RAPORT No 873/PL/PH

UOGÓLNIENIEMECHANIKI KWANTOWEJ HEISENBERGA

E. KAPUSCIK

UOGÓLNIENIE MECHANIKI KWANTCWEJ HEISENBERGA.

E. Kapuścik

Instytut Fizyki Jądrowej w Krakowie.

К R А К «3 W

Lipiec, 1974.

-$*

Z dostarczonego maszynopisu druk i oprawę wykonano w ZakładzieGraficznym Politechniki Krakowskiej w Krakowie. Nakład 100 egz.

Zam. 567/74

Uotto:

"It is sometimes useful in theoretical

physics to re-examine the conceptual content

of "well-established theories* For after

the passage of several generations of scien-

tists» if no experimental evidence appears

to challenge the mathematical equations that

were originally found to represent these

theories, there is a ( human! ) tendency

to lose sight of the original concept in

all of its subtlety, holding onto the equa-

tions alone* The History of Science has

taught us that continual re-examination of

the conceptual structure of a theory in

physics can indeed lead to new views that,

in turn» can imply additional predictions

of experimental effects, not sought or re-

cognised before."

Mendel Sachs

International Journal of Theoretical

Physics, vol.8 (1973), 377.

S P I S T R E Ś C I .

W p r o w a d z e n i e ...str. 1,

С Z В ś 6 I : Nierelatywistyczna mechanika kwantowa.

1. Wstęp. .str . 5*

2. Uogólnienie kwantowo-mechanicznej operacji

mnożenia*•» ....str. 10*

3.» Mechanika kwantowa rzędu zerowego ..str* 15*

4* Mechanika kwantowa pierwszego rzędu str. 24.

5* Mechanika kwantowa drugiego rzędu .str. 35.

6. Uogólnienie własności inercjalnych ciał

w ramach mechaniki kwantowej str. 48*

7* Mechanika kwantowa układów niespełniających

warunku kwantowania Heisenbevga str* 60»

3. Podsumowanie str. 70.

С Z В £ С II : Relatywistyczna kwantowa teoria pola.

1» Wstęp ...str. 75.

2* Przejście od klasycznej teorii pola do kwantowej

teorii pola •• ....str. 79*

3. Ściśle jednocząstkowa interpretacja nieliniowych

rómuń falowych ......*....... ....«*..«str. 90»

4* Kwantowa teoria pola w jednocząstkowym

przybliżeniu ............str. 98.

5* Teoria pola swobodnego •••••• ..........str. 105*

6. Operacje algebraiczne w teorii pól

oddziaływuj%cych *....•...«••«•.>*..••••.*.«str. 112*

7. Podsumowanie.••....•••..•••••••....••••»•...str* 135*

Spis lieratury •*•*»*•••*.••...••....«.•«*..».»str. 138*

- 1 -

Wprowadzenie.

Według powszechnie przyjętego poglądu mechanika

kwantowa jest teorią zamkniętą i dostatecznie dobrze

doświadczalnie zweryfikowaną. Historia fizyki wielo-

krotnie pokazała jednak, że krytyczna rewizja takich

dobrze "ugruntowanych" teorii prowadzić może do wykry-

cia ograniczonego stopnia ich ogólności i tym samym na-

prowadzić na ślad pewnych uogólnień obejmujących znacz-

nie szerszy zakres zjawisk fizycznych.

Mechanika kwantowa w swej historii wielokrotnie

poddawana była różnym krytykom ' ' . Krytyki takie od-

nosiły się jednak prawie wyłącznie do sposobu interpre-

tacji fizycznej tej teorii. Nie podejmowano natomiast

prób krytycznej analizy formalizmu mechaniki kwantowej.

Sytuację tę łatwo można wytłumaczyć zauważając, że

w okresie formowania tej teorii jedynymi danymi doś-

wiadczalnymi odnoszącymi się do mikroświata były dane

dotyczące zjawisk atomowych. Sukces mechaniki kwanto-

wej w odniesieniu do tych zjawisk pozbawił racji bytu

ewentualne próby innego formułowania tej teorii. Sy-

tuacja uległa jednak zmianie z chwilą odkrycia innych

typów oddziaływań zachodzących w mikroświecie, nie ma-

jących przy tym żadnych klasycznych analogonów. Trud-

oości mechaniki kwantowej w tej dziedzinie świadczyć

- г -muszą za koniecznością gruntownej analizy podstaw me-

chaniki kwantowej*

Innym powodem takiej analizy jest sytuacja w kwan-

towej teorii pola. Po to, by móc korzystać z nielinio-

wych równań polowych, koniecznym jest określenie ilo-

czynu dwóch wielkości polowych* Wiadomo jednak, ze

iloczyn taki nie może Ъуб określony analogicznie do

iloczynu operatorów mechaniki kwantowej, gdyś pole ma

charakter dystrybućyjno-operatorowy. Powstaje więc

niepokojąca sytuacja, gdyż krok będący kamieniem wę-

gielnym mechaniki kwantowej nie może byó wykonany w

przypadku teorii pola* Poddaje to w wątpliwość fakt

przynależności obu tych teorii do jednej i tej samej

klasy teorii kwantowych*

Praca niniejsza ma na celu pokąsać , że istnieje

znacznie szersza klasa teorii kwantowych niż to zazwy-

czaj przyjmuje się* Okazuje się przy tym, że standar-

towa mechanika kwantowa i kwantowa teoria pola są dwo- '

ma różnymi elementami tej klasy* Fakt ten tłumaczy

dlaczego nie można w tradycyjny sposób sformułować

teorii pola w oparciu o mechanikę kwantową.

Jako punkt wyjściowy naszych rozważań przyjęto

metodę Heisenberga konstrukcji teorii kwantowych ^,

Metoda ta została obecnie niesłusznie całkowicie zarzu-

cona, gdyż jak pokazano niżej, prowadzi ona do konstruk-

- 3 -

сji znacznie .bardziej ogólnych teorii kwantowych niż'

tego sią oczekuje* W pracy nie dyskutuje aią natomiast

metody Schroedingera '* , gdyż mimo obiegowego poglądu,

nie jest ona i nie może być równoważna metodzie Heisen-

berga '*'• Również nie korzysta się w pracy z żadnych

zaksjomatyzowanych sformułowań mechaniki kwantowej ' "

uważając ш в в у в № 4 в z a niefizyczne podejścia / 6 /.

Praca podzielona została na dwie części» W części

pierwszej omawiana jest wyłącznie nierelutywistyczna

mechanika kwantowa* Ha jej przykładzie pokazano istnie-

nie całej klasy różnych mechanik kwantowych* Nieco

bardziej szczegółowo omówiono tylko trzy typy takich

mechanik*

Część druga poświęcona jest kwantowej teorii pola

ograniczając się, dla prostoty, do przypadku teorii

jednego pola skalarnego* Na tym przykładzie pokazujemy,

że teoria pola może byó* od początku sformułowana w kon-

systentny sposób jako teoria kwantowa jeśli użyć do jej

konstrukcji nieco ogólniejszej metody niż to ma miejsce

w przypadku mechaniki kwantowej*

с z i s б i.

HHHELAMWISKCZHA MECHANIKA KWANTOWA

- 5 -

1» W a t e. P.

Analizując charakterystyczne własności atomów/л/

Heisenberg ' ' wykazał konieczność dokonania reinter-

pret ас ji klasycznych wielkości kinematycznych. Istotą

tej reinterpretacji jest zastąpienie wszystkich funkcji

czasu opisujących ruch w fizyce klasycznej zbiorami

typu

gdzie x__ jest zespoloną amplitudą drgań związanych

z emisją promieniowania o częstości CJmn z równoczes-

nym przejściem atomu z m-tego stanu do n-tego stanu,

zaś x^ jest średnią czasową wielkości X w stanie m.

Litera Z oznacza tu zbiór liczb naturalnych.

Jest jasnym, że dokonując powyższej reinterpre-

tacji wielkości kinematycznych odstępujemy od wszelkich

prób przestrzenno-czasowej wizualizacji pojęcia ruchu.

Częściowy powrót do takiej wizualizacji uzyskuje się

rozszerzając podejście Heieenberga do podejścia Schroe-

dingera' •

Dla klasy zbiorów (1.1) Heisenberg określił następ-

nie trzy podstawowe operacje:

1) operację różniczkowania względem czasu t

- б -

; 0j ( 1 # 2)

określoną jako odwzorowanie klasy zbiorów (1.1) w siebie,

2) operacje liniowe

przekształcające klasę zbiorów (1*1) w nieskończenie

wymiarową przestrzeń liniową,

3) operację iloczynu dwóch zbiorów typu (1*1)

nadającą klasie zbiorów (1*1) strukturę łącznego i nie-

przemiennego pierścienia*

Źródłem definicji (1*4) była relacja 3ydberga -

Ritza pomiędzy obserwowanymi częstościami postaci

tOmn " WrnK + **>bn (1.5)

dla dowolnych k£Z. Proponując definicję (1.4) Heisen-

berg wyraźnie zastrzegł się, ze jest ona jedynie "pra-

wie" konieczną konsekwencją relacji (1.5). Nie wyklu-

czył tym samym możliwości innej definicji operacji

- 7 -

mnożenia, która byłaby już konieczną konsekwencją rela-

cji (1.5).

Definicja Heisenberga wyraźnie ogranicza klasę

układów fizycznych, do których stosuje się opis kwanto-

wy. Pierwsze ograniczenie wiąże się z możliwością

uwzględnienia tylko takich układów, dla których spełnio-

na jest relacja (1.5). Łatwo jednak można podać przy-

kłady układów fizycznych nie spełniających tego warun-

ku* Prostym przykładem takiego układu jest bowiem kwan-

towy oscylator harmoniczny. Z równania ruchu dla tego

układu wynika, że jedyną obserwowalną częstością pro-

mieniowania jest częstość oscylatora GJ i relacja

(1.5) w oczywisty sposób nie może być spełniona. Ponad-

to, pierścień zbiorów (1.1) generowany przez rozwiązanie

równania ruchu zawiera elementy opisujące drganie o

częstościach o w dla dowolnego n. Przeczy to jednak

podstawowemu postulatowi Heisenberga żądającym, by

realistyczna teoria nie zawierała nieobserwowalnych

obiektów.

Innymi pi'ąykłaaami układów fizycznych niespełnia-

jąeyeh relacji (1.5) są układy opisywane Hamiltonianami

typuей» .

- 8 -

gdyż dla nich obserwowalnyml częstościami tJmn mogą

być tylko te, dla których |m-nj jest liczbą niepa-

rzystą /'7/'« Suma dwóch takich częstości jest jednak

częstością, dla której \m-n\ jest liczbą parzystą,

a takich częstości układ (1*6) wypromieniować nie może*

Drugi rodzaj ograniczenia narzucanego przez defi-

nicję (1*4) polega na zaliczeniu do klasy układów kwan-

towych tylko takich układów, dla których amplitudy drgań

spełniają warunek

Dla prostych układów kwantowo-mechanicznych warunek (1*7)

jest zawsze spełniony* Nie oznacza to jednak, że nie

ma układów, dla których warunek ten nie jest spełniony*

Wystarczy tu wy> jnió układ fizyczny równoważny nieskoń-

czonej liczbie oscylatorów harmonicznych o częstościach

CJj i masach li, takich, że

MjCJj « const.Dla takiego układu nieskończona liczba amplitud drgań

jest równa między sobą i warunek (1*7) nie może być

spełniony. Oznacza to z kolei, że definicja iloczynu

(1.4) jest w tym przypadku bezsensowna*

Celem niniejszej pracy jest pokazać, że można, roz-

szerzyć klasę teorii kwantowych w ten sposób, że można

- 9 -

włączyć do niej dowolny układ fizyczny. Uogólnienia

nasze idą przy tym w czterech niezależnych kierunkach*

Pierwszy kierunek ma na celu rozszerzyć klasę teorii

kwantowych tak, by można było opisywać własności ukła-

dów fizycznych niespełniających relacji (1.5)* W tym

celu wprowadzamy uogólnione relacje Rydberga - Ritza

postaci

przy czym wszystkie indeksy oCj są liczbami całkowitymi

oraz

Wartość liczby N nazywać będziemy rządem relacji Rydber-

ga - Ritza, a mechaniką kwantową opartą na relacji

N-tego rzędu - mechaniką kwantową rzędu N-tego. Z po-

równania (1*5) i (1*8) oraz treści rozdziału czwartego

wynika, że tradycyjna mechanika kwantowa Heisenberga

jest - w naszej nomenklaturze - szczególnym przypadkiem

mechaniki kwantowej rzędu pierwszego* Ze względów

praktycznych, oprócz takiej mechaniki opiszemy jedynie

mechaniki rzędu zerowego i drugiego.

Drugi kierunek naszego uogólnienia ma na celu roz-

szerzyć klasę teorii kwantowych tak, by należały do niej

wszystkie teorie bez narzucania dodatkowych warunków na

amplitudy drgań. Uzyskamy to przez dopuszczenie uogól-

.- 10 -

nionych praw mnożenia opisanych w rozdziale drugim*

Uwolnienie się od pewnych dodatkowych założeń -

zazwyczaj przyjmowanych w ramach mechaniki kwantowej -

jest celem trzeciego kierunku naszych uogólnień* V

szczególności, przedyskutujemy sposób opisu inercjalnych

własności obiektów w ramach mechaniki kwantowej* Pozwo-

li to sformułować kwantowo-mechaniczny model bootstrapu*

Wreszcie, czwarty kierunek ma na celu uogólnić

zasady mechaniki kwantowej dla przypadku układów fizycz-

nych niespełniających specyficznego warunku kwantowania

Hoisenberga, którego uogólnioną postać omówimy w następ-

nym rozdziale*

/ft/

V pracy autora ' v pokazano, że najogólniejszabinarna operacja kwantowego mnożenia ma postać

mnklsu=У АfclSU К С2.1)

+ -<Z_ CmnkYk Xmn f

CLmklAktUk +Z.

k l kt

- 11 -

Zespół współczynników Ацщ^ац, B ^ , C ^ , a ^ i

nazywać będziemy w dalszym ciągu stałymi strukturalnymi

teorii* Nazwa taka uzasadniona jest tym, ze konkretny

wybór tych współczynników determinuje matematyczną struk-

turą rozpatrywanej teorii* Jest jasnym, że każdy wybór

tych współczynników dokonywany musi być w oparciu o pew-

ne fizyczne przesłanki*

Zajmiemy się najpierw stałymi strukturalnymi wystę-

pującymi we wzorze (2*2)* Dla dowolnego wyboru stałych

strukturalnych» klasa zbiorów

(2.5)

etanowi podklasą wszystkich rozpatrywanych zbiorów.

Jest to podklasą wszystkich stałych ruchu* Jest więc

naturalnym żądanie, by operacja mnożenia w każdej teorii

kwantowej spełniała warunek

Warunek ten będzie spełniony jeśli przyjąć

(2.5)

W ten sposób. Mnożenie w podklasie (2.5) ma identyczną

postać co mnożenie Eeisenberga.

Nastąpnę ograniczenie wyboru stałych strukturalnych

wynika z następującego argumentu. Oprócz operacji algę-

- 12 -

braicznyoh Heisenberg określił specyficzny "warunek

kwantowy" w postaci reguły sum

= ~ (2.$)

będący, jak się później okazało /9', równoważny kano-

nicznym relacjom komutacji. Warunek (2*6) ma swe źró-

dło fizyczne w badaniach, odpowiedzi układów atomowych

na zaburzenie wywołane zewnętrznym polem elektromagne-

tycznym f ' • W trakcie wyprowadzenia wzóra (2.6)

przyjęto jednak założenie o równości wag etatystycznych.

różnych etanów atomowych* Ponieważ fakt ten, od strony

doświadczalnej, potwierdzony został dotychczas jedynie

dla układów atosowych w naszych rozważaniach zamiast

reguły (2*6) usywać będziemy "uogólnionego warunku

kwantowego" postaci

к 'umożliwiając tym samym uwzględnienie ewentualnej nie-

równości wag statystycznych f k różnych stanów kwantowych.

Podobnie jak Heisenberg, zażądamy teraz, by kształt

lewej strony reguły (2.7) był automatycznie wbudowany

w strukturę operacji mnożenia. Uzyskamy to żądając,

by wzór (2.2) przyjmował kształt lewej strony (2.7)

dla wielkości Z i X. Warunek ten będzie spełniony

- 13 -

wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona będzie równość

określająca anty symetryczną (względem k i l ) część

stałych strukturalnych а ^ . Symetryczna część tych

stałych pozostaje w dalszym ciągu dowolna. Niżej poka-

żemy, że część tę można jednoznacznie wyznaczyć w każ-

dej teorii kwantowej przyjmując dodatkowe założenie

o kształcie, Hamiltonianu i żądając, by dla obserwowal-

nych częstości zawsze była spełniona relacja Bohra '

Hffi"*Hri

= 1l (-Оглп (2«9)

W ten sposób pokazaliśmy, że w każdej teorii kwantowej

ogólna postać diagonalnych elementów iloczynu ma kształt

u в и о )

X " T K ' m K Hm 'mk

Przejdziemy z kolei do sposobu wyznaczania stałych

strukturalnych we wzorze (2*1). Pierwsze żądanie, któ-

re chcemy spełnić polega na tym, by «nożenię dowolnej

wielkości kinematycznej przez stałą fizyczną nie zmie-

niało charakteru tej wielkości. Ponieważ stałe fizycz-

ne są realizowane w każdym schemacie kwantowym przez

- 14 -

specjalne zbiory typu |2*3), dla których

)(m* const*

żądanie to oznacza, Że element

l } (2.11)

powinien być elementem jednostkowym każdej algebry kwan-

towej. Łatwo można zobaczyć, że będzie to spełnione

jeśli

YT* - У Г -Л£— -Dmnk"""4— | Л | гК -*- (2.12)К к

dla dowolnej pary różnych indeksów m i n * Oczywistym

jest, że warunek (2.12) może być spełniony na nieskoń-

czenie wiele sposobów.

Jedynym miejscem, w którym ingerują uogólnione

relacje Rydberga - Ritza są stałe strukturalne ^щЫдц»

Stałe te bowiea muszą być wybrane w ten sposób, by po

podstawieniu do wzoru (2.1) elementów zbiorów Z i Г

włącznie z eksponencjalnymi czynnikami czasowymi, ele-

ment (ХоЮщд stowarzyszony był jedynie z częstością CJmA,*

Ponieważ konkretny kształt tych stałych strukturalnych

w istotny sposób zależy od rzędu relacji Rydberga - Ritza

omówimy tą sprawę dla kilku najniższych rzędów z osobna*

Z punktu widzenia matematycznego, kaAda rozpatrywa-

- 15 -

na wyżej algebra kwantowa z binarną operacją mnożenia

ma charakter pierścienia* W ogólności będą to jednak

pierścienie niełączne i nieprzesienne* Brak własności

łączności mnożenia w poważnym stopniu utrudnia badanie

reprezentacji otrzymywanych pierścieni, gdyż nie mogą

one być realizowane jako pierścienie automorfizmów

pewnych przestrzeni. W ten sposób uzyskujemy konkretne

przykłady teorii kwantowych nie będących izomorficznymi

z teorią operatorów w przestrzeni Hilberta.

3» Mechanika kwantowa rzc.du zerowego»

Zgodnie z terminologią wprowadzoną we wstępie,'12/

mechanika kwantowa zerowego rządu ' v charakteryzuje

się brakiem jakiegokolwiek związku pomiędzy obserwowa»

nymi częstościami. Dla takiej mechaniki stałe struktu-

ralne Ащпвддц muszą znikać, gdyż w przeciwnym wypadku

część iloczynu rządzona tymi stałymi zawsze będzie

zawierała częstości nie stowarzyszone z przejściem

układu od stanu m-tego do stanu n-tego. By być pewnym,

że dla rozpatrywanych układów fizycznych pomiędzy ob-

serwowanymi częstościami rzeczywiście nie zachodzą

żadne związki typu relacji Rydberga - Ritza musimy jed-

nak ograniczyć się tylko do takich układów, dla których

- 16 -

przejścia zachodzą jedynie pomiędzy sąsiednimi stanami*

W przeciwnym bowiem przypadku, praktycznie zawsze, re-

alizuje się jedna z możliwych relacji Itydberga - Ritr-a.

