Wykład elektrodynamiki - Strona Studentów...

Wykład elektrodynamiki

L. Adamowicz, M. Wierzbicki

Dostęp przez InternetTreść wykładu (http://www.if.pw.edu.pl/ ˜zak5www/ElectroDyn.pdf)

Zadania (http://www.if.pw.edu.pl/ ˜wierzba/zajecia.html)Ostatnia modyfikacja: 2003-06-14

Spis treści

1 WSTĘP 11.1 Miejsce elektrodynamiki w fizyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Elektrodynamika jako teoria pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Równania Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Granice stosowalności klasycznej elektrodynamiki . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Prawo Coulomba i masa fotonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 ELEKTROSTATYKA 72.1 Oddziaływania elektrostatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Pole elektryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Ciągłe rozkłady ładunku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Linie pola, strumień i prawo Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Zastosowania prawa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Symetria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.2 Symetria osiowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.3 Symetria płaszczyznowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.4 Rotacja pola elektrostatycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Potencjał elektryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6.1 Równanie Poissona i Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6.2 Potencjał ładunku zlokalizowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6.3 Warunki graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7 Praca przy przesunięciu ładunku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7.1 Energia układu ładunków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7.2 Energia ciągłego rozkładu ładunków . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

iv Spis treści

2.7.3 Trzy typy relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Przewodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8.1 Wnęka wewnątrz przewodnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8.2 Ładunki powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8.3 Układ przewodników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Specjalne metody elektrostatyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9.1 Metody oparte na funkcjach Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9.2 Metoda separacji zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9.3 Rozwinięcie multipolowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9.4 Metoda obrazów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10 Pola elektryczne w materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10.1 Polaryzacja elektryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10.2 Fizyczna interpretacja ładunków związanych . . . . . . . . . . . . . 302.10.3 Rzeczywiste pole w dielektryku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.10.4 Prawo Gaussa w obecności dielektryków . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10.5 Warunki brzegowe (graniczne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10.6 Zagadnienia brzegowe w obecności dielektryków liniowych . . . . . . 352.10.7 Energia w układach z dielektrykami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 MAGNETOSTATYKA 373.1 Siły magnetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Pole magnetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Siła Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.3 Prądy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Prawo Biota - Savarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 Pole magnetyczne liniowego prądu stałego . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Dywergencja i rotacja pola magnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Rotacja B dla prądu prostoliniwego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Dywegencja i rotacja B w przypadku ogólnym . . . . . . . . . . . . 433.3.3 Zastosowanie prawa Ampere’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.4 Porównanie magnetostatyki i elektrostatyki . . . . . . . . . . . . . . 483.3.5 Magnetyczny potencjał wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.6 Podsumowanie i warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.7 Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego . . . . . . . . . . . 51

3.4 Pole magnetyczne w ośrodku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.1 Namagnesowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.2 Pole ciała namagnesowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.3 Natężenie pola magnetycznego H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.4 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.5 Podatność i przenikalność magnetyczna . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 ELEKTRODYNAMIKA 57

Spis treści v

4.1 Prawo Ohma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Siła elektromotoryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Poruszający się przewodnik w polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Prawo Faradaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5 Indukowane pole elektryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 Indukcyjność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7 Energia pola magnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.8 Elektrodynamika przed Maxwellem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9 Poprawka Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.10 Równania Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.11 Równania Maxwella dla ośrodka materialnego . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.12 Warunki graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 ZASADY ZACHOWANIA 735.1 Twierdzenie Poyntinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Tensor napięć Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Pęd i moment pędu pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 796.1 Fale elektromagnetyczne w próżni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3 Transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4 Fale płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.5 Energia i pęd fal elektromagnetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.6 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym . . . . . . . . . . . . . . . 866.7 Odbicie i przenikanie fali do innego ośrodka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.8 Fale EM w przewodnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.9 Odbicie od powierzchni przewodzącej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.10 Falowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.10.1 Przypadek falowodu prostokątnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 POTENCJAŁY I POLA 1037.1 Potencjał skalarny i wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Transformacja cechowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Potencjały opóźnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8 ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI 1078.1 Zasada względności Galileusza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2 Transformacja Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.3 Postulaty szczególnej teorii względności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4 Czasoprzestrzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5 Czterowektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6 Stożek świetlny i linia świata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

vi Spis treści

8.7 Energia i pęd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.8 Czterowymiarowy potencjał pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.9 Relatywistyczne równanie ruchu cząstki naładowanej w polu EM . . . . . . 1188.10 Tensor pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.11 Transformacje pól E i B przy zmianie układu odniesienia . . . . . . . . . . 1208.12 Niezmienniki pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.13 Działanie dla pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.14 Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym . . . . . . . . . . . . 1248.15 Potencjały Lienarda-Wiecherta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.16 Promieniowanie dipolowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A Relacje i twierdzenia 135A.1 Relacje wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.1 Iloczyny podwójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.1.2 Pochodne iloczynów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.1.3 Relacje z drugimi pochodnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.2 Podstawowe twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.2.1 Twierdzenie dla gradientów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.2.2 Twierdzenie Gaussa (dla dywergencji) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.2.3 Twierdzenie Stokesa (dla rotacji) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.3 Współrzędne kartezjańskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.3.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.3.2 Dywergencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.3.3 Rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.3.4 Laplasjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.4 Współrzędne kuliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.1 Wersory: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.3 Dywergencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.4 Rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.5 Laplasjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A.5 Współrzędne walcowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.5.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.5.2 Dywergencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.5.3 Rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.5.4 Laplasjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

B Różne przekształcenia 139B.1 Delta Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139B.2 Transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

C Uzupełnienia 145

Spis treści vii

C.1 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości . . . . . . . . . . . . . . . 145

D Semestr letni 2003 149D.1 Rozkład materiału na trzy części . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Literatura 151

viii Spis treści

1WSTĘP

1.1 Miejsce elektrodynamiki w fizyce

Według obecnego stanu wiedzy istnieją cztery typy oddziaływań elementarnych:

1. grawitacyjne (niesłychanie słabe)

2. elektromagnetyczne

3. jądrowe silne (bardzo silne)

4. jądrowe słabe (słabsze, niż elektromagnetyczne)

Odpychanie elektryczne dwóch elektronów jest 42 rzędy wielkości silniejsze niż ich przy-ciaganie grawitacyjne.Siły sprężystości, siły wiązania chemicznego i im podobne - maja pochodzenie elektroma-gnetyczne. Żyjemy, więc na codzień pod przemożnym wpływem sił elektromagnetycznych.Jednocześnie są to oddziaływnia, które najwcześniej zaczęto badać i które udało się najle-piej zrozumieć. Teorie innych oddziaływań były i są inspirowane przez elektrodynamikę.Wostatnich dziesięcioleciach bardzo się rozwinęły – nie zostały jednak w jednoznaczny sposóbpotwierdzone doświadczalnie.Nie będziemy się tu zastanawiać się nad doskonałością i urodą elektrodynamiki, któranabrała pełnego kształtu po opublikowniu przez Maxwella w 1862 roku zespołu równańróżniczkowych wyrażających dynamiczną teorię pola EM.Mimo, że bursztyn i magnetyt były znane już starożytnym Grekom badania ilościowezostały zapoczątkowane przez Cavendisha dopiero w latach 1771-3. Następnie były konty-nuowane przez Coulumba, Ampere’a, Faradaya i wielu innych. Trwało to niecałe sto lat.

2 1. WSTĘP

Historia badań prowadzonych na skalę światową w celu zrozumienia elektryczności, ma-gnetyzmu i światła jest znacznie dłuższa niż wynika to z przytoczonych powyżej dat. Około1900 roku trzy wielkie działy fizyki – elektryczność, magnetyzm i optyka zostały połączonew jedną całość. Można powiedzieć, że zjawiska EM obejmują cała naturę.Z elektrodynamiki wyrosła teoria względności, najpierw szczególna – stanowiąca rozsze-rzenie mechaniki newtonowskiej na duże prędkości (porównywalne z prędkością światła),następnie ogólna – będąca teorią oddziaływań grawitacyjnych. Marzenia o unifikacji zreali-zowane w elektrodynamice przeniosły się na całą fizykę. Kulminacją takiej “teorii wszyst-kiego” jest zaproponowana w latach osiemdziesiątych teoria superstrun. Mimo piętrzącychsię co raz wiekszych trudności natury matematycznej oraz wzrostu dystansu między od-krywczymi hipotezami a możliwością ich weryfikacji doświadczalnej widać, że program uni-fikacji zapoczątkowany w elektrodynamice jest realizowany jako ważny etap w rozwojufizyki.

1.2 Elektrodynamika jako teoria pola

Twierdzimy, że przestrzeń wokół ładunków jest wypełniona polami elektrycznymi i magne-tycznymi. Pola te pośredniczą w przekazywaniu oddziaływań między ładunkami. Przyspie-szenie ładunku powoduje, że część pola odłącza się od niego i staje się niezależna, niosącenergię, pęd i momęt pędu z prędkością światła w postaci promieniowania elektromagne-tycznego. Doświadczalne potwiedzenie istnienia promieniowania pozwoliło uzanać pola zaniezależne obiekty dynamiczne. W ten sposób od badania ładunków przechodzi się do ba-dania pól.

1.3 Równania Maxwella

(i) ∇ ·E = ρ/ε0 prawo Gaussa,(ii) ∇ ·B =0 bezźródłowość,(iii) ∇×E = −∂B/∂t prawo Faradaya,

(iv) ∇×B =µ0J+µ0ε0(∂E/∂t)poprawioneprawo Ampere’a.

Powyższe równania dopuszczają istnienie dwóch rodzajów ładunku elektrycznego. Wsposób niejawny równania te zawierają równanie ciągłości

∇ · J+∂ρ∂t= 0.

Ładunku nie można ani wytwarzać ani zniszczyć. Do badania ruchu cząstek naładowanychniezbędne jest dodatkowe równanie, podające siłę działającą na ładunek w polu EM – tzw.siłę Lorentza

F =q(E+ v ×B).

1.4 Granice stosowalności klasycznej elektrodynamiki 3

Występujące w równaniach Maxwella pole elektryczne E i pole magnetyczneB zdefiniowanow oparciu o siłę Lorentza.Coulomb mierzył siły oddziaływania między ładunkami a Ampere – siłę między przewod-nikami z prądem. Pola E i B stanowią wygodny sposób opisu tych sił. Dodatkowo posiadająinne ważne cechy, niezależne od źródeł. Zauważmy, że:

• różne rozkłady ładunku mogą dawać te same pola

• pola mogą istnieć tam, gdzie nie ma ładunków.

Pojawienie się pól elektromagnetycznych stanowi jedną z najbardziej owocnych koncepcjiw fizyce klasycznej i kwantowej.

1.4 Granice stosowalności klasycznej elektrodynamiki

W większości zagadnień makroskopowych można całkowicie zaniedbać ziarnistość ładunkuelektrycznego. Kondensator o pojemności C = 1µF naładowany do napięcia 150 V nakażdej okładce ma ok. 1015 ładunków elementarnych. Prąd o natęrzeniu i = 1µA odpowiadaprzepływowi ok. 1013 ładunków elementarnych na sekundę.Istnieją jednak sytuacje makroskopowe, w których można zaobserwować ziarnistość ła-dunku elektrycznego. Przykłdem może być doświadczenie Millikana z kropelkami oleju ośrednicy 1µm.Pola E i B w elektrodynamice klasycznej stanowią graniczne przybliżenie opisu kwan-towego dla dużych liczb kwantowych. W opisie zjawisk makroskopowych a nawet wieluzjawisk w skali atomowej nieciągła, falowa struktura pola elektromagnetycznego może byćzaniedbana lub uśredniona.W odległości 1 m od 100 W żarówki średnie pole elektryczne jest rzędu 0,5 V/cm, coodpowiada strumieniowi fotonów widzialnych rzędu 1015/ cm2 · s.W odległości 100 km od izotropowej anteny UKF (100 MHz) E jest jedynie rzędu 5

µV / cm co wciąż odpowiada strumieniowi 1012/ cm2 · s. Zwykłe przyrządy nie są czułe napojedyncze fotony. Rejestrują one łączny efekt wywołany emisją lub absorpcją olbrzymiejliczby fotonów. W takich sytuacjach opis oparty na równaniach Maxwella jest całkowiciepoprawny.Można przyjąć następujące kryterium poprawności opisu przy użyciu klasycznego polaelektromagnetycznego. Opis klasyczny można stosować wtedy, gdy liczba fotonów biorącychudział w zjawisku jest duża, a ich pęd jest niewielki w porównaniu z pędami charaktery-stycznymi badanego układu.Każdy z fotonów anteny UKF (100MHz) wymienia z nią pęd rzędu 10−34N · s. Gdy pędfotonów hν/c staje się porównywalny z mc, gdzie m jest masą spoczynkową elektronu, jakto ma miejsce w rozpraszaniu Comptona, konieczny jest opis kwantowy.Zjawisko fotoelektryczne wymaga opisu kwantowego w odniesieniu do elektronów. Prądfotoelektryczny można opisywać w przybliżeniu klasycznym dla pola elekromagnetycznego.

4 1. WSTĘP

1.5 Prawo Coulomba i masa fotonu

Dane są ładunki elektryczne q1, q2, ..qi, .., które nazwiemy źródłami. działają one na ładunekQ (nazwijmy go próbnym). Przy obliczaniu siły działającej na ładunek Q wykorzystuje sięzasadę liniowej superpozycji.

F = F1 + F2 + F3 + ..

Równania Maxwella są liniowe względem pól E i B. Liniowość ta pozwala prowadzić setkirozmów telefonicznych za pomocą jednego połączenia mikrofalowego. W pewnych warun-kach występują w niektórych materiałach również zjawiska nieliniowe. W póżni lub w ob-szarach atomów i jąder atomowych fakty doświadczalne potwierdzają zasadę superpozycjilinowej. Nasuwają się przykłady urządzeń w których wykorzystana jest ta zasada (trans-formatory, linie przesyłowe, dyfrakcja, rozszczepienie światła).Odstępstw od tej zasady można oczekiwać podczas zbliżenia naładowanych cząstek nabliskie odległości. Na tym poziomie natężenie pól elektrycznych staje się ogromne. Aby unik-nąć nieskończonej energi własnej ładunku punktowego rozsądne wydaje się przypuszczenie,że zachodzi pewnego rodzaju nasycenie. Takie klasyczne nieliniowe teorie były rozważane(Born, Infeld 1934).Występuje też kwantowa nieliniowość pól elektromagnetycznych. Zasada nieokreślonościdopuszcza możliwość wytworzenia przez dwa fotony pary elektron-pozyton, która następnieprzekształca się w dwa inne fotony. Zjawisko to nosi nazwę rozpraszania fotonów na foto-nach. Wirtualne procesy (tworzenie par) wyższych rzędów są odpowiedzialne za oddziały-wanie pomiędzy polami EM nawet w nieobecności cząstek. Pojawia się też efekt polaryzacjipróżni, wywołujacy małe przesunięcie poziomów elektronowych w atomach, związane zestałą subtelnej struktury

α =14πε0

e2

~c' 1137.

Wróćmy do znalezienia siły działającej na ładunek próbny Q w przypadku, gdy wszystkieładunki źródłowe spoczywają a może przemieszczać się jedynie ładunek próbny (elektro-statyka). W przypadku jednego ładunku źródłowego q odpowiedź daje prawo Coulomba

F =14πε0

qQ

R2R

gdzie

R = RR,

R=r− r′,

ε0 = 8, 85 · 10−12C2

N ·m2

= 1/(4π · 9 · 109) C2

N ·m2

1.5 Prawo Coulomba i masa fotonu 5

Wielokrotnie sprawdzano prawo Coulomba. Wyniki doświadczeń podaje się w dwojaki spo-sób:

• Zakłada się zależność siły od odległości w postaci

1/r2+α

Uzyskiwano różne wyniki oszacowania dla parametru α od α 6 10−5 do 10−16.

• Przyjmuje się potencjał elektrostatyczny w formie potencjału Yukawy1rexp (−r/λ)

a następnie oszacowuje się zasięg λ = h/µc poprzez masę spoczynkową lub energięspoczynkową fotonu. Wyniki pomiarów dają oszacowanie dla masy µ 6 1, 6 · 10−50 kglub energii spoczynkowej µc2 6 5 · 10−16 eV.

W powyższym sensie oddziaływania kulombowskie i grawitacyjne mają nieskończony za-sięg (λ → ∞). Wynika on z wymiany bezmasowych cząstek: fotonów i grawitonów. Zależ-ność 1/r2 w prawie Coulomba uważa się za następstwo zerowej masy spoczynkowej fotonów.Czas życia wirtualnego fotonu można oszacować z zasady nieokreśloności Heisenberga

∆E ·∆t ∼ h.

Przyjmując ∆E = µc2 dostaje się

∆t ∼ h

µc2,

co daje zasięg

λ = c∆t =h

µc

Dla µ = 0 zasięg λ staje się nieskończony.

Zadanie 1 Dlaczego ładunki elektronu i protonu są sobie dokładnie równe. Założyć, że róż-nią się o 1% i policzyć sił ę odpychania dwóch miedzianych monet (zadanie z Feynmanna).Wniosek – są równe bo inaczej nie byłoby molekuł.

Zadanie 2 Model atomu Thompsona. Pierwsza historycznie próba obliczenia rozmiaru ato-mu i wyjaśnienia linii widmowych, czyli obliczenia częstości drgań oscylatora. Rozszerzenie,kiedy pojawi się polaryzacja dielektryków. Przyjąć siłę anharmoniczną w nawiązaniu dooptyki nieliniowej.

Zadanie 3 Rachunek z operatorem nabla. Przypomnienie wzorów z div grad, rot div, rotrot. Nabla w działaniu na różne funkcje r.

6 1. WSTĘP

2ELEKTROSTATYKA

2.1 Oddziaływania elektrostatyczne

Najpierw zajmiemy się siłą wywieraną przez ładunek q na ładunek Q, który nazywać bę-dziemy ładunkiem próbnym. Problem ten opisuje prawo Coulomba

F =14πε0

qQ

R2R,

gdzie

R= r− r′,

a

ε0 = 8.854187817× 10−12C2

Nm2.

2.2 Pole elektryczne

Siła wywierana na ładunek próbny Q przez wiele ładunków źródłowych qi ma postać

F=F1 + F2 + .... =14πε0

(q1Q

R21R1 +

q2Q

R22R2 + ....

)=

Q

4πε0

(q1R21R1 +

q2R22R2 + ...

)

8 2. ELEKTROSTATYKA

Inaczej

F =Q·E

gdzie

E =14πε0

n∑i=1

qiR2iRi

nazywa się natężeniem pola elektrycznego. Pole E(r) można interpretować jako siłę działa-jącą na jednostkowy ładunek próbny umieszczony w punkcie r.Można się zastanawiać, czym jest natężenie pola? Ponieważ nie ma w pełni zadawajającejodpowiedzi poprzestaje się na podaniu sposobu pomiaru.

2.3 Ciągłe rozkłady ładunku

Jeśli ładunek jest rozlożony w sposób ciągły w pewnym obszarze, to zamiast sumą wypadaposłużyć się całką

E (r) =14πε0

∫1R2Rdq.

Dla objętościowego rozkładu ładunku z gęstością ρ mamy

E(r) =14πε0

∫V

ρ (r′)R2Rd3r′.

Jeśli ładunek jest rozmieszczony w sposób ciagły wzdłuż krzywej z gęstością liniową λ, to

E(r) =14πε0

∫L

λ (r′)R2Rdl′.

Gdy ładunek rozłożony jest na powierzchni z gęstością powierzchniową σ, to

E(r) =14πε0

∫S

σ (r′)R2Rds′,

gdzie ds′ jest infinitezymalnym elementem powierzchni.

2.4 Linie pola, strumień i prawo Gaussa

Rozważmy najprostrzy przypadek pojedynczego ładunku punktowego q, znajdującego sięw początku układu współrzędnych

E(r) =14πε0

q

r2r.

2.4 Linie pola, strumień i prawo Gaussa 9

Obliczmy strumień pola przez powierzchnię S

ΦE =∫S

E·dS,

gdzie dS =dSn jest wektorem o kierunku normalnej n do powierzchni dS. Jeśli S będziepowierzchnią zamkniętą, to w przypadku ładunku punktowego

ΦE =(14πε0

q

r2

)(4πr2

)=

q

ε0

nie zależy od r.Ogólnie∮

S

E·dS = 1ε0Qwew,

gdzie

Qwew =∫V

ρd3r.

Jest to prawo Gaussa w postaci całkowej. Można je przekształcić korzystając z twier-dzenia Gaussa o dywergencji∮

S

E · dS =∫V

(∇ ·E) d3r,

które prowadzi do następującego związku∫V

(∇ ·E) d3r = 1ε0

∫V

ρd3r.

Wzór ten obowiązuje dla dowolnego obszaru całkowania, co oznacza równość funkcji pod-całkowych

∇ ·E = 1ε0ρ(r).

W ten sposób dostaliśmy prawo Gaussa w postaci różniczkowej.PRZYKŁADObliczyć dywergencję pola od objętościowego rozkładu ładunku

E(r)=14πε0

∫V∞

RR2

ρ(r′)d3r′.

10 2. ELEKTROSTATYKA

Ponieważ

∇ ·E(r)= 1ε0ρ(r),

więc musi być

14π∇ ·

(RR2

)= δ(R).

Symbol

δ(R) = δ(x− x′) δ(y − y′) δ(z − z′)

oznacza potrójną deltę Diraca o własności∫f(r′)δ(R)d3r′ = f(r).

PRZYKŁADZnaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad środkiem odcinka odlugości 2L, naładowanego jednorodnie z gęstością liniową λ.Rozwiązaniedq = λdx

dE =14πε0

2λdxR2(R · z)z,

dE=14πε0

2λdxx2 + z2

cos θ,

gdzie

cos θ =z√

x2 + z2.

E =14πε0

∫ L

0

2λz

(x2 + z2)3/2dx

E =2λz4πε0

x

z2√x2 + z2

∣∣∣∣L0

E =14πε0

2λL

z√L2 + z2

2.5 Zastosowania prawa Gaussa 11

Przypadek z L

E =14πε0

Qtotz2

.

Przypadek L→∞

E =12πε0

λ

z.

2.5 Zastosowania prawa Gaussa

2.5.1 Symetria sferyczna

Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunkuq.Obliczamy strumień przez kulistą “powierzchnię Gaussa” o promieniu r > R

Φ =∮S

E·ds =∮S

Eds

= E∮ds = 4πr2E

Prawo Gaussa głosi, że dla tej powierzchni, jak i dla jakiejkolwiek innej, Φ = q/ε0, czyli

4πr2E =1ε0q,

skąd po uwzględnieniu kierunku i zwrotu wektora E dostajemy

E =14πε0

q

r2r.

Natężenie pola E jest takie samo jak dla ładunku punktowego, skoncentrowanego w środkukuli

2.5.2 Symetria osiowa

Znaleźć E wewnątrz długiego walca o radialnym rozkładzie gestości ładunku

ρ = kr.

Obliczamy całkę

Qwew =∫ρd3r′


we współrzędnych walcowych

Qwew =∫ (

kr′) (r′dϕ′dz′dr′

)= 2πkl

r∫0

r′2dr′ =23πklr3.

Obliczamy strumień dla powierzchni Gaussa w kształcie walca o długości l i promieniu r

Φ = E (2πrl) .

Wkład od płaskich części powierzchni walca został pominięty, ponieważ tam E jest prosto-padłe do dS. Z twierdzenia Gaussa dostajemy

E · 2πrl = 1ε0

(23πklr3

),

skąd po uwzględnieniu radialnej symetrii pola

E =13ε0

kr2r,

a więc pole elektryczne wzrasta proporcjonalnie do r2. Jak pamiętamy dla cienkiej nałado-wanej nici natężenie pola E maleje jak 1/r.

2.5.3 Symetria płaszczyznowa.

Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością powierzchniową σ. Zna-leźć natężenie pola elektrycznego.Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie pudełka, którego ścianki znajdują sie wrównej odległości nad i pod naładowana płaszczyzną. Z symetrii układu wynika. że poleE jest skierowane prostopadle do płaszczyzny. Boki pudełka nie wniosą żadnego wkładu.Strumień będzie pochodził od górnej i dolnej powierzchni pudełka∮

Eds =2AE

Z twierdzenia Gaussa mamy

2AE =1ε0σA,

inaczej

E =σ

2ε0n

Tym razem pole nie zależy od odległości od plaszczyzny.

2.5 Zastosowania prawa Gaussa 13

2.5.4 Rotacja pola elektrostatycznego

Dla pola pochodzącego od ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współ-rzędnych

E =14πε0

q

r2r

obliczamy całkę krzywoliniową wzdłuż krzywej biegnącej od jakiegoś dowolnego punktu ado punktu b

b∫a

E·dl

Najlepiej będzie wprowadzić współrzędne kuliste, dla których

dl =drr+ rdθθ + r sin θdϕϕ.

Wtedy

b∫a

E·dl= 14πε0

b∫a

q

r2dr

= − 14πε0

q

r

∣∣∣∣rbra

=14πε0

(q

ra− q

rb

).

Dla krzywej zamkniętej otrzymamy∮E·dl =0.

Stosując twierdzenie Stokesa∫(∇×E) · ds =

∮E·dl

otrzymuje się

∇×E =0.

Dla wielu ładunków punktowych wynik będzie taki sam, bo całkowite pole elektryczne Ejest wektorową sumą pól pochodzacych od każdego z ładunków

E= E1+E2 + ....

Licząc rotację tego pola dostajemy

∇×E= ∇×E1 +∇×E2 + ..... = 0.

Tak więc dla dowolnego statycznego rozkładu ładunków rotacja pola elektrycznego znika

∇×E =0


2.6 Potencjał elektryczny

Ponieważ zawsze;

∇× (∇φ) = 0

rot (gradφ) = 0

wobec tego możemy wyobrazić sobie, że

E = −∇V

gdzie V = V(r) jest funkcją skalarną. Ponieważ ∇×E =0, więc całkab∫a

E·dl = −b∫a

∇V(r) · dl

nie zależy od wyboru drogi a jedynie od punktów a i b. Z drugiej strony, podstawowetwierdzenie dla gradientów pozwala napisać

−b∫a

Edl =V(b)−V(a).

Ważny jest wybór punktu odniesienia, mimo, że nie wpływa on na wartość pola E, gdyż dlaV′ = V+const∇V′ =∇V, co oznacza równość E = E′. Jeśli znajdziemy jakiś standardowypunkt odniesienia O, dla którego możemy przyjąć V = 0 (na przykład w niekończoności),wtedy

V(r) =−r∫O

E·dl

staje się zależne jedynie od r.Do opisu pola elektrycznego możemy teraz używać zamiast wektora E = (Ex, Ey, Ez)funkcji skalarnej V = V(x, y, z). Dlaczego? Punkt odniesienia w ∞ nie zawsze jest doprzyjęcia. Nie mylić potencjału z energią potencjalną.Ponieważ

F = F1 + F2 + ....[1N],

więc dzieląc przez Q mamy

E = E1 +E2....[1N

C=1niutonkulomb

]

Całkując od wspólnego punktu doniesienia do r widzimy ,że

V = V1+V2+.....[1N ·mC=1V]

Potencjał, podobnie jak siła i natężenia pola, podlega zasadzie superpozycji. Tyle, że jestto suma algebraiczna.

2.6 Potencjał elektryczny 15

2.6.1 Równanie Poissona i Laplace’a

Jaką postać przybiorą równania dla pola elektrycznego

E=−∇V,

∇ ·E= ρε0, ∇×E =0

Łącząc powyższe równania

−∇ · (∇V) = ρ

ε0

otrzymujemy równanie Poissona

∆V = − ρε0.

Otrzymaliśmy równanie Poissona. W obszarach bez ładunku przechodzi ono w równanieLaplace’a

∆V = 0

2.6.2 Potencjał ładunku zlokalizowanego

Jeśli przyjmiemy za punkt odniesienia punkt w nieskończoności

V(r) = −r∫∞

E·dl

a ładunek punktowy znajduje się w początku układu współrzędnych, to

V(r) = − 14πε0

r∫∞

q

r′2dr′ =

14πε0

q

r

∣∣∣∣r∞=14πε0

q

r

V(r) =14πε0

q

r

V(r) =14πε0

n∑i=1

qiRi

V(r) =14πε0

∫ρ(r′)R

d3r′

Jest to odwrócenie równania Poissona, czyli poniekąd jego rozwiązanie w przypadku ładun-ków rozłożonych z gęstością ρ. Warto porównać ten wynik ze wzorem na natężenie polaelektrycznego

E(r) =14πε0

∫ρ(r′)R2Rd3r′.

Pamiętajmy, o punkcie odniesienia w nieskończoności.


2.6.3 Warunki graniczne

W natężeniu pola elektrycznego występuje skok przy przekraczaniu powierzchni, na którejzgromadzony jest ładunek powierzchniowy

E⊥nad − E⊥pod =1ε0σ,

co wynika z przykładu dla naładowanej płaszczyzny. Ze znikania rotacji otrzymuje się

Eqnad = E

qpod.

Oba warunki można zebrać w formie jednego wzoru

Enad −Epod =σ

ε0n,

gdzie n jest wektorem jednostkowym, prostopadłym do powierzchni, skierowanym od “do-łu” do “góry”.W odróżnieniu od pola E potencjał jest ciągły na dowolnej powierzchni granicznej, po-nieważ

Vnad−Vpod = −∫ baE·dl→0

więc

Vnad = Vpod .

Jednak gradient potencjału wykazuje taką samą nieciągłość, jak poleE. PonieważE = −∇V,więc

∂Vnad∂n

− ∂Vpod∂n

= − 1ε0σ,

przy czym

∂V∂n= ∇V ·n.

2.7 Praca przy przesunięciu ładunku

W = −Q∫ baE·dl =Q [V(b)−V(a)]

V(b)−V(a) = W

Q

2.7 Praca przy przesunięciu ładunku 17

Praca przesunięcia ładunku Q z dużej odległości wynosi

W = Q [V(r)−V(∞)] .

Jeśli V(∞) przyjmiemy za potencjał odniesienia, to

W = QV(r).

Możemy powiedzieć, że potencjał jest energią potencjalną - czyli pracą - jaką należy wyko-nać, aby utworzyć dany rozkład ładunków, przpadająca na jednostkę ładunku.

2.7.1 Energia układu ładunków

Spróbujemy ustalić, jaką pracę należy wykonać, aby utworzyć układ kilku ładunków punk-towych. Umieszczenie pierwszego ładunku nie wymaga pracy. Dla drugiego mamy

W2 =14πε0

q2

(q1R12

)

W3 =14πε0

q3

(q1R13+

q2R23

)

W4 =14πε0

q4

(q1R14+

q2R24+

q3R34

).

