Universitat de Barcelona Departament d’Estad¶‡stica ... pagweb.pdfAls meus pares...

Universitat de Barcelona

Departament d’Estadıstica

CONTRIBUCIO A L’ESTUDI DE LES EQUACIONS ENDERIVADES PARCIALS ESTOCASTIQUES

David Marquez-Carreras

Barcelona, 15 de desembre de 1998

Programa de doctorat Probabilitats i Estadıstica (bienni 1993-95)

Directora Marta Sanz-Sole

Tribunal

David Nualart (Universitat de Barcelona)Frederic Utzet (Universitat Autonoma de Barcelona)Gerard Ben Arous (Ecole Polytechnique de Lausanne)Arturo Kohatsu-Higa (Universitat Pompeu Fabra)Mireille Chaleyat-Maurel (Universite Pierre et Marie Curie de Paris)

Als meus pares

Agraıments:

• A la Dra Marta Sanz-Sole, directora d’aquesta tesi, per tota la seva ajuda icol·laboracio.

• A la Sılvia, per moltes raons.

• A na Montse, na Sonia, na Marta i en Carlos.

• Als companys de departament i amics que m’han ajudat.

Presentacio

Aquesta memoria estudia basicament el comportament asimptotic de la densitat dediferents famılies de vectors aleatoris. Al comencament es dona una introduccioon es comenten diversos treballs anteriors que tracten sobre estudis asimptotics dedensitats, es pot observar el gran lligam que hi ha entre les estimacions de Varad-han i l’anomenat desenvolupament de Taylor de la densitat. Les estimacions son unprimer pas cap a un estudi mes extens del comportament asimptotic. En aquestaintroduccio es mante, en molts llocs, la notacio dels articles als quals es fa referencia.Despres, en els capıtols seguents, es detallen els treballs de la memoria propiamentdita.

Considerem una famılia de vectors aleatoris F ε, ε ∈ (0, 1] amb condicions per l’ex-istencia i regularitat d’una densitat pε(y), per a tot ε ∈ (0, 1].

El Capıtol 2 de la memoria esta dedicat a l’estudi de les anomenades estimacionsde Varadhan. Nosaltres ens preguntarem pel comportament de pε(y) quan ε → 0.Concretament, estudiarem quan val

limε↓0

ε2 log pε(y). (1)

Aquest estudi es portara a terme agafant com a F ε la solucio d’una equacio enderivades parcials estocastica perturbada de tipus hiperbolic. Comprovarem que (1)es una funcio C(x, y), on x es la condicio inicial de l’equacio diferencial, i que aques-ta funcio, C(x, y), esta molt lligada a l’esquelet de l’equacio. Previament, hauremprovat l’existencia de densitat i certes propietats de regularitat. Aquests resultatsestan recollits a l’article [32].

Al tercer Capıtol realitzarem un estudi mes acurat i exhaustiu del comportamentasimptotic de la densitat. Considerarem un vector aleatori F : Ω −→ Rd de L2(Ω)amb representacio en caos de Wiener F = EF +

∑∞n=1 In(fn). Prendrem la famılia

particular definida per

F ε = EF +∞∑

n=1

εnIn(fn), ∀ε ∈ (0, 1]. (2)

El nostre objectiu sera estudiar l’anomenat desenvolupament de Taylor de pε(y),densitat de F ε, en ε = 0 i per y = EF . Primerament, suposant que F pertany auns certs espais de derivacio, provarem resultats de diferenciabilitat de l’aplicacioε −→ F ε. Posteriorment, afegint condicions de no degeneracio, demostrarem que ladensitat te l’expansio seguent:

pε(y) =1

εd(c0 + ε2c2 + · · · + εn+1Rε

n+1), (3)

on els coeficients ci seran descrits mitjancant les integrals multiples In(fn), i corres-pondran a densitats de mesures de Radon. Endemes, veurem que la resta, Rε

N+1, esuniformement fitada respecte ε. Aquest resultat general l’aplicarem a dos equacionsdiferencials estocastiques hiperboliques. Aquests treballs es troben a [33].

Als Capıtols 4, 5 de la memoria generalitzarem aquest resultat previ. Consideraremcom a F ε la coneguda solucio de l’equacio de la calor estocastica perturbada. AlCapıtol 4, sota les mateixes condicions que s’utilitzen per demostrar l’existencia iregularitat d’una densitat pε(y), nosaltres trobarem el desenvolupament asimptotic(3) amb d = 1, on ara els coeficients ci dependran de les derivades del proces solu-cio de l’equacio estocastica perturbada avaluades en ε = 0; a mes a mes, aquestesderivades satisfaran equacions d’evolucio que seran descrites. Aquesta generalitzaciotambe es fara considerant un valor concret y, que inclou el cas del Capıtol 3, i quedepen de l’esquelet de l’equacio. L’estructura particular de la famılia (2) implicaraque les equacions estudiades aleshores hagin de tenir els coeficients lineals respectela variable espai. En canvi aquı no haurem d’imposar aquesta restriccio. Aquestresultat es recollit a [34].

Finalment, al Capıtol 5, estudiarem el comportament asimptotic de la mateixa den-sitat que al Capıtol 4, pero per a tot y ∈ R. Afegint hipotesis a les del capıtolanterior provarem que la densitat te el desenvolupament seguent:

pε(y) ∼ 1

εexp− a

2ε2 (d0 + ε d1 + ε2d2 + · · · ). (4)

Els coeficients di s’anul.laran per i senar i seran donats per i parell; a sera la normamınima dels elements de l’espai de Cameron-Martin que aplicats a l’esquelet tenenper imatge el valor y. El sımbol ∼ a (4) significara

lim supε↓0

pε(y)− 1εexp (− 1

2ε2 a) (d0 + εd1 + · · ·+ εk−1dk−1)

εk−1 exp (− 12ε2 a)

< +∞ ,

per qualsevol k ≥ 1. Aquest treball es troba a [22].

Els Capıtols 2, 3, 4 i 5 contenen una introduccio on s’explica la metodologia quenosaltres hem seguit en aquell capıtol, donant les idees mes importants. Les Seccionsd’aquests Capıtols constaran quasi sempre de tres parts. Una primera, anomenadaObjectiu, esta dedicada a explicar el proposit de la Seccio. Una segona, dita Preli-minars, on es donaran els prerequisits necessaris, quan s’escaigui, per poder portara terme la demostracio dels Objectius. A l’ultima es provaran els resultats.

Al llarg de la memoria les constants que hi apareguin seran anomenades C, encaraque canviın el seu valor. Per questions sobre les notacions o nocions sobre l’espai deWiener vegeu el llibre de D.Nualart Malliavin Calculus and Related Topics [41] (itambe [42]), si be, aquestes nocions i notacions seran donades i introduıdes al llargde la memoria.

Index

1 Introduccio 9

2 Petites perturbacions en una equacio hiperbolica 172.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Propietats de la densitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Estimacions de Varadhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Apendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Desenvolupament asimptotic de la densitat utilitzant la descom-posicio en Caos de Wiener 553.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Regularitat del funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Desenvolupament asimptotic de la densitat . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.1 Una equacio diferencial estocastica hiperbolica . . . . . . . . . 703.4.2 Una equacio d’Ito en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Comportament asimptotic de la densitat sobre la diagonal en unaequacio estocastica de la calor 794.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Desenvolupament d’un funcional general . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 L’equacio de la calor estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Comportament asimptotic de la densitat fora de la diagonal en unaequacio estocastica de la calor 955.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Regularitat de la famılia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Estudi del comportament de la densitat . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3.1 La part evanescent de la densitat . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7

5.3.2 Una formula d’integracio per parts . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.3 La part principal de la densitat . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.4 El desenvolupament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4 Apendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Capıtol 1

Introduccio

Sigui q(t, x, y) la solucio de l’equacio

∂q

∂t=

1

2

k∑i=1

∂2q

∂x2i

(1.1)

amb condicio frontera q(t, x, y) → δx(y) quan t → 0, y ∈ Rk, que pot ser escritaexplıcitament com

q(t, x, y) = (2πt)−k2 exp− 1

2t‖x− y‖2,

on ‖ · ‖ denota la distancia euclıdea. Es immediat comprovar

limt↓0

(−2t log q(t, x, y)) = ‖x− y‖2. (1.2)

Considerem ara l’analeg a (1.1). Sigui p(t, x, y) solucio de

∂p

∂t=

1

2

k∑i,j=1

ai,j(x)∂2p

∂xi ∂xj

(1.3)

amb la mateixa condicio frontera que abans. Hom pot preguntar-se si de manerasimilar a (1.2)

limt↓0

(−2t log p(t, x, y)) = d2(x, y), (1.4)

9

10 Capıtol 1

on d2(x, y) es la distancia induıda per la metrica Riemanniana derivada dels coefi-cients ai,j(x), essent aquesta matriu simetrica i definida positiva.

Aixı es com S.R.S. Varadhan introdueix a l’article On the behavior of the funda-mental solution of the Heat equation with variables coefficients [53], l’any 1967, elproblema que vol resoldre. Observi’s que p(t, x, y) correspon a la densitat de transiciod’una difusio. S.R.S. Varadhan provara (1.4) sota condicions Holder i d’el.lipticitatuniforme sobre ai,j, utilitzant tecniques totalment d’analisi, i treballant directamentamb la densitat com a solucio de l’equacio (1.3). Aquest es el motiu per que se lesconegui com Estimacions de Varadhan.

Sigui X(t) un proces de difussio k-dimensional amb densitat de transicio donadaper la solucio fonamental de (1.3). Sigui ε ∈ (0, 1], i considerem Xε(t) = X(εt),fixat t ∈ [0, T ]. S.R.S. Varadhan va estudiar en el seu treball Diffusion processes ina small time interval [54], el mateix any, el comportament quan ε → 0 de la soluciode l’equacio

∂p

∂t=

1

2ε

k∑i,j=1

ai,j(x)∂2p

∂xi ∂xj

, (1.5)

que correspon a la densitat del proces difusio Xε(t). Sigui pε(t, x, y) la soluciode (1.5). Com pε(t, x, y) = p(εt, x, y), es equivalent estudiar el comportament dep(t, x, y) quan t → 0 que el comportament de pε(t, x, y), per t > 0 fixat, quan ε → 0.Assumint les mateixes condicions que considera a [53], ell mostrara un principi degrans desviacions utilitzant (1.4) i presentara refinaments a l’estudi fet a [53].

Finalment generalitza l’operador que havia considerat anteriorment, i prova l’equi-valent a (1.4) per l’operador

L f =1

2

k∑i,j=1

ai,j(x)∂2f

∂xi ∂xj

+k∑

j=1

bj(x)∂f

∂xj

. (1.6)

Notem que en els dos articles els coeficients no depenen del temps.

A mitjants dels anys 70, S.A. Molchanov [37], Yu.I. Kifer [21], i Y. Kannai [20] provenresultats asimptotics quan t → 0 per la solucio fonamental p(t, x, y) de l’equacio dedifusio Lp = ∂p

∂t, amb condicio inicial p(0, x, y) = δx(y), i on L es l’operador definit

a (1.6) o alguna modificacio una mica mes complexa. Els estudis son molt mesprecisos que els realitzats per S.R.S. Varadhan ([53], [54]) doncs demostren, amb

Introduccio 11

mes o menys rigor, que la densitat te el comportament seguent:

p(t, x, y) ∼ 1

td/2exp−d2(x, y)

2t

(K0(t, x, y) + K1(t, x, y)t + · · ·

), (1.7)

on d es la dimensio, d2(x, y) es la distancia introduıda abans i els coeficients Ki(t, x, y)son donats iteradament. Les condicions sobre els coeficients de l’equacio son dediferenciabilitat, d’el.lipticitat uniforme, i sense dependencia del temps (Yu.I. Kifer[21] esmenta que el seu treball pot estendre’s a coeficients no homogenis). A mesassumeixen diverses condicions sobre l’estructura del conjunt de geodesiques queuneixen x i y. S.A. Molchanov utilitzant eines de geometria diferencial estudiabasicament el primer terme del desenvolupament (vegeu tambe [4]). Mentre Yu.I.Kifer, considerant a−1, b i les seves derivades uniformement fitades i sense entrar enmasses detalls a les demostracions, dona amb molta precisio els termes Ki(t, x, y).Finalment, Y. Kannai tambe estudia els coeficients si be sense donar una estimaciode la resta.

Sobre l’obert U ⊂ Rd, considerem la difusio Xt, 0 ≤ t ≤ 1, no homogenia en eltemps, solucio de la seguent equacio estocastica d’Ito

d Xt = σ(t,Xt) d Wt + b(t,Xt) d t, (1.8)

on Wt es un brownia k-dimensional, els coeficients σ, b son camps C∞ sobre [0, 1]×U ,i la difusio es localment el.lıptica. Denotem per p(s, t, x, y) la densitat de transiciode Xt coneixent que ha sortit de x a l’instant s.A principis dels 80, R. Azencott prova a l’article Densite de diffusions en tempspetit: Developpements asymptotiques [3], per x i y propers, la formula

p(s, t, x, y) = (t− s)−d2 exp

− d2

s(x, y)

2(t− s)

[α0 + α1(t− s) + · · ·+ O(t− s)n+1], (1.9)

essent ds la distancia Riemanniana associada a a(s, x) = (σσ∗)(s, x), els termes αi

son zero per i senar, els parells son descrits i fitats. La resta tambe es estimada.Un fet important es el plantejament del problema, treballa amb la densitat com adensitat d’un proces que es solucio de l’equacio (1.8), i no, considerant-la com asolucio fonamental de Lf = ∂p

∂t. El mateix R. Azencott [2] i H. Doss [16] havien ja

utilitzat anteriorment aquest metode per l’estudi d’altres problemes asimptotics.Un dels ingredients que utilitza es el seguent. Sigui Xε

t , ε ∈ (0, 1], solucio de

d Xεt = εσ(ε2t,Xε

t ) d Wt + ε2b(ε2t, Xεt ) d t,

12 Capıtol 1

i denotem per pε(s, t, x, y) la densitat de transicio de la llei de Xεt , ε ∈ (0, 1]. Mit-

jancant la propietat scaling del moviment brownia dona una relacio entre p(s, t, x, y)i pε(s, t, x, y), concretament, p(0, ε2, x, y) = pε(0, 1, x, y). Aleshores, ell estudiara elcomportament de la densitat pε(0, 1, x, y) quan ε → 0.Utilitzant una funcio truncadora divideix aquesta densitat en dues parts. Una deles parts, anomenada evanescent, una vegada estudiada veu que pot despreciar-la,mentre que l’altra, dita localitzada o principal, es la que tractara detalladament. Elpont brownia, la normalitzacio respecte ε de la variable que considera, el teorema deGirsanov, la formula de Taylor estocastica, els sistemes d’Ito en cascada i el metodede Laplace en son eines que usa per aconseguir el seu objectiu.Finalment tambe comenta la validesa de la formula (1.9) per x i y allunyats su-posant, a mes a mes, que la parella (x, y) no esta dins el cut-locus el.lıptic.

Sigui l’operador

L =1

2

m∑i=1

Ai + A0, (1.10)

on Ai son camps de vectors infinitament diferenciables sobre Rd, fitats, amb derivadesfitades de tots els ordres, i satisfent la hipotesi forta d’hipoel.lipticitat de Hormander(i aixo vol dir que per a tot x ∈ Rd, dim Lie(A1, · · · , Am)(x) = d). Sigui la soluciode l’equacio diferencial

d Xt =m∑

i=1

Ai(Xt) d W it + A0(Xt) d t, X0 = x, (1.11)

on dW i denota la diferencial de Stratonovich de m moviments brownians indepen-dents.L’any 1967, L. Hormander [19] prova, sota condicions d’hipoel.lipticitat, que elproces Xt, solucio de (1.11), te una densitat pt(x, y) per a tot t > 0. Es necessaricitar el llibre de J.M. Bismut [13] on treballa tant amb hipotesis el.lıptiques comhipoel.lıptiques. Amb les primeres estudia el comportament asimptotic de la densi-tat; amb les segones troba resultats basics sobre l’esquelet, els quals seran utilitzatsen articles posteriors de R. Leandre i G. Ben Arous, i planteja tambe conjectures so-bre el comportament asimptotic de la densitat que mes endavant seran demostrades.

Considerem l’equacio diferencial de Stratonovich perturbada

d Xεt = ε

m∑i=1

Ai(Xεt ) d W i

t + ε2 A0(Xεt ) d t, Xε

0 = x, (1.12)

Introduccio 13

i pel resultat que hem citat de L. Hormander sabem que la llei de Xε1 posseeix, si

ε > 0, una densitat regular, diem-li pε1(x, y).

Denotem per H l’espai de Hilbert de les funcions h : t → (hi(t)) de [0, 1] dins Rm

de quadrat integrable, i amb norma

‖h‖2 =m∑

i=1

∫ 1

0

(hi(t))2 dt.

Considerem l’equacio diferencial determinista

dΦt(h) =∑m

i=1 Ai(Φt(h)) hi(t) dt,Φ0(h) = x.

L’aplicacio h → Φ1(h) es C∞ de H dins Rd. Aleshores, sigui

d2(x, y) = inf‖h‖2, Φ1(h) = y, Φ0(h) = x. (1.13)

R. Leandre ([23], [24], [25], [26], [27], [28]) demostra, sota aquestes condicions mesfebles, el resultat seguent

limε↓0

2ε2 log pε1(x, y) = −d2(x, y), (1.14)

on ara d es definida a (1.13). Tal com observava R. Azencott, existeix una relacioentre les densitats de la solucio de l’equacio perturbada i sense perturbar i es laseguent: pε

1(x, y) = pε2(x, y). Aixo vol dir que de fet el que troba es el comportamentde pt(x, y) quan t → 0.El metode mes utilitzat en aquests articles consisteix en majorar i minorar la den-sitat, obtenint aixı el resultat (1.14). L’afitament uniforme respecte ε del procesXε

1 respecte les normes dels espais de Sobolev Dk,p, la no degeneracio de la matriude Malliavin de Xε

1 normalitzada i un resultat anterior sobre grans desviacions soningredients que li donen la majoracio. Per la minoracio utilitza el teorema de Gir-sanov i la normalitzacio de la variable aleatoria degenerada que apareix productedel teorema de Girsanov.Aquestes tecniques van ser generalitzades per D. Nualart [42] per donar les estima-cions de Varadhan per un funcional general F ε. En aquesta lınea ens movem a laprimera part d’aquesta memoria.

Assumint hipoel.lipticitat forta i que x i y son fora del cut-locus hipoel.lıptic, R.Leandre ([27], [28]) i G. Ben Arous ([8], [10]) proven, com R. Azencott en el cas

14 Capıtol 1

el.lıptic, el desenvolpament asimptotic seguent

pt(x, y) = t−d/2 exp− d2(x, y)

2t

( n∑i=0

ci(x, y)ti + O(tn+1)). (1.15)

G. Ben Arous, a l’article Developpement asumptotique du noyau de la chaleur hy-poelliptique hors du cut-locus, demostra amb detall (1.15). Utilitza essencialmentresultats de grans desviacions, el metode de Laplace per difusions amb condicionsd’hipoel.lipticitat i la integracio per parts del calcul de Malliavin. Els coeficientsci son C∞ fora del cut-locus, c0(x, y) > 0 i les derivades dels coeficients ci respecte(t, x, y) son fitades uniformement. Troba igualment el desenvolupament asimptoticde les derivades de pt(x, y) respecte (t, x, y), fitant uniformement la resta.El mateix G. Ben Arous donara tambe el desenvolupament de Taylor de la densitata la diagonal, es a dir per pt(x, x) (vegeu [9], [10]). En el cas hipoel.lıptic la parella(x, x) es dins el cut-locus, d’aquı aquest estudi.Endemes, G. Ben Arous i R. Leandre estudiaran en els articles [11] i [12] la influenciade A0 (vegeu formula (1.10)) sobre el comportament asimptotic.

Seguint les mateixes idees proposades en els treballs anteriors de R. Leandre, el propiR. Leandre i F. Russo provaran les estimacions de Varadhan per a dos processosbiparametrics.A Estimation de Varadhan pour les diffusions a deux parametres [29] considerenl’anomenada difusio a dos parametres

Xt = x +

∫ t

0

m∑

j=1

Aj(Xr) dW jr + B(Xr) dr, t ∈ R2

+, (1.16)

on Wt = (W 1t , · · · , Wm

t ) es un brownia a dos parametres m-dimensional, Aj, B :Rd → Rd, j = 1, · · · ,m, son de classe C∞ amb derivades fitades de tots els ordres, ix ∈ Rd. Sota les hipotesis de Hormander generalitzades D. Nualart i M. Sanz-Sole[43] havien provat l’existencia de densitat. Com en el cas uniparametric, donenuna relacio entre la densitat del proces solucio perturbat i sense perturbar. Siguit ∈ [0, 1]2 i Yt(ε, x) la solucio de l’equacio

Yt(ε, x) = x + ε

∫ t

0

m∑j=1

Aj(Yr(ε, x)) dW jr + ε2

∫ t

0

B(Yr(ε, x)) dr,

amb ε ∈ (0, 1]. Aleshores la llei de Xs(x), s = (s1, s2), solucio de (1.16), es igual a lade Yz1(ε, x), z1 = (1, 1), per ε =

√s1s2. Denotem pε

z1(x, y) la densitat de Yz1(ε, x),

Introduccio 15

R. Leandre i F. Russo demostren sota condicions el.lıptiques el seguent

limε↓0

2ε2 log pεz1

(x, y) = −d2(x, y),

on d es definit com a (1.13) pero utilitzant l’esquelet d’aquesta equacio biparametrica.

En canvi, a Small Stochastic perturbation of a one-dimensional wave equation [30]consideren directament l’equacio diferencial en derivades parcials estocastica per-turbada

( ∂2

∂t2− ∂2

∂x2

)X(t, x) = ε a(X(t, x)) ξ(t, x) + b(X(t, x)), (1.17)

on ξ es un soroll blanc espai-temps. El fet que nomes es perturbi el terme aleatoria (1.17) es perque en aquest cas no es pot obtenir una relacio entre la densitatdel proces perturbat i sense perturbar. Aleshores aquı troben el comportamentasimptotic de la densitat quan ε → 0 i no quan t → 0.En aquest treball tambe donen el desenvolupament de Taylor de la densitat.

Amb arguments similars als utilitzats per treballar amb (1.17), A. Millet i M. Sanz-Sole [35] troben les estimacions de Varadhan per la solucio de l’equacio estocasticade la calor perturbada que tractarem als Capıtols 4, 5. Treballen tambe amb condi-cions el.lıptiques.

Seguint una metodologia diferent, S. Watanabe, a l’article Analysis of Wiener Func-tionals (Malliavin Calculus) and its Applications to heat kernels [56], fa un es-tudi molt mes general sobre el comportament asimptotic d’una densitat. Con-siderem una famılia de funcionals generals F (ε, ω) ∈ D∞(Rd), ε ∈ (0, 1]. Siguif0, f1, f2, · · · ∈ D∞(Rd). F (ε, ω) tindra un desenvolupament asimptotic

F (ε, ω) ∼ f0 + ε f1 + ε2f2 + · · · en D∞(Rd) quan ε ↓ 0, (1.18)

si, per cada p ∈ (1,∞), s > 0 i k = 1, 2, · · ·,F (ε, ω) − (f0 + εf1 + · · · + εk−1fk−1) = O(εk) en Ds

p(Rd) quan ε ↓ 0.

Suposem tambe que aquesta famılia es uniformement no degenerada. Aleshores,sota aquestes hipotesis, S. Watanabe troba un desenvolupament asimptotic per lacomposicio entre un element de l’espai de les distribucions de Schwarz S ′(Rd) iel funcional F (ε, ω). Aquest resultat ho aplicara al cas particular d’una difusiouniparametrica perturbada.

16 Capıtol 1

Sigui Xt la solucio de (1.11), Xεt la de (1.12) i pt(x, y) la densitat de xt. Primerament,

suposant condicions el.lıptiques, dona el desenvolupament de Taylor de la densitatsobre la diagonal

pt(x, x) ∼ t−d/2 ( c0 + c1t + c2t2 + · · · ), (1.19)

on els coeficients ci seran descrits. La demostracio recau en el fet seguent

pε2(x, x) = E(δx(X

1ε2)

)= E

(δx(X

ε1)

), (1.20)

on δx es la delta de Dirac en x.Mitjancant la formula d’Ito trobara el desenvolupament asimptotic (1.18) de Xε

1 ialeshores, (1.19) es una consequencia immediata d’aplicar el resultat general que haprovat anteriorment.Tambe obte (1.15), es a dir, el desenvolupament asimptotic fora de la diagonal.Per aconseguir-ho afebleix les condicions el.liptiques pero en canvi afegeix duesnoves hipotesis: l’existencia d’un unic h0 ∈ H tal que Φ1(h0) = y, Φ0(h0) = x,d2(x, y) = ‖h0‖2 (relacionada amb el fet de pertanyer al cut-locus); i una fitaciode tipus exponencial del coeficient d’ordre 2 del desenvolupament asimptotic (1.18)de Xε

1(ω + h0

ε). El mateix raonament que hem fet a (1.20) pero per x 6= y, i una

localitzacio al voltant de h0 divideixen la densitat en dues parts. Fora de la loca-litzacio ho estima per un principi de grans desviacions. Per la part principal usael teorema de Girsanov i un canvi de variable que provoquen l’aparicio d’un factorexponencial. La dificultat prove de l’analisi del producte entre el terme exponenciali δ0(F (ε, ω)), on

F (ε, ω) =Xε

1(ω + h0

ε)− y

ε.

Ho resoldra emprant la hipotesi de tipus exponencial que hem comentat anterior-ment, una serie de lemes que tracten sobre l’afitament uniforme del terme expo-nencial convenientment localitzat (vegeu Capıtol 5 d’aquesta memoria) i el resultatgeneral demostrat al principi de l’article.Aquesta es la lınea que nosaltres seguim a la segona part de la memoria.Aquest treball va esser generalitzat per S. Takanobu i S. Watanabe [52].

Capıtol 2

Petites perturbacions en unaequacio hiperbolica

2.1 Introduccio

Aquest primer apartat de la memoria esta dedicat a l’estudi de l’equacio diferencialestocastica en derivades parcials de tipus hiperbolic

∂2Xs,t

∂s∂t= a3(Xs,t)Ws,t + a4(s, t) + a1(s, t)

∂Xs,t

∂t+ a2(s, t)

∂Xs,t

∂s, (2.1.1)

(s, t) ∈ T = [0, 1]2 i condicio inicial Xs,t = X0 sobre els eixos. Els coeficients sonfuncions mesurables ai : T −→ R, per i = 1, 2, i ai : R −→ R, per i = 3, 4,Ws,t, (s, t) ∈ T es un soroll blanc sobre T , i X0 una variable aleatoria F0,0 -mesurable, on Fs,t, (s, t) ∈ T es la completacio de σWs,t, (s, t) ∈ T.Una solucio de (2.1.1) es un proces X = Xs,t, (s, t) ∈ T continu i Fs,t -adaptatque satisfa

Xs,t = X0 +

∫

Rs,t

γs,t(u, v)a3(Xu,v)dWu,v +

∫

Rs,t

γs,t(u, v)a4(Xu,v)dudv, (2.1.2)

17

18 Capıtol 2

on Rs,t denota el rectangle [0, s]× [0, t] i γs,t(u, v) es la funcio de Green associada al’operador diferencial de segon ordre

Lf(s, t) =∂2f(s, t)

∂s∂t− a1(s, t)

∂f(s, t)

∂t− a2(s, t)

∂f(s, t)

∂s.

Al final d’aquesta seccio hem donat un mena d’apendix amb propietats sobre aques-ta funcio de Green.Aquest tipus d’equacio apareixen en la construccio d’un drap brownia que pren va-lors en una varietat (vegeu l’article de J.R. Norris [40]). Pels detalls sobre l’existenciai unicitat de solucio per a (2.1.2) adrecem al lector als treballs de C. Rovira i M.Sanz-Sole [46] i C. Rovira [45].

El primer problema que s’analitza en aquesta seccio es l’existencia de densitat pz(y)per a la llei de Xz, z ∈ TrE, on E indica el conjunt (s, t) ∈ T, s t = 0. S’estudienles propietats de pz(y), tant com a funcio de y com de z, separadament. Aixorepresenta una continuacio del programa desenvolupat per C.Rovira i M. Sanz-Solea [46], on han provat l’existencia de pz(y) i que la funcio

y −→ pz(y)

es C∞ per a tot z ∈ T r E. A la referencia esmentada, els coeficients ai, i = 3, 4,tambe depenen de (s, t) pero, per contra, imposen una condicio de Hormander tansols sobre la derivada de primer ordre de a3. En aquesta memoria, l’existencia iregularitat de densitat es comprova sota unes condicions mes generals, anomenadescondicions de Hormander en el cas de les difusions (vegeu (H13) a la Seccio 2.2).En un segon apartat de la Seccio 2.2 es veu que la funcio

z −→ pz(y)

es Lipschitz per a tot y ∈ R fixat. La idea utilitzada per estudiar aquest problemaha estat desenvolupada recentment per P.L. Morien a [38], on s’estudia un problemasimilar per a la llei de probabilitat de la solucio d’una equacio diferencial estocasticaen derivades parcials de tipus parabolic.La idea consisteix en provar

∣∣∣E(f(Xz)− f(Xz′)

)∣∣∣ ≤ C‖F‖∞ |z − z′| (2.1.3)

per a tota funcio regular f i per cada z, z′ ∈ T , on F indica la primitiva de f .La integral estocastica de (2.1.2) no te la propietat de martingala, d’aquı que no

2.1 Introduccio 19

sigui possible aplicar la formula d’Ito per obtenir una expressio per a la part esquerrade (2.1.3), en canvi utilitzant el desenvolupament de Taylor i la formula d’integracioper parts del calcul de Malliavin s’obte el resultat desitjat.

Considerem les petites perturbacions del soroll blanc W provocades per un parametreε ∈ (0, 1]. L’evolucio de l’equacio governada per aquest soroll ve donada per

Xεs,t = X0 +

∫

Rs,t

γs,t(u, v)εa3(Xεu,v)dWu,v +

∫

Rs,t

γs,t(u, v)a4(Xεu,v)dudv. (2.1.4)

Sigui pεz(y) la densitat de Xε

z per z ∈ T r E. Quan ε → 0, la solucio de (2.1.4)tendeix a una funcio determinista, i per tant s’espera que pε

z(y) convergeixi a unadensitat degenerada. La segona questio que s’estudia en aquest capıtol es la raod’aquesta convergencia. Es suposa que x := X0 es determinista, i aleshores, sotacertes condicions d’hipoel.lipticitat generals es demostra

limε→0

ε2 log pεz(y) = C(x, y). (2.1.5)

El valor de C(x, y) a (2.1.5) es descrit en termes de l’esquelet de (2.1.2). Aquestanocio, la de l’esquelet, es tambe indispensable per a la caracteritzacio del suporttopologic per a la llei de Xz, z ∈ T , i per establir un principi de grans desviacionsper Xε = Xε

z , z ∈ T (vegeu [46], [47]).Sigui H l’espai de Cameron-Martin associat al drap brownia Ws,t, (s, t) ∈ T. Aixovol dir que H es el conjunt de funcions h : T −→ R tal que

‖h‖H :=( ∫

T

(∂2h

∂s∂t(s, t))2dsdt

)1/2

< ∞.

L’esquelet de X, amb condicio inicial x determinista, es la solucio de l’equaciod’evolucio

Shs,t = x +

∫

Rs,t

γs,t(u, v)(a3(Shu,v)hu,v + a4(S

hu,v))dudv, h ∈ H, (2.1.6)

on hu,v indica la derivada ∂2h∂u∂v

(u, v).Sigui

d2(x, y) = inf‖h‖2H : Sh

z = y. (2.1.7)

Aleshores el lımit de (2.1.5) es

C(x, y) = −1

2d2(x, y).

20 Capıtol 2

A la Seccio 2.3 es combinen les estimacions de grans desviacions i el calcul de Mallia-vin per trobar (2.1.5) (inspirant-nos amb les idees d’altres exemples on s’analitzenequacions diferencials estocastiques en derivades parcials com [29], [30], [35]). Enconcret usarem dos resultats donats per D. Nualart en el curs de Saint-Flour [42](vegeu Proposicio 2.3.2, 2.3.3) mitjancant els quals majorarem i minorarem

ε2 log pεz(y).

En els exemples que hem comentat ([29], [30], [35]) es requereix pero, una condiciode no degeneracio de tipus el.lıptic, en canvi a la Seccio 2.3 d’aquest capıtol s’uti-litza aquest metode nomes amb les condicions d’hipoel.lipticitat, obtenint-se tambel’estimacio. Veure aquest fet recau basicament en comprovar una condicio de re-gularitat sobre l’esquelet, aquesta consisteix en provar 〈DSh

z , DShz 〉H > 0 (vegeu el

Lema 2.3.8 de la Seccio 2.3).Finalment, s’estudia la finitud de d2(x, ·), aquest problema es relacionara amb lacaracteritzacio del suport de la llei de Xz, exposat a l’article de C. Rovira i M.Sanz-Sole [47].

L’ındex d’aquest capıtol es com segueix, la Seccio 2.2 conte els resultats sobre l’exis-tencia i les propietats de la densitat, i la Seccio 2.3 esta dedicada al comportamentasimptotic de pε

z. Al capıtol tambe hi ha una quarta seccio, a mode d’apendix, ambles propietats de la funcio de Green γz(η) mes importants, utilitzades en aquestapart de la memoria i al proper capıtol.

2.2 Propietats de la densitat

Objectiu

El proposit d’aquesta seccio es demostrar que sota el conjunt d’hipotesis (H1), quedetallarem mes endavant, la llei de Xz per a tot z ∈ T r E, solucio de l’equacio(2.1.2), es absolutament contınua respecte la mesura de Lebesgue sobre R i que la

2.2 Propietats de la densitat 21

densitat, pz(y), es infinitament diferenciable. A mes a mes, tambe es veura que pera tot y ∈ R l’aplicacio

T r E −→ Rz −→ pz(y)

es Lipschitz.

