Ukady rwna rniczkowych

Marcin Orchel

Spis treci1 Wstp 1

1.1 Istnienie rozwiza wyszych rzdw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ukady rwna rniczkowych liniowych o staych wspczynnikach . . . 3

1.2.1 Jednorodne ukady rwna rniczkowych liniowych pierwszegorzdu o staych wspczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Ukady rwna rniczkowych liniowych niejednorodnych pierw-szego rzdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Ukady rwna drugiego rzdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Zadania 122.1 Przydatne linki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Zadania na 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Zadania na 4.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Zadania na 5.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Wstp

1.1 Istnienie rozwiza wyszych rzdw

Sprowadzenie do ukadu rwna pierwszego rzdu. Kade jawne rwnanie rniczkowerzdu n

y(n) = f(x, y, y, . . . , y(n1)

)(1)

mona przez wprowadzenie nowych zmiennych:

y1 = y (2)

y2 = y (3)

. . . (4)

yn1 = y(n1) (5)

przeksztaci do ukadu n rwna rniczkowych pierwszego rzdu:

dy

dx= y1 (6)

1

dy1dx

= y2 (7)

... (8)dyn1

dx= f (x, y, y1, . . . , yn1) (9)

W porwnaniu z powyszym bardziej oglny ukad n rwna rniczkowych pierwszegorzdu:

dyidx

= fi (x, y1, y2, . . . , yn) dla i = 1, 2, . . . , n (10)

ma dokadnie jedno rozwizanie cige

yi = yi (x) dla i = 1, 2, . . . , n (11)

okrelone i cige w przedziale

x0 h x x0 + h (12)

i speniajce warunek pocztkowy:

yi (x0) = yi0 dla i = 1, 2, . . . , n (13)

jeli tylko funkcjefi (x, y1, y2, . . . , yn) (14)

s cige wzgldem wszystkich zmiennych i speniaj warunek Lipschitza.

Przykad 1. Zastpi ukadem rwna rwnanie

y = y + x (15)

Ukad toy = y1 (16)

y1 = y1 + x (17)

Rozwizanie to

y (x) = c2 (ex 1) + c1 x2

2 x 1 (18)

y1 (x) = c2ex x 1 (19)

Dwie stae dla y(x) oraz jedna staa dla y1(x). Rwnanie na wolframalpha.com http: //www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27% 27+ %3D+ y% 27+ %2B+ x oraz ukad http: //www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 28x% 29% 27+ %3D+ y1% 28x% 29% 2C+ y1% 28x% 29%27+ %3D+ y1% 28x% 29+ %2B+ x .

2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+y%27+%2B+xhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+y%27+%2B+xhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+y1%28x%29%2C+y1%28x%29%27+%3D+y1%28x%29+%2B+xhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+y1%28x%29%2C+y1%28x%29%27+%3D+y1%28x%29+%2B+xhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+y1%28x%29%2C+y1%28x%29%27+%3D+y1%28x%29+%2B+x

1.2 Ukady rwna rniczkowych liniowych o staych wspczynni-kach

Posta normalna ukadu rwna rniczkowych liniowych pierwszego rzdu o staychwspczynnikach jest nastpujca:

y1 = a11y1 + a12y2 + . . . + a1nyny2 = a21y1 + a22y2 + . . . + a2nyn. . .yn = an1y1 + an2y2 + . . . + annyn

(20)

Najpierw naley wyznaczy pierwiastki rwnania charakterystycznego:a11 r a12 . . . a1n

a21 a22 r . . . a2n. . .an1 an2 . . . ann r

= 0 (21)Kademu jednokrotnemu pierwiastkowi ri odpowiada ukad rozwiza szczeglnych:

y1 = A1erixy2 = A2erix. . .yn = Anerix

(22)

Wspczynniki Ak wyznaczamy z jednorodnego ukadu rwna liniowych

(a11 ri) A1 + a12A2 + . . . + a1nAn = 0. . .an1A1 + an2A2 + . . . + (ann ri) An = 0

(23)

Jeli wszystkie pierwiastki s rne to rozwizaniem oglnym jest kombinacja liniowaodpowiadajcych im rozwiza szczeglnych.Jeli natomiast ri jest m-krotnym pierwiastkiem to odpowiadajce mu rozwizania szcze-glne maj posta:

y1 = A1 (x) erixy2 = A2 (x) erix. . .yn = An (x) erix

(24)

gdzie Ai (x) s wielomianami stopnia co najwyej m 1. Wyraenia te wstawiamy doukadu wyjciowego. Otrzymane rwnania dzielimy przez erix i porwnujemy wsp-czynniki przy tych samych potgach x. M staych jest wybranych dowolnie. Jeli ukadwyjciowy jest symetryczny to wystarczy przyj, e Ai (x) = const. W przypadku zespo-lonych pierwiastkw rwnania charakterystycznego ukadu rwna, ukad rozwizujemyw dziedzinie zespolonej i jako rozwizanie rzeczywiste bierzemy pod uwag cz rzeczy-wist rozwizania.

