Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki

Katedra K8

Prof. dr hab. inz. Krystyn Styczen

http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/

Wprowadzenie do teorii sterowania.Procesy o parametrach skupionych

Literatura podstawowa

• T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005.

• T. Kaczorek, Teoria sterowania, PWN Warszawa t.1,1977, t.2,1981.

• T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemow, PWN, Warszawa 1996.

• H. Gorecki, Optymalizacja systemow dynamicznych, PWN, Warszawa

1993.

• W. Pe lczewski, Teoria sterowania, WNT, Warszawa 1980.

• A. Wierzbicki, Modele i wrazliwosc uk ladow sterowania, WNT, Warszawa

1977.

• J.M. Douglas, Dynamika i sterowanie procesow, WNT, Warszawa 1976.

• J. Pu laczewski, K. Szacka, A. Manitius, Zasady automatyki, WNT, War-

szawa 1974.

• K. Ogata, Metody przestrzeni stanow w teorii sterowania, WNT, War-

szawa, 1974.

• B.P. Demidowicz, Matematyczna teoria stabilnosci, WNT, 1972.

Literatura uzupe lniajaca

• J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania,PWN, Warszawa 1991.

• R. Vinter, Optimal Control, Birkhauser, Boston 2000.

• J.T. Betts, Practical methods for optimal control and estimation using

nonlinear programming, SIAM, Philadelphia, 2010.

• L.T. Biegler, Nonlinear Programming. Concepts, Algorithms, and Ap-

plications to Chemical Processes, SIAM, Philadelphia, 2010.

1

Sterowanie jest to celowe oddzia lywanie cz lowieka lub skonstruowanych

przez niego urzadzen na obiekt sterowania (natury technicznej, biologicznej,

ekonomicznej) zapewniajace przebiegi procesow w obiekcie zgodne z przebie-

gami pozadanymi tj. zgodne z zadaniem sterowania.

Sterowanie jest realizowane za pomoca urzadzenia sterujacego. Zespo l

urzadzenia sterujacego i obiektu sterowania nazywa sie uk ladem sterowania

lub systemem sterowania.

Wyroznia sie dwie podstawowe struktury uk ladow sterowania:

• otwarty uk lad sterowania, w ktorym urzadzenie sterujace nie korzysta

z informacji o aktualnym przebiegu procesow w obiekcie

sterowanie-

Urzadzenie sterujace Obiekt sterowania

US OSwyjscie

-

• zamkniety uk lad sterowania, w ktorym urzadzenie sterujace korzy-

sta z informacji o aktualnym przebiegu procesow w obiekcie - w uk ladzie tym

wprowadzane jest wiec sprzezenie zwrotne od obiektu do urzadzenia ste-

rujacego.

sterowanie-

Urzadzenie sterujace Obiekt sterowania

US OSwyjscie

--

W otwartym uk ladzie sterowania zak ladana jest dok ladna aprioryczna zna-

jomosc modelu obiektu. Na tej podstawie okreslany jest algorytm sterowa-

nia - nie uwzglednia on jednak biezacych zmian w obiekcie i moze byc ma lo

dok ladny.

2

W zamknietym uk ladzie sterowania wyjscie obiektu jest mierzone i porowny-

wane z jego pozadanym przebiegiem. Na tej podstawie okreslana jest korekta

sterowania wprowadzana za pomoca petli sprzezenia zwrotnego. Korekta ta

uwzglednia biezace zmiany w obiekcie wynikajace np. z fluktuacji jego para-

metrow.