Preliminars

Com els resultats d’aquesta seccio son aconseguits amb l’us del calcul de Malliavin,recordarem amb brevetat els trets mes importants.

Siguin (Ω, F , P ) l’espai canonic associat al drap brownia W i E un espai de Hilbertseparable. Un vector aleatori F : Ω → E direm que es regular si

F =M∑i=1

fi(Wz1 , . . . ,Wzn)vi

on fi ∈ C∞b (Rn), z1, . . . , zn ∈ T , T = [0, 1]2, v1. . . . , vM ∈ E, C∞b (Rn) es el conjuntde les funcions f : Rn → R, C∞, fitades i amb totes les derivades fitades. Sigui S elconjunt dels vectors aleatoris regulars.Per F ∈ S, la derivada de Malliavin es el vector aleatori que pren valors en L2(T ;E)definit per

DηF =M∑i=1

n∑

k=1

∂f

∂xk(Wz1 , . . . ,Wzn) l1[0,zi](η)vi.

Definim la k-essima derivada de F per iteracio Dkη1,...,ηk

F = (Dη1(. . . (DηkF ) . . .). Per

cada p ≥ 1 i qualsevol N ∈ N, anomenarem DN,p(E) la completacio de S respectela norma

‖F‖pN,p = E‖F‖p

E +N∑

k=1

E‖DkF‖pL2(T k;E)

.

Definim D∞(E) =⋂

p≥1

⋂N∈N DN,p(E). Si E = R, escriurem D∞ i DN,p en lloc de

D∞(E) i DN,p(E), respectivament.

22 Capıtol 2

En aquesta seccio treballarem amb variables aleatories F : Ω −→ R, i aixı, nota-cionalment escriurem

‖DkF‖ :=( ∫

T k

(DkηF )2dη

) 12.

Denotem per δ l’operador adjunt a D, es un operador no fitat sobre L2(Ω× T ) quepren valors en L2(Ω), el seu domini son els processos u ∈ L2(Ω×T ), tals que existeixuna constant C, per a qui

∣∣∣E∫

T

uηDηF dη∣∣∣ ≤ C‖F‖2 per ∀F ∈ D1,2.

δ(u) s’anomena la integral de Skorohod i es denota∫

TusdWs.

Si u ∈ Dom δ, caracteritzem δ(u) ∈ L2(Ω) per la formula de dualitat

E(Fδ(u)) = E

∫

T

DηFuη dη per ∀F ∈ D1,2.

Al llarg de la seccio utilitzarem la propietat seguent:Sigui u ∈ Domδ, si F ∈ D1,2 tal que E(F 2

∫T

u2η dη) < ∞. Aleshores

δ(Fu) = Fδ(u)− 〈DF, u〉L2(T ), (2.2.1)

si la part de la dreta de la igualtat pertany a L2(Ω). A [41] hi ha un estudi extenssobre la derivada de Malliavin i la integral de Skorohod.

Denotem per ΓF la matriu de Malliavin de F : Ω → Rd, recordem ΓF = 〈DF,DF 〉.Direm que F es un vector aleatori no degenerat si F ∈ D∞(Rd) i det Γ−1

F ∈⋂p≥1 Lp(Ω). Sigui F un vector aleatori no degenerat i G ∈ D∞. Per a tot multiındex

α ∈ 1, · · · , dk, α = (α1, · · · , αk), k ≥ 1, definim recurrentment Hα(F, G) ∈ D∞ dela manera seguent:

H(i)(F,G) =d∑

j=1

δ(G(Γ−1F )i,jDF j),

Hα(F,G) = H(αk)(F,H(α1,···,αk−1)(F, G)).

(2.2.2)

Amb aquesta notacio podem establir la seguent versio de la formula d’integracio perparts del calcul de Malliavin

E[ (∇kαg)(F ) G ] = E[ g(F ) Hα(F, G) ], (2.2.3)


on g es qualsevol funcio regular definida en Rd i ∇kα = ∂k

∂xα1 ···∂xαk.

Enunciem un teorema que ens donara, quan es compleixin les condicions, l’existenciai regularitat de la densitat

Teorema 2.2.1 (Corol.lari 2.1.2 [41]) Sigui F : Ω → R una variable aleatoriacomplint les condicions seguents:

i) F ∈ D∞.

ii) (∫

T|DηF |2dη)−1 ∈ ⋂

p≥1 Lp(Ω).

Aleshores la llei de F es absolutament contınua respecte la mesura de Lebesgue sobreR i la densitat es infinitament diferenciable.

Finalment, recordem un lema que haurem d’utilitzar per provar la segona hipotesidel teorema anterior i un lema tipus Gronwall.

Lema 2.2.2 [30] Sigui Q una variable aleatoria no negativa. Si, per cada p ≥ 2,existeixen constants α0(p), C(p) tals que

PQ ≤ α ≤ C(p) αp, ∀α ≤ α0(p).

AleshoresE(Q−p) ≤ C(p + 1) α0(p) (p + 1).

Lema 2.2.3 [45] Sigui h : T → R una funcio integrable no negativa que satisfa

h(z) ≤ K +

∫

Rz

β(η)h(η)dη, z ∈ T,

on K ≥ 0 i β : T → R es una funcio integrable no negativa. Aleshores per a totz ∈ T ,

h(z) ≤ K · exp ∫

Rz

β(η)dη

Resultats

En aquesta seccio suposarem les seguents condicions sobre els coeficients:

24 Capıtol 2

(H11) Les funcions ai : T −→ R, i = 1, 2 son fitades, derivables i amb derivadesfitades.

(H12) Les funcions ai : R −→ R, i = 3, 4 son infinitament diferenciables, ambderivades fitades de tots els ordres.

(H13) O be es compleix que a3(X0) 6= 0 q.s., o be existeix un natural n0 ≥ 1 tal que

a(n)3 (X0) = 0 q.s., per qualsevol 0 ≤ n ≤ n0 − 1, i (a

(n0)3 a4)(X0) 6= 0 q.s., on

per n = 0, a(n)3 = a3.

El proposit de la seccio com hem dit anteriorment es provar el resultat seguent.

Teorema 2.2.4 Sota les hipotesis (H11), (H12) i (H13), la llei de Xz, solucio de(2.1.2), per a tot z ∈ TrE, es absolutament contınua respecte la mesura de Lebesguesobre R, i la densitat, pz, es infinitament diferenciable. Endemes, per a tot y ∈ Rl’aplicacio

T r E −→ Rz −→ pz(y)

es Lipschitz.

Remarca 2.2.5 Pels coeficients ai, i = 3, 4, depenent tambe del temps, l’existenciad’una densitat pz(·), C∞, ha estat provada a l’article de C. Rovira i M. Sanz-Sole[46] (Proposicio 3.7) sota hipotesis de no degeneracio del tipus (H13), incluint-hinomes derivades de primer ordre. En particular, si no depenen del temps, el conjuntd’hipotesis seria el seguent: O be a3(X0) 6= 0 q.s., o be a3(X0) = 0 i (a′3a4)(X0) 6= 0q.s.

Per provar el Teorema 2.2.4 necessitarem una serie de resultats previs.

Proposicio 2.2.6 (Proposicio 3.5 [46]) Assumint (H11) i (H12), aleshores Xz ∈D∞.

Proposicio 2.2.7 Per qualssevol z = (s, t) ∈ T ,h ∈ (0, 1− s], v ∈ [0, 1], sigui

Zs,t(h, v) = Xs,t + v(Xs+h,t −Xs,t)

Aleshores, si (H11), (H12) i (H13) son satisfetes,( ∫

T

|DηZz(h, v)|2dη)−1

∈⋂p≥1

Lp(Ω).


Prova. Demostrarem la seguent propietat equivalent: per a tot p ∈ [1,∞) existeixε0 tal que

P ∫

T

|DηZz(h, v)|2dη < ε≤ εp, (2.2.4)

per a tot ε ≤ ε0 (Lema 2.2.2).Sigui Yz(η), 0 ≤ η ≤ z ≤ (1, 1) la solucio de

Yz(η) = γz(η) +

∫

(η,z]

γz(α)Yα(η)[a′3(Xα)dWα + a′4(Xα)dα].

Per unicitat de solucio tenim

DηXz = a3(Xη)Yz(η) l1[0,z](η).

Definim

Y h,vs,t (η) = Ys,t(η) + v (Ys+h,t(η)− Ys,t(η)),

γh,vs,t (η) = γs,t(η) + v (γs+h,t(η)− γs,t(η)).

En primer lloc estudiarem el cas a3(X0) 6= 0. Fixem ε, β, δ ∈ (0, 1) i definimCz

β,δ(ε) := (0, εβ)× (t− εδ, t), aleshores

P ∫

T

|DηZz(h, v)|2dη < ε≤ q1(ε, β) + q2(ε, β),

amb

q1(ε, β) = P ∫

Czβ,β(ε)

(a3(Xη)Y

h,vs,t (η)− a3(X0)γ

h,vs,t (η1, t)

)2

dη > ε

,

q2(ε, β) = P ∫

Czβ,β(ε)

a23(X0)γ

h,vs,t (η1, t))

2dη ≤ 4ε

,

η = (η1, η2).A [46] (vegeu (3.9) i (3.10)) han provat per p ∈ [1,∞)

supη∈Cz

β,δ(ε)

E(|Xη −X0|2p) ≤ Cεβp, (2.2.5)

supη∈Cz

β,δ(ε)

E(|Yz(η)− γz(η)|2p) ≤ Cεδp.

26 Capıtol 2

De la mateixa manera podem veure,

supη∈Cz

β,δ(ε)

E(|Y h,vs,t (η)− γh,v

s,t (η)|2p) ≤ Cεδp, p ∈ [1,∞). (2.2.6)

Ara, utilitzant la desigualtat triangular, les propietats (2.2.5), (2.2.6), i la propietatLipschitz de γz(·) de la Proposicio 2.4.2, obtenim facilment

supη∈Cz

β,β(ε)

E|a3(X(η)Y h,vs,t (η)− a3(X0)γ

h,vs,t (η1, t)|2q ≤ Cεβq, q ∈ [1,∞).

Llavors, per la desigualtat de Txebitxev

q1(ε, β) ≤ Cεq(3β−1), ∀q ∈ [1,∞).

Per altra banda, com que a3(X0) 6= 0, (2.4.3) ens assegura

∫

Czβ,β(ε)

a23(X0)γ

h,vs,t (η1, t)

2dη ≥ Cε2β.

Elegint β ∈ (13, 1

2), q2(ε, β) = 0 i per tant (2.2.4) es compleix. Queda aixı provat el

resultat en el cas a3(X0) 6= 0.

Suposem ara que existeix n0 ≥ 1 amb a(n)3 (X0) = 0 per 0 ≤ n ≤ n0 − 1, i

(a(n0)3 a4)(X0) 6= 0 q.s., on per n = 0, a

(n)3 = a3. Llavors,

P ∫

T

|DηZz(h, v)|2dη < ε≤ q1(ε, β, δ) + q2(ε, β, δ),

amb

q1(ε, β, δ) = P ∫

Czβ,δ(ε)

a3(Xη)(Y h,v

s,t (η)− γh,vs,t (η1, t)

)2

dη > ε

,

q2(ε, β, δ) = P ∫

Czβ,δ(ε)

a23(Xη)γ

h,vs,t (η1, t)

2dη ≤ 4ε

.

Utilitzant (2.2.6), la desigualtat de Txebitxev i la propietat Lipschitz de γz(·), s’obte,

q1(ε, β, δ) ≤ Cε(2δ+β−1)q, q ∈ [1,∞). (2.2.7)

Per altra banda, tenim

q2(ε, β, δ) ≤ q21(ε, β, δ) + q22(ε, β, δ),


on,

q21(ε, β, δ) ≤ P ∫

Czβ,δ(ε)

(γh,v

s,t (η1, t)(a3(Xη)

− 1

n0!a

(n0)3 (X0)(Xη −X0)

n0))2

dη > 4ε

,

q22(ε, β, δ) = P ∫

Czβ,δ(ε)

(γh,v

s,t (η1, t)1

n0!a

(n0)3 (X0)(Xη −X0)

n0

)2

dη ≤ 16ε

.

En els propers passos necessitarem la seguent desigualtat:

sup0≤η1≤εβ

0≤η2≤t

E(|Xη −X0|p) ≤ Cεβp, p ∈ [2,∞). (2.2.8)

Utilitzem la propietat a3(X0) = 0 i la desigualtat de Burkholder per aconseguir

E( |Xη −X0|p ) ≤ C

E∣∣∣∫

Rη

γ2η(ζ) (a3(Xζ)− a3(X0))

2 dζ∣∣∣p/2

+ E∣∣∣∫

Rη

γη(ζ) a4(Xζ) dζ∣∣∣p

.

La propietat Lipschitz de a3, la desigualtat de Holder i el Lema 2.2.3 donen l’esti-macio (2.2.8).Emprant el desenvolupament de Taylor per a3(Xη) i que qualsevol derivada de a3 esfitada observem que

|a3(Xη)− 1

n0!a

(n0)3 (X0)(Xη −X0)

n0| ≤ C

(n0 + 1)!|Xη −X0|n0+1, q.s.

Mitjancant la desigualtat de Txebitxev i (2.2.8) s’obte

q21(ε, β, δ) ≤ C ε(β+δ−1)q supη∈Cz

β,δ(ε)

E (|Xη −X0|2q(n0+1))

≤ C ε(β(2n0+3)+δ−1)q.(2.2.9)

Descomposem q22(ε, β, η) com segueix,

q22(ε, β, δ) ≤ q221(ε, β, δ) + q222(ε, β, δ),

28 Capıtol 2

amb

q221(ε, β, δ) ≤ P

∫

Czβ,δ(ε)

γh,vs,t (η1, t)

2 a(n0)3 (X0)

2

(n0!)2

((Xη −X0)

n0

−( ∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0) dξ

)n0)2

dη > 16 ε

,

q222(ε, β, δ) = P

∫

Czβ,δ(ε)

γh,vs,t (η1, t)

2 a(n0)3 (X0)

2

(n0!)2

×( ∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0) dξ

)2n0

dη ≤ 64 ε

.

Examinarem q221(ε, β, δ). Assumim n0 ≥ 2. Pel teorema del valor mig

(Xη −X0)n0 −

( ∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0)dξ)n0

= n0

λ(Xη −X0) + (1− λ)

∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0)dξ

n0−1

×(Xη −X0 −

∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0) dξ), q.s.

per algun λ ∈ (0, 1) depenent de ω. Sigui

A1(η) =

(E

( ∣∣∣λ(Xη −X0) + (1− λ)

∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0)dξ∣∣∣4q(n0−1)))1/2

,

A2(η) =

(E

( ∣∣∣Xη −X0 −∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0)dξ∣∣∣4q))1/2

.

Aleshores, les desigualtats de Txebitxev i de Schwarz impliquen

q221(ε, β, δ) ≤ C εq(β+δ−1) supη∈Cz

β,δ(ε)

(A1(η) A2(η)

). (2.2.10)

Nosaltres provarem

supη∈Cz

β,δ(ε)

A1(η) ≤ C ε2(n0−1)βq, (2.2.11)

supη∈Cz

β,δ(ε)

A2(η) ≤ C ε3βq. (2.2.12)


Obviament, per η ∈ Czβ,δ(ε)

E( ∣∣∣

∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2) a4(X0) dξ∣∣∣p)≤ C εβp, p ∈ [1,∞).

Aquesta desigualtat, juntament amb (2.2.8), implica (2.2.11). Per provar (2.2.12)notem que

A22(η) ≤ C

(a21(η) + a22(η) + a23(η)

),

on

a21(η) = E( ∣∣∣

∫

Rη

γη(ξ) a3(Xξ) dWξ

∣∣∣4q)

,

a22(η) = E( ∣∣∣

∫

Rη

γη(ξ)(a4(Xξ)− a4(X0)

)dξ

∣∣∣4q)

,

a23(η) = E( ∣∣∣

∫

Rη

(γη(ξ)− γ0,η2(0, ξ2)

)a4(X0) dξ

∣∣∣4q)

.

Fixat η ∈ Czβ,δ(ε). Utilitzant a3(X0) = 0, la propietat Lipschitz de a3 i a4 i (2.2.8),

obtenim

supη∈Cz

β,δ(ε)

(a21(η) + a22(η)

)≤ C ε6βq.

A mes, la propietat Lipschitz de γz(η) dona

supη∈Cz

β,δ(ε)

a23(η) ≤ C ε8βq.

Consequentment (2.2.12) es provat.

Les desigualtats (2.2.10), (2.2.11) i (2.2.12) impliquen

q221(ε, β, δ) ≤ C ε((2n0+2)β+δ−1)q. (2.2.13)

Per n0 = 1, tambe tenim (2.2.13). Es una consequencia directa de (2.2.12), perqueno es necessari utilitzar el teorema del valor mig.

L’estudi del terme q222(ε, β, δ) esta basat en la propietat de positivitat de la funcio

γ donada a l’apendix (vegeu (2.4.3)). Aixı, tenint en compte (a(n0)3 a4) (X0) 6= 0,

30 Capıtol 2

(2.4.3) ens permet d’assegurar

(∫

Czβ,δ(ε)

γh,vs,t (η1, t)

2( ∫

Rη

γ0,η2(0, ξ2)dξ)2n0

dη

) (a

(n0)3 (X0) a4(X0)

n0

n0!

)2

≥ C

∫ εβ

0

∫ t

t−εδ

(η1 η2)2n0 dη1 dη2

≥ C (t− εδ)2n0 εδ ε(2n0+1)β

≥ C εδ+(2n0+1)β.

Si elegim β, δ > 0 satisfent

1− δ − (2 n0 + 1)β > 0, (2.2.14)

llavors q222(ε, β, δ) = 0.Agafem δ = 1

2, β = 1

4n0+3. Es facil comprovar que compleixen (2.2.14) i a mes a

mes, les restriccions seguents: 2δ + β − 1 > 0 i β(2 n0 + 2) + δ − 1 > 0.Amb tot aixo, l’estimacio (2.2.4) es provada des de (2.2.7), (2.2.9) i (2.2.13) en elcas mes general. ¤

Donem un lema (demostrat per P.L. Morien [38]) que necessitarem per a la de-mostracio del Teorema 2.2.4. Es un resultat consequencia de la dualitat entre laderivada de Malliavin i la integral de Skorohod del qual donarem els arguments mesimportants de la prova.

Lema 2.2.8 Siguin ξ una variable aleatoria no degenerada i Z ∈ D∞. Sigui H0(Z, ξ)= Z i Hn+1(Z, ξ) = δ(Hn(Z, ξ)‖Dξ‖−2Dξ), n ≥ 0. (com a (2.2.2)). Aleshores, per atot enter n, q ≥ 1 i p ∈ (1,∞),

‖Hn(Z, ξ)‖q,p ≤ C (‖Z‖q+n,4np),

on C es una constant que depen de les normes seguents:

‖ξ‖q+2,4np i E[ ( ‖Dξ‖2)−1]k(n), amb k(n) ∈ N.

Prova. Provarem el cas n = 1, el cas general es fa per recurrencia. Tenim

‖H1(Z, ξ)‖q,p =∥∥∥δ(Z‖Dξ‖−2Dξ)

∥∥∥q,p

.


La part dreta de la igualtat esta formada per termes amb la forma seguent:

AM := E(∥∥∥DMδ(Z‖Dξ‖−2Dξ)

∥∥∥p)

, M ≤ q.

Utilitzant (2.2.1) obtenim

AM ≤ AM,1 + AM,2,

amb

AM,1 = E∥∥∥DM(Z‖Dξ‖−2δ(Dξ))

∥∥∥p

,

AM,2 = E∥∥∥DM(〈D(Z‖Dξ‖−2), Dξ〉)

∥∥∥p

.

Estudiem en primer lloc AM,1. Per les desigultats triangular i de Schwarz tenim

AM,1 ≤ C

M∑

k=0

E(∥∥∥DM−k(Z‖Dξ‖−2)⊗Dk(δDξ)

∥∥∥p)

≤ C

M∑

k=0

E[∥∥∥DM−k(Z‖Dξ‖−2)

∥∥∥p

· ‖Dk(δDξ)‖p]

≤ C

M∑

k=0

(E

∥∥∥DM−k(Z‖Dξ‖−2)∥∥∥

2p)1/2

·(E‖Dk(δDξ)‖2p

)1/2

.

Reiterant aquest mateix raonament i aplicant la hipotesi ‖Dξ‖−1 ∈ ⋂p≥1 Lp(Ω) i

q ≤ M , resulta

E∥∥∥DM−k(Z‖Dξ‖−2)

∥∥∥2p

≤ C

M−k∑i=0

E[‖DM−k−iZ‖2p ·

∥∥∥Di(‖Dξ‖−2)∥∥∥

2p]

≤ C

M−k∑i=0

(E‖DM−k−iZ‖4p

)1/2

≤ C‖Z‖2pM−k,4p

≤ C‖Z‖2pq,4p.

Per altra banda, per les desigualtats de Meyer (vegeu [42] Seccio 1.5)

E ‖Dk(δDξ)‖2p = E ‖DkC2ξ‖2p ≤ C‖ξ‖2pq+2,2p.

32 Capıtol 2

Queda aixı demostrat el resultat per AM,1. Analitzem ara AM,2. La desigualtat deSchwarz i ‖Dξ‖−1 ∈ ⋂

p≥1 Lp(Ω) impliquen

E∥∥∥DM

(〈D(Z‖Dξ‖−2), Dξ〉

)∥∥∥p

≤ C E[ M∑

k=0

∥∥∥Dk+1(Z‖Dξ‖−2)∥∥∥

p

‖DM−k+1ξ‖p]

≤ C

M∑

k=0

(E

∥∥∥Dk+1(Z‖Dξ‖−2)∥∥∥

2p)1/2

≤ C

M∑

k=0

k+1∑i=0

(E‖DiZ‖4p

)1/4

≤ C ‖Z‖pq+1,4p.

Finalitzant aixı la demostracio del lema per n = 1. ¤

Prova del Teorema 2.2.4. Fixat z = (s, t) ∈ T r E; aplicant la Proposicio 2.2.7quan v = 0, s’obte (

∫T|DηXz|2dη)−1 ∈ ⋂

p≥1 Lp(Ω). Aquesta propietat i la Proposi-cio 2.2.6 impliquen que es compleixin les condicions del Teorema 2.2.1, i aixo ensdona l’existencia d’una densitat regular per a la llei de Xz.Provem ara la propietat Lipschitz. Sigui f una funcio real regular. Denotem per Fla seva primitiva. Veurem, per a tot h ∈ (0, 1− s),

∣∣∣E(f(Xs+h,t)− f(Xs,t)

)∣∣∣ ≤ C ‖F‖∞h. (2.2.15)

Primerament, considerem el desenvolupament de Taylor fins a la derivada de segonordre,

E(f(Xs+h,t)− f(Xs,t)

)= A1 + A2, (2.2.16)

ambA1 = E

(f ′(Xs,t) (Xs+h,t −Xs,t)

),

A2 = E(

(Xs+h,t −Xs,t)2

∫ 1

0

(1− v) f ′′(Zs,t(h, v)) dv).

Descomposem A1 de la manera seguent:

A1 =3∑

i=1

A1i,


on

A11 = E

(f ′(Xs,t)

∫

Rs,t

(γs+h,t(η)− γs,t(η)) a3(Xη) dWη

),

A12 = E

(f ′(Xs,t)

( ∫

Rs,t

(γs+h,t(η)− γs,t(η)) a4(Xη) dη

+

∫ s+h

s

∫ t

0

γs+h,t(η)a4(Xη) dη))

,

A13 = E

(f ′(Xs,t)

∫ s+h

s

∫ t

0

γs+h,t(η) a3(Xη) dWη

).

Sigui

K(1)s,t (h) =

∫

Rs,t

(γs+h,t(η)− γs,t(η)

)a3(Xη) dWη.

Aplicant (2.2.3) obtenim

A11 = E(F (Xs,t) H2(K

(1)s,t (h), Xs,t)

)≤ ‖F‖∞ E

(|H2(K

(1)s,t (h), Xs,t)|

).

Les variables aleatories Z := K(1)s,t (h) i ξ := Xs,t satisfan les condicions del Lema 2.2.8,

aquest fet es una consequencia de la Proposicio 2.2.7. Per tant,

|A11| ≤ C ‖F‖∞ ‖K(1)s,t (h)‖2,16.

A mes, la propietat Lipschitz de γ.(η) implica

‖K(1)s,t (h)‖n,p ≤ C h.

Aixı,|A11| ≤ C ‖F‖∞ h.

Sigui

K(2)s,t (h) =

∫

Rs,t

(γs+h,t(η)− γs,t(η)

)a4(Xη) dη +

∫ s+h

s

∫ t

0

γs+h,t (η) a4(Xη) dη.

Com abans,

A12 = E(F (Xs,t) H2(K

(2)s,t (h), Xs,t)

),

i el Lema 2.2.8 aplicat a Z := K(2)s,t (h) i ξ := Xs,t ens dona

|A12| ≤ C‖F‖∞ ‖K(2)s,t (h)‖2,16 ≤ C ‖F‖∞ h.

34 Capıtol 2

Per finalitzar l’estudi de A1, f ′(Xs,t) i∫ s+h

s

∫ t

0γs+h,t (η) a3(Xη) dWη son variables

aleatories independents. Per tant A13 = 0. Aixo, junt amb les fitacions de A11 i A12

ens demostra

|A1| ≤ C ‖F‖∞ h. (2.2.17)

Estudiem ara A2. Emprant (2.2.3) obtenim

E((Xs+h,t −Xs,t)

2 f ′′((Zs,t(h, v)))

= E(F (ξ) H3(Z, ξ)

)

amb

Z = (Xs+h,t −Xs,t)2, ξ = Zs,t(h, v).

Com les condicions del Lema 2.2.8 son satisfetes,

|A2| ≤ C ‖F‖∞ ‖(Xs+h,t −Xs,t)2‖3,64.

A mes,

‖(Xs+h,t −Xs,t)2‖n,p ≤ C h. (2.2.18)

Per n = 0 vegeu, per exemple, la Proposicio 2.5 a [47]. Per n ≥ 1, (2.2.18) pot esserfacilment provat tenint en compte que Xz ∈ D∞, per a tot z ∈ T , i que la diferenciaesta elevada al quadrat.

D’aquı,

|A2| ≤ C ‖F‖∞ h. (2.2.19)

Des de (2.2.16), (2.2.17) i (2.2.19), l’estimacio (2.2.15) es compleix. Analogament,per a tot h ∈ (0, 1− t),

|E(f(Xs,t+h)− f(Xs,t))| ≤ C ‖F‖∞h. (2.2.20)

Fixem y ∈ R i considerem la funcio delta de Dirac δy. Sigui fn, n ≥ 1 unasuccessio de funcions reals regulars que convergeixen a δy. I passant al lımit lesestimacions (2.2.15), i (2.2.20) per fn, quan n →∞, obtenim la propietat Lipschitzper l’aplicacio z −→ pz(y). Aixo finalitza la demostracio del Teorema 2.2.4. ¤

2.3 Estimacions de Varadhan 35

2.3 Estimacions de Varadhan

Objectiu

El proposit d’aquest capıtol es provar

limε→0

ε2 log pεz(y) = −1

2d2(x, y)

sota el conjunt d’hipotesis (H11), (H12) i (H13), essent pεz la densitat de Xε

z , soluciode (2.1.4), pero amb condicio inicial determinista x, i on d2(x, y) es donat a (2.1.7).Discutirem tambe la finitud de d2(x, y), relacionant aquest fet amb la positivitat dela densitat.

Preliminars

Sigui (E, Σ) un espai metric separable i complet amb la σ-algebra de Borel correspo-nent. Sigui (pε)ε≥0 una famılia de mesures de probabilitat en (E, Σ) i I : E −→ [0,∞)una funcio semi-contınua inferiorment anomenada funcional d’accio, tal que els con-junts I ≤ a son compactes per qualsevol a ∈ [0,∞).

Definicio 2.3.1 Direm que (pε)ε≥0 satisfa un principi de grans desviacions ambfuncional d’accio I si es compleix

ε2 log pεO ≥ −Λ(O), per cada obert O,

ε2 log pεF ≤ −Λ(F ), per cada tancat F,

on Λ(A) = infx∈A I(x), donat un subconjunt A ⊂ E.

La definicio tambe la podem utilitzar quan la famılia de probabilitats es una suc-cessio.

Per aconseguir el proposit d’aquesta seccio demostrarem una minoracio i una majo-racio de la densitat. Els resultats seguents van ser presentats per D. Nualart [42] per

36 Capıtol 2

a funcionals de Wiener generals, utilitzant la formulacio de R. Leandre i F. Russo([29],[30]).

Proposicio 2.3.2 (Proposicio 4.4.2 [42]) Sigui F ε, ε ∈ (0, 1] una famılia devectors aleatoris no degenerats satisfent

(a) supε∈(0,1] ‖F ε‖k,p < ∞, per cada enter k ≥ 1 i qualsevol p ∈ (1,∞).

(b) Per qualsevol p ∈ [1,∞), existeix N(p) ∈ [1,∞) tal que ‖Γ−1F ε‖p ≤ ε−N(p).

(c) F ε, ε ∈ (0, 1] segueix un principi de grans desviacions sobre Rm amb fun-cional d’accio I(y), y ∈ Rm.

Aleshores, si pε denota la densitat de F ε,

lim supε↓0

ε2 log pε(y) ≤ −I(y).

La minoracio es una lleugera modificacio a la Proposicio 4.4.1 de D. Nualart [42].

Proposicio 2.3.3 Considerem una famılia F ε, ε ∈ (0, 1) de vectors aleatoris nodegenerats, i Φ ∈ C1(H,Rm) tals que

limε↓0

F ε(ω + hε)− Φ(h)

ε= Z(h) (2.3.1)

en la topologia de D∞(Rd), per cada h ∈ H, on Z(h) es un vector aleatori m-dimensional amb distribucio absolutament contınua.Definim, per a tot y ∈ Rm,

d2R(y) = inf

‖h‖2

H : Φ (h) = y, det(〈D Φ (h), D Φ (h)〉H

)> 0

.

Aleshores, si pε denota la densitat de F ε,

lim infε↓0

ε2 log pε(y) ≥ −1

2d2

R(y). (2.3.2)

Recordem que DΦ(h) vol dir derivada en el sentit de Frechet.Per finalitzar aquests preliminars, definim que es el suport.


Definicio 2.3.4 Donada una variable aleatoria F : Ω −→ B que pren valors enun espai de Banach separable (B, ‖.‖), anomenarem suport topologic de la llei deprobabilitat de F al mes petit tancat A de B complint P F−1(A) = 1.

Resultats

Considerem el proces Xεz , z ∈ T, ε > 0, que s’obte des de (2.1.2) perturbant el

soroll i amb condicio inicial determinista x. Aixo vol dir que Xεz , z ∈ T es la

solucio de l’equacio

Xεz = x +

∫

Rz

γz(η)(ε a3(X

εη) dWη + a4(X

εη) dη

), ε > 0. (2.3.3)

Assumim que es compleixen les hipotesis (H11), (H12) i (H13) de la Seccio 2.2, i coma consequencia d’aquest fet, per a tot z ∈ T r E, la llei de Xε

z te una densitat, pεz,

per cada ε > 0.L’objectiu d’aquesta seccio es provar el seguent resultat.

Teorema 2.3.5 Sota (H11), (H12) i (H13),

limε↓0

ε2 log pεz(y) = −1

2d2(x, y),

on d2(x, y) es donat per (2.1.7).

En els proxims lemes donem algunes eines utilitzades en la demostracio del Teore-ma 2.3.5.

Lema 2.3.6 Assumim (H11), (H12) i (H13). Per qualssevol p ≥ 1, ε ∈ (0, 1],

‖ (Γεz)−1‖p ≤ C ε−2, (2.3.4)

on Γεz =

∫T|Dr Xε

z |2 d r.

Prova. Sigui Y εz (r), 0 ≤ r ≤ z solucio de

Y εz (r) = γz(r) +

∫

(r,z]

γz(η) Y εη (r)

[ε a′3 (Xε

η) dWη + a′4 (Xεη) d η

].

38 Capıtol 2

Per unicitat de solucio, la derivada de Malliavin de Xεz satisfa

Dr Xεz = l1r≤z ε a3(X

εr ) Y ε

z (r).

Consequentment, Γεz = ε2 Qε

z, amb

Qεz =

∫

Rz

a3 (Xεr )

2 Y εz (r)2 d r.

Els mateixos arguments de la Proposicio 2.2.7 proven

sup0<ε≤1

E(| (Qε

z)−1|p

)≤ Cp, p ∈ [1,∞).

Queda aixı demostrat (2.3.4). ¤

Provem ara la diferenciabilitat de l’esquelet.

Proposicio 2.3.7 Sota les hipotesis (H11) i (H12), l’aplicacio h ∈ H −→ Shz ,

z ∈ T , definida en (2.1.6), es infinitament diferenciable en el sentit de Frechet.Endemes, la derivada de Frechet, D Sh

z , ve donada per

D Shz (k) =

∫

Rz

(Dr Shz ) kr dr, k ∈ H.

Prova. Es demostra per induccio. Fixem h ∈ H. La desigualtat de Holder, la fitaciode la funcio de Green i el Lema 2.2.3 tipus Gronwall proven

supz∈T

|Shz | ≤ C, (2.3.5)

supz∈T

|Sh+kz − Sh

z | ≤ C‖k‖H, (2.3.6)

per a tot k ∈ H.Veiem que S es diferenciable. Sigui h ∈ H i z ∈ T , formalment podrıem escriure laderivada per k ∈ H com

D Shz (k) =

∫

Rz

(Dr Shz ) kr dr,


on Dr Shz es g.p.t. r ∈ T l’unica solucio de l’equacio

Dr Shz = l1Rz(r)

γz(r)a3(S

hr ) +

∫

(r,z]

γz(η)Dr Shη a′3(Sh

η )hη + a′4(Shη )dη

. (2.3.7)

Per altra banda tenim

Sh+kz − Sh

z =

∫

Rz

γz(η)(a3(S

h+kη )− a3(S

hη )

)(hη + kη)dη +

∫

Rz

γz(η)a3(Shη )kηdη

+

∫

Rz

γz(η)(a4(S

h+kη )− a4(S

hη )

)dη. (2.3.8)

Des de (2.3.7), el teorema de Fubini implica

DShz (k) =

∫

Rz

γz(η)a3(Shη )kηdη +

∫

Rz

γz(η)DShη (k)a′3(Sh

η )hη + a′4(Shη )dη. (2.3.9)

Siguin M(z) = DShz (k) i N(z) = Sh+k

z − Shz . Restant (2.3.8) i (2.3.9) obtenim

M(z)−N(z) =

∫

Rz

γz(η)

a′3(Shη )hη + a′4(S

hη )

(M(η)−N(η)

)dη

+ A(z) + B(z) + C(z),

on

A(z) =

∫

Rz

γz(η)

a′3(Shη )N(η)− a3(S

h+kη ) + a3(S

hη )

hηdη,

B(z) = −∫

Rz

γz(η)

a3(Sh+kη )− a3(S

hη )

kηdη,

C(z) =

∫

Rz

γz(η)

a′4(Shη )N(η)− a4(S

h+kη ) + a4(S

hη )

dη.

