Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne” IV rok ...
2
Zadania do wykladu ,,Wnioskowanie statystyczne” IV rok matematyki, specjalno´ s´ c zastosowania rach. probab. i statystyki r.a. 2010/2011, Lista nr 4 1. Udowodni´ c naste ‘ puja ‘ ce twierdzenia o estymatorach minimaksowych: (a) Je˙ zeli δ 0 jest bayesowska ‘ regula ‘ decyzyjna ‘ wzgle ‘ dem rozkladu a priori τ 0 i R * (θ, δ 0 ) ≤ r(τ 0 ,δ 0 ) dla ka˙ zdego θ ∈ Θ, to istnieje warto´ s´ c gry, δ 0 jest regula ‘ minimaksowa ‘ , a τ 0 jest rozkladem najmniej korzystnym. (b) Je˙ zeli δ n jest bayesowska ‘ regula ‘ decyzyjna ‘ wzgle ‘ dem rozkladu a priori τ n , n ≥ 1, i lim n→∞ r(τ n ,δ n )= c< ∞ oraz istnieje regula decyzyjna δ 0 , dla kt´orej R * (θ, δ 0 ) ≤ c dla ka ˙ zdego θ ∈ Θ, to istnieje warto´ s´ c gry i δ 0 jest regula ‘ minimaksowa ‘ . (c) Je˙ zeli δ 0 jest rozszerzona ‘ regula ‘ bayesowska ‘ oraz R * (θ, δ 0 )= c dla ka˙ zdego θ ∈ Θ, to δ 0 jest regula ‘ minimaksowa ‘ . (d) Je˙ zeli δ 0 jest minimaksowa ‘ regula ‘ decyzyjna ‘ , wyznaczona ‘ jednoznacznie, to δ 0 jest regula ‘ dopuszczalna ‘ . (e) Je˙ zeli regula decyzyjna δ 0 jest dopuszczalna i ma stale ryzyko na zbiorze Θ, to δ 0 jestregula ‘ minimaksowa ‘ . 2. Udowodni´ c naste ‘ puja ‘ ce twierdzenie Girshicka i Savage’a: Je˙ zeli statystyka T ma rozklad prawdopodobie´ nstwa o ge ‘ sto´ sci wzgle ‘ dem σ-sko´ nczonej miary μ postaci f (t; θ)= C (θ)e θt h(t), θ ∈ Θ= R, oraz γ (θ)= E θ (T ), to T jest estymatorem dopuszczalnym i minimaksowym funkcji γ (θ), przy zalo ˙ zeniu, ˙ ze funkcja straty ma posta´ c L(θ,a)=[γ (θ) - a] 2 /[σ 2 (θ)], gdzie σ 2 (θ)= Var θ (T ). (Wskaz´owka: zob. J.B. Wyklady ze statystyki matematycznej, str. 169-170 i 203.) 3. Niech X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) 0 be ‘ dziepr´oba ‘ z rozkladu normalnego N (m, 1), m ∈ R. Udowodni´ c, ˙ ze ´ sredniapr´obkowa X jest estymatorem minimaksowym i dopuszczalnym ´ sredniej m przy kwadratowej funkcji straty. 4. Przypu´ s´ cmy, ˙ ze zbi´or warto´ sci estymowanej funkcji γ (θ) jest przedzialem [a, b] i funkcja straty L(θ,a) ma naste ‘ puja ‘ ce wlasno´ sci: jest dodatnia dla a 6= γ (θ); przyjmuje warto´ s´ c zero, gdy a = γ (θ); dla ka˙ zdej ustalonej warto´ sci θ ro´ snie, gdy a oddala sie ‘ w kt´orymkolwiek kierunku od γ (θ). Udowodni´ c, ˙ ze wtedy ka˙ zdy estymator, kt´ory z dodatnim prawdopodobie´ nstwem przyjmuje warto´ sci spoza przedzialu [a, b], jest estymatorem niedopuszczalnym. 5. Niech X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) 0 be ‘ dziepr´oba ‘ z rozkladu o cia ‘ g lej dystrybuancie postaci F θ (x)= F (x - θ), θ ∈ R, x ∈ R, gdzie F jest rozkladem symetrycznym wzgle ‘ dem zera. Wyz- naczy´ c asymptotyczna ‘ wzgle ‘ dna ‘ efektywno´ s´ c (ARE) mediany pr´obkowej ˜ X wzgle ‘ dem ´ sredniej X dla naste ‘ puja ‘ cych rozklad´ ow F : a) logistycznego z ge ‘ sto´ scia ‘ f (x)= e -x (1 + e -x ) -2 , b) Studenta z ν ≥ 3 stopniami swobody, c) Laplace’a z ge ‘ sto´ scia ‘ f (x)= 1 2 exp -|x| , d) F (x) = (1 - ε)Φ(x)+ εΦ(x/τ ), ε ∈ [0, 1],τ > 0. (Wskaz´owka: zob. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, str. 333.)
