Wykªady z Zastosowa« matematyki w modelowaniu, cz¦±¢ 3 ... · Widząc to fryzjer pochyla się...

Wykłady zZastosowańmatematykiw modelo-waniu,część 3.Teoria gier.

Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne

Grymieszane iwieloetapo-we

Gryjednoczesneostrategiachciągłych

Wykłady z Zastosowań matematyki w modelowaniu, część 3.Teoria gier.

Maciej Malaczewski

16 grudnia 2014

1 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Teoria gier

Teoria gier - dział matematyki stosowanej zajmujący się badaniemoptymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów.

Stanowi wsparcie dla podejmowania decyzji, także gospodarczych.

Rozważane są sytuacje konfliktowe, kooperacyjne, jak też i współzależne.

Strony nazywane są ”graczami”, mają oni do dyspozycji pewne możliweruchy, zwane ”strategiami”

”Często się uważa, że teoria gier jest częścią ekonomii. Ja bym powiedziałna odwrót. Ekonomia jest częścią teorii gier. Inną jej częścią są stosunkimiędzynarodowe, psychologia, socjologia, biologia, nauki polityczne.” -Robert Aumann, zdobywca Nagrody Nobla 2005.

Trzykrotnie przyznawano Nagrodę Nobla za Teorię gier: 1994 (ReinhardSelten, John Nash, John Harsanyi), 2005 (Robert Aumann, ThomasSchelling), 2012 (Alvin Roth, Lloyd Shapley).

2 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie...

Anegdotka - najgłupsze dziecko na świecie.

Rzecz dzieje się u fryzjera. Do salonu wchodzi mały, około siedmioletnichłopczyk. Widząc to fryzjer pochyla się do właśnie strzyżonego, nowegoklienta, i szepcze: -Nie wiem czy wiesz, ale to najgłupszy dzieciak naświecie. Zaraz Ci to udowodnię. Fryzjer podchodzi do chłopczyka,wyciąga przed nim dwie dłonie: na jednej z nich znajduje się 10 dolarów,na drugiej tylko ćwierć dolara, i mówi: -Wybierz jedną z nich. Po czymdziecko wybiera ćwierć dolara i wychodzi ze sklepu. Fryzjer kręcąc głowąwraca do klienta i mówi: -Naprawdę, to najgłupsze dziecko na świecie.

Zdziwiony klient przyznaje fryzjerowi rację. Jednak tuż po wyjściu zsalonu spotyka na ulicy chłopca, bohatera całej historii, który lizałkupionego za ćwierć dolara loda. Zżerany ciekawością podchodzi do niegoi zagaduje: -Chłopcze, pozwól że zadam Ci pytanie. Dlaczego wybrałeśćwierć dolara zamiast 10? A na to chłopiec, ciągle liżąc loda, odpowiada:

-Bo jeżeli wybiorę 10 dolarów, gra się zakończy.

3 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie...





4 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie...