Mitjancant la desigualtat de Holder, la fitacio de la funcio de Green, les hipotesis(H11) i (H12), i el Lema 2.2.3 s’obte facilment

|M(z)−N(z)|2 ≤ C(|A(z)|2 + |B(z)|2 + |C(z)|2).La desigualtat de Holder, la fitacio de la funcio de Green, la propietat Lipschitz dea3 i a4, i (2.3.6) impliquen

|A(z)|2 ≤ C

∫

Rz

|a′3(Shη )N(η)− a3(S

h+kη ) + a3(S

hη )|2dη ≤ o(‖k‖2

H),

|B(z)|2 ≤ C‖k‖2H

∫

Rz

|a3(Sh+kη )− a3(S

hη )|2dη ≤ C‖k‖4

H.

40 Capıtol 2

Fitem C(z) com hem fet per A(z). Combinant aquestes tres fitacions provem que Ses diferenciable en el sentit de Frechet i que la derivada es

D Shz (k) =

∫

Rz

(Dr Shz ) kr dr, k ∈ H,

on DrShη es la solucio de (2.3.7). El cas general es prova recurrentment usant els

mateixos arguments que per la diferenciabilitat. ¤

Considerem la equacio

Jz(r) = γz(r) +

∫

(r,z]

γz(η) Jη(r)[a′3 (Sh

η ) hη + a′4 (Shη )

]dη, 0 ≤ r ≤ z. (2.3.10)

Igual que per la derivada de Malliavin, Dr Xεz , es facil comprovar

Dr Shz = l1r≤z a3 (Sh

r ) Jz(r).

Sigui

Γhz =

∫

Rz

|Dr Shz |2 dr,

on el significat de Γhz es analeg al de la matriu de Malliavin pero en el cas determi-

nista.

Lema 2.3.8 Assumim (H11), (H12) i (H13). Aleshores, per a tot h ∈ H, Γhz > 0.

Prova. Suposem primer que a3(x) 6= 0. Per a tot ε > 0 definim, com a la Seccio 2.2,Cz

β,δ(ε) = (0, εβ)× (t− εδ, t). Siguin

B1(ε) =

∫

Cz1,1(ε)

a23(x) γ2

s,t(0, t) dr,

B2(ε) =

∫

Cz1,1(ε)

(a3(S

hr ) Jz(r)− a3(x) γs,t (0, t)

)2

dr.

Obviament,

Γhz ≥

1

2B1(ε)−B2(ε). (2.3.11)

Des de a3(x) 6= 0, (2.4.3) ens assegura

B1(ε) ≥ C ε2. (2.3.12)


Tot seguit provemB2(ε) ≤ C ε3. (2.3.13)

A partir de (2.3.10), utilitzant la desigualtat de Schwarz i el Lema 2.2.3 , podemcomprovar

supz∈T

supr≤z

|Jz(r) | ≤ C (2.3.14)

per alguna constant C finita.Consequentment, per r ∈ Cz

β,δ (ε)

| Jz(r)− γz(r) | ≤ C

∫

(r,z]

| Jη(r) | (hη + 1) dη ≤ C εδ/2. (2.3.15)

A mes,|Sh

r − x| ≤ C (r1r2)1/2, r = (r1, r2), (2.3.16)

per alguna constant depenent tan sols de la constant de Lipschitz i ‖h‖H. Leshipotesis de (H12), les propietats de γ i (2.3.14) donen∣∣∣ a3(S

hr ) Jz(r)− a3(x) γs,t(0, t)

∣∣∣ ≤ C|Jz(r)− γz(r) |+ |r1|+ |t− r2|+ |Sh

r − x|

.

Aleshores, (2.3.13) segueix des de (2.3.15) i (2.3.16). Per (2.3.12) i (2.3.13) existeixε0 > 0 tal que per qualsevol ε ∈ (0, ε0), la part dreta de (2.3.11) es estrictamentpositiva, i aixı, Γh

z > 0.Suposem ara a3(x) = 0. Fixem β, δ, ε > 0 que determinarem mes endavant. Siguin

A1 (ε, β, δ) =1

2

∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r) a2

3(Shr ) dr,

A2 (ε, β, δ) =

∫

Czβ,δ(ε)

(Jz(r)− γz(r)

)2

a23(S

hr ) dr.

Facilment,

Γhz ≥

∫

Czβ,δ(ε)

|Dr Shz |2 dr ≥ A1(ε, β, δ)− A2(ε, β, δ). (2.3.17)

Per (2.3.15) i (2.3.5)A2(ε, β, δ) ≤ C εβ+2δ. (2.3.18)

Considerem el desenvolupament de Taylor de a3 al voltant de x, que es la condicioinicial de l’equacio evolucio que defineix Sh

z ,

a3 (Shr ) =

1

n0 !a

(n0)3 (x) (Sh

r − x)n0 +1

(n0 + 1) !a

(n0+1)3 (x) (Sh

r − x)n0+1, (2.3.19)

42 Capıtol 2

on x es algun punt entre Shr i x.

Prenem la descomposicio

Shr − x =

4∑j=1

Sjr

amb

S1r =

∫

Rr

γr(ξ) a3(Shξ ) hξ d ξ,

S2r =

∫

Rr

γr(ξ)(a4(S

hξ )− a4(x)

)d ξ,

S3r =

∫

Rr

(γr(ξ)− γ0,r2 (0, ξ2)

)a4(x) d ξ,

S4r =

∫

Rr

γ0,r2 (0, ξ2) a4(x) d ξ.

El desenvolupament (2.3.19) i la desigualtat triangular impliquen

2 A1(ε, β, δ) ≥ A11 (ε, β, δ)− A12 (ε, β, δ), (2.3.20)

on

A11 (ε, β, δ) =1

22n0

∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r)

(a(n0)3 (x)

n0 !

)2

(S4r )

2n0 dr,

A12(ε, β, δ) =

∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r)

(1

2

(a(n0)3 (x)

n0 !

)2( 3∑j=1

Sjr

)2n0

+(a

(n0+1)3 (x)

(n0 + 1) !

)2

×(Sh

r − x)2(n0+1)

)dr.

A mes a mes,

A11 (ε, β, δ) ≥ A111 (ε, β, δ)− A112 (ε, β, δ) (2.3.21)

amb

A111 (ε, β, δ) =1

22n0+1

∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r1, t)

(a(n0)3 (x)

n0 !

)2(S4

r

)2n0

dr,

A112 (ε, β, δ) =1

22n0

∫

Czβ,δ(ε)

(γz(r)− γz(r1, t)

)2 (a(n0)3 (x)

n0 !

)2(S4

r

)2n0

dr.


Des de (2.4.3), i tenint en compte (a(n0)3 a4) (x) 6= 0, s’obte

A111 (ε, β, δ) ≥ C

∫

Czβ,δ(ε)

(r1 r2)2n0 dr1 dr2 ≥ C εδ+(2n0+1)β. (2.3.22)

El que resta de prova consisteix en trobar unes bones fitacions per A12 (ε, β, δ) iA112 (ε, β, δ).Tenim ∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r) a

(n0)3 (x)2 (S1

r )2n0 dr ≤ C ε(3n0+1)β+δ. (2.3.23)

Com per a tot z = (s, t) ∈ T, |Shz − x| ≤ C |s t|. Aleshores,

|S1r |2n0 ≤ C (r1 r2)

3n0

i per aixo es compleix (2.3.23).Analogament,

|S2r |2n0 ≤ C (r1 r2)

4n0 ,

complint-se llavors

∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r) a

(n0)3 (x)2 (S2

r )2n0 dr ≤ C ε(4n0+1)β+δ. (2.3.24)

Per la propietat Lipschitz de γ,

|S3r |2n0 ≤ C r4n0

1 r2n02 .

Consequentment,

∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r) a

(n0)3 (x)2 (S3

r )2n0 dr ≤ C ε(4n0+1)β+δ. (2.3.25)

Tambe tenim∫

Czβ,δ(ε)

γ2z (r) a

(n0+1)3 (x)2 (Sh

r − x)2n0+2 dr ≤ C ε(2n0+3)β+δ. (2.3.26)

Aleshores, (2.3.23)-(2.3.26) impliquen

A12 (ε, β, δ) ≤ C(ε(3n0+1)β+δ + ε(2n0+3)β+δ

). (2.3.27)

44 Capıtol 2

Finalment,

A112 (ε, β, δ) ≤ C

∫

Czβ,δ(ε)

|t− r2|2 |r1 r2|2n0 dr ≤ C ε(2n0+1)β+3δ. (2.3.28)

Des de (2.3.17), (2.3.20) i (2.3.21)

Γhz ≥

1

2A111 (ε, β, δ)− 1

2A112 (ε, β, δ)− 1

2A12 (ε, β, δ)− A2 (ε, β, δ).

Aixı, (2.3.18), (2.3.22), (2.3.27) i (2.3.28) ens asseguren

Γhz ≥ C

(ε(2n0+1)β+δ − εβ+2δ − εδ+((3n0+1)∧(2n0+3))β

), (2.3.29)

per alguna constant C positiva. Elegim 0 < β, δ tals que δ > 2 n0 β. Aleshores(2.3.29) ens dona Γh

z > 0. ¤

Sigui yε,hz (ω) = Xz (εω + h), ε ∈ [0, 1], h ∈ H, z ∈ T . El proces yε,h

z , z ∈ Tsatisfa l’equacio

yε,hz = x +

∫

Rz

γz(η)[ε a3 (yε,h

η ) dWη + a3 (yε,hη ) hη dη + a4 (yε,h

η ) dη],

i per unicitat de solucio, y0,hz = Sh

z .

Lema 2.3.9 Assumim (H11) i (H12’) ai : R −→ R, i = 3, 4, Lipschitz. Aleshores

limε↓0

(supz∈T

E ( |yε,hz − Sh

z |p))

= 0, p ∈ [1,∞).

Prova. Es una consequencia immediata del lema tipus Gronwall i de la fitacio seguent

sup0≤ε≤1

supz∈T

E ( |yε,hz |p) ≤ C, (2.3.30)

per alguna constant C positiva i finita. ¤

Considerem Zhz , z ∈ T definit per

Zhz =

∫

Rz

γz(η) a3(Shη ) dWη +

∫

Rz

γz(η) Zhη

[a′3 (Sh

η ) hη + a′4 (Shη )

]dη.

Notem que Zhz es un proces gaussia, doncs la derivada de Malliavin D Zh

z es deter-minista.Sigui ζε,h

z = yε,hz −Sh

z

ε, ε ∈ (0, 1]. El nostre proposit sera estudiar la convergencia de

ζε,hz , quan ε ↓ 0, per z ∈ T, h ∈ H fixades, co es, la derivabilitat de ε 7−→ yε,h

z .


Lema 2.3.10 Assumim (H11) i (H12”) ai, i = 3, 4, son funcions C1 amb derivadesfitades. Aleshores

Lp − limε↓0

(ζε,hz − Zh

z ) = 0, p ∈ [1,∞),

uniformement en z ∈ T .

Prova. Fixat p ∈ [2,∞). Aleshores,

E(|ζε,h

z − Zhz |p

)≤ C

(A1(ε, z) + A2(ε, z) + A3(ε, z)

),

amb

A1 (ε, z) = E

(|∫

Rz

γz(η)[a3 (yε,h

η )− a3 (Shη )

]dWη

∣∣∣p)

,

A2 (ε, z) = E

(|∫

Rz

γz(η)[a3 (yε,h

η )− a3 (Shη )

ε− a′3 (Sh

η ) Zhη

]hη dη

∣∣∣p)

,

A3 (ε, z) = E

(|∫

Rz

γz(η)[a4 (yε,h

η )− a4 (Shη )

ε− a′4 (Sh

η ) Zhη

]dη

∣∣∣p)

.

La desigualtat de Burkholder i la propietat Lipschitz de a3 impliquen

supz∈T

A1(ε, z) ≤ C supz∈T

E(|yε,h

z − Shz |p

). (2.3.31)

Pel teorema del valor mig

ai(yε,hη )− ai(S

hη ) = a′i(χ

ε,h,iη ) (yε,h

η − Shη )

amb χε,h,iη = λi yε,h

η +(1 − λi)Shη , per algun λi ∈ (0, 1) depenent de ω , i = 3, 4.

Consequentment, per i = 3, 4,

∣∣∣∣ai(y

ε,hη )− ai(S

hη )

ε− a′i(S

hη )Zh

η

∣∣∣∣ ≤ C| ζε,h

η − Zhη |+ |χε,h,i

η − Shη | |Zh

η |

.

Pels tıpics arguments basats en les desigualtats de Burkholder i Holder i el Lema2.2.3, resulta

supz∈T

E(|Zh

z |p)≤ C , p ∈ [1,∞] .

46 Capıtol 2

A mes, pel Lema 2.3.9

supz∈T

E(|χε,h,i

z − Shz |p

)= sup

z∈TE

((λi)p|yε,h

z − Shz |p

)−−→ε↓0

0 . (2.3.32)

Com a consequencia,

supz∈T

E(|ζε,h

z − Zhz |p

)≤ C

a(ε) +

∫

Rz

supξ≤η

E(|ζε,h

ξ − Zε,hξ |p

)dη

amb limε↓0 a(ε) = 0, degut a (2.3.31) i (2.3.32). Aixı, utilitzant el Lema 2.2.3finalitzem la prova d’aquest lema. ¤

A continuacio veurem un refinament del Lema 2.3.10.

Lema 2.3.11 Assumim (H11) i (H12). Aleshores

limε↓0

(ζε,hz − Zh

z

)= 0 ,

en la topologia D∞.

Prova. Com Shz es determinista, Zh

z es Gaussia i, a causa del Lema 2.3.10, nomesens queda comprovar

limε↓0

E

(∣∣∣∫

T

(1

εDηy

ε,hz −DηZ

hz

)2

dη∣∣∣p/2

)= 0 , (2.3.33)

limε↓0

E

(∣∣∣∫

T j

(1

εDj

ηyε,hz

)2

dη∣∣∣p/2

)= 0 , j = 2, 3, . . . , (2.3.34)

p ∈ [1,∞).Tenim Dηy

ε,hz = l1η≤z ε a3(y

ε,hη ) M ε,h

z (η), amb

M ε,hz (η) = γz(η) +

∫

(η,z]

γz(ξ)Mε,hξ (η)

[ε a′3(y

ε,hξ )dWξ + a′3(y

ε,hξ )hξdξ + a′4(y

ε,hξ )dξ

].

Analogament, DηZhz = l1η≤z a3(S

hη )Nh

z (η), on

Nhz (η) = γz(η) +

∫

(η,z]

γz(ξ)Nhξ (η)

[a′3(S

hξ )hξ + a′4(S

hξ )

]dξ .


Aleshores

E

(∣∣∣∫

T

(1

εDηy

ε,hz −DηZ

hz

)2

dη∣∣∣p/2

)

= E

(∣∣∣∫

Rz

(a3(y

ε,hη )M ε,h

z (η)− a3(Shη )Nh

z (η))2

dη∣∣∣p/2

)

≤ C(C1(ε, z) + C2(ε, z)

),

amb

C1(ε, z) = E

(∣∣∣∫

Rz

(a3(y

ε,hη )(M ε,h

z (η)−Nhz (η))

)2

dη∣∣∣p/2

),

C2(ε, z) = E

(∣∣∣∫

Rz

|yε,hη − Sh

η |2 |Nhz (η)|2dη

∣∣∣p/2

).

Un argument similar a l’utilitzat en la demostracio del Lema 2.3.9 prova

supη≤z

E(|M ε,h

z (η)−Nhz (η)|p

)−−→ε↓0

0 , p ∈ [1,∞) .

A mes, supη≤z |Nhz (η)| ≤ C. Aquestes propietats juntament amb (2.3.30) donen

(2.3.33).El compliment de (2.3.34) es una consequencia trivial del seguent fet: per j ∈N− 1 ,

Djη yε,h

z = εj l10≤η1≤...≤ηj≤zRε,hz (η) , (2.3.35)

η = (η1, . . . , ηj) , amb sup0≤η1≤...≤ηj≤z E(|Rε,hz (η)|p) ≤ C , p ∈ [1,∞) .

Aixı, (2.3.35) pot ser facilment comprovat de manera recursiva. ¤

A l’article de C. Rovira i M. Sanz-Sole [46] han demostrat que la famılia Xε, ε >0 de solucions de (2.3.3) satisfa un principi de grans desviacions sobre l’espai defuncions contınues definides sobre T i amb valor x sobre els eixos. El funcionald’accio ve donat per

I(g) = inf

1

2‖h ‖2

H : Sh = g

.

Aixo es una consequencia forca coneguda de la seguent estimacio (vegeu [46], Teo-rema 4.4):Sota (H11) i

(H12”’) ai : R −→ R , i = 3, 4 , son funcions fitades i Lipschitz.

48 Capıtol 2

Per a tot h ∈ H, δ, R > 0, ε ∈ [0, 1], existeix α > 0 tal que

P

supz∈T

|Xεz − Sh

z | > δ , supz∈T

|εWz − h| < α

≤ exp

(− R

ε2

). (2.3.36)

Com a consequencia d’aixo, nosaltres obtenim el seguent resultat.

Proposicio 2.3.12 Assumim (H11) i (H12’) ai : R −→ R , i = 3, 4 Lipschitz. Fixatz ∈ T r E. Aleshores, la famılia de variables aleatories Xε

z , ε ∈ [0, 1] satisfa unprincipi de grans desviacions amb funcional d’accio

I(y) = inf

1

2‖h‖2

H : Shz = y

.

Prova. Si els coeficients ai, i = 3, 4, son fitats, obtenim el que desitgem mitjancantel principi de contraccio de grans desviacions tal com esta fet a [46]. Per ai, i = 3, 4,essent Lipschitz usarem una localitzacio, aquesta localitzacio es la seguent. Sigui

T ε(δ) = inf

t : sup

z≤(t,t)

|Xεz − Sh

z | ≥ δ

∧ 1, δ > 0 .

Escollim τ ε(δ) =(T ε(δ) , T ε(δ)

). I notem que

supz≤τε(δ)

|Xεz | ≤ δ + sup

z∈T|Sh

z | ≤ C . (2.3.37)

La part esquerra de (2.3.36) coincideix amb

P

sup

z≤τε(δ)

|Xεz − Sh

z | > δ , supz∈T

|εWz − h| < α

i, a causa de (2.3.37), els coeficients ai, i = 3, 4, poden suposar-se fitats. ¤

Ara tenim les eines per donar la demostracio del principal resultat d’aquesta seccio.

Prova del Teorema 2.3.5. Sigui F ε = Xεz , la solucio a (2.3.3) en un punt fixat

z ∈ T r E. A [46] han provat que Xz ∈ D∞. El mateix argument serveix perdemostrar que supε∈(0,1] ‖Xε

z‖k,p < ∞ , per a tot enter k ≥ 1, p ∈ (1,∞). Aquesta


propietat, junt amb el Lema 2.3.6 i la Proposicio 2.3.12, ens asseguren el complimentde les hipotesis de la Proposicio 2.3.2. Consequentment,

lim supε↓0

ε2 log pεz(y) ≤ − 1

2d2(x, y) .

Per F ε = Xεz , Φ(h) = Sh

z , Z(h) = Zhz , les hipotesis de la Proposicio 2.3.3 son

satisfetes. La derivada de Malliavin, DηZhz , es solucio de

DηZhz = l1η≤z

γz(η)a3(S

hη ) +

∫

(η,z]

γz(ξ) Dη Zhξ

[a′3(S

hξ ))hξ + a4(S

hξ )dξ

].

Notem que per unicitat de solucio DZhz = DSh

z . Aleshores, pel Lema 2.3.8, lacovarianca de la variable Gaussiana Zh

z no s’anul.la i d2R(y) = d2(y). A mes, el Lema

2.3.11 implica la convergencia (2.3.1). Aixı

lim infε↓0

ε2 log pεz(y) ≥ − 1

2d2(x, y) . ¤

Finalitzarem aquesta seccio analitzant la finitud de d2(x, y). Aquest problema estalligat amb la positivitat de la densitat pε

z(y). Seguint les idees que van desenvoluparA. Millet i M. Sanz-Sole a [35], per l’equacio (2.1.2) essent x := X0 determinista,hom pot obtenir

pε

z(y) > 0

=

y ; ∃h ∈ H : Shz = y i DSh

z exhaustiva

.

Aixıd2(x, y) < ∞⇔ pε

z(y) > 0 .

Consequentment, si d2(x, y) = ∞, el Teorema 2.3.5 es trivial.Per la Proposicio 4.1.2 de [42]

pε

z(y) > 0

=

︷︸︸︷supp P (Xε

z )−1 , (2.3.38)

on supp (P (Xεz )−1) denota el suport topologic de la llei de Xε. El conjunt supp

(P (Xεz )−1) es un interval tancat (un conjunt tancat i connex, per un resultat de

S. Fang [17]). Notem que com P (Xεz )−1 es absolutament contınua, (2.3.38) ens

assegura pεz(y) > 0 6= φ .

50 Capıtol 2

Proposicio 2.3.13 Suposant que a3(z) 6= 0 ∀z ∈ R. Aleshores

y : d2(x, y) < ∞ = R.

Prova. Fixat y ∈ R. Primer provem l’existencia de kz ∈ H tal que si

f(z) := x +

∫

Rz

γz(η)kz(η) dη ,

llavors f(z) = y .

L’estimacio (2.4.3) ens dona∫

Rzγz(η)2dη > 0. Sigui

α(z) = (y − x)

( ∫

Rz

γz(η)2dη

)−1

.

Aleshores, kz(η) = α(z) γz(η) satisfa f(z) = y .

Per qualsevol ξ ∈ Rz, sigui

f(ξ) = x +

∫

Rξ

γξ(η) kz(η) dη, (2.3.39)

i per qualsevol η ∈ Rz, definim

hz(η) = −a4(f(η))− kz(η)

a3(f(η)). (2.3.40)

(2.3.39) i (2.3.40) impliquen

f(ξ) = x +

∫

Rξ

γξ(η)[a3(f(η)) hz(η) + a4(f(η))

]dη , ξ ∈ Rz .

Aixı, f(ξ) = Shzξ , ξ ∈ Rz. En particular y = Shz

z i d’aquı d2(x, y) < ∞ . ¤

2.4 Apendix 51

2.4 Apendix

Objectiu

En aquest apartat enunciarem alguns resultats sobre la funcio de Green, no es donapracticament cap demostracio doncs aquestes estan fetes amb profunditat tant a[46] i [47], com a [45]. El motiu d’aquest recull es donar una introduccio a la funciode Green, aixı com els resultats que s’han utilitzat al llarg del capıtol.

Preliminars

Considerem l’operador de segon ordre

Lf(s, t) =∂2f(s, t)

∂s∂t− a1(s, t)

∂f(s, t)

∂t− a2(s, t)

∂f(s, t)

∂s.

Resultats classics sobre equacions en derivades parcials ens diuen que si utilitzem lafuncio de Green γ associada a l’operador L, podem escriure, sota certes condicions deregularitat sobre els coeficients, l’unica solucio de l’equacio diferencial en derivadesparcials

Lf(s, t) = b(s, t)

(s, t) ∈ T = [0, 1]2, f(s, t) = x0, x0 ∈ R si s · t = 0, com

f(s, t) = x0 +

∫

Rs,t

γs,t(u, v)b(u, v) dudv

La funcio de Green associada a L es defineix de la seguent manera (vegeu [49],Capıtol 3). Fixat (s, t) ∈ T , sigui γs,t(u, v) la funcio definida sobre (u, v) : (0, 0) ≤(u, v) ≤ (s, t) que satisfa les propietats:

(P )

∂2γs,t(u, v)

∂u∂v+

∂(a1(u, v)γs,t(u, v))

∂v+

∂(a2(u, v)γs,t(u, v))

∂u= 0 ,

∂γs,t(u, v)

∂u= −a1(u, v)γs,t(u, v), quan v = t ,

∂γs,t(u, v)

∂v= −a2(u, v)γs,t(u, v), quan u = s ,

γs,t(u, v) = 1, quan u = s i v = t .

52 Capıtol 2

Resultats

Suposem que els coeficients a1 i a2 satisfan les condicions seguents:

(H11) Les funcions ai : T −→ R, i = 1, 2 , son fitades, derivables i amb derivadesfitades.

Al no poder donar de forma explıcita la funcio de Green γs,t(·, ·), es construeix apartir d’una serie definida de forma iterada.Considerem

H0(s, t; u, v) ≡ 1,

Hn+1(s, t; u, v) =

∫ s

u

a1(r, v)Hn(s, t; r, v)dr +

∫ t

v

a2(u,w)Hn(s, t; u,w)dw,

(u, v) ≤ (s, t), n ≥ 1. Aleshores definim

γs,t(u, v) =∞∑

n=0

Hn(s, t; u, v), (u, v) ≤ (s, t) (2.4.1)

Proposicio 2.4.1 [45] (a) La serie (2.4.1) que defineix la funcio de Green γ esabsolutament convergent i satisfa

γs,t(u, v) = 1 +

∫ s

u

a1(r, v)γs,t(r, v)dr +

∫ t

v

a2(u,w)γs,t(u,w)dw, (2.4.2)

(0, 0) ≤ (u, v) ≤ (s, t).(b) Per tot (s, t) ∈ T, γs,t(·, ·) te derivades parcials de primer ordre respecte u i v, ide segon ordre creuada, uniformement fitades sobre (u, v) : 0 < u ≤ s, 0 < v ≤ t.(c) Fixat (u, v) ∈ T , la funcio (s, t) −→ γs,t(u, v) te derivades parcials de primerordre respecte s i t, i de segon ordre creuada, uniformement fitades sobre (u, v) :0 ≤ u ≤ s < 1, 0 ≤ v ≤ t < 1.

La derivabilidad de la funcio i (2.4.2) impliquen que les propietats (P) es compleixin.Aleshores es tracta de la funcio de Green associada a l’operador L.

2.4 Apendix 53

Proposicio 2.4.2 [45] Existeix una constant universal C > 0 tal que

sup(s,t)∈T

sup(u,v)≤(s,t)

|γs,t(u, v)| ≤ C ,

sup(s,t)∈T

|γs,t(u, v)− γs,t(u, v)| ≤ C |u− u|+ |v − v| , (u, v), (u, v) ≤ (s, t) ,

sup(u,v)∈T

|γs,t(u, v)− γs,t(u, v)| ≤ C |s− s|+ |t− t| , (s, t), (s, t) ≥ (u, v) .

Proposicio 2.4.3 [45] Sigui γs,t(u, v) la funcio definida a la serie (2.4.1). Aleshoreses compleixen

∂2γs,t(u, v)

∂s∂t− a1(s, t)

∂γs,t(u, v)

∂t− a2(s, t)

∂γs,t(u, v)

∂s= 0,

∂γs,t(u, v)

∂s− a1(s, t)γs,t(u, v), quan t = v ,

∂γs,t(u, v)

∂t− a2(s, t)γs,t(u, v), quan s = u.

Per la prova de la Proposicio 2.4.1, 2.4.2 i 2.4.3 vegeu [46], [47] i sobre tot [45], on hiha un estudi exhaustiu de la funcio de Green associada a L. A la propera proposicioes detalla una mica la seva demostracio perque hi apareixen dos expressions moltutilitzades al llarg de la primera part de la memoria.

Proposicio 2.4.4 [45] Sigui γs,t(u, v) la funcio definida a la serie (2.4.1). Aleshoreses compleix

inf0≤v≤t

γs,t(s, v) > 0 i inf0≤u≤s

γs,t(u, t) > 0 .

Prova. Si resolem les equacions diferencials satisfetes per

∂γs,t(u, v)

∂v= −a2(u, v)γs,t(u, v), quan u = s ,

γs,t(u, v) = 1, quan u = s i v = t ,

i ∂γs,t(u, v)

∂u= −a1(u, v)γs,t(u, v), quan v = t ,

γs,t(u, v) = 1, quan u = s i v = t .

54 Capıtol 2

Obtenim

γs,t(s, v) = exp

( ∫ t

v

a2(s, w) dw

), 0 ≤ v ≤ t ,

γs,t(u, t) = exp

( ∫ s

u

a1(r, t) dr

), 0 ≤ u ≤ s .

(2.4.3)

Aixo prova la proposicio. ¤

Capıtol 3

Desenvolupament asimptotic de ladensitat utilitzant ladescomposicio en Caos de Wiener

3.1 Introduccio

Sigui (T, T , µ) un espai de mesura amb una mesura σ-finita µ. SiguiH = L2(T, T , µ)i W = Wh, h ∈ H un proces Gaussia centrat i E(Wh Wh′) = 〈h, h′〉H definitsobre un espai de probabilitats (Ω,a, P ). Sigui F la σ-algebra generada per W .Considerem una aplicacio mesurable F : Ω → Rd que pertany a L2(Ω,F , P ) amb ladescomposicio seguent en caos de Wiener

F = E(F ) +∞∑

n=1

In(fn). (3.1.1)

Sigui la famılia F ε, ε ∈ (0, 1] definida per

F ε = E(F ) +∞∑

n=1

εn In(fn). (3.1.2)

Assumim que la llei de F ε es absolutament contınua respecte la mesura de Lebesguesobre Rd. L’objectiu d’aquest capıtol es estudiar el desenvolupament de Taylor de

55

56 Capıtol 3

la densitat pε(y) de F ε en ε = 0, i on y = E(F ) = E(F ε). Aquest problema ha estatextensament estudiat en el cas de les difusions, aixı com certes generalitzacions, talcom hem comentat a la Introduccio general.

En aquest capıtol, per una banda, aprofundirem en l’estudi del comportament asimp-totic d’una densitat, doncs trobarem un desenvolupament mes extens i complet queper les estimacions de Varadhan; en canvi de moment perdrem generalitat perquefarem l’estudi per un valor y particular. Aquest incovenient sera solucionat al Capıtol5.

En primer lloc provarem la diferenciabilitat de l’aplicacio F ε, ε ∈ (0, 1] en espais dederivacio apropiats relacionats amb els espais de Sobolev DN,2 del calcul de Malliavin.En particular, demostrarem que si F ∈ ⋂∞

j=0Dj,2 existeix una versio de F ε, ε ∈(0, 1) que es infinitament diferenciable, i descriurem les derivades en funcio de lesintegrals multiples In(fn), tambe provarem l’existencia del lımit de les derivades deF ε respecte ε quan ε → 0. A la segona part del capıtol considerarem la famıliaseguent:

F ε :=F ε − EF

ε, ε ∈ (0, 1].

Sota aquestes mateixes condicions podrem obtenir per F ε els mateixos resultats quehem trobat per F ε.

Despres, afegint una hipotesi de no degeneracio i utilitzant aquests resultats previs,trobarem el desenvolupament asimptotic de pε(y) per y = EF . Per aixo seguirem lesidees donades per R. Leandre [28], R. Leandre i F. Russo [30]. Sigui pε(y) la densitatde F ε i fm una successio de funcions de Rd convergint en el sentit de distribucionscap a la delta de Dirac en el 0. Aleshores, per y = EF ,

pε(y) = limm→∞

Efm(F ε − y) =1

εdlim

m→∞Efm(

F ε − y

ε)

=1

εdpε(0).

Nosaltres trobarem el desenvolupament de pε(0). Considerem una funcio f : Rd → Rregular i denotem per α un multiındex, el desenvolupament de Taylor de la com-posicio f(F ε) en ε = 0 es q.s.

f(F ε) =∑j≤N

εj∑

|α|≤j

f (α)(F 0) L(α)j + εN+1 Resta,

3.2 Regularitat del funcional 57

on L(α)j son funcionals que explicitarem. Prenent esperances i utilitzant la integracio

per parts classica del calcul de Malliavin donada al Capıtol 2 podrem fer desapareixerles derivades d’ordre mes gran o igual a 1 de f , quedant aixı factors com el seguent

E f(F 0) G(α),

on G(α) seran funcionals regulars. Fent una nova integracio per parts, emprantque la mesura de Radon definida per f → E(f(F 0)G(α)) te una densitat regular iconeguda, i agafant en lloc de f una successio de funcions fm convergint a la deltade Dirac en el 0, trobarem el desenvolupament seguent:

pε(y) =1

εdpε(0) =

1

εd(c0 + ε2c2 + · · ·+ εN+1Rε

N+1), y = EF.

Els coeficients senars seran 0 tal com passava a les difusions, i els parells seran des-crits en funcio de les integrals multiples In(fn) i correspondran a mesures de Radon.Finalment, assumint una hipotesi addicional, provarem l’afitament uniforme de laresta.

L’ındex d’aquest capıtol es el seguent. La Seccio 3.2 esta dedicada a demostrar elsresultats de diferenciabilitat necessaris. A la Seccio 3.3 es dona i prova el resultatprincipal, el desenvolupament de la densitat. Finalment, a la Seccio 3.4 apliquemaquest resultat general a dos casos particulars d’equacions diferencials en derivadesparcials estocastiques de tipus hiperbolic.

