Uogolnione modele uk ladow sterowania

Rozniczkowo-algebraiczne modele

uk ladow sterowania

Analiza w lasnosci wielu uk ladow sterowania wymaga uogolnie-

nia modeli procesow zachodzacych w tych uk ladach. Wprowa-

dzane jest pojecie uogolnionego stanu obiektu sterowania

x(t) =

(xr(t)

xa(t)

),

ktory posiada sk ladowa w postaci stanu rozniczkowego xr(t)

oraz sk ladowa w postaci stanu algebraicznego xa(t). Stan

rozniczkowy moze byc zwiazany z wolnozmiennymi sk ladowymi

procesu, zas stan algebraiczny moze byc zwiazany z szybkozmienne

sk ladowymi procesu. Uogolniony model obiektu sterowania obej-

muje rownanie rozniczkowo-algebraiczne (RA) stanu uogol-

nionego

xr(t) = f r(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ], xr(t0) = xr0,

fa(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t) = 0, t ∈ [t0, tf ]

oraz rownanie wyjscia

y(t) = g(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ].

gdzie stan rozniczkowy xr(t) ∈ Rnxr spe lnia rownanie rozniczkowe

jego dynamiki, stan algebraiczny xa(t) ∈ Rnxaspe lnia rownanie

algebraiczne jego dynamiki, u(t) ∈ Rnu jest sterowaniem obiektu,

ξ(t) jest zak loceniem obiektu, a y(t) jest wyjsciem obiektu.

1

Proces sterowania

sterowanie u(t)-

zak locenie ξ(t)-

stan rozniczkowy xr(t)

stan algebraiczny xa(t)

wyjscie y(t)-

Stan rozniczkowy zwany stanem wolnozmiennym opisuje np.

ewolucje inercyjnej ciek lej fazy chemicznego procesu produkcyj-

nego, a stan algebraiczny zwany stanem szybkozmiennym opi-

suje ewolucje jego bezinercyjnej fazy gazowej. Rownanie algebra-

iczne moze okreslac charakterystyczne warunki prowadzenia pro-

cesu np. postulat rownowagi termodynamicznej procesu lub jego

elektroneutralnosci. W innych przypadkach odzwierciedla ono al-

gebraiczne zaleznosci matematyczne miedzy zmiennymi proceso-

wymi. Model rozniczkowo-algebraiczny moze byc reinterpretacja

modelu rozniczkowego. W niektorych przypadkach rownanie RA

odnosi sie tylko do stanu rozniczkowego, a stan algebraiczny nie

jest okreslony lub jest wyeliminowany. Rownanie algebraiczne

jest w tym przypadku narzucone na zmienne rozniczkowe i deter-

minuje charakterystyczny sposob funkcjonowania procesu.

W literaturze anglojezycznej modele procesow sterowania w

postaci rownan rozniczkowych zwyczajnych nazywane sa mode-

lami typu ODE (Ordinary Differential Equation), zas modele pro-

cesow sterowania w postaci rownan rozniczkowo-algebraicznych

nazywane sa modelami typu DAE (Differential Algebraic Equ-

ation).

Z przyk ladami uogolnionych modeli procesow sterowania i pro-

blemow sterowania nimi mamy do czynienia w wielu dziedzinach

techniki i technologii takich jak np. uk lady elektryczne i elek-

2

troniczne, uk lady mechaniczne, chemiczne procesy produkcyjne,

procesy biotechnologiczne, a takze systemy z lozone. W kazdej z

tych dziedzin stosowane sa rozne zwyczajowe oznaczenia wielkosci

fizyko-chemicznych charakteryzujacych proces. Przeprowadzimy

stadaryzacje opisu roznych problemow sterowania z wielu dzie-

dzin pokazujac, ze z punktu widzenia teorii sterowania sa one

szczegolnymi przypadkami ogolnego problemu optymalizacji pro-

cesow rozniczkowo-algebraicznych.

Modele obwodow elektrycznych i elektronicznych przy-

bieraja w wielu przypadkach postac rownan rozniczkowo-algebra-

icznych. Niech bedzie dany obwod elektryczny ze zrod lem napiecia

e(t), rezystancja R, kondensatorami C1 i C2 oraz z indukcyjnoscia

L. Sk lada sie on z dwoch szeregowo po laczonych podobwodow

eRC1 oraz C1LC2. Zmiennymi stanu sa napiecia U1(t) i U2(t)

na kondensatorach oraz natezenia pradu I1 i I2 w rezystancji i

w indukcyjnosci. Wyjsciem jest napiecie U2(t) na kondensatorze

C2.

obwod elektryczny eRC1LC2

©e(t) I1(t) I2(t)

�R L

C1 C2

aaa=6 6U1(t) = U2(t)

Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy rownania dla napiec

Ui i pradow Ii (i = 1, 2) dla t ≥ t0:

U1(t) =1

C1I1(t),

3

U2(t) =1

C2I2(t),

I2(t) =1

L(U1(t)− U2(t)),

U1(t) +RI1(t) = e(t).

Uzyskujemy trzy rownania rozniczkowe i jedno rownanie algebra-

iczne.

Celem sterowania moze byc zapewnienie przebiegu napiecia

U2(t) zgodnego z programem jego zmiennosci U20(t) przy mini-

malnych stratach energetycznych zrod la napieciowego (zak ladany

jest d lugi horyzont czasowy sterowania [t0, tf ] ≈ [0,∞])∫ ∞0

((U2(t)− U20(t))2 + E2(t))dt

Zmiennymi rozniczkowymi stanu sa napiecia xr1(t).= U1(t) i

xr2(t).= U2(t) oraz prad xr3(t)

.= I2(t). Zmienna algebraiczna stanu

jest prad xa(t).= I1(t), sterowaniem jest napiecie zrod la u(t)

.=

e(t), a wyjsciem jest napiecie y(t).= U2(t) na kondensatorze C2.

