1

Wykład 10

Entalpia w ujęciu masy kontrolnej; przykłady:adiabatyczne dławienie gazu dla przepływu ustalonego

odwracalne izobaryczne rozprężanie gazunieodwracalne napełnianie gazem pustego zbiornika

I zasada termodynamiki; masa kontrolna i entalpia

I zasada termodynamiki dla układów otwartych

Układ otwarty w ujęciu masy kontrolnej

Układ otwarty w ujęciu objętości kontrolnej:prawo zachowania masy

prawo zachowania energii

2

Adiabatyczne dławienie gazu dla przepływu ustalonego

p1, V1, U1 p2, V2, U2

adiabatyczny przepływ przez zawór, proces dławienia gazu p2 < p1

stan początkowy – gaz przed zaworem i zaraz po

stan końcowy – gaz za zaworem i zaraz przed

układ

układ

Układ (system); pewna ilość gazu (ujęcie masy kontrolnej). Dla naszego przypadku rozpatrujemy układ w następujących dwóch stanach:

Opór stawiany przez zawór powoduje spadek ciśnienia

zawór

3

pupvuh entalpia właściwa (jednostkowa masa) H (J), h (J/kg)

tłoczki tłoczki

1122 VpVpW

WU

111222 VpUVpU pVUH

entalpia

Konfiguracja równoważna; wydzielamy pewną masę (masę kontrolną), a pozostały gaz zastępujemy tłoczkami

Entalpia

„Przepchnięcie” danej porcji gazu przez zawór odbywa się na koszt energii wewnętrznej tej porcji gazu. W procesie tym zachowana jest wielkość:

którą nazywamy entalpią (entalpią właściwą). Wielkość pV to praca przepływu (flow work) lub praca pV.

pvuh ;pVUH

proces adiabatyczny

4

Wniosek

W procesie adiabatycznego dławienia entalpia gazu przed i za zaworem dławiącym jest zachowana. Wykonanie pracy przepływu odbywa się na koszt energii wewnętrznej gazu.

Interpretacja entalpii:

Licząc całkowitą energię obiektu o objętości V należy uwzględnić, że jego „wytworzenie” wymagało dostarczenia energii na „odepchnięcie” otoczenia. Jeśli ciśnienie p wywierane przez otoczenie na obiekt wynosi p, to praca wykonana na wytworzenie miejsca dla obiektu wyniosła pV. Tak więc całkowita energia obiektu to jego energia wewnętrzna plus ekstra energia pV, którą „odzyskalibyśmy” gdyby obiekt zniknął (skurczył się do zera). Tę całkowitą energię obiektu nazywamy entalpią.

5

Odwracalne izobaryczne rozprężanie gazu

W przemianie izobarycznej dostarczane ciepło powoduje wzrost entalpii gazu; choć ciśnienie jest stałe ale rośnie objętość; zatem rośnie zarówno energia wewnętrzna gazu (rośnie temperatura) jak i człon pV.

WQU

1212

V

V12 pVpVUUpdVUUWUQ

2

1

12

1122

HHQ

pVUpVUQ

pomimo „rozprężania” ciśnienie nie spada, bo gaz równocześnie podgrzewamy!

6

Mamy zatem:p

pp T

hc ;TnCH

Warto zauważyć, że ponieważ U i H są funkcjami stanu więc zależności te są prawdziwe dla każdej przemiany, pomimo, iż wyprowadzone zostały dla konkretnych przemian; izobarycznej i izochorycznej.

podobnie jak dla przemiany izochorycznej:V

vv T

uc ;TnCU

Jeśli w przemianie izobarycznej rozprężamy gaz, ciśnienie będzie stałe, gdyż dostarczamy ciepła Q. Ciepło Q powoduje wzrost temperatury (ΔU) zatem:

TnCQ p

gdyż podgrzewanie i rozprężanie gazu zachodzi przy stałym ciśnieniu. n to liczba moli gazu

7

Nieodwracalne napełnianie gazem pustego zbiornika

zawór

p0, T0 próżnia

p0

V0

atmosfera

układ; gaz, który wypełni

zbiornik

Problem niestacjonarny (nieodwracalny): napełnienie pustego zbiornika gazem z atmosfery. Zbiornik jest izolowany termicznie; nie ma wymiany ciepła z atmosferą. Jaka jest końcowa temperatura gazu w zbiorniku?

WU gdzie W jest pracą wykonaną przez układ.

00VpW gdyż pracę p0V0 wykonało otoczenie (atmosfera) na układzie.

próżnia

8

a zatem:

00if

00if

00

VpUU

VpUU

VpU

p0, T0

V0

układ; gaz, który wypełni

zbiornik

p0

układ; gaz w zbiorniku

próżnia

układ w stanie i układ w stanie f

WU

00VpW

gaz w zbiorniku nie ma wyrazu „pV”

fi HH

p0, Tf

Vf

Równanie stanu gazu doskonałego nie wystarczy. Aby znaleźć temperaturę

końcową gazu Tf wykorzystamy: TnCU ;TnCH Vp

;TCTC ;TnCHVpU ;TnCU 0pfv0pi00ifvf 0f TT

9

I zasada termodynamiki; masa kontrolna i entalpia

Korzystając z definicji entalpii, po zróżniczkowaniu:

pdVQdU ;WQdU

VdppdVdUdH ;pVUH

VdppdVWQVdppdVdUdH i podstawieniu :

