Wzory redukcyjne

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

WZORY REDUKCYJNEWzory redukcyjne pozwalaja sprowadzic liczenie wartosci funkcji trygonometrycznej do-wolnego kata do liczenia wartosci funkcji trygonometrycznych katw ostrych. Innymi so-wy, jezeli umiemy liczyc funkcje trygonometryczne dla katw ostrych, to umiemy je liczycdla dowolnych katw.

Wzorw redukcyjnych jest duzo (w zasadzie nieskonczenie wiele), wiec nic dziwnego,ze sprawiaja kopoty. Warto jednak ich sie nauczyc, bo sa one kluczowe w wielu zadaniachz trygonometrii.

OkresowoscNajprostsze wzory redukcyjne to wzory na okresowosc funkcji trygonometrycznych:

sin(x+ 2kpi) = sin x cos(x+ 2kpi) = cos xtg(x+ kpi) = tg x ctg(x+ kpi) = ctg x.

Te wzory sa atwe do zapamietania i powinnismy je stosowac zupenie automatycznie.

Obliczmy sin pi3 + sin5pi3 .

Liczymy

sinpi

3+ sin

5pi3

= sinpi

3+ sin

(2pi pi

3

)=

= sinpi

3+ sin

(pi

3

)= sin

pi

3 sin pi

3= 0.

Jezeli myslimy, ze wzory na okresowosc pozwalaja nam przesuwac argumenty sinusa/cosinusao wielokrotnosc 2pi, to pene wzory redukcyjne pozwalaja przesuwac te argumenty o wielo-krotnosci pi2 , czyli znacznie drobniej.

Oglne wzory redukcyjneNie przeduzajac, oglna postac wzorw redukcyjnych jest nastepujaca

f unkcja(k pi

2 x)=

{ f unkcja(x) jezeli k jest parzysteko f unkcja(x) jezeli k jest nieparzyste.

Wzr wyglada groznie, ale postaramy sie wszystko wyjasnic.Sowo funkcja w tym wzorze moze byc jedna z funkcji sin, cos, tg, ctg. Sowo ko f unkcja

odpowiada zamianomsin cos tg ctg,

czyli np. jezeli f unkcja = cos to ko f unkcja = sin itd. To, czy funkcja zostaje bez zmian, czytez zamienia sie na kofunkcje, zalezy od parzystosci k. O wyrazeniu x nalezy myslec, zejest to albo +x albo x.

Ostatnia kwestia do wyjasnienia to znak z prawej strony wzoru. W jego miejsce wpi-sujemy + lub - w zaleznosci od tego, w ktrej cwiartce jest kat k pi2 x. Przypomnijmyreguke znakw funkcji trygonometrycznych.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


W pierwszej wszystkie sa dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens icotangens, a w czwartej cosinus.

Wracajac do znakw, patrzymy w ktrej cwiartce jest kat k pi2 x (przy czym o x nalezymyslec jak o kacie ostrym!), z reguki patrzymy jaki jest znak f unkcji (tej z lewej stronywzoru!) i taki znak piszemy z prawej strony.

Przykady

Zrbmy kilka przykadw.

Wyprowadzmy wzr na sin(pi x).Mamy k = 2, czyli funkcja nam sie nie zmieni. pi x to druga cwiartka, czyli sinusjest dodatni. Zatem

sin(pi x) = sin x.

Podobnie jest dla sin(pi + x), ale tym razem jest to trzecia cwiartka, czyli sinus jestujemny. Zatem

sin(pi + x) = sin x.

Wyprowadzmy wzr na tg(pi2 + x

). Mamy k = 1, czyli funkcja zmieni sie na ctg.

Jestesmy w drugiej cwiartce, czyli funkcja tangens jest ujemna. Daje to nam wzr

tg(pi

2+ x)= ctg x.

I tak dalej, idea powinna byc juz jasna. W ramach cwiczen radze wyprowadzic sobie wzorki

sin(pi

2+ x)= cos x cos

(pi2+ x)= sin x

tg(

3pi2

+ x)

= ctg x ctg(

5pi2 x)

= tg x

cos(pi x) = cos x ctg(5pi + x) = ctg xsin(x pi

2

)= cos x cos

(x 3pi

2

)= sin x

orazf unkcja

(pi2 x)= ko f unkcja(x).

Obliczmy sin pi7 + cos9pi14 .

Liczymy

sinpi

7+ cos

9pi14

= sinpi

7+ cos

(7pi + 2pi

14

)=

= sinpi

7+ cos

(pi2+

pi

7

)= sin

pi

7 sin pi

7= 0.



Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Jest atwy sposb zapamietania, kiedy we wzorze redukcyjnym funkcja zostaje bez zmian,a kiedy zmienia sie na kofunkcje: funkcja pozostaje bez zmian wtedy i tylko wtedy jezeli wewzorze mamy wielokrotnosc pi (czyli k parzyste). W pozostaych przypadkach, czyli gdy piwystepuje w uamku z mianownikiem 2 (k nieparzyste), funkcje zmieniamy na kofunkcje.