5 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie... cd

Przebita opona

1. Rozwiąż równanie: (10 pkt) 2x = 10

2. Która opona wam się przebiła? (90 pkt)

Malcolm

Friends

6 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie... cd

Przebita opona



Malcolm

Friends

7 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie... cd

Przebita opona



Malcolm

Friends

8 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Samo życie... cd

Przebita opona



Malcolm

Friends

9 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Gry sekwencyjneGry sekwencyjne to gry, w których gracze wykonują swoje ruchy jeden podrugim - najpierw pierwszy, poten drugi, biorąc pod uwagę ruchpierwszego, potem pierwszy, biorąc pod uwagę ruch drugiego itd. Np.Szachy.Najczęściej rozważa się je za pomocą drzewa decyzyjnego i rozwiązuje jeod końca.Pierwszy przykład będzie abstrakcyjny:Mamy trzech graczy: Kasię (K), Jolę (J) i Martę (M). K może powiedzieć„idź albo „stop. Jeżeli powie „idź, to wtedy ruch należy do J. J możezagrać „ jeden, „dwa lub „trzy. Jeżeli J zagra „ jeden, to gra się kończy iwypłaty dla graczy wynoszą 5 dla K, -1 dla J i 0 dla M. Jeżeli J zagra„dwa, to ruch należy do M. M może zagrać „góra albo „dół. Gdy Mzagra „góra, to gra się kończy z wypłatami dla każdego gracza równymiodpowiednio 2, 2, 2. Gdy M zagra „dół, to gra też się kończy i wypłatygraczy wynoszą odpowiednio 4, 3, -4. Jeżeli J zaś powie „trzy, to gra siękończy i wypłaty graczy wynoszą odpowiednio -2, 1, 6. Jeżeli K powienatomiast „stop, to ruch ma znów gracz J, który może teraz zagrać„prawo lub „lewo. Gdy zagra „prawo gra kończy się z wypłatamiodpowiednio równymi 4, 2, 5. Gdy J zagra „lewo, kolejka przechodzi naM, który może powiedzieć „tak lub „nie. Gdy powie „tak, gra kończy sięz wypłatami -1, 3, -3, zaś gdy powie „nie gra kończy się z wypłatami 4,-2, 5. 10 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



11 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



12 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład

Przykład bardziej ekonomiczny:

Mamy dwie firmy produkujące dywany: ”Aladyn” oraz ”Lwia grzywa”.Obie firmy konkurują na rynku dywanów w Łodzi. Każda z nich ma dwiemożliwości - ustalić cenę wysoką lub niską. Jeśli obie ustalą wysoką -popyt będzie jednakowy i obie firmy zarobią tyle samo. Jeśli jedna firmaustali cenę wysoką a druga niską - ta która ustali niską zgarniepraktycznie cały popyt z rynku i pozostawi drugą prawie bez klientów.Jeśli obie obniżą cenę - to popyt znów rozłoży się po równo, ale przyniższej cenie zarobią mniej niż dotychczas. Firma ”Aladyn” podejmujedecyzje jako pierwsza. Jak obie firmy postąpią?

13 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



14 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



15 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład

Przykład bardziej ekonomiczny:

I znów mamy dwie firmy produkujące dywany: ”Aladyn” oraz ”Lwiagrzywa”. Obie firmy konkurują na rynku dywanów w Łodzi tak samo, jakwcześniej, i tak samo każda z nich ma dwie możliwości - ustalić cenęwysoką lub niską. Tym razem jednak firma Aladyn wpisuje na ulotce”gwarancję najniższej ceny” (”jeśli kupisz gdzieś taniej - zwrócimy Ciróżnicę!”). Jak tym razem wygląda sytuacja?

16 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



17 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



18 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład polityczny

Przykład polityczny, czy raczej polityczno-militarny:

Putin zamierza wkroczyć do Ukrainy, NATO grozi, że wyśle swoje wojskaby obronić suwerenność tej republiki. Jak będzie wyglądała sytuacja, jeśliPutin rusza się pierwszy? A jak jeśli NATO rusza się pierwsze?

Są cztery możliwe sytuacje: a) Putin wejdzie, NATO wyśle wojska, będziewojna, b) Putin wejdzie, NATO nie wyśle wojsk, Ukraina dla Putina,wojny nie będzie, c) Putin nie wejdzie, NATO wyśle wojska, Ukrainawolna, wojny nie ma, d) Putin nie wejdzie, NATO nie wyśle wojsk,Ukraina wolna, wojny nie ma.

Preferencje Putina: najbardziej interesuje go b), potem a), potem d),najmniej będzie zadowolony z c).

Preferencje NATO: najlepszy scenariusz to scenariusz d), potem c),potem b), najgorzej, gdyby było a).

Zauważmy, że preferencje nie są dokładnie odwrotne (!).

Sytuacja nr 1: Putin wykonuje ruch jako pierwszy.

19 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



20 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



21 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




Innymi słowy, co by Putin nie zrobił, to NATO nie kiwnie palcem.

Sytuacja nr 2: NATO wykonuje ruch jako pierwsze.

