2007 K.M.Gawrylczyk

JeŜeli parametry układu, takie jak rezystancja, pojemność oraz indukcyjność, są skupione w jednym punkcie tego układu, to nazywamy go układem o parametrach skupionych. Warunek ten jest spełniony, gdy wymiary wszystkich elementów (np. rezystorów, kondensatorów, indukcyjności, itd.) występujących w układzie są pomijalnie małe w porównaniu z długością fali elekromagnetycznej λ. W wielu rzeczywistych układach warunek ten spełniony jest z bardzo dobrym przybliŜeniem. JeŜeli jednak zjawiska falowe występujące w układzie są na tyle silne, Ŝe nie mogą być pominięte, to układ taki nazywamy układem o parametrach rozłoŜonych. W przypadku układu o parametrach rozłoŜonych opisu dokonuje się przy pomocy równania róŜniczkowego cząstkowego, bądź ich układu. Argumentami są trzy współrzędne przestrzenne x, y, z oraz czas t. Linie długie są szczególnym przypadkiem układu o parametrach rozłoŜonych, w którym sygnał rozprzestrzenia się wzdłuŜ jednej tylko współrzędnej. Przyjmijmy, Ŝe jest to współrzędna x, która określa odległość od początku linii. Taki układ opisany jest układem równań cząstkowych, w których argumentami są czas t oraz współrzędna x.

Linią długą nazywamy linię, której długość l jest porównywalna z długością λ rozchodzącej się w niej fali elektromagnetycznej.

To, czy daną linię naleŜy traktować jako linię długą, wynika nie z jej długości l, a ze stosunku tej długości do długości fali elekromagnetycznej λ. Parametry opisujące falę elektromagnetyczną: długość λ, prędkość v oraz częstotliwość f są związane ze sobą następującą zaleŜnością:

λ =vf

Dla napowietrznej linii elektroenergetycznej, w której prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej jest bliska prędkości światła c = 300 000 km/s, przy przemysłowej częstotliwości f = 50Hz długość fali elektromagnetycznej jest równa λ = 6000km. Dla częstotliwości f = 1MHz długość fali elektromagnetycznej jest juŜ o pięć rzędów wielkości mniejsza i wynosi λ = 300m, a dla sygnału o częstotliwości f = 1GHz juŜ linia o długości l = 30cm musi być traktowana jako linia długa.

2007 K.M.Gawrylczyk

Kryteria podziału linii długich: Linię długą nazywamy linią długą jednorodną, jeŜeli wszystkie parametry linii są równomiernie rozłoŜone wzdłuŜ linii. W przypadku linii niejednorodnej parametry linii są funkcją współrzędnej połoŜenia x. Linię długą nazywamy linią długą linearną, jeŜeli parametry linii nie zaleŜą od wartości prądu ani napięcia w danym punkcie linii. Oznacza to, Ŝe linia taka składa się z elementów liniowych, więc zachodzi dla niej zasada superpozycji. Linię długą nazywamy linią długą symetryczną, jeŜeli parametry wszystkich przewodów linii są jednakowe. Linię długą nazywamy linią długą bezstratną, jeŜeli rezystancja przewodów linii R oraz konduktacja między przewodami G są równe 0. Linia bezstratna jest wyidealizowanym przypadkiem linii długiej, w którym nie uwzględnia się parametrów rozpraszających energię R i G, a jedynie parametry zachowawcze L i C. W rzeczywistości linie długie bez strat oczywiście nie istnieją, ale w wielu wypadkach moŜna przyjąć załoŜenie R = G = 0, które prowadzi do znacznych uproszczeń w obliczeniach. W dalszej części rozpatrywane będę linie długie jednorodne, linearne i symetryczne.

2007 K.M.Gawrylczyk

KaŜdą linię długą moŜna jako złoŜoną z pewnej liczby odcinków o długości ∆x. Rezystancja, pojemność oraz indukcyjność linii jednorodnej są proporcjonalne do długości linii. Dlatego jako parametry linii długiej podaje się rezystancję, pojemność oraz indukcyjność linii przypadające na jednostkę długości. Ponadto wprowadza się jeszcze jeden parametr jednostkowy charakteryzujący niedoskonałość izolacji między przewodami linii, między przewodem a ziemią lub między przewodem a uziemioną powłoką kabla - parametr ten nazywany jest konduktywnością upływu, bądź upływnością.

- rezystancja obu przewodów linii 0 mR Ω

- indukcyjność układu obu przewodów 0 Hm

L

- pojemność między przewodami 0 Fm

C

- konduktancja (upływność) między przewodami 0 Sm

G

Jednostkowy odcinek linii długiej ∆x

Parametry R0 oraz L0 są parametrami podłuŜnymi linii długiej, natomiast C0 i G0 - parametrami poprzecznymi. Parametry pierwotne linii długiej dzieli się takŜe na rozpraszające energię i zachowawcze. Do pierwszych zalicza się R0 i G0, natomiast do drugich - L0 i C0.

