reakcji pokazać, że jego koniec oderwie się od pionowejpłaszczyzny gdy kąt odchylenia od pionu ϕ(t) spełni warunek [2]:

cosϕ =23

cosα

16. Dwa punkty o masach m połączone są nieważkim prętem o długości l. Środek pręta możesię poruszać się po okręgu o promieniu a. Ruch układu jest ograniczony do płaszczyznyktóra zawiera okrąg. Napisać równania ruchu układu.

17. Jednorodny okrąg o promieniu r i masie m stacza się bez poślizgu pod wpływem siłyciężkości po powierzchni cylindra o promieniu R. W którym punkcie okrąg oderwie sięod cylindra? Zbadać znak siły reakcji więzów [3].

3

18. Napisać równania Lagrange’a dla wahadła zlożonego z pręta o długości l i masie m nakońcu którego przyczepiony jest na zawiasie dysk o masie M i promieniu R [3].

l,m

R,M

19. Koło o promieniu R i masie m stacza się bez poślizgu po płaszczyźnie nachylonej dopoziomu pod kątem α. Płaszczyzna w której leży koło jest pionowa, ale koło możedowolnie obracać się wokół osi. Rozwiązać równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

20. Drzwi są wykonane w postaci cienkiej płyty o wymiarach 2 m × 90 cm. Jeśli otworzyćje pod kątem 90◦ i puścić to zamkną się same po upływie 3 sekund. Zakładając, że niema tarcia w zawiasach pod jakim kątem zawiasy są odchylone od pionu? [3]

21. Wyznaczyć ruch układu złożonego z punktu materialnego o masie m połączonego zdwiema sprężynami [4]:

m

k

k

l

22. Punkt porusza się po elipsoidzie:

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

bez działania żadnych sił zewnętrznych. Wykazać przy pomocy równań Lagrange’a pierw-szego rodzaju, że wartość jego prędkości jest stała [5].

4

23. Jednorodny krążek o promieniu R i masie M może obracać się dookoła swojej osi. Doobwodu krążka przyczepiono punkt materialny o masie m na nici o długości l. Napisaćrównania ruchu układu [5].

m

M

l

R

24. Na gładkiej poziomej płaszczyźnie znajdują się dwa punkty materialne o masach m1 i m2

połączone nierozciągliwą nicią o długości l. Wyznaczyć równania ruchu tych punktówjeśli nić przechodzi bez tarcia przez stały punkt A na płaszczyźnie ruchu. Obliczyćnapięcie nici i siłę reakcji w punkcie A [5].

25. Po dwóch równych, gładkich, poziomych okręgach o promieniu r, o środkach położonychna wspólnej prostej pionowej w odległości d, poruszają się dwa punkty materialne m1 im2 pod wpływem siły przyciągającej wprost proporcjonalnej do odległości tych punktówod siebie. Wyznaczyć ruch tych punktów [5].

d

r

r

m

m

1

2

26. Pręt o masie m i długości l1 zawieszono na końcach dwóch nici o długości l2 każda.Przy małym wychyleniu pręta dookoła jego środka z położenia równowagi wykonuje ondrgania harmoniczne o okresie T . Wyznaczyć moment bezwładności pręta dookoła osiprzechodzącej przez jego środek [5].

5

27. Na blok o masie m1 i promieniu r nawinięto sznur o masie m2 i długości l. Do drugiegokońca sznura przymocowano masę m3. Na początku układ jest nieruchomy, a długośćswobodnie zwisającej części sznura wynosi l0. Zbadać ruch układu [5].

r

l0

28. Obliczyć energię kinetyczną jednorodnego pręta o długości l, którego jeden koniec poru-sza się bez tarcia po osi pionowej, a drugi koniec porusza się bez tarcia po płaszczyźniepoziomej. Wyznaczyc moment pędu pręta względem osi pionowej [5].

29. Sprawdzić ortogonalność, wyznaczyć składowe prędkości i przyśpieszenia we współrzęd-nych toroidalnych (r, φ, ψ):

x = (a + r cos φ) cosψ

y = (a + r cos φ) sinψ

z = r sin φ

gdzie a = const. Narysować linie współrzędnych r = const, φ = const i ψ = const [6].

30. Sprawdzić ortogonalność, wyznaczyć składowe prędkości i przyśpieszenia w spłaszczo-nych współrzędnych sferodialnych (ψ, θ, λ):

x = c coshψ cos θ cos λ

y = c coshψ cos θ sin λ

z = c sinhψ sin θ

gdzie c = const. Narysować linie współrzędnych ψ = const, θ = const i λ = const [6].