22 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



23 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



24 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




I znów: Putin wejdzie, a NATO nie.

W tym przypadku jest to niezależne od tego, kto wykonuje ruch jakopierwszy.

Dlaczego tak się dzieje? Preferencje.

Putin preferuje zdobycie Ukrainy, a NATO preferuje święty spokój.

(Mało kto wie, że w trakcie kryzysu kubańskiego i po nim specjaliści odteorii gier doradzali Kennedy’emu i Johnsonowi co zrobić).

Jak by sytuacja wyglądała, gdyby firma ”Lwia Grzywa” ruszała się jakopierwsza?

Czy prawdą jest, że ten kto się rusza jako pierwszy ma przewagę?

25 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Problem partycypacji

Naokoło ronda mieszkają trzy panie: Emila, Nina i Teresa. Na rondzie jestkawałek klombu, na którym nie ma nic, a mogłaby być trawa lub kwiaty.Żeby tak się stało co najmniej dwie panie muszą zdecydować się i wziąćudział w pracach na klombie. Pani Emila decyduje jako pierwsza, potempani Nina, a na końcu pani Teresa.

Czy na klombie będą kwiatki?

Kto będzie najbardziej zadowolony?

Preferencje każdej z Pań: a) nie bierz udziału, dwie pozostałe biorąudział, są kwiaty b) weź udział, jedna lub dwie pozostałe biorą udział, sąkwiaty c) nie bierz udziału, tylko jedna lub nikt bierze udział, nie makwiatów d) weź udział, żadna z pozostałych nie bierze udziału, nie makwiatów.

26 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



27 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



28 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Problem partycypacji

Tym razem bycie pierwszym przynosi zyski.

Podobny problem jest zawsze, gdy sama obecność jest ważna dla rozwojusytuacji.

Np. przy zakładaniu grup społecznych i obywatelskich, na demonstracjachitp.

29 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Problem podziału

6 piratów zdobyło w grabieżczych wyprawach 100 złotych monet. Terazchcą je podzielić między siebie. Zasady podziału są następujące. Podziałproponuje pirat najstarszy wiekiem. Jeżeli co najmniej połowa wszystkichpiratów zaakceptuje podział - dochodzi do podziału. Jeśli nie -niezadowoleni piraci zabijają najstarszego pirata i kontynuują podział,tym razem dzieli drugi w kolejce pirat itd. aż do udanego podziału.

Jaki podział zaproponuje najstarszy pirat?

Ile monet otrzyma każdy z piratów?

Uwaga - piraci są chciwi, racjonalni i nie znają litości.

30 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



31 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



32 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



33 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



34 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



35 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Problem podziału

Jak widać podział będzie baaardzo nierównomierny.

Analogiczna sytuacja może nastąpić w przypadku podziału każdegozasobu.

(Wstawka psychologiczna - spójrzcie na Waszego kolegę/koleżankę zławki. Macie 100 zł do podziału między Was? Jak podzielicie? Dlaczego?Czy teoria gier tu działa, czy nie?)

36 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Gry jednoczesne

Gry jednoczesne to gry, w których gracze wykonują ruchy w tej samejchwili albo przynajmniej nie znają swoich wzajemnych decyzji domomentu podjęcia swojej.

Takie gry rozwiązuje się najczęściej macierzowo (jeśli ilość możliwychruchów przeciwnika jest skończona) albo za pomocą analizy funkcji reakcji(jeśli przeciwnik może podjąć nieskończenie wiele różnych wyborów).

Klasycznym przykładem i bardzo ważnym w teorii i praktyce teorii gierjest tzw. Dylemat więźnia.

Dwóch podejrzanych zostało zatrzymanych przez policję. Policja, niemając wystarczających dowodów do postawienia zarzutów, rozdzielawięźniów i przedstawia każdemu z nich tę samą ofertę: jeśli będziezeznawać przeciwko drugiemu, a drugi będzie milczeć, to zeznającywyjdzie na wolność, a milczący dostanie dziesięcioletni wyrok. Jeśli obajbędą milczeć, obaj odsiedzą 6 miesięcy za inne przewinienia. Jeśli obajbędą zeznawać, obaj dostaną pięcioletnie wyroki. Każdy z nich musipodjąć decyzję niezależnie i żaden nie dowie się czy drugi milczy czyzeznaje, aż do momentu wydania wyroku. Jak powinni postąpić?