2007 K.M.Gawrylczyk

Parametry wtórne linii długiej nazywane takŜe parametrami falowymi, poniewaŜ decydują one o wartościach fal napięcia i prądu w linii długiej. Parametrami wtórnymi linii długiej są: stała tłumienia (tłumienność) α, stała fazowa (przesuwność jednostkowa) β oraz impedancja falowa Zc. Stałe tłumienia α oraz fazową β najczęściej rozpatruje się wspólnie, poniewaŜ stanowią one odpowiednio część rzeczywistą i urojoną tworzą stałej propagacji fali γ:

γ = α + j β Parametry wtórne linii wyraŜają się poprzez parametry pierwotne R0, L0, C0 i G0 oraz pulsację ω.

Impedancja falowa c jj

R LZG C

ω

ω

+=

+

Stała propagacji ( )( )j jR L G Cγ ω ω= + +

Stała tłumienia ( ) ( )2 2 2 2 2 2 212

RG LC R L G Cα ω ω ω = − + + +

Stała fazowa ( )( )2 2 2 2 2 2 212

LC RG R L G Cβ ω ω ω = − + + +

2007 K.M.Gawrylczyk

Parametry pierwotne linii dwuprzewodowej napowietrznej

Rezystancja jednostkowa 0 2000km

RSγ

Ω = ⋅

γ - konduktywność [S/m] S - przekrój poprzeczny przewodów [m2]

Indukcyjność jednostkowa 40 H9,2 10 log kmaLr

− = ⋅

a - odstęp między osiami przewodów [mm] r - promień przewodu [mm]

Pojemność jednostkowa 90 12,08 10 Fkmlog

C ar

−⋅ =

a - odstęp między osiami przewodów [mm] r - promień przewodu [mm]

Konduktancja jednostkowa 0 0 S11,3 kmG C = ⋅ C0 - pojemność jednostkowa linii [F/km]

2007 K.M.Gawrylczyk

Parametry pierwotne kabla koncentrycznego

Rezystancja jednostkowa 0 1 1 Ω0,0837 kmR f d D = ⋅ +

d - średnica Ŝyły [mm] D - średnica oplotu (przewodu zewnętzrnego) [mm] f - częstotliwość [Hz]

Indukcyjność jednostkowa 40 H4,6 10 log kmDLd

− = ⋅ ⋅

d - średnica Ŝyły [mm] D - średnica oplotu [mm]

Pojemność jednostkowa 90 24,16 10 Fkmlog

rC Dd

ε−⋅ ⋅ =

εr - wzgl. przenikalność dielektryczna izolacji kabla [1] d - średnica Ŝyły [mm] D - średnica oplotu [mm]

Konduktancja jednostkowa 0 0 Stg kmG Cω δ = ⋅ ⋅

ω - pulsacja [rad/s] C0 - pojemność jednostkowa kabla [F/km] tgδ - współczynnik strat dielektrycznych [1]

Wszystkie podane wzory naleŜy traktować jako przybliŜone. W wielu przypadkach są to wzory empiryczne i dlatego w literaturze spotkać moŜna róŜne wzory - czasami polega to tylko na niewielkich róŜnicach w wartościach współczynników, ale czasami wzory mają zupełnie inną postać.

2007 K.M.Gawrylczyk

Rozpatrzmy dwuprzewodową, jednorodną, symetryczną linię długą o długości l. Aby móc analizować zjawiska zachodzące w niej pod wpływem róŜnych wymuszeń i przy obciąŜeniu róŜnymi odbiornikami, potrzebne są równania określające związki między napięciem i prądem w dowolnym punkcie linii i w dowolnej chwili czasu.

Do zacisków wejściowych linii dołączone jest źródło napięcia e(t) o pewnej impedancji wewnętrznej Z1. Natomiast do zacisków wyjściowych dołączony jest odbiornik o impedancji Z2. Przeanalizujmy sekcję elementarną o długości ∆x wyciętą w miejscu odległym o x od początku linii. PoniewaŜ rozwaŜana linia jest jednorodna, to moŜna przyjąć, Ŝe stanowi ona łańcuchowe połączenie pewnej liczby identycznych sekcji elementarnych (odcinków jednostkowych) ∆x. Oznacza to, Ŝe bez względu na miejsce wycięcia rozpatrywanego odcinka ∆x rozwaŜania przebiegać będą identycznie.

