Wykład 25

13-01-2009 Reinhard Kulessa 1

Wykład 25

11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali11.5.1 Fale płaskie c.d.

11.5.3 Fale kuliste11.6 Energia fali11.7 Interferencja fal

11.7.1 Fala stojąca


= 0

= - A

Możemy teraz skonstruować szereg płaszczyzn, dla których wartość (r) w przestrzeni zmienia się periodycznie. Mianowicie

( ) sin( ) ( ) cos( )r A k r r A k r

lub bardziej ogólnie;

( ) ik rr Ae

.

Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek

k r const

11.5.1 Fale płaskie c.d.


(r) przyjmuje wartość stałą. Dla fal harmonicznych wartości powinny powtórzyć się w przestrzeni po przesunięciu o w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek.

Rysunek ten przedstawia tylko niektóre z nieskończonej liczby płaszczyzn. Przestrzenną powtarzalność harmonicznego zaburzenia, możemy przedstawić następująco;

ˆ( ) ( )r r k ,

Gdzie k jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora falowego.

^

W układzie kartezjańskim płaska fala harmoniczna ma następująca postać;

( )( , , , ) x y zi k x k y k z tx y z t Ae .


lub[ ( ) ]( , , , ) i k x y z tx y z t Ae .

Wartość wektora falowego jest dana przez;

2 2 2 1/ 2( )x y zk k k k k

.

Zachodzi również warunek;2 2 2 1 .

W tym rozdziale rozważaliśmy fale płaskie zmieniające wychylenie w sposób sinusoidalny. Należy pamiętać, że fale harmoniczne mogą w prosty sposób zostać wywołane przezdrgania oscylatora harmonicznego. Również każda fala przestrzenna może zostać przedstawiona jako kombinacja fal płaskich, z których każda posiada własną amplitudę ikierunek rozchodzenia się.

(11.4)


11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe faliW poprzednim podrozdziale omawialiśmy falę płaską, która jako jedyna z pośród wszystkich fal trójwymiarowych rozprzestrzenia się nie zmieniając kształtu jak długo tylko ośrodek nie ma dyspersji (prędkość fali zależy od częstości fali). Pokażemy, że fala taka jest jednym z rozwiązań trójwymiarowego równania różniczkowego fali. Ażeby takie równanie napisać, wystarczy uogólnić równanie (11.3). Równanie takie we współrzędnych kartezjańskich powinno być symetryczne ze względu na współrzędne x, y i z. Równanie (11.4) jest jednym z rozwiązań szukanego równania różniczkowego fali. Obliczmy dla wszystkich współrzędnych pochodne cząstkowe zaburzenia analogicznie do równania (11.3).

2 22

2 2v

t x

Otrzymujemy wtedy;


22 2

2

22 2

2

22 2

2

kx

ky

kz

, (11.5)

oraz 22

2t

. (11.6)

Spełniony jest tu również warunek . Pamiętając, że v=/k otrzymujemy po wysumowaniu;

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z v t

. (11.7)

2 2 2 1

i kx

i ky

i kz


Równanie (11.7) przedstawia trójwymiarowe różniczkowe równanie fali.Pamiętając definicję operatora Laplace’a możemy napisać;

22

2 2

1

v t

. (11.8)

Równanie (11.8) posiada rozwiązania w postaci równania(11.4).Można pokazać, że również następujące równania;

( , , ) ( )

( , , ) ( )

x y z f x y z vt

x y z g x y z vt

przedstawiające fale płaskie są rozwiązaniami równania (11.8). Rozwiązaniem będzie również liniowa kombinacja tych dwóch fal płaskich.

,


11.5.3 Fale kulisteBez przeszkód potrafimy wyobrazić sobie falę rozchodzącą się po powierzchni wody po wrzuceniu do niej kamienia. Wokół punktu trafienia kamienia w wodę rozchodzą się dwuwymiarowe fale kuliste. Trójwymiarową falę możemy sobie wyobrazić wtedy gdy umieścimy wewnątrz objętości cieczy pulsującą radialnie kuleczkę od której rozchodzić będą się fale sferyczne. Identycznie będzie w przypadku pulsującego punktowego źródła światła. Czoła fal tworzą w tym przypadku koncentryczne czasze kuliste o rosnącej średnicy w miarę rozprzestrzeniania się w przestrzeni. Fale takie najlepiej jest opisać w układzie sferycznym. Rozchodzące się zaburzenie jest izotropowe i zależy tylko od odległości od źródła. Funkcja określająca zaburzenie jest więc zależna tylko od odległości od źródła fali;

( ) ( , , ) ( )r r r

.


