WYKŁAD 8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM

WYKŁAD 8

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM

PLAN WYKŁADU

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego jednoosiowego

Płytki falowe

Dichroizm w materiałach dwójłomnych, polaryzatory

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa

PODSUMOWANIE

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego

ED 0r

Dla ośrodka izotropowego:


ED 0r


j

jiji EDDla ośrodka anizotropowego:


ED 0r


j

jiji EDDla ośrodka anizotropowego:

z0zzy0yyx0xx E = D ; E = D ; E = D

W układzie osi głównych:

Główne stałe dielektryczne: , , zyx

Główne stałe dielektryczne:

Główne współczynniki załamania:

, , zyx

zzyyxx = n , = n , = n



W ośrodku jednoosiowym:

, , zyx





, , zyx


oyx n = n = n „o” od ordinary, zwyczajny




, , zyx


oyx n = n = n

n n = n oez

„o” od ordinary, zwyczajny

„e” od extraordinary, nadzwyczajny

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych:

tD

= H

0 = HtB

- = E

0 = D


Poszukujemy najprostszych rozwiązań; płaskie fale harmoniczne.

tD

= H

0 = HtB

- = E

0 = D

trkiexpHH

trkiexpEE

trkiexpDD

0

0

o


Poszukujemy najprostszych rozwiązań; płaskie fale harmoniczne.

tD

= H

0 = HtB

- = E

0 = D

trkiexpHH

trkiexpEE

trkiexpDD

0

0

o

HB 0

Otrzymamy:

00

0

000

0

Di- = Hki

0 = Hk

HiEki

0 = Dk

Otrzymamy:

00

0

000

0

Di- = Hki

0 = Hk

HiEki

0 = Dk

Po przemnożeniu drugiego równania przez i wykorzystaniu czwartego równania

otrzymamy:

ki

Otrzymamy:

00

0

000

0

Di- = Hki

0 = Hk

HiEki

0 = Dk

0

020

0

02

2

002

0D

k = D

c = D = Ekiki

Po przemnożeniu drugiego równania przez i wykorzystaniu czwartego równania

otrzymamy:

ki

Po skorzystaniu z tożsamości:

CBABCACBA


mamy:

CBABCACBA

0

0200

200

Dk = EkkEkEkiki


mamy:

CBABCACBA

0

0200

200

Dk = EkkEkEkiki

00r0 ED

Dla ośrodka izotropowego

mielibyśmy:


mamy:

CBABCACBA

0

0200

200

Dk = EkkEkEkiki

00r0 ED

Dla ośrodka izotropowego

mielibyśmy:

a więc, z pierwszego równania Maxwella: 0Ek 0

i równanie: 0

0200

20

Dk = EkkEk

i równanie: 0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadziłoby się do:0r

200

2 Ek = Ek

i równanie: 0

0200

20

Dk = EkkEk


200

2 Ek = Ek

czyli: 220

2 nk = k

i równanie:

Dla ośrodka anizotropowego takie uproszczenie jest niemożliwe.

Musimy rozwiązać pełne równanie.

0

0200

20

Dk = EkkEk


200

2 Ek = Ek

czyli: 220

2 nk = k

i równanie:

Dla ośrodka anizotropowego takie uproszczenie jest niemożliwe.

Musimy rozwiązać pełne równanie.

0

0200

20

Dk = EkkEk


200

2 Ek = Ek

czyli: 220

2 nk = k

0ky

Przyjmiemy:

Ponieważ x i y są równoważne, zatem wszystkie możliwe k są dopuszczone (obrót układu współrzędnych wokół osi z)

W konsekwencji równanie:

0

0200

20

Dk = EkkEk


0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadzi się do:


0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadzi się do:

0 = EkE kkk EkEk

0 = EkE kk

0 = EkE kkk EkEk

z0z20z0

2z

2xzz0zx0x

y0y20y0

2z

2x

x0x20x0

2z

2xxz0zx0x

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy:

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx



20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

; 0 = E = E

0 E

'0z

'x0

'0y I-sze rozwiązanie: 2

o20

2 ' nk = k a zatem:



20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

; 0 = E = E

0 E

'0z

'x0

'0y I-sze rozwiązanie: 2

o20

2 ' nk = k a zatem:

Długość wektora k’ nie zależy od kierunku; rozwiązanie „zwyczajne”.