2007 K.M.Gawrylczyk

W odległości x od początku linii wartości napięcia i prądu są równe odpowiednio u(x,t) i i(x,t), a w odległości x+∆x, czyli na końcu rozpatrywanej sekcji wynoszą one:

u(x+∆x,t) oraz i(x+∆x,t). Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa zapisać moŜna bilans napięć:

( ) ( )0 0 ( , ), ( , ) ,i x tu x t R x i x t L x u x x tt

∂= ⋅∆ ⋅ + ⋅∆ ⋅ + + ∆∂

,

a na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa - bilans prądów:

( ) ( )0 0 ( , )( , ) , ,u x x ti x t G x u x x t C x i x x tt

∂ + ∆= ⋅∆ ⋅ + ∆ + ⋅∆ + + ∆∂

.

Zmiana napięcia na sekcji elementarnej ∆x wynosi:

( ) ( ) ( )0 0 ( , ), , , i x tu x x t u x t R x i x t L xt

∂+ ∆ − = − ⋅∆ ⋅ − ⋅∆ ⋅∂

,

zaś zmiana prądu:

( ) ( ) 0 0 ( , ), , ( , ) u x x ti x x t i x t G x u x x t C xt

∂ + ∆+ ∆ − = − ⋅∆ ⋅ + ∆ − ⋅∆ ⋅∂

.

2007 K.M.Gawrylczyk

Równania dla zmiany napięcia oraz dla zmiany prądu na elementarnej sekcji dzielimy obustronnie przez ∆x i przechodzimy do granicy przy ∆x dąŜącym do 0, korzystając z warunku ciągłości funkcji oraz następujących zaleŜności:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0000lim , , ,lim , , ,

, , ,lim ,, , ,lim .

xxxxu x x t u x t

i x x t i x t

u x x t u x t u x tx x

i x x t u x t i x tx x

∆ →∆ →∆ →∆ →+ ∆ =

+ ∆ =

+ ∆ − ∂=∆ ∂

+ ∆ − ∂=∆ ∂

W rezultacie otrzymujemy układ dwóch równań róŜniczkowych cząstkowych dwóch zmiennych: czasu t i odległości od początku linii x:

( )( )

0 00 0, ( , )( , ) ,, ( , )( , ) .

u x t i x tR i x t Lx t

i x t u x tG u x t Cx t

∂ ∂= − ⋅ −∂ ∂

∂ ∂= − ⋅ −∂ ∂

Po zmianie znaków w powyŜszym układzie równań otrzymujemy równania linii długiej, nazywane teŜ równaniami telegrafistów:

( )( )

0 00 0, ( , )( , ) ,, ( , )( , ) .

u x t i x tR i x t Lx t

i x t u x tG u x t Cx t

∂ ∂− = ⋅ +∂ ∂

∂ ∂− = ⋅ +∂ ∂

2007 K.M.Gawrylczyk

Podobnie jak w przypadku wyprowadzenia równań telegrafistów rozpatrzymy dwuprzewodową, jednorodną, symetryczną linię długą o długości l. Do wejścia linii dołączone jest źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego e(t) o pewnej impedancji wewnętrznej Z1. Linia obciąŜona jest odbiornikiem o impedancji Z2.

Ze względu na liniowość obwodu w kaŜdym punkcie linii długiej przebiegi prądów i napięć będą sinusoidalnie zmienne. Jako U(x) i I(x) oznaczmy skuteczne zespolone wartości napięcia i prądu w odległości x od początku linii. Wtedy wartości chwilowe określone są zaleŜnościami:

jj( , ) Im 2 ( ) ,

( , ) Im 2 ( ) .

ttu x t U x e

i x t I x e

ωω = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Korzystamy z równań telegrafistów:

d ( ) ( ) j ( ),dd ( ) ( ) j ( ).d

U x R I x L I xx

I x G U x C U xx

ω

ω

− = ⋅ + ⋅

− = ⋅ + ⋅

2007 K.M.Gawrylczyk

Z pierwszego wzoru wyznaczamy I(x):

1 d ( )( ) j dU xI x

R L xω= − ⋅

+,

a otrzymane wyraŜenie podstawiamy do drugiego wzoru:

2 2d ( ) ( j ) ( j ) ( ) 0dU x R L G C U xx

ω ω− + ⋅ + ⋅ = .

Wprowadzamy do równania stałą propagacji fali γ:

( )( )j jR L G Cγ ω ω= + + . Wzór przyjmuje wtedy postać: 2 22d ( ) ( ) 0d

U x U xx

γ− ⋅ = .

PowyŜsze równanie róŜniczkowe posiada rozwiązanie następującej postaci: 1 2( ) x xU x A e A eγ γ−= ⋅ + ⋅ . Korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru na prąd I(x), uzyskujemy:

( )1 21( ) e ex xcI x A AZ

γ γ−= ⋅ ⋅ − ⋅ , gdzie: j

jC R LZG C

ω

ω

+=

+- impedancja falowa linii.

Stała propagacji fali γ jest liczbą zespoloną: γ = α + j β.

