Wprowadzenie do Mechaniki Pękania - Zakład ...limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady_pekanie/Podrecznik...

POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki

JANUSZ GERMAN

WPROWADZENIE DO MECHANIKI PĘKANIA

Kraków 2018

Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 3

SPIS TREŚCI

WAŻNIEJSZE OZNACZENIA 7

OD AUTORA 11

1 WPROWADZENIE 13

2 POLE NAPRĘŻEŃ W LINIOWO SPRĘŻYSTYM OŚRODKU ZE SZCZELINĄ 23 2.1 Podstawowe równania teorii sprężystości 23 2.2 Podstawy rachunku zmiennych zespolonych 26 2.3 Funkcja naprężeń dla dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości 28 2.4 Zastosowanie funkcji naprężeń westergaarda do analizy

stanu naprężenia i przemieszczeń w pobliżu wierzchołka szczeliny 33 2.4.1 Szczelina w I typie obciążenia w paśmie nieskończonym. 33 2.4.2 Szczelina w II typie obciążenia w paśmie nieskończonym. 39 2.4.3 Szczelina w III typie obciążenia w paśmie nieskończonym. 40

2.5 Funkcje naprężeń i współczynniki intensywności naprężeń dla różnych przypadków szczelin w i typie obciążenia 41

2.6 Wpływ skończonych wymiarów ciała na wartości współczynników intensywności naprężeń 47

2.7 Wykorzystanie zasady superpozycji do wyznaczania współczynników intensywności naprężeń. 50

2.8 Szczeliny eliptyczne i kołowe 53 2.9 Przykłady 56

3 UPLASTYCZNIENIE W POBLIŻU WIERZCHOŁKA SZCZELINY 77 3.1 Sprężysto-plastyczne pole naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny 77

3.1.1 Model Irwina 78 3.1.2 Efektywny współczynnik intensywności naprężeń 81 3.1.3 Model Dugdale’a 83

4 Spis treści

3.2 Kształt stref plastycznych 87 3.2.1 Grubość ciała, a kształt strefy plastycznej 91

3.3 Przykłady 96

4 ENERGETYCZNY OPIS SZCZELINY 105 4.1 Bilans energetyczny ciała ze szczeliną 105

4.1.1 Energia dla ciała sprężysto-kruchego - teoria Griffith’a 107 4.1.2 Warunek stałych uchwytów 108 4.1.3 Warunek stałej siły 109 4.1.4 Ogólna zależność „siła-przemieszczenie” 111 4.1.5 Obciążenie krytyczne 113 4.1.6 Obciążenie krytyczne dla materiałów quasi-kruchych 115

4.2 Związek prędkości uwalniania energii ze współczynnikiem intensywności naprężeń 116

4.3 Podatność ciała ze szczeliną 120

5 SIŁOWE KRYTERIUM PĘKANIA 125 5.1 Obciążenie krytyczne 125 5.2 Zależność parametru Kc od grubości ciała 126

5.2.1 Analiza ilościowa wpływu grubości na odporność na pękanie 130 5.3 Wyznaczanie odporności na pękanie w płaskim stanie odkształcenia 136

5.3.1 Próbki testowe 137 5.3.2 Przygotowanie próbek do badań 139 5.3.3 Procedura przeprowadzenia próby 141 5.3.4 Wyznaczanie wartości K I c z wykresu P - u 141 5.3.5 Uwagi końcowe 143

5.4 Wyznaczanie odporności na pękanie w płaskim stanie naprężenia i zakresie przejściowym 145 5.4.1 Metoda Federsena 147 5.4.2 Metoda krzywych R 151

5.5 Przykłady 158

6 KRYTERIA PĘKANIA W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO- PLASTYCZNYM 161 6.1 Koncepcja całki J 161

6.1.1 Podstawy teoretyczne 161 6.1.2 Definicja całki J 163 6.1.3 Całka J dla ciała ze szczeliną 165


6.1.4 Energetyczna interpretacja całki J 166 6.1.5 Całka J jako charakterystyka pola naprężeń

w ośrodku nieliniowo sprężystym ze szczeliną 169 6.1.6 Związek całki J z rozwarciem w wierzchołku szczeliny 171 6.1.7 Całka J w warunkach stałych uchwytów i stałego obciążenia 173 6.1.8 Całka J jako miara odporności materiału na pękanie 175

6.2 Doświadczalne wyznaczanie całki J oraz JIc 178 6.2.1 Doświadczalne wyznaczanie całki J metodą wielu próbek. 178 6.2.2 Doświadczalne wyznaczanie całki J metodą jednej próbki 180 6.2.3 Metoda normowa wyznaczania całki J i JIc 184

6.3 Kryterium pękania oparte na krytycznym rozwarciu szczeliny 186 6.3.1 Podstawy teoretyczne 186 6.3.2 Teoretyczna krzywa COD 188 6.3.3 Podstawowe informacje nt. normowej próby wyznaczania

rozwarcia krytycznego 191

7 WZROST SZCZELIN ZMĘCZENIOWYCH 195 7.1 Szczelina zmęczeniowa przy obciążeniu cyklicznym

o stałej amplitudzie 197 7.1.1 Krzywa prędkości wzrostu szczeliny zmęczeniowej 199 7.1.2 Równania prędkości propagacji szczeliny zmęczeniowej 205 7.1.3 Czas życia elementu ze szczeliną zmęczeniową 210

7.2 Szczelina zmęczeniowa przy obciążeniu cyklicznym o zmiennej amplitudzie 212

7.3 Wpływ środowiska na proces pękania 216 7.4 Przykłady 219

CYTOWANE PRACE 247


WAŻNIEJSZE OZNACZENIA

A powierzchnia szczeliny B, b, W, S wymiary próbek c, c* stałe materiałowe zależne od PSN i PSO COD przemieszczenie rozwarcie szczeliny CT próbka kompaktowa (”compact tension specimen”) CTOD efektywne rozwarcie w wierzchołku szczeliny pierwotnej E moduł sprężystości (moduł Younga)

E prędkość zmian energii wewnętrznej ciała G prędkość uwalniania energii G moduł ścinania (moduł Kirchhoffa) J całka J (często określana jako „całka Rice’a”) JIc krytyczna wartość całki J KI, KII, KIII współczynniki intensywności naprężeń dla I, II i III typu szczeliny KI c odporność materiału na pękanie w warunkach płaskiego stanu

odkształcenia

K prędkość zmian energii kinetycznej ciała

IK ∗ efektywny współczynnik intensywności naprężeń w modelu Irwina

L moc obciążenia zewnętrznego L długość szczeliny fikcyjnej w modelu Dugdale’a l, a długość szczeliny lef efektywna długość szczeliny zastępczej Irwina lkr krytyczna długość szczeliny dla danego obciążenia M moment zginający mF, CF stałe w równaniu Formana mp, Cp stałe w równaniu Parisa

8 Ważniejsze oznaczenia

N liczba cykli w próbie zmęczenia Nf liczba cykli do zniszczenia elementu (“czas” życia elementu) P siła skupiona obciążająca próbkę PSN płaski stan naprężenia PSO płaski stan odkształcenia R współczynnik asymetrii cyklu zmęczeniowego Rc odporności na pękanie Re granica plastyczności rp długość strefy plastycznej w pobliżu wierzchołka szczeliny SENB próbka do trójpunktowego zginania („single edge notched bend

specimen”) T wektor sił powierzchniowych Ue energia odkształcenia sprężystego

Up praca odkształceń plastycznych

ui współrzędne wektora przemieszczenia W energia powierzchniowa WIN współczynnik intensywności naprężeń ∆σ zakres zmienności naprężenia w próbie zmęczenia δ pierwsze przybliżenie długości strefy plastycznej w modelu Irwina δc, δu, δi, δm rozwarcia szczeliny w normowej próbie wyznaczania krytycznej

wartości COD δt efektywne rozwarcie w wierzchołku szczeliny pierwotnej

δ te, δ tp część sprężystą i plastyczna rozwarcia w wierzchołku szczeliny w normowej próbie wyznaczania krytycznej wartości COD

eij, składowe stanu odkształcenia eo, σo, α , n stałe materiałowe w równaniu Ramberga-Osgooda

Γ kontur ograniczający obszar ciała w definicji całki J γ gęstość energii powierzchniowej (napięcie powierzchniowe) Φ gęstość energii wewnętrznej w całce J ΦA funkcja naprężeń Airy'ego Φe całka eliptyczna drugiego rodzaju


φ I zespolona funkcja naprężeń Westergaarda λ „poprawka” długości strefy plastycznej w modelu Irwina ν współczynnik Poisson’a Π energia potencjalna ciała przy nieskończenie małym przyroście

długości szczeliny σij składowe stanu naprężenia σk r obciążenie krytyczne dla danej długości szczeliny σys granica plastyczności θ, r współrzędne biegunowe w układzie o początku umieszczonym w

wierzchołku szczeliny


Moim dzieciom

OD AUTORA

Wiele osób uważa, że tradycyjny w wyższych szkołach technicznych przedmiot

pod nazwą „wytrzymałość materiałów” to dyscyplina z zamierzchłej epoki, a jej rozwój zakończył się wraz z końcem XIX wieku. I rzeczywiście, jeśli poprzestać na tym, co zaproponowali ongiś autorzy obowiązującego od 2007 roku przez kilka lat standardu kształcenia np. dla budownictwa, trudno z takim poglądem się nie zgodzić. Jest jednak i inne spojrzenie na wytrzymałość materiałów, a mianowicie takie, w którym dostrzega się nowsze osiągnięcia w tym zakresie. Mechanika kompozytów, mechanika uszkodzeń, mechanika pękania i inne działy nauk technicznych są w istocie częścią wytrzymałości, choć stanowią obecnie dobrze rozwinięte i w pełni ukształtowane, autonomiczne dyscypliny naukowe. Nadal są także intensywnie rozwijane, choć nie wszędzie w równie dobrym stopniu.

Rozwój nauki zawsze stanowił i stanowi asumpt do rozwijania także dydaktyki w danym obszarze. Nie inaczej jest z mechaniką pękania. W wielu krajach stanowi ona obecnie standardowy przedmiot, traktowany na równi z klasyczną wytrzymałością materiałów. W Polsce sytuacja jest inna – jedynie nieliczne wydziały politechniczne maja w swoich programach ten przedmiot, w kilku innych wybrane zagadnienia pękania wchodzą w zakres wytrzymałości materiałów.

Podstawowymi motywami, które skłoniły Autora do napisania tej książki były: jego głębokie przekonanie o konieczności poszerzenia wiedzy byłych i aktualnych studentów o podstawy mechaniki pękania, ograniczony dostęp do odpowiedniej literatury polskojęzycznej, a także chęć Autora uporządkowania własnych notatek i przemyśleń czynionych od wielu lat i udostępnienie ich w formie książkowej studentom, pracownikom naukowym oraz wszystkim zainteresowanym poruszoną w nim tematyką. Warto w tym miejscu wspomnieć, że pierwsza i jak dotąd jedyna polskojęzyczna obszerna monografia dotycząca mechaniki pękania, autorstwa A. Neimitza, została wydana 20 lat temu. Liczba polskich skryptów, a także podręczników jest bardzo skromna i dalece niewystarczająca. Pewien wkład w ten dorobek ma również Autor, który w 2004 r. wydał wraz z dr M. Biel-Gołaską książkę pt. „Podstawy i zastosowanie mechaniki pękania w zagadnieniach inżynierskich”. Obecna praca Autora jest znacznie rozszerzoną wersją poprzedniej, w tej części, która była jego wyłącznego autorstwa, zawiera także nowe treści.

12 Od Autora

Swego czasu udostępniłem niniejszą publikację w formie elektronicznej na mojej stronie internetowej. Okazało się wkrótce, że jest ona często cytowana w publikacjach naukowych, a także chętnie wykorzystywana przez zarówno praktyków, jak i naukowców, o czym dowiadywałem się z korespondencji e-mailowej, jak i podczas, najczęściej przypadkowych, rozmów z wieloma osobami z tzw. „branży”. Stanowiło to dla mnie wystarczającą pokusę, aby wydać pracę w tradycyjnej formie „papierowej”, wbrew nowym trendom publikacyjnym opartym na przekazie elektronicznym, którym i ja – niestety – ulegam.

Niniejsza książka stanowi w pewnej mierze odzwierciedlenie mojego wykładu z mechaniki pękania, prowadzonego na Wydziale Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej na nieistniejącej już specjalności Mechanika Komputerowa, a następnie na specjalności Mechanika Materiałów i Konstrukcji Budowlanych. Obecnie mechanika pękania włączana jest do programu studiów w ramach wytrzymałości materiałów na obu stopniach studiów, choć w bardzo ograniczonym wymiarze. Autor wyraża jednak nadzieję, że w niezbyt odległej przyszłości ten stan się poprawi i mechanika pękania, jeżeli nie jako oddzielny przedmiot, to z pewnością jako integralna część wykładu z wytrzymałości materiałów będzie przybliżana studentom, zwłaszcza na drugim, magisterskim stopniu studiów.

Jakkolwiek książka pomyślana jest przede wszystkim dla środowiska akademickiego, to zdaniem autora może ona być przydatna także dla innych osób, które w swej praktyce zetkną się z zagadnieniami pękania, a nie dysponują odpowiednią wiedzą na ich temat, bowiem jego zawartość pozwala na podjęcie samodzielnych studiów w tym zakresie.

Powstanie niniejszej pracy nie byłoby możliwe, gdyby nie tradycja w zakresie publikowania skryptów, podręczników i monografii, od wielu lat obowiązująca w Zakładzie (kiedyś Katedrze) Wytrzymałości Materiałów Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej. Rozpoczął ją wieloletni szef Katedry prof. S. Piechnik pisząc znakomite podręczniki wytrzymałości materiałów i teorii prętów cienkościennych, a kontynuowali prof. M. Chrzanowski wraz ze współpracowni-kami (nowoczesne książki nt. reologii ciał stałych), dr A. Bodnar (ceniony podręcznik wytrzymałości materiałów), a także Autor niniejszej pracy, który opublikował obszerny podręcznik na temat mechaniki kompozytów włóknistych.

Mam nadzieję, że książka przekazana właśnie do dyspozycji czytelników będzie stanowiła wartościową kontynuację tego cyklu wydawniczego.

Z nadzieją na życzliwy odbiór książki, Autor Kraków, maj 2018

ROZDZIAŁ 1

1 WPROWADZENIE

Podstawowym zadaniem inżynierii jest ocena zdolności konstrukcji do

przenoszenia obciążeń. Nie jest ona możliwa bez znajomości charakterystyk wytrzymałościowych materiału, z którego konstrukcja jest wykonana. Mogą one być wyznaczone doświadczalnie lub określone na podstawie analizy budowy wewnętrznej materiału. Pierwszy z tych sposobów jest podejściem czysto empirycznym, a więc i obarczonym błędami związanymi z warunkami w jakich przeprowadzany jest eksperyment. Mimo to jest to sposób stosowany najczęściej – przede wszystkim ze względu na stosunkowo proste sposoby określania charakterystyk wytrzymałościowych, zaś błędy pomiarowe można zminimalizować poprzez odpowiednią „obróbkę” statystyczna wyników doświadczalnych.

Drugi sposób wydaje się być bardziej "naukowy" i jest zazwyczaj niezwykle żmudny, jeśli weźmiemy pod uwagę całą złożoność budowy materii. Może on jednak dawać ogólny pogląd na charakterystyki materiału będące przedmiotem zainteresowania. Niech za prosty przykład posłuży tu analiza sił pomiędzy dwoma tylko atomami (Rys. 1.1) przytoczona za [1.2].

Rys. 1.1. Równowaga układu dwóch atomów

a.

Fr Fa Fr Fa

so

Fr Fa F Fr Fa F

s=so+δ b.

14 Wprowadzenie

Na taki układ atomów działają zarówno siły przyciągające Fa i odpychające Fr , które maleją wraz ze wzrostem odległości między atomami:

aa n

CFs

= rr m

CFs

= (1.1)

przy czym m >n (typowe wartości to: n =5, m =10). W położeniu równowagi (Rys. 1.1a) mamy s =so i Fa =Fr skąd otrzymujemy zależność:

1

r m no

a

Cs

C−

=

(1.2)

Jeśli układ ten obciążymy układem dwu sił F (Rys. 1.1b) to z warunku równowagi sił, tzn. F = Fa – Fr i po wykorzystaniu (1.1) i (1.2) otrzymamy:

n m

a o ono

C s sFs s s

= −

(1.3)

Wprowadzając oznaczenie:

os sδ = −

mamy:

1 1n m

ano o o

CF

s s s

− − δ δ = + − + (1.4)

Wykres zależności F - δ pokazano na Rys. 1.2. W istocie, widać, że dla małych δ/so otrzymujemy:

( )11 ... 1 ...a an no o o o

C CF n m n

s s s s +

δ δ= − + − + − ≅ − δ

(1.5)

a więc wykres ten można (dla małych δ/so) przybliżyć prostą, podobnie jak to obserwujemy w przypadku rozciągania większości materiałów konstrukcyjnych. Krzywa F - δ ma maksimum w punkcie δ = δo , który wyznaczamy przez przyrównanie do zera pochodnej z wyrażenia (1.4):


1

1m n

o omsn

− δ = −

(1.6)

Wartość siły odpowiadająca temu przemieszczeniu wynosi:

max

n mm n m na

no

C m mFs n n

− −− −

= − (1.7)

Rys. 1.2. Zależność siły od odległości między dwoma atomami

Jest ona, jak wykazują doświadczenia, znacznie większa od sił rzeczywistych, jakie mogą być przeniesione przez materiału. Tym niemniej, charakter wykresu F - δ odpowiada dobrze charakterowi wykresu rozciągania i nawet powyższa prosta analiza dobrze oddaje jakościowy związek siła-przemieszczenie. Jeśli więc wprowadzić umowne definicje naprężenia i odkształcenia:

def FA

σ = ; def

o

o o

s ss s− δ

e = =

to wykres na Rys. 1.2 można teraz aproksymować sinusoidą (Rys. 1.3):

sin 2Rσ = σ π e (1.8)

gdzie: σR jest największym naprężeniem jakie może materiał przenieść, a więc jego wytrzymałością.

Fm

F σ

δο

σR

A

B

e, δ

16 Wprowadzenie

Traktując nachylenie stycznej do tego wykresu w punkcie e=0 jako moduł Younga:

0

0

2 cos2 2R RdEd e=

e=

σ= = π σ π e = π σ

e

otrzymujemy następujące oszacowanie wytrzymałości materiału:

2RE

σ =π

(1.9)

z którego wynika, że o jest ona tylko o jeden rząd niższa od wartości modułu Younga. W materiałach rzeczywistych jednak różnica ta wynosi dwa do trzech rzędów wielkości (σR ≅ 0.001÷ 0.01E).

Rys. 1.3. Aproksymacja związku σ - e

Również wartość odkształcenia e R =1/4 w chwili osiągnięcia wytrzymałości jest znacznie większa od odkształcenia dla większości materiałów, które nie przekracza kilku procent. Tym niemniej i ten wykres jest dobrym przybliżeniem - w sensie jakościowym - rzeczywistych procesów i może na przykład być wykorzystany do obliczenia energii γ (na jednostkę objętości) uwalniającej się w procesie zniszczenia (rozumianego jako spadek naprężeń po osiągnięciu przez nie wartości maksymalnej). Energia ta jest reprezentowana na Rys. 1.3 przez zakreskowaną powierzchnię wykresu σ - e, którą łatwo w przybliżeniu obliczyć:

δ

e

σ

1/4

δο

σR

aproksymacja

F

FM


1 4 1 4

1 4 0 0

sin 22

RRd d d

∞ σγ = σ e ≅ σ e = σ π e e =

π∫ ∫ ∫ (1.10)

Tak więc zmniejszenie wytrzymałości materiału w stosunku do wytrzymałości teoretycznej jest związane z obecnością - w zasadzie nieuniknioną - różnorakich defektów, które Yokobori [1.5] dzieli na defekty I i II rodzaju. Defekty I rodzaju to w jego rozumieniu wszelkiego typu koncentratory naprężeń w postaci ostrych szczelin, bądź wycięć (karbów) o dowolnym kształcie - są to zatem defekty o charakterze geometrycznym, niezwiązane ze strukturą i budową materiału. Przez defekty II rodzaju rozumie się koncentratory naprężeń w formie dyslokacji, pustek rozlokowanych wzdłuż granic sąsiednich ziaren, wtrąceń obcego materiału (np. węgiel w metalach) wywołujących naprężenia kontaktowe oraz wszystkie inne defekty wewnętrznej budowy materiału.

Defekty I rodzaju, które można nazwać makroskopowymi stanowią przedmiot zainteresowania teoretyków, jak i praktyków od lat dwudziestych naszego stulecia. Choć już wcześniej zdawano sobie sprawę z faktu występowania koncentracji naprężeń wokół otworów czy karbów, to jednak rozwiązania teorii sprężystości prowadziły do absurdalnych wniosków jeśli geometria tych makroskopowych defektów stawała się osobliwa w tym sensie, że promień krzywizny wycięcia czy karbu zmierzał do zera ("ostra szczelina"). W takim bowiem przypadku wartości naprężeń, wyznaczone metodami teorii sprężystości, zmierzały do nieskończoności niezależnie od wartości przyłożonego obciążenia; tak więc dowolnie małe obciążenie konstrukcji zawierającej szczelinę mogło spowodować przekroczenie wytrzymałości materiału i zniszczenie. W rzeczywistości jednak wiadomo było, że konstrukcje mogą zawierać szczeliny o długości mniejszej od pewnej długości krytycznej zależnej od obciążenia.

Za początek analizy ciał z defektami makroskopowymi uważa się publikację Griffith'a [1.1] z roku 1920, opierającą się na wcześniejszej analitycznej pracy Inglisa [1.3], dotyczącej obciążenia krytycznego dla pasma sprężystego osłabionego otworem eliptycznym, poddanego jednoosiowemu równomiernemu rozciąganiu (Rys. 1.4).

Dla b≠0 maksymalne naprężenia σy występują na brzegu otworu (x=l) i wynoszą:

1 2ylb

σ = σ +

(1.11)

18 Wprowadzenie

Rys. 1.4. Rozciągane pasmo z otworem eliptycznym

Jeśli b → 0, to σy →∞ : przypadek ten odpowiada występowaniu w ciele szczeliny, która w sposób formalny jest zdefiniowana w mechanice ciała stałego jako powierzchnia, na której występuje nieciągłość przemieszczeń. W istocie, dla b=0 płaszczyzną taką jest płaszczyzna szczeliny (-l ≤ x ≤l, y = 0, -t ≤ z ≤ t, gdzie t jest grubością rozciąganego pasma) i dla niej zachodzi warunek:

def def( 0 ) ( 0 )v y dy v v y dy v+ −= + = ≠ = − =

gdzie: v jest przemieszczeniem wzdłuż osi y.

W drugim skrajnym przypadku b=l otrzymujemy:

3yσ = σ

co jest znanym wzorem Kirscha [1.4] określającym koncentrację naprężeń w rozciąganym paśmie zawierającym otwór kołowy.

Wzory otrzymane przez Inglisa dla naprężenia σy i przemieszczenia v dla b=0 oraz x=0 (a więc w płaszczyźnie szczeliny) mają postać:

2 2 2

1 , =0 dla

1 2 1y v x l

x x xl l l

σσ = ≥

− + −

(1.12a)

( )22 22 1

0 , dla xy

pv l x l

E− ν

σ = = − ≤ (1.12b)

2 l

2b

y

x

σ

σy

σ


Podstawą rozumowania Griffith'a jest bilans energetyczny, zgodnie z którym praca związana z rozwarciem szczeliny (tożsama ze zmniejszaniem się energii potencjalnej przy nieskończenie małym przyroście długości pęknięcia, a zatem w momencie inicjacji) Π wynosi:

122

l

l

v dx−

Π = − σ

∫ (1.13)

lub po podstawieniu (1.12b) i wycałkowaniu:

( )2 2

21 lE

π σΠ = − − ν (1.14)

gdzie: mnożnik 2 jest związany z pracą wykonaną na przemieszczeniu obu brzegów szczeliny, zaś mnożnik 1/2 wynika ze sprężystego zachowania się materiału.

Praca Π jest równoważona przez pracę W niezbędną do utworzenia się wewnątrz ciała swobodnej powierzchni:

4W l= γ (1.15)

gdzie: γ jest energią potrzebną do utworzenia jednostki swobodnej powierzchni, a mnożnik 4l wynika z faktu, że szczelina ma dwie jednostkowe powierzchnie 2l.

Bilans energetyczny ilustruje Rys. 1.5, na którym pokazano też wykres całkowitej energii W:

= + ΠU W (1.16)

Widać, że funkcja W(l) osiąga maksimum dla pewnej wartości lkr , którą wyznaczyć można z warunku:

0k rl l

dUd l

=

= (1.17)

lub po uwzględnieniu (1.16):

k r k rl l l l

d W dd l d l

= =

Π= − (1.18)

Warunek ten po uwzględnieniu (1.14) i (1.15) przyjmuje postać:

20 Wprowadzenie

( )2

2 21 4k rl

Eπ σ

− ν = γ (1.19)

skąd otrzymujemy krytyczną długość szczeliny dla zadanego obciążenia σ:

( )2 2

21k rEl γ

=π σ − ν

(1.20)

Wzór ten może posłużyć również do wyznaczenia krytycznego obciążenia σk r dla zadanej długości szczeliny l :

( )2

21k rE

lγ

σ =π − ν

(1.21)

Rys. 1.5. Bilans energetyczny rozwarcia szczeliny wg Griffith'a

Oba powyższe wzory wyrażają podstawową ideę Griffith'a, a mianowicie tę, że propagacja szczeliny następuje gdy spełniony jest warunek:

W

Π

U

-

+

energia potencjalna

energia całkowita

energia

G R=2 γ

prędkość uwalniania energii potencjalnej

prędkość energii

lkr długość szczeliny l

prędkość zmiany energii powierzchniowej

długość szczeliny l

energia powierzchniowa


cl Kσ π = (1.22)

gdzie:

2

21c

EK γ=

− ν (1.23)

jest stałą materiałową i nazywa się odpornością materiału na pękanie. Tak więc teoria Griffith'a jest oparta na koncepcji wprowadzenia nowej stałej

materiałowej, charakteryzującej wytrzymałość materiału. Na koniec zauważmy, że teoria Griffith'a opisuje lawinowy wzrost szczeliny po

przekroczeniu przez obciążenie wartości krytycznej. W istocie - ze wzoru (1.21) widać, że wraz ze wzrostem długości szczeliny maleje wartość obciążenia krytycznego, a więc potrzebnego do jej propagacji. Tak więc jeśli tylko obciążenie osiągnie wartość krytyczną, zostanie zapoczątkowany lawinowy ruch szczeliny.

Przytoczone tutaj rozwiązanie Griffith'a (podane powyżej wzory obowiązują dla płaskiego stanu odkształcenia, dla płaskiego stanu naprężenia należy w nich pominąć mnożnik (1-ν2)) ma obecnie znaczenie tylko historyczne, tym niemniej zawiera wszystkie elementy współczesnej teorii zniszczenia ciał idealnie sprężystych (jest to tzw. liniowo-sprężysta mechanika pękania), omówionej w rozdz. 2. W szczególności wynika z niego, że pomimo osobliwości w wierzchołku szczeliny typu x-1/2, można zdefiniować kryterium pękania, określające warunki, przy których nie nastąpi zniszczenie konstrukcji w wyniku propagacji szczeliny, a więc można zaprojektować ją w sposób bezpieczny.

Mechanika pękania wyróżnia 3 możliwe typy obciążenia szczelin (niekiedy mówi się niezupełnie poprawnie o typach szczelin), w zależności od sposobu w jaki przemieszczają się brzegi szczeliny na skutek działającego obciążenia - przedstawiono je na Rys. 1.7.

Rys. 1.6. Typy obciążenia szczelin

TYP I TYP II TYP III

22 Wprowadzenie

Typy obciążenia szczelin pokazane na Rys. 1.6 noszą następujące nazwy: typ I - rozrywanie; powierzchnie szczeliny rozchodzą się w kierunku

prostopadłym do frontu szczeliny. typ II - poprzeczne ścinanie; powierzchnie szczeliny ślizgają się po sobie w

kierunku prostopadłym do frontu szczeliny. typ III - podłużne ścinanie; powierzchnie szczeliny przesuwają się po sobie w

kierunku równoległym do frontu szczeliny. Każdemu z typów obciążenia szczeliny odpowiada pole naprężeń w postaci:

( ) , ,2

TT Ti j i j

Kf T I II III

rσ = θ =

π (1.24)

gdzie: r i θ są współrzędnymi biegunowymi o początku umieszczonym w wierzchołku szczeliny, zaś KT nosi nazwę współczynnika intensywności naprężeń (WIN) dla danego typu obciążenia szczeliny.

ROZDZIAŁ 2

2 POLE NAPRĘŻEŃ W LINIOWO SPRĘŻYSTYM OŚRODKU ZE SZCZELINĄ

2.1 PODSTAWOWE RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

W celu łatwiejszego zrozumienia treści niniejszego rozdziału, celowe jest zdaniem autora przypomnienie czytelnikom podstawowego kompletu równań rządzących zagadnieniem brzegowym liniowej teorii sprężystości, wykorzystywanego oczywiście również w zagadnieniach mechaniki pękania.

• Lokalne równania równowagi (rów. Naviera):

11 , 1 12 , 2 13 , 3 1 0Xσ + σ + σ + =

21 , 1 22 , 2 23 , 3 2 0Xσ + σ + σ + =

31 , 1 32 , 2 33 , 3 3 0Xσ + σ + σ + =

gdzie: σ11, σ22, σ33 - naprężenia normalne, pozostałe to naprężenia styczne. Symbol σij,j oznacza pochodną cząstkową naprężenia σij względem zmiennej xj. Współrzędne wektora sił masowych oznaczono jako X1, X2 i X3.

• Liniowe równania geometryczne (rów. Cauchy’ego).

11 1,1 22 2,2 33 3,3u u ue = e = e =

( )12 1,2 2,112

u ue = +

24 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną

( )13 1,3 3,112

ε u u= +

( )23 2,3 3,212

u ue = +

gdzie: e11, e22, e33 – odkształcenia liniowe, pozostałe to odkształcenia kątowe. Wielkości ui oznaczają współrzędne wektora przemieszczenia. Symbol ui,j oznacza pochodną cząstkową przemieszczenia ui względem zmiennej xj.

• Równania fizyczne liniowej teorii sprężystości (rów. Hooke’a)

U podstaw „konstrukcji” równań liniowej teorii sprężystości leży jawna zależność odkształceń od naprężeń, liniowy związek między odkształceniami i naprężeniami oraz „znikanie” odkształceń po usunięciu obciążenia zewnętrznego. Uwzględniając ponadto jednorodność i izotropię materiału (tzn. identyczne własności materiału w każdym punkcie i w każdym kierunku) równania fizyczne można zapisać następująco:

( ) ( )11 11 11 22 331 1E

e = + ν σ − ν σ + σ + σ

( ) ( )22 22 11 22 331 1E

e = + ν σ − ν σ + σ + σ

( ) ( )33 33 11 22 331 1E

e = + ν σ − ν σ + σ + σ

12 121

E+ ν

e = σ 13 131

E+ ν

e = σ 23 231

E+ ν

e = σ

lub też po odwróceniu powyższych relacji w postaci:

( )11 11 11 22 332 Gσ = e + λ e + e + e

( )22 22 11 22 332 Gσ = e + λ e + e + e


( )33 33 11 22 332 Gσ = e + λ e + e + e

12 122Gσ = e 13 132 Gσ = e 23 232 Gσ = e

gdzie: G - moduł ścinania, E - moduł Younga, ν - współczynnik Poisson’a, λ - stała Lame’go.

• Płaski stan naprężenia (PSN)

Płaski stan naprężenia to taki stan, dla którego wszystkie jego składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x1, x2). PSN występuje zawsze na powierzchni ciała, a także w elementach, których grubość jest znacznie mniejsza od pozostałych dwóch jego wymiarów (np. blachy).

Częstym przypadkiem jest również tzw. pseudopłaski stan naprężenia, w którym dodatkowo niezerowe jest naprężenie normalne σ33, prostopadłe do płaszczyzny (x1, x2).

• Płaski stan odkształcenia (PSO)

Płaski stan odkształcenia (PSO) to taki stan, w którym wszystkie jego składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x1, x2). Niezerowe są wówczas jedynie składowe e11, e22 i e12. PSO występuje z reguły w ciałach, których grubość jest porównywalna z pozostałymi wymiarami.

Częstym przypadkiem jest również tzw. pseudopłaski stan odkształcenia, w którym dodatkowo niezerowe jest odkształcenie liniowe e33.

Płaskiemu stanowi naprężenia odpowiada pseudopłaski stan odkształcenia i odwrotnie - płaskiemu stanowi odkształcenia odpowiada pseudopłaski stan naprężenia.

Przykładowo - dla PSO zachodzą warunki e33=0, e13=0, e23=0. Z równań Hooke’a otrzymujemy wówczas:

( )33 11 22σ = ν σ + σ 13 0σ = 23 0σ =

a zatem pseudopłaski stan naprężenia. Przypadki PSO i PSN noszą łącznie nazwę dwuwymiarowych zagadnień teorii

sprężystości.

σ22 σ21

σ11

σ12 σ11

σ122

σ21 σ22

x2

x1


2.2 PODSTAWY RACHUNKU ZMIENNYCH ZESPOLONYCH

Wyznaczenie pól naprężeń, odkształceń i przemieszczeń wokół wierzchołka szczeliny matematycznej (tj. powierzchni, na której występuje nieciągłość funkcji przemieszczeń) jest zadaniem trudnym, wymagającym stosowania zaawansowanych metod matematycznych. Jedną z nich jest teoria zmiennych zespolonych użyta w zagadnieniach mechaniki pękania przez Muskheliszwili'ego [2.7] i Westergaarda [2.12, 2.13]. Poniżej naszkicujemy podstawy tej metody, rozpoczynając od krótkiego wprowadzania do rachunku zmiennych zespolonych.

Zmienną zespoloną z zmiennych rzeczywistych x1, x2 nazywamy zmienną w postaci:

1 2z x i x= + (2.1)

gdzie: x1 oznacza część rzeczywistą, x2 część urojoną zmiennej zespolonej z, zaś i jednostkę urojoną, określoną jako:

1def

i = − (2.2)

Zmienną z można także - korzystając ze współrzędnych biegunowych (r,θ ) - zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:

iz r e θ= (2.3)

Niech f(z) oznacza dowolną funkcję analityczną zmiennej z. Pochodne cząstkowe tej funkcji względem zmiennych rzeczywistych x1, x2 wynoszą:

( ) ( )1 1 1 1

f z z df z f f zx z x x x d z∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ′= = = ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.4)

( ) ( )2 2 2

f z zf z f i f zx z x x∂ ∂ ∂ ∂′ ′= = =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.5)

Zapiszmy funkcję f(z) w następującej postaci:

( )f z i= α + β (2.6)

gdzie: α i β są funkcjami rzeczywistymi zmiennych rzeczywistych x1, x2, przy czym:


( )Re f zα = (2.7)

( )Im f zβ = (2.8)

Pochodne (2.4) i (2.5) po wykorzystaniu (2.6) przyjmują postaci:

( ) ( )1 1 1

f z i f zx x x

∂ ∂ α ∂β ′= + =∂ ∂ ∂

(2.9)

( ) ( )2 2 2

f i i f zx x x∂ ∂ α ∂β ′= + =

∂ ∂ ∂z (2.10)

Wstawiając rów. (2.9) do (2.10) i porównując części rzeczywiste oraz urojone otrzymanej równości, otrzymujemy następujące zależności:

( ) ( )2 1 2 1

Re Imf fx x x x

∂ α ∂β ∂ ∂= − ⇒ = −

∂ ∂ ∂ ∂ (2.11)

( ) ( )1 2 1 2

Re Imf fx x x x

∂ α ∂β ∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.12)

Równania (2.11) I (2.12) noszą nazwę warunków Cauchy'ego - Riemanna. Elementarne przekształcenia tych warunków prowadzą do następujących równań:

2 2

22 21 2

0 0x x

∂ α ∂ α+ = ⇒ ∇ α =

∂ ∂ (2.13a)

2 2

22 21 2

0 0x x

∂ β ∂ β+ = ⇒ ∇ β =

∂ ∂ (2.13b)

Tak więc zarówno część rzeczywista α, jak i urojona β dowolnej funkcji analitycznej muszą być funkcjami harmonicznymi; noszą one nazwę sprzężonych funkcji harmonicznych. Ta własność funkcji analitycznej odgrywa podstawową rolę przy wyznaczaniu pola naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny metodą Westergaarda, bazującą na funkcjach naprężeń Airy'ego.


2.3 FUNKCJA NAPRĘŻEŃ DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

W dwuwymiarowych zagadnieniach teorii sprężystości często stosowaną metodą określania stanu naprężenia jest metoda oparta na funkcji naprężeń Airy'ego1 Φ, związanej ze składowymi stanu naprężenia zależnościami :

11 22,σ = Φ

22 11,σ = Φ (2.14)

12 12,σ = −Φ

Można wykazać (dowód pozostawiamy czytelnikowi), że warunkiem koniecznym aby dowolna funkcja była funkcją naprężeń musi ona spełniać równanie biharmoniczne:

4 0∇ Φ = (2.15)

które jest równaniem nierozdzielności odkształceń wyrażonym poprzez naprężenia w postaci (2.14). Spełnione muszą być ponadto równania równowagi (Naviera) oraz warunki brzegowe odpowiednie dla danego zagadnienia.

Twierdzenie 1 Każda funkcja postaci:

1 1 2 2 3x xΦ = ψ + ψ + ψ (2.16)

jest funkcją naprężeń, jeżeli ψ1, ψ2, ψ3 są funkcjami harmonicznymi.

Dowód: Nałóżmy na funkcję x1 ψ2 operator Laplace'a. Otrzymamy wówczas po prostych

przekształceniach i wykorzystaniu założenia o harmoniczności funkcji ψ2 następujące równanie: 1 Pod pojęciem dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości rozumie się zagadnienie płaskiego stanu naprężenia lub płaskiego stanu odkształcenia. Funkcja naprężeń Airy'ego dotyczy zasadniczo PSN, jednakże może także być wykorzystana w warunkach PSO. Zakładając dla przykładu, że odkształcenia zachodzą jedynie w płaszczyźnie (x1,x2) mamy e13=e23=e33=0. Korzystając z prawa Hooke'a otrzymujemy zerowe naprężenia styczne σ13 i σ23, zaś naprężenie normalne σ33=ν (σ11+σ22) (z tego powodu stan naprężenia odpowiadający PSO określa się mianem pseudopłaskiego stanu naprężenia). Tak więc nawet w warunkach PSO znajomość naprężeń σ11, σ22 i σ12 - możliwych do uzyskania poprzez funkcję Airy'ego - jest wystarczająca do pełnego opisu stanu naprężenia stanu naprężenia lub płaskiego stanu odkształcenia.


( )2 2

2 21 2 2 1 1 2,12 2

1 2 1 1 2 2

2x x xx x x x x x

∂ ψ ∂ ψ∂ ∂ ∂ ∂+ ψ = ψ + + = ψ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.17)

Ponowne użycie laplasjanu na rów. (2.17) prowadzi do zależności:

( ) ( )2 2

4 221 2 22 2

1 2 1 1

2 2 0xx x x x

∂ ∂ ∂ ψ ∂∇ ψ = + = ∇ ψ = ∂ ∂ ∂ ∂

(2.18)

Wykazaliśmy zatem, że funkcja x1 ψ2 spełnia równanie biharmoniczne, może tym samym być funkcją naprężeń. W analogiczny sposób dowodzi się, że funkcją naprężeń może być funkcja x2 ψ3.

Westergaard [2.13] wprowadził funkcję naprężeń Φ w ogólnej postaci:

( ) ( )2Re Imz x zΦ = ϕ + ϕ (2.19)

gdzie:

( ) ( ) ( )def defd dz z dz z

d z d zϕ ϕ′ϕ = ϕ = ϕ ⇒ ϕ =∫ (2.20 a, b)

( ) ( ) ( )def defd dz z dz z

d z d z′ϕ ϕ′′ϕ = ϕ = ϕ ⇒ ϕ =∫ (2.21 a, b)

ϕ jest funkcją analityczną zmiennej zespolonej. Korzystając z tego, że funkcje ,ϕ ϕ są również funkcjami analitycznymi oraz z

wykazanej uprzednio harmoniczności tak części rzeczywistej, jak i urojonej funkcji analitycznej, stwierdzamy, że funkcja Westergaarda (2.19) jest zgodna z ogólną postacią funkcji naprężeń (2.16) - jest zatem także funkcją naprężeń.

Można to także wykazać bezpośrednio - wystarczy udowodnić, że Re , Imϕ ϕ są funkcjami harmonicznymi. Korzystając z warunków Cauchy'ego - Riemanna otrzymujemy:

1 2

Re Imx x

∂ ϕ ∂ ϕ=

∂ ∂


2 1

Re Imx x

∂ ϕ ∂ ϕ= −

∂ ∂

Różniczkując pierwsze z równań wzg. x1, a drugie wzg. x2 i dodając stronami, otrzymamy:

( )2 Re 0∇ ϕ =

Zachodzą także związki:

1 2

Re Imx x

∂ ϕ ∂ ϕ=

∂ ∂

2 1

Re Imx x

∂ ϕ ∂ ϕ= −

∂ ∂

Różniczkując pierwsze z równań wzg. x2, a drugie wzg. x1 i odejmując stronami, otrzymamy:

( )2 Im 0∇ ϕ =

Korzystając z funkcji Westergaarda (2.19) wyznaczymy obecnie składowe stanu naprężenia w płaszczyźnie (x1, x2), określone przez związki (2.14).

21

Re Imd xx d z

∂ Φ Φ≡ = ϕ + ϕ

∂ (2.22)

2

22 221

Re Imd d xx d z d z

∂ Φ Φ ′σ = = = ϕ + ϕ ∂ (2.23)

( )2 22 2 1 1

Im ReRe Im Imx xx x x x

∂ Φ ∂ ∂ ϕ ∂ ϕ= ϕ + ϕ = − + ϕ + =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.24)

2 2 2Im Im Re Im Im Re Red dx x xd z d z

ϕ ϕ= − + ϕ + = − ϕ + ϕ + ϕ = ϕ


( )2

11 2 2 222 2 2 1

Re ImRe Re Rex x xx x x x

∂ Φ ∂ ∂ ϕ ∂ ϕσ = = ϕ = ϕ + = ϕ − =

∂ ∂ ∂ ∂

2 2Re Im Re Imdx xd z

ϕ ′= ϕ − = ϕ − ϕ (2.25)

( )2

12 2 2 21 2 1 1

ReRe Rex x xx x x x∂ Φ ∂ ∂ ϕ ′σ = − = − ϕ = − = − ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ (2.26)

Tak więc ostatecznie składowe stanu naprężenia mają postaci:

11 2Re Imx ′σ = ϕ − ϕ

22 2Re Imx ′σ = ϕ + ϕ (2.27)

12 2 Rex ′σ = − ϕ

Tak określone naprężenia spełniają nie tylko równanie nierozdzielności odkształceń, ale również równania równowagi (dowód pozostawiamy czytelnikowi).

Składowe wektora przemieszczenia w płaszczyźnie (x1, x2) zależą od tego czy analizowany ośrodek znajduje się w PSO, czy też PSN. Różnice są jedynie ilościowe, a równania opisujące te składowe można zapisać formalnie we wspólnej postaci:

( ) ( ) ( )1 1 2 212 , Re Im

2G u x x z x zκ −

= ϕ − ϕ (2.28)

( ) ( ) ( )2 1 2 212 , Im Re

2G u x x z x zκ +

= ϕ − ϕ (2.29)

gdzie:

21

EG =+ ν

; 3 4 dla PSO3 dla PSN1

-− ν

κ = ν + ν

(2.30)

W celu uzyskania zależności (2.28) i (2.29) należy wykorzystać związki fizyczne liniowej teorii sprężystości (rów. Hooke'a) oraz liniowe równania geometryczne (rów. Cauchy'ego).


Dla zilustrowania metody wyznaczania przemieszczeń załóżmy, że analizowany jest PSO i interesuje nas składowa u1 wektora przemieszczenia. Z równań fizycznych otrzymujemy dla PSO:

( ) ( )11 11 11 22 331 1E

e = + ν σ − ν σ + σ + σ

( )33 33 11 220e = ⇒ σ = ν σ + σ

( )11 11 22

1 12G

e = − ν σ − ν σ

Do ostatniego równania podstawiamy naprężenia (2.27) - otrzymujemy wówczas:

( ) ( ) ( )11 2 21 1 Re Im Re Im

2x x

G ′ ′e = − ν ϕ − ϕ − ν ϕ + ϕ =

( ) 21 1 2 Re Im

2x

G′ = − ν ϕ − ϕ

Równanie Cauchy'ego ma postać:

111 1 11 1

1

uu dx

x∂

e = ⇒ = e∂ ∫

( )1 1 2 11 1 2 Re Im

2u dx x dx

G ′= − ν ϕ − ϕ ∫ ∫

Uwzględniając związki (2.20) i (2.21) odpowiednie całki wynoszą:

1 11

ReRe Redx dxx

∂ ϕϕ = = ϕ

∂∫ ∫

1 11

ImIm Imdx dxx

∂ ϕ′ϕ = = ϕ∂∫ ∫


Wykorzystując powyższe zależności przemieszczenie jest określone związkiem:

( )1 21 1 2 Re Im

2u x

G = − ν ϕ − ϕ

Z rów. (2.30) dla PSO dostajemy:

322− κ

ν =

Ostatecznie zatem przemieszczenie u1 przyjmuje postać:

( ) ( )1 212 Re Im

2G u z x zκ −

= ϕ − ϕ

W analogiczny sposób otrzymuje się rów. (2.29).

2.4 ZASTOSOWANIE FUNKCJI NAPRĘŻEŃ WESTERGAARDA DO ANALIZY STANU NAPRĘŻENIA I PRZEMIESZCZEŃ W POBLIŻU WIERZCHOŁKA SZCZELINY

2.4.1 Szczelina w I typie obciążenia w paśmie nieskończonym.

Uzyskane w poprzednim rozdziale rezultaty oparte na koncepcji funkcji naprężeń w postaci zaproponowanej przez Westergaarda zostaną obecnie wykorzystane do wyznaczenia pola naprężeń i przemieszczeń wywołanych obecnością szczeliny. Rozpatrywane jest zagadnienie płaskiego ciała o nieogra-niczonych wymiarach zawierającego szczelinę o długości 2l, poddanego działaniu równomiernego dwuosiowego rozciągania obciążeniem o stałej wartości σ, przyłożonym w nieskończoności i leżącym w płaszczyźnie ciała. Rozpatrywany jest więc I typ obciążenia szczeliny, zwany "oderwaniem", bądź "rozwarciem". Geometria zadania pokazana jest na Rys. 2.1.

Warunki brzegowe dla analizowanego zagadnienia szczeliny można zapisać następująco:

1. 2 1 22 12dla 0; 0 , 0x x l= < σ = σ =

2. 2 1 22dla 0; x x l= → σ >> σ (2.31)


3. 2 1 22dla 0; x x= → ±∞ σ → σ

Funkcją naprężeń spełniającą warunki (2.31) jest funkcja2:

2 2

zz l

ϕ = σ−

(2.32)

Spełnienie warunków 2 i 3 jest natychmiast widoczne. W celu sprawdzenia warunku 1 zapiszmy funkcję naprężeń (dla x2 = 0) w postaci:

1 1 12 2 2 2 2 21 1 11x x xi

x l l x l xϕ = σ = σ = σ

− − − − − (2.33)

Rys. 2.1. Szczelina w nieograniczonym paśmie, rozciąganym w nieskończoności.

Funkcja w postaci (2.33) ma więc niezerową jedynie część urojoną (warunek 1 dotyczy punktów spełniających zależność x1< l ) . Naprężenia określone przez 2 Paris i Sih [2.8] podają, że dowolną funkcję Z, będąca funkcją analityczną w całej dziedzinie z wyjątkiem obszaru szczeliny określonego współrzędnymi x2 = 0, -b ≤ x1 ≤l , można przedstawić w postaci:

( )( ) ( )

g zZz b z l

=+ −

W przypadku szczeliny wolnej od obciążeń działających na jej brzegu, dobierając funkcję g(z) tak, że w obszarze szczeliny Im g(z) = 0, funkcja Z pozwala uzyskać rozwiązanie zadania szczeliny także w jej obszarze. Dla b = l i g(z)=σ z - funkcja Z przyjmuje postać (2.32).

2 l x1

x2

σ

σ

σ

θ r

σ

σ11

σ21

σ11

σ22

σ22

σ12

σ21

σ122


(2.27) z wykorzystaniem (2.33) są zatem w obszarze szczeliny zerowe, a to oznacza spełnienie warunku brzegowego 1.

Dalsze rozważania ograniczymy do obszaru przywierzchołkowego szczeliny. Jest to uzasadnione tym, że efekty wywołane obecnością szczeliny (np. silny wzrost naprężeń) mają charakter lokalny i koncentrują się w pobliżu wierzchołków szczeliny.

Dokonajmy przesunięcia układu współrzędnych do wierzchołka szczeliny, jak pokazano na Rys. 2.2.

Rys. 2.2. Transformacja układu współrzędnych do wierzchołka szczeliny.

Postać trygonometryczna zmiennej zespolonej η, określającej położenie dowolnego punktu P w układzie biegunowym (r, θ ) jest następująca:

( ) 2 2cos sin ;ir e r i r x yθη = = θ + θ = + (2.35)

Funkcja naprężeń (2.32) wyrażona poprzez zmienną η ma postać:

12

1 2l ll l

− η η ϕ = σ + η +

(2.36)

Warunek geometryczny ograniczający obszar analizy do sąsiedztwa wierzchołka można zapisać w postaci:

12 0

lim 0x lx

l→→

η= (2.37)

Tak więc "lokalna" funkcja naprężeń (2.36) przyjmuje po prostych przekształceniach postać:

2 l

x1

x2

θ

r

x

y P 1 2z x i x= +

x i y z lη = + = −


2

IKϕ =

π η (2.38)

gdzie:

IK l= σ π (2.39)

Po wykorzystaniu postaci trygonometrycznej (2.35) zmiennej η, a także reguły pierwiastkowania liczby zespolonej3 i prostych przekształceniach - otrzymujemy:

cos sin2 22

IKi

rθ θ ϕ = − π

(2.40)

W celu wyznaczenia naprężeń obliczmy wyrażenia występujące w (2.27), poczynając od pochodnej ϕ '. Po zróżniczkowaniu funkcji (2.38), wykorzystaniu wzoru Moivre'a4 i po przekształceniach otrzymujemy:

3

1 3 3cos sin2 2 22

IK ir

′ϕ = − θ − θ π

(2.41)

Z zależności (2.40) i (2.41) wynikają następujące równości:

Re cos22

IKr

θϕ =

π (2.42)

2 3

1 3 3Im sin sin sin cos sin2 2 2 2 222

I IK Kx rrr

θ θ′ϕ = θ θ = θππ

(2.43)

2 3

1 3 3Re sin cos sin cos cos2 2 2 2 222

I IK Kx r

rrθ θ′ϕ = − θ θ = − θ

ππ (2.44)

Ostatecznie, z równań (2.27) określających naprężenia poprzez funkcję naprężeń otrzymujemy:

3 ( )cos sin cos sinn n n nz r i r n i n= θ + θ = θ + θ 4 ( )cos sin cos sinni n i nθ + θ = θ + θ


113cos 1 sin sin

2 2 22IK

rθ θ θ σ = − π

223cos 1 sin sin

2 2 22IK

rθ θ θ σ = + π

(2.45)

123sin cos cos

2 2 22IK

rθ θ θ

σ =π

( )3311 22

0 dla PSN2

cos dla PSO22

IKr

νσ = θν σ + σ = π

Pole naprężeń (2.45) można wspólnie zapisać w postaci:

( )2

Iij ij

K fr

σ = θπ

(2.46)

Irwin wykazał, że stan naprężenia opisany równaniem (2.46) odnosi się do dowolnej konfiguracji szczeliny w I typie obciążenia i do dowolnego obciążenia. Tym co uwzględnia geometrię ciała ze szczeliną, długość szczeliny oraz rodzaj i sposób przyłożenia obciążenia jest współczynnik KI , noszący nazwę współczynnika intensywności naprężeń (WIN). Tak więc znajomość tego współczynnika jest wystarczająca do pełnego opisu stanu naprężenia w pobliżu wierzchołka szczeliny.

W celu wyznaczenia przemieszczeń punktów położonych w obszarze w pobliżu wierzchołka szczeliny wykorzystamy równania (2.28) i (2.29). Wymagają one znajomości funkcji ϕ określonej związkiem (2.20 b). W wyniku scałkowania funkcji naprężeń (2.38) otrzymujemy:

2 cos sin2 2I

rK iθ θ ϕ = + π (2.47)

Ostatecznie, po dość uciążliwych przekształceniach otrzymujemy z równań (2.28) i (2.29) przemieszczenia w postaci:


( )1 cos cos2 2 2

IK ruG

θ= κ − θ

π (2.48)

( )2 sin cos2 2 2

IK ruG

θ= κ − θ

π (2.49)

Ważnym parametrem z punktu widzenia stosowanych w mechanice pękania kryteriów zniszczeniowych jest rozwarcie brzegów szczeliny. Przemieszczenie powierzchni szczeliny można wyznaczyć z ogólnej postaci przemieszczenia u2 - rów. (2.29). W obszarze szczeliny tzn. dla x2=0, -l≤ x1 ≤ l funkcja naprężeń ma postać (2.32). Funkcja ϕ otrzymana przez scałkowanie (2.32) i zapisana dla obszaru szczeliny przyjmuje postać:

2 2 2 21z l i l xϕ = σ − = σ − (2.50)

Korzystając z (2.29) i (2.30), po prostych przekształceniach otrzymamy przemieszczenia brzegów szczeliny - Rys. 2.3 - w postaci:

2 22 1u c l x= σ − (2.51)

gdzie: c - stała materiałowa zależna od tego czy analizowany jest PSN, czy PSO. Stała ta wynosi:

( )22 1

dla PSO

2 dla PSNc E

E

− ν=

(2.52)

Rys. 2.3. Rozwarcie brzegów szczeliny.

Rys. 2.3. Rozwarcie brzegów szczeliny.

Maksymalne rozwarcie szczeliny COD (ang. Crack Opening Displacement) - Rys.2.3 - występuje w połowie długości szczeliny (x1=0) i wynosi:

COD u2

x2

x1


2COD c l= σ (2.53)

Zwróćmy jeszcze uwagę na kształt brzegu rozwartej szczeliny. Związek (2.51) można łatwo przekształcić do równania:

2 22 12 2 1u x

C l+ = (2.54)

które świadczy, że brzeg szczeliny przyjmuje kształt elipsy.

2.4.2 Szczelina w II typie obciążenia w paśmie nieskończonym.

Rozwiązanie dla szczeliny w II typie obciążenia - Rys. 2.4 - w tarczy o nieskończonych wymiarach można uzyskać w analogiczny sposób jak dla I typu, korzystając z funkcji naprężeń w postaci:

2 2

ziz lτ

ϕ = −−

(2.55)

Rys. 2.4. Szczelina II typu w paśmie nieskończonym.

Stan naprężenia w pobliżu wierzchołka szczeliny opisują związki:

113sin 2 cos cos

2 2 22IIK

rθ θ θ σ = − + π

τ 2 l x1

x2

τ

τ

θ r τ

σ11

σ21

σ11

σ22

σ22

σ12

σ21

σ122


223sin cos cos

2 2 22IIK

rθ θ θ

σ =π

(2.56)

123cos 1 sin sin

2 2 22IIK


( )3311 22

0 dla PSN2 sin dla PSO

22IIK

r

− ν θσ = ν σ + σ = π

Przemieszczenia punktów położonych w obszarze w pobliżu wierzchołka szczeliny wyrażają się związkami w postaci:

( )1 sin 2 cos2 2 2

IIK ruG

θ= + κ + θ

π

(2.57)

( )2 cos 2 cos2 2 2

IIK ruG

θ= − κ − θ

π

Współczynnik intensywności naprężeń ma postać:

IIK l= τ π (2.58)

2.4.3 Szczelina w III typie obciążenia w paśmie nieskończonym.

Szczelinę w III typie obciążenia w nieskończonym paśmie sprężystym przedstawiono na Rys. 2.5. Szczegóły rozwiązania tego zadania można znaleźć np. w monografii Gdoutosa [2.3] (patrz także Przykład 1). Tutaj ograniczymy się jedynie do zacytowania rozwiązania.

Niezerowe składowe stanu naprężenia i przemieszczenia w pobliżu wierzchołka szczeliny opisują związki:

13 sin22

IIIKr

θσ = −

π

(2.59)


23 cos22

IIIKr

θσ =

π

32 sin

2 2IIIK ru

Gθ

=π

(2.60)

IIIK l= τ π (2.61)

Rys. 2.5. Szczelina III typu w paśmie nieskończonym.

2.5 FUNKCJE NAPRĘŻEŃ I WSPÓŁCZYNNIKI INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA RÓŻNYCH PRZYPADKÓW SZCZELIN W I TYPIE OBCIĄŻENIA

Funkcje naprężeń znane są dla wielu konfiguracji szczelina-ciało-obciążenie. Uzyskano je metodą Westergaarda lub met. Muskheliszwilego-Kołosowa bazującą na ogólnej postaci funkcji naprężeń odmiennej od tej stosowanej przez Westergaarda (rów. (2.19)). Szczegóły metody Muskheliszwilego-Kołosowa można znaleźć w pracach [2.5], [2.7].

Uwzględniając, że rozkłady naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny opisane są w każdym przypadku tą samą zależnością:

( )2

Iij ij

K fr

σ = θπ

(2.62)

oraz to, że różnią się w zależności od zadania tylko postacią współczynnika intensywności naprężeń KI, dochodzimy do wniosku, że wystarczy znać związek

2 l x1

x2

θ r

τ

τ


funkcji naprężeń ze współczynnikiem intensywności naprężeń aby w pełni opisać stan naprężenia.

Funkcję naprężeń ϕI w pobliżu wierzchołka szczeliny I typu (indeks przy funkcji naprężeń oznacza typ szczeliny) zawsze można przedstawić w ogólnej postaci :

( )I

f ηϕ =

η (2.63)

Uprzednio wykazaliśmy, że dla szczeliny w nieskończonym paśmie przyjmuje ona postać (patrz rów. (2.38)):

0 2

II

Kη →

ϕ =π η

(2.64)

która jest szczególnym przypadkiem równania (2.63). Z zależności (2.64) otrzymu-jemy zatem formułę określającą współczynnik intensywności naprężeń w postaci:

0

lim 2I IKη →

= π η ϕ (2.65)

Poniżej podane będą funkcje naprężeń i współczynniki intensywności naprężeń dla różnych konfiguracji szczelin i obciążenia - czytelnik może potraktować sprawdzenie poprawności tych relacji (przypomnijmy, że w przypadku funkcji naprężeń muszą być spełnione równania równowagi, równanie nierozdzielności

4 0I∇ ϕ = oraz warunki brzegowe, a w przypadku KI rów. (2.65)) jako zadanie do samodzielnego rozwiązania. • Nieskończone pasmo z nieskończonym szeregiem szczelin kolinearnych,

obciążone równomiernym obciążeniem o wartości σ

σ σ

σ

2 l

b b x2

2 l

x1

b b

2 l

b b

σ


2 2

sin2

sin sin2 2

I

zb

z lb b

πσ

ϕ = π π

−

(2.66)

2 tan2I

b lK ll b

π= σ π π

(2.67)

• Nieskończone pasmo z nieskończonym szeregiem szczelin kolinearnych, obciążone siłami skupionymi P* przyłożonymi do powierzchni szczelin w połowie ich długości

1/22

2

sin sin2 21

sin2 sin 22

I

l lPb b

zzb bb

− π π ϕ = −

π π

(2.68)

sin

2

IPK

lbb

=π

(2.69)

* We wszystkich przykładach, w których występuje obciążenie w postaci siły skupionej P przyjmuje

się, że jest to siła na jednostkę szerokości, tzn. jej wymiar jest [N/m], chyba że wyraźnie zazanaczono iż P ma wymiar [N].

2 l

b b x2

2 l

x1

b b

2 l

b b

P P P

P P P


• Nieskończone pasmo ze szczeliną, której powierzchnia jest obciążona siłami skupionymi P przyłożonymi w odległości b od wierzchołka

( )

2 2

2 2IP l bz b z l

−ϕ =

π − − (2.70)

AIP l bK

l bl+

=−π

(2.71)

BIP l bK

l bl−

=+π

(2.72)

W przypadku gdy siła P przyłożona jest w połowie długości szczeliny tzn. b = 0, otrzymujemy:

2 2I

P lz z l

ϕ =π −

(2.73)

IPK

l=

π (2.74)

Zauważmy, że w tym ostatnim przypadku współczynnik intensywności naprężeń maleje wraz ze wzrostem długości szczeliny. Zakładając, że dla danej długości lkr współczynnik KI osiąga wartość KIc, przy której następuje propagacja szczeliny, a więc i wzrost jej długości, dochodzimy do wniosku, że wartość KI musi wówczas zmaleć. Gdy osiągnie wartość mniejszą od KIc - propagacja szczeliny musi ustać; następuje zatem samoistne zahamowanie ruchu szczeliny.

• Nieskończone pasmo ze szczeliną, której powierzchnia jest obciążona dwiema parami sił skupionych P przyłożonymi w odległości b od wierzchołków szczeliny

b P

P l

x2

A B x1

l


( )2 2

2 22 2

2I

P z l bz lz b

−ϕ =

−π − (2.75)

2 2

2I

P lKl b

=π−

(2.76)

• Nieskończone pasmo ze szczeliną, której powierzchnia jest obciążona obciążeniem ciągłym σ przyłożonym na odcinkach b ≤x1≤ l; x2=0

2 2

2 22 2

2 arccos arcctgIz b b z l

l z l bz l

σ −ϕ = − π −−

(2.77)

2 arcsinIl bK

l= σ

π (2.78)

b P

P l

x2

x1

l

P

P

b

b l

x2

l b

σ σ x1

σ


• Nieskończone, rozciągane pasmo ze szczeliną nachyloną pod kątem α do

kierunku obciążenia

2sinIK l= σ π α (2.79)

sin cosI IK l= σ π α α (2.8)

• Szczelina (lub szczeliny) wychodzące z brzegu otworu kołowego w paśmie nieskończonym, rozciąganym równomiernie (jednoosiowo lub dwuosiowo)

IlK l Fr

= σ π

(2.81)

Wartości funkcji F otrzymane przez Bowie'go [2.1] zestawiono w poniższej tabeli.

σ l

l α σ

σ σ

σ

x2

x1

σ

2 R l l


F( l / r ) dla jednej szczeliny F(l / r ) dla dwóch szczelin

l/r rozc. w kierunku x2

rozc. w kier. x1 i x2

rozc. w kierunku x2

rozc. w kier. x1 i x2

0 3.39 2.26 3.39 2.26 0.1 2.73 1.98 2.73 1.98 0.2 2.30 1.82 2.41 1.83 0.3 2.04 1.67 2.15 1.70 0.4 1.86 1.58 1.96 1.61 0.5 1.73 1.49 1.83 1.57 0.6 1.64 1.42 1.71 1.52 0.8 1.47 1.32 1.58 1.43 1.0 1.37 1.22 1.45 1.38 1.5 1.18 1.06 1.29 1.26 2.0 1.06 1.01 1.21 1.20 3.0 0.94 0.93 1.14 1.13 5.0 0.81 0.81 1.07 1.06 10.0 0.75 0.75 1.03 1.03

∞ 0.707 0.707 1.00 1.00 Wiele innych rozwiązań można znaleźć w tablicach współczynników

intensywności naprężeń (np. Sih [2.9], Murakami [2.6]).

2.6 WPŁYW SKOŃCZONYCH WYMIARÓW CIAŁA NA WARTOŚCI WSPÓŁCZYNNIKÓW INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ

Zagadnienie ciała o skończonych wymiarach o różnych konfiguracjach układu ciało-szczelina-obciążenie - z punktu widzenia zastosowań praktycznych - jest oczywiście ważniejsze od zadania ciała nieograniczonego ze szczeliną. Uzyskanie rozwiązań w formie zamkniętej jest jednak niemożliwe, toteż wszystkie istniejące rozwiązania zawierają pewne mnożniki liczbowe uwzględniające skończone wymiary ciała, najczęściej przedstawiane w formie tabel lub wykresów, rzadziej podawane jako zależności funkcyjne. Poniżej zestawiono wartości współczynników intensywności naprężeń dla najczęściej spotykanych konfiguracji szczelin i obciążenia. W kilku przypadkach podano dwie zależności, z których jedna stosowana jest w badaniach prowadzonych na próbkach normowych.


• Szczelina centralna w paśmie rozciąganym

sec2I

lK lb

π= σ π (2.82)

2 3

1 0.128 0.288 1.523Il l lK lb b b

= σ π + − +

(2.83)

• Szczelina krawędziowa w paśmie rozciąganym

2 3 4

1.12 0.23 10.55 21.72 30.39Il l l lK lb b b b

= σ π − + − +

(2.84)

1.12IK l= σ π dla małych l/b (2.85)

σ

σ

2 b 2 l

l b

σ

σ


• Dwie szczeliny krawędziowe w paśmie rozciąganym

2 3

1.12 0.2 1.2 1.93Il l lK lb b b

= σ π + − +

(2.86)

1.12IK l= σ π dla małych l/b (2.87)

• Belka trójpunktowo zginana siłą skupioną P [N] ze szczeliną krawędziową

1 3 5 7 92 2 2 2 2

3 2 2.9 4.6 21.8 37.6 38.7IP S l l l l lK

BW W W W W W

= − + − + (2.88)

• Belka zginana o skończonej szerokości ze szczeliną krawędziową

σ

σ

l 2b

l

l S

B

P

W

l

S

W B

M M


2 3 4

2

6 1.12 1.40 7.33 13.08 14.0IM l l l lK l

BW W W W W

= π − + − +

(2.89)

• Tarcza o skończonej szerokości ze szczeliną boczną, rozciągana siłami skupionymi P[N]

1 2 3 2

1 2 29.6 185.5IP l lK

B W W W = − +

5 2 7 2 9 2

655.7 1017 63.9l l lW W W

+ − +

(2.90)

2.7 WYKORZYSTANIE ZASADY SUPERPOZYCJI DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKÓW INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ.

Wspomniano już, że rozkłady naprężeń dla danego typu szczeliny mają identyczną formę - są niezależne od konfiguracji układu ciało-szczelina-obciążenie, a tym co je różnicuje jest jedynie postać współczynnika intensywności naprężeń. Dzięki temu, w przypadku gdy mamy do czynienia z kombinacją różnych obciążeń, ale w obrębie tego samego typu szczeliny, współczynnik ten może być wyznaczony z zasady superpozycji. Prawdziwa jest zatem zależność:

p q r ...... , ,T T T TK K K K T I II III= + + + = (2.91)

gdzie: p, q i r oznaczają różne obciążenia zewnętrzne działające na ciało ze szczeliną.

l

b

P

B

P


Zasada superpozycji jest w wielu przypadkach bardzo użytecznym narzędziem przy wyznaczaniu współczynników intensywności naprężeń. Zilustrujemy to na dwóch przykładach.

• Szczelina, której powierzchnie są obciążone ciśnieniem wewnętrznym.

Sposób wykorzystania zasady superpozycji pokazano szczegółowo na Rys. 2.6. Wyjściowa konfiguracja "p" szczeliny obciążonej ciśnieniem wewnętrznym

powodującym jej "rozwieranie" i przyłożonym do jej powierzchni jest z oczywistych przyczyn przeciwna do konfiguracji "a". Tę z kolei można przedstawić jako różnicę dwu innych konfiguracji oznaczonych jako "b" i "c". Zachodzi zatem zależność:

( )p a b cI I I IK K K K= − = − − (2.92)

Zauważmy, że konfiguracja "b" może być zastąpiona konfiguracją "d", tzn. tarczą gładką poddaną równomiernemu rozciąganiu, jeżeli tylko obciążenie powierzchni szczeliny jest równe naprężeniom występującym w tarczy "d" w miejscu położenia szczeliny.

Rys. 2.6. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji

Taki przypadek ma miejsce w analizowanym zadaniu. Jest oczywiste, że dla tarczy gładkiej współczynnik intensywności naprężeń wynosi:

σ a

2 l

σ

σ p

2 l

σ = -

σ a

2 l

σ =

σ

σ

d

σ

σ

c

2 l

σ

σ

σ b

2 l

σ -

σ

=

σ

c

2 l

-


d b d0 0I I IK K K= ⇒ = = (2.93)

Wykorzystując (2.92) oraz uwzględniając (2.39) otrzymujemy:

p cI IK K l= = σ π (2.94)

• Szczelina wychodząca z brzegu małego otworu kołowego.

Rozważmy typowe zagadnienie praktyczne, a mianowicie połączenie śrubowe lub nitowane, wymagające wykonania otworów kołowych w łączonych elementach.

Dowolny otwór jest zawsze koncentratorem naprężeń, sprzyja zatem powstawaniu szczelin wychodzących z jego brzegu. Dla oceny bezpieczeństwa połączenia znajomość współczynnika intensywności naprężeń w sytuacji, gdy szczelina już powstała ma podstawowe znaczenie. Wyznaczymy go, korzystając z zasady superpozycji. Załóżmy, że promień otworu jest mały w stosunku do długości szczeliny, tak, że można go pominąć. Przyjmujemy ponadto, że długość szczeliny jest mała w stosunku do szerokości 2b łączonego elementu - można więc przyjąć, że obowiązują rozwiązania jak dla pasma nieograniczonego. Schemat wykorzystania zasady superpozycji pokazano na Rys. 2.7.

Rys. 2.7. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji

= - +

c 2 l

P

P

σ

σ

b

2 l

σ

d 2 l

P

σ

a

P=2σb

2 l 2 b

2 b

σ

σ


Z Rys. 2.7 wynika, że zachodzi następujący związek:

a b c dI I I IK K K K= + − (2.95)

Z oczywistych powodów konfiguracje "a" i "d" są identyczne, czyli KIa=KId. Korzystając z postaci współczynników intensywności naprężeń dla konfiguracji

'b" i "c" - odpowiednio rów. (2.39) i (2.74) - otrzymujemy poszukiwany współczynnik dla konfiguracji "a" w postaci:

( )a b c1 12 2I I I

bK K K ll

σ= + = σ π +

π (2.96)

2.8 SZCZELINY ELIPTYCZNE I KOŁOWE

Dotychczasowe rozważania dotyczyły szczelin w płaskich płytach. Jakkolwiek szczeliny takie przechodzą przez całą grubość płyty, mają zatem niezerową powierzchnię, to jednak jedynym istotnym z punktu widzenia ich analizy jest wymiar liniowy, określający ich długość. Z tego powodu szczeliny te można określić mianem liniowych. Propagacja takich szczelin zawsze zachodzi wzdłuż ich kierunku. W zagadnieniach praktycznych bardzo często mamy jednak do czynienia z defektami (niekiedy powstającymi już w fazie produkcji materiału, a więc defektami technologicznymi) przyjmującymi formę szczelin, w analizie których konieczne jest uwzględnienie ich kształtu, a zatem i powierzchni wyznaczonej tym kształtem - można więc nazwać je szczelinami powierzchniowymi. Często są to defekty wewnętrzne, niewidoczne przy obserwacji zewnętrznych powierzchni ciała. Mówiąc obrazowo można powiedzieć, że są one jakby "uwięzione" w otaczającym je materiale. Do kategorii defektów powierzchniowych należą także szczeliny wychodzące ze swobodnych brzegów ciała lub jego naroży, propagujące się w głąb materiału. Kształt powierzchni ograniczającej defekty typu powierzchniowego jest nieregularny, dla celów obliczeniowych przyjmuje się jednakże, z wystarczającym stopniem dokładności, że brzeg powierzchni szczeliny jest eliptyczny lub kołowy. W przypadku szczelin narożnych - brzeg aproksymuje się "ćwiartką" elipsy lub koła, a dla szczelin wychodzących ze swobodnych brzegów przyjmuje się kształt półelipsy lub półkola. Szczeliny powierzchniowe pokazano na Rys. 2.8.

Ze względu na duże znaczenie praktyczne - zagadnienie szczelin powierzchniowych jest przedmiotem licznych analiz od wielu lat. Tutaj ograniczymy się do przedstawienia jedynie podstawowych informacji.

Współczynnik intensywności naprężeń dla szczeliny powierzchniowej o kształcie kołowym, znajdującej się w nieograniczonym ośrodku sprężystym, poddanym rozciąganiu o kierunku prostopadłym do powierzchni szczeliny - Rys. 2.9 - wynosi (Sneddon [2.10]):


Rys. 2.8. Rodzaje szczelin powierzchniowych.

Rys. 2.9. Szczelina eliptyczna w ciele nieograniczonym.

2IK a= σ π

π (2.97)

Rozwiązanie dla szczeliny eliptycznej (Rys. 2.9) o półosiach a i c, całkowicie "zanurzonej" w materiale uzyskał Irwin [2.4] w postaci:

1 42

2 22sin cosI

a aKc

σ π = α + α Φ

(2.98)

szczelina eliptyczna lub kołowa

szczelina półeliptyczna lub półkołowa

szczelina ćwierćeliptyczna lub ćwierćkołowa

σ

σ

2 c

2 a c

a α

B P

A


gdzie Φ jest całką eliptyczną drugiego rodzaju o równaniu:

2 2

2 22

0

1 sin d ; 1 ak kc

π

Φ = − α α = −∫ (2.99)

Równanie (2.98) określa wartość współczynnika w dowolnym punkcie P brzegu szczeliny. Wartość całki (2.99) można znaleźć w tablicach matematycznych. Możliwe jest również wykorzystanie jej rozwinięcia w szereg o postaci:

22 2 2 2

2 2

1 31 .....2 4 64

c a c ac c

π − −Φ = − − −

(2.100)

Trzeci wyraz szeregu stanowi mniej niż 5 procent wartości całkowitej całki i może być pominięty. Ostatecznie - Φ i KI mają postaci:

2

38

ac

π Φ = + (2.101)

1 42

2 222 sin cos

38

I

a aKca

c

σ π = α + α π +

(2.102)

KI osiąga wartość maksymalną w punkcie końcowym B mniejszej osi elipsy, a minimalną w pkt. A - tzn. na końcu osi większej. Tak więc otrzymamy:

Im Ain I

a aK Kc

σ π= =

Φ (2.103)

Im Bax I

aK K

σ π= =

Φ (2.104)

W przypadku szczelin ćwierćeliptycznych i półeliptycznych wprowadza się do podanych relacji współczynniki korekcyjne. Podobnie czyni się w przypadku ciała o skończonych wymiarach. Najczęściej współczynniki te podane są w postaci wykresów lub tabel, dostępnych w tablicach współczynników intensywności naprężeń oraz monografiach dot. mechaniki pękania (np. Broek [2.2]).


2.9 PRZYKŁADY

PRZYKŁAD 1

Dla próbki ze szczeliną w III typie obciążenia (podłużne ścinanie) przyjęto funkcję przemieszczeń u3 w postaci:

( )3u w r fλ= = θ (2.1.1)

Korzystając z tego wyrażenia określić składowe stanu naprężenia i przemieszczenia.

Rozwiązanie:

Zanim przystąpimy do rozwiązywania przykładu, określmy najpierw funkcje przemieszczeń, odkształceń i naprężeń dla zagadnienia szczeliny III typu - Rys. 2.10.

Rys. 2.10. Szczelina w III typie obciążenia.

Funkcje przemieszczeń mają postać:

1 2 0u u= = 3 1 2( , )u w w x x= = (2.1.2)

Współrzędne tensora odkształceń wyznaczone z równań Cauchy'ego wynoszą zatem:

11 22 33 12 0e = e = e = γ = 131

wx

∂γ =

∂ 23

2

wx

∂γ =

∂ (2.1.3)

Współrzędne tensora naprężenia obliczone z równań Hooke'a mają postać:

11 22 33 12 0σ = σ = σ = σ = 131

wGx

∂σ =

∂ 23

2

wGx

∂σ =

∂ (2.1.4)

x2 x1

x3


Wstawiając te współrzędne do jedynego niespełnionego tożsamościowo równania równowagi otrzymujemy równanie równowagi w postaci:

2 0w∇ = (2.1.5)

Po podstawieniu (2.1.1) do (2.1.5) otrzymujemy:

( ) ( )2

22 0

d ff

dθ

+ λ θ =θ

(2.1.6)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

( ) sin cosf A Bθ = λθ + λθ (2.1.7)

Człon Bcosλθ należy wykluczyć z rozwiązania ze względu na antysymetrię problemu w przypadku, gdy θ=0. Wtedy ostatnie równanie przyjmuje postać:

( ) sinf Aθ = λθ (2.1.8)

Warunek brzegowy wzdłuż powierzchni szczeliny ma we współrzędnych biegunowych (r, θ , z ; z≡x3 ) postać:

0 dlazθτ = θ = ± π (2.1.9)

Biorąc pod uwagę równanie fizyczne, z którego wynika związek:

zG wrθ

∂τ =

∂ θ (2.1.10)

otrzymujemy warunek:

cos 0 ; 1,3,5,...2n nλ π = ⇒ λ = ± = (2.1.11)

Ujemne wartości n pomijamy, gdyż prowadzą one do nieskończenie dużych przemieszczeń w wierzchołku szczeliny (r =0). Biorąc n =1 otrzymujemy osobliwe składowe stanu naprężenia oraz skończone przemieszczenia. Funkcja przemieszczeń w przyjmuje dla n =1 postać:

1 2 sin2

w A r θ= (2.1.12)


Niezerowe naprężenia wyrażone we współrzędnych biegunowych mają postaci:

,r z zw G wGr rθ

∂ ∂τ = τ =

∂ ∂ θ (2.1.13)

Po podstawieniu w otrzymujemy:

1 2 sin2 2r zG A r− θ

τ = (2.1.14)

1 2 cos2 2zG A r−

θ

θτ = (2.1.15)

Wprowadzając oznaczenie:

2IIIKAG

=π

(2.1.16)

otrzymujemy, że stan przemieszczenia i naprężenia opisany jest równaniami:

2 sin2 2

IIIK rwG

θ=

π (2.1.17)

sin ; cos2 22 2

III IIIr z z

K Kr rθ

θ θτ = τ =

π π (2.1.18)

Uzyskane rozwiązanie w pełni odpowiada podanym uprzednio rezultatom dla szczeliny w III typie obciążenia, tzn. rów. (2.59) i (2.60).


PRZYKŁAD 2

Sprawdzić, że funkcja naprężeń w postaci:

2 2I

P lz z l

ϕ =π −

(2.2.1)

odpowiada przypadkowi szczeliny o długości 2l w ośrodku nieograniczonym, obciążonej dwiema siłami P przyłożonymi do powierzchni szczeliny w pkt. (x1=x2=0) . Określić współczynnik intensywności naprężenia KI.

Rozwiązanie:

Warunki brzegowe dla analizowanego problemu dla punktów położonych w nieskończoności można zapisać następująco:

11 22 12 0 dla zσ = σ = σ = → ∞ (2.2.2)

W celu wykazania, że są one spełnione wystarczy zauważyć iż funkcja naprężeń dla z→ ∞ jest tożsamościowo równa zero. Z równań (2.27) otrzymujemy:

11 2Re Imx ′σ = ϕ − ϕ

22 2Re Imx ′σ = ϕ + ϕ (2.2.3)

12 2 Rex ′σ = − ϕ

Wynika stąd natychmiast, że zerują się wszystkie naprężenia, a tym samym spełnione są warunki (2.2.2).

Zapiszmy funkcję naprężeń dla punktów leżących na osi x1 (tzn. x2=0) - ma ona wówczas postać:

P

P

x2

x1

2 l


( )1 2 21 1

,0IP lx

x x lϕ =

π − (2.2.4)

Z równania (2.2.4) widać, że dla x2=0, x1<l - funkcja naprężeń ma tylko część urojoną (wartość wyrażenia 2 2

1x l− jest ujemna). Z równań (2.2.3) wynika zatem, że naprężenie σ22 jest równe zero. Wyjątek stanowi tu punkt x1=0, x2=0 w którym naprężenie σ22 rośnie do nieskończoności, co wskazuje na obecność w tym punkcie siły skupionej - nazwijmy ją jako P2.

Dla x2=0, x1>l wielkość 2 21x l− jest rzeczywista (funkcja naprężeń składa się

wyłącznie z części rzeczywistej) i zgodnie z rów. (2.2.3) naprężenie σ22 jest określone wprost przez rów. (2.2.4). Rozkład tego naprężenia pokazano na Rys. 2.11.

Rys. 2.11. Rozkład naprężenia σ2 2 dla półpłaszczyzny x2 > 0.

Siła skupiona P2 przyłożona w punkcie x1=0, x2=0 musi mieć taką wartość, aby spełniona była równowaga sił działających wzdłuż osi x1 na półpłaszczyźnie x2>0.

Z równania równowagi otrzymujemy :

22 1 22 0l

d x P∞

σ + =∫ (2.2.5)

122 2

1 1

2 0l

P l d x Px x l

∞

+ =π −∫ (2.2.6)

P

σ22=σ22 (x1)

x2

x1

2 l

x1= - l x1= l


Po obliczeniu wartości całki (2.2.6) otrzymujemy5:

2P P= − (2.2.7)

Poszukiwana siła skupiona działająca w punkcie x1=0, x2=0 wzdłuż kierunku x2

+ wynosi zatem P. Analogiczne rozumowanie dla półpłaszczyzny x2<0 prowadzi do wyznaczenia drugiej siły P działającej w punkcie x1=0, x2=0 wzdłuż kierunku x2

-. Wykazaliśmy w ten sposób, że funkcja naprężeń (2.2.1) odpowiada obciążeniu szczeliny dwiema siłami P przyłożonymi do jej powierzchni w pkt. x1=0, x2=0.

Współczynnik intensywności naprężeń KI obliczamy z równania (2.65):

0

lim 2I IKη →

= π η ϕ (2.2.8)

gdzie: η =z-l (rów. (2.34)). Funkcja naprężeń (2.2.4) przyjmuje zatem postać:

( ) ( )2

IP l

l lϕ =

π + η η η + (2.2.9)

Obliczając wartość granicy (2.2.8) otrzymujemy:

( ) ( ) ( )0 0

2lim 2 lim

22I

P lP lKl ll lη → η →

= π η =π + η η +π + η η η +

(2.2.10)

Ostatecznie współczynnik intensywności naprężeń ma postać:

IPK

l=

π (2.2.11)

PRZYKŁAD 3

Przeanalizować szczelinę o długości 2l, która tworzy kąt α z kierunkiem x2, znajdującą się w nieograniczonym paśmie, poddanym działaniu obciążenia σ oraz

5 1

2 211 1

1 arccosd x ll xx x l

=−∫


k σ odpowiednio wzdłuż kierunku x2 i x1 (Rys. 2.12). Wyprowadzić wzory na naprężenia σ11, σ22 oraz σ12.

Rozwiązanie:

W wyniku transformacji naprężeń σ11=k σ, σ11=σ, otrzymujemy naprężenia σ11’ , σ22’, σ12’ w układzie ( x1’, x2’) w postaci:

111 1 cos 2

2 2k k+ −′σ = σ − σ α

221 1 cos 2

2 2k k+ −′σ = σ + σ α (2.3.1)

121 sin 2

2k −′σ = − σ α

Rys. 2.12. Nachylona szczelina w paśmie nieograniczonym: a) dwuosiowe obciążenie, b) transformacja naprężeń.

Obciążenie ciała ze szczeliną, pokazane na Rys. 2.12, można - korzystając z zasady superpozycji - zastąpić innym, równoważnym, przedstawionym na Rys. 2.13.

Szczelina poddana jest zatem działaniu następujących obciążeń: a) dwuosiowemu rozciąganiu σ22’, b) jednoosiowemu rozciąganiu (σ11’- σ22’) wzdłuż osi x1’, c) obciążeniu ścinającemu σ12’.

kσ kσ 2l

α

σ

σ

x1

x2

a

x2’ x1’

2l

α

x1

x2

b

x2’ x1’

σ22’ σ21’ σ12’

σ11’

σ22’ σ21’ σ12’

σ11’


Rys. 2.13. Zasada superpozycji dla obciążeń.

Mamy więc do czynienia z superpozycją obciążenia σ22’ powodującego otwarcie szczeliny (I typ ) oraz σ12’powodującego poprzeczne ścinanie szczeliny (II typ). Obciążenie (σ11’- σ22’) nie powoduje powstawania osobliwego pola naprężeń, ale musi być uwzględnione w ostatecznej postaci naprężenia σ*

11 wzdłuż osi x1’.

Z równań (2.3.1) oraz równań (2.45) i (2.56) otrzymujemy:

113 3cos 1 sin sin sin 2 cos cos

2 2 2 2 2 22 2I IIK K

r r∗ θ θ θ θ θ θ σ = − − + + π π

( 1) cos 2k− − σ α (2.3.2)

223 3cos 1 sin sin sin cos cos

2 2 2 2 2 22 2I IIK K

r r∗ θ θ θ θ θ θ σ = + + π π

(2.3.3)

123 3cos sin cos cos 1 sin sin

2 2 2 2 2 22 2I IIK K

r r∗ θ θ θ θ θ θ σ = + − π π

(2.3.4)

gdzie:

( )1 1 1 cos 22IK k k l= + + − α σ π (2.3.5)

1 sin 22II

kK l−= − α σ π (2.3.6)

Zauważmy, że dla przypadku jednoosiowego rozciągania w kierunku osi x2, co jest równoważne przyjęciu k = 0, z zależności (2.3.5) i (2.3.6) otrzymujemy:

σ12’

σ12’

σ21’

σ21’

x2’ x1’

b σ12’

σ11’

σ22’ σ21’

σ12’

σ11’

σ22’ σ21’

σ22’ σ22’

σ22’

σ22’ σ11’-σ22’

σ11’-σ22’ = + +


[ ] 21 1 cos 2 sin2IK l l= − α σ π = σ π α (2.3.7)

1 sin 2 sin cos2IIK l l= α σ π = σ π α α (2.3.8)

Otrzymaliśmy zatem rozwiązanie określające współczynniki intensywności naprężeń dla nieskończonego pasma ze szczeliną nachyloną pod kątem α do kierunku obciążenia rozciągającego, zacytowane już wcześniej - patrz wzory (2.79) i (2.80).

PRZYKŁAD 4

Rozważmy krótkie pęknięcie o długości l wychodzące z brzegu otworu kołowego wzdłuż osi x1 w płycie poddanej jednoosiowemu rozciąganiu σ wzdłuż osi x2 (Rys. 2.14) Określić współczynnik intensywności naprężeń. Następnie rozważyć drugie pęknięcie o długości l rozprzestrzeniające się z otworu wzdłuż osi x2 i określić współczynnik intensywności naprężeń. Na koniec wyznaczyć współczynnik intensywności naprężeń dla obu szczelin, gdy płyta poddana jest dodatkowo obciążeniu kσ wzdłuż osi x1.

Wykorzystać rozwiązanie Kirscha dla pasma z otworem kołowym, rozciąganego wzdłuż kierunku x2 obciążeniem σ, z którego wynika, że naprężenia obwodowe na brzegu otworu w punktach A i B wynoszą odpowiednio 3σ i - σ. Szczegóły rozwiązania można znaleźć np. w książce Timoshenki i Goodiera [2.11].

Rozwiązanie:

Jako pierwszy przeanalizujemy przypadek jednoosiowego rozciągania płyty wzdłuż osi x2 Rozważmy element materialny na obwodzie otworu w pobliżu punktu A w paśmie bez szczeliny. Zakładając, że wymiary elementu są małe, można przyjąć iż na skutek koncentracji naprężeń wywołanej otworem element poddany jest działaniu stałego naprężenia rozciągającego 3σ wzdłuż osi x2; pozostałe dwa naprężenia są równe - zgodnie z rozwiązaniem Kirscha [1.4] - zero. Zakładając, że szczelina jest bardzo krótka, można w przybliżeniu przyjąć konfigurację szczelina-element-obciążenie taką, jak na Rys. 2.14 a.

Wykorzystując wzór (2.85) otrzymujemy dla krótkiej szczeliny bocznej "1" o długości l współczynnik intensywności naprężeń w postaci:

1 1.12 (3 ) 3.36IK l l= σ π = σ π (2.4.1)

Analogiczne rozumowanie dla szczeliny "2" leżącej wzdłuż osi x2 - Rys. 2.14 b - prowadzi do współczynnika intensywności naprężeń w postaci:


Rys. 2.14. Krótkie szczeliny wychodzące z otworu kołowego przy dwuosiowym rozciąganiu pasma nieograniczonego.

2 1.12IK l= − σ π (2.4.2)

Gdy płyta poddana jest dodatkowo działaniu obciążenia wzdłuż osi x1, którego wartość wynosi kσ, możemy dokonać superpozycji otrzymanych rezultatów. Otrzymamy wówczas:

( )1 3.36 1.12 1.12 3IK l k l k l= σ π − σ π = − σ π (2.4.3)

dla szczeliny "1", oraz:

( )2 3.36 1.12 1.12 3 1IK k l l k l= σ π − σ π = − σ π (2.4.4)

dla szczeliny "2". Zauważmy, że dla k=1 wyrażenia (2.4.3) i (2.4.4) upraszczają się do tej samej

postaci:

2.24IK l= σ π (2.4.5)

Przywołajmy w tym miejscu zależność (2.81) wraz z odpowiednią tabelą.

3σ

3σ

a

− σ − σ b

kσ kσ

σ

σ

x1

x2

B

A

l

l

szczelina 1

szczelina 2


Widać, że wartość współczynnika korekcyjnego dla jednej szczeliny, wychodzącej z brzegu otworu przy jednoosiowym rozciąganiu wzdłuż osi x2 i dla bardzo krótkiej szczeliny (l / r=0 ) wynosi 3.39. W naszej przybliżonej analizie analogicznego przypadku otrzymaliśmy (rów. (2.4.1)) wartość bardzo zbliżoną, a mianowicie 3.36. Dla przypadku dwuosiowego rozciągania i k=1, rozwiązanie numeryczne podane we wspomnianej tabeli wynosi 2.26, zaś analiza przybliżona (rów. (2.4.5)) daje rezultat 2.24. Tak więc uzyskane stosunkowo prostym sposobem wyniki dobrze odpowiadają rezultatom numerycznym.

PRZYKŁAD 5

Zbiornik ciśnieniowy (powłoka walcowa z zamkniętymi końcami) o promieniu R i grubości t posiada skośną szczelinę o długości 2l nachyloną pod kątem β do kierunku obwodowego. Określić współczynniki intensywności naprężeń w wierzchołku szczeliny przy obciążeniu zbiornika ciśnieniem wewnętrznym p - Rys. 2.15.

Rys. 2.15. Cienkościenny zbiornik ciśnieniowy ze szczeliną.

Rozwiązanie:

Naprężenie obwodowe σθ i podłużne σz w zbiorniku otrzymujemy z warunków równowagi sił - Rys. 2.16.

Równowaga sił wzdłuż osi zbiornika (kierunek południkowy) - Rys. 2.16 a - prowadzi do równania :

222z zR pR t R p

tπ σ = π ⇒ σ = (2.5.1)

W celu wyznaczenia naprężenia obwodowego skorzystajmy z Rys. 2.16 b.

2l β σθ σθ

σz

σz

σz

σθ

R

t

p


Rys. 2.16. Równowaga sił na kierunku: a) południkowym, b) równoleżnikowym (obwodowym) w cienkościennym zbiorniku ciśnieniowym.

Ciśnienie p działające w dowolnym punkcie wewnętrznego brzegu zbiornika -prostopadle do tego brzegu - można rozłożyć na składową poziomą p2 i pionową p1. Ze względu na antysymetrię składowych poziomych - wywołana nimi siła zeruje się. Równowaga sił pionowych (Rys. 2.16 b) prowadzi do równania:

1 2 0s

p d s tθ− σ =∫ (2.5.2)

Całka występująca w (2.5.2) wynosi:

10

sin sin 2s s

p d s p d s p R d p Rπ

= α = α α =∫ ∫ ∫ (2.5.3)

Ostatecznie zatem równanie równowagi i wynikające z niego naprężenie obwodowe mają postaci:

2 2 R pt R ptθ θσ = ⇒ σ = (2.5.4)

Zauważmy, że wprowadzając oznaczenia:

1 2R p t kσ = = (2.5.5)

naprężenia obwodowe i południkowe mają postaci:

z kθσ = σ σ = σ (2.5.6)

α p

p1=p sinα

p2=p cosα

2R t

p

σθ σθ

b

R

t

p

p

a


Obciążenie elementu powierzchni zbiornika zawierającego szczelinę jest zatem identyczne jak to, które analizowano w przykładzie 3 (Rys. 2.12 a). Korzystając z uzyskanych w tym przykładzie rozwiązań (2.3.5) i (2.3.6), po wstawieniu do nich (2.5.6) i prostych przekształceniach, otrzymujemy dla niniejszego zadania następujące postaci współczynników intensywności naprężeń:

( )21 sin2IR pK l

t= + β π (2.5.7)

sin cos2IIR pK l

t= β β π (2.5.8)

Na marginesie rozwiązania tego zadania nasuwa się autorowi pewna dygresja, którą uważa za godną przedstawienia. Chcąc przybliżyć ten przykład studentom, od wielu lat posługuję się w czasie wykładów z wytrzymałości materiałów analogią cienkościennego zbiornika z zamkniętymi denkami do … parówki. I zadaję studentom pytanie, jak gotowana parówka (a zatem „rozpychana” od wewnątrz ciśnieniem pochodzącym od pęczniejącej zawartości) pęka. Wszyscy udzielają prawidłowej odpowiedzi, że zawsze wzdłuż. I wówczas wykorzystuję wiedzę ścisłą (która wiedzie do tej samej konkluzji), aby wykazać słuchaczom, jak życie codzienne jest bliskie nauk technicznych. W wielu przypadkach – jak miałem okazję się przekonać – jest to jedyny przykład, który po wielu latach pamiętają byli studenci!

PRZYKŁAD 6

Obliczyć dopuszczalną długość szczeliny l umieszczonej centralnie w paśmie o szerokości 30 cm, poddanym równomiernemu rozciąganiu ciśnieniem o wartości 140 MPa. Krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń wynosi 55 MPa m1/2, wytrzymałość doraźna na rozciąganie ma wartość 350 MPa.

b = 0,15 m σ = 140 MPa Rm = 350 MPa KIc= 55 MPa m1/2

σ

σ

2 b 2 l


Rozwiązanie:

Dopuszczalną długość szczeliny wyznaczamy z warunku:

I I cK K= (2.6.1)

Współczynnik intensywności naprężeń dla analizowanej konfiguracji ma postać określoną przez równanie (2.83), tzn.:

( ) ( ) ( )2 31 0.128 0.288 1.523IK l l b l b l b = σ π + − + (2.6.2)

Rozwiązanie zadania sprowadza się zatem do znalezienia pierwiastka nieliniowego równania algebraicznego o postaci:

( )2 331.03 1 0.853 12.8 451.26 0l l l l− + − + =σ

(2.6.3)

Do jego rozwiązania użyto programu Mathcad, przy czym obliczenia wykonano dla różnych wartości obciążenia, dzięki czemu możliwe było wyznaczenie krzywej nośności pasma - tzn. krzywej pozwalającej określić długość szczeliny dopuszczalnej przy dowolnym poziomie obciążenia, bądź alternatywnie określenie obciążenia dopuszczalnego przy danej długości szczeliny. Wyniki obliczeń przedstawiono na Rys. 2.17.

Z wykresu widać, że czym większe obciążenie tym mniejsza jest długość dopuszczalna szczeliny. Zauważmy, że dla szczelin bardzo krótkich ( 2 l ≅ 1.6 cm) obciążenie niszczące wynikające z rozwiązania zgodnego z mechaniką pękania jest większe niż wytrzymałość doraźna. Oznacza to, że pasmo ulegnie zniszczeniu nie wskutek obecności szczeliny, ale w wyniku przekroczenia wytrzymałości (utrata nośności). Szczelina nie powoduje w tym wypadku zmniejszenia nośności pasma. Zwróćmy także uwagę na to, że dla szczelin o długości 2 l przekraczającej 21 cm uzyskane rozwiązanie jest wątpliwe, gdyż wykorzystany w rozwiązaniu współczynnik intensywności naprężeń obowiązuje w zasadzie dla stosunku l/b nieprzekraczającego wartości 0.7.

Z Rys. 2.17 możemy odczytać rozwiązanie naszego zadania. Dla obciążenia 140 MPa dopuszczalna wartość długości szczeliny wynosi 2 l = 8,88 cm.

Na Rys. 2.17 pokazano również krzywą wytrzymałości uzyskaną na podstawie współczynnika intensywności naprężeń dla pasma o nieograniczonych wymiarach. Równanie tej krzywej ma postać

/IcK lσ = π (2.6.4)


Z porównania obu krzywych na Rys. 2.17 widać, że w przypadku szczelin krótkich różnica między nimi jest znikomo mała. Wraz ze wzrostem długości szczeliny coraz silniejszy jest wpływ skończonej szerokości pasma, objawiający się tym, że dla ustalonej długości szczeliny wytrzymałość takiego pasma jest mniejsza niż pasma nieskończonego.

W analogiczny sposób do przedstawionego powyżej można wyznaczać krzywe nośności dla innych konfiguracji ciała ze szczeliną.

Rys. 2.17. Krzywe nośności dla pasma ze szczeliną centralną.

PRZYKŁAD 7

Obliczyć dopuszczalną długość centralnej szczeliny l1 , jaką można wprowadzić do rozciąganego pasma o szerokości 2b osłabionego dwiema szczelinami krawędziowymi o długości l każda, nie zmniejszając nośności pasma.

Rozwiązanie:

Zadanie rozwiążemy przy założeniu, że szczelina centralna znajduje się dostatecznie daleko od szczelin krawędziowych, można więc zaniedbać interakcję szczelin.

Współczynnik intensywności naprężeń dla pasma ze szczelinami krawędziowymi opisuje równanie (2.86):

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

350,0

400,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

długość szczeliny l [cm]

obci

ążen

ie [M

Pa]

pasmo o skończonej szerokościpasmo nieskończone

l/b =0.7140

4.44

wytrzymałość doraźna


2 3

1.12 0.2 1.2 1.93Il l lK lb b b

= σ π + − +

(2.7.1)

Obciążenie krytyczne wynikające z warunku KI =KIc wyraża się zależnością:

1 2.2379kr I cKσ = (2.7.2)

Dla szczeliny centralnej współczynnik intensywności naprężeń obliczamy z równania (2.83):

2 3

1 1 11 1 0.128 0.288 1.523I

l l lK l

b b b

= σ π + − +

(2.7.3)

Obciążenie krytyczne dla takiej szczeliny wyraża się zależnością:

( ) 12 2 3

1 1 1 11.772 0.907 8.167 172.76kr I cK l l l l−

σ = + − + (2.7.4)

Z tematu zadania wynika, że wprowadzenie szczeliny centralnej do pasma ze szczelinami krawędziowymi nie może zmniejszać jego nośności - między obciążeniami krytycznymi dla tych dwu sytuacji musi zachodzić zatem warunek:

1 2kr krσ < σ (2.7.5)

Wstawiając (2.7.2) i (2.7.4) do (2.7.5), po wykonaniu obliczeń otrzymujemy dopuszczalną długość szczeliny centralnej:

2b = 0 5 m l = 0.05 m

2b

σ

σ

l l

l1


12 11.88 cml < (2.7.6)

Zauważmy, że długość szczeliny, jaką można wprowadzić do pasma bez zmniejszenia jego nośności jest większa nie tylko od długości pojedynczej szczeliny krawędziowej (5 cm), ale nawet od sumy długości obu szczelin krawędziowych. Świadczy to o tym, że obniżenie nośności na skutek obecności szczeliny zależy nie tylko od jej długości, ale również konfiguracji ciało-obciążenie-szczelina, wyrażonej postacią współczynnika intensywności naprężeń.

PRZYKŁAD 8

Porównać nośność rozciąganego pasma o szerokości 2b w trzech przypadkach: 1) ze szczeliną centralną 2l, 2) z jedną szczeliną krawędziową l, 3) z dwiema szczelinami krawędziowymi o długości l każda.

Rozwiązanie:

Współczynniki intensywności naprężeń dla rozważanych konfiguracji mają postaci:

2 3

1 1 0.128 0.288 1.523Il l lK lb b b

= σ π + − +

(2.8.1)

2 3 4

2 1.12 0.23 10.55 21.72 30.39Il l l lK lb b b b

= σ π − + − +

(2.8.2)

2 3

3 1.12 0.2 1.2 1.93Il l lK lb b b

= σ π + − +

(2.8.3)

1

σ

2 l 2b=0.5 m

σ

l

2b=0.5 m

σ

σ

2

σ

σ

l l 2b=0.5 m

3


Obciążenie krytyczne σk r , a zatem i nośność, wynika z warunku KI=KIc. Wyniki odpowiednich obliczeń przedstawiono na Rys. 2.18.

Rys. 2.18. Obciążenie krytyczne σ k r /KI c w funkcji bezwymiarowej długości szczeliny l/b.

Z Rys. 2.18 widać, że przy ustalonej długości szczeliny najmniejszą nośność ma zawsze pasmo z jedną szczeliną krawędziową, mimo że nominalna powierzchnia przekroju (tzn. powierzchnia całkowita pomniejszona o powierzchnię szczeliny) w płaszczyźnie szczeliny jest w tym przypadku największa. Uogólniając tę obserwację można powiedzieć, że niesymetryczne konfiguracje ciało-szczelina-obciążenie są szczególnie niebezpieczne, gdyż najbardziej obniżają nośność elementu konstrukcyjnego.

PRZYKŁAD 9

Porównać nośność rozciąganego pasma o szerokości 2b ze szczeliną centralną 2l stosując met. mechaniki pękania oraz met. naprężeń nominalnych.

Rozwiązanie:

Klasyczny sposób wyznaczania nośności rozciąganego elementu osłabionego otworem czy nacięciem polega na wykorzystaniu przy obliczaniu naprężenia tzw. przekroju nominalnego. Jego powierzchnia jest równa powierzchni przekroju całkowitego pomniejszonej o powierzchnię nacięcia. Przekrój nominalny ma więc powierzchnię równą:

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

l / b

obc.

kry

tycz

ne /

KIc

[m

-1/2

]

szczelina centralnaszczelina boczna2 szczeliny boczne


1nom szczlA A A Ab

= − = −

(2.9.1)

gdzie: A = 2 b B. Warunek równowagi sił ma postać:

1

1nom nom nomlA Ab

− σ = σ ⇒ σ = σ −

(2.9.2)

Korzystając z warunku wytrzymałościowego σnom<Rm otrzymujemy następującą zależność określającą nośność pasma:

1krnom m

lRb

σ = −

(2.9.3)

Mechanika pękania wykorzystuje kryterium zniszczenia KI=KIc. Współczynnik intensywności naprężeń dla pasma ze szczeliną centralną ma postać:

2 3

1 0.128 0.288 1.523Il l lK lb b b

= σ π + − +

(2.9.4)

Nośność opisana jest zatem następującym równaniem:

12 3

1 0.128 0.288 1.523krszcz I c

l l lK lb b b

− σ = π + − +

(2.9.5)

Krzywe nośności (2.9.3) i (2.9.5) przedstawiono na Rys. 2.19.

2l

2b=0.5 m

B

żeliwo sferoidalne Zs 37017

KIc = 58.5 MNm -3/2

Rm = 480 MPa

σ

σ


Rys. 2.19. Nośność rozciąganego pasma ze szczeliną centralną.

Widać, że o nośności elementu może decydować zarówno kryterium naprężeń nominalnych, jak i kryterium mechaniki pękania - zależnie od stosunku długości szczeliny i szerokości pasma. W analizowanym zadaniu taką wartością graniczną tego stosunku jest l/b≈0.02. Oznacza to, że dla szczelin o długości całkowitej 2l mniejszej od ok. 1 cm odpowiednie jest kryterium naprężeń nominalnych (daje ono mniejszą nośność elementu), a dla szczelin dłuższych od 1 cm należy posługiwać się metodami mechaniki pękania.

0

150

300

450

600

750

900

1050

0 50 100 150 200 250

b / l

obc.

kry

tycz

ne [M

Pa] mechanika pękania

naprężenia nominalne

ROZDZIAŁ 3

3 UPLASTYCZNIENIE W POBLIŻU WIERZCHOŁKA SZCZELINY

3.1 SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE POLE NAPRĘŻEŃ W POBLIŻU WIERZCHOŁKA SZCZELINY

Obserwacje doświadczalne rozciąganych próbek metalowych ze szczelinami dowodzą, że odkształcenia występujące w strefach przylegających do wierzchołków szczelin w wielu przypadkach są odkształceniami plastycznymi, wykraczającymi poza zakres odkształceń, które można opisać na gruncie liniowej teorii sprężystości. Rozwiązania liniowo sprężystej mechaniki pękania (LSMP) tracą więc w tych obszarach, zwanych strefami plastycznymi, swoją ważność.

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na sprzeczność liniowo sprężystego rozwiązania zadania szczeliny, a w szczególności sprężystego rozkładu naprężeń z wynikami obserwacji. Wynika z niego, że naprężenie w wierzchołku szczeliny osiąga wartość nieskończenie dużą przy dowolnie małym obciążeniu, a mimo to nie wystąpią odkształcenia plastyczne. Jest to jednak wyłącznie skutek stosowanego opisu matematycznego, a nie efekt znajdujący uzasadnienie fizyczne - naprężenie musi bowiem mieć wartość skończoną - np. w przypadku materiału idealnie sprężysto-plastycznego nie większą niż granica plastyczności. W sprężystej analizie szczeliny fakt ten zupełnie się ignoruje. Chcąc zatem uwzględnić sprężysto-plastyczne własności materiału należałoby zastosować opis szczeliny na gruncie teorii plastyczności. Pomijając związane z tym trudności, bardzo duża ilość istniejących rozwiązań sprężystych była wystarczająco silnym powodem, aby poszukiwać takiego podejścia do uplastycznienia w sąsiedztwie wierzchołka szczeliny, które pozwoliłoby wykorzystać te rozwiązania, a jednocześnie w miarę poprawnie opisywało efekt uplastycznienia strefy przywierzchołkowej.

Okazuje się, że pod pewnymi warunkami rozwiązania LSMP mogą nadal być użyteczne przy analizie szczelin ze strefami plastycznymi. Zespół tych warunków,

78 Uplastycznienie w pobliżu wierzchołka szczeliny

dość ogólnie sformułowanych, prowadzi do pojęcia tzw. uplastycznienia małego zasięgu (UMZ). Uważa się, że mamy do czynienia z UMZ, wówczas gdy strefa plastyczna wokół wierzchołka jest wystarczająco mała w stosunku do długości szczeliny i innych wymiarów geometrycznych ciała, tak że sprężyste pole naprężeń wciąż może stanowić dobre oszacowanie pola rzeczywistego. Jest to w pewnym sensie warunek "asymptotyczny", w tym znaczeniu, że wraz ze wzrostem obciążenia (a zarazem z powiększaniem się strefy plastycznej) jest on coraz silniej zaburzony. Mówiąc w przybliżeniu, założenie o UMZ jest tak długo sensowne, jak obciążenie zewnętrzne jest stosunkowo małe - np. Hutchinson [3.2] twierdzi, że o UMZ można mówić wówczas, gdy obciążenie jest nie większe niż połowa obciążenia wywołującego pełne uplastycznienie.

3.1.1 Model Irwina

W dalszej analizie ograniczymy się do szczeliny w I typie obciążenia, dla której rozkład naprężeń sprężystych wzdłuż osi szczeliny(θ=0) ma przebieg jak na Rys. 3.1 a. Zakładając, że materiał jest idealnie sprężysto-plastyczny naprężenia nie mogą przekroczyć wartości granicy plastyczności σys. Jest więc oczywiste, że rozkład naprężeń musi być taki, aby w strefie przywierzchołkowej naprężenia w punktach, w których σy≥σys były stałe i równe σys, a poza tą strefą malały wraz z oddalaniem się od wierzchołka szczeliny. Problem sprowadza się do wyznaczenia długości strefy plastycznej rp oraz rozkładu naprężeń poza tą strefa - Rys. 3.1 b.

Pierwszą historycznie, ale ciągle mającą znaczenie praktyczne, koncepcją uwzględnienia uplastycznienia w strefie wierzchołkowej była koncepcja Irwina [3.3] bazująca na założeniu, że w rozkład ten może być uzyskany w oparciu o osobliwy, sprężysty rozkład naprężeń poprzez "obcięcie" wykresu tego rozkładu na poziomie σy=σys - Rys. 3.1 c.

Jest to tzw. pierwsze przybliżenie przyjmuje się, że strefa plastyczna ma długość δ , która wynika z warunku :

2

Iy s

Kσ =

π δ (3.1)

2 2

1 12 2

I

y s y s

Kl

σδ = = π σ σ

(3.2)


Rys. 3.1. Sprężysto-plastyczny rozkład naprężenia wg modelu Irwina.

Z Rys. 3.1 c widać jednocześnie, że przy takim podejściu naprężenia w zakreskowanym obszarze A, usuniętym z wykresu naprężeń na skutek jego "obcięcia" na poziomie σy=σys są niezrównoważone, co prowadzi do konkluzji, że nastąpi dalsze uplastycznienie, a długość strefy plastycznej będzie w rzeczywistości

a. 2

IKr

σ =π

σy

l r

b. σys

rp

σy

l r

d.

σys

rp

r

2IK

r

∗

σ =π

σy

lef

l

c.

σy

C B

A

2IKr

σ =π

σys

r λ l δ lef


większa niż to wynika z relacji (3.2). Obliczmy wielkość niezrównoważonej siły w obszarze A (oznaczmy ją dla uproszczenia tym samym symbolem A). Wynosi ona:

0 2

IKA d r B

r

δ

= −π∫ (3.3)

gdzie: B oznacza pole obszaru zawartego między prostą σy=σys, osią r, osią σy i prostą r=δ. Jest ono zarazem równe sile pochodzącej od naprężeń zawartych w obszarze B. Biorąc pod uwagę, że B=σyδ - z rów.(3.2) otrzymujemy:

ysA = σ δ (3.4)

Zauważmy, że niezrównoważoną siłę o wartości A można zrównoważyć poprzez powiększenie długości strefy plastycznej o odcinek λ, co jest równoważne poszerzeniu prostokątnego, plastycznego rozkładu naprężeń o prostokąt o polu C. Długość odcinka λ wynika z warunku:

A C= ⇒ λ = δ (3.5)

Długość tak poprawionej strefy plastycznej wynosi:

2pr = δ (3.6)

Ostatecznie zatem po wykorzystaniu (3.) otrzymujemy w PSN długość strefy plastycznej (tzw. II przybliżenie) w postaci:

2

1 Ip

y s

Kr

= π σ

(3.7)

lub:

2

py s

r l σ

= σ (3.8)

Dla płaskiego stanu odkształcenia - Irwin otrzymał zależność na strefę plastyczną w postaci:


2

13

Ip

y s

Kr

= π σ

(3.9)

Pozostaje jeszcze do wyznaczenia rozkład naprężenia poza strefą plastyczną. Irwin wprowadził pojęcie tzw. szczeliny zastępczej, dłuższej od szczeliny rzeczywistej, o wierzchołku przesuniętym na osi podłużnej szczeliny o długość odcinka δ - Rys. 3.1 c, d. Długość efektywna szczeliny zastępczej wynosi zatem lef =l+δ. Na skutek tej "fikcyjnej" zmiany długości szczeliny zmienia się także wartość współczynnika intensywności naprężeń - wynosi ona teraz:

( )IK l∗ = σ π + δ (3.10)

Zmodyfikowany rozkład naprężeń sprężystych poza strefą plastyczną o długości rp - Rys. 3.1 d - określony jest następującym równaniem:

2

Iy

Kr

∗

σ =π

(3.11)

3.1.2 Efektywny współczynnik intensywności naprężeń

Współczynnik intensywności naprężeń opisujący pole naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny zastępczej, określony jest równ. (3.10)

( )IK l∗ = σ π + δ (3.12)

gdzie δ jest określone przez rów. (3.2). Zauważmy, że dla szczeliny zastępczej - warunek "obcięcia" naprężeń dla r=λ

na poziomie σys prowadzi do innej zależności na δ niż to wynika z rów. (3.2). Korzystając z (3.11) i uwzględniając (3.5) otrzymujemy:

2

12

I

ys

K ∗ δ = π σ

(3.13)

Wstawiając (3.13) do (3.12) otrzymamy równanie określające efektywny współczynnik intensywności naprężeń w postaci:


( )1 2

1 22

1 0.5

I

ys

lK ∗ π

= σ σ − σ

(3.14)

Długość strefy plastycznej z uwzględnieniem omawianej poprawki należy dla spójności modelu obliczać z zależności (dla PSN):

12 21 1 0.5I

py s y s y s

Kr l

−∗ σ σ = = − π σ σ σ

(3.15)

Wyznaczmy jeszcze charakterystyczne przemieszczenia brzegów szczeliny zastępczej, a mianowicie jej rozwarcie w połowie długości (COD) oraz rozwarcie w punkcie odpowiadającym położeniu wierzchołka szczeliny pierwotnej (CTOD - Crack Tip Opening Displacement) - Rys. 3.2.

Rys. 3.2. Rozwarcie brzegów szczeliny zastępczej.

Zgodnie z rów. (2.51) rozwarcie szczeliny opisuje równanie:

( ) 2 22 12 2u u c l x= = σ + δ − (3.16)

Maksymalne rozwarcie wynosi:

( )2COD c l= σ + δ (3.17)

Z punktu widzenia stosowanych w mechanice pękania kryteriów propagacji szczeliny ważna jest znajomość rozwarcia wierzchołkowego dla x1=l. Wynosi ono:

( ) 2 22 2 2 2 pCTOD c l l c l c l r= σ + δ − ≅ σ δ = σ (3.18)

l

u2

x1 COD

CTOD

δ


Występujące w równaniu (3.18) obciążenie σ może być wyeliminowane poprzez wykorzystanie związku:

1 dla PSN

;3 dla PSOIK C l C

= σ π =

(3.19)

Wstawiając (3.19) do (3.18) otrzymujemy:

2 pI

rcCTOD KC

=π

(3.20)

Korzystając z wyrażeń określających współczynnik c - rów. (2.52), C - rów. (3.19) oraz długość strefy plastycznej rp - rów. (3.7) i (3.9), po prostych przekształceniach otrzymujemy rozwarcie wierzchołkowe w postaci: - dla płaskiego stanu naprężenia:

24 I

y s

KCTOD

E=

π σ (3.21)

- dla płaskiego stanu odkształcenia:

( )2 24 13

I

y s

KCTOD

E− ν

=π σ

(3.22)

3.1.3 Model Dugdale’a

Schematyzacja sprężysto-plastycznego zachowania się szczeliny zaproponowana przez Dugdale’a [3.1] pozwala na pełniejsze uwzględnienie uplastycznienia niż w modelu Irwina, jakkolwiek nadal bazuje ona na czysto sprężystych rozwiązaniach dotyczących pola naprężeń i przemieszczeń.

U podstaw modelu leżały obserwacje doświadczalne zachowania się szczeliny w cienkiej blasze ze stali miękkiej. Dugdale stwierdził, że uplastycznienie w pobliżu wierzchołka szczeliny objawia się powstaniem krzyżowych płaszczyzn poślizgu, nachylonych pod katem 45° do płaszczyzny blachy - Rys. 3.3. Wysokość strefy plastycznej jest w związku z tym równa grubości blachy t. Zakładając, że grubość jest znikomo mała w stosunku do pozostałych wymiarów blachy, a także długości strefy plastycznej, Dugdale przyjął, że prostokątny kształt strefy plastycznej można aproksymować odcinkiem. Z przedstawionego powyżej


rozumowania wynika również i ten wniosek, że model Dugdale'a dotyczy wyłącznie płaskiego stanu naprężenia.

Rys. 3.3. Strefa plastyczna w modelu Dugdale’a.

Koncepcyjnie model Dugdale’a jest podobny do modelu Irwina, gdyż i tu strefę plastyczną traktuje się jak część "nowej" szczeliny, tzw. szczeliny zastępczej o długości równej sumie długości szczeliny rzeczywistej i strefy plastycznej . Strefę plastyczną usuwa się myślowo z materiału, tworząc fikcyjną szczelinę (w rzeczywistości w miejscu uplastycznienia, nie występuje nieciągłość materiału), do powierzchni której przykłada się obciążenie wywołane oddziaływaniem "odrzuconej" części materiału, równe granicy plastyczności σys. Obciążenie szczeliny Dugdale’a pokazano na Rys. 3.4.

Rys. 3.4. Model Dugdale'a.

Warunki brzegowe dla analizowanego zagadnienia mają postać:

1 2 1

2 22 1

22 1

0 dla dowolnego

dla 0 0 dla <

dla < <y s

x

x x l

l x L

σ == σ =

σ = σ

(3.23)

t t

r r 2l

szczelina rzeczywista

strefy plastyczne

σ

l

x2 σys σys x1

σys σys

L r

σ


2 1 2dla 0 , 0x x L u= > = (3.24)

Podstawą modelu jest założenie, że ciało zachowuje się jak ośrodek liniowo sprężysty, a uplastycznienie strefy brzegowej jest uwzględniane jedynie poprzez jej obciążenie σys. Dzięki takiemu podejściu możliwe jest zastosowanie zasady superpozycji, jak to zostało pokazane na Rys. 3.5.

Naprężenie w kierunku osi x2 i rozwarcie szczeliny można zapisać w postaci sum:

22 22 22A Bσ = σ + σ (3.25)

2 2 2A Bu u u= + (3.26)

Do znalezienia rozwiązań dla zadań A i B wykorzystuje się metodę Westergaarda. Funkcje naprężeń dla obu przypadków obciążenia mają postaci (rów. (2.32) i (2.77)):

Rys. 3.5. Zasada superpozycji obciążeń w modelu Dugdale'a.

2 2

A zz L

ϕ = σ−

(3.27)

2 2

2 2 2 2

2arcctg arccosy sB l z L z l

z L l Lz L

σ −ϕ = − π − −

(3.28)

= + L A

σ

σ

σ

σ

l L

r

σys σys x1

x2

B

l L

r

σys σys


Rozpatrując tylko punkty leżące na osi x1 i korzystając z zależności (2.27) otrzymujemy:

22 Reσ = ϕ (3.29)

( )22 12 2

1

1 , ,F l L xx L

σ =−

(3.30)

gdzie:

( )1 1

2, , arccosy s lF l L x x

L σ

= σ − + π

2 212 2

1 2 21

2arcctgys x Llx L

x L l

−σ + −

π − (3.31)

Rozkład naprężeń określony przez rów. (3.30) jest rozkładem osobliwym, co stoi w sprzeczności z modelem, który wymaga, aby naprężenie w wierzchołku szczeliny zastępczej było skończone i równe σys. Spełnienie tego warunku możliwe jest tylko wówczas, gdy spełniony jest warunek:

( )1

1lim , , 0x L

F l L x→

= (3.32)

Zastosowanie tego warunku do (3.30) prowadzi do równania określającego długość strefy plastycznej w postaci:

sec2 y s

Ll

π σ= σ

(3.33)

lub:

sec 12 y s

r l π σ

= − σ (3.34)

Rozwijając funkcję sec w szereg potęgowy i biorąc jedynie pierwszy wyraz rozwinięcia, otrzymujemy:


2

2 2

28 8I

y s ys

Kr l

π σ π= = σ σ

(3.35)

Rozkład naprężenia σ22, po uwzględnieniu (3.33) przyjmuje postać:

2 21

22 2 21

2arccotys x Ll

x L l

−σ σ = π −

(3.36)

Przemieszczenia brzegów szczeliny dla konfiguracji A określa równanie (2.51):

2 22 1

2Au L xEσ

= − (3.37

W przypadku konfiguracji B należy wykorzystać ogólne równanie przemieszczeń (2.29), które dla x1=0 i dla płaskiego stanu naprężenia upraszcza się do postaci:

22 ImB BuE

= ϕ (3.38)

Pominiemy tu uciążliwe obliczenia prowadzące do funkcji przemieszczeń i ograniczymy się do podania końcowego rezultatu, który jest następujący:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1,0 , , , ,ysu x x l L x l x l L x lE

σ= − Γ − + Γ − π

(3.39)

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 21 1

1 2 2 2 2 21 1

, , lnL x L x L

L xL x L x L

− ς − − − ςΓ ς =

− ς + − − ς (3.40)

Dalsze wnioski dotyczące modelu Dugdale’a, a w szczególności charakterystycznych przemieszczeń (COD i CTOD) i kształtu brzegu szczeliny Dugdale’a oraz porównanie tego modelu z modelem Irwina znajdzie czytelnik w przykładach 1, 2 i 3.

3.2 KSZTAŁT STREF PLASTYCZNYCH

W rozważanych uprzednio modelach Irwina i Dugdale’a ograniczaliśmy się do uplastycznienia w punktach leżących na osi podłużnej szczeliny. Uplastycznienie zachodzi jednak także w innych punktach. Interesujące jest zatem pytanie o kształt


obszaru uplastycznionego. Rozwiązanie tego zagadnienia w ramach teorii plastyczności jest bardzo złożonym zagadnieniem, toteż poszukiwano takich oszacowań rozwiązania, które z jednej strony byłyby proste do uzyskania, ale z drugiej w miarę poprawne. Podejście, które zapewnia spełnienie obu tych wymagań oparte jest na wykorzystaniu sprężystych, osobliwych pól naprężeń wokół wierzchołka szczeliny i kryteriów wytężeniowych Hubera-Misesa-Hencky'ego (HMH) lub Galileusza-Treski-Guesta. Idea tego podejścia zamyka się w stwierdzeniu, że uplastycznienie materiału w danym punkcie następuje wówczas, gdy spełnione jest w nim odpowiednie kryterium wytężeniowe. Biorąc jako granicę naprężeń niebezpiecznych granicę plastyczności σys można mówić o kryterium plastyczności. Ogólny algorytm wyznaczania strefy plastycznej przedstawiono na Rys. 3.6.

Sposób wyznaczania strefy plastycznej pokażemy na przykładzie szczeliny w I typie obciążenia. Przypomnijmy rozkłady naprężeń w okolicy wierzchołka szczeliny, określone w biegunowym układzie współrzędnych (r, θ), umieszczonym w wierzchołku - rów. (2.45):

113cos 1 sin sin

2 2 22IK


223cos 1 sin sin

2 2 22IK

rθ θ θ σ = + π

123sin cos cos

2 2 22IK

rθ θ θ

σ =π

(3.41)

( )3311 22

0 dla PSN2

cos dla PSO22

IKr

νσ = θν σ + σ = π

Naprężenia główne dla płaskiego (lub pseudopłaskiego w przypadku PSO) stanu naprężenia określają równania:

( ) 211 22 21,2 11 22 12

1 42 2

σ + σσ = ± σ − σ + σ (3.42)


Rys. 3.6. Algorytm wyznaczania strefy plastycznej w pobliżu wierzchołka szczeliny.

333

0 dla PSN dla PSO

σ = σ

(3.42)

Po prostych obliczeniach otrzymujemy naprężenia główne:

1,2 cos 1 sin2 22

IKr

θ θ σ = ± π (3.43)

3

0 dla PSN2

cos dla PSO22

IKr

νσ = θ π

Do wyznaczenia strefy plastycznej wykorzystamy kryterium H-M-H, które ma postać:

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 3 3 2 2 ysσ − σ + σ − σ + σ − σ = σ (3.44)

Wstawiając (3.43) do (3.44), po przekształceniach otrzymamy równania określające położenie punktów brzegowych stref plastycznych w postaci:

naprężenia główne

osobliwe pole naprężeń wyznaczone wg LSMP

kształt strefy uplastycznionej

kryterium plastyczności H-M-H lub C-T-G


( )

( ) ( )

2

2 2

1 31 cos sin dla PSN4 21 31 2 1 cos sin dla PSO4 2

p

rr

+ θ + θ θ = − ν + θ + θ

(3.45)

gdzie:

2

1 Ip

ys

Kr

= π σ

(3.46)

Kładąc we wzorach (3.45) θ = 0 otrzymujemy zasięg strefy plastycznej wzdłuż osi szczeliny x1 w postaci:

( )( ) ( )

2

222

1 dla PSN 2 2

01 2

1 2 dla PSO 2 2

p I

ys

p I

ys

r K

rr K

= π σ θ = =

− ν− ν = π σ

(3.47)

Z (3.47) wynika, że kryterium H-M-H dla PSN daje zasięg strefy plastycznej dla θ=0 taki sam, jak I przybliżenie w modelu Irwina. W przypadku PSO, przyjmując typową dla metali wartość współczynnika Poisson'a ν=1/3, otrzymujemy:

2

19

Ip

ys

Kr

= π σ (3.48)

a zatem wartość 9-krotnie mniejszą niż dla PSN. Kształt stref plastycznych dla PSN i PSO pokazano schematycznie na Rys. 3.7. Kształty pokazane na Rys. 3.7 należy traktować jedynie jako przybliżone, co

wynika z przyjętej koncepcji ich wyznaczania, opartej w istocie na czysto sprężystych rozwiązaniach dotyczących pola naprężeń. Czynione były liczne próby analizy tego zagadnienia, uwzględniające plastyczną redystrybucję naprężeń (Stimpson, Eaton, McClintock, Hult, Tuba, Rice, Rosengren, Hahn), jednak na dziś panuje pogląd, że żadne z istniejących rozwiązań określających kształt stref plastycznych nie jest w pełni zadowalające. Także weryfikacja doświadczalna napotyka na podstawowe trudności, gdyż techniki badawcze nie są w stanie precyzyjnie rozróżnić strefy sprężystej od plastycznej, a ponadto z reguły badania


prowadzone są na zewnętrznej powierzchni próbek, niedającej żadnego obrazu zachowania się próbki w jej wnętrzu.

Rys. 3.7. Kształt stref plastycznych wg kryterium plastyczności H-M-H.

3.2.1 Grubość ciała, a kształt strefy plastycznej

Płaski stan naprężenia i płaski stan odkształcenia, pojęciowo jasne i precyzyjne, w odniesieniu do rzeczywistych ciał częściowo tracą te atrybuty. Dla przykładu - w bardzo cienkich elementach (np. blachach) można przyjąć, że znajdują się one w PSN. W elementach grubych dominuje PSO, ale na ich powierzchniach zewnętrznych występuje zawsze PSN, mamy więc do czynienia z "mieszanym" stanem naprężenia. Ta podstawowa i ogólna obserwacja odnosi się oczywiście także do zagadnienia ciała ze szczeliną, a w szczególności do wpływu grubości ciała na stan naprężenia i kształt strefy plastycznej. Poprzednio pokazaliśmy, że zależy on od stanu naprężenia, a więc i grubości. Co więcej musi się on zmieniać po grubości elementu - od kształtu charakterystycznego dla PSN na powierzchni, do kształtu odpowiadającego PSO we wnętrzu elementu. Przestrzenny obraz strefy plastycznej pokazano na Rys. 3.8.

Wpływ płaskiego stanu naprężenia na powierzchniach zewnętrznych na promień strefy plastycznej w głębi ciała objawia się tym, że promień strefy plastycznej dla PSO jest większy niż to wynika z rów. (3.48). Przyjmuje się ogólnie, że miarodajne dla PSO jest oszacowanie Irwina (3.9). Reasumując, za miarodajne oszacowania strefy plastycznej wzdłuż osi szczeliny przyjmuje się związki:

2

2

1 dla PSN

1 dla PSO3

I

y s

p

I

y s

K

rK

π σ =

π σ

(3.49)

PSO

PSN


Rys. 3.8. Schematyczny obraz trójwymiarowej strefy plastycznej.

Pozostaje otwarte pytanie o kryterium pozwalające rozróżnić PSN i PSO. Na podstawie badań doświadczalnych przyjmuje się, że płaski stan naprężenia jest dominujący (wpływ PSO jest pomijalny) gdy zachodzi związek:

2

1 Ip

ys

KB r

≅ = π σ (3.50)

Warunek płaskiego stanu odkształcenia, zgodnie z normą amerykańską - ASTM E-399-81 [3.5], na której oparte są normy dot. mechaniki pękania w wielu krajach, ma postać:

25 pB r> (3.51)

Po uwzględnieniu (3.49 b) otrzymujemy:

2

~ 2.5 I

y s

KB

> σ

(3.52)

Uplastycznienie materiału jest często łączone z występowaniem poślizgów w płaszczyznach maksymalnych naprężeń stycznych (zniszczenie materiału w wyniku przekroczenia maksymalnych naprężeń stycznych jest przedmiotem kryterium wytężeniowegoTreski). Układ tych płaszczyzn tworzy tzw. "wzorzec" deformacji plastycznej. W celu wyznaczenia płaszczyzn poślizgów w otoczeniu wierzchołka szczeliny w warunkach tak PSN, jak i PSO wykorzystamy konstrukcję kół Mohra.

Płaski stan naprężenia

Płaski stan odkształcenia

Płaski stan naprężenia


Konstrukcję kół Mohra dla PSN i PSO przedstawia Rys.3.9. Przyjmiemy ponadto, tak jak to się często czyni w teorii plastyczności, że

obowiązuje warunek nieściśliwości (brak zmiany objętości), tzn. ν= 0.5. Naprężenia główne wynoszą wówczas:

Rys. 3.9. Koła Mohra dla: a) płaskiego stanu naprężenia, b) płaskiego stanu odkształcenia

1,2 cos 1 sin2 22

IKr

θ θ σ = ± π

(3.53)

( )3

1 2

0 dla PSN

0,5 dla PSOσ = σ + σ

Maksymalne naprężenia styczne wynoszą:

1 3

max1 2

dla PSN2

dla PSO2

σ − στ = σ − σ

(3.54)

σ

τ

a.

τmax

σ2

σ1 σ3

τ

σ

τmax

σ1

σ3

σ2

b.


Płaszczyzny, w których występują te naprężenia są określone w przestrzeni Haigha-Beckera (osie układu określającego tę przestrzeń pokrywają się z osiami naprężeń głównych) wersorami6:

0; 1/ 2; 1 2 dla PSN

1 2 ; 1 2 ;0 dla PSOn

± ±= ± ±

(3.55)

Z (3.55) wynika zatem, że w przypadku PSN - płaszczyzny maksymalnych naprężeń stycznych zawierają oś x i są nachylone pod kątem 45° do płaszczyzny (x, z). W przypadku PSO płaszczyzny występowania τmax zawierają oś z i są nachylone pod kątem 45° do płaszczyzny (x, z). Pokazano to na Rys. Rys. 3.10.

Z Rys. 3.9 i Rys. 3.10 widać, że obraz deformacji plastycznych w ciele ze szczeliną zależy od tego czy ciało znajduje się w PSN czy też PSO. Maksymalne naprężenie styczne w PSO jest wyraźnie mniejsze niż w PSN. Z postaci równań (3.53) i (3.54) wynika, że τmax można zapisać jako iloczyn obciążenia zewnętrznego σ i liczbowego mnożnika M zależnego od parametrów geometrycznych szczeliny oraz położenia punktu. Przywołując kryterium Treski nietrudno stąd wysnuć konkluzję, iż do uplastycznienia w określonym punkcie ciała ze szczeliną w PSO potrzebne jest znacznie większe obciążenie niż w PSN. Inna konkluzja to ta, że położenie płaszczyzn, w których rozwija się uplastycznienie materiału również zależy od stanu mechanicznego ciała (PSN czy PSO), a w związku z tym różne są także "wzorce" deformacji plastycznej.

Rys. 3.10. Płaszczyzny maksymalnych naprężeń stycznych dla: a) płaskiego stanu naprężenia, b) płaskiego stanu odkształcenia

6 Na rys. 3.10 przestrzeń Haigha-Beckera wyznaczona jest przez osie układu (σ1, σ2, σ3). Układ

współrzędnych (x, y, z) zaczepiony w wierzchołku szczeliny pokazano dla ułatwienia czytelnikowi odniesienia płaszczyzn poślizgów względem szczeliny. Wersory (3.55) określone są w układzie naprężeń głównych.

a

z σ3 x σ1

y σ2 b

z σ3

x σ1

y σ2


Należy tu zwrócić uwagę na pewien istotny szczegół, związany z przedstawioną powyżej analizą płaszczyzn poślizgów plastycznych. Zauważmy, że w warunkach PSO, dla θ=0 równanie (3.53) daje σ1 =σ 2 =σ 3 . W konsekwencji τmax =0, a to oznaczałoby, że uplastycznienie nie wystąpi. Tak więc przeprowadzona analiza obowiązuje wówczas, gdy kąt θ jest choćby tylko nieznacznie różny od zera. Z tej obserwacji wynika także i ten wniosek, że maksymalne naprężenie styczne i odpowiadające mu płaszczyzny muszą zależeć w pewien sposób od kąta θ . Dla PSO - ze względu na to, że σ 3 zawsze działa w kierunku osi z - płaszczyzny poślizgu muszą być prostopadłe do płaszczyzny (x, y), a zatem płaszczyzny, w której leży tarcza ze szczeliną, ale kąt ich nachylenia do płaszczyzny (x, z) może być inny niż 45°. "Wzorce" deformacji plastycznych dla PSN i PSO pokazano na Rys. 3.11. Dla płaskiego stanu naprężenia przyjmują one formę płaszczyzn ścinania, tożsamych z płaszczyznami maksymalnych naprężeń stycznych, określonych kątem 45°, a dla płaskiego stanu odkształcenia mają postać tzw. "zawiasu" plastycznego.

Rys. 3.11. "Wzorce" deformacji plastycznej dla: a) PSN, b) PSO.


3.3 PRZYKŁADY

PRZYKŁAD 1

Porównać długości strefy plastycznej wynikające z modelu Irwina i Dugdale'a.

Rozwiązanie:

Długości strefy plastycznej w PSN wg modelu Irwina jest określona równaniem (3.7), a z uwzględnieniem poprawki wynikającej z efektywnego współczynnika intensywności naprężeń - przez rów. (3.15). Strefa plastyczna wg modelu Dugdale’a określona jest równaniem (3.34) - pełne rozwiązanie - i równaniem (3.35) - rezultat przybliżony. Bezwymiarowe długości strefy plastycznej (odniesione do długości szczeliny rzeczywistej) wynikające z w/w równań mają odpowiednio postaci:

( ) 2

p ysr l = σ σ (3.1.1)

( ) ( )12 2

1 0.5p ys ysr l−

= σ σ − σ σ (3.1.2)

sec 1

2pys

r l π σ

= − σ (3.1.3)

( ) ( ) 22 8p ysr l = π σ σ (3.1.4)

Wyniki zestawiono na Rys. 3.12. Z wykresu widać, że największą długość strefy plastycznej daje pełne

rozwiązanie Dugdale’a, a najmniejszą model Irwina. Model Irwina, również po uwzględnieniu odpowiedniej poprawki, podobnie, jak i przybliżone rozwiązanie Dugdale’a nie mogą być stosowane przy dużych stosunkach σ/σys, gdyż wówczas również strefa plastyczna jest rozległa, a to powoduje, że lokalna charakterystyka jaką jest KI staje się bezużyteczna. Górna granica stosunku σ/σys, dla której rozwiązania są możliwe do zaakceptowania wynosi 0.6 wg Knotta [3.4] i 0.5 wg Hutchinsona [3.2].


Rys. 3.12. Bezwymiarowa długość strefy plastycznej r/l w funkcji bezwymiarowego obciążenia σ/σys

PRZYKŁAD 2

Wyznaczyć rozkład naprężenia σ22 wg modelu Irwina i Dugdale'a dla stosunku σ/σys=0.5.

Model Irwina

Rozkład naprężenia σy dla modelu Irwina podaje równanie (3.11). Obowiązuje ono dla r ≥ r p / 2 . Efektywny współczynnik intensywności naprężeń określony jest przez rów. (3.14), a długość strefy plastycznej przez (3.15). Dla bezwymiarowego obciążenia o wartości σ/σys =0,5 z wymienionych równań otrzymujemy:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7bezwymiarowe obciążenie

bezw

ymia

row

a dł

ugoś

ćst

refy

pla

styc

znej

mod. Irwinamod. Irwina (popr.)mod. Dugdale'amod. Dugd. (przybl.)

σys

σy

rp l

x2

r

x1

*

2I

yK

rσ =

π


0.2857pr l= (3.2.1)

1.069IK l∗ = σ π (3.2.2)

0.378 dla 0.14285y

ys

l r r lσ

= ≥σ

(3.2.3)

Korzystając z transformacji współrzędnej r w postaci:

1 12 1.14285px l r r r x l= + + ⇒ = − (3.2.4)

Rozkład bezwymiarowego naprężenia przyjmuje postać:

1

1

10.378 dla 1.28571,14285

y

ys

xx l l

σ= ≥

σ − (3.2.5)

Wykres powyższej zależności przedstawiono na Rys.3.13.

Model Dugdale'a

Rozkład naprężenia σy dla modelu Dugdale'a w przedziale x1≥L określa

równanie (3.36). Długość strefy plastycznej opisana jest przez rów. (3.34). Dla bezwymiarowego obciążenia o wartości σ/σys=0.5 z wymienionych równań otrzymujemy :

0.4142 1.4142pr l L l= ⇒ = (3.2.6)

( ) 2 1

12 arcctg 1 2 dla 1.4142y

ys

xl x

lσ

= − ≥σ π

(3.2.7)

σys

σy

L rp l

x2

σy

x1


Rozkład naprężenia pokazano na Rys. 3.13. Zauważmy, że jedynie w przypadku modelu Dugdale'a naprężenie σy, wraz z

oddalaniem się od wierzchołka szczeliny zmierza do wartości σ/σys=0.5, a więc wartości równej obciążeniu zewnętrznemu. Tego oczywistego rezultatu nie daje model Irwina, bazujący na lokalnej charakterystyce, jaką jest współczynnik intensywności naprężeń.

Rys. 3.13. Bezwymiarowe naprężenie σy/σys w funkcji położenia punktu na osi szczeliny o bezwymiarowej współrzędnej x1/l.

PRZYKŁAD 3

Wyznaczyć kształt brzegu szczeliny Dugdale'a.

Rozwiązanie:

Przemieszczenia punktów brzegu szczeliny opisuje równanie (3.39) wraz z (3.40). Korzystając z niego obliczymy rozwarcie szczeliny w połowie długości (COD) i w wierzchołku szczeliny wyjściowej (rzeczywistej) (CTOD). W wyniku prostych, choć nużących obliczeń otrzymujemy:

( )2

2 1 2 2

4 1 1 12 0, 0 ln

1 1 1ys l A

COD u x xE A

σ − −= = = =

π + − (3.3.1)

( )2 1 2

82 , 0 lnys l

CTOD u x l x AE

σ= = ± = =

π (3.3.2)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8

Bezwymiarowa współrzędna x1/l

Bez

wym

iaro

we

napr

ężen

ie

mod. Dugdale'amod. Irwina


gdzie:

sec2 ys

A π σ

= σ (3.3.3)

Wyznaczmy także położenie stycznych do brzegu szczeliny Dugdale’a w wierzchołku szczeliny rzeczywistej i zastępczej. Pochodna funkcji (3.40) ma postać:

( ) 2 21

2 21 1 1

, , 2L x Lx x L x

∂Γ ζ − ζ=

∂ − ζ − (3.3.4)

Korzystając z tej pochodnej i dokonując przekształceń algebraicznych, nietrudno wykazać, że położenie stycznych określają relacje:

1

2

1 x l

ux

= ±

∂→ ± ∞

∂ (3.3.5)

1

2

1

0x L

ux

= ±

∂=

∂ (3.3.6)

Kształt brzegu szczeliny Dugdale’a, wynikający z (3.3.5) i (3.3.6) pokazano na Rys. 3.14.

Rys. 3.14. Kształt brzegu szczeliny Dugdale'a.

Z Rys. 3.14 widać, że kształt ten zasadniczo różni się od eliptycznego kształtu brzegu szczeliny Griffith'a (Rys. 2.3).

u2

styczna

l

L


PRZYKŁAD 4

Powierzchnia szczeliny w nieskończonej tarczy obciążona jest parą sił skupionych P*, umieszczonych w odległości b od pionowej osi symetrii szczeliny (Rys. 3.15). Wyznaczyć długość strefy plastycznej dla tej konfiguracji wg modelu Dugdale’a.

Rys. 3.15. Szczelina obciążona siłami skupionymi

Rozwiązanie:

Zgodnie z koncepcją Dugdale'a szczelina zastępcza składa się ze szczeliny rzeczywistej powiększonej o strefę plastyczną. Obciążenie szczeliny zastępczej stanowi zatem para sił P * oraz stałe obciążenie ściskające σys w obrębie strefy plastycznej. Długość tej strefy wynika w modelu Dugdale’a z warunku skończonej wartości naprężenia w wierzchołku szczeliny zastępczej, co jest równoważne warunkowi zerowania się całkowitego współczynnika intensywności naprężeń. Warunek ten ma postać:

0PK K σ+ = (3.4.1)

l=0.01 m b=0.005 m B=0.01 m P*=38 kN σys=350 MPa

B

l

b

P*

P*

l

b

r L

P*

P*

σys

σys


Współczynnik koncentracji naprężeń dla szczeliny zastępczej obciążonej parą sił ma postać (patrz rów. (1.76)):

2 2

2P P LKL b

=π−

(3.4.2)

gdzie P jest siłą na jednostkę szerokości tarczy. Tak więc mamy:

3.8 MN mP P B∗= = (3.4.3)

Współczynnik intensywności naprężeń dla tarczy ze szczeliną obciążoną stałym obciążeniem σys w obrębie strefy plastycznej typu Dugdale'a ma postać (patrz rów. (1.78)):

2 arcsinysL lK

Lσ = − σ

π (3.4.4)

Długość strefy plastycznej jest rozwiązaniem równania:

2 2 arcsinys

P lL bB L

∗

= −σ

(3.4.5)

Numeryczne rozwiązanie tego równania daje długość strefy plastycznej:

1.658 mmr L l= − = (3.4.6)

co stanowi 14.2 procent długości szczeliny zastępczej L.

PRZYKŁAD 5

Odporność materiału na pękanie (krytyczny współczynnik intensywności naprężeń) wynosi KIc=80 MPa m1/2, a granica plastyczności σys =410 MPa. Uwzględniając uplastycznienie w wierzchołku szczeliny w warunkach płaskiego stanu odkształcenia wyznaczyć "poprawkę" w wartości odporności na pękanie.

Rozwiązanie:

Długość strefy plastycznej w warunkach PSO wynosi:

2

1 0.404 cm3

Icp

ys

Kr

= = π σ

(3.5.1)


"Poprawiona" (efektywna) wartość odporności na pękanie wyraża się zależnością:

( ) ( )2Ic pK l l r∗ = σ π + δ = σ π + (3.5.2)

a wyjściowa odporność związkiem:

IcK l= σ π (3.5.3)

Zachodzi zatem związek:

12

I c p

I c

K rK l

∗

= + (3.5.4)

Weźmy szczelinę o dowolnej długości np. l=2.5 cm. Otrzymamy wówczas z (3.5.4):

1.04 83.2 MPa mIcIc

Ic

KK

K

∗∗= ⇒ = (3.5.5)

Tak więc uwzględnienie poprawki plastycznej spowodowało 4% wzrost odporności na pękanie.

PRZYKŁAD 6

Jakie jest rozwarcie w wierzchołku szczeliny (CTOD) o długości l=0.25 cm przy zniszczeniu w materiale o odporności na pękanie KIc=55 MPa m1/2, granicy plastyczności σys =480 MPa, module sprężystości E=70 GPa i współczynniku Poissona ν=0.3. Wyznaczyć nośność i CTOD w warunkach płaskiego stanu odkształcenia z uwzględnieniem poprawki wynikającej z uplastycznienia w pobliżu wierzchołka szczeliny.

Rozwiązanie:

Rozwarcie szczeliny w wierzchołku (CTOD) wynosi:

( )2 24 1

0.035 mm3

Ic

ys

KCTODE

− ν= =

π σ (3.6.1)

Długość strefy plastycznej i "poprawiona" wartość odporności na pękanie - obliczone jak w przykładzie 5 wynoszą:


1.4 mmpr = (3.6.2)

1.13 62.15 MPa mI cI c

I c

KK

K

∗∗= ⇒ = (3.6.3)

Nośność określona jest równaniem w postaci:

( )

619.9 MPa2

Icc

p

K

l r

∗

σ = =π +

(3.6.4)

Jest to wartość dużo większa od granicy plastyczności, co oznacza, że mechanika pękania nie ma w tym wypadku zastosowania, a zniszczenie nastąpi wskutek uplastycznienia.

Biorąc pod uwagę to, że maksymalne naprężenie może być równe co najwyżej granicy plastyczności, "poprawiona" wartość odporności na pękanie może być przedstawiona w postaci:

( )2 48.13 MPa mIc ys pK l r∗ = σ π + = (3.6.5)

zaś CTOD z uwzględnieniem poprawki plastycznej w postaci:

( )2 24 1

0.027 mm3

Ic

ys

KCTODE

∗− ν= =

π σ (3.6.6)

ROZDZIAŁ 4

4 ENERGETYCZNY OPIS SZCZELINY

Przedmiotem zainteresowań mechaniki pękania jest ciało zawierające szczelinę makroskopową, tzn. o minimalnym wymiarze rzędu 10-2 cm. Podstawowym pytaniem, na jakie powinna odpowiedzieć mechanika pękania jest pytanie o wpływ szczeliny na nośność elementu ją zawierającego. Udzielenie odpowiedzi na tak postawione pytanie możliwe jest tylko wówczas, gdy:

1) sformułowany jest model teoretyczny szczeliny, 2) znane jest rozwiązanie dla takiego modelu, tzn. znane jest pole naprężeń,

odkształceń i przemieszczeń, 3) sformułowane jest kryterium inicjacji wzrostu szczeliny, pozwalające

określić obciążenie niszczące przy danej jej długości, bądź też dopuszczalną długość przy danym obciążeniu.

Dwa pierwsze z wymienionych warunków stanowiły przedmiot rozważań poprzednich rozdziałów, zaś trzeci będzie treścią kilku kolejnych. W tym rozdziale przedstawiona będzie analiza wzrostu szczeliny na gruncie bilansu energetycznego ciała sprężystego ze szczeliną. Koncepcja energetycznego opisu szczeliny związana jest z nazwiskiem Griffith’a i jest historycznie pierwszą propozycją sformułowania kryterium pękania, opartego na pojęciu tzw. prędkości uwalniania energii. Jak zostanie wykazane - opis energetyczny jest w pełni zgodny z opisem szczeliny opartym o koncepcję współczynnika intensywności naprężeń. W niniejszym rozdziale będzie również przedstawione pojęcie podatności, ściśle związane z energią ciała ze szczeliną, bardzo użyteczne w doświadczalnym wyznaczaniu prędkości uwalniania energii i współczynnika intensywności naprężeń.

4.1 BILANS ENERGETYCZNY CIAŁA ZE SZCZELINĄ

Zgodnie z zasadą zachowania energii, bilans energetyczny dla ciała zawierającego szczelinę, poddanego działaniu dowolnego obciążenia można zapisać w postaci równania:

106 Energetyczny opis szczeliny

L E K W= + + (4.1)

gdzie: L oznacza pracę wykonaną przez obciążenie zewnętrzne w jednostce czasu (moc), E - prędkość zmian energii wewnętrznej ciała, K - prędkość zmian energii kinetycznej ciała, zaś W oznacza energię zużytą na utworzenie jednostki powierzchni szczeliny w jednostce czasu (energia powierzchniowa). Symbolem ” ” oznaczono pochodne względem czasu odpowiednich wielkości.

Energia wewnętrzna może być przedstawiona jako suma energii odkształcenia sprężystego Ue (w dalszych rozważaniach będziemy ją nazywać krótko - energią sprężystą) i pracy odkształceń plastycznych Up. Tak więc mamy:

e pE U U= + (4.2)

Ograniczając dalszą analizę do przypadku powolnego wzrostu szczeliny - człon odpowiadający energii kinetycznej ( K ) można pominąć. Bilans energetyczny ma zatem postać:

e pL U U W= + + (4.3)

Zauważmy, że wszystkie zmiany w czasie są wywołane zmianą powierzchni szczeliny A. Pochodne względem czasu można w związku z tym zapisać w postaci:

d d A d dAd t d t d A d A

= = (4.4)

Korzystając z (4.4) bilans energii (4.3) przyjmuje postać:

( ) pe

dUd dWL Ud A d A d A

− = + (4.5)

Równanie (4.5) podawane jest zazwyczaj w nieco innej formie poprzez wprowadzenie do niego energii potencjalnej Π układu ciało-szczelina-obciążenie, wyrażającej się związkiem:

eU LΠ = − (4.6)

Ostatecznie, z (4.5) i (4.6) otrzymujemy warunek równowagi energetycznej analizowanego układu mechanicznego w postaci:


pdUd dWd A d A d A

Π− = + (4.7)

Z równania (4.7) wynika, że prędkość zmniejszania się energii potencjalnej przy wzroście szczeliny jest równa prędkości energii dyssypowanej wskutek odkształceń plastycznych i tworzenia się nowych powierzchni szczeliny.

4.1.1 Energia dla ciała sprężysto-kruchego - teoria Griffith’a

Dla materiałów idealnie sprężysto-kruchych energia dyssypowana na skutek odkształceń plastycznych jest pomijalnie mała. Bilans energii ciała ze szczeliną przybiera wówczas postać:

d d Wd A d A

Π− = (4.8)

Lewa strona równania (4.8) reprezentuje energię układu, która może być zużytkowana na wzrost szczeliny, zaś strona prawa charakteryzuje opór stawiany przez materiał przy wzroście pęknięcia, czyli mówiąc inaczej jego odporność na pękanie, którą oznacza się symbolem R. Mamy więc:

2d W Rd A

= = γ (4.9)

Mnożnik 2 występujący przy właściwej energii powierzchniowej γ jest związany z powstawaniem podczas wzrostu szczeliny dwu nowych powierzchni.

Równanie (4.8) jest zarazem energetycznym kryterium pękania ciał kruchych. Zostało ono wprowadzone przez Griffith’a [1.1, 4.1], stąd dla uhonorowania jego wkładu w rozwój mechaniki pękania pochodną energii potencjalnej oznaczono symbolem G. Kryterium (4.8) ma teraz postać:

2dGd A

Π= − = γ (4.10)

Wielkość G odpowiadająca inicjacji wzrostu szczeliny musi być co najmniej równa odporności materiału na pękanie R. Przy założeniu, że R jest wielkością stałą, niezależną od początkowej długości szczeliny, oznacza to iż G musi osiągać pewną wartość krytyczną Gc. Energetyczne kryterium pękania ma więc ogólną postać:

2cG G R= = = γ (4.11)


Zmiana energii potencjalnej ciała ze szczeliną, czyli zarazem postać G, zależy od sposobu obciążenia próbki. Dwa skrajne przypadki określa się mianem warunków „stałych uchwytów” i „stałego obciążenia”.

4.1.2 Warunek stałych uchwytów

Rozważmy próbkę o jednostkowej grubości ze szczeliną o długości l, poddaną działaniu siły rozciągającej F. Obciążenie zwiększamy aż do takiej wartości F1, przy której następuje przyrost długości szczeliny o wielkość ∆l, przy czym uchwyty maszyny wytrzymałościowej zostają wówczas „zablokowane”. W takich warunkach przyrostowi długości szczeliny nie towarzyszy przemieszczanie się brzegów próbki. Wykres zależności siła - przemieszczenie pokazano na Rys. 4.1.

Rys. 4.1. Zależność siła-przemieszczenie dla próbki ze szczeliną w warunkach „stałych uchwytów”.

Przemieszczenie pionowe u w punkcie przyłożenia siły F w próbce ze szczeliną o początkowej długości l obrazuje prosta OA. Energia sprężysta nagromadzona w ciele przy obciążeniu o wartości F1 jest równa polu trójkąta OAC. Przy odciążaniu próbki nastąpi częściowe uwalnianie tej energii. Z taką właśnie sytuacją mamy do czynienia przy wzroście długości szczeliny o ∆l. Wskutek tego, że powiększaniu się szczeliny towarzyszy zmniejszanie się sztywności próbki (przemieszczenie w próbce z dłuższą szczeliną, równe temu dla szczeliny krótszej, uzyskuje się przy mniejszej sile) - hipotetyczna prosta obrazująca zależność przemieszczenia od siły dla szczeliny l +∆l musi leżeć poniżej prostej OA i mieć przebieg zgodny z OB. Warunek stałych uchwytów oznacza, że przy wzroście szczeliny o ∆l przy stałym przemieszczeniu u - siła zmniejszy się o ∆F, czyli do wartości F2. Energia sprężysta zgromadzona w próbce ze szczeliną l +∆l jest równa polu trójkąta OBC. Zmiana energii sprężystej, a zatem ta część energii która jest uwalniana przy wzroście szczeliny, wynosi:

przemieszczenie

F,

l

u = const.

O u

siła

l

A

B

F1

∆F

l+∆l

C

F2


2 11 1 12 2 2eU F u F u u F= − = − ∆ (4.12)

Ze względu na to, że punkt przyłożenia siły nie doznaje przemieszczenia przy wzroście szczeliny, do układu nie jest dostarczana praca z zewnątrz. Energia potencjalna wynosi zatem, zgodnie z (4.6):

12eU u FΠ = = − ∆ (4.13)

Zauważmy, że jest ona równa co do modułu polu trójkąta OAB (obszar zakreskowany na Rys. 4.1). Obliczmy jeszcze zmianę energii potencjalnej. Korzystając z (4.10) otrzymujemy równanie:

pole Δ (OAB) 2Gl

= = γ∆

(4.14)

Zmiana energii potencjalnej konieczna dla wywołania wzrostu szczeliny jest spowodowana wyłącznie uwalnianiem się energii sprężystej, stąd wielkość G określa się mianem prędkości uwalniania energii. Innym stosowanym terminem dla określenia G jest termin siła rozwierająca szczelinę.

4.1.3 Warunek stałej siły

Rozważmy jak poprzednio próbkę o jednostkowej grubości ze szczeliną o długości l, poddaną działaniu siły rozciągającej F. Obciążenie zwiększamy aż do takiej wartości, przy której następuje przyrost długości szczeliny o wielkość ∆l, przy czym tak sterujemy pracą maszyny wytrzymałościowej, aby wzrost szczeliny zachodził przy stałej sile. W takich warunkach przyrostowi długości szczeliny towarzyszy przemieszczanie się punktu przyłożenia siły o wielkość ∆u. Wykres zależności siła - przemieszczenie pokazano na Rys. 4.2.

Przemieszczenie pionowe u w punkcie przyłożenia siły F w próbce ze szczeliną o początkowej długości l obrazuje prosta OA. Energia sprężysta nagromadzona w ciele przy obciążeniu o wartości F jest równa polu trójkąta OAC. Warunek stałej siły oznacza, że przy wzroście długości szczeliny o ∆l przemieszczenie wzrasta o ∆u, wskutek czego energia sprężysta zgromadzona w próbce ze szczeliną l +∆l rośnie i jest równa polu trójkąta ODE. Tak więc przyrost energii sprężystej jest równy polu trójkąta OAD i wynosi:

1 1 1( )2 2 2eU F u u F u F u= + ∆ − = ∆ (4.15)


Rys. 4.2. Zależność siła-przemieszczenie dla próbki ze szczeliną w warunkach „stałej siły”.

Ten przyrost energii sprężystej może być uzyskany wyłącznie poprzez dostarczenie pracy z zewnątrz. Wynosi ona :

( )L F u u F u F u= + ∆ − = ∆ (4.16)

i jest równa polu prostokąta ACED. Energia potencjalna, zgodnie z (4.6) wynosi :

1 12 2eU L F u F u F uΠ = − = ∆ − ∆ = − ∆ (4.17)

eUΠ = − (4.18)

Zauważmy, że jest ona równa co do modułu polu trójkąta OAD (obszar zakreskowany na Rys. 4.2). Zmiana energii potencjalnej określona przez (4.10) wynosi :

pole Δ(OAD) 2Gl

= = γ∆

(4.19)

Zmiana energii potencjalnej konieczna do wywołania wzrostu szczeliny nie jest w przypadku „stałego obciążenia” związana z uwalnianiem energii sprężystej, lecz wymaga dostarczenia pracy z zewnątrz. I choć nazywanie w warunkach stałego obciążenia wielkości G mianem prędkości uwalniania energii jest z fizycznego punktu widzenia błędne, to zwyczajowo także i w tym przypadku używany jest ten termin.

przemieszczenie

F,

l

F = const.

B

u

∆u

u+∆u

C E O

l

siła

F l+∆l

A D


Zwróćmy uwagę na to, że wielkość G uzyskana dla „stałych uchwytów” i „stałego obciążenia” różni się o pole trójkąta ABD. Dla infinitezymalnego przyrostu długości szczeliny, a z takim mamy w istocie do czynienia przy inicjacji pękania, pole to zmierza do zera. Płynie stąd wniosek, że w obu analizowanych przypadkach prędkość uwalniania energii jest taka sama i wyraża się poprzez zmianę energii sprężystej. Prędkość uwalniania energii jest pochodną energii sprężystej i wyraża się następującym związkiem:

( ) dla "stałych uchwytów"

dla "stałego obciążenia"

e

e

d Ud dAGdA dU

dA

−Π = − =

(4.20)

Biorąc pod uwagę (4.12) i (4.15) łatwo zauważyć, że G jest dodatnie, przy czym dla przypadku „stałych uchwytów” maleje ona przy wzroście szczeliny, a dla przypadku „stałej siły” rośnie.

4.1.4 Ogólna zależność „siła-przemieszczenie”

Warunki stałych uchwytów i stałej siły wyznaczają skrajne przypadki zależności „siła-przemieszczenie”, jakie można uzyskać przy rozciąganiu próbki ze szczeliną. Zazwyczaj w trakcie próby rozciągania wzrostowi szczeliny towarzyszą zmiany zarówno siły, jak i przemieszczenia. Przebieg zależności „siła-przemieszczenie” zależy od rodzaju próbki, jak i typu maszyny wytrzymałościowej. W odróżnieniu od przypadków skrajnych, w tym przypadku nie istnieje relacja funkcyjna między prędkością uwalniania energii, a energią sprężystą, analogiczna do (4.20), toteż w celu wyznaczenia G wykorzystuje się podejście graficzne, prowadzące do równania o identycznej strukturze jak (4.14) i (4.19). Ogólny wykres zależności siła - przemieszczenie pokazano na Rys. 4.3.

Siłę rozwierającą szczelinę wyznacza się z zależności:

i jpole (OA A )2

j i

Gl l

= = γ−

(4.21)

Należy dodać, że odcinek AiAj nie jest w ogólności prostoliniowy, ale można go za taki traktować z wystarczającą dokładnością, szczególnie gdy przyrost długości szczeliny jest niewielki. Obszar OAiAj może być zatem aproksymowany trójkątem. Jego pole obliczamy z następujących relacji geometrycznych:

i j i i i j j i j jΔ (OA A ) Δ (OA B ) (A A B B ) Δ (OA B )= + − (4.22)


Rys. 4.3. Ogólna zależność siła-przemieszczenie dla próbki ze szczeliną.

( ) ( )i j1 1 1Δ (OA A )2 2 2i i i j j i j jF u F F u u F u= + + − − (4.23)

( )i j1Δ (OA A )2 i j j iF u F u= − (4.24)

Siła rozwierająca szczelinę (na jednostkę grubości) - rów. (4.21) - wynosi:

( )2

i j j i

j i

F u F uG

l l−

=−

(4.25)

a w przypadku, gdy grubość próbki jest równa B:

( )2

i j j i

j i

F u F uG

B l l−

=−

(4.26)

Zależność (4.26) może być wykorzystana do doświadczalnego wyznaczenia odporności na pękanie R. Rejestrując w trakcie powolnego wzrostu szczeliny wartości siły F, przemieszczenia u oraz długości pęknięcia l można nakreślić krzywą zależności „siła-przemieszczenie”, a następnie z początku układu (F, u) poprowadzić proste odpowiadające kolejnym wynikom pomiarowym (Fi, ui, li). Aproksymując krzywą „F-u”, między sąsiednimi punktami, siecznymi, uzyskujemy podział obszaru pod tą krzywą na trójkąty. Stosując do każdego z nich zależność (4.26) otrzymujemy kolejne wartości Ri, z których można obliczyć

przemieszczenie

F,

l l l+∆l

ui uj

B i B j O

Fj A j

siła

Fi A i


wartość średnią, określającą odporność na pękanie (czyli także krytyczną siłę rozwierającą szczelinę).

4.1.5 Obciążenie krytyczne

Rozważmy za Griffith’em ciało o nieograniczonych wymiarach, zawierające szczelinę o długości 2l, poddane działaniu równomiernego obciążenia rozciągającego o intensywności σ, działającego prostopadle do osi szczeliny - Rys. 4.4.

Rys. 4.4. Szczelina Griffith’a.

Przemieszczenia szczeliny opisane rów. (2.51) mają postać:

2 2u c l x= σ − (4.27)

gdzie:

( )22 1 dla PSO

2 dla PSN

Ec

E

− ν=

(4.28)

Energia sprężysta związana z obecnością w ciele szczeliny wynosi:

122

l

el

U u d x−

= σ

∫ (4.29)

Po obliczeniu całki7 otrzymujemy:

7 2 2 2 2 21 1 arcsin

2 2xl x d x x l x ll

− = − +∫

x

y

u

σ

x

y

2 l

σ


2 2

2ecU l= π σ (4.30)

Zakładając, że szczelina ma jednostkową grubość, jej powierzchnia wynosi

2 1 2A l d A dl= × ⇒ = (4.31)

Z równania (4.20) otrzymujemy prędkość uwalniania energii G (co do modułu) w postaci:

12

e edU dUGd A dl

= = (4.32)

Po wykorzystaniu (4.30) otrzymujemy:

2

2cG l= π σ (4.33)

a po wykorzystaniu (4.28)

( )2 2

2

1 dla PSO

dla PSN

l EG

l E

π − ν σ= π σ

(4.34)

Energetyczne kryterium wzrostu szczeliny (4.11) prowadzi do następującej postaci obciążenia krytycznego (tzn. takiej wartości obciążenia zewnętrznego, przy którym szczelina zaczyna się powiększać):

dla PSO ( ) ( )2 2

21 1

cc

E G El l

γσ = =

− ν π − ν π (4.35)

dla PSN 2cc

E G El l

γσ = =

π π (4.36)

Zauważmy, że końcowa postać równania (4.36) jest identyczna z kryterium pękania w oryginalnym sformułowaniu Griffith’a. Należy podkreślić, że powyższe zależności zostały uzyskane przy założeniu, że odporność na pękanie R jest wielkością stałą. Obserwacje doświadczalne wykazują, że warunek ten jest spełniony w zasadzie jedynie w płaskim stanie odkształcenia, a więc w próbkach grubych, w których w otoczeniu wierzchołka szczeliny nie występują strefy plastyczne (bądź są znikomo małe), a inicjacja wzrostu szczeliny jest równoważna


z jej lawinowym, niekontrolowanym powiększaniem się prowadzącym do zniszczenia próbki. Co więcej, rezultat Griffith’a znajduje potwierdzenie doświadczalne tylko w przypadku materiałów kruchych. Sam Griffith prowadził badania na próbkach szklanych, a więc bardzo kruchych. Późniejsze badania Hull’a, Maitland’a i Chadwick’a, potwierdzające słuszność rezultatu teoretycznego uzyskanego przez Griffitha prowadzone były również na materiałach kruchych, jak stale żaroodporne i mika.

Energetyczne kryterium pękania wygodnie jest przedstawić w formie graficznej w postaci zależności prędkości uwalniania energii G od długości szczeliny l, traktując obciążenie jako parametr. Pokazano to dla ciała ze szczeliną o długości 2l (patrz-Rys. 4.4) na Rys. 4.5.

Rys. 4.5 przedstawia zależność prędkości uwalniania energii G od długości szczeliny dla dwóch dowolnych poziomów obciążenia - dla obciążenia σ1 jest to prosta OA, a dla mniejszego obciążenia σ2 prosta OC. Punkty przecięcia tych prostych z poziomą prostą R=Gc określającą odporność materiału na pękanie - odpowiednio A i C - pozwalają wyznaczyć krytyczne długości szczelin l1 i l2. Są to długości szczelin, które przy obciążeniu odpowiednio σ1 i σ2, są wystarczająco duże, aby nastąpił ich wzrost. Widać, że ze wzrostem obciążenia długość krytyczna maleje.

Rys. 4.5. Graficzna interpretacja energetycznego kryterium pękania.

4.1.6 Obciążenie krytyczne dla materiałów quasi-kruchych

Wspomniano już wcześniej, że kryterium Griffith’a, odpowiednie dla materiałów kruchych, zawodzi w przypadku materiałów wykazujących cechy plastyczne. Badania na zniszczenie cienkich płyt aluminiowych, a więc wykonanych z materiału sprężysto-plastycznego (takie materiały nazywać

G

O l1 długość szczeliny l

A

B

C

212G c l= π σ 2

22G c l= π σ

2cR G= = γ

l2

wzrost obciążenia σ


będziemy dalej quasi-kruchymi), zawierających szczeliny centralne wykazały, że obciążenie krytyczne ma ogólną postać:

constc

El

×σ =

π (4.37)

Z porównania (4.37) z obciążeniami krytycznymi (4.35) i (4.36) wynika oczywiste podobieństwo tych równań. Stała występująca w (4.37) okazała się jednak znacznie większa niż właściwa energia powierzchniowa 2γ, konieczna do utworzenia nowej powierzchni szczeliny. Niezależnie od siebie Irwin [4.2] i Orowan [4.3] uzasadnili ten efekt tym, że w materiałach quasi-kruchych powstają w pobliżu wierzchołka szczeliny niewielkie strefy plastyczne. Do ich utworzenia konieczna jest dodatkowa energia - energia plastyczna. Orowan zaproponował, aby obciążenie krytyczne dla materiałów quasi-kruchych wyznaczać nadal z relacji (4.35) i (4.36), uwzględniając pracę plastyczną γp (jest to praca zużyta na utworzenie przywierzchołkowych stref plastycznych) poprzez dodanie jej do energii powierzchniowej. Otrzymujemy zatem:

dla PSO ( )

( )2

21

pc

El

γ + γσ =

− ν π (4.38)

dla PSN ( )2 p

c

El

γ + γσ =

π (4.39)

Energia powierzchniowa γ jest o ok. trzy rzędy wielkości mniejsza od γp i może być zaniedbana we wzorach (4.38) i (4.39).

Na zakończenie dodajmy, że ocena obciążeń niszczących na podstawie równań (4.35), (4.36), (4.38) i (4.39) jest kłopotliwa ze względu na trudności w doświadczalnym wyznaczeniu zarówno γ jak i γp. Jednakże wynika z nich potwierdzona doświadczalnie w materiałach quasi-kruchych ogólna relacja:

constc lσ = (4.40)

4.2 ZWIĄZEK PRĘDKOŚCI UWALNIANIA ENERGII ZE WSPÓŁCZYNNIKIEM INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ

W pkt. 4.1 wykazano, że prędkość uwalniania energii w warunkach „stałych uchwytów” i „stałego obciążenia” jest taka sama i wyraża się poprzez zmianę


jedynie energii sprężystej. W przypadku dowolnego sposobu przyłożenia obciążenia nie jest znana funkcyjna postać G, ale uzasadnione jest oczekiwanie, że nie odbiega ona znacząco od wartości określonej przez przypadki skrajne. Z Rys. 4.3 widać, że dla infinitezymalnego przyrostu szczeliny jest ona równa tej wartości. Można zatem przyjąć, iż analiza prędkości uwalniania energii przeprowadzona przykładowo w oparciu o warunek „stałych uchwytów” jest prawdziwa niezależnie od sposobu przyłożenia obciążenia. Wykorzystamy ten wniosek przy poszukiwaniu związku między prędkością uwalniania energii z podstawową wielkością w mechanice pękania, jaką jest współczynnik intensywności naprężeń.

Rozważmy nieskończone ciało ze szczeliną o długości 2l poddane działaniu obciążenia rozciągającego σ, prostopadłego do osi szczeliny. Załóżmy, że obciążenie to powoduje infinitezymalny przyrost długości szczeliny o wartości δ, przy czym zachodzi on w warunkach „stałych uchwytów”.

Rys. 4.6. Obciążenie szczeliny przy określaniu związku między G i K.

Rozkład naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny (Rys. 4.6 A) określa równanie:

2

Iy

Kx

σ =π

(4.41)

σ

σ

x

y

2 l

A.

y

x

x2

K I

πσ =y1

x1

B.

u y1

x1

y

x

C.

l δ

y

x

y1

x1

2IK

xσ =

π


gdzie:

IK l= σ π (4.42)

Na skutek przyrostu długości, szczelina przyjmie położenie jak na Rys. 4.6 B. Rozwarcie połówkowe u powierzchni szczeliny, której długość wynosi l+δ można wyznaczyć z rów. (2.51). Otrzymujemy z niego:

( )

( )2* 21I

cu K l xl

= + δ −π + δ

(4.43)

gdzie:

* ( )IK l= σ π + δ (4.44)

Z punktu widzenia dalszej analizy istotne są rozwarcia szczeliny na odcinku δ, a więc w punktach spełniających relację:

1 ; 0x l x x= + ≤ ≤ δ (4.45)

Podstawiając (4.45) do (4.43) i korzystając z warunku lδ << (z równania (4.45) wynika wówczas, że musi być spełniony również warunek x l<< ), oraz pomijając wyrazy wyższego rzędu, otrzymujemy:

2Iu c K x∗= δ −

π (4.46)

Przykładając do powierzchni szczeliny na odcinku δ obciążenie wynikające ze sprężystego rozkładu naprężeń (4.41) (Rys. 4.6 C) spowodujemy zamknięcie szczeliny na tym odcinku. Wymaga to wykonania pracy, która musi być równa energii sprężystej, jaka została uwolniona przy wzroście szczeliny od l do l+δ. Energię sprężystą można zapisać w następującej postaci:

0

0

1lim 22e yU B u dx

δ

δ→

= σ

∫ (4.47)

gdzie B oznacza grubość ciała. Mnożnik 2 wynika stąd, że praca wykonywana jest na przemieszczeniach punktów górnej i dolnej powierzchni szczeliny, natomiast mnożnik 1/2 związany jest ze sprężystym zachowaniem się materiału. Wstawiając do rów. (4.47) zależności (4.41) i (4.46) otrzymamy:


0

0

lime I Ic xU B K K d x

x

δ∗

δ→

δ −=

π ∫ (4.48)

Po obliczeniu występującej w (4.48) całki8 (można skorzystać np. z podstawienia ( )( ) 2x x x tδ − δ − = ) otrzymujemy następującą postać energii sprężystej:

0

lim2e I IcU K K A∗

δ→

= (4.49)

gdzie: A oznacza powierzchnię utworzonej szczeliny A=B δ.

Zauważmy, że jeżeli 0δ → , to I IK K∗ → - tak więc z (4.49) mamy:

2

2e IcU K A= (4.50)

Prędkość uwalniania energii G dla warunku „stałych uchwytów” wyraża się zależnością (4.20). Po jej wykorzystaniu otrzymujemy G w postaci:

2

2e

IdU cG Kd A

= = (4.51)

Po uwzględnieniu (4.28) otrzymujemy relację wiążącą prędkość uwalniania energii ze współczynnikiem intensywności naprężeń dla szczeliny w I typie obciążenia w następującej postaci:

( )

2

22

dla PSN

1 dla PSO

I

I I

K EG K

E

=

− ν

(4.52)

W analogiczny sposób do tego przedstawionego dla szczeliny w I typie obciążenia można uzyskać związki między G i K dla szczeliny w II i III typie obciążenia. Są one następujące:

8 ( )

arctgx xx xd x

x x

δ −δ − δ − = −δ −δ

∫


( )

2

22

dla PSN

1 dla PSO

II

II II

K EG K

E

=

− ν

(4.53)

( )2

1 IIIIII

KGE

= + ν (4.54)

Dla szczelin o typie mieszanym, tzn. będącym kombinacją typów I, II i III, prędkość uwalniania energii jest sumą prędkości odpowiadających poszczególnym typom, tak więc:

2 2

2 211

IIII II III I II

KG G G G K KE

− ν= + + = + + − ν

(4.55)

W przypadku ciał o skończonych wymiarach nadal obowiązują zależności (4.52), (4.53) i (4.54), należy jedynie we współczynnikach intensywności naprężeń uwzględniać współczynniki poprawkowe uwzględniające skończone wymiary ciała.

Reasumując ten rozdział podkreślmy raz jeszcze, że opis energetyczny szczeliny jest w pełni równoważny opisowi naprężeniowemu, opierającemu się na pojęciu współczynnika intensywności naprężeń, zaś równania (4.52), (4.53) i (4.54) stanowią bazę dla sformułowania tzw. „siłowego” kryterium pękania, wprowadzającego pojęcie krytycznego współczynnika intensywności naprężeń. W literaturze do opisu tego współczynnika powszechnie używana jest nazwa „odporność na kruche pękanie”. Jego wyznaczaniu będzie poświęcony rozdział 5 (częściowo była już o tym mowa w rozdz. 1 i 2).

4.3 PODATNOŚĆ CIAŁA ZE SZCZELINĄ

Rozważmy ciało liniowo sprężyste o grubości B zawierające szczelinę o długości l poddane działaniu siły F - Rys. 4.7.

Aż do momentu, w którym szczelina zaczyna zwiększać swoją długość, relacja między przemieszczeniem u w punkcie przyłożenia siły, a siłą F jest w ośrodku liniowo sprężystym liniowa, tzn.:

u C F= (4.56)

gdzie: C - oznacza podatność tarczy (odwrotność sztywności), która zależy od konfiguracji tarczy i obciążenia, a także powierzchni szczeliny (w przypadku stałej grubości B oznacza to zależność jedynie od długości l).

Przykładowo - podatność tarczy (bez szczeliny) w kształcie prostopadłościanu


B×W×L wynosi C=L/(EBW), gdzie E oznacza moduł Young’a. Energia sprężysta zgromadzona w ciele ze szczeliną wynosi:

12eU F u= (4.57)

a po podstawieniu (4.56) otrzymujemy:

212eU C F= (4.58)

Przy infinitezymalnym przyroście szczeliny o wielkość dl następuje przyrost przemieszczenia o wielkość du. Do układu dostarczana jest zatem praca o wartości:

d L F du= (4.59)

Równanie (4.10) po uwzględnieniu (4.6) i podstawieniu (4.59) przyjmuje postać:

1e edU dUd L d uG Fd A d A B d l d l

= − = −

(4.60)

Rys. 4.7. Zależność „siła-przemieszczenie” w sprężystej tarczy ze szczeliną.

Przy wyznaczaniu pochodnych występujących w (4.60) należy skorzystać z reguły różniczkowania funkcji złożonych, gdyż zarówno podatność, jak i siła mogą

l

F

F u

B

u

F

α

C tg= α


zmieniać się przy wzroście szczeliny. Biorąc pod uwagę (4.56) i (4.58), otrzymujemy następującą postać równania (4.60):

2 21 12

F C F CG F C F F C FB l l l l

∂ ∂ ∂ ∂= + − − ∂ ∂ ∂ ∂

(4.61)

Widać, że człony zawierające pochodne siły znoszą się, co oznacza iż przy nieskończenie małym przyroście szczeliny prędkość uwalniania energii jest niezależna od sposobu przyłożenia siły. Musi zatem być identyczna w warunkach „stałych uchwytów”, „stałej siły”, jak i wszystkich pośrednich (wspomniano już o tym we wcześniejszych punktach niniejszego rozdziału). Ostatecznie związek miedzy G i C jest następujący:

2

2F CG

B l∂

=∂

(4.62)

Relacja (4.52) pozwala zapisać współczynnik intensywności naprężeń dla I typu szczeliny w funkcji podatności w postaci związku:

( )

2

22

2

dla PSN2

1 dla PSO21

I

E F CB l

KE F C

B l

∂ ∂= ∂ ∂− ν

(4.63)

Równanie (4.63) jest stosowane przy numerycznym, jak i doświadczalnym wyznaczaniu współczynnika intensywności naprężeń. Sposób wykorzystania (4.63) w obliczeniach wykonywanych metodą elementów skończonych przedstawiony jest np. w monografii Broek’a [2.2]. W celu wykorzystania (4.63) do eksperymentalnego wyznaczenia KI należy wykonać wiele próbek o tej samej geometrii, zawierających szczeliny o różnej długości. W trakcie próby ich rozciągania należy rejestrować wartości przemieszczeń punktów przyłożenia siły odpowiadające aktualnej jej wartości. W ten sposób otrzymuje się tyle wykresów „F - u”, ile próbek użyto w badaniach. Pokazano to na Rys. 4.8 A.

Nachylenie każdej z prostych „F-u” do osi siły określa podatność dla próbki ze szczeliną o znanej długości. W oparciu o tak otrzymane wartości podatności konstruuje się wykres zależności podatności od długości szczeliny - Rys. 4.8 B. Z wykresu tego można znaleźć podatność Cx każdej innej, „teoretycznej” próbki ze szczeliną o długości lx. Chcąc określić współczynnik intensywności naprężeń dla np. tej właśnie próbki należy wykreślić styczną KL do krzywej podatności


przechodzącą przez punkt S, a następnie zmierzyć kąt, jaki tworzy styczna z osią l. Tangens tego kąta jest równy wartości pochodnej ∂C /∂ l . Po wstawieniu jej do równania (4.63) otrzymujemy poszukiwaną wartość KI. Przedstawiona metoda pozwala na stosunkowo szybkie i proste wyznaczenie KI, co sprawia, że jest użytecznym narzędziem - szczególnie w przypadkach skomplikowanych kształtów szczelin, dla których uzyskanie rozwiązania teoretycznego jest trudne.

Rys. 4.8. Procedura wyznaczania podatności próbki ze szczeliną.

C

l1

Cx

K

L

S

B l2 l3 l4 l5

lx

C4

C1

C3

C2

C5

l A

F

αi

l1 l2

l3

l4

l5

u

wzrost długości szczeliny

i iC tg= α

ROZDZIAŁ 5

5 SIŁOWE KRYTERIUM PĘKANIA

W poprzednim rozdziale wykazano pełną równoważność prędkości uwalniania energii i współczynnika intensywności naprężeń. Sformułowane zostało także energetyczne kryterium pękania, mówiące że wzrost szczeliny może wystąpić wówczas, gdy prędkość uwalniania energii G osiąga pewną wartość krytyczną R=2γ. Ze względu na trudności w doświadczalnym wyznaczaniu energii powierzchniowej znacznie wygodniej jest stosować tzw. kryterium siłowe, bezpośrednio oparte na kryterium energetycznym, ale wykorzystujące koncepcję współczynnika intensywności naprężeń. Rezygnuje ono z energii powierzchniowej jako miary odporności na pękanie na rzecz nowej charakterystyki - krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIc, określanego terminem „odporności na kruche pękanie”.

W niniejszym rozdziale omówiono metodę eksperymentalnego wyznaczania tej charakterystyki materiałowej. Podane będą warunki, których spełnienie jest konieczne do uznania uzyskanych wartości krytycznych za miarodajne dla oceny odporności na pękanie - w szczególności omówiony będzie wpływ grubości ciała na wartość KIc. Przedstawiona też zostanie metoda wyznaczania odporności na pękanie w warunkach płaskiego stanu naprężenia w oparciu o tzw. krzywe R.

5.1 OBCIĄŻENIE KRYTYCZNE

Załóżmy, że ciało zawierające szczelinę jest liniowo sprężyste, a pod wpływem działającego obciążenia nie powstają strefy plastyczne, bądź też są one znikomo małe w stosunku do wymiarów ciała i szczeliny. W takich warunkach energia plastyczna występująca w ogólnym równaniu bilansu energetycznego (4.5) może być pominięta, a równanie bilansu ma postać (4.8). Wzrost szczeliny następuje wówczas, gdy energia uwalniana przy pękaniu jest równa energii niezbędnej do utworzenia jednostki nowej powierzchni. Kryterium pękania dla szczeliny w I typie obciążenia ma zatem postać (4.11):

126 Siłowe kryterium pękania

I cG G R= = (5.1)

Korzystając ze związku między K i G - rów. (4.52) - otrzymujemy nową charakterystykę materiałową Kc w postaci:

cc

E GKc∗

= (5.2)

gdzie:

( )2

1 dla PSN

1 dla PSOc∗

= − ν (5.3)

Kryterium (5.1) może więc być przedstawione w postaci:

I cK K= (5.4)

Nosi ono nazwę siłowego kryterium pękania, bądź też kryterium krytycznego współczynnika intensywności naprężeń. Z lewej strony (5.4) występuje współczynnik intensywności naprężeń, zależny od geometrii ciała, długości i kształtu szczeliny oraz przyłożonego do ciała obciążenia, zaś z prawej parametr materiałowy, który należy wyznaczyć eksperymentalnie. Korzystając z rów. (5.4) można bezpośrednio wyznaczyć obciążenie krytyczne przy znanych innych wielkościach występujących w KI, bądź alternatywnie, określić długość krytyczną szczeliny przy znanym obciążeniu i pozostałych parametrach geometrycznych ciała.

Wielkość Kc może być uznana za stałą materiałową jedynie wówczas, gdy grubość ciała jest na tyle duża, że uzasadnione jest założenie iż obowiązuje w nim płaski stan odkształcenia - temu problemowi będzie poświęcony kolejny punkt niniejszego rozdziału. Poprzestając obecnie jedynie na tym stwierdzeniu, kryterium siłowe pękania przyjmuje postać:

I IcK K= (5.5)

Stałą materiałową KIc określa się terminem „odporność na kruche pękanie”.

5.2 ZALEŻNOŚĆ PARAMETRU KC OD GRUBOŚCI CIAŁA

Badania doświadczalne wykazały, że krytyczny współczynnik intensywności naprężeń jest silnie zależny od grubości ciała. W ciałach grubych dominuje w wierzchołku szczeliny płaski stan odkształcenia, a strefy plastyczne są znikomo małe w stosunku do grubości. W ciałach cienkich występuje płaski stan naprężenia,


a długość przywierzchołkowych stref plastycznych jest zbliżona do grubości ciała. Ze względu na to, że strefy plastyczne ograniczają w pewnym stopniu możliwość kruchego pękania, któremu towarzyszy lawinowy wzrost szczeliny prowadzący do zniszczenia elementu, przyłożone obciążenie zewnętrzne wywołujące wzrost szczeliny może być większe w porównaniu z obciążeniem dla ciała grubego. Oznaczmy przez K1c wartość współczynnika intensywności naprężeń odpowiadającą obciążeniu. przy którym następuje wzrost szczeliny w próbce o dowolnej grubości. Zależność K1c od grubości przedstawiono schematycznie na Rys. 5.1.

Rys. 5.1. Krytyczny współczynnik intensywności naprężeń w funkcji grubości.

W ciałach o grubości przekraczającej Bc (region III) zdecydowanie dominuje płaski stan odkształcenia (poza niewielkimi obszarami przylegającymi do powierzchni zewnętrznych ciała), dla którego krytyczny współczynnik intensywności osiąga wartość minimalną KIc. Wzrost grubości ciała powyżej Bc nie powoduje zmiany KIc. Jest to zatem wielkość niezależna od grubości i jako taka jest uznana za stałą materiałową określającą odporność materiału na pękanie. Czym wartość KIc jest większa tym większe obciążenie może przenosić ciało zawierające szczelinę. Sposób wyznaczania tej jednej z podstawowych w mechanice pękania stałej materiałowej jest obecnie znormalizowany i będzie przedstawiony w dalszej części niniejszego rozdziału.

W przejściowym obszarze grubości ciała, zawierającym się między Bo i Bc (region II) wewnętrzna część obszaru ciała przylegającego do wierzchołka szczeliny (wzdłuż grubości ciała) znajduje się w PSO, natomiast pozostałe części przylegające do zewnętrznych powierzchni ciała w PSN, przy czym wymiar obu tych części jest porównywalny. Odporność na pękania w tym obszarze zmienia się między wartością minimalną, tzn. KIc, a wartością maksymalną K1cmax

grubość B

PSN ZAKRES PRZEJŚCIOWY PS0

I III

K1c

KIc

II

K1c

Bc Bo


odpowiadającą grubości Bo. Broek określa tę grubość terminem „grubości optymalnej”, zaś K1cmax rzeczywistą odpornością na pękanie w warunkach PSN.

W ciałach o grubościach mniejszych od Bo dominuje w otoczeniu wierzchołka szczeliny PSN (region I). Rezultaty dotyczące odporności na pękanie obciążone są dużą niepewnością, a możliwy przebieg wykresu „K1c-B” może zawierać się między liną prostą, a krzywą opadającą, tak jak pokazano to na Rys. 5.1.

Badania wykazały, że w cienkich płytach w PSN powierzchnie, w których rozwija się szczelina przebiegają skośnie do płaszczyzny szczeliny, pod kątem 45° (patrz - rozdz. 3, pkt. 3.2.1) do powierzchni płyty - określa się to zjawisko mianem zniszczenia ukośnego. Gdy grubość płyty przekracza Bo, kształt powierzchni zniszczenia zmienia się w ten sposób, że jej części przylegające do zewnętrznej powierzchni płyty są ukośne, a pozostała część leżąca w głębi grubości płyty ma kształt płaszczyzny prostopadłej do zewnętrznej powierzchni płyty. Im płyta jest grubsza, tym płaska część powierzchni zniszczenia jest większa. W płytach grubych jest to efekt dominujący - nazywa się go zniszczeniem płaskim. Dla pełnej jasności należy dodać, że „czyste” zniszczenie płaskie nigdy nie występuje, gdyż na częściach grubości płyty (bezpośrednio przylegających do jej ścianek zewnętrznych) panuje PSN i musi pojawiać się zniszczenie ukośne, bardzo jednak ograniczone. Te małe ukośne powierzchnie zniszczenia nazywane są wargami poślizgu. Omówione trzy możliwe formy powierzchni pękania pokazano na Rys. 5.2.

Rys. 5.2. Powierzchnie pękania dla różnych grubości ciała.

Charakterystyczne przebiegi zależności „obciążenie - przemieszczenie” dla próbek o różnej grubości B zawierających szczeliny, wraz ze śladem płaszczyzn pękania pokazano na Rys. 5.3.

W płaskim stanie naprężenia (Rys. 5.3 A) zależność przemieszczenia od obciążenia jest liniowa, a powierzchnia zniszczenia jest całkowicie ukośna.

PĘKANIE UKOŚNE PSN

PĘKANIE PŁASKIE PSO

PĘKANIE PŁASKIE Z WARGAMI POŚLIZGU


W zakresie przejściowym grubości ciała (Rys. 5.3 B) na wykresie „obciążenie - przemieszczenie” występuje odcinek równoległy do osi przemieszczeń, co świadczy o tym, że wzrost szczeliny, a także wzrost przemieszczenia zachodzi przy stałym obciążeniu (niekiedy nawet jego spadku). Szczelina powiększa się od środka grubości ciała, a powierzchnia pęknięcia jest płaska. Na brzegach ciała rozwijają się wówczas strefy plastyczne. W chwili gdy pęknięcie ciała zachodzi również w obszarze tych stref (pęknięcie ukośne) - słyszalny jest charakterystyczny trzask. Opisany proces określa się mianem „pop-in”. Skokowy przyrost szczeliny powoduje skokową zmianę sztywności ciała, stąd kąt nachylenia wykresu „obciążenie - przemieszczenie” do osi poziomej maleje.

W płaskim stanie odkształcenia (Rys. 5.3 C) wykres zależności „obciążenie - przemieszczenie” jest liniowy, a powierzchnia pękania jest zasadniczo płaska; towarzyszą jej jedynie niewielkie „wargi poślizgu” w strefach bezpośrednio przylegających do brzegu ciała.

Rys. 5.3. Zależność „obciążenie - przemieszczenie” oraz ślady powierzchni pękania w zależności od

grubości ciała

Parametrem decydującym o wielkości wpływu grubości na odporność materiału na pękanie jest granica plastyczności. Przyjmijmy dla uproszczenia, że krzywa „K1c-B” ma przebieg jak na Rys. 5.4 A, a granica plastyczności σys nie wpływa na odporność na pękanie zarówno w PSN (maksymalną - KIc), jak i W PSO (minimalną - KIc). Nawet przy takich założeniach można wykazać, że wpływa ona na przebieg krzywej „K1c-B” w zakresie przejściowym. W zakresie tym o

PSO

siła

przemieszczenie

45°

C B3

ZAKRES PRZEJŚCIOWY

"pop-in"

siła

przemieszczenie

45°

B B2

PSN

siła

przemieszczenie

45°

A B1


przebiegu krzywej decyduje stosunek objętości materiału znajdującego się w PSO i PSN, a ten z kolei jest zależny od wielkości strefy plastycznej. Czym granica plastyczności materiału jest większa, tym strefa plastyczna jest mniejsza (patrz rów. (3.7), (3.9)), a przeważająca część materiału w strefie pękania znajduje się w PSO. Zmniejszanie się strefy plastycznej, osłabiającej - jak wspomniano już wcześniej - efekt kruchego pękania musi jednocześnie oznaczać względny wzrost kruchości, przejawiający się spadkiem wartości KIc. Reasumując te rozważania należy wysnuć wniosek, że czy wyższa jest granica plastyczności materiału, tym mniejszą ma on odporność na pękanie. Konkluzja ta oparta jest na analizie jedynie zakresu przejściowego. Rzeczywisty przebieg krzywych „K1c-B” w zależności od wielkości granicy plastyczności pokazano schematycznie na Rys. 5.4 B. Wynika z niego, że ze wzrostem granicy plastyczności cały wykres „K1c-B” ulega przesunięciu wzdłuż osi pionowej, co pozwala na sformułowanie ogólnego wniosku, że materiały o wysokiej granicy plastyczności mają niską zarówno maksymalną odporność na pękanie K1cmax (PSN), jak i - co z punktu widzenia kryterium pękania (5.5) - ważniejsze, minimalną - tzn. KIc (PSO).

Rys. 5.4. Wpływ granicy plastyczności na odporność na pękanie.

5.2.1 Analiza ilościowa wpływu grubości na odporność na pękanie

Efekt wpływu grubości ciała na odporność na pękanie, jakkolwiek doskonale rozpoznany jakościowo, nie doczekał się dotąd satysfakcjonującego i ogólnie akceptowanego opisu ilościowego. Tutaj przedstawiona będzie jedna z pierwszych ilościowych analiz tego zagadnienia, dokonana przez Kraffta, Sullivana i Boyle'a [5.6]. Ich model, przedstawiono na Rys. 5.5.

B

wzrost σys

grubość B

K1c

A

K1cmax

grubość B

K1c

KIc

wzrost σys


Rys. 5.5. Model Kraffta, Sullivana i Boyle'a oceny odporności na pękanie.

Model ten opiera się na dwóch założeniach: 1) w PSN (pękanie ukośne) energia potrzebna do wzrostu szczeliny związana jest

z utworzeniem stref plastycznych o objętości dV graniastosłupów utworzonych przez płaszczyzny nachylone pod kątem 45° do zewnętrznych powierzchni ciała i te powierzchnie, przy czym przyjęto, że wargi poślizgu mają wymiar niezależny od grubości,

2) w PSO (pękanie płaskie) energia potrzebna do wzrostu szczeliny związana jest z utworzeniem nowej powierzchni dA.

Niech S oznacza część grubości B ciała, przypadającą łącznie na strefy plastyczne. Na płaską nowoutworzoną powierzchnię przypada wówczas część (1-S) B. Powierzchnia ta ma pole wynoszące:

( )1d A S B d l= − (5.6)

Objętość graniastosłupów obejmujących strefy plastyczne wynosi:

2 212

2 2 2B S B SdV h dl dl = × =

(5.7)

Całkowita energia zużyta na wywołanie przyrostu szczeliny wynosi:

F SW WdW d A dV dW dWA V

∂ ∂= + = +

∂ ∂ (5.8)

( )2 2

12

W W B SdW S B dl dlA V

∂ ∂= − +

∂ ∂ (5.9)

strefa pękania płaskiego (PSO)

strefa pękania ukośnego (PSN)

B

(1-S) B

45°

2BS

2BS

45° B

dl

dA =(1-S) B l dV1

h


gdzie: WF oznacza część energii związaną z pękaniem płaskim, a WS - część energii związaną z pękaniem ukośnym.

Krytyczna prędkość uwalniania energii wynika z (4.11) i wynosi:

11

cc

dW dWGd A B d l

= = (5.10)

( )2

1 12c

W W B SG SA V

∂ ∂= − +

∂ ∂ (5.11)

Na podstawie wyników eksperymentalnych uzyskanych dla stopu aluminium 7075-T6, Krafft przyjął, że grubość ukośnej powierzchni pękania wynosi 2 mm (tzn. S=2/B). Równanie linii najlepszego dopasowania do wyników doświadczeń zaproponowano w postaci:

( ) 21 20 1 200cG S S= − + (5.12)

Wykres zależności G1c od grubości ciała B przedstawiono na Rys. 5.6.

Rys. 5.6. Zależność G1c i procentowego udziału płaskiej powierzchni pękania od grubości ciała.

0

40

80

120

160

200

240

0 5 10 15 20 25

grubość B [mm]

G1 c

[kJ/

m2 ]

0

20

40

60

80

100F

=(1-

S) x

100

[%]

krytyczna prędkośćuwalniania energii

procentowy udziałpłaskiej powierzchni pękania


Pokazano na nim także procentowy udział płaskiej formy pękania w ogólnym pękaniu. Wyraża się on formułą:

( ) ( )1 100 100 1 F S B B % S= − × = − (5.13)

Bardziej ogólne - w stosunku do aproksymacji Kraffta - podejście do ilościowej oceny wpływu grubości na odporność na pękanie zaproponował Bluhm [5.4]. Bazuje ono na bardzo podobnych założeniach, do założeń Kraffta, różnica polega na odmiennej, ogólniejszej postaci zależności opisujących energię konieczną do wzrostu szczeliny.

Energia potrzebna do wzrostu szczeliny wynosi zgodnie z (5.8):

F SdW dW dW= + (5.14)

Bluhm rozważa dwa przypadki, tj. B>Bo oraz B<Bo (Rys. 5.7) gdzie Bo oznacza maksymalną grubość strefy plastycznej, jaka może rozwinąć się w warunkach płaskiego stanu odkształcenia (przypomnijmy, że Bo nie zależy od grubości ciała, a zatem jest wielkością stałą).

Rys. 5.7. Model Bluhma.

Niezależnie od przypadku Bluhm przyjął ogólne założenie, że energia związana z pękaniem płaskim jest proporcjonalna do powierzchni pęknięcia płaskiego, a energia potrzebna do pękania ukośnego jest proporcjonalna do objętości stref plastycznych (analogiczna sytuacja miała miejsce w modelu Kraffta).

Dla B>Bo (Rys. 5.7 A) energia pękania wyraża się związkami:

( )F od W B B dl= κ − (5.15)

B B

2oB

2oB B

B–Bo 2oB

2oB

A


212S odW B dl= θ (5.16)

( )212 o odW B B B dl = θ + κ −

(5.17)

Dla B<Bo (Rys. 5.7 B) odpowiednie związki mają postać:

0Fd W = (5.18)

212SdW dW B dl= = θ (5.19)

Występujące w powyższych równaniach wielkości κ i θ są stałymi materiałowymi. Krytyczna prędkość uwalniania energii 1cG d W B dl= wynosi zatem:

11 12

o oc o

B BG BB B

= θ + κ −

dla 1o

BB

> (5.20)

112c o

o

BG BB

= θ dla 1o

BB

< (5.21)

Graficzną reprezentację równań (5.20) i (5.21) pokazano na Rys. 5.8.

Rys. 5.8. Efekt grubości wg modelu Bluhma.

0

0,25

0,5

0,75

1

0 2 4 6 8 10

B / B o

G1c

/ 0.

5 B

oq

1


Relacja (5.20) pozwala zbliżyć się do „pełnego” płaskiego stanu odkształcenia, poprzez wykorzystanie przejścia granicznego Bo/B → 0. Zachodzi wówczas także relacja 1c I cK K→ . Uwzględniając, że zachodzi relacja:

21 1c cG K E= (5.22)

Po wykonaniu przejść granicznych, z równania (5.20) otrzymujemy:

2I cK Eκ = (5.23)

Grubość strefy plastycznej w PSO określa rów. (3.49 b):

2

23Ic

oys

KB =πσ

(5.24)

Po podstawieniu (5.22), (5.23) i (5.24) do (5.20) otrzymujemy ostatecznie związek:

2

12 21 1

3 6c Ic

Ic ys ys

K K EK B

θ= + − πσ πσ

(5.25)

Rów. (5.25) pozwala przewidzieć odporność na pękanie w PSN i w zakresie przejściowym do PSO w oparciu o wartość odporności na kruche pękanie KIc.

Irwin zaproponował pół-empiryczną relację wiążącą K1c i KIc. w postaci związku:

4

12

1.41c Ic

Ic ys

K KK B

= + σ

(5.26)

Bardzo prostą aproksymację efektu grubości - najczęściej stosowaną w praktyce inżynierskiej zaproponował Anderson [5.3]. Opierając się na dużej ilości dostępnych danych doświadczalnych dotyczących efektu grubości stwierdził on, że przybliżenie liniowe zmniejszania się K1c wraz ze wzrostem grubości jest wystarczająco dokładne dla zastosowań praktycznych. Model Andersona pokazano na Rys. 5.9.


Do wyznaczenia wykresu na Rys. 5.9 wystarcza znajomość wartości KIc i K1cmax. Punkt A na wykresie wyznacza się z warunku 2 23o Ic ysB K= πσ (rów. 3.49 b). Punkt

C jest wyznaczany z warunku PSO 2 21 2.5 Ic ysB K= σ , przyjętego przez ASTM.

Rys. 5.9. Efekt grubości wg modelu Andersona. W monografii Broek'a [2.2] przedstawionych jest kilka innych modeli

teoretycznych opisujących ilościowo efekt grubości ciała, a także ich porównanie z wynikami badań doświadczalnych. Czytelnicy zainteresowani szerzej tą tematyką powinni sięgnąć do wspomnianej pracy.

5.3 WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE W PŁASKIM STANIE ODKSZTAŁCENIA

Wspomniano już wcześniej, że odporność na pękanie ciała w warunkach płaskiego stanu odkształcenia KIc (a mówiąc inaczej - odporność ciała o grubości na tyle dużej, że strefy plastyczne są w porównaniu z tą grubością znikomo małe) jest niezależna od grubości i jako taka uznana jest za charakterystykę materiałową. Odgrywa ona analogiczną rolę, jak np. wytrzymałość na rozciąganie w tradycyjnie rozumianej wytrzymałości materiałów - w prawidłowo zaprojektowanym elemencie naprężenie normalne nie może przekroczyć wartości wytrzymałości.

W liniowej mechanice pękania w myśl siłowego kryterium pękania współczynnik intensywności naprężeń, charakteryzujący pole naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny nie może przekroczyć wartości krytycznej, którą jest KIc.

Sposób wyznaczania tej charakterystyki musi uwzględniać wymagania dotyczące wymiarów próbek, których spełnienie zapewnia, że w sąsiedztwie wierzchołka szczeliny panuje PSO. Istotne jest również, aby procedura pomiarowa

grubość B

KIc

K1c max A

C

K1c

B1 B0


zapewniała powtarzalność wyników i ich porównywalność między różnymi laboratoriami. Te przesłanki spowodowały, że próba wyznaczania KIc została znormalizowana. Pierwsze projekty normy powstały w USA na przełomie lat 1969/70, choć procedury doświadczalne (np. [5.7]) opracowano kilka lat wcześniej. Obecnie obowiązuje tam norma ASTM Specification E-399 [3.5]. Normy większości krajów są wiernym odwzorowaniem tej właśnie normy, m.in. norma polska [5.1].

W dalszej części niniejszego rozdziału przedstawione będą zasadnicze punkty normy w takim stopniu, który umożliwia czytelnikowi szczegółowo zapoznać się z procedurą doświadczalną.

5.3.1 Próbki testowe

Norma zaleca trzy zasadnicze kształty próbek testowych: próbkę z karbem jednostronnym do trójpunktowego zginania (ang. SENB - Single Edge Notched Bend specimen), próbkę kompaktową do próby rozciągania (ang. CT - Compact Tension specimen) oraz próbkę zakrzywioną w kształcie litery C (ang. C-shaped specimen).

W praktyce najczęściej stosowane są dwie pierwsze, pomyślane jako próbki ogólnego przeznaczenia. Próbki C wprowadzono z myślą o badaniach walców i grubych prętów. Na Rys. 5.0 pokazano kształt i wymiary próbki do trójpunktowego zginania, a na Rys. 5.11 - próbki kompaktowej, zgodne z wymaganiami normy E-399. Z rysunków tych wynika, że wszystkie wymiary podane są w stosunku do wymiaru W, nie zaś liczbowo - konkretne wymiary próbek zależą od badanego materiału.

Charakterystyczne wymiary B, W i a wynikają z warunku istnienia w próbce płaskiego stanu odkształcenia. Uznaje się, że warunek ten zachodzi wówczas, gdy spełnione są relacje:

2

2.5 Ic

ys

KB

≥ σ (5.27)

2

2.5 Ic

ys

Ka

≥ σ (5.28)

Szerokość próbek W powinna być generalnie równa dwukrotności grubości B. Może to jednak prowadzić do bardzo dużych próbek, toteż norma dopuszcza także pewne tolerancje. Relacje (5.27) i (5.28) wynikają z modelu Irwina szczeliny sprężystej z małymi strefami plastycznymi; zostały one szczegółowo omówione w pkt. 3.2.1, rozdz. 3.


Rys. 5.10. Próbka normowa do trójpunktowego zginania.

Rys. 5.11. Normowa próbka kompaktowa.

Zauważmy, że bezpośrednie wykorzystanie (5.27) i (5.28) przy określaniu koniecznych wymiarów próbek jest niemożliwe, gdyż obie zależności wymagają znajomości KIc, a zatem stałej, którą wartość przed wykonaniem badań nie jest znana. Z tego względu norma zaleca minimalne konieczne wymiary w zależności od stosunku granicy plastyczności σys i modułu Younga E - czym stosunek σys /E jest mniejszy, tym wymagana grubość próbki B i długość szczeliny a jest większa. Dla przykładu - dla wartości tego stosunku wynoszącej 0.0050 ÷0.0057 minimalna grubość powinna wynosić zgodnie z normą 7.5 cm. Oznacza to, że wysokość próbki do trójpunktowego zginania winna wynosić 15 cm, a jej długość min. 60 cm. Jest to więc masywna belka, która wymaga użycia w badaniach maszyny wytrzymałościowej o dużym zakresie obciążeń. Nie bez znaczenia jest również koszt próbki, a także trudności z wykonaniem wstępnej szczeliny zmęczeniowej w próbce o podanych gabarytach. Reasumując, należy powiedzieć, że próba

a

S

W±0.005W

B

P

S= 4 W ± 0.2 W B= 0.5 W± 0.01 W a= 0.45÷ 0.55 W

P

0.55

W±

0.01

W

1.2

W±0

.01W

a=0.45÷0.55 W

P 1.25W±0.01 W

0.25W±0.005 W

W±0.005 W

B=0.5 W±0.01W


wyznaczania odporności na kruche pękanie w PSO może być kłopotliwa, a niekiedy wręcz niewykonalna.

Przy wyznaczaniu KIc należy korzystać z równań określających współczynniki intensywności naprężeń dla próbek SENB i CT, podanych przez Srawley'a [5.8] i umieszczonych w normie E-399. Są one następujące:

- dla próbki do trójpunktowego zginania:

( ) ( )( )

( )( )

1 2 2

3 23 2

3 1.99 1 2.15 3.93 2.7

2 1 2 1w w w w w

Iw w

A A A A AP SKBW A A

− − − + =+ −

(5.29)

- dla próbki kompaktowej:

( )

( )

2 3 4

3 21 2

2 0.886 4.64 13.32 14.72 5.6

1w w w w w

Iw

A A A A APKBW A

+ + − + − =−

(5.30)

gdzie: Aw = a/W.

Wyrażenia (5.29) i (5.30) podają wartości KI z dokładnością 0.5 % w całym zakresie a/W tzn. (0÷1) w przypadku (5.29) oraz w zakresie (0.2÷1) w przypadku (5.30). To sprawia, że mogą one być stosowane w dowolnych obliczeniach, niekoniecznie dotyczących odporności na pękanie.

5.3.2 Przygotowanie próbek do badań

Kluczową kwestią dla uznania przeprowadzonej próby wyznaczania odporności na kruche pękanie za miarodajną jest uzyskanie wzrostu szczeliny w ściśle określonej płaszczyźnie, tj. płaszczyźnie prostopadłej do kierunku siły rozciągającej w przypadku próbki CT, a w przypadku próbki SENB w płaszczyźnie przekroju poprzecznego próbki. Dla takich właśnie płaszczyzn wzrostu szczeliny obowiązują równania określające współczynniki intensywności naprężeń (5.29) i (5.30). Drugim czynnikiem warunkującym możliwość wykorzystania tych równań jest kształt brzegu szczeliny - w sytuacji idealnej (tzn. zgodnej z modelem teoretycznym przyjętym przez Srawley'a) jest on liniowy i prostopadły do bocznych ścian próbek.

W rzeczywistej próbce kształt brzegu szczeliny powinien być bliski liniowemu. Spełnienie tych wymagań uzyskuje się poprzez wprowadzenie do próbki wstępnej szczeliny zmęczeniowej, wychodzącej z karbu ostrzowego - tzw. startera - zapewniającego wzrost szczeliny w pożądanej płaszczyźnie. W grubych próbkach ze standardowym karbem krawędziowym szczelina wychodzi zazwyczaj z jednego z jego brzegów - Rys. 5.2A. W wyniku tego front wstępnie wprowadzonej


szczeliny zmęczeniowej jest zakrzywiony, co z kolei powoduje, że właściwa szczelina rozwijająca się przy pękaniu również jest zakrzywiona. Ponadto, sposób rozwoju szczeliny jest trudno przewidywalny, a różne próbki są w zasadzie nieporównywalne.

Aby tego uniknąć należy wykonać karb ostrzowy (Rys. 5.12B) o długości 0.45 W i promieniu dna karbu nie większym niż 0.25 mm. Następnie obciąża się próbkę obciążeniem zmęczeniowym, niskocyklicznym (norma precyzuje warunki obciążenia) tak, aby uzyskać wstępną szczelinę o długości 0.05 W. Karb ostrzowy zdecydowanie ułatwia inicjację szczeliny zmęczeniowej i „wymusza” miejsce inicjacji w połowie grubości próbki. Zapewniony jest dzięki temu niemal prostoliniowy kształt brzegu szczeliny. Musi on być sprawdzony po wykonaniu właściwej próby doświadczalnej na pękniętej próbce (tzn. po jej fragmentacji).

Powierzchnie przełomu szczeliny zmęczeniowej i właściwego pęknięcia są całkowicie różne i przy odpowiednim oświetleniu łatwo rozróżnialne. Dzięki temu można dokonać pomiaru całkowitej długości pęknięcia wstępnego (łączna długość karbu i szczeliny zmęczeniowej).

Zgodnie z normą - długość szczeliny zdefiniowana jest jako a=1/3(a1+a2+a3) (Rys. 5.12B), gdzie a2 jest pomierzone w połowie grubości, zaś a1 i a3 w połowie odległości między środkiem szczeliny, a jej punktami brzegowymi. Dana próba jest uznana za nieważną, jeżeli różnica między wartościami a1, a2, a3 i wartością średnią a przekracza 5 procent, lub długość szczeliny na zewnętrznych powierzchniach próbki różni się od a więcej niż 10 procent. Próba jest nieważna również wówczas, gdy jakikolwiek punkt frontu szczeliny oddalony jest od karbu o mniej niż 0.05 a lub 1.3 mm (miarodajne jest ograniczenie silniejsze).

Rys. 5.12. Karb ze wstępną szczeliną zmęczeniową: A. karb krawędziowy, B. karb ostrzowy.

B

W

karb

A

powierzchnia szczeliny

zmęczeniowej W

B B

a1

karb ostrzowy

a2 a3

powierzchnia szczeliny

zmęczeniowej


5.3.3 Procedura przeprowadzenia próby

Próbę wyznaczania odporności na kruche pękanie przeprowadza się z wykorzystaniem standardowej maszyny wytrzymałościowej o odpowiednio dużym zakresie obciążenia. Sposób mocowania próbki kompaktowej, jak i trójpunktowo zginanej jest określony normą. Podaje ona szczegółowo kształt uchwytów mocujących próbkę CT, jak i konstrukcję ruchomych podpór rolkowych dla próbki SENB. Próbkę testową należy obciążać z taką prędkością, aby współczynnik intensywności naprężeń przyrastał nie więcej niż 0.55÷2.75 MPa m1/2/s. W czasie próby rejestrowana jest zależność rozwarcia szczeliny u w jej „ustach” w funkcji przyłożonej siły P. Stosuje się w tym celu rejestratory X-Y, które należy tak wykalibrować, aby nachylenie liniowej części wykresu „P-u” zawierało się w zakresie 0.7÷1.5, a wartość siły mogła być odczytana z zapisu rejestratora z dokładnością ± 1%. Sygnał siły doprowadzony jest do rejestratora za pomocą przetwornika elektrycznego, zaś sygnał przemieszczenia pochodzi z czujników tensometrycznych (elektrooporowych lub ekstensometrów). Czujniki te umieszczone są na specjalnym uchwycie klipsowym, mocowanym do brzegów szczeliny. Sposób zamocowania czujników przemieszczeń pokazano na Rys. 5.13.

Wstępnie wygięte sprężynowe blaszki zamocowane są w specjalnych rowkach wykonanych w karbie. W trakcie próby, gdy rozwierają się brzegi szczeliny blaszki stopniowo prostują się, podążając za brzegami. Wraz ze zmianą krzywizny blaszek zmieniają się wskazania czujników przemieszczeń.

Próba prowadzona jest aż do zniszczenia próbki, tzn. jej fragmentacji w płaszczyźnie szczeliny.

Rys. 5.13. Czujnik klipsowy do pomiaru przemieszczeń brzegów szczeliny.

5.3.4 Wyznaczanie wartości K IC z wykresu P - u

W materiale idealnie liniowo sprężystym zależność między siłą i rozwarciem szczeliny powinna być liniowa aż do zniszczenia. W praktyce okazuje się jednak, że wykres tej zależności dla większości materiałów konstrukcyjnych charakteryzuje się mniejszą lub większą nieliniowością, szczególnie przy dużych

czujniki tensometryczne

blaszki sprężynowe

karb


obciążeniach. Powodują to dwa czynniki, a mianowicie pojawiające się odkształcenia plastyczne, a po drugie rozwijające się w materiale mikrouszkodzenia, osłabiające jego strukturę. Norma E-399 wyróżnia trzy typowe wykresy P-u , przedstawione na Rys. 5.14. Typ I odpowiada nieliniowemu zachowaniu się materiału, typ II - uwzględnia efekt „pop-in” , natomiast typ III odnosi się do materiałów niemal idealnie liniowo sprężystych.

Rys. 5.94. Wyznaczanie siły PQ w zależności od typu wykresu P-u .

Procedura wyznaczania wartości KIc poprzedzona jest wyznaczeniem tzw. warunkowej odporności na pękanie KQ. Wymaga to wykonania prostej konstrukcji geometrycznej polegającej na nakreśleniu prostej stycznej do początkowego liniowego fragmentu wykresu P-u (prosta OA na Rys. 5.914), a następnie poprowadzeniu siecznej OS wychodzącej z początku układu współrzędnych O, o nachyleniu mniejszym o 5 procent w stosunku do nachylenia prostej stycznej OA (ang. offset procedure). Przyjmuje się, że 5% zmiana nachylenia odpowiada zmianie podatności wywołanej 2% wzrostem długości szczeliny. Uważa się, że dzięki takiej procedurze uwzględniony jest wpływ niewielkich stref plastycznych na odporność na pękanie. Punkt przecięcia siecznej z wykresem wyznacza wartość siły, którą oznacza się symbolem P5. Kolejny krok to wyznaczenie wartości tzw. siły krytycznej PQ. Sposób jej wyznaczania zależy od typu wykresu P-u. Obowiązuje tu następująca reguła: • jeżeli siła w każdym punkcie wykresu P-u, poprzedzającym punkt, któremu

odpowiada siła P5 jest mniejsza od P5, to należy przyjąć PQ = P5 (Rys. 5.94 - typ I wykresu),

rozwarcie u

siła P typ I typ II typ III

O

A S Pmax

P5=PQ

PQ=Pmax P5

P5

PQ


• jeżeli w jakimkolwiek punkcie wykresu P-u, poprzedzającym punkt, któremu odpowiada siła P5 występuje lokalne maksimum siły, większe od P5, to siła krytyczna PQ jest równa temu maksimum (Rys. 5.94 - typ II i III wykresu).

Warunkiem uznania danej próby za ważną jest, aby stosunek maksymalnej siły Pmax uzyskanej w trakcie próby do siły PQ był mniejszy od 1.10 - w przeciwnym przypadku próbę należy zdyskwalifikować.

Kolejny krok to wyznaczenie warunkowej odporności na pękanie KQ odpowiadającej sile krytycznej PQ, korzystając w tym celu z równań (5.29) i (5.30), odpowiednio dla próbki zginanej i rozciąganej. Należy jeszcze sprawdzić warunek płaskiego stanu odkształcenia określony przez zależności (5.27) i (5.28) wstawiając do nich w miejsce KIc obliczoną wartość KQ. Jeżeli oba warunki są spełnione, to odporność na kruche pękanie KIc = KQ.

5.3.5 Uwagi końcowe

Jak wynika z poprzednich rozważań - próba doświadczalnego określania odporności na kruche pękanie, aby mogła być uznana za ważną, musi spełniać cały szereg warunków nałożonych przez normę. Generalnie mają one na celu zachowanie kryteriów płaskiego stanu odkształcenia, gdyż tylko wówczas wartość KIc może być uznana za stałą materiałową. Pytanie, czy te warunki są istotnie tak ważne z praktycznego punktu widzenia nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Oczywiście, jeżeli chodzi o klasyfikację materiałów wedle kryterium odporności na pękanie (analogicznie jak to się czyni w oparciu o np. wytrzymałość na rozciąganie, czy granicę plastyczności) to porównywalność danych podawanych przez różnych producentów tego samego materiału może być osiągnięta tylko wtedy, gdy charakterystyki materiałowe zostały wyznaczone według identycznych procedur. Ich zachowanie jest istotne także i dlatego, że na każdym producencie spoczywa obowiązek dostarczenia wraz z materiałem certyfikatu jakości podającego m.in. wartość KIc. Tak więc w omówionych przypadkach kwestia spełnienia wszystkich kryteriów ważności prób doświadczalnych jest poza dyskusją - muszą one być bezwzględnie spełnione.

W wielu praktycznych przypadkach rygorystyczne przestrzeganie warunków ważności prób doświadczalnych jest zbędne. W szczególności odnosi się to do takich sytuacji, w których zainteresowani jesteśmy odpornością na pękanie konkretnej konstrukcji o takiej grubości, że warunki jej pracy są znacznie bliższe płaskiemu stanowi naprężenia niż odkształcenia. KIc nie jest dla takiej konstrukcji odpowiednią miarą odporności na pękanie, gdyż występuje tu „efekt grubości” (patrz Rys. 5.4).

Rzeczywista odporność na pękanie jest większa (często znacznie większa) niż wynika to z wartości KIc, która może być traktowana jedynie jako dolne oszacowanie wartości rzeczywistej. W omawianym przypadku, mimo że w badaniu


odporności na pękanie otrzymamy wartość KQ niespełniającą wymagań stawianych próbie ważnej, to jednak otrzymamy wartość rzeczywistą, odpowiednią dla konkretnej konstrukcji. Fakt niezgodności z normą jest tu bez praktycznego znaczenia.

Istnieją także takie sytuacje, w których stosowanie normy jest praktycznie niemożliwe. W Tab. 5.1 zestawiono dane dotyczące granicy plastyczności i odporności na kruche pękanie dla typowych materiałów konstrukcyjnych. Podano także wymagane normą E-399 minimalne grubości próbek do badań na KIc, wynikające wprost z zależności (5.27).

Tab. 5.1. Wartości granicy plastyczności σys i odporności na kruche pękanie KIc dla wybranych materiałów w temperaturze pokojowej ([2.2]).

MATERIAŁ σys KIc MIN. GRUBOŚĆ [MPa] [MPa m

1/2] B [mm]

stal martenzytowa 350 2241 38.5 0.7 stal AISI 4340 1815 46.5 1.7 stal martenzytowa 250 1776 73.8 4.3 stal martenzytowa 300 1668 93.1 7.8 stal D 6 AC 1491 65.1 4.8 stal reaktorowa A 533 B 343 195.4 811 stal węglowa 235 217.2 2136 Ti 6Al-2Sn-4Zr-6Mo 1177 26.4 1.3 Ti 13V-11Cr-3Al 1128 27.6 1.5 Ti 6Al-4V 1099 37.8 3.0 Ti 6Al-6V-2Sn 1079 37.2 3.0 Ti 4Al-4Mo-2Sn-0.5Si 942 69.5 13.6 Al 7075-T651 540 29.2 7.3 Al 7079-T651 461 32.6 12.5 Al 2014-T4 451 27.9 9.6 Al 2024-T3 392 34.1 18.9 pleksiglas 1.6

Wartości KIc dla większości materiałów uwzględnionych w tabeli, ale również

wielu innych mieszczą się w zakresie do 100 MPa m1/2. Odpowiadająca mu górna granica zakresu minimalnych grubości próbek, w zależności od stosunku KIc /σy s, wynosi ok. 20 mm. W tabeli umieszczono także dane dla stali A 533 B i stali węglowej, które mają niskie granice plastyczności, a bardzo wysoką odporność na pękanie. Taka kombinacja charakterystyk materiałowych prowadzi do grubości próbek testowych rzędu metra, a nawet dwu dla stali węglowej. Z oczywistych powodów wykonanie próby na KIc jest trudno wyobrażalne, by nie powiedzieć


niewykonalne (dla materiałów o wysokim stosunku KIc /σys stosuje się inne metody określania odporności na pękanie - będzie o tym mowa w kolejnym rozdziale). Warto jednak mieć świadomość, że gdyby nawet próba taka została przeprowadzona, byłaby w zasadzie bezużyteczna - elementy konstrukcyjne o grubości rzędu metrów są przypadkami czysto teoretycznymi.

Powyższe rozważania wykazują, że liniowa mechanika pękania i podstawowa charakterystyka materiałowa, jaką się ona posługuje tj. KIc mają swoje ograniczenia stosowalności. Doświadczenie wskazuje [2.2], że LSMP może być stosowana dla materiałów, dla których stosunek modułu sprężystości E do granicy plastyczności σys jest mniejszy od 200÷250.

5.4 WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE W PŁASKIM STANIE NAPRĘŻENIA I ZAKRESIE PRZEJŚCIOWYM

W poprzednich punktach omówiona została normowa procedura wyznaczania odporności na pękanie w PSO. W warunkach PSN i w zakresie przejściowym od PSN do PSO nie istnieje ogólnie akceptowana metoda wyznaczania K1c. Z punktu widzenia praktycznych zastosowań mechaniki pękania odporność na pękanie w PSN ma jednak znaczenie podstawowe, gdyż wiele konstrukcji pracuje w takich właśnie warunkach. Typowy przykład to konstrukcje lotnicze, w dużej części składające się z cienkich pokryć o dużych wymiarach powierzchniowych (skrzydła, kadłub, stateczniki), szczególnie narażone na powstawanie szczelin ze względu na duże odkształcenia mechaniczne, termiczne, a także wibracje. Biorąc pod uwagę znaczenie bezpieczeństwa takich konstrukcji, znajomość ich odporności na pękanie jest kwestią pierwszorzędną.

Zachowanie się ciała ze szczeliną w PSN zasadniczo różni się od zachowania ciała w PSO. W tym ostatnim przypadku strefy plastyczne są niewielkie i inicjacja wzrostu szczeliny oznacza praktycznie niekontrolowany dalszy wzrost prowadzący do pęknięcia próbki, nawet po zdjęciu obciążenia. W PSN obraz wzrostu szczeliny jest odmienny. Strefy plastyczne towarzyszące szczelinie są znacznie większe, co powoduje, że szczelina zanim zacznie rosnąć w sposób lawinowy, niekontrolowany może stabilnie „podrastać” aż do pewnej długości krytycznej. Stabilnie - to znaczy w taki sposób, że po zdjęciu lub zmniejszeniu obciążenia wzrost szczeliny zostaje zahamowany. Różnice w zachowaniu szczeliny w PSO i PSN pokazano schematycznie na Rys. 5.15, na którym znajdują się wykresy zmiany długości szczeliny w funkcji obciążenia zewnętrznego.


Rys. 5.105. Typowe krzywe „obciążenie- długość szczeliny” dla płaskiego stanu: A. odkształcenia, B. naprężenia.

Zajmijmy się obecnie bliżej analizą wzrostu szczeliny w PSN. Rozważmy cienkie pasmo ze szczeliną centralną o długości 2l poddane równomiernemu rozciąganiu, przy czym wartość obciążenia σ rośnie od zera - pokazano to na Rys. 5.116.

Rys. 5.116. Wzrost szczeliny w płaskim stanie naprężenia.

Szczelina o pewnej długości początkowej lo przy obciążeniu σi zaczyna się powiększać, ale jest to przyrost stabilny, który nie prowadzi do natychmiastowego zniszczenia ciała. Utrzymując obciążenie na tym samym poziomie zauważymy jedynie niewielki przyrost długości, a następnie całkowite zatrzymanie wzrostu szczeliny. Choć długość szczeliny jest teraz większa to dalszy jej wzrost możliwy jest tylko wówczas, gdy zwiększone zostanie obciążenie zewnętrzne. Proces ten trwa tak długo, aż obciążenie osiągnie pewną wartość krytyczną wartość σc, której odpowiada długość szczeliny lc. Wtedy to występuje niestabilny wzrost szczeliny,

l

P

A l

P

B

σ

lo długość szczeliny l

krzywa niestabilności

krzywa inicjacji

σc

σi

lc

σ

σ

W

2l


objawiający się - tak jak to miało miejsce w PSO - natychmiastowym pęknięciem ciała. Jeżeli początkowa długość szczeliny jest większa od lo to obciążenie, przy którym nastąpi inicjacja jej wzrostu jest mniejsze niż poprzednio, mniejsze jest również obciążenie wywołujące niestabilność wzrostu. Wolniejszy jest natomiast wzrost szczeliny.

Zauważmy, że wykres „P-l” na Rys. 5.105B wynika wprost z opisanego mechanizmu, którego ilustracją jest Rys. 5.116.

Wspomniano wcześniej, że w pełni satysfakcjonujący opis teoretyczny wzrostu szczeliny w PSN i zakresie przejściowym, a co za tym idzie, również odpowiednia procedura doświadczalna jak dotąd nie istnieją.

Ogólnie akceptowane są dwie spośród wielu metody analizy tego zagadnienia, a mianowicie tzw. metoda wytrzymałości resztkowej, zaproponowana przez Federsena [5.5] oraz metoda tzw. krzywych R [5.2]. Obie te metody zostaną omówione w dwu kolejnych punktach niniejszego rozdziału.

5.4.1 Metoda Federsena

Federsen zaproponował do opisu pękania w PSN i zakresie przejściowym prosty model teoretyczny „dopasowany” do wyników licznych badań doświadczalnych. Punktem wyjścia były „idealne” (tzn. przy założeniu nieskończonych wymiarów powierzchniowych ciała ze szczeliną) krzywe inicjacji i niestabilności wzrostu szczeliny. Dla szczeliny o pewnej ustalonej długości początkowej lo współczynnik intensywności naprężeń odpowiadający obciążeniu inicjacji jej wzrostu ma postać:

1i i oK l= σ π (5.31)

Współczynnik odpowiadający obciążeniu σc wywołującemu niestabilność wzrostu szczeliny o aktualnej długości lc wynosi:

1c c cK l= σ π (5.32)

Federsen wprowadził dodatkową krzywą - tzw. krzywą wytrzymałości resztkowej, której konstrukcję pokazano na Rys. 5.127. Z rysunku widać zasadniczą ideę modelu Federsena - krzywa (ściślej krzywa idealna) wytrzymałości resztkowej odnosi obciążenie niestabilności do początkowej długości szczeliny lo, a nie aktualnej lc. Możliwe jest zatem zdefiniowanie jeszcze jednego współczynnika intensywności, tzw współczynnika pozornego, w postaci:

1e c oK l= σ π (5.33)


Zostało wykazane doświadczalnie, że żadna z podanych powyżej trzech charakterystyk nie jest stałą materiałową. Przy ustalonej grubości ciała, wielkość K1c zależy od jego szerokości W, która musi być wystarczająco duża, aby wyznaczone K1c było rzeczywistą odpornością na pękanie w PSN.

Rys. 5.127. Konstrukcja krzywej wytrzymałości resztkowej.

W podejściu Federsena ocena nośności pasma ze szczeliną dokonywana jest w oparciu o krzywą wytrzymałości resztkowej, a nie krzywą niestabilności. Związane jest to z dużymi trudnościami doświadczalnymi dotyczącymi precyzyjnego wychwycenia momentu, w którym następuje niestabilny wzrost szczeliny, a ponadto dane określające długość lc są obciążone dużą niepewnością co do ich dokładności. Problem ten nie występuje w przypadku posługiwania się krzywą wytrzymałości resztkowej, gdyż pomiar początkowej długości szczeliny nie nastręcza większych trudności. Co ważniejsze - z punktu widzenia obciążenia niszczącego ta „zamiana” krzywych jest bez znaczenia, gdyż dla szczeliny o danej długości początkowej jest to to samo obciążenie w przypadku obu krzywych (Rys. 5.127). Dodatkowa informacja dotycząca długości lc w momencie niestabilności płynąca z krzywej niestabilności jest z praktycznego punktu widzenia bez znaczenia.

Idealna krzywa wytrzymałości resztkowej została przez Federsena zmodyfikowana tak, aby z jednej strony uwzględniała fakt zniszczenia ciała „gładkiego” (bez szczeliny) przy skończonej wartości obciążenia, a z drugiej strony, aby jak najlepiej odpowiadała znanym wynikom doświadczalnym. Jako wielkość odpowiadającą za zniszczenia ciała gładkiego przyjął on granicę plastyczności, uznając, że ciało nie może przenieść naprężenia od niej większego.

σ

σc1

długość szczeliny l

krzywa niestabilności

lo1

krzywa wytrzymałości resztkowej

krzywa inicjacji

σc2 σc3

lc1 lo2 lc2 lo3 lc3


W celu spełnienia drugiego z wymogów zaproponował modyfikację krzywej idealnej poprzez poprowadzenie dwóch linii stycznych, pierwszej wychodzącej z punktu σ = σys, a drugiej z punktu l=W/2 (Rys. 5.116).

Z elementarnego kursu matematyki wiadomo, że równanie stycznej do krzywej o równaniu y=f(x) przechodzącej przez punkt (xs, ys) ma następującą postać:

( )( )s s sy f x x x y′= − + (5.34)

W odniesieniu do idealnej krzywej wytrzymałości resztkowej o równaniu:

1ec

o

Kl

σ =π

(5.35)

i współrzędnych punktu styczności (ls, σs), otrzymujemy następujące równanie stycznej:

( )2

ss s

s

l ll

σσ = − − + σ (5.36)

Wstawiając do (5.36) współrzędne punktów należących do obu wspomnianych stycznych, tj.: PL (σ=σys, l=0) i PR (σ=0, l=W/2) otrzymujemy, że styczna lewostronna musi przechodzić przez taki punkt na krzywej, dla którego:

2 3s ysσ = σ (5.37)

zaś styczna prawostronna przechodzi przez punkt:

6sl W= (5.38)

Z reguły krzywą Federsena przedstawia się w układzie współrzędnych, w którym na osi poziomej podawana jest całkowita długość szczeliny 2l - punkt styczności (5.38) określony jest wówczas nie przez W/6, ale W/3. Konstrukcję zmodyfikowanej krzywej wytrzymałości resztkowej pokazano na Rys. 5.138.

Z konstrukcji krzywej Federsena - Rys. 5.138 - widać, że w celu jej wykonania dla pasma o danej szerokości W konieczna jest znajomość „standardowej” charakterystyki materiałowej, jaką jest granica plastyczności oraz odporności na pękanie K1e.


Rys. 5.138. Krzywa wytrzymałości resztkowej w metodzie Federsena.

Sposób doświadczalnego wyznaczania K1e nie jest przedmiotem żadnych uregulowań normowych, a stosowana procedura wynika jedynie z praktyki eksperymentalnej. Najczęściej stosuje się płaskie próbki prostokątne z centralną szczeliną - tzw. próbki CCT (ang. Centre Crack Tension) - poddane równomiernemu rozciąganiu. Wartość K1e wyznacza się dla maksymalnego obciążenia σc uzyskanego w próbie, korzystając z równania określającego współczynnik intensywności naprężeń dla określonej konfiguracji - w tym przypadku jest to rów. (5.33). Więcej informacji na temat procedury doświadczalnej można znaleźć w [2.2].

Z przedstawionej konstrukcji krzywej Federsena wynika, że szerokość pasma musi być większa od pewnej wartości minimalnej Wmin, aby uzyskać ważną wartość K1e. Z położenia lewego punktu styczności wynika, że prawdziwe są relacje:

1 2 3e ys oK l∗= σ π (5.39)

2

12

922

eo

ys

Kl∗ =π σ

(5.40)

Wielkość Wmin określona jest przez warunek zbiegania się obu stycznych w jednym punkcie, musi zatem zachodzić relacja 2 1 3o minl W∗ = , skąd otrzymujemy:

σ

długość szczeliny 2l

W 1/3 W

σys

23 ysσ

idealna krzywa wytrzymałości resztkowej

1ec

o

Kl

σ =π

krzywa wytrzymałości resztkowej wg metody Federsena


2

12

272

emin

ys

KW =π σ

(5.41)

Kontrolne warunki ważności danej próby są następujące:

2 3 i 2 3c ys l Wσ < σ < (5.42)

W zasadzie tylko pierwszy z nich ma istotne znaczenie, gdyż drugi powinien być spełniony już na etapie wykonywania próbki.

Metoda Federsena, jakkolwiek bazująca na arbitralnych założeniach dotyczących konstrukcji krzywej wytrzymałości resztkowej, niemających żadnego uzasadnienia fizycznego, ze względu na swą prostotę i dobrą zgodność z wynikami eksperymentalnymi jest najczęściej stosowaną metodą wyznaczania odporności na pękanie w warunkach płaskiego stanu naprężenia i w zakresie przejściowym.

5.4.2 Metoda krzywych R

• Podstawy teoretyczne

U podstaw teoretycznych metody krzywych R leży bilans energii dla ciała ze szczeliną, który można zapisać w postaci (patrz pkt. 4.1, rozdz. 4):

G R= (5.43)

gdzie:

edUd LGd A d A

= − (5.44)

pdUdWRd A d A

= + (5.45)

Równanie (5.43) oznacza, że przy stabilnym wzroście szczeliny zachodzi równowaga miedzy energią G uwalnianą w wyniku wzrostu pęknięcia, a energią R zużywaną na wywołanie tego wzrostu. W przypadku braku równowagi - gdy G<R stabilny wzrost szczeliny ulega zahamowaniu, a gdy G>R szczelina będzie się powiększać w sposób lawinowy (niestabilny).

Energia R składa się z dwóch składników - pierwszy z nich odpowiada tej części energii, która jest zużyta na utworzenie nowej powierzchni szczeliny, zaś drugi odnosi się do energii dyssypowanej w wyniku odkształceń plastycznych powstających w wierzchołku szczeliny. Zakładając, że strefy plastyczne są małe w stosunku do długości szczeliny, a także wymiarów ciała (uplastycznienie małego


zasięgu - patrz rozdz. 3), oba składniki można potraktować łącznie jako nowy parametr materiałowy, charakteryzujący opór stawiany przez materiał rozwojowi szczeliny.

• Płaski stan odkształcenia

W rozdziale 4 przedstawiono energetyczne kryterium pękania oraz jego zastosowanie w odniesieniu do płaskiego stanu odkształcenia. Przypomnijmy to raz jeszcze - w warunkach PSO strefy plastyczne można zaniedbać, co oznacza, że R związane jest jedynie z tworzeniem nowej powierzchni. Z punktu widzenia mechanizmu wzrostu szczeliny oznacza to, że inicjacja wzrostu jest tożsama z jego dalszym niestabilnym przebiegiem prowadzącym do zniszczenia (Rys. 5.105A). Wielkość G odpowiadająca inicjacji wzrostu szczeliny musi być co najmniej równa odporności materiału na pękanie R, która w PSO uznawana jest za wielkość stałą. Mówiąc inaczej G musi osiągać pewną wartość krytyczną Gc. Jakkolwiek w przypadku PSO trudno jest operować pojęciem krzywej odporności na pękanie - tzn. krzywej R, to dla jednak można pokusić się o jej skonstruowanie także w tym przypadku.

Załóżmy, że nieograniczone ciało zawierające szczelinę o długości 2lo, poddane jest równomiernemu rozciąganiu σ o kierunku prostopadłym do osi szczeliny. Korzystając z równania (4.34 a) można narysować wykres prędkości uwalniania energii G jako funkcji długości szczeliny dla danego poziomu obciążenia - jest to wykres liniowy. Na Rys. 5.19 pokazano kilka takich wykresów wykonanych dla różnych wartości obciążenia, przy czym σ3 >σ2 >σ1. Widać, że żadne z tych obciążeń nie jest w stanie spowodować wzrostu szczeliny o długości lo, gdyż kryterium pękania cG G R= = nie jest spełnione. Jest ono natomiast spełnione, jeżeli obciążenie wynosi σc. Linia OS będąca wykresem G dla tego obciążenia przecina wówczas prostą R= Gc w punkcie S odpowiadającym długości szczeliny lo. Możemy zatem skonstruować dla szczeliny lo specyficzną „krzywą” R odporności na pękanie ASF, składającą się z dwóch odcinków prostoliniowych. Zauważmy, że dla każdej innej długości początkowej szczeliny byłaby ona identyczna (można użyć terminu „niezmiennicza”). Po wtóre zauważmy, że przy takiej konstrukcji „krzywej” R w bardzo prosty sposób można określić kryterium niestabilności (a zatem i zniszczenia). Aby nastąpił niestabilny wzrost szczeliny - prosta poprowadzona z początku układu współrzędnych (G, l) może mieć z „krzywą” R tylko jeden punkt wspólny (jakkolwiek z formalnego punktu widzenia nie jest to prawidłowe, nazwijmy ten punkt punktem styczności).


Rys. 5.19. Krzywa R w płaskim stanie odkształcenia.

• Krzywe R w płaskim stanie naprężenia

Przejdźmy teraz do właściwego tematu, tzn. określenia odporności na pękanie w płaskim stanie naprężenia. Na Rys. 5.105B pokazano jak zmienia się długość szczeliny w PSN w zależności od obciążenia. Po inicjacji wzrostu szczeliny nie następuje natychmiastowe zniszczenie, ale faza stabilnego jej „podrastania” przy zwiększającym się obciążeniu.

Z równania (4.34 b) określającego prędkość uwalniania energii w PSN:

2G l E= π σ (5.46)

wynika, że jeżeli rośnie zarówno σ, jak i l, a tak się dzieje przy stabilnym wzroście szczeliny, zależność G od l nie będzie liniowa (jak w PSO) - G będzie funkcją rosnącą. Ponieważ G=R, więc krzywa R również będzie rosnąca. Typową krzywą odporności na pękanie pokazano na Rys. 5.140. Powtórzmy takie samo rozumowanie, jak w przypadku PSN. Załóżmy, że obciążenie ma wartość σ1. Energia, jaka może się uwolnić jest wówczas określona przez punkt D (prosta OD jest wykresem G wynikającym z (5.46) przy stałym obciążeniu σ1). Jest ona jednak za mała aby nastąpił wzrost szczeliny. Zwiększamy obciążenie do wartości σi, przy której następuje inicjacja wzrostu szczeliny. Energia G jest teraz określona przez punkt C. Gdyby szczelina miała wzrastać dalej (np. o wielkość ∆l) przy tym samym poziomie obciążenia, to uwalniana energia zmieniałaby się wzdłuż odcinka CE. Jednakże odcinek CE nie przecina krzywej R w punkcie odpowiadającym tej nowej długości szczeliny l +∆l - nie zachodzi więc warunek G=R, a tym samym dalszy wzrost szczeliny możliwy jest tylko pod warunkiem

l

σ

lo

płaski stan odkształcenia

G, R

O lo długość szczeliny l

S

R=Gc B C D

σ3

A

F σ2

σ1

( )221c

vG l

E−

= σ


zwiększenia obciążenia. Dopiero przy pewnym obciążeniu σc zachodzi warunek G=R (punkt S), a co więcej, jakikolwiek dowolnie mały przyrost długości przy tym samym obciążeniu oznacza automatycznie, że G>R, a to z kolei prowadzi do konkluzji, że obciążenie σc musi wywołać niestabilność. Ostatecznie zatem punkt S, który jest punktem styczności wykresu G i krzywej R określa warunki niestabilności:

; G RG Rl l

∂ ∂= =

∂ ∂ (5.47)

Zauważmy, że konstrukcja prowadząca do znalezienia punktu S jest identyczna, jak w przypadku PSN, z tą tylko różnicą, że teraz punkt S jest punktem styczności również w sensie matematycznym.

Krafft [5.6] przyjął hipotezę mówiącą, że krzywe R są niezależne od początkowej długości szczeliny, nazywając je krzywymi niezmienniczymi. W świetle wywodów przedstawionych wcześniej, a dotyczących PSO, można stwierdzić, iż jest ona czysto formalnym przeniesieniem wniosków wynikających właśnie z analizy PSO na płaski stan naprężenia. Sugestia ta wydaje się być tym słuszniejsza, że Krafft nie podaje żadnego uzasadnienia fizycznego hipotezy, a wiele wyników badań wręcz jej przeczy. Prostota sprawia jednak, że jest stosowana, a nawet wykorzystywana w przepisach normy [5.2].

Na Rys. 5.151 pokazano konsekwencje przyjęcia hipotezy Kraffta. Energia Gi uwalniana przy inicjacji wzrostu szczeliny nie zależy od jej początkowej długości - jest to więc stała. Krytyczna energia Gc uwalniająca się w chwili uzyskania przez szczelinę długości krytycznej lc=lo+∆l jest zależna od lo. Wynika to ze sposobu wyznaczania punktu niestabilności S na krzywej R, jako punktu styczności G i R. Jest oczywiste, że czym większa jest początkowa długość szczeliny (na Rys. 5.151 mamy l2>l1), tym energia krytyczna jest większa (Gc

2>Gc1) - w równym stopniu

dotyczy to krytycznego współczynnika intensywności naprężeń c cK E G= . Tak więc przyjęcie hipotezy Kraffta oznacza jednocześnie przyjęcie a priori, że

odporność na pękanie w PSN K1c nie jest stałą materiałową, w przeciwieństwie do przypadku PSO, dla którego K1c (przy spełnieniu pewnych warunków) jest stałą.

W dotychczasowych rozważaniach przyjęliśmy model ciała o nieskończonych wymiarach. W przypadku skończonych wymiarów, zmianie ulega jedynie postać równania określającego prędkość uwalniania energii. Dla przykładu - dla równomiernie rozciąganego cienkiego pasma o skończonej szerokości W ze szczeliną centralną 2l, współczynnik intensywności naprężeń ma postać (2.82). Prędkość uwalniania energii w warunkach PSN wyraża się zatem równaniem:


Rys. 5.140. Krzywa R w płaskim stanie naprężenia.

Rys. 5.151. Niezmienniczość krzywych R (Krafft i in. [5.6]).

2 2

sec tanl lG l WE W E Wσ π σ π = π ≅

(5.48)

Przy ustalonym obciążeniu σ wykres G nie jest oczywiście linią prostą, jak w przypadku ciała nieskończonego. Tak więc przebieg G i R będzie w rzeczywistości

l

σ

lo

płaski stan naprężenia

G, R

S

D σ1

B

C

E

O lo długość szczeliny l ∆l

σι

21cG l

E= πσ

R=Gc (PSO)

krzywa R (PSN)

G, R

O długość szczeliny

lo2

R R S2

lo1

∆l2 ∆l1

S1

2 2c cG R= 1 1c cG R=

i iG R=


taki jak na Rys. 5.162. Przedstawiono na nim procedurę wyznaczania punktu niestabilności S - w pełni analogiczną do tej z Rys. 5.140, dotyczącego ciała o nieskończonych wymiarach. Dla szczelin o małej długości początkowej poprawka wynikająca ze skończonych wymiarów może być zaniedbana, a krzywą obrazującą G nadal można aproksymować prostą. Dla szczelin dłuższych zakrzywienie linii G musi już być uwzględnione.

Rys. 5.162. Krzywe G i R z uwzględnieniem skończonych wymiarów ciała.

• Procedura doświadczalnego wyznaczania krzywych R

Procedura wyznaczania krzywych R jest przedmiotem normy amerykańskiej ASTM E 561 [5.2]. Precyzuje ona wszelkie wymagania stawiane próbkom oraz warunkom prowadzenia badań, jak również określa szczegółowo metodykę konstruowania krzywych R. Czytelników zainteresowanych tym problemem odsyłamy do tej normy. Tutaj ograniczymy się do skrótowego przedstawienia najważniejszych jej punktów.

W badaniach można stosować jeden z trzech typów próbek (Rys. 5.173): próbkę CCT (próbka prostokątna ze szczeliną centralną), kompaktową - tzw. próbkę CS (ang. Compact Specimen; jest ona zbliżona do próbki kompaktowej CTS stosowanej w próbie wyznaczania KIc, ale może mieć dowolną grubość) oraz próbkę ze szczeliną boczną, wychodzącą z otworu kołowego - tzw. próbkę CLWL (ang. Crack Line Wedge Loaded). Dwie pierwsze stosuje się w próbach, w których proces wzrostu szczeliny sterowany jest siłą, natomiast ostatnia używana jest przy sterowaniu przemieszczeniem brzegów szczeliny, realizowanym za pomocą klina zagłębiającego się w szczelinę.

O długość szczeliny l

S

R

G, R G( l, σc )

G( l, σ3 )

G( l, σ2 )

G( l, σ1 )

Gc

lo


W normie przyjmuje się, że początkowa długość szczeliny, jak i konfiguracja próbki nie wpływają na przebieg krzywej R, jest więc ona funkcją jedynie przyrostu długości szczeliny w trakcie jej stabilnej fazy wzrostu.

Rys. 5.173. Próbki do wyznaczania krzywych R.

Kolejne kroki procedury doświadczalnej są następujące: 1. Próbkę ze szczeliną o długości początkowej lo obciąża się skokowo zmiennym

obciążeniem (σ1<σ2<σ3<.....<σc). Dla każdego poziomu obciążenia po ustabilizowaniu się szczeliny należy dokonać pomiaru aktualnej jej długości „fikcyjnej” (łącznej długości szczeliny fizycznej i towarzyszącej strefy plastycznej). Długość szczeliny fizycznej mierzy się stosując jedną z następujących metod: za pomocą mikroskopu optycznego metodą spadku potencjału elektrycznego metodą pomiaru podatności (ta metoda pozwala wyznaczyć całkowitą

długość szczeliny). W przypadku stosowania dwóch pierwszych metod, długość strefy plastycznej

należy obliczyć, korzystając z poprawki Irwina - rów. (3.49 a), a następnie dodać do zmierzonej długości fizycznej,

2. Dla danego poziomu obciążenia i długości szczeliny, należy obliczyć wartość współczynnika intensywności naprężeń KR na podstawie wzoru odpowiadającego danemu typowi próbki. Korzystając ze związku (4.52 a), otrzymujemy punkt krzywej R o współrzędnych (l, R=KR

2/E). Postępując w taki sam sposób dla innych wartości obciążenia można wykreślić

krzywą R. 3. Korzystając ze wzoru określającego współczynnik intensywności naprężeń dla

danego typu próbki, kreślimy teoretyczne krzywe G odpowiadające kolejnym obciążeniom, traktując długość szczeliny jako zmienną niezależną (patrz Rys. 5.22). Krzywa, która ma punkt styczny z krzywą R pozwala wyznaczyć

PRÓBKA CS

PRÓBKA CCT

PRÓBKA CLWL


wartość krytyczną Gc a tym samym odporność na pękanie Kc w PSN, gdyż

c cK E G= . Opisana powyżej procedura dotyczy prób, w których wzrost szczeliny

sterowany jest siłą. Mimo, że koncepcja krzywych R jest przedmiotem normy, to wciąż budzi

kontrowersje, w szczególności dotyczy to hipotezy Kraffta dotyczącej niezależności tych krzywych od początkowej długości szczeliny. Istnieją liczne dowody doświadczalne przeczące tej hipotezie. W praktyce inżynierskiej, przy ocenie odporności na pękanie cienkich elementów konstrukcyjnych częściej wykorzystywana jest metoda Federsena, bazująca na pojęciu krzywych wytrzymałości resztkowej. Generalnie należy jednak powiedzieć, że kwestia określania odporności na pękanie w warunkach płaskiego stanu naprężenia i zakresie przejściowym daleka jest od takiej jasności, z jaką mamy do czynienia w płaskim stanie odkształcenia.

5.5 PRZYKŁADY

PRZYKŁAD 1

Płytę o szerokości W=1.27 m zawierającą szczelinę centalną o długości 2lo=5.08 cm poddano równomiernemu rozciąganiu. Równanie krzywej R dla

materiału, z którego wykonano płytę ma postać ( )0.252 0.1755IcR K E l= + ∆ [MPa m]. Stosując metodę krzywych R wyznaczyć krytyczną długość szczeliny i

obciążenie krytyczne - wyniki przedstawić także w postaci graficznej. Stałe materiałowe wynoszą: KIc= 33 MPa m1/2, E= 206.9 103 MPa.

Rozwiązanie:

Uwzględniając stosunek długości szczeliny do szerokości płyty - prędkość uwalniania energii G można opisać równaniem (5.46), zamiast pełnego równania (5.48). Tak więc:

2G l E= πσ (5.1.1)

Korzystając z kryterium pękania (5.47) otrzymujemy następujący układ równań:

( )2

0.252 0.1755Icc c o

Kl l lE Eπ

σ = + − (5.1.2)


( ) 0.752 0.043875 c ol lE

−πσ = − (5.1.3)

Podstawiając (5.1.3) do (5.1.2) otrzymujemy do rozwiązania nieliniowe równanie o niewiadomej długości (połówkowej) krytycznej lc. W wyniku numerycznego rozwiązania tego równania otrzymujemy:

2 6.57 cm ; 0.745 cmcl l= ∆ =

Z rów. (5.1.3) można teraz obliczyć obciążenie krytyczne:

337.6 MPacσ =

Krzywą R i prostą obrazującą prędkość uwalniania energii (5.1.1) dla σ=σc pokazano na Rys. 5.184.

Rys. 5.184. Krzywa R dla szczeliny centralnej

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4długość szczeliny l [cm]

G, R

[MPa

m] /

10-3

Prędkość uwalnianiaenergii G

Krzywa R

l c= 3,285

ROZDZIAŁ 6

6 KRYTERIA PĘKANIA W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYM

6.1 KONCEPCJA CAŁKI J

6.1.1 Podstawy teoretyczne

Przyjmijmy, że kontinuum materialne o objętości V, ograniczone powierzchnią Γ*, nie zawierające nieciągłości naprężeń lub przemieszczeń, jest sprężyste (liniowo lub nieliniowo), jednorodne i anizotropowe (w szczególnym przypadku może być izotropowe). Przyjmijmy ponadto, że na pewnej powierzchni S ciało poddane jest działaniu sił powierzchniowych, reprezentowanych przez wektor T, zaś siły masowe są zerowe. Załóżmy, że przy takim obciążeniu ciało znajduje się w stanie równowagi statecznej, a wywołane obciążeniem odkształcenia są małe. Równania opisujące zachowanie się tego ciała są więc następujące: • równania równowagi (równania Naviera)

, 0ij jσ = (6.1)

• równania geometryczne (równania Cauchy’ego)

( ), ,12ij i j j iu ue = + (6.2)

• wektor sił powierzchniowych na S

i ij jT n= σ (6.3)

gdzie σi j oznaczają elementy tensora naprężenia, e i j - elementy tensora

162 Kryteria pękania w zakresie sprężysto-plastycznym

odkształcenia, ui - współrzędne wektora przemieszczenia, Ti - współrzędne wektora sił powierzchniowych, nj - współrzędne wersora normalnego powierzchni S.

Z termodynamiki wiadomo, że składowe tensora naprężenia można wyrazić równaniem:

ijij

∂ Φσ =

∂ e (6.4)

gdzie: Φ jest gęstością energii wewnętrznej. Dla ciała sprężystego wyraża się ona poprzez całkę - niezależną od drogi całkowania w przestrzeni odkształceń, która ma postać:

0

ij

ij ijde

Φ = σ e∫ (6.5)

Zbudujmy czysto formalnie wyrażenia całkowe o następującej postaci:

( ), , 1,2,3j j k k jQ n T u d j k∗

∗

Γ

= Φ − Γ =∫ (6.6)

Eshelby [6.6] w oparciu o prawo zachowania energii zdefiniował wiele całek niezależnych od drogi całkowania - całka (6.6) jest jedną spośród nich i wbrew często powielanym opiniom nie miała źródła w mechanice pękania.

Po wykorzystaniu (6.3), z rów. (6.6) otrzymujemy:

( ) ( ), ,j j kl l k j jl kl k j lQ n n u d u n d∗ ∗

∗ ∗

Γ Γ

= Φ − σ Γ = Φ δ − σ Γ∫ ∫ (6.7)

gdzie: δij oznacza deltę Kroneckera.

Na mocy twierdzenia Greena-Gaussa-Ostrogradskiego o zamianie całki powierzchniowej na objętościową, rów. (6.7) można zapisać w postaci:

( ), ,j jl kl k j lV

Q u dV= Φδ − σ∫ (6.7)

Przekształćmy funkcję podcałkową poprzez jej różniczkowanie. Otrzymamy następujące wyrażenie:

( ), , , , ,,j l k l k j j k l l k j k l k j llF u u u∗ = Φ δ − σ = Φ − σ − σ (6.8)


Korzystając z (6.4) można zapisać następującą relację:

, ,k l

j k l k l jk l jx

∂e∂ΦΦ = = σ e

∂e ∂ (6.9)

Ponadto, na mocy rów. (6.1) drugi człon prawej strony relacji (6.8) zeruje się. uwzględniając to w rów. (6.8), otrzymujemy zatem:

( ), ,k l k l k l jF u∗ = σ e − (6.10)

a po uwzględnieniu (6.2):

,k l k l jF ∗ = − σ ω (6.11)

gdzie ωk l jest antysymetrycznym tensorem obrotów, który w teorii małych odkształceń wyraża się związkiem:

( ), ,12k l k l l ku uω = − (6.12)

Ostatecznie zatem funkcja podcałkowa F∗=0 i w konsekwencji:

0jQ = (6.13)

Otrzymany wynik świadczy, że całka w postaci (6.1) jest równa zeru niezależnie od drogi całkowania w przestrzeni odkształceń. Można wykazać, korzystając z gęstości energii uzupełniającej, że identyczny wniosek dotyczy również przestrzeni naprężeń.

6.1.2 Definicja całki J

Zależności otrzymane w poprzednim punkcie zastosujemy obecnie do zagadnienia dwuwymiarowego. Przedmiotem analizy jest więc ciało płaskie o powierzchni A, ograniczone konturem Γ - Rys. 6.1.

Jako przypadek szczególny całki (6.6) rozważmy całkę:

( )1 1 ,1k kQ n T u d sΓ

= Φ −∫ (6.14)

Zastępując elementarny element ds brzegu Γ odcinkiem prostym, otrzymujemy:


Rys. 6.1. Element brzegu ciała dwuwymiarowego.

1 cos d ynd s

= β = (6.15)

Wstawiając (6.15) do (6.14) otrzymujemy czysto formalną definicje tzw. całki J w postaci:

1,2kk

uJ d y T d s kxΓ

∂= Φ − = ∂ ∫ (6.16)

Jej wartość obliczona wzdłuż dowolnego konturu zamkniętego w przestrzeni (x, y) jest zgodnie z (6.13) równa zeru. Konsekwencją tego jest, że całki J obliczone dla np. trzech dowolnych ścieżek Γ1, Γ2, Γ3 łączących np. dwa dowolne punkty P i R - Rys. 6.2 - są takie same:

( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3... ... ...J J JΓ Γ Γ

= = = = =∫ ∫ ∫ (6.17)

Rys. 6.2. Dowolne ścieżki łączące punkty P i R.

P

R

Γ1

Γ2

Γ3

T n

ds

dx

dy β β

ds

x

y

Γ

A


6.1.3 Całka J dla ciała ze szczeliną

Wśród założeń wymienionych w pkt. 6.1.1 było również takie, które mówiło, że w obszarze ciała nie mogą występować nieciągłości naprężeń lub przemieszczeń. Szczelina z definicji jest powierzchnią, na której występuje nieciągłość przemieszczeń. Wskazywałoby to, że koncepcja całki J w odniesieniu do ciała ze szczeliną nie może znaleźć zastosowania. Jest jednak inaczej ([6.13], [6.3]), a to dzięki cennej właściwości tej całki, a mianowicie jej niezależności od drogi całkowania. Oznacza to możliwość dowolnego wyboru tej drogi.

Wyobraźmy sobie, że w ciele znajduje się szczelina (lub karb) o równoległych, płaskich powierzchniach górnej i dolnej. Skoro obszar, dla którego całka J ma sens, musi być obszarem bez osobliwości, a drogę całkowania może stanowić jego kontur, to spróbujmy wybrać taki obszar w otoczeniu wierzchołka szczeliny, który postawione warunki spełnia. Wybór nie nastręcza większych trudności - wystarczy wybrać dowolny punkt początkowy konturu, położony na którejkolwiek z powierzchni szczeliny, punkt końcowy na drugiej powierzchni, zaś drogę między nimi wybrać tak, aby nie przecinała obszaru szczeliny - pokazano to na Rys. 6.3 a (punkt początkowy - A, punkt końcowy - B. Prawidłowość takiego wyboru wynika z zerowania się całki J liczonej wzdłuż dowolnego konturu zamkniętego ograniczającego obszar A, nie zawierającego osobliwości - Rys. 6.3 b.

Rys. 6.3. Droga całkowania dla ciała ze szczeliną.

Całka J wzdłuż konturu zamkniętego ABFDCEA może być zapisana w postaci:

2 1

0AB DCJ J J J JΓ Γ= + + + = (6.18)

Zakładając, że powierzchnie szczeliny są wolne od obciążeń, oraz że są równoległe do osi x, tzn. na brzegach AB i CD zachodzą warunki:

0 ; 0kd y T= = (6.19)

x

y A B

C D

F E

A Γ1

Γ2

b

Γ A

B

a


z rów. (6.16) dostajemy:

0AB DCJ J= = (6.20)

Po wstawieniu (6.20) do (6.18) otrzymujemy:

1 2

J JΓ Γ= − (6.21)

zaś po zmianie kierunku obiegu ścieżki Γ2 na przeciwny do pokazanego na Rys. 6.3 b:

1 2

J JΓ Γ= (6.22)

Otrzymany rezultat świadczy po pierwsze o tym, że wybór drogi całkowania zgodnie z Rys. 6.3 a jest prawidłowy, a po drugie potwierdza, iż całka J jest nie zależy od drogi całkowania także w przypadku zagadnienia szczeliny. Zawsze możliwy jest zatem taki wybór drogi, który czyni analizę konkretnego problemu jak najprostszą z obliczeniowego punktu widzenia.

6.1.4 Energetyczna interpretacja całki J

Całka J wprowadzona została w pkt. 6.1 w sposób czysto formalny. Okazuje się jednak, że można przypisać jej także sens fizyczny. Aby to wykazać rozważmy dwuwymiarowe ciało sprężyste (liniowo lub nieliniowo) o powierzchni A ograniczonej brzegiem Γ, zawierające szczelinę o długości l. Na części brzegu działają siły reprezentowane przez wektor T, niezależny od długości szczeliny. Analiza będzie przeprowadzona w stałym kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), przyjętym w środku szczeliny (oś x pokrywa się z osią podłużną szczeliny). W wierzchołku przyjęto nowy układ pomocniczy (x1, y1), taki, że zachodzą związki:

1 1;x x l y y= − = (6.23)

Wyznaczmy energię potencjalną ciała pokazanego na Rys. 6.4. Zgodnie z (4.6) wyraża się ona zależnością:

eA

U d A= Φ∫ (6.24)

gdzie energia odkształcenia sprężystego Ue wynosi:

eA

U d A= Φ∫ (6.25)


a praca L wykonana przez obciążenie zewnętrzne:

L d sΓ

= ∫ Tu (6.26)

Tak więc energia potencjalna Π jest określona równaniem:

A

d A d sΓ

Π = Φ −∫ ∫ Tu (6.27)

Wyznaczmy teraz zmianę energii potencjalnej wywołaną infinitezymalnym przyrostem długości szczeliny dl:

A

d d dd A d sd l d l d lΓ

Π Φ= −∫ ∫

uT (6.28)

Rys. 6.4. Płaskie ciało ze szczeliną.

Korzystając z formuły różniczkowania w postaci:

1

1

d xdl l x l

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ (6.29)

oraz transformacji układu współrzędnych (6.23), równanie (6.28) można zapisać w postaci:

ddl l xΠ ∂Π ∂Π

= −∂ ∂

(6.30)

gdzie:

ds

Γ

A

u

l d l

T

x1 x

y y1


A

d A d sl l lΓ

∂Π ∂Φ ∂= −

∂ ∂ ∂∫ ∫uT (6.31)

A

A d sx x xΓ

∂Π ∂ Φ ∂= −

∂ ∂ ∂∫ ∫uT (6.32)

Po wykorzystaniu rów. (6.4) można zapisać następujące równanie:

i j i ji j

i jl l l∂ e ∂ e∂ Φ ∂ Φ

= = σ∂ ∂ e ∂ ∂

(6.33)

które pozwala przekształcić (6.31) do postaci:

i ji j

A

d A d sl l lΓ

∂ e∂ Π ∂= σ −

∂ ∂ ∂∫ ∫uT (6.34)

lub po wykorzystaniu zasady prac przygotowanych:

0i j i jA

d A d sΓ

δΠ = σ δe − δ =∫ ∫ T u (6.35)

Zastosujmy twierdzenie Greena do pierwszego członu lewej strony rów. (6.32) - otrzymujemy wówczas:

A

d y d AxΓ

∂ ΦΦ =

∂∫ ∫ (6.36)

Wstawiając (6.36) do (6.32) i korzystając z (6.30) otrzymujemy ostatecznie zależność określającą zmianę energii potencjalnej ciała ze szczeliną dla dowolnej drogi całkowania obejmującej wierzchołek szczeliny w postaci równania:

d d y d sd l xΓ

Π ∂= − Φ − ∂ ∫

uT (6.37)

Porównując (6.37) z (6.16) otrzymujemy:

dJd lΠ

= − (6.38)


Tak więc całka J ma jasną interpretację fizyczną - opisuje ona prędkość zmniejszania się energii potencjalnej dwuwymiarowego ciała przy wzroście szczeliny (tzw. wzroście „samopodobnym”, tzn. takim, w wyniku którego kształt szczeliny nie ulega zmianie - taka sytuacja ma miejsce np. w analizowanym tu przypadku szczeliny w I typie obciążenia).

W rozdz. 4 (rów. (4.20)) wykazano, że w ośrodku liniowo sprężystym miedzy zmianą energii potencjalnej, a prędkością uwalniania energii G istnieje następujący związek:

dGd A

Π= − (6.39)

a stąd:

J G= (6.40)

Wynika stąd, że w ramach LSMP koncepcja całki J jest w pełni ekwiwalentna podejściu energetycznemu, ze wszystkimi tego faktu następstwami.

6.1.5 Całka J jako charakterystyka pola naprężeń w ośrodku nieliniowo sprężystym ze szczeliną

Zależność (6.40) wskazuje, że całka J może być uważana za charakterystykę pola naprężeń w wierzchołku szczeliny dla ciała liniowo sprężystego. Wniosek ten jest bezpośrednim następstwem związku prędkości uwalniania energii G ze współczynnikiem intensywności naprężeń K - określającym w pełni pole naprężeń w wierzchołku (rów. (2.46)). Hutchinson [6.8] oraz Rice i Rosengren [6.14] wykazali, iż odnosi się ten wniosek również do ciał nieliniowo sprężystych. Przedstawimy tutaj jedynie szkic rozumowania prowadzącego do wykazania, że całka J pełni taką rolę w nieliniowej mechanice pękania, jak K w mechanice liniowej.

Rozważmy materiał nieliniowo sprężysty, który w jednoosiowym stanie naprężenia opisany jest równaniem Ramberga-Osgooda:

( )no o oe e = σ σ + α σ σ (6.41)

gdzie: σo, α i n są stałymi materiałowymi oraz eo =σo /E.

Wraz ze zbliżaniem się do wierzchołka szczeliny człon liniowy jest w stosunku do nieliniowego pomijalnie mały i można skorzystać z uproszczonej postaci rów. (6.41), a mianowicie:

( )no oe e = α σ σ (6.42)


Całka J wyraża się zależnością:

J d y d sxΓ

∂= Φ − ∂ ∫

uT (6.43)

Ze względu na niezależność całki J od drogi całkowania, wybierzmy kontur Γ w kształcie koła o promieniu r, ze środkiem w wierzchołku szczeliny, rozpoczynający się i kończący na przeciwległych jej powierzchniach. Dla takiej drogi całkowania, równanie (6.43) przechodzi po prostych przekształceniach w równanie:

cos cJ r d F r dx

π π

− π −π

∂= Φ θ − θ = θ ∂ ∫ ∫

uT (6.44)

Jeżeli całka (6.44) ma być niezależna od drogi całkowania (tzn. mieć taką samą wartość dla dowolnej drogi), to funkcja podcałkowa nie może zależeć od promienia r, a to z kolei nakłada warunek na funkcję Fc, która musi zawierać osobliwość typu r-1. W oparciu o analizę wymiarową można stwierdzić, że funkcja F c ma „wymiar” σe (w przypadku Φ jest to natychmiast widoczne z (6.5), w przypadku iloczynu T ∂u/∂x wynika to stąd, że T ma wymiar naprężenia jako obciążenie powierzchniowe, a pochodna ∂u/∂x ma „wymiar” odkształcenia). Konkludując, stwierdzamy, że musi być spełniony warunek:

1r−σe ∝ (6.45)

Korzystając z (6.45) i (6.42), po elementarnych obliczeniach otrzymujemy:

( )1

11

n

oo o

crr

+ σ = σ ασ e

(6.46)

( )1

1

nn

oo o

cr

r

+ e = αe ασ e

(6.47)

Równania (6.46) i (6.47) pokazują, że pole naprężeń wokół wierzchołka szczeliny w materiale nieliniowym (typu (6.42)) charakteryzuje się osobliwością r-1/(n+1), a pole odkształceń - osobliwością r-n/ (n+1). Są to tzw. osobliwości typu HRR (nazwa pochodzi od nazwisk Hutchinson, Rice, Rosengren). Hutchinson wykorzystując (6.46) i (6.47), poprzez przekształcenie całki (6.43) wyznaczył


zależności określające pole naprężeń i odkształceń w funkcji całki J. Uogólniając związek fizyczny (6.42) na stany wieloosiowe, tzn korzystając z równania:

1 1 23 3,

2 2

nij ije

e ij ijo o o

ss s

−e σ = α σ = e σ σ

(6.48)

gdzie sij oznacza dewiator tensora naprężenia, Hutchinson otrzymał następujące równania osobliwych pól naprężeń i odkształceń:

( )1

1

,n

i j o ijo o n

J nI r

+ σ = σ σ θ α σ e

(6.49)

( )1

,

nn

ij o ijo o n

J nI r

+ e = α e e θ ασ e

(6.50)

In jest stała liczbową zależną od wykładnika n w związku fizycznym, σ e , opisują bezwymiarowe funkcje kąta θ zależne ponadto od typu szczeliny, wykładnika n oraz stanu naprężenia i odkształcenia (PSN, PSO).

Z (6.49) i (6.50) widać, że zgodnie z tym co powiedziano wcześniej, J stanowi podstawową charakterystykę pól naprężenia i odkształcenia w wierzchołku szczeliny w materiale nieliniowo sprężystym, jakkolwiek nie jedyną - parametrem charakteryzującym te pola jest również współczynnik umocnienia n. Przypomnijmy, że w materiale liniowo sprężystym - pełną informację o polu naprężenia zapewnia współczynnik intensywności naprężeń K.

6.1.6 Związek całki J z rozwarciem w wierzchołku szczeliny

Całka J stanowi w nieliniowej mechanice pękania podstawowy parametr przy opisie pola naprężeń, jak i energii potencjalnej, a dzięki temu można zbudować oparte na niej kryterium pękania materiałów sprężysto plastycznych. Odpowiednim „kandydatem” do pełnienia roli kryterium jest także rozwarcie w wierzchołku szczeliny CTOD (patrz rozdz.3). Atrakcyjność CTOD wynika w tym względzie choćby stąd, że jest to wielkość mierzalna, która uwzględnia wszelkie efekty plastyczne występujące w okolicy wierzchołka szczeliny, objawiające się wzrostem przemieszczeń jej brzegów. Istnienie możliwych dwóch miar odporności na pękanie w naturalny sposób wywołuje pytanie o ich wzajemny związek, szczególnie że przez pewien okres uważano je za niezależne od siebie.

Związek między J i CTOD (dalej dla skrócenia zapisu będziemy stosować symbol δ t) dla szczeliny wg modelu Dugdale’a wyprowadził Hutchinson.


Przytoczmy w skrócie jego analizę. W tym celu rozważmy szczelinę Dugdale’a i obliczmy całkę J wzdłuż konturu Γ wybranego tak, że otacza on strefę plastyczną, a jego początek i koniec znajdują się na górnej i dolnej powierzchni szczeliny fizycznej – pokazano to na Rys. 6.5.

Wysokość strefy plastycznej jest znikomo mała, stąd w obszarze ograniczonym przez Γ mamy dy=0. Z rów. (6.43) otrzymujemy zatem:

Rys. 6.5. Kontur do wyznaczania całki J dla szczeliny Dugdale’a.

J d sxΓ

∂= −

∂∫uT (6.51)

Uwzględniając, że obciążenie -σys działa jedynie na poziomych odcinkach konturu Γ z (6.51), po wykorzystaniu (6.3) otrzymujemy:

ys yuJ n d sxΓ

∂= σ

∂∫ (6.52)

Na dolnej części konturu ny=-1, ds=dx, zaś na górnej części ny=1, ds=-dx, tak więc w każdym wypadku zachodzi związek ds=- ny dx. Równanie (6.52) przyjmuje teraz postać:

y yl r l r

ys ysl l

u u uJ d x d x d xx x x

+ +

+ −

Γ

∂ ∂ ∂= −σ = −σ −

∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ (6.53)

y

u σys

δt x

l rp

x y

l rp

Γ


Po scałkowaniu (6.53) i uwzględnieniu, że rozwarcie w wierzchołku szczeliny fikcyjnej wynosi zero, otrzymujemy ostatecznie związek między całką J, a CTOD w postaci:

( ) ( )ys ys tJ u l u l+ − = σ − = σ δ (6.54)

Równanie (6.54) dotyczy oczywiście pewnej idealizacji strefy plastycznej w wierzchołku szczeliny, jaką wprowadza model Dugdale’a, opartej w zasadzie na liniowej sprężystości. Numeryczna analiza ciał nieliniowo sprężystych z umocnieniem, a także wyniki doświadczeń wskazują, że związek J i CTOD może być zapisany przy pomocy formuły bardzo podobnej do (6.54), a mianowicie:

ys tJ = λ σ δ (6.55)

Wartość współczynnika λ mieści się w przedziale 1.15÷2.95, zależnie od stosunku σys/E i wykładnika umocnienia n. Dla materiałów metalicznych doświadczalnie ustalono, że w większości przypadków dobrym oszacowaniem jest wartość λ=2.

6.1.7 Całka J w warunkach stałych uchwytów i stałego obciążenia

Z myślą o doświadczalnym wyznaczaniu wartości całki J jako prędkości zmniejszania się energii potencjalnej przy wzroście szczeliny - rów. (6.38) - wygodnie jest określić J dla warunku stałych uchwytów i stałego obciążenia - dwóch podstawowych technik doświadczalnych. Uwzględniając, że energia potencjalna Π=Ue-L, obszary obrazujące Π w obu przypadkach wyglądają tak, jak pokazano na Rys. 6.6.

Rys. 6.6. Energia potencjalna w warunkach : A. stałych uchwytów, B. stałego obciążenia.

Π < 0

B

siła F

przemieszczenie u

Π = Ue

przemieszczenie u

Π = Ue

Π > 0

A

siła F


Rozważmy wykresy „siła-przemieszczenie” dla szczelin o długości l oraz l+∆l w warunkach stałych uchwytów - Rys. 6.7, oraz stałej siły - Rys. 6.8. Przy wyznaczaniu energii potencjalnej posłużymy się identycznym rozumowaniem, jak w punktach 4.1.2 i 4.1.3, odnoszącym się do ciała liniowo sprężystego.

Rys. 6.7. Zależność siła-przemieszczenie dla próbki ze szczeliną w warunkach „stałych uchwytów”

Rys. 6.8. Zależność siła-przemieszczenie dla próbki ze szczeliną w warunkach „stałej siły”.

Dla warunku stałych uchwytów, wobec L=0, zmiana energii potencjalnej wynosi:

OAB OAC OBCP P P∆Π = = − (6.56)

( ) ( )0 0 0

u u u

F l du F l l du F du∆Π = − + ∆ = ∆∫ ∫ ∫ (6.57)

siła l

A

B

O u

F (l+∆l)

F (l) ∆F

l+∆l

C przemieszczenie

F, u

l

u = const

przemieszczenie

F, u

l

F = const

∆u u(l+∆l)

D

E

siła

F l

l+∆l

u (l)

A F

B

C O


Z równania (6.38) otrzymujemy następujące równanie określające całkę J:

0

u

u u

FJ d ul l

∂Π ∂= − = − ∂ ∂ ∫ (6.58)

W warunkach stałej siły zmiana energii potencjalnej wynosi:

OAD OFD OFAP P P∆Π = = − (6.59)

( ) ( )0 0 0

F F F

u l l d F u l d F u d F∆Π = + ∆ − = ∆∫ ∫ ∫ (6.60)

Równanie (6.38) daje w tym przypadku:

0

F

F F

uJ d Fl l

∂Π ∂= − = − ∂ ∂ ∫ (6.61)

Zastosowanie równań (6.58), (6.61) do analizy doświadczalnej będzie pokazane w kolejnym punkcie niniejszego rozdziału.

6.1.8 Całka J jako miara odporności materiału na pękanie

Wykazaliśmy już wcześniej, że dla materiałów liniowo sprężystych całka J jest tożsama z prędkością uwalniania energii G. Jest więc naturalne, że zarówno energetyczne kryterium pękania, jak i kryterium siłowe mogą być wówczas zdefiniowane poprzez krytyczną wartość całki J. Kryterium pękania (tzn. niestabilnego wzrostu szczeliny) można zapisać w postaci:

cJ J= (6.62)

Jednakże całka J ma szersze zastosowanie niż tylko w odniesieniu do materiałów liniowo sprężystych - jest ona również charakterystyką odpowiednią dla materiałów nieliniowo sprężystych, podlegających potęgowemu związkowi fizycznemu typu Ramberga-Osgooda. Formalnie, związek tego typu jest równoważny związkowi tzw. odkształceniowej teorii plastyczności, z tą różnicą, że przy odciążeniu - w przypadku materiału sprężystego powrót następuje po drodze wyznaczonej w procesie obciążenia, zaś w przypadku materiału sprężysto-plastycznego zawsze po prostej równoległej do sprężystego odcinka wykresu „σ-e„.

Biorąc pod uwagę, że ruchowi szczeliny zawsze towarzyszy strefa plastyczna, w której następuje odciążenie sprężyste, a także to, że niezależność całki J i wynikające z niej relacje (6.46), (6.47), (6.49), (6.50) prawdziwe są tylko dla nieliniowej


sprężystości, dochodzimy do konkluzji mówiącej, że całka J nie jest odpowiednim parametrem do opisu ruchu szczeliny, a nadaje się tylko do zagadnień stacjonarnych.

Druga obserwacja wynikająca z przytoczonego rozumowania to ta, że w małym obszarze w otoczeniu wierzchołka, w którym występują nieodwracalne odkształcenia plastyczne, pole naprężeń nie jest opisane całką J, co oznacza jednocześnie, że obszar ten musi być mały w stosunku do obszaru, w którym całka J jest właściwym parametrem pola naprężeń. Obszar, w którym parametrem kontrolującym naprężenia jest J określa się jako „obszar dominacji J” - Rys. 6.9. Oszacowanie wielkości tego obszaru uzyskano na drodze obliczeń numerycznych. Wynika z nich [6.9], że strefę dominacji J można aproksymować kołem o promieniu R spełniającym warunek:

3 tR > δ (6.63)

gdzie: δ t oznacza tzw. efektywne rozwarcie w wierzchołku szczeliny (Rys. 6.9), które określone jest zależnością [6.16]:

( ),t oo

Jd nδ = αeσ

(6.64)

Zakres zmienności d mieści się w granicach ( 0.3÷0.8 ).

Rys. 6.9. Obszar dominacji całki J .

Analizując numerycznie typowe kształty próbek doświadczalnych, a mianowicie próbkę zginaną, kompaktową rozciąganą i prostokątną ze szczeliną centralną - Rys. 6.10 -, przy założeniu, że ta część ich szerokości b przez którą nie przebiega szczelina jest w pełni uplastyczniona, uzyskano dodatkowe warunki na promień R.

I tak dla próbki zginanej i kompaktowej warunek ten ma postać [6.17]:

0.07R b≅ (6.65)

45° 45°

δt

strefa zniszczenia

strefa dominacji całki J

δt


a dla próbki ze szczeliną centralną [6.10]:

0.01R b≅ (6.66)

Rys. 6.10. Strefy pełnego uplastycznienia w próbkach ze szczelinami w PSO.

Przyjmuje się, że dla materiałów charakteryzujących się niskim do umiarkowanego umocnieniem odkształceniowym można przyjąć za dobrą aproksymację związek:

0.6t oJδ = σ (6.67)

Łącząc (6.63) z (6.67) oraz (6.65) i (6.66), otrzymujemy: - dla próbki zginanej i kompaktowej:

25ysbJσ

> (6.68)

- dla próbki ze szczeliną centralną:

175ysbJσ

> (6.69)

Reasumując, podkreślmy to wyraźnie, że wszystkie podane powyżej relacje zostały uzyskane przy założeniu płaskiego stanu odkształcenia.

Podobne relacje dla PSN nie zostały dotąd wyznaczone, tak więc mówiąc o odporności materiału na pękanie w sensie osiągnięcia przez całkę J wartości krytycznej należy rozumieć odporność w warunkach PSO. Kryterium pękania

próbka ze szczeliną centralną

próbka zginana (SENB)

M

M

b b/2

P

P

b/2


(6.62) w odniesieniu do szczeliny w I typie obciążenia, po wykorzystaniu tej samej terminologii jak w przypadku kryterium siłowego, ma zatem postać:

I cJ J= (6.70)

6.2 DOŚWIADCZALNE WYZNACZANIE CAŁKI J ORAZ JIC

Istnieją dwie podstawowe metody doświadczalnego wyznaczania całki J i jej wartości krytycznej - „metoda wielu próbek” i „metoda jednej próbki”. Procedura wyznaczania JIc, bazująca na tej drugiej metodzie, jest obecnie także przedmiotem normy amerykańskiej E-813. Poniżej omówione zostaną najważniejsze punkty każdej z metod, z normową włącznie.

6.2.1 Doświadczalne wyznaczanie całki J metodą wielu próbek.

Sposób doświadczalnego wyznaczania całki J omawianą metodą został zaproponowany przez Landesa i Begley’a [6.1]. Bazuje on na energetycznej interpretacji całki J jako prędkości zmniejszania się energii potencjalnej przy wzroście szczeliny - rów. (6.38):

dJd lΠ

= − (6.71)

Wymagania odnośnie próbek testowych nie są objęte żadnymi uregulowaniami, tak więc istnieje pewna dowolność tak co do kształtu, jak i wymiarów. Zasadniczo jednak używa się próbek zginanych lub kompaktowych, podobnych do stosowanych w próbie wyznaczania KIc (patrz Rys. 5.10 i Rys. 5.11). Podobny jest również sposób wykonania karbu, z którego wychodzi wstępna szczelina zmęczeniowa, a następnie już w trakcie próby - szczelina zasadnicza. Z reguły do przeprowadzenia próby należy przygotować 4-6 identycznych próbek, różniących się jedynie długością szczeliny - powinna się ona zawierać w przedziale 0.3÷0.8 W. Sposób wyznaczania J - pokazany na Rys. 6.11 - składa się z następujących etapów: • dla każdej z próbek należy w trakcie próby (w warunkach stałych uchwytów)

„zdjąć” wykres obciążenie - przemieszczenie. Dla każdej z nich dla danego przemieszczenia u należy obliczyć pole pod krzywą „F-u”. Pole to jest równe energii potencjalnej Π odpowiadającej temu przemieszczeniu (Rys. 6.11 A),

• korzystając z obliczonych wartości Π sporządzić wykres zależności energii potencjalnej jako funkcji długości szczeliny (Rys. 6.11 B),

• Korzystając z tego, że całka J jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu „Π - l” (rów. 6.71), wyznaczyć wartości J odpowiadające różnym


długościom szczelin. W wyniku tej procedury otrzymuje się wykres „J - u” (Rys. 6.11 C).

Rys. 6.11. Wyznaczanie całki J metodą Begley’a - Landesa.

Krytyczną wartość całki J – „JIc”- charakteryzującą odporność materiału na pękanie wyznacza się w ten sposób, że dla próbki ze szczeliną o danej długości l i należy zarejestrować wartość przemieszczenia uic odpowiadającą momentowi krytycznemu, za który uważa się moment inicjacji wzrostu pęknięcia. W ten sposób otrzymujemy tyle wartości JIc, ile próbek poddano badaniom (Rys. 6.11 C). Jeżeli JIc ma być istotnie stałą materiałową to w przypadku idealnym wszystkie otrzymane wartości powinny być takie same.

Metoda wielu próbek, jakkolwiek prosta jeśli chodzi o jej „ideę”, jest trudna w realizacji m.in. ze względu na konieczność badania wielu próbek, a także stwarza duże trudności przy „konstruowaniu” kolejnych wykresów pokazanych

F, u

l

u

A B

C

D

E

F

G

H

K

F

u1 u2 u3

l1

l2

l3

A

l3>l2>l1

A

l

B C

D E

F

G

H

u1

u2

u3

Π

B l1 l2 l3 u A B C

D

E

F

G

H

l1 l2 l3

u1 u2 u3 C

J

Jc


schematycznie na Rys. 6.11. Trzeba jednocześnie dodać, że metoda ta uchodzi jednak za najbardziej uniwersalną, gdyż można ją stosować bez względu na wielkość strefy plastycznej, jak i typ próbki.

6.2.2 Doświadczalne wyznaczanie całki J metodą jednej próbki

Trudności związane z wyznaczaniem J metodą wielu próbek skłoniło do poszukiwania metody prostszej, nawet gdyby miało to oznaczać pewne ograniczenie jej ogólności. Jest nią metoda oparta na badaniu jednej próbki, zaproponowana przez Rice’a i in. [6.15]. Metoda oparta jest na założeniu pełnego uplastycznienia obszaru leżącego na przedłużeniu płaszczyzny szczeliny, czyli mówiąc inaczej zakłada ona istnienie przegubu plastycznego. U podstaw metody leżą równania (6.58) i (6.61).

Belka zginana momentem M

Wyobraźmy sobie, że belka o długości L ze szczeliną boczną zginana jest momentem M (na jednostkę grubości B), tak jak to pokazano na Rys. 6.12.

Rys. 6.12. Przegub plastyczny w belce ze szczeliną.

Rów. (6.61) można dla tego przypadku zapisać w postaci:

0

M

M

J d Ml

∂ θ= ∂ ∫ (6.72)

gdzie θ jest kątem względnego obrotu końcowych przekrojów belki. Kąt ten można rozdzielić na część sprężystą (niezwiązaną z obecnością szczeliny) i plastyczną, wywołaną uplastycznieniem w wierzchołku szczeliny.

θ/2 θ/2 u Mpl Mpl

L/2 L/2

b l

W M M

L/2 L/2


Zakładając, że cały obszar w pobliżu wierzchołka szczeliny, którego długość wynosi b jest w pełni uplastyczniony, co jest równoznaczne z utworzeniem się przegubu plastycznego, można przyjąć, że obrót (sztywny) jest w całości plastyczny. Tak więc:

el pl plθ = θ + θ ≅ θ (6.73)

Kąt θpl będąc wielkością bezwymiarową musi być funkcją bezwymiarowych argumentów, co można zapisać następująco:

, ,yspl

pl

Mf nM E

σθ =

(6.74)

Mpl oznacza graniczny moment plastyczny części przekroju poprzecznego belki przez którą nie przebiega szczelina - w tym przypadku prostokąta B×b. Z kursu wytrzymałości materiałów wiadomo, że wynosi on:

2 4pl ysM Bb= σ (6.75)

Wskutek tego, że przyrostowi długości szczeliny l odpowiada zmniejszanie się długości odcinka b możemy zapisać relację:

l b

∂ ∂= −

∂ ∂ (6.76)

Korzystając z (6.76) i (6.74) obliczmy następujące pochodne:

2pl pl

plM

pl

Mf Ml M bM

M

∂ θ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂

(6.77)

1pl

plM

pl

fM MM

M

∂ θ ∂= ∂ ∂

(6.78)

Z (6.77) i (6.78), uwzględniając (6.75), po prostych przekształceniach otrzymujemy:


2pl pl

M

Ml b M

∂ θ ∂ θ = ∂ ∂

(6.79)

Po wstawieniu (6.79) do (6.72) dostajemy ostatecznie równanie w postaci:

0

2J M dB b

θ

= θ∫ (6.80)

Zauważmy, że całka w (6.80) jest równa polu pod krzywą „M-θ„. Oznaczając to pole jako A, rów. (6.80) można zapisać następująco:

( )2 AJ

B W l=

− (6.81)

Równanie (6.81) pozwala na wyznaczenie J na podstawie próby przeprowadzonej na jednej próbce.

Belka trójpunktowo zginana.

Rozważmy obecnie próbkę trójpunktowo zginaną (Rys. 6.13). Przyjmijmy wszystkie założenia takie, jak w przypadku analizowanym powyżej.

Zagadnienie to zostało rozwiązane przez Rice’a i in.[6.15] oraz Ernsta i Parisa [6.5]. Do wyznaczenia całki J zastosujemy obecnie rów. (6.58), tzn.:

0

u

u

FJ d ul

∂= − ∂ ∫ (6.82)

Odwracając związek (6.74) ze wzg. na M dostajemy:

, ,yspl plM M h n

Eσ

= θ

(6.83)

Moment zginający zmienia się liniowo, a zatem jest proporcjonalny do maksymalnego, a to pozwala zapisać go jako M=cPL. Kąt obrotu θ można w przybliżeniu przyjąć równy θ =4u/l, gdzie u oznacza ugięcie belki w przekroju szczeliny. Po uwzględnieniu (6.75), siła P obliczona z rów. (6.83) wynosi:

2 4 , ,

4ys ysBb uF h n

c L L Eσ σ

=

(6.84)


Rys. 6.13. Belka trójpunktowo zginana.

Można teraz, korzystając z (6.76) znaleźć funkcję podcałkową całki (6.82). Przyjmuje ona postać:

2 4 , ,

4ys ys

u

BbF uh nl c L L E

σ σ ∂= − ∂

(6.85)

a po wstawieniu (6.84):

2

u

F Fl b

∂= − ∂

(6.86)

Ostatecznie zatem całka J wyraża się zależnością:

0

2 u

J F d uBb

= ∫ (6.87)

lub

( )2 AJ

B W l=

− (6.88)

gdzie A jest polem pod krzywą „F-u” otrzymaną w próbie doświadczalnej.

b l

W

P

L/2 L/2

θ/2 u

Mpl Mpl

L/2 L/2

θ/2


Próbka kompaktowa.

Całkę J dla próbki kompaktowej, stosując podobny sposób rozumowania do tego dla belki trójpunktowo zginanej (zauważmy, że próbka kompaktowa z głęboką szczeliną jest w istocie - w obszarze bez szczeliny, określonym przez odcinek b - również zginana) uzyskali Merkle i Corten [6.11]. Całka J wyraża się zależnością zbliżoną do (6.88) z tą tylko różnicą, że występuje w niej współczynnik poprawkowy zależny od stosunku l/b. Odpowiednie równanie ma postać:

( ) 2

2 11

AJB W l

+ β=

− + β (6.89)

gdzie:

1 22 1 12 2

2 2l l lb b b

β = + + − +

(6.90)

6.2.3 Metoda normowa wyznaczania całki J i JIc

Metoda normowa [6.18] wyznaczania całki J i jej krytycznej wartości JIc – w przypadku próbki do trójpunktowego zginania oparta jest na zależnościach (6.88), a dla próbki kompaktowej (6.89) – te bowiem próbki zalecane są przez normę. Kształty próbek nie różnią się istotnie od kształtów przewidzianych przez normę dotyczącą wyznaczania KIc (Rys. 5.10 i Rys. 5.11). Dłuższe są natomiast długości szczelin wstępnych - powinny one być większe od 0.5 W i nie większe od 0.75 W. Warunkiem uznania próby za ważną jest spełnienie warunków:

, 25 Ic ysb B J> σ (6.90)

Ich uzasadnienie wynika z treści pkt. 6.1.8 (rów. (6.68)). Procedura wyznaczania JIc – Rys. 6.14 – jest następująca:

• obciążyć próbkę rosnącą siłą F i rejestrować w sposób ciągły wykres zależności siły F od przemieszczenia u w punkcie jej przyłożenia (w próbce kompaktowej przemieszczenie oznacza zarazem rozwarcie szczeliny, a w próbce trójpunktowo zginanej ugięcie pod siłą),

• dla danego konkretnego punktu pomiarowego (Fi, ui) pomierzyć długość szczeliny l i oraz obliczyć przyrost długości ∆l i w stosunku do stanu początkowego. Następnie obliczyć wartość całki Ji korzystając zależnie od typu próbki z rów. (6.88) lub (6.89). Dzięki temu możliwe jest skonstruowanie wykresu „J - ∆l”,


Rys. 6.14. Schemat wyznaczania JI c wg normy E 813.

• przez otrzymane w ten sposób punkty (Ji, ∆l i) poprowadzić krzywą potęgową najlepszego dopasowania o ogólnym równaniu:

( ) 21

CJ C l= ∆ (6.91)

• z punktu na osi ∆l, dla którego ∆l =0.2 mm poprowadzić prostą o równaniu:

2 ysJ l= σ ∆ (6.92)

Jest to tzw. linia stępienia, której równanie przyjęto arbitralnie w postaci (6.92).Jej wprowadzenie tłumaczy sie tym, że szczelina o pierwotnie ostrym froncie, zanim zacznie wzrastać w stabilny sposób przy rosnącym obciążeniu, najpierw wykazuje tendencję do zaokrąglenia frontu. Towarzyszy temu niewielki przyrost długości, szacowany na ∆l =0.5 CTOD. Uwzględnienie tego warunku w rów. (6.55) i przyjęcie współczynnika λ=1 prowadzi do rów. (6.92),

• wyznaczyć wartość JIc odpowiadającą punktowi przecięcia linii stępienia i krzywej najlepszego dopasowania (6.91),

0.2 1.5

0.1

linia offsetowa 0.15 mm

linia stępienia 0.2 mm

przyrost długości szczeliny ∆l [mm]

J [kN/m]

Jmax

JIc

linia offsetowa 1.5 mm

punkty użyte w analizie regresji


• poprowadzić dwie dodatkowe linie równoległe do linii stępienia (tzw. linie offsetowe) z punktów, dla których ∆l=0.15 mm i ∆l=1.5 mm, a także prostą o równaniu J=Jmax=b σys /15,

• wykluczyć, jako nieważne, te punkty (Ji, ∆li), które nie mieszczą się w obszarze wyznaczonym liniami offsetowymi i linią Jmax. Przez pozostałe poprowadzić „poprawioną” potęgową krzywą najlepszego dopasowania. Krzywa ta począwszy od punktu odpowiadającego wartości JIc charakteryzuje opór stawiany przez materiał wzrostowi szczeliny i nosi nazwę krzywej oporu lub krzywej JR. Jest ona sprężysto- plastycznym odpowiednikiem krzywej R dla materiału liniowo sprężystego.

Opisana tu metoda wyznaczania JIc może być także stosowana do oszacowania wartości odporności na kruche pekanie KIc. Korzystając ze wzoru (6.40) oraz (4.52) otrzymujemy dla PSO zależność wiążącą JIc i KIc :

( ) 1 221Ic IcK E J = − ν (6.93)

Równanie (6.93) jest używane w takich przypadkach, w których spełnienie wymagań dotyczących wymiarów próbek, tak aby próbę normową określania KIc uznać za ważną, jest niemożliwe.

6.3 KRYTERIUM PĘKANIA OPARTE NA KRYTYCZNYM ROZWARCIU SZCZELINY

6.3.1 Podstawy teoretyczne

Wielokrotnie wspominaliśmy, że dla większości materiałów - poza materiałami bardzo kruchymi - szczelinie towarzyszy strefa uplastyczniona w pobliżu jej wierzchołka. W sytuacji, gdy odkształcenia plastyczne są duże, w strefie przywierzchołkowej następuje intensywny wzrost pustek wewnątrz materiału oraz ich łączenie się z wierzchołkiem istniejącej szczeliny. Zanim jednak dochodzi do jej wzrostu występuje efekt rozwierania się brzegów, szczególnie mocny w wierzchołku szczeliny. Można w związku z tym stwierdzić, że rozwarcie w wierzchołku jest miarą odkształceń plastycznych w obszarze z nim sąsiadującym.

Uzasadnione jest przypuszczenie, że wzrost długości szczeliny możliwy jest dopiero wtedy, gdy rozwarcie osiągnie pewną wartość krytyczną, zależną od materiału. Można zatem uznać, że ta wartość krytyczna jest pewną stałą materiałową charakteryzującą odporność materiału na pękanie. Pierwszym, który zwrócił uwagę na możliwość sformułowania w oparciu o powyższe obserwacje nowego kryterium pękania w postaci:


t tcδ = δ (6.94)

był Wells [6.19]. W rów. (6.94) δ t oznacza rozwarcie szczeliny fikcyjnej (tzn. wraz ze strefą plastyczną) w wierzchołku szczeliny fizycznej (rzeczywistej), a δ tc jego wartość krytyczną - Rys. 6.15.

Analityczne formuły określające δ t w funkcji obciążenia, długości szczeliny oraz stałych materiałowych dla ciała o nieograniczonych wymiarach podali Irwin oraz Dugdale - są to równania odpowiednio (3.21) i (3.3.2). Przypomnijmy je jeszcze raz:

Rys. 6.15. Rozwarcie w wierzchołku szczeliny fizycznej.

dla modelu Irwina 24 I

tys

KE

δ =π σ

(6.95)

dla modelu Dugdale’a 8

ln sec2

y st

y s

lE

σ π σδ = π σ

(6.96)

Rów. (6.96) dla małych stosunków σ/σys, po rozwinięciu funkcji ln sec (...) w szereg potęgowy:

2 4

1 1ln sec ...2 2 2 12 2ys ys ys

πσ πσ πσ = + + σ σ σ (6.97)

i pominięciu wyższych potęg, można zapisać w przybliżony sposób następująco:

21 I

tys

KE

δ =σ

(6.98)

l

u

x δt

rp

szczelina fikcyjna szczelina rzeczywista


Równania (6.95) i (6.98) świadczą, iż w warunkach uplastycznienia małego zasięgu, co de facto sprowadza się do przypadku liniowo sprężystej mechaniki pękania, kryterium krytycznego rozwarcia szczeliny jest równoważne kryterium opartemu na krytycznym współczynniku intensywności naprężeń (wystarczy w miejsce KI wstawić KIc, a w miejsce δ t - δ t c).

6.3.2 Teoretyczna krzywa COD

Pierwotne sformułowanie koncepcji COD można w skrócie przedstawić następująco: 1. Znaleźć ogólną zależność stanu odkształcenia od rozwarcia szczeliny δ t. 2. Doświadczalnie wyznaczyć krytyczne rozwarcie δ tc dla danego materiału, a

następnie znaleźć odpowiadające mu odkształcenie krytyczne ec. 3. Dla konkretnej konstrukcji, dla której poszukiwana jest odporność na pękanie

wyznaczyć stan odkształcenia, a następnie maksymalne odkształcenie porównać z wartością krytyczną. Dzięki temu uzyskujemy ocenę stanu bezpieczeństwa tej konstrukcji.

Z praktycznego punktu widzenia podejście to jest mało przydatne, gdyż wymaga skomplikowanych z reguły obliczeń (szczególnie w pkt. 3), a ponadto znacznie wygodniej byłoby posługiwać się jako parametrem sterującym - rozwarciem wyrażonym jako funkcja długości szczeliny. Możliwe byłoby wówczas bezpośrednie wykorzystanie kryterium (6.94) i wyznaczenie maksymalnej dopuszczalnej długości szczeliny przy danym obciążeniu, bądź też maksymalnego dopuszczalnego obciążenia przy danej długości szczeliny. Wzory Dugdale’a i Irwina nie mogą być zastosowane wprost, gdyż dotyczą ciała o nieskończonych wymiarach, a ponadto dotyczą jak wspomniano jedynie uplastycznienia małego zasięgu.

Przydatna przy wyznaczaniu związku między rozwarciem szczeliny, jej długością i działającym obciążeniem okazała się metoda oparta na teoretycznych krzywych COD, wprowadzona przez Burdekina i Stone’a [6.2]. Posługując się modelem Dugdale’a wyznaczyli oni odkształcenie e odcinka zawartego między dwoma punktami P równooddalonymi od szczeliny (Rys. 6.16) wyrażające się równaniem:

( )2 2 2 2

1 1 12 2

2 12 coth 1 cot cos1 1ys

k n k nn kn k k

− − − e + + = + − ν + ν e π − −

(6.99)

gdzie:

2uy

e = ; ysy s E

σe = ; ln

y= ; cos

2 ys

k πσ

= σ (6.100)


Zdefiniujmy bezwymiarową funkcję rozwarcia szczeliny ϕ, określoną następująco:

Dugdale

2t

ys lδ

ϕ =πe

(6.101)

W liczniku funkcji ϕ występuje rozwarcie wg modelu Dugdale’a - rów. (6.96). Zauważmy, że funkcje (6.99) i (6.101) można zapisać w ogólnej postaci następująco:

Rys. 6.16. Punkty równooddalone od szczeliny w modelu Burdekina i Stone’a.

, ,ys y s y s ys

ly

e e σ σ= ϕ = ϕ e e σ σ

(6.102)

Poprzez wyeliminowanie z jednego z tych równań σ/σys, Dawes [6.4] sporządził teoretyczne krzywe ϕ=ϕ (e/eys). Są one pokazane schematycznie na Rys. 6.17.

Jak widać z Rys. 6.17 teoretyczne krzywe uzyskane przez Dawesa w oparciu o model Dugdale’a odbiegają zasadniczo od wyników doświadczalnych dotyczących rozwarcia krytycznego δ tc i maksymalnych odkształceń w momencie inicjajcji wzrostu szczeliny. Mieszczą się one w stosunkowo wąskim obszarze, niezależnie od stosunku l/y. Dawes w oparciu o tę przesłankę zaproponował proste równanie tzw. krzywej konstrukcyjnej (ang. COD design curve), pokazanej na Rys. 6.17, w postaci:

2

0.5

0.25 0.5

ys ys

ys ys

e e < e e ϕ = e e − > e e

(6.103)

y

P

l l

P

y


Rys. 6.17. Krzywe ϕ=ϕ (e/e ys) dla koncepcji CTOD.

Kontynuując badania stwierdził on następnie, że dla obciążenia σ<σys oraz szczelin spełniających warunek l<0.1W, gdzie W jest szerokością próbki można przyjąć, że:

ys ys

e σ=

e σ (6.104)

Wstawiając (6.104) do (6.105) i korzystając z (6.101) otrzymujemy maksymalną dopuszczalną długość szczeliny lmax jako funkcji krytycznego rozwarcia szczeliny δ tc w postaci równań:

( )

2 0.52

0.5 12 0.25

ystc

ysmax

tcysys

E

lE

σ σδ < πσ σ= σ δ < <

σπ σ − σ

(6.105)

Praktyczne zastosowanie równania (6.105) wymaga jedynie znajomości krytycznego rozwarcia w wierzchołku szczeliny.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1

2

3

4

5

6

0

1/24 1/12 1/6

krzywa konstrukcyjna

dane doświadczalne l/y= 1/40 ÷ 1/2

l/y=0

2t

ys lδ

ϕ =πe

yse e


6.3.3 Podstawowe informacje nt. normowej próby wyznaczania rozwarcia krytycznego

Procedura wyznaczania krytycznego rozwarcia w wierzchołku szczeliny rzeczywistej (fizycznej) jest przedmiotem normy brytyjskiej BS 5762 [6.12]. Próbę przeprowadza się na próbce do trójpunktowego zginania ze szczeliną boczną - zbliżonej do próbki używanej w normowej próbie wyznaczania KIc. Grubość próbki powinna być taka sama , jak grubość elementu konstrukcyjnego, którego odporność na pękanie jest przedmiotem zainteresowania. Pozostałe wymiary spełniają relacje jak dla próbki do badań KIc, pokazanej na Rys. 5.10. Podobny jest także sposób przygotowania wstępnego pęknięcia zmęczeniowego, a różny jest tylko kształt karbu, z którego propaguje się szczelina. Zamiast karbu ostrzowego zalecany jest karb prosty.

Wynikiem próby jest wykres zależności rozwarcia w „ustach” szczeliny od przyłożonej siły. Pomiaru rozwarcia dokonuje się przy pomocy czujnika klipsowego mocowanego do powierzchni próbki, tak więc końcówki pomiarowe muszą znajdować się w pewnej odległości z od tej powierzchni (Rys. 6.19). Możliwe do uzyskania wykresy „F-u” podzielono na pięć typów - pokazanych na Rys. 6.18 - wśród których wyróżniono cztery kategorie rozwarcia w wierzchołku szczeliny: 1. δc - rozwarcie odpowiadające początkowi niestabilnego wzrostu szczeliny, który

nie jest poprzedzony fazą wzrostu stabilnego (typ I i II), 2. δu - rozwarcie odpowiadające początkowi niestabilnego wzrostu szczeliny,

który jest poprzedzony fazą wzrostu stabilnego (typ III i IV), 3. δ i - rozwarcie odpowiadające inicjacji stabilnego wzrostu szczeliny (typ III, IV, V), 4. δm - rozwarcie odpowiadające maksymalnej sile, jeżeli przed jej osiągnięciem

występowała faza stabilnego wzrostu szczeliny (typ V). Rozwarcie w wierzchołku szczeliny rzeczywistej δ t, za które przyjmuje się

jedną z wielkości (δc, δu, δ i, δm) wyznacza się z zależności:

t te tpδ = δ + δ (6.106)

gdzie: δ te oznacza część sprężystą rozwarcia w wierzchołku, a δ tp część plastyczną.

Udział rozwarcia sprężystego określa się z przybliżonej zależności wynikającej z modelu Dugdale’a - rów. (6.98) - w dość arbitralny sposób zmodyfikowanej.

Jak pamiętamy z rozdz. 3, pkt. 3.1.3, model ten został wprowadzony dla szczeliny w płaskim stanie naprężenia. Dla celów płaskiego stanu odkształcenia rów. (6.98) zostało zastąpione równaniem:

( )2 21

2I

tey

KE

− νδ =

σ (6.107)


Rys. 6.18. Typy wykresów „F-u” wg normy BS 5762.

Rys. 6.19. Rozwarcie w „ustach” i w wierzchołku szczeliny.

Widać, że pojawił się w nim charakterystyczny dla PSO mnożnik (1-ν2), a ponadto w mianowniku występuje współczynnik 2 związany z tzw. więzami plastycznymi, powodującymi, że rzeczywiste rozwarcie jest mniejsze niż by to wynikało z równania (6.98).

Przy obliczaniu plastycznej części rozwarcia wierzchołkowego korzysta się z koncepcji zawiasu plastycznego (rozdz. 3, pkt. 3.2.1) utworzonego wokół niepękniętej części szerokości próbki b (Rys. 6.19) ze środkiem obrotu w punkcie

up

II

Fc

uc

F

u up

ur

V

Fi

ui

Fm

um

ur

up

III

Fi

ui

Fu

uu

ur

up

IV

Fi

ui

Fu

uu

up

I

Fc

uc

l r b

b

przegub plastyczny

u

z

δt

W

r b l

P 2t pδ 2pu


P (przegub plastyczny). Zakładając, że czujnik pomiaru rozwarcia jest tak umieszczony, iż z ≅ 0 (ponadto z w stosunku do długości szczeliny jest znikomo małe), z elementarnej konstrukcji geometrycznej pokazanej na Rys. 6.19 otrzymujemy:

ptp

u r bl r b

δ =+

(6.108)

gdzie r oznacza tzw. współczynnik obrotu, którego wartość ustalona doświadczalnie mieści się w przedziale 0.33 ÷ 0.48. Norma przyjmuje r=0.4. Ostatecznie zatem otrzymujemy:

( )0.4

0.6 0.4p

tp

u W ll W

−δ =

+ (6.109)

Wielkość rozwarcia up należy wyznaczyć z wykresu „F-u”, tak jak to pokazano na Rys.6.18. Wymaga to precyzyjnego ustalenia momentu inicjacji wzrostu szczeliny (stabilnego lub niestabilnego), co wiąże się z koniecznością stosowania specjalnych technik doświadczalnych, jak np. metoda spadku potencjału, czy metoda prądów wirowych. To sprawia, że procedura wyznaczania krytycznego rozwarcia szczeliny uważana jest za trudną i w porównaniu z innymi metodami wyznaczania wielkości krytycznych w mechanice pękania (KIc, JIc) jest rzadziej stosowana.

ROZDZIAŁ 7

7 WZROST SZCZELIN ZMĘCZENIOWYCH

Przedstawione w poprzednich rozdziałach różne kryteria inicjacji wzrostu

szczeliny (kryteria pękania) - niezależnie od swej natury - miały jeden wspólny cel, a mianowicie umożliwienie oceny, jak duże obciążenie σ∞ można przyłożyć do ciała, aby istniejąca w nim szczelina o określonej długości początkowej lo nie powiększała się. Chodziło zatem o wyznaczenie tzw. obciążenia krytycznego. Cel kryteriów pękania można także sformułować alternatywnie - dla znanego obciążenia zewnętrznego wyznaczyć maksymalną dopuszczalną długość szczeliny, tzw. długość krytyczną. Inną wspólną cechą wszystkich przedstawionych kryteriów pękania jest to, że nie uwzględniają one sposobu, w jaki szczelina o początkowej długości lo osiąga swoją wartość krytyczną. Tymczasem od dawna wiadomo, że mały defekt istniejący w elemencie konstrukcyjnym w normalnych warunkach pracy tego urządzenia może okazać się stabilny przez cały okres eksploatacji elementu, zaś przy zmianie tych warunków może okazać się niebezpieczny już po krótkim okresie eksploatacji. Typowym przykładem może tu być zmiana zachowania szczeliny w zależności od rodzaju obciążenia. Zupełnie inny jest obraz zachowania się szczeliny przy obciążeniu stałym, a inny przy obciążeniu zmiennym (np. cyklicznie zmiennym). Analiza licznych katastrof mostowych w XIX wieku wykazała, że ich przyczyną były obciążenia cyklicznie zmienne, których amplituda nie przekraczała połowy dopuszczalnego obciążenia statycznego. Decydującą rolę w powstawaniu katastrof odgrywała tu więc nie wielkość obciążenia, ale jego zmienność w czasie. Przykład ten wskazuje na znaczenie w mechanice obciążeń cyklicznie zmiennych, szczególnie groźnych dla bezpiecznej pracy konstrukcji, bądź jej elementów.

W niniejszym rozdziale przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i koncepcje dotyczące ciała ze szczeliną, poddanego działaniu obciążeń zmiennych, a w szczególności zagadnienie wzrostu szczeliny. Mówiąc o wzroście szczeliny mamy na myśli jej stabilne podrastanie od długości lo do długości krytycznej lkr, osiągnięcie której przyjmuje się za zniszczenie elementu. W mechanice pękania zniszczenie pod wpływem obciążeń zmiennych określa się terminem „zniszczenie zmęczeniowe”. Kolejne etapy procesu rozwoju szczeliny przedstawiono na Rys. 7.1.

196 Wzrost szczelin zmęczeniowych

Etap początkowy to nukleacja (inicjacja) makroszczeliny, czyli szczeliny o długości wystarczająco dużej, aby opis jej zachowania na gruncie mechaniki ciała odkształcalnego był wystarczająco dokładny. Uważa się, że obciążenie cyklicznie zmienne powoduje kumulowanie się energii w pobliżu wewnętrznych pustek bądź wtrąceń obcych. To z kolei prowadzi do wzrostu i łączenia się tych mikrodefektów, aż do utworzenia po pewnej liczbie cykli Ni makropęknięcia, określanego mianem szczeliny zmęczeniowej. Etap drugi to etap wzrostu (propagacji) szczeliny zmęczeniowej od długości li do długości lkr. Okres trwania tego etapu określony jest liczbą cykli Np. Ostatni etap to niestabilny wzrost szczeliny, utożsamiany ze zniszczeniem zmęczeniowym.

Rys. 7.1. Etapy rozwoju szczelin zmęczeniowych

Z powyższych rozważań wynika, że całkowita liczba cykli obciążenia, jaką może bezpiecznie przenieść element konstrukcyjny (zwana jest ona niekiedy okresem życia elementu) jest sumą liczby cykli do inicjacji pęknięcia Ni i liczby cykli odpowiadającej jego propagacji Np. Wartości liczbowe obu tych wielkości zależą od wielu czynników, m.in. od rodzaju materiału, parametrów charakteryzujących obciążenie oraz geometrii szczeliny - trudno zatem podać jakieś ogólne prawidłowości. Jest to tym trudniejsze, że pierwszy etap - inicjacja szczeliny zmęczeniowej - jest wciąż słabo poznany, tak od strony doświadczalnej, jak i teoretycznej. W wielu jednak przypadkach przyjmuje się, że dla oceny trwałości konstrukcji miarodajna jest faza propagacji szczeliny zmęczeniowej - wystarcza zatem znajomość liczby cykli Np.

Przedmiotem dalszych rozważań w tym rozdziale będzie ciało zawierające wstępną makroszczelinę, a mówiąc precyzyjniej zajmować się będziemy wzrostem

lo=li lkr

Nukleacja Ni cykli

Propagacja Np cykli

Zniszczenie


szczeliny zmęczeniowej. Celem analizy będzie określenie trwałości zmęczeniowej takiego ciała.

7.1 SZCZELINA ZMĘCZENIOWA PRZY OBCIĄŻENIU CYKLICZNYM O STAŁEJ AMPLITUDZIE

Rozważmy podstawowe dla praktyki inżynierskiej zagadnienie wzrostu szczeliny przy obciążeniu cyklicznie zmiennym o stałej amplitudzie. Niezależnymi parametrami opisującymi naprężenia wywołane tym obciążeniem są: naprężenie średnie σm, amplituda naprężenia σa oraz częstotliwość ω (w celu określenia wielkości wyłącznie naprężenia znajomość amplitudy nie jest konieczna). Możliwy jest oczywiście inny dobór parametrów naprężeniowych – przykładowo, mogą nimi być naprężenie maksymalne σmax i minimalne σmin lub też zakres zmienności naprężenia ∆σ i jeden z parametrów σmax, σmin, σm.