Oznacza to, że mechanika kwantowa rzędu zerowego opisy-

wać będzie tylko takie układy fizyczne, dla których

wszystkie wielkości kinematyczne są reprezentowane

specjalnymi zbiorami z klasy zbiorów (1.1) typu

Nietrudno można zobaczyć, że dla takich zbiorów wzory

(2.1) i (2*2) dla elementów iloczynu redukują się do

postaci

ZQ

1 fwiłt

gdzie wprowadziliśmy oznaczenia

- 1? -

ue

• (3.5)

Z matematycznego punktu widzenia, algebra kwantowa

z mnożeniem (5.2) - 0*4-) m« charakter niełącznego i

nieprzemiennego pierścienia. Brak własności łączności

uniemożliwia rozwiązywanie nieliniowych równań ruchu,

gdyż ryrazy nieliniowe nie będą jednoznacznie określone.

Ponieważ jednak w równaniach ruchu występują jedynie

takie wyrazy nieliniowe, które utworzone są z jednego

zbioru typu (3*1), dla usunięcia tej trudności wystar-

czy zażądać, by nasza algebra była pierścieniem z łącz-

nymi potęgami. Zgodnie z twierdzeniem Alberta ^

w tym celu potrzeba i wystarcza, by spełnione były

tożsamości

Okazuje się jednak, że tożsamości takie nie mogą być

spełnione dla wszystkich zbiorów typu (5.1). Mogą one

być spełnione co najwyżej dla takich zbiorów, dla

których wszystkie diagonalne elementy są równe zeru*

- 18 -

Dlatego tez w rozpatrywanej tutaj mechanice, rozwiązania

dowolnych równań ruchu będą posiadały zerowe wartości

średnie w dowolnym stanie kwantowym*

Nietrudno jest zobaczyó, ze dla spełnienia tożsa-

mości (3*6) dla zbiorów bez diagonalnych elementów

wystarczy założyć, ze

-f"- ^»к (3.3)

redukując tym samym liczbę niezależnych stałych struk-

turalnych. Jeszcze silniejsze związki pomiędzy stałymi

strukturalnymi wynikają z tożsamości (3*7)* Eo trochę

żmudniejszych rachunkach można się bowiem przekonać, .

że dla spełnienia tej tożsamości trzeba przyjąć; że

3' -Та" - Г * - Г " -

(3.9)

я СХщ Smk

gdzie a a są dowolnymi współczynnikami. Wartości tych

współczynników wyznaczymy niżej dla dwóch rozpatrywa-

nych przykładów, żądając by spełniona była relacja

Bohra (2.9).

Otrzymaliśmy zatem, że w ramach mechaniki kwanto-

wej zerowego rzędu prawa mnożenia mają postać

(3.10)

- 19 -

(3.12)

Jak już wspomniellśnĘr, algebra tocntowa z taldm

prawem mnożenia nie jest pierścieniem o łącznych potę-

gach, gdyż tożsamości (3*6) i (3*7) nie mogą być speł-

nione dla dowolnego jej elementu* Nie należy ona rów-

nież do grona pierścieni alternatywnych, gdyż związki

będące zgodnie z twierdzeniem Artina ' ' koniecznymi

i wystarczającymi warunkami alternatywności pierścienia,

nie mogą byó spełnione. Fakt ten w znacznym stopniu

ogranicza możliwości badania różnych reprezentacji

algebr kwantowych rzędu zerowego i siłą rzeczy musimy

ograniczyć się do jednej jedynej reprezentacji typu

Heiaenberga.

Przed przystąpieniem do zilustrowania powyższej

- 20 -

teorii na kil oi najprostszych przykładach zauważmy, ze

dzięki temu iż rozpatrujemy tylko takie układy fizyczne»

dla których widoczne są jedynie przejścia pomiędzy są-

siednimi stanami, możemy dla wszystkich przykładów w

jawny sposób rozwiązać warunek kwantowy (2*7)* Łatwo

bowiea sprawdzić, że z warunku tego wynika związek

wiążący intensywności przejść z odpowiednimi częstoś-

ciami.

Jako pierwszy przykład rozpatrzymy teraz problem

oscylatora harmonicznego. Równanie ruchu

jest niezależne od jakiejkolwiek struktury algebraicz-

nej i może być zawsze jawnie rozwiązane. Rozwiązanie

to mą poatać (5»1) przy czym

0 ^ (5.16)

zaś wartość bezwzględną amplitud х^ ш + 1 otrzymujemy ze

.wzoru (3.14). Łatwo możny sprawdzić, że w tradycyjnym

przypadku, gdy wszystkie wagi statystyczne są równe

- 21 -

jedności, rozwiązanie nasze przechodzi w standartowe

rozwiązanie problemu oscylatora harmonicznego»

Jedynym punktem teorii, w którym ingeruje przyjęta

struktura algebraiczna jest wyrażenie dla Hamiltonianu

Obliczając prawą stronę według prawa mnożenia (2*10) -

(3*12) przekonujemy się, że wyrażenie to jest stałą

ruchu, przy czym jej wartość w m-tym stanie jest równa

Z drugiej strony z warunku Bohra (2«9) otrzymujemy

(3.19)

gdzie E Q jest dowolną wartością energii stanu podstawo-

wego* Warto w tym miejscu zaznaczyć, że standartowa

wartość

jak zobaczymy niżej, jest konsekwencją zakładanego

sposobu mnożenia w ramach mechaniki pierwszego rzędu*

Porównując wzór (3.18) z (3*19) otrzymujemy, że niezna-

ne dotychczas w prawie mnożenia (3*12) współczynniki

- 22 -

muszą być równe

mi(3.20)

Przejdźmy z kolei do rozpatrzenia najprostszego

oscylatora anharmonicznego z równaniem ruchu postaci

MX«-XX»X>XObliczając prawą stronę według 0*10) - (3*12) i korzys-

tając z warunku (3*14) otrzymujemy następujące wyrażenie

dla częstości

Z kolei żądając, by wyrażenie

wyznaczało poziomy energetyczne

otrzymujemy kształt współczynników- s^ w prawie mnoże

nia (3*12)

»nti

l-o

gdzie {cCwi, j jest ciągiem liczb wyznaczonym przez

wzory rekurencyjne

(3.26)

dla m!jr1 oraz

(3.2?)

Podstawiając teraz (3*25) do (3*22) otrzymujemy bardzo

prosty wzór dla eząstoścl

Łwmłl,m. - OLm, ^ p j r (3.28)

Nietrudno «ożna zobaczyć,' że wzór rekurencyjay (3*26)

definiuje rosnący ciąg liczb, przy czym kilka jego

pierwszych wyrazów ma postać

skąd widać, że niezerowe rozwiązanie naszego problemu

istnieje tylko dla niezerowej wartości energii stanu

- 24 -

podstawowego. Poza tym z (5»27) i (5.28) wynika, że

wartość tej energii dana jest wzorem

Podobnie jak powyżej można potraktować w ramach

mechaniki zerowego rzędu dowolny inny problem dynamicz-

ny* Ograniczając się do powyższych przykładów z porów-

nania wzorów (3*20) oraz (3*25) przekonujemy się, że

stałe strukturalne operacji mnożenia w silnym stopniu

zależą od rozpatrywanej dynamiki. W ten sposób struk-

tura algebraiczna teorii posiada wbudowaną pełną infor-

macją o oddziaływaniach mających miejsce w danym ukła-

dzie fizycznym. Jest to zupełnie nowe zjawisko w ra-

mach nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, upodob-

niając ją do sytuacji w kwantowej teorii pola, gdzie

każdy typ oddziaływania wyznacza znacznie różniące się

od siebie zrenormalizowane postacie teorii

4. Mechanika kwantowa pierwszego rzędu.

Celem niniejszego rozdziału jest dyskusja wybra-

nych aspektów ogólnej operacji mnożenia dla przypadku

mechaniki kwantowej rzędu pierwszego, u podstaw której

leży tradycyjna reguła tydberga - Kitza postaci (1.5).

- 25 -

Tym rasea, w odróżnieniu od necbaniki kwantowej rząduzerowego, część stałych strukturalnych А ^ ^ ж м możebyć rota» od zera i wykorzystując (1*5) łatwo można s ięprzekonać» te suszą one być postaci

ПтлШцГ flmn.1 йлкSzsSyiŁ +Ътпк Orni Bttk&ln (4.1)

W ten sposób prawo mnożenia (2.1) dla niediagonalnych

elementów przyjmuje postać zbliżoną do postaci (1*4),

a mianowicie

V°Y/nui= 2- \ "wik Хтк iłca ДгткЛк «гал <*.2)

Porównanie wzorów (4.2) i (2*10) ze wzorem (1.4) wyraź-

nie uwypukla ograniczony charakter definicji Heiseober-

ga. Wogólnym przypadku operacja (4*2) razem z (2.10)

określa niełączną operację mnożenia. W odróżnieniu

jednak od sytuacji w mechanice kwantowej rzędu zerowego,

w rozpatrywanej tu mechanice rzędu pierwszego istnieje

dokładnie jeden wybór stałych strukturalnych i wag sta-

tystycznych fjg, dla którego operacja mnożenia jest ope-

racją łączną. Nietrudno aoena się przekonać, te tym

przypadkiem jest właśnie mechanika kwantowa Heiseńberga.

Spośród wszystkich możliwych postaci algebr kwantowych

- 26 -

jest to jedyna algebra izomorficzna s algebrą operato-

rów w przestrzeni Hilbexta. Рек4; ten zaciążył bardzo

istotnie na całym rozwoju mechaniki kwantowej» Ze

względu na bujny rozkwit teorii operatorów w przestrze-

ni Hilberta oraz znaczne udogodnienia rachunkowe istnie-

jące w takiej wersji mechaniki kwantowej, zabsolutyzo-

wano w fizyce tę własność mechaniki Heisenberga nada-

jąc jej charakter prawa przyrody* Przykłady innych

mechanik opisywane w niniejszej pracy jednoznacznie

wskazują na mylność takiego poglądu* Możliwości me-

chaniki kwantowej i ogólniej, możliwości kwantowego

opisu zjawisk są bowiem znacznie szersze i pełne ich

wykorzystanie powinno doprowadzić do głębszego zrozu-

mienia istoty zjawisk fizycznych. Na drodze tej staje

jednak poważna trudność natury technicznej, którą jest

brak własności łączności dla wszystkich algebr kwanto-

wych różnych od algebry Heisenberga* Z tego też powo-

du ograniczyć się musimy do rozpatrywania każdego przy-

padku z osobna*

Aby zilustrować możliwości mechaniki kwantowej

rzędu pierwszego z niełączną operacją mnożenia, spo-

śród wielu możliwych przykładów, rozpatrzymy tutaj

jedynie przypadek prostego oscylatora enharmonicznego

typu

-27 -

gdyż, niezależnie od pewnych niefizycznych własności

takiego oacylatoxa, przypadek ten jest w zupełności

wystarczający dla naszych celów. Ze względu na nie-

liniowy charakter równania (4.3) rozważania nasze

ogaanicsyó musimy do perturbacyjnygo rozwiązania. By'

nie komplikować zbytnio wypisywanych wzorów, ograni-

czymy się przy tym do dwóch najniższych rzędów rachun-

ku zaburzeń, tym bardziej, że metoda postępowania dla

wyższych rzędów jest podobna*

Rozważania nasze prowadzić będziemy przy trzech

upraszczających założeniach, ograniczających dowolność

operacji mnożenia* W tradycyjnym formalizmie mechani-

ki kwantowej, algebra Lie 'go generowana przez algebrę

Heiseriberga ma ścisły związek z własnościami symetrii

rozpatrywanych układów fizycznych* Aby nie zmieniać

tego elementu teorii przyjmiemy, że dla wszystkich

algebr kwantowych rzędu pierwszego, generowane przez

nie algebry Lie 'go są identyczne z algebrą Lie 'go

algebry Heisenberga. Okazuje się, że to naturalne

żądanie może być spełnione tylko w przypadku, gdy

wagi etatystyczne wszystkich stanów układu są jednako-

we oras gdy

- 28 -

Operacja mnożenia (4*2) przyjmuje zatem postać

( X21 таК ( mkкgdzie pierwszy wyraz jest identyczny jak w definicji

Heisenberga (1*4)« Dla prostoty przyjmiemy teraz, że

poprawka w (4*5) -JA uniwersalny charaktar i obowiązuje

również dla diagonalnych elementów iloczynu* Oznacza

to, ze

(4.6)

Wreszcie dla jednoznaczności definicji potęg w ramach

naszej mechaniki przyjmiemy indukcyjny wzór

(4.7)

gdzie : X 2 : oznacza X©X. Ze wzglądu na identyczność

algebr Lie 'go z algebrą lie "go Heisenberga warunek

(4.7) implikuje, że

gdzie X^ jest zwykłą macierzową j-tą potęgą macierzy X,

zaś <4?(X) eą jednorodnymi numerycznymi funkcjami rządu

n-j elementów macierzy X, przy czym przyjmujemy uniwer-

- 29 -

salny warunek normalizacyjny

Jest jasnym, że ostatnie dwa założenia mają charakter

czysto techniczny i z łatwością mogą być zastąpione

innymi założeniami*

V najniższym rzędzie rachunku zaburzeń» równanie

ruchu (4.5) redukuje się do równania oscylatora har-

monicznego i dlatego możemy napisać

, , (4.Ю)

gdzie jak zwykle

Zgodnie z przyjętą w tej pracy metodą zażądamy, by wy-

rażenie

(4.12)

reprodukowało w każdym rządzie rachunku zaburzeń te

same wartości poziomów energetycznych, które uzysku-

jemy z równania ruchu* W zerowym rzędzie (4.12) povin-

no więc być diagonalną macierzą o wartościach własnych

- 30 -

gdzie B o jest dowolną wartością energii. stanu podsta-

wowego* W tradycyjnym formalizmie mechaniki kwantowej

mamy

co jak się przekonamy, jest jedynie konsekwencją defi-

nicji Heisenberga. Rzeczywiście, podstawiając (4*10)

do (4*12) otrzymujemy

Z drugiej zaś strony z (4.5) otrzymujemy

(4.16)

zaś z warunku normalizacyjnego (4.9) otrzymujemy

(4.17)

-31 -

Stąd

a więc

(4.19)

gdzie ^ Д д oznacza średnią wartość wielkości A w sta-

nie podstawowym. Ostatecznie otrzymujemy więc

; Vх I =

Widać stąd, że jeśli przyjmiemy (4*14) to nasza defi-

nicja iloczynu pokrywa się z definicją Heisenberga.

Otrzymaliśmy satem ważny wynik polegający na twierdze-

niu, że warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia

własności łączności operacji mnożenia w ramach mechani-

-52 -

ki kwantowej pierwszego rządu jest warunek (4*14).

Z drugiej strony wiadoeo, że dla układów fizycz-

nych o nieskończonej liczbie stopni swobody, mechanika

kwantowa z wbudowaną własnością (4*14) zawsze wyznacza

nieskończoną wartość energii etanu podstawowego, zmu-

szając tym samym do przyjęcia procedury nieskończonych

renormalizacji» Łatwo można pokazać, te w naszym uo-

gólnionym sformułowaniu mechaniki kwantowej można tego

uniknąć i tym uzasadniona jest wyższość naszego sformu-

łowania. Rzeczywiściej uogólniając powyższe wyniki

dla N oscylatorów harmonicznych, otrzymujeay w zasadzie

te same wzory co powyżej z tym tylko, że w ostatnich

wyrazach (4.20) wystąpuje tym razem czynnik

gdzie E Q jest już całkowitą wartością energii stanu

podstawowego. Przechodząc do granicy, gdy H-»«*»

przy skończonej wartości E , otrzymujemy пр.:

identycznie jak w przypadku uporządkowanego iloczynu

Wieka '16' używanego w teorii pola. Taki srm wynik

uzyskamy jednak, jeśli przyjąć od samego początku taką

- 33 -

wersję mechaniki kwantowej, w której E o« 0, eo pokazuje,

że jedyną konsystentną skończoną wartością energii

stanu podstawowego dla układu o nieskończonej liczbie

stopni swobody jest właśnie wartość zerowa* Równocześ-

nie uzyskaliśmy więc twierdzenie, ze każda algebra

kwantowa opisująca układy o nieskończonej liczbie

stopni swobody musi byli scharakteryzowana niełącznymi

operacjami algebraiczsymi* Fakt ten wykorzystamy w

drugiej części niniejszej pracy poświęconej analizie

algebraicznej struktury kwantowej teorii pola*

Uzyskane wartości stałych strukturalnych (4*17)

i (4*18) pozwalają obliczyć prawą stronę równania (4*3)

w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń i tym samym mo-

żemy uzyskać rozwiązanie tego równania w pierwszym

rzędzie. Nieco żmudne rachunki dają następującą pos-

tać tego rozwiązania:

(4.21)

- 34 -

Analogicznie jak poprzednio, podstawiając (4.21) do

(4.12) otrzymujemy wartości kolejnych stałych struktu-

ralnych:

^ (4.22)

Przy pomocy tych stałych strukturalnych z (4.5) i (4.7)

mozeuy wyliczyć : г : i otrzymujemy

co znowu redukuje sią do uporządkowanej trzeciej potą-

gi Wieka w przypadku E Q«0.

Postępując podobnie w kolejnych wyższych rzędach

rachunku zaburzeń możemy uzyskać wartości wszystkich

stałych strukturalnych D n m J c. Rachunbi te są jednak

bardzo żmudne i dlatego wypiszemy jedynie postać czwar-

tej potęgi

: Л =

-35 -

5. Mechanika kwantowa drugiego rzędu»

Wszystkie, dotychczas rozpatrywane, algebry kwan-

towe bazowały na pewnej binarnej operacji mnożenia

określonej wzorami (2.1) i (2.2). Sytuacja ulega jed-

nak radykalnej zmianie w przypadku tych układów fizycz-

nych, dla których realizują się relacje ftydberga -

Ritza rzędu wyższego niż pierwszego* Łatwo bowiem

można zobaczyć, że informacji o istnieniu takich rela-

cji nie można wbudować w żadną algebrę kwantową z bi-

narną operacją mnożenia* Można to zrobić jedynie

wówczas, gdy rozszerzymy klasę algebr kwantowych z ka-

tegorii pierścieni do kategorii algebr uniwersalnych

w których podstawowymi operacjami algebraicznymi będą

operacje o arnoćci większej od dwóch* Na marginesie

i. rto tu zaznaczyć, że w odróżnieniu od sytuacji w al-

gebrze w okresie, gdy powstawała mechanika kwantowa,

kiedy to rozpatrywano tylko operacje binarne, dziś

sytuacja jest kraśćowo różna 1 teoria algebr uniwer-

salnych otrzymała pełne prawo obywatelstwa, mimo braku

zastosowań w innych działach nauki np« w fizyce. Pre-

zentowane niżej rozważania są więc pierwszym przypad-

kiem zastosowania najprostszych elementów teorii algebr

uniwersalnych do pmbleaów fizyki teoretycznej.

- 56 -

Najprostszą klasę układów fizycznych wymagających

wyjścia poza kategorię pierścieni tworzą układy, w któ

rych podstawową relacją pomiędzy сzęatościami jest uo-

gólniona relacja Rydberga - ftLtza rządu drugiego* W

tym przypadku zamiast binarnej operacji mnożenia (2*1)

i (2*2) musimy wprowadzić tęrnarną operacją algebraicz-

ną określającą iloczyn trzech czynników. Postępując

w tym samym duchu co poprzednio, dochodzimy do następu-

jącej ogólnej postaci ternarnej operacji mnożenia:

Su.

