wyklad_8 płatew OBLICZANIE

8. ZGINANIE UKOŚNE 1

8.

8. Zginanie ukośne

8.1 Podstawowe wiadomościZginanie ukośne zachodzi w przypadku, gdy płaszczyzna działania obciążenia przechodzi przez środek

ciężkości przekroju pręta jednak nie pokrywa się z żadną z głównych osi bezwładności. Płaszczyznaobciążenia musi przechodzić przez środek ciężkości przekroju. W przeciwnym wypadku pręt będzie takżeskręcany momentem skręcającym. Moment skręcający jest bardzo niepożądanym obciążeniem, ponieważpowoduje on powstanie dużych naprężeń stycznych a także i naprężeń normalnych, które będą powodowałyobniżenie nośności pręta. Obciążenie powodujące wystąpienie w pręcie zginania ukośnego przedstawiarysunek 8.1.

Zgl

Ygl

Pła

szcz

yzna

obci

ążen

ia

sc

Rys. 8.1. Przypadek zginania ukośnego.

W budownictwie zginanie ukośne występuje przede wszystkim w płatwiach dachowych. Płatwieprzymocowane do pochyłych dźwigarów lub do pochyłego pasa górnego kratownicy. Pochylenie tychelementów wynika z konieczności odprowadzenia wody z dachu. Obciążenie płatwi dachowej w postaciciężaru własnego płatwi, ciężaru pokrycia dachowego umieszczonego na płatwi, ciężaru śniegu, obciążenia odwiatru oraz obciążenia użytkowego działa zgodnie z kierunkiem sił grawitacji czyli w dół.

Rysunki 8.2 i 8.3 pokazuje płatwie dachowe wykonane z przekroju zetowego. Rysunki 8.4 i 8.5 przedstawiająmocowanie płatwi zetowych do dźwigara dachowego. Rysunek 8.6 przedstawia fragment dachu z płatwiamizetowymi oraz pokryciem dachowym wykonanym z blachy trapezowej. Rysunki 8.7, 8.8, 8.9 oraz 8.10przedstawiają dach z płatwiami dachowymi wykonanymi z przekroju ceowego. Płatwie dachowe nie musząbyć belkami, mogą to być także kratownice. Płatew taką przedstawia rysunek 8.11. Płatwie dachowewykonuje się nie tylko ze stali ale także z drewna. Drewniane płatwie dachowe przedstawiają rysunki 8. 12 do8.16. Rysunek 8.17 przedstawia szczegół mocowania drewnianej płatwi dachowej do drewnianego dźwigaradachowego z pomocą specjalnych elementów wykonanych z blachy. Rysunki 8.18, 8.19 oraz 8.20przedstawiają konstrukcje drewnianych dźwigarów dachowych i drewnianych płatwi dachowych. Napłatwiach zostały oparte pokrycie dachowe wykonane z blach trapezowych.

Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater


Rys. 8.2. Zetowe płatwie dachowe.

Rys. 8.3. Zetowe płatwie dachowe.

Rys. 8.4. Mocowanie zetowych płatwi dachowych.


AlmaMater


Rys. 8.5. Mocowanie zetowych płatwi dachowych.

Rys. 8.6. Blachy trapezowych na zetowych płatwiach dachowych.

Rys. 8.7. Ceowe płatwie dachowe.


AlmaMater






AlmaMater


Rys.8.11. Kratowe płatwie dachowe.

Rys. 8.12. Drewniana płatew dachowa.



AlmaMater






AlmaMater


Rys. 8.17. Szczegół mocowania drewnianej płatwi dachowej do drewnianego dźwigara dachowego.

Rys. 8.18. Pokrycie z blach trapezowych na drewnianych płatwiach dachowych.



AlmaMater



8.2 Naprężenia normalneW przekroju pokazanym na rysunku 8.21 wyznaczono środek ciężkości i położenie głównych osi

bezwładności. Płaszczyzna obciążenia nie pokrywa się z żadną osią główną. Prostopadle do płaszczyznyobciążenia działa moment zginający M, który można rozłożyć w dowolnym układzie osi środkowych na dwieskładowe MY0 i MZ0.

Ygl

Zgl

Y0

Z0

Płaszczyzna

obciążenia

sc

M

MY0

MZ0

Rys. 8.21. Przekrój zginany ukośnie.

Zgodnie z wykładem numer 4 naprężenia normalne oblicza się ze wzorów, które mają postać w dowolnymukładzie osi środkowych


AlmaMater


X=−M Y0⋅I Y0Z0M Z0⋅I Y0

I Y0⋅I Z0− I Y0Z02 y0

M Y0⋅I Z0M Z0⋅I Y0Z0

I Y0⋅I Z0− I Y0Z02 z0

, (8.1)

w którym y0 i z0 oznacza współrzędne dowolnego punktu w układzie osi środkowym Y0Z0. Jeżeli przyrównasię naprężenia normalne sX do zera to otrzymane równanie nazywa się równaniem osi obojętnej i ma postać

z0=M Y0⋅I Y0Z0M Z0⋅I Y0

M Y0⋅I Z0M Z0⋅I Y0Z0y0

. (8.2)

Rysunek 8.22 przedstawia sytuację, w której moment zginający M prostopadły do płaszczyzny obciążeniarozłożono w układzie osi głównych YglZgl na dwie składowe MYgl i MZgl.

Ygl

Zgl

sc

Pła

szcz

yzna

obci

ążen

ia

M

MYgl

MZgl

Rys. 8.22. Przekrój zginany ukośnie.