Całkowita praca, konieczna do utworzenia układu 4 ładunków opisana jest sumą

W =14πε0

(q1q2R12+q1q3R13+q1q4R14

+q2q3R23+q2q4R24+q3q4R34

)

W =1214πε0

∑i

∑j 6=i

qiqjRij. (2.1)

Inaczej

W =12

∑i

qi∑j 6=i

14πε0

qjRij

lub

W =12

∑i

qiV(ri). (2.2)

Taką pracę należy wykonać, aby utworzyć układ ładunków punktowych. Jest to enegiazgromadzona w danej konfiguracji ładunków.


2.7.2 Energia ciągłego rozkładu ładunków

W przypadku objętościowego rozkładu ładunków wzór (2.2) przybiera postać

W =12

∫ρV d3r.

Ponieważ

ρ = ε0∇ ·E,

więc

W =ε02

∫(∇ ·E)V d3r,

skąd, wykorzystując twierdzenie o dywergencji dla pola VE otrzymuje się

W =ε02

− ∫ E · (∇V) d3r + ∮S

VE·ds

,co można zapisać jako

W =ε02

[∫E2d3r +

∮SVE·ds

].

Przy S → ∞ całka objętościowa wzrasta a całka powierzchniowa zmierza do zera. W tensposób dochodzimy do wyniku

W =ε02

∫V∞

E2 d3r,

króry pozwala utożsamić funkcję ε0E2/2 z objętościową gęstością energii pola elektrycznego

w =ε02|E|2 .

Pewna własność ostatniego wzoru może wywołać zdziwienie. Gęstość energii pola w jest zdefinicji dodatnia, zatem całka objętościowa nie może być ujemna. Jest to w sprzeczności zewzorem (2.1), który daje ujemną energię dla ładunków o przeciwnych znakach. Powodem tejsprzeczności jest pominięcie tzw. energii własnej”we wzorze (2.1). Widać to na przykładziedwóch ładunków, które wytwarzają w punkcie r pole

E =14πε0

(q1R21R1 +

q2R22R2

).

Odpowiednia gęstość energii wynosi

w =1

32π2ε0

(q21R41+q22R42

)

+1

16π2ε0

(q1q2R21R22

R1R2

).

2.7 Praca przy przesunięciu ładunku 19

Pierwszy składnik jest energią własną. Drugi składnik daje energię potencjalną, zawartąwe wzorze (2.1), co można sprawdzić obliczając całkę

W =q1q2

(4π)2 ε0

∫R1R2R21R22

d3r (2.3)

po całej przestrzeni wypełnionej przez pole (zadanie 7).

Zadanie 4 Obliczyć ”klasyczny promień elektronu”, to znaczy scałkować gestość energiipola elektrycznego wytwarzanego przez elektron i przyrównać go, zgodnie ze wzorem Einste-ina, do mc2. Znajac mase elektronu obliczyć jego promień. Uzyskany wynik można uważaćza granicę stosowalności elektrodynamiki klasycznej.

Zadanie 5 Obliczyć energię jonizacji atomu wodoru. Zadajac gestość ładunku dla stanupodstawowego ρ = exp(−r/aB), gdzie aB jest promieniem pierwszej orbity Bohra, wyliczyćenergię pola wytwarzanego przez elektron. Wynik zgadza sie z mechaniką kwantową.

Zadanie 6 Dla nabrania wprawy w posługiwaniu się operatorem “nabla” rozważyć dipolw przybliżeniu dużych odległości. Określić linie ekwopotencjalne i linie sił pola w układziebiegunowym.

Zadanie 7 Wykazać, że całkowanie po nieskończonej objętości we wzorze (2.3) prowadzido wyniku

W =14πε0

q1q2R12.

Wskazówka: Wprowadzić zamiast r nową zmienną całkowania ρ =R1/R12 oraz skorzystaćz tożsamości

∇ρ1∣∣∣ρ+R12∣∣∣ = −

ρ+R12∣∣∣ρ+R12∣∣∣3 .2.7.3 Trzy typy relacji

Pojawienie się trzech powiązanych ze sobą wielkości ρ→ E→ V, związanych odpowiednioz ładunkiem, polem elektrostatycznym i potencjałem skalarnym, prowadzi do trzech typówrelacji:

(E : ρ) E=1/ (4πε0)∫ (ρ/R2

)Rd3r′

∇ ·E=ρ/ε0, ∇×E = 0,

(E : V)E = −∇VV = −

∫E · dl ,

(V : ρ)V = 1/ (4πε0)

∫(ρ/R) d3r′

4V = −ρ/ε0.


2.8 Przewodniki

Dla metali obowiązuje prawo Ohma

J =σE,

gdzie σ jest współczynnikiem przewodnictwa (nie mylić z gęstością powierzchniową ła-dunku), a J = ρv jest wektorem gęstości (objętościowej) prądu elektrycznego ładunkówporuszających się ze średnią prędkością v. Za J kryje się ładunek elektryczny przepły-wający w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do v, czyli prądprzypadający na jednostkowy przekrój poprzeczny przewodnika. W elektrostatystyce niema prądów, czyli J = 0. Stąd wynika szereg własności przewodników.

1. We wnętrzu przewodnika E = 0. W izolatorach elektrony są związane, natomiast wprzewodniku metalicznym elektrony walencyjne z każdego atomu mogą przemieszczaćsię swobodnie wewnątrz całej objętości materiału. Idealnym przewodnikiem byłbymateriał o nieskończonej liczbie ładunków. Wiele metali ma własności zbliżone doidealnych.przwodników.

2. Pole wytworzone przez ładunki indukowane kompensuje pole zewnętrzne. Gęstość ła-dunku znika we wnętrzu przewodnika. Z równania ∇ · E =ρ/ε0 przy E = 0 wynika,że w każdym miejscu wewnątrz przewodnika ρ = 0.

3. Niekompensowany ładunek może występować jedynie na powierzchni.

4. Potencjał w przewodniku jest stały, gdyż E = −∇V jest równe zeru dla V=const.

5. W pobliżu powierzchni E jest prostopadłe do powierzchni (czyli ma kierunek normal-nej E ‖dS = dSn).

Dla dwóch przewodzących kul o różnych promieniach, połączonych cienkim przewodem,można wykorzystać dwie proporcje V ∼ q/r oraz σR2 ∼ q. Ponieważ ich potencjały sąjednakowe

q1R1=

q2R2

oraz

σ1R21

R1=σ2R

22

R2,

skąd

σ1R1 = σ2R2.

2.8 Przewodniki 21

Ogólnie

σR = const.

Małemu promieniowi krzywizny R przewodnika odpowiada duża gęstość powierzchniowaładunku σ, a więc duże natężenie pola E na zewnątrz. Energia naładowanego przewodnikaprzybiera wartość minimalną, gdy ładunek rozmieszczony jest na jego powierzchni.

2.8.1 Wnęka wewnątrz przewodnika

Jeśli wydrążymy przewodnik i we wnęce nie umieścimy ładunku, to pole w niej będzie równeE = 0. Nie będzie również zależało od kształtu wnęki. Żadne pole nie wniknie do wnęki,gdyż zostaje skompensowane przez ładunki indukowane.Można wydrążyć wnętrze przewodnika. Pole nadal będzie równe zeru, jeśli nie ma wew-nątrz ładunku. Na powierzchni wnęki nie może występować ładunek powierzch-niowy. Jesteśmy bezpieczni w samochodzie w czasie burzy. Przewodnik jest doskonałymekranem przed zewnętrznymi polami. Nawet siatka metalowa wystarcza. Czułe przyrządyumieszcza się w uziemionej klatce Faradaya

2.8.2 Ładunki powierzchniowe

Dla powierzchni

Ezew −Ewew =σ

ε0n.

W przewodniku Ewew = 0, a n jest prostopadły do powierzchni, więc

Epow =σ

ε0n

∂V

∂n= − σ

ε0(2.4)

2.8.3 Układ przewodników

W przypadku układu wielu przewodników potencjał każdego z nich przestaje się wyrażaćprostym wzorem, a przyjmuje postać

Vi =∑i

αijqj

gdzie qj jest ładunkiem zgromadzonym na przewodniku o potencjale Vj , a αij są współ-czynnikami zależnymi od geometrii rozkładu przewodników. Powyższy układ równań możnaodwrócić

qi =∑j

Cij Vj . (2.5)


Współczynniki Cij nazywają się współczynnikami indukcji, a dla i = j współczynnikiCii = Ci nazywają się pojemnościami. Dla pojedynczego przewodnika

C =q

V.

Jest to wielkość czysto geometryczna. Przypuśćmy, że mamy dwa przewodniki. Na jednymumieszczamy ładunek +q a na drugim ładunek −q. Wtedy

V = V+−V− .

Układ dwóch przewodników, z których jeden jest całkowicie ekranowany przez drugi, nosinazwę kondensatora. Ponieważ V = q/C energia związana z naładowaniem układu dwóchprzewodników wynosi

W =∫(V−0) dq =

q∫0

q′

Cdq′ =

12q2

C.

Otrzymany wzór można zapisać w postaci

W =12C V2,

gdzie V jest końcowym potencjałem (różnicą potencjałów) dwóch przewodników. Energiępotencjalną układu przewodników

W =12

∑qiVi

można zgodnie ze wzorem (2.5) przedstawić w postaci

W =12

∑∑Cij ViVj .

2.9 Specjalne metody elektrostatyki

Rozwinięto specjalne metody rozwiązywania równań Laplace’a i Poissona w 1, 2 i 3 wymia-rach. Udowodniono szereg twierdzeń matematycznych poszukując jednoznacznych rozwią-zań dla określonych warunków granicznych i brzegowych. Pojawia się pytanie: przy jakichwarunkach istnieje jednoznaczne, regularne i ciągłe względem warunków brzegowych (czylimające sens fizyczny) rozwiązanie powyższych równań w ograniczonym obszarze?Należaloby pokazać, że wewnątrz objętości V rozwiązania równania

4V = −ρ/ε0

2.9 Specjalne metody elektrostatyki 23

spełniające warunki brzegowe Dirichleta (V) lub Neumana (∂V /∂r) na zamkniętej po-wierzchni S ograniczającej tę objętość są jednoznaczne. Innymi słowy, należy pokazać, żenie ma dwóch rozwiązań V1 i V2, spełniających te same warunki brzegowe dla których

U = V1−V2

byłoby różne od zera wewnątrz V. Ponadto nie istnieje na ogół rozwiązanie równania Pois-sona, spełniające warunki Cauchy’ego, polegające na jednoczesnym określeniu zarówno Vjak i ∂V /∂r na powierzchni zamkniętej. Te i tym podobne problemy są dyskutowane wksiażkach poświęconych rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych.

2.9.1 Metody oparte na funkcjach Greena

Wykorzystuje się dwie tożsamości Greena. Często korzysta się z całej klasy funkcji zwanychfunkcjami Greena. Jedną z nich już poznaliśmy. Równanie

4V = −ρ/ε0 (2.6)

dla ładunku punktowego przyjmuje postać

4(14πε0

q

r

)= − q

ε0δ(r) =⇒ ∆(1

r) = −4πδ(r).

Funkcja Greena o postaci

G(r, r′) = − 14π

[1R+ F (r, r′)

],

przy czym ∆F = 0, spełnia równanie

4G(r, r′) = δ(r− r′),

co łatwo sprawdzić przez podstawienie. Może być ona wykorzystana do znalezienia rozwią-zania równania (2.6) w postaci transformacji całkowej

V(r) =∫G(r, r′)

(− ρε0

)d3r′.

2.9.2 Metoda separacji zmiennych

Rozpocznijmy od przykładu dwuwymiarowego równania Laplace’a we współrzędnych kar-tezjańskich

∂2V∂x2+∂2V∂y2= 0. (2.7)


Poszukujemy rozwiązania w postaci iloczynu dwóch funkcji

V(x, y) = X(x)Y (y). (2.8)

Jest to ograniczenie, które pozwoli nam uzyskać pewną część możliwych rozwiązań. Popodstawieniu (2.8) do (2.7) otrzymuje się

Yd2X

dx2+X

d2Y

dy2= 0 =⇒ f(x) + g(y) = 0

dla wszystkich x i y. Równość taka zajdzie tylko wtedy, gdy f i g są stałymi, czyli

1X

d2X

dx2= C1,

1Y

d2Y

dy2= C2, C1 + C2 = 0.

Inaczej

d2X

dx2= k2X,

d2Y

dy2= −k2Y.

Równanie Laplace’a we współrzędnych kulistych przyjmuje postać

1r2

∂

∂r(r2

∂V∂r) +

1r2 sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂V∂θ) +

1r2 sin2 θ

∂2V∂ϕ2= 0.

Dla przypadku symetrii osiowej, gdy V(r, θ) nie zależy od ϕ

∂

∂r(r2

∂V∂r) +

1sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂V∂θ) = 0.

Poszukujemy rozwiązań w postaci iloczynu

V(r, θ) = R(r)Θ(θ).

Prowadzi to do dwóch równań różniczkowych zwyczajnych

1R

d

dr

(r2dR

dr

)= l(l + 1)

1Θ sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)= −l(l + 1).

Oznaczenie stałej przez l(l + 1) nie jest tu istotne. Rozwiązanie powyższych równań mapostać

R(r) = Arl +B

rl+1,

Θ(θ) = Pl(cos θ).

2.9 Specjalne metody elektrostatyki 25

Rozwiązanie na R(r) można sprawdzić przez podstawienie. Drugie równanie jest trudniejszedo rozwiązania. Trzeba posłużyć się wielomianami Legendre’a Pl, które dane są w postaciwzoru Rodriguesa

Pl(x) =12ll!

(d

dx

)l (x2 − 1

)l.

W szczególności

P0(x) = 1

P1(x) = x

P2(x) =12

(3x2 − 1

)P3(x) =

12

(5x3 − 3x

)Rozwiązanie równania Laplace’a dla potencjału o symetrii osiowej ma postać

V (r, θ) =∞∑l=0

(Alr

l +Blrl+1

)Pl (cos θ) .

2.9.3 Rozwinięcie multipolowe

Ciekawy wynik: Wprowadźmy funkcję

1R=1r

∞∑n=0

(r′

r

)nPn(cos θ′) (2.9)

do wyrażenia na potencjał w przypadku ciągłego rozkładu ładunku o gęstości ρ

V (r) =14πε0

∫1Rρ(r′)d3r′.

Powyższy wzór daje się zapisać w postaci tak zwanego rozwinięcia multipolowego

V(r) =14πε0

∞∑n=0

1r(n+1)

∫(r′)nPn(cos θ′)ρ(r′)d3r′.

względem potęg 1/r.Jak sprawdzić relację (2.9)? Zauważmy, że

R2 = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′

R2 = r2[1 +

(r′

r

)2− 2

(r′

r

)cos θ′

]


podstawiając

ε =(r′

r

)(r′

r− 2 cos θ′

)otrzymamy

R = r√1 + ε.

Dla r r′ mamy r′/r 1, ε 1. Wobec wyrażenie 1/√1 + ε tego możemy rozwinąć na

szereg względem ε

1√1 + ε

= 1− 12ε+38ε2 − 516ε3 + ....

ponieważ

11!· ddε

1√1 + ε

= −12

1

(1 + ε)3/2

12!· d2

dε21√1 + ε

=38

1

(1 + ε)5/2

itd. Wykorzystując powyższe rozwinięcie oraz wprowadzając r, r′ i θ otrzymujemy

1R=1r

[1− 12

(r′

r

)(r′

r− 2 cos θ′

)+38

(r′

r

)2 (r′r− 2 cos θ′

)2

− 516

(r′

r

)3 (r′r− 2 cos θ′

)3+ ...

]

Po wymnożeniu dostajemy

1R=1r

[1 +

(r′

r

)cos θ′ +

12

(r′

r

)2 (3 cos2 θ′ − 1

)+12

(r′

r

)3 (5 cos3 θ′ − 3 cos θ′

)+ ....

]

2.9.4 Metoda obrazów

Metodę obrazów można najprościej przedstawić na przykładzie ładunku q umieszczonego wodległości d nad nieskończona płaszczyzną przewodzącą. Zapomnijmy na chwilę o naszymproblemie. Rozważmy układ złożony z dwóch ładunków, ładunku q w punkcie (0, 0, d) orazładunku −q w punkcie (0, 0,−d) bez płaszczyzny przewodzącej. Odpowiedni potencjał mapostać

V(x, y, z) =14πε0

q√x2 + y2 + (z − d)2

− q√x2 + y2 + (z + d)2

.

2.10 Pola elektryczne w materii 27

Tym sposobem odgadnięte zostało rozwiązanie równania Poissona, które dla z > 0 spełnianastępujące warunki brzegowe

1. V = 0 dla z = 0,

2. V → 0 dla r2 d2,

a jedynym ładunkiem w tym obszarze jest ładunek q w punkcie (0, 0, d). Jest to równieżrozwiązanie naszego pierwotnego zagadnienia. Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązańgwarantuje nam, że nie istnieje inne rozwiązanie spełniające te same warunki brzegowe.Przy okazji można policzyć ładunek powierzchniowy. Ponieważ Ez = −∂V/∂z jest pros-topadłe do płaszczyzny przewodzącej, zgodnie ze wzorem (2.4)

σ (x, y) = − ε0∂V

∂z

∣∣∣∣z=0=

−qd2π(x2 + y2 + d2)3/2

,

a ładunek całkowity indukowany na płaszczyźnie wynosi

Q =2π∫0

∞∫0

−qd2π(r2 + d2)3/2

rdrdϕ

=qd√r2 + d2

∣∣∣∣∞0= −q.

Energia pojedynczego ładunku nad płaszczyzną przewodzącą wynosi

W = − 14πε0

q2

4d,

co stanowi połowę energii oddziaływania ładunku q i −q. Dlaczego?

2.10 Pola elektryczne w materii

2.10.1 Polaryzacja elektryczna

Mówiliśmy już o przewodnikach. Materia występuje w wielu postaciach, które w różnysposób reagują na pole elektryczne. Ze względu na własności w polu elektrycznym materiałymożna z grubsza podzielić na przewodniki i izolatory (inaczej dielektryki).W dielektrykachwszystkie ładunki są związane z konkretnymi atomami i cząsteczkami. W zwiazku z tymmaja ograniczoną swobodę ruchu. Pole elektryczne może rozciagać i obracać atom lubcząsteczkę. Sa to dwa mechanizmy zmiany rozkładu ładunku w dielektrykach.Oba mechanizmy zmiany rozkładu ładunku powodują uzyskanie małego momentu dipo-lowego przez atom lub cząsteczkę wprost proporcjonalnego do przyłożonego pola elektrycz-nego

p =αE, (2.10)


przy czym α nazywa się polaryzowalnościa atomową. Jej wartość zależy od szczegółówbudowy atomów badanego materiału dielektrycznego. Przykładowe wartości α/4πε0 w10−30m3 podano poniżej

H He Li Be C Cs0,667 0,205 24,3 5,60 1,76 59,6

Możemy wyobrazić sobie, co się dzieje z kawałkiem dielektryka, który zostaje umieszczonyw polu elektrycznym. Następuje indukowanie małych momentów dipolowych, skierowanychzgodnie z polem. Jeśli materiał składa się z cząsteczek polarnych, to na każdy trwały dipolzacznie działać moment siły.Pojawia się wiele małych dipoli skierowanych zgodnie z kierunkiem pola. Pojawi siępolaryzacja materiału, którą wygodnie opisuje się przez podanie momentu dipolowego Pprzypadającego na jednostkę objętości. Wektor P nazywa sie polaryzacją elektryczną. Me-chanizm prowadzący do powstania P jest dosyć złożony. Tutaj interesuje nas pole, jakiewytwarza kawałek spolaryzowanego materiału.

Pole ciała spolaryzowanegoNie chodzi nam o pole, które było przyczyna polaryzacji. Przyjmujemy, że znamy momentdipolowy przypadający na jednostkę (dość dużej w stosunku do rozmiarów cząsteczek)objętości. Jakie pole wytwarza spolaryzowany materiał?Dla pojedynczego dipola znamy wzór na potencjał, który możemy zapisać w postaci

V (r) =14πε0

R · pR2

i zastosować do naszego problemu

V (r) =14πε0

∫V

R ·P (r′)R2

d3r′.

Wygodnie będzie wykorzystać wynik

∇′(1R

)=RR2,

przy czym różniczkowanie wykonujemy wzgędem źródeł pola o współrzędnych r′. Możnawięc napisać

V =14πε0

∫V

P · ∇′(1R

)d3r′.

Przypomnijmy sobie regułę różniczkowania

∇ · (fA) = f(∇′ ·A

)+A · ∇′f

div (fA) = f divA+A· grad f


Po jej wykorzystaniu dostaje się

V =14πε0

∫V

∇′ ·(PR

)d3r′ −

∫V

1R(∇′ ·P

)d3r′

.Twierdzenie o dywergencji umożliwia zapis potencjału w postaci

V =14πε0

∮S

1RP · dS′ − 1

4πε0

∫V

1R∇′ ·Pd3r′,

która sugeruje następujące oznaczenia

σzw = P·n bo dS′ = ndS′

ρzw = −∇ ·P.

Tym samym mozna napisać

V =14πε0

∮S

σzwR

dS′ − 14πε0

∫V

ρzwRd3r′.

Zamiast całkować wkłady od dipoli możemy znaleźć ładunki związane i obliczyć wytwarzaneprzez nie pola poznanymi już metodami.

PrzykładKula jednorodnie spolaryzowana nie posiada objętościowego ładunku związanego, bo∇ ·P = 0. Wystąpi jednak ładunek powierzchniowy

σzw = P·n = P cos θ.

Należy znaleźć pole wytworzone przez ładunek o takiej gęstości powierzchniowej. Posługującsie wielomianami Legenre’a otrzymujemy

V (r, θ) =P

3ε0r cos θ, r ¬ R,

V (r, θ) =p

3ε0

R3

r2cos θ, r = R,

E = −∇V = − P

3ε0z = − 1

3ε0P dla r ¬ R.

Na zewnątrz potencjał można zapisać jako

V =14πε0

p·rr2, r R,

gdzie

p =43πR3 ·P, P·r = P cos θ.

Jest to pole idealnego dipola umieszczonego w środku kuli.


2.10.2 Fizyczna interpretacja ładunków związanych

Jak pamiętamy potencjał pojedynczego dipola (idealnego) ma postać

V(r) =14πε0

R · pR2.

Wprowadziiśmy moment dipolowy na jednostkę objętości P. Potencjał pochodzący od ciałaspolaryzowanego zapisaliśmy jako

V (r) =14πε0

∫V

R ·P (r′)R2

d3r′. (2.11)

Formalne przekształcenia doprowadziły do następującej postaci

V (r) =14πε0

∮S

P·nR

ds− 14πε0

∫V

1R(∇ ·P) d3r′ (2.12)

gdzie V oznacza objętość ciała spolaryzowanego, ograniczona powierzchnią S. Wewnątrzrozłożony jest związany ładunek objętościowy o gęstości

ρzw = −∇ ·P,

a na powierzchni ładunek o gęstości powierzchniowej

σzw = P · n.

Spróbujmy wjaśnić poglądowo otrzymany wynik. Wydzielmy z objęrtości V długi ciąg dipoli−+−+, ..........................,−+−+ = −+, ...............,−+Ładunki wewnątrz tego ciągu znoszą się. Pozostaja dwa nieskompensowane ładunki napoczątku i na końcu. Moment dipolowy p = qd można zapisać na dwa sposoby

qd = PAd,

gdzie Ad jest objętością pręta. Widać stąd, że

q = P ·A.

Jeśli pręt jest ścięty ukośnie, to zwiększy sie powierzchnia Akonca, gdyż Akonca cos θ = A,natomiast q pozostanie niezmienione

q = P ·Akonca cos θ,

skąd

q

Akonca= P · cos θ.


Ponieważ P ‖z, więc P ·cos θ = P · n. Tym samym widzimy, że gęstość ładunku związanegoq/Akonca jest wywołana pojawieniem się polaryzacji P zgodnie z otrzymanym tu związkiem

σzw = P · n,

który potwierdza wcześniejszy formalny wynik. Jeśli polaryzacja nie jest jednorodna, tododatkowo ładunki związane pojawią się wewnątrz ośrodka, co wyjaśnia rysunek rozbiega-jących się dipoli.Nieskompensowany ładunek ujemny

∫ρzwd

3r jest równy co do wartości ładunkowi do-datniemu na powierzchni S∫

V

ρzwd3r = −

∮S

P·dS.

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa o dywergencji całkę powierzchniową można zastąpić całkąobjętościową z ∇·P. Ponieważ wynik ten jest słuszny dla dowolnej objętości V mamy zatem

ρzw = −∇ ·P,

co potwierdza drugą część wzoru (2.12) na potencjał.

Powrót do przykładu z kuląPopatrzmy w podobny sposób na spolaryzowaną kulę z poprzedniego paragrafu. Wprowa-dzamy dwie kule: jedną – wypełnioną jednorodnie ładunkiem dodatnim i drugą – ładunkiemujemnym. Polaryzacja odpowiada przesuwaniu się tych kul względem siebie. W ten sposóbtworzy się “czapa” ładunku dodatniego i ujemnego.Można obliczyć pole w obszarze przekrywania się dwóch jednorodnie naładowanych kul

E =14πε0

qdR3,

gdzie q jest ładunkiem dodatnio naładowanej kuli, d jest wektorem łączącym środek ujemnienaładowanej kuli ze środkiem kuli naładowanej dodatnio, a R promieniem kuli. Wprowa-dzając wektor polaryzacji P jako(

43πR3

)P = qd

otrzymujemy wynik z wcześniejszego przykładu

E = − 13ε0P.

Na zewnątrz pole jest takie jak od dwóch ładunków punktowych o różnych znakach. Wdużej odległości od kul będzie to pole dipola o potencjale

V =14πε0

p·rr2.


2.10.3 Rzeczywiste pole w dielektryku

W dotychczasowych rozważaniach milcząco zakładaliśmy, że mamy do czynienia z dipo-lami idealnymi. Prawdziwy dielektryk składa się z dipoli fizycznych. Przyjęto też założenie,że dyskretne dipole cząsteczek można opisać ciągłym rozkładem objętościowym momentudipolowego P (r).Dla punktów R daleko od dielektryka odległości od ładunków dodatnich i ujemnychsą wystarczjąco małe, aby zaniedbać ziarnistość źródeł pola i uznać wkład diplowy zadominujący. Argumentacja ta nie funkcjonuje dla punktów wewnątrz dielektryka. Wypadazastanowić się w tym miejscu nad zasadnością zastosowanego podejścia.Pole elektryczne w materii na poziomie mikroskopowym jest bardzo skomplikowane.Uwzlędnienie prawdziwego pola jest zadaniem trudnym i nie zawsze przydatnym. Pod-stawowe własności fizyczne materii nie zależą od mikroskopowych fluktuacji pola elektrycz-nego. Można ograniczyć się do pól uśrednionych na wystarczająco dużym obszarze wzglę-dem pól atomowych. Tak wygładzone pole nie będzie zawierało fluktuacji atomowych, alepowinno zawierać zmiany w skali makroskopowej. Takie pola uważa się za pola wewnątrzmaterii.Do uśredniania wybieramy obszar kuli, która jest mała względem rozmiarów dielektryka,ale zawiera np. kilka tysięcy atomów. Wtedy pole E w środku kuli (w punkcie r ).będzieskładać się z dwóch części

E = Ezew +Ewew,

gdzie Ezew jest uśrednionym polem od wszystkich ładunków znajdujących się na zewnątrzkuli, a Ewew jest równe średniemu polu od ładunków wewnątrz kuli. Można udowodnić,że uśrednione po kuli pole od ładunków na zewnątrz, czyli Ezew jest równe polu, jakie teladunki wytwarzają w środku kuli. W odniesieniu do dipoli, które są wystarczająco dalekood środka kuli, ma uzasadnienie wzor

Vzew =14πε0

∫zew

RP (r′)R2

d3r′. (2.13)

Dipoli wewnątrz kuli nie można potraktować podobnie, gdyż są zbyt blisko środka kuli.Ponieważ potrzebne jest nam pole średnie, można pokazać, że nie zależy ono od szczegółówrozkładu ładunku, a jedynie od całkowitego momentu dipolowego p

Ewew = −14πε0

pR3.

Istotny jest całkowity moment dipolowy p =(4/3)πR3P. Kula jest mała, więc P nie będziesię znacząco zmieniać i pole Ewew jest takie, jak w środku jednorodnie spolaryzowanej kuli:− (1/3ε0)P. Całkę w (2.13) można rozszerzyć na całą objętość dielektryka. Istota przepro-wadzonego rozumowania jest następująca: Pole uśrednione po dowolnej kuli (pochodzące odładunków wewnętrz) jest takie samo, jak pole w środku kuli jednorodnie spolaryzowanej.


Oczywiście, obie kule mają taki sam moment dipolowy. Jeżeli ważne jest dla nas uśred-nione pole, a nie prawdziwy mikroskopowy rozkład ładunku, możemy posłużyć się gładkimrozkładem idealnych dipoli, jak we wzorze (2.11). Kula wykorzystana w przedstawionychrozważaniach nie powinna mieć wpływu na wynik końcowy.

2.10.4 Prawo Gaussa w obecności dielektryków

Pole wytwarzane przez polaryzację P jest polem ładunków związanych o gęstości ρzw =−∇·P wewnątrz oraz σzw = P · n na powierzchni dielektryka. Wszystkie pozostałe ładunkibędziemy nazywać swobodnymi. Całkowita gęstość ładunku w dielektryku ma postać

ρ = ρzw + ρsw,

co prowadzi do prawa Gaussa

ε0∇ ·E = −∇ ·P+ ρsw.

Powyższy wzór można też zapisać

∇ · (ε0E+P) = ρsw,

co sugeruje oznaczenie

D = ε0E+P.

Wektor D nazywa się wektorem indukcji elektrycznej. Prawo Gaussa z użyciem wektora Dprzyjmuje postać

∇ ·D = ρsw,

lub w postaci całkowej∮S

D · ds =Qsw (2.14)

Podobieństwo D do E jest zwodnicze. Nawet, gdy ρsw = 0 nie oznacza to, że D = 0.Przykładem może być elektret. Również ∇×D nie musi znikać z powodu ∇×P 6= 0 gdyż

∇×D = ε0 (∇×E) + (∇×P) = ∇×P (2.15)

2.10.5 Warunki brzegowe (graniczne)

Warunki brzegowe dla polaDmożna uzyskać z prawa Gaussa (2.14) w przypadku składowejprostopadłej

D⊥nad −D⊥pod = σsw (2.16)


a z (2.15) w przypadku skoku składowej równoległej

D‖nad −D‖pod = P

‖nad −P

‖pod.

Jak pamiętamy dla pola E :

E⊥nad − E⊥pod =1ε0σ

E‖nad −E‖pod = 0.