31. Sprawdzić ortogonalność, wyznaczyć składowe prędkości i przyśpieszenia we współrzęd-nych parabolicznych (η, ξ, φ):

x = 12 (ξ

2 − η2)

y = ξη cos φ

z = ξη sin φ

Narysować linie współrzędnych ξ = const, η = const i φ = const [6].

6

32. Znaleźć siłę uogólnioną Q dla układu złożonego z pręta o długości l i masie m orazsprężyny o stałej sprężystości k i długości l0 w stanie nienaprężonym. Jako współrzędnąuogólnioną przyjąć kąt φ odchylenia pręta od pionu [7].

l

l

φ

33. Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 połączone są sztywnym prętem o długości l.Zakładając, że układ porusza się w pionowej płaszczyźnie pod wpływem siły ciężkościznaleźć siły uogólnione, przyjmując jako współrzędne uogólnione współrzędne bieguno-we (r, ϕ) dla położenia środka pręta i kąt ψ jaki tworzy pręt z kierunkiem pionowymjako trzecią współrzędną [7].

34. Układ złożony jest z dwóch bloczków o masach m, M i promieniach r,R oraz z trzechciężarków o masach m1, m2, m3. Wyznaczyć przyśpieszenia ciężarków [7].

M,R

m,r

m

mm

1

2

3

35. Wyznaczyć równania ruchu dla układu dwóch wahadeł matematycznych o masach m1 ,m2 i długościach l1, l2 przy dodatkowym warunku ograniczającym ruch końca drugiegowahadła do pionowej osi [7].

7

36. Wyznaczyć równania ruchu dla układu dwóch prętów o masie m i długości l oraz walcao promieniu R i masie M. Walec może toczyć się bez poślizgu po poziomej płaszczyź-nie [7].

m , l

m , l

M,R

φ

37. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem siły ciężkości po okręgu o promie-niu r. Płaszczyzna w której leży okrąg jest nachylona do pionu pod kątem α. Wyznaczyćruch punktu i siłę reakcji więzów [8].

38. Punkt materialny o masie m znajduje się na poziomej płaszczyźnie, która wykonuje drga-nia wokół pionowej osi o częstości ω. Maksymalny kąt wychylenia wynosi φ0. Rozwiązaćrównania ruchu punktu i znaleźć siłę reakcji więzów [8].

39. Znaleźć częstość drgań pręta o długości l i masie m ślizgającego się po wewnętrznejpowierzchni okręgu o promieniu R w polu siły ciężkości [8].

mg

8

40. Znaleźć zależność od czasu współrzędnych cząstki poruszającej się w polu newtonow-skim:

V (x, y, z) = −αr

dla przypadku całkowitej energii E = 0 (ruch paraboliczny) [9].

41. Obliczyć okres jednowymiarowego ruchu cząstki o masie m i energii E w polu o poten-cjale [1]:

V (x) =V0

ctgh2αx− V0 < E < V0

42. Napisać równanie ruchu dla małych drgań wahadła matematycznego o masie m i długo-ści l, którego punkt zawieszenia porusza się w płaszczyźnie pionowej zgodnie z równa-niem [1]:

z = a cosωt

43. Wahadło składa się ze sztywnego pręta o długości l, na końcu którego zaczepiona jestpunktowa masa m. Do pręta są przymocowane w odległości a od punktu zawieszenia dwiesprężyny o współczynnikach sprężystości k. Znaleźć częstości małych drgań układu. Masępręta zaniedbać [1].

m

a

44. Ciało o masie M, połączone jest ze sprężyną o współczynniku sprężystości k, której drugikoniec jest sztywno umocowany. Może ono poruszać się bez tarcia po poziomej płasz-czyźnie. Do ciała tego przyczepione jest wahadło matematyczne o masie m i długości l.Znaleźć funkcję Lagrange’a układu. Obliczyć częstości małych drgań i drgania normalneukładu [1].

m

M

l

9

45. Obliczyć nawiasy Poissona z kartezjańskich składowych pędu i momentu pędu [1]:

{pi, Jk} i, k = x, y, z

46. Wykazać, że nawias Poissona:

{ f , Jz} = 0

gdzie f jest dowolną funkcją położenia ~r i pędu ~p cząstki [1].