Zapisujemy model uk ladu w postaci standardowej

xr1(t) =1

C1xa(t),

xr2(t) =1

C2xr3(t),

xr3(t) =1

L(xr1(t)− xr2(t)),

xr1(t) +Rxa(t)− u(t) = 0.

Rownanie algebraiczne jest bilansem napiec w podobwodzie ze

zrod lem napieciowym. Cel sterowania oznacza minimalizacje funk-

cjona lu kwadratowego

Q(xr, xa, u).=

∫ ∞0

((xr2(t)− xr20(t))2 + u2(t))dt,

4

a problem minimalizacji tego funkcjona lu z uwzglednieniem rownan

stanu mozna okreslic mianem liniowo-kwadratowej optymalizacji

rozniczkowo-algebraicznej (linear-quadratic DAE optimization).

W uk ladach mechanicznych analizowany jest ruch wahad lowy

cia la o masie m podwieszonego za pomoca preta (linki, sprezyny)

o d lugosci l. Niech (p1, p2) beda wspo lrzednymi pozycyjnymi cia la

m (pozioma i pionowa), zas (v1, v2) niech beda jego predkosciami

w kartezjanskim uk ladzie wyroznionej p laszczyzny jego ruchu.

Rownania wahad lowego ruchu cia la m pod wp lywem si ly F (t)

(oddzia lywanie elektromagnetyczne, naprezenie sprezyny) maja

postac dla t ≥ t0

p1(t) = v1(t),

p2(t) = v2(t),

v1(t) = −p1(t)m

F (t),

v2(t) = −p2(t)m

F (t)− g,

gdzie g jest sta la grawitacyjna. Rownania te uzupe lniamy warun-

kiem poruszania sie cia la m po trajektorii ko lowej

p21(t) + p22(t) = l2.

Celem sterowania dla rozwazanego uk ladu mechanicznego moze

byc spe lnienie zadanego programu zmian predkosci ruchu wa-

had lowego przy minimalnych stratach na sterowanie∫ tf

t0

((v1(t)− v10(t))2 + (v2(t)− v20(t))2 + F 2(t))dt.

Oznaczajac rozniczkowe zmienne stanu przez

xr1(t).= p1(t), x

r2(t)

.= p2(t), x

r3(t)

.= v1(t), x

r4(t)

.= v2(t),

5

a przez u(t).= F (t) sterowanie, przekszta lcamy model uk ladu do

postaci standardowej

xr1(t) = xr3(t),

xr2(t) = xr4(t),

xr3(t) = −xr1(t)

mu(t),

xr4(t) = −xr2(t)

mu(t)− g,

xr1(t)2 + xr2(t)

2 = l2.

Uzyskujemy wiec dla opisu ko lowego ruchu wahad la m uk lad

rownan rozniczkowo-algebraicznych okreslony wy lacznie przez roz-

niczkowe zmienne stanu, na ktore jest jednak na lozony warunek

algebraiczny. Cel sterowania oznacza minimalizacje funkcjona lu

kwadratowego

Q(xr, u).=

∫ ∞0

((xr3(t)− xr30(t))2 + (xr4(t)− xr40(t))2 + u2(t))dt

z uwzglednieniem liniowo-kwadratowych ograniczen (generalized

linear-quadratic DAE optimization).

W dziedzinie chemicznych procesow produkcyjnych ana-

lizowane sa procesy realizowane w reaktorach przep lywowych i

wsadowych.

Niech w przep lywowym reaktorze chemicznym bedzie prowa-

dzony proces produkcyjny przemiany substratu A → B → C w

6

produkt uzyteczny C z produktem posrednim B.

izotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny

proces przemianyA → B→ C

A-

A,B,C-

Okreslone jest zmienne w czasie zapotrzebowanie na produkt

uzyteczny s(t), t ∈ [t0, tf ], przy czym s(t0) = 0. Model procesu

przybiera postac

cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− k1c2A(t), t ∈ [t0, tf ], cA(t0) = 1,

cB(t) = −qcB(t) + k1c2A(t)− k2cB(t), t ∈ [t0, tf ], cB(t0) = 0,

cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1, t ∈ [t0, tf ],

cC(t) = s(t), t ∈ [t0, tf ],

gdzie cA(t), cB(t), cC(t) oznaczaja stezenia substacji A,B,C w re-

aktorze w chwili t, cA0oznacza stezenie wejsciowe substratu, q

jest natezeniem przep lywu mieszaniny reagujacej przez reaktor,

zas k1 i k2 sa wspo lczynnikami szybkosci reakcji. Proces ma cha-

rakter izotermiczny. W modelu tym zmiennymi rozniczkowymi

stanu sa cA(t) i cB(t). Spe lniaja one dwa rownania rozniczkowe

dynamiki procesu. Role algebraicznej zmiennej stanu odgrywa

w rozwazanym modelu zmienna cC(t) pojawiajaca sie w dwoch

rownaniach algebraicznych. Rownanie trzecie jest tzw. rownaniem

zamykajacym procesu, ktore wprowadza normalizacje zmiennych

procesowych -suma stezen sk ladnikow jest sta la i znormalizowana

na poziomie jednostkowym.