КС

1 Sim)

-37 -

gdzie rsjjj oznacza aaonole po wszystkich permu-

tacjach indeksów (1,2,3)» Określenie kształtu algebry

kwantowej drugiego rodzaju wymaga więc zadania 24- zes-

połów stałych, strukturalnych* Podobnie jak poprzednio

należy oczekiwać, że część lub wszystkie stałe struk-

turalne mogą być różne dla różnych układów fizycznych*

Istnieje jednak jedna wspólna cecha tych stałych, któ-

ra jest niezależna od konkretnej dynamiki» Wszystkie

zbiory typu (1*1) dla układów fizycznych z relacją

Kydberga - Ritza drugiego rzędu muszą mieć "strukturę

szachową" tzn. elementy ХШа znikają» gdy f m.~a|

jest liczbą parzystą* W przeciwnym bowiem przypadku

będziemy mieć do czynienia zawsze z relacją (1*5)

prowadzącą z kolei do mechaniki rzędu pierwszego* Z

tego tez powodu związki (5*1) i (5*2) będą określały

ternarną operację algebraiczną mechaniki kwantowej

drugiego rzędu jedynie wówczas, gdy wszystkie stałe

strukturalne w tych wzorach będą znikać dla |m.-rv|

równych liczbie parzystej* Poza tym jednym ogólnym

i dosyć słabym warunkiem trudno jest się doszukać ja-

kichkolwiek innych fizycznie uzasadnionych i przy tym

ogólnych ograniczeń na możliwe wartości stałych struk-

turalnych*

By nie poprzestać na tak ogólnikowej analizie,

zajmiemy się konkretnym przypadkiem oscylatora artiar-

- за -Booicznego

i na jego przykładzie podamy jeden ze sposobów wyzna-

czania stałych strukturalnych. Każdy sposób określe-

nia prawej strony równania (5*3) siłą rzeczy zawiera

pewną aprioryczną informacją o mechanizmie procesów

opisywanych rozwiązaniem tego równania» W szczególno-

ści, tradycyjne macierzowe prawo mnożenia implikuje

aprioryczne równouprnmienie wszystkich możliwych sta-

nów pośrednich* Fakt ten z kolei pociąga za sobą nie-

możliwość znalezienia dokładnego rozwiązania równania

(5.5), zaś każda metoda przybliżeń narusza takie aprio-

ryczne równouprawnienie* Aby nie dopuścić do takiej

sytuacji przyjmiemy założenie, że stałe strukturalne

AJJJ-J., są różne od zera tylko wtedy, gdy wartości in-

deksów k,l leżą pomiędzy wartościami indeksów m i n *

Oznacza to, że proces przejścia od danego stanu począt-

kowego układu do stanu końcowego zachodzi tylko za

pośrednictwem stanów pośrednich leżących pomiądzy

etanami końcowym i początkowym, a więc proces przej-

ścia do etanu pośredniego zachodzi z

energii. Z intuicyjnego punktu widzenia mechanisa

taki wydaje się byó najbardziej prawdopodobnym.

Nietrudno jest się przekonać, że zbiory postaci

-59 -

(1*1) ze znikającymi diagonalnymi elementami tworzą

podalgebrę algebry (5*1) i (5.2). lynika stąd, że

jeśli równanie (5.5) posiada rozwiązanie należące do

tej podalgebry, to własności takich rozwiązań są nie-

zależne- od postaci stałych typu В i a. Dla prostoty

zajmować się będziemy tylko takimi rozwiązaniami*

Z założonego mechanizmu procesu nieliniowych

drgań opisywanych równaniem (5.5) wynika w szczególno-

ci, że

А (5.45

dla wszystkich wartości k i l . Oznacza, że amplituda

drgań typu Хц т + 1 ( lub Хщ т - 1 ) bądzie różna od

zera tylko wtedy, gdy

gdzie ze względu гг trzykrotne występowanie tego sa-

mego elementu X po prawej stronie (5*5) wszystkie sta-

łe strukturalne typu A i С używane od tej pory ozna-

czają sumę po wszystkich permutacjach S(123) stałych

strukturalnych występujących w (5*1). Amplitudy 2L *

i Г.. _ są jedynymi amplitudami, których wartości nie

są wyznaczone pxz9Z równanie ruchu. Przyjmując, że są

- 40 -

to podstawowe wielkości w rozpatrywanym modelu, okreś-

lające wszystkie inne oraz, że częstości promieniowa-

nia CJnwi m. °i° «ależą od innych amplitud widzimy,

ze tylko dwie spośród wszystkich stałych strukturalnych

występujących w (5.5) są różne od z«rat a mianowicieС*И,т,*И ± С*И,11*1,т- Oznaczając ich sumę przezC B otrzymujemy zamiast (5*5) wyrażenie

(5.6)

Widać stąd, se z pomiarów częstości (5*6) i odpowied-

nich prawdopodobieństw przejścia otrzymujemy wartości

stałych C a* Uając częstości £Jm.tt,m> P r z7 pomocy re-

lacji Rydberga - RLtza drugiego rodzaju natychmiast

wyznaczamy wszystkie pozostałe częstości i w wyniku

otrzymujemy:Ы

^""ЯЧ"^ (5,7)

Z kolei nająć wszystkie częstości z równania ruchu w

prosty sposób możemy wyliczyć amplitudy wszystkich

przejść» W szczególności, dla amplitudy XL.,

otrzymujemy

/ (5*8)

- 41 -

VZe wzoru tego oraz podobnych dla innych amplitud łatwo

motaa zauważyć*, że bez straty ogólności można założyć,

ze wszystkie stałe strukturalne C a + 2 c C +i m k i dla

ct>0 nogą być przyjęte równe zeru, gdyż ewentual-

ną różnicę między niezerową ich wartością można zaabsor-

bować * wartościach stałych A^g et +1 m k 1 * V * e n

sposób jedynie dwie wyżej wspomniane stałe strukturalne

typu С są różne od zera i zamiast (5*8) otrzymujemy

W podobny sposób z równania ruchu możemy wyliczyć am-

plitudy innych przejść, np«:

т HmłS,»n.,młt,nvł3 V г

• 1 * т.»?, т., т.»^, гт пг^, т., м»г,т»1

, nvi in.^ > nu-t Hm»»!, młl, т»Э, w.»l

n

- 45 -

Ze wzglądu na szybko rosnącą długość wzorów dla następ-

nych amplitud nie wypisujemy ich jawnej postaci* Warto4 jednak zwrócić uwagę na podobieństwo otrzymywanych wy-

rażeń z odpowiednimi wyrażeniami dla amplitud przejścia

uzyskiwanymi w tradycyjnej mechanice kwantowej w ramach

rachunku zaburzeń* Pakt ten może tłumaczyć, paradok-

salne na pozór, zjawisko dobrej zgodności wyników ra-

chunku zaburzeń z danymi doświadczalnymi, mimo, że

szereg perturbacyjny jest zazwyczaj rozbieżny.

Do tej pory nie korzystaliśmy nigdzie z warunku

kwantowania (2.7)» Dla macierzy przejścia o strukturze

szachowej można ten warunek rozwiązać i w wyniku otrzy-

.11)15 M p }

gdzie ciąg liczb koi jest dowolnym rozłożeniem jedynki,

tsn.

przy свун każde takie rozłożenie określa względny eto-

aunek intensywności przejść* Kombinując teras (5*11)

dla «£S0 ze wzorem (5.5) otrzymujemy równanie trze-

- 44 -

ciego stopnia dla częstości &Wi,wv postaci

m (5.13)

gdzie przez cC m oznaczyliśmy wielkości

(5.14)

Z równania (5*13) widać, że mając zadane częstości

i czynniki wagowe f k możemy wyznaczyć stałe etrxikturalne

C B i na odwrót, znając C m i f . możemy obliczyć

Otrzymujemy wówczas

• l

t

(5.15)

Ze wzoru (5*15) widać, że warunkiem konsystencji teorii

jest spełnienie nierówności

C? (5.16)

dla wsaystkiech wartości ^ / 0 . Uzyskaliśmy zatem

ważny wniosek polegający na tym, ze rozwiązania problemu

- 45 -

oacylatora anharsoaicznego jest nieanalityczną funkcją

stałej sprzężenia i punktem nieanalityczności jest

właśnie wartość ^ • 0 . Wszelkie próby stosowania

rachunku zaburzeń są więc z góry skazane na fiasko»«

Łatwo można również wyprowadzić z (5*15)» ze wszystkie

częstości &)им4,т. Spełniają nierówność

> ^ " (5.17)

a więc nie mogą osiągać wartości U otrzymywaną dla

> - 0 •

Dla elementów macierzy przejścia z d>0 , ze wzo-

ru (5*7) wszystkie częstości CJm*i&t,m. aą już jedno-

znacznie wyznaczone, a więc warunek kwantowania poprzez

(5*11) wyznacza również amplitudy przejścia \^2d. +1 m

z dokładnością do czynników h.<j. С niezależnych od. m ).

Oznacza to, że wzory (5*9)» (5*10) i podobne dla in-

nych X^g + 1 m mogą być spełnione tylko dla jednego

( z dokładnością do czynnika proporcjonalności ) wyboru

stałych strukturalnych A^yi» W ten sposób częstości

CJm+ł,m. jednoznacznie wyznaczają cały zespół sta-

łych strukturalnych typu A i C.

Przejdźmy z kolei dó omówienia pozostałych stałych

strukturalnych typu В i a» Zgodnie z metodą teorii

algebr uniwersalnych, każda operacja algebraiczna wyz-

- 46 -

nacza pewien klon operacji pochodnych '"'', w szczgól-

ności, przy poiaocy ternarnej operacji mnożenia możemy

zdefiniować pochodną binarną operację mnożenia, ustala-

jąc w zadanej ternarnej operacji jeden z trzech czynni-

ków. W naszym przypadku, najbardziej naturalnym wybo-

rem tego ustalonego czynnika jest wybór stałej repre-

zentowanej przez macierz jednostkową. Przyjmiemy zatem

jako definicję pochodnej binarnej operacji mnożenia

Rozpisując ten wzór zgodnie z (5*1) i (5.2) przekonuje-

my się, że tak zdefiniowana binarna operacja mnożenia

ma identyczną postać co binarna operacja mnożenia w

mechanice kwantowej zerowego rzędu. Łatwo można zoba-

czyć, że podobna sytuacja będzie miała miejsce również

dla każdej mechaniki kwantowej rzędu N > 2 . Fakt ten

ma proste uzasadnienie w tym, że przechodząc w dowolny

zresztą sposób od N-arnej operacji algebraicznej do

binarnej operacji mnożenia tracimy informację o istnie-

niu relacji Rydberge - Ritza rzędu N-tego i jak zostało

pokazane w rozdziale trzecim, binarna operacja mnożenia

bez wykorzystywania relacji Rydberga - Kitza może mieć

tylko postać operacji mnożenia mechaniki kwantowej ssę-

- 47 -

du zerowgo* W ten sposób binarna operacja Mnożenia

rządu serowego nabiera uniwersalnego charakteru dla

wszystkich mechanik rządu H j* 1* Równocześnie fakt ten

świadczy o wyróżnionym charakterze mechaniki kwantowej

rzędu pierwszego, gdyż jest to jedyna mechanika, w któ-

rej binarna operacja mnożenia ma inną strukturą*

Aby uzyskać informacją o stałych strukturalnych

typu В i a , możemy zastosować podobną techniką co

w przypadku mechaniki kwantowej zerowego rządu* W

szczególności, pozostając przy założeniu o wyróżnionej

roli elementów 2^ ah^ i S ^ ^ możemy wybrać stałe

адоц w ten sposób, by tylko te amplitudy dawały wkład

do Hamiltonianu odpowiadającego rozważanemu oscylato-

rowi enharmonicznemu* Taki wybór stałych uwalnia nas

od kłopotów związanych ze spełnieniem relacji Bobra

i wykonując odpowiednie rachunki otrzymujemy, że w roz-

ważanym przykładzie mamy

cu,-—

gdzie csąstości 0Jmtiin, dane są wzorem (5*15)*

Powyższa analiza nie wyczerpuje wszystkich możli

wości mechaniki kwantowej drugiego rządu* W szczegół

- 48 -

noćci, dokonany prfez nas wybór stałych strukturalnych

miał jedynie zadanie ilustracyjne, aby pokazać, że

istnieje oo najmniej jeden taki wybór, przy którym

dany problem dynamiczny posiada dokładne rozwiązania»

Nie wyklućaone jest oczywiście, że w praktyce korzys-

tać powinniśmy z bardziej skomplikowanych zespołów

stałyoh strukturalnych»

6» Uogólnienie własności inercjalnych ciał w ramach

mechaniki kwantowe .1»

przedmiotem dotychczasowych naszych uogólnień

formalizmu mechaniki kwantowej była wyłącznie opera-

cja kwantowo-mechanicznego mnożenia» Okazuje się

jednak ''** , te nit jest to jedyny punkt zaczepienia

dla różnych uogólnień mechaniki kwantowej» Innego

rodzaju uogólnieniemtdopuazo2alnya przez jqtyk mecha-

niki kwantowej, jest sposób opisu własności inercjal-

nych olał* Aby uwypuklić różnicą wyników uzyskiwa-

nyoh pray tego rodzaju uogólnieniu z wynikami trady-

cyjnej mechaniki kwantowej, zakładać będziemy w tym

rozdziale tradycyjny sposób mnożenia Heisenberga,

mimo, iż z tego powodu klasa zagadnień dających eią

dokładnie rozwiązać jest bardzo wąska i w zasadzie

- 49 -

zawiera jedynie "klasyczny" problem oscylatora harmo-

nicznego* Wszystkie inne problemy można rozwiązać

jedynie w sposób przybliżony, co przy braku takich,

matematycznie poprawnych metod maskować może istotę

problemu* Dlatego też opiszemy jedynie przypadek

oscylatora harmonicznego, tym bardziej, że jest w zu-

pełności wystarczające dla naszych celów.

Problem nierelatywistycznego oscylatora harmo-

nicznego jest określony poprzez przyjęcie dwóch zało-

żeń :

1) pęd cząstki jest liniową funkcją prędkości,

.2) siła sprężysta jest liniową funkcją miary wychyle-

nia od położenia równowagi*

Na gruncie fizyki klasycznej tego rodzaju założe-

nia mogą być zrealizowane jedynie w jeden dobrze znany

sposób. Nie jest to jednak prawdziwe w przypadku'

mechaniki Heisenberga. Uogólniając nieco tradycyjną

zasadę korespondencji możemy bowiem powyższe założenia

zrealizować w postaci

(6.1)

'••'• ^••*••• *•-**•'•• - - i 4 r

- 50 -

gdzie M i K oznaczają wielkości macierzowe opisujące

odpowiednio inercjalne własności ciał i ich własności

sprężystości, które to macierze niekoniecznie jednak

muszą być proporcjonalne do macierzy jednostkowej*

Fakt« ze wielkości te są stałymi ruchu oznacza, że

zachodzą dwie relacje konotacji

gdzie Б oznacza macierz energii, natomiast w ogólnym

przypadku nie musi zachodzić relacja

(6.4)

By nie odbiegać jednak zbyt daleko od tradycyjnej

mechaniki kwantowej w dalszym ciągu zakładać będziemy,

że relacja (6*4) jest spełniona. Wówczas wszystkie

trzy wielkości E,M i К mogą być równocześnie zrealizo-

wane jako macierze diagonalne, których wartości własne

powinny być wyznaczone z równań ruchu i ewentualnie

innych, dodatkowych związków zakładanych w tiorii.

Łatwo można ale przekonać, że samo równanie ruchu

p-F (6.5)

- 51 -

okseśla jedynie postad macierzy Z taką, te

Лпга~ ifitL (6.6)

z dowolnymi elementami Хд, zaś poziomy energetyczne

dane aą wzorem

(6.7)

gdzie К. i H. są odpowiednimi wartościami własnymi

macierzy E i M. Aby wyznaczyć ciąg liczb Хд trzeba

uzupełnić równanie (6.5) dodatkowym związkiem łączącym

elementy macierzy X z wartościami własnymi energii.

Związkiem takim jest zwykle postać Hamiltonianu* Za-

chowując własność, ze Hamiltonian jest kwadratową '

funkcją położenia i prędkości, naturalnym uogólnieniem

tradycyjnego wzoru może być wzór

(6.8)

Fodata«ia34e tufeaj postacie maoiercy V i X przekoziuje-

- 52 -

my się, że wyrażenie to nie jest automatycznie stałą

ruchu, lecz będzie nią jeśli spełniony zostanie waru-

nek

Kg * К K a ł i + \\ti*2. U lKa+Kafi)(fCm+Kgtz) (6.9)

IM** Ма

W ty* miejscu rozpoczyna się ciekawa strona omawiane-

go uogólnienia mechaniki kwantowej. Okazuje się bowiem,

że warunek (6.9) ma nie jedno lecz dwa, bardzo różne

od siebie rozwiązania* Pierwsze rozwiązanie polega

na tym, że stosunek

a

jest niezależny od indeksu n. i jego stałą wartość ze

względów wymiarowych oznaczyliśmy przez CO . Pod-

stawiając (6.10) do (6*7) widzimy,że

(6.11)

a więc tak jak w zwykłym oscylatorze harmonicznym

mimo, że wartości własne macierzy U nie są jednakowe*

Różnica między zwykłym oseylatorem a uogólnionym

staje aię widoczna dopiero w wyrażeniach dla ciągu 3L.

- 55 -

Istotnie, identyfikując diagonalne elementy (6*8) z wy

rażeniami (6*11) otrzymujemy

л " (Mat M a ł t ) <*> dla n parzy8tych>

(6.12)

Perównując te wzory z wzorami zwykłego oscylatora

harmonicznego widzimy, że w przypadku, gdy dla dużych

wartości n ciąg M n zbliża się do pewnej granicznej

wartości Ы, oba wzory przechodzą w tradycyjne* W ten

sposób tradycyjna zasada korespondencji jest spełniona

w tym samym stopniu co zazwyczaj*

Obliczając komutator macierzy prędkości z macierzą

położenia przekonujemy się, że jest on zawsze równy

macierzy diagonalnej o wartościach własnych

Przy dowolnych wartościach własnych М д i dowolnej

wartości E,, wielkości te nie są wielkościami stałymi

i dlatego tai warunek kwantowy (2*6) nie jest równo-

ważny komutatorowi i,Vf XJ w przypadku uogólnionego

oscylatora* Fakt ten ma również miejsce dla tradycyj-

nego oscylatora harmonicznego pizy dowolnej wartości

- 54 -

; , na co uwagą po raz pierwszy zwrócił

E. Wigner w 1950 r ' 1 ° ' •

Jeszcze bardziej drastyczna różnica występuje

w przypadku komutatora £p>x3 » która to wielkość

w naszym przypadku nie jest nawet macierzą diagonalną*

Warunek diagonalności tego komutatora może być spełnio-

ny tylko wówczas, gdy

n " n+2

dla wszystkich n. W tym przypadku tylko dwie wartości

właene macierzy masowej M, a mianowicie M 1 i Mg pozos-

tają różne od siebie* Fakt ten nie odbija sią jednak

ani na wartościach własnych Hamiltonianu ani tea na

średnich kwadratowych wartościach położenia, gdy* we

wszystkich wzorach teorii figuruje zawsze jedna wiel-

kość

M»Jedynym punktem teorii różniącym się od tradycyjnej

teorii jest fakt nieprzemienności macierzy masowej

z macierzami położenia czy też pędu» Nie jest jednak

łatwo podać eksperymentalne sposoby wykrycie ewentual-

nej niewspółmierzalności tych wielkości*

Przejdźmy z kolei do omówienia drugiego rozwiążą-

- 55 -

nia warunku (6*2), polegające na ty», że zamiast sto

sunku (6*10) iloczyn

(6.13)

ma być stały, niezależny od indeksu n, przy czym ozna

czenie tej stałej wartości podyktowane jest względami

wymiarowymi. Podstawiając to rozwiązanie do (6.7)

otrzymujemy

Е - С

Podobnie jak poprzednio wykorzystując postać Hamilto-

nianu (6.8) otrzymujemy wartości ciągu 3^ w postaci

oraz (6*15)

1 M \

dla nieparzystych n.

Powyższe wzory pokazują bardziej znaczącą różnicę w

stosunku do tradycyjnych wyrażeń niż to aiało siejsce

dla pierwszego rozwiązania warunku (6*9) • Ty» nie mniej

- 56 -

warto w tym miejscu zaznaczyć, że oba powyższe roz-

wiązania redukują się do znanego tradycyjnego rozwią-

zania, jeśli przyjąć stałe wartości własne macierzy

masowej oraz ^ • \ łlw •

Jeśli chodzi o komutator £p>Xj to w odróż-

nieniu od poprzedniego przypadku jest on tym razem

zawsze macierzą diagonalną o wartościach własnych

Z tych samych powodów jednaki co poprzednio, nie jest

on równoważny warunkowi kwantowania (2.6).