Dielektryki liniowe

Polaryzacja P jest zwykle wynikiem działania pola elektrycznego. Dla wielu materiałów,jeśli pole E nie jest zbyt silne silne

P =ε0χeE. (2.17)

Współczynnik proporcjonalności χe nazywa się podatnością elektryczną ośrodka. Materiały,dla których słuszne jest równanie (2.17) nazywają się dielektrykami liniowymi. Wartoścχe zależy od struktury elektronowej materiału i temperatury. Pole E jest polem od wszyst-kich ładunków. Zauważmy, że umieszczenie dielektryka w polu np. E0 spowoduje polary-zację, która wytworzy dodatkowe pole E, którego nie ma w równaniu(2.17). Za równaniemtym kryje się proces samouzgodnienia pól E i P. Pomocne jest tu wykorzystanie pola in-dukcji elektrycznej D, którego źródłami są ładunki swobodne. W ośrodkach liniowych lubmoże w przybliżeniu liniowym, z definicji

D =ε0E+P

wynika proporcjonalność

D = ε0 (1 + χe)E =εE.

Wielkość

ε = ε0(1 + χe)

nazywa się przenikalnością elektryczną ośrodka. Czasem do opisu ośrodka używa się innejwielkości εr zwanej względną przenikalnością ośrodka. Wtedy równanie powyższe ma postać

D =εrε0E.

Wartość εr dla różnych ośrodków:Ośrodek Próżnia Sól Woda Lód

εr 1 5, 9 80, 1 99(−300C)

W przypadku kryształów χ⇒ χ jest tensorem i P ∦ E. Ośrodek taki jest anizotropowy.


2.10.6 Zagadnienia brzegowe w obecności dielektryków liniowych

W jednorodnym dielektryku liniowym

ρzw = −∇ ·P.

ponieważ P =ε0χeE oraz E = D/ε, więc

ρzw = −ε0χeε∇ ·D,

stąd

ρzw = −χe1 + χe

ρsw.

Brak ładnków swobodnych wewnątrz dielektryka, to ρ = 0. Nie znikająca gęstość ładunkumoże jedynie występować na powierzchni dielektryka. W takim przypadku potencjał wdielektryku spełnia równanie Laplace’a i można skorzystać z narzędzi elektrostatyki przy-stosowanych do tego celu. Wygodniej jest czasami przetransformować warunki (2.16) dopostaci zawierającej ładunki swobodne (a nie całkowite)

εnadE⊥nad − εpodE⊥pod = σsw

równoważne

εnad∂V∂n− εpod

∂V∂n= −σsw.

Na granicy między ośrodkami sam potencjał jest oczywiście ciągły

Vnad = Vpod ,

gdyż

Vnad−Vpod = −b∫a

Edl −→ 0,

gdy dl −→0.

2.10.7 Energia w układach z dielektrykami

Naładowanie kondensatora wymaga pracy

W =12C V2 .


W przypadku kondensatora wypełnionego dielektrykiem, ładunki związane kompensują po-le E. Musimy wprowadzić większy ładunek, aby uzyskać tę samą różnicę potencjał ów. Pracai pojemność zwiększa się o czynnik εr

C = εrCprozni.

Dla kondensatora wypełnionego dielektrykiem zamiast

W =ε02

∫E2d3r (2.18)

będziemy mieć

W =ε02

∫εrE

2d3r,

co można zapisać, jako

W =12

∫D ·E d3r. (2.19)

Aby wyprowadzić ten wzór zakłada się, że dielektryk spoczywa, a do układu wprowadzanesą w małych porcjach ładunki swobodne

δW =∫(δρsw)V d3r.

Energia całkowita składa się z trzech członów

W =Wsw +Wzw +Wsp.

Pole D we wzorze (2.19) uwzględnia tylko Wsw, co jest uzasadnione, gdyż Wzw +Wsp = 0.Wzór (2.18) uwzględnia Wsw +Wzw bez udziału Wsp, o czym należy pamiętać.

3MAGNETOSTATYKA

3.1 Siły magnetyczne

3.1.1 Pole magnetyczne

Źródłem pola magnetycznego są poruszjące się ładunki elektryczne. W licznych przytaczo-nych doświadczeniach ilość ładunków dodatnich i ujemnych w każdym odcinku przewodnikajest taka sama. Wobec tego siłą odpowiedzialną za oddziaływanie przewodników nie jestsiła elektrostatyczna.Spoczywajacy ładunek wytwarza pole elektrostatyczne o natężeniu E. Ładunek, którysię porusza wytwarza pole magnetyczne o indukcji B. Do wykrycia tego pola wystarczyzwykła igła magnetyczna.

3.1.2 Siła Lorentza

Łatwo można zauważyć, że kierunki i zwroty wektorów siły, prędkości i indukcji magnetycz-nej wiążą się poprzez iloczyn wektorowy. Siła magnetyczna działająca na poruszający sięładunek elektryczny jest faktem doświadczalnym. Nosi ona nazwę siły Lorentza i wynosi

Fm = Q(v ×B).

W obecności pola E i B ma ona postać

F =Q(E+ v ×B).

Jednostką pola magnetycznego o indukcji B jest tesla 1T=1N/(A·m). Siły magnetyczne sąszczególnym rodzajem sił i mogą prowadzić do bardzo dziwnych torów cząstek naładowa-

38 3. MAGNETOSTATYKA

nych. Siły magnetyczne nie wykonują pracy, ponieważ

dWm = Fm · dl.

po podstawieniu wyrażenia na siłę otrzymamy

dWm = Q(v ×B) · v·dt = 0

3.1.3 Prądy

Natężeniem prądu płynącego przez przewodnik nazywamy ładunek, przepływający w jed-nostkowym czasie przez jego przekrój poprzeczny. Jeśli zmienimy znak ładunku Q i jegoprędkości v,to siła Fmnie ulegnie zmianie. Ładunki ujemne poruszają się w kierunku prze-ciwnym niż ładunki dodatnie. Zamast mówić o poruszających się w przewodniku elek-tronach (posiadających ładunek ujemny) wygodniej jest przyjąć, że poruszają się ładunkidodatnie w kierunku przeciwnym. Jednostką natężenia prądu jest amper

1A = 1C

s.

Ładunek liniowy o gęstości λ daje prąd o natężeniu

I = λv,

ponieważ odcinek o długości v∆t niesie ładunek λv∆t, który przepływa przez dany punktw czasie ∆t. Do dalszych zastosowań wygodniej jest wprowadzić zapis wektorowy

I =λv.

Przewodnik obojętny elektrycznie zawiera tyle samo ładunków dodatnich, co ujemnych.Tylko jedne ładunki (ujemne) poruszają się i dają wkład do prądu I.Siła działająca na odcinek przewodnika z prądem wynosi

Fm =∫(v ×B) dq =

∫(v ×B)λdl

=∫(I×B) dl.

Ponieważ I ‖dl, więc przy stałym prądzie

Fm = I∫dl×B.

W przypadku ładunków płynących po powierzchni wprowadza się powierzchniową gęstośćprądu

K =dIdl⊥,

3.1 Siły magnetyczne 39

która jest natężeniem prądu na jednostkę długości prostopadłej do kierunku przepływu.Jeśli gęstość powierzchniowa ładunku ruchomego jest równa σ a jego prędkość wynosi v, to

K = σv.

Siła magnetyczna, działająca na prąd powierzchniowy jest równa

Fm =∫(v ×B)σds =

∫(K×B) ds.

W przypadku przepływu prądu objętościowego definiuje się objętościową gęstość prądu

J =dIds⊥.

Jest to natężenie prądu przypadające na jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunkuprzepływu. ρds⊥v jest ładunkiem przepływającym w jednostce czasu przez przekój ds⊥przewodnika. Analogiczny wzór ma postać

J =ρv,

gdzie ρ jest objętościową gęstością ruchomego ładunku, przemieszczającego się z prędkościąv. Siła magnetyczna działająca na prąd objętościowy jest równa

Fm =∫(v ×B) ρd3r =

∫(J×B) d3r.

Zgodnie z definicją prądu J = dI/ds⊥ natężenie prądu przepływającego przez powierzchnięS ograniczającą objętość V wynosi∮

S

Jds⊥ =∮S

J · ds.

Zgodnie z twierdzeniem o dywergencji∮S

J·ds =∫V

(∇ · J) d3r.

Całkowity ładunek jest zachowany. To co wypływa pomniejsza ładunek w objętości V∫V

(∇ · J) d3r = − ddt

∫V

ρd3r

∫V

(∇ · J) d3r = −∫V

∂ρ

∂td3r.

Równość ta, prawdziwa dla dowolnej objętości, oznacza, że musi być spełnione równanie

∇ · J = −∂ρ∂t.


Jest to lokalna zasada zachowania ładunku znana pod nazwą równania ciągłości.W wyrażeniu na siłę magnetyczna mamy cztery typy prądów, które występują pod zna-kiem całki lub sumy w następujących kombinacjach

Prądy Wyrażeniapunktowe

∑i·qivi

liniowe∫·Idl

powierzchniowe∫·KdS

objętościowe∫·Jd3r,

które są konsekwencją różnych rozkładów ładunku poczynając od punktowego q, poprzezliniowy λdl, powierzchniowy σds, a na objętościowym ρd3r kończąc.

3.2 Prawo Biota - Savarta

Dział związany z prądami stałymi nazywa się magnetostatyką. Prądy stałe wytwarzają polamagnetyczne stałe w czasie. Podobnie nieruchome ładunki wytwarzają pola elektryczneniezmienne w czasie. Dokładniej chodzi o gęstość ładunku ρ, która powinna być stała wczasie. Kiedy przez przewodnik płynie prąd stały, jego natężenie musi być jednakowe wzdłużcałego przewodnika. Jeśli zacząłby się gdzieś zbierać nie byłby stały, a ρ zmieniłoby się wczasie. Tak więc w magnetostatyce ∂ρ/∂t = 0 i równanie ciągłości przybiera postać

∇ · J = 0.

Pojedynczy ładunek punktowy nie może być traktowany jako prąd stały. Nie wytwarzastałego pola magnetycznego.

3.2.1 Pole magnetyczne liniowego prądu stałego

Pole magnetyczne wytworzone przez liniowy prąd stały jest określone przez prawo Biota-Savarta

B (r) =µ04π

∫I×RR2dl′,

które, wiedząc że I ‖dl oraz I =const możemy zapisać jako

B (r) =µ04πI

∫dl×RR2. (3.1)

Całkowanie odbywa sie wzdłuż drogi przepływu prądu, a dl jest elementem długości prze-wodnika przez który płynie prąd I. Uniwersalną stałą µ0 nazywa się przenikalnością ma-gnetyczną próżni

µ0 = 4π · 10−7N

A2.

3.2 Prawo Biota - Savarta 41

Wektor RR jest skierowany od elementu dl do punktu r. Jednostki są tak dobrane, abyindukcja magnetyczna była mierzona w niutonach na amper razy metr, czyli w teslach (T)1T=1N/(A·m), zgodnie ze wzorem na siłę Lorentza.Prawo Biota-Savarta można uważać za odpowiednik prawa Coulmba dla magnetostatyki.Podobieństwo widać w obecności wyrazu R/R2. Łatwo napisać prawo Biota - Savarta,odpowiednio, dla prądów powierzchniowych

B (r) =µ04π

∫K (r′)× RR2

ds′

oraz objętościowych

B (r) =µ04π

∫J (r′)× RR2

d3r′.

PrzykładObliczmy indukcję pola magnetycznego w odległości z od przewodnika prostoliniowego,przez który płynie prąd I. Łatwo zauważyć, że dl′×R wychodzi () z płaszczyzny (dl′,R)i ma długość

dl′ sinα = dl′ sin (π/2 + θ) = dl′ cos θ.

Następnie zauważamy, że

l′ = z tg θ,

stąd

dl′ =z

cos2 θdθ,

a

z = R cos θ

i

1R2=cos2 θz2.

Ostatecznie

B =µ0I

4π

θ2∫θ1

(cos2 θz2

)z

cos2 θcos θdθ

=µ0I

4πz

θ2∫θ1

cos θdθ =µ0I

4πd(sin θ2 − sin θ1) .


Dla nieskończonego przewodnika

B =µ0I

2πz.

Można teraz znaleźć siłę oddziaływania dwóch nieskończenie długich przewodników z prą-dem. Skorzystamy ze wzoru

F = I2∫(dl×B) ,

gdzie

B =µ0I12πd

jest indukcją magnetyczną w odległości d od przewodnika z prądem I1. Po podstawieniuznajdujemy wartość siły jaką wywiera nieskończony prostoliniowy przewodnik, przez którypłynie prąd I1, na taki sam przewodnik z prądem I2 umieszczony w odległości d

F =µ02π

I1I2d

∫dl.

Całkowita siła jest nieskończona, natomiast siła przypadająca na jednostkę długości jestrówna

f =µ02π

I1I2d.

Na tym wzorze opiera się definicja jednostki natężenia prądu 1A.

3.3 Dywergencja i rotacja pola magnetycznego

3.3.1 Rotacja B dla prądu prostoliniwego

Łatwo policzyć całkę∮B · dl =

∮µ0I

2πddl =

µ0I

2πd

∮dl = µ0I

dla prądu prostoliniowego I.Wynik nie zależy od d. Kontur całkowania nie musi być okręgiem. Dla każdego konturuotaczającego przewodnik otrzymuje się ten sam wynik. Można się domyślać, że∮

B · dl =µ0Ic,

gdzie Ic jest całkowitym natężeniem prądu w obszarze otoczonym konturem całkowania.Jeśli przepływ ładunku opisuje objętościowa gęstość prądu, to

Ic =∫Jds.

3.3 Dywergencja i rotacja pola magnetycznego 43

Korzystając z twierdzenia Stokesa o rotacji dochodzimy do równania

∇×B =µ0J.

W ogólnym przypadku dowolnego prądu objętościowego otrzymane równanie nosi nazwęprawa Ampere’a.

3.3.2 Dywegencja i rotacja B w przypadku ogólnym

Wykorzystamy prawo Biota - Savarta w przypadku dowolnego prądu objętościowego J (r)

B (r) =µ04π

∫J (r′)× RR2

d3r′. (3.2)

Jak pamiętamy R = (x− x′) ex+(y − y′) ey +(z − z′) ez.1 Całkownie przeprowadza się powspółrzędnych x′, y′, z′. Obliczmy dywergencję pola B(r) względem współrzędnych x, y, z

∇ ·B =µ04π

∫∇ ·

(J× RR2

)d3r′.

Wykorzystujemy relację

∇ · (A×B) = B· (∇×A)−A· (∇×B)

do wyrażenia pod całką

∇ ·(J× RR2

)=RR2

[∇(r) × J

(r′)]− J·

(∇× RR2

).

Oba wyrazy po prawej stronie znikają, pierwszy z powodu różniczkowania J (r′) po zmien-nych x, y i z, drugi ze względu na możliwość zapisania ∇×

(R/R2

)jako

∇×(RR2

)= −∇×

(∇ 1R

),

gdyż ∇× (∇f) = (∇×∇)f = 0 dla dowolnej funkcji f . Tak więc pokazaliśmy, że

∇ ·B =0.

Działając operatorem rotacji na równanie (3.2) otrzymamy

∇×B =µ04π

∫∇×

(J× RR2

)d3r′. (3.3a)

1Oznaczenie R = r− r′ jest używane zamiennie z−→R = RR, gdzie R jest wektorem jednostkowym.


Przyda się teraz wzór

A× (B×C) = B· (A ·C)−C· (A ·B) (3.4)

w przypadku, gdy A zastąpimy operatorem ∇

∇× (B×C) = ∇× (B×C) +∇× (B×C) , (3.5)

gdzie podkreślenie dotyczy działania operatorem ∇, kolejno, na wektory B i C. Zastoso-wanie reguły (3.4) do obu wyrazów prawej strony (3.5) daje

∇× (B×C) = (C · ∇)B−C (∇ ·B) +B(∇ ·C)− (B · ∇)C. (3.6)

Po podstawieniu B = J (r′) i C =R/R2 w (3.6) dostajemy

∇×(J× RR2

)= J

(∇ · RR2

)− (J · ∇) R

R2, (3.7)

gdyż dwa pierwsze wyrazy są równe zeru (J zależy od r′ podczas, gdy dywergencja dotyczyr). Dywergencję z R/R2 można liczyć na różne sposoby. Zauważmy, że

∇ · RR2= −∇ ·

(∇ 1R

)= −∆ 1

R. (3.8)

Znamy potencjał wytworzony przez ładunek punktowy q, który spełnia równanie Poissona

∆q

4πε0R= − q

ε0δ(−→R)

skąd widać, że

∆1R= −4πδ

(−→R).

Dostajemy zatem, zgodnie z (3.8)

∇ · RR2= 4πδ

(−→R),

gdzie−→R = r− r′. Drugi wyraz we wzorze (3.7) można pominąć. Po przecałkowniu przez

części widać, że jest on równy zeru. Końcowy wynik dla rotacji B ma postać

∇×B =µ0J (r) . (3.9)

Wykorzystano w nim podstawową własność delty Diraca δ(−→R). Otrzymane równanie nosi

nazwę prawa Ampere’a.2

2Wobec własności div (rotB) = 0 spełnionej dla każdego wektora B widać, że div J = 0.


Aby uzyskany wynik był kompletny sprawdzimy udział ostatniego wyrazu po prawejstronie we wzorze (3.7). Ponieważ

−→R = r− r′, a pochodna działa jedynie na R/R2, możemy

zastąpić ∇ przez ∇′ = (∂/∂x′, ∂/∂y′, ∂/∂z′) z uwzględnieniem zmiany znaku

− (J · ∇) RR2=(J · ∇′

) RR2. (3.10)

Dalsze przkształcenia wykonamy dla jednej ze składowych równania (3.10), na przykładskładowej x. Obliczmy najpierw dywergencję iloczynu Rx/R3 i J

∇′ ·(RxR3J)=RxR3

(∇′ · J

)+ J·

(∇′RxR3).

Dla prądów stałych ∇ · J =0, jak ustaliliśmy przy omawianiu równania ciągłości ładunku.Składową x-ową równania (3.10) można zatem zapisać w postaci[

− (J · ∇) RR2

]x

= ∇′ ·(RxR3· J).

Wkład do całki (3.3a) jest następujący∫V

∇′ ·(RxR3J)d3r′ =

∮S

RxR3J · ds′.

Objętość V można uczynić wystarczająco dużą, a wtedy wszystkie prądy będą płynąć we-wnątrz obszaru V, co powoduje znikanie J na brzegu, a więc całka powierzchniowa jestrówna zeru.

3.3.3 Zastosowanie prawa Ampere’a

Jeżeli prawo Ampere’a

∇×B =µ0J

przecałkujemy obustronnie po powierzchni S rozpiętej na danym konturze C, to dostaniemy∫S

(∇×B) · ds =µ0∫S

J · ds. (3.11)

Zgodnie z twierdzeniem Stokesa dla rotacji∫S

(∇×B) · ds =∮C

B · dl


możemy zastąpić całkę powierzchniową z lewej strony (3.11) przez całkę konturową, co daje∮C

B · dl =µ0Ic (3.12)

równoważną (3.9), gdzie Ic jest całkowitym natężeniem prądu płynacego przez powierzchnięS o brzegu C. Inaczej Ic jest całkowitym prądem objętym konturem C. Równanie (3.12) jestcałkową postacią prawa Ampere’a (3.9). Kierunek dodatni obiegu po konturze i dodatnienatężenie prądu określa reguła śruby prawoskrętnej (lub kciuka i palców prawej dłoni).

Widoczne są następujące analogie:

Elektrostatyka prawo Coulomba prawo GaussaMagnetostatyka prawo Biota-Savarta prawo Ampere’a

Przykłady

1. Łatwo policzyć indukcję magnetyczną wokół odcinka długiego przewodnika z prądemPonieważ∮

B · dl =B2πd

porównując z prawem Ampere’a∮B · dl = µ0I

otrzymujemy

B2πd = µ0I

stąd

B =µ0I

2πd.

2. Prąd powierzchniowy

K =Kex∮Bdl =µ0Ic

2Bl = µ0Kl


B =µ0K

2=

−µ0Key/2 dla z > 0+µ0Key/2 dla z < 0

Bz = 0

3. Gęsto nawinięta cewkaNa zewnątrz cewki nie ma prądów, zatem rotacja znika i∮

B · dl = [B (a)−B (b)]L = 0

skąd dostajemy

B (a) = B (b) .

Zatem B nie zależy od miejsca na zewnątrz cewki. Ponieważ daleko od cewki powinnobyć B = 0, stąd wynika B (a) = B (b) = 0. Dla konturu Ampere’a obejmującego częśćuzwojenia cewki o długości L

∮B · dl=BL = µ0Ic = µ0nIL

B=

µ0nIez wewnątrz solenoidu0 na zewnątrz solenoidu

4. Cewka toroidalnaNależy wykazać w oparciu o prawo Biota-Savarta, że B nie ma składowej radialnej iskładowej wzdłuż osi z. Wektor prądu ma postać

I = Irr+ Iz z.

Należy obliczyć I×−→R . Dalsze postępowanie jest już proste. Dla konturu współśrodkowego

z torusem i leżącego wewnątrz niego

B2πr = µ0NI.

Ostatecznie

B =

[µ0NI/ (2πr)] eϕ wewnąrz torusa0 na zewnątrz torusa

przy czym N jest całkowitą liczbą zwojów torusa.


3.3.4 Porównanie magnetostatyki i elektrostatyki

Elektrostatyka:

∇ ·E= ρε0, gdzie ρ objętościowa gęstośc łaunku

∇×E=0, daleko od ρ pole E =0

Jest to prawo Gaussa równoważne prawu Coulomba i zasadzie superpozycji.

Magnetostatyka:Podstawowym prawem jest prawo Ampere’a, które jest równoważne prawu Biota-Savartauzupełnionemu zasadą superpozycji:

∇×B = µ0J, gdzie J jest objętościową gęstością pradu∇ ·B=0, daleko od J pole B =0.

Oba te prawa są równaniami Maxwella dla elektrostatyki i magnetostatyki. Jeżeli uzu-pełnimy je wzorem Lorentza:

F =q (E+ v ×B)

określającym siłę wywieraną przez pola E i B na ładunek elektryczny q, to otrzymamypełne sformułowanie elektrostatyki i magnetostatyki.Brak ładunków magnetycznych (monopoli magnetycznych) wynika z powyższego sformu-łowania i na tym poprzestaniemy. Ładunek w spoczynku wytwarza pole E. Do wytworzeniapola B potrzebny jest poruszający się ładunek.Siły magnetyczne są o kilka rzędów wielkości słabsze od sił elektrycznych. Dzięki zbiegowiokoliczności można je zauważyć przy małych prędkościach poruszania się ładunków. SiłaF jest proporcjonalna do iloczynu qv. Jeżeli przepływa duży ładunek, to iloczyn qv jestduży nawet przy małych prędkościach v. Równocześnie duży ładunek elektronów jest kom-pensowany przez ładunki dodatnie jąder atomowych i siły elektrostatyczne nie przysłaniająsłabych sił magnetycznych. Prędkość elektronów w metalu między kolejnymi zderzeniamiw temperaturze pokojowej dochodzi do 106m/s. Średnia prędkość “unoszenia” elektronówprzez pole E wynosi zaledwie ułamki mm/s.

3.3.5 Magnetyczny potencjał wektorowy

W elektrostatyce własność ∇×E = 0 pozwoliła wprowadzić potencjał skalarny V zgodniez relacją

E =−∇V .


W magnetostatyce ∇ ·B = 0 pozwala wprowadzić w oparciu o relację

∇ · (∇×A) = 0,

spełnioną dla dowolnego wektora A, potencjał wektorowy, który wyraża indukcję magne-tyczną w postaci

B = ∇×A.

Wprowadźmy potencjał wektorowy A do prawa Ampere’a:

∇×B=µ0J,∇× (∇×A) = µ0J,

∇ (∇ ·A)−∆A=µ0J,grad (divA)− laplasjanA = µ0J.

Do wyeliminowania dywergencji A wykorzystamy swobodę w doborze A =⇒ A+∇λ,gdzie λ jest dowolną funkcją. Ponieważ rot(gradλ) = ∇ × (∇λ) = (∇×∇)λ ≡ 0, więcdodanie ∇λ nie zmieni ∇ × A = B. Zakładamy, że pierwotny potencjał A0 posiada nieznikającą dywergencję. Przez dodanie ∇λ uzyskujemy nowy potencjał

A = A0 +∇λ,

dla którego chcemy, aby

∇ ·A = 0.

Będzie to możliwe, jeśli

∆λ = −∇ ·A0.

Widzimy, że funkcja λ musi spełniać równanie Poissona, analogiczne do równania z elek-trostatyki

∆V = − ρε0

z ∇ · A0 zamiast ρ/ε0. Znamy rozwiązanie równania Poissona z elektrostatyki w formiecałki

V =14πε0

∫ρ

Rd3r′

i możemy je zostosować do obecnego przypadku. Jeśli ∇ ·A0 dąży do zera w dużych odle-głościach, to

λ =14π

∫ ∇ ·A0Rd3r′.


Jeśli ∇ ·A0 nie znika w nieskończoności, trzeba wybrać inną metodę wyznaczania λ. Takczy inaczej, zawsze można wybrać A w taki sposób, że ∇ ·A = 0 nie naruszając przy tymrelacji B = ∇×A, która dotyczy rotacji i pozostawia dowolność wyboru dywergencji. Przytakim wyborze potencjału wektorowego A prawo Ampere’a przybiera postać

∆A = −µ0J.

Jest to ponownie równanie Poissona – dokładniej trzy równania, po jednym dla każdejwspółrzednej kartezjańskiej,

∆Ai = −µ0Ji,

gdzie i = 1, 2, 3. Przyjmując, że J jest zawarte w ograniczonej objętości (znika dla dużychr) możemy zapisać rozwiązanie tego równania w postaci:

A (r) =µ04π

∫J (r′)Rd3r′.

Korzyści z potencjału A (r) nie są tak duże jak z potencjału skalarnego V . Dla prądówliniowych i powierzchniowych mamy odpowiednio

A =µ0I

4π

∫dl′

Roraz

A =µ04π

∫KRds′.

Kierunek A związany jest zazwyczaj z kierunkiem gęstości prądu. W ogólności nie możnanic bliższego na ten temat powiedzieć.

3.3.6 Podsumowanie i warunki brzegowe

prawo Biota-Savarta prawoAmpere’a

B = µ04π

∫ J×RR2 d

3r′ ⇐ J⇒ µ0J = ∇×B0 = ∇ ·B

JB = ∇×A0 = ∇ ·A J

A = µ04π

∫ JRd3r′ ⇐ J⇒ −µ0J =∆A

∇ ·B = 0→∮B · ds = 0(

B⊥nad −B⊥pod)S = 0

3.3 Dywergencja i rotacja pola magnetycznego 51∮B · dl =

(B‖nad −B

‖pod

)l

µ0Ic = µ0Kl

B‖nad −B

‖pod = µ0K

Bnad −Bpod = µ0K× n

∇ ·A = 0 ∇×A = B

A⊥nad = A⊥pod

∮A · dl =

∫B · ds =φB = 0

A‖nad = A‖pod

Anad = Apod∂Anad∂n

− ∂Apod∂n

= −µ0K

3.3.7 Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego1R=

1√r2 + r′2 − 2rr′ cos θ

1R=1r

∞∑n=0

(r′

r

)nPn(cos θ′

)

A (r) =µ0I

4π

∮dl′

R

=µ0I

4π

∞∑n=0

1rn+1

∮r′nPn

(cos θ′

)dl

=µ0I

4π

[1r

∮dl+

1r2

∮r′ cos θ′dl′

+1r3

∮r′2(32cos2 θ′ − 1

2

)dl′+

]

Adip (r) =µ0I

4πr2

∮r′ cos θ′dl′

=µ0I

4πr2

∮ (r · r′

)dl′


Korzystając z

∮ (r · r′

)dl′ = −r×

∫ds′

otrzymujemy3

Adip (r) =µ04πm×rr2

,

przy czym

m = I∫ds′,

jest magnetycznym momentem dipolowym, a∫ds′ jest “wektorowym” polem powierzchni

pętli.

3.4 Pole magnetyczne w ośrodku

3.4.1 Namagnesowanie

Wszyskie zjawiska magnetyczne są spowodowane ruchem ładunków elektrycznych. W skalimikroskopowej w ośrodku spotykamy elektrony krążące wokół jąder oraz posiadające własnymoment pędu (spin) i moment magnetyczny. Odpowiednie obwody prądowe są tak małe, żemożna je traktować jako idealne dipole magnetyczne. Z powodu przypadkowego ułożeniaosi momentów poszczególnych atomów ośrodka wypadkowy moment magnetyczny znosi się.Natomiast w zewnętrznym polu magnetycznym dipole ustawiają się wzdłuż linii sił pola, aośrodek staje się spolaryzowany magnetycznie czyli namagnesowany.Dielektryki polaryzują sie zgodnie z zewnętrznym polem elektrycznym. Materiały para-magnetyczne magnesują się zgodnie z polem indukcji B. Istnieją też substancje diamagne-tyczne w których namagnesowanie ma ten sam kierunek, a zwrot przeciwny w stosunkudo pola B. Istnieją jeszcze specyficzne materiały, które w odróżnieniu od paramagnetyków,zachowują namagnesowanie nawet po zniknięciu pola zewnętrznego B. Nazywa się je ferro-magnetykami. Najbardziej znanym przykładem są magnesy trwałe wykonane z żelaza lubsubstancji ceramicznych typu ferrytów.Wielkość

M (r) =12r× J (r)

3Korzystamy z twierdzenia Stokesa o rotacji∫∇ ×A ds =

∮Adl. Podstawiamy A = cf, gdzie c jest wektorem

stałym. Ponieważ ∇ × cf = ∇f ×c, tym samym∫∇f×c· ds = c ·

∮f dl skąd

∫∇f×ds = −

∮f dl. Jeszcze raz

podstawiamy f = c · r. Wtedy ∇f = ∇(c · r) = ∇(r · c) = (∇ r) c = I c = c. Ostatecznie mamy relacjęc×∫ds = −

∮(c · r) dl spełnioną dla dowolnego stałego wektora c.

3.4 Pole magnetyczne w ośrodku 53

nazywa sie gęstościa momentu magnetycznego albo namagnesowaniem a jej całkę objęto-ściową

m =∫V

M(r′)d3r′

momentem magnetycznym

m =12

∫V

r′ × J(r′)d3r′.

Wkład do potencjału wektorowego jest potencjałem dipola magnetycznego

A (r) =µ04πm× rr3

. (3.13)

Indukcję magnetyczną B poza obszarem lokalizacji źródeł można otrzymać przez bezpo-średnie obliczenie rotacji potencjału A (r)

B (r) =µ04π3r (m·r)−m

r3.