3.2 Regularitat del funcional

Objectiu

Es provaran els resultats necessaris de diferenciabilitat respecte ε sobre la famıliadefinida a (3.1.2), perque puguin esser aplicats a l’estudi del desenvolupament de

58 Capıtol 3

la densitat. Concretament, demostrarem que si F ∈ ⋂∞j=0Dj,2, existeix una versio

de la famılia F ε, ε ∈ (0, 1) que es infinitament diferenciable i descriurem aquestesderivades mitjancant les integrals multiples de la descomposicio en caos de Wienerde F .

Preliminars

Al llarg d’aquesta seccio, aixı com dins tot aquest capıtol, treballarem constantmentamb nocions sobre el caos de Wiener. Anem a donar una breu introduccio.Sigui Hn(x) l’n-essim polinomi d’Hermite, definit com

Hn(x) =(−1)n

n!ex2/2 dn

dxn(e−x2/2), n ≥ 1,

i H0(x) = 1. Per cada n ≥ 1, denotarem Hn el subespai lineal tancat de L2(Ω,a, P )generat per les variables aleatories Hn(W (h)), h ∈ H, ‖h‖H = 1. H0 es el conjuntde les constants. H1 coincideix amb el conjunt de variables aleatories W (h), h ∈H. Hn i Hm son ortogonals per n 6= m. L’espai Hn s’anomena el caos de Wienerd’ordre n.Sigui F la σ-algebra generada per les variables aleatories W (h), h ∈ H.Teorema 3.2.1 ([41]) L’espai L2(Ω,F , P ) pot ser descomposat en una suma orto-gonal infinita de subespais Hn,

L2(Ω,F , P ) =∞⊕

n=0

Hn

Teorema 3.2.2 ([41]) Sigui Hn(x) l’n-essim polinomi d’Hermite, i sigui h ∈ H =L2(T ) un element de norma 1. Aleshores

n! Hn(W (h)) =

∫

T n

h(t1) · · ·h(tn)W (dt1) · · ·W (dtn)

Com a consequencia, la integral multiple In fa anar elements de L2(T n) dins elcaos de Wiener Hn, i qualsevol F ∈ L2(Ω,F , P ) pot ser expressada com una seried’integrals multiples estocastiques,

F =∞∑

n=0

In(fn).


Aquı f0 = E(F ), i I0 es la identitat aplicada sobre les constants. Endemes, podemassumir que les funcions fn ∈ L2(T n) son simetriques i, en aquest cas, unicamentdeterminades per F .

Per altra banda, recordem que per qualsevol j ∈ Z+, els espais de Sobolev Dj,2

poden ser caracteritzats tal com segueix

Dj,2 =

F ∈ L2(Ω) :∞∑

k=j

( k !

(k − j) !

)2

(k − j) ! ‖fk‖22 < ∞

, (3.2.1)

on ‖fk‖2 denota la norma de fk en L2(T k).Finalment, assumint que F , amb la descomposicio (3.1.1), es un vector aleatori quepertany a D∞,2 :=

⋂N≥0DN,2. Aleshores

fk(·) =1

k!E (Dk

· F ), (3.2.2)

per cada k ≥ 0 (vegeu, per exemple, l’article de D.W. Stroock [51], o tambe [42]).

Resultats

Sigui F : Ω → Rd un vector aleatori sobre l’espai de Wiener abstracte (Ω,H, P ) quepertany a L2(Ω) i que te la representacio en caos de Wiener donada a (3.1.1). Perqualsevol ε ∈ (0, 1] definim, com hem anticipat a la introduccio,

F ε(ω) =∞∑

n=0

εn In(fn). (3.2.3)

Evidentment, la serie que defineix F ε(ω) convergeix en L2(Ω). Introduım a conti-nuacio uns espais de derivacio relacionats amb els classics espais de Sobolev Dk,p.Per qualsevol j ∈ Z+, sigui

∆j,2 = F ∈ L2(Ω) :∞∑

k=j

( k !

(k − j) !

)2

k ! ‖fk‖22 < ∞.

Notem que ∆0,2 = L2(Ω) i ∆j,2 decreix quan j creix.El proper resultat es prova per d = 1. Per d > 1 la demostracio es fa component acomponent.

60 Capıtol 3

Proposicio 3.2.3 Fixem j ≥ 1, i assumim F ∈ ∆j+1,2. Aleshores, existeix unaversio de F ε, ε ∈ (0, 1) que es de classe Cj. A mes a mes,

djF ε

d εj=

∞∑

k=j

k !

(k − j) !εk−j Ik(fk) .

Prova. Considerem en primer lloc el cas j = 1. Per ε, ξ amb 0 < ε + ξ < ε0 < 1tenim

F ε+ξ − F ε

ξ=

∑∞k=1

∑k−1i=0

(ki

)εi ξk−i Ik(fk)

ξ= Aε

1 + ξ Aε,ξ2 , (3.2.4)

amb

Aε1 =

∞∑

k=1

k εk−1 Ik(fk) ,

Aε,ξ2 =

∞∑

k=2

k−2∑i=0

(k

i

)εi ξk−i−2 Ik(fk) .

Com F ∈ ∆1,2, la serie que defineix Aε1 convergeix en L2(Ω). A mes,

supξ|Aε,ξ

2 | ≤ C X1 ,

on X1 :=( ∑∞

k=2 k2(k−1)2(Ik(fk))2)1/2

. Aixo es una consequencia de la desigualtat

de Schwarz, fixem-nos,

|Aε,ξ2 | ≤

∞∑

k=2

k−2∑i=0

(k − 2

i

)k (k − 1)

(k − i)(k − i− 1)εi ξk−i−2 |Ik(fk)|

≤ 1

2

∞∑

k=2

k (k − 1) (ε + ξ)k−2 |Ik(fk)|

≤ 1

2

( ∞∑

k=0

(ε + ξ)2k)1/2 ( ∞∑

k=2

k2(k − 1)2(Ik(fk))2)1/2

≤ 1

2

1

(1− ε20)

1/2X1 .

Com F ∈ ∆2,2, X1 es finita q.s. Aleshores, des de (3.2.4) obtenim

limξ→0

F ε+ξ − F ε

ξ= Aε

1, q.s.


Sigui j > 1 i aceptem que per a tot k ∈ 1, . . . , j − 1 es compleix

dεj−1 =

dj−1 F ε

d εj=

∞∑

k=j−1

k !

(k − j + 1)!εk−j+1 Ik(fk) .

Llavors,dε+ξ

j−1 − dεj−1

ξ= Bε

1 + ξ Bε,ξ2 ,

on

Bε1 =

∞∑

k=j

k !

(k − j) !εk−j Ik(fk) ,

Bε,ξ2 =

∞∑

k=j+1

k−j−1∑i=0

k !

(k − j + 1) !

(k − j + 1

i

)εi ξk−j−i−1 Ik(fk) .

La serie que defineix Bε1 convergeix en L2(Ω), doncs F ∈ ∆j,2. Com per Aε,ξ

2 tenim

|Bε,ξ2 | ≤ 1

2

1

(1− ε20)

1/2Xj ,

amb Xj :=( ∑∞

k=j+1

(k !

(k−j−1) !

)2

(Ik(fk))2)1/2

. Aquesta variable aleatoria es finita

q.s., perque F ∈ ∆j+1,2. Aleshores

limξ→0

dε+ξj−1 − dε

j−1

ξ= Bε

1, q.s.

Aixo finalitza la demostracio de la proposicio. ¤

Observacio. Des de (3.2.1) i utilitzant el criteri del quocient per comparar series,podem comprovar que D2j,2 = ∆j,2, ∀j ∈ Z+.Aixı, podem formular el resultat seguent.

Corol.lari 3.2.4 Sigui F ∈ ⋂∞j=0 Dj,2. Aleshores, existeix una versio de F ε, ε ∈

(0, 1) que es de classe C∞ respecte ε i

dj F ε

d εj=

∞∑

k=j

k !

(k − j) !εk−j Ik(fk) , (3.2.5)

j ∈ Z+, on la serie (3.2.5) convergeix en L2(Ω).

62 Capıtol 3

Al proper capıtol nosaltres no treballarem amb F ε, sino que ho farem amb el vectoraleatori seguent

F ε =F ε − E(F )

ε, 0 < ε < 1 .

Aleshores des del Corol.lari 3.2.4 podem concloure el proxim resultat:

Corol.lari 3.2.5 Sigui F ∈ ⋂∞j=0 Dj,2. Existeix una versio de F ε, ε ∈ (0, 1) que

es de classe C∞ en ε i

dj F ε

d εj=

∞∑

k=j+1

(k − 1) !

(k − (j + 1)) !εk−(j+1) Ik(fk) , (3.2.6)

dj F ε

d εj

∣∣∣ε=0

:= limε↓0

dj F ε

d εj= j ! Ij+1(fj+1) , (3.2.7)

j ∈ Z+. Particularment, prenent F 0 = limε↓0 F ε, tenim F 0 = I1(f1).

La formula (3.2.6) pot ser comprovada per induccio, utilitzant els mateixos argu-ments que a la Proposicio 3.2.3.

3.3 Desenvolupament asimptotic de la densitat

Objectiu

El proposit es obtenir el desenvolupament asimptotic de la densitat de F ε, deno-tada per pε(y), en y = EF = EF ε al voltant de ε = 0, sempre que la densitatexisteixi. En el Teorema 3.3.3 descriurem d’una manera exacta els coeficients deldesenvolupament. A mes a mes, sota una condicio addicional, demostrarem que laresta d’aquesta expansio esta uniformement fitada respecte ε ∈ (0, 1].

3.3 Desenvolupament asimptotic de la densitat 63

Preliminars

Primerament donarem un resultat tecnic i totalment determinista que utilitzarem ala demostracio del teorema principal d’aquesta seccio, aixı com en capıtols posteriors.

Sigui f : Rd → R una funcio de classe C∞. Assumim que l’aplicacio ε → φε esC∞((0, 1),Rd). Fixem un multiındex α ∈ 1, · · · , dk, α = (α1, · · · , αk), k ≥ 1.Aleshores la formula de Leibniz ens diu que per j ≥ 1,

dj

d εj

(f(φε)

)=

(j)∑(∇k

α f) (φε) ∇β1 φε,α1 . . .∇βk φε,αk , (3.3.1)

amb ∇kα := ∂k

∂xα1 ···∂xαk, ∇βi := dβi

dεβi, i on el sımbol

(j)∑es una abreviatura per

j∑

k=1

∑β1+...+βk=jβ1,..., βk≥1

∑

α∈1,...,dk

α=(α1,...,αk)

cj(β1, . . . , βk).

Els coeficients cj(β1, . . . , βk) son obtinguts recursivament com segueix,

cj(β1, . . . , βk) =k∑

i=1

cj−1(β1, . . . , βi − 1, . . . , βk) ,

amb els convenis

c1(1) = 1,cj−1(β1, . . . , βi − 1, . . . , βk) = 0, si βi = 1 per i < k,cj−1(β1, . . . , βk − 1) = cj−1(β1, . . . , βk−1), si βk = 1.

Els preliminars de la Seccio 2.2 son valids en aquesta seccio. Seguint amb les nocionsdonades llavors, una lleugera generalitzacio del Lema 2.2.8 (D. Nualart, Proposicio3.2.2 [42]) dona la fitacio seguent: Siguin Φ un vector aleatori no degenerat i Ψ ∈ D∞.Per a tot k ∈ N, p ∈ [1,∞) i multiındex α, existeixen numeros reals positiusa, a′, b, b′, d, d′, k′, k′′ mes grans que 1 tals que

‖Hα(Φ, Ψ)‖k,p ≤ C (k, p, α) ‖Γ−1Φ ‖k′′

k′ ‖Φ‖ad,b ‖Ψ‖a′

d′b′ , (3.3.2)

Hα(Φ, Ψ) definit a (2.2.2).

64 Capıtol 3

Considerem una funcio g suficientment regular. De manera analoga a (2.2.3), lamesura de Radon definida per

g −→ E (g(Φ) Ψ)

te una densitat q(y) de classe C∞, fitada i

q(y) = E l1Φ>y H(1,···,d)(Φ, Ψ). (3.3.3)

La demostracio es una petita modificacio del Corol.lari 3.2.1 [42].

Per acabar, introduirem una nova nocio. Considerem el semigrup Tt, t ≥ 0 d’ope-radors de contraccio sobre L2(Ω,F , P ) definit per

TtF =∞∑

n=0

e−nt In(fn). (3.3.4)

Aquest semigrup s’anomena d’Ornstein-Uhlenbeck, i te la propietat seguent:

Si F ∈ Dk,p(Rd), aleshores TtF ∈ Dk,p(Rd) i limt↓0 ‖TtF − F‖k,p = 0 (vegeu (2.11) a[42]).

Resultats

Sigui F ∈ D∞(Rd). La famılia F ε, ε ∈ (0, 1] de vectors aleatoris a valors en Rd

definida per (3.2.3) es dira uniformement no degenerada si

‖Γ−1F ε‖p ≤ C ε−2, (3.3.5)

per quassevol ε ∈ (0, 1], p ∈ [1,∞).

Remarca 3.3.1 Considerem el semigrup Ornstein-Uhlenbeck Tt, t ≥ 0 definit a(3.3.4). Aleshores, des de F ε = T−logεF , F ε, ε ∈ (0, 1] ⊂ D∞(Rd).

Remarca 3.3.2 Sigui σ2 = det(Cov(I1(f1)). La condicio de no degeneracio uni-forme (3.3.5) implica σ2 > 0.


Prova. Sigui

M εr =

∞∑n=1

εn−1nIn−1(fn(·, r)), r ∈ T,

i denotem per Hε la matriu (〈M ε,i,M ε,j〉L2(T ))1≤i,j≤d.Aleshores DrF

ε = εM εr , i (3.3.5) es equivalent a

supε∈(0,1]

‖(Hε)−1‖p ≤ C, ∀p ∈ [1,∞). (3.3.6)

Nosaltres provaremL1 − lim

ε↓0Hε = Cov(I1(f1)). (3.3.7)

Aleshores, el lema de Fatou i (3.3.6) mostren σ2 > 0.Per simplificar la demostracio suposarem d = 1. Llavors,

E |Hε − V ar(I1(f1))| ≤ T ε1 + T ε

2 ,

amb

T ε1 = E

∣∣∣∞∑

n=2

ε2(n−1)n2

∫

T

(In−1(fn(·, r)))2 dr∣∣∣,

T ε2 = E

∣∣∣∫

T

∞∑n,m=1n6=m

εn+m−2nm In−1(fn(·, r)) Im−1(fm(·, r)) dr∣∣∣.

Per una banda tenim

T ε1 ≤ ε2

∞∑n=2

n2(n− 1)! ‖fn‖22.

Analogament, T ε2 = εT ε

21, amb

T ε21 = E

∣∣∣∫

T

∞∑n,m=1n6=m

εn+m−3nm In−1(fn(·, r)) Im−1(fm(·, r)) dr∣∣∣.

Fixem α > 1. La desigualtat de Schwarz implica

T ε21 ≤ E

∣∣∣∞∑

n,m=1n6=m

εn+m−3nm( ∫

T

In−1(fn(·, r))2dr)1/2( ∫

T

Im−1(fm(·, r))2dr)1/2

dr∣∣∣

≤ E( ∞∑

n=1

n (

∫

T

In−1(fn(·, r))2 dr)1/2)2

≤ C

∞∑n=1

n2+α (n− 1)! ‖fn‖22.

66 Capıtol 3

Com F ∈ D∞, la serie∑∞

n=1 n2+α (n− 1)! ‖fn‖22 convergeix. Aixı

limε↓0

(T ε1 + T ε

2 ) = 0,

demostrant (3.3.7). ¤

Donem ara el resultat principal d’aquesta seccio.

Teorema 3.3.3 Sigui F ε, ε ∈ (0, 1] una famılia uniformement no degenerada.La densitat pε(y), per y = E (F ε) = E (F ), te el desenvolupament de Taylor seguent:

pε(y) =1

εd

1

(2π)d/2 σ+

N∑j=1

εj 1

j !pj + εN+1 p ε

N+1

. (3.3.8)

Els coeficients pj s’anul.len si j es senar. Per j ∈ 1, 2, . . . , N parell,

pj = E(

l1I1(f1)>0 Pj

), (3.3.9)

amb Pj pertanyent a⊕3j+d

k=0 Hk, i

Pj =

(j)∑H(1,...,d)

(I1(f1), Hα(I1(f1),

k∏

`=1

β`! Iβ`+1 (fα`β`+1))

). (3.3.10)

Endemes, si per qualssevol j ∈ Z+, k ∈ N, p ∈ [1,∞)

supε∈(0,1]

∥∥∥ dj

d εjF ε

∥∥∥k,p≤ C , (3.3.11)

aleshores, supε∈(0,1] |p εN+1| es finit.

Observacions.

(1) Des de (3.3.3) les identitats (3.3.9), (3.3.10) expressen que pj, j = 1, . . . , N ,son densitats en x = 0 de mesures de Radon definides per

g 7−→ E(g (I1(f1) )

(j)∑Hα

(I1(f1),

k∏

`=1

β` ! Iβ`+1 (fαp

β`+1)))

.


(2) Observarem tambe al llarg de la prova que p εN+1 es la densitat d’una mesura de

Radon depenent de ε. Al final del Teorema 3.3.3, afegint la condicio (3.3.11),provarem l’afitament uniforme d’aquesta densitat. En aquest cas, el darrerterme de l’expansio (3.3.8) es O (εN+1) quan ε ↓ 0.

Prova del Teorema 3.3.3. Denotem per p ε la densitat de F ε = F ε−E(F )ε

, complint-se pε(y) = 1

εd p ε (0). Nosaltres trobarem el desenvolupament per p ε (0). Sigui

f : Rd → R una funcio C∞ amb suport compacte i simetrica. L’aplicacio ε 7−→ f(F ε)es C∞, q.s., i a mes a mes,

f (F ε) = f(F 0) +N∑

j=1

1

j !εj dj

d εj(f (F ε) )

∣∣∣ε=0

+ εN+1

∫ 1

0

(1− t)N

N !

dN+1

d ηN+1(f (F η) )

∣∣∣η=tε

d t .

(3.3.12)

Prenent esperances als dos costats de la igualtat anterior, utilitzant (3.3.1), (3.2.7)i la formula d’integracio per parts (2.2.3) obtenim

E(f (F ε)

)= E

(f (I1(f1))

)

+N∑

j=1

1

j!εj E

f(I1(f1))

(j)∑Hα

(I1(f1),

k∏

`=1

β`! Iβ`+1 (fα`β`+1)

)

+ εN+1

∫ 1

0

(1− t)N

N !E

f(F εt)

(N+1)∑Hα

(F εt,

k∏

`=1

dβ` F η,α`

d ηβ`

∣∣∣η=εt

)dt.

(3.3.13)Les hipotesis del teorema asseguren (vegeu les Remarques 3.3.1, 3.3.2) que lesmesures de Radon definides per E (f(F ε)), E(f (I1(f1))), Ef(I1(f1)) Qj, j =1, . . . , N , Ef(F εt) QN+1,ε , amb

Qj =

(j)∑Hα

(I1(f1),

k∏

`=1

β`! Iβ`+1 (fα`β`+1)

),

QN+1,ε =

(N+1)∑Hα

(F εt,

k∏

`=1

dβ`

d ηβ`F η,α`

∣∣∣η=εt

),

(3.3.14)

tenen densitats C∞. A mes a mes, una nova integracio per parts a (3.3.13) dona

p ε(0) =1

(2π)d/2 σ+

N∑j=1

1

j!εj E l1I1(f1)>0 Pj + εN+1 p ε

N+1 ,

68 Capıtol 3

amb

p εN+1 =

∫ 1

0

(1− t)N

N !E

l1F εt>0

H(1,...,d)

(F εt,

(N+1)∑Hα

(F εt,

k∏

`=1

dβ`

d ηβ`F η,α`

∣∣∣η=εt

))dt. (3.3.15)

Considerem la descomposicio en caos de Wiener

F ε =∞∑

n=1

εn−1 In(fn)

i f una funcio parella i regular. La mesura de Wiener es invariant sota la transfor-macio Z(ω) = −ω. Aixı, f(F−ε) i f(F ε) tenen la mateixa llei i els coeficients senarsdel desenvolupament son zero.El fet que Pj tingui una descomposicio finita en caos de Wiener, mes precisament,

Pj ∈ J3j+d :=

3j+d⊕

k=0

Hk,

es una consequencia del Lema 3.3.4. Efectivament, per a tot k ∈ 1, . . . , j,

Ψ :=k∏

`=1

β`! Iβ`+1(fα`β`+1) ∈ J2j,

doncs β1+. . .+βk = j. Aleshores Qj ∈ J3j, perque la longitud de α es k. Finalment,des de Pj = H(1,...,d) (I1(f1), Qj), el Lema 3.3.4 ens diu que Pj ∈ J3j+d.Ara volem donar una fitacio uniforme per p ε

N+1 (vegeu (3.3.15)). Sigui Gε =∏k`=1

dβ`

d εβ`F ε. Clarament, n´hi ha prou provant

sup0<ε≤1

E ∣∣∣H(1,...,d) (F ε, Hα(F ε, G ε))

∣∣∣≤ C , (3.3.16)

per a tot α ∈ 1, . . . , dk, β1 + . . . + βk = N + 1, k = 1, . . . , N + 1, i algu-na contant C > 0 finita. L’estimacio (3.3.2) dona, per numeros reals positiusk′, k′′, b, b′, a, a′, d, d′,

E∣∣∣H(1,...,d)

(F ε, Hα(F ε, Gε)

)∣∣∣ ≤ C(‖Γ−1

F ε‖k′′

k′ ‖F ε‖ad,b ‖Gε‖a′

d′,b′

).

La condicio de no degeneracio ‖Γ−1F ε‖p ≤ C ε−2, ∀p ∈ (1,∞) juntament amb la

condicio (3.3.11) implica (3.3.16). Aixo finalitza la demostracio del teorema. ¤


Lema 3.3.4 Sigui Φ un vector aleatori no degenerat d-dimensional que pertany alprimer caos H1, Ψ ∈ J`, ` ≥ 0. Per a tot multiındex α = (α1 . . . , αr) ∈ 1, . . . , dr,la variable aleatoria Hα(Φ, Ψ) pertany a J`+r.

Prova. Ho demostrarem per induccio sobre la longitud de α. Sigui (bi,j)i,j=1,...,d =(Cov Φ)−1 i Φ = I1(f). Aleshores, per tot i ∈ 1, . . . , d

H(i)(Φ, Ψ) =d∑

j=1

bijδ(Ψf) ∈ J`+1 .

Assumim que ho hem provat per qualsevol multiındex de longitud r − 1. Siguiα = (α1, . . . , αr) ∈ 1, . . . , dr. Per la definicio de H, vegeu (2.2.2),

Hα(Φ, Ψ) = H(αr) (Φ, Ψ) =d∑

j=1

bαr,j δ(Ψf) ,

amb Ψ ∈ J`+r−1. D’aquı Hα(Φ, Ψ) ∈ J`+r i acabem la demostracio. ¤

Observacio. Sigui

Φ(h) = E(F ) +∞∑

n=1

∫

T n

fn(s1, . . . , sn) dhs1 . . . dhsn , h ∈ H.

Notem que la serie que defineix Φ(h) es absolutament convergent doncs

∞∑n=1

n! ‖fn‖22 < +∞.

Assumim que existeix una successio ωn, n ∈ N ⊂ H tal que P − limn→∞ Φ(ωn) =F , i a mes, per a tot h ∈ H, n ∈ N, existeix una transformacio absolutamentcontınua T h

n : Ω → Ω tal que P − limn→∞ F T hn = Φ(h). Si, a mes a mes,

F ε ∈ D∞ i ‖ det Γ−1F ε‖p < +∞, ∀p ∈ (1,∞), el Teorema 3.41 a [1] estableix la

seguent caracteritzacio dels punts de positivitat de la densitat de F ε:

pε(y) > 0 = y : ∃h ∈ H : Φ(h) = y i DΦ(h) exhaustiva.Assumim que la famılia F ε, ε ∈ (0, 1] te la propietat d’aproximacio descrita abansi es uniformement no degenerada. Aleshores, per y = E(F ), pε(y) > 0. DoncsΦ(0) = E(F ) = y i, per a tot k ∈ H,

D Φ(0) (k) =

∫

T

f1(s) k(s) dµ(s).

70 Capıtol 3

Aixı, com σ2 := det(Cov(I1(f1))

)> 0, D Φ(h) es exhaustiva.

3.4 Aplicacions

Objectiu

Aplicarem el resultat general que hem demostrat a la Seccio 3.3 a dos casos concretsde solucions d’equacions diferencials estocastiques de tipus hiperbolic. Una de lesequacions es una modificacio de l’equacio estudiada al Capıtol 2. L’altra va esserestudiada per D. Nualart i M. Sanz-Sole a [44].

3.4.1 Una equacio diferencial estocastica hiperbolica

Preliminars

Sigui T = [0, 1]2 i Ws,t, (s, t) ∈ T un drap brownia. Considerem

∂2Xs,t

∂s ∂t= a3(Xs,t, s, t) Ws,t + a4(Xs,t, s, t) + a1(s, t)

∂ Xs,t

∂s+ a2(s, t)

∂ Xs,t

∂t, (3.4.1)

amb condicio inicial determinista Xs,t = x0 si (s, t) ∈ T, s·t = 0. Per mes informaciosobre aquesta equacio vegeu el Capıtol 2 d’aquesta memoria, [18], i sobre tot [46],[47] i [45].Per la situacio particular que es dona en aquest capıtol, precisarem de les hipotesisseguents:

(H21) ai : T → R, i = 1, 2 son funcions diferenciables, fitades i amb derivadesparcials de primer ordre fitades.

3.4 Aplicacions 71

(H22) ai : R × T → R, i = 3, 4 son funcions lineals respecte la variable espai, es adir,

ai(x, s, t) = ai1(s, t)x + ai2(s, t) .

A mes a mes, suposem que a31, a32, a41 i a42 son contınues.

Una solucio de (3.4.1) es un proces estocastic Xs,t, (s, t) ∈ T que satisfa

Xs,t = x0 +

∫

Rs,t

γs,t (u, v) a3 (Xu,v, u, v) dWu,v + a4(Xu,v, u, v) du dv , (3.4.2)

on Rs,t = [0, s]× [0, t] i γs,t(u, v) es la funcio de Green estudiada a l’Apendix 2.4.

El Teorema 2.1 a [46] prova l’existencia i unicitat d’un proces continu i adaptatXs,t, (s, t) ∈ T fitat en Lp per qualsevol p ≥ 2. A mes, Xs,t ∈ D∞, ∀(s, t) ∈ T .Per a tot ε ∈ (0, 1], sigui

Xεs,t = x0 +

∫

Rs,t

γs,t(u, v) ε a3(Xεu,v, u, v) d Wu,v + a4(X

εu,v, u, v) du dv (3.4.3)

i, per a tot h ∈ H, on H es l’espai de Cameron-Martin associat a Ws,t, (s, t) ∈ T ,considerem

Shs,t = x0 +

∫

Rs,t

γs,t(u, v) a3(Shu,v, u, v) d hu,v + a4(S

hu,v, u, v) du dv .

Resultats

Provem en primer lloc que aquesta famılia compleix la condicio (3.2.3).

Proposicio 3.4.1 Assumim (H21) i (H22). Per a tot z ∈ T, z = (s, t), st 6= 0,sigui

Xz = E Xz +∞∑

n=1

In(fn)

la descomposicio en caos de Wiener de la solucio (3.4.2) per z = (s, t). Aleshores,per a tot ε ∈ (0, 1],

Xεz = E Xz +

∞∑n=1

εn In(fn) .

72 Capıtol 3

Prova. Sigui Xεz = E Xε

z +∑∞

n=1 In(f εn). Des de (3.2.2), es suficient provar E Xz =

E Xεz i E (Dn

α Xεz ) = εn E(Dn

α Xz), n ≥ 1.Prenent esperances en (3.4.2), (3.4.3), i per unicitat de solucio, obtenim immediata-ment

E Xz = E Xεz = S0

z .

Fixem N ∈ N, α1, . . . , αN ∈ Rz. Denotem per α el vector (α1, . . . , αN); siguiαi = (α1, . . . , αi−1, αi+1, . . . , αN), N ≥ 2, sup α = α1 ∨ . . . ∨ αN . La formaparticular dels coeficients ai, i = 3, 4 i les regles del calcul de Malliavin donen lesexpressions seguents per N ≥ 2,

DNα Xz =

N∑i=1

a3,1(αi)γz(αi) DN−1αi Xαi

+

∫

[sup α,z]

γz(η) [a3,1 (η) DNα Xη dWη + a4,1 (η) DN

α Xη dη] ,

DNα Xε

z =N∑

i=1

ε a3,1(αi)γz(αi) DN−1αi Xε

αi

+

∫

[sup α,z]

γz(η) [ε a3,1 (η) DNα Xε

η dWη + a4,1 (η) DNα Xε

η dη] .

Sigui UNα (z), N ≥ 1, la solucio de l’equacio

UNα (z) = 1 +

∫

[sup α,z]

γz(η) a4,1(η) UNα (η) dη .

Aleshores,

E (DNα Xz) =

( N∑i=1

a3,1(αi) γz(αi) E(DN−1αi Xαi

))UN

α (z),

E (DNα Xε

z ) =( N∑

i=1

ε a3,1(αi) γz(αi) E(DN−1αi Xε

αi))UN

α (z) . (3.4.4)

Per N = 1,

E (Dα Xz) = γz(α) [a3,1(α) E Xα + a3,2(α)] U1α (z) ,

E (Dα Xεz ) = ε γz(α) [a3,1(α) E Xε

α + a3,2(α)] U1α (z) .

3.4 Aplicacions 73

Aixı, E (Dα Xεz ) = ε E(Dα Xz), perque E Xα = E Xε

α. Aquest fet i (3.4.4) permetend’acabar la demostracio usant un argument recursiu. ¤

A partir d’ara treballarem amb un z ∈ T fixat i que no pertany als eixos. Utilitzaremla notacio seguent:

Xεz =

Xεz − S0

z

ε, Xε

j (z) =dj

d εjXε

z , Xεj (z) =

dj

d εjXε

z , j ∈ N.

El Corol.lari 3.2.4 aplicat a F = Xz ens diu que les derivades existeixen, aleshorespodem facilment comprovar

Xε1(z) =

∫

Rz

γz(η)(

( a3,1(η) Xεη + a3,2(η) ) dWη + ε a3,1(η) Xε

1(η) dWη

+ a4,1(η) Xε1(η) dη

), (3.4.5)

Xεj (z) =

∫

Rz

γz(η)(j a3,1(η) Xε

j−1(η) dWη + ε a3,1(η) Xεj (η) dWη

+ a4,1(η) Xεj (η) dη

), j ≥ 2. (3.4.6)

Sigui X0j (z) = limε↓0 Xε

j (z), j ≥ 1. Aleshores X0j (z), j ≥ 1 satisfan les equacions

diferencials estocastiques seguents:

X01 (z) =

∫

Rz

γz(η)(

(a3,1(η) S0η + a3,2(η) ) dWη + a4,1(η) X0

1 (η) d η), (3.4.7)

X0j (z) =

∫

Rz

γz(η)(j a3,1(η) X0

j−1(η) dWη + a4,1(η) X0j (η) d η

). (3.4.8)

Lema 3.4.2 Suposem que (H21) i (H22) son satisfetes. Aleshores

Xεj (z) =

1

j + 1

[X0

j+1(z) + ε

∫ 1

0

(1− ξj+1) Xξεj+2(z) dξ

], (3.4.9)

j ∈ Z+, on, per conveni, Xε0(z) = Xε

z .

Al Capıtol 4 (vegeu el Lema 4.3.4) demostrarem un resultat similar pero de caractermes general, aquest es el motiu perque no es dona en aquest moment la demostracio.Aquesta es fa utilitzant el desenvolupament de Taylor de Xε

z en j = 0, i mitjancantun argument resursiu.

74 Capıtol 3

A la propera proposicio comprovarem la hipotesi (3.3.11) del Teorema 3.3.3 en elcas particular de F ε = Xε

z .

Observacio. Sabem que existeix una versio de Xεj (z), z ∈ T que es contınua

repecte ε. Des del lema previ i (3.2.7) resulta que

In(fn) =X0

n(z)

n !, n ≥ 1 .

Proposicio 3.4.3 Assumim (H21) i (H22). Per a tot j ∈ Z+, k ∈ N, p ∈ (1,∞),

sup0<ε≤1

∥∥∥ dj

d εjXε

z

∥∥∥k,p≤ C .

Prova. Per (3.4.9), la prova es una consequencia de demostrar els seguents fets

supz∈T

‖X0j (z)‖k,p ≤ C , (3.4.10)

sup0<ε≤1

supz∈T

E ( |Xεj (z) |p) ≤ C , (3.4.11)

sup0<ε≤1

supz∈T

supα: sup α<z

E( |Dkα Xε

j (z) |p) ≤ C , (3.4.12)

per a tot j, k ∈ N, p ∈ (1,∞) i alguna constant C positiva.L’Observacio anterior ens diu que X0

j (z) ∈ Hj, per qualsevol j ∈ N. Aixo ens dona(3.4.10).Nosaltres sabem (vegeu [46])

sup0<ε≤1

supz∈T

E ( |Xεz |p) ≤ C , p ∈ (1,∞) .

Aleshores, un argument estandard basat en les desigualtats de Burkholder, Holderi Gronwall aplicat a les equacions (3.4.5) i (3.4.6) prova, recursivament, (3.4.11).Finalment, per demostrar (3.4.12) nosaltres haurem d’escriure les equacions satis-fetes per Dk

α Xεj (z), j ∈ N; les podem donar utilitzant (3.4.5), (3.4.6) i les regles

del calcul de Malliavin. Aleshores procedirem com a la demostracio de (3.4.11).Aquesta estimacio ens permet d’emprar l’argument recurrent que necessitem. ¤

Acabarem l’estudi d’aquest exemple comprovant la condicio de no degeneracio uni-forme. Necessitem assumir les seguents hipotesis addicionals sobre els coeficients:

3.4 Aplicacions 75

(H23) |a3j (s, t)− a3j (s,′ t′)| ≤ C |s− s′|+ |t− t′| , j = 1, 2 , (s, t), (s′, t′) ∈ T .

