Wykład nr 10

Wykład nr 10

OCHRONA WÓD

PODZIEMNYCH

OCHRONA WÓD

PODZIEMNYCH

DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH

1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego

2.Zakres ważności prawa Darcy’ego




Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007

OPRACOWAŁdr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK

Instytut Inżynierii i Gospodarki WodnejZakład Gospodarki Wodnej, PK

Spadek hydrauliczny w ośrodku nasyconymSpadek hydrauliczny w ośrodku nasyconym

1

2

1z

2z

dh

dlwarstwa nieprzepuszczalna

zwierciadło wody gruntowej

0z

Siłami czynnymi wywołującymi ruch cieczy są siłą ciężkości i siłą ciśnienia.

Energia masy strumienia w dowolnym przekroju wynosi:

kinetycznaenergiaE

alnpotencjaenergiaE

vMMpzgMEEE

K

p

Kp 2

2

1

2

1z

2z

dh



0z

1h

1h

2h

2h

predkosciwysokoscg

v

cisnieniawysokoscg

p

polozeniawysokoscz

g

v

g

pzh

2

2

2

2

Jeżeli podzielimy poprzednie równanie przez Mg możemy energie jednostki masy wyrazić wysokością słupa cieczy określającą potencjał elementu wody,

którą nazywamy wysokością piezometryczną h

H

1

2

1z

2z

dh



0z

1h

1h

2h

2h

Transport masy cieczy z przekroju „A” do przekroju „B” związany jest z wykonaniem pracy potrzebnej na pokonanie sił oporu ruchu.

Na wykonanie tej pracy zużyta zostaje część potencjału strumienia „dh”

W przypadku przepływu filtracyjnego prędkość przepływu i wynikająca z niej energia kinetyczna jest w porównaniu z energią potencjalną bardzo mała i może być pominięta.

1

2

1z

2z

dh



0z

1h

1h

2h

2h

12

21

22

11

hhdh

dhhh

dhg

pz

g

pz

W rezultacie równanie bilansu energii (równanie Bernoulliego ) można zapisać w postaci:

1

2

1z

2z

dh

warstwa nieprzepuszczalna


0z

1h

1h

2h

2h

dl

Stosunek przyrostu wysokości piezometrycznej „dh” do długości przebytej drogi „dl”

nazywamy spadkiem hydraulicznym

lub

gradientem hydraulicznym

HgradI

hgraddl

dhI

Prawo Darcy’egoPrawo Darcy’ego

Q

dl

FA

B

1h 2h

21 hhdh

Aparat filtracyjny Darcy’ego

Na podstawie badań laboratoryjnych przeprowadzonych w pionowym cylindrze wypełnionym piaskiem Darcy ( 1856) stwierdził, że natężenie przepływu Q jest:

proporcjonalne do powierzchni przekroju przepływu i różnicy wysokości piezometrycznej, a

odwrotnie proporcjonalne do długości przepływu.

Q

dl

FA

B

1h 2h

21 hhdh

IFkdl

dhFk

dl

hhFkQ

21

Q

dl

FA

B

1h 2h

21 hhdh

IFkdl

dhFk

dl

hhFkQ

21

vF

Q

Współczynnik proporcjonalności

„k” nazywamy współczynnikiem filtracji.

Uwzględniając że

można zapisać

Ikdl

dhk

dl

hhk

F

Qv

21

Prędkość określona wzorem nazywa się prędkością filtracji (przesączania), a ze wzoru wynika , iż jest ona liniowo zależna od spadku hydraulicznego, stąd prawo Darcy’go nazywa się liniowym prawem filtracji.

Współczynnik filtracji charakteryzuje zdolność przesączania wody będącej w ruchu laminarnym przez skały porowate i jest miarą przepuszczalności hydraulicznej skał (gruntów). Przesączanie odbywa się siecią kanalików utworzonych z porów gruntowych.

Grunt stawia opór przesączającej się wodzie, opór ten i współczynnik filtracji zależy od właściwości gruntu:• rodzaju ośrodka gruntowego • porowatości • uziarnienia • struktury gruntu

właściwości filtrującej cieczy – lepkości.

Współczynnik filtracji jest miarą przepuszczalności wyłącznie dla wody i nie powinno się go stosować w przypadku innych płynów, do których odnosi się współcześnie stosowana wersja formuły Darcy'ego.

http://www.ar.krakow.pl/~pbaran/Text/Wspolczynnik_filtracji.pdf

Jaka jest różnica wysokości piezometrycznych , jeżeli:

1. Prędkość filtracji = 0,005[m/s],

2. Współczynnik filtracji = 0,5[m/s]

3. Długość przepływu wody =0,5[m]

Ikdl

dhk

dl

hhk

F

Qv

21

mmmmhh

m

hhsmsm

5105005,0

;5,0

5,0005,0

321

21

Analityczne wyprowadzenie Prawa Darcy’ego

Analityczne wyprowadzenie Prawa Darcy’ego

z

r

r

FOrG

G

F1

2

n

)(rp

)( rrp

Fragment gruntu we współrzędnych cylindrycznych (z,r)

z

r

r

FOrG

G

F1

2

n

)(rp

)( rrp

Prawo Darcy’ego wyraża zasadę równowagi sił działających na ciecz przy jej przepływie przez ośrodek.