3.4.2 Pole ciała namagnesowanego

Nie będziemy się teraz martwić w jaki sposób pojawiło się namagnesowanie (polaryzacjamagnetyczna, magnetyzacja). W magnetostatyce odgrywa ona taką samą rolę jak polary-zacja elektryczna P w elektrostatyce. Rozważymy materiał namagnesowany objętościowoo znanym momencie dipolowym przypadającym na jednostkę objętości M. Potencjal po-jedynczego dipola m zlokalizowanego w punkcie r′ już znamy. Rozszerzając wzór (3.13)mamy

A (r) =µ04πm (r′)× RR2

.

Potencjał od ciała namagnesowanego można zapisać jako całkę objętościową

A (r) =µ04π

∫V

M (r′)× RR2

d3r′,

którą można zapisać w nieco inny sposób, jako

A (r) =µ04π

∫ [M(r′)×∇′ 1R

]d3r′

Skorzystamy z relacji

∇′ ×[M(r′) 1R

]=1R∇′ ×M

(r′)−M

(r′)×∇′

(1R

),


która we współrzędnych kartezjańskich ma postać∣∣∣∣∣∣∣x y z∂∂x′

∂∂y′

∂∂z′

Mx1R My

1R Mz

1R

∣∣∣∣∣∣∣=1R

∣∣∣∣∣∣∣x y z∂∂x′

∂∂y′

∂∂z′

Mx My Mz

∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣x y z∂∂x′1R

∂∂y′1R

∂∂z′1R

Mx My Mz

∣∣∣∣∣∣∣ ,aby napisać

A (r) =µ04π

∫1R[∇′ ×M

(r′)]d3r′ −

∫∇′ × M (r

′)R

d3r′.

Drugą całkę można przekształcić w całkę powierzchniową. W tym celu z twierdzenia Gaussadla wektora będącego iloczynem wektorowym v × c, gdzie c jest wektorem stałym otrzy-mujemy∫

∇ · (v × c) d3r =∮(v × c) · ds,

c·∫∇× vd3r = −c·

∮v×ds.

Stąd ∫∇× vd3r = −

∮v×ds.

Ostatni wzór pozwala zapisać potencjał A (r) w następującej postaci

A (r) =µ04π

∫1R[∇′ ×M

(r′)]d3r′ +

∮1R[M(r′)× ds′

]. (3.14)

Pierwszy wyraz ma postać potencjału prądu objętościowego, który oznaczymy jako

Jzw = ∇×M.

Ponieważ ds′= nds′, gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni, drugi wyraz mapostać potencjału pochodzącego od prądu powierzchniowego

Kzw =M× n.

Korzystając z powyższych oznaczeń zapiszemy potencjał (3.14) jako

A (r) =µ04π

∫V

Jzw(r′)Rd3r′ +

µ04π

∮S

Kzw(r′)Rds′.

3.4 Pole magnetyczne w ośrodku 55

Oznacza to, że potencjał (tym samym indukcja magnetyczna B) ciała namagnesowanegopochodzi od efektywnego prądu objętościowego o gęstości Jzw = ∇×M płynącego wewnątrzmateriału magnetycznego i od prądu powierzchniowego o gęstości powierzchniowej Kzw =M×n. Zamiast sumować wpływ poszczególnych dipoli określamy najpierw prądy związane,a następnie szukamy wytworzonych przez nie pól. Istnieje uderzające podobieństwo do polaciała spolaryzowanego elektrycznie (ρzw = −∇ · P, σzw = P · n). Fizyczna interpretacjaprądów związanych jest dość prosta.

3.4.3 Natężenie pola magnetycznego H

Jesteśmy obecnie gotowi by połączyć pola pochodzące od prądów związanych oraz wszystkieinne pola, które będziemy nazywać polami od prądów swobodnych. Całkowita gęstość prądumoże być zapisana jako

J = Jzw + Jsw.

Uwzględniając ostatnie wyniki i prawo Amere’a dostajemy

1µ0(∇×B) = Jsw +∇×M.

Po zebraniu rotacji mamy

∇×(1µ0B−M

)= Jsw.

Wyrażenie w nawiasie nazywamy natężeniem pola magnetycznego

H =1µ0B−M.

Prawo Ampere’a zapisane za pomocą natężenia pola H ma postać

∇×H = Jsw. (3.15)

W postaci całkowej∮H · dl = Isw,

przy czym Isw jest całkowitym natężeniem prądu płynącego przez kontur Ampere’a. WektorH odgrywa rolę analogiczną do D w elektrostatyce. Równanie (3.15) wygląda tak samo jakwprowadzone na początku prawo Ampere’a. Jedynie całkowite natężenie prądu zastąpiononatężeniem prądu swobodnego, a B przez µ0H. Nie należy doszukiwać się zbyt wielkiegoznaczenia w tym podobieństwie. Z równania H = B/µ0 −M wynika

∇ ·H = −∇ ·M.

Tylko gdy znika dywergencja H analogia między B i µ0H jest ścisła.


3.4.4 Warunki brzegowe

Dla powierzchni po której płynie prąd powierzchniowy składowe prostopadłe do powierzchnispełniają równanie

H⊥nad −H⊥pod = −(M⊥nad −M⊥pod

).

Z równania ∇×H = Jsw wynika

Hnad −Hpod = Ksw × n.

Czasami wygodniej jest posługiwać się równaniami

B⊥nad −B⊥pod = 0,Bnad −Bpod = µ0 (K× n) .

3.4.5 Podatność i przenikalność magnetyczna

M = χmH (3.16)

Stała proporcjonalności nosi nazwę podatności magnetycznej. Jest to wielkość bezwymia-rowa. Diamagnetyki (wodór, miedź, srebro, złoto, bizmut) mają ujemną podatność rzędu10−9 do 10−4, paramagnetyki (tlen, wolfram. platyna, gadolin) – podatność dodatnią od10−6 do 10−1. Ośrodki spełniające relację (3.16) nazywają sie ośrodkami liniowymi magne-tycznie.

B = µ0 (H+M) = µ0 (1 + χm)H,

B=µH.

Współczynnik

µ = µ0 (1 + χm)

nosi nazwę przenikalności magnetycznej.

4ELEKTRODYNAMIKA

Dotychczas zajmowaliśmy sie stałymi polami elektrycznymi i magnetycznymi. Zjawiskaelektryczne i magnetyczne traktowaliśmy jako niezależne. Ten niezależny charakter zjawiskelektrycznych i magnetycznych znika, kiedy zaczynamy uwzględniać zmiany pól w czasie.Zmiennemu w czasie polu magnetycznemu towarzyszy zawsze pole elektryczne i na odwrót.Zamiast o polu elektrycznym i magnetycznym należy mówić o polu elektromagnetycznym.Pełne zrozumienie elektromagnetyzmu jest możliwe na gruncie szczególnej teorii względ-ności. Obecnie ograniczymy się do podstawowych zjawisk i do dojścia na ich podstawiedo układu równań znanych pod nazwą równań Maxwella. Rządzą one zachowaniem się pólelektromagnetycznych.

4.1 Prawo Ohma

Aby mógł płynąc prąd na ładunki elektryczne musi działać siła. Dla większości materiałówgęstość prądu J jest proporcjonalna do siły f działającej na jednostkowy ładunek

J = σf .

Współczynnik σ jest stałą materiałową noszącą nazwę elektrycznej przewodności właściwej.Jego odrotność

ρ =1σ

nazywa się elektrycznym oporem właściwym o wymiarze Ω m. Jego wartośc dla przewodni-ków waha się w granicach 10−8do10−5Ω m. Dla półprzewdników ρ przyjmuje wartości od10−2 do 103Ω m. Izolatory charakteryzują się oporem właściwym od 105 do 1010Ω m.

58 4. ELEKTRODYNAMIKA

Siła powodująca ruch może mieć naturę chemiczną (różnica potencjałów chemicznych),cieplną (gradient temperatury) czy też, jak oczekujemy, elektromagnetyczną

J = σ (E+ v ×B) .

Zwykle prędkość v jest na tyle mała, że drugi wyraz w powyższym równaniu można pominąć

J =σE.

Ostatnie równanie nosi nazwę różniczkowego prawa Ohma. Dla doskonałego przewodnikaE = 0 nawet wtedy, gdy J 6= 0. druty w obwodach elektrycznych traktuje się jako ekwipo-tencjalne. Oporniki są wykonane z materiałów źle przewodzących.Jakie będzie natężenie prądu w oporniku, jeśli różnica potencjałów na jego końcach jestrówna V ? Jeśli pole E jest jednorodne (co pokażemy niebawem) to J też jest jednorodne.Tak więc

I = JA.

Ponieważ J = σE, a E = V/L, gdzie L jest długościa przewodnika, ostatecznie otrzymujesię

I = σV

LA.

Stąd

V =(1σ

L

A

)I

lub

V = RI, (4.1)

gdzie

R = ρL

A.

Równanie (4.1) wyraża prawo Ohma w najbardziej znanej postaci. Stały (ważne, aby byłstały!) współczynnik proporcjonalności R nosi nazwę oporu elektrycznego. Zależy on odgeometrii układu, przez który płynie prąd oraz od oporu właściwego ρ = 1/σ materiału.W przypadku prądu stałego i jednorodnego przewodnika

∇ ·E = 1σ∇ · J = 0

co oznacza, że objętościowa gęstość ładunku wewnątrz przewodnika jest równa zeru. Nie-zrównoważone ładunki znajdują się na powierzchni, jak w przypadku statycznym. Jak widać

4.1 Prawo Ohma 59

równanie Laplace’a jest również spełnione wewnątrz przewodnika ohmowego przez którypłynie prąd stały.Czy pole wewnątrz walca przewodzącego prąd elektryczny jest jednorodne? Niech po-tencjał lewego końca będzie stały i równy zeru. Potencjał po prawej stronie przyjmujemyza równy V0. Prąd nie wypływa bokami J · n = 0. Zgodnie z prawem Ohma, powinno byćE ·n = 0 =⇒ ∂V/∂n = 0. Jeśli V lub ∂V/∂n jest zadane na wszystkich powierzchniach, topotencjał jest określony jednoznacznie w całej objętości. Można odgadnąć potencja speł-niający równanie Laplace’a i powyższe warunki brzegowe

V (z) = V0z

L,

gdzie z jest osią symetrii. Natężenie pola elektrycznego przyjmuje postać

E = −V0Lz,

czyli jest to istotnie pole jednorodne.Skąd bierze się prawo Ohma? Jeśli λ jest średnią drogą swobodną miedzy zderzeniami,to czas jaki upływa między zderzeniami wynosi

τ =λ

vterm,

gdzie vterm jest średnia prędkością termiczną elektronów ∼ 106m/s. Prędkość unoszeniaelektronów przez pole jest równa

vu =12(aτ − 0) = 1

2F

m

λ

vterm.

Można w ten sam sposób oszacować gęstość prądu

J =nevu =ne2

2m

(λ

vterm

)E.

Przez n oznaczono koncentrację elektronów n = N/V, czyli ich liczbę N w jednostce obję-tości. Dostaliśmy w ten sposób prawo Ohma z następującym wyrażeniem na przewodnośćwłaściwą

σ =ne2

2mτ .

Dokładniejsze wyrażenie na σ wymaga wykorzystania mechaniki kwantowej do obliczenia τ .Z naszego przybliżonego wzoru wynika poprawna proporcjonalność między przewodnictwemσ a koncentracją nośników n oraz zmniejszanie się prewodnictwa ze wzrostem temperatury.1

1W bardzo niskich temperaturach mają miejsce efekty kwantowe, które prowadzą do innych zależności tempera-turowych (np. efekt Kondo).


Wwyniku zderzeń pojawia się produkcja entropii, która objawia się w postaci wydzielone-go ciepła. Praca nad ładunkiem jedostkowy wynosi V a ładunek przepływający w jednostceczasu jest równy I. Uwolniona moc (praca w jednostce czasu) jest równa

P = V I = RI2.

Jest to prawo Joule’a.

4.2 Siła elektromotoryczna

W typowym obwodzie elektrycznym natężenie prądu jest praktycznie w danej chwili takiesamo w każdym miejscu obwodu. Siła wprawiająca ładunki w ruch działa we wnętrzubaterii. Co wprawia w ruch cały obwód? Dlaczego natężenie w każdej części obwodu jesttakie same? Istnieją dwie siły podtrzymujące prąd w obwodzie: siła źródła fźr (związana zbaterią) i siła elektrostatyczna, która wygładza przepływ ładunku i przenosi wpływ źródłana cały obwód (do różnych jego części). Zgromadzenie ładunku w jakiejś części obwoduprzeciwdziała dopływowi ładunku do tego miejsca i ułatwia jego odpływ do dalszychczęści obwodu likwidując fluktuacje ładunku. Siłę wypadkową zapisujemy jako

f = f źr +E.

Może być wiele przyczyn pojawienia się siły fźr: chemiczna, ciśnienie mechaniczne, gradienttemperatury, światło i inne czynniki. Wielkość

E =∮f ·dl =

∮fźr · dl

nazywa się siłą elektromotoryczną (SEM) obwodu. Dla pól elektrostatycznych∮E· dl =

0. Dla idealnego źródła (SEM), bez oporu wewnętrznego, siła wypadkowa działająca naładunki jest równa zeru (σ = ∞, J skończone przy f → 0).Tak więc E = −f źr. Różnicapotencjałów między biegunami baterii a i b jest równa

V = −b∫a

E · dl =b∫a

fźr · dl =∮fźr · dl

(We wnętrzu baterii fźr = 0). Bateria wytwarza różnicę potencjałów równą sile elektromo-torycznej. Bateria 6V wytwarza potecjał dodatniego bieguna o 6V większy od potencjałubieguna ujemnego. Powstaje w ten sposób pole elektryczne, które podtrzymuje przepływprądu w obwodzie.

4.3 Poruszający się przewodnik w polu magnetycznym

Dla przewodnika poruszającego sie w polu magnetycznym

E =∮fmag · dl.

4.4 Prawo Faradaya 61

Ponieważ fmax = v ×B, zatem

E = vBh

Istnieje inny sposób wyznaczenia SEM w poruszającym się obwodzie. Obliczamy strumieńmagnetyczny prznikający przez obwód

ΦB =∫B · ds.

Dla pętli prostokątnej ΦB = Bxh. Gdy pętla się porusza, to strumień zmienia się z pręd-kością

dΦBdt= −Bhv

(dx/dt = v jest ujemne, bo x oznacza część pętli znajdującej sie w polu, która maleje przyjej usuwaniu z pola). Zauważmy, że zmiana strumienia magnetycznego przenikającego przezobwód, wzięta ze znakiem minus, jest równa SEM

E = −dΦBdt.

Uzyskany wzór można stosować do dowolnego obwodu o zmieniającym się kształcie w nie-jednorodnym polu B.

4.4 Prawo Faradaya

Faraday przeprowadził i opisał serię trzech typów eksperymentów. Zmieniał się w nichstrumień ΦB poprzez (a) ruch obwodu (v 6= 0), (b) ruch cewki wytwarzającej pole B (przyv = 0) i (c) zmianę pola B (przy v = 0) poprzez zmianę natężenia prądu w nierucho-mej cewce. Wynika stąd wniosek: Zmiana strumienia pola B przenikającego przez obwódindukuje pole elektryczne.Zgodnie z obserwacjami Faradaya

E =∮E· dl = −dΦ

dt

i natężenie pola elektrycznego E można powiązać ze zmianą indukcji magnetycznej B rów-naniem∮

E · dl = −∫∂B∂t· ds.

Jest to całkowa postać prawa Faradaya. Posługując się twierdzeniem Stokesa dla rotacjiznajdujemy postać różniczkową

∇×E = −∂B∂t.


(Koincydencja trzech typów doświadczeń Faradaya przywiodła Einsteina do szczególnejteorii względności.) Śledzenie znaków w prawie Faradaya jest dość skomplikowane, jeślichcemy wiedzieć, w którym kierunku w obwodzie przepływa prąd indukowany poprzezzmianę B. Istnieje wygodna reguła nazywana regułą Lenza. Można ją streścić w zdaniu:

Natura jest przeciwna zmianie strumienia

Indukowany prąd będzie płynął w takim kierunku, że dodatkowy strumień sprzeciwia sięzmianie już istniejącego strumienia. (W znanym doświadczeniu swobodny pierścień umiesz-czony na elektromagnesie jest zawsze wyrzucany przez pole B elektromagnesu niezależnieod kierunku przepływu włączanego prądu I.

4.5 Indukowane pole elektryczne

Odkrycie Faradaya sugeruje istnienie dwóch rodzajów pól elektrycznych: pola związanegoz ładunkami elektrycznymi i pola związanego ze zmianami pól magnetycznych. Pierwszemożemy obliczyć w oparciu o prawo Coulomba, drugie posługując się analogią międzyprawem Faradaya

∇×E = −∂B∂t

i prawem Ampere’a

∇×B = µ0J.

Możemy wykorzystać metodę postępowania w odniesieniu do prawa Ampere’a w postacicałkowej∮

B · dl =µ0Ic

zapisując prawo Faradaya w postaci całkowej

∮E · dl = −dΦB

dt.

Szybkości zmiany strumienia odpowiada µ0Ic.. 2

2Do wyznaczenia E potrzebna jest jeszcze znajomość dywergencji. Bez ładunków objętościowych mamy ∇·E = 0.

4.6 Indukcyjność 63

4.6 Indukcyjność

Mamy dwie nieruchome przewodzące pętle. Przez pierwszą płynie prąd o natężeniu I1.Znalezienie B1 może być trudne, ale jest możliwe

B1 =µ04πI1

∫dl1 × RR2

Strumień przez drugą pętlę dany jest wzorem

Φ2 =∫B1 · ds2

inaczej

Φ2 =M21 · I1.

Współczynnik M21 nazywa się indukcyjnościa wzajemną dwóch pętli.Można dojść do ciekawego wzoru na współczynnik M21, jeśli wykorzystamy twierdzenieStokesa i potencjał wektorowy

Φ2 =∫B1 · ds2 =

∫(∇×A1) · dS2 =

∮A1 · dl2,

gdzie

A1 =µ04πI1

∮1

dl1R.

Widzimy zatem, że

M21 =µ04πI1

∮1

∮2

dl1 · dl2R.

Jest to wzór Neumanna. Wynika z niego, że M21 = M12 = M jest wielkością czysto geo-metryczną.Zmieńmy natężenie prądu I1 w pierwszej pętli. Strumień przez drugą pętlę ulegnie zmia-nie i zaindukuje w drugiej pętli SEM

E = −dΦ2dt= −MdI1

dt.

Milcząco zakładamy, że I1 zmienia się dostatecznie wolno, aby problem można było roz-wiązać quasi-statycznie. Skoro prąd I1 wytwarza Φ2 w drugiej pętli, domyślamy się, żepowinien wytwarzać Φ1 w pierwszej pętli, czyli

Φ = LI.


Stał proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną obwodu. Podobnie jakM zależyona od wielkości i kształtu obwodu. Indukująca się w obwodzie SEM jest równa

E = −LdIdt.

Indukcyjność mierzy się w henrach (H): 1H = 1V·s/A.W obwodzie zawierającym baterię i opór całkowita SEM jest sumą SEM baterii i SEMindukowanej

E0 − LdIdt= IR. (4.2)

Poszukujemy rozwiązania w postaci

I (t) =E0R+ k e−

RLt .

Stałą k wyznacza się z warunków początkowych. Jeśli I (0) = 0, to

I (t) =E0R

(1− e−

RLt).

Do opisu otrzymanej zależności można wprowadzić stałą czasową (czas relaksacji) τ = L/R.Wtedy I (t) ∼ exp(−t/τ). Uzyskany wynik ma charakter ogólny. W każdym przypadku,gdy szybkość ubytku jakiejś wielkości (−dI/dt w naszym przypadku) jest proporcjonalnado wartości początkowej tej wielkości (I) otrzymuje się uzyskaną zależność. Odwrotnośćczasu relaksacji 1/τ jest współczynnikiem proporcjonalności między dI/dt i I, co widać zrównania (4.2).

4.7 Energia pola magnetycznego

Wytworzenie prądu obwodzie elektrycznym wymaga dostarczenia energii. Nie chodzi tuo energię rozproszoną w obwodzie elektryczym w postaci ciepła. W tej chwili interesujenas praca wymagana do pokonania SEM indukcji, która przeciwstawia się powstaniu wobwodzie prądu elektrycznego. Jest to określona ilość energii ukryta w obwodzie, którąodzyskuje się przy przerwaniu przepływu prądu. Przekonamy się, że jest ona zmagazyno-wana w polu magnetycznym.Praca wykonana nad ładunkiem jednostkowym podczas jednego obiegu obwodu prze-ciwko SEM indukcji (stąd zank minus) jest równa −E . W jednostce czasu przez przekrójobwodu przepływa ładunek równy I. Całkowita praca wykonana w jednostce czasu (dW/dt)nad wszystkimi ł adunkami płynacymi w obwodzie wynosi

dW

dt= −EI

= LIdI

dt.

4.7 Energia pola magnetycznego 65

Całkowitą pracę liczoną poczynając od prądu zerowego otrzymamy całkując powyższe rów-nanie względem czasu

W =12LI2. (4.3)

Nie zależy ono od czasu przepływu prądu, lecz od jego końcowej wartości oraz geometriiukładu poprzez L.Istnieje bardziej ogólny sposób obliczenia energii W . Pamiętamy, iż L zostało wpro-wadzone jako współczynnik proporcjonalności w relacji wiążącej strumień magnetycznyprzenikający przez pętlę obwodu z natężeniem prądu w pętli Φ = LI. Można wykonaćnastępujące przekształcenie

Φ =∫SB · ds

=∫S(∇×A) · dS =

∮PA · dl,

gdzie S jest dowolną powierzchnią rozpiętą na pętli o obwodzie P. Skoro

LI =∮A · dl,

zatem zgodnie z (4.3) pracę W można zapisać następująco

W =12I

∮A · dl

lub w równoważnej postaci

W =12

∮(A · I)dl,

ponieważ I ‖ dl. W przypadku prądów objętościowych

W =12

∫V(A · J)d3r.

Możemy teraz posłużyć się prawem Ampere’a ∇×B = µ0J, aby zastąpić gęstość prądu Jprzez pole magnetyczne

W =12µ0

∫A · (∇×B)d3r.

Wyrażenie pod całką można przekształcić zgodnie z relacją umieszczoną w dodatku

∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B)

i zapisaną w postaci

A · (∇×B) = B ·B−∇ · (A×B).


Ostatecznie

W =12µ0

[∫B2d3r −

∫∇ · (A×B)d3r

].

Twierdzenie Gaussa pozwala zamienić całkę objętościową z dywergencji na całkę z A×Bpo powierzchni S zamykającej obszar V

W =12µ0

[∫VB2d3r −

∮S(A×B) · ds

].

Ponieważ gęstość prądu J znika poza obszarem V, powiększenie objętości całkowania powo-duje wzrost całki objętościowej i zmniejszenie całki powierzchniowej. Pola A i B dążą dozera w miarę oddalania się od obszaru prądów J. W granicy V→ ∞ dostajemy następującywzór

W =12µ0

∫VB2d3r.

Wynika z niego, że w polu magnetycznym jest zawarta energia o gęstości objętościowejB2/2µ0. Zauważmy, jak podobne są w swojej strukturze wzory określające energię polaelektrycznego i magnetycznego:

Welektr =12

∫(V ρ)d3r =

ε02

∫E2d3r,

Wmagn =12

∫(A · J)d3r = 1

2µ0

∫VB2d3r.

4.8 Elektrodynamika przed Maxwellem

Poznaliśmy dotychczas następujące równania na dywergencję i rotację pól elektrycznego imagnetycznego

(i) ∇ ·E = ρ/ε0 prawo Gaussa,(ii) ∇ ·B =0 bezźródłowość,(iii) ∇×E = −∂B/∂t prawo Faradaya,(iv) ∇×B =µ0J prawo Ampere’a,

ktore obrazują stan wiedzy o elektromagnetyzmie w okresie przed Maxwellem. W równa-niach tych ukryta jest pewna niespójność. Ma ona związek z podaną w dodatku tożsamościądotyczącą dywergencji z rotacji, która jest zawsze równa zeru. Podział anie operatorem dy-wergencji na równanie (iii) daje

∇ · (∇×E) = − ∂∂t(∇ ·B) .

4.9 Poprawka Maxwella 67

Prawa strona powyższego równania znika z powodu (ii). Takie samo przekształcenie dlarównania (iv) pokazuje, że

∇ · (∇×B)=µ0 (∇ · J)

prawa strona znika tylko w przypadku magnetostatycznym. Poza magnetostatyką prawoAmpere’a przestaje być spełnione.James Clerk Maxwell urodził się w1831 roku w Edynburgu jako syn lorda, umarł 1879 roku w Cambridge. Studia

matematyki i fizyki rozpoczął w Edynburgu. Po trzech latach przeniósł sie do Cambridge, gdzie ukończył studia w

1854 roku. W rok później opublikował swoją pierwszą pracę, która dotyczyła tego, co obecnie nazywamy równaniami

Maxwella. Kompletne równania Maxwella zostały obublikowane w Philosophical Magazine (1862) pod tytułem “On

Physical Lines of Force”. W 1864 roku napisał “This velocity is so near that of light, that it seems we have strong reason

to conclude that light itself (including radiant heat, and other radiation if any) is an electromagnetic disturbance

in the form of wave propagated through the electromagnetic field according to electromagnetic laws”. W dwóch

tomach “Treatise” opublikowanych w 1873 roku zawarte jest podsumowanie wszystkich wcześniejszych prac Maxwella.

Równania Maxwella zostały tam przedstawione w dużo bardziej skomplikowanej formie. Ta oryginalna wersja została

użyta ponownie dopiero przez Heinricha Hertza i Oliviera Heaviside’a po 14 latach zapomnienia.

Dobrą ilustracją niedostatku w sformułowaniu prawa Ampere’a, gdy prąd zmienia się wczasie, jest ładowanie kondensatora. Zastosowanie formuły całkowej∮

CB · dl =µ0Ic

do różnych powierzchni rozpiętych na tym samym konturze C pokazuje, że prawa strona razoznacza prąd płynący w obwodzie Ic = I, w inny przypadku, gdy powierzchnia nie przecinaprzewodnika i wchodzi w obszar kondensatora Ic = 0, gdyż nie ma tam żadnego prądu. Tymczasem lewa strona prawa Ampere’a jest w obu przypadkach taka sama. Maxwell usunął tęwadę prawa Ampere’a posługując się argumentacją czysto teoretyczną.

4.9 Poprawka Maxwella

Problem tkwi w dywergencji J. Z równania ciągłości w ogólnym przypadku można otrzymać

∇ · J=−∂ρ∂t

= − ∂∂t(ε0∇ ·E)

=−∇(ε0∂E∂t

),

co sugeruje możliwość powiązania ε0 (∂E/∂t) z gęstością prądu. Uzupełnienie prawej stronyprawa Ampere’a takim wyrazem

∇×B = µ0J+ µ0ε0∂E∂t


sprawia, że dywergencja prawej strony znika.na mocy równania ciągłości.W ten sposóbuogólnione zostało prawo Ampere’a, a przy okazji uratowano równanie ciągłości. Członwprowadzony przez Maxwella jest trudny do wykrycia w zwykłych warunkach doświad-czalnych przy słabozmiennych polach E, gdzie musi współzawodniczyć z gęstością prądu J.Zauważmy, że ε0 jest rzędu 10−12. Nie powinno nas dziwić, dlaczego nie został odkryty przezFaradaya i innych współ czesnych mu badaczy, jeśli uwzględnimy ograniczenia istniejącychwtedy przyrządów pomiarowych. Jest on istotny dla propagacji fali elektromagnetycznej.Nowy efekt wprowadza dodatkową symetrię w opisie pól elektrycznych i magnetycznych.Zmiana pola magnetycznego generuje pole elektryczne. Dziwne byłoby, gdyby zmiana polaelektrycznego nie wywoł ywała analogicznego efektu powstania pola magnetycznego. Pozawalorem estetycznym rozstrzygającym argumentem za takim sposobem poprawienia prawaAmpere’a były eksperymenty Hertza z falami elektromagnetycznymi, przeprowadzone w1888 roku. Maxwell nazwał swój dodatkowy człon gęstoscią prądu przesunięcia. Jest tonazwa myląca. Wyraz ε0 (∂E/∂t) poza wymiarem nie ma nic wspólnego z gęstością prądu.

4.10 Równania Maxwella

Całą klasyczną elektrodynamikę można zapisać w postaci równań Maxwella

(i) ∇ ·E = ρ/ε0 prawo Gaussa,(ii) ∇ ·B =0 bezźródłowość,(iii) ∇×E = −∂B/∂t prawo Faradaya,

(iv) ∇×B =µ0J+µ0ε0(∂E/∂t)poprawioneprawo Ampere’a

uzupełnionych wzorem na siłę Lorentza

F = q(E+ v ×B)

i drugą zasadą dynamiki Newtona. Bardziej konsekwentny wydaje się zapis równań Ma-xwella w formie, która podkreśla pochodzenie pól E i B, odpowiednio, od ładunków iprądów

(i) ∇ ·E = ρ/ε0 (iii) ∇×E+ ∂B/∂t=0(ii) ∇ ·B =0 (iv) ∇×B−µ0ε0(∂E/∂t)=µ0J

. (4.4)

W tej formie pola znajdują sie po lewej stronie a ich źródła po prawej. Z równań Maxwellawidzimy, jak ładunki wyznaczaja pola. Wzór na siłę Lorentza łącznie z drugą zasadą dy-namiki pokazuje, jak pola wpływaja na ruch ładunków.Gdyby istniał ładunek magnetyczny, to równania Maxwella przybrał yby jeszcze bardziejsymetryczna postać

(i) ∇ ·E = (1/ε0) ρe (iii) ∇×E+ ∂B/∂t=− µ0Jm(ii) ∇ ·B =µ0ρm (iv) ∇×B−µ0ε0(∂E/∂t)=µ0Je

.

4.11 Równania Maxwella dla ośrodka materialnego 69

z gęstościami ładunku ρm i prądu magnetycznego Jm. Oba rodzaje ładunków spełniałybyrównania ciagłości, wyrażające prawa zachowania. Można się o tym przekonać obliczającdywergencję z równań (iii) oraz (iv).Mimo usilnych poszukiwań nie stwierdzono istnieniał adunków magnetycznych. Zgodnie ze stanem obecnej wiedzy B nie występuje na równejstopie z E – to znaczy nie istnieją statyczne źródła B. W rozwinięciu multipolowym dla polamagnetycznego pierwszym nie znikającym wyrazem jest wyraz dipolowy odpowiadający za-mknietym obwodom z prądem. Dirac zauważył na gruncie elektrodynamiki kwantowej, żeistnienie ł adunków magnetycznych wyjaśniałoby, dlaczego ładunki elektryczne są “skwan-towane”, czyli przyjmują wartości będące wielokrotnością ładunku elektronu.