Wzór (6.14) pokazuje, że uogólniając pojęcie

masy w ramach mechaniki kwantowej, przy odpowiednim

doborze wartości własnych Mn, możemy w zasadzie otrzy-

mać dowolne widmo energetyczne obserwowane doświad-

czalnie. Na uwagę zasługuje tu fakt, że wynik ten

nie wymaga rozpatrywania jakichkolwiek skomplikowa-

nych postaci oddziaływania. W szczególności, przy

pomocy wzoru (6*14) można w bardzo prosty sposób

wyjaśnić jedną z ważniejszych zagadek fizyki cząstek

elementarnych, a mianowicie fakt nie występowania

w przyrodzie swobodnych kwarków* Przydatność modelu

kwarków w konstrukcji modeli silnych oddziaływań

jest dobrze znana '20' z tym jednak, że tym hipote-

- 57 -

tycznym obiektom przypisuje się klasyczne własności

cząstek swobodnych. Przypisując im możliwość zmiany

własności inercjalnych ze wzrostem stanu wzbudzenia

układu złożonego z nich, w tym przypadku możliwość

wzrostu masy inercjalnej, widać z (6.14), że główna

eząść energii wzbudzenia układu będzie wykorzystana

dla zwiększenia masy kwarków a jedynie znikoma część

tej energii wzbudzi układ jako całość. W ten sposób

dla rozbicia stanu związanego kwarków potrzebna jest

nieskończona wartość energii wzbudzenia i to tłumaczy

niewystępowanie kwarków jako obiektów swobodnych. Na

marginesie warto zaznaczyć, że idea ta jest zbieżna/21/

z modelem Johnsona opisanym w pracy ' ' , gdzie jed-

nak myśl ta nie jest jawnie zawarta.

Mankamentem powyższej wersji mechaniki kwantowej

może wydawać się fakt braku mocy przewidującej takiej

teorii. Zarzut ten upada jednak zważywszy, że każda

teoria fizyczna chociaż w jednym przypadku układu fi-

zycznego musi wykorzystywać informację otrzymywaną

z obserwacji doświadczalnej i dopiero wtedy można się

spodziewać pewnych teoretycznych przewidywań dla innych

układów fizycznych. W naszym przypadku ze wzoru (6.14-)

'dla jednego układu fizycznego danej klasy przez porów-

nanie z danymi doświadczalnymi, możemy wyznaczyć war-

tości własne M n i następnie używać tych wartości w in-

- 58 -

nych obliczeniach. W ten sposób teoria nasza będzie

miała dokładnie taką samą siłę predykcyjną jak teoria

tradycyjna*

Jest oczywistym, że powyższą doświadczalną metodę

wyznaczania wartości własnych М д można zastąpić pew-

nym dodatkowym założeniem o strukturze rozpatrywanych

obiektów* Jedną z takich możliwości, której nie można

zrealizować w ramach tradycyjnej mechaniki kwantowej

jest tzw* model bootstrapu ' ', gdzie zakłada się,

że obiekty tworzące dany stan związany mają dokładnie

takie same własności jak cały stan związany* Przyjmu-

jąc taki model możemy napisać

gdzie ze względów wymiarowych musimy wprowadzić nową,

fundamentalną stałą o wymiarze prędkości, którą zaz-

wyczaj, chociaż w pewnym stopniu dowolnie, identyfiku

je się z prędkością światła* Wówczas wzór (6*14) poz-

wala wyliczyć tzw* samouzgodnione wartości własne ma-

cierzy masowej i w wyniku otrzymujemy

Widać stąd, że w przypadku, gdy

- 59 -

to efekt zmienności masy jest znikomy i może być z grub-

sza zaniedbany* Warunek ten jest w szczególności speł-

niony dla bardzo małych częstości oscylacji i tym tłuma-

czyć można fakt| że do tej pory efekt ten nie został

doświadczalnie zaobserwowany.

Na zakończenie pragniemy zwrócić uwagą, że podejście

do problemu masy w mechanice kwantowej opisane w niniej-

szym rozdziale wykazuje pewne podobieństwo do problemu

masy w szczególnej teorii względności* Aby się o tym

przekonać wystarczy rozpatrzeć swobodny ruch cząstki

przy założeniu (6.1). Uwzględniając, że dla ruchu swo-

bodnego mamy do czynienia z ciągłym widmem energetycznym,

wzór (6*1) można zapisać w postaci

gdzie figuruje wartość masy tylko dla jednej wartości

energii, gdyż obie wielkości p i v są określone jedynie

na hiperpowierzchni E » Б '. Widać stąd równocześnie,

że dla zupełności teorii konieczne jest zadanie zależ-

ności m(E), a poprzednio Mn* Każde takie zadanie wpro-

wadza jednak pewną zmianą geometrii tej cząści przestrze-

ni, w której zlokalizowany jest rozpatrywany układ fi-

zyczny, gdyż przy zwykłej nierelatywistycznej geometrii

Galileusza masa podlega regułom superselekcji i opisane

powyżej uogólnienie nie może mieć miejsca* 0 ile dla

- 60 -

układów atomowych przybliżenie geometrii Galileusza

jest nadzwyczaj dokładne, fakt ten nie wydaje się byó

spełniony w przypadku teorii usiłujących wytłumaczyć

budowę cząstek elementarnych* Zagadnienia te wykracza-

ją jednak poza zakres niniejszej pracy.

7. Mechanika kwantowa układów niespełnia.jących

warunku kwantowania Heisenberga.

W poprzednim rozdziale spotkaliśmy się już z sytu-

acją, że dla rozpatrywanego układu fizycznego warunek

kwantowania (2*6) lub (2.7) nie może być spełniony.

Okazuje się, że zjawisko to ma znacznie szerszy zasięg

i dlatego w rozdziale tym omówimy dwie klasy układów,

dla których warunek kwantowania koniecznie musi być

zmodyfikowany •

Pierwsza klasa układów fizycznych wymagających

modyfikacji warunku kwantowania zawiera wszystkie ukła-

dy fizyczne, dla których liczba możliwych stanów jest

skończona, tradycyjny warunek kwantowania ma bowiem

w tym przypadku postać

I* %(7.1)i

k*i

- 61 -

Warunek ten nie może być jednak spełniony, gdyż zawsze

co najmniej dla jednej wartości m, lewa strona będzie

miaia wartość ujemną* Aby zrozumieć to zjawisko, roz-

bijemy sumę w (2.6) na dwie cząści

^ U l 1 Z ł <**' Х л к1 С7.2)

i przypomnimyf że warunek kwantowania wynikł z badania

reakcji układu na zewnętrzne promieniowanie* Widać więc,

że lewa strona (2*6) jest różnicą dwóch wielkości, z któ-

rych pierwsza odnosi się do procesów absorpcji promie-

niowania zewnętrznego, zaś druga odnosi się do procesów

wymuszonej emisji* Jeśli układ może istnieć w przeli-

czalnej liczbie stanów, to niezależnie od tego, w którym

stanie aktualnie się znajduje, ma on zawsze większą

a priori możliwość pochłaniania promieniowania niż jego

emisji* Dlatego też w (7*2) wyraz dodatni jest zawsze

większy od wyrazu ujemnego i całą sumę (7*2) można znor-

malizować tak, by (2*6) było spełnione* Jest natomiast

oczywistym, że w przypadku, gdy liczba możliwych stanów

układu jest skończona} fakt ten przestaje mieć miejsce,

gdyż układ będąc w wysokim etanie wzbudzenia ( w szcze-

gólności w najwyższym energetycznie stanie ) nie będzie

miał dużych szans absorpcji, lecz bęazie miał duże

możliwości różnych deekscytacji* V zależności więc od

- 62 -

tego, w którym stanie znajduje się układ, suma po lewej

stronie (7.1) będzie albo dodatria albo ujemna albo też

równa zeru* Pierwszy przypadek realizuje się wtedy,

gdy H ^ % » drugi gdy m > % , zaś ostatni

tylko, gdy N jest liczbą nieparzystą i m•• **-£- •

Wszystkie te przypadki możemy uwzględnić zapisując

zmodyfikowany warunek kwantowania (7*1) w postaci

^ J X l JftZT~m) (7.5)

gdzie £(x) jest funkcją skokową określoną przez

10

-1

dla

dla

dla

X>0x*o

Jest oczywistym, że (7*3) przechodzi w (2.6) gdy N-*o<s> .Ą ^

Modyfikacja warunku kwantowania (2*6) w postaci

(7^) jest jednak tylko pierwszym krokiem na drodze

uogólnienia formalizmu Heisenberga na przypadek układów

fizycznych istniejących tylko w skończonej liczbie

stanów. Drugim koniecznym krokiem jest modyfikacja

operacji algebraicznych, o czym można się przekonać

rozpatrując np. problem dwupoziomowego oscylatora

harmonicznego. Zakładając prawo mnożenia Heisenberga

- 63 -

otrzymujemy Hamiltonian proporcjonalny do macierzy jed-

nostkowej , co sprzeczne jest jednak z wynikiem otrzyma-

nym z równania ruchu» przewidujące} że odległość pozio-

mów energetycznych jest równa TlCJ . Ponieważ przy-

jęte prawo mnożenia ingeruje jedynie w wyrażeniu na

postać Hamiltonianu, świadczy to niezbicie o konieczno-

ści przyjęci* innej definicji tej operacji* Konkretny

kszt.ałt operacji algebraicznych zależy tu od rozpatry-

wanego problemu jaktrównież ed liczby dopuszczalnych

poziomów energetycznych* W szczególności, dla układów

dwupoziomowych niezależnie od sposotj oddziaływania,

istnieje tylko jedna możliwość zdefiniowania operacji

algebraicznych, gdyż mamy w tym przypadku do czynienia

tylko z jedną obserwowaną częstością i nie ma sensu

mówić o jakiejkolwiek relacji pomiędzy obserwowanymi

częstościami* Zatem w przypadku układów dwupoziomowych

jedyną możliwą algebrą kwantową jest skończenie wymia-

rowa algebra kwantowa zerowego rzędu opisana w rozdziale

trzecim. Jest to praktycznie jedyny praypadek stoso-

walności tej samej algebry do wszystkich możliwych

sposobów oddziaływań i stanowi dogodne laboratorium

badania natury różnych ich typów*

Inaczej sprawa przedstawia się w przypadku układów

trójpoziomowych* Ze względu na występowanie dwóch lub

trzech obserwowanych częstości możemy tu bowiem mieć

do czynienia z relacją typu Rydberga - Ritaa. W zależ-

- 64 -

ności więc od tego czy taka relacja realizuje się czy

też nie, mamy możliwość budowania teorii w oparciu

o prawo mnożenia mechaniki kwantowej rzędu pierwszego

lub zerowego»

Podobnie sytuacja przedstawia się dla układów

N-poziomowych, gdzie w ogólności może istnieć N-1

różnych mechanik kwantowych, z których niektóre mogą

być odrzucone na mocy pewnych obserwowanych symetrii

jak np. w przypadku układu 4-poziomowego odrzucić może-

my mechanikę kwantową pierwszego rzędu, jeśli macierz

przejścia ma strukturę szachową* Z treści poprzednich

rozdziałów jest jasnym, że wszystkie algebry kwantowe

z wyjątkiem szczególnego przypadku algebry-pierwszego

rzędu scharakteryzowane będą niełączną operacją mnoże-

nia* Ze względu na czysto algebraiczny aspekt uzyski-

wania rozwiązań różnych problemów dynamicznych dla

skończenie poziomowych układów fizycznych, nie wypisu-

jemy tutaj żadnych konkretnych przykładów, tym bardziej,

że z niektórymi podobnymi przykładami spotkamy się w

drugiej części .pracy poświęconej problemom kwantowej

teorii pola*

Inną klasę układów fizycznych, dla których koniecz-

nie trzeba zmodyfikować pojęcie warunku kwantowania,

stanowią układy z pewnymi wewnętrznymi symetriami prze- •

jawiająeymi się w postaci równości nieskończonej liczby

- 65 -

amplitud przejścia. Formalnie rzec biorąc, dla takich

układów można by przyjąć warunek kwantowania w postaci

(2*7)t lecz ге względu aa to, że równość amplitud

przejścia jest przejawem pewnej symetrii» fakt ten

musi się odbić również na równości wag statystycznych

tych stanów, które są równouprawnione na mocy istnie-

jącej symetrii. Dlatego zarówno (2.7) jak i (2.6t

nie mogą być* sensownymi warunkami kwantowania» gdyś

odpowiednie sumy w tych wzorach, są rozbieżne*

W części drugiej niniejszej pracy pokażemy, że

powytsza sytuacja realizuje się w przypadku kwantowej

teorii pola, góyż warunek relatywistycznej współzmien-

niczości żąda równości nieskończonej liczby elementów

reprezentujących pole. Chociaż można również podać

przykłady układów nierelatywistyczcych o podobnych

własnościach, jak wspomniane we wstępie układy o nies-

kończonej liczbie stopni swobody, rozważania nasze

ograniczany do opisu ogólnych zasad postępowania w tego

rodzaju sytuacji, traktując je raczej jako pomost po-

między metodą tej części a metodą części drugiej. Prag-

aieay w ten sposób podkreślić jedność tych dwóch metod»

wynikającą z ducha konstruowania teorii» polegającym

nie na przyjmowaniu jakichś apriorycznych postulatów,

określających matematyczną strukturę teorii lecz na

analizie możliwości istnienia konkretnych» takich a nie

innych struktur danej teorii*

- 66 -

Jest oczywistymf że jeśli nieskończona liczba ele-

mentów X ^ w klasie zbiorów (1*1) jest równa między so-

bą, to obiekty reprezentujące zespół wielkości kinema-

tycznych nie mogą być zrealizowane jako operatory w

przestrzeni Hilberta '2''. Realizację taką można cza-

sem uzyskać zastępując zbiory (1*1) zbiorami

gdzie

są rozmytymi reprezentantami danej wielkości kinema-

tycznej* Jeśli uda nam się dobrać funkcje próbne

w ten sposób, że będzie spełniony warunek

to rozmyte wielkości X m n w / będą elementami macierzo-

wymi pewnego operatora w przestrzeni Hilberta» Należy

tu jednak podkreślić, że realizacja taka nie będzie

reprezentacją algebry kwantowej, gdyż operator odpowia-

dający iloczynowi (XoT) nie jest iloczynem operatorów

odpowiadających wielkościom X i i . Mając jednak teorią

- 67 -

zrealizowaną w ten sposób w postaci zespołu operatorów

w przestrzeni Hilberta, możemy zastąpić warunek kwanto-

wania pewną zadaną postacią relacji komutacji dla tych

operatorów, jak np. w przypadku kwantowej teorii pola,

gdzie шалу do czynienia z taką sytuacją, rolą kwantowo-

mechanicznego warunku kwantowania spełnia warunek lo-

kalnej komutatywności*

Aby zobaczyć w jaki sposób w omawianej sytuacji

można sformułować problem definicji operacji algebra-

icznych) załóżmy dla określoności, że zbiór wszystkich,

stanów, równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych Z,

podzielony jest na co najwyżej przeliczalną liczbę

przeliczalnych rozłącznych podzbiorów Z ^ oraz, że

dla wszystkich wielkości kinematyczry ch mamy

(7.8)

dla m€ Z,£ i n € Z p . W ten sposób cały zespół liczb

X m n rozbity został na rozłączne klasy równoważności,

przy czym każda klasa jest określona dwoma indeksami

(oCjft )• Ponieważ równość liczb 2 ^ w danej klasie

jest przejawem symetrii istniejącej w układzie, żadna

operacja algebraiczna nie może naruszać tej symetrii,

a wiąc np. dla iloczynu XoY elementy numerowane indek-

sami z klasy Z 4, i Z A również powinny być równe*

- 68 -

Oznacza to, że stałe strukturalne we wzorze (2*1) stu»

ezą spełniać warunki

Crank5

dla wszystkich m€ Z^ i nfi ZA • Otrzymujemy zatem

gdzie

' к

(7.12)

- 69 -

fflarto w tym miejscu zauważyć, że stałe strukturalne

nie mogą posiadać tych samych własności symetrii dla

wszystkich indeksów jakie posiadają one dla dwóch

pierwszych, gdyż wówczas suma w (7.12) byłaby rozbież-

na. Fakt ten wykorzystamy w drugiej części pracy

w przypadku symetrii Lorentza.

Z powyższych wzorów ( i podobnych dla innych

operacji algebraicznych ) możemy ustalić następujące

reguły postępowania w przypadku układów o nieskończo-

nej liczbie równych reprezentatów 2 ^ :

1) Przechodzimy od pierwotnego zbioru typu (1*1) do

zbioru ilorazowego, gdzie w danej klasie równo-

ważności znajdują się wszystkie równe elementy X _ .

2) Określamy operacje algebraiczne w klasie tych

zbiorów ilorazowych.

3) Otrzymany wynik operacji algebraicznej rozszerza-

my dla zbiorów typu (1*1) przez nieskończone

powtarzanie elementu ( Х * ! ) ^ dla wszystkich m£ Z^

i n< Zp, .

Jest jasnym, że powyższe reguły mają jedynie schema-

tyczny charakter i w każdym konkretnym przypadku co^ą

ulec pewnym modyfikacjom* Warto tu również zaznaczyć,

że dla omawianej klasy układów fizycznych zmienia sii

rola dotychczas używanej argumentacji związanej z re-

lacjami typu Itydberga - ftitza, gdyż jeden i ten

- 70 -

element Z,^ towarzyszy nie jednej częstości lecz całe-

mu zespołowi częstości CJmn dla m e Z ^ i n€ Z л •

Szczegółami tego typu zajmiemy się w drugiej części,

gdzie powyższe reguły stosować będziemy do przypadku

kwantowej teorii pola*

8. Podsumowanie.

Celem pierwszej części niniejszej pracy było poka-

za<5, że oprócz tradycyjnej mechaniki kwantowej i3tnieje

wiele innych algebr kwantowych o znacznie różniących

się, strukturach* W trakcie dowodu vjykorzystywano w za»

sadzie ten sam sposób argumentacji jaki zawarty jest/2/

w oryginalnej pracy Heisehberga » Oznacza to, że

język opisu kwantowego, odkryty przez Eeisenberga ma

wiele nierównoważnych wcieleń w postaci różnych sche-

matów algebraicznych. W naszych rozważaniach ograni-

czyliśmy się tylko do takich schematów algebraicznych,

w których obok operacji dodawania występuje tylko jedna

.nieliniowa operacja algebraiczna* W zasadzie nożna by-

łoby przedłużyć ten proces uogólniania formalizmu me-

chaniki Heisenberga przez dopuszczenie dowolnego zes-

połu nieliniowych operacji, formułując ogólne kwantowe

algebry zgodnie z teorią S c - algebr '""'щ wszystkie

- 71 -

takie S t - algebry, z wyjątkiem jednej jedynej algebry

Eeisenberga charakteryzują się niełączną operacją mno-

żenia. Jak już podkreśliliśmy, brak własności łączności

jest poważną przeszkodą techniczną na drodze nadania

różnym omawianym uogólnieniom tego samego stopnia peł-

ności, jakim pochlubić się może tradycyjna mechanika

kwantowa w 50 - letnią rocznicę swego powstania* Pozos-

taje nam w tym miejscu wyrazić nadzieję, że podobnie

jak po odkryciu mechaniki kwantowej pogodzono się w fi-

zyce z koniecznością stosowania algebr nieprzesrf ennych

tak samo z czasem wejdzie w krew używanie algebr nie-

asocjatywnych. Będzie to oczywiście zależało od stopnia

rozwoju aparatu matematycznego tych algebr i nie wyklu-

czona jest możliwość, że prezentowane w tej pracy pierw-

sze zastosowanie takich algebr w fizyce będzie tutaj

czynnikiem stymulującym*

Niezależnie jednak od tego, prezentowane typy algebr

kwantowych mają istotne znaczenie dla rozwiązania pro-

blemu konsystentnego sformułowania kwantowej wersji

teorii pola opartej bezpośrednio o równania polowe*

W części drugiej pokażemy, że tzw» trudności kwantowej

teorii pola, bezskutecznie usuwane przez wielu fizyków• • •

w ciągu całfego niemal półwiecza» związane są właśnie

z faktem konstruowania tej teorii w oparciu o algebrę

Heisenberga* W okolicznościach, gdy znana była tylko

- 72 -

jedna możliwość określenia algebry kwantowej sytuacja

taka była nie do uniknięcia, zaś z chwilą przekonania

sie. o ograniczonym stopnia ogólności takiej algebry

i znalezienia innych, otwierają się zupełnie nowe,

być może nie w pełni jeszcze dające sie. dzisiaj ocenić,

możliwości.