Dla szeregu uk ladow pozadane przebiegi zmiennych procesowych okreslane

sa w rezultacie rozwiazania zadania sterowania optymalnego tj. optyma-

lizacji wskaznika jakosci procesu (czas realizacji procesu, produkcja sk ladnika

uzytecznego, straty energetyczne, zuzycie surowca) z uwzglednieniem rownan

procesu i jego ograniczen (ograniczenia dostepnosci surowcow i energii, ogra-

niczenia zakresu dopuszczalnych wartosci zmiennych procesowych). W za-

mknietych uk ladach sterowania optymalnego dokonywana jest korekta sterowa-

nia optymalnego uwzgledniajaca odchylenie rzeczywistych przebiegow zmien-

nych procesowych od ich przebiegow optymalnych.

korektasterowaniaoptymalnego

x --

Optymalnyregulator stanu

Obiekt sterowania

czestefluktuacje parametru

x(t)-

-

Uk lad sterowania optymalnego

sterowanie optymalne

?+

+

W uk ladach sterowania badane sa przebiegi wielkosci charakteryzujacych

obiekt sterowania i urzadzenie sterujace. Przebiegi te traktowane sa jako

funkcje czasu ciag lego t ∈ [t0,+∞) lub jako funkcje czasu dyskretnego k =

k0, k0 + 1, k0 + 2, ....

3

Model matematyczny obiektu (uk ladu) obejmuje wielkosci zwiazane z

obiektem (uk ladem) i zaleznosci miedzy nimi.

Z obiektami sterowania o czasie ciag lym zwiazane sa nastepujace cha-

rakterystyczne wielkosci bedace funkcjami czasu ciag lego:

Obiekt sterowania

sterowanie u(t)-

zak locenie ξ(t)-

stan obiektu x(t) wyjscie y(t)-

• sterowanie obiektu jest to wektor wielkosci, za pomoca ktorych urzadzenie

sterujace oddzia luje na obiekt

u(t) =

u1(t)

u2(t)

...

um(t)

,

• wyjscie obiektu jest to wektor wielkosci mierzonych w obiekcie lub

wektor wielkosci, za pomoca ktorych obiekt oddzia luje na inne uk lady

y(t) =

y1(t)

y2(t)

...

yp(t)

,

• zak locenie obiektu jest to wektor wielkosci niekontrolowanych, za po-

moca ktorych otoczenie oddzia luje na obiekt sterowania (zak locenia moga byc

deterministyczne lub losowe)

ξ(t) =

ξ1(t)

ξ2(t)

...

ξq(t)

,

4

• stan obiektu jest to najmniejszy liczebnie zespo l wielkosci, znajomosc

ktorego w danej chwili czasu t wraz ze znajomoscia wymuszen u(t) i ξ(t)

poczawszy od chwili t pozwala jednoznacznie okreslic zachowanie sie obiektu

w przysz losci tj. przebiegi x(t) i y(t); stan obiektu charakteryzuje wnetrze

obiektu i reprezentuje jego pamiec, w ktorej gromadzone sa skutki przesz lych

oddzia lywan na obiekt; wielkosci xi(t) nazywane sa wspo lrzednymi stanu lub

zmiennymi stanu.

Stan obiektu jest na ogo l wielkoscia wektorowa i w zwiazku z tym jest

nazywany wektorem stanu obiektu

x(t) =

x1(t)

x2(t)

...

xn(t)

,

Przestrzen n-wymiarowa o wspo lrzednych

x1, x2, ..., xn

jest zwana przestrzenia stanu. Krzywa, wzd luz ktorej przebiega wektor stanu

w przestrzeni stanu, jest zwana trajektoria stanu obiektu sterowania. Stan

obiektu jest w wielu przypadkach okreslany przez liczbe niezaleznych zasob-

nikow energii w obiekcie.