4.11 Równania Maxwella dla ośrodka materialnego

Równania Maxwella (4.4) są kompletne i ogólne. Jednak dla ośrodków materialnych, ule-gających polaryzacji, wygodnie jest przetransformować równania Maxwella do postaci za-wierającej kontrolowalne ładunki i prądy, które nazwaliśmy swobodnymi. Przypomnijmysobie, jak gęstość ładunku można podzielić na dwie części

ρ = ρsw + ρzw= ρsw −∇ ·P.

Gęstość prądu składa się z trzech części

J=Jsw + Jzw + JP

= Jsw +∇×M+∂P∂t.

O prądzie polaryzacyjnym o gęstości JP nie było dotychczas mowy. Jest on konsekwen-cją liniowego ruchu ładunków przy zmianie polaryzacji elektrycznej P i spełnia równanieciągłości, co łatwo sprawdzić

∇ · JP = ∇ ·∂P∂t=

∂

∂t(∇ ·P)

= −∂ρzw∂t.

Prawo Gaussa daje się zapisać w postaci

∇ ·E = 1ε0(ρsw −∇ ·P)

lub

∇ ·D =ρsw,


gdzie

D =ε0E+P.

Poprawione prawo Ampere’a przybiera postać

∇×B=µ0(Jsw +∇×M+

∂P∂t

)+ µ0ε0

∂E∂t,

skąd dostajemy

∇×H = Jsw+∂D∂t,

gdzie, jak dotychczas

H =1µ0B−M.

W języku ładunków i prądów swobodnych tylko dwa spośród czterech równań Maxwellaulegają zmianie. Poniższe równania

(i) ∇ ·D = ρsw (iii) ∇×E = −∂B/∂t(ii) ∇ ·B =0 (iv) ∇×H = Jsw+(∂D/∂t)

(4.5)

nie są w niczym ogólniejsze od równań (4.4). Ich wadą jest występowanie dwóch par pól: Ei D oraz B i H. Muszą więc być uzupełnione przez odpowiednie rówania materiałowe dlaośrodka liniowego

P = ε0χeE i M = χmH ,

skąd

D = εE i H = (1/µ)B , (4.6)

gdzie ε = ε0(1 + χe) oraz µ = µ0(1 + χm).

4.12 Warunki graniczne

W ogólnym przypadku pola E, B, D i H sa nieciągłe na granicy dwóch ośrodków lub napowierzchni, na której istnieją ładunki powierzchniowe o gęstości σ lub prądy powierzch-niowe o gęstości K. Postać tych nieciągłości można wyprowadzić z równań Maxwella (4.5)zapisanych w postaci całkowej

(i)∮SD·ds =Qsw

(ii)∮S B·ds =0

(iii)∮C E·dl = −(d/dt)

∫S B · ds

(iv)∮CH·dl =Isw + (d/dt)

∫SD · ds

4.12 Warunki graniczne 71

Stosując równanie (i) do infinitezymalnie cienkiej powierzchni Gaussa, obejmujacej obiestrony powierzchni S, otrzymuje się

D⊥1 −D⊥2 = σsw.

W analogiczny sposób otrzymujemy z (ii)

B⊥1 −B⊥2 = 0.

Zastosowanie równania (iii) do infinitezymalnie cienkiego konturu Ampere’a obejmującegopowierzchnię S daje

E‖1 − E

‖2 = 0.

W ten sam sposób z równania (iv) wnioskujemy, że równoległ a do powierzchni składowanatężenia pola magnetycznego jest nieciągła

H‖1 −H‖2 = Ksw × n.

Są to ogólne warunki brzegowe.W przypadku ośrodka liniowego warunki brzegowe można wyrazić tylko przez pole E i B

(i) ε1E⊥1 − ε2E⊥2 = σsw (iii) E

‖1 − E

‖2 = 0

(ii) B⊥1 −B⊥2 = 0 (iv) 1µ1B‖1 − 1

µ2B‖2 = Ksw × n

Powyższe relacje są ważne w optyce przy badaniu odbicia i zał amania fal elektromagne-tycznych.

5ZASADY ZACHOWANIA

5.1 Twierdzenie Poyntinga

Całkowita energia zawarta w polu elektromagnetycznym jest równa

Uem =12

∫ (ε0E

2 +1µ0B2)d3r.

Mamy jakąś ustaloną konfigurację ładunków i prądów w danej chwili czasu t. Wytwarzająone pola E i B. W późniejszej chwili ładunki te będą w innych położeniach. Interesuje naspraca wykonana przez siły elektromagnetyczne działające na ładunki w przedziale czasudt. Zgodnie z siłą Lorentza praca wykonana w czasie dt nad ładunkiem q posiadającymprędkość v jest równa

F · v dt = q(E+ v ×B) · v dt = qE · v dt.

Ponieważ q = ρd3r oraz J =ρv, więc praca wykonana w jednostce czasu nad wszystkimiładunkami zawartymi w objętości V, czyli wyzwolona moc, wynosi

dWdt=∫V(E · J)d3r. (5.1)

Wielkość pod całką można wyrazić przez same pola. Skorzystamy w tym celu z równaniaMaxwella zawierającego prąd

E · J = 1µ0E · (∇×B)−ε0E·

∂E∂t.

Reguła mnożenia

∇ · (E×B) = B · (∇×E)−E · (∇×B)

74 5. ZASADY ZACHOWANIA

oraz równanie Maxwella wyrażające prawo Faradaya

∇×E = −∂B∂t

pozwalają napisać

E · (∇×B) = −B·∂B∂t−∇ · (E×B).

W ten sposób doszliśmy do wyniku

E · J = −12∂

∂t

(ε0E

2 +1µ0B2)− 1µ0∇ · (E×B).

Podstawienie do (5.1) i wykorzystanie twierdzenia Gaussa prowadzi do równania

dWdt= − ddt

∫V

12

(ε0E

2 +1µ0B2)d3r − 1

µ0

∮S(E×B)·ds

które wyraża twierdzenie Poyntinga. Pierwsza całka po prawej stronie jest energią Uemzmagazynowana w polach. Druga całka określa prędkość wypływu energii z objętości Vprzez powierzchnię ograniczającą S. Twierdzenie Poyntinga można sformułować następu-jąco: Praca sił elektromagnetycznych nad ładunkami jest równa ubytkowi energii pól po-mniejszonej o energię, która wypłynęła przez powierzchnię ograniczającą rozważany obszar.Wielkość

S =1µ0(E×B)

nazywamy wektorem Poyntinga. Ponieważ S·ds umownie można uważać za część energiiprzepływającą przez infinitezymalna powierzchnię ds w jednostce czasu, zatem sam wektorPoyntinga S można nazwać gęstością (objętościową) strumienia energii. TwierdzeniePoyntinga można zapisać w bardziej zwartej formie

dWdt= −dUem

dt−∮S

S·ds. (5.2)

Z lewej strony równania (5.2) kryje się wzrost energii mechanicznej układu dokonany kosz-tem ubytku energi elektromagnetycznej

dWdt=ddt

∫Vumechd3r.

Wykorzystując wzór na gęstość energii pola

uem =12

(ε0E

2 +1µ0B2)

5.2 Tensor napięć Maxwella 75

dostajemy

ddt

∫V(umech + uem)d3r = −

∮S

S·ds,

skąd po wykorzystaniu twierdzenia Gaussa

∂

∂t(umech + uem) = −∇·S.

Jest to różniczkowa postać twierdzenia Pointinga, a jednocześnie równanie ciągłości dlaenergii. Jeśli porównamy ten wynik z równaniem ciagłości dla ładunku

∂ρ

∂t= −∇ · J,

to widzimy, że S opisuje przepływ energii w taki sam sposób, w jaki J opisuje przepływładunku.

5.2 Tensor napięć Maxwella

Obliczymy siłę działającą na ładunki znajdujące się w obszarze V

F=∫V(E+ v ×B)ρd3r

=∫V(ρE+ J×B)d3r.

Występującą tu gęstość siły

f =(ρE+ J×B)

wyrazimy wyłącznie za pomocą pól. Do eliminacji ρ i J posłużymy się pierwszym i ostatnimrównaniem Maxwella

f =ε0(∇ ·E)E+(1µ0∇×B−ε0

∂E∂t

)×B.

Zgodnie z regułą różniczkowania

∂

∂t(E×B) =

(∂E∂t×B

)+(E× ∂B

∂t

)i prawem Faradaya

∂B∂t= −∇×E


ostatni wyraz we wzorze na gęstość siły f można zapisać następująco

∂E∂t×B = ∂

∂t(E×B) +E× (∇×E).

Prowadzi to do wyrażenia

f=ε0 [(∇ ·E)E−E× (∇×E)]

− 1µ0B× (∇×B)− ε0

∂

∂t(E×B).

Wykorzystamy obecnie regułę mnożenia, którą można wyprowadzić ze znanej relacji wek-torowej a · (b× c), gdy jeden z wektorów zastąpimy operatorem różniczkowym. Wtedy

a× (∇× b) = ∇(a · b)− (a · ∇)b

oraz

b× (∇× a) = ∇(a · b)− (b · ∇)a.

Ponieważ ∇(a · b) = ∇(a · b) +∇(a · b), dodanie stronami dwóch ostatnich wzorów pro-wadzi do relacji

∇(a · b) = a× (∇× b) + b× (∇× a) + (a · ∇)b+ (b · ∇)a.

W szczególnym przypadku

∇(E2) =2(E · ∇)E+2E× (∇×E),

skąd

E× (∇×E) =12∇(E2)−(E · ∇)E.

Oczywiście, identyczny wzór obowiązuje dla wektora B. Ostateczny wzór dla f ma postaćdość zagmatwaną

f=ε0 [(∇ ·E)E+ (E · ∇)E] +1µ0[(∇ ·B)B+ (B · ∇)B]

− 12∇(ε0E

2 +1µ0B2)− ε0

∂

∂t(E×B).

Dla poprawienia symetrii dodano nic nie znaczący człon (∇ ·B)B, jako że ∇ ·B =0. Otrzy-mane wyrażenie można uprościć wprowadzając zapis tensorowy. Definiujemy tensor na-zwany tensorem napięć Maxwella

Tij = ε0

(EiEj −

12δijE

2)+1µ0

(BiBj −

12δijB

2).

5.3 Pęd i moment pędu pola 77

Iloczyn wektora a i tensora T jest wektorem o współrzędnych(a·T

)j= aiTij ,

przy czym zastosowano tu umowę sumacyjną dla powtarzających się wskażników, czyli i.W szczególności j-ta skł adowa dywergencji tensora T wynosi(

∇·T)j= ε0

[(∇ ·E)Ej + (E · ∇)Ej −

12∇jE2

]+1µ0

[(∇ ·B)Bj + (B · ∇)Bj −

12∇jB2

].

Siłę f , działającą na jednostkową objętość można teraz zapisać w zwartej postaci

f = ∇·T− ε0µ0∂S∂t,

gdzie S jest wektorem Poyntinga. Całkowita siła działająca na ładunki z obszaru o objętościV jest równa

F =∮S

T · ds−ε0µ0ddt

∫V

Sd3r. (5.3)

Widać więc, że tensor T reprezentuje sił y działające na jednostkową powierzchnię: składowediagonalne są ciśnieniami, składowe pozadiagonalne są napięciami ścinającymi.

5.3 Pęd i moment pędu pola

W świetle drugiej zasady dynamiki

F =dpmechdt

wzór (5.3) można przepisać jako

dpmechdt

= −ε0µ0ddt

∫V

Sd3r +∮S

T · ds. (5.4)

Pierwsza całka reprezentuje pęd zawarty w polu elektromagnetycznym

pem = ε0µ0∫V

Sd3r,

podczas gdy druga – jest pędem przepływającym w jednostce czasu przez powierzchnięS. Równanie (5.4) wyraża zasadę zachowania pędu w elektrodynamice. Jak inne zasadyzachowania, również i ta zasada może być zapisana w postaci równania ciągłości

∂

∂t(−→℘mech +−→℘ em) = ∇·T,


gdzie

−→℘ em = ε0µ0S

jest gęstością pędu pola, natomiast ℘mech jest gęstością pędu mechanicznego. Tensor Todgrywa tu rolę gęstości (objętościowej) strumienia pędu, podobną do roli J w równaniuciągłości ładunku, czy S w twierdzeniu Poyntinga. Warto w szczególności zwrócić uwagę napodwójną rolę wektora S.Pole elektromagnetyczne przestaje być przekaźnikiem sił. Jawi się w świetle uzyskanychwyników jako niezależny byt. Posiada własną energię

uem =12

(ε0E

2 +1µ0B2),

pęd

−→℘ em = ε0(E×B),

a także można zdefiniować dla niego również i moment pędu

−→` em = ε0 [r× (E×B)] .

6FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

6.1 Fale elektromagnetyczne w próżni

W obszarach bez ładunków i prądów równania Maxwella przybierają postać

(i) ∇ ·E = 0, (iii) ∇×E = −∂B/∂t,(ii) ∇ ·B = 0, (iv) ∇×B = ε0µ0∂E/∂t.

Przez zastosowanie rotacji do równania (iii)

∇× (∇×E) = ∇×(−∂B∂t

)oraz wykorzystanie tożsamości

∇× (∇×E) = ∇(∇ ·E)−∇2E

dostajemy

∇(∇ ·E)−∇2E = − ∂∂t(∇×B) ,

co wobec równania (i) oraz (iv) daje

−∇2E = −ε0µ0∂2E∂t2.

Podobnie, zastosowanie rotacji do równania (iv) daje

∇(∇ ·B)−∇2B = −ε0µ0∂2B∂t2,

80 6. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

skąd wobec ∇ ·B = 0 dostajemy równanie identyczne, jak w przypadku pola B. Mamyteraz dwa równania drugiego rzędu dla pól E i B

∆E = ε0µ0∂2E∂t2, ∆B = ε0µ0

∂2B∂t2. (6.1)

Każda składowa kartezjańska tych pól spełnia trójwymiarowe równanie falowe

∆f =1v2∂2f

∂t2. (6.2)

Z równań Maxwella wynika, że w pustej przestrzeni moga rozchodzić się fale elektromagne-tyczne z prędkością

v =1

√ε0µ0.

Prosty rachunek pokazuje, że

ε0 = 8, 8541878...10−12(AV

)(sm

)oraz

µ0 = 4π·10−7(VA

)(sm

)po wymnożeniu dają

ε0µ0 = 1.11265· 10−17(sm

)2.

Stąd

1ε0µ0

= 8.98755· 1016(ms

)2a pierwiastek kwadratowy

1√ε0µ0

= 2.99792· 108 ms

okazuje się równy prędkości światła c ' 3 · 108 m / s w próżni. Dzisiaj wynik ten nikogo niedziwi. Za czasów Maxwella był zdumiewający. Należy tu podkreślić kluczową rolę dodat-kowego członu ε0µ0∂E/∂t, dodanego przez Maxwella do prawa Ampere’a, bez którego nieotrzymalibyśmy równania falowego.

6.2 Równanie falowe 81

6.2 Równanie falowe

Poświęcimy chwilę uwagi samemu równaniu falowemu. Ograniczymy się na razie do jednegowymiaru

∂2f

∂x2=1v2∂2f

∂t2, (6.3)

gdzie zamiast x i t można wprowadzić nowe zmienne

η = x− vt,

ξ = x+ vt.

Pierwsze pochodne ∂f/∂x oraz ∂f/∂t ł atwo dają się wyrazić przez pochodne funkcji fwzględem nowych zmiennych

∂f

∂x=∂f

∂η+∂f

∂ξ,

∂f

∂t= (−v) ∂f

∂η+ (v)

∂f

∂ξ.

W podobny sposób otrzymuje się

∂2f

∂x2=∂2f

∂η2+ 2

∂f

∂η∂ξ+∂2f

∂ξ2

oraz

∂2f

∂t2= v2

(∂2f

∂η2− 2 ∂f

∂η∂ξ+∂2f

∂ξ2

).

W nowych zmiennych jednowymiarowe równanie falowe redukuje się do postaci

∂f

∂η∂ξ= 0.

Każda funkcja f zależna tylko od η lub tylko od ξ speł nia równanie falowe. Wybieramyrozwiązanie f = g(η), czyli

f = f(x− vt).

Zachowanie stałej fazy x− vt=const wymaga przemieszczania się w kierunku osi x z pręd-kością x, wynikającą z równania

x− v = 0,

skąd v = x. W ten sposób dowiadujemy się, co oznacza współczynnik v w równaniu falowym(6.3). Drugie rozwiązanie f = h(ξ) ze względu na ξ = x+vt opisuje falę biegnącą w kierunkuprzeciwnym do osi x. Domyślamy się, że rozwiązaniem trójwymiarowego równania falowegojest każda funkcja postaci f(r± vt).


6.3 Transformacja Fouriera

Miejsce to jest dobrą okazją, aby wspomnieć o możliwości przedstawienia odpowiednioregularnej funkcji f(x) w formie całki1

f(x) =12π

∫ +∞−∞f(k) eikx dk.

Funkcję f(k) nazywamy transformatą Fouriera (TF) funkcji f(x). Jest ona określona przezcałkę

f(k) =∫ +∞−∞f(x) e−ikx dx.

Jeśli f=f(t) jest funkcją czasu, to analogicznie można obliczyć jej transformatę Fouriera fwzględem czasu zgodnie ze wzorami:

f(t) =12π

∫ +∞−∞f(ω) e−iωt dω,

f(ω) =∫ +∞−∞f(t) eiωt dt.

Relacje powyższe dają się uogólnić na odpowiednio regularną funkcję f(x, y, z, t) = f(r, t).Wtedy

f(r,t) =1(2π)4

∫f(k,ω) ei(k·r−ωt) d3k dω

oraz

f(k,ω) =∫f(r,t) e−i(k·r−ωt) d3rdt.

Czasami f(k,ω) nazywa się amplitudą fourierowską funkcji f.Funkcja o postaci

f = A ei(k·r−ωt) , (6.4)

gdzie A oznacza liczbę zespoloną2, jest proporcjonalna do pojedynczej składowej fourie-rowskiej i spełnia równanie falowe, co można sprawdzić przez zwykłe podstawienie (6.4) dorównania (6.2). Musi być jednak spełniony związek

ω2

v2= k2,

1Patrz dodatek B.2.2Jest to konieczne, aby f było rzeczywiste.

6.4 Fale płaskie 83

który w postaci

ω = |v| |k| (6.5)

nazywa się relacją dyspersyjną. Falę (6.4) nazywa się monochromatyczną fala płaską. Jakwidać, faza fali (6.4)

kr−ωt = k · (r− vt)

jest proporcjonalna do (r− vt). Wektor k nazywa się wektorem falowym. TransformacjaFouriera pozwala zatem przedstawić dowolną falę w postaci superpozycji fal płaskich ookreślonych wektorach falowych k i częstościach ω.Równania (6.3) dotyczą wektorów. Ich rozwiązania będą zatem miały postać

A(r, t) = A0 ei(k·r−ωt) , (6.6)

stanowiącą uogólnienie (6.4). Korzyścią z używania transformat Fouriera jest łatwość licze-nia dywergencji i rotacji. W przypadku pola A(r, t) dostaje się

∇ ·A = ik ·A(r, t), (6.7)

∇×A = ik×A(r, t).

Różniczkowania po x, y i z sprowadza się do mnożenia przez odpowiednie składowe wektorak.

6.4 Fale płaskie

Załóżmy, że fale poruszają się w kierunku osi z i nie zależą od x oraz y, co wymusza przyjęciek = kz. Wtedy zamiast ogólnego rozwiązania (6.6) dla pola A(r, t) mamy

E(z, t) = E0 ei(kz−ωt) ,

B(z, t) = B0 ei(kz−ωt) ,

gdzie E0 i B0 są amplitudami zespolonymi. Jak już wiemy, pola E(z, t) i B(z, t) spełniająrównanie falowe (6.1). Aby miały sens fizyczny, muszą być dodatkowo zgodne ze wszystkimirównaniami Maxwella, które nakładają dodatkowe ograniczenia. Ponieważ ∇ ·E = 0 i∇ ·B = 0 a k = kz , więc zgodnie z pierwszą relacją (6.7)

k · E0 = 0, k · B0 = 0,

czyli pola elektryczne i magnetyczne są prostopadłe do kierunku k. Fale o takich własno-ściach nazywamy poprzecznymi. W naszym przypadku, gdy k = kz, oznacza to(

E0)z=(B0)z= 0,


czyli znikanie składowych z-owych (podłużnych) pól E i B. Z prawa Faradaya ∇×E= −∂B/∂t oraz drugiej relacji (6.7) otrzymuje się

k× E0 = ωB0.

Pola E i B są nie tylko do siebie prostopadłe, ale i zgodne w fazie. Rzeczywiste amplitudysą powiązane wzorem kE0 = ωB0. Ponieważ ω = ck, więc

E0 = cB0.

Czwarte z równań Maxwella odtwarza poprzednie ograniczenie.Oś z została wybrana w całkiem dowolny sposób. Łatwo można uogólnić dotychczasowerozważania na płaskie fale monochromatyczne poruszające się w kierunku wyznaczonymprzez wektor k, przy zadanej polaryzacji n. Wtedy

E(r, t) = E0 ei(k·r−ωt) n

a

B(r, t) =1cE0 ei(k·r−ωt) k× n,

gdzie k = k/k jest wektorem jednostkowym, czy też

B(r, t) =1ck× E (r, t) .

Ponieważ E jest poprzeczne, więc

k · n = 0.

W postaci explicite rzeczywistej

E(r, t) = E0 cos(k · r−ωt+ φ)n,

B(r, t) =1cE0 cos(k · r−ωt+ φ) k× n.

6.5 Energia i pęd fal elektromagnetycznych

Zgodnie ze wzorem na gęstość energii pola elektromagnetycznego

u =12

(ε0E

2 +1µ0B2)

dla płaskiej fali monochromatycznej, gdzie

B2 =1c2E2 = ε0µ0E2,

6.5 Energia i pęd fal elektromagnetycznych 85

wkłady od pola elektrycznego i magnetycznego są równe i

u = ε0E2

= ε0E20 cos2(kz−ωt+ φ).

Taka energia jest przenoszona przez falę. Gęstość strumienia energii określa wektor Poyn-tinga

S =1µ0E×B.

Dla płaskiej fali rozchodzącej się w kierunku osi z

S = cε0E20 cos2(kz−ωt+ φ)z.

Tak jak być powinno

S = cuz.

Gęstość pędu dla pola wynosi

℘ =1c2

S.

Dla fal płaskich monochromatycznych

℘ =1cε0E

20 cos

2(kz−ωt+ φ)z

=1cuz.

Zwykle nie interesują nas fluktuacje pól. Wystarczaja wtedy wartości średnie

〈u〉 = 12ε0E

20 ,

〈S〉=12cε0E

20 z,

〈℘〉 = 12cε0E

20 z.

Średnią moc na jednostkę powierzchni, przenoszoną przez falę, nazywa się natężeniem fali

I = 〈|S|〉 = 12cε0E

20 .

W czasie ∆t przekaz pędu prostopadłego do powierzchni A wynosi ∆p =〈℘〉Ac∆t. Ciśnie-nie promieniowania (średnia siła na jednostkę powierzchni) wynosi

P =1A

(∆p∆t

)=12ε0E

20 =

I

c.


6.6 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym

Przy braku ładunków i prądów swobodnych równania Maxwella (RM) przyjmują następu-jącą postać

(i) ∇ ·D = 0, (iii) ∇×E = −∂B/∂t,(ii) ∇ ·B = 0, (iv) ∇×H = ∂D/∂t.

Zakładamy, że ośrodek jest liniowy

D = εE, H =1µB

i jednorodny, czyli ε i µ są stałymi. Wtedy

(i) ∇ ·E = 0, (iii) ∇×E = −∂B/∂t,(ii) ∇ ·B = 0, (iv) ∇×B = εµ∂E/∂t.

Równania te różnią się od RM dla próżni zastąpieniem ε0µ0 przez εµ. Widać, że fale EMrozchodzą się w liniowym ośrodku jednorodym z prędkością

v =1√εµ=

1√ε0µ0

√εµε0µ0

,

czyli

v =c

n,

gdzie

n =√

εµ

ε0µ0

jest współczynnikiem załamania ośrodka. Dla µ ' µ0 mamy n '√εr , gdzie εr jest względną

przenikalnością dielektryczną. Ponieważ εr > 1 więc v < c.Gęstość energii wynosi

u =12

(εE2 +

1µB2)

a wektor Poyntinga

S =1µ(E×B) .

Relacja dyspersji ma postać ω = νk, a natężenie fali wynosi

I =12vεE20 .

6.7 Odbicie i przenikanie fali do innego ośrodka 87

Spróbujemy zbadać zachowanie się fali EM na granicy dwóch ośrodków. Przy brakuładunków i prądów obowiązują warunki ciągłości (podrozdział 4.12) na powierzchni od-graniczającej dwa ośrodki dla składowych D i B prostopadłych do powierzchni granicznej(jako warunek znikania dywergencji) oraz składowych równoległych E i H (jako warunekznikania rotacji)

(i) ε1E⊥1 = ε2E

⊥2 , (iii) E

‖1 = E

‖2,

(ii) B⊥1 = B⊥2 , (iv) 1

µ1B‖1 =

1µ2B‖2.

6.7 Odbicie i przenikanie fali do innego ośrodka

Rozpatrzmy powierzchnię graniczną między dwoma ośrodkami w postaci płaszczyzny. Wszyst-kie trzy fale mają tę samą częstość

EI (r, t) = E0I ei(kIr−ωt),

BI (r, t) =1v1kI ×EI (r, t) ,

ER (r, t) = E0R ei(kR·r−ωt),

BR (r, t) =1v1kR × ER (r, t) ,

ET (r, t) = E0T ei(kT ·r−ωt),

BT (r, t) =1v2kT × ER (r, t) .

Liczby falowe są powiązane równaniem

kIv1 = kRv1 = kT v2 = ω,

skąd

kI = kR

oraz

kI =(c

v1

)(v2c

)kT

lub

kI =n1n2kT .


Warunki graniczne, które zostały sformułowane, muszą być spełnione dla wszystkich punk-tów płaszczyzny rozgraniczającej oba ośrodki. Zależność od r i t zawarta jest w wykładni-kach funkcji

ei(kI ·r), ei(kR·r) i ei(kT ·r)

dla z = 0. Równość czynników przestrzennych prowadzi do związków

kI · r = kR · r = kT · r (6.8)

dla z = 0, czyli

kIx · x+ kIy · y = kRx · x+ kRy · y = kTx · x+ kTy · y

dla wszystkich x oraz y. Dla x = 0 otrzymuje się

kIy = kRy = kTy,

a dla y = 0

kIx = kRx = kTx.

Bez utraty ogólności można tak wybrać osie układu współrzędnych, aby kI leżało w płasz-czyźnie (x, z), czyli kR oraz kT też będą leżały w tej płaszczyźnie.W ten sposób doszliśmydo praw optyki geometrycznej:

• Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej do drugiego ośrodka leżą w tejsamej płaszczyźnie – zwanej płaszczyzną padania. Jest ona wyznaczona przez wektorfalowy fali padającej i normalną do płaszczyzny granicznej (tu oś z).

• Z równania (6.8) wynika, że

kI sin θI = kR sin θR = kT sin θT

skąd dostajemy prawo odbicia

θI = θR

• oraz prawo załamania

n1 sin θI = n2 sin θT

zwane prawem Snella.


Efekty falowe zawarte są w warunkach granicznych po skróceniu funkcji wykładniczych:

(i) ε1(E0I + E0R

)z= ε2

(E0T

)z

(ii)(B0I + B0R

)z=(B0T

)z

(iii)(E0I + E0R

)x,y= (E0T )x,y

(iv) 1µ1

(B0I + B0R

)x,y= 1

µ2

(B0T

)x,y

przy czym

B0 =1vk× E0.

Rozpatrzmy falę spolaryzowaną liniowo z wektorem B prostopadłym do płaszczyznypadania (TM, typ p). Z warunku (i) mamy

ε1(−E0I sin θI + E0R sin θR

)= ε2

(−E0T sin θT

). (6.9)

Warunek (ii) nic nie wnosi bo wektor B ⊥z i nie posiada składowych wzdłuż osi z. Z (iii)wynika

E0I cos θI + E0R cos θR = E0T cos θT (6.10)

Z warunku (iv) mamy

1µ1v1

(E0I − E0R

)=1

µ2v2E0T (6.11)

Ze względu na prawa odbicia i załamania równania (6.9) i (6.11) przyjmują tę samą postać

E0I − E0R = βE0T , (6.12)

gdzie

β =ε2ε1

n1n2=ε2µ2ε1µ1

µ1n1µ2n2

=v21v22

µ1n1µ2n2

=v21v22

c

v1

v2c

µ1µ2=µ1v1µ2v2

=µ1n2µ2n1

.

Równanie (6.10) przybiera postać

E0I + E0R = αE0T , (6.13)

gdzie

α =cos θTcos θI

.


Równania (6.12) i (6.13)

E0R + βE0T = E0I ,

−E0R + αE0T = E0I

można zapisać w postaci macierzowej(1 β−1 α

)(E0RE0T

)=

(11

)E0I .

Ponieważ

∆ =

∣∣∣∣∣ 1 β−1 α

∣∣∣∣∣ = α+ β,zatem

E0R =1∆

∣∣∣∣∣ 1 β1 α

∣∣∣∣∣ E0I = α− βα+ β

E0I ,

E0T =1∆

∣∣∣∣∣ 1 1−1 1

∣∣∣∣∣ E0I = 2α+ β

E0I .

Otrzymane wzory

E0R =α− βα+ β

E0I ,

E0T =2

α+ βE0I

są znane jako równania Fresnela dla fali typu TM. W podobny sposób otrzymuje się rów-nania Fresnela dla fali typu TE (lub s) z wektorem polaryzacji pola E prostopadłym dopłaszczyzny padania.Współczynnik α zależy od kąta padania

α =

√1− sin2 θTcos θI

=

√1− [(n1/n2) sin θI ]2

cos θI.

Dla θI = π/2 mamy α → ∞, a to oznacza E0T → 0, czyli całkowite odbicie. Istniejejeszcze kąt pośredni θB zwany kątem Brewstera, przy którym fala odbita jest całkowiciewytłumiona. Zgodnie z pierwszym wzorem Fresnela powinno to nastąpić przy α = β;

α2 =1− n21

n22sin2 θB

1− sin2 θB= β2.


Stąd

1− n21n22sin2 θB = β2 − β2 sin2 θB,

co prowadzi do wzoru

sin2 θB =1− β2

(n1/n2)2 − β2

.

Zwykle µ1 ' µ2 i wtedy β ' n2/n1, co oznacza

sin2 θB =1− β2

1/β2 − β2

=1− β2

1− β4β2 =

β2

1 + β2.

Ponieważ sin2 θ = tg2 θ/(1 + tg2 θ

), stad

tg θB 'n2n1.