С Z Ę S б I I .

RELATYWISTYCZNA KWANTOWA TEORIA POLA.

- 75 -

1. W a t a p.

Kwantowa teoria pola powstała ' '* jako uogólnie-

nie ni«relatywistycznej mechaniki kwantowej* Uogólnie-

nie to miało na celu stworzenie teorii spełniającej

warunek relatywistycznej współzmienniczości opisu zja-

wisk fizycznych, w których liczba cząstek elementarnych

może ulegać zmianie. Niestety już od samego początku

nie ustrzeżono się od niewłaściwego pod względem mate-

matycznycm ( a więc logicznym ) sposobu Sformułowania

tej teorii, Pragniemy tu zwrócić uwagę na trzy, do-

tychczas nie uwzględniane w literaturze, momenty tego

podejścia ilustrujące to stwierdzenie* Pierwsza nie-

konsystencja leżąca u podstaw sformułowania pierwotnej

wersji kwantowej teorii pola związana jest z zastoso-

waniem uogólnionego formalizmu kanonicznego* Formalizm

taki sił«j rzeczy jest procedurą nierelatywistyczną

i jego uogólnienie na przypadek klasycznej teorii pola

dalekie jest od jednoznaczności ' . Po drugie, każdą

z wersji formalizmu kanonicznego można stosować pod

warunkiem, że interesujące nas pola są funkcjami zada-

nej klasy i nie można automatycznie przenosić je na

przypadek dystrybucyjnych pól, z którymi mamy do czy-

nienia w teoriach relatywistycznych* Po trzecie, prze-

chodząc do porządku dziennego nad tymi zastrzeżeniami,

- 76 -

już w przypadku najprostszej teorii pola swobodnego,

gdzie Hamiltonian dany jest wyrażeniem

H= {[a\ {irwarunkita skończoności tego wyrażenia jest warunek

kwadratowej całkowalności kanonicznie sprzężonych pól

if(*) i tr(x) • Fakt ten uniemożliwia jednak interpre-

towanie wartości tych pól w każdym punkcie jako nieza-

leżnych współrzędnych uogólnionych. Warunek kwadrato-

wej całkowalności pól lokuje bowiem przypadek takiej

teorii w klasie teorii mechanicznych z jednostronnymi

więzami i dotychczas nie znana jest kompletna teoria

mechaniki kwantowej z takimi więzami ' *'•

Ha skutki powyższych nieostrożności nie trzeba

było długo czekać, gdyż w teorii pojawiać się zaczęły

tzw. rozbieżności. Potrzeba było niemal dwudziestu

lat, by znaleźć jakieś antidotum na to zjawisko. Te-

oria renormalizaćji ' ' , o której tu mowa, była jed-

nak tylko chwilowym wyjściem z trudności i wówczas

niewiele wniosła w zrozumienie przyczyn powstałej sy-

tuacji* Dopiero badania podstaw kwantowej teorii pola,

zwane niefortunnie aksjomatycznym podejściem, otworzy-

ły zupełnie nowe możliwości pozwalające zrozumieć lo-

giczną strukturę tej teorii. Powstałe w tym czasie

- 77 -

t e o r i e Wightmana '*', Lebaanna-Symanzika-Ziimermaima/7/

i Bogoliubowa ' pozwoliły na nowo sformułować i roz-

wiązywać problemy kwantowej teorii pola w sposób ma-

tematycznie poprawny. Na gruncie tych teorii powstało

w ostatnich latach tzw. konstruktywne podejście do

kwantowej teorii pola, celem którego jest konstrukcja

modeli teorii pola w oparciu o modyfikacje pierwotnej,

kanonicznej wersji teorii pola* Mimo sukcesów tego/8/

podejścia pozostało jeszcze zbyt wiele nierozwiąza-

nych problemów* by można było traktować kwantową teorię

pola jako w pełni rozwiniętą teorią*

Jednym z najważniejszych, nierozwiązanych dotąd

problemów, jest problem określenia iloczynu wielkości

polowych. Problem ten ma istotne znaczenie dla sformu-

łowania problemu równań ruchu czy też równań polowych

w kwantowej teorii pola. Zgodnie bowiem z tradycją,

każdy dział fizyki teoretycznej jest uważany za komplet-

ny dopiero wówczas, gdy można wszystkie wyniki uzyskać

z pewnej liczby podstawowych równań ruchu, więc brak

takiego elementu w kwantowej teorii pola byłby niezgod-/Q/

ny z duchem jednolitości metodologii fizyki ' .

Jedynym znanym sposobem postawienia problemu ilo-

czynu wielkości polowych jest tzw. rozwinięcie Wilsona' '/11/

mające swe źródło w dawnej pracy Yalatina . W me-

todzie tej korsysta się z faktu, że iloczyn dwóch pól

- 78 -

w różnych punktach, czasoprzestrzeni jest dobrze okres»

loną wielkością i w lokalnych teoriach przedstawia pe-

wien bilokalny operator, który dla bliskich punktów

może byó przedstawiony jako kombinacja liniowa lokal-

nych operatorów ze współczynnikami będącymi funkcjami

uogólnionymi, mającymi swe osobliwości dla pokrywają-

cych się punktów. Wydzielając więc w pewien sposób te

osobliwości można w granicy pokrywających się punktów

otrzymać pewne dobrze określone operatory, które z de-

finicji przyjmowane są za wielkości reprezentujące

iloczyn pól* Metoda taka/ sprawdzona w ramach rachun-

ku zaburzeń '"2't nie wydaje się byó obecnie dostatecz-

nie ogólną '"*' t a w każdym bądź razie nie może się

obejść bez korzystania z teorii «normalizacji.

Celem niniejszej, drugiej części pracy jest poka-

zać, że korzystając z uogólnionych algebr kwantowych

można, w sposób stosunkowo prosty i matematycznie

poprawny, sformułować problem iloczynu wielkości polo-

wych. Fakt ten stanowi dodatkowe uzasadnienie celowoś-

ci rozważań przedstawionych w pierwszej części. 'Oczy-

wiście, końcowy wynik naszej metody jest dokładnie

równoważny wynikom uzyskanym z pomocą rozwinięcia

Wilsona, w tycL przypadkach, w których rozwinięcie to

może być stosowane. Prostota naszej metody jest jed-

nak argumentem nie do pogardzenia» Równocześnie1, me-

- 79 -

toda nasza pozwala głębiej zrozumieć algebraiczną struk-

turę kwantowej teorii pola bazującej od początku na

równaniach polowych i nie odwołuje się nigdzie do for-

malizmu kanonicznego ani też do teorii renormalizacji*

Zakres jej stosowalności wykracza więc poza klasę teorii

kanonicznych*

2. Przejście od klasycznej teorii pola do kwantowe .i

teorii pola*

Rozważania nasze rozpoczniemy od opisu sposobu

przejścia od klasycznej do kwantowej teorii pola* Ce-

lem tego opisu jest pokazać, że przejścia tego można

dokonać nie opierając się na żadnej analogii struktury

matematycznej kwantowej teorii pola ze strukturą kon-

kretnej mechaniki kwantowej* Ewentualne analogie wpro-

wadzać będziemy dopiero w trakcie wykładu tylko wówczas,

gdy można je rzeczywiście wprowadzić.

Przez klasyczną teorię pola rozumieć będziemy teo-

rią, w której wszystkie zjawiska mogą być opisane pew-

nym zespołem funkcji ifecOC określonych w czterowymia-

rowej czasoprzestrzeni i spełniających nieliniowe rów-

nania falowe-typu

- 80 -

gdzie prawa strona jest zadaną funkcją zmiennych polo-

wych. Oczywiście, równania falewe tego typu opisywać

mogą wiele różnorakich procesów fizycznych i dlatego

konieczne jest wyspecyfikowanie jaką klasą procesów

chcemy opisywać równaniem typu (2.1). Jest to ważny

moment teorii, gdyż w zależności od tego czy równania

te opisują makroskopowe zjawiska falowe czy też zjawis-

ka falowe w świecie cząstek elementarnych,różne będą

dodatkowe założenia przyjmowane w trakcie rozwiązywa-

nia tych równań a nawet sam sposób wykonywania operacji

występujących w nich. Dlatego też od razu założymy, że

pola Ш4ОО opisywać mają pewien zespół cząstek elemen-

tarnych* Obszary czasoprzestrzeni, w których "ф^М

stają się osobliwe mogą byó interpretowane jako miejs-

ca lokalizacji tych cząstek i w takim obrazie nielinio-

we funkcje po prawej stronie (2.1) opisują różnego ro-

dzaju oddziaływania między cząstkami, które są przeno-

szone przez pola U^(x) •

Każdy zespół cząstek elementarnych, opisywany

polami ^4,0$ , charakteryzuje się pewną wartością cał-

kowitego czteropędu Pu. i w ogólnym przypadku będzie-

my więc mieć" do czynienia z całą klasą rozwiązań (2.1)

w zależności od wartości tego czteropędu. Każde takie

rozwiązanie może byó zapisane w postaci

ЛЛ (2.2)

- 81 -

gdzie funkcje \fjj№ opisuje konkretną sytuacja zacho-

dzącą » dasys zespole cząstek z caikov/itya с zt er opadem

P u, • Hależy tu jednak podkreślić istotną różnicą

między połaai łP^fa) a ewentualnymi funkcjani falovvy-

mi zespołu cząstek w rozumieniu mechaniki falowej» Przy

przyjętym polowym sposobie opisu zjawisk funkcje v ^ ^ W

są natężeniami pól wytwarzanych przez obecne cząstki

i zawierają jedynie niejawną informacją o współrzędnych

tych cząstek*

Dla dowolnego równania polowego (2.1) przy ro2s?4d-

nych założeniach, o postaci pól, możemy przejść do całki

Fouriera postaci

(2.3)

i przerzucić problem znalezienia rozwiązań (2*1) na

problem znalezienia funkcji ^#-p(*2) • Jedynie w przy-

padku, gdy rozważany zespół cząstek składa się doki: :-

nie z jednej cząstki, funkcje »& ТО0 są stały-i, zaieć-

пуш. od P i niżej przedstawione rozważania ŁUSII ulec

pewnym, nodyfikacjoa ' *' . Problemem tym zajmieniy sią

w rozdziale trzecim*

Powyższy sposób postępowania jest typowo klasycznym

sposobem polowego opisu oddziaływań między cząstkaroi.

Aby przejść do kwantowego opisu zauważmy przede wszyst-

- 82 -

kim, że równoważny zasób informacji o opisywanym ukła-

dzie jest zawarty w zbiorze typu

gdzie \fayl0 są funkcjami z (2.3). Przyjmując terazdokładnie ten sam sposób reinterpretacji zbioru (2*4)

jaki został zastosowany przez Heisenberga ' 1 5' dla

układów mechanicznych możemy zastąpić zbiór (2*4) zbio-

rem typu

(2.5)

przy czym w odróżnieniu od (2.4), gdzie czteropęd Q

jest w zasadzie zmienną całkowania, rola obu cztero-

pędów P i Q jest teraz zupełnie symetryczna i oba te

czteropędy oznaczają możliwe wartości całkowitego czte-

rop?du układu* W ten sposób zastępujemy klasyczne poję-

cie pola jako pwencych funkcji, punktów czasoprzestrzeni

nowym kwantowym pojęciem pola reprezentowanego przez

zbiór pewnych wielkości/16', z których każda opisuje

zjawisko zmiany stanu pola od stanu z wartością cztero-

pędu równą P do stanu z wartością czteropędu równą Q.

Zmiana taka związana jest z procesem emisji lub absorp-

cji pewnej liczby cząstek, tak by zasada zachowania

czteropędu była spełniona*

- 85 -

Aby uprościć dalsze nasze rozważania przyjmiemy

teraz, że rozważana teoria pola jest teorią jednego

pola vO(Z) opisującą tylko jeden typ cząstek skalar-

nych o masie M. Ponieważ zarówno P jak i Q odpowiada-

ją czteropędom różnych zespołów cząstek, zaś cząstki

mogą być zidentyfikowane jako obserwowalne obiekty

jedynie wówczas, gdy stają się one asymptotycznie dla

dużych wartości czasu cząstkami swobodnymi, z prawa

zachowania całkowitego czteropądu wynika, że pędy P i

Q zawsze będą należały do zbioru

Ы(2.6)

Warunek tem odgrywa rolę warunku spektralnego rozważa-

nej teorii pola* Warto tu jednak zwrócić uwagę na jed-

ną zasadniczą różnicę między warunkiem spektralnym (2*6)

a warunkiem spektralnym zazwyczaj przyjmowanym w kwan-

towej teorii pola* Różnica ta tkwi w fakcie, że w na-

szym sformułowaniu pojawia się naturalna możliwość

konstrukcji teorii, w której maksymalna liczba pojawia-

jących się cząstek N może przyjmować dowolną wartość,

podczas gdy w formalizmie kanonicznym mamy do czynienia

zawsze z nieograniczoną liczbą cząstek. Wartość liczby

N jest uzależniona od maksymalnej wartości energii

skupionej w układzie i w realistycznych teoriach jest

- 84 -

zawsze skończona* Tradycyjny warunek spektralny z nies

kończoną wartością N jest tylko szczególnym przypadkiem

warunku spektralnego (2.6).

Elementy У&*)01 reprezentujące pole <j?(X) są

w ogólności zależne nie tylko od danych wartości czte-

ropędów P i Q, lecz również od tego z jakich jednocząst-

kowych pędów są te wartości utworzone* Aby uniknąć

więc nieporozumienia, zmienimy oznaczenie tych elemen-

tów i zamiast 1рГ?,ОЗ pisać" będziemy «f ( ...

dla

LW ten sposób rozszerzamy klasę możliwych kwantowych

teorii pola, tak by objąć nią wszystkie możliwe sytua-

cje doświadczalne.

Następnym krokiem w konstrukcji kwantowej teorii

pola jest wprowadzenie do teorii funkcji falowych roz-

ważanych zespołów cząstek* Tak jak zazwyczaj) funkcje

falowe n-cząstkowego układu tworzą n-cząstkową przestrzeń

Hilberta H^ daną przez zespolone, symetryczne funkcje

n argumentów ( będących czteropądami na danej powierzch-

ni masowej U ) spełniających warunek kwadratowej całko-

walności względem lorentzowsko niezmienniczeu miary

określonej na powierzchni masowej* Wyjątek stanowi,

- 85 -

oezywiście} zerocząstkowa przestrzeń Hilberta H ЬеДа-

ca po prostu zbiorem liczb zespolonych.*

Dysponując funkcjami falowymi wszystkich możliwych

konfiguracji cząstek, możemy przystąpić do sprecyzowa-

nia pojęcia zmiany stanu pola ze stanu opisywanego

funkcją falową V Q6 E^ do stanu opisywanego funkcją

falową ЦщбН^. Pierwszym narzucającym się opisem tego

procesu jest określenie wielkości typu

jako miary tego procesu w punkcie z. Wielkości takie

są jednak przydatne tylko dla bardzo wąskiej klasy pól

kwantowych, zawierającej jedynie te pola, dla których

wszystkie wielkości (2*7) są jednostajnie ograniczone,

tak by kwadraty bezwzględnych wartości tych wielkości

były normalizowalne, co jak wiadomo, jest konieczne

dla wprowadzenia interpretacji probabilistycznej.

W tym celu elementy <p£fy2J muszą posiadać pewne cechy

gładkości i znikania dla dużych wartości pędów. W

szczególności, dla wszystkich teorii relatywistycznych,

warunki te nie mogą być spełnione* Warunek relatywis-

tycznej niezmienniczości w teorii pola skalarnego żąda

bowiem by spełniony był warunek

- 86 -

( 2. 8 )

dla wszystkich transformacji Lorentza Л со wyklucza

znikanie elementów ifffitit] dla dużych wartości padów.

Dlatego też koniecznym jest zmodyfikowanie wielkości

(2.7)* Modyfikacją taką otrzymamy, jejli korzystając

z argumentów Bobra i Rosenfelda ' dotyczący mierzal

ności pól, zastąpimy pojęcie zmiany stanu pola w jed-

nym punkcie na pojęcie zmiany stanu w pewnym obszarze

czasoprzestrzeni* Rzeczywiście, wprowadzając przy

pomocy wzoru

(2.9)m n

uśrednione elementy reprezentujące pole, możemy przy

odpowiednim wyborze funkcji próbnych f(x), zdefinio-

wać wielkości

(2.10)

»j« IT U»

- 87 -

spełniające warunek jednostajnej ograniczoności dla

szerokiej klasy pól, w tym dla wszystkich pól spełnia-

jących związek (2.8)« Równocześnie, wielkości (2#10)

są dobrze określone nie tylko dla pól, dla których

*f(pi-*Pm.;4i"4a) s* zwykłymi funkcjami, lecz również

w przypadku, gdy są to funkcje uogólnione danej klasy

zależnej od wyboru funkcji próbnych* W ten sposób

powtórnie rozszerzamy pojęcie pola kwantowego»

Każda wielkość (2*10) określa pewną ograniczoną

formę półtoraliniową, określoną na iloczynie karte-

zjańskim B_)< Н д. Zgodnie ze znanym twierdzeniem o re-

konstrukcji ' ' у każda taka forma określa ograniczony

operator z dziedziną określenia Нд i kodziedziną IL»

Zbiór wszystkich takich operatotów może być otrzymany

z jednego uniwersalnego operatora (P({ll) określonego

w przestrzeni Focka

ы

© Ha (2.11)

tak, że ograniczenie y({fi^ na podprzestrzen H С 7ц

z kodziedziną H J J C T ^ pokrywa się z ograniczonym

operatorem określonym przez forną (2*10), przy czym

jeśli N jest nieskończone jest to nieograniczony ope-

rator, gęsto określony w Too • Operator &({{}) jest

wiec generowany przez zbiór (2*5) reprezentujący pole

- 88 -

i nosi nazwą operatora polowego» Takie wprowadzenie

do teorii operatora polowego wyraźnie wskazuje na

drugoplanowość tego obiektu» Pragniemy w ten sposób

podkreślić pierwotny charakter zbiorów typu (2#5)

reprezentujących pojęcie pola, zaś operator polowy jest

obiektem matematycznym skonstruowanym dla wygody for-

malizmu. Przydatność takiego formalizmu jest jednak

iluzoryczna, gdyż jak pokażemy niżej, operatorowa

realizacja formalizmu kwantowej teorii pola nie stano-

wi reprezentacji algebry kwantowej, określonej w kla-

sie zbiorów (2.5).