Transcript of Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne” IV rok ...
Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne”
IV rok matematyki, specjalnosc zastosowania rach. probab. i statystyki
r.a. 2010/2011, Lista nr 4
1. Udowodnic naste‘puja‘ce twierdzenia o estymatorach minimaksowych:
(a) Jezeli δ0 jest bayesowska‘ regu la‘ decyzyjna‘ wzgle‘dem rozk ladu a priori τ0
i R∗(θ, δ0) ≤ r(τ0, δ0) dla kazdego θ ∈ Θ, to istnieje wartosc gry, δ0 jest regu la‘ minimaksowa‘,
a τ0 jest rozk ladem najmniej korzystnym.
(b) Jezeli δn jest bayesowska‘ regu la‘ decyzyjna‘ wzgle‘dem rozk ladu a priori τn, n ≥ 1,
i limn→∞ r(τn, δn) = c < ∞ oraz istnieje regu la decyzyjna δ0, dla ktorej R∗(θ, δ0) ≤ c dla
kazdego θ ∈ Θ, to istnieje wartosc gry i δ0 jest regu la‘ minimaksowa‘.
(c) Jezeli δ0 jest rozszerzona‘ regu la‘ bayesowska‘ oraz R∗(θ, δ0) = c dla kazdego θ ∈ Θ, to δ0 jest
regu la‘ minimaksowa‘.
(d) Jezeli δ0 jest minimaksowa‘ regu la‘ decyzyjna‘, wyznaczona‘ jednoznacznie, to δ0 jest regu la‘dopuszczalna‘.
(e) Jezeli regu la decyzyjna δ0 jest dopuszczalna i ma sta le ryzyko na zbiorze Θ, to δ0 jest regu la‘minimaksowa‘.
2. Udowodnic naste‘puja‘ce twierdzenie Girshicka i Savage’a:
Jezeli statystyka T ma rozk lad prawdopodobienstwa o ge‘stosci wzgle‘dem σ-skonczonej miary
µ postaci
f(t; θ) = C(θ)eθth(t), θ ∈ Θ = R,
oraz γ(θ) = Eθ(T ), to T jest estymatorem dopuszczalnym i minimaksowym funkcji γ(θ), przy
za lozeniu, ze funkcja straty ma postac L(θ, a) = [γ(θ)− a]2/[σ2(θ)], gdzie σ2(θ) = Varθ(T ).
(Wskazowka: zob. J.B. Wyk lady ze statystyki matematycznej, str. 169-170 i 203.)
3. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)′ be‘dzie proba‘ z rozk ladu normalnego N(m, 1), m ∈ R.
Udowodnic, ze srednia probkowa X jest estymatorem minimaksowym i dopuszczalnym sredniej
m przy kwadratowej funkcji straty.