Wzór na u(x,t) moŜna więc zapisać w postaci:

j j j j1 2( , ) Im 2 e e e 2 e e ex x t x x tu x t A Aα β ω α β ω− − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Obliczając część urojoną mamy: 1 1 2 2( , ) 2 e sin( ) 2 e sin( )x xu x t A t x A t xα αω β Ψ ω β Ψ−= ⋅ ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ ⋅ + + , gdzie: Ψ1, Ψ2 - argumenty stałych A1, A2. Równanie to moŜna przekształcić do postaci: mb 1 mo 2( , ) e sin( ) e sin( ),

2 2 / .x xu x t U t x U t x

x T

α αω Ψ β ω Ψ ββ βλ ω β λ

−= ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ + +

= = = π ⇒ = π.

2007 K.M.Gawrylczyk

Pierwsza składowa tego wzoru przedstawia falę, której amplituda zmniejsza się ze wzrostem współrzędnej x, a opóźnienie fazowe rośnie. Fala ta przesuwa się w miarę upływu czasu t od źródła do odbiornika. Jest to fala bieŜąca (pierwotna).

Fala reprezentowana przez drugą składową wzoru przesuwa się w przeciwną stronę - od odbiornika do źródła. Jej amplituda rośnie wraz ze wzrostem x, a faza uzyskuje większe wyprzedzenie. Jest to fala odbita (powrotna).

2007 K.M.Gawrylczyk

Występujące we wzorach stałe A1, A2 wyznacza się z warunków granicznych (brzegowych), np. z napięcia i prądu na początku linii x = 0:

1 1 2c c 1 1 2(0)(0)

U U A AZ I Z I A A

= = +

⋅ = ⋅ = −

Stąd:

1 c 11 1 c 12 2

2

U Z IA

U Z IA

+ ⋅=

− ⋅=

i wzory na napięcie U(x) i prąd I(x) przyjmują postać: ( )( )

1 c 1 11 c 1 1c( ) e e2( ) e e2

x xx xU Z IU x n

U Z II x n

Z

γ γγ γ−−+ ⋅= ⋅ + ⋅

+ ⋅= ⋅ − ⋅

⋅

gdzie: 1 c1 1 cZ ZnZ Z

−=

+- wsp.odbicia fali na pocz. linii

JeŜeli wyjść z równań dla x mierzonego od końca linii, uzyskuje się analogiczne wzory, w których n2 oznacza współczynnik odbicia fali na końcu linii:

( )( )

2 c 1 22 c 1 2c2 c2 1 c( ) e e ,2( ) e e ,2

.

x xx xU Z IU x n

U Z II x n

ZZ ZnZ Z

γ γγ γ−−+ ⋅= ⋅ + ⋅

+ ⋅= ⋅ − ⋅

⋅

−=

+

W liniach przesyłających energię, tak na końcu jak i na początku linii, odbicia są niepoŜądane, poniewaŜ obniŜają one sprawność przesyłu - część energii, która dociera do końca linii nie przechodzi do odbiornika, ale wraca z powrotem do linii i jest tracona na rezystancji i konduktacji linii albo dociera do początku linii, powodując tu efekt echa. Te wielokrotne odbicia powodują niepotrzebne straty energii. Aby im zapobiec, naleŜy dopasować impedancję źródła Z1 oraz odbiornika Z2 do impedancji falowej linii Zc: 1 c 12 c 2 0,

0.Z Z nZ Z n

= ⇒ =

= ⇒ =

W linii długiej dopasowanej na wejściu i na wyjściu nie występują odbicia i rozprzestrzenia się w niej jedynie fala bieŜąca.

2007 K.M.Gawrylczyk

Korzystając z definicji funkcji hiperbolicznych ch x oraz sh x, wzory na napięcie U(x) oraz prąd I(x) moŜna przedstawić w postaci:

c21 c22c1 2cch sh

( )ch sh

ch sh( )

ch sh

Zx xZU x U Zl lZZx xZI x I Zl lZ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

+ ⋅

= ⋅+ ⋅

+ ⋅

= ⋅+ ⋅

Na ich podstawie moŜna wyprowadzić wzór na impedancję wejściową Z1 linii długiej: 2 c 21 c 2 c 2ch sh

sh chU l Z I l

Z ZU l Z I l

γ γγ γ

⋅ + ⋅= ⋅

⋅ + ⋅

2007 K.M.Gawrylczyk

W związku z przetwarzaniem impedancji rozróŜniamy dwa rodzaje czwórników: inwertery impedancji i konwertery impedancji. Dany czwórnik nazywamy inwerterem impedancji, jeŜeli iloczyn impedancji wejściowej Z1 i wyjściowej Z2 przedstawia wielkość stałą: 1 2 const.Z Z⋅ = Dany czwórnik nazywamy konwerterem impedancji, jeŜeli iloraz impedancji wejściowej Z1 przez wyjściową Z2 przedstawia wielkość stałą: 12 const.Z