Na ciecz wypełniającą pory elementu objętości ośrodka porowatego działają wzdłuż dowolnego kierunku „r” następujące siły:

rzFnrgrzGP ,cos,cos1

1. składowa siły ciężkości:

2. różnica sił ciśnienia porowego w przeciwległych powierzchniach elementu prostopadłych do kierunku „r”

porowecisnieniehgp

FnrrpFnrpP

,

2

3. siły oporu ruchu wynikające z tarcia laminarnego. Przyjmujemy, że siła ta jest proporcjonalna do objętości cieczy i prędkości filtracji

z

r

r

FOrG

G

F1

2

n

)(rp

)( rrp

]/[""

],[

,,

3

smrkierunkupozeplywupredkoscprv

sPadynamicznalepkosc

osrodkaiwlasciwoscodzaleznyoporuikwspolczynnC

FnrvCP

r

r

rr

z

r

r

FOrG

G

F1

2

n

)(rp

)( rrp

0)(,cos

03

1

FnvCFnrrpFnrprzFnrg

P

rrr

ii

1P

Warunek równowagi sił ma postać:

2P 3P

Rozwijając w szereg Taylora wyrażenie

rr

prprrp

)()(

oraz uwzględniając hgp otrzymujemy

0,cos

0,cos

rr

rrr

vCr

przg

FnvCFnrr

pFnrhgFnrhgrzFnrg

Odpowiada współczynnikowi proporcjonalności „k” (współczynnik filtracji).

r

r

z

rzr

zrz

),cos(

rr

rr

rr

C

gz

g

p

rv

vg

C

r

p

gr

z

gvCr

p

r

zg

01

:/0

rC

g

hzg

p

Odpowiada wysokości piezometrycznej „h”

r

hkv rr

W konsekwencji otrzymamy wzór identyczny do wzoru otrzymanego prze Darcy’ego w drodze eksperymentu

z

r

r

FOrG

G

F1

2

n

)(rp

)( rrp

r

r

z

rzr

zrz

),cos(

Współczynnik „kr” oznacza współczynnik filtracji na kierunku „r”.

Z zależności wynika ,że

współczynnik filtracji zależy od właściwości ośrodka określonych przez współczynnik oporu „Cr” oraz od lepkości cieczy.

v

g

CC

gk

rrr

1

Odwrotność współczynnika oporu nazywamy współczynnikiem przepuszczalności

21m

CK

r

z

r

r

FOrG

G

F1

2

n

)(rp

)( rrp

r

r

z

rzr

zrz

),cos(

Współczynnik filtracji ma wymiar prędkości, współczynnik przepuszczalności wymiar powierzchni.

W praktyce za jednostkę współczynnika przepuszczalności przyjmuje się 1 darcy (D) =0,987 *10-8 cm2

W prostokątnym układzie współrzędnych składowe prędkości w kierunkach x,y,z wynoszą:

z

hkv

y

hkv

x

hkv zzyyxx

v

gK

gKk

v

gK

gKk

Między współczynnikiem filtracji a przepuszczalności zachodzi zależność :

Powyżej założono, że ośrodek jest jednorodny ( homogeniczny), co oznacza ,że wzdłuż dowolnego kierunku wartość współczynnika filtracji jest stała.

Dla ośrodka niejednorodnego ( we współrzędnych cylindrycznych)

hkr

vr

Kierunek przepływu pokrywa się z linią największego spadku hydraulicznego, a prędkość filtracji wynosi :

hgradkv

Zakres ważności Prawa Darcy’ego

Zakres ważności Prawa Darcy’ego

Przy wyprowadzaniu wzoru Darcy’ego w równaniu równowagi sił jako siłę oporu ruchu uwzględniono siły tarcia laminarnego, wynikające z lepkości cieczy.

Oznacza to, że prawo Darcy’ego traci swoją ważność wszędzie tam , gdzie poza tarciem laminarnym występują dodatkowe siły oporu , w szczególności siły powierzchniowe ( molekularne), bezwładności oraz tarcia burzliwego.

Wykład nr 10

OCHRONA WÓD

PODZIEMNYCH

OCHRONA WÓD

PODZIEMNYCH







Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007

OPRACOWAŁdr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK

Instytut Inżynierii i Gospodarki WodnejZakład Gospodarki Wodnej, PK

Wykład nr 10

Documents

Transcript of Wykład nr 10