uncertainty relations in QM

7/24/2019 uncertainty relations in QM

1/16

1 Wstp

Relacje nieoznaczonoci s jednymi z najwaniejszych i najbardziej charakterystycznychwasnoci ukadw kwantowych. Relacje nieoznaczonoci s matematycznymi konsekwen-cjami braku statystycznej niezalenoci pary obserwabli, ktre dziaaj nieprzemiennie

w przestrzeni Hilberta opisujcej ukad kwantowy. Maj one posta nierwnoci ograni-czajcych dopuszczalne wartoci parametrw rozkadw (tj. wartoci rednie, odchyleniastandardowe itp.) badanych obserwabli. Szczeglnie interesujce fizycznie s takie relacje,kiedy parametry tych rozkadw s ograniczone przez niezerow sta niezalen od stanuw jakim znajduje si ukad. Relacja nieoznaczonoci zostaa sformuowana po raz pierw-szy w 1927 przez Heisenberga [1], a uoglniona w jzyku operatorw samosprzonychw 1929 przez Robertsona [2]. Od tego czasu powstao wiele innych uoglnie i alterna-tywnych sformuowa zasad nieoznaczonoci, np. entropowe relacje nieoznaczonoci [3].Warto zaznaczy, e relacje nieoznaczonoci s blisko zwizane z nierwnociami Bella,ktre s nierwnociami midzy korelacjami obserwabli [4], [5]. Zainteresowanie relacjami

nieoznaczonoci ponownie odyo w ostatnich latach, o czym wiadczy obszerna lista pu-blikacji pojawiajcych si po roku 2000. W szczeglnoci mona zwrci uwag na prace[6], [7].W swojej pracy przedstawiam now propozycj uoglnienia relacji nieoznaczonoci za-proponowan przez promotora niniejszej pracy, profesora Andrzeja Herdegena. Z racjimatematycznego charakteru pracy konsekwentnie stosuj ukad jednostek, gdzie = 1.

2 Operatory normalne

Niech bdzie dana zespolona, orodkowa przestrze HilbertaH. Iloczyn skalarny w tejprzestrzeni, oznaczmy symbolem (, ) dla dowolnych , H. Norm indukowanprzez iloczyn skalarny oznaczamy jako =

(, ). Stan czysty ukadu kwantowe-

go okrelamy przez promie wektora jednostkowego H ( = 1), to jest zbir[] ={: C,||= 1}. W niniejszej pracy rozwaam tylko stany czyste, ktre bddalej oznacza tym samym symbolem co wektor stanu.

Rozwamy pewien operator liniowy A :D(A) H okrelony na podprzestrzeniD(A) H, ktra jest dziedzin operatora A, tzn.D(A) :={ H : A H}. Niech

D(A) bdzie zbiorem gstym w

H, wtedy istnieje operator sprzony A do operatoraA,

ktry jest okrelony na dziedzinie

D(A) =

H: supD(A)

|(,A)|


2/16

2. jest domknity (tzn. zbir par kartezjaskich{,N: D(N)}jest domknitywH H),

3. zachodzi [N, N] = 0.

W szczeglnoci operatorami normalnymi s operatory samosprzone (opisujce obser-wable ukadw kwantowych) oraz operatory unitarne (opisujce dynamik stanw kwan-towych).

Twierdzenie 1 (Wasnoci operatorw normalnych). JeliN jest operatorem normal-nym wH, to:

1.D(N) =D(N),2.N=N dla kadego D(N),

3. jeli ponadtoN jest samosprzony (czyliN = N), wtedy dla dowolnej funkcjifmierzalnej na(N) operatorf(N) jest normalny.

Dowd. [8]

Niech C, M() bdzie -algebr zbiorw borelowskich nad , a B(H) oznaczaalgebr operatorw ograniczonych dziaajcych na przestrzeni HilbertaH. Miar spek-traln na M() nazywamy odwzorowanie

E : M() B(H)speniajce nastpujce wasnoci:

1. E() = 0, E() =1,2. dla kadego M() operatorE() jest operatorem rzutowym,3. E(1)E(2) =E(1 2) dla dowolnych 1, 2M(),

4. jeli =i=1

i i ij = dla i= j, to limn

ni=1

E(i) E() = 0 dla

kadego H.

