W S E i Z W WARSZAWIE

WYDZIAŁ ………………

LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 5

Temat: POMIAR DŁUGOŚCI FALI I SZEROKOŚCI SZCZELINY

PODSTAWIE ZJAWISKA DYFRAKCJI

Warszawa 2009

2

POMIAR SZEROKOŚCI SZCZELINY NA PODSTAWIE ZJAWISKA DYFRAKCJI

ŚWIATŁA

1. Podstawy fizyczne. W opisie zjawisk interferencji i dyfrakcji, światło traktujemy jako rozchodzącą się falę

elektromagnetyczną opisywaną jako periodyczne zmiany w przestrzeni i w czasie wektorów natężenia pola elektrycznego E i natężenia pola magnetycznego H. Najprostszym przykładem fali elektromagnetycznej jest fala harmoniczna i płaska. Jeżeli kierunek rozchodzenia się fali utożsamimy z osią x to wektor natężenia pola elektrycznego drga prostopadle do osi x (np. w szczególnym przypadku wzdłuż osi y). Natężenie pola elektrycznego takiej fali opisuje wzór

)sin(),( 0 kxtEtxE (1) gdzie: 0E – amplituda natężenia pola elektrycznego fali, argument funkcji sinus

kxt (2) nazywamy fazą fali, – częstość kołowa, k – liczba falowa związana z długością fali zależnością: /2k . Ze wzoru (1) widzimy, że zmiany wektora natężenia pola elektrycznego takiej fali zachodzą tylko wzdłuż osi x natomiast ma on jednakową wartość (w danej chwili czasu) w płaszczyźnie yz tj. w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną), zmienia się tylko wzdłuż osi X a jest stały w płaszczyznach YZ. Każda taka płaszczyzna, będzie powierzchnią o stałej wartości fazy . Powierzchnię o stałej fazie nazywamy powierzchnią falową lub czołem fali. Falę, której powierzchnia falowa jest płaszczyzną nazywamy falą płaską. Tak więc równanie (1) opisuje falę płaską rozchodzącą się wzdłuż osi X. Posługując się pojęciem fali płaskiej, musimy zdawać sobie sprawę, że jest to zawsze pewne przybliżenie, ponieważ większość rzeczywistych źródeł wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach. Najprostszym opisem tego typu fal są fale kuliste, których powierzchnie falowe są koncentrycznymi strefami. Dlatego o fali płaskiej możemy mówić wtedy, gdy rozpatrujemy wycinek sfery o bardzo dużej odległości od źródła, bądź gdy za pomocą odpowiedniego układu optycznego zmienimy kształt czoła fali. Zasada Huygensa mówi, że wszystkie punkty czoła fal można uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię styczną do powierzchni tych fal kulistych.. Kiedy fala płaska pada na nieprzeźroczystą ekran z wąską szczeliną to czoło tej fali ulega odkształceniu, co obserwujemy jako zmianę rozkładu energii niesionej przez falę. Ma wówczas miejsce zjawisko dyfrakcji. W wyniku dyfrakcji zamiast ostrego obrazu szczeliny na ekranie obserwujemy układ interferencyjnych prążków – rozmytych obrazów szczeliny, rozdzielonych ciemnymi odstępami

3

Rys. 1. Nieprzezroczysta przesłona ze szczeliną o szerokości a. W kółku pokazano dokładniej pasek o szerokości y. . W celu dokładniejszego zaobserwowania tego zjawiska obraz dyfrakcyjny możemy zwizualizować na ekranie pomocą soczewki skupiającej. Przeanalizujemy teraz dyfrakcję fali płaskiej na szczelinie o szerokości a (rys.1). Zgodnie z zasadą Huygensa-Fresnela punkty szczeliny są wtórnymi źródłami fal, drgającymi w jednakowej fazie, ponieważ płaszczyzna szczeliny jest zgodna z płaszczyzną stałej fazy (czołem fali) padającej fali płaskiej.

Rys. 2. Graficzne dodawanie dwóch fal o amplitudach 0E i różnicy faz

Ew jest amplitudą wypadkową.

Do obliczenia rozkładu natężeń obrazu dyfrakcyjnego na ekranie zastosujemy metodę graficzną, którą zilustrujemy na przykładzie dwóch źródeł (rys.2).