(H24) supt∈[0,1] |a4j (s, t)− a4j (s′, t)| ≤ C |s− s′| , j = 1, 2 , (s, s′) ∈ T

sup(s,t)∈T |∂21 a3j(s, t)| ≤ C , j = 1, 2 ,

(H25) a31 (0, t)x0 + a32(0, t) 6= 0 , t 6= 0,

(H26) a31(0, v)x0 + a32(0, v) = 0 , ∀v ∈ (0, t]

∂1 a31(0, t) x0 + ∂1 a32(0, t) + a31(0, t)

∫ t

0

γ0,t(0, w) ( a41 (0, w) x0 + a42 (0, w))dw

6= 0 ,

on ∂1 vol dir la derivada respecte la variable s.La Proposicio 3.5 a [46] estableix que Xs,t ∈ D∞ sota (H21) i (H22), per a tot(s, t) ∈ T .

Proposicio 3.4.4 Sigui z = (s, t) ∈ T, s · t 6= 0 fixat. Un dels seguents conjuntsde condicions implica ‖Γ−1

Xεz‖p ≤ C ε−2, per alguna contant C positiva i cada ε ∈

(0, 1] , p ∈ (1,∞)

(a) (H21), (H22), (H23) i (H25),

(b) (H21), (H22), (H23), (H24) i (H26).

Prova. N’hi ha prou demostrant que la inversa de la variable aleatoria

ε−2

∫

Rz

|Dα Xεz |2 dα

te moments de qualsevol ordre. Considerem l’equacio diferencial estocastica

Y εz (α) = γz(α) +

∫

(α,z]

γz(η) Y εη (α) ε a3,1(η) dWη + a4,1(η) dη , 0 ≤ α ≤ z .

Aleshores, Dα Xεz = ε a3(X

εα, α) Y ε

z (α). Consequentment, hem de provar

P ∫

Rz

(a3(X

εα, α) Y ε

z (α))2

dα ≤ η≤ ηp ,

per a tot p ∈ (1,∞) i η ≤ η 0.

76 Capıtol 3

Aixo ha estat provat a les Proposicions 3.6 i 3.7 de l’article de C. Rovira i M. Sanz-Sole [46]. Indiquem que encara que les hipotesis (H23) i (H24) en aquesta referenciason mes fortes, el resultat pot esser igualment establert. ¤

Les Proposicions 3.4.1, 3.4.3, 3.4.4 donen tots els ingredients necessaris per aplicarel Teorema 3.3.3 a la famılia Xε

z , ε ∈ (0, 1] definida en (3.4.3) amb z = (s, t) ∈T, s · t 6= 0 .

3.4.2 Una equacio d’Ito en el pla

Preliminars

Considerem el proces de Wiener unidimensional Ws,t, (s, t) ∈ T, T = [0, 1]2, elscamps A(x) =

(x1

x2

), A0(x) =

(x2

x1

)i l’equacio diferencial estocastica sobre R2

Zz = x0 +

∫

Rz

[A(Zη) dWη + A0(Zη) d η] , z ∈ T , (3.4.13)

amb condicio inicial x0 =(10

). Sigui Zε

z , z ∈ T la solucio de

Zεz = x0 +

∫

Rz

[εA(Zεη) dWη + A0(Z

εη) d η],

i Ψ(z), z ∈ T donat per

Ψ(z) = x0 +

∫

Rz

A0(Ψ(η))d η .

Resultats

Sigui z un punt fixat de T que no es troba sobre els eixos. L’analeg a la Proposicio3.4.1 per la solucio de (3.4.13) pot ser provat amb els mateixos arguments degut a

3.4 Aplicacions 77

la linealitat dels coeficients A i A0. Aixı,

Zεz = E Zz +

∞∑n=1

εn In(fn) ,

on Zz = E Zz +∑∞

n=1 In(fn) es la descomposicio en caos de Wiener del funcionalde L2, Zz.Sigui Zε

z = Zεz−Ψ(z)

ε. Seguint les idees de la prova de la Proposicio 3.4.3 obtenim

sup0<ε≤1

∥∥∥ dj

d εjZε

z

∥∥∥k,p≤ C ,

per qualssevol j ∈ Z+, k ∈ N, p ∈ (1,∞).A [44] han provat que Zz ∈ D∞ i ‖Γ−1

Zz‖p ≤ C, per qualsevol p ∈ [1,∞). Considerant

els coeficients εA en lloc de A tenim ‖Γ−1Zε

z‖p ≤ Cε, p ∈ [1,∞), per alguna constant

Cε que depen de ε ∈ (0, 1].La derivada de Malliavin de Zε

z satisfa l’equacio diferencial estocastica

Dα Zεz = A (Zε

α) +

∫

(α,z]

[ε∇A (Zεη) Dα Zε

η dWη +∇A0(Zεη) Dα Zε

η dη] . (3.4.14)

Nosaltres finalitzarem aquesta seccio comprovant ‖Γ−1Zε

z‖p ≤ C ε−2 per a tot ε ∈

(0, 1], p ∈ (1,∞) i alguna constant C positiva. N’hi haura prou provant

supε∈(0,1]

E ( | det γ−1ε |p) ≤ C , p ∈ (1,∞) ,

amb γε = ε−2 ΓZεz. Aquesta propietat sera consequencia del fet seguent:

supε∈(0,1]

sup|v|=1

P v∗γε v ≤ η ≤ C (p) ηp , (3.4.15)

per a tot p ∈ (1,∞) i η suficientment petita. Utilitzant (3.4.14) podem obtenir

γijε =

∫

Rz

ξε,ik (z, r) Ak(Zε

r ) ξε,jk′ (z, r) Ak′(Zε

r ) dr , 1 ≤ i, j ≤ 2 ,

on ξε(z, r), 0 ≤ r ≤ z es un proces a valors en R2 ⊗ R2 solucio a l’equaciodiferencial estocastica

ξε(z, r) = I +

∫

(r,z]

ε∇A(Zεη) ξε(η, r) dWη +∇A0(Z

εη) ξε(η, r) dη .

78 Capıtol 3

Aleshores, com a l’article de D. Nualart i M. Sanz-Sole [44], la demostracio de(3.4.15) es redueix a veure

supε∈(0,1]

sup|v|=1

P ∫ s

0

|vi Ai(Zεσt) |2 dσ ≤ η

≤ C(p) ηp .

Sigui D = A, A∇0 A on A∇

0 A denota la derivada covariant de A en la direcciode A0. Clarament, el span de D en x0 =

(10

)es R2. Consequentment, existeixen

R > 0, c > 0 tals que ∑V ∈D

(vi V

i(y))2

≥ c , (3.4.16)

per a tot |v| = 1 i y ∈ BR(x0).Sigui Sε = infσ ≥ 0 : supξ≤σ,τ≤t |Zε

ξτ − x0| ≥ R ∧ s . Aleshores

P ∫ Sε

0

|vi Ai(Zε

σt)|2 d σ < η≤ pε

1(η) + pε2(η) + pε

3(η),

amb

pε1(η) = P

∫ Sε

0

|vi Ai(Zε

σt)|2 d σ < η,

∫ Sε

0

|vi(A∇0 A)i (Zε

σt)|2 dσ < ηα, Sε ≥ ηβ

,

pε2(η) = P Sε < ηβ ,

pε3(η) = P

∫ Sε

0

|vi Ai(Zε

σt)|2 d σ < η,

∫ Sε

0

|vi(A∇0 A)i (Zε

σt)|2 dσ ≥ ηα

,

on 0 < β < α < 1.La propietat (3.4.16), elegint β, α adequats, dona pε

1(η) = 0 per η suficientment petit.Les desigualtats de Txebitxev, Burkholder i Holder asseguren supε∈(0,1] p2(η) ≤Cηβq/2. El terme pε

3(η) es te que analitzar amb mes detall. Aquest estudi ha estatdonat a [44] (pg. 15) i correspon al terme A2 de la referencia amb V = A, Xσ· = Zε

σ·,

εm(j−1) = η , α = m(j)m(j−1)

. Indiquem que el span(A(x0), A∇

0 A(x0))

= R2 implica

el compliment de la hipotesi (H2) del Teorema 2.2 a [44], doncs amb la notacio del’article

A(x0) = A1(x0), A∇0 A(x0) =

[ ∫ 1

0

(A0 ∗ A) (τ, 1) dτ](x0) .

Utilitzant totes les estimacions que hem mencionat, la demostracio es pot fer uni-formement en ε.

Capıtol 4

Comportament asimptotic de ladensitat sobre la diagonal en unaequacio estocastica de la calor

4.1 Introduccio

Sigui (Ω,H, P ) un espai de Wiener abstracte i F ε, ε ∈ (0, 1] una famılia de fun-cionals de Wiener a valors en Rd. Assumim que, per a tot ε ∈ (0, 1], P (F ε)−1 teuna densitat respecte la mesura de Lebesgue sobre Rd, denotada per pε.

Al capıtol anterior hem considerat una famılia particular de funcionals F ε, ε ∈[0, 1] definida a (3.1.2), i hem trobat, sota certes condicions sobre la famılia, eldesenvolupament de Taylor de la densitat de F ε, pε(y), en ε = 0 i per y = EF ε.Quan hem pres F ε com la solucio d’una equacio en derivades parcials estocasticahem hagut d’exigir linealitat als coeficients respecte la variable espai.En aquest capıtol generalitzarem el resultat de manera que no sigui necessari exigiraquesta condicio. El metode desenvolupat es el mateix que el del Capıtol 3.

Concretament, a la Seccio 4.2 donem un resultat sobre l’expansio asimptotica dedensitats de funcionals generals seguint les idees desenvolupades al Capıtol 3. Araserem capacos d’aplicar aquest resultat general a situacions que no cobria el cas del

79

80 Capıtol 4

capıtol anterior, per exemple, no sera necessari demanar linealitat sobre els coefi-cients.

El proposit d’aquest capıtol es obtenir el desenvolupament asimptotic, quan ε ↓ 0,per les densitats de la seguent famılia d’equacions diferencials en derivades parcialsestocastiques perturbades de tipus parabolic

∂Xε

∂t(t, x) =

∂2Xε

∂x2(t, x) + εσ(Xε(t, x)) Wt,x + b(Xε(t, x)), (4.1.1)

(t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], amb condicio inicial Xε(0, x) = X0(x), i condicions frontera,o be Neumann (i.e. ∂

∂xX(t, 0) = ∂

∂xX(t, 1) = 0), o be Dirichlet (i.e. X(t, 0) =

X(t, 1) = 0). El proces Wt,x, (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1] es un soroll blanc espai-tempsi els coeficients σ : R −→ R i b : R −→ R son funcions regulars.Una solucio de (4.1.1) es un proces Xε(t, x), (t, x) ∈ [0, T ]×[0, 1] satisfent l’equaciod’evolucio

Xε(t, x) =

∫ 1

0

Gt(x, y) X0(y)dy

+

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

ε σ(Xε(s, y)

)W (ds, dy) + b

(Xε(s, y)

)ds dy

,

(4.1.2)on Gt(x, y) es la solucio fonamental de l’equacio de la calor sobre [0, T ]× [0, 1] ambuna de les dues condicions frontera abans citades, es a dir,

Gt(x, y) =1

(2πt)1/2

∞∑n=−∞

exp

(− (y − x− 2n)2

4t

)

+ γ exp(− (y + x− 2n)2

4t

),

amb γ = 1 o γ = −1 per condicions frontera Neumann o Dirichlet, respectivament(vegeu, per exemple, el curs de Saint-Flour de J.B. Walsh [55]).

V. Bally i E. Pardoux [6] han provat l’existencia i regularitat de la densitat pεt,x(y)

de Xε(t, x), solucio de (4.1.2), per (t, x) ∈ (0, T ]× (0, 1), ε ∈ (0, 1] fixats. Endemes,la densitat es estrictament positiva per a tot y ∈ R.

Sigui ΨX0(t, x), (t, x) ∈ [0, T ]× [0, 1] la solucio de l’equacio d’evolucio determinista

ΨX0(t, x) =

∫ 1

0

Gt(x, y)X0(y)dy +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)b(ΨX0(s, y)

)ds dy . (4.1.3)

4.2 Desenvolupament d’un funcional general 81

A la Seccio 4.3 aplicarem el resultat general que hem comentat al principi d’aquestaintroduccio a la demostracio del desenvolupament de Taylor de pε

t,x(y) en ε = 0 pery = ΨX0(t, x).

En la literatura classica de les difusions, aquest valor y correspon a la condicio inicial.En aquest cas, a l’analisi del comportament asimptotic de la densitat se l’anomenaestudi asimptotic sobre la diagonal, d’aquı que conservem aquesta nocio.

4.2 Desenvolupament d’un funcional general

Objectiu

Enunciarem un resultat que generalitza el Teorema 3.3.3. Es a dir, trobarem eldesenvolupament asimptotic de les densitats d’una famılia de funcionals mes generalsque els del capıtol anterior amb l’objectiu de tenir un ventall mes gran d’aplicacions.

Preliminars

Seran utils les eines introduıdes als Preliminars de les Seccions 2.2, 3.3.

A mes, redefinirem la nocio de famılia uniformement no degenerada. La nova defini-cio va lligada a la donada a (3.3.5), si be, aquesta nova sera de caracter mes general.Recordem que al capıtol 3 treballavem amb una famılia concreta i particular defuncionals.

Definicio 4.2.1 Una famılia F ε, ε ∈ [0, 1] d’elements de D∞(Rd) s’anomenarauniformement no degenerada si satisfa les dues properes condicions:

(i) F 0 = limε↓0 F ε, q.s.

82 Capıtol 4

(ii) supε∈[0,1] ‖Γ−1F ε‖p ≤ C, per qualsevol p ∈ [1,∞).

Observacio. Si considerem una famılia F ε, ε ∈ [0, 1] que sigui uniformement nodegenerada podem assegurar que F ε posseeix una densitat regular per cada ε ∈ [0, 1].

Resultats

Donem l’esmentada generalitzacio del Teorema 3.3.3.

Teorema 4.2.2 Sigui F ε, ε ∈ [0, 1] una famılia uniformement no degenerada devectors aleatoris satisfent les condicions seguents:

(a) La famılia F ε, ε ∈ (0, 1) te una versio C∞ respecte ε. Sigui F εj = djF ε

d εj ,j ∈ N. Aleshores els lımits

F 0j := lim

ε↓0F ε

j , q.s.

existeixen per a tot j ∈ N,

(b) F εj pertany a D∞(Rd), per a tot j ∈ N, ε ∈ [0, 1).

Aleshores la densitat pε(y) de F ε te l’expansio de Taylor seguent:

pε(y) = p0(y) +N∑

j=1

εj 1

j!pj(y) + εN+1 pε

N+1(y), (4.2.1)

on p0(y) es la densitat de F 0, i per j ≥ 1,

pj(y) = E

l1F 0>y Pj

,

amb

Pj =

(j)∑H(1,...,d)

(F 0, Hα

(F 0,

k∏

`=1

F 0,α`

β`

)).

Endemes, si per qualssevol j ∈ Z+, k ∈ N, p ∈ [1,∞),

supε∈(0,1]

‖F εj ‖k,p ≤ C, (4.2.2)

aleshores supε∈(0,1] (|pεN+1(y) |) es finit.

4.2 Desenvolupament d’un funcional general 83

Prova. La demostracio es molt semblant a la donada al Teorema 3.3.3, per tantexposarem tan sols els trets mes destacats.Sigui f : Rd → R una funcio C∞ amb suport compacte i simetrica. L’aplicacioε ∈ (0, 1) 7−→ f(F ε) es C∞, q.s., i la seva expansio de Taylor dona

f (F ε) = f(F 0) +N∑

j=1

εj 1

j !

dj

d εj(f (F ε) )|ε=0

+ εN+1

∫ 1

0

(1− t)N

N !

dN+1

d ηN+1(f (F η) )|η=tε d t .

Prenent esperances i utilitzant (3.3.1) i (2.2.3) obtenim

E(f (F ε)) = E(f (F 0)) +N∑

j=1

εj 1

j!E

f(F 0)

(j)∑Hα

(F 0,

k∏

`=1

F 0,α`

β`

)

+ εN+1

∫ 1

0

(1− t)N

N !E

f(F εt)

(N+1)∑Hα

(F εt,

k∏

`=1

F εt,α`

β`

)dt.

(4.2.3)Siguin

Qj =

(j)∑Hα

(F 0,

k∏

`=1

F 0,α`

β`

), j = 1, · · · , N,

QεtN+1 =

(N+1)∑Hα

(F εt,

k∏

`=1

F εt,α`

β`

).

Les condicions imposades sobre F ε, ε ∈ [0, 1] ens permeten d’assegurar que lesmesures de Radon definides per E (f(F ε)), E(f (F 0)), Ef(F 0) Qj, j = 1, . . . , N ,i Ef(F εt) Qεt

N+1 tenen densitats C∞ fitades. Aplicant (3.3.3) a (4.2.3) tenim

p ε(y) = p0(y) +N∑

j=1

εj 1

j!E l1F 0>y Pj + εN+1 p ε

N+1(y) ,

amb Pj donat a l’enunciat del teorema i

p εN+1(y) =

∫ 1

0

(1− t)N

N !E

l1F εt>y H(1,...,d)

(F εt,

(N+1)∑Hα

(F εt,

k∏

`=1

F εt,α`

β`

))dt.

Per demostrar la fitacio uniforme s’usen els mateixos arguments que en el Teorema3.3.3. ¤

84 Capıtol 4

4.3 L’equacio de la calor estocastica

Objectiu

Aplicarem el resultat que acabem de demostrar a la solucio de l’equacio diferencial enderivades parcials estocastica (4.1.2), coneguda com equacio estocastica de la calor.De fet, treballarem amb una normalitzacio de la solucio doncs el proces solucio nosatisfara les condicions que s’han de complir per poder aplicar el teorema de la seccioanterior. L’objectiu es previsible, provar que el proces normalitzat que consideremsi satisfa les hipotesis.

Preliminars

A mes d’utilitzar els Preliminars de seccions previes, enunciarem el teorema deKolmogorov, molt utilitzat al llarg d’aquest seccio, aixı com al Capıtol 5. Aquestaversio es a l’interval [0, 1] doncs es la que necessitem.

Teorema 4.3.1 (J.B. Walsh [55]) Sigui Yt, t ∈ [0, 1] un proces estocastic a valorsen R. Suposem que existeixen constants k > 1, K > 0 i γ > 0 tals que per qualssevols, t ∈ [0, 1],

E |Yt − Ys|k ≤ K|t− s|1+γ.

Aleshores

(i) Y te una versio contınua.

(ii) Existeixen constants C i ϑ, depenent nomes de k i γ, i una varible aleatoriaZ tals que amb probabilitat 1, per qualssevol s, t ∈ [0, 1],

|Yt − Ys| ≤ Z|t− s|γ/k(

logϑ

|t− s|)2/k

,

i

E Zk ≤ CK.

4.3 L’equacio de la calor estocastica 85

(iii) Si E|Yt|k < ∞ per algun t, aleshores

E supt∈[0,1]

|Yt|k < ∞.

Per acabar els Preliminars donarem un resultat particular del nucli de la calorGt(x, y)

Gt(x, y) ≤ C√t

exp(− (y − x)2

4t

).

Per tant, fixats x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ], i a ∈ (1, 3),∫ t

0

∫ 1

0

Gat−s(x, y) dsdy ≤ C. (4.3.1)

Resultats

Considerem ara la famılia Xε(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], ε ∈ (0, 1], definida a(4.1.2), i suposem les condicions seguents sobre els coeficients:

(H31) σ, b : R −→ R son funcions C∞ amb derivades de primer ordre fitades iderivades d’ordre superior amb creixement polinomial.

(H32) Existeix C > 0 tal que inf |σ(y)|; y ∈ R ≥ C .

Fixem t ∈ (0, T ], x ∈ (0, 1). Sigui pεt,x(y) la densitat de Xε(t, x). L’objectiu es

aplicar el Teorema 4.2.2 per obtenir un desenvolupament de Taylor en ε = 0 depε

t,x(y) i amb y = ΨX0(t, x) (vegeu (4.1.3)). Definim X0(t, x) = ΨX0(t, x).Notem que Xε(t, x), ε ∈ [0, 1], no satisfa les condicions de la Definicio 4.2.1 perqueX0(t, x) es determinista. Nosaltres considerarem les seguents noves variables ale-atories definides per

Xε(t, x) =Xε(t, x)−ΨX0(t, x)

ε, 0 < ε ≤ 1 . (4.3.2)

Provarem que X0(t, x) := limε→0 Xε(t, x) existeix q.s. i que la famılia Xε(t, x), ε ∈[0, 1] compleix les hipotesis del Teorema 4.2.2. L’expansio de Taylor per pε

t,x(y) seraobtinguda tenint en compte que, per y = ΨX0(t, x),

pεt,x(y) =

1

εpε

t,x(0), (4.3.3)

86 Capıtol 4

on pεt,x(y) denota la densitat de Xε(t, x).

Tot seguit introduirem una serie de notacions que usarem mes endavant. SiguinXε

j (t, x), X0j (t, x), j ≥ 1, ε ∈ (0, 1], les solucions de les equacions diferencials es-

tocastiques seguents:

Xε1(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)σ(Xε(s, y))W (ds, dy) + ε σ′(Xε(s, y)) Xε1(s, y)

× W (ds, dy) + b′(Xε(s, y)) Xε1(s, y) ds dy, (4.3.4)

X01 (t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ(ΨX0(s, y)) W (ds, dy) + b′(ΨX0(s, y))

× X01 (s, y) ds dy (4.3.5)

i, per j ≥ 2,

Xεj (t, x) = Iε

j−1(t, x) +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) cj(j) ε σ′(Xε(s, y))Xεj (s, y) W (ds, dy)

+ b′(Xε(s, y))Xεj (s, y) ds dy, (4.3.6)

X0j (t, x) = I0

j−1(t, x) +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) cj(j)b′(ΨX0(s, y))X0

j (s, y) ds dy, (4.3.7)

on

Iεj−1(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

j−1∑

k=1

∑β1+...+βk=j−1

β1,...,βk≥1

kj−1(β1, . . . , βk)

× σ(k)(Xε(s, y))k∏

`=1

Xεβ`

(s, y) W (ds, dy)

+

j∑

k=2

∑β1+...+βk=jβ1,...,βk≥1

cj(β1, . . . , βk)[ε σ(k)(Xε(s, y))

k∏

`=1

Xεβ`

(s, y) W (ds, dy)

+ b(k)(Xε(s, y))k∏

`=1

Xεβ`

(s, y) ds dy]

,

I0j−1(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

j−1∑

k=1

∑β1+...+βk=j−1

β1,...,βk≥1

kj−1(β1, . . . , βk)


× σ(k)(ΨX0(s, y))k∏

`=1

X0β`

(s, y) W (ds, dy) +

j∑

k=2

∑β1+...+βk=jβ1,...,βk≥1

cj(β1, . . . , βk)

× b(k)(ΨX0(s, y))k∏

`=1

X0β`

(s, y) ds dy

. (4.3.8)

Els coeficients cj(β1, . . . , βk) (vegeu els Preliminars de la Seccio 3.3) i kj(β1, . . . , βk)son definits per induccio.Utilitzem la convencio Xε

0(t, x) = Xε(t, x) i X00 (t, x) = ΨX0(t, x).

La propera proposicio es un dels ingredients per a la comprovacio que Xε(t, x), ε ∈(0, 1) satisfa la hipotesi (a) del Teorema 4.2.2

Proposicio 4.3.2 Assumim (H31). Exixteix una versio de Xε(t, x), ε ∈ (0, 1) que

es C∞ respecte ε i, per a tot j ∈ N, djXε

dεj (t, x) = Xεj (t, x). A mes a mes,

q.s.− limε↓0

Xεj (t, x) = X0

j (t, x), j ∈ Z+.

Prova. Primerament provarem la continuıtat. Utilitzant (4.3.1), les desigualtats deBurkholder i Holder, i el Lema 2.2.3, es facil comprovar

sup0≤ε≤1

supx,t

E |Xε(t, x)|p ≤ C , (4.3.9)

per qualsevol p ∈ (1,∞) i alguna constant C positiva. Les desigualtats de Burkhold-er i Holder, juntament amb (4.3.1) i (4.3.9), mostren

E |Xε+ξ(t, x)−Xε(t, x)|p ≤ C |ξ|p + C

∫ t

0

supx

E |Xε+ξ(s, x)−Xε(s, x)|p ds,

per qualssevol p ∈ (1,∞), ε ∈ [0, 1] i ξ tals que 0 ≤ ε + ξ ≤ 1. Aixı, el lema tipusGronwall implica

supx,t

E |Xε+ξ(t, x)−Xε(t, x)|p ≤ C |ξ|p. (4.3.10)

L’existencia d’una versio contınua de Xε(t, x), ε ∈ [0, 1] es consequencia del teo-rema de Kolmogorov. A mes,

limε↓0

Xε(t, x) = ΨX0(t, x), q.s.

88 Capıtol 4

Comprovem ara la diferenciabilitat de primer ordre. Per a tot ε ∈ [0, 1], ξ ∈ R−0tals que 0 ≤ ε + ξ ≤ 1, definim

Zεξ (t, x) =

Xε+ξ(t, x)−Xε(t, x)

ξ.

Per teorema del valor mig,

Zεξ (t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

σ(Xε+ξ(s, y)) W (ds, dy)

+ ε[ ∫ 1

0

σ′(Xε(s, y) + λ(Xε+ξ(s, y)−Xε(s, y))

)dλ

]Zε

ξ (s, y) W (ds, dy)

+[ ∫ 1

0

b′(Xε(s, y) + λ(Xε+ξ(s, y)−Xε(s, y))

)dλ

]Zε

ξ (s, y) ds dy

(4.3.11)Clarament, des de (4.3.9), per qualsevol p ∈ (1,∞) i alguna constant C positiva,

sup0≤ε≤1

ξ>0

supx,t

E |Zεξ (t, x)|p ≤ C. (4.3.12)

Per qualsevol p ∈ (1,∞),

E |Zεξ (t, x)− Zε′

ξ′ (t, x)|p ≤ C

6∑i=1

Aε,ε′,ξ,ξ′i (t, x) ,

amb

Aε,ε′,ξ,ξ′1 (t, x) = E

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)[σ(Xε+ξ(s, y))− σ(Xε′+ξ′(s, y))

]W (ds, dy)

∣∣∣p

,

Aε,ε′,ξ,ξ′2 (t, x) = E

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)(ε− ε′)[ ∫ 1

0

σ′(Xε′(s, y) + λ(Xε′+ξ′(s, y)

− Xε′(s, y)))dλ

]Zε′

ξ′ (s, y) W (ds, dy)∣∣∣p

,

Aε,ε′,ξ,ξ′3 (t, x) = E

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ε[ ∫ 1

0

σ′

(Xε(s, y) + λ(Xε+ξ(s, y)

− Xε(s, y)))− σ′

(Xε′(s, y) + λ(Xε′+ξ′(s, y)−Xε′(s, y))

)dλ

]

× Zεξ (s, y) W (ds, dy)

∣∣∣p

,


Aε,ε′,ξ,ξ′4 (t, x) = E

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)[ ∫ 1

0

b′(Xε(s, y) + λ(Xε+ξ(s, y)

− Xε(s, y)))− b′

(Xε′(s, y) + λ(Xε′+ξ′(s, y)−Xε′(s, y))

)dλ

]

× Zεξ (s, y) ds dy

∣∣∣p

,

Aε,ε′,ξ,ξ′5 (t, x) = E

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ε[ ∫ 1

0

σ′(Xε′(s, y) + λ(Xε′+ξ′(s, y)


] (Zε′

ξ′ (s, y)− Zεξ (s, y)

)W (ds, dy)

∣∣∣p

,

Aε,ε′,ξ,ξ′6 (t, x) = E

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)[ ∫ 1

0

b′(Xε′(s, y) + λ(Xε′+ξ′(s, y)


] (Zε′

ξ′ (t, x)− Zεξ (t, x)

)ds dy

∣∣∣p

.

La hipotesi (H31), (4.3.10), (4.3.12) i les desigultats de Burkholder i Holder, im-pliquen

4∑i=1

supx,t

Aε,ε′,ξ,ξ′i (t, x) ≤ C |ε− ε′|p + |ξ − ξ′|p . (4.3.13)

La resta de termes son fitats com segueix:

supx,t

Aε,ε′,ξ,ξ′5 + sup

x,tAε,ε′,ξ,ξ′

6 ≤ C

∫ t

0

supx

E |Zεξ (s, x)− Zε′

ξ′ (s, x)|pds . (4.3.14)

Aleshores, (4.3.13), (4.3.14), el lema tipus Gronwall i el teorema de Kolmogorovproven que Xε(t, x) te una versio diferenciable. Endemes, es facil demostrar

L2 − limξ↓0

Zεξ (t, x) = Xε

1(t, x),

i per tant dXε

dε(t, x) = Xε

1(t, x), q.s. L’argument estandard que hem utilitzat abanstambe prova que Xε

1(t, x), ε ∈ [0, 1] satisfa les condicions del criteri de continuıtatde Kolmogorov. Aixı

q.s.− limε↓0

Xε1(t, x) = X0

1 (t, x).

La prova finalitza utilitzant induccio sobre l’ordre de diferenciabilitat. ¤

Corol.lari 4.3.3 Suposem (H31). Aleshores, per a tot j ∈ Z+,

E sup0≤ε≤1

|Xεj (t, x)|p < ∞ .

90 Capıtol 4

Prova. Es una consequencia immediata del teorema de Kolmogorov. ¤

El proper lema relaciona les derivades dels processos Xε(t, x) i Xε(t, x). Com ante-

riorment, per qualsevol numero natural j, denotem Xεj (t, x) = dj Xε(t,x)

d εj i Xε0(t, x) =

Xε(t, x).

Lema 4.3.4 Assumim (H31). Aleshores, per qualssevol j ∈ Z+, ε ∈ (0, 1),

Xεj (t, x) =

1

j + 1

X0

j+1(t, x) + ε

∫ 1

0

(1− ξj+1) Xεξj+2 (t, x) dξ

. (4.3.15)

Prova. Ho demostrarem per induccio sobre j. Per j = 0, (4.3.15) es prova usant eldesenvolupament de Taylor de Xε(t, x) en ε = 0. Suposem que (4.3.15) es satifetper a tot 0 ≤ k ≤ j. Aleshores, per cada δ ∈ R− 0 amb 0 ≤ ε + δ ≤ 1,

1

δ

Xε+δ

j (t, x)− Xεj (t, x)

=1

δ

ε + δ

j + 1

∫ 1

0

(1− ξj+1) X(ε+δ)ξj+2 (t, x) dξ − ε

j + 1

∫ 1

0

(1− ξj+1) Xεξj+2(t, x) dξ

=1

j + 2X0

j+2(t, x) + Bε,δ1 (t, x) + Bε,δ

2 (t, x) ,

(4.3.16)amb

Bε,δ1 (t, x) =

ε

j + 1

∫ 1

0

(1− ξj+1)X

(ε+δ)ξj+2 (t, x)−Xεξ

j+2(t, x)

δdξ ,

Bε,δ2 (t, x) =

1

j + 1

∫ 1

0

(1− ξj+1)(X

(ε+δ)ξj+2 (t, x)−X0

j+2(t, x))

dξ .

El Corol.lari 4.3.3 i el teorema de convergencia dominada donen, q.s.

limδ→0

Bε,δ1 (t, x) =

ε

j + 1

∫ 1

0

(ξ − ξj+2) Xεξj+3(t, x) dξ. (4.3.17)

Utilitzant el teorema de convergencia dominada novament, el desenvolupament deTaylor, un canvi de variables i el teorema de Fubini, obtenim

limδ→0

Bε,δ2 (t, x) =

1

j + 1

∫ 1

0

(1− ξj+1)

∫ εξ

0

Xβj+3(t, x) dβ dξ

=ε

j + 1

∫ 1

0

(j + 1

j + 2− ξ +

ξj+2

j + 2

)Xεξ

j+3 (t, x) dξ .

(4.3.18)


Aleshores (4.3.16)-(4.3.18) proven la formula (4.3.15) per j + 1. ¤

Assumim (H31). Com a consequencia del Lema 4.3.4 i el Corol.lari 4.3.3 tenim, q.s.

X0j (t, x) := lim

ε↓0Xε

j (t, x) =1

j + 1X0

j+1(t, x), (4.3.19)

per qualsevol j ∈ Z+. Aleshores (4.3.15), (4.3.19) i les equacions satisfetes perXε

j (t, x), ε ∈ [0, 1], j ∈ Z+, donades a les referencies (4.3.4)-(4.3.7), permeten de

comprovar, com en el treball de V. Bally i E. Pardoux [6], que Xεj (t, x) pertany a

D∞, per cada ε ∈ [0, 1], j ∈ Z+.Assumim (H31) i (H32). A l’article [36] A. Millet i M. Sanz-Sole han provat

sup0<ε≤1

E ( | det Γ−1

Xε(t,x)|p) ≤ C, (4.3.20)

per qualsevol p ∈ (1,∞) i alguna contant C positiva. El mateix argument delLema 2.5 [36] prova que la variable Gaussiana i centrada X0(t, x) = X0

1 (t, x) satisfaE |X0

1 (t, x)|2 > 0.Fins ara ja hem provat que Xε(t, x), ε ∈ [0, 1] es una famılia uniformement nodegenerada que compleix les condicions (a) i (b) del Teorema 4.2.2. La properaproposicio mostra que la fitacio (4.2.2) tambe es satisfeta.

Proposicio 4.3.5 Assumim (H31). Aleshores, per a tot j ∈ Z+, k ∈ N, p ∈ (1,∞),

sup0<ε≤1

supx,t

‖Xεj (t, x)‖k,p ≤ C .