We wzorach na sin(3pi x), tg(x 5pi), ctg(x + pi) funkcja sie nie zmieni, a wewzorach na sin

(3pi2 x

), tg(x 5pi2

), ctg

(x+ pi2

)funkcja zmieni sie na kofunkcje.

2

Jak to zwykle bywa, im wiecej rzeczy pamietamy, tym mniej tracimy czasu na wertowanietablic. Najczesciej wystepujace wzory redukcyjne to

sin(pi x) = sin x sin(pi + x) = sin xcos(pi x) = cos x cos(pi + x) = cos xsin(pi

2+ x)= cos x cos

(pi2+ x)= sin x

oraz

f unkcja(pi

2 x)= ko f unkcja(x).

Powyzsze wzory, plus wzory na okresowosc i parzystosc/nieparzystosc funkcji trygonome-trycznych, w zasadzie wystarczaja do rozwiazania wiekszosci szkolnych zadan.

Wiedzac, ze cos = 19 znajdz kat , dla ktrego cos = 19 .Ze wzoru redukcyjnego cos(pi x) = cos x, mozemy wziac = pi .

Wiedzac, ze cos x =

77 oblicz sin

(5pi2 + x

).

Liczymy

sin(

5pi2

+ x)

= sin(

2pi +pi

2+ x)= sin

(pi2+ x)= cos x =

7

7.



3Jeden z najwazniejszych wzorw redukcyjnych to

f unkcja(pi

2 x)= ko f unkcja(x).

Wzr ten pozwala zamieniac funkcje na kofunkcje.

Uproscmy wyrazenie tg pi8 tg3pi8 .

Liczymy

tgpi

8tg

3pi8

= tgpi

8tg(pi

2 pi

8

)= tg

pi

8ctg

pi

8= 1.

Rozwiazmy rwnanie tg x = ctg x.Korzystajac ze wzoru tg

(pi2 x

)= ctg x mamy

tg x = tg(pi

2 x)

x = pi2 x+ kpi

2x = pi2+ kpi x = pi

4+

kpi2

, k C

4Zamiast uczyc sie reguki o znakach funkcji trygonometrycznych, niektre osoby wola ko-rzystac z definicji funkcji trygonometrycznych w okregu jednostkowym. Dokadnie omwi-lismy to w poradniku o funkcjach trygonometrycznych, ale krtko przypomnijmy, ze wsp-rzedne konca promienia okregu jednostkowego, ktry tworzy z osia Ox kat sa rwne(cos , sin ).

(cos(),sin())sin()

cos()

1

Z tej interpretacji atwo sobie przypomniec, ze sinus (druga wsprzedna) jest dodatni wI i II cwiartce, a cosinus (pierwsza wsprzedna) w I i IV.

Tangens/cotangens jest dodatni tam, gdzie sinus i cosinus maja ten sam znak, czyli w I iIII cwiartce, a jest ujemny w II i IV cwiartce.



5Niezwykle istotne jest pamietanie, ze ustalajac cwiartke, w ktrej jest kat k pi2 x (lewastrona oglnego wzoru redukcyjnego) musimy o kacie x myslec jak o kacie ostrym! nawet,jezeli x wcale nie jest katem ostrym!

Przeksztacajac wyrazenie sin(3pi + 79pi) myslimy o wzorze

sin(3pi + x) = sin x,gdzie znak wybralismy traktujac x jako kat ostry. Z tego wzoru mamy

sin(3pi +79pi) = sin 7

9pi,

pomimo, ze 79pi nie jest katem ostrym!

6

Skad sie biora wzory redukcyjne? W przypadku funkcji sinus i cosinus, wzory redukcyjnesa poaczeniem trzech wasnosci tych funkcji:

a) okresowosci sinusa: sin(x+ 2kpi) = sin x;

b) symetrii wykresu sinusa wzgledem prostej x = pi2 , daje to wzr sin(pi x) = sin x;c) faktu, ze wykresy sinusa i cosinusa sa przesuniete wzgledem siebie o pi2 , daje to wzr

sin(pi2 x) = cos xGdy sie czowiek chwile zastanowi i pozbiera te trzy wasnosci razem, to wzory redukcyjnerobia sie dosc oczywiste.

O ile pierwsze dwa z powyzszych wzorw sa wasciwie czescia procedury roz-szerzenia dziedziny sinusa poza katy ostre, o tyle trzeci wzr jest natychmiastowakonsekwencja definicji funkcji trygonometrycznych w trjkacie prostokatnym:

sin(90 ) = bc= cos .

ab c

90-o

Wzory dla tangensa i cotangensa najlepiej traktowac jako wniosek ze wzorw dla sinusa icosinusa.


Wzory redukcyjne

Documents

Transcript of Wzory redukcyjne