Twierdzenie 2 (Twierdzenie spektralne). Kady operator normalnyNwH, ma dokad-nie jedn miar spektralnEnaM((N)), gdzie(N) C, ktra spenia

N=(N)

zdE(z).

Jeli ponadto funkcjaf jest mierzalna na(N), to

f(N) =(N)

f(z) dE(z).

Dowd. [8]

2


3/16

Dla dowolnego D(N) i M((N)) funkcja () := (, E()) jest miarprawdopodobiestwa na M((N)) (tzn.((N)) = 1). Zatem dla operatora normalnegoNmona zdefiniowa warto redni

N

:= (, N) =

(N)

zd(z)

oraz wariancj

2(N) :=(N N)2 =(N)

|z N|2 d(z) =NN |N|2.

Indeks bd pomija, jeli nie bdzie to powodowa niejasnoci. W przypadku opera-tora samosprzonego A widmo jest rzeczywiste (tzn. (A) R) i dostajemy 2(A) =A2 A2. Dla operatora unitarnego U, ktrego widmo zawiera si w jednostkowymokrgu na C(tzn. (U) {z C:|z|= 1}), otrzymujemy 2(U) = 1 |U|2. Zwizekten pokazuje, e w przypadku operatora unitarnego Uodchylenie standardowe (U) jestokrelone tylko przez warto redni, a ponadto (U)[0, 1].

Rodzin operatorw unitarnychUt :H Hdla t R, speniajc wasnoci:1. Ut1Ut2 =Ut1+t2, UtUt = UtUt=U0=1,

2. Ut=U1t =Ut,

3. limt0 (Ut 1)= 0 dla kadego H.nazywamy silnie cig jednoparametrow grup operatorw unitarnych.

Twierdzenie 3 (Twierdzenie Stona). Dla silnie cigej jednoparametrowej grupy opera-torw unitarnych{Ut}tR wH, istnieje dokadnie jeden samosprzony operatorA taki,eUt=e

itA.

Dowd. [9]

3 Uoglnienie relacji nieoznaczonoci

W tej czci przejd do gwnego zagadnienia pracy, czyli do wyprowadzenia metody,ktra pozwoli otrzymywa oglniejsze relacje nieoznaczonoci dla klasy operatorw nor-malnych. Metoda ta zostaa zaproponowana przez promotora niniejszej pracy prof. An-drzeja Herdegena.

Rozwamy operatory normalne A, B dla ktrych istnieje gsta podprzestrzeD D(A) D(B), na ktrej jest okrelony komutator [A, B] (tzn.D=D([A, B]) =D(AB) D(BA)). Wemy pewne dwa wektory, H(dookrelone zostan na kocu poniszegorozumowania) i oszacujmy dla nich warto|(, [A, B])|:

|(, [A, B])

|=

|(,AB) + (,BA)

|,

3


4/16

z nierwnoci trjkta

|(,AB) + (,BA)| |(,AB)| + |(,BA)|=|(A,B)| + |(B,A)|,

z nierwnoci Schwartza i wasnoci operatw normalnych

|(A,B)| + |(B,A)| AB + BA=AB + BA,

a zatem

|(, [A, B])| AB + BA.

Dokonajmy podstawieniaAAa1, BBb1, gdziea, b C s dowolnymi liczbami.Transformacja ta zachowuje normalno operatorw oraz komutator, a std otrzymujemynierwno

|(, [A, B])| (A a)(B b) + (B b)(A a), (3.1)

ktra jest okrelona dla dowodnych D(A) D(B), D(AB) D(BA).

Nierwno (3.1) stanowi punkt wyjcia dla dalszych rozwaa. Gwnym pomysemmetody szukania uoglnie relacji nieoznaczonoci jest rozwaenie dwch, w oglnocirnych, stanw i. Dla zadanych operatorw A, B i ustalonego stanu mamy swo-bod wyboru stanu tak by lewa strona (3.1) uzyskaa szczeglnie wygodn posta.