7

Warunek poczatkowy dla algebraicznej zmiennej stanu powi-

nien byc zgodny z warunkami poczatkowymi dla rozniczkowych

zmiennych stanu. W rozwazanym przyk ladzie okreslenie tego wa-

runku jest oczywiste cC(t0) = 0, co oznacza, ze w momencie

poczatkowym nie dysponujemy produktem uzytecznym - bedzie

on wytwarzany w trakcie prowadzenia procesu. W innych przyk la-

dach okreslenie warunku zgodnosci rownania algebraicznego moze

byc trudnym zadaniem wymagajacym zastosowania metody New-

tona do rozwiazywania nieliniowych rownan algebraicznych.

Cel sterowania dla rozpatrywanego procesu moze byc okreslony

jako zapewnienie zadanego programu produkcji sk ladnika uzytecznego

z rownoczesna minimalizacja sumarycznego zuzycia surowca∫ tf

t0

qcA0(t)dt.

Wprowadzajac oznaczenia xr1(t).= cA(t), xr2(t)

.= cB(t) dla

rozniczkowych zmiennych stanu i xa(t).= cC(t) dla algebraicznej

zmiennej stanu, zas u(t).= cA0

(t) dla sterowania, przedstawimy

rozpatrywany model w standardowej postaci

xr1(t) = q(u(t)− xr1(t))− k1xr1(t)2, t ∈ [t0, tf ],

xr2(t) = −qxr2(t) + k1xr1(t)

2 − k2xr2(t), t ∈ [t0, tf ],

xr1(t) + xr2(t) + xa(t) = 1, t ∈ [t0, tf ],

xa(t) = s(t), t ∈ [t0, tf ].

Podstawiajac zmienna algebraiczna stanu z czwartego rownania

do trzeciego rownania uzyskujemy model zredukowany

xr1(t) = q(u(t)− xr1(t))− k1xr1(t)2, t ∈ [t0, tf ],

xr2(t) = −qxr2(t) + k1xr1(t)

2 − k2xr2(t), t ∈ [t0, tf ],

xr1(t) + xr2(t) = 1− s(t), t ∈ [t0, tf ].

8

W ostatnim modelu mamy do czynienia tylko z rozniczkowymi

zmiennymi stanu. Oprocz rownan rozniczkowych spe lniaja one

dynamiczne rownanie algebraiczne okreslajace dodatkowy waru-

nek prowadzenia procesu gwarantujacy uzyskiwanie produktu

uzytecznego zgodnie z okreslonym programem. Cel optymalizacji

procesu przybiera postac

Q(xr, xa, u).=

∫ tf

t0

qu(t)dt.

Za lozmy, ze w rozpatrywanym przyk ladzie reakcje A → B i

B → C sa egzotermiczne z ciep lami reakcji h1 i h2, a temperatura

procesu T (t) jest kontrolowana za pomoca czynnika ch lodzacego

przep lywajacego przez p laszcz ch lodzacy reaktora z natezeniem

qc(t) i temperatura Tc(t). Chwilowe zapotrzebowanie na produkt

uzyteczny nie jest zadane.

nieizotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny

proces przemianyA → B→ C

A-

obwod grzejny T-

A,B,C-

Model procesu zapisujemy jako uk lad rownan rozniczkowo-

algebraicznych rozpatrywany w przedziale [t0, tf ]

cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− k1e−

β1T (t)c2A(t),

cB(t) = −qcB(t) + k1e− β1T (t)c2A(t)− k2e−

β2T (t)cB(t),

T (t) = q(T0−T (t))+h1e− β1T (t)c2A(t)+h2e

− β2T (t)cB(t)−qc(t)(T (t)−Tc),

cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1,

9

gdzie trzecie rownanie opisuje bilans cieplny reactora. W tym

przypadku rownania rozniczkowe procesu okreslone sa za pomoca

skomplikowanych nieliniowych eksponencjalno-potegowych wyrazen

znacznie komplikujacych ich rozwiazywanie. Nasila sie zjawisko

propagacji b ledu i pojawiaja sie niestabilne przebiegi zmiennych

stanu. Dlatego celowe moze byc wprowadzenie algebraicznych

zmiennych stanu oznaczajacych szybkosci reakcji κ1(t) i κ2(t).

Model procesu przepisujemy w postaci rownowaznej

cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− κ1(t),

cB(t) = −qcB(t) + κ1(t)− κ2(t),

T (t) = q(T0 − T (t)) +h1k1

κ1(t) +h2k2

κ2(t)− qc(t)(T (t)− Tc),

cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1,

κ1(t) = k1e− β1T (t)c2A(t),

κ2(t) = k2e− β2T (t)cB(t).

Rownania rozniczkowe w przekszta lconym modelu sa liniowe wzgledem

zmiennych stanu, co istotnie u latwia ich rozwiazywanie. Nie-

liniowosci przerzucone sa do rownan algebraicznych. Wskaznik

jakosci procesu obejmuje sumaryczne koszty surowca i ch lodzenia

oraz sumaryczna wartosc produktu uzytecznego∫ tf

t0

(α1qcA0(t) + α2qc(t)− βcC(t))dt,

gdzie α1 i α2 sa wspo lczynnikami kosztow surowca i czynnika

ch lodzacego, a β jest wspo lczynnikiem wartosci produktu.