Prova. A causa de la igualtat (4.3.15), es suficient comprovar

sup0≤ε≤1

supx,t

‖Xεj (t, x) ‖k,p ≤ C , (4.3.21)

per qualssevol j ∈ Z+, k ∈ N, p ∈ (1,∞).Per j = 0, (4.3.21) ha estat provat a [6]. Els processos Xε

j (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] ×[0, 1], ε ∈ [0, 1], j ∈ Z+, son solucions de les equacions d’evolucio estocastiques(4.3.4)-(4.3.7). Usant el mateix metode que per la demostracio de (4.3.9), provem,per a tot j ∈ Z+,

sup0≤ε≤1

supx,t

E(|Xεj (t, x)|p) ≤ C. (4.3.22)

La derivada de Malliavin de qualsevol ordre dels processos Xεj (t, x), (t, x) ∈ [0, T ]×

[0, 1], ε ∈ [0, 1], j ∈ Z+, tambe segueixen equacions d’evolucio estocastiques. Aixı,

92 Capıtol 4

el metode estandard basat en les desigualtats de Burkholder i Holder, i el lematipus Gronwall pot ser aplicat per acabar la demostracio. Provarem el cas j = 1.Utilitzant (4.3.4) i la regla de la cadena del calcul de Malliavin, obtenim

Drz Xε1(t, x) = l1(r<t)

6∑i=1

M εi (r, z; t, x)

,

(r, z) ∈ [0, T ]× [0, 1], amb

M ε1 (r, z; t, x) = Gt−r(x, z)

σ(Xε(r, z)) + ε σ′(Xε(r, z)) Xε

1(r, z)

,

M ε2 (r, z; t, x) =

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ′(Xε(s, y)) Drz Xε(s, y) W (ds, dy),

M ε3 (r, z; t, x) =

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ε σ′′(Xε(s, y)) Drz Xε(s, y) Xε1(s, y) W (ds, dy),

M ε4 (r, z; t, x) =

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ε σ(Xε(s, y)) Drz Xε1(s, y) W (ds, dy).

M ε5 (r, z; t, x) =

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y) b′′(Xε(s, y)) Drz Xε(s, y) Xε1(s, y) dsdy,

M ε6 (r, z; t, x) =

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y) b′(Xε(s, y)) Drz Xε1(s, y) dsdy.

Aleshores, per qualsevol p ∈ (2,∞),

E∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|Drz Xε1(t, x) |2dr dz

∣∣∣p/2

≤ C

6∑i=1

E∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|M εi (r, z; t, x) |2dr dz

∣∣∣p/2

.

(4.3.9) i (4.3.22) donen

sup0≤ε≤1

supx,t

E∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|M ε1 (r, z; t, x)|2dr dz

∣∣∣p/2

≤ C . (4.3.23)

Aplicant la desigualtat de Burkholder per martingales a valors en espais de Hilbert,la desigualtat de Holder, el resultat de V. Bally i E. Pardoux esmentat anteriormenti (4.3.22) obtenim, per i = 2, 3, 5,

sup0<ε≤1

supx,t

E∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|M εi (r, z; t, x)|2dr dz

∣∣∣p/2

≤ C, (4.3.24)


i, per i = 4, 6,

supx,t

E∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|M εi (r, z; t, x)|2dr dz

∣∣∣p/2

≤ C

∫ t

0

supx

E∣∣∣∫ s

0

∫ 1

0

|Drz Xε1(s, y)|2dr dz

∣∣∣p/2

ds.

(4.3.25)

Des de (4.3.23)-(4.3.25), el lema tipus Gronwall assegura

sup0≤ε≤1

supx,t

E∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|Drz Xε1(t, x)|2dr dz

∣∣∣p/2

≤ C ,

per qualsevol p ∈ (2,∞).Per les derivades de Malliavin d’ordre superior usem induccio. ¤

Ara podem donar el desenvolupament de la densitat de la solucio de l’equacio dife-rencial estocastica de tipus parabolic (4.1.2). En el proper teorema, fixem t ∈ (0, T ],x ∈ (0, 1), i pε

t,x(y) denota la densitat de Xε(t, x) per ε ∈ (0, 1] en y = ΨX0(t, x).

Teorema 4.3.6 Assumim (H31) i (H32). Sigui σ2 = E(|X01 (t, x) |2). Aleshores

pεt,x(y) =

1

ε

1√2π σ

+N∑

j=1

εj 1

j!pj + εN+1 pε

N+1

, (4.3.26)

Els coeficients pj s’anul.len per j senar. Per j ∈ 2, . . . , N parell

pj = E

l1X01 (t,x)>0 Pj

,

amb

Pj =

j∑

k=1

∑β1+...+βk=jβ1,...,βk≥1

cj(β1, . . . , βk) Hk+1

(X0

1 (t, x),k∏

`=1

1

β` + 1X0

β`+1(t, x)

).

Endemes, Pj ∈ ⊕3j+1n=0 Hn, i supε∈(0,1] (|pε

N+1|) es finit.

Prova. La variable aleatoria Xε(t, x) definida a (4.3.2) per ε ∈ (0, 1] i X0(t, x) =X0

1 (t, x) (vegeu (4.3.19)) satisfan les condicions del Teorema 4.2.2. Aleshores eldesenvolupament (4.3.26) segueix des de (4.2.1) i (4.3.3).

94 Capıtol 4

Considerem el desenvolupament (4.2.3) amb F ε = Xε(t, x) i una funcio f regulari parella. El drap brownia W te una llei simetrica. Aixı, les variables aleatoriesf(Xε(t, x)) i f(X−ε(t, x)) tenen la mateixa llei. Llavors, els coeficients senars deldesenvolupament de Taylor son zero.Des de l’estructura de les equacions d’evolucio estocastiques X0

β(t, x), β ∈ Z+ (vegeu(4.3.5) i (4.3.7)) es facil demostrar que

X0β(t, x) ∈

β⊕n=0

Hn.

Aleshores, per k ∈ 1, . . . , j, β1, · · · , βk ≥ 1 amb β1 + . . . + βk = j, tenim

k∏

`=1

1

β` + 1X0

β`+1(t, x) ∈j+k⊕n=0

Hn.

Aixo implica que Pj ∈⊕3j+1

n=0 Hn. Doncs, si φ es una variable aleatoria Gaussiana

no degenerada i ψ pertany a⊕m

n=0 Hn, m ≥ 0, llavors Hk(φ, ψ) ∈ ⊕m+kn=0 Hn (vegeu

Lema 3.3.4).Aixo completa la prova del teorema. ¤

Capıtol 5

Comportament asimptotic de ladensitat fora de la diagonal en unaequacio estocastica de la calor

5.1 Introduccio

Suposem que ens trobem en el mateix context del Capıtol 4. Es a dir, sigui el procesXε(t, x), (t, x) ∈ [0, T ]× [0, 1], solucio de (4.1.1), que satisfa l’equacio d’evolucio

Xε(t, x) =

∫ 1

0

Gt(x, y) X0(y)dy

+

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

ε σ(Xε(s, y)

)W (ds, dy) + b

(Xε(s, y)

)ds dy

,

(5.1.1)on Gt(x, y) es la solucio fonamental de l’equacio de la calor sobre [0, T ] × [0, 1].Hem denotat per pε

t,x(y) la densitat de Xε(t, x). Sota les hipotesis (H31) i (H32)del capıtol anterior sabem que aquesta densitat existeix, es regular i estrictamentpositiva (vegeu [6]).

Sigui H l’espai de Cameron-Martin associat al drap brownia W = Wt,x, (t, x) ∈

95

96 Capıtol 5

[0, T ]× [0, 1], i

‖h‖2H =

∫ T

0

∫ 1

0

|ht,x|2 dt dx

amb ht,x = ∂2h(t,x)∂t∂x

. Per a tot h ∈ H, sigui ΨhX0

(t, x), (t, x) ∈ [0, T ]× [0, 1] la soluciode l’equacio d’evolucio determinista

ΨhX0

(t, x) =

∫ 1

0

Gt(x, y)X0(y)dy

+

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

σ(ΨhX0

(s, y))h(s, y) + b(ΨhX0

(s, y))

ds dy.

(5.1.2)

A l’article [36], A. Millet i M. Sanz-Sole han trobat les estimacions de Varadhanper aquesta mateixa densitat, pε

t,x(y), es a dir, han donat el comportament del lımitseguent:

limε↓0

ε2 log pεt,x(y).

En aquesta memoria nosaltres hem estudiat aquest comportament per una altradensitat, en concret, la densitat de la solucio d’una equacio en derivades parcialsestocastica de tipus hiperbolic (vegeu Capıtol 2). Al Capıtol 4, generalitzant unresultat previ, hem provat el desenvolupament de Taylor de pε

t,x(y) en ε = 0 i quany = Ψ0

X0(t, x); fixem-nos que es agafar Ψh

X0(t, x) en el cas h = 0 (vegeu (5.1.2)).

Per una banda hem generalitzat el resultat de A. Millet i M. Sanz-Sole, doncs hemdonat un comportament de pε

t,x(y) mes complet, pero per contra, ho hem fet per uny particular i concret. El nostre actual proposit es estendre aquest resultat a qual-sevol y ∈ R, les estimacions de Varadhan seran aleshores un cas particular d’aquestestudi molt mes general.

Observem un moment que passa en el cas de les difusions. Si y es el valor iniciald’una difusio d-dimensional, diem-li y = x, el terme d’ordre zero de l’expansio es,sense tenir en compte les constants, ε−d. Aixo es el que nosaltres hem vist al capıtolanterior. En canvi, per y 6= x, es de l’ordre de exp−C

εε−d. Nosaltres obtindrem

el mateix comportament per la nostra famılia Xε(t, x), ε ∈ (0, 1].

Considerem

Xε,h(t, x) :=Xε(t, x)(ω + h

ε)−Ψh

X0(t, x)

ε,

Sε,h(t, x) :=Xε,h(t, x)−X0,h

1 (t, x)

ε,

5.1 Introduccio 97

ε ∈ (0, 1], i X0,h1 (t, x) una variable aleatoria que sera solucio d’una equacio diferencial

estocastica (vegeu (5.2.2)). Degut al teorema de Girsanov haurem de tractar ambXε(t, x)(ω+ h

ε), i una serie de resultats ens portaran a treballar tambe amb Xε,h(t, x)

i Sε,h(t, x). A la Seccio 5.2, sota practicament les mateixes hipotesis del capıtolanterior, provarem propietats de regularitat en ε per aquestes tres famılies, aquestsresultats els necessitarem a la propera seccio. Entre altres coses, demostrarem queaquestes tres variables satisfan a ε fixat unes equacions d’evolucio estocastiquesque donarem; que aquestes variables son infinitament diferenciables respecte ε; des-criurem les seves derivades, aixı com la relacio que hi ha entre elles; i que els doslımits seguents existeixen q.s. i tambe satisfan equacions d’evolucio

X0,h(t, x) := limε↓0

Xε,h(t, x),

S0,h(t, x) := limε↓0

Sε,h(t, x).

Finalment, veurem que aquestes famılies i les seves derivades en ε son uniformementfitades respecte ε en les normes ‖ · ‖k,p. Tot aixo, conjuntament amb condicions de

no degeneracio (Xε,h(t, x), ε ∈ [0, 1] seran variables aleatories no degenerades), soneines que ens serviran per poder abordar el principal objectiu d’aquesta seccio: Eldesenvolupament de Taylor de pε

t,x(y) en ε = 0, ∀y ∈ R.

El metode utilitzat per tractar el problema esta inspirat en els articles de R. Leandre[28], G. Ben Arous [8], S. Watanabe [56] i el propi S. Watanabe i S. Takanobu [52].Una primera eina basica, formulada com (H43) a la Seccio 5.3, ens assegura queper qualsevol y ∈ R hi ha un numero finit d’elements h1, · · · , hn0 de H tal queΨhi

X0(t, x) = y, i = 1, · · · , n0, i ‖hi‖2

H es mınima. Mitjancant una localitzacio alvoltant dels elements que assoleixen aquest mınim podem dividir la densitat en duesparts. A una li direm part evanescent de la densitat i a l’altra part principal de ladensitat, conservant aixı la manera com R. Azencott les anomenava a [3]. Aquestmetode es portat a terme a la Seccio 5.3.

Resultats sobre grans desviacions per a la famılia Xε(t, x), ε ∈ (0, 1], provats perR.B. Sowers [50] i F. Chenal i A. Millet [14], ens permeten de tractar amb la partevanescent, es a dir, les trajectories per les quals Xε(t, x) i Ψhi

X0(t, x), i = 1, · · · , n0,

son distants. En realitat, veurem que el desenvolupament ve donat per la part prin-cipal. Aquest es el motiu d’anomenar-les d’aquesta manera.

Per facilitar la lectura d’aquesta introduccio suposem que hi ha un unic h ∈ Hsatisfent (H43) i denotem-lo per h. Per la part principal, aixo vol dir, quan les

98 Capıtol 5

trajectories son properes, el teorema de Girsanov, una normalitzacio per ε i unaconsequencia del metode dels multiplicadors de Lagrange, redueixen el problema al’estudi d’un funcional de Wiener que es producte de dues variables aleatories, unade tipus exponencial expλSε,h(t, x), on λ prove del metode dels multiplicadors deLagrange, i f(Xε,h(t, x)), on f es regular i mes endavant l’aproximarem a la deltade Dirac en el 0. Tot aixo convenientment localitzat.

El pas seguent es obtenir els desenvolupaments usuals de Taylor de les funcionsexpλSε,h(t, x) i f(Xε,h(t, x)), i ajuntar-los. Com al Capıtol 3 haurem d’utilitzaruna formula d’integracio per parts del calcul de Malliavin per anul.lar les derivadesde f d’ordre k ≥ 1 i prendre en lloc de f una successio de funcions regulars fm

que convergeixin cap a δ0. La principal dificultat es l’aplicacio de la formulad’integracio per parts doncs la formula usual donada als Preliminars de la Seccio 2.2no es util en aquest context.

Oblidem, momentaneament, l’estudi de la resta del desenvolupament asimptoticque es el punt mes delicat i vegem que passa amb els coeficients de l’expansio.Una vegada aplicat Taylor a les dues funcions i combinats aquests dos resultats, aldesenvolupament final hi apareixen factors com el seguent

f (i)(X0,h(t, x)) expλS0,h(t, x)N,

i ∈ Z+, N una variable aleatoria que pertany a D∞. Per eliminar les derivadeshem d’aplicar una mena d’integracio per parts, i en principi, nosaltres no podemgarantitzar que expλS0,h(t, x) pertanyi a Lp. Aleshores, sota una nova hipotesi(vegeu (H44)) provarem directament que existeix p ∈ (1,∞) tal que l’exponencialpertany a Lp. Utilitzant aquest fet adaptarem la formula classica d’integracio perparts del calcul de Malliavin al nostre context. Amb tot el que hem comentatnosaltres som capacos de donar el resultat seguent:

pεt,x(y) = ε−1e−

‖h‖22ε2 [p0

t,x + εp1t,x + ε2p2

t,x + · · ·+ εnpnt,x] + Resta, (5.1.3)

on els coeficients seran descrits i comprovarem que els senars s’anul.len. Ara be, demoment, no hem controlat la resta del desenvolupament i el que pretenem es fitar-launiformement. La resta de (5.1.3) provindra d’ajuntar els dos desenvolupaments deTaylor i la funcio localitzadora al voltant de h. D’entre tots els factors que formenla resta, el mes difıcil de tractar sera el que conte la resta del desenvolupament deTaylor de expλSε,h(t, x), diem-li Rε

1.

Amb aquest proposit abans haurem provat, utilitzant (H44) i una serie de lemestecnics sobre les cues de probabilitats, que existeix p ∈ (1,∞) tal que

5.1 Introduccio 99

supε

Eexp(pλSε,h(t, x))Φ < ∞,

on Φ es la funcio localitzadora al voltant de h.Comentem, per reflectir la problematica i sense entrar en masses detalls, que ladificultat per tractar Rε

1 prove del fet que nosaltres nomes podrem demostrar

|Rε1| ≤ expλS0,h(t, x) N ε

1 + expλSε,h(t, x) N ε2 , (5.1.4)

essent N ε1 , N

ε2 funcionals regulars; i obtenir un resultat similar a (5.1.4) per les

derivades de Malliavin de Rε1 pero local, concretament sobre

λ max(|S0,h(t, x)|, |Sε,h(t, x)|) ≤ n, ∀n ≥ 1.

Aleshores, amb aquests condicionants, haurem de demostrar una formula d’inte-gracio per parts (vegeu Proposicio 5.3.8) per poder eliminar les derivades de f defactors com el seguent

Ef (i)(Xε,h(t, x)) N ε3 Rε

1 Φ,on i ∈ Z+, i N ε

3 pertany a D∞ uniformement en ε. Despres, una vegada provadaaquesta formula, la manera de treballar es semblant a la dels dos capıtols anteriors.

La Seccio 5.3 l’hem dividit en diverses subseccions per facilitar la lectura. A laprimera Subseccio estudiarem la part evanescent de la densitat; a la segona realit-zarem les estimacions exponencials de les cues de distribucions per despres donar laformula particular d’integracio per parts; amb aquests ingredients farem l’estudi dela part principal de la densitat a la tercera; i a la darrera Subseccio hi donarem elresultat general aixı com una comprovacio de que realment les condicions que hemimposat poden ser satisfetes. Finalment, la Seccio 5.4 es una mena d’apendix queconte dos resultats tecnics.

La distribucio d’aquest capıtol es lleugerament diferent a la dels anteriors. Moltspreliminars han estat comentats a seccions previes. Aleshores, aquı, els Preliminars(usuals a cada seccio) son utilitzats per introduir-hi notacions (Seccio 5.2), o be perdonar un esquema de treball (Seccio 5.3). Els preliminars necessaris seran donats amesura que vagin apareixent. La Seccio 5.4 segueix mantenint la mateixa estructuraque sempre.

100 Capıtol 5

5.2 Regularitat de la famılia

Objectiu

Aquesta seccio esta dedicada a establir algunes propietats de la solucio de l’equaciod’evolucio (5.1.1), aixı com introduir-hi notacions, que necessitarem a la properaseccio. Donarem els resultats de regularitat respecte ε que hem fet esment a laintroduccio.

Preliminars

Introduım algunes hipotesis sobre els coeficients i la condicio inicial:

(H41) σ, b : R −→ R son funcions de classe C∞ amb derivades fitades de qualsevolordre mes gran que 1, i X0 ∈ C([0, 1]).

(H42) Existeix C > 0 tal que inf|σ(y)|, y ∈ R ≥ C.

Observem que la primera condicio es lleugerament mes forta que la hipotesi (H31)del capıtol anterior. Basicament es per facilitar els calculs que haurem de fer a laSeccio 5.3.

Sigui Xε,h(t, x)(ω) = Xε(t, x)(ω + h

ε

), ε ∈ (0, 1], (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], h ∈ H. El

proces Xε,h(t, x), (t, x) ∈ [0, T ]× [0, 1] satisfa l’equacio

Xε,h(t, x) =

∫ 1

0

Gt(x, y)X0(y)dy +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

ε σ(Xε,h(s, y)) W (ds, dy)

+ σ(Xε,h(s, y)) h(s, y)ds dy + b(Xε,h(s, y)) ds dy

,

(5.2.1)

i, per unicitat de solucio, Xε,0(t, x) = Xε(t, x) and X0,h(t, x) = ΨhX0

(t, x), onX0,h(t, x) = limε↓0 Xε,h(t, x) (vegeu Proposicio 5.2.1).

A partir d’ara j denotara un enter positiu. Siguin Xε,hj (t, x), j ≥ 1, ε ∈ [0, 1], les

5.2 Regularitat de la famılia 101

solucions de les equacions diferencials estocastiques seguents:

Xε,h1 (t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

σ(Xε,h(s, y))W (ds, dy) + ε σ′(Xε,h(s, y))

× Xε,h1 (s, y) W (ds, dy) + σ′(Xε,h(s, y)) Xε,h

1 (s, y) h(s, y) ds dy

+ b′(Xε,h(s, y)) Xε,h1 (s, y) ds dy

(5.2.2)i, per j ≥ 2,

Xε,hj (t, x) = Iε,h

j−1(t, x) +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

εσ′(Xε,h(s, y)) Xε,hj (s, y) W (ds, dy)

+ σ′(Xε,h(s, y)) Xε,hj (s, y) h(s, y)ds dy + b′(Xε,h(s, y)) Xε,h

j (s, y) ds dy

,

(5.2.3)on

Iε,hj−1(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

j−1∑

k=1

∑β1+...+βk=j−1

β1,...,βk≥1

dj−1(β1, . . . , βk)

× σ(k)(Xε,h(s, y))k∏

`=1

Xε,hβ`

(s, y) W (ds dy) +

j∑

k=2

∑β1+...+βk=jβ1,...,βk≥1

cj(β1, . . . , βk)

×[εσ(k)(Xε,h(s, y))

k∏

`=1

Xε,hβ`

(s, y)[W (ds, dy) +

h(s, y)

εds dy

]

+ b(k)(Xε,h(s, y))k∏

`=1

Xε,hβ`

(s, y) ds dy

],

els coeficients cj(β1, . . . , βk) i dj(β1, . . . , βk) son obtinguts per induccio com al capıtolanterior. En particular, quan j = 2, c2(1, 1) = 1, d1(1) = 2, i per ε = 0,

I0,h1 (t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

2σ′(ΨhX0

(s, y)) X0,h1 (s, y) W (ds dy) + σ′′(Ψh

X0(s, y))

× X0,h1 (s, y)2 h(s, y) ds dy + b′′(Ψh

X0(s, y)) X0,h

1 (s, y)2 ds dy

.

(5.2.4)Usem les convencions Xε,h

0 (t, x) = Xε,h(t, x) i X0,h0 (t, x) = Ψh

X0(t, x).

102 Capıtol 5

Resultats

L’equacio (5.2.1) te una estructura molt similar a l’equacio (5.1.1), amb un nouterme on hi participa h. Aquest fet no porta ni cap tipus de problema ni cap tipusde diferencia a l’hora de treballar. Per aquesta rao alguns dels resultats trobats sobreles trajectories de Xε(t, x) que hem provat al Capıtol 4 poden ser estesos sense capdificultat a la solucio de (5.2.1), utilitzant els mateixos arguments.Tot seguit enunciem una serie de resultats per Xε,h(t, x) i donem la referencia en elcas corresponent a Xε(t, x). Les demostracions poden ser practicament calcades delcas anterior.

Proposicio 5.2.1 Assumim (H41). Fixats (t, x) ∈ (0, T ]× (0, 1], h ∈ H. Aleshoresexisteix una versio de Xε,h(t, x), ε ∈ (0, 1) que es de classe C∞ respecte ε i, per atot j ≥ 1

dj Xε,h

d εj(t, x) = Xε,h

j (t, x).

A mes a mes, per qualssevol j ≥ 0, p ∈ (1,∞), ε, ε′ ∈ (0, 1),

supt,x

E(|Xε,h

j (t, x)−Xε′,hj (t, x)|p

)≤ C |ε− ε′|p.

Consequentment,

E

sup0≤ε≤1

|Xε,hj (t, x)|p

< ∞ . (5.2.5)

Endemes,limε↓0

Xε,hj (t, x) = X0,h

j (t, x) , a.s.

Vegeu la Proposition 4.3.2 i el Corol.lari 4.3.3.

Per a tot ε ∈ (0, 1] sigui

Xε,h(t, x) =Xε,h(t, x)−Ψh

X0(t, x)

ε, (5.2.6)

Sε,h(t, x) =Xε,h(t, x)−Ψh

X0(t, x)− εX0,h

1 (t, x)

ε2. (5.2.7)

Notem que

Sε,h(t, x) =Xε,h(t, x)−X0,h

1 (t, x)

ε. (5.2.8)

5.2 Regularitat de la famılia 103

Les funcions Xε,h(t, x) i Sε,h(t, x) son de classe C∞ respecte ε ∈ (0, 1). El seguentlema estableix relacions entre les derivades dels processos Xε,h(t, x), Xε,h(t, x) iSε,h(t, x). Per qualsevol j ≥ 1 siguin

Xε,hj (t, x) =

dj Xε,h(t, x)

dεji Sε,h

j (t, x) =dj Sε,h(t, x)

dεj.

Com abans considerem les convencions Xε,h0 (t, x) = Xε,h(t, x) i Sε,h

0 (t, x) = Sε,h(t, x).

Lema 5.2.2 Suposem (H41). Aleshores, per qualssevol j ≥ 0, ε ∈ (0, 1),

Xε,hj (t, x) =

1

j + 1

X0,h

j+1(t, x) + ε

∫ 1

0

(1− ξj+1) Xεξ,hj+2 (t, x)dξ

, (5.2.9)

Sε,hj (t, x) =

1

(j + 1) (j + 2)X0,h

j+2(t, x) +ε

(j + 1)

∫ 1

0

(1− ξj+1) Xεξ,hj+2 (t, x) dξ .

(5.2.10)

Vegeu el Lema 4.3.4.Clarament, (5.2.5), (5.2.9) i (5.2.10) impliquen, per qualsevol j ≥ 0,

X0,hj (t, x) : = lim

ε↓0Xε,h

j (t, x) =1

j + 1X0,h

j+1(t, x) , (5.2.11)

S0,hj (t, x) : = lim

ε↓0Sε,h

j (t, x) =1

(j + 1) (j + 2)X0,h

j+2(t, x) . (5.2.12)

Pel teorema del valor mig, hom pot comprovar facilment que els processos Xε,h(t, x),(t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], Sε,h(t, x); (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1] donats a (5.2.6) i (5.2.7),respectivement, satisfan les equacions seguents:

Xε,h(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ(Xε,h(s, y)) W (ds, dy) +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

×

∂ σε(s, y)Xε,h(s, y) h(s, y) + ∂ bε(s, y) Xε,h(s, y)

ds dy , (5.2.13)

Sε,h(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ∂σε(s, y) Xε,h(s, y) W (ds, dy) +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

×

σ′(Ψh

X0(s, y)

)Sε,h(s, y) h(s, y) + ∂2σε(s, y) Xε,h(s, y)2 h(s, y)

+ b′(Ψh

X0(s, y)

)Sε,h(s, y) + ∂2bε(s, y) Xε,h(s, y)2

ds dy , (5.2.14)

104 Capıtol 5

amb ∂ σε(s, y) =

∫ 1

0

σ′(Ψh

X0(s, y)+λ(Xε,h(s, y)−Ψh

X0(s, y))

)d λ , ∂2σε(s, y) =

∫ 1

0

du∫ u

0

dv σ′′(Ψh

X0(s, y)+ v(Xε,h(s, y)−Ψh

X0(s, y))

)i una similar definicio per ∂bε(s, y),

∂2bε(s, y), respectivement.

Des de (5.2.12), (5.2.3) i (5.2.4) podem veure que S0,h(t, x) satisfa

S0,h(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ′(Ψh

X0(s, y)

)X0,h

1 (s, y) W (ds, dy)

+

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

σ′(Ψh

X0(s, y)

)S0,h(s, y) h(s, y)

+1

2σ′′

(Ψh

X0(s, y)

)X0,h

1 (s, y)2 h(s, y) + b′(Ψh

X0(s, y)

)S0,h(s, y)

+1

2b′′

(Ψh

X0(s, y)

)X0,h

1 (s, y)2

ds dy .

(5.2.15)Assumim (H41). Aleshores els arguments tıpics i estandards desenvolupats, perexemple, a [6] impliquen que per qualsevol (t, x) ∈ (0, T ] × (0, 1) fixat, Xε,h

j (t, x),

Sε,hj (t, x) pertanyen a D∞, per qualsevol j ≥ 0. A mes a mes, per qualssevol j ∈Z+, k ∈ N, p ∈ (0, 1),

sup0<ε≤1

supt,x

‖Xε,hj (t, x)‖k,p ≤ C ,

sup0<ε≤1

supt,x

‖Sε,hj (t, x)‖k,p ≤ C . (5.2.16)

Si afegim la hipotesi (H42), aleshores

sup0<ε≤1

E ( | det Γ−1

Xε,h(t,x)|p) < C , p ∈ (1,∞) ,

i X0,h1 (t, x) es una variable aleatoria Gaussiana no degenerada. Per la demostracio

s’utilitzen les mateixes idees que a l’article de A. Millet i M. Sanz-Sole [36].

5.3 Estudi del comportament de la densitat 105

5.3 Estudi del comportament de la densitat

Objectiu

El proposit d’aquesta seccio es demostrar el desenvolupament asimptotic de pεt,x(y),

densitat de Xε(t, x), per a tot y ∈ R diferent al del capıtol anterior; i per aconseguiraixo haurem d’introduir dos noves hipotesis (vegeu (H43), (H44)).En un primer apartat estudiarem la part evanescent de la densitat (Subseccio 5.3.1)i tal com diu la paraula observarem que l’altra part es la que te tot el pes del desen-volupament. A continuacio, usant una serie de lemes previs, establirem la formulad’integracio per parts del calcul de Malliavin readaptada al nostre cas particular(Subseccio 5.3.2). La Subseccio 5.3.3 la dedicarem a la part principal de la densitatque tal com hem comentat ens donara el desenvoluapment asimptotic. Finalment,a la Subseccio 5.3.4, s’enuncia el resultat principal i la constatacio de les hipotesis.

Preliminars

En aquesta seccio considerem un punt (t, x) ∈ (0, T ] × (0, 1] fixat, y ∈ R, y 6=Ψ0

X0(t, x).

Com a l’article [56], nosaltres emprarem una localitzacio basada en una hipotesiaddicional (vegeu (H43) mes avall).Sigui Ky = h ∈ H : Ψh

X0(t, x) = y i Kmin

y el conjunt de h’s que pertanyen a Ky iminimitzen la norma H. La Proposicio 1.4 [36] ens assegura que sota (H41) i (H42)Kmin

y 6= ∅.Introduım aquesta condicio addicional.

(H43) El conjunt Kminy es finit.

Sigui Kminy = h1, . . . , hn0 i a = ‖hi‖2

H, i = 1, . . . , n0 .Considerem una famılia φρ, ρ ∈ (0, 1] de funcions C∞ sobre R, creixent amb ρ,tal que sup0<ρ≤1 ‖φρ‖∞ ≤ 1, i

φρ(x) =

0 si |x| > ρ,1 si |x| ≤ ρ

2.

106 Capıtol 5

Fixat β ∈ (2,∞) definim, per tot ρ ∈ (0, 1], ε > 0,

χρ,β(ε, ω) =

n0∑i=1

φρ

(‖Xε(ω)−Ψhi

X0‖β

Lβ([0,T ]×[0,1])

).

Aleshores, utilitzant aquesta definicio, podem dividir la densitat en dues parts

pεt,x(y) = E

(δy(X

ε(t, x)))

= pε,1t,x(y) + pε,2

t,x(y) , (5.3.1)

amb

pε,1t,x(y) = E

(1− χρ,β(ε, ω)

)δy (Xε(t, x))

,

pε,2t,x(y) = E

χρ,β(ε, ω) δy (Xε(t, x))

.

Com hem comentat abans, anomenem a pε,1t,x(y) part evanescent de la densitat, i a

pε,2t,x(y) part principal (vegeu [3]).

Denotem per Bβ(x, ρ) la bola oberta de Lβ([0, T ]× [0, 1]) centrada en x, amb radi ρ.Sota (H42) existeix ρ0 > 0 tal que per qualsevol ρ ∈ (0, ρ0) les boles Bβ(Ψhi

X0, ρ), i =

1, . . . , n0, son disjuntes dos a dos.

Resultats

5.3.1 La part evanescent de la densitat

L’objectiu es estudiar pε,1t,x(y).

Proposicio 5.3.1 Assumim (H41)-(H43). Per cada ρ ∈ (0, ρ0) existeix una con-stant C > 0 tal que

pε,1t,x(y) = E

(1−χρ,β(ε, ω)

)δy(X

ε(t, x))

= O(

exp− 1

2ε2(a + C)

), (5.3.2)

quan ε ↓ 0.


Prova. Sigui ρ′ > 0 i Ψ = (1− χρ,β(ε, ω)) φρ′(Xε(t, x)− y). La formula d’integracio

per parts (2.2.3) i la propietat local de la integral de Skorohod donen

0 ≤ E(

1− χρ,β(ε, ω))

δy(Xε(t, x))

= E

Ψ δy(Xε(t, x))

≤ E

l1Xε(t,x)>y H1

(Xε(t, x), Ψ

)l1Xε∈Tn0

i=1(Bβ(Ψ

hiX0

, ρ2))c T |Xε(t,x)−y|≤ρ′

.

Sigui ΓXε(t,x) la matriu de Malliavin de Xε(t, x). L’estimacio (4.3.20) implica

‖Γ−1ε ‖p ≤ C ε−2, p ≥ 1 . (5.3.3)

Per altra banda, per la desigualtat de Holder i la fitacio Lp de la integral de Skorohod(3.3.2),

E(

1− χρ,β(ε, ω))

δy(Xε(t, x)

)≤ T

1/p1 T

1/q2

amb 1p

+ 1q

= 1, i

T1 = P

Xε ∈n0⋂i=1

(Bβ(Ψhi

X0,

ρ

2))c

, |Xε(t, x)− y| ≤ ρ′

,

T2 = ‖H1(Xε(t, x), Ψ)‖q

q ≤ C ‖Γ−1Xε(t,x)‖a

r ‖Xε(t, x)‖b2,s ‖Ψ‖d

1,s′ ,

on r, s, s′, a, b i d son numeros reals positius mes grans que 1.Les fitacions (4.3.21) i (5.3.3) ens asseguren T2 ≤ C ε−2a, per algun a > 0. Con-sequentment, prenent p → 1,

lim supε↓0

ε2 log E((1− χρ,β(ε, ω)) δy(X

ε(t, x)))

≤ lim supε↓0

ε2 log P

Xε ∈n0⋂i=1

(Bβ(Ψhi

X0,

ρ

2))c

, |Xε(t, x)− y| ≤ ρ′

.(5.3.4)

Sigui ϕi0 ∈ C([0, T ] × [0, 1]), i = 1, . . . , n0, γ, ρ′ > 0 i y ∈ R. El conjunt ϕ ∈

C([0, T ]× [0, 1]) : ϕ ∈ ⋂n0

i=1 (Bβ(ϕi0, γ))c; |ϕ(t, x)− y| ≤ ρ′ es tancat en la topologia

de la norma uniforme. A mes a mes, el principi de grans desviacions per a la famıliaXε, ε ∈ (0, 1] establert a [14] (vegeu tambe [50]), mostra que la part dreta de ladesigualtat (5.3.4) es fitada per

− inf1

2‖h‖2

H : h ∈ H, ΨhX0∈

n0⋂i=1

(Bβ(Ψhi

X0,

ρ

2))c

, |ΨhX0

(t, x)− y| ≤ ρ′

.