Drug wan cech otrzymanej nierwnoci, dziki wasnoci komutatora, jest zalenotylko prawej strony od parametrw liczbowych a i b, dziki czemu mona je dobiera takby przy zadanych operatorach A, B i wektorach , zminimalizowa warto prawejstrony nierwnoci (3.1). W dalszych rozdziaach zaprezentuj przykady zastosowaniatej metody dla rnych ukadw fizycznych oraz poka, e daje interesujce wyniki.

Jako pierwszy przykad poka, kiedy nierwno (3.1) daje standardow zasad nie-oznaczonoci Heisenberga-Robertsona. Niech A, B bd operatorami samosprzonymi,oraz = . Wtedy (3.1) przyjmuje posta

|(, [A, B])

| 2

(A

a)

(B

b)

.

Prawa strona przyjmuje minimaln warto dlaa =A ib =B, zatem otrzymujemystandardow relacj

1

2

[A, B](A)(B), (3.2)

dla D([A, B]). A wic nierwno Heisenberga-Robertsona dostalimy jako szczegl-ny przypadek nierwnoci (3.1).

4


5/16

4 Relacje nieoznaczonoci dla algebraicznych relacji

Weyla

Zastosujmy wynik poprzedniego punktu do wyprowadzenia relacji nieoznaczonoci dla

operatorw speniajcych relacj Weyla. Relacje Weyla s szczeglnie wygodne przy ba-daniu relacji nieprzemiennoci, poniewa operuj operatorami unitarnymi, ktre s ogra-niczone i okrelone na caej przestrzeni Hilberta, co redukuje problemy zwizane z dzie-dzinami operatorw nieograniczonych.

Niech bd dane pewne dwa (w oglnoci rne) podzbiory 1, 2 R. Mwimy, eoperatoryU iV, dla 1, 2, speniaj relacje Weyla, jeli:

1. U=U=U1 , V=V

=V

1 , U0=V0=1,

2. U1U2 =U1+2 , V1V2 =V1+2, UV=eiVU.

Rozwamy zatem dowolne dwa operatoryU, Vspeniajce relacj Weyla i zastosuj-my do nich nierwno (3.1). Z relacji Weyla otrzymujemy posta komutatora

[U, V] = ( 1) VU,

gdzie := ei. Lewa strona nierwnoci (3.1) przybiera szczeglnie prost posta jelidobierzemy stany na dwa nastpujce sposoby:

1. = VU dla ustalonego ,

2. = V, =Udla ustalonego .

W pierwszym przypadku dostajemy

| 1| (U u)VU(V v) + (V v)VU(U u)=(U u)V(V v) + (V v)U(U u)=(U u)(V v) + (V v)(U u),

a w drugim

|

1|

(U

u)V

(V

v)U

+

(V

v)V

(U

u)U

=(U u)(V v) + (V v)(U u)=(U u)(Vv) + (V v)(U u),

dla dowolnych u, v C. Kadc v := v atwo wida, e oba przypadki s rwnowane.Wystarczy zatem zminimalizowa praw stron nierwnoci

| 1| (U u)(V v) + (V v)(U u) (4.1)

wzgldem parametrwui v.

5


6/16

Przepiszmy w jawnej postaci praw stron nierwnoci (4.1) i oznaczmy jako

f(u, v; u, v) :=

|u U|2 + 2(U)

|v V|2 + 2(V)+|u U|

2 + 2(U)|v V|2 + 2(V).

Wyraenie to moemy rozumie jako funkcj f : C2 u, v f(u, v; u, v) R, ktrajest R-rniczkowalna i w szczeglnoci prawdziwe s dla niej rwnoci

f

u=

f

u=

f

u,

f

v =

f

v =

f

v.