37 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Dylemat więźnia

Obaj gracze (więźniowie) podejmują decyzję niezależnie od siebie, bezwiedzy o tym, co zrobił drugi z nich.

Technicznie rzecz biorąc, niekoniecznie „równocześnie, ale równoważnie z„równoczesnością.

Każdy z nich ma dwie możliwe decyzje do podjęcia - obciążyć kolegę lubmilczeć.

Znane są dla obu ich potencjalne zyski i straty w każdym przypadku.

Jak rozwiązujemy? Macierz wypłat.

38 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



39 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



40 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Dylemat więźniaZauważmy, że cokolwiek by więzień 2 nie zrobił, dla więźnia 1 zawszenajlepiej jest zeznawać (0 > −0, 5; −5 > −10). Jego wybór jest zatemoczywisty.O takich możliwościach mówimy, że są to strategie dominujące, zawsze jewybierzemy.O tych, które są zawsze gorsze (jak na przykład o tym, by „milczeć)powiemy, że są to strategie zdominowane.Ustalony punkt równowagi to tzw. Równowaga Nasha.Równowaga Nasha (ang. Nash equilibrium) jest to profil strategii teoriigier (takie rozwiązanie), w którym strategia każdego z graczy jestoptymalna, przyjmując wybór jego przeciwników za ustalony. Wrównowadze żaden z graczy nie ma powodów jednostronnie odstępowaćod strategii równowagi. W tym sensie równowaga jest stabilna.Żaden z graczy jednostronnie nie jest w stanie podnieść swojej wypłaty.Należy zatem szukać najlepszych odpowiedzi każdego z graczy na ruchyprzeciwników i znaleźć taką opcję, którą wybierają obie strony.Jak widać, równowaga Nasha nie musi dawać ”najlepszego rozwiązaniałącznego dla obu stron”. Tak samo - czasem może jej nie być, czasemmoże ich być kilka.Dilbert?Golden balls?

41 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



42 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Gra w cykora

Mamy dwóch graczy: Shreka i Księcia z Bajki. Rywalizowali oni międzysobą o względy pięknej księżniczki Fiony. Mając dość czekania na decyzjęFiony dotyczącą wyboru przyszłego męża postanowili wziąć sprawy wswoje ręce i umówili się na rozstrzygającą konfrontację.

Zasady były proste. Obaj mieli wsiąść do samochodu i z dużą prędkościąjechać naprzeciw siebie. Ten z nich, który pierwszy zjedzie z trasy jest„tchórzem i przegrywa pojedynek o piękną Fionę (wypłata: -1), druginatomiast zwycięża rywalizację (wypłata: 1). Gdy natomiast oboje skręcąz obranej trasy, to potyczkę o Fionę należy uznać za nierozwiązaną, codaje równe wypłaty graczom w wysokości 0. Jeżeli zaś ani Shrek aniKsiążę z Bajki nie zdecyduje się skręcić pojedynek zakończy się tragiczniedojdzie bowiem do zderzenia samochodów, co przyniesie wypłaty obugraczom w wysokości -2.

43 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



44 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



45 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Gra w cykora

Jak widać, mamy nie jedną, ale dwie równowagi Nasha.

Na dodatek nie jesteśmy w stanie powiedzieć, która się zrealizuje.

Każdy z graczy preferuje tą równowagę, która gwarantuje mu zwycięstwo.

Stąd rozwiązaniem jest zapewnienie sobie takiej sytuacji, w której wiemyna pewno, że druga równowaga się nie ziści.

G. Chicken game.

46 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Klasyczny problem studenta....