Natężenie fali padającej na powierzchnię graniczną wynosi

II =12v1ε1E

20I cos θI ,

gdzie cos θI pojawia się z powodu kąta między S i z (czoło fali pada pod kątem na po-wierzchnię graniczną). Odpowiednio natężenia fali odbitej i przechodzącej wynoszą

IR =12v1ε1E

20R cos θR

IT =12v2ε2E

20T cos θT .

Współczynniki odbicia i transmisji dla fali TM wynoszą odpowiednio

R =IRII=E20RE20I=(α− βα+ β

)2,

T =ITII=ε2v2ε1v1

(E0TE0I

)2 cos θTcos θI

=4αβ

(α+ β)2

Oczywiście R+ T = 1, czego wymaga zasada zachowania energii.


6.8 Fale EM w przewodnikach

W przewodnikach ρsw 6= 0 oraz Jsw = σE. Przy tych założeniach równania Maxwellaprzybierają postać

(i) ∇ ·E =1ερsw (iii) ∇×E = − (∂B/∂t)(ii) ∇ ·B =0 (iv) ∇×B = µσE+µε (∂E/∂t)

Równanie ciągłości

∇ · Jsw = −∂ρsw∂t

łącznie z prawem Ohma i Gaussa prowadzi do równania

∂ρsw∂t= −σ (∇ ·E) = −σ

ερsw,

które łatwo rozwiązać

ρsw (t) = ρsw (0) e−(σ/ε)t .

Początkowa gęstość ładunku swobodnego ρsw (0) rozpływa się z czasem charakterystycznym

τ =ε

σ.

Po tym czasie możemy uważać, że ρsw = 0. Równania Maxwella różnią się od odpowiednichrównań dla ośrodków nieprzewodzących tylko ostatnim członem w ostatnim równaniu

(i) ∇ ·E = 0, (iii) ∇×E = − (∂B/∂t),(ii) ∇ ·B = 0, (iv) ∇×B =µσE+ µε (∂E/∂t).

Obliczamy rotację dwu ostatnich równań Maxwella

∇× (∇×E) = − ∂∂t(∇×B) ,

∇× (∇×B) = εµ ∂∂t(∇×E) + µσ∇×E.

Wykorzystujemy dwa pierwsze równania (i) oraz (ii), co w połączeniu z tożsamością doty-czącą rotacji z rotacji pól E i B daje

−∆E = − ∂∂t

(εµ∂E∂t+ µσE

),

−∆B = −εµ ∂∂t

(∂B∂t

)− µσ∂B

∂t, (6.14)

6.8 Fale EM w przewodnikach 93

skąd

∆E = εµ∂2E∂t2+ µσ

∂E∂t, (6.15)

∆B =εµ∂2B∂t2+ µσ

∂B∂t. (6.16)

Poszukujemy rozwiązań tych równań w postaci fal płaskich

E (z, t) = E0 ei(kz−ωt

)(6.17)

B (z, t) = B0 ei(kz−ωt

)(6.18)

Podstawienie (6.17) i (6.18) do (6.15) i (6.16) pokazuje, że liczba falowa musi być zespolona

k2 = εµω2 + iµσω. (6.19)

Przyjmując k w postaci

k = k + iκ (6.20)

można wyznaczyć część rzeczywistą k i urojoną κ. Obliczenie pierwiastka z (6.19) możnaprzeprowadzić przez podstawienie (6.20) do (6.19) i porównanie części rzeczywistych i uro-jonych

k2 − κ2 = εµω2

2kκ = µσω.

Eliminacja κ z pierwszego równania prowadzi do równania dwukwadratowego

k4 − εµω2k2 − 14µ2σ2ω2 = 0.

Jeden z pierwiastków ma postać

k2 =12εµω2

1 +√1 +

(σ

εω

)2 .Jego wykorzystanie w drugim równaniu pozwala na następujący wybór rozwiązań

k = ω√εµ

2

√1 + ( σ

εω

)2+ 1

1/2 ,

κ = ω√εµ

2

√1 + ( σ

εω

)2− 1

1/2 .


Część urojona k prowadzi do tłumienia

E (z, t) = E0 e−κz ei(kz−ωt)

B (z, t) = B0 e−κz ei(kz−ωt) .

Wielkość

d =1κ

nazywa się głębokością wnikania fali do przewodnika. Część rzeczywista określa długość fali

λ =2πk,

prędkość rozchodzenia się fali

v =ω

k

oraz współczynnik załamania

n =c

v=ck

ω.

Równania Maxwella, tak jak poprzednio, nakładają dodatkowe ograniczenia na amplitudy,fazy i polaryzacje pól E i B. Równania (i) i (ii) dotyczące dywergencji usuwają składowez: pola są więc poprzeczne. Orientujemy osie układu współrzędnych w taki sposób, aby Ebyło spolaryzowane wzdłuż osi x

E (z, t) = E0 e−κz ei(kz−ωt) x.

Z równania (iii) otrzymujemy

B (z, t) =k

ωE0 e−κz ei(kz−ωt) y,

co staje się zrozumiałe, jeśli pamiętamy, że dla transformat Fouriera∇×E =ik×E , ∂E/∂t =−iωE. Równanie (iv) daje to samo. Ponownie E ⊥ B. Tym razem pola E i B nie są w tejsamej fazie, gdyż

k =∣∣∣k∣∣∣ eiα ,

gdzie

∣∣∣k∣∣∣2 = k2 + κ2 = ω2εµ

√1 +

(σ

εω

)2

6.9 Odbicie od powierzchni przewodzącej 95

a

α = arc tg(κk

)jest przesunięciem fazowym αB − αE = α. Porównanie amplitud fourierowskich pól E i Bpozwala ustalić ich postać rzeczywistą

E (z, t) = E0 e−κz cos (kz − ωt+ αE) x,B (z, t) = B0 e−κz cos (kz − ωt+ αE + α) y.

Pole magnetyczne opóźnia się względem pola elektrycznego (wymagany jest dodatkowyczas t′ > 0, aby −ωt′ + α = 0, co oznacza zrównanie faz obu pól).

6.9 Odbicie od powierzchni przewodzącej

Rozważmy monochromatyczną falę płaską spolaryzowaną w kierunku osi x, padającą z lewejstrony na płaszczyznę xy odgraniczającą ośrodek dielektryczny (1) od przewodnika (2)

EI (z, t) = E0I ei(kz−ωt) x,

BI (z, t) =1v1E0I ei(kz−ωt) y.

Fala ta spowoduje powstanie fali odbitej

ER (z, t) = E0R ei(−k1z−ωt) x,

BR (z, t) = −1v1E0R ei(−k1z−ωt) y

i fali przechodzącej

ET (z, t) = E0T ei(k2z−ωt

)x,

BT (z, t) =k2ωE0T e

i(k2z−ωt

)y,

która biegnie jak fala padająca (a przeciwnie niż fala odbita) lecz jest tłumiona w przewod-niku.Na powierzchni granicznej (z = 0) wypadkowa fala w ośrodku (1) musi ł ączyć się z faląw ośrodku (2), spełniając warunki graniczne

(i) ε1E⊥1 − ε2E⊥2 = σsw (iii) E‖1 −E

‖2 = 0

(ii) B⊥1 −B⊥2 = 0 (iv) 1µ1B‖1 − 1

µ2B‖2 = Ksw × n

(n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni granicznej, po której płynieprąd o gęstości powierzchniowejKsw, skierowanym od ośrodka (2) do ośrodka (1). Dla prze-wodników spełniających prawo Ohma Ksw = 0. Ponieważ nie ma składowej prostopadłej


pól z obu stron (fala jest poprzeczna i nie ma składowej wzdłuż osi z), więc z warunku (i)wynika σsw = 0. Z warunku (iii) mamy

E0I + E0R = E0T ,

a z warunku (iv), po przeliczeniu pola B na E,

1µ1v1

(E0I − E0R

)− k2µ2ω

E0T = 0.

Inaczej

E0I − E0R = βE0T ,

gdzie

β =µ1v1µ2ω

k2.

Rozwiązanie powyższego układu równań już znamy z wcześniejszego badania zachowaniasię fali na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych (nieprzewodzących)

E0R =1− β1 + β

E0I ,

E0T =2

1 + βE0I .

Podobieństwo do wcześniejszego wyniku jest jedynie formalne. Obecenie β jest wielkościązespoloną. Dla bardzo dobrego przewodnika σ →∞, k2 →∞ i β →∞, skąd

E0R = −E0I , E0T = 0.

Dla warstw metalicznych o grubości większej niż głębokość wnikania d (rzędu 100 A dlaAg) fala padająca zostaje całkowicie odbita ze zmianą fazy o π. W ten sposób tłumacząsię silne własności odbijające powierzchni wykonanych z dobrych przewodników. Własnośćtę wykorzystuje się w zwierciadłach metalicznych. Z materiałów nieprzewodzących możnawykonać tak zwane zwierciadła Bragga. Zawierają one zwykle kilkanaście wastw materiałówo dwóch różnych współczynnikach załamania. Grubość warstw dobiera się do częstości fali,która ma być odbita.

6.10 Falowody

Zajmiemy się obecnie falami w ograniczonej przestrzeni. Może to być wnętrze długiej pustejmetalowej rury, którą nazywać będziemy falowodem. Zakładamy, że falowód jest wykonany

6.10 Falowody 97

z bardzo dobrego przewodnika, w którym zarówno E = 0 jak i B = 0. Warunki brzegowena wewnętrznej ściance falowodu mają postać

(i) E‖ = 0,(ii) B⊥ = 0.

(6.21)

Ponieważ E = 0 wewnątrz przewodnika, to zgodnie z prawem Faradaya ∂B/∂t = 0. Jeślina początku mieliśmy B = 0, to pozostanie ono równe zeru. Na powierzchni falowodu zain-dukowane zostaną takie swobodne ładunki i prądy powierzchniowe, aby nie było składowejnormalnej pola E i składowej stycznej pola H we wnętrzu doskonałego przewodnika3.Zajmiemy się falami monochromatycznymi, które mogą rozchodzić się wzdłuż rury falo-wodowej

(i) E (x, y, z, t) = E0 (x, y) ei(kz−ωt)

(ii) B (x, y, z, t) = B0 (x, y) ei(kz−ωt).

Ograniczymy się do rzeczywistych wartości k. Pola E i B we wnętrzu falowodu spełniająnastępujące równania Maxwella

(i) ∇ ·E = 0, (iii) ∇×E = − (∂B/∂t),(ii) ∇ ·B = 0, (iv) ∇×B = c−2 (∂E/∂t).

Pokażemy, że fale ograniczone do wnętrza falowodu nie mogą być poprzeczne. Spełnieniewarunków brzegowych wymaga włączenia składowych podłużnych (Ez i Bz)

E0 = (Ex, Ey, Ez) ,

B0 = (Bx, By, Bz) .

Każda ze składowych amplitud Ex, Ey, ..., Bz jest funkcją x i y. Podstawienie do dwóchostatnich równań Maxwella daje

(i) ∂Ey∂x −

∂Ex∂y = iωBz, (iv) ∂By

∂x −∂Bx∂y = −

iωc2Ez,

(ii) ∂Ez∂y − ikEy = iωBx, (v)

∂Bz∂y − ikBy = −

iωc2Ex,

(iii) ikEx − ∂Ez∂x = iωBy, (vi) ikBx − ∂Bz

∂x = −iωc2Ey.

Równania (ii), (iii), (v) i (vi) można zapisać w postaci macierzowejk 0 0 −ω0 −k −ω 00 ω/c2 k 0

ω/c2 0 0 −k

ExEyBxBy

= 1i

∂Ez/∂x−∂Ez/∂y∂Bz/∂z−∂Bz/∂y

3Tuż przy zewnętrznej stronie powierzchni doskonałego przewodnika tylko te składowe (E⊥,H‖) mogą być różne

od zera (patrz [2], cz.2).


skąd prosta choć uciążliwa droga prowadzi do wyznaczenia

Ex =1i∆

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂Ez/∂x 0 0 −ω−∂Ez/∂y −k −ω 0∂Bz/∂z ω/c2 k 0−∂Bz/∂y 0 0 −k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,oraz pozostałych składowych: Ey, Bx i By. Wyznacznik układu równań ma postać

∆ =

(ω2

c2− k2

)2.

Można sprawdzić, że

(i) Ex = i(ω/c)2−k2

(k ∂Ez∂x + ω

∂Bz∂y

),

(ii) Ey = i(ω/c)2−k2

(k ∂Ez∂y − ω

∂Bz∂x

),

(iii) Bx = i(ω/c)2−k2

(k ∂Bz∂x −

ωc2∂Ez∂y

),

(iv) By = i(ω/c)2−k2

(k ∂Bz∂y +

ωc2∂Ez∂x

).

(6.22)

Znajomość składowych podłużnych wystarcza do wyznaczenia pozostałych składowych.Wykorzystanie ostatnich wzorów w równaniach Maxwella (i) i (iv) prowadzi do dwóchniesprzężonych równań dla Ez i Bz

(i)(∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +ω2

c2 − k2)Ez = 0

(ii)(∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +ω2

c2 − k2)Bz = 0

.

W przypadku Ez = 0 mówimy o falach poprzecznych elektrycznych (TE); gdy Bz = 0– to o falach poprzecznych magnetycznych (TM); jeśli Ez = 0 i Bz = 0 – to o falachpoprzecznych elektromagnetycznych (TEM). Fale TEM nie mogą występować w pustymfalowodzie. Aby to pokazać nie możemy wykorzystać ostatnich wyników, gdyż dla fali TEMznika wyznacznik ∆. Należy się cofnąć do równań Maxwella. W przypadku Ez = Bz = 0wektor

E0 = (Ex, Ey)

ma zerową dywergencję i rotację w dwóch wymiarach, co wyprowadza się z prawa Gaussai prawa Faradaya. Można zatem E0 wyrazić przez gradient potencjału skalarnego, któryspełnia równanie Laplace’a. Warunek (6.21i) oznacza, że powierzchnia przewodnika musibyć ekwipotencjalna (pole jest prostopadłe do powierzchni stałego potencjału). Wobec tegopotencjał wewnątrz całego falowodu jest wszędzie taki sam, czyli stały. Równanie Laplace’anie dopuszcza lokalnych ekstremów. Oznacza to zerowe pole E0. Zatem nie pojawi się żadnafala TEM. Uzyskany wynik nie stosuje się do falowodu z metalicznym rdzeniem, któregopotencjał może być inny niż części zewnętrznej (osłony, płaszcza).

6.10 Falowody 99

6.10.1 Przypadek falowodu prostokątnego

Niech falowód prostokątny ma wysokość x = a i szerokość y = b. Rozpatrzmy falę TEspełniającą równanie (ii) przy warunkach brzegowych (6.21). Zacznijmy od rozdzieleniazmiennych

Bz (x, y) = X (x)Y (y) .

Wtedy

Yd2X

dx2+X

d2Y

dy2+

(ω2

c2− k2

)XY = 0.

Po podzieleniu przez XY dostajemy człony zależne od x i y, które muszą być stałe, jeślirównanie ma być spełnione dla różnych wartości x i y

(i) (1/X)(d2X/dx2

)= −k2x

(ii) (1/Y )(d2Y/dy2

)= −k2y

(6.23)

Współczynniki kx i ky są tymi stałymi i spełniają równanie

−k2x − k2y +ω2

c2− k2 = 0 (6.24)

Ogólne rozwiązanie równania (6.23i) ma postać

X (x) = A sin (kxx) +B cos (kxx) .

Warunki graniczne dotyczą B⊥, które musi znikać. Zgodnie z (6.22iii)

Bx ∼∂Bz∂x.

Znikanie Bx prowadzi do waruku ∂Bz/∂x = 0 dla x = 0 i x = a. Stąd A = 0 i

kx = mπ/a, (n = 0, 1, 2, ..) . (6.25)

Dla funkcji Y wynik jest analogiczny

ky = nπ/a, (n = 0, 1, 2, ...) . (6.26)

Ostatecznie

Bz = B0 cos (mπx/a) cos (nπy/b) .

Rozwiązanie powyższe nazywa się modem TEmn. Jeżeli a b, to pierwszy wskaźnik do-tyczy większej krawędzi falowodu. Aby istniało rozwiązanie falowodowe, co najmnej jedenwskaźnik musi być różny od zera. Liczbę falową otrzymujemy z równania (6.24)

k =√(ω/c)2 − π2

[(m/a)2 + (n/b)2

]. (6.27)


Jeżeli

ω < ωmn,

gdzie

ωmn = cπ

√(m

a

)2+(n

b

)2,

to liczba falowa jest urojona i zamiast fali pojawiają się pola tłumione wykładniczo. Czę-stość ωmn nazywa się częstością odcięcia dla modu TEmn. Najniższa częstość odcięcia dladanego falowodu prostokątnego występuje dla modu TE10.Wtedy

ω10 =cπ

a.

Fale o mniejszych częstościach nie mogą rozchodzić się w danym falowodzie.Relację dyspersji (6.27) można zapisać przy użyciu częstości odcięcia

ω =√c2k2 + ω2mn. (6.28)

Widać, że prędkość fazowa

v =ω

k=

√c2 +

(ωmnk

)2> c

jest większa od c. Energia jest przenoszona z prędkością grupową

vg =dω

dk= c2/

√c2 +

(ωmnk

)2< c,

która jest zawsze mniejsza od c. Można to wydedukować z wykresów zależności dyspersyj-nych dla modów prowadzonych TE.Istnieje inny sposób przedstawienia rozchodzenia się fali w falowodzie przy wykorzystaniutak zwanego modelu “zygzak”. Wyobraźmy sobie falę płaską rozchodząca się pod kątem θdo osi z i odbijającą się bez strat od powierzchni przewodzących. W kierunku x i y mogąprzetrwać wielokrotnie odbite fale, jeśli utworzą fale stojące o długościach λx/2 = a/m iλy/2 = b/n. Stąd pojawiają się liczby falowe kx = 2π/λx = πm/a i ky = πn/b. W kierunkuz pozostaje fala rozchodząca się z liczbą falową kz = k. Wektor falowy pierwotnej falipłaskiej wynosi

k′ =(πm

a,πn

b, k

).

Relacja dyspersji

ω = c∣∣k′∣∣ = c

√k2 +

(πm

a

)2 (πnb

)2=√c2k2 + ω2mn

6.10 Falowody 101

pokrywa się z wynikiem (6.28).Ponieważ k = k′z jest składową z wektora k′, więc z relacji

k =∣∣k′∣∣ cos θ (6.29)

wynika, że tylko niektóre kąty θ, spełniajace relację

cos θ =k

|k′|=ck

ω

= ck/√c2k2 + ω2mn ,

prowadzą do dozwolonych fal stojących przy zadanym k. Fala płaska rozchodzi się z pręd-kością c pod kątem θ do osi z. Prędkość wzdłuż falowodu jest jej składową w kierunku osiz i wynosi

vg = c cos θ

= c2/√c2 + (ωmn/k)

2,

co pokrywa sie z wcześniejszym wynikiem dla prędkości grupowej. Powierzchnia stałej fazy(płaszczyzna – w naszym przypadku) przesuwa się o λ w ciągu jednego okresu T w kierunkuwektora k′. W tym samym czasie ta sama płaszczyzna przesuwa sie o odcinek d wzdłuż osiz. Zgodnie ze wzorem (6.29)

2πd=2πλcos θ.

Po podstawieniu λ = cT oraz d = vT otrzymamy prędkość

v =c

cos θ=

√c2 +

(ωmnk

)2,

która jest równa wcześniej otrzymanej prędkości fazowej.

7POTENCJAŁY I POLA

7.1 Potencjał skalarny i wektorowy

Przyjmujemy, że znane są rozkłady ładunków ρ (r, t) i prądów J (r, t). Mając do dyspozycjirównania Maxwella

(i) ∇ ·E =ρ/ε0, (iii) ∇×E = −∂B/∂t,(ii) ∇ ·B = 0, (iv) ∇×B =µ0J+ µ0ε0∂E/∂t,

postaramy się określić pola E (r,t) i B (r,t). Wygodniej jest, zamiast rozwiązywać bezpo-średnio równania Maxwella, wprowadzić potencjały. Otrzymamy w ten sposób mniejsząliczbę równań drugiego rzędu. W elektrostatyce używaliśmy potencjału skalarnego V , a wmagnetostatyce potencjału wektorowego A.Równość ∇ ·B = 0 zachodzi również dla pól zmiennych w czasie. Możemy więc napisaćjak w magnetostatyce

B = ∇×A, (7.1)

używając potencjału wektorowego A. Wtedy z prawa Faradaya (iii)

∇×(E+

∂A∂t

)= 0.

Znikająca rotacja oznacza, że wielkość w nawiasie może być przedstawiona przez gradientfunkcji skalarnej V, skąd dostajemy

E = −∇V−∂A∂t. (7.2)

104 7. POTENCJAŁY I POLA

Równania Maxwella (ii) i (iii) są spełnione automatycznie. Układ czterech równań niejed-norodnych może być zastąpiony w języku potencjałów przez dwa równania, które wyrażająprawa Gaussa (i) i Ampere’a (iv)

∆V+∂

∂t(∇ ·A) = − 1

ε0ρ, (7.3)

(∆A−ε0µ0

∂2A∂t2

)−∇

(∇ ·A+ε0µ0

∂V∂t

)= −µ0J. (7.4)

Do otrzymania ostatniego równania użyto tożsamości ∇ × (∇×A) = ∇ (∇ ·A) − ∆A.Równania te są ze sobą powiązane. Aby je rozseparować można wykorzystać dowolnośćwyboru potencjałów. Ze względu na (7.1) potencjał A jest wyznaczony z dokładnością dogradientu dowolnej funkcji skalarnej λ. Przy transformacji

A→ A′ = A+∇λ. (7.5)

B nie ulega zmianie. Aby nie uległo również zmianie pole E, należy przekształcić jednocze-śnie potencjał skalarny

V→ V′ = V−∂λ∂t

(7.6)

Wtedy rzeczywiście z (7.2) widzimy, że

E′ = −∇V′−∂A′

∂t

= −∇V+ ∂∂t∇λ− ∂A

∂t− ∂

∂t∇λ

= −∇V−∂A∂t= E.

Korzystając z dowolności wyboru potencjałów zawartej w (7.5) i (7.6) można zażądać, aby

∇ ·A+ ε0µ0∂V∂t= 0. (7.7)

Taki wybór prowadzi do rozseparowania pary rówań (7.3) i (7.4) na dwa niezależne niejed-norodne równania falowe

∆V−ε0µ0∂2V∂t2= − 1

ε0ρ, (7.8)

∆A− ε0µ0∂2A∂t2= −µ0J. (7.9)

Są one wraz z warunkiem (7.7) równoważne równaniom Maxwella.

7.2 Transformacja cechowania 105

7.2 Transformacja cechowania

Transformację potencjałów (7.5) i (7.6) nazywa się transformacją cechowania, a nie-zmienniczość pól względem takich transformacji nazywa się niezmienniczością względemtranformacji cechowania. Związek (7.7) nazywa się cechowaniem Lorentza. Zaletą cecho-wania Lorentza jest jednakowe wyrażenie obu potencjałów V i A poprzez ten sam operatorróżniczkowy zwany dalambercjanem

(i) V = − 1ε0 ρ,(ii) A = −µ0J.

(7.10)

Nawet wśród potencjałów spełniających (7.7) jest jeszcze spora dowolność. Cechowanie tow sposób naturalny przystaje do szczególnej teorii względności. Będzie ono wykorzystywanew dalszych rozważaniach.Innym cechowaniem potencjałów jest tak zwane cechowanie Coulomba. W tym cecho-waniu wybiera się jak w magnetostatyce ∇ · A = 0. Wtedy potencjał skalarny spełniarównanie Poissona ∆V = −ρ/ε0 a potencjał wektorowy niejednorodne równanie falowe.Cechowanie to jest użyteczne w elektrodynamice kwantowej. Jest również używane, gdy niema źródeł. Wtedy dla V = 0 potencjał A spełnia jednorodne równanie falowe A = 0, apola są określone wzorami

E = −∂A/∂t, B = ∇×A.

7.3 Potencjały opóźnione

W przypadku statycznym równania (7.10) redukują się do czterech równań Poissona: jed-nego dla V i trzech dla potencjału wektorowego A, ze znanymi rozwiązaniami

V (r) =14πε0

∫ρ (r′)R

d3r′,

A (r) =µ04π

∫J (r′)R

d3r′,

gdzie R oznacza odległość od punktu r′ (gdzie jest źródło) do punktu obserwacji pola r.Ponieważ informacja o stanie pola rozchodzi się z prędkością fali EM, czyli światła, więc wprzypadku niestatycznym oczekujemy rozwiązań

V (r,t) =14πε0

∫ρ (r′, tr)R

d3r′

A (r) =µ04π

∫J (r′, tr)R

d3r′

z czasem wziętym w chwili wcześniejszej tr, zwanej czasem opóźnionym (retarded), przesu-niętym do tyłu w stosunku do czasu obserwacji

tr = t−Rc.

106 7. POTENCJAŁY I POLA

Potencjały określone powyższymi wzorami nazywa się potencjałami opóźnionymi. Po-prawność zapostulowanych wzorów należy sprawdzić przez obliczenie gradientu, a następniedywergencji. Obliczony w ten sposób laplasjan jest zgodny z równaniami (7.8) i (7.9).Należy pamiętać, że funkcje podcałkowe zależą od r w dwóch miejscach: w mianownikuzawierającym R oraz pośrednio poprzez czas tr, który również zawiera R. Formalnie tesame równania są spełnione przez potencjały z czasem przedwczesnym tα = t+R/c. Wynikato z symetrii równań Maxwella względem odwrócenia czasu. Potencjały te naruszają woczywisty sposób zasadę przczynowości i nie mają bezpośredniego sensu fizycznego.Mając potencjały opóźnione można wyznaczyć pola

E = −∇V−∂A∂t, B = ∇×A.

Po przeprowadzeniu odpowiednich rachunków otrzymuje się wzory

E (r, t) =14πε0

∫ [ρ (r′, tr)R2

R+ ρ (r′, tr)cR

R − J (r′, tr)

c2R

]d3r′,

B (r, t) =µ04π

∫ [J (r′, tr)R2

+J (r′, tr)cR

]× Rd3r′,

stanowiące uogólnienie prawa Coulomba i prawa Biota-Savarta na przypadek źródeł zależ-nych od czasu. Kropki oznaczają pochodne cząstkowe względem czasu t. W przybliżeniuquasi-statycznym, to znaczy dla wolnozmiennych ładunków i prądów, otrzymuje się prawoCoulomba i prawo Biota-Savarta bez opóźnienia w czasie, to znaczy dla tr = t.

8ELEKTRODYNAMIKA I TEORIAWZGLĘDNOŚCI

8.1 Zasada względności Galileusza

Aby opisać cokolwiek posługując się fizyką, należy wybrać pewien układ odniesienia orazzwiązane z tym układem zegary, służące do odmierzania czasu. Zmiana układu odniesieniazwykle wpływa na postać równań opisujących prawa przyrody. Jeśli weźmie się przypad-kowy układ odniesienia, to nawet proste zjawisko może być przedstawione w nim w sposóbzłożony. Pojawia się więc problem wyboru takiego układu odniesienia, w którym prawaprzyrody byłyby przedstawione najprościej.Istnieją układy odniesienia, zwane układami inercjalnymi, w których ruch swobodny(nie poddany zewnętrznym oddziaływaniom) odbywa się ze stałą prędkością v (traktowanąw sensie wektorowym). Twierdzenie o istnieniu inercjalnych układów odniesienia jest treściąpierwszej zasady dynamiki. Własność inercjalności łączy się z jednorodnością i izotropowo-ścią przestrzeni oraz jednorodnością czasu. Skutkiem tej własności jest np. niezależnośćruchu swobodnego od kierunku w przestrzeni. Istnienie jednego układu odniesienia po-ciąga za sobą istnienie nieskończenie wielu innych układów inercjalnych, które poruszająsię względem siebie ze stał ymi prędkościami.Odkryto, że różne układy odniesienia są sobie równoważne nie tylko z punktu widzeniaruchu swobodnego. Doświadczenie pokazuje, że słuszna jest zasada względności:

Wszystkie prawa przyrody są jednakowe we wszystkichinercjalnych układach odniesienia.

Oznacza to, że równania wyrażające prawa przyrody są współzmiennicze ze względu naprzekształcenia współrzędnych i czasu przy przejściu z jednego do drugiego inercjalnegoukładu odniesienia. Obok zasady względności w podstawach mechaniki klasycznej tkwi

108 8. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI

założenie o istnieniu jednego czasu, tak zwanego czasu absolutnego. Założenie to wraz zzasadą względności nazywa się zasadą względności Galileusza.Współrzędne r i r′ tego samego punktu w różnych inercjalnych układach odniesienia K i

K ′, z których drugi porusza się z prędkością V względem pierwszego powiązane są relacją

r = r′ +Vt, (8.1)

gdzie czas jest jednakowy w obu układach

t = t′. (8.2)

Konsekwencją transformacji Galileusza (8.1) i (8.2) jest prawo dodawania prędkości

v = v′ +V.

8.2 Transformacja Lorentza

Elektrodynamika narusza prawo dodawania prędkości dla sygnałów świetlnych. Doświad-czenia Michelsona i Morleya pokazały, że

v + c⇒ c.

Należy zatem odrzucić transformację Galileusza i zastąpić ją inną. Ponadto zastosowanietransformacji Galileusza do równań Maxwella pokazuje, że zmienia ona ich postać, co prze-czy zasadzie względności. Okazuje się jednak, że jeśli dopuścimy możliwość przekształceniaczasu, to istnieje taka transformacja RM, która nie narusza ich postaci. W szczególnymprzypadku dwóch układów inercjalnych, których osie x są równoległe do wektora V, takatransformacja ma postać

x =x′ + Vt′√1− (V/c)2

, (8.3)

y = y′,

z = z′,

t =t′ + V · x′/c2√1− (V/c)2

, (8.4)

gdzie V jest współrzędną x wektora V = (V, 0, 0). Równania (8.3) – (8.4) noszą nazwętransformacji Lorentza. Zawarta w nich treść fizyczna została rozszyfrowana przez Ein-staina w postaci szczególnej teorii wzgędności.

8.3 Postulaty szczególnej teorii względności 109

8.3 Postulaty szczególnej teorii względności

Szczególną teorię względności można streścić w formie trzech postulatów:

• Podstawowe prawa fizyki zachowują swoją postać (są współzmiennicze) we wszystkichinercjalanych układach odniesienia, inaczej – mają charakter absolutny.

• Prędkość rozchodzenia się światła w próżni c jest wielkością absolutną.

• Dla V c prawa mechaniki relatywistycznej przechodzą w prawa mechaniki klasycz-nej.