Pochodne funkcjifpo zmiennych sprzonych wynosz

f

u=

|v V|2 + 2(V)

2|u U|2 + 2(U)

(u U) +

|v V|2 + 2(V)2|u U|

2 + 2(U)(u U) ,

f

v =

|u U|2 + 2(U)2

|v V|2 + 2(V)(v V) +

|u U|2 + 2(U)2

|v V|2 + 2(V)(v V) .

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjifprzyjmuje wtedy posta ukadu rwna

f

u(u, v) = 0

f

v(u, v) = 0

.

Zapiszmy ten ukad w postaci 1(u U) + 2(u U) = 01(v V) + 2(v V) = 0 , (4.2)

gdzie

1 :=

|v V|2 + 2(V)|u U|2 + 2(U) , 2:=

|v V|2 + 2(V)|u U|2 + 2(U).

Traktujc 1, 2 jak parametry, rozwizujemy rwnania (4.2) ze wzgldu na u, v:

u= (1+ 2)U, v= (1+ 2)V,gdzie

i := i

1+ 2[0, 1] dla i= 1, 2.

Parametry 1 i 2 nie s niezalene, poniewa speniaj 1+ 2 = 1. Traktujc 1, 2jako nowe zmienne sprowadzamy ukad rwna (4.2) do jednego rwnania rzeczywistego

12=21.

Czynniki 1, 2 oczywicie zale od 1 i 2 w sposb uwikany. W celu rozwikaniatego rwnania, podnosimy je obustronnie do kwadratu, a nastpnie wstawiamy jawne

6


7/16

wyraenia na 1 i 2. Po serii prostych przeksztace algebraicznych i pogrupowaniuwyrazw wzgldem kolejnych potg 1, 2, otrzymujemy rwnanie wielomianowe postaci

| 1|4|U|2|V|2

2241 2142

+ 2(U)

2(V)

22 21

= 0,

ktre ostatecznie redukuje si do| 1|4|U|2|V|22122 2(U)2(V)

(1 2) = 0. (4.3)

Rozwizaniami tego rwnania s

1 = 2, 12 = (U)(V)

| 1|2|U||V| .

Z pierwszego rozwizania rwnania (4.3), przy warunku 1+2 = 1, dostajemy 1 =2=

12

, a std

u=1

2(+ 1)U, v=1

2(+ 1)V.Wstawiajc otrzymane uiv do nierwnoci wyjciowej (4.1) dostajemy

(2 1)|U|2 + 1

(2 1)|V|2 + 1,

gdzie:= 12|1|. Po podniesieniu nierwnoci obustronnie do kwadratu i pogrupowaniu

wyrazw wzgldem kolejnych potg wyraenia 2 1, dostajemy nierwno postaci0(2 1)2|U|2|V|2 + (2 1)

|U|2 + |V|2 1

= (

2

1) (2

1)|U|2

|V|2

+|U|

2

+ |V|2

1 .Poniewa

(1

|U

|2) (1

|V

|2)

|U|2|V|2 .Z drugiej strony 2 > 4 dla < 1, wic otrzymana nierwno jest sprzeczna z nierw-noci (4.4). Na tej podstawie odrzucamy drugie rozwizanie rwnania (4.3).

Obliczmy jawn posta parametru :

2 =1

4| 1|2 =1

4( 1)( 1) =1

4

ei 1

ei 1

=1

4 ei2

ei

2 e

i2

ei

2 = sin

2

2

7


8/16

i wprowadmy oznaczenia:

D(U) :=(U)

|U| =

1 |U|2|U| , D(V) :=

(U)

|U| =

1 |V|2|V| .

Szukan nierwnoci optymaln w stosunku do (4.1) jest ostatecznie nierwno (4.4),ktr mona zapisa w postaci sin2

D(U)D(V), (4.5)dla kadego H.