Wynik działania operatora Laplace’a na tę funkcję jest następujący;( Patrz dodatek na końcu wykładu)

22 2

2 2

1 1( ) ( )r r r

r r r r r

. (11.9)

Równanie falowe analogiczne do równania (11.3) otrzymujemy jako wyrażenie;

2 2

2 2 2

1( ) ( )r r

r v t

. (11.10)

Równanie (11.10) jest różniczkowym równaniem falowym jednowymiarowej fali, gdzie r jest współrzędną położenia, a iloczyn (r) przedstawia funkcję falową. Rozwiązaniem równania (11.10) jest;


( , ) ( )

( )( , )

r r t f r vt

f r vtr t

r

. (11.11)

Ogólne rozwiązanie różniczkowego równania fali kulistej dane jest przez wyrażenie;

1 2

( ) ( )( , )

f r vt f r vtr t C C

r r

. (11.12)

Szczególnym rozwiązaniem tego równania jest harmoniczna fala kulista,

( )( , ) ik r vtAr t e

r

. (11.13)

Stała A oznacza natężenie źródła. Równanie to przedstawia dla każdego czasu zbiór koncentrycznych kul wypełniających całą przestrzeń. Każda powierzchnia o stałej fazie jest dana przez


kr constAmplituda fali kulistej jest zależna od r, przy czym czynnik 1/r można uważać za czynnik tłumiący. Kształt fali zmienia się więc wraz ze wzrostem odległości od źródła.

Widzimy, że amplituda fali kulistej zmniejsza się wraz odległością. Wrócimy jeszcze do tego problemu.


11.6 Energia fali

Energia ośrodka w którym rozchodzi się fala sprężysta (podłużna) składa się z energii kinetycznej i potencjalnej.

21

2kE mvMamy, gdzie m V .

Jeżeli mamy np. falę;

( , ) cos ( )x

x t A tv

,

to znajdziemy, że prędkość v jest równa

sin ( )d x

v A tdt v

.

Energia kinetyczna jest więc równa;


2 2 21sin ( )

2k

xE VA t

v . (11.14)

Jeśli policzymy energię potencjalną związaną z odkształceniem, to otrzymamy;

21

2p

E SE l

l

.

Wprowadzając do ostatniego wzoru współczynnik sprężystości równy odwrotności modułu Younga =1/E, mamy;

21 1

2p

lE lS

l

.

Wielkość l/l możemy przedstawić jako d/dx, gdzie d jest to różnica wychyleń cząstek odległych o dx.

l 1 F

l E S


sin ( )d A x

tdx v v

,

wtedy2 2

22

1 1sin ( )

2p

A V xE t

v v

. (11.15)

Widzimy, że energia kinetyczna i potencjalna znajdują się w tej samej fazie, tzn. , że osiągają w tym samym czasie minimum jak i maksimum.

2 2 22

1 1sin ( )

2k p

xE E E A V t

v v

.

Wiemy, że prędkość fali w ośrodku sprężystym jest równa;

1v

,


Możemy więc wyrażenie na energię przenoszoną przez falę sprężystą napisać jako;

2 2 2sin ( )x

E A V tv

. (11.16)

Wprowadźmy do naszych rozważań gęstość energii Є, czyli energię przypadającą na jednostkę objętości, wtedy;

2 2 2sin ( )E x

A tV v

.

Na średnią wartość energii w czasie, otrzymujemy;

2 21

2A . (11.17)


Ze względu na to, że energia nie jest w danym obszarze zlokalizowana, lecz się w ośrodku przenosi, można wprowadzić do rozważań pojęcie strumienia energii. Przez strumień energii przechodzący przez daną powierzchnię S będziemy rozumieli wielkość równą liczbowo ilości energii przechodzącej przez daną powierzchnię w ciągu jednostki czasu.

Jeżeli za jednostkę czasu weźmiemy jeden okres fali T, to strumień energii wynosi;

v T S .

Średni strumień mocy definiujemy jako;

2 21

2P v S A v S

T

.

v·T

S


Zdefiniujemy jeszcze gęstość strumienia mocy u zwany również natężeniem fali I.

Pu v I

S . (11.18)

Ponieważ prędkość v jest wektorem, to gęstość strumienia mocy można również rozpatrywać jako wielkość wektorową skierowaną zgodnie z prędkością rozchodzącej się fali.