3

Przykad 2.y1 = 2y1 + 2y2 y3y2 = 2y1 + 4y2 + y3y3 = 3y1 + 8y2 + 2y3

(25)

Rwnanie charakterystyczne:2 r 2 12 4 r 13 8 2 r

= (r 6) (r 1)2 = 0 (26)Wyznacznik na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= det+{ { 2-r% 2C+ 2% 2C+ -1}% 2C+ { -2% 2C+ 4-r% 2C+ 1}% 2C+ { -3% 2C+ 8% 2C+ 2-r}} . Dla pier-wiastka jednokrotnego r1 = 6 otrzymujemy:

4A1 + 2A2 A3 = 02A1 2A2 + A3 = 03A1 + 8A2 4A3 = 0

(27)

Std:A1 = 0A2 = C1A3 = 2C1

(28)

Zatem:y1 = 0y2 = C1e6xy3 = 2C1e6x

(29)

Dla pierwiastka dwukrotnego r2 = 1 otrzymujemy:

y1 = (P1x + Q1) exy2 = (P2x + Q2) exy3 = (P3x + Q3) ex

(30)

Po podstawieniu do ukadu wyjciowego:

P1x + (P1 + Q1) = (2P1 + 2P2 P3) x + (2Q1 + 2Q2 Q3)P2x + (P2 + Q2) = (2P1 + 4P2 + P3) x + (2Q1 + 4Q2 + Q3)P3x + (P3 + Q3) = (3P1 + 8P2 + 2P3) x + (3Q1 + 8Q2 + 2Q3)

(31)

Skd:P1 = 5C2P2 = C2P3 = 7C2Q1 = 5C3 6C2Q2 = C3Q3 = 7C3 11C2

(32)

4

http://www.wolframalpha.com/input/?i=det+{{2-r%2C+2%2C+-1}%2C+{-2%2C+4-r%2C+1}%2C+{-3%2C+8%2C+2-r}}http://www.wolframalpha.com/input/?i=det+{{2-r%2C+2%2C+-1}%2C+{-2%2C+4-r%2C+1}%2C+{-3%2C+8%2C+2-r}}

Rozwizanie oglne ma posta:

y1 = (5C2x + 5C3 6C2) exy2 = C1e6x + (C2x + C3) exy3 = 2C1e6x + (7C2x + 7C3 11C2) ex

(33)

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=y% 28x% 29% 27+ %3D+ 2y% 28x% 29+ %2B+ 2z% 28x% 29+ -+g% 28x% 29% 2C+ z% 28x% 29% 27+ %3D+ -2y% 28x% 29+ %2B+ 4z% 28x% 29+ %2B+ g% 28x% 29% 2C+ g% 28x% 29% 27+ %3D+ -3y% 28x% 29+%2B+ 8z% 28x% 29+ %2B+ 2g% 28x% 29 .

Przykad 3.

y1 = y2 + y3 (34)y2 = y1 + y3 (35)y3 = y1 + y2 (36)

Rwnanie charakterystyczne:r 1 11 r 11 1 r

= r3 + 3r + 2 = (r 2) (r + 1)2 = 0 (37)Wyznacznik na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= det+%7B% 7B-r,+1,+1% 7D,+% 7B1,+-r,+1% 7D,+% 7B1,+1,+-r% 7D% 7D .