4.1 Nieoznaczono pdpooenie

W przestrzeniH= L2(R, dx) rozwamy operatory(U)(x) :=(x ), (V)(x) :=eix(x),

dla dowolnych H oraz , R. Operatory te speniaj relacje Weyla. Ponadtooba tworz silnie cige jednoparametrowe grupy operatorw unitarnych, a wic na mocytwierdzenia Stona istniej samosprzone operatory P, X takie, e U = e

iP i V =eiX, okrelone na dziedzinach

D(P) =

L2(R, dx) : jest absolutnie ciga,

|(x)|2 dx


9/16

ktra jest okrelona na caej przestrzeniH. Poka, e ta nierwno daje w granicz-nym przypadku relacj (4.6), oraz zaprezentuj przykad zastosowania tej nierwnoci doprzypadku gdy nie istniej dla pary kanonicznej odchylenia standardowe (X) lub (P).

Niech

D(X). Dla operatoraVzastosujmy twierdzenie spektralne i obliczmy jego

wariancj:

2(V) = 1 |V|2

= 1 (X)

eix d(x)(X)

eiy d(y)

=(X)(X)

1 ei(xy)

d(x, y)

=(X)(X)

ei1

2(xy) ei 12(xy) ei 12(xy) d(x, y)

= 2i (X)(X)cos

(x y)2

i sin(x y)

2 sin

(x y)2

d(x, y).

Z faktu, e miara (x, y) =(x)(y) jest symetryczna na (X) (X) wynika znikaniewyrazu z iloczynem sin (xy)

2 cos (xy)

2 , a wic dostajemy

2(V) = 2(X)(X)

sin2(x y)

2 d(x, y).

Podzielmy nierwno (4.5) przez|| i obliczmy granic przy 0:

lim0

1

sin

2

lim

0D(V)

|| D(U).

Korzystajc faktu, e lim0 sin = 1, z lewej strony dostajemy ||2 , a z prawej

lim0

D(V)

|| = lim0(V)

|||V| .

Poniewa

V=(X)

eix d(x)1 dla 0,

wic pozostaje obliczy

lim

0

2(V)

2

= lim

0

2

2

(X)(X)sin2

(x y)

2

d(x, y)

= 2(X)(X)

lim0

1

sin

(x y)2

2d(x, y)

=1

2

(X)(X)

(x y)2 d(x, y)

=1

2

(X)(X)

(x2 + y2 2xy) d(x, y)

=1

2

(X)

x2 d(x) +1

2

(X)

y2 d(y) (X)

x d(x)(X)

y d(y)

=

X2

X

2 = 2(X),

9


10/16

czyli w granicy0 otrzymalimy zwyk wariancj dla operatora samosprzonegoX.Ostatecznie moemy zapisa graniczn posta nierwnoci (4.5) jako

||2 (X)D(U) (4.7)

dla D(X). Jeli ponadto D(P), to stosujc twierdzenie spektralne dla operatoraUmoemy powtrzy powysze rozumowanie dla nierwnoci (4.7). W tym celu dzielimyje obustronnie przez|| i obliczamy granic przy 0. Std dostajemy nierwno

1

2(X)(P),

dla D(X) D(P). Otrzymalimy zatem standardow relacj Heisenberga dla parykanonicznej (4.6), z t rnic, e okrelon na zbiorzeD(X) D(P), ktry jest szerszyniD([X, P]).

Wemy stan (x) = 1 (1 +x2)1/2 L2(R, dx). Dla funkcji rozkadu prawdopo-dobiestwa||2 nie istniej momenty w adnym rzdzie, a wic nie istnieje odchyleniestandardowe (X), istnieje jednak (P). Moemy jednak zastosowa nierwno (4.5).Dla operatora Votrzymujemy

V = 1

eix

1 + x2dx= e||,

co atwo pokaza metod residuw. Std dostajemy nierwno

sin

2

1

e2||

e|| D(U) =

e2

|

| 11

2

D(U),

czyli

D(U)

e2|| 1 1

2

sin2 .

Dzielc nierwno obustronnie przez||i biorc granic 0, otrzymamy

(P)||2

e2|| 1

12 .

W celu znalezienia wartoci maksymalnej funkcji po prawej stronie nierwnoci, rozwamy

funkcj

f() := 2

4 (e2 1)dla >0. Funkcja fjest ciga i ma pochodn

f() =(e2(1 ) 1)

2 (e2 1)2 .