47. Wykazać, że nawias Poissona:

{~A, Jz

}= ~ez × ~A

gdzie ~A jest dowolną wektorową funkcją położenia i pędu cząstki [1].

48. Punkt materialny porusza się w polu siły o potencjale:

V (x) =

−k0x x < 012kx2 x > 0

Znaleźć okres ruchu periodycznego [2].

49. Połowa cylindra o promieniu r i masie m wykonuje małe drgania wokół położenia rów-nowagi. Znaleźć okres drgań [2].

mg

50. Pokazać, że dla dowolnej funkcji f (q, p, t) zachodzą równości: [2]:

∂ f∂p

= {q, f } ∂ f∂q

= − {p, f }

51. Wyznaczyć przekształcenie kanoniczne dla funkcji tworzącej:

Φ(q,P, t) = qP + (q − P)t

Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że w nowych zmiennych równania Hamiltona za-chowują swoją postać [2].

10

52. Dla hamiltonianu układu o dwóch stopniach swobody:

H =12[p2

1 + p22 + q2

1 + (q1 − q2)2 + q22]

znaleźć współczynniki a1 i a2 funkcji tworzącej:

Φ(q1, q2,Q1,Q2) = a21(q1 + q2)2 ctg Q1 + a2

2(q1 − q2)2 ctg Q2

dla której przekształcenie kanoniczne sprowadza hamiltonian do postaci [2]:

H = P1 +√

3P2

Napisać równania Hamiltona w nowych współrzędnych i rozwiązać je.

53. Cząstka znajduje się w jednowymiarowym potencjale:

V (x) = −Fx

Z punktu x = 0 do punktu x = a przemieszcza się w czasie t0. Zakładając, że ruch układuma postać:

x(t) = c + bt + at2

znaleźć wartości współczynników a, b, c dla których działanie S będzie minimalne [3].

54. Punkt zawieszenia wahadła matematycznego o masie m i długości l może poruszać siępo pionowej paraboli z = ax2. Rozwiązać równania Hamiltona [3].

55. Pokazać, że obrót o dowolny kąt w płaszczyźnie fazowej (q, p) jest przekształceniemkanonicznym [3].

56. Sprawdzić kanoniczność przekształcenia [3]:

Q = ln(1q

sin p)

P = q ctg p

57. Sprawdzić kanoniczność przekształcenia:

Q = arctgαqp

P =αq2

2

(1 +

p2

α2q2

)

gdzie α jest stałą [3].

11

58. Znaleźć funkcję tworzącą dla przekształcenia:

Q = ln(1 +√

q cos p) P = 2(1 +√

q cos p)√

q sin p

59. Przy jakim warunku na stałe α i β poniższa transformacja jest kanoniczna:

Q =αpq

P = βq2

Zastosować ją do hamiltonianu oscylatora harmonicznego [3].

60. Pokazać, że dla hamiltonianu:

H =p2

2m− 1

2q2

wielkość

pq2− Ht

jest stałą ruchu [3].

61. Znaleźć transformację kanoniczną która poniższy hamiltonian sprowadzi do postaci takiejjak dla oscylatora harmonicznego [3]:

H =1

2q2 +p2q4

2

62. Znaleźć nawias Poissona dla dużej półosi elipsy a i jej mimośrodu e w zagadnieniuKeplera [3].

63. Pokazać przy użyciu równania Heisenberga (nawiasu Poissone’a z hamiltonianem), żedla oscylatora harmonicznego następująca wielkość jest stałą ruchu [3]:

ln(p + imωq) − iωt

64. Cząstka znajduje się w potencjale:

V (x) = F |x|

Stosując zmienne kąt–działanie obliczyć okres ruchu periodycznego [3].

12

65. Cząstka znajduje się w potencjale:

V (x) =a

sin2( xx0

)

Stosując zmienne kąt–działanie obliczyć okres ruchu periodycznego [3].

66. Rozwiązać równanie Hamiltona-Jacobiego dla rzutu ukośnego w jednorodnym polu gra-witacyjnym [3].

67. Wyznaczyć częstość małych drgań cząstki w polu o potencjale [4]:

V (x) = V cos(αx) − Fx

68. Wyznaczyć funkcję Hamiltona oscylatora anharmonicznego o funkcji Lagrange’a [4]:

L =x2

2− ω

2x2

2− αx3 + βxx

69. Rozwiązać równania Hamilktona gdy [4]:

H(x, p) =p2

2+ω2

0x2

2+ λ

(p2

2+ω2

0x2

2

)2

70. Obliczyć nawiasy Poissona [4]:

{Ai, A j

}i, j = 1, 2, 3, 4

dla

A1 = 14 (x

2 + p2x − y2 − p2

y)

A2 = 12 (xy + px py)

A3 = 12 (xpy − ypx)

A4 = x2 + y2 + p2x + p2

y

71. Wyznaczyć funkcję tworzącą w postaci Ψ(p,Q) która prowadzi do tego samego prze-kształcenia kanonicznego co funkcja tworząca F(q,P) = q2eP [4].