POLARYZACJA!!!


20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx


20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

0 E, E 0; E '0z

''x0

''0y

II-gie rozwiązanie:

2o

20

2 ' nk k wobec tego:


20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

0 E, E 0; E '0z

''x0

''0y

II-gie rozwiązanie:

2o

20

2 ' nk k wobec tego:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

i układ 3 r-ń redukuje się do:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

0 = kk nkk nkk 2z

2x

2e

20

2x

2o

20

2z


0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

0 = kk nkk nkk 2z

2x

2e

20

2x

2o

20

2z

2e

2o

20 nnkktóre po przemnożeniu, uproszczeniu i

podzieleniu przez:


0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

da równanie:

0 = kk nkk nkk 2z

2x

2e

20

2x

2o

20

2z

2e

2o

20 nnkktóre po przemnożeniu, uproszczeniu i

podzieleniu przez:

202

e

2 ' 'x

2o

2 ' 'z k =

n

k

n

k

w kierunku z, i w kierunku x i y:

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowejo półosiach głównych:

0okn 0ekn



0okn 0ekn

Powierzchnia wektora falowego, albo indykatrysa optyczna



0okn 0ekn

Długość wektora k’’ wyznaczająca „efektywny” współczynnik załamania dla danego kierunku,

zależy od tego kierunku; rozwiązanie „nadzwyczajne”

Powierzchnia wektora falowego, albo indykatrysa optyczna

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie:

2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E


2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E

eo nn Gdyby: E prostopadłe do k’’


2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E


eo nn Dla: D prostopadłe do k’’


2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E


eo nn Dla: D prostopadłe do k’’

Polaryzacja liniowa, E leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory k’’ i osi z, stycznie do elipsy wektora falowego

Powierzchnie wektora falowegodla rozwiązania

zwyczajnego(okrąg; kula) i

nadzwyczajnego (elipsa; elipsoida

obrotowa)

OŚRODEK JEDNOOSIOWY, UJEMNY

Przypadki specjalne; k wzdłuż i prostopadłe do osi opt.

Wyjaśnienie dwójłomności:

4 +

m4Nq - 1 = n

220

0002

0

0

00

,n,n

Załóżmy, że wskutek naprężenia zmienia się częstość własna (NIEHARMONICZNOŚĆ).

Wówczas:

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych


Polaryzacja prostopadła: bez załamania (zgodnie z prawem Snelliusa)


Polaryzacja prostopadła: bez załamania (zgodnie z prawem Snelliusa)

Polaryzacja równoległa: przesunięcie równoległe

PŁYTKI FALOWE

Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną

(z). Wektor falowy fali padającej prostopadły

do osi optycznej.

PŁYTKI FALOWE



do osi optycznej.

o0

'z

txki0yy nk = k ; 0 = E ,eE = E

'

Dwa dozwolone rozwiązania:

zw.

PŁYTKI FALOWE



do osi optycznej.

o0

'z

txki0yy nk = k ; 0 = E ,eE = E

'

e0

' 'y

t-xki0zz nk = k ; 0 = E ,eE = E

' '

Dwa dozwolone rozwiązania:

zw.

nadzw.

Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej:


ti-0

0=xtxkni

z0txkni

0y

e c+b2

E =

eEceEb = 0xE 0e0o

21

45sin45cos gdyż:


ti-0

0=xtxkni

z0txkni

0y

e c+b2

E =

eEceEb = 0xE 0e0o

21

45sin45cos gdyż:

Po przejściu przez płytkę:

tdknii0 0oe ec+b2

E = dxE

gdzie: dknn 0oe

Dla ośrodka dodatniego jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

Dla ośrodka dodatniego

Gdy:

2

jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

mamy ćwierćfalówkę

cib2

E0 Amplituda wyniesie:

i mamy polaryzację kołową (jednakowe amplitudy b i c)