Z warunku f() = 0 otrzymujemy rwnanie

= 1

e2.

10


11/16

Rwnanie to posiada jedno rozwizanie 0(0, 1), poniewa styczna do funkcji g() :=1e2 ma w punkcie = 0 kierunek g(0) = 2, a wic < 1e2 w pewnymprawostronnym ssiedztwie = 0, z kolej dla = 1 zachodzi nierwno 1 > 1 e2.Ponadto, z tego rozumowania wynika, e w punkcie 0 jest maksimum funkcji f(), awic nierwno

(P) 02

e20 1

12dla 0(0, 1) jest optymalna.

4.2 Problem kt-krt

Rozwamy przestrzeH= L2([0, 2], d). Zdefiniujmy operator

(U)() :=( )

dla R

/mod 2. Operator naley do silnie cigej jednoparametrowej grupy operatorwunitarnych, a wic na mocy twierdzenia Stona istnieje samosprzony operatory L taki,e U=e

iL, na dziedzinie

D(L) =

L2([0, 2], d) : jest absolutnie ciga, (2) =(0), 20

|()|2 d


12/16

dla dowolnych H, R/mod 2, n Z. Poniewa tylko jest cigym parame-trem, wic moemy powtrzy rozumowanie z podpunktu 4.1, gdy 0. Ostatecznieotrzymujemy nierwno (4.7) w postaci

|n|2

D(Wn)(L) (4.8)

dla D(L), n Z. Dlan= 1 nierwno (4.8) jest identyczna z relacj nieoznaczonocikt-krt otrzyman w pracy [11]. Podobny wynik mona otrzyma rwnie dla relacjifaza-liczba bozonw [4].

5 Relacja nieoznaczonoci energia-czas

Ewolucja czasowa ukadu kwantowego w przestrzeniHopisana jest silnie cig jednopa-rametrow grup operatorw unitarnych Ut, gdzie t R. Z twierdzenia Stonea wynikaistnienie samosprzonego operatoraHokrelonego na gstej dziedzinie

D(H) i takiego,

e Ut = eitH. Operator H jest operatorem energii (hamiltonianem). Czas peni wyr-

nion rol w mechanice kwantowej i w szczeglnoci nie da si okreli operatora czasuTtak by by samosprzony [12]. W zwizku z tym nie mona zastosowa nierwno(3.2), nawet gdyby istnia dobrze okrelony komutator [T, H]. Zamiast rozwaa operatorczasu T mona wzi pewien operator samosprzony A i stan t := Ut ( zostaniedookrelony w dalszej czci tego punktu). Zachodzi wtedy rwno

d

dt(t, At) =i(t, [H, A]t),

ktr mona zestawi z nierwnoci (3.2), skd dostajemy

1

2

ddtAt (H)t(A). (5.1)

Wyprowadzenie to pochodzi od Mandelstama i Tamma [13]. Stosujc ponownie metodprzedstawion w punkcie 3, zaprezentuje inne rozwizanie tego problemu.

Rozwamy pewien operator normalny A i oznaczmy At := UtAUt. Zastosujmy nie-

rwno (3.1) do operatorw Ut iA, ktrych komutator wynosi

[Ut, A] =Ut(A At).Dla ustalonego stanu D(A) D(At) wemy = Ut. Otrzymujemy wic

|A At| (A a)Ut(Ut u) + (Ut u)Ut(A a)=(Ut u) ((At a) + (A a)) , (5.2)

gdzie u, aC. Podobnie jak wczeniej, szukamy minimalnej wartoci wyraenia po pra-wej stronie nierwnoci (5.2) wzgldem parametrw u i a. Praw stron tej nierwnocimoemy traktowa jako funkcj dwch zmiennych zespolonych u, ao wartociach rzeczy-wistych, ktra ma posta

f(u, a; u, a) := |u

Ut

|2 + 2(Ut)|

a

At

|2 + 2(At) + |

a

A

|2 + 2(A) .