Mamy dwóch graczy: Kamila i jego nauczyciela algebry liniowej. Kamilwie, że na każdych, cotygodniowych zajęciach, nauczyciel wywołuje doodpowiedzi dwie osoby z 30-osobowej grupy, wybierając je w sposóbcałkowicie losowy. W związku z tym, przed zajęciami Kamil możenauczyć się wymaganej partii materiału bądź też tego nie zrobić. Gdytego nie zrobi, to też ma dwie możliwości: może zgłosić nieprzygotowaniedo zajęć, które gwarantuje mu, że gdy zostanie wybrany do odpowiedzi,to nie będzie musiał odpowiadać, albo nie zgłosić nieprzygotowania,licząc na łut szczęścia, czyli że nauczyciel nie wybierze go do odpowiedzi.Nauczycielowi zależy na tym, aby mobilizować swoich uczniów dosystematycznej nauki i jak najskuteczniej weryfikować ich przygotowaniedo zajęć. Na zajęciach ma zatem dwie możliwości: wywołać Kamila doodpowiedzi, albo tego nie zrobić.

47 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



48 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



49 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



WłamywaczPrzestępca od dawna obserwował pewien dom notował zwyczajedomowników, podsłuchiwał ich rozmowy telefoniczne i przechwytywałkorespondencję w celu wyboru najlepszego wieczoru na włamanie. Dziękitemu udało mu się ustalić, że w weekend majowy cała rodzina wyjeżdżana spływ kajakowy na Litwę. Zaplanował zatem włamanie na sobotniwieczór. Pech chciał, że w dniu wyjazdu jeden z synów, 22-letniKrzysztof, dostał ataku migreny połączonej z silnym światłowstrętem.Ponieważ jednak cały wyjazd został opłacony, namówił resztę rodziny doudania się na wycieczkę na Litwę. Sam został w domu, gdzie położył sięw swoim pokoju, zażył przepisane mu proszki i przy zasłoniętychzasłonach i całkowicie zgaszonym świetle próbował zasnąć. W środkunocy obudził go pewien hałas dobiegający z kuchni. Półprzytomny wstał ispostrzegł, że w kuchni znajduje się włamywacz! W tej sytuacjiwłamywacz ma dwie możliwości, albo zaniechać włamania i uciec(zaprzepaszczając tym samym kilkutygodniowe działania) albo spróbowaćogłuszyć domownika, ryzykując tym samym zdemaskowanie lub utratęwłasnego życia. Domownik natomiast stoi przed podobnym dylematemmoże albo bronić swojego domu i próbować walczyć z włamywaczem(ryzykując przy tym swoje życie, pamiętać należy dodatkowo iż jestosłabiony po ataku migreny) albo może uciec z domu i szukać pomocy usąsiadów (niestety najbliższy dom oddalony jest o 5 km.).

50 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



51 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



52 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład ekonomiczny

Na rynku napojów energetycznych funkcjonują dwa konkurująceprzedsiębiorstwa: „This is Sparta! oraz „Elektrowstrząsy. Konkurować zesobą mogą jedynie cenowo. Na swoje napoje energetyzujące mogą ustalićcenę 3 lub 5 zł za puszkę. Jeżeli obie firmy ustalą cenę 3 zł za jednąpuszkę, to wypracują zyski w wysokości 30 tys. zł, jeżeli natomiast obieustalą cenę w wysokości 5 zł za puszkę, to zyski wyniosą 40 tys. zł. Jeżelinatomiast ustalą różne ceny i jedna z firm będzie sprzedawać napoje wcenie 3 zł za puszkę, a druga - po 5 zł. za puszkę, to w rezultacie tapierwsza zarobi 60 tys. zł., a druga tylko 10 tys. zł. Analogicznieodwrotnie. Oczywiście obie firmy dążą do tego, by osiągnąć jak najwyższezyski. Decyzje dotyczącą ceny podejmują jednocześnie. Jaką cenępowinny wybrać? 3 czy 5 zł za puszkę? Dlaczego?

53 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



54 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



55 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Gry mieszane i wieloetapowe

Zdarza się, że rozważamy sytuację, w której gra składa się kilku części.