Wprowadzajac oznaczenia xr1(t).= cA(t), xr2(t)

.= cB(t), xr3(t)

.=

T (t) dla rozniczkowych zmiennych stanu oraz xa1(t).= cC(t), xa2(t)

.=

κ1(t), xa3(t)

.= κ2(t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zas u1(t)

.=

10

cA0(t), u2(t)

.= qc(t) dla zmiennych sterujacych, przedstawimy roz-

patrywany model w standardowej postaci

xr1(t) = q(u1(t)− xr1(t))− xa1(t), t ∈ [t0, tf ],

xr2(t) = −qxr2(t) + xa1(t)− xa2(t), t ∈ [t0, tf ],

xr3(t) = q(T0 − xr3(t)) +h1k1xa2(t) +

h2k2xr3(t)− u2(t)(xr3(t)− Tc),

xr1(t) + xr2(t) + xa1(t) = 1,

xa1(t) = k1e− β1xr3(t)xr1(t)

2,

xa2(t) = k2e− β2xa3(t)xr2(t).

Tak wiec czesc rozniczkowa rownan stanu zosta la zasadniczo uprosz-

czona, a czesc algebraiczna uleg la komplikacji. Liczba algebraicz-

nych zmiennych stanu zosta la zwiekszona do trzech zmiennych, a

rownania algebraiczne przybra ly postac nieliniowa. Mozliwe jest

tez podejscie posrednie upraszczajace niektore nieliniowosci czesci

rozniczkowej modelu. Wyroznimy funkcje wp lywu temperatury

na szybkosc reakcji θ1(t).= k1e

− β1T (t) , θ2(t)

.= k2e

− β2T (t) jako alge-

braiczne zmienne stanu. Prowadzi to do rownan rozniczkowych

stanu z nieliniowosciami multiplikatywnymi

cA(t) = q(cA0(t)− cA(t))− θ1(t)c2A(t),

cB(t) = −qcB(t) + θ1(t)c2A(t)− θ2(t)cB(t),

T (t) = q(T0−T (t))+h1k1θ1(t)c

2A(t)+

h2k2θ2(t)cB(t)−qc(t)(T (t)−Tc),

cA(t) + cB(t) + cC(t) = 1,

θ1(t) = k1e− β1T (t) ,

θ2(t) = k2e− β2T (t) .

Wprowadzajac oznaczenia xr1(t).= cA(t), xr2(t)

.= cB(t), xr3(t)

.=

T (t) dla rozniczkowych zmiennych stanu oraz xa1(t).= cC(t), xa2(t)

.=

11

θ1(t), xa3(t)

.= θ2(t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zas u1(t)

.=

cA0(t), u2(t)

.= qc(t) dla zmiennych sterujacych, przedstawimy roz-

patrywany model w standardowej postaci

xr1(t) = q(u1(t)− xr1(t))− xa1(t)xa1(t)2, t ∈ [t0, tf ],

xr2(t) = −qxr2(t) + xa1(t)xr1(t)

2 − xa2(t)xr2(t), t ∈ [t0, tf ],

xr3(t) = q(T0−xr3(t))+h1k1xa2(t)x

r2(t)

2+h2k2xa3(t)x

r2(t)−u2(t)(xr3(t)−Tc),

xr1(t) + xr2(t) + xa1(t) = 1,

xa1(t) = k1e− β1xr3(t) ,

xa2(t) = k2e− β2xr3(t) .

Od sposobu wyroznienia czesci rozniczkowej i algebraicznej

modelu procesu moze istotnie zalezec efektywnosc procedur nu-

merycznych dla lacznego rozwiazywania rownan rozniczkowo-al-

gebraicznych. Podkreslimy to jeszcze na przyk ladzie procesow

biotechnologicznych, ktore w wielu przypadkach modelowane sa

z wykorzystaniem skomplikowanych funkcji wymiernych.

Do przep lywowego bioreaktora doprowadzany jest substrat S(t)

(pozywka, odpady, scieki), a w bioreaktorze zainstalowane sa dwie

konkurujace populacje mikrobiologiczne P1(t) i P2(t) przetwa-

rzajce substrat na biomase B(t). Chociaz wymienione wielkosci

traktowane sa jako stezenia, to oznaczaja one odmienne wielkosci

biofizyczne i nie sa normalizowane na poziomie jednostkowym. Sa

one natomiast skalowane za pomoca odpowiednich wspo lczynnikow.

Zaleznosci miedzy wielkosciami biofizycznymi procesu: szybkosci

zmiany stezenia substratu i populacji sa okreslone przez wielkosci

dop lywu i odp lywu biosk ladnikow procesu oraz przez szybkosc

przetwarzania substratu przez populacje

S(t) = q(S0(t)− S(t))− a1S(t)

b10 + b11S(t)P1(t)

12

−a2S(t)

b20 + b21S(t) + b22S2(t)P2(t),

P1(t) = −qP1(t) + a1S(t)

b10 + b11S(t)P1(t),

P2(t) = −qP2(t) + a2S(t)

b20 + b21S(t) + b22S2(t)P2(t),

B(t) = −qB(t) + a1S(t)

b10 + b11S(t)P1(t)

+a2S(t)

b20 + b21S(t) + b22S2(t)P2(t),

gdzie ai, ai, ai i bij sa parametrami funkcji przyrostu populacji,

zas q jest natezeniem przep lywu biomieszaniny przez bioreak-

tor. Model powyzszy jest modelem rozniczkowym z czterema

rozniczkowymi zmiennymi stanu. Prawe strony rownan stanu

maja charakterystyczna dla procesow biotechnologicznych skom-

plikowana postac funkcji wymiernych. Model ten mozna prze-

kszta lcic do nastepujacej postaci rozniczkowo-algebraicznej:

S(t) = q(S0(t)− S(t))− a1 h1(t)P1(t)− a2 h2(t)P2(t),

P1(t) = −qP1(t) + a1 h1P1(t),

P2(t) = −qP2(t) + a2 h2P2(t),

B(t) = −qB(t) + a1 h1(t)P1(t) + a2 h2(t)P2(t),

h1(t).=

S(t)

b10 + b11S(t),

h2(t).=

S(t)

b20 + b21S(t) + b22S2(t),

gdzie h1(t) i h2(t) sa funkcjami przyrostu populacji. Optymaliza-

cji podlega wartosc srednia uzysku biomasy

1

τ

∫ t0+τ

t0

qB(t)dt,

gdzie τ jest d lugoscia cyklu sterowania procesem.

