4

x

1 2 3

x

ϵ

𝑜𝑟𝑎𝑧Pr(𝑋 ≤ 𝑥𝑝) ≥ 𝑝 Pr 𝑋 ≥ 𝑥𝑝 ≥ 1 − 𝑝

𝐹 𝑥𝑝 = 𝑝 1

1 xp 6 x

F(x)

p

xp

−∞

𝑥𝑝

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑝

xX1/2

𝜑(𝑡) = 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑥

𝜑𝑋 (𝑡) =

𝑖=1

𝑛

Pr(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑖

𝜑𝑋(𝑡) =

−∞

+∞

𝑓(𝑥) 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝑥

𝜑(0) = 1

𝜑(𝑡) ≤ 1 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏

𝜑(𝑡) = 𝜑(−𝑡) 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑧 = 𝑎 − 𝑖𝑏

𝜑 𝑡 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑑𝑎𝑡𝑛𝑖𝑜 𝑜𝑘𝑟𝑒ś𝑙𝑜𝑛𝑎

𝜑 𝑡 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡𝑎𝑗𝑛𝑖𝑒 𝑐𝑖ą𝑔ł𝑎

𝜑 𝑡 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗ą 𝑟𝑧𝑒𝑐𝑧𝑦𝑤𝑖𝑠𝑡ą 𝑑𝑙𝑎 𝑟. 𝑠𝑦𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦𝑐𝑧𝑛𝑦𝑐ℎ

lim𝑡 →∞𝜑 𝑡 → 0 𝑑𝑙𝑎 𝑟𝑜𝑧𝑘ł𝑎𝑑ó𝑤 𝑐𝑖ą𝑔ł𝑦𝑐ℎ

𝜑𝑌(𝑡) = 𝜑𝑎𝑋+𝑏(𝑡) = 𝜑𝑋(𝑎𝑡)𝑒𝑖𝑡𝑏

𝜑𝑍(𝑡) = 𝜑𝑋+𝑌(𝑡) = 𝜑𝑋(𝑡)𝜑𝑌(𝑡)

, s , s

𝜑𝑍(𝑡) = 𝜑𝑋+𝑌(𝑡) = 𝑒𝐸𝑋∙𝑖𝑡− 1 2𝐷

2𝑋∙𝑡2 ∙ 𝑒 𝐸𝑌∙𝑖𝑡− 12𝐷2𝑌∙𝑡2

= 𝑒𝐸𝑋+𝐸𝑌 ∙𝑖𝑡− 1 2(𝐷

2𝑋+𝐷2𝑌)∙𝑡2 , s

𝐸𝑍 = 𝐸𝑋 + 𝐸𝑌 𝐷2𝑍 = 𝐷2𝑋 + 𝐷2𝑌

𝐸𝑋𝑘 =𝜑 𝑘 (0)

𝑖𝑘

𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑘 − 𝑟𝑧ą𝑑 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑜𝑑𝑛𝑒𝑗

𝜑𝑋 =𝑒𝑖𝑡𝑏 − 𝑒𝑖𝑡𝑎

𝑖𝑡(𝑏 − 𝑎)𝜑𝑋′ =𝑒𝑖𝑡𝑏 − 𝑒𝑖𝑡𝑎

𝑖𝑡(𝑏 − 𝑎)

′

=1

𝑏 − 𝑎

𝑖(𝑏𝑒𝑖𝑡𝑏 − 𝑎𝑒𝑖𝑡𝑎)𝑖𝑡 − (𝑒𝑖𝑡𝑏 − 𝑒𝑖𝑡𝑎)𝑖

𝑖𝑡 2

𝐸𝑋1 =1

𝑏 − 𝑎

(𝑏𝑒𝑖𝑡𝑏−𝑎𝑒𝑖𝑡𝑎)𝑖𝑡 − (𝑒𝑖𝑡𝑏 − 𝑒𝑖𝑡𝑎)

𝑡2

≥

∞ e

Pr(𝑋 ≥ 𝜀) ≤𝐸𝑋𝑘

𝜀𝑘

𝐸𝑋 =

0

+∞

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

0

𝜀

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

𝜀

+∞

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥≥

𝜀

+∞

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝜀

𝜀

+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

= Pr(𝑋 ≥ 𝜀)𝐸𝑋 ≥ 𝜀Pr(𝑋 ≥ 𝜀)

𝑥 = 𝜀

∞ e

Pr( 𝑋 − 𝐸𝑋 ≥ 𝜀) ≤𝐷2𝑋

𝜀2

x

e e

𝐷2𝑋

𝜀2

∞

e

lim𝑛→∞Pr𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛

𝑛− 𝐸𝑋 < 𝜀 = 1

lim𝑛→∞

𝐷2𝑋1 + 𝐷2𝑋2 +⋯+𝐷

2𝑋𝑛𝑛2

= 0

𝑁(0, 3 𝑛) → 𝐸𝑋 = 0, 𝐷2𝑋𝑛 =3 𝑛

𝐷2𝑋1 + 𝐷2𝑋2 +⋯+ 𝐷

2𝑋𝑛𝑛2

=31 +

32 +⋯+

3𝑛

𝑛2≤𝑛 ∙ 3 𝑛

𝑛2=13 𝑛

→ ∞)

𝑌 =𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 − 𝑛𝐸𝑋

𝜎 𝑛

lim𝑛→∞𝑃𝑟 𝑌 ≤ 𝑥 = Φ(𝑥)

𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 Φ 𝑥 − 𝑑𝑦𝑠𝑡𝑟𝑦𝑏𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑁(0,1)

Pr 𝑋𝑛 = 𝑘 =𝑛

𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘

F

lim𝑛→∞𝑃𝑟

𝑘1 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝(1 − 𝑝)≤𝑘 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝(1 − 𝑝)≤𝑘2 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝(1 − 𝑝)= Φ 𝑏 − Φ 𝑎

𝑎 =𝑘1 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝(1 − 𝑝); 𝑏 =

𝑘2 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝(1 − 𝑝)

𝐵𝑛 =

𝑘=1

𝑛

𝐷2𝑋𝑘 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝐶𝑛 =

𝑘=1

𝑛

𝐸(𝑋𝑘 − 𝐸𝑋𝑘)3

lim𝑛→∞

3 𝐶𝑛

𝐵𝑛= 0 lim

𝑛→∞𝑃𝑟 𝑘=1𝑛 𝑋𝑘 − 𝑘=1

𝑛 𝐸𝑋𝑘

𝑘=1𝑛 𝐷2𝑋𝑘

< 𝑥 = Φ(𝑥)

Φ 𝑥 − 𝑑𝑦𝑠𝑡𝑟𝑦𝑏𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑁(0,1)

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