Każda z tych części może być pewną grą sekwencyjną lub jednoczesną wdowolnej kombinacji.

Wówczas, jak to zwykle w tego typu sytuacjach, rozwiązujemy odostatniego etapu.

56 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - decyzje inwestycyjne

Na rynku działają dwie firmy Midas i Żyła Złota. Mogą one zainwestować10 mld zł w najnowocześniejszą technologię sieci światłowodowych, niewiedząc jaką decyzję podjęło konkurencyjne przedsiębiorstwo. Jeżeli tylkojedna firma zainwestuje swoje środki, to będzie mogła ustalić wysokącenę na świadczone za pomocą technologii usługi, która przyciągnie 60mln klientów i przyniesie zysk w wysokości 400 zł za użytkownika, bądźteż niską cenę, która zachęci większą liczbę klientów 80 mln i przyniesiezysk w wysokości 200 zł od użytkownika. Jeżeli natomiast obie firmyzdecydują się zainwestować w światłowody, to przechodzą do następnegoetapu gry, w którym znów podejmują decyzję jednocześnie i niezależnieod siebie. W tym etapie firmy równocześnie ustalają cenę swoich usług,mając do wyboru cenę wysoką lub niską. Jeżeli obie zdecydują się na takąsamą cenę, to podzielą rynek po połowie. Jeżeli natomiast ustalą różneceny, to firma z niższą ceną przechwyci 80 mln użytkowników.

Czy firma Midas powinna zainwestować w światłowody?

A Żyła Złota?

Jaką cenę powinny ustalić przedsiębiorstwa?

57 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - etap drugi

58 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - etap drugi

59 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - etap pierwszy

60 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - etap pierwszy

61 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - decyzje inwestycyjne

Zmodyfikujmy teraz nieco naszą grę z poprzedniego przykładu. Zasady sąidentyczne, z tą jednak różnicą, że Żyła Złota podjęła już decyzję odokonaniu inwestycji jako pierwsza i wpłaciła już niezbędne środki. Terazruch należy do Midasa. Czy na miejscu Midasa zainwestowałbyś wświatłowody czy zrezygnował z projektu? Dlaczego?

Jaką cenę powinny ustalić przedsiębiorstwa?

62 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - ruch Midasa

63 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




64 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




65 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




66 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - Bank Centralny kontra PolitykaFiskalna

Rozważmy pewną grę pomiędzy bankiem centralnym (FED) aparlamentem (Kongres) Stanów Zjednoczonych. FED może ustalićwysoką lub niską stopę procentową. W tym samym czasie, niezależnie odFED, Kongres decyduje o budżecie państwa albo zbilansowanym, albo zprzewidywanym deficytem. Jeżeli Kongres uchwali zbilansowany budżet, aFED zdecyduje się na niską stopę procentową, to wypłaty graczy wyniosąodpowiednio 3 i 4, natomiast gdy Kongres zdecyduje się na zbilansowanybudżet, a FED na wysoką stopę procentową, to gra zakończy sięwynikiem równym odpowiednio 1 i 3. W sytuacji gdy Kongres uchwalibudżet, w którym wydatki przewyższają dochody, a FED zdecyduje się naniską stopę procentową, to gracze otrzymają wypłaty równe odpowiednio4 i 1. W ostatniej z możliwych kombinacji Kongres i FED zakończę grę zwypłatami na poziomie 2 i 2.

Rozważmy co się dzieje, gdy jest to gra jednoczesna, a co gdysekwencyjna w zależności od tego kto rusza się pierwszy.

67 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Wersja jednoczesna

68 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Wersja jednoczesna

69 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Wersja sekwencyjna - FED jako pierwszy

70 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Wersja sekwencyjna - Kongres jako pierwszy

71 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Gry jednoczesne o strategiach ciągłych

W sytuacji, gdy gracze mają do wyboru jedną z nieskończenie wielustrategii (np. dokładny poziom cen) rozważamy gry jednoczesne ostrategiach ciągłych.

Rozważa się to jako zagadnienia dwukryterialne (a przynajmniej tylukryterialne, ilu jest graczy).