Operator polowy, skonstruowany według powyższego

przepisu, różni sią nieco od operatora polowego w zaz-

wyczaj używanym formalizmie. Pierwsza różnica polega

na tym, że nie musi to być operator określony w prze-

strzeni Toe , przy czyta dla wszystkich skończonych

wartości II, operator polowy będzie wszędzie określo-

nym operatorem ograniczonym, nie spełniającym jednak

tradycyjnego warunku lokalności w sensie lokalnej ko-

nutatywności. Nie jest uykluczone, że tak skonstruo-

wany obiekt lepiej będzie się nadawał do celów nielo-

kalnych kwantowych teorii pola, niż to ma miejsce

z tradycyjnym operatorem polowym. Druga różnica wiąże

się z tya, że operator ро1оиу ф{{$) шо&е być funkcjo-

nałem nie tylko jednej funkcji próbaej, jak to zna miej-

- 89 -

see zazwyczaj, lecz całego zbioru, zależnego oczywiście

od tego jakie funkcje próbne zostały użyte do konstruk-

cji amplitud (2.10)* Oczywiście, w przypadku, gdy sta-

le używać będziemy tej samej funkcji dla wszystkich

amplitud, operator tpii-fj) będzie identyczny ze zwyk-

łym operatorem polowym. Dlatego też, nasz operator

polowy ifiifj) ma znacznie bardziej ogólny charakter niż

operatory polowe rozważane dotychczas w kwantowej teo-

rii pola*

Ze względu na "pierwotny charakter wielkości

właśnie te wielkości powinny być wyznaczane z równań

polowych. W tym celu określimy dla klasy zbiorów (2*5)

operację O w oczywisty sposób

Df00-» {- e ( 1 Ч а ) х }i operacje liniowe

^U]^yf?Q];e t C ?~ Q ) X} (2.15)

Następnym krokiem na drodze sformułowania równań polo-

wych jest wprowadzenie w klasie zbiorów (2*5) pojęcia

nieliniowych operacji algebraicznych, pozwalających

interpretować prawą stronę równań typu (2*1)* Proble-

mem tym zajmiemy się w następnych rozdziałach. Z wyni-

- 90 -

ków tych rozdziałów będzie jasne, że tradycyjne próby

narzucania równaniom (2*1) charakteru operatorowego

eą niczym nieuzasadnione z logicznego punktu widzenia

i nic dziwnego, że prowadzą do tak ogromnyсд trudnoś-

ci* W naszym sformułowaniu, równania polowe mają

prostą postać

i zawsze są dobrze określonymi równaniami typu alge-

braiczno-całkowego dla wielkości

J>, ściśle .1ednoc»astb<»wa interpretacja nieliniowych

równań falowych»

Zanim przystąpimy do dyskusji właściwej kwantowej

teorii pola, zajmiemy się w tym rozdziale, wspomnia-

nym w poprzednim rozdziale najprostszym przypadkiem

układu złożonego tylko z jednej cząstki. Z intuicyj-

nego punktu widzenia jest oczywiste, że każda realis-

tyczna teoria opisująca taki układ musi być w pewnym

sensie teorią trywialną, gdyż w układzie tym poza

«uchem cząstki nie mogą zachodzić żadne inne nietry-

wialne procesy* Tymczasem, jak dotąd, jedynie teorie

- 91 -

z liniowymi równaniami falowymi spełniają ten postulat,

zaś wszelkie nieliniowe teorie nie są w stanie opisać

tak prostego układu* Pokażemy, że nasze podejście ' *'

pozwala spełnić to żądanie dla dowolnego równania nieli-

niowego*

Startując z funkcji falowej pojedynczej cząstki

t zapisanej w postaci całki Fouriera

^ ( p yr (3-D

gdzie

i przy zwykłej interpretacji kwadratów współczynników

hW.p)j jako miary prawdopodobieństwa tego. że cząstka

porusza się z pędem p, Zatwo można zauważyć, że dokład-

nie taką samą informacją fizyczną będziemy dysponować,

jeśli zamiast całki (3*1) stale używać będziemy zbiorów

postaci ,

(3.2)

przy czym sens warunku' normalizacyjnego będzie jasny

- 92 -

później* Taka zmiana opisu ruchu cząstek nie jest

właściwie niczym nowym, gdyż jest to prosta konsekwen-

cja pierwotnej idei de Broglie 'a ' ' » dotyczącej fa-

lowego opisu ruchu cząstek elementarnych* Podczas, gdy

przejście od schematu opartego na funkcjach falowych

(3*1) do schematu opartego na zbiorach typu (3*2) jest

jednoznaczną procedurą, twierdzenie odwrotne nie jest

ogólnie prawdziwe* Będzie ono słuszne tylko przy za-

łożeniu liniowej zasady superpozycji* Niżej pokażemy,

że dla nieliniowych równań falowych bardziej natural-

nym jest jednak przyjęcie innej zasady superpozycji.

Każda funkcja Ц>(р) określona na powierzchni

masowej M wyznacza jeden element w klasie zbiorów (3»2).

Aby móc korzystać z równań falowych trzeba określić

trzy typy operacji w klasie tych zbiorów, a mianowicie

operacją różniczkowania, operacje liniowe i prawo mno-

żenia. Nietrudno można zobaczyć, że ze względu na

fakt, iż wszystkie funkcje y(f>) zadane są jedynie na2 2powierzchni masowej p = M , operacja różniczkowania

ma tę własność, że O y W jest reprezentowane przea

"*|i*Y(P) • Podobnie Prosto można określić operacje

liniowe przyjmując, że kombinacja liniowa dy^OOłfiyJ}^

jest reprezentowana przez funkcje. cŁifŁCp.)* Ат$($. Po-

zostaje wiąc jedynie problem określenia operacji nie-

liniowych. Jest to zresztą jedyny punkt teorii, vr Jrtó-

^•"•.'••"•?i'Ć •"••""'" - ? * - V -

- 93 -

rya nasze podejście różni się od standartowego*

Zajmiemy się najpierw możliwością określenia ilo-

czynu dwóch zbiorów typu (5*2). Postępując podobnie

jak w części pierwszej, napiszemy ogólną postać funkcji

reprezentującej taki iloczyn.

(3.3)

Fo to, by tak określona funkcja reprezentowała iloczyn

misi jednak byó spełniony warunek, że po podstawieniu

po prawej stronie funkcji \fa i xfc włącznie z czyn-

nikami eksponencjalnymi, powinniśmy automatycznie otrzy-

mać czynnik e i p x. Łatwo jednak nożna zauważyć} że wa-

runku tego nie można spełnić przy żadnym wyborze funkcji

współczynnikowych a, b, с i d, gdyż po prawej stronie

w eksponencie będziemy zawsze mieć do czynienia albo

z sumą albo z różnicą dwóch czteropądów leżących na tej

samej powierzchni masowej* Z czysto geometrycznych

powodów zarówno taka suma jak i różnica nie mogą być

równe jakiemuś czteropądowi.leżącemu na tej samej

powierzchni masowej. -

- 94 -

Podobna sytuacja bądzie miała miejsce dla dowolnej

parzystej liczby czynników po prawej stronie (3»5)«

Wynika stąd, że w' rozpatrywanym schemacie nie można

określić żadnej operacji algebraicznej o parzystej

arności. Oanacza to z kolei, ze wszelkie równania typu

dla których

nie mogą byó* intepretowane jako równania falowe opisu-

jące ruch jednej cząstki»

Sytuacja ulega jednak zmianie dla operacji alge-

braicznych o nieparzystej arności, gdyż w tym przypadku

w ogólnej postaci takiej operacji

Г W- Й ln<- W')%%) • •1Г o a

można tak dobrać współczynniki A(p,q 1,...q 2 n + 1), że

wstawiając do tego wyrażenia funkcje W;{<ll) włącznie

z czynnikami eksponencjalnymi możemy spełni<5 warunek,

by otrzymane wyrażenie było stowarzyszone z właściwym

- 95 -

czynnikiem eksponencjalnym* W szczególności, łatwe

można sprawdzić, że postępując w ten sposób dochodzimy

, do następującej definicji funkcji reprezentującej nie-

parzystą potęgę zbioru reprezentowanego przez funkcję

0.6)

gdzie N y ma postać taką jak w (3*2). W ten sposób

uzasadniona została potrzeba wprowadzenia warunku nor

malizacyjnego w 0.2)«

Dysponując definicją nieparzystych potęg, możemy

rozwiązać dowolne równanie (3.4), dla którego

Rzeczywiście, równania takie przy definicji (3*6)

stają się jednorodnymi, liniowymi równaniami względem

i mają postać

Widzimy więc, że nie zerowe rozwiązania y(f>) istnieje

tylko wówczas, <gdy

(5.8)

- 96 -

co może być traktowane jako sposób oznaczania masy

cząstek z danego równania falowego* Równania falowe

nie wyznaczają przy tym kształtu funkcji y(p) co, jak

łatwo zauważyć^ jest poprawną eachą przedstawianego

podejścia. Rzeczywiści*, przy statystycznej interpre-

tacji łifYft)) jako prawdopodobieństwa tego, że cząstka

porusza si« z padem p, wielkość ta jest określona przez

warunki początkowe realizowane przez źródła cząstki

i nie może oyó w żaden sposób ograniczona przez równania

ruchu. Oczywiście| w ten sposób teoria jest niekomplet-

na i dlatego też koniecznym jest poszukiwanie innych

schematów wyznaczających własności cząstek, które w jaw-

ny sposób zawierać będą elementy opisujące akty tworze-

nia tych cząstek. Jednym z przykładów takiego schematu

jest właśnie kwantowa teoria pola*

Warto tu również zauważyć, że w powyższym schemacie

ka-tae nieliniowe równanie falowe jest równoważne pewne-

mu równaniu ideina - Gordons z masą M daną przez (3*8)*

Jest to oczywiście wynikiem jednocząstkowego charakteru

rozważanego układu fizycznego. Caiy powyższy formalizm

w istotny sposób opiera się na tym fakcie i nie może

być przeniesiony na inny rodzaj zjawisk falowych.

Znając rozwiania danego równania falowego możemy

sformułować problem superpozyji tych rozwiązań, żąda-

jąc by superpozycja rozwiązań również by>a rozwiązaniem

tego samego równania. Żądanie to uzasadnione jest tym,

' ii-1.-:-•,_.<•-у. - ...х*1 ---^

- 97 -

że pomiędzy procesami zachodzącymi w przyrodzie a roz-

wiązaniami równania opisującego te procesy istnieje

jedno-jednoznaczna odpowiedniość, a ponieważ fizyczna

superpozycja jest realnym procesem wiąc musi być rów-

nież rozwiązaniem równania* Ponieważ każde rozwiązanie

jest scharakteryzowane daną wartością czynnika norma-

lizacyjnego N y , którego wartość wyznacza z kolei

masą cząstki, to w rozważanym schemacie można superpo-

nowaó tylko rozwiązania z tą samą wartością N , przy

czym superpozycja znowu musi mieć tą samą wartość czyn-

nika normalizacyjnego* Okazuje się, że to żądanie jed-

noznacznie wyznacza sposób superpozycji dając wynik

(3.9)

Ш-L*—fji—)

gdzie

(3.10)

Łatwo można zobaczyć, że tak określona zasdda superpo-

zycji ma oprócz tego dwie ciekawe własności. Pierw-

sza własność polega na tym, że jeśli funkcje Yi i 'Vi.

nie pokrywają się w sensie iloczynu skalarnego 0*10)

л ' •''""'*'•- •'--'••'-'*• •••.r-"-44<-'-'-.-i-.J*il v ".I.V-J - •

- 98 -

to wzór (3»9) przyjmuje postaó

a wiąc taką samą jak w zasadzie liniowej superpozycji.

Drugą własnością wzoru 0.9) jest to, że superpozycja

danego rozwiązania "ty z samym sobą daje w wyniku W •

4. Kwantowa teoria pola w .jednocząstkowym przybliżeniu.

Dyskusją problemów kwantowej teorii pola rozpocz-

niemy od rozpatrzenia najprostszej sytuacji jaką jest

kwantowa teoria pola w tzw. jednocząstkowym przybliże-

niu. Ma to na celu zarówno zorientowanie się w przy-

datności naszego podejścia jak również porównanie z wy-

nikami poprzedniego rozdziału.

Podkreśliliśmy już w rozdziale 2, że zbiór wszyst-

kich możliwych wartości czteropędów P i Q dla rozpatry-

wanego układu musi odpowiadać realnej sytuacji doświad-

czalnej. Jeśli wiąc z góry wiemy, że całkowita energia

skoncentrowana w układzie nie pozwala wyprodukować dużą

liczbą cząstek, możemy fakt ten wykorzystać zakładając,

że zbiór (2.6) nie zawiera elementów z dużą liczbą

jednocząstkowych padów. Upraszcza to w pewnym stopniu

- 99 -

teorię i możliwość przyjęcia tego rodzaju założenia

jest również jedną z zalet omawianego podejścia»

Najprostsza sytuacja realizuje się oczywiście dla

niskoeaergetycznych układów, gdy wartość maksymalnej

energii pozwala na obecność co najwyżej jednej cząstki*

Podobnie jak w poprzednim rozdziale oczekujemy tu, że

teoria będzie trywialna, a w każdym bądź razie powinna

być jawnie rozwiązywalna* Na dwóch szeroko stosowanych,

przykładach teorii typu Хф i Л Ф pokażemy, że

tak jest rzeczywiście* Warto tu porównać ten aspekt

naszego podejścia z tradycyjnym podejściem, gdzie fakt

ten nie ma miejsca*

\'I podobny sposób można kontynuować dyskusję rozwa-

żając kolejno teorie w dwucząstkowym, trzycząstkowym,

itd», przybliżeniach* Jednak stopień złożoności poja-

wiający się już w dwucząstkowym przybliżeniu, wymagają-

cy rozwiązania pewnych równań całkowych, nie jest o wie-

le mniejszy niż dla teorii z dowolną maksymalną liczbą

cząstek* Dlatego też, począwszy od następnego rozdzia-

łu, przejdziemy od razu do dyskusji najogólniejszego

przypadku*

W rozpatrywanym przykładzie, zbiór spektralny (2*6)

przyjmuje prostą postać

.. 100 -

zaś zbiór (2.5) reprezentujący pole redukuje się do

zbioru zawierającego tylko cztery typy elementów :

element \f00 opisujący próżniową wartość średnią pola;

elementy tpOx&~Ł^* * ( ^ й * ^ opisujące przejś-

cia od stanu próżni do stanu jednocząstkowego z pędem p

i odwrotnie oraz element *ptf(f>) opisujący średnią war-

tość pola w stanie jednocząstkowym z pędem p. Oczywiś-

cie, na mocy niezmienniczości względem transformacji

Lorentza? wielkości \f0± , y40 i \fĄi są funkcjami

jedynie niezmienników utworzonych z czteropędu p. Po-

nieważ wszystkie te niezmienniki są w tym przypadku

stałe, więc mamy do czynienia ze stałymi elementami

reprezentującymi pole u?(*) • Elementy te możemy zrea-

lizować w postaci pewnego operatora działającego w prze-

strzeni Focka Ti danej przez

^ Л Х (4.2)

i jawna postać tego operatora dana jest wzorami

(4.3)

U 0 + \f4t

gdzie f jest funkcją próbną z klasy funkcji całkowal-

nych z kwadratem, zaś

jest dowolnym elementem przestrzeni T^ • Tak okreś-

lony operator nie może oczywiście spełniać warunku lo-

kalnej komutatywności, co wiąże się z przyjętym przybli-

żeniem skończonej liczby cząstek. Warunek lokalnej

komutatywności może być jednak spełniony dla średniej

próżniowej komutatora J}f(ł)f^f(9)j i łatwo można

przekonać, że w tym celu potrzeba i wystarcza, by

(4.4)

>Aby móc rozwiązać równania polowe i w ten sposób

uzyskać informację o elementach reprezentujących pole,

musimy w klasie zbiorów tych elementów wprowadzić ope-

racje algebraiczne. Rozumując podobnie jak w części

pierwszej, łatwo można się przekonać, że jedynym sposo-

bem wprowadzenia takich operacji jest sposób analogiczny

do sposobu mechaniki kwantowej zerowego rzędu. Startując

z ogólnej postaci ilocrynu dwóch pól danej wzorem

V "

- 102 -

można się przekonać, że warunki przemienności potęg mogą

być spełnione tylko wówczas, gdy

C 4 # 6 )

Mając określone prawo mnożenia wielkości polowych,

możemy przystąpić do rozwiązywania różnych równań polo-

wych. Dla przykładu podamy wyraki dla dwóch często uży

wanych teorii typu }цО i

Teoria

- юз -Fizycznie sensowne rozwiązanie istnieje tylko dla gór-

nego wyboru znaków, o ile spełniona będzie nierówność

Nierówność ta może być traktowana zarówno jako ograni-

czenie dla możliwych wartości A jak i /ł/b*/8* i wyni-

ka z niejy że dla bardzo dużych wartości stałej sprzęże-

nia A prawdo podobieństwo kreacji i anihilacji cząst-

ki jest bardzo małe* Dla porównania przypomnijmy, że

w kwantowej teorii pola zazwyczaj przyjmuje się stałą

normalizację amplitudy ifa co, jak pokazuje powyższa

nierówność, jest źródłem pojawiania się ograniczeń na

wartość stałej sprzężenia*

Teoria

W tym przypadku istnieją dwa różne rozwiązania

równania polowego» Pierwsze rozwiązanie ma postać

i istnieje dla dowolnych dodatnich wartości stałej

sprzężenia, zaś ujemne jej wartości są ograniczone nie

równością

- 104 -

pokazującą istnienie związku między normalizacją ampli-

tudy lf<H a możliwymi wartościami stałej) sprzężenia*

Drugie rozwiązanie równania polowego istnieje tyl-

ko dla ujemnych, wartości stałej sprzężenia z przedziału

i ma postać

W odróżnieniu od pierwszego rozwiązania, maksymalnaA

wartość H jest ograniczona od góry wartością

co może świadczyć o możliwości istnienia dla teorii

etanów związanych*

Oprócz powyższych rozwiązań istnieją również izme

rozwiązania, które jednak nie spełniają warunku lokal-

ności (4*4). Wszystkie one odpowiadają zerowej wartoś-

ci masy H*

- 105 -

5» Teoria pola swobodnego.

Dyskusję problemu określenia operacji algebraicz-

nych dla lokalnych kwantowych teorii pola rozpoczniecy

od rozpatrzenia najprostszego przypadku takiej teorii,

jakim jest przypadek pola swobodnego* Jest to zresztą

jedyny przypadek teorii, w której rozwiązania równań

polowych można otrzymać bez wprowadzenia jakiejkolwiek

struktury algebraicznej w klasie zbiorów (2.5) repre-

zentujących wielkości polowe*

Zgodnie z tym co powiedzieliśmy w rozdziale dru-

gim, równanie polowe w rozpatrywanym przykładzie ma

postać

(5.1)

skąd wynika» że elementy zbioru reprezentującego pole

swobodne mogą być różne od zera tylko wówczas, gdy

(5.2)

Oznacza to, że jeśli nie chcemy wprowadzać żadnych do-

datkowych ograniczeń na pędy jednocząstkowe tworzące

с zt er opady P i Q, musimy przyjąć, że masa cząstek M

jest równa m oraz, że elementy reprezentujące pole

- 106 -

swobodne są różne od zera tylko w dwóch przypadkach*

W pierwszym przypadku, jeśli P jest elementem zbioru

(2*6) utworzoiym z n padów jednocząstkowych, wówczas

Q musi być elementem tego zbioru utworzonym z n+1

pędów jednocząstkowych z tym, że n spośród nich są

takie same jak pady wchodzące w skład czt er opadu P.

Drugi przypadek polega na odwróceniu roli czteropądów

P i Q* Oznaczmy te dwa typy elementów pola swobodne-

go przez *f(fH^fkLm

łfH.-/>n!tfnu) i <р(ри.рЛ))раи;1Ъ,..-рп)

odpowiednio* Elementy te, zgodnie z treścią rozdziału

drugiego, wyznaczają dwie półtoraliniowe formy okreś-

lone odpowiednio na iloczynach kartezjańskich H X

JL Н ^ Х H

n według wzorów

7*

- 107 -

Formy te bądą wzajemnie sprzężonymi formami jeśli bidzie

spełniony warunek

Zbiór wszystkich takich form półtorałiniowych generuje

w sensie rozdziału drugiego pewien gęsto określony opera-

tor liniowy w przestrzeni Pocka ir&> , nazywany operato-

rem polowym* Jego jawna postać dana jest wzorem

..fr.pj (5,б)

ł \ & if (fL-'-fnj ft»"

gdzie daszek nad danym pędem oznacza, że pęd ten powi-

nien być opuszczony. Operator (5»6) będzie symetrycsr^n

operatorem jeśli warunki (5»5) są spełnione.

Do tej pory, nieznikające elencnty reprezentujące

pole swobodre były zupełnie dowolne i w szczególności

część z nich zaożo znikać na mocy dodatkowych załośsń.

Jeśli natomiast zażądamy, by operator polov/y był opera-

- 108 -

torem lokalnym, to proste obliczenia pokazują^ że musi

zachodzić związek

- 1 rui ^ >(5.7)

i dodatkowo wszystkie funkcje próbne używane do rozmy-

cia różnych elementów polowych muszą być takie same.