Pierwszy postulat zachowuje zasadę względności zastępując transformację Galileuszatransformacją Lorentza jako stosownym przekształceniem współrzędnych i czasu przy prze-chodzeniu z jednego układu inercjalnego do drugiego. W ten sposób usunięte zostało założe-nie o czasie absolutnym. Równania Maxwella są zgodne z tak rozumianą zasadą względności.Tym samym elektrodynamika klasyczna okazała się zgodna ze szczególną teorią względnościi nie wymaga żadnych relatywistycznych poprawek. Poprawianie fizyki ogranicza się tylkodo mechaniki klasycznej. Stąd w trzecim postulacie jest mowa wyłącznie o mechanice.

8.4 Czasoprzestrzeń

Transformacja Lorentza dotyczy trzech współrzędnych wektora r = (x, y, z) oraz czasu t.Przestrzeń trójwymiarowa, jako przestrzeń fizyczna, wydaje się tu mniej odpowiednia niżprzestrzeń czterowymiarowa.Podstawową cechą przestrzeni jest możliwość wprowadzenia pojęcia odległości ds w po-staci

(ds)2 = gijdqidqj , (8.5)

gdzie macierz gij jest pewną macierzą symetryczną. Do powtarzających się wskaźnikówzostała zastosowana konwencja sumacyjna. Zakres zmian i oraz j nie jest tu szczególnieważny. W przypadku trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej gij = δij dla układu współ-rzędnych kartezjańskich. We współrzędnych sferycznych, gdy r =(r, θ, ϕ), mamy g11 = 1,g22 = r, g33 = r sin θ, a wszystkie pozadiagonalne elementy gij są równe zeru. Z równaniafali elektromagnetycznej wynika naturalny kandydat na wielkość (8.5) dla czasoprzestrzeni

(ds)2 = (cdt)2 −(dx2 + dy2 + dz2

). (8.6)

Różne od zera pozostają tylko elementy diagonalne macierzy gij . Przestrzeń czterowymia-rowa o takiej metryce jest bliska przestrzeni euklidesowej. Dlatego zwykle nazywa się jąprzestrzenią pseudoeuklidesową. Współrzędna czasowa ct jest w niej wyróżniona względem


współrzędnych przestrzennych. Zamiast wskaźników alfabetu łacińskiego przyjęto wykorzy-stywać litery greckie w zakresie od 0 do 3, przy czym wartość zero jest zarezerwowana dlaczasu:

(ds)2 = gµνdqµdqν , (µ, ν) = 0, 1, 2, 3

gdzie

q0 = ct, q1 = x, q2 = y, q3 = z,

natomiast

g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1,

a pozostałe pozadiagonalne elementy macierzy gµν są równe zeru. Ze względu na różne odjedności wartość współczynników gµµ musimy odróżniać współ rzędne z górnym wskaźni-kiem qµ (kontrawariantne) od współrzędnych kowariantnych qµ, które dla µ = 0 są sobierówne, a dla µ = 1, 2, 3 różnią się znakiem

q1 = −x, q2 = −y, q3 = −z.

Przestrzeń czterowymiarową o powyższych właściwościach nazywać będziemy czasoprzes-trzenią.Transformacja Lorentza jest szczególnym przypadkiem transformacji obrotu w czasoprze-strzeni

x = x′ coshψ + ct′ sinhψ,

ct = x′ sinhψ + ct′ coshψ,

y = y′,

z = z′, (8.7)

gdzie

coshψ =12

(eψ +e−ψ

),

sinhψ =12

(eψ − e−ψ

).

Obliczenie ct2 − x2 pokazuje, że

(ct)2 − x2 =(ct′)−(x′)2 ,

ponieważ

cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1.

8.4 Czasoprzestrzeń 111

Ogólnie wielkość ds nazywa się interwałem czasoprzestrzennym (skrótowo interwałem). Nieulega on zmianie pod wpływem trasformacji (8.7)

(ds)2 =(ds′)2 .

Początek układu współrzędnych K ′ w układzie K ′ ma oczywiście współrzędną x′ = 0. Wukładzie K w chwili t ten sam początek układu K ′ ma współrzędne

x = ct′ sinhψ, ct = ct′ coshψ

(pozostałe współrzedne nie ulegają zmianie), skąd prędkość początku układu K ′ w układzieK

V = x

t= c tghψ → tghψ = V

c.

Wykorzystując własności funkcji hiperbolicznych

1− tgh2 ψ = 1/ cosh2 ψ,1/ tgh2 ψ − 1 = 1/ sinh2 ψ,

otrzymuje się

cosh2 ψ = 1/

(1− V

2

c2

),

sinh2 ψ =(Vc

)2/

(1− V

2

c2

). (8.8)

Po podstawieniu (8.8) do (8.7) otrzymuje się transformację Lorentza

x =x′ + Vt′√1− (V/c)2

,

t =t′ + Vx′/c2√1− (V/c)2

jako szczególny obrót o kąt α = ψ/i w czasoprzestrzeni (współrzędne y i z nie ulegajązmianie i dlatego zostały pominięte).W kinematyce nierelatywistycznej odległości przestrzenne i przedział y czasowe nie ule-gały zmianie. Obecnie rola ta przypada inerwałowi. Punkt w czasoprzestrzeni (ct, x, y, z)nazywać będziemy zdarzeniem. Interwał ∆s21 pary zdarzeń (ct1, x1, y1, z1) i (ct2, x2, y2,z2) jest określony przez

(∆s21)2 = c2 (t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2 . (8.9)


Tej samej parze zdarzeń obserwowanej z różnych inercjalnych ukł adów odniesienia może byćprzypisana różna wartość przedziału czasowego (t2− t1) oraz różna odległ ość przestrzenna.Pierwszy efekt kinematyczny nazywa się dylatacją (wydłużeniem) czasu

t =τ√

1− (V/c)2,

drugi skróceniem długości

l = L√1− (V/c)2.

Czas τ nazywa się czasem własnym, a L długością spoczynkową. Tym co się nie zmienia przyzmianie układu inercjalnego jest interwał pary zdarzeń (8.9). Wielkości, które nie ulegajązmianie przy transformacji Lorentza nazywają się niezmiennikami relatywistycznymi albowielkościami absolutnymi.Inną konsekwencją zastąpienia transformacji Galileusza przez transformację Lorentza jestzmienione prawo dodawania prędkości. Dla kierunku x dostaje się

vx =v′x + V1 + Vv′x/c2

.

W szczególnym przypadku v′x = c otrzymuje się vx = c, zgodnie z doświadczeniem, zamiastbłędnego wyniku nierelatywistycznego vx = c+ V.

8.5 Czterowektory

Zdarzenie (ct, x, y, z) może być przykładem wektora w czasoprzestrzeni. W odróżnieniu odzwykłych wektorów

X = (ct, x, y, z)

nazywać będziemy czterowektorem. Kwadrat modułu czterowektora

A =(A0, A1, A2, A3

)określa się następująco

A2 = AµAµ,

gdzie

Aµ = gµνAν ,

8.6 Stożek świetlny i linia świata 113

przy czym

gµν =

1 dla µ = ν = 0−1 dla µ = ν = 1, 2, 30 dla µ 6= ν.

Po rozpisaniu na składowe kontrawariantne

A2 =(A0)2−(A1)2−(A2)2−(A3)2.

8.6 Stożek świetlny i linia świata

Teraźniejszość w układzie K oznacza t = const. Zdarzenia jednoczesne leżą na prostejjednoczesności, jeśli ograniczymy się do podprzestrzeni zawierającej tylko oś x i ct. Wukładzie K ′ te same zdarzenia (jednoczesne w układzie K) rozłożą się na prostej, którawynika z transformacji Lorentza dla czasu

const =t′ + Vx′/c2√1− (V/c)2

.

W układzie K ′ jest to linia prosta nachylona względem osi x′. Jej współczynnik kierun-kowy wynosi ± |V| /c w zależności od znaku prędkości V. Tak więc zdarzenia jednoczesnew układzie K będą odpowiadać różnym czasom w układzie K ′. Zamiast płaszczyzny te-raźniejszości szczególna teoria względności prowadzi do pewnego obszaru “teraźniejszości”w czasoprzestrzeni. Przydatne tu jest pojęcie interwału pary zdarzeń, ponieważ jest towielkość absolutna. Jeśli jedno zdarzenie ulokujemy w początku układu współrzędnych, to

(∆s)2 = c2t2 − x2 − y2 − z2

może być dodatnie, ujemne lub równe zeru. Jeśli (∆s)2 > 0, mówimy o interwale typuczasowego. Takie zdarzenia nigdy nie będą widziane jako jednoczesne. Jeśli (∆s)2 < 0, toistnieją układy odniesienia z punktu widzenia, których oba zdarzenia będą jednoczesne.Zdarzenia dla których (∆s)2 = 0 dotyczą propagacji światła. Równanie

(ct)2 − x2 − y2 − z2 = 0 (8.10)

określa powierzchnię stożkową z wierzchołkiem w początku układu współrzędnych czaso-przestrzennych. Dzieli ona czasoprzestrzeń na trzy obszary. W dolnym stożku znajdują sięzdarzenia wcześniejsze, czyli przeszłość względem zdarzenia centralnego (0, 0, 0, 0). W gór-nym stożku czasoprzestrzeni ulokowane są zdarzenia, które są przyszłością dla zdarzeniacentralnego. Pozostała część czasoprzestrzeni (na zewnątrz stożków) – to teraźniejszość.Podział ten ma charakter absolutny. Zmiana układu inercjalnego może zmienić relacje cza-sowe między zdarzeniem centralnym a zdarzeniami na zewnątrz stożków. Tam ulokowane


zdarzenia, zachodzące w różnych chwilach czasu względem zadarzenia centralnego, mogąbyć obserwowane jako jednoczesne w jakimś szczególnym układzie inercjalnym. Dla zdarzeńulokowanych w stożku przeszłości lub w stożku przyszłości względem zdarzenia centralnegotaki efekt relatywistyczny nigdy się nie pojawi się w żadnym układzie inercjalnym. Ta-kie zdarzenia zawsze będą widziane w tej samej kolejności czasowej. Stożek wynikający zrównań (8.10) stanowi wygodną konstrukcję podziału czasoprzestrzeni na przeszłość, teraź-niejszość i przyszłość w sensie absolutnym. Nazywa się go stożkiem świetlnym.Ciąg zdarzeń powiązanych przyczynowo np. zbiór punktów czasoprzestrzeni odpowiada-jących temu samemu obiektowi w różnych chwilach czasu) nazywa się linia świata. Dlakażdego zdarzenia z linii świata można narysować stożek świetlny. Linia świata nigdzie niemoże wykraczać poza powierzchnię dolnego lub górnego stożka. Co najwyżej może być doniej styczna. Nie ma zatem więzi przyczynowej między zdarzeniami, z których jedno leżyna zewnątrz stożka świetlnego drugiego zdarzenia.

8.7 Energia i pęd

Działanie dla cząstki swobodnej o masie m powinno mieć postać całki wzdłuż linii światamiędzy dwoma zadanymi zdarzeniami R1 i R2

S = −mcR2∫

R1

ds.

Jest ona niezmiennikiem przekształceń Lorentza. Pod całką powinna występować różniczkaw pierwszej potędze. Jedynym skalarem tego rodzaju dla cząstki swobodnej jest interwał.Powód dla którego wprowadzono stałą mc stanie się jasny nieco później. Korzystamy zdefinicji

ds =√(cdt)2 − dx2 − dy2 − dz2,

skąd

ds = cdt√1− (v/c)2 ,

gdzie v jest prędkością cząstki w układzie K. Porównując

S = −mc2t2∫t1

√1− (v/c)2dt

z ogólna definicją działania

S =

t2∫t1

Ldt

8.7 Energia i pęd 115

znajdujemy relatywistyczną funkcję Lagrange’a cząstki swobodnej

L = −mc2√1− (v/c)2. (8.11)

Rozwinięcie na szereg pierwiastka√1− x ' 1 − x/2 pozwala uzyskać funkcję Lagrange’a

w granicy nierelatywistycznej

L = −mc2 + 12mv2.

Stały wyraz mc2 można pominąć, gdyż nie ma on wpł ywu na równanie ruchu. Pęd cząstkidany jest przez pochodne funkcji Lagrage’a względem prędkości

pi =∂L

∂qi.

Różniczkując (8.11) otrzymujemy

p =mv√1− (v/c)2

.

Zgodnie z ogólną definicją energia cząstki

E = p · v−L.

Podstawiając p i L do powyższego równania otrzymuje się

E =mc2√1− (v/c)2

.

Okazuje się, że energia cząstki swobodnej dla v = 0 nie jest równa zeru: E = mc2. Jest toenergia spoczynkowa cząstki.Na zakończenie warto zauważyć, że(

E

c

)2− p2 = m2c2.

Wnioskujemy stąd, że wielkość (E/c,p) jest czterowektorem. Transformacja Lorentza dlajego składowych przyjmuje postać

px =p′x + VE′/c2√1− (V/c)2

,

E =E′ + Vp′x√1− (V/c)2

,

py = p′y,

pz = p′z.


Zerową składową nowego czterowektora (czteropędu) jest

p0 = E/c.

Pozostałe składowe to

p1 = px, p2 = py, p3 = pz.

wszystkie razem spełniają relację

pµpµ = m2c2.

8.8 Czterowymiarowy potencjał pola

Jak można się domyślać V i A utworzą razem czterowektor

(Aµ) = (V /c, Ax, Ay, Az) .

Można teraz podjąć próbę zapostulowania następującej funkcji działania dla cząstki posia-dającej ładunek elektryczny q

S =

R2∫R1

(−mcds− qAµdxµ) .

Ruch odbywa się po linii świata od punktu R1 do punktu R2. Przyjmujemy następująceoznaczenie dla wektora wodzącego w czasoprzestrzeni

(xµ) = (ct, x, y, z)

i jego różniczki

(dxµ) = (cdt, dx, dy, dz) .

Do przekształceń całki działania wygodniej jest posłużyć się zapisem

(xµ) = (ct, r)

oraz

(Aµ) = (V /c, −A) .

8.8 Czterowymiarowy potencjał pola 117

Wtedy

S =

t2∫t1

[−mc2

√1− (v/c)2dt− q (V /c, −A) (cdt, dr)

]

=

t2∫t1

(−mc2

√1− (v/c)2dt+ qA· dr−qVdt

)

=

t2∫t1

(−mc2

√1− (v/c)2 + qA · v−qV

)dt.

Wyrażenie pod całką jest funkcją Lagrange’a

L=−mc2√1− (v/c)2 + qA · v−qV .

Można obliczyć pęd uogólniony przyporządkowany prędkości. Zgodnie z ogólną regułą

Pi =∂L

∂vi.

Składając trzy wyrażenia

Pi =mvi√1− (v/c)2

+ qAi

otrzymamy

P =mv√1− (v/c)2

+ qA.

Funkcję Hamiltona, określającą energię całkowitą, uzyskuje się z relacji

H = P · v−L.

Proste przekształcenia dają

H =mv2√1− (v/c)2

+ qA · v

+mc2√1− (v/c)2 − qA · v + qV ,

skąd

H =mc2√1− (v/c)2

+ qV .


Funkcja Hamiltona powinna być wyrażona nie przez prędkość lecz pęd uogólniony. Z otrzy-manych równań dla pędu relatywistycznego

p = P−qA

oraz energii całkowitej

mc2√1− (v/c)2

= H − qV ,

po podstawieniu do poznanej relacji (E/c)2 = m2c2 + p2 otrzymuje się(H − qV

c

)2= m2c2 + (P− qA)2 .

8.9 Relatywistyczne równanie ruchu cząstki naładowanej w polu EM

Wykorzystamy zapostulowaną funkcję Lagrange’a do znalezienia równań ruchu. W tym celuzapiszemy równania Lagrange’a

d

dt

(∂L

∂qi

)=∂L

∂qi, i = 1, 2, 3

w postaci

dPdt= ∇L.

Po podstawieniu otrzymuje się

dpdt+ q

dAdt= q∇ (A · v)− q∇V . (8.12)

Ponieważ v w funkcji Lagrange’a jest niezależne od r, więc znana relacja dla gradientu ziloczynu skalarnego wektorów redukuje się do postaci zawierającej dwa wyrazy

∇ (A · v) = (v · ∇)A+qv× (∇×A) .

Ponadto należy zauważyć, że

dAdt=∂A∂t+ (v · ∇)A.

To już wystarcza, aby przekształcić (8.12) do następującej postaci

dpdt= q (E+ v ×B) ,

gdzie E = −∂A/∂t−∇V, aB = ∇×A. Uzyskany wynik potwierdza prawidłowość przyjętejcałki działania.

8.10 Tensor pola elektromagnetycznego 119

8.10 Tensor pola elektromagnetycznego

Można łatwo przekonać się, że wszystkie składowe pól E i B są zawarte w tensorze

Fµν =∂Aν∂xµ− ∂Aµ∂xν,

jako jego składowe. Tensor Fµν jest antysymetryczny

Fµν = −Fνµ.

Oznacza to, że Fµµ = 0 dla wszystkich µ. Obliczmy dla przykładu dwa wyrazy:

F01 = −∂A1∂(ct)

− ∂

∂x

(Vc

)=1c

(−∂Ax

∂t− ∂V∂x

)=1cEx,

F12 = −∂Ay∂x+∂Ax∂y

= − (∇×A)z= −Bz.

Należy pamiętać, że (xµ) = (ct, r) oraz (Aµ) = (V /c, −A). W ten sposób dochodzi sie dopozostałych składowych tensora. Ostatecznie otrzymamy

(Fµν) =

0 Ex/c Ey/c Ez/c

−Ex/c 0 −Bz By−Ey/c Bz 0 −Bx−Ez/c −By Bx 0

Tensor o współrzędnych z górnymi indeksami

Fµν =∂Aν

∂xµ− ∂Aµ

∂xν,

można odtworzyć porównując (xµ) = (ct, −r) oraz (Aµ) = (V /c, A) z (xµ) oraz (Aµ). Naprzykład x0 = x0 i A0 = A0, natomiast xi = −xi oraz Ai = −Ai dla i = 1, 2, 3. Stądwnioskujemy, że

F 0i = −F0i, F i0 = −Fi0.


Pozostałe wyrazy nie zmieniaja znaku. Zatem

(Fµν) =

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/c

Ex/c 0 −Bz ByEy/c Bz 0 −BxEz/c −By Bx 0

.Jako ćwiczenie warto sprawdzić, że równanie ruchu cząstki o masie m i ładunku q możnazapisać, przy zastosowaniu konwencji sumowania, jako

dpµ

ds= qFµνuν ,

gdzie

uν =dxνds

jest relatywistycznym odpoweidnikiem wektora prędkości. Czterowektor

pµ = mcuµ = (E/c, p)

jest wcześniej wprowadzonym czteropędem. Różniczkowanie po interwale można zastąpićróżniczkowaniem po czasie. W układzie związanym z poruszającą się cząstką ds = cdτ ; winnym układzie ds = c

√1− (v/c)2dt, skąd

dxνds=

1√1− (v/c)2

dxνd (ct)

.

8.11 Transformacje pól E i B przy zmianie układu odniesienia

Postać równań ruchu jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Rów-nania te zawierają skalary (które można nazwać tensorami rzędu zerowego), wektory (ten-sory pierwszego rzędu) i tensory (drugiego rzędu) w czterowymiarowej przestrzeni (czaso-przestrzeni).Jest teraz odpowiedni moment, aby precyzyjnie zdefiniować wektory i tensory. Dowolnątransformację zmiany współrzędnych można zapisać w postaci układu funkcji. W przypadkutransformacji Lorentza będzie to

xµ = xµ(x′0, x′1, x′2, x′3).

Utwórzmy różniczkę

dxµ =(∂xµ

∂x′ν

)dx′ν .

8.11 Transformacje pól E i B przy zmianie układu odniesienia 121

Wektorami nazywa się wielkości, które transformują się jak różniczki dxµ przy zmianiewspółrzędnych x na x′

Aµ =(∂xµ

∂x′ν

)A′ν .

Tensory transformują się jak iloczyny różniczek

Aµν =(∂xµ

∂x′γ

)(∂xν

∂x′δ

)A′γδ. (8.13)

Wygodniej będzie przedstawić transformację Lorentza w następującej postaci

(i) x0 = γ(x′0 + βx′1),(ii) x1 = γ(x′1 + βx′0),(iii) x2 = x′2,(iv) x3 = x′3,

gdzie wprowadzono oznaczenia

β = v/c,

γ = 1/√1− β2.

Macierz współczynników ∂xµ/∂x′ν ma postać

(∂xµ

∂x′ν

)=

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (8.14)

Te sześć różnych od zera wyrazów wystarcza do wyznaczenia Fµν , jeśli znamy F ′µν . Sześćniezależnych współrzędnych tensora (Fµν) można podzielić na dwie grupy. Do pierwszejgrupy wchodzą dwie współrzędne

(i) F 01 = F ′01,(ii) F 23 = F ′23.

Sprawdzamy (i) przez podstawienie (8.14) do (8.13)

F 01 =

(∂x0

∂x′µ

)(∂x1

∂x′ν

)F ′µν

=

(∂x0

∂x′1

)(∂x1

∂x′0

)F ′10 +

(∂x0

∂x′0

)(∂x1

∂x′1

)F ′01

= γ2β2F ′10 + γ2F ′01 = γ2(1− β2)F ′01 = F ′01.


Do drugiej grupy wchodzą cztery pozostałe składowe, które transformują się jak wektory.Można to zademonstrować na przykładzie F 02:

F 02 =

(∂x0

∂x′µ

)(∂x2

∂x′ν

)F ′µν

=

(∂x0

∂x′µ

)δν,2F

′µν

=

(∂x0

∂x′µ

)F ′µ2.

Składowe F 02 i F 12 transformują się tak, jak by były składowymi wektora, podobnie jakF 03 i F 13

(i) F 02 = γ(F ′02 + βF ′12

),

(ii) F 12 = γ(F ′12 + βF ′02

),

(iii) F 03 = γ(F ′03 + βF ′13

),

(iv) F 13 = γ(F ′13 + βF ′03

).

Relacje (i)-(iv) w języku pól elektrycznych i magnetycznych mają postać

(i) Ex = E′x,(ii) Ey = γ(E′y + VB′z),(iii) Ez = γ(E′z − VB′y),

(8.15)

(iv) Bx = B′x,(v) By = γ

[B′y −

(V/c2

)E′z

],

(vi) Bz = γ[B′z +

(V/c2

)E′y

],

(8.16)

równoważną zapisowi wektorowemu przy założeniu V = (V, 0, 0)

(i) E‖ = E′‖,

(ii) E⊥ = γ (E′−v ×B′)⊥ ,(iii) B‖ = B

′‖,

(iv) B⊥ = γ(B′ + v ×E′/c2

)⊥ .

Ostatnie zależności ujawniają względny charakter pola E i B. Tylko tensor (Fµν) jestwielkościa współzmienniczą z której można tworzyć wielkości absolutne.

8.12 Niezmienniki pola elektromagnetycznego

Obecnie możemy sprawdzić przez podstawienie, że

c2B2 − E2 = c2B′2 − E′2,

8.13 Działanie dla pola elektromagnetycznego 123

czyli jest to niezmiennik transformacji Lorentza (wielkość absolutna). Istnieje też prostszysposób. Wystarczy nałożyć na siebie macierze (Fµν) i (Fµν). Tak utworzony iloczyn skła-dowych kowariantnych i kontrawariantnych tego tensora jest skalarem z ogólnego powodu

FµνFµν = const.

Z drugiej strony widać, że

FµνFµν = 2

(B2 − E2/c2

).

Tak, czy inaczej, dostaje się

c2B2 − E2 = const.

Innym przykładem niezmiennika jest iloczyn

E ·B = const.

W tym ostatnim przypadku wymagany jest komentarz. Pole E opisywane jest wektorembiegunowym, a pole B wektorem osiowym. Iloczyn wektora biegunowego i osiowego jestpseudoskalarem, to znaczy zmienia znak przy jednoczesnej zmianie znaku współrzędnychx, y i z. Prawdziwym skalarem będzie (E ·B)2.Można wyróżnić trzy przypadki

(i) c2B2 − E2 > 0,(ii) c2B2 − E2 < 0,(iii) c2B2 − E2 = 0.

W przypadku (i) mówimy, że pole jest czysto magnetyczne, gdyż istnieje taki układodniesienia K ′ w którym pole E = 0. W przypadku (ii) mówimy, że pole jest czystoelektryczne z podobnego powodu. Jesli w jakims układzie K ′ pojawi sie pole B, to będzieono prostopadłe do pola E, czyli E ·B = 0. Wyjątkowy jest przypadek (iii), gdy E ·B = 0.Wtedy w każdym układzie odniesienia c |B| = |E| oraz E ⊥ B. Jest to przypadek falielektromagnetycznej.Podsumowując powyższe spostrzeżenia można powiedzieć, że pole elektryczne w jednymukładzie odniesienia może stać się (częściowo) polem magnetycznym w innym układzieodniesienia. Jeśli mamy elektrostatykę i teorię względności, to musi istnieć magnetyzm jakoefekt relatywistyczny.

8.13 Działanie dla pola elektromagnetycznego

Można próbować utworzyć brakujący człon w funkcji działania, pochodzący od pola elek-tromagnetycznego. Pełna funkcja działania składać się będzie z trzech członów

S = Sm + Smf + Sf ,


gdzie

Sm = −∑

mc

∫ds

Smf = −∑

q

∫Aµdxµ

Sf = −a∫FµνF

µνd3rdt

a = ε0c2/4

Pierwszą parę równań Maxwella otrzymuje się z wprowadzonego czteropotencjału

E = −∇V−∂A∂t, B = ∇×A,

gdyż automatycznie

∇×E = −∂B∂t, ∇ ·B = 0.

Drugą parę równań Maxwella uzyskamy w oparciu o zasadę najnmiejszego działania dla

S1 = Smf + Sf

jako warunek na δS1 = 0. Ruch ładunków przyjmuje się za zadany, a wariacjom poddawanesa składowe Aµ potencjałów pola. W działaniu

Sf =12ε0c2∫ (

E2

c2−B2

)dΩ

różniczka dΩ =d3rdt jako element objętości czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem relatywi-stycznym (skrócenie długości jest kompensowane wydłużeniem czasu). Funkcja Lagrange’adla pola elektromagnetycznego ma postać

Lf =12ε0c2∫ (

E2

c2−B2

)d3r.

8.14 Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym

Wybierzmy tak układ współrzednych K, aby ładunek q poruszał się z prędkością v wzdłużosi x. Następnie wprowadzamy układ współrzędnych K ′, w którego początku będzie znaj-dował się nieruchomy ładunek q. Układ K ′ będzie wobec tego poruszał sie z prędkością

8.14 Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym 125

v = (v, 0, 0) względem układu K. Oba układy będą związane ze soba transformacją Lo-rentza o współczynnikach

γ2 = 1/(1− v2/c2

)1/γ2 = 1− β2.

Zauważmy, że

R2 sin2 θ = y2 + z2

oraz

r = R+ vt

R = r− vt,

Najpierw zajmiemy się polem E w układzie K. Dla B′ = 0 z transformacji Lorentza dlapól dostajemy

Ex = E′x, Ey = γE′y, Ez = γE′z.

Ponieważ znamy

E′ =q

4πε0

r′

r3,

zatem

Ex =q

4πε0

x′

r3, Ey = γ

(q

4πε0

)y′

r3, Ez = γ

(q

4πε0

)z′

r3

Odwrotna TL dla wektorów r i r′ma postać

x′ = γ (x− vt)y′ = y

z′ = z.

Stąd łatwa droga do pozbycia się zmiennych primowanych w wyrażeniach na składowe polaE. Wystarczy obliczyć(

r′)2 = γ2 (x− vt)2 + y2 + z2.

Wprowadzamy oznaczenie

(R∗)2 = (x− vt)2 +(y2 + z2

)/γ2.


Wtedy(r′)2 = γ2 (R∗)2 ,

natężenie pola elektrycznego w układzie K przyjmie postać

Ex =(

q

4πε0

)γ (x− vt)γ3 (R∗)3

,

Ey =(

q

4πε0

)γy

γ3 (R∗)3,

Ez =(

q

4πε0

)γz

γ3 (R∗)3

lub

E =q

4πε0

R

(R∗)3(1− β2

). (8.17)

Jak już zauważyliśmy, R jest wektorem, którego początek pokrywa sie z położeniem ła-dunku q a koniec z punktem, w którym badamy pole E. Wszystko dzieje się w układzie K,względem którego ładunek porusza się z prędkością v. Porównując

R2 = (x− vt)2 +(y2 + z2

)z

R2 sin2 θ = y2 + z2

otrzymuje się

R2 cos2 θ = (x− vt)2 .

Po podstawieniu ostatniego wyniku do wyrażenia na

(R∗)2 = (x− vt)2 + (y2 + z2)/γ2

uzyskamy

(R∗)2 = R2 cos2 θ +1γ2R2 sin2 θ

= R2[cos2 θ +

(1− β2

)sin2 θ

]= R2

(1− β2 sin2 θ

).

Możemy teraz doprowadzić wzór (8.17) na natężenie pola elektrycznego ładunku punkto-wego poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym do postaci

E =q

4πε0

RR3

(1− β2

)(1− β2 sin2 θ

)3/2 . (8.18)

8.14 Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym 127

Rozkład na składową równoległą i prostopadłą względem kierunku prędkości v pozwalastwierdzić, że

E‖ =q

4πε0R2(1− β2

)jest mniejsze niż

E⊥ =q

4πε0R21√1− β2

.

Oznacza to, że pole ładunku punktowego ulega deformacji (spłaszczeniu) w kierunku ruchu,podobnie jak okładki kondensatora ulegają skróceniu, jeśli są ustawione wzdłuż kierunkuprzemieszczania się.Z transformacji Lorentza (8.16) można wywnioskować, co się dzieje z polem B

Bx = 0,

By = −γβ

cE′z = −

β

cEz,

Bz = γβ

cE′y =

β

cEy.

Po rozłożeniu na składową równoległą i prostopadł ą względem wektora prędkości v =(v, 0, 0)uzyskujemy

B⊥ =1c2(v ×E)⊥ ,

skąd

B =1c2(v ×E) ,

gdzie E jest określone wyrażeniem (8.18). Dla małych prędkości (β 1)

E ∼=q

4πε0

RR3,

skąd

B ∼=q

4πε0c2v ×RR3

=µ04π

q(v ×R)R3

.

Dość niezwykle dochodzimy do prawa Biota-Savarta dla ładunku punktowego (3.1), którejest tu spełnione z dobrym przybliżeniem mimo, że problem nie jest magnetostatyczny.


8.15 Potencjały Lienarda-Wiecherta

Wyznaczmy potecjały pola wytworzonego przez ładunek punktowy, wykonujący z góryzadany ruch w(t). Niech

−→R(tr) = r−w(tr)

będzie wektorem wodzącym poprowadzonym od ładunku punktowego q do punktuobserwa-cji. Poprzezw (tr) wektor ten jest zależny od czasu t. Zgodnie z koniecznością wcześniejszegookreślenia stanu ładunku czas opóźniony jest dany w sposób uwikłany przez relację

|r−w (tr)| = c (t− tr)

czyli

R(tr) = c (t− tr) .