72. W przekształceniu kanonicznym określonym funkcją tworzącą:

Φ(x,P) = xP + ax3P + bxP3

dobrać parametry a i b w taki sposób, żeby małe drgania oscylatora anharmonicznego:

13

H =p2

2+ω2

0x2

2+ βx4

w nowych zmiennych (Q,P) sprowadzały się do drgań harmonicznych. W nowej funkcji

Hamiltona pominąć wyrazy drugiego rzędu względemβQ2

ω2 [4].

73. Rozwiązać równanie Hamiltona-Jacobiego dla cząstki w potencjale [4]:

V (x) = −Fx

74. Za pomocą nawiasów Poissona pokazać, że dla hamiltonianiu postaci:

H(q1, q2, p1, p2) = q1p1 − q2p2 − aq21 + bq2

2

funkcja:

f =p2 − bq2

q1

jest stałą ruchu [6].

75. Dany jest hamiltonian postaci:

H(q, p, t) =pq3

2t

Sprawdzić kanoniczność przekształcenia:

Q =

1q2 + ln(t pq3)

P = pq3(1 + t · e1/q2)

Pokazać, że w nowych współrzędnych H ′(Q,P, t) = 0 i na tej podstawie wyznaczyćzależność q(t).

76. Punkt materialny o masie m porusza się w polu siły ciężkości po powierzchni piono-wego stożka o kącie rozwarcia α. Zapisać hamiltonian we współrzędnych sferycznych irozwiązać równania ruchu [6].

14

m

α

77. Obliczyć zmienną działania J =∮

pdq dla przypadku ruchu punktu materialnego o masiem po elipsie (energia E < 0) w potencjale newtonowskim [8]:

V (x, y, z) = −αr

78. Znaleźć energię kinetyczną stożka o masie m, wysokości h i kącie rozwarcia α toczącegosię bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie przy założeniu, że jego koniec jest nierucho-my [9].

αφ h

79. Dwie masy m1 i m2 połączone są nieważkim prętem o długości l. Obie masy znajdująsię w polu siły centralnej o potencjale V (r) = −α/r. Obliczyć siły uogólnione. [10]

80. Punkt materialny porusza się w polu siły o potencjale:

V (r) = −αr

+β

r2

Znaleźć równanie toru ruchu tego punktu we współrzęednych biegunowych, w przypadkustanu związanego E < 0. [11]

81. Punkt materialny porusza się w polu siły o potencjale:

V (r) =12

kr2

Znaleźć równanie toru ruchu tego punktu we współrzęednych biegunowych, w przypadkustanu związanego E < 0. [11]

15

82. Znaleźć przyśpieszenia mas m1 i m2 korzystając z zasady d’Alemberta. Bloczki są nie-ważkie. [11]

mm

1

2

83. Punkt materialny może poruszać się po pionowej paraboli o równaniu z = ax2, w polusiły ciężkości. Rozwiązać równanie ruchu [11].

84. Punkt zaczepienia wahadła matematycznego porusza się w pionie według zadanej funkcjiczasu z = z(t). Rozwiązać równanie Lagrange’a drugiego rodzaju [11].

85. Pokazać, że funkcja Lagrange’a punktu materialnego:

L =12m

(x2 + y2 + z2

)+ q B (x y − x y)

opisuje ruch cząstki o ładunku q w polu magnetycznym o indukcji B skierowanym wzdłużosi z [11].