Dla pierwiastka jednokrotnego r1 = 2 otrzymujemy:

2A1 + A2 + A3 = 0 (38)A1 2A2 + A3 = 0 (39)A1 + A2 2A3 = 0 (40)

Po odjciu rwnania drugiego od pierwszego otrzymujemy

3A1 + 3A2 = 0 (41)

A1 = A2 (42)

Po odjciu rwnania trzeciego od pierwszego otrzymujemy

3A1 + 3A3 = 0 (43)

A1 = A3 (44)

Po odjciu rwnania trzeciego od drugiego otrzymujemy

3A2 + 3A3 = 0 (45)

A2 = A3 (46)

5

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+2y%28x%29+%2B+2z%28x%29+-+g%28x%29%2C+z%28x%29%27+%3D+-2y%28x%29+%2B+4z%28x%29+%2B+g%28x%29%2C+g%28x%29%27+%3D+-3y%28x%29+%2B+8z%28x%29+%2B+2g%28x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+2y%28x%29+%2B+2z%28x%29+-+g%28x%29%2C+z%28x%29%27+%3D+-2y%28x%29+%2B+4z%28x%29+%2B+g%28x%29%2C+g%28x%29%27+%3D+-3y%28x%29+%2B+8z%28x%29+%2B+2g%28x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+2y%28x%29+%2B+2z%28x%29+-+g%28x%29%2C+z%28x%29%27+%3D+-2y%28x%29+%2B+4z%28x%29+%2B+g%28x%29%2C+g%28x%29%27+%3D+-3y%28x%29+%2B+8z%28x%29+%2B+2g%28x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28x%29%27+%3D+2y%28x%29+%2B+2z%28x%29+-+g%28x%29%2C+z%28x%29%27+%3D+-2y%28x%29+%2B+4z%28x%29+%2B+g%28x%29%2C+g%28x%29%27+%3D+-3y%28x%29+%2B+8z%28x%29+%2B+2g%28x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=det+%7B%7B-r,+1,+1%7D,+%7B1,+-r,+1%7D,+%7B1,+1,+-r%7D%7Dhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=det+%7B%7B-r,+1,+1%7D,+%7B1,+-r,+1%7D,+%7B1,+1,+-r%7D%7D

Std:

A1 = C1 (47)A2 = C1 (48)A3 = C1 (49)

Zatem:

y1 = C1e2x (50)y2 = C1e2x (51)y3 = C1e2x (52)

Dla pierwiastka 1 dwukrotnego podstawiamy do ukadu wyjciowego

y1 = (P1x + Q1) ex (53)y2 = (P2x + Q2) ex (54)y3 = (P3x + Q3) ex (55)

Po podstawieniu do ukadu wyjciowego:

P1xQ1 + P1 = (P2 + P3) x + (Q2 + Q3) (56)P2xQ2 + P2 = (P1 + P3) x + (Q1 + Q3) (57)P3xQ3 + P3 = (P1 + P2) x + (Q1 + Q2) (58)

Skd:

P1 = P2 + P3 (59)P2 = P1 + P3 (60)P3 = P1 + P2 (61)

Q1 + P1 = Q2 + Q3 (62)Q2 + P2 = Q1 + Q3 (63)Q3 + P3 = Q1 + Q2 (64)

Trzy pierwsze rwnania s identyczne, wic otrzymujemy jedno rwnanie oraz uwzgld-niajc pozostae otrzymujemy

P1 + P2 + P3 = 0 (65)P1 = Q1 + Q2 + Q3 (66)

P2 = P1 (67)P3 = P1 (68)

6

Podstawiajc dwa ostatnie rwnania do pierwszego otrzymujemy

P1 = 0 (69)P2 = 0 (70)P3 = 0 (71)

Q3 = Q1 Q2 (72)

Moemy zatem przyj, e

Q1 = C2 (73)Q2 = C3 (74)

Q3 = C2 C3 (75)

Rozwizanie oglne ma posta:

y1 = C1e2x + C2exy2 = C1e2x + C3exy3 = C1e2x + (C2 C3) ex

(76)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%27+ %3D+ y2+ %2B+ y3,+y2% 27+ %3D+ y1+ %2B+ y3,+y3% 27+ %3D+ y1+ %2B+ y2 .

Przykad 4.

y1 = y1 + 2y2 (77)y2 = 2y1 + y2 (78)

Rwnanie charakterystyczne:1 r 22 1 r = (1 r)2 + 4 = r2 2r + 5 (79)

Wyznacznik na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= det+%7B% 7B1-r,+2% 7D,+% 7B-2,+1-r% 7D% 7D . Pierwiastki to

= 4 20 = 16 (80)

r1 =2 4i

2 = 1 2i (81)

r2 =2 + 4i

2 = 1 + 2i (82)

Dla pierwiastka r1 = 1 2i otrzymujemy

(1 1 + 2i) A1 + 2A2 = 0 (83)2A1 + (1 1 + 2i) A2 = 0 (84)