Dla ośrodka dodatniego

Gdy:

2

jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

mamy ćwierćfalówkę

cib2

E0 Amplituda wyniesie:

i mamy polaryzację kołową (jednakowe amplitudy b i c)

Działanie ćwierćfalówki, zmiana polaryzacji dla różnych przypadków, liniowa na eliptyczną lub kołową, kołowa na liniową, eliptyczna na eliptyczną lub liniową

DICHROIZM, polaryzatory

Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale



Prawo Malusa: 20 cosII

eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting)




Skrzyżowane polaryzatory, trzeci polaryzator, dyskusja





Skrzyżowane polaryzatory, trzeci polaryzator, dyskusja

Polaryzator i ćwierćfalówka, określanie stanu polaryzacji


Wektor Jonesa:


z

y

E

E

Wektor Jonesa:


z

y

E

E

Wektor Jonesa dla różnych polaryzacji:

i-

1

21

, i

1

21

, 1

1

21

, 0

1 ,

1

0

Wektor Jonesa:


z

y

E

E

Wektor Jonesa dla różnych polaryzacji:

i-

1

21

, i

1

21

, 1

1

21

, 0

1 ,

1

0

Normowanie, dzielimy przez: 2z

2y EE

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

z

y

'E

'E


z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E


z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

d,c

b,aMacierz Jonesa elementu optycznego:


z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

d,c


Macierz Jonesa ćwierćfalówki:

i0

01

21


z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

d,c


Macierz Jonesa ćwierćfalówki:

i0

01

21

Macierz Jonesa polaryzatora,

kąt α z osią z:

2

2

coscossin

sincossin2

1

PODSUMOWANIE W ośrodku anizotropowym polaryzacja P ośrodka,

stała dielektryczna (przenikalność elektryczna) zależą od kierunku zewnętrznego pola

elektrycznego; współczynnik załamania także będzie zależał od kierunku drgań wektora natężenia pola

elektrycznego.

Dla monochromatycznej płaskiej fali em rozchodzącej się w ośrodku jednoosiowym istnieją

dwa rozwiązania; zwyczajne (współczynnik załamania nie zależy od kierunku wektora k) i

nadzwyczajne (współczynnik załamania zależy od kierunku wektora k)

PODSUMOWANIE

współczynnik załamania dla rozwiązania zwyczajnego:

yxon

współczynnik załamania dla rozwiązania nadzwyczajnego zależy od kierunku (indykatrysa),

i zawarty jest pomiędzy:

zen yxon

PODSUMOWANIE

różnica współczynników załamania dla rozwiązania zwyczajnego i nadzwyczajnego

przyjmuje wartość maksymalną:

eo nn

dla wektora falowego skierowanego prostopadle do osi optycznej

promień zw i nadzw rozdzielają się przestrzennie gdy wektor falowy k fali padającej na kryształ

tworzy kąt z osią optyczną (inny niż 0 i 90°)

PODSUMOWANIE

kierunek polaryzacji wektora E dla rozwiązania zwyczajnego to kierunek prostopadły do osi

optycznej (z) i wektora k

kierunek polaryzacji dla rozwiązania nadzwyczajnego leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez oś optyczną i wektor k (stycznie do elipsy

wektora falowego)

PODSUMOWANIE

Ćwierćfalówka to element optyczny wykonany z kryształu jednoosiowego z osią optyczną w

płaszczyźnie wejściowej. Ćwierćfalówka wprowadza różnicę faz równą 90° pomiędzy dwoma

nierozdzielonymi przestrzennie składowymi(o ortogonalnych polaryzacjach)

PODSUMOWANIE

Dwuwymiarowy wektor Jonesa składa się z unormowanych amplitud składowych pola

elektrycznego całkowicie spolaryzowanej płaskiej fali em. Elementom układu optycznego

przypisujemy macierze Jonesa o dwóch wierszach i dwóch kolumnach.

WYKŁAD 8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM

Documents

Transcript of WYKŁAD 8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM