V. Matematyka w LATEX-u Wiesław Krakowiak 16 grudnia 2012admor/LaTeX/latex_5.pdf · 2018. 12....

WstępPakiety AMS-LATEX-a

Wyrażenia matematyczneTwierdzenia w LATEX-u

V. Matematyka w LATEX-u

Wiesław Krakowiak

16 grudnia 2012

Wiesław Krakowiak V. Matematyka w LATEX-u



Składanie formuł matematycznych w LATEX-u

W czystym TEX-u są polecenia pozwalające poprawnie składaćteksty matematyczne. W LATEX-u składanie formułmatematycznych uległo uproszczeniu. Został wzbogacony opolecenia pozwalające w sposób prostszy składaćskomplikowane formuły. Zadaniem autora jest przekazaniejedynie logicznej struktury formuły, jej skład wykonasamodzielnie LATEX.Nie należy z reguły używać matematycznych poleceń TEX-a wLATEX-u, gdyż powoduje to błędy przy kompilacji.W LATEX-u można również ponumerować formułymatematyczne oraz w sposób prosty powoływać się na nie.




Składanie formuł matematycznych w LATEX-u (cd)

Jeżeli w pisanym tekście matematycznym używamynieskomplikowanej matematyki, to do składania wystarcząjedynie polecenia „czystego” LATEX-a. W przeciwnymprzypadku należy zainstalować dodatkowe pakiety AMS-LATEX.




AMS-LATEX

Pod patronatem Amerykańskiego TowarzystwaMatematycznego (American Mathematical Society) został wroku 1982 stworzony pakiet AMS-TEX będący rozszerzenieTEX-a. Uczynił on otrzymywane dokumenty bardziej spójnymijak również przyspieszył czas ich generacji. Doprowadziło to wkonsekwencji do wykreowania z tego rozszerzenia seriipakietów o wspólnej nazwie AMS-LATEX. Ponieważ czcionkizaimplementowane w AMS-TEX-u musza korespondować zLATEX-em doprowadziło to stworzenia osobnej grupy pakietów onazwie amsfonts. Podstawowa zaleta jest ułatwieniaskładania tekstów matematycznych dając plik spełniającynajwyższe standardy wydawnictw matematycznych.




AMS-LATEX(cd)

Pakiet AMS-TEX dostarcza serii predefiniowanych poleceń(nmatrix, ntext) które znacznie usprawniają posługiwanie sieśrodowiskiem matematycznym poprzez wdrożenie doświadczeństandardów AMS i radzenie sobie ze złożonym i problemamitakimi jak macierz wewnątrz macierzy lub słowa w indeksachdolnych i górnych bez obciążania tym użytkownika. ProjektAMS-LATEXpojawił się w 1987 r, 3 lata później zostaławypuszczona pierwsza wersja tego programu. PrzekształcenieAMS-TEX-a jego matematycznymi możliwościami do LATEX-azostało dokonane przez Franka Mittelbacha i Ranera Schopfa.




AMS-LATEX(cd)

AMS-LATEXskłada sie z różnych rozszerzeń LATEX-a i jest onczęścią jego standardowej dystrybucji. Podzielony jest na dwieczęści:

amscls – dzięki temu pakietowi dokumenty w LATEXwyglądać maja jak dokumenty AMS.

amsmath – ułatwia pisanie formuł matematycznych iulepsza sposób ich prezentacji

Pakiet amsmath wprowadza wiele usprawnień, którychzadaniem jest polepszenie prezentacji matematycznych formułw dokumencie. W jego skład wchodzi kilka pomocniczychpakietów: amsmath, amstext, amsopn, amsbsy, amscd,oraz amsxtra.




Przegląd pakietów AMS-LATEX-aamsbsy definiuje polecenia \boldsymbol i \pmb, które

udostępniają dwa rodzaje pogrubienia symbolimatematycznych.

amscd pakiet ten jest niezależny od pozostałychpakietów; można go używać nie deklarującinnych. Definiuje on otoczenie CD i wiele poleceńprzydatnych do tworzenia diagramówprzemiennych. Pakiet nie generuje strzałemskierowanych ukośnie.

amsfonts pakiet umożliwia korzystanie z poleceń \mathbb i\mathfrak, służących do pisania literami„tablicowymi” i gotyckimi”. Pakiet ten jestwczytywany automatycznie po zadeklarowaniupakietu amssymb.




Przegląd pakietów AMS-LATEX-a (cd)

amsgen pełni role pomocniczą, wspomagając pracępakietów amsbsy, amstext, amsthm i amscd.

amsmath pakiet ten stanowi główną część dystrybucjiAMS-LATEX-a. Definiuje liczne polecenia iotoczenia, wspomagające skład wyrażeń i formułmatematycznych. Po jego zadeklarowaniuautomatycznie wczytywane są pakiety: amsopt,amsbsy, amstext.

amsopt udostępnia polecenia \DeclareMathOperator,\DeclareMathOperator*, \operatorname,\operatorname*, które służą do definiowaniawłasnych operatorów typu logarytmu.





amssymb udostępnia wiele poleceń tworzących różnegorodzaju symbole matematyczne. Po jegozadeklarowaniu automatycznie wczytywany jestpakiet amsfonts.

amstext definiuje polecenie \text.amsthm zawiera definicję struktur zwanych w LATEX-u

proclamations. Jest niezależny od pozostałychpakietów; można go używać nie deklarując innych.

amsxtra definiuje znaki diakrytyczne i ozdobniki,umieszczone z boku symboli matematycznych.Ładuje pakiet amsmath.





Najczęściej używane pakiety to:

amsmath (AMS-LATEX)

amssymb (AMSFonts)

Żeby je zaimplementować w dokumencie należy napisać:

\usepackageamsmath\usepackageamssymb

Dokumentacja:Dla amssymb plik amsfndoc.tex (AMSFonts User’s Guide)Dla amsmath plik amsldoc.tex (AMS-Latex User’s Guide)




Pakiet amsmath

Pakiet amsmath wprowadza wiele usprawnień, którychzadaniem jest polepszenie prezentacji matematycznych formułw dokumencie. W jego skład wchodzi kilka pomocniczychpakietów: amsmath, amstext, amsopn, amsbsy, amscd, orazamsxtra.Opcje pakietu amsmath.centertags – wyrównuje elementy równania do środka wpionie względem całej wysokości równania (domyślna)sumlimits – umieszcza indeksy górne i dolne symbolitakich jak np. suma

∑czy iloczyn

∏nad i pod symbolem

(domyślna)nosumlimits – indeksy z powyższego przykładuumieszczane są obok symboli




Pakiet amsmath (cd)

intlimits – granice całkowania powyżej nad i podsymbolem całki

nointlimits – granice obok symbolu całki (domyślna)

namelimits – podobnie jak sumlimits ale odnosi sie dosymboli mających indeksy pod symbolami np. lim(domyślna)

nonamelimits – analogicznie jak w powyższychprzykładach.

leqno – wyrównuje elementy równania do lewej

reqno – wyrównuje elementy równania do prawej

fleqn – równanie zaczyna w nowym akapicie




W dalszym ciągu prezentacji nie zawsze będziemy zaznaczaćktóra konstrukcja matematyczna jest elementem LATEX-a, aktóra AMS-LATEX-a




Tryb matematyczny

W TeX-u (również w LATEX-u) wyrażenia matematyczne składasię w specjalnym trybie, zw. matematycznym. Ponieważformuły matematyczne, albo stanowią część akapitu(występują w wierszu), albo są eksponowane, to wyróżniamydwa rodzaje tego trybu:1 wewnątrzakapitowy (tekstowy) – dla symboli

podstawowej wielkości w wierszu tekstu;2 eksponowany – dla symboli podstawowej wielkości w

osobnym wierszu.




Tryb wewnątrzakapitowy

W trybie wewnątrzakapitowym wyrażenia są składane wbieżącym akapicie. W LATEX-u wyrażenia matematyczne wtrybie wewnętrzakapitowym składa się w środowisku math, tj.zaczynamy poleceniem \beginmath, a kończymypoleceniem \endmath. Dla wygody, można również używaćskrótu $ . . . $. Najpopularniejsze jest używanie poleceniaTEX-a, tj. tryb wewnątrzakapitowy zaczynać i kończyć znakiem$.




Tryb wewnątrzakapitowy (cd)

Pisząc:Stosując rozwinięcie$eˆx=\sum n=0ˆ\infty\fracxˆnn!$otrzymujemy \ldotsotrzymamy:Stosując rozwinięcie ex =

∑∞n=0

xn

n! otrzymujemy . . .Jak widać, formuła jest umieszczona wewnątrz bieżącegowiersza.




Tryb eksponowany

W trybie eksponowanym formuły wstawiane są w osobnymwierszu. Tryb ten występuje w wielu specjalnych środowiskach.Najprostszym środowiskiem (stosowanym do formułmieszczących się w jednym wierszu) jest środowiskodisplaymath, tj.formułę matematyczną umieszczamypomiędzy poleceniami \begindisplaymath, a\enddisplaymath. Dla wygody, można również używaćskrótu, \[ . . . \]. Równoważne mu jest środowiskoAMS-LATEX-a: equation*. Nie należy natomiast używaćpolecenia TEX-a, $$ . . . $$, gdyż jest ono niezgodne zAMS-LATEX-em.




Tryb eksponowany (cd)

Podobnie jak poprzednio, polecenie

\begindisplaymatheˆx= \sum n=0ˆ\infty\fracxˆnn!\enddisplaymath

lub

\[eˆx= \sum n=0ˆ\infty\fracxˆnn!\]




Tryb eksponowany

zostanie skompilowane jako

ex =∞∑n=0

xn

n!

Formuła jest w tym przypadku umieszczona w oddzielnymwierszu. Zauważmy, że zmienił się nie tylko sposób osadzeniaformuły, ale także wielkość i umiejscowienie granic sumowaniaoraz wielkość czcionki w liczniku i mianowniku ułamka.




Style trybu matematycznego

W TEX-u istnieje osiem różnych sposobów składumatematycznego. Są one nazywane stylami oraz sąnormalnymi i zacieśnionymi wersjami stylu eksponowanego,tekstowego, indeksowego i podwójnego indeksu. Wersjizacieśnionej używa się do mianowników ułamków, wyrażeń podpierwiastkami i w podobnych sytuacjach. TEX nie podnosi wwersji zacieśnionej indeksów zbyt wysoko.Do składania indeksów pierwszego rzędu LATEX używa styluindeksowego, natomiast do składania indeksów wyższychrzędów – stylu podwójnego indeksu.




Style trybu matematycznego (cd)

Jawne użycie jednego ze stylów trybu matematycznegowymuszają następujące polecenia:

Styl eksponowany – \displaystyleStyl tekstowy – \textstyleStyl indeksowy – \scriptstyleStyl podwójnego indeksu – \scriptscriptstyle




Kroje czcionek

W trybie matematycznym LATEX składa tekst kursywąmatematyczną. Różni się ona od kursywy stosowanej wzwykłym tekście tym, że litery są nieco większe, a odstępywyznaczone między nimi są inaczej.Np. słowo „toffi” w trybie matematycznym wygląda inaczejniż złożone zwykłą kursywą.Takie zachowanie LATEX-a spowodowane jest tym, ż w trybiematematycznym pojedyncze litery najczęściej oznaczajązmienne, a ich następstwo oznacza operację mnożenia.




Kroje czcionek(cd)

LATEX w trybie matematycznym może używać równieżnastępujących krojów czcionek:

prosty \mathrmABC ABCpółgruby \mathbfABC ABCbezszeryfowy \mathsfABC ABCmaszynowy \mathttABC ABC

Kursywę matematyczną włącza polecenie \mathsl. Wszystkiete polecenia działają na pojedynczym argumencie.




Kroje czcionek (cd)

Podstawowy LATEX zawiera polecenie \mathcal dla pismakaligraficznego. Pakiet eucal redefiniuje to polecenie bykorzystało z czcionki Euler Script. Natomiast pakiet eucal zopcją mathsc, nie redefiniuje polecenia \mathcal, a czcionkiEuler Script są dostępne prze polecenie \mathsc. Litery„tablicowe” otrzymujemy po załadowaniu pakietu amsfonts,za pomocą polecenia \mathbb. Natomiast litery gotyckieuzyskujemy za pomocą polecenia \mathfrak, po załadowaniupakietu amsfonts lub pakietu eufrak.




Kroje czcionek (cd)

Argumenty polecenia \mathfrak mogą zawierać małe i dużelitery, a pozostałych poleceń tylko duże litery.

tablicowe \mathbbABC ABCkaligraficzne (Euler) \mathscrABC ABC

kaligraficzne \mathcalABC ABCgotyckie \mathfrakABC\ abc ABC abc




Odstępy poziome w trybie matematycznym

W trybie matematycznym LATEX ignoruje wpisane spacje iformatuje wzór w sposób, który uważa za najlepszy. Można gokorygować za następujących pięciu poleceń. Uzyskujemy przyich pomocy odstęp poziomy takiej wielkości jak pokazanymiędzy poziomymi kreskami:

| | \, wąski | | \: średni|| \! wąski ujemny (wstecz) | | \; szeroki

Dodatkową spację (podobnie jak w trybie akapitowym)uzyskujemy za pomocą symbolu: \ i następującej po nimspacji. Odstęp \, można również używać w trypie akapitowym.




Odstępy poziome w trybie matematycznym (cd)

Polecenia \quad i \qquad dają większe odstępy (możnaużywać ich również w trybie akapitowym). Polecenie \quadtworzy odstęp równy wielkości bieżącego pisma, np. w piśmie12 pt daje 12 pt odstępu. Polecenie \qquad tworzy odstępdwukrotnie większy.Pisząc

|x|=x \quad x\ge 0

otrzymujemy|x | = x x 0




Ręczne łamanie wiersza w trybiewewnątrzakapitowym

Jeżeli chcemy przejść do następnego wiersza w trybiewewnątrzakapitowym należy zastosować polecenie \\:




Potęgi i indeksy

Potęgi oraz indeksy są tym samym co frakcja górna orazfrakcja dolna w trybie tekstowym. Aby umieścić coś dogórnego indeksu, należy użyć symbolu ˆ, np. pisząc aˆmotrzymujemy am. Indeks dolny tworzymy przy pomocy symbolu, np. pisząc a n otrzymujemy an. Istnieje możliwość

połączenia indeksu górnego z indeksem dolnym. Kolejnośćindeksów nie odgrywa roli. Jeśli jakieś wyrażenie ma sięznaleźć w dolnym bądź górnym indeksie, należy je umieścićklamrach .




Potęgi i indeksy(cd)

Pisząc

a n+1, xˆ2, k n+1=nˆ2+k nˆ2-k n-1

otrzymujemy

an+1, x2, kn+1 = n2 + k2n − kn−1




Obramowania, czyli ramki

Dzięki poleceniu \boxed można jakiekolwiek wyrażenie (np.równanie) w łatwy sposób wyróżnić, umieszczając je w ramce,np. pisząc

\[\boxedE = mcˆ2\]

otrzymujemyE = mc2




Ułamki

Ułamek tworzymy używają komendy\fraclicznikmianownik. Pisząc

\frac24

otrzymujemy24.




Ułamki (cd)

Można zagnieżdżać ułamki w ułamkach: pisząc

\frac\frac1x+\frac1yy-z

otrzymujemy1x + 1

y

y − z

oraz jako indeksy górne i dolne, itp.: pisząc

yˆ\frac12

otrzymujemyy12




Ułamki (cd)

Do utworzenia prostego ułamku umieszczonego w tekście(niematematycznym), można użyć potęg i indeksów., np.pisząc ˆ2/ 13 otrzymujemy 2/13.




Ułamki (cd)

Pakiet amsmath zawiera wygodne skróty do komendtworzących ułamki:\tfrac dla \textstyle\frac......,\dfrac dla \displaystyle\frac.......




Ułamki (cd)

Pisząc$\sqrt\dfrac1x\cos t\quad \sqrt\frac1x\cos t$

otrzymujemy

√1x

cos t√1x cos t

Podobnie pisząc

\[\sqrt\tfrac1x\cos t\quad \sqrt\frac1x\cos t \]

otrzymujemy √1x cos t

√1x

cos t




Ułamki łańcuchowe

Ułamki łańcuchowe zapisujemy używając komendy \cfrac:pisząc

x = a 0 + \cfrac1a 1+ \cfrac1a 2

+ \cfrac1a 3 + a 4

otrzymujemy

x = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 + a4




Symbol Newtona

Symbol Newtona tworzony jest przy pomocy polecenia\binom: pisząc

\binomnk=\fracn!k!(n-k)!

otrzymujemy (nk

)=

n!

k!(n − k)!




Symbol Newtona (cd)

Pakiet amsmath zawiera wygodne skróty do komendtworzących symbol Newtona:\tbinom dla \textstyle\binom......,\dbinom dla \displaystyle\binom.......




Symbol Newtona (cd)

Pisząc$\dbinomkn+1\quad \\binomkn+1$otrzymujemy(

kn + 1

) (kn+1

)Podobnie pisząc

\[\tbinomkn+1\quad \\binomkn+1 \]

otrzymujemy (kn+1

) (k

n + 1

)




Struktury „ułamkopodobne”

Poleceniem \genfrac można tworzyć dowolne struktury„ułamkopodobne”. Ma ono następującą składnię:\genfracldelimrdelimgrubośćstyllicznikmianownikPisząc

\genfrac[]2pt11n+1

otrzymujemy [1n+1

]




Pierwiastki

Polecenie \sqrt[st pierwiastka] tworzy pierwiastekotaczający dane wyrażenie. Jeżeli stopień pierwiastka nie jestpodany, to utworzony zostanie pierwiastek kwadratowy. Pisząc

\sqrt\fracab,\ \sqrt[n]1+x+xˆ2+xˆ3+\ldots,\\sqrt[3]x+y,

otrzymamy√ab,n√

1 + x + x2 + x3 + . . ., 3√

x + y ,




Pierwiastki (cd)

Ponieważ komenda \sqrt nie zawsze daje pożądane efekty, wAMS-LATEX rozszerzono ja o polecenia \leftroot i \uprootpozwalające na pozycjonowanie stopnia pierwiastka.Pisząc

\[ \sqrt[\varphi]x \qquad\sqrt[\leftroot2\uproot4\varphi]x \]

otrzymujemyϕ√

xϕ√

x




Operatory binarne

Działania dodawania jak i odejmowania są definiowane wnaturalny sposób, np.: pisząc a+b-c=0 otrzymujemya + b − c = 0.Pozostałe operatory:· \cdot \circ ∩ \cap ∧ \wedge× \times • \bullet ∪ \cup ⊕ \oplus? \star ÷ \div ∨ \vee ⊗ \otimes× \times ∗ \ast \ominus \odot \diamont

Można również utworzyć operator ∨ pisząc \underline\vee.




Operatory binarne

Przykłady:

Kod Rezultatx\cdot y=0 x · y = 0A\cap B=B\cap A A ∩ B = B ∩ A

Pisząc A \cup B= \x\colon (x \in A)\vee (x \in B)\otrzymujemy

A ∪ B = x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)




Relacje

< < > > = =¬ \leq lub \le lub \ge ≡ \equiv \ll \gg .

= \doteq≺ \prec \succ ∼ \sim \preceq \succeq ' \simeq⊂ \subset ⊃ \supset ≈ \approx⊆ \subseteq ⊇ \supseteq ∼= \cong@ \sqsubset A \sqsupset on \Join1

1Dostępne do załadowaniu pakietu latexsym.Wiesław Krakowiak V. Matematyka w LATEX-u



Relacje (cd)

v \sqsubseteq w \sqsupseteq ./ \bowtie∈ \in 3 \ni ∝ \propto` \vdash a \dashv |= \models| \mid ‖ \parallel ⊥ \perp: : /∈ \notin 6= \neq lub \ne

6 \leqslant > \geqslant

Odpowiednie symbole negacji relacji można utworzyćpoprzedzając powyższe symbole polecenie \not.




Relacje (cd)

Przykłady:

Kod Wynikx\parallel y x ‖ yA\sim B A ∼ B




Przystawanie modulo

Kod Wynika\equiv b \pmod11 a ≡ b (mod 11)a\equiv 11 b a ≡11 b




Strzałki

← \leftarrow ← \gets→ \rightarrow → \to⇐ \Leftarrow ⇒ \Rightarrow←− \longleftarrow −→ \longrightarrow=⇒ \Longrightarrow ⇐= \Longleftarrow↔ \leftrightarrow ←→ \longleftrightarrow⇐⇒ \Longleftrightarrow ⇐⇒ \iff7→ \mapsto \leftharpoondown7−→ \longmapsto \nearrow \swarrow \searrow \nwarrow ↑ \uparrow↓ \downarrow




Napis nad strzałką

Aby umieścić napis nad strzałką stosujemy poniższe komendy:

Kod Wynik

f(x) \xrightarrowT [1,5] g(x) f (x)T[1,5]−−→ g(x)

X \xleftarrowtemp Y Xtemp←−− Y




Wektory oraz linie nad/pod wyrażeniami

W celu uzyskania strzałki nad zmienną stosujemy polecenie\vec, np. pisząc \veca otrzymujemy ~a.Jeżeli chcemy uzyskać kreskę pod lub nad wyrażeniemwystarczy odpowiednio zastosować polecenie \underline lub\overline.Np. pisząc:

\underlineabc, \overlinecde,\overline\overline\Omega

otrzymujemyabc , cde, Ω




Wektory oraz linie nad/pod wyrażeniami(cd)

Można również stosować nawiasy klamrowe pod/nadwyrażeniem, np pisząc:

n\cdot a=\underbracea+a+\ldots+a n,a^m=\overbracea\cdot a\cdot \ldots a^m

otrzymujemy

n · a = a + a + . . . + a︸︷︷︸n

, am =m︷︸︸︷

a · a · . . . a




Wektory oraz linie nad/pod wyrażeniami(cd)

W celu umieszczenia wyrażenia nad innym wyrażeniemstosujemy polecenie \stackrel, np. : zaznaczenie (nadznakiem równości) użycia reguły de l’Hospitala w obliczeniach:

[H]=

uzyskujemy stosujemy kod:

\stackrel[H]=Do wstawienia wyrażenia poniżej innego służy komenda\mathop , np.pisząc:

\dfrac1n+1 \mathop\longrightarrow n \to \infty 0

otrzymujemy1

n + 1−→n→∞

0




Różne znaki

∀ \forall ~ \hbar ∅ \emptyset ∃ \exists∇ \nabla ∂ \partial ∞ \infty

∫\int∮

\oint ∑ \sum ∏ \prod ℵ \aleph< \Re = \Im ` \ell ∠ \angle¬ \neg . . . \ldots . . . \ddots ... \vdots′ \prime % \% - \nmid




Różne znaki(cd)

Przykłady:Pisząc

\forall x\in R \quad x^2\geqslant 0

otrzymujemy∀x ∈ R x2 > 0

Podobnie pisząc

\textJeżeli z=a+bi,\text to \Re (z)=a,\\Im (z)=b

, otrzymujemy

Jeżeli z = a + bi , to <(z) = a, =(z) = b




Granice

Aby uzyskać symbol granicy: limx→∞ f (x) należy wpisać kod:\lim x\to\inftyf(x), np.pisząc

\lim n\to\infty\left(1+\frac1n\right)ˆn=e

otrzymujemy

limn→∞

(1 +

1n

)n= e.




Sumy, iloczyny i inne „duże” operatory

Komendy \sum oraz \prod wstawiają odpowiednio symbolesumy oraz iloczynu z granicami zdefiniowanymi, odpowiednio,przy pomocy symboli ^ oraz , pisząc:

\sum i=1ˆ10 t i

otrzymujemy10∑i=1

ti




Sumy, iloczyny i inne „duże” operatory (cd)

Pisząc

\sum j=1ˆn\frac\partial f\partialx j\frac1\frac\partial x j\partial t i,\quadi=1,2,\dots,k

otrzymujemyn∑j=1

∂f∂xj

1∂xj∂ti

, i = 1, 2, . . . , k

Podobnie pisząc

\prod n=0ˆk n=0

otrzymujemyk∏n=0

n = 0Wiesław Krakowiak V. Matematyka w LATEX-u




Istnieją jeszcze inne ”duże” operatory, których używa się wpodobny sposób:∑ \sum

∏ \prod∐ \coprod⊕ \bigoplus

⊗ \bigotimes⊙ \bigodot⋃ \bigcup

⋂ \bigcap⊎ \biguplus⊔ \bigsqcup

∨ \bigvee∧ \bigwedge





Polecenie \substack pozwala używać \\, aby ustalaćwielolinijkowe granice, np pisząc:

\sum \substack0 < i < m \\0 < j < n\\ P(i,j)

otrzymujemy ∑0<i<m0<j<n

P(i , j)





Suma mnogościowa:⋃ns=1 As = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

otrzymujemy pisząc

\bigcup s=1^n A s =A 1\cup A 2\cup \ldots\cup A n

Iloczyn mnogościowy (przekrój):⋂ns=1 As otrzymujemy pisząc

\bigcap s=1^n A s

Chcąc uzyskać tylko symbole∑,∏,⋂,⋃

wystarczy wpisaćodpowiednio:

\sum, \prod, \bigcap, \bigcup





Operatory \bigvee oraz \bigwedge mogą być używane jakokwantyfikatory

∨oraz

∧, ,np. pisząc:

\bigwedge x\in in R e^x>0

otrzymujemy ∧x∈R

ex > 0

Gdy chcemy umieścić wzór∧x∈R

ex > 0 w linii tekstu należy

napisać kod: $\bigwedge\limits x\in R e^x>0$




Całki

Polecenie \int wstawia symbol całki z granicamizdefiniowanymi, odpowiednio, przy pomocy symboli ^ oraz ,np. pisząc:

\int 0ˆ\infty f(x)\,dx

otrzymujemy ∫ ∞0

f (x) dx

Aby granice całkowania były zapisane pod oraz nad symbolem(tak jak np. w sumie), należy użyć polecenia \limits, pisząc:

\int\limits aˆbf(x)\,dx

otrzymujemyb∫a

f (x) dxWiesław Krakowiak V. Matematyka w LATEX-u



Całki (cd)

Istnieją również inne symbole całki:∫\int

∮\oint

∫∫\iint∫∫∫

\iiint∫∫∫∫

\iiiint∫·· ·∫

\idotsint

Pisząc

\iint Dg(x,y)\, dxdy,\quad\int\limits 0ˆ1\int\limits 24g(x,y)\, dxdy

otrzymujemy

∫∫D

g(x , y) dxdy ,1∫0

4∫2

g(x , y) dxdy




Nawiasy i ograniczniki

We wzorach matematycznych najczęściej używane są nawiasyokrągłe, kwadratowe oraz klamrowe. Np. pisząc

(a+b)ˆ2=aˆ2+2ab+bˆ2,\ x\in [a,b], A=\x\in R:\x>0\

otrzymujemy

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, x ∈ [a, b], A = x ∈ R : x > 0




Nawiasy i ograniczniki (cd)

W składzie komputerowym LATEX można używać równieżinnych nawiasów:

( ( ) ) [ [] ] \ lub \lbrace \ lub \rbraceb \lfloor c \rfloor 〈 \langle〉 \rangle d \lceil e \rceil| | ‖ \|

Zauważmy, że nawiasy | i ‖ mają taką sama wersję prawą ilewą.




Skalowanie nawiasów

Ponieważ wzory matematyczne są często różnych rozmiarów,to nawiasy powinny również przyjmować różne rozmiary. Efektautomatycznego dopasowania rozmiaru nawiasów do wyrażeniamatematycznego które otaczają można osiągnąć używającpoleceń \left i \right w połączeniu z dowolnym nawiasemlub ogranicznikiem przedstawionym powyżej, np. pisząc:

(\fracx^2y^3)\left(\fracx^2y^3\right)

otrzymujemy

(x2

y 3)

(x2

y 3

),




Skalowanie nawiasów (cd)

Podobnie pisząc

\left\lfloor\frac1x\right\rfloor,\ \left\langle-1\frac12;5\right\rangle,\left\1,\frac12,\frac13\right\otrzymujemy ⌊1

x

⌋,⟨−1

12, 5⟩,

1,12,

13

a pisząc

\int cˆd\left[\int u(y)ˆv(y) f(x,y)\,dx\right]dy

otrzymujemy ∫ dc

[∫ v(y)u(y)

f (x , y) dx

]dy





Jeśli ma być widoczny tylko nawias po jednej stronie, wtedyniewidoczny nawias określamy kropką (.). Taka sytuacjawystępuje, gdy wyrażenie jest zbyt duże by zmieścić się wjednej linii, np. pisząc

\left[\int cˆd\int u(y)ˆv(y) f(x,y)dxdy\right.

otrzymujemy [∫ dc

∫ v(y)u(y)

f (x , y)dxdy





Można również ręcznie ustawić odpowiednią wielkość nawiasu.W tym celu używa się, odpowiednio, poleceń \big, \Big,\bigg, \Bigg z odpowiednim nawiasem, tj. pisząc:

( \big( \Big( \bigg( \Bigg( \Bigg) \bigg))

)

otrzymujemy

(((( )))




Funkcje matematyczne

sin \sin cos \cos tg \tgctg \ctg csc \csc arc sin \arcsin

arc cos \arccos arc tg \arctan sinh \sinhcosh \cosh ctgh \coth sup \supinf \inf lim sup \limsup lim inf \liminflog \log lg \lg ln \lnexp \exp det \det deg \degdim \dim hom \hom ker \kermax \max min \min arg \argnwd \nwd




Funkcje matematyczne (cd)

Kod Wynik\sin 2\pi=0 sin 2π = 0\ln (e)=1 ln(e) = 1




Akcenty matematyczne

o \hato o \graveo o \breveoo \acuteo o \doto o \baroo \tildeo o \ddoto abc \widehatabco \checko ~o \veco abc \widetildeabc




Małe litery greckie

α \alpha θ \theta o o υ \upsilonβ \beta ϑ \vartheta π \pi φ \phiγ \gamma ι \iota $ \varpi ϕ \varphiδ \delta κ \kappa ρ \rho χ \chiε \epsilon λ \lambda % \varrho ψ \psiε \varepsilon µ \mu σ \sigma ω \omegaζ \zeta ν \nu ς \varsigmaη \eta ξ \xi τ \tau




Wielkie litery greckie

Γ \Gamma Λ \Lambda Σ \Sigma Ψ \Psi∆ \Delta Ξ \Xi Υ \Upsilon Ω \OmegaΘ \Theta Π \Pi Φ \Phi




Polecenia \newtheorem i \newtheorem*

W tekstach matematycznych występują zwykle twierdzenia,lematy, wnioski, definicje uwagi itp. LATEX nie dysponujeoddzielnymi otoczeniami dla każdego z nich, ale udostępniadeklaracje \newtheorem i \newtheorem* do definiowaniaprzez użytkownika własnych środowisk.Deklaracje te można umieszczać w dowolnym miejscudokumentu, ale najlepiej w preambule.Mają one postać

\newtheoremnaz otocz[wspol num]etykieta[jedn podz]\newtheorem*naz otoczetykieta




Polecenia \newtheorem i \newtheorem* (cd)

Argument naz otocz to nazwa jaką użytkownik nadałotoczeniu, etykieta jest tekstem którym opatruje się tootoczenie. W przypadku polecenia \newtheorem, etykietajest licznikiem, czyli kolejne etykiety zaopatrywane sąnumerem, np. Tw. 1, Tw. 2 itd. Opcjonalny argumentjedn pod sprawia, że otoczenia danego rodzaju sąnumerowane w obrębie określonej jednostki podziału tekstu,np. chapter, section. Brak tego argumentu powoduje, żestosowana jest ciągła numeracja w całej pracy. Opcjonalnyargument wspol num umożliwia wspólną numerację różnychotoczeń, np. typu twierdzeń.Argumenty opcjonalne jedn podz i wspol num nie mogąwystępować jednocześnie.




Polecenia \newtheorem i \newtheorem* (cd)

Np. umieszczenie w preambule

\newtheoremthmTWIERDZENIE[chapter]\newtheoremlem[thm]LEMAT\newtheoremcor[thm]WNIOSEK

określa trzy środowiska: thm, lem i cor, które będą wspólnenumerowanie, oddzielnie w każdym rozdziale. Mają oneetykiety, odpowiednio: TWIERDZENIE, LEMAT i WNIOSEK.




Style otoczeń tworzonych przy pomocy poleceń\newtheorem i \newtheorem*

Wszystkie otoczenia zdefiniowane przez polecenia\newtheorem i \newtheorem* mają podobny wygląd. Pakietamsthm umożliwia za pomocą polecenia

\theoremstylenaz stylu

określenie stylu dalej określonych otoczeń.




Style otoczeń tworzonych przy pomocy poleceń\newtheorem i \newtheorem* (cd)

Pre-definiowane są 3 style

plain zalecany do twierdzeń, lematów, wniosków itp.(domyślny);

definition zalecany do definicji i przykładów;

remark zalecany do uwag i notatek (notes).




Style otoczeń tworzonych przy pomocy poleceń\newtheorem i \newtheorem*

Np. umieszczenie w preambule

\theoremstyledefinition\newtheoremdefnDEFINICJA[chapter]\newtheoremexmpPrzykład[chapter]

określa dwa środowiska defn i exmp, które będą składane wstylu definition. Mają one etykiety: DEFINICJA i Przykładi są numerowane oddzielnie w obrębie każdego rozdziału.




Środowisko proof

Pakiet amsthm udostępnia specjalne środowisko doumieszczania dowodów. Ma ono postać:

\beginproofTutaj zamieszczamy dowód.\endproof

Środowisko to rozpoczyna się złożonym italikiem słowemProof, a kończy białym kwadratem (Q.E.D Symbol). Jeżeliużywany jest pakiet babel, to słowo Proof, zostaniezastąpione odpowiednikiem we właściwym języku, np. słowemDowód.




Środowisko proof (cd)

Możemy również sami nazwać dowód. Np. pisząc

\beginproof[Dowodzik]Tutaj zamieszczamy dowód.\endproof

zastąpimy słowo Proof lub Dowód (gdy używamy pakietubabel) słowem Dowodzik.




Środowisko proof (cd)

Gdy używamy pakietu polski, to aby otrzymać na początkusłowo Dowód piszemy

\beginproof[Dowód]Tutaj zamieszczamy dowód.\endproof


V. Matematyka w LATEX-u Wiesław Krakowiak 16 grudnia 2012admor/LaTeX/latex_5.pdf · 2018. 12....

Documents

Transcript of V. Matematyka w LATEX-u Wiesław Krakowiak 16 grudnia 2012admor/LaTeX/latex_5.pdf · 2018. 12....