7

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27+%3D+y2+%2B+y3,+y2%27+%3D+y1+%2B+y3,+y3%27+%3D+y1+%2B+y2http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27+%3D+y2+%2B+y3,+y2%27+%3D+y1+%2B+y3,+y3%27+%3D+y1+%2B+y2http://www.wolframalpha.com/input/?i=det+%7B%7B1-r,+2%7D,+%7B-2,+1-r%7D%7Dhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=det+%7B%7B1-r,+2%7D,+%7B-2,+1-r%7D%7D

2iA1 + 2A2 = 0 (85)2A1 + 2iA2 = 0 (86)

A2 = iA1 (87)2A1 + 2A1 = 0 (88)

Poniewa ukad rozwizujemy w dziedzinie liczb zespolonych, to podstawiamy A1 = B1 +D1i i otrzymujemy

A2 = i (B1 + D1i) = D1 iB1 (89)

Rozwizania toy1 = (B1 + D1i) e(12i)x (90)

y2 = (D1 B1i) e(12i)x (91)

Po rozpisaniu cz rzeczywista jest rwna

y1 = B1ex cos 2x + D1ex sin 2x (92)

y2 = B1ex sin 2x + D1ex cos 2x (93)

Dla pierwiastka r1 = 1 + 2i otrzymujemy

(1 1 2i) A1 + 2A2 = 0 (94)2A1 + (1 1 2i) A2 = 0 (95)

2iA1 + 2A2 = 0 (96)2A1 2iA2 = 0 (97)

A2 = iA1 (98)2A1 + 2A1 = 0 (99)

Poniewa ukad rozwizujemy w dziedzinie liczb zespolonych, to podstawiamy A1 = B2 +D2i i otrzymujemy

A2 = i (B2 + D2i) = D2 + iB2 (100)

Rozwizania toy1 = (B2 + D2i) e(1+2i)x (101)

y2 = (D2 + B2i) e(1+2i)x (102)

Po rozpisaniu cz rzeczywista jest rwna

y1 = B2ex cos 2xD2ex sin 2x (103)

y2 = B2ex sin 2xD2ex cos 2x (104)

8

Ostatecznie

y1 = B1ex cos 2x + D1ex sin 2x + B2ex cos 2xD2ex sin 2x (105)

y2 = B1ex sin 2x + D1ex cos 2xB2ex sin 2xD2ex cos 2x (106)

Po przeksztaceniu

y1 = (B1 + B2) ex cos 2x + (D1 D2) ex sin 2x (107)

y2 = (D1 D2) ex cos 2x (B1 + B2) ex sin 2x (108)

Czyliy1 = C1ex cos 2x + C2ex sin 2x (109)

y2 = C2ex cos 2x C1ex sin 2x (110)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%27+ %3D+ y1+ %2B+ 2y2,+y2% 27+ %3D+ -2y1+ %2B+ y2 .

Przykad 5.

y1 = 5y1 + y3 (111)y2 = y1 + 3y2 y3 (112)

y3 = 7y1 3y3 (113)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%27+ %3D+ 5y1+ %2B+ y3,+y2% 27+ %3D+ y1+ %2B+ 3y2-y3,+y3% 27+ %3D+ -7y1+ -+3y3 .

1.2.1 Jednorodne ukady rwna rniczkowych liniowych pierwszego rzduo staych wspczynnikach

Oglna posta ukadu rwna liniowych jednorodnych rzdu pierwszego o staych wsp-czynnikach jest nastpujca:

nk=1

aikyk +

nk=1

bikyk = 0, i = 1, 2, . . . , n (114)

Jeli det (aik) 6= 0 to ukad ten daje si sprowadzi do postaci normalnej.Ukad ten moemy rwnie rozwizywa w postaci oglnej t sam metod co dla

ukadu w postaci normalnej. Rwnanie charakterystyczne ma posta:

det (aikr + bik) = 0 (115)

Wspczynniki Ai rozwizania dla pierwiastkw jednokrotnych wyznaczamy z ukadurwna:

nk=1

(aikrj + bik) Ak = 0, i = 1, 2, . . . , n (116)

9

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27+%3D+y1+%2B+2y2,+y2%27+%3D+-2y1+%2B+y2http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27+%3D+y1+%2B+2y2,+y2%27+%3D+-2y1+%2B+y2http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27+%3D+5y1+%2B+y3,+y2%27+%3D+y1+%2B+3y2-y3,+y3%27+%3D+-7y1+-+3y3http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27+%3D+5y1+%2B+y3,+y2%27+%3D+y1+%2B+3y2-y3,+y3%27+%3D+-7y1+-+3y3

Przykad 6.