Ekr

y

Fala

P

L>a

4

Natężenie pola E opisywane równaniem (1a) można przedstawić za pomocą wektora którego długość wynosi E0 a kąt , jaki tworzy on z osią poziomą będzie określał jego fazę. Ponieważ faza zmienia się w czasie, wektor ten będzie obracać się przeciwnie do wskazówek zegara. Efekt dodania dwóch fal o takiej samej amplitudzie E0 i różnicy faz ilustruje rys.2a. Z zależności geometrycznych dla trójkąta równoramiennego otrzymujemy:

2

cos2 0

EEw (3)

Maksymalne, wypadkowe natężenie promieniowania I, które jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy 2

0EI otrzymamy, gdy 1)2/cos( , czyli gdy różnica faz będzie równa

m2 ,...3,2,1,0 m (4)

Na podstawie wzoru(4) łatwo zauważyć, że zmiana fazy o 2 radianów następuje przy zmianie odległości ,czyli różnica faz m2 radianów odpowiada różnicy dróg

mx 2 (5)

Natomiast zerowe natężenie wystąpi, gdy 0)2/cos( ), czyli gdy różnica faz )12( m (6)

co zachodzi gdy różnica dróg wynosi 2/)12( mx (7)

W celu wyznaczenia rozkładu natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym podzielmy szczelinę na N pasków równoległych do krawędzi o szerokości y . Paski te są źródłem wtórnych fal Huygensa. Jeśli paski będą dostatecznie wąskie to możemy przyjąć, że odległość od ekranu wszystkich punktów na jednym pasku jest taka sama, a więc elementarne fale wypromieniowane z danego paska po dotarciu do ekranu będą miało tą samą fazę i jednakowe amplitudy. Różnicę faz fal pochodzących od sąsiednich pasków wyznaczymy na podstawie różnicy dróg z zależności:

l 2 (8)

gdzie l - różnica dróg Jak widać na podstawie rys (4), dla kierunków obserwacji wyznaczonych przez kąt , różnica faz wynosi

sin2

y (9)

Różnica faz między falami pochodzącymi od brzegów szczeliny będzie wynosić:

N = sin2

yN = sin2

a . (10)

Z równania (10) wynika, że gdy 0 to 0 , czyli na wprost szczeliny otrzymamy maksimum natężenia promieniowania. Jest to tzw. maksimum główne rzędu zerowego. Wypadkową amplitudę otrzymamy dodając wektorowo natężenia pochodzące od poszczególnych pasków. Aby otrzymać położenie I minimum podzielmy szczelinę na dwie równe części( rys 3.) Rozpatrzmy dwie fale 1 i 3 pochodzące z dolnego brzegu szczeliny i z jej środka. Fala 1 przebędzie do ekranu drogą dłuższą o sin2/a niż fala 3. Taka sama różnica dróg wystąpi między falami 2 i 4 oraz 3 i 5. Jeżeli ta różnica dróg będzie równa

5

2

sin21 a

czyli sina (11) to natężenia fal pochodzących z jednej szczeliny będą się znosić z natężeniami z drugiej połowy szczeliny a to oznacza że w obrazie dyfrakcyjnym wystąpi pierwsze minimum. Ogólny warunek na położenie kolejnych minimów ma postać:

itdmma ,2,1,0sin (12)

Rys. 3. Dyfrakcja światła na szczelinie o szerokości a. Znajdziemy teraz wyrażenie opisujące rozkład natężenia w całym obrazie dyfrakcyjnym szczeliny. Ponieważ szczelinę podzieliliśmy na N wąskich (teoretycznie nieskończenie wąskich) pasków, więc wypadkowa amplituda Ew będzie sumą wektorową N fal różniących się fazami o ΔΦ. Wektory te będą układały się na łuku, którego długość będzie równa maksymalnej amplitudzie Em=NE0 (rys.4). Kąt środkowy O, odpowiadający temu wycinkowi okręgu, jest równy różnicy faz między paskami na dwóch brzegach szczeliny. Jak widać na rys.5 wypadkowa amplituda wynosi:

2

2sin

mw EE (13)

6

sin21 aAC

Rys4. Geometryczna konstrukcja służąca do obliczenia natężeń obrazu dyfrakcyjnego szczeliny Ponieważ Φ jest różnicą faz między skrajnymi falami, dla których różnica dróg wynosi asinΦ stąd:

sinak (14)

To równanie, łącznie z równaniem (13) daje nam wartość amplitudy fali wypadkowej dla obrazu dyfrakcyjnego pojedynczej szczeliny. Natężenie promieniowania Iw jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy czyli:

2

2

2

2sin

mw II (15)

Minima dyfrakcyjne wystąpią dla kątów ugięcia, dla których argument 2 funkcji sinus we

wzorze (15) przyjmuje wartości będące całkowitymi wielokrotnościami π. tj. m2

Korzystając z zależności (14) i (15), otrzymamy warunek na występowanie minimów dyfrakcyjnych ma sin m = ±1,±2,±3,.:. który jest równoważny z warunkiem ( 12 ) otrzymanym metodą przybliżoną ( podziału szczeliny na wąskie paski).