Często stosowanym parametrem jest tzw. współczynnik asymetrii cyklu R. Może on zastąpić jeden z wymienionych wyżej parametrów. Podstawowe parametry zmęczeniowe zestawiono w Tab. 7.1 - pokazano je również na Rys. 7.2.

Tab. 7.1. Określenia i definicje parametrów naprężeń zmęczeniowych.

PARAMETR OZNACZENIE DEFINICJA naprężenie maksymalne σmax - naprężenie minimalne σmin -

naprężenie średnie σm ( )1 2m max minσ = σ + σ

amplituda naprężenia σa ( )1 2a max minσ = σ − σ

zakres zmienności naprężenia ∆σ max min∆σ = σ − σ

współczynnik asymetrii naprężenia R min maxR = σ σ

Rys. 7.2. Podstawowe parametry charakteryzujące wzrost szczelin zmęczeniowych.

Z określeń zamieszczonych w Tab. 7.1 wynika następujący związek między parametrami zmęczeniowymi:

σmax

czas t

naprężenie σ

σmin

σm σa σa

∆σ


( )1 maxR∆σ = − σ (7.1)

Wartość R = 0 oznacza cykl, w którym naprężenie rośnie od wartości zerowej do wartości maksymalnej, a następnie maleje ponownie do zera - naprężenia nie zmieniają zatem znaku w całym procesie obciążania elementu konstrukcyjnego. Naprężenia zmieniające się zgodnie z takim cyklem noszą nazwę tętniących. Często występującym przypadkiem jest cykl o współczynniku R = -1. W tym przypadku naprężenia oscylują wokół naprężenia średniego σm=0.

Przebieg typowej krzywej przedstawiającej zależność długości szczeliny od liczby cykli pokazano na Rys. 7.3.

Rys. 7.3. Przykładowa krzywa propagacji szczeliny zmęczeniowej (obciążenie o stałej amplitudzie).

Rzeczywista początkowa długość szczeliny oznaczona jest jako lo - musi ona być na tyle duża, aby można do opisu zachowania szczeliny stosować mechanikę pękania. W praktyce może się okazać, że jest ona zbyt mała, aby można ją zidentyfikować przy pomocy stosowanych metod i przyrządów pomiarowych w badaniach nieniszczących. Najmniejszą możliwą do wykrycia w ten sposób długość szczeliny oznaczono jako ld - tę długość będziemy rozumieć w dalszej analizie jako początkową (ld wyznacza tzw. zakres inspekcyjny, tzn. zakres, w którym możliwa jest doświadczalna obserwacja szczeliny). Na skutek działającego obciążenia zmiennego szczelina powoli podrasta od długości początkowej aż do pewnej długości lr, kiedy to następuje wyraźne przyspieszenie ruchu szczeliny. Ten okres w pracy elementu ze szczeliną uważa się za użyteczny okres eksploatacyjny. Po osiągnięciu przez szczelinę długości krytycznej następuje lawinowy, niekontrolowany jej wzrost utożsamiany ze zniszczeniem elementu - liczba cykli odpowiadająca zniszczeniu wynosi Nf .

lo

ld

lkr

Nf

lr

zakres inspekcyjny

okres eksploatacyjny

okres „życia” przy zmęczeniu

liczba cykli N

dług

ość

szcz

elin

y l


Wyznaczenie okresu życia elementu, określonego liczbą cykli do zniszczenia Nf, jak również krzywej l= l(N) stanowi podstawowe zadanie analizy wzrostu szczeliny przy zmęczeniu.

7.1.1 Krzywa prędkości wzrostu szczeliny zmęczeniowej

Ogólnie akceptowanym poglądem jest ten, że mechanizm wzrostu szczeliny przy obciążeniu zmiennym związany jest z lokalnym polem naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny. Jeden z modeli wzrostu [7.2] mówi, że nawet przy bardzo małych obciążeniach, wskutek dużych koncentracji naprężeń w okolicach wierzchołkowych ostrej szczeliny występują odkształcenia plastyczne. Uzewnętrzniają się one w fazie obciążania (wzrostu wartości obciążenia cyklicznego) powstawaniem poślizgów płaszczyzn atomowych, w wyniku których następuje powiększenie długości szczeliny oraz stępienie (zaokrąglenie) jej wierzchołków. W fazie odciążenia (zmniejszania wartości obciążenia cyklicznego) zmniejsza się rozwarcie szczeliny, a wierzchołki ponownie staja się ostre. W cyklu wzrostu obciążenia powyższy proces rozpoczyna się od początku. Jest to proces nieodwracalny na skutek trwałego zburzenia struktury atomowej przy poślizgach plastycznych.

Korzystając z tego, że proces wzrostu szczeliny zmęczeniowej związany jest z lokalnym spiętrzeniem naprężeń - można przyjąć za uzasadnione powiązanie wzrostu szczeliny z wielkością współczynnika intensywności naprężeń (WIN) K - podstawowego parametru wykorzystywanego w mechanice pękania, znanego dla ogromnej ilości konfiguracji ciał, szczelin i obciążeń. Przypomnijmy, że WIN można dla dowolnej konfiguracji zapisać w postaci:

K l= β σ π (7.2)

gdzie β jest współczynnikiem (liczbowym lub funkcyjnym) związanym ze skończonymi wymiarami ciała, zaś σ oznacza przyłożone obciążenie.

Wprowadzony poprzednio jako parametr sterujący procesem zniszczenia zakres zmienności naprężenia można zastąpić zakresem zmienności WIN. Uwzględniając, że dla poszczególnego cyklu określonego zmiennością naprężenia między σmin a σmax zachodzą zależności:

min minK l= β σ π (7.3)

max maxK l= β σ π (7.4)

zakres zmienności WIN wyraża się równaniem:

K l∆ = β ∆σ π (7.5)


zaś współczynnik asymetrii cyklu R wynosi:

( )minmax

max

1KR K R KK

= ⇒ ∆ = − (7.6)

Interpretację geometryczną zakresu zmienności WIN pokazano na Rys. 7.4.

Rys. 7.4. Parametry stosowane w opisie wzrostu szczeliny zmęczeniowej: a) obciążenie zmienne, b) krzywa wzrostu szczeliny, c) zakres zmienności współczynnika intensywności naprężeń

Prędkość propagacji szczeliny zmęczeniowej definiuje się jako przyrost długości szczeliny przypadający na jeden cykl - wyraża się ona zatem pochodną dl / dN o wymiarze [mm/cykl]. Korzystając ze zdefiniowanych uprzednio niezależnych parametrów sterujących procesem zmęczenia równanie prędkości propagacji szczeliny zmęczeniowej można zapisać w postaci:

( ),dl f K Rd N

= ∆ (7.7)

σmax

czas t

σ

σmin

σm σa

σa ∆σ

a

l

czas t

b

K Kmax

czas t Kmin

∆K c


Można wykazać [7.2], że funkcja f jest funkcją rosnącą ze względu na oba argumenty. Otwarte pozostaje pytanie o postać tej funkcji. Należy wyraźnie powiedzieć, że jak dotychczas nie udało się jej znaleźć funkcji na drodze teoretycznej. Jest to związane z zasadniczymi trudnościami wynikającymi z konieczności powiązania makroskopowych parametrów propagacji szczeliny, tzn. ∆K i R, z mikroskopowymi - zachodzącymi na poziomie płaszczyzn atomowych procesami poślizgów, odpowiedzialnymi za nieodwracalny wzrost szczeliny przy obciążeniu zmęczeniowym. Pozostaje w tej sytuacji tylko droga eksperymentalna, w oparciu o którą można pokusić się o pewne uogólnienia prowadzące do czysto empirycznych formuł opisujących funkcję o ogólnej postaci wyrażonej równaniem (7.7).

W mechanice pękania do opisu wzrostu szczelin zmęczeniowych przyjęło się używać właśnie krzywą prędkości (a nie krzywą wzrostu długości l(N)) choć nie uzyskuje się jej wprost z doświadczenia, ale poprzez przetworzenie krzywej wzrostu. Poniżej przedstawione będą podstawowe procedury służące wyznaczeniu obu krzywych.

Krzywą wzrostu szczeliny zmęczeniowej uzyskuje się podczas próby zmęczeniowej przeprowadzonej na dowolnej próbce o znanej wartości współczynnika β. Z reguły jest to próbka w kształcie płaskiej tarczy prostokątnej z krótką, ostro zakończoną szczeliną centralną (Rys. 7.5 a) lub próbka kompaktowa. Obciążenie zewnętrzne jest przeważnie sinusoidalnie zmienne o stałej amplitudzie i częstotliwości. W trakcie testu rejestrowana jest bieżąca długość szczeliny w funkcji liczby cykli obciążenia (Rys. 7.6). Jest to cała informacja uzyskiwana doświadczalnie i dopiero jej przetworzenie pozwala określić funkcję (7.7). Procedurę tę prześledzimy na przykładzie, który dotyczy próbki ze szczeliną centralną, poddanej obciążeniu tętniącemu o stałej amplitudzie (Rys. 7.5 b).

Rys. 7.5. Parametry typowej próby zmęczeniowej: a) próbka testowa, b) obciążenie tętniące

Weźmy pod uwagę przyrost długości szczeliny oznaczony na Rys. 7.6 a jako ∆l1. Liczba cykli konieczna do wywołania takiego przyrostu wynosi ∆N1. „Chwilowa” prędkość propagacji wynosi zatem ∆l1/∆N1. Chcąc znaleźć punkt na krzywej prędkości odpowiadający tej konkretnej prędkości należy wyznaczyć

b czas t

σ

∆σ

R = 0 σ

σ

l a


„chwilowy” zakres zmienności współczynnika intensywności naprężeń. Oznaczając średnią długość szczeliny w przedziale ∆l1, jako l1 zakres zmienności WIN wynosi 1 1 1K l∆ = β ∆σ π . Para liczb (∆K1, ∆l1/∆N1) wyznacza na krzywej prędkości punkt P1 (Rys. 7.6 b). Postępując w analogiczny sposób z przyrostem długości ∆l2 otrzymujemy punkt P2. Zauważmy, że w tym przypadku do wywołania wzrostu szczeliny potrzebna jest znacznie mniejsza liczba cykli ∆N2 , rośnie zatem prędkość propagacji. Ponieważ większa jest także średnia długość szczeliny l2, większy jest także zakres zmienności WIN. Wynosi on teraz

2 2 2K l∆ = β ∆σ π (dodajmy, że β2>β1 gdyż w próbkach o skończonych wymiarach wraz ze wzrostem długości defektu rośnie współczynnik β ). Rys. 7.6. Wzrost szczeliny zmęczeniowej: a) eksperymentalna krzywa wzrostu szczeliny, b) wyznaczona

krzywa prędkości propagacji szczeliny.

Powtórzenie powyższego postępowania dla wielu punktów na krzywej wzrostu szczeliny l=l(N) pozwala wyznaczyć taką samą ilość punktów krzywej prędkości propagacji szczeliny ∆l/∆N vs. ∆K. Przyjęło się rysować tę krzywą w układzie dwulogarytmicznym - jak to pokazano na Rys. 7.7 b. Związane to jest z bardzo dużym zakresem liczbowym na osi prędkości propagacji, który można pokazać jedynie w skali logarytmicznej. Oś pozioma - zmienności ∆K - nie wymaga takich zabiegów, ale również jest zwyczajowo reprezentowana w skali logarytmicznej.

Gdyby doświadczenie jak to opisane powyżej powtórzyć dla identycznej (lub podobnej) konfiguracji, ale przy innym zakresie zmienności naprężeń (Rys. 7.7 a) to krzywe prędkości byłyby niemal identyczne (Rys. 7.7 b). Nie ma więc znaczenia, czy krótka szczelina poddana jest działaniu dużego naprężenia, a długa

l1 ∆ l1

l

∆ l2 l2

N

∆ N2 ∆ N1 a ∆ K2 ∆ K1

d ld N

∆ K

b

P2

P1

2

2

dld N

1

1

dld N


małego - obie będą się propagowały z tą samą prędkością, jeżeli tylko odpowiadający im zakres ∆K jest taki sam.

Krzywa pokazana na Rys. 7.7 b , charakteryzuje się trzema wyraźnymi fazami - w fazie I prędkości propagacji szczelin są małe i zawierają się w zakresie 0÷10-5 mm/cykl, w fazie II - średnie, w zakresie 10-5÷10-3 mm/cykl, a w fazie III – wysokie, tzn. powyżej 10-3 mm/cykl [7.8]. Są to wartości orientacyjne, które mogą się zmieniać w zależności od materiału, obciążenia, warunków środowiskowych i in.

Rys. 7.7. Wzrost szczelin zmęczeniowych w układzie dwulogarytmicznym.

Warto ponadto zauważyć, że w skali dwulogarytmicznej w fazie II wykres dl/dN vs. ∆K jest niemal liniowy, co znajduje swoje odbicie w formułach empirycznych określających funkcję (7.7) - będzie o tym mowa w dalszej części rozdziału.

Zwróćmy jeszcze uwagę na skrajne wartości zakresu zmienności WIN. Zdaniem wielu badaczy zmęczeniowy wzrost szczeliny nie jest możliwy, jeżeli nie przekroczy się pewnej wartości progowej ∆Kth . Przyjmuje się, że ∆Kth odpowiada ok. 106 cykli. Wartość tę można orientacyjnie wyznaczyć także poprzez ekstrapolację punktów pomiarowych z I fazy do przecięcia z osią odciętych. Za punkt końcowy na krzywej propagacji uważa się punkt, któremu odpowiada pewien krytyczny zakres zmienności WIN, związany z odpornością na kruche pękanie KIc, a więc parametrem wyznaczanym dla obciążenia stycznego. Wykorzystywanie KIc do analizy zniszczenia zmęczeniowego nie jest oparte na żadnych przesłankach merytorycznych, toteż kwestia poprawności takiego postępowania jest wciąż daleka od jednomyślności w środowisku badaczy. Z równania (7.6) wynika, że ta krytyczna wartość wynosi ( )1kr IcK R K∆ = − .

∆σ1

l

N

∆σ2

∆σ1>∆σ2 a

∆ Kth KIc (1-R)

I II III

b

log dld N

log ∆K


Analizowane dotąd rezultaty dotyczyły obciążenia cyklicznego o współczynniku asymetrii R=0. W celu zweryfikowania wpływu R na prędkość propagacji szczeliny należy wykonać serię testów dla różnych wartości R, a następnie sporządzić krzywe prędkości propagacji szczeliny. Wynik takiego doświadczenia pokazano schematycznie na Rys. 7.8 a.

Rys. 7.8. Wpływ współczynnika asymetrii cyklu R na prędkość propagacji szczeliny zmęczeniowej.

Widać, że dla tego samego zakresu zmienności współczynnika intensywności naprężeń, wraz ze wzrostem R następuje także wzrost prędkości propagacji szczeliny. Mniejsza jest również wartość krytycznego zakresu zmienności WIN (czyli zarazem obciążenia zewnętrznego). Charakterystyczny jest także efekt równoległości wykresów w II, liniowej fazie propagacji szczeliny. Zauważmy, że wzrost R oznacza wzrost skrajnych wartości naprężenia w cyklu, tzn. σmin i σmax - schematycznie pokazano to na Rys. 7.8 b. Przykładowo - z dwóch cykli o identycznym ∆σ =20 MPa, z których jeden ma charakterystyki σmax=80 MPa, σmin=60 MPa (R=0.75), a drugi σmax=40 MPa, σmin=20 MPa (R=0.5), bardziej niebezpieczny jest ten pierwszy.

Generalnie panuje jednak zgodność co do tego, że czynnikiem decydującym o prędkości propagacji szczeliny jest zakres zmienności WIN - ∆K, a w mniejszym stopniu współczynnik asymetrii cyklu R. Odbiciem tego efektu w empirycznych formułach opisujących prędkość szczeliny jest to, że wpływ R nie ujawnia się z reguły w postaci jawnej, a jedynie pośrednio, poprzez stałe, wynikające z dopasowania krzywej teoretycznej do wyników pomiarowych.

Elber [7.4] wiązał zjawisko wpływu R na prędkość propagacji pęknięcia zmęczeniowego z efektem zamykania się powierzchni szczeliny w odciążającej dodatniej ćwiartce obciążenia cyklicznego. Zaobserwowano, że do zamknięcia się szczeliny nie jest konieczne zerowanie się obciążenia, czy też obciążenie ściskające. W stali efekt ten stwierdzono w fazie odciążania przy naprężeniu

log ∆K

R2 R3 R1

a

log dld N

R1 > R2> R3

t

σ

∆K

∆K

∆K

R1

R2

R3

b


wynoszącym ok. 0.15÷0.3 σmax, wiążąc go ze ściskającymi naprężeniami własnymi w strefie plastycznej szczeliny. Dalsze pękanie elementu (dalszy wzrost szczeliny) możliwe jest dopiero po przyłożeniu obciążenia (w fazie rosnącej cyklu), które wywoła tzw. naprężenie otwarcia σot, konieczne do otwarcia szczeliny, przy czym zachodzi związek σot>σmin. Naprężeniu temu odpowiada zakres zmienności tzw. efektywnego współczynnika intensywności naprężeń ∆Kef wyrażający się równaniem:

( )maxef otK l∆ = σ − σ π (7.8)

lub po elementarnym przekształceniu:

efK U K∆ = ∆ (7.9)

gdzie:

max max

max min max min

ot otK KUK K

σ − σ −= =

σ − σ − ; max minK K K∆ = − (7.10)

Na podstawie badań na próbkach ze stopu aluminium PA6, Elber stwierdził że związek wielkości U ze współczynnikiem asymetrii cyklu R przyjmuje postać:

0.5 0.4 ; 0.1 , 0.7U R R= + ∈ − (7.11)

Konstruując krzywe propagacji szczelin zmęczeniowych w układzie log(dl/dN) vs. log ∆Kef można zauważyć, że krzywe dla różnych współczynników R są prawie identyczne, znika zatem wpływ R na wartość prędkości propagacji szczeliny.

Postać funkcji U dla cykli o ujemnych wartościach R określił Schijve [7.10] w postaci:

( )20.55 0.33 0.12 ; 1.0 , 0.54U R R R= + + ∈ − (7.12)

Należy dla jasności dodać, że koncepcja efektywnego współczynnika intensywności naprężeń nie jest jeszcze wystarczająco zweryfikowana, aby można ją bezkrytycznie stosować przy obliczeniach zmęczeniowych, ale wydaje się warta krótkiej prezentacji.

7.1.2 Równania prędkości propagacji szczeliny zmęczeniowej

Przedstawione w poprzednim punkcie obserwacje jakościowe wynikające z badań doświadczalnych propagacji szczelin przy obciążeniach zmęczeniowych ułatwiają zrozumieć „konstrukcję” licznych propozycji szczegółowych postaci równania prędkości szczeliny (7.7). Wszystkie te równania są czysto


empirycznymi i wynikają wyłącznie z procedur matematycznych dopasowujących linię ciągłą o równaniu analitycznym do dyskretnych wyników pomiarów (z reguły wykorzystywana jest metoda najmniejszych kwadratów).

Zajmijmy się najpierw II, liniową fazą na wykresie log (dl/dN) vs. log ∆K. Dla określonego jednego współczynnika asymetrii cyklu R, korzystając z ogólnego równania prostej y=mp x +b, gdzie y = log(dl /dN); x = log (∆K) możemy równanie tej prostej zapisać w postaci:

( ) ( )log log logp p

d l m K Cd N

= ∆ +

(7.13)

Uwzględniając własności funkcji logarytmicznej, po prostych przekształceniach otrzymamy równanie w postaci:

( ) pm

pd l C K

d N= ∆

(7.14)

Równanie (7.14) zostało wprowadzone do literatury wspólnie przez Parisa i Erdogana [7.9], ale znane jest powszechnie pod nazwą „równanie Parisa”. Stałe mp i Cp wyznacza się z danych doświadczalnych - wystarcza oczywiście znajomość dwóch punktów (∆K, dl/dN ), ale lepsze efekty daje wyznaczenie stałych z większej ilości punktów pomiarowych.

Stała mp zawiera się dla większości materiałów w zakresie 3÷5, stała Cp silniej zależy od materiału, a co więcej zależy od jednostek w jakich prowadzone są obliczenia.

Orientacyjne wartości tych stałych dla niektórych materiałów zestawiono w tab. 7.2 (za pracą [7.8]). Dane dotyczą cyklu o współczynniku asymetrii R=0; prędkość propagacji szczeliny dl/dN wyrażona jest w mm/cykl, zaś zakres zmienności ∆K w MPa m1/2.

Istnieją proste wzory empiryczne dla określonych klas materiałów, które wiążą stałe m i C w równaniu Parisa z wartościami granicy plastyczności Re i wytrzymałości na rozciąganie Rm. Pozwalają one określić choćby szacunkowo m i C, w przypadku gdy zachodzi konieczność wykonania obliczeń zmęczeniowych, a brak jest danych doświadczalnych dotyczących materiału. Do tej kategorii należą np. relacje odnoszące się do dużej grupy stali, zaproponowane przez Takashimę - mają one następujące postaci:

log 0.00483 12.432eC R= −

log 0.00556 13.726mC R= − (7.15)


Tab. 7.2. Orientacyjne wartości stałych w równania Parisa (7.14).

Materiał Granica

plastyczności Re [MPa]

Wytrzymałość na rozciąganie Rm [MPa]

Cp mp

Stal 18G2A 400 560 2×10-12 3

Stal 09G2 550 650 8×10-12 3

Stal 20G 280 460 2×10-11 3

Stal zbiornikowa A533 350 560÷700 2×10-11 2.2

Stal nierdzewna (0.02%C, 18%Ni) 1700 1960 8×10-10 2.2

Stop aluminium PA7 420 510 7×10-11 4

4.52 0.0026 em R= −

5.19 0.00297 mm R= − (7.16)

Rombari określił równanie, które dość precyzyjnie pozwala określić stałą C dla większości stali w oparciu o znaną wartość stałej m - odpowiednia zależność ma postać:

4 11.719 10977mC −= × (7.17)

Równanie (7.17) prawdziwe jest w przedziale m∈<5, 11> oraz R∈<0, 0.5>, przy czym zakres zmienności ∆K wyrażony jest w [N mm-3/2].

Jak wspomniano wcześniej, wykresy prędkości propagacji szczeliny dla różnych wartości R są równoległe w liniowym ich zakresie - muszą zatem mieć identyczne współczynniki nachylenia, czyli zarazem m, a różne współczynniki przesunięcia, czyli C. Wynika stąd, że uogólnieniem równania Parisa w postaci (7.14) jest równanie:

( ) RmR

d l C Kd N

= ∆ (7.18)

Dla wielu materiałów zależność CR można z wystarczającą dokładnością opisać równaniem w postaci:

( )1 w

wR n

CCR

=−

(7.19)


Stała Cw jest równa stałej CR dla testu o współczynniku asymetrii R=0 (Rys. 7.5 b).

Po wstawieniu (7.19) do (7.18) otrzymujemy równanie prędkości szczeliny w postaci:

( )( )

1R

w

mwn

d l C Kd N R

= ∆− (7.20)

Korzystając w równania (7.6) można dokonać następującego podstawienia:

max1

w

w

nnK K

R∆ = − (7.21)

a po dalszych przekształceniach można otrzymać zamiast (7.20) równanie:

( ) max

w wm nw

d l C K Kd N

= ∆ (7.22)

gdzie mw=mR-nw. Równanie (7.22) nosi nazwę równania Walkera. Sposób wyznaczania stałych w tym równaniu przedstawiono w punkcie 7.4, przykład 1.

Zarówno równanie Parisa, jak i jego proste rozwinięcie - równanie Walkera odnoszą się wyłącznie do liniowego zakresu wykresu log(dl/dN ) vs. log∆K. Z myślą o opisie nieliniowej, III fazy tego wykresu, charakteryzującej się tym, że dla ∆K = ∆Kc = Kc (1-R) (Rys. 7.7 b) prędkość wzrostu szczeliny zmierza do wartości nieskończenie dużej, tzn.:

( )1

lim " "cK R K

dldN ∆ → −

= ∞ (7.23)

Forman i in. [7.6] zaproponowali następującą adaptację równania Parisa:

( )( )1

Fm

Fc

Kd l Cd N R K K

∆=

− − ∆ (7.24)

Wielkość Kc oznacza odporność na pękanie w konkretnych warunkach obciążenia. W przypadku braku odpowiednich danych należy wykorzystać KIc, pamiętając o zgłoszonych wcześniej zastrzeżeniach co do poprawności takiego postępowania. Równanie Formana pozwala wyznaczyć prędkość wzrostu pęknięcia przy dowolnym współczynniku asymetrii cyklu R.


Duża grupa równań dotyczy początkowej fazy na krzywej prędkości propagacji szczeliny. Wszystkie one zawierają jako jeden z parametrów wartość progową zakresu zmienności współczynnika intensywności naprężeń ∆Kth. Donahue i in. [7.3] zaproponowali relację:

( )m

thd l C K K

d N= ∆ − ∆

(7.25)

Kluczowe znaczenie dla możliwości wykorzystania tego równania ma znajomość wartości progowej ∆Kth . Spośród bardzo dużej ilości propozycji wybierzmy te, które stosowane są najczęściej. Należy do nich wzór Klesnila i Lukaša [7.7] w postaci:

( ) 01th thK R Kγ∆ = − ∆ (7.26)

gdzie ∆Kth0 to wartość progowa dla cyklu charakteryzującego się współczynnikiem R=0, zaś γ jest parametrem materiałowym, zawierającym się w zakresie 0.5÷1.0.

Za relacje dające dobre oszacowanie wartości progowej dla różnych gatunków stali i współczynnika asymetrii R=0 uważa się wzory zaproponowane przez Vosikovsky’ego, wiążące ∆Kth z granicą plastyczności Re i wytrzymałością na rozciąganie Rm . Mają one następujące postaci:

0 11.17 0.003th mK R∆ = − (7.27)

0 11.40 0.0046th eK R∆ = − (7.28)

W przypadku cykli o współczynniku R ≠ 0 można korzystać z równania:

0th thK K B R∆ = ∆ − (7.29)

gdzie:

10.39 0.0052 eB R= − (7.30)

Bardzo dobre równanie opisujące wartość progową dla stopów aluminium podał Mackay, ma ono postać:

0.5

011th th

RK KR

− ∆ = ∆ + (7.31)


Szerszą prezentację propozycji dotyczących wyznaczania ∆Kth można znaleźć w [7.8].

Na zakończenie wspomnijmy jeszcze o tzw. uogólnionym prawie propagacji szczeliny zmęczeniowej, które pozwala opisać charakterystyczny kształt krzywej pokazanej na Rys. 7.7 b w całym jej zakresie. Zgodnie z propozycją Erdogana i Ratwani’ego [7.5] prędkość propagacji szczeliny wyraża się równaniem:

( ) ( )( )

11

m nth

c

C K Kd ld N K K

+ β ∆ − ∆=

− + β ∆ (7.32)

gdzie:

max min

max min

K KK K

+β =

− (7.33)

zaś C, m i n są stałymi materiałowymi, które należy wyznaczyć z danych doświadczalnych.

Czynnik (1+β)m uwzględnia wpływ naprężenia średniego i amplitudy naprężenia (patrz Tab. 7.1) na propagację szczeliny zmęczeniowej, czynnik [Kc-(1+β)ΔK] bierze pod uwagę dane eksperymentalne dotyczące prędkości przy wysokich poziomach naprężenia, zaś czynnik (ΔK – ΔKth)n odpowiedzialny jest za opis pierwszej I fazy wzrostu szczeliny po przekroczeniu wartości progowej ∆Kth . Równanie (7.32) dobrze pasuje do wyników doświadczalnych w zakresie prędkości 2.5×10-7÷2.5×10-1 mm/cykl.

7.1.3 Czas życia elementu ze szczeliną zmęczeniową

Powiedziano już uprzednio, że celem analizy zagadnienia wzrostu szczelin zmęczeniowych jest wyznaczenie krzywej propagacji szczeliny oraz określenie liczby cykli, po której dochodzi do zniszczenia elementu. Liczba ta, oznaczona na Rys. 7.3 symbolem Nf określa tzw. czas życia elementu ze szczeliną zmęczeniową. W przypadku omawianych tu obciążeń cyklicznych o stałej amplitudzie czas życia można wyznaczyć stosunkowo prosto, pod warunkiem, że znane są parametry obciążenia oraz postać współczynnika intensywności naprężeń (7.2), a w zasadzie współczynnika skończonych wymiarów ciała β - z reguły określonego funkcyjnie lub tabelarycznie.

Z równania (7.7) wynika relacja:

( ),

dld Nf K R

=∆

(7.34)


Stąd, po scałkowaniu otrzymuje się liczbę cykli do zniszczenia lub liczbę określoną wymaganiami kontrolnymi w postaci:

( ),

k

o

l

fl

d lNf K R

=∆∫ (7.35)

gdzie: lo oznacza założoną lub stwierdzoną w elemencie długość początkową szczeliny, a lk długość końcową szczeliny, często utożsamianą z długością krytyczną lkr wyznaczaną w oparciu o jedno z kryteriów pękania.

Biorąc pod uwagę, że funkcje f(ΔK, R) mogą mieć dość kłopotliwe obliczeniowo postacie, a także to, że tę samą uwagę można odnieść do współczynnika β, należy mieć świadomość występujących przy wyznaczaniu Nf trudności rachunkowych - z reguły konieczne jest zastosowanie procedur całkowania numerycznego. Stosują stosunkowo najprostsze równanie Parisa (7.14), z równania (7.35) po uwzględnieniu równania (7.5), otrzymujemy:

( )

1 k

p

o

l

f mp l

d lNC l W l

= β ∆σ π

∫ (7.36)

Nawet w tak elementarnym przypadku, jak obciążenie cykliczne o stałej amplitudzie ∆σ (niezależnej od długości szczeliny) działające na pasmo prostokątne o skończonych wymiarach ze szczeliną centralną (Rys. 7.5 a) obliczenia w myśl równania (7.36) muszą być wykonywane numerycznie. Decyduje o tym wielomianowa postać współczynnika β = β (l/W).

W przypadku konieczności wykonania szybkich obliczeń, w warunkach braku natychmiastowego dostępu do mikrokomputera z odpowiednim oprogramowaniem, można zamiast wzoru całkowego (7.35) wykorzystać wzór przybliżony w postaci:

( ),

k

o

l

fl

lNf K R

∆=

∆∑ (7.37)

Pewne możliwości otrzymania rozwiązania w drodze obliczeń „ręcznych” pokazano w punkcie 7.4, przykład 6.

Powiedzmy jednak wyraźnie - przedstawiony tu szczegółowo przypadek obciążeń cyklicznych o stałej amplitudzie, jakkolwiek ważny z praktycznego punktu widzenia, występuje w pracy konstrukcji inżynierskich rzadziej niż przypadek obciążeń zmiennych o amplitudzie zmiennej. Przypadek ten będzie przedstawiony w kolejnym punkcie.


7.2 SZCZELINA ZMĘCZENIOWA PRZY OBCIĄŻENIU CYKLICZNYM O ZMIENNEJ AMPLITUDZIE

Przypadek obciążeń cyklicznych, w których amplituda zmienia się w pewien określony sposób, lub też zmiany te są losowe, jest przypadkiem o dużym znaczeniu praktycznym, gdyż takim obciążeniom podlega wiele konstrukcji, od których wymaga się absolutnej niezawodności. Można w tym kontekście wymienić choćby konstrukcje lotnicze, narażone przede wszystkim właśnie na obciążenia zmęczeniowe (wibracje od silników, drgania skrzydeł itd.). Z punktu widzenia analizy teoretycznej zagadnienie to jest znacznie bardziej złożone od problemu zniszczenia zmęczeniowego przy stałej amplitudzie - to sprawia, że liczba relacji opisujących to zagadnienie ilościowo, jest nieporównywalnie mniejsza niż w tym drugim przypadku.

Doświadczenia prowadzone jeszcze w latach sześćdziesiątych wykazały, że nawet pojedynczy cykl przeciążający (nazwijmy go popularnie „pikiem”) występujący w obciążeniu cyklicznym o stałej amplitudzie całkowicie zmienia przebieg krzywej l=l(N). Każdy cykl przeciążający w dowolnym widmie (programie) obciążenia powoduje opóźnienie (niekiedy nawet zatrzymanie) wzrostu szczeliny, w tym sensie, że prędkość wzrostu szczeliny po każdym cyklu przeciążającym jest mniejsza niżby była dla cyklu o stałej amplitudzie.

Pokazano to na Rys. 7.9, zaczerpniętym z pracy [7.8], który przedstawia schematycznie kolejne etapy wpływu przeciążenia o wartości σ2 występującego w cyklu podstawowym o amplitudzie σ1 (Rys. 7.9 a) na przyrost długości szczeliny zmęczeniowej (Rys. 7.9 b) oraz prędkość jej propagacji (Rys. 7.9c).

Symbol Nd oznacza ten okres wzrostu szczeliny (wyrażony liczbą cykli), w którym utrzymuje się wpływ efektu przeciążenia na zachowanie szczeliny wywołane cyklem podstawowym.

W przypadku cykli o przeciążeniu zarówno dodatnim (rozciąganie), jak i ujemnym (ściskanie) zjawisko opóźnienia wzrostu pęknięcia również jest obserwowane, choć w znacznie mniejszym stopniu.

Chcąc wyjaśnić mechanizm powstawania efektu opóźnienia należy odwołać się do analizy obszaru leżącego przed czołem (wierzchołkiem) szczeliny. Nagłemu wzrostowi naprężenia w cyklu przeciążającym towarzyszy powstanie przed czołem szczeliny dużej strefy plastycznej (strefa umocnienia plastycznego). Po odciążeniu, sprężysty materiał otaczający tę strefę staje się swego rodzaju klamrą, powodującą powstanie w strefie plastycznej naprężeń własnych, ściskających. Podrastająca szczelina przekraczając granicę strefy plastycznej narażona jest na działanie tych naprężeń ściskających - ich skutkiem jest efekt zamykania się powierzchni szczeliny. Prędkość wzrostu szczeliny ulega zatem po jej wejściu w strefę plastyczną zmniejszeniu - mówimy wtedy o efekcie opóźnienia. Po opuszczeniu strefy plastycznej szczelina ponownie się otwiera i kolejne stałe cykle obciążenia wywołują dalszy jej wzrost.


Rys. 7.9. Efekt pojedynczego cyklu przeciążającego: a) naprężenie, b) krzywa wzrostu szczeliny, c) krzywa prędkości szczeliny.

Istnienie efektu opóźnienia sprawia, że wyznaczenie czasu życia elementu konstrukcyjnego ze szczeliną, poddanego działaniu obciążenia cyklicznego o zmiennej amplitudzie, w oparciu o prostą procedurę polegającą na podzieleniu widma obciążenia na sekwencje o stałej amplitudzie, obliczeniu czasu życia elementu dla każdej z sekwencji, a wreszcie zsumowaniu tych cząstkowych czasów - a zatem procedury pomijającej efekt opóźnienia - prowadzi do dolnego oszacowania rzeczywistego okresu życia, który jest większy. Z punktu widzenia bezpieczeństwa jest to korzystne, ale zarazem niedoszacowanie okresu życia może być tak duże, że aż trudne do zaakceptowania, szczególnie wówczas, gdy w oparciu tak uzyskany wynik następuje wyłączenie konstrukcji z eksploatacji, co wiąże się ze stratami finansowymi.

Spośród wielu modeli ilościowych pomyślanych do obliczeń czasu życia elementów przy obciążeniach cyklicznych o zmiennych amplitudach wymieńmy tutaj dwa - oba chętnie i często stosowane, przede wszystkim ze względu na swoją prostotę.

l c 1 2 3 4 5

min

dldN

1

dldN

dldN

N

σ

a σ1

σ2

1

l

b 1 2 3 4

5

∆N

∆N ∆l(1)

∆l(2)

Nd

N


Pierwszy z nich to model zaproponowany przez Barsoma [7.1]. Może on być stosowany dla obciążeń, w których widmie losowe przeciążenia występują często i mieszczą się w dość wąskim paśmie zmienności. W modelu tym przyjmuje się, że średnia prędkość wzrostu szczeliny zmęczeniowej przy losowo zmieniającym się obciążeniu o zmiennej amplitudzie jest w przybliżeniu równa prędkości wzrostu szczeliny zmęczeniowej przy obciążeniu o stałej amplitudzie. Istota modelu sprowadza się do tego, że prędkość wzrostu pęknięcia można nadal opisywać przy pomocy równań dla cyklu o stałej amplitudzie - podanych w punkcie 7.1.2 tego rozdziału - po zastąpieniu zakresu zmienności współczynnika intensywności naprężeń ∆K tzw. wartością skuteczną tego współczynnika ∆Krms (ang. root-mean-square value) określoną równaniem w postaci:

( )2

i irms

i

K nK

n∆

∆ = ∑∑

(7.38)

gdzie: ni oznacza liczbę amplitud obciążenia, którym odpowiadają zakresy ∆Ki współczynnika intensywności naprężeń.

Drugim z modeli, który zostanie krótko omówiony jest model Wheelera [7.11], pokazany na Rys. 7.10, odwołujący się bezpośrednio do mechanizmu odpowiedzialnego za powstawanie efektu opóźnienia. Symbole użyte na Rys. 7.10 oznaczają: lp - długość szczeliny w momencie przeciążenia, ryp - długość strefy plastycznej odpowiadającej szczelinie lp, li - długość szczeliny po przeciążeniu, ryi- długość strefy plastycznej towarzyszącej szczelinie li i obciążeniu podstawowemu po wystąpieniu przeciążenia.

Rys. 7.10. Model Wheelera opóźnienia wzrostu szczeliny zmęczeniowej.

σi max σp

strefa plastyczna wywołana przeciążeniem

lp ryp λ

li ryi


Idea tego modelu opiera się na założeniu, że cykl przeciążenia powoduje powstanie strefy plastycznej o takiej wielkości, że strefy plastyczne opowiadające kolejnym cyklom podstawowym są od niej mniejsze. Oznacza to, że ruch szczeliny zostanie przyhamowany - „opóźniony” - gdyż musi się ona „przebić” przez obszar umocniony plastycznie.

Załóżmy, że w chwili, gdy długość szczeliny wynosi lp następuje cykl przeciążający o wielkości σp, w wyniku którego tworzy się strefa plastyczna o długości ryp. Miarodajne oszacowanie strefy plastycznej daje związek (3.49) - oparty na modelu Irwina (patrz rozdział 3) - który można zapisać w postaci:

2

1p

ys

KrA

= π σ

(7.39)

gdzie: σys przyjmuje się jako równe granicy plastyczności, zaś A jest współczynnikiem wynoszącym A=1 dla płaskiego stanu naprężenia i A=3 dla płaskiego stanu odkształcenia.

Uwzględniając, że współczynnik intensywności naprężeń ma dla opisanej sytuacji postać:

p pK l= βσ π (7.40)

długość strefy plastycznej przy przeciążeniu wynosi:

2 2

21 1p pyp p

ys ys

Kr l

A A σ

= = β π σ σ (7.41)

Gdy szczelina powiększy swoją długość do wartości li , aktualna długość strefy plastycznej będzie miała długość:

2 2

21 1i max imaxyi i

ys ys

Kr l

A A σ

= = β π σ σ (7.42)

gdzie: σimax jest maksymalnym naprężeniem w i - tym cyklu.

Aktualna strefa plastyczna zawiera się w strefie wywołanej przeciążeniem, która rozciąga się na odległość λ od wierzchołka aktualnej szczeliny li.


Wheeler wprowadził parametr opóźnienia ϕ i powiązał go ze stosunkiem długości aktualnej strefy plastycznej i enklawy plastycznej utworzonej przy przeciążeniu. Formuła określająca parametr ϕ ma następującą postać:

jeżeli

1 jeżeli

myi

i yi p yp

i yi p yp

rl r l r

l r l r

+ < + ϕ = λ

+ ≥ +

(7.43)

gdzie: λ=lp+ryp-li, zaś wartość wykładnika m w równaniu (7.43) wynosi wg Wheelera: dla stali stopowej D6AC m = 1.4, dla stopu tytanu Ti-6Al-4V m = 3.4.

Wartość ϕ=1 oznacza, że szczelina „przeszła” przez strefę plastyczną wywołaną przeciążeniem, a mówiąc inaczej można stwierdzić, że ustał wpływ przeciążenia, a zarazem zanikł efekt opóźnienia wzrostu szczeliny.

Prędkość wzrostu szczeliny zmęczeniowej przy obciążeniu cyklicznym o zmiennej amplitudzie, zgodnie z propozycją Wheelera wyraża się następującym równaniem:

( )const ampl.opóź. const ampl.

id l d l f K

d N d N

= ϕ = ϕ ∆

(7.44)

Równanie (7.44) mówi, że prędkość wzrostu szczeliny przy zmiennej amplitudzie można wyrazić poprzez prędkość wzrostu pęknięcia odpowiadającą i-temu cyklowi obciążenia o zakresie zmienności współczynnika intensywności naprężeń ∆Ki. Funkcją f w równaniu (7.44) może być równanie Parisa (7.14) lub inne formuły podane w punkcie 7.1.2. W przypadku wykorzystania równania Parisa, równanie (7.44) przyjmuje postać:

( )const ampl.opóź.

pmp i

d l C Kd N

= ϕ ∆

(7.45)

7.3 WPŁYW ŚRODOWISKA NA PROCES PĘKANIA

Od dawna wiadomo, że środowisko zewnętrzne, a w szczególności media chemicznie agresywne w znaczący sposób przyspieszają proces niszczenia konstrukcji inżynierskich. W obecności środowiska agresywnego element może ulec zniszczeniu (np. wskutek propagacji szczeliny) przy obciążeniu wywołującym naprężenia znacznie mniejsze od wytrzymałości w normalnych warunkach eksploatacyjnych. Nie wnikając w szczegóły można stwierdzić, że dzieje się tak w


wyniku niekorzystnego wzajemnego oddziaływania czynników mechanicznych (obciążenie), chemicznych (środowisko) i materiałowych (skład, rodzaj obróbki itd.). Całość tematyki związanej ze zniszczeniem wywoływanym (lub przyspieszanym) przez środowisko zewnętrzne charakteryzuje się na skutek wspomnianej interakcji wysokim stopniem komplikacji i dalece wykracza poza ramy opracowania z założenia podstawowego, jak niniejszy podręcznik.

W kontekście zniszczenia środowiskowego, przez które będziemy tu rozumieć podkrytyczne (tzn. przy obciążeniu mniejszym od krytycznego) podrastanie szczeliny, wyróżnia się trzy zasadnicze mechanizmy, a mianowicie pękanie korozyjne, pękanie w wyniku kruchości wodorowej (ang. hydrogen embrittlement) oraz kruchości ciekłometalicznej (ang. liquid metal embrittlement). Mimo wielu badań jakie wykonano dla wyjaśnienia istoty tych zjawisk, żadne z nich nie doczekało się jak dotychczas całościowej teorii. Tutaj ograniczymy się do pobieżnego opisu podstawowych obserwacji dotyczących pierwszego z wymienionych mechanizmów, tzn. pękania korozyjnego.

W badaniach doświadczalnych dotyczących oceny podatności szczelin na propagację wywołaną procesami korozyjnymi stosuje się dwa typy eksperymentów - badania czasu do zniszczenia i badania prędkości wzrostu szczeliny. W obu kategoriach badań korzysta się z próbek poddanych działaniu stałego obciążenia (próbki w postaci beleczek wspornikowych) lub też poddanych działaniu stałego przemieszczenia powierzchni szczeliny, wymuszanego poprzez zagłębianie klina w szczelinę. Badania prowadzi się w określonym środowisku zewnętrznym - wyniki badań mogą więc być następnie odnoszone do takich samych lub zbliżonych warunków środowiskowych.

W przypadku prób polegających na określaniu czasu do zniszczenia - seria próbek zawierających szczeliny o tej samej długości początkowej, obciążana jest różnymi co do wartości obciążeniami początkowymi, którym odpowiadają różne początkowe współczynniki intensywności naprężeń KIi . Każdy pojedynczy i - ty test trwa tak długo, aż próbka ulegnie zniszczeniu. W ten sposób otrzymuje się parę liczb (KIi , ti), gdzie ti oznacza czas do zniszczenia dla i - tej próbki. Dzięki takiej procedurze uzyskuje się wykres zależności czasu do zniszczenia od początkowej wartości współczynnika intensywności naprężeń. Przykład takiego wykresu pokazano na Rys. 7.11.

Próbki obciążone początkowo obciążeniem o współczynniku intensywności KIc (odporność na kruche pękanie) lub Kc (odporność na pękanie w konkretnych warunkach, niespełniających warunków płaskiego stanu odkształcenia) niszczą się w momencie jego przyłożenia. Próbki poddane działaniu obciążenia o WIN mniejszym od pewnej wartości KISCC nie niszczą się nigdy. Wartość ta nosi nazwę progowej - indeks „SCC” oznacza, że chodzi o pękanie wywołane naprężeniami korozyjnymi (ang. Stress Corrosion Cracking).


Rys. 7.11. Czas do zniszczenia t w funkcji początkowej wartości współczynnika intensywności naprężeń KIi, w określonych warunkach środowiskowych.

Panuje zgodność co do tego, że wartość KISCC jest charakterystyką tylko materiału i środowiska w jakim się on znajduje. Wszystkie inne stany obciążenia mieszczą się pomiędzy dwoma stanami granicznymi, określonymi przez KIc (Kc) i KISCC. Przypomnijmy, że obciążenie w omawianej metodzie jest utrzymywane w trakcie trwania próby na stałym poziomie. Jeśli uwzględnimy, że długość szczeliny wraz z upływem czasu rośnie, to dochodzimy do wniosku, że musi także wzrastać bieżąca wartość współczynnika intensywności naprężeń. Stad konkluzja, że wzrost szczeliny na jednostkę czasu jest funkcją WIN.

Cały zakres prędkości szczeliny (Rys. 7.12) można podzielić na trzy obszary, z których I i III to obszary, w których prędkość silnie zależy od współczynnika intensywności naprężeń, czyli zarazem działającego obciążenia zewnętrznego. W obszarze II prędkość jest niemal niewrażliwa na zmiany K, tak więc ruch szczeliny nie jest spowodowany przyczyną mechaniczną, jaką jest obciążenie, ale niemal wyłącznie czynnikami powiązanymi z procesem korozji (chemicznymi, metalurgicznymi, materiałowymi i in.)

Rys. 7.12. Prędkość podkrytycznego wzrostu szczeliny korozyjnej w funkcji współczynnika intensywności naprężeń.

KI KISCC

I II III log dldt

KIc lub Kc KIi

KISCC

czas t


Wg danych Broek’a [7.2] proces korozyjnego wzrostu szczeliny, jeżeli tylko ma miejsce (oznacza to, że musi zachodzić warunek K ≥KISCC), trwa zwykle nie dłużej niż 1000 godzin. Jest to tak krótki okres, że z reguły fakt rozwoju pęknięcia uchodzi uwadze w trakcie rutynowych inspekcji, przeprowadzanych rzadziej. Doświadczenie jednoznacznie wskazuje, że zdecydowanie lepsze skutki w przypadku szczelin korozyjnych daje zapobieganie ich wzrostowi, aniżeli kontrolowanie tego wzrostu (dodajmy w tym miejscu, że w przypadku obciążeń cyklicznych okresowa kontrola zachowania szczeliny jest z punktu widzenia bezpieczeństwa konstrukcji w zupełności wystarczająca). Z formalnego punktu widzenia zapobieganie rozwojowi pęknięcia w środowisku wywołującym korozję polega na spełnieniu warunku K<KISCC. Sposób wykorzystania tej relacji jest taki sam jak sposób wykorzystania siłowego kryterium pękania K<KIc w celu określenia dopuszczalnej długości szczeliny lub dopuszczalnego obciążenia (patrz Rozdział 5) - wystarczy jedynie zamienić KIc przez KISCC.

7.4 PRZYKŁADY

PRZYKŁAD 1

W wyniku badań i wykonanych na ich podstawie obliczeń uzyskano wykresy dl/dN vs. ∆K przedstawione na Rys. 7.13.. Wybrane wartości liczbowe zaczerpnięte z tego wykresu podano w tab. 7.3. Określić stałe występujące w równaniach Parisa i Walkera.

Rozwiązanie:

Stałe w równaniu Parisa (7.14) wyznaczymy dla cyklu o współczynniku asymetrii R=0, korzystając z punktów ∆K = 2 MPa m1/2 i ∆K = 20 MPa m1/2. Stosując równanie Parisa w postaci:

( ) ( ) ( )log log logp pd l d N m K C= ∆ + (7.1.1)

otrzymujemy następujący układ równań algebraicznych:

( ) ( ) ( )10log 1.19 10 log 2 logp pm C−× = + (7.1.2)

( ) ( ) ( )6log 0.14 10 log 20 logp pm C−× = +

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb - stałych równania Parisa:

113.07 ; 1.44 10p pm C −= = ×


Rys. 7.13. Prędkości wzrostu szczelin zmęczeniowych w funkcji zakresu WIN dla obciążeń cyklicznych o różnych współczynnikach asymetrii R.

Tab. 7.3. Prędkości wzrostu szczelin zmęczeniowych dl/dN [m/cykl] dla różnych wartości współcz. asymetrii cyklu R i zakresów WIN.

∆ K [MPa m1/2] R 1 2 20 0 1.44 × 10-11 1.19 × 10-10 0.14 × 10-6

0.1 1.93 × 10-11 1.58 × 10-10 0.19 × 10-6 0.2 2.26 × 10-11 1.85 × 10-10 0.22 × 10-6 0.3 2.79 × 10-11 2.28 × 10-10 0.27 × 10-6 0.4 3.30 × 10-11 2.69 × 10-10 0.32 × 10-6 0.5 4.06 × 10-11 3.31 × 10-10 0.39 × 10-6

Zajmiemy się obecnie równaniem Walkera, uogólniającym równanie Parisa na

cykle o dowolnym współczynniku asymetrii. W obliczeniach wykorzystamy dane z Tab. 7.3 dotyczące różnych R, ale tego samego zakresu WIN, wynoszącego ∆K=1 MPa m1/2. Po zlogarytmowaniu równania Walkera (7.18) i równania (7.19) otrzymujemy:

1E-12

1E-11

1E-10

1E-09

1E-08

1E-07

1E-06

1,0 10,0 100,0

∆K [MP m1/2]

dl/d

N [

m/c

ykl]

linia dolna dla R =0 linia górna dla R =0.5 przyrost ∆R =0.1


( )log log Rd l C

d N

=

(7.1.3)

( ) ( ) ( )log log log 1R W WC C n R= − − (7.1.4)

Wyniki obliczeń zestawiono w Tab. 7.4. Liczby podane w kolumnach 1÷5 wynikają wprost z Tab. 7.3 i

równania (7.1.3). Zauważmy, że równanie (7.1.4) opisuje w ukł. współrzędnych log(1-R) vs. logCR prostą, której nieznanymi parametrami są stałe nW i CW . Prostą tę wyznaczymy jako linię najlepszego dopasowania do punktów o współrzędnych podanych w kolumnach 1 i 2.