Z=

Rozpatrzymy teraz bezstratną linię długą (R=G=0), traktując ją jako "czarną skrzynkę" z wyprowadzonymi dwoma parami zacisków. Będziemy badać jedynie wartości U1 i I1 na wejściu oraz U2 i I2 na wyjściu, nie analizując przebiegów w środku linii. WykaŜemy, Ŝe linia bezstratna zaleŜnie od długości l moŜe być traktowana jako inwerter, bądź konwerter impedancji. Impedancja wejściowa linii Z1 jest określona wzorem: 2 c 21 c 2 c 2ch sh

sh chU l Z I l

Z ZU l Z I l

γ γγ γ

⋅ + ⋅= ⋅

⋅ + ⋅

Z wyjątkiem stanu jałowego (I2=0) oraz stanu zwarcia (U2=0) moŜemy, korzystając z prawa Ohma w odniesieniu do odbiornika, za U2 podstawić Z2 I2. Wzór na impedancję wejściową Z1 upraszcza się wtedy do postaci: 2 c1 c 2 cth

thZ Z lZ ZZ l Z

γγ

+ ⋅= ⋅

⋅ +

2007 K.M.Gawrylczyk

Skoro linia jest bezstratna, to impedancja falowa jest wielkością rzeczywistą i wynosi:

0c 0LZC

=

a stała tłumienia jest równa zeru, α = 0. Stała propagacji jest wtedy wielkością czysto urojoną, więc korzystając z własności funkcji hiperbolicznych oraz trygonometrycznych, moŜna zapisać, Ŝe: j th jtgl lγ β γ β= ⇒ = Stosując powyŜsze podstawienie otrzymujemy wzór na impedancję wejściową Z1, który będzie podstawą do dalszych rozwaŜań na temat właściwości przetwarzających bezstratnej linii długiej: 2 c1 c 2 cj tg

tgZ Z lZ ZZ l Z

ββ

+ ⋅= ⋅

⋅ +

2007 K.M.Gawrylczyk

W przypadku linii półfalowej, czyli linii o długości l = λ/2, mamy: tg βl = tg π = 0

Na podstawie ogólnego wzoru wyprowadzonego podczas analizy linii bezstratnej otrzymujemy:

2 c1 c 1 22 cj 0j 0Z ZZ Z Z ZZ Z+ ⋅

= ⋅ ⇒ =⋅ +

.

Wzór ten moŜna zapisać w postaci:

12 1ZZ

=

i wynika wtedy z niego, Ŝe impedancja obciąŜenia Z2 podlega konwersji na samą siebie, czyli linia półfalowa działa jak idealny transformator o przekładni równej jedności. Impedancja wejściowa Z1 linii półfalowej obciąŜonej jest równa impedancji wyjściowej Z2, którą linia jest obciąŜona. W granicznym przypadku oznacza to, Ŝe impedancja wejściowa Z1 bezstratnej linii półfalowej zwartej na końcu jest równa 0. Z kolei impedancja wejściowa Z1 bezstratnej linii półfalowej rozwartej na końcu jest równa nieskończoności. Dodanie całkowitej wielokrotności połowy długości fali λ/2 do długości l linii półfalowej nie zmienia jej własności. Oznacza to, Ŝe linia o długości λ czy linia o długości 3/2 λ pracuje jak linia półfalowa. Analogiczna własność będzie zachodziła dla linii ćwierćfalowej oraz linii o długości λ/8.

2007 K.M.Gawrylczyk

W przypadku linii ćwierćfalowej, czyli linii, której długości l wynosi λ/4, zachodzi:

πtg tg2lβ = = ∞

Korzystając z ogólnego wzoru wyprowadzonego podczas analizy linii bezstratnej zmodyfikowanego nieco poprzez wprowadzenie granicy, co wynika z nieskończonych wartości pojawiających się w wyraŜeniu, otrzymujemy:

22 c c1 c 1tg 2 c 2j tglim j tgl Z Z l ZZ Z Z

Z l Z Zβ ββ→∞ + ⋅

= ⋅ ⇒ =⋅ +

Przekształcając powyŜszy wzór do postaci: 21 2 cZ Z Z⋅ = otrzymujemy wyraŜenie, z którego wynika, Ŝe impedancja obciąŜenia Z2 podlega inwersji przy stałej inwersji będącej liczbą rzeczywistą równą:

2 0c 0LZC

=

Linia ćwierćfalowa inwertuje więc cewkę o indukcyjności stałej L na kondensator o pojemności C' zaleŜnej od częstotliwości, kondensator o stałej pojemności C - na cewkę o indukcyjności L' zaleŜną od częstotliwości, a rezystor o stałej rezystancji R - na rezystor o stałej rezystancji R'.