W takim przypadku wiadomo, że moment dewiacyjny w układzie osi głównych wynosi zero. Wzór nanaprężenia normalne będzie miał postać

X=−M Zgl

I Zglygl

M Ygl

I Yglzgl

. (8.3)

Natomiast równanie osi obojętnej będzie miało postać


AlmaMater


zgl=M Zgl⋅I Ygl

M Ygl⋅I Zglygl

. (8.4)

Rysunek 8.23 przedstawia przykładowy wykres naprężeń normalnych w układzie osi głównych. Widać zniego, że w ogólnym przypadku oś obojętna nie pokrywa się z wektorem momentu zginającego M. Naprężenianormalne osiągają ekstremalne wartości w punktach, które są najbardziej oddalone od osi obojętnej.

Ygl

Zgl

sc

Pła

szcz

yzna

obci

ążen

ia

M

MYgl

MZgl

Oś obojętna

+

-

X

Rys. 8.23. Wykres naprężeń normalnych w przekroju zginanym ukośnie.

8.3 Przykład liczbowyWyznaczyć wykres naprężeń normalnych w przekroju płatwi dachowej wykonanej z dwuteownika

szerokostopowego HEB160. Płatew dachowa jest belką swobodnie podpartą o długości 4,0 m i obciążonąobciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym o wartości 16,0 kN/m. Płatew jest nachylona pod kątem 20stopni. Przekrój płatwi przedstawia rysunek 8.24.

Wykres momentu zginającego w płatwi przedstawia rysunek 8.25. Wartość maksymalnego momentuzginającego oblicza się ze wzoru (moment jest dodatni, ponieważ rozciąga dolne włókna pręta)

M = q⋅L2

8=16,0⋅4,02

8=32,0 kNm (8.5)


AlmaMater


4,0

16,0 kN/mY

gl

Zgl

sc

20o

HEB 160

Rys. 8.24. Płatew dachowa.

4,0

16,0 kN/m

M [kNm]

32,0

Rys. 8.25. Wykres momentu zginającego w płatwi dachowej.

Rysunek 8.26 przedstawia przekrój ze składowymi momentu zginającego MYgl i MZgl. Moment M rozciągadolne włókna.

Ygl

Zgl

sc

20o

HEB 160

Y gl

Zgl

32,0 kNm

32,0 kNm

X 32,0 kNm

30,07 kNm

10,94 kNm

20o

Płaszczyznaobciążenia

Rys. 8.26. Składowe MYgl i MZgl.


AlmaMater


Wartości bezwzględne składowych momentu M w osiach głównych oblicza się ze wzorów

∣M Ygl∣=32,0⋅cos20o=30,07 kNm=3007 kNcm , (8.6)

∣M Zgl∣=32,0⋅sin20o=10,94 kNm=1094 kNcm . (8.7)

Jak widać z rysunku 8.26 obie składowe momentu zginającego są dodatnie (zgodne ze zwrotami osi Ygl i Zgl).Aby wyznaczyć naprężenia normalne potrzebne są momenty bezwładności dwuteownika szerokostopowegoHEB160. Wartości te zostały odczytane z tablic do projektowania konstrukcji stalowych. Wynoszą one

I Ygl=2490 cm4 , (8.8)

I Zgl=889 cm4 . (8.9)

Naprężenia normalne należy policzyć ze wzoru (8.3) i wynoszą one

X=−1094889

⋅ygl30072490

⋅zgl=−1,231⋅ygl1,208⋅z gl . (8.10)

Równanie osi obojętnej ma postać

−1,231⋅y gl1,208⋅zgl=0 , (8.11)

które można zapisać w postaci

z gl=1,019⋅ygl . (8.12)

Oś obojętna jest nachylona pod kątem 45,54 stopni. Położenie tej osi przedstawia rysunek 8.27. Jak widaćnajbardziej oddalonymi punktami są punkty numer 1 i 3. Aby jednoznacznie narysować wykres naprężeńnormalnych wystarczy tylko w tych punktach obliczyć naprężenia normalne (będą one ekstremalne). Narysunku 8.28 przedstawiono podstawowe wymiary przekroju dwuteowego szerokostopowego.

Naprężenie normalne w punkcie 1 wynosi

X1=−1,231⋅8,01,208⋅−8,0=−19,51 kN

cm2=−195,1 MPa . (8.13)


AlmaMater


Ygl

Zgl

sc

20o

HEB 160

30,07 kNm

10,94 kNm

1

2

3

4

Oś obojętna

45,54o

Rys. 8.27. Położenie osi obojętnej.

Ygl

Zgl

8,0 8,0

8,0

8,0

16,0

[cm]

1 2

34

Rys. 8.28. Podstawowe wymiary przekroju dwuteowego.


X3=−1,231⋅−8,01,208⋅8,0=19,51 kN

cm2=195,1 MPa . (8.14)


X2=−1,231⋅−8,01,208⋅−8,0=0,184 kN

cm2=1,84 MPa . (8.15)


AlmaMater



X4=−1,231⋅8,01,208⋅8,0=−0,184 kN

cm2=−1,84 MPa . (8.16)

Wykres naprężeń normalnych przedstawia rysunek 8.29.

Ygl

Zgl

sc

20o

HEB 160

30,07 kNm

10,94 kNm

45,54o

1

2

3

4Oś obojętna

+195,1 MPa

-195,1 MPa

Rys. 8.29. Wykres naprężeń normalnych w przekroju dwuteowym.


AlmaMater


(8.1)


AlmaMater

wyklad_8 płatew OBLICZANIE

Documents

Transcript of wyklad_8 płatew OBLICZANIE