5y1 + 4y1 2y2 y2 = 0 (117)y1 + 8y1 3y2 = 0 (118)

Rwnanie charakterystyczne: 5r + 4 2r 1r + 8 3 = 2r2 + 2r 4 = 0, r1 = 1, r2 = 2 (119)

Dla r1 = 1:9A1 3A2 = 09A1 3A2 = 0

(120)

A2 = 3A1 = 3C1 (121)Dla r2 = 2:

A2 = 2A1 = 2C2 (122)Rozwizanie oglne:

y1 = C1ex + C2e2xy2 = 3C1ex + 2C2e2x

(123)

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= 5y%28x% 29% 27+ %2B+ 4y% 28x% 29+ -+2z% 28x% 29% 27+ -+z% 28x% 29+ %3D+ 0% 2C+ y% 28x% 29%27+ %2B+ 8y% 28x% 29+ -+3z% 28x% 29+ %3D+ 0 .

1.2.2 Ukady rwna rniczkowych liniowych niejednorodnych pierwszegorzdu

Oglna posta:nk=1

aikyk +

nk=1

bikyk = Fi (x) , i = 1, 2, . . . , n (124)

Metoda uzmienniania staych. Zasada analogiczna jak dla jednego rwnania liniowe-go.Przykad 7.

5y + 4y1 2y2 y2 = exy1 + 8y1 3y2 = 5ex

(125)

Rozwizaniem ukadu jednorodnego jest:y1 = C1ex + C2e2xy2 = 3C1ex + 2C2ex

(126)

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= 5y%28x% 29% 27+ %2B+ 4y% 28x% 29+ -+2z% 28x% 29% 27+ -+z% 28x% 29+ %3D+ e^% 28-x% 29% 2C+y% 28x% 29% 27+ %2B+ 8y% 28x% 29+ -+3z% 28x% 29+ %3D+ 5e^% 28-x% 29 .

Metod wspczynnikw nieoznaczonych mona stosowa, gdy prawe strony danegoukadu przyjmuj posta Qn (x) ex. Procedura jest analogiczna jak dla jednego rwna-nia rniczkowego liniowego o staych wspczynnikach.

10

http://www.wolframalpha.com/input/?i=5y%28x%29%27+%2B+4y%28x%29+-+2z%28x%29%27+-+z%28x%29+%3D+0%2C+y%28x%29%27+%2B+8y%28x%29+-+3z%28x%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=5y%28x%29%27+%2B+4y%28x%29+-+2z%28x%29%27+-+z%28x%29+%3D+0%2C+y%28x%29%27+%2B+8y%28x%29+-+3z%28x%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=5y%28x%29%27+%2B+4y%28x%29+-+2z%28x%29%27+-+z%28x%29+%3D+0%2C+y%28x%29%27+%2B+8y%28x%29+-+3z%28x%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=5y%28x%29%27+%2B+4y%28x%29+-+2z%28x%29%27+-+z%28x%29+%3D+e^%28-x%29%2C+y%28x%29%27+%2B+8y%28x%29+-+3z%28x%29+%3D+5e^%28-x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=5y%28x%29%27+%2B+4y%28x%29+-+2z%28x%29%27+-+z%28x%29+%3D+e^%28-x%29%2C+y%28x%29%27+%2B+8y%28x%29+-+3z%28x%29+%3D+5e^%28-x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=5y%28x%29%27+%2B+4y%28x%29+-+2z%28x%29%27+-+z%28x%29+%3D+e^%28-x%29%2C+y%28x%29%27+%2B+8y%28x%29+-+3z%28x%29+%3D+5e^%28-x%29

1.2.3 Ukady rwna drugiego rzdu

Powysze metody mog by stosowane dla ukadw rwna drugiego rzdu.

Przykad 8.y1 + y1 = 0 (127)

y2 y1 = 0 (128)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%27% 27+ %2B+ y1+ %3D+ 0,+y2% 27% 27+ -+y1+ %3D+ 0 . Przykad ten jest uproszczony, mo-emy wyznaczy rozwizanie z rwnania pierwszego i podstawi do drugiego.