2007 K.M.Gawrylczyk

Te własności linii ćwierćfalowej zestawione są poniŜej:

0000001const. ' var.

const. ' var.

1const. ' const.

LL CC LLC L CCLR RC R

ω

ω

= → = ⋅ =

= → = ⋅ =

= → = ⋅ =

NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe przy inwersji elementu reaktancyjnego istotną rolę odgrywa częstotliwość, natomiast przy inwersji elementu rezystancyjnego mała rezystancja zostaje zinwertowana w rezystancję o znacznej wartości i odwrotnie. Korzystając z własności linii ćwierćfalowej obciąŜonej odbiornikiem rezystancyjnym moŜna stwierdzić, Ŝe impedancja wejściowa Z1 bezstratnej linii ćwierćfalowej zwartej na końcu jest równa nieskończoności. Z kolei impedancja wejściowa Z1 bezstratnej linii ćwierćfalowej rozwartej na końcu jest równa 0. Przetwarzające własności linii ćwierćfalowej w stanie zwarcia i rozwarcia na końcu linii są więc odwrotne niŜ w przypadku linii półfalowej. Podobnie jak dla linii półfalowej dodanie całkowitej wielokrotności połowy długości fali λ/2 do długości l linii ćwierćfalowej nie zmienia jej własności. Oznacza to, Ŝe linia o długości 3/4 λ lub linia o długości 5/4 λ pracuje jak linia ćwierćfalowa.

2007 K.M.Gawrylczyk

Dla linii o długości l = λ/8 zachodzi:

πtg tg 14lβ = =

Korzystając z ogólnego wzoru wyprowadzonego podczas analizy linii bezstratnej otrzymujemy następujący wzór na impedancję wejściową Z1 linii o długości λ/8: 2 c 2 c1 c 1 c2 c 2 cj jjj j

Z Z Z ZZ Z Z ZZ Z Z Z+ +

= ⋅ ⇒ = ⋅+ − +

Rozpatrzmy po kolei linię o długości λ/8 obciąŜoną idealną cewką L, idealnym kondensatorem C oraz idealnym rezystorem R: 1. obciąŜenie idealną cewką L

c2 1 c cj j Z LZ L Z ZZ L

ωω

ω

+= ⇒ = ⋅

−

Przy obciąŜeniu idealną cewką L impedancja wejściowa Z1 rozpatrywanej linii ma zatem charakter indukcyjny przy ωL < Zc, pojemnościowy przy ωL > Zc, zaś w przy przypadku granicznym, ωL=Zc, zachodzi Z1= (na zaciskach wejściowych linii panuje stan jałowy). 2. obciąŜenie idealnym kondensatorem C

c c2 1 c c cc 111j j j1 1

Z C ZCZ Z Z ZC C ZZ

C

ωωω ω

ω

− − ⋅=− ⋅ ⇒ = ⋅ =− ⋅

+ ⋅+

Analogicznie jak w przypadku obciąŜenia cewką idealną L impedancja wejściowa Z1 linii obciąŜonej idealnym kondensatorem C ma charakter indukcyjny przy ωC Zc > 1, pojemnościowy przy ωC Zc < 1, natomiast w przypadku granicznym, ωC Zc = 1 zachodzi Z1=0 (na zaciskach wejściowych linii panuje stan zwarcia).

2007 K.M.Gawrylczyk

3. obciąŜenie idealnym rezystorem R

( )2 2c c2 1 c 2 2c2 jR Z R ZZ R Z Z

R Z⋅ − ⋅ −

= ⇒ = ⋅+

Impedancja wejściowa Z1 ma w tym przypadku charakter R-L przy R < Zc, charakter R-C przy R > Zc, a dla przypadku granicznego, R = Zc, mamy Z1 = R (zgodnie z zasadą, Ŝe kaŜda linii obciąŜona impedancją falową ma impedancję wejściową równą impedancji falowej. Na podstawie wzoru na impedancję wejściową Z1 linii o długości λ/8 obciąŜonej odbiornikiem rezystancyjnym moŜna stwierdzić, Ŝe impedancja wejściowa Z1 bezstratnej linii λ/8 zwartej na końcu ma charakter idealnej indukcyjności. Z kolei impedancja wejściowa Z1 bezstratnej linii λ/8 rozwartej na końcu ma charakter idealnej pojemności. Podobnie jak wcześniej dla linii pół- oraz ćwierćfalowej takŜe dla linii o długości λ/8 prawdziwa jest własność mówiąca, Ŝe dodanie całkowitej wielokrotności połowy długości fali λ/2 do długości l linii ćwierćfalowej nie zmienia jej własności. Oznacza to, ze linia o długości 5/8 λ lub linia o długości 9/8 λ pracuje jak linia o długości λ/8.

