WYKEAD 6

CEL : BADANIE EKSTREMOW FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 35

Rtchunekrozhiczkowy wpierwszym semestme stuzy mom migokyinnymi do baolowie pmebiegu

smiennosa.

fuukyi iszkiwwanie

wykresiw . Istothym eleeueutem badaniefuukyibyo poszukiwaniepunktow knytycznych I voaposnasanie Ich typu .

Poszukiwanie ekswe .

mow bywa to wazne Samo w Sobie mawetjeli mie bowdzo

obchodzi was jak zaawwuje sig funkqie jako take. Zojmiemy

sigterazpmygotowaniem gruntu do possukiwanie ekswemow

fuukyi Wiebe aeuiennyar I baowurie Ich Nodzaju .

02ham

to,

ze sojmowac si bgobiemy fuukjami typu

f : XIU - 112gobie

× jest pmestmeniq Banana,

waastosowe

mid mojcsgscig. IR "

,a Wartosci sq respite . Defimiqie

ekswemum ( maksimum I minimum ) poaostoje bez simian,

tan : punkt ×oEU jest maksimum ( minimum ) funkyi f jobdld

pewnafoE >0 speiniony jest warunek

Hxekfxo,e) fkkffx .

) ( Fxek ( x.,c) f (x ) >sf( xo ) )

Interesowaey was bgdqknyterie koniecsnei wystarcsajgce istmienie

ekswemum. Zeby aooacsyi ize istmiejq sytuo.ge skompkkowane

obejmyjmytolejny eksponat 2 tolekyifuukyi dziwnych :

flx ,y)= ( x - if ) ( X - 4g' ) f CQOKO

Nick h=[fmf ( th )=( tsx . Esjktsx - Litty ) =

= E ( Sx - Hy' )( Sx - atsj )

f ( th ) - E ( 8x - Hy' )( Sx - at Sj) =

36

Pnsyustolonym Sxi Sy ( ayli uholonym kierunku h ) manyzaleznosi wielomianowq od t ( Syto )

E= E( ftp.t ) ( Ely - t ) . Koga

re no

8y2

Gdy 8×-0 many f ( th )= 4th 8g"

I w to jest minimum

Gay 8y=o many ftth )=t28x2 I takze w to many minimum

Wygbgdd wigs nato,

ze fobcigte do tazdg.

pvostg pmechodzpcejpmez zero me minimum

.Nie just jednak prawdp ze f

me minimum w (0,0) gdyz W tazolym otueniu punktu ( 0,0)

sgpunktyu ktoryufpmyjmuje wowtosci ujemne :

¥aszczyzna2=0

f me wartosi zero me

kiywycuX=y2 I x - 4y2 ,

wartosa.

ujemne migdzy mini i wartosu.

dodathie w posostatyurpunktach .

Powyzhypmykiadpokazuje.zemiesgwystarcsajqcemetodyjeo1nowymiarowe-bao1aniefuukyiobujtymoloprros1ycnmozedauaifoAynewyniki.37Podo6miejeo1nokjakWpmypadkujednowyuiarowympmyo1atnebgdzieNo2wimigcietypuwsonuTaylove.S2c2agoluiecsg8totony8taibgdziemy2No2wimigaiedomgohe2.TwlERD2ENlEfr20RTAYLORAffiX0U-Yvoznic2kowolnek-1rasymeUypochodmefKistmiejewxoEU.WyrrazenieCKfKtH-fkdhz1f.YxDCn.hh.i-1fTx.Kh.ihKiYfxoihkjestneszt.mgduk.t2nMgfxyYT@DOWiDiIndukgiewzglgdemk.D

he 1<=1 varunek

flxoth) - f ( x. ) - f (xo)'h jest resztg ngdu 1 jest warunkiemvozniczkowalewscif w xo , Khiry jest speiniony me mocysaiozenie

Laktadamy ,Ze tw . saclwoki old m - L

, dowodzimy ,ze sddrodzi the

mfk : Dla ustalonago xoem defining any y: XOO - Y gdsie

Ojestotoczeuieue Je X

y(u)=f( xoth ) - f ( xo ) - f '(xDh - i. .- mk,fk}xD(h , ... ,h )

y vizhiczkujemy wsglgdem h . Mozme to erotic, gdyz f jest

vozhicskowalne 2 satozeuie a poclrodne sq wielolinioue

2e wwfgdu me h wigc takze vdzhicskowalne.

fish.

Q :EixnX Yjest odwsorooaniemtliniowym ciggfm to

e

Q jest ndznicskowalne w kazdym punkie 38

Qfztshz , . . .

, hit She ) =Q(hz , . .

,he )+Q( Shih , , ...

,he )+Q( has .SK ,

... he )t

t.it Q( hz , ... ,has ,She ) + v(hic

(wynaay sawierojqce pmyuajmnig

.

2 noisy8h

Poduodme Q'

jest odwsorowauiem

Xx÷x⇒( Shs , ... ,She ) - €xQ( has , ...

Shi .... he ) e W

Join.

Q jest symehycane to Jpnyjmmjeposada ¥yQ(Shi ,hz¥, he)

fish.

powaovio he he . .=he=h , 8ns . . . .