12


13/16

Poniewa funkcja f jest R-rniczkowalna, to jej minimum znajdziemy analogicznie jakw punkcie 4. Warunek konieczny na istnienie ekstremum funkcji fma wic posta

f

u(u, a) = 0

f

a(u, a) = 0

.

Z pierwszego rwnania dostajemy natychmiast, e u =Ut. Drugie rwnie zapiszmy wpostaci

t(a At) + (a A) = 0, (5.3)gdzie

t := 1

|a At|2 + 2(At), :=

1|a A|2 + 2(A)

.

Traktujc t, jako parametry, rozwizujemy rwnanie (5.3) wzgldem a:

a= tAt + A,

gdzie

t := tt+

, :=

t+ .

Czynnikit, [0, 1] i speniaj rwno t + = 1. Traktujc t i jako nowe zmienneprzeksztacamy rwnanie (5.3) do postaci

t= t.

Po podniesieniu obustronnie rwnia do kwadratu i serii elementarnych przeksztace al-gebraicznych, otrzymujemy do rozwizania prosty ukad rwna linowych

(A)= (At)tt+ = 1

.

Rozwizanie tego ukadu jest postaci

t= (A)

(At) + (A), =

(At)

(At) + (A),

a std otrzymujemy

a=(At)A + (A)At

(At) + (A) .

Wstawiajc otrzyman wartoci parametru a i u=Ut do nierwnoci (5.2) dostajemynierwno postaci

|A At| (Ut)((A) + (At)) |A At|2

((A) + (At))2 1.

13


14/16

Po podniesieniu obustronnie do kwadratu i pogrupowaniu wyrazw tak by tylko po jednejstronie byo wyraanie|A At| otrzymujemy

|A At| (Ut)1

2(Ut)((A) + (At)) =

(Ut)

|Ut

|

((A) + (At)) .

Ostatecznie, otrzyman nierwno moemy zapisa postaci

|A At| D(Ut) ((A) + (At)) , (5.4)

gdzie D(A) D(At).

Niech A a bdzie operatorem samosprzonym, dla ktregoAt ronie monoto-nicznie z czasem t. Zamy, e

t(,)D(At) D(H) dla pewnego > 0, funkcja

(

, )

t

At

H jest silnie ciga, oraz

At

ma pochodn w t = 0. Podzielmy

obustronnie nierwno (5.4) przez|t| i obliczmy granic przy t0:

limt0

|A At||t| limt0

D(Ut)

|t| ((A) + (At)) .

Lewa strona jest moduem pochodnej ddt

At w punkcie t = 0. Po prawej stronie ma-my limt0(At) = (A), a wic zostaje do obliczenia granica limt0

D(Ut)

|t| . Stosujctwierdzenie spektralne dla operatora Ut i postpujc analogicznie jak w podpunkcie 4.1,

przy wyprowadzeniu nierwnoci (4.7), dostajemy limt0D(Ut)

|t| = (H). Std otrzy-mujemy nierwno

12

ddtAtt=0

(H)(A)

dla t(,)

D(At) D(H). Wynik jest zgodny z relacj (5.1).

Przyjrzyjmy si dokadniej nierwnoci (5.4). Przepiszmy j w nieco bardziej jawnejpostaci

|A At| (Ut)|(, t)| ((A) + (At)) ,

gdziet = Ut. Zamy, e operatorA jest obserwabl mierzc, w jakim sensie, upyw

czasu, a wicAt monotonicznie ronie z czasem oraz (A) + (At) jest ograniczoneprzez sta. Poniewa czynnik (Ut) jest zawsze ograniczony, to|(, t)| musi maleco najmniej tak szybko jak ronieAt. JeliAt t, to|(, t)| 1/t, innymi sowystan t coraz mocniej rni si od stanu . Nierwno (5.4) stanowi wic kryteriumwykluczajce istnienie obsewabli mierzcej czas w pewnych ukadach kwantowych, jeli|(, t)| nie znika dostatecznie szybko. Zilustrujmy to na poniszym przykadzie ukadudwu stanowego.