108 Capıtol 5

Existeix ρ′ > 0 tal que aquesta darrera quantitat es estrictament fitada per −12a.

Per demostrar aquesta afirmacio, suposem el contrari. Per tant podrem elegir ρ′ =1n, hn ∈ H satisfent

Ψhn

X0∈

n0⋂i=1

(Bβ(Ψhi

X0,

ρ

2))c

, |Ψhn

X0(t, x)− y| ≤ 1

n,

i lim supn ‖hn‖2H ≤ a. Aquesta darrera desigualtat assegura l’existencia d’una sub-

successio hnk , h ≥ 1 de hn, n ≥ 1 la qual convergeix feblement a algun h ∈ H,i satisfa ‖h‖2

H ≤ a. Usant la propietat de continuıtat de l’esquelet provada a [14],Ψh

X0(t, x) = y i

ΨhX0∈

n0⋂i=1

(Bβ(Ψhi

X0,

ρ

2))c

. (5.3.5)

Aixı, per (H43), h ∈ Kminy i h = hi per algun i = 1, . . . , n0. Aixo porta a contradiccio

amb (5.3.5). D’aquı

lim supε↓0

ε2 log E((1− χρ,β(ε, ω)) δy(X

ε(t, x)))

< −1

2a ,

provant (5.3.2). ¤

5.3.2 Una formula d’integracio per parts

Aquesta subseccio esta essencialment dedicada a donar els ingredients necessaris perla formula d’integracio per parts, aixı com la seva demostracio, que necessitarem des-pres per analitzar la part principal de la densitat.

Sense perdua de generalitat assumirem que Kminy esta format per un sol element. A

partir d’ara denotarem per h aquest element.Considerem la transformacio de l’espai de Wiener definida per T ε,h(ω) = ω + h

ε; el

teorema de Cameron-Martin-Girsanov, el Lema 5.4.4 i l’identitat (5.2.8) impliquen

pε,2t,x(y) = E

χh

ρ,β(ε, ω) δy(Xε(t, x)

)=

1

εexp

(− 1

2 ε2‖h‖2

H)

× E

exp(λ Sε,h(t, x)

)χh

ρ,β

(ε, ω + h

ε

)δ0

(Xε,h(t, x)

),

(5.3.6)


on χhρ,β(ε, ω) = φρ

(‖Xε − Ψh

X0‖β

Lβ([0,T ]×[0,1])

)i λ = λh, essent λh definida al Lema

5.4.4.

Imaginem que tenim els desenvolupaments de Taylor de la funcio exponencial quesurt a (5.3.6) i de f(Xε,h(t, x)), on f es C∞, simetrica i amb suport compacte (aquestsera un dels passos que farem mes endavant). Aleshores necessitarem una especiede formula d’integracio per parts del calcul de Malliavin per poder eliminar lesderivades de la funcio f .Tot seguit donem els ingredients per obtenir aquesta formula particular. En elspropers Lemes 5.3.2, 5.3.2, 5.3.4 i la Proposicio 5.3.5, h es un element arbitrari de H.Encara que nosaltres assumim (H41) per obtenir aquests resultats, les demostracionstambe poden ser provades sota condicions mes febles. Per a tot β ∈ (1,∞), ε ∈(0, 1], ρ ∈ (0, 1], i h ∈ H, sigui

Aε,β,ρ =‖Xε,h −Ψh

X0‖2β

L2β([0,T ]×[0,1])≤ ρ

.

Lema 5.3.2 Assumim (H41). Existeixen r0, C > 0 tals que, per a tot r ≥ r0,

P‖X0,h

1 ‖∞ > r≤ exp

(− r2

C

), (5.3.7)

sup0<ε≤1

P‖Xε,h‖∞ > r, Aε,β,ρ

≤ exp

(− r2

C

), (5.3.8)

per cada β ∈ (3,∞), ρ ∈ (0, 1].

Prova. Utilizant el lema de Gronwall es pot comprovar facilment que

sup0≤t≤T

sup0≤x≤1

|ΨhX0

(t, x)| ≤ C . (5.3.9)

Consequentment,‖σ(Ψh

X0)‖∞ ≤ C . (5.3.10)

Considerem l’equacio satisfeta per X0,h1 (t, x), (t, x) ∈ [0, T ]× [0, 1] (vegeu (5.2.2)).

La desigualtat de Schwarz implica

|X0,h1 (t, x)|2 ≤ C

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ(ΨhX0

(s, y)) W (ds, dy)∣∣∣2

+ (1 + ‖h‖2H)

×∫ t

0

1√t− s

sup0≤y≤1

|X0,h1 (s, y)|2ds

.

110 Capıtol 5

Aleshores, usant el lema de Gronwall, obtenim

sup0≤t≤T

sup0≤x≤1

|X0,h1 (t, x)|

≤ C sup0≤t≤T

sup0≤x≤1

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ(ΨhX0

(s, y)) W (ds, dy)∣∣∣.

Per tant, el Lema 5.4.3 i (5.3.10) ens asseguren

P ‖X0,h1 ‖∞ > r ≤ P

‖

∫ .

0

∫ 1

0

G.−s(∗, y) σ(ΨhX0

(s, y)) W (ds, dy)‖∞ >r

C,

∫ T

0

∫ 1

0

(σ(Ψh

X0(s, y))

)2β

ds dy ≤ CT

≤ exp(− r2

C

),

per r suficientment gran. Aixo prova (5.3.7).

La demostracio de (5.3.8) es molt semblant. De nou, considerant l’equacio satisfetaper Xε,h(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], un argument basat en el lema de Gronwalldona

‖Xε,h‖∞ ≤ C ‖∫ .

0

∫ 1

0

G.−s(∗, y) σ(Xε,h(s, y)) W (ds, dy)‖∞ .

La propieta Lipschitz de σ i (5.3.10) impliquen que, sobre el conjunt Aε,β,ρ,

∫ T

0

∫ 1

0

|σ(Xε,h(s, y))|2βds dy ≤ R ,

pe alguna constant R positiva que no depen de ρ.

Aixı, el Lema 5.4.3 aplicat a τ(s, y) = σ(Xε,h(s, y)) dona (5.3.8). ¤

Lema 5.3.3 Suposem (H41). Per qualssevol ρ ∈ (0, 1], β ∈ (3,∞), existeixen r0, C,no depenent de ρ, tals que, per cada r ≥ r0,

sup0<ε≤1

P ‖Xε,h −X0,h1 ‖∞ > r , Aε,β,ρ ≤ exp

(− r2

ρ1/βC

).


Prova. Recordem que (Xε,h − X0,h1 )(t, x) = ε Sε,h(t, x), on Sε,h(t, x), (t, x) ∈

[0, T ]× [0, 1] satisfa (5.2.14). Mes exactament, tenim

(Xε,h −X0,h1 )(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ∂σε(s, y) (Xε,h −ΨhX0

)(s, y) W (ds, dy)

+

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)(

σ′(ΨhX0

(s, y)) h(s, y) + b′(ΨhX0

(s, y)))

× (Xε,h −X0,h1 )(s, y) +

(∂2 σε(s, y) h(s, y) + ∂2 bε(s, y)

)

× Xε,h(s, y) (Xε,h −ΨhX0

)(s, y)

ds dy .

Aixı,

|(Xε,h −X0,h1 )(t, x)|2

≤ C∣∣∣

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ∂σε(s, y) (Xε,h −ΨhX0

)(s, y) W (ds dy)∣∣∣2

+

∫ t

0

1

(t− s)1/2sup

0≤x≤1|(Xε,h −X0,h

1 )(s, x)|2ds

+

∫ t

0

∫ 1

0

G2t−s(x, y) (Xε,h(s, y))2 ((Xε,h −Ψh

X0)(s, y))2 ds dy

.

(5.3.11)Sigui α ∈ (1, 3

2) satisfent 1

α+ 1

β= 1. La desigualtat de Holder ens mostra

∫ t

0

∫ 1

0

G2t−s(x, y) (Xε,h(s, y))2 ((Xε,h −Ψh

X0)(s, y))2ds dy

≤ ‖Xε,h‖2∞

( ∫ t

0

∫ 1

0

G2αt−s(x, y)ds dy

)1/α

‖Xε,h −ΨhX0‖2

L2β([0,T ]×[0,1])

≤ C ‖Xε,h‖2∞ ‖Xε,h −Ψh

X0‖2

L2β([0,T ]×[0,1]).

Substituint aquesta estimacio a (5.3.11) i utilitzant el lema de Gronwall obtenim

P ‖Xε,h −X0,h1 ‖∞ > r, Aε,β,ρ ≤ p1 + p2 ,

amb

112 Capıtol 5

p1 = P‖Xε,h‖∞ > r1, Aε,β,ρ

p2 = P∥∥∥

∫ .

0

∫ 1

0

Gt−.(∗, y) ∂ σε(s, y) (Xε,h −ΨhX0

)(s, y) W (ds, dy)∥∥∥∞

>r

C2

− r1 ρ12β , Aε,β,ρ

,

on r1 = a rρ−12β amb 1

C2− a > 0. Aleshores, la demostracio del lema finalitza com

a consequencia dels Lemes 5.3.2 i 5.4.3. ¤

Lema 5.3.4 Assumim (H41). Per qualssevol ρ ∈ (0, 1], β ∈ (3,∞), existeixenr0, C, no depenent de ρ, tals que, per a tot r ≥ r0

sup0<ε≤1

P‖Sε,h − S0,h‖∞ > r, Aε,β,ρ

≤ exp

(− r

ρ12β

C). (5.3.12)

Prova. Des de (5.2.14) i (5.2.15) tenim que el proces (Sε,h − S0,h)(t, x), (t, x) ∈[0, T ]× [0, 1] satisfa l’equacio.

(Sε,h − S0,h)(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)(σ′(Ψh

X0(s, y)) h(s, y) + b′(Ψh

X0(s, y))

)

× (Sε,h − S0,h)(s, y)ds dy +4∑

i=1

Ti(t, x) ,

(5.3.13)amb

T1(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ′(ΨhX0

(s, y))(Xε,h −X0,h1 )(s, y) W (ds, dy) ,

T2(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) ∂2 σε(s, y)Xε,h(s, y)(Xε,h −ΨhX0

)(s, y) W (ds, dy) ,

T3(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) h(s, y)(∂2 σε(s, y)(Xε,h(s, y))2 − 1

2σ′′(Ψh

X0(s, y))

× (X0,h1 (s, y))2

)ds dy ,

T4(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)(∂2 bε(s, y)(Xε,h(s, y))2 − 1

2b′′(Ψh

X0(s, y))

× (X0,h1 (s, y))2

)ds dy .


Per qualssevol r, ri, i = 1, 2, 3, numeros reals positius, β ∈ (3,∞), ρ ∈ (0, 1], sigui

P ‖Sε,h − S0,h‖∞ > r, Aε,β,ρ ≤4∑

i=1

qρi , (5.3.14)

on

qρ1 = P ‖Sε,h − S0,h‖∞ > r, Aε,β,ρ, ‖Xε,h −X0,h

1 ‖∞ ≤ r1, ‖Xε,h‖∞ ≤ r2 ,

‖X0,h1 ‖∞ ≤ r3 ,

qρ2 = P ‖Xε,h − S0,h

1 ‖∞ > r1, Aε,β,ρ ,

qρ3 = P ‖Xε,h‖∞ > r2, Aε,β,ρ ,

qρ4 = P ‖X0,h

1 ‖∞ > r3 .

El Lema 5.3.2 dona l’existencia de r0, C1 > 0 tals que, per qualssevol r2, r3 ≥ r0, ρ ∈(0, 1],

qρ3 + qρ

4 ≤ exp(− r2

2

C1

)+ exp

(− r2

3

C1

). (5.3.15)

Pel Lema 5.3.3, per qualsevol ρ ∈ (0, 1] fixada, existeixen r0, C2 > 0 tals que, percada r ≥ r0,

qρ2 ≤ exp

(− r2

1

ρ1/βC2

). (5.3.16)

Utilitzant (5.3.13) i els arguments estandards basats en el lema de Gronwall obtenim

‖Sε,h − S0,h‖∞ ≤ C

4∑i=1

‖Ti‖∞. (5.3.17)

El proper proposit es donar fitacions per ‖Ti‖∞, i = 3, 4, sobre el conjunt

Aε,β,ρr1r2r3

:= Aε,β,ρ ∩ ‖Xε,h −X0,h1 ‖∞ ≤ r1, ‖Xε,h‖∞ ≤ r2, ‖X0,h

1 ‖∞ ≤ r3 . (5.3.18)

Notem que

T3(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)h(s, y)

∂3 σε(s, y)(Xε,h −ΨhX0

)(s, y)Xε,h(s, y)2

+1

2σ′′(Ψh

X0(s, y)) Xε,h(s, y)(Xε,h −X0,h

1 )(s, y)

+1

2σ′′(Ψh

X0(s, y)) X0,h

1 (s, y) (Xε,h −X0,h1 )(s, y)

ds dy ,

114 Capıtol 5

amb ∂3 σε(s, y) =

∫ 1

0

du

∫ u

0

dv

∫ v

0

dw σ′′′(ΨhX0

(s, y) + w(Xε,h −ΨhX0

) (s, y)).

Aleshores, clarament, sobre Aε,β,ρr1r2r3

,

‖T3‖∞ ≤ C(ρ

12β r2

2 + r1r2 + r1r3

). (5.3.19)

La mateixa fitacio existeix per a ‖T4‖∞.Aixı, (5.3.17)-(5.3.19) impliquen, sobre el conjunt Aε,β,ρ

r1r2r3,

‖Sε,h − S0,h‖∞ ≤ C(ρ

12β r2

2 + r1r2 + r1r3 + ‖T1‖∞ + ‖T2‖∞). (5.3.20)

Siguin ai ∈ (0,∞), i = 1, 2, 3, tals que C0 := 1C− a2 − √

a1a2 − √a1a3 > 0 , on

C es la constant positiva que apareix a la banda dreta de la desigualtat (5.3.20).Aleshores, siguin

r1 = (a1 r ρ1/2β)1/2,

r2 = (a2 r ρ−1/2β)1/2,

r3 = (a3 r ρ−1/2β)1/2.

(5.3.21)

Clarament,qρ1 ≤ qρ

11 + qρ12,

amb

qρ11 = P ‖T1‖∞ >

1

2C0 r , Aε,β,ρ

r1r2r3 ,

qρ12 = P ‖T2‖∞ >

1

2C0 r , Aε,β,ρ

r1r2r3 .

El Lema 5.4.3 aplicat al proces τ(s, y) = σ′(ΨhX0

(s, y)) (Xε,h − X0,h1 )(s, y) ens diu

que existeixen contants K1, K2 positives tals que,

qρ11 ≤ exp

(− r2 C2

0

4T 1/β ‖σ′‖2∞ r21

K2

), (5.3.22)

sempre que rr1

> K1.

Analogament, el mateix lema aplicat a τ(s, y) = ∂2 σε(s, y) Xε,h(s, y) (Xε,h −Ψh

X0)(s, y), assegura l’existencia de constants K1, K2 positives tals que

qρ12 ≤ exp

(− r2 C2

0

4 ‖σ′′‖2∞ r22 ρ1/β

K2

), (5.3.23)


per rr2 ρ1/2β ≥ K1.

Substituint els valors de ri, i = 1, 2, 3, donats a (5.3.21) a les desigualtats (5.3.15),(5.3.16), (5.3.22) i (5.3.23) i, tenint en compte la desigualtat (5.3.14), acabem laprova d’aquest lema. ¤

Proposicio 5.3.5 Suposem (H41). Per qualssevol p > 0, β ∈ (6,∞), existeixρ1 = ρ1(p) ∈ (0, 1] tal que

sup0<ε≤1

E

exp(p |(Sε,h − S0,h)(t, x)|

)χh

ρ1,β (ε, ω +h

ε)

< + ∞ .

Prova. Fixem p > 0, β > 6. Siguin r0, C tals que (5.3.12) es satisfeta per a totr ≥ r0; aleshores elegim ρ1 ∈ (0, 1] tal que p < C

ρ12 β

1

. Clarament

χhρ1,β (ε, ω +

h

ε) ≤ l1

Aε,β2 ,ρ1

.

El teorema de Fubini i l’eleccio de ρ1 impliquen

E

exp(p | (Sε,h − S0,h) (t, x) |

)χh

ρ1,β

(ε, ω +

h

ε

)

≤ E

exp(p | (Sε,h − S0,h) (t, x) |

)l1Aε,

β2 ,ρ1

≤ epr0 + E(∫ |Sε,h−S0,h| (t,x)

r0

p epydy)

l1Aε,

β2 ,ρ1

≤ C + p

∫ ∞

r0

e−y

(C

ρ1/2β1

−p

)dy < +∞ . ¤

La proposicio previa es un dels ingredients utilitzats a la de demostracio de la formulad’integracion per parts adaptada al nostre problema (Proposicio 5.3.8). L’ingredientaddicional, establert a la Proposicio 5.3.6, necessita una nova hipotesi (vegeu (H44)mes avall).La variable aleatoria S0,h(t, x) nomes te components als caos de Wiener d’ordre0 i 2. Doncs, des de (5.2.15) hom pot comprovar facilment que la derivada deMalliavin de segon ordre es determinista i, a mes a mes, E(D S0,h(t, x) ) = 0. SiguiY (t, x) = λh S0,h(t, x), h ∈ Kmin

y , on λh es definida al Lema 5.4.4. Aleshores

Y (t, x) = E(Y (t, x)) +

∫

([0,t]×[0,1])2fh

2 ((t, x); (s, y), (r, z)) W (ds, dy) W (dr, dz) ,

(5.3.24)

116 Capıtol 5

amb fh2 ((t, x); ·) ∈ L2(([0, t]× [0, 1])2). Aixı, el nucli fh

2 ((t, x); ·) defineix un operadorde Hilbert-Schmidt A(t, x) sobre H = L2( [0, t]× [0, 1] ). Denotem per µh

k, k ≥ 1la successio de valors propis de l’operador. Llavors

Z(t, x) = Y (t, x)− E(Y (t, x)) =∞∑

k=1

µhk ξk ⊗ ξk ,

essent ξk una base ortonormal i completa del primer caos de Wiener.Seguint la Proposicio 8.4 del llibre de J. Neveu [39] tenim que, per a tot σ > 0complint 2 σ maxk µh

k < 1, es compleix

E(eσ Z(t,x)

)=

(det2 (I − 2σ A(t, x))

)− 12

< ∞,

on det2 denota el determinat de Carleman-Fredholm.Amb aquest fet es logic introduir la condicio seguent:

(H44) 2 maxk µhk < 1, per qualsevol h ∈ Kmin

y .

Aixo ens permet de donar el proxim resultat.

Proposicio 5.3.6 Assumim (H41), (H42) i (H44). Per qualsevol h ∈ Kminy existeix

p ∈ (1,∞) tal que ,

E(

exp ( p λh S0,h(t, x)))

< +∞ .

Les Proposicions 5.3.5, 5.3.6 i la desigualtat de Holder impliquen

Proposicio 5.3.7 Assumim (H41), (H42) i (H44). Per qualsevol h ∈ Kminy existeix-

en p ∈ (1,∞) i ρ ∈ (0, 1] tals que, per qualsevol β ∈ (6,∞),

sup0<ε≤1

E(

exp( p λh Sε,h(t, x)) χhρ,β

(ε, ω +

h

ε

))< +∞ .

El desenvolupament de Taylor de pε,2t,x(y) recau sobre la particular formula d’inte-

gracio per parts establerta a les properes dues proposicions.Sigui E un espai polones. Una famılia U i, i ∈ I de vectors aleatoris a valors enE indexada per I ⊂ R es dira uniformement fitada en D∞(E) si, per qualssevolp ∈ (1,∞), k ≥ 1, supi ‖U i‖p,k ≤ Cp,k.


Per qualsevol n ∈ N, sigui ϕn(x) ∈ C∞0 una funcio satisfent ‖ϕn‖∞ ≤ 1,

ϕn(x) =

1, si |x| ≤ n,0, si |x| > n + 1,

(5.3.25)

i supn,k≥1 ‖ϕ(k)n ‖∞ ≤ C.

Siguin Gη, η ∈ [0, 1], F ζ , ζ ∈ [0, 1] dues famılies de variables aleatories uniforme-ment fitades en D∞. Nosaltres tambe assumim sup0≤ζ≤1 ‖Γ−1

F ζ‖p ≤ Cp, per qualsevolp ∈ (1,∞). Considerem una famılia Lε, ε ∈ (0, 1] de variables aleatories. Fixemh ∈ Kmin

y i λh donada al Lema 5.4.4, sigui Bn = λh max(|Sε,h(t, x)|, |S0,h(t, x)|) ≤n. Suposem les propietats seguents:

(i) Per qualsevol n ≥ 1, (Lε ϕn(λhSε,h(t, x)) ϕn(λhS0,h(t, x))) ∈ D∞.

(ii) Per a tot ε ∈ (0, 1],

|Lε| ≤ exp(λhS0,h(t, x)) Lε0,1 + exp(λhSε,h(t, x)) Lε

0,2, (5.3.26)

on Lε0,i, ε ∈ (0, 1], i = 1, 2, estan uniformement fitades en D∞.

(iii) Sobre cada conjunt Bn, n ≥ 1,

|DkLε| ≤ exp(λhS0,h(t, x)) Lεk,1 + exp(λhSε,h(t, x)) Lε

k,2 + Lεk,3, (5.3.27)

amb Lεk,i, ε ∈ (0, 1], i = 1, 2, 3, uniformement fitades en D∞(L2(([0, T ] ×

[0, 1])k)).

La condicio (i) implica Lε ∈ D∞loc amb successio localitzadora Bn.Siguin

Ψε,η,ρ = Gη Lε χhρ,β(ε, ω + h

ε),

Θε,η,ζ,ρ0 = Ψε,η,ρ,

Θε,η,ζ,ρk = Θε,η,ζ,ρ

k−1 δ(‖DF ζ‖−2DF ζ) − 〈 DΘε,η,ζ,ρk−1 , ‖DF ζ‖−2DF ζ 〉,

(5.3.28)

η, ζ ∈ [0, 1], ε ∈ (0, 1], k ≥ 1, β ∈ (6,∞), h ∈ H. Notem que com D es un operadorlocal, Θε,η,ζ,ρ

k , k ≥ 1, esta ben definit.

118 Capıtol 5

Proposicio 5.3.8 Assumim (H41), (H42) i (H44). Sigui f ∈ C∞b (R). Existeixρ ∈ (0, 1] tal que, per qualssevol enter k ≥ 1, η, ζ ∈ [0, 1], ε ∈ (0, 1], h ∈ Kmin

y ,

E

f (k)(F ζ) Gη Lε χhρ,β(ε, ω + h

ε)

= E(f(F ζ)Θε,η,ζ,ρ

k

). (5.3.29)

Endemes,sup

0≤η,ζ≤10<ε≤1

‖Θε,η,ζ,ρk ‖1 < ∞.

Prova. Sigui

An = E

f (k)(F ζ) Gη Lε χhρ,β(ε, ω +

h

ε) ϕn(λhSε,h(t, x)) ϕn(λhS0,h(t, x))

.

Assumim que, per qualssevol n ∈ N, ζ, η ∈ [0, 1], ε ∈ (0, 1] podem provar l’existenciade ρ ∈ (0, 1] i una variable aleatoria Θε,η,ζ,ρ

k,n ∈ L1(Ω) tals que An = E(f(F ζ) Θε,η,ζ,ρk,n ),

supε,η,ζ,n ‖Θε,η,ζ,ρk,n ‖1 < ∞ i L1 − limn→∞ Θε,η,ζ,ρ

k,n = Θε,η,ζ,ρk uniformement en ε, η, ζ.

Aleshores (5.3.29) haura estat demostrat.Doncs, clarament

limn→∞

E(f(F ζ) Θε,η,ζ,ρ

k,n

)= E

(f(F ζ) Θε,η,ζ,ρ

k

).

La funcio χhρ,β(ε, ω + h

ε) satisfa

l1‖Xε,h−ΨhX0‖β

Lβ([0,T ]×[0,1])≤ ρ

2 ≤ χh

ρ,β(ε, ω+h

ε) ≤ l1‖Xε,h−Ψh

X0‖β

Lβ([0,T ]×[0,1])≤ρ. (5.3.30)

Consequentment, la variable aleatoria Ψε,η,ρ pertany a L1(Ω). Doncs, siguin p ∈(1,∞), 2ρ ∈ (0, 1], satisfent les conclussions de les Proposicions 5.3.6, 5.3.7, 1

q+1

p= 1.

Aleshores, per (5.3.30), la desigualtat de Holder i (5.3.26)

E |Ψε,η,ρ| ≤ ‖Gη Lε0,1‖q

E

(exp( p λh S0,h(t, x))

)1/p

+ ‖Gη Lε0,2‖q

E

(exp( p λh Sε,h(t, x)) χh

2ρ,β(ε, ω + hε))1/p

< ∞.

Aixı, per convergencia dominada

limn→∞

An = E

f (k)(F ζ) Gη Lε χhρ,β(ε, ω +

h

ε)

.


Anem, doncs, a trobar ρ ∈ (0, 1] i la variable aleatoria que hem comentat al principide la prova.Sigui

Ψε,η,ρn = Gη Lε χh

ρ,β(ε, ω +h

ε)ϕn(λhSε,h(t, x))ϕn(λhS0,h(t, x)).

Notem que Ψε,η,ρn ∈ D∞; aleshores la classica formula d’integracio per parts del calcul

de Malliavin (2.2.3) implica

An = E(f(F ζ)Hk(F

ζ , Ψε,η,ρn )

),

amb Hk(Fζ , Ψε,η,ρ

n ) definit recurrentment com a (2.2.2) :

H1(Fζ , Ψε,η,ρ

n ) = δ(Ψε,η,ρn ‖DF ζ‖−2DF ζ),

Hk(Fζ , Ψε,η,ρ

n ) = H1(Fζ , Hk−1(F

ζ , Ψε,η,ρn )), k ≥ 2.

La propietat del calcul estocastic anticipatiu (2.2.1) ens diu

H1(Fζ , Hk−1(F

ζ , Ψε,η,ρn )) = Hk−1(F

ζ , Ψε,η,ρn ) δ(‖DF ζ‖−2DF ζ)

− 〈 DHk−1(Fζ , Ψε,η,ρ

n ), ‖DF ζ‖−2DF ζ 〉, k ≥ 2.

Definim

Θε,η,ζ,ρ0,n = Ψε,η,ρ

n ,

Θε,η,ζ,ρk,n = Θε,η,ζ,ρ

k−1,n δ(‖DF ζ‖−2DF ζ)− 〈 DΘε,η,ζ,ρk−1,n , ‖DF ζ‖−2DF ζ 〉,

per qualsevol k ≥ 1.Clarament, per la propietat local de l’operador derivada D,

Θε,η,ζ,ρk,n = Θε,η,ζ,ρ

k , sobre Bn, per qualsevol k ≥ 0.

Nosaltres volem provar els fets seguents. Existeix ρ ∈ (0, 1] tal que, per qualsevolk ≥ 0, existeix pk ∈ (1,∞) amb

supε,η,ζ

‖Θε,η,ζ,ρk,n −Θε,η,ζ,ρ

k ‖pk−−→n→∞

0, (5.3.31)

supε,η,ζ,n

‖Θε,η,ζ,ρk,n ‖pk

≤ C. (5.3.32)

120 Capıtol 5

Aquest dos resultats son suficients per finalitzar la demostracio.

Comprovem (5.3.31) i (5.3.32) usant induccio sobre k. Sigui k = 0, llavors

T ε,η,n0 := ‖Ψε,η,ρ

n − Ψε,η,ρ‖p0 = ‖(Ψε,η,ρn − Ψε,η,ρ) l1Bc

n‖p0 .

Fixem p > 1 i ρ ∈ (0, 1] satisfent les Proposicions 5.3.6, 5.3.7. Siguin p0, q1, q2, q3 > 1tals que 1

q1+ 1

q2+ 1

q3= 1, p0 q2 = p. Aleshores, la desigualtat de Holder, (5.3.30),

les Proposicions 5.3.6, 5.3.7 i (5.3.26) impliquen

T ε,η,n0 ≤

(‖Gη Lε

0,1‖p0q1

E

(exp( λh p0 q2 S0,h(t, x))

) 1p0q2 + ‖Gη Lε

0,2‖p0q1

×

E(

exp( λh p0 q2 Sε,h(t, x))χh2ρ,β(ε, ω +

h

ε)) 1

p0q2

)(P (Bc

n))1

p0q3 .

Per tant

supε,η

T ε,η,n0 −−→

n→∞0.

La fitacio uniforme (5.3.32) segueix des de (5.3.26), la desigualtat de Holder, (5.3.30),les Proposicions 5.3.6, 5.3.7 i el fet que ϕn i les seves derivades son fitades.

Per simplificar la presentacio donarem els arguments precisos que ens permetencomprovar (5.3.31), (5.3.32) en el cas k = 1 i un sketch del cas general.

Tenim

‖Θε,η,ζ,ρ1,n −Θε,η,ζ,ρ

1 ‖p1p1

= ‖(Θε,η,ζ,ρ1,n −Θ ε,η,ζ,ρ

1 ) l1Bcn‖p1

p1≤

6∑i=1

T ε,η,ζ,ni ,

on

T ε,η,ζ,n1 = E |(Ψε,η,ρ

n − Ψε,η,ρ) δ(‖DF ζ‖−2 DF ζ)|p1 ,

T ε,η,ζ,n2 = E |Lε χh

ρ,β(ε, ω + hε) 〈DGη, ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉(1− ϕn(λhSε,h(t, x))

× ϕn(λhS0,h(t, x)))|p1 ,


T ε,η,ζ,n3 = E |Gη χh

ρ,β(ε, ω + hε) 〈DLε, ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉 (1− ϕn(λhSε,h(t, x))

× ϕn(λhS0,h(t, x)))|p1 ,

T ε,η,ζ,n4 = E |Gη Lε 〈Dχh

ρ,β(ε, ω + hε), ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉 (1− ϕn(λhSε,h(t, x))

× ϕn(λhS0,h(t, x)))|p1 ,

T ε,η,ζ,n5 = E |Gη Lε χh

ρ,β(ε, ω + hε) ϕ′n(λhSε,h(t, x))ϕn(λhS0,h(t, x))

× 〈λh DSε,h(t, x), ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉 × l1Bcn|p1 ,

T ε,η,ζ,n6 = E |Gη Lε χh

ρ,β(ε, ω + hε) ϕn(λhSε,h(t, x))ϕ′n(λhS0,h(t, x))

× 〈λh DS0,h(t, x), ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉 × l1Bcn|p1 .

Elegim p1, q > 1 amb p1 q = p0. Llavors, la desigualtat de Holder ens dona

supε,η,ζ

T ε,η,ζ,n1 ≤ C sup

ε,η,ζ‖Ψε,η,ρ

n − Ψε,η,ρ‖p1p0−−→n→∞

0.

Fixem p > 1 i 2ρ ∈ (0, 1] satisfent les Proposicions 5.3.6, 5.3.7. Siguin p1, q1, q2, q3 >1 tals que 1

q1+ 1

q2+ 1

q3= 1, p1 q1 = p. Aleshores, (5.3.26), (5.3.27), la desigualtat de

Holder, (5.3.30) i les Proposicions 5.3.6, 5.3.7 impliquen

supε,η,ζ

T ε,η,ζ,ni ≤ C (P (Bc

n))1q3 , i = 2, · · · , 6.

Per tant (5.3.31) es provat per k = 1 i (5.3.32) segueix des de (5.3.26), (5.3.27), ladesigualtat de Holder, (5.3.30), les Proposicions 5.3.6, 5.3.7 i la fitacio de ϕn i lesseves derivades.Per un k general tan sols donarem algunes remarques. Primerament, des de lesdefinicions de Θε,η,ζ,ρ

k,n , Θε,η,ζ,ρk , tenim

‖Θε,η,ζ,ρk,n −Θε,η,ζ,ρ

k ‖pkpk≤ Aε,η,ζ,n

1 + Aε,η,ζ,n2 ,

ambAε,η,ζ,n

1 = E|(Θε,η,ζ,ρk−1,n −Θε,η,ζ,ρ

k−1 ) δ(‖DF ζ‖−2 DF ζ)|pk ,

Aε,η,ζ,n2 = E|〈D (Θε,η,ζ,ρ

k−1,n −Θε,η,ζ,ρk−1 ), ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉 l1Bc

n|pk .

La desigualtat de Holder i la hipotesi d’induccio donen

supε,η,ζ

Aε,η,ζ,n1 −→ 0

122 Capıtol 5

quan n →∞. Per estudiar Aε,η,ζ,n2 notem que

|〈D (Θε,η,ζ,ρk−1,n −Θε,η,ζ,ρ

k−1 ), ‖DF ζ‖−2 DF ζ〉|

≤ exp(λhSε,h(t, x))χh2ρ,β(ε, ω + h

ε) Φε,η,ζ

1 + exp(λhS0,h(t, x)) Φε,η,ζ2 ,

amb Φε,η,ζ1 , Φε,η,ζ

2 fitades uniformement en D∞. A mes a mes, des de limn→∞ P (Bcn) =

0, la desigualtat de Holder i les Proposicions 5.3.6, 5.3.7 ensenyen que

limn→∞

(supε,η,ζ

Aε,η,ζ,n2

)= 0.

Aixo finalitza la prova. ¤

Mes senzillament i utilitzant arguments similars als de la proposicio previa podemprovar la Proposition 5.3.9.

Siguin F ζ , Gη com a la Proposicio 5.3.8. Siguin

Φη = Gη exp(λhS0,h(t, x)),

Θη,ζ0 = Φη,

Θη,ζk = Θη,ζ

k−1 δ(‖DF ζ‖−2DF ζ)− 〈DΘη,ζk−1, ‖DF ζ‖−2DF ζ〉,

(5.3.33)

η, ζ ∈ [0, 1], k ≥ 1, h ∈ H.