Rozwiązuje się zadania optymalizacyjne dla każdego z gracza przyjmujączachowania pozostałych graczy jako dane.

w ten sposób otrzymuje się tzw. funkcje reakcji, czyli funkcje opisującenajlepszewarunkowe zachowania poszczególnych graczy pod warunkiemzachowań pozostałych graczy.

Rozwiązanie powstałego w ten sposób układu (najczęściej) nieliniowychrównań (jeśli istnieje) to równowaga Nasha (zgodnie z definicją!).

72 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład

W Pcimiu Małym działają dwie konkurujące ze sobą cenowo restauracjeZadowolony Brzuszek (Z) oraz Niebo w Gębie (N). Obie serwują daniakuchni włoskiej. Koszt przygotowania posiłku przypadający na jednegoklienta w obu restauracjach wynosi 8 jp.

Funkcje popytu na posiłki każdej z restauracji dane są wzorami:

QZ = 44− 2pZ + pN

QN = 44− 2pN + pZ

gdzie Q jest ilością posiłków serwowanych przez restauracje, p cenaposiłku w restauracji.

Jaką cenę posiłków powinna ustalić restauracja Zadowolony Brzuszek? ANiebo w Gębie? Zakładamy przy tym, że obie restauracje ustalają cenęjednocześnie, niezależnie od siebie (np. oddają menu do wydrukowaniamniej więcej w tym samym czasie).

73 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Przykład - rozwiązanie

Zacznijmy od skonstruowania zadania. Każda z restauracji maksymalizujeswój zysk dany wzorami:

ΠZ = pZ · QZ − 8QZ = QZ (pZ − 8)

ΠN = pN · QN − 8QN = QN(pN − 8)

Wstawiamy do tych wzorów funkcje popytu:

ΠZ = (44− 2pZ + pN)(pZ − 8)

ΠN = (44− 2pN + pZ )(pN − 8)

Czynnikiem, na który każda restauracja ma wpływ, jest jej własna cena -druga jest przyjęta jako dana. Za każdym razem jest to zatemposzukiwanie maksimum funkcji jednej zmiennej.

74 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




Liczymy zatem pochodne względem poszczególnych cen i przyrównujemyje do zera::

−4pZ + 60 + pN = 0⇒ pZ = 15 +14pN

−4pN + 60 + pZ = 0⇒ pN = 15 +14pZ

Powyższe wzory określają funkcje reakcji restauracji - wskazują jaką cenępowinna dana restauracja ustalić, jeśli jej konkurent ustali taką.

Jakie jest zatem rozwiązanie/równowaga Nasha? Rozwiążmy układrównań składający się z tych dwóch równań:

pZ = 20

pN = 20

75 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



76 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne




pZ = 15 +14pN

pN = 15 +14pZ

Jeżeli np. ”Niebo w Gębie” ustaliłoby cenę na poziomie 40 jp., to”Zadowolony Brzuszek” ustaliłby cenę na poziomiepZ = 15 + 1

4 · 40 = 25. Wówczas ”ZB” uzyskałby maksymalny zysk. Noale ”NG”, maksymalizując zysk, powinno ustalić wówczas cenę napoziomie pN = 15 + 1

4 · 25 = 21, 25. Wówczas ”ZB” powinno ustalić cenęna poziomie.. itd.

Oczywiście oznaczałoby to dostosowania na poziomie gry sekwencyjnej.

Zauważmy, że rozwiązanie zbiega do poziomu równowagi Nasha.

77 / 78


Maciej Ma-laczewski

Teoria gier

Grysekwencyjne

Gryjednoczesne



Dziękuję bardzo za uwagę

Maciej Malaczewskie-mail: [email protected]

78 / 78

Wykªady z Zastosowa« matematyki w modelowaniu, cz¦±¢ 3 ... · Widząc to fryzjer pochyla się...

Documents

Transcript of Wykªady z Zastosowa« matematyki w modelowaniu, cz¦±¢ 3 ... · Widząc to fryzjer pochyla się...