14


15/16

Niech t = c1eit11+ c2eit22, gdzie c21+ c

22 = 1 oraz Hk = kk dla k = 1, 2.

Mona przyj, eck = 1

2eik/2 dla pewnych liczbk R. Biorc = t=0 otrzymamy

|(, t)|=|c1|2eit1 + |c2|2eit2

=12ei(t1+1) + ei(t2+2)

=

cost(1 2) + 1 22 .

Funkcja |(, t)|jest okresowa w czasie, a wic na mocy nierwnoci (5.4) dla rozwaanegoprzykadu nie istnieje obserwabla mierzca upyw czasu.

6 Podsumowanie

Metoda wyprowadzania relacji nieoznaczonoci przedstawiona w punkcie 3 daje wynikizgodne z relacj Heisenberga-Robertsona, tam gdzie jest okrelona, oraz pozwala uzyskanietrywialne relacje w przypadkach gdzie nierwno Heisenberga-Robertsona si zaa-muje, jak w przypadku relacji kt-krt. Ponadto pozwala otrzyma cakiem nowe i ogl-niejsze relacje, niosce bogatsz tre fizyczn, co zostao pokazane na przykadzie relacjienergia-czas. Wedug mojej aktualnej wiedzy pomys z zastosowaniem dwch rnychstanw do wyprowadzenia relacji nieoznaczonoci nie pojawi si jeszcze w literaturze.Interesujce wydaj si by dalsze zastosowania nierwnoci (3.1) do innych ukadwfizycznych, w szczeglnoci do reprezentacji rzutowej oglnej grupy obrotw. Generato-rami tej reprezentacji s operatory krtu J1, J2, J3 speniajce relacje [Ji, Jj] = iijkJk,

gdzie i ,j, k = 1, 2, 3. Z nierwnoci Heisenberga-Robertsona (3.2) otrzymuje si relacj(J1)(J2) 12 |J3|. Operatory Ji nie s dodatnie, przez co prawa strona nierwnocimoe si zerowa dla pewnych stanw, co ogranicza uyteczno tej relacji. Otwartym pro-blemem pozostaje wic pytanie, czy zastosowanie omwionej w tej pracy metody pozwoliotrzyma now relacj nie obarczon t wad.

15


16/16

Literatura

[1] Heisenberg W.:Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematikund Mechanik, Zeitschrift fur Physik 43, pp. 172198 (1927)

[2] Robertson H. P.: The Uncertainty Principle, Phys. Rev. 34, pp. 16364 (1929)

[3] Biaynicki-Birula I., Mycielski J.: Uncertainty relations for information entropy inwave mechanics, Communications in Mathematical Physics, pp. 129-132 (1975)

[4] Busch P., Grabowski M., Lahti P. J.:Operational Quantum Physics, Springer, Berlin,1995

[5] Jurkowski J.:Korelacje nieklasyczne, Wydawnictwo Naukowe UMK, Toru, 2014

[6] Wehner S., Winter A.: Entropic uncertainty relations-a survey, New Journal of Phy-sics 12 (2010)

[7] Bialynicki-Birula I., Bialynicka-Birula Z.: Uncertainty relation for photons, Phys.Rev. Lett. 108 (2012)

[8] Rudin W.:Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa, 2001

[9] Reed M., Simon B.:Methods of Modern Mathematical Physicsvol.I., Academic Press,San Diego, 1979

[10] Kraus K.: Remark on the uncertainty between angle and angular momentum, Z.Physik 188, pp. 374377 (1965)

[11] Hradil Z., Rehacek J., Bouchal Z., Celechovsky R., Sanchez-Soto L. L.: Minimumuncertainty measurements of angle and angular momentum, Phys. Rev. Lett. 97(2006)

[12] Grabowski M., Ingarden R. S.:Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa, 1989

[13] Mandelstam L. I., Tamm I. E.: The uncertainty relation between energy and time innonrelativistic quantum mechanics, Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. fiz.) 9, pp. 122-128(1945)

16

uncertainty relations in QM

Documents

Transcript of uncertainty relations in QM