86. Narysować trajektorie dla różnych wartości energii na płaszczyźnie fazowej (x, p) dlapunktu materialnego poruszającego się w potencjale [11]:

V (x) =12kx2 +

14kx4

a2

87. Hamiltonian cząstki w polu siły centralnej wynosi:

H =1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)− α

r

Obliczyć następujące nawiasy Poissone’a:

{Rx,H} , {Ry,H} , {Rx, Jz} , {Ry, Lz} , {Rx,Ry}

gdzie Jz jest z-ową składową momentu pędu, a ~R jest wektorem Runge-Lenza:

~R = ~p × ~J − mα~er

16

88. Dwie masy m1 i m2 są połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k. Mogą się oneporuszać po dwóch liniach prostych prostopadłych. Jedna z nich znajduje się w pionie.Rozwiązać równania Lagrange’a [12].

m

m

1

2

kg

89. Dwie masy m1 i m2 są połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k. Mogą oneporuszać się po obwodzie poziomego okręgu. Rozwiązać równia Lagrange’a [12].

90. Dwa jednakowe dyski o masie m i promieniu r mogą toczyć się bez poślizgu. Są one po-łączone sprężynami o współczynniku spręzystości k według rysunku. Rozwiązać rówaniaLagrange’a [12].

k k k

91. Masa M może poruszać się bez poślizgu po poziomej płasczyźnie. Do masy M przycze-piono wahadło matematyczne o masie m i długości l. Rozwiązać rówania Lagrange’a [12].

M

ml

92. Dysk o masie M i promieniu r może toczyć się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie.Przyczepiono do niego sprężynę o współczynniku sprężystości k i wahadło matematyczneo długości l i masie m. Rozwiązać rówania Lagrange’a [12].

17

M

ml

k

93. We wnętrzu pustego cylindra o masie M i promieniu R może toczyć się bze poślizguwalec o promieniu r i masie m. Cylinder zawieszony jest na zawiasie i może się wahać.Rozwiązać rówania Lagrange’a [12].

R

r

94. Wyznaczyć częstości małych drgań odwróconego wahadła podwójnego przedstawionegona rysunku, wokół stabilnego położenia równowagi [12].

m

l

k

km

l

95. Wyznaczyć małe drgania wokół położenia równowagi dla punktu materialnego mogącegoporuszać się w polu siły ciężkości po powierzchni zadanej równaniem :

z = 4x2 + 2xy + y2

96. Wyznaczyć częstości drgań wokół położenia równowagi dla układu trzech wahadeł mate-matycznych połączonych sprężynami o sprężystości k. Sprężyny są zaczepione w połowiedługości wahadeł [12].

18

m

l

k

m m

l l

k

97. Dwie masy m połączone sprężyną o sprężystości k mogą ślizgać się po poziomym prę-cie, który obraca się wokół pionowej osi z prędkością kątową ω. Rozwiązać równaniaHamiltona [12].

m

k

m

ω

98. Hamiltonian układu o dwóch stopniach swobody q1, q2 dany jest wzorem:

H =12

(p2

1q41 + p2

2q21 − 2αq1

)

gdzie α = const. Wykazać, że

q1 = A cos q2 + B sin q2 + C

gdzie A, B,C = const [13].

99. Rozważyć ruch w ustalonej pionowej płaszczyźnie pręta o masie m i długości l któregokoniec podwieszony jest na nierozciągliwej nici o długości L [13].

100. Jednorodny pręt leży na gładkiej poziomej płaszczyźnie. Jego końce połączone są nie-rozciągliwymi nićmi ze stałymi punktami na płaszczyźnie. W stanie równowagi pręt iobie nici leżą wzdłuż jednej prostej. Rozważyć małe poprzeczne drgania pręta. [13]

Literatura[1] L. Grieczko, W. Sugakow, O. Tomasiewicz, A. Fiedorcienko, Zadania z fizyki teoretycznej

19

[2] I. Ol~hovski�, �. Pavlenko, L. Kuz~menkov, Zadaqi po teoretiqesko� mehanike dl� fi-zikov

[3] H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics

[4] G. Kotkin, W. Serbo, Zbiór zadań z mechaniki klasycznej

[5] E. Karaśkiewicz, Zbiór zadań z mechaniki teoretycznej

[6] E. Pol�hova, Sbornik zadaq po analitiqesko� mehanike

[7] N. Butenin, Vvedenie v analitiqesku� mehaniku

[8] I. Ol~hovski�, Kurs teoretiqesko� mehaniki dl� fizikov

[9] L. Landau, E. Lifxic, Mehanika

[10] M.F. Barinova, M. F. Golubeva, Zadaqi i upra�neni� po klassiqesko$i mehanike

[11] M.G. Calkin, Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

[12] E.S. P�tnicki$i, Sbornik zadaq po analitiqesko$i mehanike

[13] D. ter Haar, Elements of Hamiltonian Mechanics

20