W ten sposób, lokalne pola swobodne są reprezentowane

przez jeden jedyny niezależny element ifi0 =. opi-

sujący proces zmiany stanu pola od stanu próżni do

stanu jednocząstkowego. Na mocy skalarnych własności

rozważanego pola, element ifĄ0 jest stałą niezależną

od wartości pędu stanu jednocząstkowego i wartość tej

stałej może być wyznaczona z dowolnego warunku norma-

lizacyjnego*

Reasumując powyższą konstrukcję pola swobodnego

widzimy, że warunki relatywistycznej niezmienniczości

i lokalnej komutatywności implikują równość nieskoń-

czonej liczby elementów reprezentujących pole. Dzie-

ląc zbiór typu (2*5) dla pola swobodnego przez taką

relację równoważności, otrzymujemy zbiór ilorazów?,

który na mocy (5*7) jest identyczny ze zbiorem repre-

zentującym nierelatywistyczny oscylator harmoniczny.

Opierając się na procedurze opisanej w rozdziale

- 109 -

siódmym części pierwszej, wykorzystamy obecnie ten fakt

dla definicji potęg pola swobodnego. Zania do tego

przystąpimy, dusimy najpierw zadecydować w jakiej kla-

sie zbiorów typu (2*5) chcemy te operacje algebraiczne

określić* Gdyby klasa ta zawierała tylko zbiór repre-

zentujący pole swobodne, to każda operacja algebraiczna/21/

byłaby operacją trywialną co, jak wiadomo ' , ma zaw-

sze miejsce dla jednoelementowych klas* Nietrudno moż-

na się przekonać, że dla naszych celów wygodną klasą

zbiorów typu (2*5); zawierającą zbiór reprezentujący

pole swobodne, jest klasa zbiorów, dla których niezni-

fcająeymi elementami są elementy

( 5- 8 )

gdzie ip A są stałymi, niezależnymi od pędów występu-

jących po lewej stronie wzoru (5.8). Dzieląc każdy taki

zbiór przez klasę równych elementów, otrzymujemy klasę

zbiorów ilorazowych identyczną z klasą zbiorów genero-

wanych przez potęgi zbioru reprezentującego nierelaty-

wistyczny oscylator harmoniczny, pod warunkiem, że po-

tęgi te są obliczane zgodnie z uogólnionym prawem mno-

żenia mechaniki kwantowej pierwszego rzędu* W części

pierwszej pokazaliśmy, że każde takie prawo mnożenia

jest sparametryzowane wartością energii stanu podsta-

wowego oscylatora harmonicznego. W procesie przejścia

- 110 -

od pierwotnego zbioru reprezentującego pole swobodne

do zbioru iloi.izowego identyfikujemy pole swobodne z

układem równow ..żnym nieskończonej liczbie oscylatorów

harmonicznych, a zatem jedynym konsystentnym prawem

mnożenia, odpowiadającym rozważanej sytuacji, jest pra-

wo mnożenia odpowiadające zerowej wartości energii sta-

nu podstawowego. Potęgi macierzy osoylatorowej X,

obliczone zgodnie z takim prawem mnożenia, jak to zos-

tało pokazane w -części pierwszej, są identyczne z upo-

rządkowanymi potęgami Y/icka'Ł . Zbiór reprezentujący

г л г będzie więc identyczny ze zbiorem ilorazowym

reprezentującym k-tą potęgę pola swobodnego. Zgodnie

z procedurą opisaną w rozdziale siódmym części pierw-

szej, elementy zbioru typu (2.5) reprezentującego k-tą

potęgę pola swobodnego otrzymamy przez nieskończenie

wielokrotne powtarzanie elementów zbioru ilorazowego

reprezentującego tę potęgę, a więc

(5.9)

dla dowolnych pędów jednocząstkowych* Konstruując ope-

rator polowy z tego zbioru elementów w identyczny spo-

sób, jak to zrobiliśmy dla samego pola swobodnego, nie-

trudno się przekonać, że zbiory o elementach (5.9) zaw-

sze generują zaz\7yczaj używane uporządkowane iloczyny

- 111 -

Wieka operatora pola swobodnego* Fakt ten w jednoznacz-

ny sposób potwierdza poprawność naszego podejścia. War-

to tu jednak zwrócić uwagę na to, ze wynik ten został

uzyskany bez konieczności dokonywania procedury nieskoń-

czonych renormalizacji. Równocześnie z powyższego po-

dejścia jasno wynika^ że uporządkowane iloczyny Wieka

są naturalnym, pierwotnym sposobem określenia iloczynu

operatorów polowych*

Jest oczywiste, że można byłoby wyprowadzić postać

iloczynu dwóch pół swobodnych również bez korzystania

z wyników części pierwszej i wystartować bezpośrednio

z ogólnej postaci takiego iloczynu podanej w następnym

rozdziale* Funkcje współczynnikowe występujące w tej

postaci można wyznaczyć z żądania, by iloczyn dwóch

pól lokalnych był również polem lokalnym i nietrudno

można się przekonać, że końcowy wynik jest dokładnie

taki sam co poprzednio* Jednak, gdyby w przypadku

nierelatywistycznej mechaniki kwantowej nie istniały

różne uogólnione prawa mnożenia, oznaczałoby, to, że

nieralatywistyczna mechanika kwantowa i kwantowa teoria

pola są w gruncie rzeczy dwoma różnymi teoriami* Prag-

nienie jawnego wykazania, że są to jedynie dwa różne

szczególne przypadki tej samej kategorii teorii fizycz-

nych było bezpośrednim powodem przedsięwzięcia badań

przedstawionych w części pierwszej niniejszej pracy*

- 112 -

6. Operacie algebraiczne w teorii pól oddziaływujących»

Aby móc rozwiązać nieliniowe równania polowe typu

(2.14), mtZsimy w klasie zbiorów t.2.5) określić pojęcie

nieliniowych operacji algebraicznych* Problem ten roz-

wiążemy tutaj na przykładzie dwóch takich operacji alge-

braicznych, a mianowicie binarnej operacji mnożenia

i ternarnej operacji interpretowanej jako iloczyn trzech

wielkości polowych. Motywację takiego ograniczenia sta-

nowi fakt, że powyższe dwie operacje są wystarczające

dla celów teorii z oddziaływaniem typu )ki0 i ^U>^ ,

jedynych przypadków renormalizowalnych teorii jednego

samoodziaływującego pola skalarnego w konwencjonalnym

podejściu. Oczywiście dla innych teorii musimy również

określić inne operację algebraiczne, a nawet pojęcie

dowolnej funkcji w przypadku oddziaływań niepolinomial-

nych.

W najogólniejszym przypadku iloczynem dwóch zbiorów

t.'pu (2.5) nazywać będziemy zbiór tego samego typu, któ-

rego elementy wyrażają się wzorem ?sf fi$Щ ?£(6.1)

- 115 -

f (рГ"Р^;$-"$пА) Y^'-f^;^" <gdzie funkcje współczynników© F muszą być wyznaczone

w ten sposób, by wyrażenie ponyższe było dobrze okreś-

lone dla ригелеj klasy zbiorów (2*5) i by iloczyn speł-'

niał pewne dodatkowe warunki* Oczywiście* prawo roz-

dzielności mnożenia, określonego wzorem (6*1) względem

dodawania określonego wzorem (2*13) jest spełnione*

Jednym z warunków ograniczających ogólność defi-

nicji (6.1) jest wykorzystanie analogonów kwantowo -

mechanicznych reguł Bydberga - RLtza. Okazuje się. jed-

nak) że procedura taka może być stosowana jedynie dla

bardzo wąskiej klasy pól, nie zawierającej niestety pól

relatywistycznych* Aby się o tym przekonać, załóżmy

dla określoności* że chcemy oprzeć prawo mnożenia o ana-

logon reguły Rydberga - RLtza pierwszego rzędu mającego

postać równości

(6.2)

Oznacza to* że funkcje współczynnikowe w (6*1) powinny

być różne od zera tylko na rozmaitości określonej tą

nierównością, a więc

- 114 -

i prawo mnożenia (6»1) przyjmuj- prostszą postać

Г& P (ppj^^;runi f ' (6.4)P

j 'r

Aby iloczyn dwóch relatywistycznych pól spełniających

warunek (2*13) również był polem spełniającym' ten waru-

nek, musimy funkcje współczynnikowe wybrać tak by speł-

niony był warunek

Punkcje współczynników© spełniające taki warunek nie

mogą dostatecznie szybko znikać dla dużych wartości

pędów jednocząstkowych, co jest nieodzowne dla zapew-

nienia istnienia iloczynu, określonego wzoren (6.4)

dla pól spełniających warunek (2.15), który to warunek

wyklucza możliwość znikania elementów reprezentujących

pole dla dużych wartości pędów jednocząstkowych* Dla-

tego też w konwencjonalnym podejściu do kwantowej teo-

- 115 -

rii pola, gdzie przyjiauje sią

Iloczyn a.;óeb. pól nie jest dobrze określoną т/ielkością.

Aby pokonać tą trudność występującą w definicji

iloczynu, wystarczy wybrać riożliwość pośrednią pomię-

dzy definicją (6.1) i (6.4), żądając jedynie, by fuak-

cjs współczynnikoi/e w (6.1) nie znikały tylko wówczas,

gdy spełniony jest warunek

stanowiący częśd relacji (6.2). W ten sposób, zamiast

(6.4), dochodzimy do następującej definicji dwóch wiel-

kości polowych

<6#7)TT

p

- 116 -

która niezależnie od własności całkowalności elementów

reprezentujących pola Ф i 4lf $ zostawia dostatecz-

nie dużo swobody wyboru funkcji współczynnikowych, po-

trzebnej dla zapewnienia istnienia występujących całek.

Nietrudno można się bowiem przekonać, że warunek rela-

tywistycznej niezmienniczości nie ogranicza tym razem

sposobu zależności funkcyjnej funkcji współczynnikowych

od tych zmiennych, po których całkuje się w (6.7).

Jedynym warunkiem ograniczającym dowolność funkcji

współczynnikowych w (6*7), oprócz warunków całkowalności,

jest warunek lokalności pól. W związku z tym uściślioy

pojęcie iloczynu w ten sposób, że stosować go będziemy

tylko do pól lokalnych i wzajemnie lokalnych, przy czym

w wyniku otrzymać powinniśmy też pole lokalne i lokalne

względem mnożonych pól. Oznacza to, że chcemy, by &!;•

wszystkich 'funkcji próbnych f i g, o przestrzenno podob-

nie rozdzielonych nośnikach, spełnione były następujące

warunki przemienności dla operatorów polowych generowa-

nych przez zbiory reprezentujące к0 , <Ш i

C6.8)

- 117 -

Zgodnie w wynikami pracy Borchersa '2*', warunek lokal-

nej komutatywności rozdziela klasą wszystkich pól na

rozłączne podklasy pól wzajemnie lokalnych, znanych

klasami Borchersa. Warunki (6*8) oznaczają zaten, że

ograniczamy pojecie iloczynu do jednej klasy Borchersa

i dopuszczamy możliwość, że funkcje współczynnikowe F

będą różne dla różnych klas Borchersa*

Jedyną znaną klasą Borchersa jest klasa Borchersa

pola swobodnego ' ' • Na jej przykładzie możemy sią

przekonać, że funkcje współczynnikowe służące do obli-

czenia iloczynu dwóch elementów tej klasy zalezą w zasa-

dzie od tych elementów* Sprawa jest oczywiście nieistot-

na dopóki rozpatrujemy tylko jednomiany Wieka, niezawie-

rające pochodnych pola swobodnego, gdyż w tym przypadku

za każdym razem potrzebna nam jest tylko jedna funkcja

współczynnikowa* Problem komplikuje się jednak, gdy

chcemy obliczyć iloczyn dwóch pól, z których co najmniej

jedno za-lera pochodne jednomianu Wieka* Rzeczywiście,

weźmy dla przykładu iloczyn dwóch pochodnych pola swo-

bodnego, reprezentowanych przez zbiory typu (2*5) o ele-

mentach

- 118 -i i .

Aby Y.c.ór (6.7) określał iloczyn \^J>fy) nusisy tak

dobi'.6 fu;i:-cjc v/spółczyn3ikov,-o, by całki

•; f» • 7*»J fift* • p~;f * • •

były skończone i wyznaczały pole o własnościach tran-

sfonancyjnych tensora drugiego rzędu. Yfarunlców tych

spełnić rÓY/noczcśnie nie można i dlatego nusiny w tyn

przypadku znienić definicję (6.7) przyjaując np.

^

gdzie tym razem funkcje współczynnikowe są pevniyni

tensorami utworzonymi z padów P i Ą. Otrzyiaujeny w ten

sposób popravie własności transformacyjne iloczynu

a zbieżność całek zapewniona musi być zależnością funk-

cyjną funkcji współczynnikowych od pozostałych argumen-

tów.

Z powyższego przykładu т/idać, żt w przypadku kv;an-

- 119 -

t-ov;<jj teorii pola, definicja iloczynu typu (6,7) wraz

z '...irunkaai (6.8) należy rozuaiec" jako sposób przypo-

rządkowania każdym dwóm elementom danej klasy Borcherśa

permego trzeciego elementu tej samej klasy, dla które-

go elementy zbioru typu (2*5) są biliniowymi funkcjona-

łami elementów reprezentujących mnożone czynniki» Róż-

nica pomiędzy teorio-polowym iloczynem a kwantowo-mecha-

nicznym iloczynem polega więc jedynie na tym, że w przy-

padku kwantowej teorii pola przyporządkowanie to nie

jest operacyjnie uniwersalne dla kategorii pól lokalnych,

gdyż sposób jego wykonania może zależeó od mnożonych

czynników* Nie oznacza to jednak w żadnym wypadku, że

teorio-polowa definicja iloczynu jest "gorsza" od kwan-

towo-mechanicznej definicji* Obie te definicje są rów-

nouprawnione z punktu widzenia teorii algebr uniwersal-

nych '* " a komplikacja występująca w przypadku teorii

pola jest faktem narzucanym przez naturę pól kwantowych*

W przypadku teorii pola swobodnego proces znadywa-

nia funkcji współczynnikowych służących do obliczania

odpowiednich iloczynów może być z łatwością wykonany

o czym była już mowa w poprzednim rozdziale* Natomiast,

w przypadku pół oddziaływujących sprawa jest o tyle

skomplikowana, że nie znamy konkretnej postaci elenentów

reprezentująoych te pola* Dlatego , aby wyjść z tego

impasu musimy ograniczyć naszą dyskusję do niżej opisa-

nej procedury*

- 120 -

ff najogólniejszym przypadku, zbiór (2.5) reprezen-

tujący dane pole generuje w sensie rozdziału drugiegoer*

pewien operator w przestrzeni Focka foa dany wzorem

о»/ J*l -П.

(6.9)

pod warunkiem, że nieskończona suną w tym wyrażeniu

jest zbieżna* Warunek ten będzie spełniony jeśli ogra-

niczymy obszar określenia tego operatora do gęstego pod-

zbioru przestrzeni To? złożonego z wszystkich wektorów

o skończonej liczbie niezerowych składowych. Dosyć żmud*

'' ne rachunki pokazują, że koniecznym lecz nie wystarcza-

jącym warunkiem lokalności pola (6.9) jest spełnienie

związków

gdzie ipo1 i \CĄ0 są elementami opisującymi przejścia od

stanu próżni do stanu jednocząstkowego. Warunki (6.10)

wyczerpują jedynie kombinatoryczną i ąść warunku lokal-

ności i dzielą cały zbiór elenentów reprezentujących

- 121 -

pole из d a rozłączne podzbiory ele:::ent6w redukoiralzych

przy рошосу zbioru (6.10) i reszty eler.~yr:~&:i r.iir^luko-

valnych, opisujących ziaiany stanć.y pola, którym towarzy-

szą zmiany stanów wszystkich cząstek. Ponieważ rozpa-

trujemy tylko pola lokalne oznacza to, że można zredu-

kować zbiór elementów reprezentujących pole do obioru

elementów nieredukowalnych.

Aby spełnić pozostałą część warunku lokalności

koniecznym jest, by wszystkie nioredukov;alne elementy

z tą samą wartością оС+Л były dane w postaci

( 6 # 1 1 )

gdzie Rn(x^,.««xn) tworzą pewien ciąg dystrybucji.

Korzystając z (6.10) i (6,11) wzór (6*9) przyjmuje

postać rozwinięcia Haaga pola

(6.12)

dane wzorenco

- 122 -

gdzie УуъСх) jest polem swobodnym, omówionym w poprzed-

nim rozdziale a kropki : : jak zwykle oznaczają upo-

rządkowany iloczyn Wieka* Dla lokalnego pola y>(i) ciąg

dystrybucji RJJCX,,...*^) musi być tak dobrany, by wyra-

żenie

(6.14)

znikało dla przestrzenno-podobnych x-y» We wzorze tym

przyjęliśmy następujące oznaczenia:

2)

3) Jf- oznacza sumowanie po wszystkich możliwych

rozbiciach zbioru W a (w.j,...ws) na dwa rozłączne

podzbiory W R i WL, г których każdy może być pusty,

Dla otrzymania konkretnej procedury wyznaczania

ciągu dystrybucji ^(х-x^...x-s^), zawęzimy klasą roz-

patrywanych pól przyjmując, że dystrybucje te posiadają

wszystkie własności opóźnionych funkcji uogólnionych

- 123 -

rozpatrywanych w formalizmie Lebmanna - Symanzika }

Zimmermanna. Oznacza to, że ciąg dystrybucji И д (x-x.,,

gdzie

rv

2Н)лЛ(ах;+М')- (6-16)i*' d

i r(x,x1,...xn) są określone własnościami:

1) r(^,x1,***xn) są temperowanymi dystrybucjami,

2) г(х,х.. ,...эО są rzeczywiste, niezmiennicze wzglę

dem grupy Poincere i niezmiennicze względem permu

tacji zmiennych, х^,..*^,

5) nośnik r(x,x1 ,.»»xn) jest zawarty w zbiorze

gdzie 7 jest domkniętym stożkiem przyszłości, -

4) r(x,x1,...xn) spełniają równania Glasera - Łebmanna/25/Zimmermanna ' ':

- 124 -

gdzie

zaś opcmcja amputowania określona wzorem (6.16) odnosi

si^ do argunentóy/ stojących za znakiem średnika. Dla

skrócenia zapisu, dużą literą X oznaczy liŚTry zbiór

(x^,...^) dla dowolnej wartości n.

W tym miejscu warto zwrócić uwagą na ewentualny

prosty sposób wyprowadzenia równań typu (6.17) w rc.nc.ch

naszego formalizmu. Rzeczywiście, nośnik dystrybucji

(6.14) zawarty jest w domkniętym stożku świetlny:! i ko-

rzystając z metody rozbicia danej dystrybucji na dwie

cząści o zadanych własnościach nośników ' , wyrażenie

(6«14) możemy przedstawić w postaci różnicy dwóch dys-

trybucji, które będą posiadały wszystkie własności dys-

trybucji opóźnionych. Zakładając, że rozpatrujemy teo-

rią, w której pojawia się tylko jeden ciąg dystrybucji,

jest naturalnym zidentyfikować te nowe dystrybucje z ty-

mi, które już występują w (6.14) i w ten sposób otrzy-

mać równania (6»17)«

Zgodnie z twierdzeniem Glasera - Lchmanna - Zimiaor-

manna, każde rozwiązanie rótrnań (6*17) określa kwantową

teorią pola spełniającą wszystkie postulaty Wightnana.

Niestety, do tej pory nieznany jest żaden sposób otrzy-

mywania dokładnych rozwiązań tych równań i musimy się.

- 125 -

ograniczyć do metody rachunku zaburzeń. Szereg pertur-

bacyjny jest jednak rozbieżnym szeregiem, więc wartość

talciogo rozwiązania wydaje .się być problematyczna. V/

związku z tym, już od dawna wysuwana jest hipoteza, że

szereg perurbacyjny jest szorogiem asyaptotycznym i dla-

tego problem jego zbieżności jest nieistotny. Pokażemy,

że rzeczywiście tak jost jośli nieznacznie zuodyfikuje .

siq konstrukcja togo szeregu. Zanim jednak do tego

przystąpimy, zamienimy układ równań (6.17) układen rów-

nań dla kompletnie amputowanych dystrybucji r $x,j,. * .ac^)'

określonych tak jak w (6.16) z tym jednak} że operator

(dł-M 1) zastosowany jest do wszystkich zmiennych.