Ponieważ dla przemiany odwracalnej: pdVW

Ostatecznie mamy: ,

skąd, dla procesów dla których ciśnienia początkowe i końcowe są równe oraz uwzględniając, że entalpia jest funkcją stanu mamy:

VdpQdH

HQ ;dQdH

czyli ilość ciepła dostarczonego do układu jest równa zmianie entalpii.

entalpia, jako zawartość ciepła

brak pracy nieobjętościowej

Dla pewnej masy (kontrolnej) czynnika:

10

I zasada termodynamiki dla układów otwartych

Wt

Wzrost energii wewnętrznej układu jest równy ilości energii wniesionej do układu przez czynnik wpływający i ciepło dodane minus energia usunięta z układu przez czynnik wypływający i praca wykonana przez układ.

grzejnikWQUUU 21ok

objętość kontrolna

Jeśli kształt objętości kontrolnej (control volume) wybierzemy tak, żeby wpływ i wypływ były prostopadłe do jej powierzchni wówczas wprowadzenie pewnej masy do systemu wymaga wykonania pracy przepływu p1V1 gdzie p1 jest ciśnieniem na wejściu, a V1 jest objętością wprowadzonej masy. Analogicznie wyprowadzenie masy z układu wymaga wykonania przez układ pracy przepływu p2V2. Po uwzględnieniu pracy technicznej (shaft work) Wt, całkowita praca wykonana przez układ będzie zatem:

U1, p1, V1

U2, p2, V2

t1122 WVpVpW

11

t222111ok WQVpUVpUdU

Po podstawieniu otrzymamy:

a po uwzględnieniu definicji entalpii (H = U + pV): .WQHHU t21ok

Należy zdawać sobie sprawę, że otrzymane wyrażenia są prawdziwe tylko wtedy, gdy energie kinetyczne wpływającej i wypływającej porcji czynnika są zaniedbywalne albo równe. (Nieprawda dla silników odrzutowych.)

Podczas pracy w stanie ustalonym ΔUok = 0 i, po podzieleniu przez Δt, otrzymamy wyrażenie na moc użyteczną generowaną przez rozpatrywane urządzenie:

QHHW 21t

grzejnik

H2 = H2/Δt

δQ/dt=Q

lim δX/Δt = δX/dt = X

·

UWAGA!! natężenie przepływu wielkości X

δWt/dt= ·

·

W

·

H1 = H1/Δt·

12

Układ otwarty w ujęciu masy kontrolnej

silnik odrzutowy

układ w chwili ti układ w chwili tf

Układ otwarty w ujęciu objętości kontrolnej; prawo zachowania masy

masa Δmi (input, inlet)w czasie Δt

masa Δme (exit)w czasie Δt

objętość kontrolna, układ

silnik odrzutowy

13

Układ otwarty w ujęciu objętości kontrolnej; prawo zachowania masy

min

mout

.

.

objętość kontrolna C.V.

outincv mm

dt

dm Dla stanu ustalonego:mmm

;0dt

dm

outin

cv

Uwaga na różnicę pomiędzy i dm/dt !!!m

masowe natężenie przepływut

mlimm

0t

14

Układy otwarte w ujęciu objętości kontrolnej; prawo zachowania energii

Pierwsza zasada termodynamiki jako równanie kinetyczne:

.W

.Q

dt

dE gdzie:

t

Wlim

dt

W.W

t

Qlim

dt

Q.Q

0t

0t

By otrzymać I zasadę termodynamiki w ujęciu objętości kontrolnej musimy śledzić zmiany energii w czasie w objętości kontrolnej C.V.:

dt

dEcv (ciepło dodane do C.V. – praca wykonana + wpływ energii do C.V. – wypływ energii z C.V.) na sekundę

Pracę W wykonywaną przez układ dzielimy na pracę przepływu Wflow (flow work) i pracę techniczną Wts, Wtp (shaft work).

15

Gaz o masie dm, wchodzący lub wychodzący z układu, ma energię:

.dmgz2

cudmeE

2

Praca przepływu będzie różnicą prac wykonanych przez gaz w punkcie wyjścia i wejścia:

iiieeeflow dmvpdmvpdW

Energia wpływająca do C.V. i wypływająca z C.V. związana jest z przepływem masy przez C.V.

Podsumowując, I zasada termodynamiki dla układów otwartych przyjmie postać:

gz

2

cumWWQ

dt

dE 2.flow

.t

..cv

gdzie suma zawiera odpowiedni znak dla wpływu do i wypływu z C.V.

16

Wprowadzając entalpię do wyrażenia na pracę przepływu i energię całkowitą otrzymamy:

gz

2

chmgz

2

cpvumgz

2

cumpvm

2.2.2..

I zasada termodynamiki w sformułowaniu objętości kontrolnej przyjmie wówczas postać:

e

2e

e

.

ei

2i

i

.

it..

cv gz2

chmgz

2

chmWQ

dt

dE

Dla stanu ustalonego (d/dt = 0, ) i dzieląc przez oraz zaniedbując wyraz gz otrzymamy:

2

ch

2

chwq

2i

i

2e

et..

mmm outin m