13

Definiujemy rozniczkowe zmienne stanu xr1(t).= S(t), xr2(t)

.=

P1(t), xr3(t)

.= P2(t), x

r4(t)

.= B(t), algebraiczne zmienne stanu

xa1(t).= h1(t), x

a2.= h2(t) i sterowanie u(t)

.= S0(t). Wprowa-

dzamy rozniczkowo-algebraiczna standaryzacje opisu

xr1(t) = q(u(t)− xa1(t))− a1 xa1(t)xr2(t)− a2 xa2(t)xr3(t),

xr2(t) = −qxr2(t) + a1 xa1(t)x

r2(t),

xr3(t) = −qxr3(t) + a2 xa2(t)x

r3(t),

xr4(t) = −qxr4(t) + a1 xa1(t)x

r2(t) + a2 x

a2(t)x

r3(t),

xa1(t) =xr1(t)

b10 + b11xr1(t),

xa2(t) =xr1(t)

b20 + b21xr1(t) + b22xr1(t)2.

Usredniony cel sterowania przybiera postac

1

τ

∫ τ

0

qxr4(t)dt.

Dalszym waznym przyk ladem rownan rozniczkowo-algebraicz-

nych sa rownania dynamiki systemow z lozonych z interak-

cjami. Niech xi(t) oznacza zmienna stanu i-tego podsystemu,

vi(t) - jego zmienna interakcyjna, zas ui(t) - jego zmienna ste-

rujaca. Dla uk ladu N powiazanych podsystemow zapisujemy ich

rownania stanu

xi(t) = fi(xi(t), vi(t), ui(t), t), t ∈ [t0, tf ] (i = 1, ..., N)

oraz ich rownania interakcji

vi(t) =N∑j=1

hij(xj(t), vj(t), uj(t), t), t ∈ [t0, tf ], (i = 1, ..., N).

14

Celem sterowania jest globalny zysk z prowadzenia procesu w

systemie z lozonym

N∑i=1

Qi(xi(t), vi(t), ui(t))dt,

gdzie Qi sa funkcjami zysku dla poszczegolnych podsystemow.

Definiujemy zmienne rozniczkowe stanu jako zmienne stanu

podsystemow xri (t).= xi(t) oraz zmienne algebraiczne jako zmienne

interakcyjne podsystemow xai (t).= vi(t). Model systemu z lozonego

zapisujemy jako uk lad rownan rozniczkowo-algebraicznych

xri (t) = fi(xri (t), x

ai (t), ui(t), t), t ∈ [t0, tf ] (i = 1, ..., N)

xai (t) =N∑j=1

hij(xrj(t), x

aj (t), uj(t), t), t ∈ [t0, tf ], (i = 1, ..., N).

Funkcja celu przybiera postac

N∑i=1

Qi(xri (t), x

ai (t), ui(t))dt.

Problem nie zawiera juz zmiennych interakcyjnych. Zosta ly one

zastapione algebraicznymi zmiennymi stanu. Problem przybra l

postac z lozonej optymalizacji rozniczkowo-algebraicznej (large scale

DAE optimization).

15

Przekszta lcanie i rozwiazywanie

rownan rozniczkowo-algebraicznych

Rownania rozniczkowo-algebraiczne mozna przekszta lcic do po-

staci rozniczkowej rozniczkujac rownanie algebraiczne i wyzna-

czajac pochodna zmiennej algebraicznej w funkcji pozosta lych

zmiennych:d

dtfa(xr(t), xa(t), u(t)) = 0⇒

∂fa

∂xr(t)xr(t) +

∂fa

∂xa(t)xa(t) +

∂fa

∂u(t)u(t) = 0⇒

xa(t) = −[∂fa∂xa

(t)]−1

(∂fa

∂xr(t)xr(t) +

∂fa

∂u(t)u(t)).

Takie przekszta lcenie jest zawsze mozliwe jesli macierz ∂fa

∂xa (t) jest

kwadratowa i nieosobliwa dla kazdego t ∈ [t0, tf ]. W tym przy-

padku jednokrotne rozniczkowanie rownania algebraicznego wy-

starcza do sprowadzenia modelu do postaci rozniczkowej. W

ogolnym przypadku trzeba wykonac wiele takich rozniczkowan,

gdyz macierz ∂fa

∂xa (t) moze byc osobliwa lub osobliwa dla niektorych

t ∈ [t0, tf ], lub tez moze ona byc macierza prostokatna.

Definicja: Najmniejsza liczba rozniczkowan rownania alge-

braicznego procesu pozwalajaca sprowadzic rownanie RA do po-

staci rozniczkowej nazywa sie indeksem rownania RA.

Rozwazany przypadek z nieosobliwa macierza ∂fa

∂xa (t) oznacza,

ze rownanie RA jest indeksu pierwszego. Okreslenie indeksu jest

stosowane do okreslania stopnia trudnosci rozwiazywania rownania

RA. Rownanie takie jest uwazane za tym trudniejsze, im wyzszy

jest jego indeks.