- Shish

= l .Q( 8h, h

...

h )

y(n)=f( xoth ) - f ( xo ) - f '(xDh - i. .- mk,fk}xD(h , ... ,h )

h M bi'

byykn) = fllxoth) - fllxo ) - f

"

HDCN - :-# ,.fm#C,h.....h )

A

BE ,'D y

'

:X 00 - BCX, 'D takze jest ndznicskowoene i

y "H=f" ( xoth) - fiat ;) - . :-# ,f'Yx . )f ,. ,n÷n)

m - 2

Poniewaz f jest m. noisy miznicskowalne w xo to y'jest m - I

naaynozniczkowalne w h=0. Komystajgc 2 saiozenie indnkyj .

negro pinemy- o =o

pntm.,HdH - Hot - tell 't )n - :-# ,,lyY Yo)( n

,.,n)H to

i

11 dull 39#t 60

"

IiiI-ninhEIetaepMntmganefttnHyooneYiiiihI11fltt411ftp.ssuPnnpsfsuplltlHH_ogttJ91E11th11Pt@ttJonLDlajcdnejsmiennejmielismynjznewsonymenesztg.wszuego.l

.

moscipmysouozeniuistnieuieKolcjnejpoarodug.RfxoihIYugghhtlfHtlhgjgeJxo.xothLDldwieluseuiennychmomysauuiesttegoossawwauieTwleRD2ENlECNierownosdTayloreffiXsU-YvdznicsKowalnekKrothieovazwe2biomefxeXix-xottnstEJQ1iLlgistniq.epochodmemgobekt1wteolyvente2ewsovuTaylorespetuiemierownosi1irxCxo.nHf@tgllnnktsxygnllIMYxotthl1MajgcdodyspozygiwzirTyhonemozemyzastanowiisigmaolwarunKamiistnieuieekshremum.tDWarunektoniec2nyNiechxobgolzieeKshremumfenkyifiX0U-HRWtaKimpmypadkudhedowolnegofriesbytduzegojhfenk4.oy.q

{ [ at _>f( xotth )

me ekshemum W 0 ( widzielismyjuz , ze twierdzenie odwrotne nie

jest prawdziwe ) . fes.li satemistm .gg pochodne tierunkowe Tfflxo )

to mmhg one bye'

miwne zero .

Mozemysatem sfonmuiowai

uastepujgcyfakt 40FAKT : fesili Xo jest ekshremum fonaz f just stabo ndznicskowalne

W xo to DfHD=O .

Manny oigcwarunek Koniecsnydle funkyi w jakim's seusie

ndzninkowaluych.Wowunek dottatekny wyuwugd uzycie wsoru Taylors :

TWIERDZENIE : fi XoU IR jest K . krolnie ndznicokowaleue W xo

oral flm ' (Xo )=O dhe mck, fl " ( xo ) to

a)fes.li w ×o f me

maximum ( minimum ) to K jest panyste oraz owe dowolnegoh flk ' ( h

, ... ,h ) f0 ( f ' " ( xo) ( h , ... in ) ZO ) .:isli due peonage >0 f WHO)(h , ... ink - E ( fkyxokn . . h ) ) " )dle dowoluego h : 11h 11=1 to f me wxo maksimum

( minimum )DOWJD 9h

G) Roawazmy t - > f ( xotth ) jest to funky .e mecsywitte ,

jeong 2mi ennej , niznicskowalne K vazy : g '(t)=f' ( xotth )h

ojnk )=f" ( xotth ) ( h ,h ) itol Skoro f w xo pochodne zero we

do ngdn K . 1 b gnk'

( 01=0 owe mck.

skin flkyxo ) ¥0

to dhe pewngoh gnk' ( 01=10 . gn ma ekswemum v

aeke ,satem sgodnie a odpowiednim hoierokeniem K Muni

by.c pabystei nosownego suaknow Noobaju ekswemum.

Powwow

gkn)(o)= fkyxokhi . .in )

Wgtpliwosa.

mozebudziijedyniefakt anyto ze fklxo) to list

nowhoanacsne2 faktem ,

ze dle peonego h flk ) ( h , ... h ) to .

Okazuje his ,Ze jest to agolud wtasnosc '

odwzarowan'

Kliniowychsymetnycsnych. 41Jeili Q jest K . liniowe symehyczne to Q jest jednoznacsniewyanacsone me weklovau posted ( Jw . :o)

Istotnie : Dbe dwwciniowycn jest bowobo tatwo :

f forma kwowlratowa

Q :VxV w q : V - W q(v)=Q( o.O )

q(otH=Q( the'

,o+o' ) - Qtr ,o+i)+Q(o '

,o+v'

) -

QHOHQHN ' )+Q(&v)+Q(d,O

'

)W her -

qcv ) 94 ' '

qH+o' )=2Q( ON

'

)+q(o)+qH '

)

QHN' )=£(q(t+o ' ) - qlv ) - qco 't)t formed polowysucyjne

Dle K >2 wary sg bardziq.

paskudne ,ale istniejq .

(2) 2e wsoru Taylors manyfcxoth) - fko ) -

Ty FHKDK ,. ,

Hakko,h)

2 saiozeuie f& ) (xo) ( h,

... ,h ) ( - E ( ) E) one 11h 11=1,

ffxoth) - f(xo)=µtf' "Cxokn ,...,h ) tnklx . ,k)= 42

.

= talk "kf'" Hollier .in#+nkcxoI -

< 0

ninny ktf' "Eh# , .it#+.iYnxgI ) >o

c- e ( se ) T 9the odpowieolniomaiego 11h11

|mglxp#s|< 42k !

satem hiezmienie 2nd Ku

wyrrazeue

a