O

R

R

2

Em

2wE

7

Rys.5 Wykres natężenia promieniowania I w funkcji kąta ugięcia Główne maksimum dyfrakcyjne o natężeniu mI występuje na wprost szczeliny, co odpowiada

kątowi ugięcia 0 . W tym przypadku korzystamy z zależności 12/

)2/sin(lim0

czyli

zgodnie ze wzorem (15) mw II . Szerokość głównego maksimum określona jest przez odległość między najbliższymi do niego sąsiednimi minimami ( minimami pierwszego rzędu).

Kolejne maksima dyfrakcyjne będą występować dla kątów ugięcia, dla których )2

sin( w

liczniku wyrażeniu (12) przyjmuje wartość równą 1, to jest dla ,...3,2,1,0)12( mm czyli \

itdmma 2,1,02

)12(sin . (16)

Natężenia kolejnych maksimów szybko maleją wraz ze wzrostem kąta ugięcia (rys.7) ze względu na rosnącą wartość mianownika we wzorze (12). Względne natężenia kolejnych maksimów wyrażone są wzorem

22 )12(4

mI

I

m (17)

Na przykład, dla pierwszego maksimum bocznego występującego przy 3 , tj. dla

23sin a mamy zgodnie ze wzorem (17), 045,0

94

2 mI

I, co stanowi mniej niż 5 Im.

Siatka dyfrakcyjna Jest to zbiór dużej liczby równoległych wąskich szczelin oddzielonych nieprzeźroczystymi przerwami. Odległość między szczelinami (ich środkami) nazywa się stałą siatki (S)

a

L

y1

y2

-y1

-y2

0

a 2sin

a 2sin

a sin

a sin

0sin

8

22sin

Lyy

Związek między stałą siatki (S), długością fali, kątem ugięcia () i rzędem widma (k)

sinSk (18) 2. Opis ćwiczenia. W części pierwszej należy wyznaczyć długość fali światła lasera mierząc odległość maksimum 1 rzędu od środka obrazu dyfrakcyjnego (y) oraz odległość siatki od ekranu (L). Mając L i y mamy (19) Dla pierwszego rzędu widma (k=1) mamy (20) Następnie wykonujemy pomiary w obrazach dyfrakcyjnych odległości kolejnych minimów dyfrakcyjnych od środka obrazu dyfrakcyjnego (ym). Układ pomiarowy składa się z siatki dyfrakcyjnej, lasera, którym oświetlamy szczelinę bądź włos Występujący we wzorach kąt ugięcia , można powiązać z wielkościami mierzonymi bezpośrednio w doświadczeniu, a więc odległością L ekranu od szczeliny i odległością my kolejnego minimum dyfrakcyjnego od środka obrazu.

Ponieważ yL , to L

ymm sin stąd wzór (9) możemy przekształcić do postaci:

mLyd m czyli

mdLym .

Wprowadzając oznaczenia mxidLa m , otrzymujemy zależność liniową

mm xay .

22 LykyS

9

Korzystając z tej zależności, możemy na podstawie zmierzonych odległości my kolejnych minimów od głównego maksimum wyznaczyć współczynnik kierunkowya i następnie szerokość szczeliny d. 3. Wykonanie ćwiczenia. 1. 1. Włączyć laser. Na drodze wiązki światła ustawić siatkę dyfrakcyjną. Na obrazie dyfrakcyjnym zmierzyć odległość (y) widma 1. rzędu od środka obrazu. Zmierzyć odległość (L) siatki od ekranu. Obliczyć ze wzoru (20) długość fali ( ). Zapytaj asystenta o wielkość stałej siatki (S). 2. W bieg wiązki laserowej wstawić przesłonę ze szczeliną (albo włos). 3 Na kartce papieru zaznaczyć kreskami położenie kilku kolejnych minimów (obustronnie) 4. Między laserem i ekranem umieścić włos i powtórzyć p.3. 5. Zmierzyć odległość L między przedmiotem i ekranem i oszacować błąd L 4.Opracowanie wyników. 1. Wyznaczyć długość fali ( ) lasera. Oszacować błąd 2. Wyznaczyć szerokość szczeliny (d) grubość włosa. W obliczeniach zastosować metodę najmniejszych kwadratów z programu ORIGIN lub MNK (WYKRESY). . 5.Pytania kontrolne. 1. Na czym polega zjawisko dyfrakcji? 2. Co tłumaczy zasada Huygensa? 3. Jak za pomocą diagramów wektorowych można wytłumaczyć rozkład natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym. 4, Wyjaśnij, dlaczego natężenie promieniowania w kolejnych maksimach dyfrakcyjnych jest coraz słabsze? 6. Literatura. 1.D.Halliday i R. Resnick, Fizyka PWN (1984r.) t.II, rozdział 45, 46. 2.J.Orear, Fizyka, PWN (1990r.) t.II, rozdział 22.