2007 K.M.Gawrylczyk

Często spotykanym w praktyce problemem jest konieczność dopasowania impedancji anteny do impedancji zastosowanego przewodu antenowego. JeŜeli antena o impedancji równej 300Ω zostałaby bezpośrednio połączona z przewodem o impedancji 75Ω (jest to jedna ze standardowych wartości impedancji przewodów antenowych), to sprawność transportu sygnału do odbiornika byłaby bardzo niska ze względu na występujące w przewodzie odbicia fali (analiza wymuszenia sinusoidalnego). Jednym ze sposobów dopasowania impedancji jest zastosowanie transformatora ćwierćfalowego. Jest to odcinek przewodu o długości równej 1/4 długości fali rozchodzącej się w przewodzie i odpowiednio dobranej impedancji falowej Zc. Z rozwaŜań na temat linii ćwierćfalowej wiemy, Ŝe jest ona inwerterem impedancji. Oznacza to, Ŝe dopasowuje ona do siebie dwie impedancje Z1 i Z2, gdy spełniają one równanie: 21 2 cZ Z Z⋅ = Aby dopasować więc 300-omową antenę do 75-omowego przewodu antenowego, naleŜy zastosować odcinek przewodu o długości λ/4 o impedancji falowej: c 300 75 150Z = ⋅ = Ω .

Transformator ćwierćfalowy Wadą opisanego rozwiązanie jest to, Ŝe zapewnia ono dopasowanie tylko dla jednej konkretnej długości fali λ. NaleŜy takŜe pamiętać o tym, Ŝe wszystkie rozwaŜania przeprowadzone dla linii ćwierćfalowej dotyczą wyidealizowanego przypadku linii bezstratnej.

2007 K.M.Gawrylczyk

Drugim stosowanym w przypadku anten sposobem dopasowania impedancji jest uŜycie pętli półfalowej. Jest ona przedstawiona na rysunku poniŜej:

Pętla półfalowa Linia półfalowa działa jak idealny transformator o przekładni równej 1. Oznacza to, Ŝe równa 150Ω impedancja lewej połowy anteny jest transformowana na samą siebie. W ten sposób na zaciskach przewodu antenowego widziane są dwie połączone równolegle impedancje o wartości 150Ω kaŜda - impedancja prawej połowy anteny, dołączonej bezpośrednio do przewodu antenowego, oraz stransformowana impedancja lewej połowy anteny.

Rezystancja zastępcza dwóch połączonych równolegle identycznych rezystorów jest równa połowie ich rezystancji, a więc na zaciskach przewodu antenowego widziana jest impedancja 75Ω. W ten sposób impedancja anteny i przewodu są dopasowane do siebie. Dopasowanie to zachodzi jednak tylko przy takiej częstotliwości, dla które zastosowana pętla ma długość równą połowie fali.

2007 K.M.Gawrylczyk

Linie długie znajdują zastosowanie takŜe w technice impulsowej. Prędkość rozchodzenia się fali wzdłuŜ linii długiej w powietrzu jest bliska prędkości światła. Linie takie nie znajdują zastosowania w praktyce ze względu na zbyt duŜe rozmiary linii potrzebne do uzyskania nawet niezbyt duŜych opóźnień impulsów. W technice impulsowej są stosowane tzw. sztuczne linie długie, które są wykorzystywane do opóźniania, kształtowania i selekcji impulsów. Linie te mają stosunkowo małe rozmiary. Pod względem budowy sztuczne linie długie dzieli się na linie jednorodne i linie łańcuchowe. Linie jednorodne są to linie długie, skrócone np. przez zwinięcie w spiralę jednego z przewodów. Za pomocą tych linii moŜna uzyskać opóźnienie krótkotrwałych impulsów prądu o setne części µs na 1cm długości linii. Zaletą linii jednorodnych jest moŜliwość uzyskania płynnej regulacji opóźnienia impulsów np. przez przesuwanie styku ślizgowego wzdłuŜ spiralnego uzwojenia linii. Linie łańcuchowe są to układy złoŜone z kaskadowo połączonych ogniw LC w sposób przedstawiony na rysunku:

KaŜde ogniwo jest filtrem dolnoprzepustowym, zbudowanym ze skupionych elementów L i C. Linie łańcuchowe dają opóźnienia od części do kilkudziesięciu mikrosekund, ale w praktyce nie stosuje się linii łańcuchowych do opóźnienia większego niŜ 10 - 20µs. Opóźnienie impulsu w linii łańcuchowej moŜna wytłumaczyć w następujący sposób. Linia łańcuchowa jest wieloogniwowym filtrem dolnoprzepustowym. Pasmo przepustowe rozciąga się od 0 do fg g L LL L ,