Obliczenia numeryczne tzn. aproksymacja wyników dyskretnych metodą najmniejszych kwadratów, prowadzą do prostej pokazanej na Rys. 7.14, której równanie ma postać:

( ) ( )log 1.433log 1 10.799RC R= − − − (7.1.5)

Z porównania równań (7.1.4) i (7.1.5) wynikają następujące zależności:

( ) 111.433 ; log 10.799 1.59 10W W Wn C C −= = − ⇒ = × (7.1.6)

Stąd, z równania (7.19) otrzymujemy ogólną postać współczynnika CR:

( )

11

1.433

1.59 101RC

R

−×=

− (7.1.7)

Rezultaty otrzymane z równania (7.1.7) podano w Tab. 7.4 w kolumnie 6. Współczynnik mR w równaniu (7.20) jest równy współczynnikowi wyznaczonemu

uprzednio dla równania Parisa, co wynika oczywiście z równoległości prostych na Rys. 7.13 (patrz punkt 7.1.2). Wynika stąd, że współczynnik mW występujący w równaniu Walkera w postaci (7.22) ma wartość:

Rezultaty otrzymane z równania (7.1.7) podano w Tab. 7.4 w kolumnie 6. Współczynnik mR w równaniu (7.20) jest równy współczynnikowi wyznaczonemu

uprzednio dla równania Parisa, co wynika oczywiście z równoległości prostych na Rys. 7.13 (patrz punkt 7.1.2). Wynika stąd, że współczynnik mW występujący w równaniu Walkera w postaci (7.22) ma wartość:

3.07 1.43 1.64W R Wm m n= − = − = (7.1.8)


Tab. 7.4. Rezultaty obliczeń stałych równania Walkera.

R CR log CR 1 - R log ( 1-R ) CR* CR

*/ CR 1 2 3 4 5 6 7 0 1.44 × 10-11 -10.84 1 0 1.59 × 10-11 1.10

0.1 1.93 × 10-11 -10.71 0.9 -0.046 1.85 × 10-11 0.96 0.2 2.26 × 10-11 -10.65 0.8 -0.097 2.19 × 10-11 0.97 0.3 2.79 × 10-11 -10.55 0.7 -0.155 2.65 × 10-11 0.95 0.4 3.30 × 10-11 -10.48 0.6 -0.222 3.31 × 10-11 1.00 0.5 4.06 × 10-11 -10.39 0.5 -0.301 4.29 × 10-11 1.06

Rys. 7.14. Linia najlepszego dopasowania do punktów otrzymanych z badań.

Podsumowując otrzymane rezultaty możemy przedstawić równanie Walkera w następujących postaciach, odpowiadających kolejno równaniom (7.18) i (7.22):

( )

( )11

3.071.433

1.59 101

dl Kd N R

−×= ∆

− (7.1.9)

( ) ( )1.64 1.4311max1.59 10dl K K

d N−= × ∆ (7.1.10)

-11

-10

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1log (1-R )

log

CR


PRZYKŁAD 2

Korzystając z danych, jak w przykładzie 1 wyznaczyć parametry równania Formana.

Rozwiązanie:

Forman i in. [7.6] zaproponowali adaptację równania Parisa w postaci:

( )( )1

Fm

Fc

Kd l Cd N R K K

∆=

− − ∆ (7.2.1)

którą zapiszemy w następujący sposób:

( ) ( ) ( )1 Fmc FR K K d l d N C K − − ∆ = ∆ (7.2.2)

Obustronne zlogarytmowanie (7.2.2) prowadzi do równania prostej:

Fy m x b= + (7.2.3)

gdzie:

( )logx K= ∆

( ) ( ){ }log 1 cy R K K dl d N= − − ∆ (7.2.4)

( )log Fb C=

Wyznaczając współczynniki prostej o równaniu (7.2.3) wyznaczymy jednocześnie szczegółową postać równania Formana (7.2.1). W tym celu wykorzystamy dane dotyczące dwóch zakresów WIN, a mianowicie ∆K=2 MPa m1/2 i ∆K=20 MPa m1/2. Przyjmijmy ponadto, że odporność na pękanie materiału, dla którego prowadzimy obliczenia wynosi w konkretnych warunkach eksploatacyjnych Kc = 100 MPa m1/2. Dane użyte do obliczeń, zaczerpnięte z Tab. 7.4, zamieszczono w Tab. 7.5.

Na Rys. 7.15 przedstawiono linię najlepszego dopasowania do rezultatów z tab. 7.5 (uzyskaną metodą najmniejszych kwadratów) której równanie ma postać:

2.941 8.726y x= − (7.2.5)


Tab. 7.5. Dane użyte do wyznaczenia stałych równania Formana.

∆K = 2 MPa m1/2 (x = 0.301) ∆K = 20 MPa m1/2 (x = 1.301) R dl/dN [m/cykl] y dl/dN [m/cykl] y 1 2 3 4 5 0 1.19 × 10-10 -7.933 0.14 × 10-6 -4.951

0.1 1.58 × 10-10 -7.857 0.19 × 10-6 -4.876 0.2 1.85 × 10-10 -7.841 0.22 × 10-6 -4.879 0.3 2.28 × 10-10 -7.810 0.27 × 10-6 -4.870 0.4 2.69 × 10-10 -7.807 0.32 × 10-6 -4.893 0.5 3.31 × 10-10 -7.799 0.39 × 10-6 -4.932

Rys. 7.15. Linia najlepszego dopasowania do punktów otrzymanych z badań.

Stąd, po wykorzystaniu równania (7.2.3) i (7.2.4 c) otrzymujemy:

2.941Fm = (7.2.6)

( ) 9log 8.726 1.88 10F FC C −= − ⇒ = × (7.2.7)

Ostatecznie zatem, dla warunków rozwiązywanego problemu równanie Formana przyjmuje następującą postać:

-8

-7,5

-7

-6,5

-6

-5,5

-5

-4,5

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5x = log ∆K

y =

log{

[(1-

R)K

c-∆

K] (

dl/d

N)}

linia najlepszego dopasowaniay = 2.941x - 8.726


( )( )

2.94191.88 10

1 100Kd l

d N R K− ∆

= ×− − ∆

(7.2.8)

Dodajmy jeszcze uwagę, która odnosi się nie tylko do niniejszego oraz poprzedniego przykładu, ale ma charakter bardziej ogólny. Otóż należy podkreślić, że korzystając z jakiegokolwiek z równań prędkości wzrostu szczelin zmęczeniowych należy mieć świadomość tego, iż ich postać zależy od jednostek, w jakich prowadzono obliczenia parametrów tych równań. Tak więc należy tu zachować pewną ostrożność i nie przystępować do obliczeń bez pełnej jasności w tym względzie.

PRZYKŁAD 3

Tarcza o wymiarach wielokrotnie większych od długości szczeliny o długości 2lo umieszczonej centralnie w tarczy poddana jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego o stałej amplitudzie i prostopadłego do kierunku szczeliny. Maksymalne i minimalne naprężenie w cyklu wynoszą odpowiednio 200 MPa i 100 MPa. W wyniku badań stwierdzono, że szczelina podrosła od długości 2lo=2 mm do długości 2lb=2.2 mm po N = 20000 cykli, natomiast wzrost długości od 2l=20 mm do 2lb=22 mm nastąpił po N=1000 cykli. Odporność materiału tarczy na pękanie wynosi Kc=60 MPa m1/2. Wyznaczyć parametry równań Parisa i Formana.

Rozwiązanie:

Współczynnik intensywności naprężeń dla konfiguracji geometrycznej będącej przedmiotem zadania wyraża się równaniem:

K l= σ π (7.3.1)

• Przyrostowi długości szczeliny o początkowej długości 2lo=2 mm odpowiada zakres zmienności WIN wynoszący:

( )3100 1 10 5.60 MPa moK l −∆ = ∆σ π = π× × = (7.3.2)

Prędkość wzrostu szczeliny o początkowej długości 2lo=2 mm wynosi:

( ) 391.1 1.0 10

5 10 m/cykl20000

dl ld N N

−−− ×∆

≅ = = ×∆

(7.3.3)

• Przyrostowi długości szczeliny o początkowej długości 2l=20 mm odpowiada zakres zmienności WIN wynoszący:


( )2100 1 10 17.72 MPa mK l −∆ = ∆σ π = π× × = (7.3.4)

Prędkość wzrostu szczeliny o początkowej długości 2l=20 mm wynosi:

( ) 3611 10 10

1 10 m/cykl1000

dl ld N N

−−− ×∆

≅ = = ×∆

(7.3.5)

1. Parametry równania Parisa

Zlogarytmowana postać równania Parisa (7.14) ma postać:

( ) ( )log log logp pd l m K C

d N

= ∆ +

(7.3.6)

Wstawiając do tego równania wyznaczone uprzednio zakresy zmienności WIN i prędkości wzrostu szczeliny otrzymujemy następujący układ równań algebraicznych:

( ) ( ) ( )9log 5 10 log 5.6 logp pm C−× = + (7.3.7)

( ) ( ) ( )6log 1 10 log 17.72 logp pm C−× = + (7.3.8)

Rozwiązaniem tego układu równań są następujące liczby:

4.6pm = 12 4.6 7.91.81 10 MN m / cyklpC − −= × (7.3.9)

2. Parametry równania Formana

Zlogarytmowana postać prawa Formana (7.24) ma postać:

( ) ( ) ( )log 1 log logc F Fd lR K K m K C

d N

− − ∆ = ∆ +

(7.3.10)

Wstawiając do tego równania wyznaczone uprzednio zakresy zmienności WIN i prędkości wzrostu szczeliny, a także przyjętą wartość Kc oraz korzystając z tego, że współczynnik asymetrii cyklu R wynosi:

100 0.5200

min

max

R σ= = =

σ (7.3.11)

otrzymujemy następujący układ równań algebraicznych:


( ){ } ( ) ( )9log 1 0.5 60 5.6 5 10 log 5.6 logF Fm C− − − × × = + (7.3.12)

( ){ } ( ) ( )6log 1 0.5 60 17.72 1 10 log 17.72 logF Fm C− − − × × = +

Jego rozwiązaniem są:

10 3.3 5.954.003 , 1.233 10 MN m /cyklF Pm C − −= = × (7.3.13)

PRZYKŁAD 4

Tarcza o wymiarach wielokrotnie większych od długości szczeliny o długości 2lo =10 mm, umieszczonej centralnie w tarczy, poddana jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego o stałej amplitudzie i prostopadłego do kierunku szczeliny. Maksymalne i minimalne naprężenie w cyklu wynoszą odpowiednio 200 MPa i 100 MPa. Odporność materiału tarczy na pękanie wynosi Kc=60 MPa m1/2. Prędkość wzrostu szczeliny przy zmęczeniu opisana jest równaniem:

[ ] ( )311m/cykl 0.42 10 , MPa mdl K Kd N

− = × ∆ ∆ (7.4.1)

Sporządzić wykres wzrostu szczeliny l ( N ) aż do punktu jej niestabilnego wzrostu. Zakładając, że pożądany okres życia tarczy powinien wynieść 106 cykli

przeanalizować możliwości jego uzyskania.

Rozwiązanie:

Wyznaczmy w pierwszej kolejności krytyczną długość szczeliny lc, tzn. długość, przy której dalszy wzrost szczeliny jest lawinowy (niestabilny). Korzystając z siłowego kryterium pękania:

I cK K= (7.4.2)

a także postaci współczynnika intensywności naprężeń dla konfiguracji będącej przedmiotem zadania:

IK l= σ π (7.4.3)

otrzymujemy długość krytyczną:

2

1 28.65 mmcmax c c c

max

Kl K l

σ π = ⇒ = = π σ (7.4.4)


W celu wyznaczenia wykresu wzrostu szczeliny l(N) wykorzystamy równanie (7.4.1). Zakres zmienności współczynnika intensywności naprężeń wynosi:

, 100 MPaK l∆ = ∆σ π ∆σ = (7.4.5)

Z równania (7.4.1) po wstawieniu (7.4.5) otrzymujemy:

( ) ( )3 3110.42 10l d l d N

−−= × ∆σ π (7.4.6)

Obustronne scałkowanie równania (7.4.6) prowadzi do równania:

3 2 6

0

23.387 10o

l N

l

l d l d N− −= ×∫ ∫ (7.4.7)

Po wykonaniu elementarnych obliczeń otrzymujemy poszukiwane równanie wzrostu szczeliny l(N ) - przyjmuje ono postać:

( ) 2614.142 11.694 10l N−−= − × (7.4.8)

Wstawiając za długość szczeliny l wartość krytyczną lc otrzymamy liczbę cykli do zniszczenia (czas życia tarczy) Nf = 704125 cykli. Wykres krzywej l(N) pokazano na Rys. 7.16.

Rys. 7.16. Długość szczeliny zmęczeniowej w funkcji liczby cykli obciążenia.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

liczba cykli N

dług

ość

szcz

elin

y l(

N)

x 105

l c

N f


Wymagany okres życia tarczy ma wynosić 106 cykli, tymczasem liczba cykli do zniszczenia wyznaczona z warunków zadania wynosi jedynie Nf=704125. Z analizy sposobu rozwiązywania zadania widać, że liczbę Nf można zwiększyć poprzez: • zwiększenie długości krytycznej szczeliny lc; to z kolei możliwe jest - jak wynika

z równania (7.4.4) - poprzez zwiększenie wartości Kc (co oznacza konieczność zmiany materiału), albo poprzez zmniejszenie maksymalnego obciążenia σmax,

• zmniejszenie zakresu zmienności WIN, co jest równoznaczne z redukcją zakresu zmienności obciążenia ∆σ,

• zredukowanie początkowej długości szczeliny - korzystając z (7.4.7) łatwo obliczyć, że zmniejszenie długości z 10 mm do 6 mm, tzn. o 40%, spowoduje zwiększenie liczby cykli do zniszczenia z 704125 do wartości Nf = 1056051 (przyrost ok. 50%).

PRZYKŁAD 5

Tarcza o szerokości 2b=50 mm (Rys. 7.17) zawiera umieszczoną centralnie szczelinę o długości początkowej 2lo=10 mm. Tarcza poddana jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego o stałej amplitudzie i prostopadłego do kierunku szczeliny. Maksymalne i minimalne naprężenie w cyklu wynoszą odpowiednio 200 MPa i 100 MPa. Prędkość wzrostu szczeliny przy zmęczeniu opisana jest równaniem:

[ ] ( )311m/cykl 0.42 10 , MPa mdl K Kd N

− = × ∆ ∆ (7.5.1)

Wyznaczyć liczbę cykli, po której długość szczeliny wyniesie 2lk=20 mm.

Rys. 7.17. Tarcza o skończonej szerokości ze szczeliną centralną.

Rozwiązanie:

Współczynnik intensywności naprężeń dla tarczy jak na Rys. 7.17 można wyrazić równaniem Irwina w postaci:

∆σ

∆σ

2 lo

2b


1 2

2 tan2I

b lK ll b

π= σ π π

(7.5.2)

Zakres zmienności przyłożonego naprężenia wynosi:

100 MPamax min∆σ = σ − σ = (7.5.3)

Zakres zmienności WIN wynosi zatem:

1 23

3

50 10100 tan50 10

lK ll

−

−

× π ∆ = π π × (7.5.4)

( ) 1 222.361 tan 62.832K l∆ = (7.5.5)

Po wykorzystaniu równania prędkości wzrostu szczeliny (7.5.1) i wykonaniu prostych obliczeń otrzymujemy następujące równanie:

( ) 3 2621.295 10 tan 62.832d N l dl−

= × (7.5.6)

W celu wyznaczenia liczby cykli koniecznej do spowodowania wzrostu szczeliny od długości 2lo=10 mm do długości 2lk=20 mm należy scałkować równanie (7.5.6), które po wstawieniu danych przyjmie postać:

( ) 3 2621.295 10 tan 62.832k

o

l

l

N l d l−

= × ∫ (7.5.7)

Całkę oznaczoną występującą w równaniu (7.5.7) obliczono numerycznie. Jej wartość jest równa 0.014933, a poszukiwana liczba cykli wynosi 317998.

Warto w tym miejscu dodać, że w większości przypadków scałkowanie równania prędkości wzrostu szczeliny możliwe jest wyłącznie numerycznie. W okresie kiedy pojawiło się równanie Parisa i inne równania „prędkościowe” brak było odpowiednich, łatwo dostępnych narzędzi obliczeniowych, co spowodowało rozwój procedur przybliżonych, pozwalających w drodze żmudnych (choć dość prostych), wielokrotnie wykonywanych obliczeń uzyskać poszukiwane rozwiązanie. Procedury te były oparte na metodzie przyrostowej (arbitralnie przyjmowane przyrosty długości szczeliny ∆l ), toteż dokładność rozwiązania zależała jedynie od wielkości przyjętego kroku. W chwili obecnej, gdy dostęp do komputerów osobistych i odpowiedniego oprogramowania jest powszechny, stosowanie metod opartych na „ręcznych” rachunkach wydaje się anachroniczne, choć przykłady tak


wykonywanych obliczeń można z łatwością znaleźć w podstawowych podręcznikach i monografiach nt. mechaniki pękania.

Przykład 6 stanowi ilustrację przybliżonego, „ręcznego” sposobu całkowania równania prędkości propagacji szczeliny zmęczeniowej.

PRZYKŁAD 6

Tarcza o szerokości W=15 cm (Rys. 7.18) zawiera umieszczoną centralnie szczelinę o długości początkowej 2lo=5 mm. Tarcza poddana jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego o stałej amplitudzie i prostopadłego do kierunku szczeliny. Zakres zmienności naprężeń wynosi ∆σ=80 MPa, a współczynnik asymetrii cyklu R=0. Prędkość wzrostu szczeliny przy zmęczeniu opisana jest równaniem:

[ ] ( )311m/cykl 0.42 10 , MPa md l K Kd N

− = × ∆ ∆ (7.6.1)

Stosując metodę przyrostową wyznaczyć krzywą wzrostu szczeliny l (N).

Rys. 7.18. Tarcza o skończonej szerokości ze szczeliną centralną.

Rozwiązanie:

Współczynnik intensywności naprężeń dla tarczy jak na Rys. 7.18 można opisać równaniem Federsena w postaci:

, secIl lK l

W Wπ = β σ π β =

(7.6.2)

Zakres zmienności WIN wynosi:

K l∆ = β ∆σ π (7.6.3)

W przypadku konieczności wykonania szybkich obliczeń prowadzących do

∆σ

∆σ

2 lo

W


wyznaczenia krzywej l(N), a także znalezienia na tej podstawie czasu życia elementu ze szczeliną zmęczeniową, w warunkach braku łatwego dostępu do mikrokomputera z odpowiednim oprogramowaniem, można zamiast wzoru całkowego (7.35) wykorzystać wzór przybliżony w postaci (7.35), tzn.:

( ),

o

l

l

lNf K R

∆=

∆∑ (7.6.4)

W analizowanym zadaniu funkcja f ma postać:

( ) ( ) ( )311, 0.42 10 dlf K R f K Kd N

−∆ ≡ ∆ = × ∆ = (7.6.5)

Szczegółowe wyniki obliczeń opartych na równaniu (7.6.4) zestawiono w Tab. 7.6 i w Tab. 7.7 (odpowiednio większe i mniejsze przyrosty długości szczeliny).

W celu weryfikacji dokładności wyników uzyskanych w drodze obliczeń „ręcznych” zadanie zostało rozwiązane także poprzez wykorzystanie procedury całkowania numerycznego. Korzystając z równań (7.6.1)÷(7.6.3) otrzymujemy do scałkowania, po prostych obliczeniach, następujące równanie:

( )3

11.5

6

2.5 10

11.974 10cos 20.944

l lN dll−

−

−

×

= ×

∫ (7.6.6)

Rezultaty obliczeń zebrano na Rys. 7.19. Widać, że różnice między poszczególnymi krzywymi obrazującymi te rezultaty są trudno dostrzegalne. Oczywiście wniosek ten odnosi się wyłącznie do tego konkretnego zadania i niekoniecznie musi być prawdziwy w innym przypadku.

Tab. 7.6. Przyrostowa metoda „ręcznych” obliczeń krzywej wzrostu szczeliny.

l [mm]

∆l [mm] lśred β (lśred /W) ∆K

[MPa m1/2] f (∆K)

[m/cykl] ∆N=∆l /f N = N+ ∆N

2.5 0 0.5 2.75 1.00083 744.203×10-2 1.731×10-9 288 832

3.0 288 832 1.0 3.5 1.00134 840.007×10-2 2.489×10-9 401 703

4.0 690 535 1.5 4.75 1.00248 979.689×10-2 3.949×10-9 379 820

5.5 1 070 355 1.5 6.25 1.00430 1125.824×10-2 5.993×10-9 250 282

7.0 1 320 637 1.5 7.75 1.00664 1256.577×10-2 8.333×10-9 180 001

8.5 1 500 638


Tab. 7.7. Przyrostowa metoda „ręcznych” obliczeń krzywej wzrostu szczeliny.

l [mm]

∆l [mm] lśred β (lśred /W) ∆K

[MPa m1/2] f (∆K)

[m/cykl] ∆N = ∆l /f N =N+ ∆N

2.5 0 0.02 2.51 1.00069 7.10890 1.509×10-9 13 255

2.52 13 255 0.04 2.54 1.00071 7.15136 1.536×10-9 26 040

2.56 39 295 0.04 2.58 1.00073 7.20762 1.573×10-9 25 435

2.6 64 730 0.2 2.7 1.00080 7.37384 1.684×10-9 118 768

2.8 183 498 0.2 2.9 1.00092 7.64301 1.875×10-9 106 656

3.0 290 154 1.0 3.5 1.00134 8.40007 2.489×10-9 401 700

4.0 691 854 1.0 4.5 1.00222 9.53316 3.639×10-9 274 814

5.0 966 668 1.0 5.5 1.00333 10.55091 4.9331×10-9 202 712

6.0 1 169 380 1.0 6.5 1.00466 11.48523 6.3631×10-9 157 156

7.0 1 326 536 1.5 7.75 1.00664 12.56576 8.3333×10-9 180 001

8.5 1 506 537

Rys. 7.19. Długość szczeliny zmęczeniowej w funkcji liczby cykli obciążenia.

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

liczba cykli N

dług

ość

szcz

elin

y l[

mm

]

Całk. numer.Tab. 7.6Tab. 7.7

x 106


Generalnie obserwuje się, że procedury przyrostowe nawet przy stosunkowo dużym kroku przyrostu długości szczeliny prowadzą do rezultatów zbliżonych do tych, jakie uzyskuje się poprzez wykorzystanie procedur całkowania numerycznego. Można je zatem z dużym zaufaniem stosować w sytuacjach wymagających natychmiastowej oceny czasu życia (a zatem i wytrzymałości) konstrukcji zawierającej pęknięcie zmęczeniowe.

PRZYKŁAD 7

Belka podwójnie wspornikowa DCB (ang. Double Cantilever Beam) o wymiarach jak na Rys. 7.20 poddana jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego o stałej amplitudzie, przy czym obciążenie zmienia się pomiędzy wartościami Pmin=5 kN i Pmax=10 kN. Odporność na pękanie materiału, z którego wykonano belkę wynosi KIc=100 MPa m1/2. Wyznaczyć czas życia belki zakładając, że wzrost długości szczeliny opisany jest równaniem:

( ) [ ]4155 10 , m/cykl , MPa mdl d N K dl d N K− = × ∆ ∆ (7.7.1)

Rys. 7.20. Belka podwójnie wspornikowa.

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia czasu życia belki, określonego liczbą cykli do zniszczenia Nf należy scałkować równanie (7.7.1), przy czym granicami całkowania w przypadku całki wzg. długości szczeliny są: długość początkowa lo=20 cm i nieznana długość krytyczna lc, którą należy wyznaczyć korzystając z siłowego kryterium pękania KI = KIc.

Współczynnik intensywności naprężeń dla belki jak na Rys. 7.20 wyraża się równaniem:

3

12I

lK Ph B

= (7.7.2)

lo = 200 mm 2h = 60 mm B = 20 mm 2h

P

P

l

B

b


Korzystając z warunku KI = KIc otrzymujemy długość krytyczną lc:

( )333 3

3

30 10 20 10100 0.3 m12 12 10 10c Ic

max

h Bl KP

− −

−

× ×= = × =

× (7.7.3)

Zakres zmienności obciążenia zewnętrznego wynosi:

3

12 166.67lK P lh B

∆ = ∆ = (7.7.4)

Równanie (7.7.1) po wykorzystaniu (7.7.4) i prostych przekształceniach przyjmuje postać:

( )44 155 10 166.67l d l d N− −= × × (7.7.5)

a stąd:

0.3

3 4

0.2

259.2 10 7600000 cyklifN l d l−= × =∫ (7.7.6)

PRZYKŁAD 8

Płaskie pasmo ze szczeliną boczną o długości lo=5 mm, pokazane na Rys. 7.21, obciążono obciążeniem rozciągającym cyklicznie zmiennym o stałej amplitudzie, zmieniającym się między σmin=0 i σmax=σ. Wyznaczyć taką wartość naprężenia σ, przy której szczelina lo nie będzie wzrastać w wyniku zmęczenia. Wartość progowego zakresu zmienności współczynnika intensywności naprężeń wynosi ∆ Kth = 10 MPa m1/2.

Rys. 7.21. Konfiguracja tarczy ze szczeliną boczną.

∆σ = σ MPa lo = 5 mm b = 50 mm l

σ

σ

b


Rozwiązanie:

Zgodnie z tym, co powiedziano w punkcie 7.1.1 warunkiem rozwoju szczeliny przy zmęczeniu jest przekroczenie przez współczynnik intensywności naprężeń wartości progowej, tak więc aby tego rozwoju uniknąć należy tak dobrać obciążenie, aby spełnić warunek:

thK K∆ < ∆ (7.8.1)

Współczynnik intensywności naprężeń dla pasma pokazanego na Rys. 7.21 określony jest równaniem (2.84), tzn.:

lK lb

= β σ π

(7.8.2)

gdzie:

2 3 4

1.12 0.23 10.55 21.72 30.39l l l l lb b b b b

β = − + − +

(7.8.3)

Z równania (7.8.1), po niezbędnych przekształceniach otrzymujemy:

( ) 3

10 67.4 MPa1.184 5 10

th

o o

Kl b l −

∆∆σ < = =

β π × π× × (7.8.4)

Wzrost szczeliny nie wystąpi, jeżeli maksymalne naprężenie w cyklu nie przekroczy wartości σ = 67.4 MPa.

PRZYKŁAD 9

Szerokie płaskie pasmo ze szczeliną centralną o długości 2lo=50 mm (Rys. 7.22) poddane jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego o stałej amplitudzie ∆σ =100 MPa i współczynniku asymetrii cyklu R=0. W pewnej chwili nastąpiło przeciążenie o wartości 170 MPa. Wyznaczyć prędkość wzrostu szczeliny bezpośrednio po wystąpieniu przeciążenia, po przyroście długości szczeliny o 0.25 mm, 0.75 mm oraz po przyroście o 1.75 mm. Zadanie rozwiązać przyjmując: • płaski stan odkształcenia • model opóźnienia wg Wheelera (patrz punkt 7.2), wykładnik m=1.5 • granicę plastyczności σys = 400 MPa • równanie prędkości wzrostu szczeliny:


Rys. 7.22. Konfiguracja pasma ze szczeliną centralną.

( )4102 10d l d N K−= × ∆ (7.9.1)

Rozwiązanie:

• Stan przed przeciążeniem Wzrost szczeliny do momentu wystąpienia przeciążenia zachodzi na skutek

działania obciążenia cyklicznego o stałej amplitudzie, tak więc prędkość wzrostu opisana jest równaniem (7.9.1), przy czym zakres zmienności ∆K wyraża się równaniem:

, th pK l l l l∆ = ∆σ π < ≤ (7.9.2)

Wyniki obliczeń podano w Tab. 7.8. Przyjęto także, że wzrost szczeliny możliwy jest tylko wówczas gdy zakres zmienności współczynnika intensywności naprężeń ∆K przekracza wartość progową ∆Kth. Wartość tę wyznaczono z równania Vosikovsky’ego (7.28):

1/211.40 0.0046 9.56 MPa mth ysK∆ = − σ = (7.9.3)

Tab. 7.8. Prędkości wzrostu szczeliny przed wystąpieniem przeciążenia.

l [mm] ∆K [MPa m1/2] dl /dN [m/cykl] 2.91 9.56 0.17×10-5

5 12.53 0.49×10-5 10 17.72 1.97×10-5 15 21.71 4.44×10-5 20 25.07 7.89×10-5 25 28.02 12.33×10-5

∆σ

∆σ

2 lp

lp = 25 mm ∆σ = 100 MPa σmax = 100 MPa σp = 170 MPa σys = 400 MPa m = 1.5


Z warunku ∆K>∆Kth. otrzymujemy progową długość szczeliny, która wynosi lth = 2.91 mm.

• Stan przeciążenia

Współczynnik intensywności naprężeń w momencie wystąpienia obciążenia przeciążającego wynosi:

3 1/2170 25 10 47.64 MPa mp p pK l −= σ π = × π × = (7.9.4)

Długość strefy plastycznej w momencie przeciążenia określona jest rów. (7.41):

2 21 1 47.64 1.505 mm

3 3 400p

ypys

Kr

= = = π σ π (7.9.5)

Biorąc pod uwagę, że bezpośrednio w chwili przeciążenia lp = li (patrz Rys. 7.10), parametr λ wynosi:

1.505 mmp yp il r lλ = + − = (7.9.6)

Bieżący współczynnik intensywności naprężeń, tuż po przeciążeniu wynosi:

3 1/2max max 100 25 10 28.02 MPa mi i pK l −= σ π = × π × = (7.9.7)

zaś bieżąca długość strefy plastycznej ryi , określona równaniem (7.42) wynosi:

2 21 1 28.02 0.521 mm

3 3 400imax

yiys

Kr = = = π σ π

(7.9.8)

Współczynnik opóźnienia wzrostu szczeliny wywołanego przeciążeniem, określony przez równanie (7.43) wynosi w tym przykładzie:

1.50.521 0.2037

1.505

myir ϕ = = = λ

(7.9.9)

Korzystając z równania Wheelera (7.44) opisującego prędkość wzrostu szczeliny zmęczeniowej przy obciążeniu cyklicznym o zmiennej amplitudzie:


( )( )410

opóź. const ampl.

2 10d l d l Kd N d N

− = ϕ = ϕ × ∆

(7.9.10)

otrzymujemy następującą prędkość szczeliny przy przeciążeniu:

( )410 5

opóź.

0.2037 2 10 28.02 2.51 10 m/cykld ld N

− − = × × × = ×

(7.9.11)

• Przyrost długości szczeliny o ∆ l1=0.25 mm, ∆ l2=0.75 mm i ∆ l3=1.75 mm.

Schemat obliczeń jest taki sam jak w przypadku stanu przeciążenia. Poniżej podano równania wykorzystane do wykonania obliczeń, których wyniki zestawiono w tab. 7.9.

i p il l l= + ∆ (7.9.12)

i max iK l= σ π (7.9.13)

i iK l∆ = ∆σ π (7.9.14)

2

13

iyi

ys

Kr

= π σ (7.9.15)

p yp il r lλ = + − (7.9.16)

1.5

jeżeli 26.505 mm

1 jeżeli 26.505 mm

yii yi

i yi

rl r

l r

+ < ϕ = λ

+ ≥

(7.9.17)

( )( )4102 10 id l K

d N−= ϕ × ∆ (7.9.18)


Zwróćmy uwagę na to, że ujemna wartość λ jest sygnałem, że czoło aktualnej szczeliny przekroczyło strefę plastyczną wywołaną przeciążeniem (patrz Rys. 7.10). Wartość współczynnika opóźnienia wynosi wówczas ϕ=1, a to oznacza, że wzrost szczeliny nie jest już „zakłócony” efektem przeciążenia. Wykres prędkości wzrostu szczeliny dl/dN [m/cykl] jako funkcji długości szczeliny l [mm], skonstruowany w oparciu o rezultaty podane w Tab. 7.8 i Tab. 7.9 pokazano na Rys. 7.23.

Tab. 7.9. Prędkości wzrostu szczeliny po przeciążeniu.

∆li [mm]

li [mm]

Ki [MPa m1/2]

∆Ki [MPa m1/2]

ryi [mm]

λ [mm] ϕ dl / dN

[m/cykl] 1 2 3 4 5 6 7 8 0 25.00 28.020 28.020 0.521 1.505 0.204 2.51×10-5

0.25 25.25 28.165 28.165 0.526 1.255 0.271 3.41×10-5 0.75 25.75 28.442 28.442 0.536 0.755 0.598 7.83×10-5 1.75 26.75 28.990 28.990 0.557 < 0 1 14.12×10-5

Rys. 7.23. Prędkość wzrostu szczeliny przy obciążeniu cyklicznym z przeciążeniem.

PRZYKŁAD 10

Szerokie płaskie pasmo ze szczeliną centralną o długości 2lo=20 mm poddane jest działaniu obciążenia cyklicznie zmiennego w postaci bloków obciążenia o kształcie trójkąta. Na każdy indywidualny blok trójkątny składa się Np=1000 cykli o zmiennej amplitudzie zawierającej się między σmin=0 MPa i σmax=200 MPa (Rys. 7.24 a). Obliczyć liczbę trójkątnych bloków Na utworzonych przez cykle o zmiennej amplitudzie, niezbędną do wywołania niestabilnego wzrostu szczeliny i porównać ją z liczbą trójkątnych cykli Nb obciążenia o stałej amplitudzie (Rys. 7.24 b)

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25 30 35

długość szczeliny l [mm]

pręd

kość

szc

zelin

y dl

/dN

[m/c

ykl]

x 10-5


prowadzących do tego samego efektu. Zadanie rozwiązać przyjmując odporność na kruche pękanie KIc=100 MPa m1/2 oraz równanie prędkości wzrostu szczeliny w postaci:

( )31210d l d N K−= ∆ (7.10.1)

Rozwiązanie:

• Obciążenie cykliczne o zmiennej amplitudzie

Przy rozwiązywaniu tego przykładu wykorzystamy podejście Barsoma, opisane w punkcie 7.2. Analizując pojedynczy blok obciążenia składającego się z Np cykli o zmiennej amplitudzie będziemy poszukiwać wartości skutecznej współczynnika intensywności naprężeń ∆Krms, aby następnie wykorzystać go w równaniu prędkości szczeliny (7.10.1). Po scałkowaniu tego równania w granicach wyznaczonych wzrostem szczeliny od długości początkowej lo do długości krytycznej lkr wyznaczymy poszukiwaną liczbę bloków obciążenia Na.

Rys. 7.24. Obciążenie trójkątne cyklicznie zmienne o amplitudzie: a) zmiennej, b) stałej.

Wartość skuteczna współczynnika intensywności naprężeń ∆Krms wyraża się równaniem (7.38), które ma następującą postać:

( )2

i irms

i

K nK

n∆

∆ = ∑∑

(7.10.2)

σ

a

σmax=200 MPa

N

Np =1000

∆σ =200 MPa ∆σi

Ni

b

σmax=200 MPa

N

σ

∆σ =200 MPa


W odniesieniu do jednego bloku obciążenia zachodzi związek:

i pn N=∑ (7.10.3)

Bieżąca wartość zakresu zmienności współczynnika intensywności naprężeń ∆Ki wynika z następującej proporcji (Rys. 7.24 a):

i ii

p i p

NN N N∆σ ∆σ

= ⇒ ∆σ = ∆σ (7.10.4)

ii i

p

NK l lN

∆ = ∆σ π = ∆σ π (7.10.5)

Równanie (7.10.2) można przekształcić do postaci:

( ) ( )2 21rms i i

p

K K nN

∆ = ∆∑ (7.10.6)

a po wykorzystaniu (7.10.5) do postaci:

( ) ( )2 2 23

1rms i i

p

K l N nN

∆ = π ∆σ ∑ (7.10.7)

Uciąglając relację (7.10.7), tzn. zastępując operację sumowania operacją całkowania (możliwe jest to dzięki temu, że liczba cykli w jednym bloku jest duża), otrzymujemy równanie:

( ) ( )2 2 23

0

1 pN

rms ip

K l N d NN

∆ = π ∆ σ ∫ (7.10.8)

Stąd, po scałkowaniu otrzymujemy ostateczną postać wartości skutecznej WIN dla obciążenia cyklicznego o zmiennej amplitudzie:

3rmslK π

∆ = ∆σ (7.10.9)

Możemy obecnie skorzystać z równania prędkości wzrostu szczeliny (7.10.1), które po wstawieniu w miejsce ∆K wielkości ∆Krms przyjmuje postać:


( )3

312 3 2 6 3 210 8.57 103

d l d N l l− − π= ∆ σ = ×

(7.10.10)

Po przekształceniu otrzymujemy:

3 3 2116.645 10kr

o

l

al

N l d l−= × ∫ (7.10.11)

Długość krytyczną szczeliny lkr obliczamy z siłowego kryterium pękania K=KIc - tak więc otrzymujemy:

Ic max kr IcK K l K= ⇒ σ π = (7.10.12)

2

1 79.57 mmIckr

max

Kl

= = π σ (7.10.13)

Ostatecznie zatem liczba bloków Na, niezbędna do wywołania niestabilnego wzrostu szczeliny wynosi:

( )3 1 2 1 2116.645 10 2 1506029 cyklia kr oN l l− −= − × × − = (7.10.14)

• Obciążenie cykliczne o stałej amplitudzie

W tym przypadku liczba cykli Nb konieczna do wywołania niestabilnego wzrostu szczeliny wynika wprost z równania prędkości wzrostu szczeliny (7.10.1). Przyjmuje ono dla obciążenia o stałej amplitudzie (Rys. 7.24 b) następującą postać:

( ) 31210d N l d l

−

= ∆σ π (7.10.15)

Po scałkowaniu równania (7.10.15) otrzymujemy:

( )3 1 2 1 222.45 10 2 289836 cyklib kr oN l l− −= − × × − = (7.10.16)

Liczba cykli do zniszczenia jest zatem w przypadku obciążenia o stałej amplitudzie 5.2 razy mniejsza niż w przypadku obciążenia o zmiennej amplitudzie.


PRZYKŁAD 11

Trzy identyczne próbki zawierające szczeliny boczne (konfigurację próbek i ich wymiary pokazano na Rys. 7.25) obciążono równomiernie rozłożonymi stałymi siłami o wartościach 80, 110 i 135 kN. W celu określenia odporności tych próbek na pękanie w warunkach korozyjnych, umieszczono je w słonej wodzie. W wyniku tak zrealizowanych testów stwierdzono, że czasy do zniszczenia próbek wynosiły - odpowiednio do wielkości obciążenia - 5000, 100 i 3 godziny. W oparciu o te rezultaty oszacować progową odporność na pękanie KISCC oraz wyznaczyć przyrost szczeliny w każdym z przypadków obciążenia. Odporność na kruche pękanie materiału próbek wynosi KIc = 35 MPa m1/2.

Rys. 7.25. Tarcza o skończonych wymiarach ze szczeliną boczną.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że wystarczająco dokładnie opisuje analizowaną konfigurację współczynnik intensywności naprężeń w postaci (2.85), tzn.:

1.12IK l= σ π (7.11.1)

gdzie:

PBW

σ = (7.11.2)

Obliczenia potrzebne do wyznaczenia przyrostu szczeliny zestawiono w Tab. 7.10. Poszukiwane wartości przyrostu długości szczeliny podano w kolumnie 5 tabeli. Wartość progową WIN KISCC, poniżej której pękanie korozyjne nie występuje można oszacować konstruując krzywą K=K(t). Należy w tym celu

lo = 12 mm W = 80 mm B = 12 mm

P

P

W

l

B


wykorzystać kolumny 3 i 6 - w oparciu o zamieszczone w nich dane skonstruowano krzywą pokazaną na Rys. 7.26. Asymptota pozioma tej krzywej określa poszukiwaną wartość KISCC.

Oczywiście czym większa jest ilość danych pomiarowych, tym dokładniejsze jest określenie położenia asymptoty. W naszym przypadku była ona bardzo ograniczona, toteż wyznaczoną z Rys. 7.26 wartość KISCC należy traktować jedynie orientacyjnie. Wynosi ona ok. 18 MPa m1/2.

Tab. 7.10. Rezultaty obliczeń dla problemu zniszczenia korozyjnego.

P [kN]

σ [MPa]

1.12i iK l= σ π [MPa m1/2]

21

1.12Ic

ci

Kl

= π σ [

mm]

Wzrost szczeliny

lc-l [mm]

Czas życia

[godz.]

1 2 3 4 5 6 80.0 83.3 18.1 44.80 32.80 5000

110.0 114.6 24.9 23.67 11.67 100 135.0 140.6 30.6 15.72 3.72 3 154.5 160.9 35.0 12.00 0.00 0

Rys. 7.26. Czas do zniszczenia t jako funkcja współczynnika intensywności naprężeń K.

0

10

20

30

40

50

0 1000 2000 3000 4000 5000

czas t [godz.]

K [

MPa

m1/

2 ] wartość progowa K ISCC


CYTOWANE PRACE

ROZDZIAŁ 1

[1.1] Griffith A.A.: "The phenomenona of rupture and flow in solids", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A221, 163-198, 1921

[1.2] Hult J.: Bära brista - Grundkurs i hallfasthetslära, AWE-Geberts, 1975 [1.3] Inglis C.E.: "Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp

corners", Transactions of the Institute of Naval Architects, 55, 219-241, 1913

[1.4] Kirsch G.: Die Theorie der Elastiziat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre, Z. VDI 42, 797, 1898

[1.5] Yokobori: Mechanika Deformirujemych Twiordych Tieł , 5/147, 95, 1974

ROZDZIAŁ 2

[2.1] Bowie O. L.: analysis of an infinite plate containing radial cracks originating at the boundary of an internal circular hole, J. Math. and Phys., 25, 60-71, 1956

[2.2] Broek D.: Elementary Engineering Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, 1991

[2.3] Gdoutos E.E.: Fracture Mechanics, An Introduction, Kluwer Academic Publishers, 1993

[2.4] Irwin G. R.: The Crack Extension Force for a Part-through Crack in a Plate, Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 651-654, 1962

[2.5] Kołosow G.,W.: Primienienije Komplieksnoj Pieriemiennoj k Teorii Uprugosti, ONTI, Moskwa, 1935

[2.6] Murakami Y. (ed): Stress Intensity Factors Handbook, Pergamon Press, 1987

[2.7] Muskheliszwili N. I.: Niekotoryje Osnownyje Zadaczi Matematiczeskoj Teorii Uprugosti, Nauka, Moskwa, 1966

[2.8] Paris P., Sih G. C.: Fracture Toughness Testing and its Applications, Chapter 2, ASTM Special Technical Publication No 381, 1964

[2.9] Sih G.C.: Handbook of Stress Intensity Factors, Institute of Fracture and Solid Mechanics, Lehigh University, 1973

248 Cytowane prace

[2.10] Sneddon I. N.: the distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid, Proceedings of the Royal Society of London, A 187, 229-260, 1946

[2.11] Timoshenko S., Goodier J. N.: Teoria Sprężystości, Arkady, 1962 [2.12] Westergaard H.M.: "Stresses at a crack, size of the crack and the bending

of reinforced concrete", Proceedings of the American Concrete Institute, 30,93-102, 1934

[2.13] Westergaard H.M.: "Bearing pressures and cracks", Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 6, A.49-A.53, 1937

ROZDZIAŁ 3

[3.1] Dugdale D. S.: "Yielding of Steel Sheets Containing Slits", Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 8, 100-104, 1960

[3.2] Hutchinson J. W.: "Fundamentals of the Phenomenological Theory of Nonlinear Fracture Mechanics", Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 50, 1042-1051, 1981

[3.3] Irwin G. R.: "Plasic Zone near a Crack Tip and Fracture Toughness", Proc. of the Seventh Sagamore Ordnance Material Conference, IV 63-IV 78, 1960

[3.4] Knott J. F.: Fundamentals of Fracture Mechanics, Butterworths, 1973 [3.5] Standard Test Method for Linear-Elastic Plane-Strain Fracture Toughness

KIc of Metallic Materials, E 399, American Society for Testing and Materials, 2009

ROZDZIAŁ 4

[4.1] Griffith A. A.: "The theory of rupture", Proceedings of First International Congress of Applied Mechanics, Delft, pp. 55-63, 1924.

[4.2] Irwin G. R.: "Fracture dynamics", Fracturing of Metals, ASM publ., Cleveland, pp. 147-166, 1948.

[4.3] Orowan E.: "Fracture and strength of solids", Reports on Progress in Physics, XII, pp. 185-232, 1948.

ROZDZIAŁ 5

[5.1] PN-87/H-04335, "Metoda badania odporności na pękanie w płaskim stanie odkształcenia", PKN,MiJ, 1987.

[5.2] "Standard Practice for R-Curve Determination", ASTM Annual Book of Standards, Part 10, ASTM, E 561-81, pp. 680-699, 1981.

[5.3] Anderson W. E.: "Some designer-oriented views on brittle fracture", Battelle Northwest Rept. SA-2290, 1969.


[5.4] Bluhm J. I.: "A model for the effect of thickness on fracture toughness", ASTM Proc. 61, pp. 1324-1331, 1961.

[5.5] Federsen C. E.: "Evaluation and prediction of the residual strength of center cracked tension panels", ASTM STP 486, pp. 50-78, 1971.

[5.6] Krafft J. M., Sullivan A. M., Boyle R. W.: "Effect of dimensions on fast fracture instability of notched sheets", Proceedings of Crack Propagation Symposium, College of Aeronautics, Cranfield, Vol. 1, pp. 8-28, 1961.

[5.7] Srawley J. E., Brown W. F.: "Fracture toughness testing methods", ASTM STP 381, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, pp. 133-145, 1965.

[5.8] Srawley J. E.: "Wide range stress intensity factor expressions for ASTM E-399 standard fracture toughness specimens", Int. J. Fracture, 12, pp. 475-476, 1976.

ROZDZIAŁ 6

[6.1] Begley J. R., Landes, J. D.: "The J-integral as a fracture criterion", Fracture Toughness, ASTM STP 514, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, pp. 1-23, 24-39, 1972.

[6.2] Burdekin F. M., Stone D. E. W.: "The crack opening displacement approach to fracture mechanics in yielding materials", J. of Strain Analysis, 1, pp. 145-153, 1966.

[6.3] Czerepanow G. P.: "O razprostranieni treszczin w spłosznoj sredie", Prikładnaja matematika i mechanika, 31, No 3, pp. 476-488, 1967.

[6.4] Dawes M. G.: "Fracture control in high yield strength weldments", Welding Journal Research Supplement, 53, 369S-379S, 1974.

[6.5] Ernst H. A., Paris P. C.: "Techniques of analysis of load-displacement records by J integral methods", Nuclear Regulatory Comm. Rept. NUREG / CR-122, 1980.

[6.6] Eshelby J. D.: "Calculation of energy release rate", Prospects of Fracture Mechanics, Noordhoff, pp. 69-84, 1974.

[6.7] Fung Y. C.: "Podstawy mechaniki ciała stałego", PWN Warszawa, 1969. [6.8] Hutchinson J. W.: "Singular behaviour at the end of a tensile crack in a

hardening material", J. of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 16, pp. 13-31, 1968.

[6.9] Hutchinson J. W.: "Fundamentals of the phenomenological Theory of nonlinear fracture mechanics", J. of Applied Mechanic, Trans. ASME, Vol. 50, pp. 1042-1051, 1983.

[6.10] McMeeking R. M., Parks D. M.: "On criteria for J dominance of crack tip fields in large scale yielding", ASTM STP 668, pp. 175-194, 1979.

250 Cytowane prace

[6.11] Merkle J. G., Corten H. T.: "A J-integral analysis for the compact specimen, considering axial force as well as bending effects", J. of Pressure Vessel Technology, 96, pp. 286-292, 1974.

[6.12] Methods for crack opening displacement (COD) testing, BS 5762, British Standards Institution, London, 1979.

[6.13] Rice J. R.: "A path independent integral and the approximate analysis of strain concentrations by notches and cracks", J. Appl. Mech., pp. 379-386, 1968.

[6.14] Rice J. R., Rosengren G. F.: "Plane-strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material", J. of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 16, pp. 1-12, 1968.

[6.15] Rice J. R., Paris P. C., Merkle J. G.: "Some further results of J-integral analysis and estimates", ASTM STP 536, pp. 213-245, 1973.

[6.16] Shih C. F.: "Relationship between the J-integral and the crack opening displacement for stationary and extending cracks", J. of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 29, pp. 305-326, 1981.

[6.17] Shih C. F., German M. D.: "Requirements for a one parameter characterization of crack tip fields by the HRR singularity", Int. J of Fracture, Vol. 17, p. 27, 1981.

[6.18] "Standard test method for JIc, a measure of fracture toughness", ASTM Annual Book of Standards, Part 10, E 813-87, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, pp. 968-990, 1987.

[6.19] Wells A. A.: "Unstable crack propagation in metals: cleavage and fracture", Proc. of the Crack Propagation Symposium, College of Aeronautics, Cranfield, Vol. 1, pp. 210-230, 1961.

ROZDZIAŁ 7

[7.1] Barsom J.M., „Fatigue Crack Growth under Variable-Amplitude Loading in ASTM A514-B Steel”, Progress in Flaw Growth and Fracture Toughness Testing, ASTM STP 536, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 147-167, 1973.

[7.2] Broek D., The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1989.

[7.3] Donahue R.J., Clark H.M., Atanmo P., Kumble R., McEvily A.J., Crack Opening Displacement and the Rate of Fatigue Crack Growth, International Journal of Fracture Mechanics, 8, 209-219, 1972.

[7.4] Elber W., Fatigue Crack Closure Under Cyclic Tension, Engineering Fracture Mechanics, 2, 37-45, 1970.

[7.5] Erdogan F., Ratwani M., Fatigue and Fracture of Cylindrical Shells Containing a Circumferential Crack, International Journal of Fracture Mechanics, 6, 379-392, 1970.


[7.6] Forman R.G., Kearney V.E., Engle R.M., Numerical Analysis of Crack Propagation in Cyclic-loaded Structures, Journal of Basic Engineering, Trans. ASME, 89, 459-464, 1967.

[7.7] Klesnil M., Lukaš P., Effect of Stress Cycle Asymmetry on Fatigue Crack Growth, Material Science Engineering, 9, 231-240, 1972.

[7.8] Kocańda S., Podstawy konstrukcji maszyn. Podstawy obliczeń zmęczeniowych w zakresie wytrzymałości niskocyklowej i w warunkach rozwoju pęknięć, Wojskowa Akademia Techniczna, Raport wewn. 1244/83, Warszawa, 1983

[7.9] Paris P., Erdogan F., A Critical Analysis of Crack Propagation Laws, Journal of Basic Engineering, Trans. ASME, 85, 528-534, 1963.

[7.10] Schijve J., Some Formulas for the Crack Opening Stress Level, Engineering Fracture Mechanics, 14, 461-465, 1981.

[7.11] Wheeler O.E., Spectrum Loading and Crack Growth, Journal of Basic Engineering, Trans. ASME, 94, 181-186, 1972.

WYBRANE MONOGRAFIE I PODRĘCZNIKI

Bochenek A., Elementy mechaniki pękania. Podręcznik dla materiałoznawców. Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa, 1998

Broek D., The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1989.

Broek D., Elementary Engineering Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, 1991

Gdoutos E.E., Fracture Mechanics, An Introduction, Kluwer Academic Publishers, 1993

German J., Biel-Gołaska M.: Podstawy i zastosowanie mechaniki pękania w zagadnieniach inżynierskich, Wydawnictwo Instytutu Odlewnictwa, Kraków, 2004

Gołaski L., Elementy doświadczalnej mechaniki pękania, Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce, 1992

Knott J. F., Fundamentals of Fracture Mechanics, Butterworths, 1973 Neimitz A., Mechanika Pękania, PWN, 1998 Seweryn A., Metody numeryczne w mechanice pękania, Biblioteka Mechaniki

Stosowanej, Seria A. Monografie, IPPT PAN, Warszawa, 2003

Wprowadzenie do Mechaniki Pękania - Zakład ...limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady_pekanie/Podrecznik...

Documents

Transcript of Wprowadzenie do Mechaniki Pękania - Zakład ...limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady_pekanie/Podrecznik...