Do wyznaczania rozwiazan rownan rozniczkowo-algebraicznych

stosowana jest metoda Newtona w roznych wersjach. Wersje te

uogolniaja podstawowy wariant metody Newtona dla rozwiazywa-

16

nia nieliniowych rownan skalarnych f(x) = 0. Rownanie to line-

aryzujemy w punkcie poczatkowym x0

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)⇒ x− x0 = −(f ′(x0))−1f(x0).

Obliczamy nowe przyblizenie rozwiazania na podstawie jego line-

aryzacji w punkcie poczatkowym

x1 = x0 − (f ′(x0))−1f(x0).

Dokonujemy linearyzacji rownania w punkcie kolejnym x1

f(x1) + f ′(x1)(x− x1)⇒ x− x1 = −(f ′(x1))−1f(x1).

Obliczamy nowe przyblizenie rozwiazania

x2 = x1 − (f ′(x1))−1f(x1)...

Wynika stad iteracyjna metoda Newtona

xκ+1 = xκ − (f ′(xκ))−1f(xκ), κ = 0, 1, 2, ... .

Dla rownan z argumentem wektorowym x ∈ Rn pochodna

f ′(xκ) oznacza macierz Jacobiego, tj.

f ′(xκ) = (∂f(i)∂x(j)

(xκ))i,j=1,...,n,

gdzie obliczane sa pochodne czastkowe kolejnych sk ladowych rownania

f(i) wzgledem kolejnych sk ladowych argumentu x(i).

Metoda Newtona jest zbiezna jesli znane jest dobre przyblizenie

poczatkowe. Takie przyblizenie wyznaczane jest na podstawie mi-

nimalizacji kwadratowej

minx∈Rn

f 2(x).

17

Dla rownania posiadajacego rozwiazanie minimalna wartosc funk-

cji celu ostatniego problemu jest zerowa. Zastosowanie do tego

problemu np. gradientowego algorytmu optymalizacji pozwala

oszacowac jakosc osiagnietego przyblizenia.

W literaturze anglojezycznej numeryczne procedury rozwiazy-

wania rownan rozniczkowych okreslane sa mianem ODE Solvers,

a rownan rozniczkowo-algebraicznych mianem DAE Solvers. Sto-

suja one dyskretyzacje czasu

t0 < t1 < ... < tk−1 < tk < ... < tf

z d lugoscia kroku hk = tk − tk−1. Proste jednokrokowe proce-

dury tego rodzaju stosuja jawna aproksymacje Eulera dla rownan

rozniczkowych

x(tk)− x(tk−1)

hk− f(x(tk−1), u(tk−1), tk−1) = 0, k = 1, 2, ...,

gdzie k jest numerem iteracji. Tak wiec pochodna aproksymu-

jemy lewostronnym ilorazem roznicowym. Przy zadanym stanie

poczatkowym x(t0) wyznaczamy stan x(t1) z jawnej aproksyma-

cji. Znajac x(t1) w podobny sposob wyznaczamy x(t2) itd. Taka

procedura jest ma lo dok ladna i moze byc praktyczna dla bar-

dzo prostych rownan. Celem uzyskania dok ladniejszych wynikow

stosujemy niejawna (wsteczna) aproksymacje Eulera dla rownan

rozniczkowych

x(tk)− x(tk−1)

hκ− f(x(tk), u(tk), tk) = 0, k = 1, 2, ...,

Przy zadanym stanie poczatkowym x(t0) wyznaczamy stan x(t1)

rozwiazujac rownanie aproksymujace tego stanu metoda New-

tona. Znajac x(t1) w podobny sposob wyznaczamy x(t2) itd.

Dla rownan rozniczkowo-algebraicznych jawna aproksymacja

18

Eulera przybiera postac

xr(tk)− xr(tk−1)hk

−f r(xr(tk−1), xa(tk−1), u(tk−1), tk−1) = 0, k = 1, 2, ...

fa(xr(tk−1), xa(tk−1), u(tk−1), tk−1) = 0, k = 1, 2, ....

W momencie poczatkowym wyznaczamy stan algebraiczny xa(t0)

zgodny z zadanym poczatkowym stanem rozniczkowym xr(t0).

Ogolnie biorac wykorzystujemy w tym celu metode Newtona.

Nastepnie okreslamy x(t1) z jawnej aproksymacji rownania roznicz-

kowego. Postepowanie to powtarzamy dla k = 2, 3....

Celem uzyskania dok ladniejszych wynikow stosujemy niejawna

(wsteczna) aproksymacje Eulera dla rownan rozniczkowo-algebra-

icznych

xr(tk)− xr(tk−1)hk

= f r(xr(tk), xa(tk), u(tk), tk), k = 1, 2, ...

fa(xr(tk), xa(tk), u(tk), tk), k = 1, 2, ....

Rownania RA rozwiazujemy lacznie metoda Newtona wzgledem

lacznego stanu (xr(tk), xa(tk)). Oczywiscie takie postepowanie

daje sie zrealizowac przy spe lnieniu odpowiednich warunkow dla

realizowalnosci metody Newtona (dostatecznie dobre przyblizenia

poczatkowe, odwracalnosc macierzy Jacobiego).

Metody wielokrokowe stosuja dodatkowa dyskretyzacje czasu

pomiedzy punktami tk−1 i tk z drobnym krokiem hkl.= tkl− tk−1,l

tk−1 = tk−1,0 < tk−1,1 < tk−1,2 < ... < tk−1,l < ... < tk−1,m < tk.

Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji rownania rozniczkowego

wyznacza wartosc xr(tk) na podstawie znajomosci

xr(tk−1) oraz wielu wartosci posrednich xr(tk−1,l)

xr(tk) = xr(tk−1) +m∑l=1

hklφkl, n = 1, 2, ...,

19

φkl.= f r(xr(tk−1,l), u

r(tk−1,l), tk−1,l), l = 1, 2, ...,m,

gdzie posrednie wartosci stanu rozniczkowego obliczane sa w punk-

tach tk−1,l

xr(tk−1,l) = xr(tk−1) + hklφk,l−1, l = 1, 2, ...,m.

W szczegolnosci zak ladajac m = 4 uzyskujemy przy pew-

nym wyborze drobnych krokow hkl szeroko stosowana metode

Rungego-Kutty czwartego rzedu dla numerycznego rozwiazywania

nieliniowych rownan rozniczkowych.

Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji rownania rozniczkowo-

algebraicznego wyznacza wartosc xr(tk) na podstawie znajomosci

xr(tk−1) oraz wielu wartosci posrednich stanu rozniczkowego

xr(tk−1,l) i algebraicznego xa(tk−1,l)

xr(tk) = xr(tk−1) +m∑l=1

hklφkl, k = 1, 2, ...,

φkl.= f r(xr(tk−1,l), x

a(tk−1,l), ur(tk−1,l), tk−1,l), l = 1, 2, ...,m,

gdzie porednie wartosci stanu rozniczkowego i stanu algebraicz-

nego obliczane sa w punktach tk−1,l

xr(tk−1,l) = xr(tk−1) + hklφk,l−1,

φk,l−1.= f r(xr(tk−1,l−1), x

a(tk−1,l−1, ur(tk−1,l−1), tk−1,l−1),

fa(xr(tk−1,l−1), xa(tk−1,l−1, u

r(tk−1,l−1), tk−1,l−1) = 0,

l = 1, 2, ...,m.

Rownanie algebraiczne rozwiazywane jest wzgledem xa(tk−1,l−1)

przy zadanym xr(tk−1,l−1). Mozna wiec powiedziec, ze ostatnia

metoda jest po ljawna. Jawne i po ljawne metody wielokrokowe

daja dobre wyniki dla szerokiej klasy rownan rozniczkowych stanu

i rownan rozniczkowo-algebraicznych stanu.

20

W niejawnych metodach wartosci posrednie zmiennych stanu

wyznaczane sa w rezultacie lacznego rozwiazywania niejawnych

rownan rozniczkowych i algebraicznych wzgledem lacznego ar-

gumentu (xr(tk−1,l), xa(tk−1,l)) obejmujacego stan rozniczkowy i

algebraiczny

xr(tk−1,l) = xr(tk−1) + hklφk,l,

φk,l.= f r(xr(tk−1,l), x

a(tk−1,l, ur(tk−1,l), tk−1,l),

fa(xr(tk−1,l), xa(tk−1,l, u

r(tk−1,l), tk−1,l) = 0, l = 1, 2, ...,m.

Metody takie moga dawac bardzo dok ladne wyniki. Wyma-

gaja jednak duzego nak ladu obliczen. Stosowane sa m.in. do

rozwiazywania tzw. sztywnych uk ladow rozniczkowo-algebraicznych

o ma lo stabilnych przebiegach.

Numeryczne procedury typu ODE Solver i DAE Solver sa

zawarte w uniwersalnych programach obliczeniowych takich jak

MATLAB i MATHEMATICA. Istnieje takze wiele zaawansowa-

nych wersji tych procedur powiazanych z metodami optymaliza-

cji np. program MUSCOD. Szerokie omowienie takich procedur

prezentuja w swoich monografiach Biegler i Betts. Pozwalaja one

rozwiazywac problemy typu DAE Optimization z dziesiatkami, a

nawet setkami tysiecy zmiennych.

21

Singularne modele procesow sterowania

Modele rozniczkowo-algebraiczne procesow sterowania sa szcze-

golnym przypadkiem modeli singularnych. Niech bedzie dany

rozniczkowo-algebraiczny model procesu sterowania

xr(t) = f r(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ], xr(t0) = xr0,

fa(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t) = 0, t ∈ [t0, tf ].

Zestaw stanu rozniczkowego i algebraicznego zapisywany jest w

postaci stanu uogolnionego procesu

x(t) =

(xr(t)

xa(t)

).

Niech funkcja f ma w charakterze sk ladowych prawe strony

rownania rozniczkowo-algebraicznego

f(x(t), u(t), ξ(t), t) =

(f r(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t)

fa(xr(t), xa(t), u(t), ξ(t), t)

)

i niech macierz E przyjmuje postac osobliwa

E =

(I O1

O2 O3

),

przy czym I jest macierza jednostkowa o wymiarach nxr × nxr ,

zas zerowe macierze O1, O2 i O3 maja wymiary odpowiednio

nxr×nxa, nxa×nxr i nxa×nxa. Rownanie rozniczkowo-algebraiczne

procesu mozna przepisac w rownowaznej postaci singularnej

Ex(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, tf ].

22

Ogolne singularne modele sa charakterystyczne dla elektrycz-

nych i elektronicznych uk ladow sterowania, dla uk ladow ze sprze-

zeniem zwrotnym i dla uk ladow z lozonych. Macierz E nie musi

miec struktury zero-jedynkowej zwiazanej z modelami rozniczkowo-

algebraicznymi. Osobliwosc macierzy E moze oznaczac, ze model

uk ladu przybiera postac, ktora nie jest rozwik lywalna wzgledem

pochodnych. Model taki nazywany jest tez uwik lanym modelem

procesu sterowania.