Proposicio 5.3.9 Assumim (H41), (H42) i (H44). Sigui f ∈ C∞b (R). Per cadaenter k ≥ 1 i η, ζ ∈ [0, 1],

E

f (k)(F ζ) Gη exp(λhS0,h(t, x))

= E(f(F ζ)Θη,ζ

k

).

i sup0≤η,ζ≤1 ‖Θη,ζk ‖1 < ∞.


5.3.3 La part principal de la densitat

Ara tenim totes les eines necessaries per estudiar pε,2t,x(y). Realment el que farem es

donar l’expansio de la part dreta de la igualtat (5.3.6).Siguin δ ∈ (0, ρ), ρ com a la Proposicio 5.3.7, i β ∈ (6,∞). Definim

pε,2

t,x,h(0) = E

exp

(λ Sε,h(t, x)

)χh

δ,β

(ε, ω +

h

ε

)δ0

(Xε,h(t, x)

).

Notem que, per (5.3.6),

pε,2t,x(y) = ε−1 exp(− 1

2ε2‖h‖2

H) pε,2

t,x,h(0).

Sigui φ una variable aleatoria no degenerada i ψ ∈ D∞loc. Sigui

H0(φ, ψ) = ψ,

Hk(φ, ψ) = Hk−1(φ, ψ) δ(Dφ‖Dφ‖−2) − 〈DHk−1(φ, ψ), Dφ‖Dφ‖−2〉,k ≥ 1.Senyalem que les successions Θε,η,ζ,ρ

k , Θη,ζk , definides a (5.3.28) i (5.3.33), respective-

ment, poden ser descrites en termes de l’operador Hk.

Proposicio 5.3.10 Suposem (H41)-(H44). Aleshores, tenim

pε,2

t,x,h(0) = p0

t,x,h +n∑

i=1

εi pit,x,h + εn+1 pn+1,ε

t,x,h, (5.3.34)

n ≥ 0.Els coeficients pi

t,x,hs’anul.len per i senar. Per qualsevol i ∈ 0, · · · , n parell,

p0t,x,h

= E

l1X0,h1 (t,x)>0 H1( X0,h

1 (t, x), exp(λS0,h(t, x)))

,

pit,x,h =

i∑j=1

1

j!(i− j)!

(j)∑ (i−j)∑λki−j E

l1X0,h

1 (t,x)>0 Hkj+1

(X0,h

1 (t, x),

exp(λS0,h(t, x))

kj∏

l=1

X0,hβl+1(t, x)

βl + 1

ki−j∏

l′=1

X0,hβl′+2(t, x)

(βl′ + 1)(βl′ + 2)

).

(5.3.35)Endemes,

sup0<ε≤1

|pn+1,ε

t,x,h| < C.

124 Capıtol 5

Prova. Sigui f una funcio C∞ amb suport compacte i simetrica. Definim

M εt,x = E

exp

(λ Sε,h(t, x)

)χh

δ,β

(ε, ω +

h

ε

)f(Xε,h(t, x)

).

La regla de la cadena (3.3.1) i (5.2.11) ens permeten de donar el desenvolupamentde Taylor seguent

f(Xε,h(t, x)) = f(X0,h1 (t, x)) +

N∑j=1

εj 1

j!

(j)∑f (kj)(X0,h

1 (t, x))

kj∏

l=1

1

βl + 1X0,h

βl+1(t, x)

+ εN+1

∫ 1

0

(1− ξ)N

N !

(N+1)∑f (kN+1)(Xεξ,h(t, x))

kN+1∏

l=1

Xεξ,hβl

(t, x) dξ.

(5.3.36)Analogament, per cada δ i β,

χhδ,β(ε, ω +

h

ε) = 1 + εN+1 R1,ε

N+1(t, x), (5.3.37)

on R1,εN+1(t, x), ε ∈ (0, 1] es uniformement fitada en D∞, com pot ser facilment

comprovat.Per estudiar el terme exp(λSε,h(t, x)) emprarem l’expansio de Taylor

ex =N∑

j=0

xj

j!+ rN+1(x) amb |rN+1(x)| ≤ (ex + 1)

|x|N+1

(N + 1)!,

per x = λ(Sε,h−S0,h)(t, x). Aleshores, tenint en compte que Sε,h(t, x) es C∞ respecteε i utilitzant (5.2.12), (5.2.16), obtenim

exp(λ Sε,h(t, x)) = exp(λS0,h(t, x)) N∑

j=0

εj

j!Gj + εN+1 Gε

N+1

+ εN+1 R2,ε

N+1(t, x),

(5.3.38)

on Gj =

(j)∑λkj

kj∏

l=1

1

(βl + 1)(βl + 2)X0,h

βl+2(t, x) ∈ D∞, GεN+1, ε ∈ (0, 1] es uni-

formement fitada en D∞ i

|R2,εN+1(t, x)| ≤ exp(λS0,h(t, x)) R2,ε,0

N+1,1(t, x) + exp(λSε,h(t, x)) R2,ε,0N+1,2(t, x),

amb R2,ε,0N+1,i(t, x), ε ∈ (0, 1], i = 1, 2, uniformement fitada en D∞.


Des de (5.3.38) podem afirmar que R2,εN+1(t, x) ϕn(λSε,h(t, x)) ϕn(λS0,h(t, x)), amb

ϕn definida a (5.3.25), pertany a D∞. A mes a mes, sobre Bn,

|DkR2,εN+1(t, x)| ≤ exp(λS0,h(t, x)) R2,ε,k

N+1,1(t, x) + exp(λSε,h(t, x)) R2,ε,kN+1,2(t, x)

+ R2,ε,kN+1,3(t, x),

amb R2,ε,kN+1,i(t, x), ε ∈ (0, 1] uniformement fitada en D∞(L2(([0, T ] × [0, 1])k)) per

qualssevol i = 1, 2, 3, k ≥ 1. Aquesta desigualtat pot ser provada per induccio sobrek.Ajuntant els desenvolupaments (5.3.36)-(5.3.38) tenim

M εt,x = Ef(X0,h

1 (t, x)) exp(λS0,h(t, x))

+n∑

i=1

εi

i∑j=0

1

j!(i− j)!E

(j)∑ (i−j)∑f (kj)(X0,h

1 (t, x)) exp(λS0,h(t, x)) λki−j

×kj∏

l=1

X0,hβl+1(t, x)

βl + 1

ki−j∏

l′=1

X0,hβl′+2(t, x)

(βl′ + 1)(βl′ + 2)

+ εn+1 R3,εn+1(t, x).

Sigui (fn)n≥1 una successio de funcions satisfent els mateixos requeriments que f

i convergint a δ0 quan n → ∞. La Proposicio 5.3.9 aplicada a F 0 = X0,h1 (t, x),

G0 = λki−j

kj∏

l=1

X0,hβl+1(t, x)

βl + 1

ki−j∏

l′=1

X0,hβl′+2(t, x)

(βl′ + 1)(βl′ + 2)assegura (5.3.35).

Com que el drap brownia W te una llei simetrica , els termes senars a (5.3.34) sonzero.En quant a la resta, un analisi detallat de R3,ε

n+1(t, x) mostra que pot ser descritamitjancant una suma finita de factors dels tipus seguents:

Rε1 = f (a1)(X0,h

1 (t, x)) exp(λS0,h(t, x)) Gε1,

Rε2 = f (a2)(X0,h

1 (t, x)) Gε2 R2,ε

N1(t, x) χh

δ,β

(ε, ω +

h

ε

),

Rε3 =

∫ 1

0

f (a3)(Xεξ,h(t, x)) Gεξ3 Gε

4 exp(λS0,h(t, x))dξ,

Rε4 =

∫ 1

0

f (a4)(Xεξ,h(t, x)) Gεξ5 R2,ε

N2(t, x) χh

δ,β

(ε, ω +

h

ε

)dξ,

126 Capıtol 5

amb Gεi , ε ∈ (0, 1], i = 1, · · · , 5, uniformement fitades en D∞ i alguns enters

positius ai, i = 1, · · · , 4, N1, N2. La Proposicio 5.3.9 assegura

sup0<ε≤1

|E(Rε1 + Rε

3)| ≤ C,

mentre que la Proposicio 5.3.8 implica

sup0<ε≤1

|E(Rε2 + Rε

4)| ≤ C.

Aixo completa la demostracio. ¤

5.3.4 El desenvolupament

Donarem el resultat principal d’aquest capıtol. Es una consequencia immediatad’ajuntar els resultats obtinguts a la Subseccio 5.3.1 i 5.3.3. Despres comprovaremque la hipotesi (H44) pot ser satisfeta sota condicions sobre els coeficients σ, b i lacondicio inicial.

El Teorema seguent ve a ser com un Corol.lari de les Proposicions 5.3.1 i 5.3.10.Considerem la hipotesi (H43) sense cap restriccio, recordem Kmin

y = h1, · · · , hn0 ia = ‖hj‖2

H, j = 1, · · · , n0.

Teorema 5.3.11 Assumim (H41)-(H44). Per a tot y ∈ R, y 6= Ψ0X0

(t, x), quanε ↓ 0,

pεt,x(y) ∼ 1

εexp (− 1

2ε2a) ( p0

t,x + ε p1t,x + ε2p2

t,x + · · · ) , (5.3.39)

on pit,x s’anul.len per i senar i per i parell

pit,x =

n0∑j=1

pit,x,hj

,

on pit,x,hj

son definits a (5.3.35). El sımbol ∼ a (5.3.39) vol dir

lim supε↓0

pεt,x(y)− 1

εexp (− 1

2ε2 a) (p0t,x + εp1

t,x + · · ·+ εk−1pk−1t,x )

εk−1 exp (− 12ε2 a)

< +∞

per qualsevol k ≥ 1.


Observacio 5.3.12. El compliment de (H44) pot ser assegurat sota condicionssobre els coeficients σ, b i condicio inicial X0. Per facilitar els calculs assumim queKmin

y = h. Aleshores, la condicio

‖A(t, x)‖2HS :=

∫ t

0

∫ 1

0

∫ t

0

∫ 1

0

f h2

((t, x); (r1, z1), (r2, z2)

)2

dr1 dz1 dr2 dz2 <1

4

implica (H44), on acabem d’utilitzar la notacio introduıda abans de la Proposicio5.3.6 i ‖ · ‖HS vol dir la norma de Hilbert-Schmidt.Com a consequencia de (5.3.24) i el Lema 5.4.4 obtenim

f h2 ((t, x); ·) =

1

2λh D2

· S0,h(t, x),

‖h‖H = λhE|X0,h1 (t, x)|21/2.

(5.3.40)

El proces D2(r2,z2)(r1,z1)S

0,h(t, x), ((r2, z2), (r1, z1)) ∈ ([0, T ]×[0, 1])2 es deterministai satisfa

D2(r2,z2)(r1,z1)S

0,h(t, x) = Gt−r1(x, z1) σ′(ΨhX0

(r1, z1)) Dr2,z2X0,h1 (r1, z1)

+ Gt−r2(x, z2) σ′(ΨhX0

(r2, z2)) Dr1,z1X0,h1 (r2, z2)

+

∫ t

r1∨r2

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ′(ΨhX0

(s, y)) D2(r2,z2)(r1,z1)S

0,h(s, y) ˙h(s, y)dsdy

+

∫ t

r1∨r2

∫ 1

0

Gt−s(x, y) σ′′(ΨhX0

(s, y)) Dr2,z2X0,h1 (s, y) Dr1,z1X

0,h1 (s, y) ˙h(s, y)dsdy

+

∫ t

r1∨r2

∫ 1

0

Gt−s(x, y) b′(ΨhX0

(s, y)) D2(r2,z2)(r1,z1)S

0,h(s, y)dsdy

+

∫ t

r1∨r2

∫ 1

0

Gt−s(x, y) b′′(ΨhX0

(s, y)) Dr2,z2X0,h1 (s, y) Dr1,z1X

0,h1 (s, y)dsdy.

A mes, (5.2.2) i les regles del calcul de Malliavin donen

Dr1,z1X0,h1 (t, x) = Gt−r1(x, z1) σ(Ψh

X0(r1, z1))

+

∫ t

r1

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

σ′(ΨhX0

(s, y)) Dr1,z1X0,h1 (s, y) ˙h(s, y)

+ b′(ΨhX0

(s, y)) Dr1,z1 X0,h1 (s, y)

ds dy.

128 Capıtol 5

Aixı, (5.3.9) i el metode estandard basat en la desigualtat de Holder i el lema deGronwall impliquen

supt,x

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

|Dr1,z1X0,h1 (t, x)|2 dr1 dz1

∣∣∣p

≤ C exp C (‖σ′‖2p∞ + ‖b′‖2p

∞).

I per tant,

∣∣∣∫ t

0

∫ 1

0

∫ t

0

∫ 1

0

|D2(r2,z2)(r1,z1)S

0,h(t, x)|2 dr1 dz1 dr2 dz2

∣∣∣p

≤ C ‖σ′‖2p∞ + ‖σ′′‖2p

∞ + ‖b′′‖2p∞ exp p C (‖σ′‖2p

∞ + ‖b′‖2p∞).

(5.3.41)

Finalment, analitzant els resultats provats a [36] (vegeu la Proposicio 1.4 i el Lema2.5) podem concloure que

(λh)2 :=‖h‖2

HE|X0,h

1 (t, x)|2≤ C, (5.3.42)

amb C depenent de b, σ i la condicio inicial. L’Observacio es una consequencia de(5.3.40), (5.3.41) i (5.3.42).

5.4 Apendix

Objectiu

La seccio esta dedicada a demostrar dos lemes tecnics que hem utilitzat al llarg delpresent capıtol.

Preliminars

Per obtenir el primer resultat usarem el lema de Garsia-Rodemich-Rumsey, i pertant, tot seguit, l’enunciarem.

5.4 Apendix 129

Siguin Ψ(x) i p(x) dues funcions contınues i positives sobre R, tals que Ψ i p sonsimetriques en 0, p(x) es creixent per x > 0 i p(0) = 0, i Ψ es convexa amblimx→∞ Ψ(x) = ∞. Si R es un cub de Rn, sigui |R| el seu volum. Finalment,sigui R1 el cub unitat.

Lema 5.4.1 (Teorema 1.1 [55]) Si f es una funcio mesurable sobre R1 tal que

∫

R1

∫

R1

Ψ( f(x)− f(y)

p(|y − x|/√n)

)dx dy = B < ∞,

aleshores existeix un conjunt K de mesura zero tal que si x, y ∈ R1 \K

|f(x)− f(y)| ≤ 8

∫ |y−x|

0

Ψ−1( B

u2n

)dp(u). (5.4.1)

Si f es contınua, (5.4.1) es compleix per a tot x i y.

A l’altre resultat necessitem la definicio de derivada Gateaux i el teorema seguent:

Sigui F una aplicacio entre dos espais de Banach, X i Y . La usual derivada di-reccional de F en x en la direccio v es

F ′(x; v) := limt↓0

F (x + tv)− F (x)

t,

quan aquest lımit existeix. F admet una derivada Gateaux en x, un element del’espai L(X, Y ) denotat per DF (x), provat que per cada v de X, F ′(x; v) existeix ies igual a 〈DF (x), v〉. Notem que aixo es equivalent a dir que per cada v tenim

limt↓0

F (x + tv)− F (x)

t= 〈DF (x), v〉,

i que la convergencia es uniforme respecte v en conjunts finits. Si en lloc de conjuntsfinits son compactes, la derivada es coneix com derivada Hadamard; i si son fitats,derivada de Frechet.

Sigui X un espai de Banach. Denotarem per (P ) al problema de minimitzar unafuncio donada sobre X subjecta a tres tipus de restriccions:

(i) Restriccio de desigualtat: gi(x) ≤ 0, i = 1, · · · , n, on cada gi es una funcioreal sobre X.

130 Capıtol 5

(ii) Restriccio d’igualtat: hj(x) = 0, j = 1, · · · ,m, on cada hj es una funcio realsobre X.

(iii) Restriccio abstracta: x ∈ C, on C es un subconjunt donat de X.

El Lagrangia es la funcio L(x, λ, r, s, k) : X × R× Rn × Rm × R→ R definida per

L(x, λ, r, s, k) := λf(x) + 〈r, g(x)〉 + 〈s, h(x)〉 + k|(λ, r, s)|dC(x),

on dC es la distancia usual associada a C (si C = X, dC es identicament zero).Denotem per ∂ el gradient generalitzat.

Teorema 5.4.2 (Teorema 6.1.1 [15]) Sigui x que resol (P ). Aleshores per cada ksuficientment gran existeixen λ ≥ 0, r ≥ 0 i s, no tots zero, tals que 〈r, g(x)〉 = 0i 0 ∈ ∂xL(x, λ, r, s, k).

Resultats

El primer lema es una desigualtat exponencial per integrals estocastiques on hiparticipa el nucli de la calor Gt−s(x, y). Es una extensio del Lema 2.3 de l’article deC. Rovira i S. Tindel [48], amb una demostracio similar (vegeu tambe el de C. Rovirai M. Sanz-Sole [46]). Per aquest motiu nosaltres donarem tan sols un esborrany dela prova amb els principals arguments.Denotem per Ft, t ∈ [0, T ] la σ-algebra generada per Ws,x, (s, x) ∈ [0, t]× [0, 1].Lema 5.4.3 Sigui τ = τ(s, y), (s, y) ∈ [0, T ] × [0, 1] un proces Ft-adaptat i dequadrat integrable. Considerem

J(t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y) τ(s, y) W (ds, dy).

Fixem β ∈ (3,∞), R > 0 i sigui Aβ,R = ∫ T

0

∫ 1

0

|τ(s, y)|2β ds dy ≤ R. Aleshores,

existeixen constants K1, K2 positives tals que

P ‖J‖∞ ≥ L, Aβ,R ≤ exp(− L2

R1/βK2

), (5.4.2)

per qualssevol R,L > 0 amb LR1/2 β ≥ K1.

5.4 Apendix 131

Prova. Fixem 0 ≤ r ≤ t in [0, T ], x, z ∈ [0, 1]. Tenim

J(t, x)− J(r, z) =

∫ T

0

∫ 1

0

(l1s≤t Gt−s(x, y)− l1s≤r Gr−s(z, y)

)τ(s, y)W (ds, dy)

=

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y) τ(s, y) W (ds, dy)

+

∫ r

0

∫ 1

0

(Gt−s(x, y)−Gr−s(x, y)

)τ(s, y) W (ds, dy)

+

∫ r

0

∫ 1

0

(Gr−s(x, y)−Gr−s(z, y)

)τ(s, y) W (ds, dy) .

Sigui 1α+ 1

β= 1. Fem constar que α ∈ (1, 3

2). Aleshores, pel Lema B.1 de [5], existeix

una constant C0 tal que

∫ t

r

∫ 1

0

Gt−s(x, y)2α ds dy ≤ C0 |t− r| 3−2α2 ,

∫ r

0

∫ 1

0

(Gt−s(x, y)−Gr−s(x, y)

)2α

ds dy ≤ C0 |t− r| 3−2α2 ,

∫ r

0

∫ 1

0

(Gr−s(x, y)−Gr−s(z, y)

)2α

ds dy ≤ C0 |x− z|3−2α .

Definim

ρ(u) = 2 C12α0 R

12β u

12 , u ≥ 0,

d((t, x), (r, z)

)= 2 |t− r| 3−2α

2α + |x− z| 3−2αα ,

g(s, y) =l1s≤t Gt−s(x, y)− l1s≤r Gr−s(z, y)

ρ (d(t, x), (r, z))τ(s, y)

i, per qualsevol 0 ≤ u ≤ T ,

Mu =

∫ u

0

∫ 1

0

g(s, y) W (ds, dy) .

Llavors, Mu;Fu, u ∈ [0, T ] es una martingala contınua amb proces creixent donatper

〈M〉u =

∫ u

0

∫ 1

0

g(s, y)2 ds dy .

132 Capıtol 5

Per la desigualtat de Holder, sobre el conjunt Aβ,R

〈M〉T ≤ 1

Sigui Ψ(x) = exp(x2

4), x ∈ R. Aleshores

E

Ψ

J(t, x)− J(r, z)

ρ(d ((t, x), (r, z))

) l1Aβ,R

≤ EP

exp

(1

4sup

0≤u≤1|Zu|2

)= 21/2,

(5.4.3)on Zu, 0 ≤ u ≤ 1 es un moviment brownia definit sobre algun espai de probabili-tats (Ω, F , P ) tal que Mu = Z〈M〉u .Ara, procedim com a [50], [48].Sigui

B =

∫∫

([0,T ]×[0,1])2Ψ

J(t, x)− J(r, z)

ρ(d((t, x), (r, z))

) dt dx dr dz .

I des de (5.4.3) obtenim que

E (B l1Aβ,R) ≤ T 2 21/2. (5.4.4)

Pel lema de Garsia-Rodemich-Rumsey, per a les trajectories en Aβ,R tenim

‖J‖∞ ≤ C1 R12β

((log+ B)1/2 + C2

).

A mes a mes, (5.4.4) dona

E(

exp(log+ B) l1Aβ,R

)≤ 2 + T 2 21/2.

Finalment, la desigualtat exponencial de Txebitxev implica

P ‖J‖∞ ≥ L, Aβ,R ≤ exp

(− L2

R1/β

(( 1

C1

− R12β

LC2

)2

− log(2 + T 2 21/2)R

1β

L2

))

i (5.4.2) es compleix sempre que L

R12β≥ C1C2, amb K=

18C2

1, K1 = max 2 C1C2, 23/2

log(2 + T 2 21/2)1/2C1. ¤

5.4 Apendix 133

Lema 5.4.4 Assumim (H41) i (H42). Sigui h ∈ Kminy , llavors existeix λh > 0,

dependent de h, tal que

∫ t

0

∫ 1

0

h(s, z) W (ds, dz) = λh X0,h1 (t, x), (5.4.5)

on X0,h1 (t, x) es definit a (5.2.2).

Prova. Apliquem el metode dels multiplicadors de Lagrange (vegeu, per exemple,[15]) Aixı, el Teorema 5.4.2 implica que existeixin λ1 ≥ 0 i λ2 ≥ 0, no anul.lant-sesimultaneament, tals que

0 ∈ [λ1∂ ‖h‖2H + λ2∂ ψh

X0(t, x)− y](h), (5.4.6)

on ∂ denota el gradient generalitzat.Les aplicacions h → ‖h‖2

H, h → ΨhX0

(t, x) son contınuament diferenciables en elsentit Gateaux. Aixı, els gradients generalitzats d’aquestes aplicacions es redueixena un singleto, la corresponent derivada Gateaux, que sera denotada per D a partird’ara. Hom pot comprovar que D‖h‖2

H = 2h i DΨhX0

(t, x) ∈ H satisfa

Dα,βΨhX0

(t, x) = Gt−α(x, β) σ(ΨhX0

(α, β)) l1α≤t +

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, y)

× Dα,βΨhX0

(s, y)

σ′(ΨhX0

(s, y)) h(s, y) + b′(ΨhX0

(s, y))

ds dy.

(5.4.7)Ara provarem que λ1 · λ2 6= 0.Doncs, suposem que λ1 = 0; llavors DΨh

X0(t, x) = 0, contradint el Lema 2.5 a [36].

Si λ2 = 0 aleshores h ≡ 0 i h ∈ Kminy . Aixo es contradictori amb la condicio

Ψ0X0

(t, x) 6= y. Per tant, per (5.4.6) existeix λh > 0 tal que

h(α, β) = λh Dα,βΨhX0

(t, x).

Utilitzant (5.4.7) hom te

∫ t

0

∫ 1

0

Ds,zΨhX0

(t, x)W (ds, dz) =

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−s(x, z) σ(ΨhX0

(s, z))l1s≤t W (ds, dz)

+

∫ t

0

∫ 1

0

∫ t

0

∫ 1

0

Gt−α(x, β)Ds,zΨhX0

(α, β)

σ′(ΨhX0

(α, β))h(α, β)

+ b′(ΨhX0

(α, β))

dα dβ W (ds, dz).

134 Capıtol 5

Aleshores pel teorema de Fubini i la unicitat de solucio obtenim

X0,h1 (t, x) =

∫ t

0

∫ 1

0

Ds,zΨhX0

(α, β) W (ds, dz),

provant aixı (5.4.5). ¤

Bibliografia

[1] S.Aida, S.Kusuoka i D. Stroock: On the support of Wiener functionals. A:Pitman Research, Notes in Math. Series 284, K.O.Elworthy and N. Ikeda (eds.),Asymptotic Problems in Probability Theory: functionals and asymptotic, Long-man Scientific and Technical (1993).

[2] R.Azencott: Formule de Taylor stochastique et developpement asymptotiqued’integrales de Feymann. Seminaire de Probabilites XVI 1980/81. Lecture Notesin Math. 921 (1982) 237-284.

[3] R.Azencott: Densite de diffusions en temps petit: Developpements asympto-tiques. Seminaire de Probabilites XVIII 1982/83. Lecture Notes in Math. 1059(1984) 402-498.

[4] R.Azencott et al: Geodesiques et diffusions ne temps petit. Seminaire de Pro-babilites Universite de Paris (1981). Asterisque, vol 84-85.

[5] V. Bally, A. Millet i M. Sanz-Sole: Approximation and Support Theoremin Holder norm for Parabolic Stochastic Partial Differential Equations. TheAnnals of Probability Vol 23, 1 (1995) 178-222.

[6] V. Bally i E. Pardoux: Malliavin Calculus for white noise driven parabolicSPDEs. Preprint.

[7] G .Ben Arous: Methodes de Laplace et de la phase stationnaire sur l’espace deWiener. Stochastics, vol 25 (1988) 125-153.

[8] G .Ben Arous: Developpement asymptotique du noyau de la chaleur hypoellip-tique hors du cut-locus. Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 4e serie, t 21 (1988) 307-331.

[9] G .Ben Arous: Developpement asymptotique sur la diagonale. Ann. Inst. Fouri-er 39, 1 (1989) 1-17.

135

136 Bibliografia

[10] G .Ben Arous: Noyau de la chaleur hypoelliptique et geometrie sous-riemannieme. A: M.Metivier i S.Watanabe (eds), Lecture Notes in Mathe-matics 1322 (1989) 1-17. Springer-Verlag, Berlin.

[11] G.Ben Arous i R.Leandre: Decroissance exponentielle du noyau de la chaleursur la diagonnale (I). Probab. Th. Rel. Fields 90, (1991) 175-202.

[12] G.Ben Arous i R.Leandre: Decroissance exponentielle du noyau de la chaleursur la diagonnale (II). Probab. Th. Rel. Fields 90, (1991) 337-402.

[13] J.M. Bismut: Large deviations and the Malliavin Calculus. Progress in Math-ematics, vol 45. Editat per J. Coates i S. Helgason. Birkhauser (1984) Boston.

[14] F. Chenal i A. Millet: Uniform Large deviations for parabolic SPDEs andapplications. Stochastic Processes and their Applications 72 (1997) 161-186.

[15] F.H. Clarke: Optimization and Nonsmooth Analysis. Classics in AppliedMathematics 5. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia(1990).

[16] H.Doss: Quelques formules asymptotiques pour les petites perturbations desystemes dynamiques. Ann. Inst. Henri Poincare, Vol XVI, n 1 (1980) 17-28.

[17] S. Fang: Une inegalite isoperimetrique sur l’espace de Wiener. Bull. Sc. Math.2e serie 112 (1988) 345-355.

[18] M.Farre i D.Nualart: Nonlinear stochastic integral equation in the plane.Stoch. Proc. and their Applic. 46 (1993) 219-239.

[19] L.Hormander: Hypoelliptic second order differential equations. Acta Mathe-matica 119 (1967) 147-171.

[20] K.Kannai: Off diagonal short time asymptotics for fundamental solutions ofdifussion equations. Comm. In Partial Differential Equations, 2(8) (1977) 781-830.

[21] Yu.IKifer: on the asymptotics of the transition density of processes with smalldiffusion. Theory of Probability and its Applications, Vol 21, n 3 (1976) 513-522-

[22] A.Kohatsu-Higa, D.Marquez-Carreras i M.Sanz-Sole: Asymptotic be-havoiur of the density in a parabolic SPDE. Preprint.

Bibliografia 137

[23] R.Leandre: Estimations en temps petit de la densite d’une diffusion hypoel-liptique. C.R.Acad. Sc. Paris, t 301, Serie I, n 17 (1985) 801-804.

[24] R.Leandre: Renormalisation et calcul de variations stochastiques. C.R.Acad.Sc. Paris, t 302, Serie I, n 3 (1986) 135-138.

[25] R.Leandre: Majoration en temps petit de la densite d’une diffusion degeneree.Probab. Th. Rel. Fields 74 (1987) 289-294.

[26] R.Leandre: Minoration en temps petit de la densite d’une diffusion degeneree.Journal of Functional Analysis 74 (1987) 399-414.

[27] R.Leandre: Integration dans la fibre associee a une diffusion degeneree.Probab. Th. Rel. Fields 76 (1987) 341-358.

[28] R.Leandre: Applications quantitatives et geometriques du calcul de Malliavin.Lecture Notes in Mathematics 1322 (1989) 109-135. Springer-Verlag, Berlin.

[29] R.Leandre i F.Russo: Estimation de Varadhan pour des diffusions a deuxparametres. Probab. Th. Rel. Fields 84 (1990) 429-451.

[30] R.Leandre i F.Russo: Small Stochastic perturbation of a one-dimensionalwave equation. A: H.Korezlioglu and A.S.Ustunel eds., Stoc. Analysis and Rel.Topics. Progress in Prob. 31 (1992) 285-332.

[31] R.Lipster i A.N. Shiryayev: Statistics of random process I. General Theory.(1977) Springer-Verlag.

[32] D.Marquez-Carreras i M.Sanz-Sole: Small perturbations in a hyperbolicstochastic differential equation. Stochastic Processes and their Applications 68(1997) 133-154.

[33] D.Marquez-Carreras i M.Sanz-Sole: Expansion of the density: A Wiener-Caos approach. Es publicara a Bernouilli.

[34] D.Marquez-Carreras i M.Sanz-Sole: Taylor expansion of the density in astochastic Heat equation. Es publicara a Collectanea Mathematica.

[35] A.Millet i M.Sanz-Sole: Points of positive density for the solution to ahyperbolic SPDE. Potential Analysis 7 (1997) 623-659.

138 Bibliografia

[36] A.Millet i M.Sanz-Sole: Varadhan estimates for the density of the solutionto a parabolic Stochastic partial differential equation, A: A.Truman. I.M. Daviesi K. Elworthy eds. Stoch. Analysis and Applications 330-342,Word ScientificPub. Singapore 1996.

[37] S.A.Molchanov: Diffusion processes and Riemannian geometry. RussianMath. Surveys 30, 1 (1975) 1-63.

[38] P.L.Morien: These doctorat de l’Universite Paris 6 (Parıs 1996).

[39] J. Neveu: Processus Aleatoires Gaussiens. Seminaire de MathematiquesSuperieures (1968). Les Presses de l’Universite de Montreal.

[40] J.R.Norris: Twisted sheets. Journal Functionnal Analysis 132 (1995) 219-239.

[41] D.Nualart: Malliavin Calculus and Related Topics. (1995) Springer- Verlag.

[42] D.Nualart: Analysis on Wiener space and Anticipating Stoch. Calculus. Ecoled’Ete de Probabilites de Saint-Flour XXV (1995). Lecture Notes in Mathemat-ics 1690 (1998) 123-227. Lectures Notes in Mathematics.

[43] D.Nualart i M.Sanz-Sole: Malliavin Calculus for two-parameter Wienerfunctinals. Z. Wahrscheinlichkitstheorie Verw. Gebiete 70 (1985) 573-590.

[44] D.Nualart i M.Sanz-Sole: Stochastic differential equations on the plane:Smoothness of the solution. Journal of Multivariate Analysis, Vol 31, n 1 (1989)1-29.

[45] C.Rovira: Contribucio a l’estudi de les equacions diferencials estocastiques.Tesi doctoral, Universitat de Barcelona (1995).

[46] C.Rovira i M.Sanz-Sole: The law of the solution to a nonlinear SPDE. Jour-nal of Theoretical Probability Vol 9 (1996) 863-901.

[47] C.Rovira i M.Sanz-Sole: A nonlinear hyperbolic SPDE: approximations andsupport. A: Stochastic Partial Differential Equations, A. Etheritdge (ed). Lond.Math. Soc. Lect. Note 216 (Cambridge University Press, 1995) 241-261.

[48] C. Rovira i S. Tindel: Sharp Laplace Asymptotics for SPDEs: The Parabolicand Elliptic cases. Mathematics Preprint Series 243 (1997).

[49] I.N. Sneddon: Elements of Partial differential equations. McGraw-Hill (1957).

Bibliografia 139

[50] R.B. Sowers: Large Deviations for a reaction-diffusion equation with non-gaussian perturbations. The Annals of Probability 20 (1992) 504-537.

[51] D.W. Stroock: Homogeneous chaos revisited. A: Seminaire de ProbabilitesXXI. Lecture Notes in Mathematics 1247 (1987) 1-8.

[52] S.Takanobu i S.Watanabe: Asymptotic expansion formulas of the Schildertype for a class of conditional Wiener functional integrations. A: Pitman Re-search Notes in Math. Series 284, K.O.Elworthy and N. Ikeda (Eds) (1993)194-241.

[53] S.R.S.Varadhan: On the behavior of the fundamental solution of the Heatequation with variables coefficients. Comm. on Pure and Applied Mathematics,Vol XX (1967) 431-455.

[54] S.R.S.Varadhan: Diffusion processes in a small time interval. Comm. on Pureand Applied Mathematics, Vol XX (1967) 659-685.

[55] J.B.Walsh: An introduction to Stochastic differential equations. Ecole d’Etede Probabilites de Saint-FlourXIV-1984. Lecture Notes in Math. 1180 (1986)266-437.

[56] S.Watanabe: Analysis of Wiener Functionals (Malliavin Calculus) and itsappications to heat kernels. Ann. Probab 15 (1987) 1-39.

Universitat de Barcelona Departament d’Estad¶‡stica ... pagweb.pdfAls meus pares...

Documents

Transcript of Universitat de Barcelona Departament d’Estad¶‡stica ... pagweb.pdfAls meus pares...