W układzie współrzędnych w którym cząstka spoczywa potencjał skalarny w punkcieobserwacji w chwili t jest określony zgodnie z prawem Coulomba

V =q

4πε0

1R(tr)

przy A = 0. Wyrażenia na potencjały w dowolnym układzie odniesienia będą wyznaczoneprzez taki czterowektor, który dla prędkości v = 0 będzie przechodzić w powyższe poten-cjały. Zuważmy, że potencjał V można zapisać jako

V =q

4πε0

1c (t− tr)

.

Można następnie stwiedzić, że

cAµ =q

4πε0

uµ

Rνuν(8.19)

gdzie (uν) jest czteroprędkością ładunku, a

(Rν) =(c (t− tr) , r− r′

)czterowektorem, przy czym tr,x

′, y′, z′ spełniają relację∣∣r− r′∣∣ = c (t− tr) ,którą można zapisać jako

RνRν = 0.

8.15 Potencjały Lienarda-Wiecherta 129

Przechodząc ze wzorem (8.19) do zapisu trójwymiarowego dostajemy

V =14πε0

qc(Rc−

−→R·v

) , (8.20)

A =µ04π

qcv(Rc−

−→R·v

) .Prędkość v jest wzięta w czasie opóźnionym. Wektor

−→R jest wektorem między położeniem

opóźnionym ładunku a punktem obserwacji pola r. Otrzymane potencjały noszą nazwępotencjałów Lienarda-Wiecherta. Można przy ich pomocy obliczyć natężenie pola elek-trycznego E i indukcji pola magnetycznego B ładunku punktowego poruszającego się podowolnym torze.Różniczkowanie potencjałów (8.20) jest dość trudne ze względu na

−→R = r−w (tr) i v = w (tr) ,

które są obliczane w czasie opóźnionym tr. Czas ten jest zdefiniowany w sposób uwikłanyprzez równania

R = c (t− tr)

R = |r−w (tr)|

i poprzez zmienne r i t. Pomijamy rachunki, które prowadzą do wzoru

E (r, t) =q

4πε0

R(−→R · u

)3 [(c2 − v2)u+−→R× (u× a)] , (8.21)

gdzie

u = cR−v

natomiast a = v jest oznaczeniem przyspieszenia cząstki w czasie opóźnionym. Tymczasem

B (r, t) =1cR×E (r, t) .

Indukcja pola magnetycznego ładunku punktowego jest zawsze prostopadła do natężeniapla elektrycznego i do wektora położenia względem punktu opóźnionego.Pierwszy człon w wyrażeniu (8.21) maleje jak 1/R2. W przypadku , gdy prędkość iprzyspieszenie są równe zeru otrzymujemy pole

E =14πε0

q

R2R,

jak dla nieuchomego ładunku punktowego i z tego powodu nazywamy je uogólnionym polemkulombowskim, czasami polem prędkościowym.


Drugi człon maleje jak odwrtność pierwszej potęgi R . Zatem dominuje przy dużychodległościach. Człon ten zawiera przyspieszenie i odpowiada za promieniowanie elektroma-gnetyczne, dlatego nazywa się go polem promieniowania lub polem przyspieszeniowym. Tęsamą terminologię rozszerza się na pole magnetyczne.Można teraz odpowiedzieć na pytanie o siłę wywieraną na ładunek próbny Q przez do-wolny rozkład innych ładunków. Wystarczy znać siłę działającą na Q ze strony innegoładunku q. Resztę rozwiązuje zasada superpozycji. Siłę tę wyznaczamy ze wzoru Lorentzaposługując się wyrażeniem (8.21) na pola:

F=qQ

4πε0

R(−→R·u

)3 + [(c2 − v2)u+−→R× (u× a)]

+vc×[R ×

[(c2 − v2

)u+R× (v × a)

]],

gdzie V jest prędkością ładunku Q a−→R,u,v i a są podane w czasie opóźnionym. Wzór ten

zawiera całą elektrodynamikę.

8.16 Promieniowanie dipolowe

Będziemy zajmować się promieniowaniem wytworzonym przez układy poruszających sięładunków w dalekich od nich odległościach (tzn. dużo większych niż rozmiary układu). Niemówiliśmy dotychczas, jak wytworzyć falę elektromagnetyczną. Wiemy już, że ładunki wspoczynku i stałe prądy nie wytwarzają fal. Domyślamy się więc, że ich źródłem są ładunkiporuszające się z przyspieszeniem i prądy zmienne.Raz wytworzone fale EM rozchodzą się w próżni “do niekończoności” przenosząc ze sobąenergię. Oznaką promieniowania jest odpływ energii ze źródła. Wybieramy układ odniesie-nia w pobliżu źródeł. Całkowita moc przechodząca przez powierzchnię bardzo dużej sferyjest całką z wektora Poyntinga

P (r) =∮SdS =

1µ0

∮(E×B) dS.

Wypromieniowana moc, czyli energia przypadająca na jednostkę czasu, jest granicą wyra-żenia

Pwypr = limr−→∞

P (r) .

Badanie promieniowania polega na wydzieleniu części pól E i B, które maleją jak 1/r. Zwy-kle rozważa się najpierw drgający dipol elektryczny i magnetyczny, następnie promieniowa-nie ładunku punktowego w ruchu przyspieszonym i promieniowanie szybko poruszającegosię ładunku. Promieniowanie fali EM powoduje straty energii, a więc hamowanie cząstki.Rozważmy zmienny w czasie elektryczny moment dipolowy

p(t) = p0 cos(ωt)ez

8.16 Promieniowanie dipolowe 131

z amplitudą p0 = q0d, odpowiadający przepływowi ładunku

q(t) = q0 cos(ωt)

Potencjał opóźniony wynosi

V (r, t) =14πε0

q0 cos [ω(t−R+/c)]

R+− q0 cos [ω(t−R−/c)]

R−

,

gdzie

R± =√r2 ∓ rd cos θ + (d/2)2.

Przyjmujemy

przybliżenie 1: d r.

Stosujemy rozwinięcie R± oraz 1/R± w potencjale V (r, t) ograniczając się do wyrazówpierwszego rzędu względem d

R± ' r(1∓ d

2rcos θ

),

1R±' 1r

(1± d

2rcos θ

),

co prowadzi do

cos[ω(t− R±

c)]' cos

[ω(t− r

c)± ωd

2ccos θ

]= cos

[ω(t− r

c)]cos

(ωd

2ccos θ

)∓ sin

[ω(t− r

c)]sin(ωd

2ccos θ

).

Stosujemy

przybliżenie 2: d c/ω

równoważne d λ. Wtedy

cos[ω(t− R±

c)]' cos

[ω(t− r

c)]∓ ωd

2ccos θ sin

[ω(t− r

c)],

a potencjał V przyjmuje postać

V (r, θ, t) =p0 cos θ4πε0r

−ωcsin[ω(t− r

c)]+1rcos

[ω(t− r

c)]

.


W dużych odległościach od źródła dla ω 6= 0 interesuje nas strefa promieniowania. Stosu-jemy

przybliżenie 3: r c/ω

równoważne r λ. W tym obszarze potencjał redukuje się do postaci

V (r, θ, t) = − p04πε0

ω

c

cos θrsin[ω(t− r

c)].

Potencjał wektorowy jest określony przez prąd

I(t) =dqdtz = −q0 sin(ωt)z.

Zgodnie z przyjętą geometrią

A(r, t) =µ04π

∫ d/2

−d/2

−q0Rsin(ωt− R

c)zdz.

W pierwszym przybliżeniu funkcję podcałkową można zastąpić jej wartością w środku di-pola

A(r, θ, t) = −µ0p0ω4πr

sin[ω(t− r

c)]z.

Można teraz przystąpić do obliczenia pól. Zgodnie z przybliżeniem 3

∇V = ∂V

∂rr+1r

∂V

∂θθ

' µ0p0ω2

4πε0c2cos θrcos[ω(t− r

c)]r.

Podobnie

∂A∂t= −µ0p0ω

2

4πrcos[ω(t− r

c)](r cos θ − θ sin θ).

Równocześnie

∇×A=1r

[∂(rAθ)∂r

− ∂Ar∂θ

]ϕ

= −µ0p0ω4πr

ω

csin θ cos[ω(t− r

c)] +sin θrsin[ω(t− r

c)]ϕ.

Ostatni człon w tym równaniu jest wyeliminowany przez przyblizenie 3. Dla pól otrzymujesię

E = −∇V − ∂A∂t= −µ0p0ω

2

4πsin θrcos[ω(t− r

c)]θ,

8.16 Promieniowanie dipolowe 133

B = ∇×A =− µ0p0ω2

4πcsin θrcos[ω(t− r

c)]ϕ.

Uzyskane wzory przedstawiają falę monochromatyczmą o częstości ω rozchodzącą się wkierunku promienia r z prędkościa światła. Oba pola posiadaja te sama fazę i są wzajemnieprostopadłe, a stosunek ich amplidud wynosi E0/B0 = c.Energia wypromieniowana przez drgający dipol elektryczny wynosi

S =1µ0E×B =µ0

c

p0ω2

4πsin θrcos[ω(t− r

c)]

2r.

Natężenie promieniowania dostaje się po uśrednieniu w czasie jednego okresu

〈S〉 = µ0p20ω4

32π2csin2 θr2r.

Całkowitą moc promieniowania oblicza się przez scałkowanie 〈S〉 po sferze o promieniu r

〈P 〉 =∫〈S〉 · ds =µ0p

20ω4

32π2c

∫sin2 θr2

r2 sin θdθdϕ =µ0p20ω4

12πc.

Otrzymany wynik nie zależy od promienia sfery.

Dodatek ARelacje i twierdzenia

A.1 Relacje wektorowe

Poniżej φ i ψ są funkcjami skalarnymi, natomiast a, b i c są wektorami

A.1.1 Iloczyny podwójne

a · (b× c) = b · (c× a) = c · (a× b)

a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b)

A.1.2 Pochodne iloczynów

∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ

∇(a · b) = a× (∇× b) + b× (∇× a) + (a · ∇)b+ (b · ∇)a

∇ · (φa) =φ(∇ · a) + a · ∇φ

∇ · (a× b) = b · (∇× a)− a · (∇× b)

∇× (φa) =φ∇× a− a×∇φ∇× (a× b) = (b · ∇)a− (a · ∇)b+ a∇ · b− b∇ · a

136 Dodatek A. Relacje i twierdzenia

A.1.3 Relacje z drugimi pochodnymi

∇·(∇φ) ≡ ∇2φ ≡ 4φ

∇ · (∇× a) = 0

∇× (∇φ) = 0

∇× (∇× a) = ∇(∇ · a)−∇2a

A.2 Podstawowe twierdzenia

A.2.1 Twierdzenie dla gradientów∫ ba(∇φ)dl = φ(b)− φ(a)

A.2.2 Twierdzenie Gaussa (dla dywergencji)∫V(∇ · a)d3r =

∫S(V )a·ds

A.2.3 Twierdzenie Stokesa (dla rotacji)∫S(∇× a)·ds =

∮C(S)a·dl

A.3 Współrzędne kartezjańskie

dl = dx x+ dy y + dz z

d3r = dx dy dz

A.3.1 Gradient

∇φ = ∂φ

∂xx+

∂φ

∂yy+

∂φ

∂zz

A.3.2 Dywergencja

∇ · a =∂ax∂x+∂ay∂y+∂az∂z

A.4 Współrzędne kuliste 137

A.3.3 Rotacja

∇× a = (∂az∂y− ∂ay

∂z)x+ (

∂ax∂z− ∂az

∂x)y + (

∂ay∂x− ∂ax

∂y)z

A.3.4 Laplasjan

4φ = ∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2

A.4 Współrzędne kuliste

dl = dr r+ rdθ θ + r sin θdϕϕ,

d3r = r2 sin θdrdθdϕ.

A.4.1 Wersory:

er=ex sin θ cosϕ+ey sin θ sinϕ+ez cos θ,

eθ=ex cos θ cosϕ+ey cos θ sinϕ−ez sin θ,eθ=−ex sinϕ+ey cosϕ.

A.4.2 Gradient

∇φ =∂φ∂rr+1r

∂φ

∂θθ+

1r sin θ

∂φ

∂ϕϕ

A.4.3 Dywergencja

∇ · a = 1r2∂(r2ar

)∂r

+1

r sin θ∂(sin θ aθ)

∂θ+1

r sin θ∂aϕ∂ϕ

A.4.4 Rotacja

∇× a= 1r sin θ

[∂(sin θ aϕ)

∂θ− ∂aθ∂ϕ

]r

+1r

[1sin θ

∂ar∂ϕ− ∂(raϕ)

∂r

]θ

+1r

[∂(raθ)∂r

− ∂ar∂θ

]ϕ

138 Dodatek A. Relacje i twierdzenia

A.4.5 Laplasjan

4φ = 1r2

∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2

A.5 Współrzędne walcowe

dl = dr r+ rdϕϕ+ dz z,

d3r = r dr dϕ dz.

A.5.1 Gradient

∇φ = ∂φ

∂rr+1r

∂φ

∂ϕϕ+

∂φ

∂zz

A.5.2 Dywergencja

∇ · a =1r

∂ (rar)∂r

+1r

∂aϕ∂ϕ+∂az∂z

A.5.3 Rotacja

∇× a=[1r

∂az∂ϕ− ∂aϕ

∂z

]r+[∂ar∂z− ∂az

∂r

]ϕ

+1r

[∂(raϕ)∂r

− ∂ar∂ϕ

]z

A.5.4 Laplasjan

4φ = 1r

∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+1r2∂2φ

∂ϕ2+∂2φ

∂z2

Dodatek BRóżne przekształcenia

B.1 Delta Diraca

Delta Diraca δ(x−x0) nie jest funkcją w ogólnie przyjętym sensie matematycznym. Jest osobliwymtworem matematycznym: znika wszędzie za wyjątkiem punktu x = x0. W punkcie tym osiąga takdużą wartość, że cał ka po całym przedziale zawierającym osobliwość jest równa jedności

∞∫−∞

δ(x− x0)dx = 1. (B.1)

Podstawowa własność delty Diraca wyraża się wzorem

∞∫−∞

f(x)δ(x− x0)dx = f(x0) (B.2)

gdzie f(x) jest dowolną funkcją ciągłą . Z relacji (B.2) w szczególnym przypadku f(x) = 1 dostajesię (B.1).Delta Diraca Niekiedy użyteczne są różne modele delty Diraca w postaci granicy ciągu funkcjianalitycznych. Weźmy np. cał kę∫

ε

x2 + ε2dx = arc tg

x

ε.

W nieskończonych granicach wynik całkowania

∞∫−∞

ε

x2 + ε2dx = π

140 Dodatek B. Różne przekształcenia

nie zależy od wartości ε. Tak więc właściwie unormowana funkcja podcałkowa dla ε → 0 możeposłużyć za model delty Diraca

δ(x) =1πlimε→0

ε

x2 + ε2, (B.3)

gdyż dąży do zera dla wszystkich x za wyjątkiem x = 0, gdzie dąży do nieskończoności.Można też wykorzystać całkę

a∫−a

e±ikx dk = 2asin(ax)ax. (B.4)

W granicy a→∞ jej wartość wszędzie dąży do zera za wyjątkiem x = 0, gdzie ma pik dążący donieskończoności. Ponieważ

∞∫−∞

sin(y)y

dy = π

więc obustronne scałkowanie (B.4) ze względu na x w nieskończonych granicach daje wynik

∞∫−∞

a∫−a

e±ikx dk

dx = 2π,który również nie zależy od a. Tak więc po uwzględnieniu właściwego unormowania dostajemy

δ(x) =12πlima→∞

a∫−a

e±ikx dk (B.5)

oraz

δ(x) =1πlima→∞sin(ax)x. (B.6)

Ze wzorów (B.3) i (B.5) widać, że

δ(ax) =1|a|δ(x). (B.7)

W przypadku całki z deltą Diraca zawierającą funkcję y = g(x) można dokonać zamiany zmiennejcałkowania podstawiając dx = dy/|g′(x)|. Osobliwości delty Diraca wystąpią dla poszczególnychbiegunów xi, wyznaczonych z równania g(x) = 0. Tym samym∫

f(x)δ[g(x)]dx =∑i

f(xi)|g′(xi)|

. (B.8)

B.2 Transformacja Fouriera 141

Można jeszcze rozszerzyć definicję delty Diraca na przypadek trzech zmiennych przestrzennych(x, y, z)⇒ r. Wtedy odpowiednikiem własności (B.2) jest∫

V∞

f(r)δ(r− r0)d3r = f(r0), (B.9)

co oznacza, że

δ(r− r0) = δ(x− x0)δ(y − y0)δ(z − z0) (B.10)

jest rozumiana jako iloczyn trzech delt. Zgodnie z (B.5)

δ(r− r0) =1(2π)3

∫V∞

e−ikr0 eikr d3k. (B.11)

B.2 Transformacja Fouriera

Transformacją Fouriera funkcji f(x) nazywać będziemy funkcję

f(k) =∞∫−∞

f(x) e−ikx dx. (B.12)

Zauważmy, że możliwe są inne definicje, różniące się stałą lub znakiem w wykładniku funkcji eks-ponencjalnej. Jeśli daje się obliczyć całkę (B.12), to mówimy, że funkcja f(x) posiada transformatęFouriera. Oczywiście, funkcja f(k) ma na ogół inną postać niż f(x), co zaznaczono falką. Mającten fakt w pamięci rezygnujemy w dalszych przekształceniach z tego rozróżnienia dla zachowaniaprostoty zapisu. Jeśli istnieje f(k), można znaleźć funkcję f(x) przez odwrócenie relacji (B.12)

f(x) =12π

∞∫−∞

f(k) eikx dx. (B.13)

Czynnik 1/2π wynika z dyskutowanego wcześniej obrazu funkcji delta Diraca. Tylko z tym czyn-nikiem podstawienie (B.12) do (B.13) daje

f(x) =∞∫−∞

f(y)

12π

∞∫−∞

eik(x−y) dx

dya w oparciu o (B.5)

f(x) =∞∫−∞

f(y)δ(x− y)dy,


co dowodzi, zgodnie z własnością (B.2) delty Diraca, że transformacja Fouriera zastosowana dwu-krotnie do funkcji f(x) daje tę samą funkcję, jak być powinno.Rozszerzenie transformacji Fouriera na trójwymiarową przestrzeń położeń ma postać relacji

f(k) =∫V∞

f(r) e−ikr d3r,

f(r) =1(2π)3

∫V∞

f(k) eikr d3k. (B.14)

Można wreszcie w tej samej konwencji zdefiniować transformację Fouriera dla funkcji zależnej odzmiennych przestrzennych i czasu

f(k,ω) =∫V∞

f(r,t) e−i(kr−ωt) d3rdt,

f(r,t) =1(2π)4

∫V∞

f(k,ω) ei(kr−ωt) d3kdω. (B.15)

Jest to zapis niesymetryczny z powodu przerzucenia czynnika normującego (2π)−4 do transformacjiodwrotnej. Wybór znaków w wykładnikach funkcji eksponencjalnych jest dopasowany do konwencjistosowanej w mechanice kwantowej.Warto zauważyć kilka istotnych własności transformat Fouriera

f(k, ω) = TF[f(r, t)].

Wynik (B.11) z punktu widzenia (B.14) można zapisać jako

e−ikr0 = TF [δ(r− r0)] . (B.16)

Zróżniczkowanie drugiego wzoru (B.15) po czasie.daje

df(r, t)dt

=1(2π)4

∫V∞

(−iω)f(k, ω) ei(kr−ωt) d3kdω

skąd widać, że

−iωf(k,ω) = TF[df(r, t)dt

]. (B.17)

W analogiczny sposób dostaje się

ikf(k,ω) = TF [∇f(r, t)] , (B.18)

gdzie∇ oznacza gradient. W zależności od potrzeb, uzyskanie podobnych relacji dla innych operato-rów różniczkowych nie przedstawia trudności i może być wykorzystywane do rozwiązywania równańróżniczkowych.

B.2 Transformacja Fouriera 143

Ostatnia ważna własność TF jest związana ze splotem (konwolucją)

h(x) =∫f(x′)g(x− x′)dx′ (B.19)

dwóch funkcji f(x) i g(x). Obliczmy TF [h(x)] = h(k)

h(k) =∫∫

f(x′)g(x− x′) e−ikx dx′dx.

Zastępujemy całkowanie po x całkowaniem po x′′= x− x′

h(k) =∫∫

f(x′)g(x′′) e−ik(x′+x′′) dx′dx′′

=∫f(x′) e−ikx

′dx′

∫g(x′′) e−ikx

′′dx′′.

Dowiedliśmy zatem, że transformacja Fouriera splotu jest iloczynem transformat Fouriera funkcjiwchodzących do splotu

TF[h(x)] = TF[f(x)]× TF[g(x)]. (B.20)

Dodatek CUzupełnienia

C.1 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości

Z poprzednich rozważań dowiedzieliśmy się, że rozchodzenie się fal EM zależy od trzech wielkości:przenikalności elektrycznej ε, magnetycznej µ oraz przewodności właściwej σ. Każda z tych trzechwielkości może zależeć od częstości fal. Pryzmat lub kropelka deszczu silniej załamuje światło nie-bieskie niż czerwone. Oznacza to zależność współczynnika załamania od długości fali (przeliczonejna długość fali w powietrzu), co przenosi się na zależność prędkości od długości fali (lub wektorafalowego). Ośrodek taki nazywa się dyspersyjnym. Zależność

ω = ω (k)

odbiega wtedy od zwykłej zależności liniowej

ω = vk.

Poza prędkością fazową

v =ω

k

można wprowadzić prędkość

vg =dω

dk,

która nazywa sie prędkością grupową. W ośrodku nieprzewodzącym elektrony są związane z poszcze-gólnymi atomami. W obecności fali elektromagnetycznej o częstości ω spolaryzowanej w kierunkuosi x na elektron działa siła wymuszająca

Fwym = qE = qE0 cos (ωt) ,

146 Dodatek C. Uzupełnienia

gdzie q jest ładunkiem elektronu a E0 jest amplitudą fali w punkcie z, w którym znajduje sięelektron. Siły wiążące elektron z atomem przybliżamy potencjałem oscylatora harmonicznego

Fw = −mω20x

gdzie m jest masą elektronu, a ω0 jest częstością drgań włsnych (mω20 jest współczynnikiem sprę-żystości oscylatora). Siła tłumiąca w najprostrzej postaci jest proporcjonalna do prędkości

Ft = −mγdx

dt.

Wprowadzamy wszystkie te siły do drugiej zasady dynamiki Newtona

md2x

dt2= Fw + Ft + Fwym,

skąd

md2x

dt2+mγ

dx

dt+mω20x = qE0 cos (ωt) .

Jest to więc model tłumionego oscylatora z siłą wymuszającą o częstości ω. Ruch ciężkich jądermożna uwzględnić zastępując masę elektronu m przez masę efektywną µ = mM/ (m+M), gdzieM jest masą jądra. Dla M m mamy µ ' m. Ostatnie równanie najwygodniej jest analizowaćw języku transformat Fouriera

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω20x =

q

mE0 e−iωt .

W stanie ustalonym (stacjonarnym) układ będzie drgał z częstością siły wymuszającej, co sugeruje

x (t) = x0 e−iωt

jako możliwą postać rozawiązania. Po podstawieniu tej zależności do równania różniczkowego otrzy-mamy dla amplitudy x0 następującą relację

x0 =q/m

ω20 − ω2 − iγωE0.

Transformatę Fouriera powstającego elektrycznego momentu dipolowego otrzymamy z wyrażenia

p (t) = qx (t) =q2/m

ω20 − ω2 − iγωE0 e−iωt .

Urojony wyraz w mianowniku informuje, że moment dipolowy p jest przesunięty o kątarc tg

[γω/

(ω20 − ω2

)]względem pola elektrycznego fali. Kąt ten jest mały dla niskich częstości

ω ω0 i rośnie do π, gdy ω przybliża sie do ω0.

C.1 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości 147

Dla cząsteczek wieloelektronowych przedstawiony model prowadzi do następującego wyniku

p =Nq2

m

∑j

fjω2j − ω2 − iγjω

Edla transformat Fouriera polaryzacji p i pola elektrycznego E. Przez N oznaczono liczbę cząsteczekw jednostce objętości. Każda cząsteczka posiada fj elektronów o częstościach drgań własnych ωj itłumieniu γj . Dla ośrodków liniowych transformaty Fouriera spełniają relację

p = ε0χeE,

będącą odpowiednikiem p = ε0χeE. Proporcjonalność międzyD i E pozwala określić transformatęFouriera przenikalności elektrycznej ε = ε0 (1 + χe) lub względnej przenikalności elektrycznej

εr = 1 +Nq2

mε0

∑j


.

W ośrodku dyspersyjnym równanie falowe dla danej częstości przybiera postać

∆E = εµ0∂2E∂t2

i ma rozwiązanie w postaci fali płaskiej

E (z, t) = E0 ei(kz−ωt

)z zespoloną liczbą falową

k = ω√εµ0.

Oddzielając w k część rzeczywistą od urojonej

k = k + iκ

otrzyma się

E (z, t) = E0 e−κz ei(kz−ωt) .

Natężenie fali jest proporcjonalne do E2 ∼ exp (−2κz), przy czym

α = 2κ

nazywa się współczynnikiem absorpcji.Prędkośc fazowa wynosi ω/k, a współczynnik załamania jest równy

n =ck

ω.

148 Dodatek C. Uzupełnienia

Tym razem część rzeczywista i urojona określone są przez parametry wprowadzonego modelu oscy-latorowego. Dla gazów suma w wyrażeniu na εr jest mała w stosunku do jedynki i pierwiastek zεr = 1+xmożna przybliżyć rozwinięciem na szereg potęgowy

√1 + x ' 1+ 12 x+....z zachowaniem

członu liniowego

k =ω

c

√εr '

ω

c

1 + Nq2

2mε0

∑j


.Tu łatwo już oddzielić część rzeczywistą od urojonej, aby uzyskać

n =ck

ω' 1 + Nq2

2mε0

∑j

fj(ω2j − ω2

)(ω2j − ω2

)2+ γ2jω2

,

α = 2κ ' Nq2ω2

mε0c

∑j

fjγj(ω2j − ω2

)2+ γ2jω2

.

W bezpośrednim otoczeniu częstości rezonansowej współczynnik załamania zachowuje się nie-typowo. Mówimy wtedy o dyspersji anomalnej. Obszar ten pokrywa się z maksymalną absorpcją.Silne rezonansowe pobudzenie elektronów może być przyczyną nieprzezroczystości w tym zakresieczęstości, gdyż duża ilość energii jest tracona w wyniku tłumienia. Dla ośrodków przezroczystychczęstości rezonansowe leżą zwykle w nadfiolecie. Z dala od rezonansów można zaniedbać tłumienie.Wtedy

n = 1 +Nq2

2mε0

∑j

fjω2j − ω2

.

Dla ω < ωj

1ω2j − ω2

=1ω2j

(1− ω2

ω2j

)−1

' 1ω2j

(1 +

ω2

ω2j

)i współczynnik załamania opisany jest formułą

n = 1 +Nq2

2mε0

∑j

fjω2j

+ ω2Nq2

2mε0

∑j

fjω4j.

Pokazuje ona, że współczynnik załamania można przybliżyć wzorem Cauchy’ego

n = 1 +A(1 +

B

λ2

)z dwoma stałymi. Wzór ten dość dobrze stosuje się do gazów.

Dodatek DSemestr letni 2003

D.1 Rozkład materiału na trzy części

1. Elektrostatyka. Oddziaływania elektrostatyczne. Pole elektryczne. Ciągłe rozkładyładunku. Linie pola, strumień i prawo Gaussa. Zastosowania prawa Gaussa. Potencjałelektryczny. Korzyści z posługiwania się potencjałem.Warunki brzegowe w elek-trostatyce. Praca i energia w elektrostatyce. Przewodniki. Ładunki powierzchniowe iindukowane. Równanie Laplace’a. Metoda rozdzielania zmiennych. Rozwinięcie mul-tipolowe. Elektrostatyka ośrodków makroskopowych. Polaryzacja elektryczna.Pole ciała spolaryzowanego. Ładunki związane. Pole w dielektryku. Pole indukcjielektrycznej. Prawo Gaussa w obecności dielektryków. Zagadnienia brzegowe. Ma-gnetostatyka. Siła Lorentza. Pole indukcji magnetycznej B. Prądy. Prawo Biota–Savarta. Prawo Ampere’a.Magnetyczny potencjał wektorowy. Magnetyczne wa-runki brzegowe. Prądy związane. Pole magnetyczne H. (2003.03.25)

2. Pola zmienne w czasie. Siła elektromotoryczna. Indukcja elektromagnetyczna.Prawo Faradaya. Indukcyjność. Energia pola magnetycznego. Równania Maxwellaw materii. Warunki brzegowe. Prawa zachowania. Ładunek i energia. Równanieciągłości. Twierdzenie Poyntinga. Zasada zachowania pędu. Moment pędu. Elek-tromagnetyczne fale płaskie i rozchodzenie się fal. Równanie falowe w jednymwymiarze. Fale monochromatyczne płaskie w próżni. Fale elektromagnetyczne wliniowym ośrodku materialnym. Odbicie i załamanie. Fale elektromagnetycznew przewodnikach. Odbicie na powierzchni przewodzącej. Potencjały i pola źródełzmiennych w czasie. Potencjał skalarny i wektorowy. Przekształcenia cechowania.Potencjały opóźnione. (2003.05.13; 2003.05.15)

150 Dodatek D. Semestr letni 2003

3. Pole elektryczne i magnetyczne poruszającego się ładunku punktowego. Szczegól-na teoria względności. Przykłady. Elektrodynamika w postaci jawnie re-latywistycznej. Dynamika cząstek relatywistycznych i pola elektromagnetycznego.Promieniowanie elektryczne dipolowe. Podsumowanie elektrodynamiki.(2003.06.10)

Literatura

[1] David J. Griffith, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa2001.

[2] J.D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna, cz.1 i 2, PWN, Warszawa 1987.

[3] A.N. Matwiejew, Teoria pola elektromagnetycznego, PWN, Warszawa 1967.

[4] L.D. Landau, E. Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretycznej: Mechanika Elektrodynamika,t.1, PWN, Warszawa 1972.

[5] Frederick W. Byron, Robert W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej,tom1 i 2, PWN, Warszawa 1974.

[6] I.M. Ryżyk, I.S. Gradsztein, Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów, PWN, Warszawa1964.

[7] Wolfram Research, Mathematica c©4 Program for doing Mathematics,www.wolfram.com, 1998-1999.

Wykład elektrodynamiki - Strona Studentów...

Documents

Transcript of Wykład elektrodynamiki - Strona Studentów...