1 , : .2πf L CL C= − −⋅

gdzie indukcyjność linii pojemność linii

2007 K.M.Gawrylczyk

Doprowadzony do wejścia linii impuls prądu moŜna rozłoŜyć na szereg sinusoid, z których kaŜda w wyniku przejścia przez filtr zostaje przesunięta w fazie o pewien, mniejszy od zera kąt. Z tego właśnie przesunięcia fazowego wynika opóźniające działanie linii długiej. Trzeba jednak pamiętać o tym, Ŝe przesunięcia fazowe sinusoid o róŜnych częstotliwościach są róŜne. Dlatego impuls o szerokim widmie, (a do takich naleŜą impulsy prostokątne o stromych zboczach) po przejściu przez taką linię jest znacznie zniekształcony (zmniejsza się nachylenie zboczy, pojawiają się oscylacje przy wierzchołku). Pracę linii moŜna poprawić przez wzajemne sprzęŜenie cewek poszczególnych ogniw. Dzięki temu opóźnienie dla wszystkich częstotliwości pasma staje się bardziej wyrównane. Czas przejścia impulsu przez linię łańcuchową t moŜna obliczyć na podstawie wzoru:

obcobcobc, :

,0,1 [H] ,0,1 [F] ,

[s] ,.

i iit n LC

n

L t ZtCZ

t

Z

=

−

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

−

−

gdzieliczba ogniw

indukcyjność ogniwapojemność ogniwa

czas trwania impulsuimpedancja obciąŜenia

2007 K.M.Gawrylczyk

Dla częstotliwości powyŜej 3 GHz budowa linii symetrycznych lub współosiowych, w których nie powstałyby szkodliwe drgania, jest bardzo trudna. Dlatego w zakresie tym jako prowadnice energii fal elektromagnetycznych stosowane są wyłącznie falowody (linie falowodowe). Są one wykonane w postaci metalowych rur, których wnętrze jest wypełnione dielektrykiem, najczęściej powietrzem. Przekrój tych rur moŜe być prostokątny lub kołowy i dlatego falowody moŜna podzielić na falowody prostokątne i falowody kołowe (cylindryczne). Produkowane są równieŜ giętkie falowody o przekroju eliptycznym. W porównaniu z przewodami współosiowymi falowody mają szereg istotnych zalet. Falowód o tych samych rozmiarach co przewód współosiowy moŜe przenosić znacznie większą energię. Ponadto brak wsporników przewodu wewnętrznego w tubie upraszcza konstrukcję, zwiększa wytrzymałość napięciową linii i zmniejsza prawdopodobieństwo odbić. Przy częstotliwościach poniŜej 1,5 GHz falowody są stosowane rzadko, poniewaŜ mają znaczne rozmiary. Wynika to z tego, Ŝe rozchodzenie się energii wzdłuŜ falowodu jest moŜliwe tylko wtedy, gdy długość fali jest mniejsza od pewnej wartości granicznej, charakterystycznej dla konkretnego falowodu. Falowody zachowują się bowiem jak filtry górnoprzepustowe. Częstotliwość graniczna falowodów prostokątnych zaleŜy od długości większego boku prostokąta, a falowodów cylindrycznych - od średnicy wewnętrznej cylindra. Dla falowodu prostokątnego o wymiarach a x b (b > a) graniczna długość fali jest równa λ = 2b. Oznacza to, Ŝe falowód przepuszcza tylko fale krótsze od długości fali granicznej, czyli fale o częstotliwości większej od pewnej częstotliwości granicznej. Z kolei graniczna długość fali falowodu cylindrycznego o średnicy wewnętrznej r powinna być mniejsza od 4πr, czyli podwójnej długości obwodu cylindra. Na przykład falowód kołowy o obwodzie d = 10 cm ma częstotliwość graniczną rzędu 1,5 GHz, a falowód o obwodzie d = 5cm ma częstotliwość graniczną 3 GHz. Oprócz wspomnianego juŜ wykorzystania falowodów jako linii przesyłowych energii znajdują one zastosowanie takŜe jako obwody rezonansowe (rezonatory wnękowe), indukcyjności, pojemności, filtry, transformatory, itp. Źródło energii elektrycznej lub odbiornik sprzęga się z falowodem za pomocą specjalnej sondy, stanowiącej np. wewnętrzny przewód linii współosiowej, umieszczony w strzałce pola elektrycznego lub pętli sprzęgającej, umieszczonej w strzałce pola magnetycznego. Z kolei odcinki falowodów dopasowuje się wzajemnie za pomocą transformatorów ćwierćfalowych (podobnie jak w liniach długich), specjalnych śrub stroikowych, strojników, itp. Bardzo ciekawa jest analiza zjawiska fizycznych zachodzących w falowodach, poniewaŜ są one zupełnie inne niŜ w dotychczas rozwaŜanych liniach przesyłowych, w których przewody były drogami przepływu prądu elektrycznego. Przy falowodach pojęcia prądu i napięcia tracą swój dotychczasowy sens.