Przykad 9.y1 y2 = 0 (129)

y2 y1 = 0 (130)

Rwnanie charakterystyczne to r2 rr r2 = r4 r2 = r2 (r2 1) = r2 (r 1) (r + 1) (131)

A wic 0 to pierwiastek podwjny, oraz 1 i -1 to pierwiastki pojedyncze. Dla 0 otrzymu-jemy rozwizanie

y1 = (P1x + Q1) e0x = P1x + Q1 (132)

y2 = (P2x + Q2) e0x = P2x + Q2 (133)

Po podstawieniu do ukadu wyjciowego otrzymujemy

0 P2 = 0 (134)

0 P1 = 0 (135)

A wic otrzymujemy P1 = 0, P2 = 0. A zatem rozwizanie to Q1 = C1, Q2 = C2. Dla1 otrzymujemy rozwizanie

y1 = B1ex (136)

y2 = B2ex (137)

Dla 1 otrzymujemy rozwizaniey1 = D1ex (138)

y2 = D2ex (139)

Stae te znajdujemy rozwizujc ukad rwna dla poszczeglnych pierwiastkw (podsta-wiajc za A1 wartoci B1 lub D1 oraz za A2 wartoci B2 lub D2 odpowiednio)

r2A1 rA2 = 0 (140)

rA1 + r2A2 = 0 (141)

11

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27%27+%2B+y1+%3D+0,+y2%27%27+-+y1+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27%27+%2B+y1+%3D+0,+y2%27%27+-+y1+%3D+0

Dla r 6= 0rA1 A2 = 0 (142)

A1 + rA2 = 0 (143)

CzyliA1 = rA2 (144)

r2A2 A2 = 0 (145)

Z drugiego rwnaniaA2(r2 1

)= 0 (146)

A zatem drugie rwnanie jest spenione gdy A2 = 0 lub gdy r = 1 lub r = 1. Dlar = 1 otrzymujemy B2 = C3 oraz B1 = C3. Dla r = 1 otrzymujemy D2 = C4 orazD1 = C4. A zatem rozwizanie to

y1 = C1 C3ex + C4ex (147)

y2 = C2 + C3ex + C4ex (148)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%27% 27+ -++ y2% 27+ %3D+ 0,+y2% 27% 27+ -+y1% 27+ %3D+ 0 . Rozwizanie z wolframalpha.commona zapisa jako

y1 (x) = ex(12c2 +

12c4

)+ ex

(c22 +

c42

)+ c1 c4 (149)

y2 (x) = ex(1

2c2 12c4

)+ ex

(c22 +

c42

) c2 + c3 (150)

2 Zadania

2.1 Przydatne linki

http://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-a-system-of-differential-equations.html

http://www.mathworks.com/help/symbolic/dsolve.html

2.2 Zadania na 3.0

Rozwiza ukady rwna w postaci normalnej:

A =

1 0 20 1 41 0 2

(151)

12

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27%27+-++y2%27+%3D+0,+y2%27%27+-+y1%27+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=y1%27%27+-++y2%27+%3D+0,+y2%27%27+-+y1%27+%3D+0http://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-a-system-of-differential-equations.htmlhttp://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-a-system-of-differential-equations.htmlhttp://www.mathworks.com/help/symbolic/dsolve.html

A =

3 4 21 0 16 6 5

(152)Rozwiza problem pocztkowy Cauchyego dla podanego ukadu rwna w postacinormalnej:

A =

0 1 10 0 11 0 1

(153)

y (0) =

11212

(154)Rozwiza rwnie powysze rwnania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Dokadego rwnania wywietli w Matlabie pole kierunkowe.

2.3 Zadania na 4.0

Znale cak ogln ukadu niejednorodnego:

dxdt y = cos tdydt = 1 x

(155)

Rozwiza rwnie powysze rwnania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Dokadego rwnania wywietli w Matlabie pole kierunkowe.

2.4 Zadania na 5.0

Znale cak ogln ukadu niejednorodnego:

dxdt + 5x + y = e

t

dydt + 3y x = e

2t (156)

Rozwiza rwnie powysze rwnania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Dokadego rwnania wywietli w Matlabie pole kierunkowe.

Literatura[1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Mhlig, Nowoczesne kompen-

dium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004.

[2] J. Niedoba and W. Niedoba, Rwnania rniczkowe zwyczajne i czstkowe. Wydaw-nictwa AGH, 2001.

13

WstepIstnienie rozwiazan wyzszych rzedwUklady rwnan rzniczkowych liniowych o stalych wsplczynnikachJednorodne uklady rwnan rzniczkowych liniowych pierwszego rzedu o stalych wsplczynnikachUklady rwnan rzniczkowych liniowych niejednorodnych pierwszego rzeduUklady rwnan drugiego rzedu

ZadaniaPrzydatne linkiZadania na 3.0Zadania na 4.0Zadania na 5.0