Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu 12–1

12 Równania różniczkowe cząstkowe

drugiego rzędu, n = 2

12.1 Zagadnienie Cauchy’ego i charakterystyki

Równania rozważane w niniejszym rozdziale mają ogólną postać

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

gdzie niewiadomą jest funkcja u = u(x, y). Ważnymi szczególnymiprzypadkami są:

• równanie liniowe o zmiennych współczynnikach

a(x, y)uxx+b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y)ux+e(x, y)uy+f(x, y)u = g(x, y),

• równanie semiliniowe

a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = g(x, y, u, ux, uy),

• równanie quasiliniowe

a(x, y, u, ux, uy)uxx+b(x, y, u, ux, uy)uxy+c(x, y, u, ux, uy)uyy = g(x, y, u, ux, uy).

W dalszym ciągu ograniczymy rozważania do równań semiliniowych

(12.1) a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy) = 0.

Będziemy zakładali, ze funkcje a = a(x, y), b = b(x, y) i c = c(x, y) sąokreślone i dostatecznie regularne w pewnym obszarze Ω ⊂ R

2 orazd = d(x, y, u, p, q) jest określona i regularna w obszarze cylindrycznymΩ×R

3.Niech `0, o parametryzacji (x0(s), y0(s)), s ∈ [s1, s2], będzie zadaną krzywąklasy C1 zawartą w Ω. Poszukujemy warunków, które pozwolą wyznaczyć wsposób jednoznaczny rozwiązanie u = u(x, y) równania (12.1) w pewnymotoczeniu `0. Przez analogię do równań pierwszego rzędu, wzdłuż `0zadajemy wartości rozwiązania u

(12.2) u(x0(s), y0(s)) = u0(s) dla s ∈ [s1, s2].

Warunkiem koniecznym (lecz nie zawsze dostatecznym) znalezieniarozwiązania jest możliwość wyznaczenia wzdłuż `0 wartości wszystkich

12–2 Skompilował Janusz Mierczyński

pochodnych funkcji u występujących w równaniu. W tym celuróżniczkujemy obustronnie równość (2) otrzymując

(12.3) p0(s)x′

0(s) + q0(s)y

′

0(s) = u′

0(s) dla s ∈ [s1, s2],

gdziep0(s) := ux(x0(s), y0(s)), q0(s) := uy(x0(s), y0(s)).

Różniczkując funkcje p0(s) i q0(s) otrzymujemy kolejno

uxx(x0(s), y0(s))x′

0(s) + uyy(x0(s), y0(s))y

′

0(s) = p′

0(s),

uxy(x0(s), y0(s))x′

0(s) + uyy(x0(s), y0(s))y

′

0(s) = q′

0(s)

dla s ∈ [s1, s2]. Uwzględniając równanie (12.1) otrzymujemy następującyukład równań jakie spełniają wartości pochodnych uxx, uxy, uyy w punkcie(x0(s), y0(s)) krzywej `0

auxx + 2buxy + cuyy = −dx′0uxx + y

′

0uxy = p′

0

x′0uxy + y

′

0uyy = q′

0

(dla uproszczenia zapisu pomijamy argumenty we wszystkichwystępujących tu wyrażeniach). Powyższy układ ma dokładnie jednorozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 2b cx′0y′00

0 x′0y′0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0 dla s ∈ [s1, s2],

to jest, gdy

a(y′0)2 − 2bx′

0y′0+ c(y′

0)2 6= 0 dla s ∈ [s1, s2].

Zauważmy, ze z równania (12.3) wynika, że spośród funkcji u0(s), p0(s) iq0(s) co najwyżej dwie możemy zadać dowolnie.Zwykle zadajemy

(12.4) u|`0 = u0(s) dla s ∈ [s1, s2]

i

(12.5)∂u

∂ν

∣

∣

∣

∣

∣

`0

:=−p0(s)y

′

0(s) + q0(s)x

′

0(s)

√

(x′0(s))2 + (x′0(s))

2

= v0(s) dla s ∈ [s1, s2].

Przeprowadzone rozważania uzasadniają przyjęcie następujących definicji:

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu 12–3

Definicja. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania (12.1) nazywamy zadaniepolegające na znalezieniu rozwiązania równania (12.1) spełniającegowarunki Cauchy’ego (12.4) i (12.5).

Definicja. Krzywą γ klasy C1, o parametryzacji (x(τ), y(τ)), τ ∈ (τ1, τ2),nazywamy charakterystyką równania (12.1), gdy

a(x(τ), y(τ))(y′0(τ))2 − 2b(x(τ), y(τ))x′

0(τ)y′

0(τ) + c(x(τ), y(τ))(y′

0(τ))2 = 0

dla wszystkich τ ∈ (τ1, τ2).

12.2 Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych

drugiego rzędu

Rozważmy semiliniowe równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

(RSL) a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy) = 0,

gdzie a, b, c : Ω→ R są funkcjami klasy C1 określonymi na obszarze Ω ⊂ R2.

Wyrażenie L[u] zdefiniowane jako

L[u](x, y) := a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy

nazywamy częścią główną równania (RSL).

Definicja.

• Równanie (RSL) jest hiperboliczne w punkcie (x0, y0) ∈ Ω, gdy

(b(x0, y0))2 − a(x0, y0) · c(x0, y0) > 0.

• Równanie (RSL) jest paraboliczne w punkcie (x0, y0) ∈ Ω, gdy

(b(x0, y0))2 − a(x0, y0) · c(x0, y0) = 0.

• Równanie (RSL) jest eliptyczne w punkcie (x0, y0) ∈ Ω, gdy

(b(x0, y0))2 − a(x0, y0) · c(x0, y0) < 0.

Mówimy, że równanie (RSL) jest hiperboliczne (odp. paraboliczne,eliptyczne) w obszarze Ω, gdy jest hiperboliczne (odp. paraboliczne,eliptyczne) w każdym punkcie tego obszaru.

12–4 Skompilował Janusz Mierczyński

Twierdzenie 12.1 (Postać kanoniczna równania semiliniowego). (1)Jeśli równanie (RSL) jest hiperboliczne w obszarze Ω, to w otoczeniukażdego punktu (x0, y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y)↔ (ξ, η)klasy C2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać

(RH-PK) uξξ − uηη + . . . = 0.

(2) Jeśli równanie (RSL) jest paraboliczne w obszarze Ω, to w otoczeniukażdego punktu (x0, y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y)↔ (ξ, η)klasy C2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać

(RP-PK) uξξ + . . . = 0.

(3) Jeśli równanie (RSL) jest eliptyczne w obszarze Ω, to w otoczeniukażdego punktu (x0, y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y)↔ (ξ, η)klasy C2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać

(RE-PK) uξξ + uηη + . . . = 0.

(W powyższych wzorach, . . . oznacza wyrazy z pochodnymi rzędu mniejszegoniż dwa.)

Wyrażenie (RH-PK) (odp. (RP-PK), (RE-PK)) nazywamy postaciąkanoniczną równania hiperbolicznego (odp. parabolicznego, eliptycznego).