4. Przypuscmy, ze zbior wartosci estymowanej funkcji γ(θ) jest przedzia lem [a, b] i funkcja
straty L(θ, a) ma naste‘puja‘ce w lasnosci: jest dodatnia dla a 6= γ(θ); przyjmuje wartosc zero, gdy
a = γ(θ); dla kazdej ustalonej wartosci θ rosnie, gdy a oddala sie‘ w ktorymkolwiek kierunku od
γ(θ). Udowodnic, ze wtedy kazdy estymator, ktory z dodatnim prawdopodobienstwem przyjmuje
wartosci spoza przedzia lu [a, b], jest estymatorem niedopuszczalnym.
5. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)′ be‘dzie proba‘ z rozk ladu o cia‘g lej dystrybuancie postaci
Fθ(x) = F (x− θ), θ ∈ R, x ∈ R, gdzie F jest rozk ladem symetrycznym wzgle‘dem zera. Wyz-
naczyc asymptotyczna‘ wzgle‘dna‘ efektywnosc (ARE) mediany probkowej X wzgle‘dem sredniej
X dla naste‘puja‘cych rozk ladow F :
a) logistycznego z ge‘stoscia‘ f(x) = e−x (1 + e−x)−2,
b) Studenta z ν ≥ 3 stopniami swobody,
c) Laplace’a z ge‘stoscia‘ f(x) = 12 exp−|x|,
d) F (x) = (1− ε)Φ(x) + εΦ(x/τ), ε ∈ [0, 1], τ > 0.
(Wskazowka: zob. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, str. 333.)
6. Udowodnic, ze dla rozk ladu F z jednomodalna‘ ge‘stoscia‘ f , symetryczna‘ wzgle‘dem zera
i spe lniaja‘ca‘ warunek: f(x) ≤ f(0) dla wszystkich x, zachodzi nierownosc
eX,X(F ) ≥ 13,
przy czym dolna granica jest osia‘gnie‘ta dla rozk ladu jednostajnego.
(Wskazowka: zob. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, str. 337.)
7. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)′ be‘dzie proba‘ z rozk ladu normalnego N(m,σ2), m ∈ R,
σ > 0. Estymatorem NW parametru σ jest statystyka
Sn =
√√√√n∑
i=1
(Xi −X)2/n.
a) Udowodnic, ze statystyka S2n jest zgodnym asymptotycznie normalnym (CAN) estymatorem
parametru σ2 i obliczyc informacje‘ Fishera I(σ2).
b) Obliczyc informacje‘ Fishera I(σ). Czy Sn jest estymatorem CAN parametru σ?
c) W przypadku, gdy m jest znane, statystyka
σ(X) =1n
√π
2
n∑
i=1
|Xi −m|
jest nieobcia‘zonym estymatorem parametru σ. Obliczyc jego ARE wzgle‘dem estymatora Sn.
8. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)′ be‘dzie proba‘ z rozk ladu wyk ladniczego Ex(λ), λ > 0.
(a) Znalezc dolne ograniczenie Cramera-Rao dla wariancji nieobcia‘zonego estymatora funkcji
niezawodnosci R(t) = e−λt.
(b) Czy wariancja estymatora opartego na dystrybuancie empirycznej, R(t) = 1 − Fn(t;X),
osia‘ga to ograniczenie?
(c) Czy wariancja estymatora NJMW tej funkcji, okreslonego wzorem
R(t;X) =(
1− t
T
)n−1
1(t,∞)(T ),
gdzie T =∑n
i=1Xi (zob. J.B. Wyklady ze statystyki matematycznej, Wyd. II, str. 153), osia‘ga
to ograniczenie?
(d) Czy estymator NJMW jest estymatorem CAN?
(e) Estymatorem NW niezawodnosci R(t) jest statystyka exp(−nt/T ). Czy jest to estymator
CAN? Jaka jest jego asymptotyczna wariancja?
St10-lista-4.tex
6.1.2011 r. J. Bartoszewicz