Dystrybucje г (х^,...^) spełniają takie samo równanie

co (6.17) i otrzymuje się je przez obustronne zastosowa-

nie operacji

do równania (6»17). Zaletą takiej procedury, jak to/27/zostało pokazane w ' " , jest fakt, że po prawej stronic

(6.17) znika wkład od dwupunktowej dystvybucji s (x,y)

co pozwala rozwinąć dogodną rekurcncyjiią procedury z a j -

dyswania kolejnych przybliżonych roz.vi zu': układu (6.17).

Asynptotyczna laatouu a\.iajdy.;a ia roswi^.aań układu

(6.17) opiojM sil na v.ybi'aaiu pcv.-.iego ci'::;:u dodatnich

funkcji fixyesaej sta?:ej syr^i-vda s, który oznaesyry

-126 -

przez

"*" (6.18)

gdzie N jest dowolne, lecz ustalone. Nie wdając się

w dyskusję sposobu wyznaczenia wartości fizycznej sta-

łej sprzężenia g, przyjmiemy, że jest to parametr okreś-

lający odchylenie rozwiązania •jputowanego układu rów-

nań (6.17) od zerowego rozwiązania tego układu odpowia-

dającego pola swobodnemu* Ciąg (6.18) nazywać będziemy/28/

asymptotycznym ' ' w otoczeniu g • 0, jeśli spełnionybędzie warunek

"0 (6.19)

dla każdego n=1,2,.».N. Aby w granicy, gdy g 9 0 otrzy

mać teorię swobodną, przyjmiemy dodatkowo, że

Ltfl <*i(<j)sO (6.20)

O dystrybucjach xA(z1,...xa) będziemy mówić, że posiada-

ją rozwinięcie asymptotyczne rzędu N w danym otoczeniu

U£ punktu g»0, gdy istnieje ciąg dystrybucji r^Cx,,».*]

taki| że

1) ^ d ^ l i r ^ j ^ ^ * ' * ^ / ^ 1 " ^ * сб#21)

- 127 -rv

dla każdej funkcji próbnej, przy czym

2)

iff Лi ~ш* ч» » ПИ »-*^^У

i

dla każdego ka1,2,*«*Nf gdzie symbol o(oCK(<ł)) oznacza

funkcję zmiennej g taką, że dla każdego £*< с

dla g g n f .

Fakt isfnienia rozwinięcia asymptotycznego dla dystry-

bucji г^Сх^.^.Хд) zapisywać będziemy w postaci

со oznacza} że

- 128 -

Aby otrzymać" konkretne wyrażenia dla rozwinięcia asym-

ptotycznego dystrybucji spcłrdajncych (6.17) nusimy

dodatkowo założy^ że ci*s asyaptotyczny funkcji A

jest multlplikctyv.-iyra ciągiem spełniającym warunok

p (6.24)

gdzie symbol U (ot^Cg))oznacza funkcję zmiennej g taką, że

Wybór rzędu rozwinięcia asymptotycznego N związc.-jy jest

ze stopniem dokładności jaki chcemy uzyskać dla rozwiąza-

nia równań (6*17)* Ze względów praktycznych musi on być

jcdnnk ograniczony do małych wartości* W szczególności,

\7ybicrając N=1 otrzymujemy, że wszystkie wyrazy po prawej

stronie (6.17) są na mocy (6.19), (6.21) i (6.24) rządu

o(oiiU)) « *icc równania (6.17) stają się w tym rzędzie

równaniami jednorodnymi dla r^x^,...^) postaci

г*(эс,у,Х) - r|(y,x,X) - 0 (6.25)

Rozwiązaniem tego równania, spełniające własności dystry

bucji xA(x1,«..xa) aa postaó

(6.26)

- 129 -€

gdzie D jest dowolnym lorentzowako niezaienniczya opera-

torem różniczkowym, działającym na zaniezme (x^x.,,*.

W odróżnieniu jednak od rachunku zaburzeń niezerowe

współczynniki tego operatora A(x1,...xn> są dowolnymi

funkcjami stałej sprzężenia g spełniające rarunek

Wybór operatora D określa typ oddziaływaniaf gdyż można

pokazać '™* t że każdemu wyrażeniu r^(x1,.»»xQ) odpowia-

da Iigranżjan oddziaływania typu

Д * Л * 0 P t C ) ^ 0 ^ 5 (6.27)

Dla przykładu, dla teorii tip i )icp operatory D są

operatorami różniczkowymi zerowego rządu i takimi, że

jedynymi nicznikającymi amputowanymi dystrybucjami

są tylko te, dla których odpowiednio n=3

Majic ustalone r^(x^,••.Хц) możemy przystąpić do

obliczenia х^Сх^,**.^) rozwiązując równania

= -ig Z i

- 130 -

Sposób rozwiązywania tego równania nie odbiega jednak

w niczym od sposobu rachunku zaburzeń i z powodu jego

obszerności powołamy się jedynie na traktat 0. Stein-

manna ' ', gdzie można znaleźć odpowiednie szczegóły.

Problem ten zresztą nie wchodzi w zakres niniejszej

pracy i dlatego przyjmiemy, że znamy jego rezultaty*

Reasumując powyższą asymptotyczną metodę znajdywa-

nia dystrybucji r^x^,...*^) a poprzez (6*11) elementów

reprezentujących dane pole, możemy przedstawić każdy

zbiór typu (2*5) w postaci teoriomnogościowej sumy

gdzie w zbiorze z numerem <ś niezerowymi elementami

są jedynie te, które są rzędu &#(%), Elementy кр0

i cp0Ł nie biorą udziału w powyższej procedurze

asymptotycznej i dlatego musimy z^seydować" do jakich

zbiorów (6.29) je zaliczyć» Wiąże się z tym również

problem i, jakiego rządu jest stała )i występująca

w równaniach polowych* Naturalnym jest przyjęcie, że

stała Л jest funkcją stałej sprzężenia g taką, że

(6.30)

Warunek ten nic nie mówi jednak jak szyi ко znika ta

- 151 -

funkcja i dlatego musimy to oddzielnie założyć. By ai©

odbiegać zbytnio od przyjętej praktyki przyjmiemy tutaj,

de

(6.31)

Element 4bi nie znika w granicy g -> 0 i dlatego możemy

napisać

- O (<f0L) (6.32)

dla wszystkich <f • 1, 2,...N« Inaczej przedstawia się

sprawa dla elementu <fa t c o można prześledzić na Jedy-

nym interesującym nas tutaj przykładzie teorii pola

z równaniem polowym

(6,35)

W najniższym rządzie rozwinięcia asymptotyczno^.*, równa-

nie to do karcza nr.m dokładnie tego samego rozwiązania

dla nieredukowalnych elementów, co teoria pola w jclno-

cząstkowym przybliżeniu, omówiona w rozdziale czwartym.

Wynika stąd wniosek, że

(6.34)

- 132 -

Mając skonstruowane zbiory po prawej stronie (6.29),

możemy wrócić do dyskusji sposobu określenia operacji

algebraicznych w lokalnej teorii pola* Przede wszystkim

jest oczywiste, że podstawiając do (6*7) elementy re-

prezentujące pola ip i у różnych rzędów wielkości

w wyniku otrzymamy zbiór reprezentujący iloczyn, który

również można przedstawić w postaci rozbicia (6*29)*

Jest również oczywiste, że rozpatrując tylko pola lo-

kalne wystarczy wyznaczyć jedynie nieredukowalne ele-

menty iloczynu, gdyż resztę elementów otrzymamy ze

związków (6.10). Ponieważ dla wyższych rzędów asympto-

tycznego rozwinięcia odpowiednie wzory można otrzymać

dokładnie w ten sam sposób, co w pierwszym rzędzie -

ograniczymy się do wypisania wzorów jedynie w najniż-

szym rzędzie. Z jednej strony, dla teorii )iy* jedyną

nieznikającą w najniższym rzędzie dystrybucją jest

г^Сх.,,^^^) a więc jedynie elementy *#(°;fo/»a) i 0»*;/fe)>z drugiej zaś strony z równania polowego (6.3) otrzymu-

jemy

(6.35)

gdzie przez Jj. i r^ oznaczyliśmy wartości występu-

jących tu całek funkcji wspóZczynnikowych. W równaniach

- 133 -

(6*35) lewe strony są znane i możemy stąd wyznaczyćwartości % i %, . Wykorzystując te wartości, noże-my skonstruować operator polowy z elementów reprezentu-jących \Do\P i w wyniku otrzymujemy

Щ j f Л Л т Д х ) ^ ) ; ф)у(ъ): (6.36)

z dokładnością do wyrazów rzędu o (<4(g)/ • Podobny wzór

otrzymujemy również i dla wyższych rzędów rozwinięcia

asymptotycznego, czego czysto rachunkowy dowód opuszcza-

my* Z wyniku tego wypływają dwa bardzo ważne wnioski;

po pierwsze, operatorowa wersja formalizmu kwantowej

teorii pola nie jest reprezentacją algebry kwantowej,

gdyż operator odpowiadający iloczynowi p£l nie jest

iloczynem operatorów odpowiadających mnożonym polom;

po drugie, iloczyn dwóch pól w punkcie x wyraża się

nie tylko przez wartości mnożonych czynników w punkcie x,

lecz zależy od kształtu tych czynników w całym obszarze

czasoprzestrzeni, przy czym miarą tego rozmycia iloczynu

jest stopień lokalizacji uogólnionych funkcji opóźnionych.

W szczególności, w pierwszym rzędzie rozwinięcia asympto-

tycznego, gdzie r^ ma postać (6*26) nie występuje zjawis-

ko rozmycia» Tłumaczy to, dlaczego w pierwszym rzędzie

rachunku zaburzeń w formalizmie kanonicznym nie występu-

ją rozbieżności. W wyższych rzędach uogólnione funkcje

- 134 -

opóźnione nie są zlokalizowane w jednym punkcie i dla-

tego w naszym urmaliźmio automatycznie występuje zja-

wisko rozmycia, które w tradycyjnym formalizmie trzeba

uzyskiwać drogą renarmalizacji np» w postaci rozwinię-

cia Wilsona. Nie należy jednak wnioskować, że w naszym

formali:' de nie występuje swoboda grupy renormalizacyj-

nej, gdyż swoboda taka pojawia się już w trakcie roz-

wiązywania równań (6.28).

Fakt, że naturalne pojęcie iloczynu dwóch pól

posiada własności rozmycia, może na pierwszy rzut oka

wydawać się dziwnym, gdyż nie występuje ono np. w przy-

padku mechaniki kwantowej, gdzie dla każdej chwili cza-

su istnieje pełny układ operatorów taki, że dowolny

operator może być przedstawiony przy pomocy tego układu

wziętego dla tej samej chwili czasu. 0 tym, że w przy-

padku kwantowej teorii pola jest inaczej świadczy cho-

ciażby postać rozwinięcia Haaga, gdzie występuje zjawis-

ko rozmycia dokładnie w tym samym stopniu, co w przy-

padku naszej definicji iloczynu* W tym miejscu posta-

wić można hipotezę, że podobnie jak w przypadku mechaniki

kwantowej niekomutatywnośó mnożenia znalazła odbicie

w postaci relacji nieoznaczoności, zjawisko występowa: a

powyższego rozmycia prawdopodobnie wiąże się z rozmia-

rami cząstek opisywanych daną kwantową teorią pola.

Podobną analizę, co dla binarnej operacji mnożenia,

można przeprowadzić również dla t er name j operacji, mno-

- 155 -

żenią, potrzebnej dla rozwiązania równania polowego

teorii ^ vp ' • Potrzeba oparcia takiej teorii na ter-

narnej operacji wynika z faktu, że wszystkie elementy

polowe ip(pŁ.. р л ; Ą..^m) o parzystej sumie m + n

są równe zeru a poprzez binarną operację vrprowadzali-

byśmy do teorii właśnie takie elementy, nie występujące

ani w równaniach polowych ani w trakcie rozwiązywania

równań (6*17)* Również i w tym przypadku ostateczny

kształt ternarnej operacji ma postr.ć

(if of oq) (4) =

z pewną dystrybucją R o własnościach opóźnionych i tyl-

ko w pierwszyw rzędzie rozwinięcia asymptotycznego nie

występuje zjawisko rozmycia* Dlatego wszystkie wnioski

podane w przypadku binarnej operacji pozostają w dalszym

ciągu słuszne*

7. Podsumowanie»

Przedmiotem dyskusji drugiej części niniejszej

pracy była algebraiczna struktura kwantowej teorii

- 156 -

pola. \7 tym celu koniecznym było znalezienie takiego

sforcuło.-uia tej teorii, które nie zakładało Ъу а prio-

ri żadnej analogii ze strukturą algebraiczną występują-

cą w przypadku mechaniki kwantowej Heisenberga. Przed-

stawiono sformułowanie kwantowej teorii pola stwarza

zupełnie nowe możliwości konstrukcji różnych modeli tej

teorii, niekoniecznie spełniających powszechnie akcepto-

wane postulaty Wightnana* W zamian tego teoria taka

bliższa jest idei Diraca głoszącej, że zadaniem fizyki

teoretycznej jest nie tyle znajdywanie idealnej teorii

lecz raczej najlepszej wersji tej teorii dopasowanej

do posiadanej informacji doświadczalnej* Realizacja

pojęcia pola kwantowego w postaci zbioru elementów typu -

(2*5) zawsze pozwala, bez naruszania konsystencji teorii,

wyeliminować elementy związane z procesami leżącymi

poza możliwościami kontroli doświadczalnej*

Jedną z najważniejszych zalet przedstawionego po-

dejścia do kwantowej teorii pola jest możliwość określe-

nia różnych nieliniowych operacji algebraicznych* Pod-

czas, gdy dyskusja możlir.ycłi algebr kwantowych zawarta

w części piervszej, miała \т pewnym stopniu charakter

akademicki, w przypadku teorii pola jest to problem

pierwszorzędnej wagi. Rozwiązanie tego problemu pozwa-

la sformułować teorię pola w oparciu o równania polowe,

co dotychczas nie było możliwe bez operowania nieskoń-

czonymi wielkościami, a więc w dużym stopniu było proce-

- 137 -

durą arbitralną* Warto równieó zwrócić uwagę na nieza-

leżność naszego sformułowania od liczby wymiarów czaso-

przestrzeni, chociaż wszystkie osobliwości spotykane

przy zmianie t.ej liczby są uwzględnione v/ trakcie roz-

wiązania równań (6*17)*

Oczywiście, wyniki przedstawione w tej pracy nie

stanowią jeszcze ostatecznego rozwiązania wszystkich

problemów kwantowej teorii pola* Stanowią one jednak

istotny krok naprzód w kierunku właściwego zrozumienia

charakteru kwantowej teorii pola* Możliwość nadania

kategorii pól kwantowych struktury algebraicznej wzbogać?

bowion aparat matematyczny, służący do badania tych teorii.

Dla osiągnięcia ostatecznego celu potrzeba jednak znacz-

nie bardziej rozwiniętych teorii algebr uniwersalnych

niż to obecnie można znaleźć w matematyce* Nie jest to

bynajmniej pierwszy przypadek takiego wyprzedzenia po-

trzeb w stosunku do istniejącego aparatu matematycznego,

czego typowym przykładem może służyć geneza powstania

teorii dystrybucji* Stanowi to jednak przeszkodę, bez

pokonania której nie można pójść naprzód w kierunku

znalezienia optymalnego formalizmu kwantowej teorii pola*

- 158 -

S p i s l i t e r a t u r y »

C Z Ę Ś C I :

1. B. d'Espagnat : Conceptual Foundations of Quantum

Mechanics, Benjamin) 1971.

2. W. Heisenberg, Z, Physik 22, 879; 1925.

3. E. Schroedinger, Ann, d. Phys, 22» 561, 489 (1926);

81, 109 (1926).

4* B, Ł. Van der Waerden, Symposium on the Development

of Physicists Conceptions on Nature, Trieste,1972.

5» G. Ludwig, Lecture Notes in Physics, No 4,1970.

6. Р. А. Ы. Dirac, Fields and Quanta 3_, 139 (1972)

7. J. H. Henkel, С A. tfzes, Phys* Rev. D8, 4430 (1974).

8. E. Kapuścik, Report INP 855/PL/PH (1973)

Acta Phys. golonica BJ5,(1974).

9. M. Born, P. Jordan, Z. Physik £4, 858 (1925).

10.H. A. Kramers, W. Heisenberg, Z. Physik 3J.,681(1925).

11.H. Bohr, D. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter,

Naturvidensk. og Mathem. Afd. 8.Haekke,I7.

12. E. Kapuścik, J. Rayski, P. Rembiessa,. Z. F^s.

( w druku)

13» A. A. Albert, Structure of algebras*, N.Y.,1939.

14.A. G. Kurosh, Lekcjii po obszczej algebrę ,Moskwa,

1973.15. H. Araki, J. Math. Phys. 1,, 492 (1961)

- 159 -

16. G. С. Wick, Phys. Rev. 80, 268 (1950).

17. Pa M. Conn, Universal Algebra, N.Y., 1965»

18. E. Kapuścik, Report INP 809/PL (1972).

19. E. Wigner, Phys. Rev. 22, 711,(1950).

20. J. J. Kokkede, The Quark Model, Benjamin,N.Y.,1969»

21. К. Johnson, Phys. Rev. D6, 1101 (1972).

22. M. Jacob, G. Chew, Strong Interaction Physics,

Benjamin,N.Y.,1964.

23. N. I. Aihezer, I. M. Glazman, Teorija Liniejnych

operatorov v Gilbertovom prostranstvie, M.1966.

С Z 9 & С Л г

W. Pock, Z. Physik 7J5, 622 (1932).

2. H. Rund, The HamiltonS- Jacobi Theory in the Calculus

of Variations, London,1966*

3* P. A. M. Dirac, Lectures on Quantum Field Theory,

N.X.,1966.

4. K. Hepp, Lecture Notes in Physics, No 2, 1969.

5. A. S. 7/ightman, Phys. Rev. ±0±, 860 (1957).

6. H. Lehmann, K. Symanzik, W. Zimmermann, Nuovo Cim.

1, 205 (1925)? 2, 425 (1955)} 6,319 (1957).

7. N. N. Bogoliobov, D. V. Shirkov, Vvedenje v teoriju

kvantovannych polej, Moskva,1957.

8. Constructive Quantum Field Theory, Lecture Notes inPhysics,No 25,1973»

- 140 -

9. P. A. M. Dirac, Physics Today, 23_, No 4, 29 (1970).

10. K. Wilson, Phys. Rev. J29_» 1499(1969).

11. J. Valatin, Proc. Roy. Soc. A225« 555? A226, 254

(1954)

12. W. Zimmermann, Am. Phys. 22» 570" (1973)»

13. S. Schlieder, E. Seiler, Comm. Math. Phys. 3J.» 137

(1973).

14. E. Kapuścik, Nuovo Cim. Letters £, 271 (1974).

15. W. Heisenberg, Z. Phye. 23_, 879 (1925).

16. E. Kapuścik, Report INP, No 859/PL/PH 1974.

17. N. Bohr, L. Rosenfeld, Kgl. Danske Vidensk,Selsk.,

Mat-fis. Medd. 12 No 8 (1933).

18. T. Kato, Perturbation Theory, Springer Verlag,1966.

19. J. Schwinger, Quantum Kinematics and Dynamics,

Ben;jamin,N.X., 1970.

20. L. de Broglie, Non-Linear Wave Mechanics, Amsterdam.,

1960.

21. P. M. Cohn, Universal Algebra, N.Y., 1965.

22. G. Wick, Phys. Rev. 80, 268 (1950).

23. H. J. Borchers, Nuovo Cim. jjj, 784, (1960).

24. H. Epstein, Nuovo Cim. 2£, 886 (1963).

25. V. Glaser, H. Lehmann, W. Zimmermann, Nuovo Cim.

6, 1122 (1957).

26. B. Ualgrange, Seminaire Schwartz No 21 (1959-1960).

27. 0. Steinmann, Lecture Notes in Physics,No 11 (1971).

28. M. A. Evgrafov, Asymptoticzeskide ocenki, П., 19б2«