Niech bedzie dany obwod elektryczny ze zrod lem napiecia e(t),

rezystancja R, kondensatorami C1 i C2 oraz z indukcyjnoscia L.

Sk lada sie on z dwoch szeregowo po laczonych podobwodow RLC1

oraz C1eC2. Zmiennymi stanu uogolnionego sa napiecia U1(t)

i U2(t) na kondensatorach oraz natezenie pradu I(t) w induk-

cyjnosci. Sterowaniem jest napiecie zrod lowe e(t). Wyjsciem jest

napiecie U2(t) na kondensatorze C2.

obwod elektryczny RLC1eC2

�R I1(t) I2(t)-©

L e(t)

C1 C2

aaa=6 6U1(t) = U2(t)

Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy rownania dla podo-

bwodow

RI(t) + LI(t) + U1(t) = 0,

U1(t) + e(t)− U2(t) = 0,

C1U1(t) + C2U2(t)) = I(t).

23

Rownania te zapisujemy w postaci rownowaznej0 0 L

C1 C2 0

0 0 0

U1(t)

U2(t)

I(t)

=

−1 0 −R0 0 1

1 −1 0

U1(t)

U2(t)

I(t)

+

0

0

1

e(t)

Macierz pojawiajaca sie przy wektorze stanu uogolnionego jest

osobliwa, lecz nie ma struktury zero-jedynkowej charakterystycz-

nej dla uk ladow rozniczkowo-algebraicznych. Odzwierciedla ona

uwik lane rownania zmiennych stanu uogolnionego w rozpatrywa-

nym obwodzie elektrycznym.

Oznaczamy zmienne stanu uogolnionego jako

x1(t) = U1(t), x2(t) = U2(t), x3(t) = I(t),

wektor stanu uogolnionego jako

x(t) =

x1(t)

x2(t)

x3(t)

,

sterowanie jako u(t) = e(t), a macierze uogolnionego rownania

stanu jako

E =

0 0 L

C1 C2 0

0 0 0

, A =

−1 0 −R0 0 1

1 −1 0

, B =

0

0

1

.

Zapisujemy model rozpatrywanego uk ladu w postaci liniowego

singularnego rownania stanu

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t),

w ktorym detE = 0.

Innym zrod lem uk ladow singularnych sa uk lady z uogolnionym

sprzezeniem zwrotnym. W przypadku podstawowym rownania

24

uk ladu ze sprzezeniem zwrotnym maja postac

x(t) = Ax(t) +Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = Ky(t),

co prowadzi do rownania zamknietego uk ladu sterowania

x(t) = (A+BKC)x(t).

Sterowanie jest ca lkowicie eliminowane przez sprzezenie zwrotne.

Jesli natomiast wprowadzane jest nowe sterowanie zewnetrzne

v(t) , a sprzezenie zwrotne zalezy nie tylko od wyjscia obiektu

lecz takze od jego pochodnej przyspieszajacej dzia lanie uk ladu,

to rownania uk ladu przybieraja postac

x(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = v(t)−K1y(t)−K2y(t).

Prowadzi to do rownania zamknietego uk ladu sterowania

(I +BK2C)x(t) = (A−BK1C)x(t)

lub

Ex(t) = (A−BK1C)x(t), E.= I +BK2C.

Jezeli

detE = det(I +BK2C) = 0,

to uk lad zamkniety staje sie singularnym uk ladem sterowania.

Rozwazane sa rowniez singularne uk lady sterowania z czasem

dyskretnym. Moga one byc bezposrednim wynikiem modelowania

uk ladu funkcjonujacego z pewnym taktem zmiennosci (okresem

zmiennosci) lub moga byc wynikiem dyskretyzacji uk ladu singu-

larnego z czasem ciag lym.

Liniowe singularne uk lady sterowania modelowane sa za po-

moca rownan

Ex(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), k = k0, k0 + 1, k0 + 2, ....

25

Przyk ladem singularnego modelu procesu sterowania w dziedzinie

ekonomii jest model Leontiefa N -sektorowego procesu produkcyj-

nego spe lniajacego rownanie dynamiki

x(k) = Fx(k) + E(x(k + 1)− x(k)) + u(k), k = 0, 1, ...,

gdzie wektor

x(k) = (xT1 (k), xT2 (k), ..., xTN(k))T

opisuje poziomy produkcji w poszczegolnych sektorach w okresie

k-tym (miesiac, kwarta l, rok) w jednostkach monetarnych, ma-

cierz F opisuje nak lady na biezaca produkcje, macierz E opisuje

nak lady na rozwoj produkcji w poszczegolnych sektorach, a wek-

tor

u(k) = (uT1 (k), uT2 (k), ..., uTN(k))T

oznacza zewnetrzne zapotrzebowanie. Uzyskujemy stad po pro-

stych przekszta lceniach rownanie singularnego procesu sterowania

Ex(k + 1) = (I + E − F )x(k)− u(k), k = 0, 1, ...,

gdyz macierz miedzysektorowych przep lywow kapita lowych E jest

w wielu przypadkach osobliwa detE = 0 (macierz E ma z regu ly

wiele elementow zerowych poniewaz kapita l rozwoju produkcji po-

chodzi zwykle tylko z niektorych sektorow).

Bardzo ogolny opis uk ladu sterowania w nieliniowej postaci

uwik lanej wzgledem pochodnych okreslany jest mianem rownania

deskryptorowego

f(x(t), x(t), u(t), t) = 0,

a uogolniony stan uk ladu nazywany jest deskryptorem uk ladu.

26