Wektor I v

nazywamy wektorem Poyntinga.

(11.18a)


Wróćmy do problemu rozchodzenia się fal kulistych.

r1

r2

Rozpatrzmy falę:( , ) sin ( )

A rr t t

r v

Średnia gęstość strumienia mocy fali P1 przechodzącej przez powierzchnię S1 jest w ośrodku bez absorbcji równa średniej gęstości strumienia mocy fali P2 przechodzącej przez powierzchnię S2 . Czyli

1 2P P .

Natężenie fali spada więc z rosnącą odległością r.


Mamy więc;

1 1 2 1 2 2

2 1 2 2 1 1

/I P P P S S

I S S P S S .

Z drugiej strony mamy;

2 22 2 1 2

2 21 1 2 1

S r I r

S r I r .

Ostatnie równanie ma ważne zastosowanie np. w fotometrii.


11.7 Interferencja fal

W ośrodku mogą równocześnie rozchodzić się drgania wychodzące z różnych centrów drgań. Fale te tworzą nową falę.

Rozważmy dwie fale o tej samej częstości, amplitudzie rozchodzące się w tym samym kierunku.

1

2

( , ) sin( )

( , ) sin( )

x t A t kx

x t A t kx

.

Dodając te fale do siebie otrzymujemy;

1 2( , ) ( , ) ( , )

[sin( ) sin( )]

x t x t x t

A t kx t kx


( , ) 2 cos sin( )2 2

x t A t kx

Amplituda Zależność od czasu i położenia

W zależności od różnicy fazy mamy do czynienia ze wzmocnieniem lub osłabieniem fali pierwotnej.

(x)

1(x)

2(x)

(x) =1(x)+ 2(x)

Przesuniecie fazowe

Interferencjakonstruktywna

. (11.19)


(x)

1(x)

2(x)

(x) =1(x)+ 2(x)

Przesuniecie fazowe

Interferencjadestruktywna


11.7.1 Fala stojąca

Powstanie fali stojącej jest szczególnym przypadkiem interferencji. Fala stojąca powstaje przez interferencję dwóch fal o przeciwnych kierunkach rozchodzenia się. Może to być np. interferencja fali padającej z falą odbitą. Rozważmy taki przypadek.

1

2

( , ) sin( )

( , ) sin( )

x t A t kx

x t A t kx

.

W wyniku interferencji otrzymujemy falę o postaci;

1 2( , ) ( , ) ( , )

[sin( ) sin( )]

x t x t x t

A t kx t kx

.


W wyniku otrzymujemy falę;

Zależność od czasu Zależność od położenia

( , ) 2 sin( ) cos( )2 2

x t A t kx .

Dla struny napiętej pomiędzy dwoma punktami otrzymujemy następujący obraz;

L

1. L = /22. L = 3. L = 3 /2

Tabelka pokazuje podstawowe drgania własne układu (struny).

(11.20)


Wróćmy do równania fali stojącej. Możemy z tego równana znaleźć warunek na występowanie minimalnych amplitud –węzłów, oraz maksymalnych amplitud – strzałek.

Poniższy rysunek przedstawia powstawanie fali stojącej.


/2

strzałki węzły

Położenie węzłów wyznaczymy z równania:

cos( ) 0 0,1,2,2 2 2

kx kx n n


Położenie węzłów otrzymamy więc dla następującego warunku

(2 1)

2

nx

k

.

W podobny sposób możemy wyliczyć warunek na występowanie strzałek. Otrzymamy wtedy;

2

2

nx

k

.

(11.21)

(11.22)

W oparciu o powyższe wzory możemy wyliczyć odległości pomiędzy kolejnymi węzłami lub strzałkami.

Fale stojące mogą również posłużyć do uwidocznienia drgań własnych w ciałach stałych. Do uwidocznienia tych drgań możemy użyć drobinek korka lub piasku.


Przykład takich drgań, -figury Chladniego- wzbudzonych na tarczy metalowej np. przy pomocy smyczka przedstawia poniższy rysunek.


2

2

2 2 2

3 2 2

( , )

1

r t r

x x x r

x

x r r

x x

r r r r r

2 2 2

2 2 2

r x xx y z

x x rx y z

2 2 2 2 2 22

3 2 2

2

2

2

2

3( , )

2

1( )

x y z x y zr t

r r r r r

r r r

rr r

2 2

2 2( ) 2r r r

r r r r r

Dodajmy człony dla x, y i z

Dodatek

Wykład 25

Documents

Transcript of Wykład 25