Zaleznosci miedzy wielkosciami charakteryzujacymi uk lad sterowania o cza-

sie ciag lym obejmuja

• rownanie stanu obiektu, ktore okresla jego ewolucje w czasie przyj-

mujac postac rownania rozniczkowego (liniowego lub nieliniowego)

x(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), x(t0) = x0, t ∈ [t0, t1],

f : Rn ×Rm ×Rq ×R→ Rn,

5

• rownanie wyjscia obiektu, ktore wiaze wielkosci mierzone ze sta-

nem obiektu i wymuszeniami zewnetrznymi przyjmujac postac dynamicznego

rownania algebraicznego

y(t) = g(x(t), u(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, t1],

g : Rn ×Rm ×Rq ×R→ Rp,

• rownanie urzadzenia sterujacego, ktore wiaze sterowanie obiektu z

jego wyjsciem przyjmujac postac dynamicznego rownania algebraicznego

u(t) = k(y(t), ξ(t), t), t ∈ [t0, t1], k : Rp ×R→ Rm.

k : Rp ×R→ Rm.

Charakterystyczne klasy uk ladow sterowania z czasem ciag lym.

Liniowe stacjonarne uk lady sterowania:

• rownanie stanu obiektu ma postac liniowego stacjonarnego rownania

rozniczkowego

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(t0) = x0, t ∈ [t0, t1],

gdzie A ∈ Rn×n jest macierza stanu, a B ∈ Rn×m jest macierza sterowa-

nia,

• rownanie wyjscia obiektu ma postac liniowego stacjonarnego rownania

algebraicznego

y(t) = Cx(t), t ∈ [t0, t1],

gdzie C ∈ Rp×n jest macierza wyjscia,

• rownanie urzadzenia sterujacego ma postac liniowego stacjonarnego rownania

algebraicznego

u(t) = Ky(t) + ξ(t), t ∈ [t0, t1],

gdzie K ∈ Rm×p jest macierza sprzezenia zwrotnego, zas ξ(t) moze repre-

zentowac zak locenie nak ladajace sie na petle sprzezenia zwrotnego.

6

Liniowe niestacjonarne uk lady sterowania:

• rownanie stanu obiektu ma postac liniowego niestacjonarnego rownania

rozniczkowego

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), x(t0) = x0, t ∈ [t0, t1],

gdzie A(t) ∈ Rn×n jest niestacjonarna macierza stanu, a B(t) ∈ Rn×m jest

niestacjonarna macierza sterowania

• rownanie wyjscia obiektu ma postac liniowego niestacjonarnego rownania

algebraicznego

y(t) = C(t)x(t), t ∈ [t0, t1],

gdzie C(t) ∈ Rp×n jest niestacjonarna macierza wyjscia,

• rownanie urzadzenia sterujacego ma postac liniowego niestacjonarnego

rownania algebraicznego

u(t) = K(t)y(t) + ξ(t), t ∈ [t0, t1],

gdzie K(t) ∈ Rm×p jest niestacjonarna macierza sprzezenia zwrotnego.

Uk lady sterowania z opoznieniami

Opoznione oddzia lywania stanu i sterowania na dynamike obiektu pro-

wadza do rownan stanu i rownan wyjscia z odchylonym argumentem

x(t) = f(x(t), x(t− h1), u(t), u(t− h2), ξ(t), t),

y(t) = g(x(t), x(t− h1), ξ(t), t),

gdzie h1 jest opoznieniem stanu, a h2 jest opoznieniem sterowania. Dla linio-

wego stacjonarnego przypadku rownania te przyjmuja postac

x(t) = Ax(t) + Ax(t− h1) +Bu(t) + Bu(t− h2),

y(t) = Cx(t) + Cx(t− h1).

7

Uk lady sterowania z dynamika

czasowo-przestrzenna

Sterowanie procesem wymiany ciep la

w rurowym wymienniku ciep la

T1(t, z)

T2(t, z)

e0 1I

I

z

Wspo lbiezny proces wymiany ciep la realizowany jest np. w wymienniku

ciep la typu ”rura w rurze”. Temperatura T1(t, z) zimnego strumienia ciep la

jak i temperatura T2(t, z) ciep lego strumienia ciep la jest funkcja wspo lrzednej

czasowej t i wspo lrzednej przestrzennej z. Opis matematyczny obiektow tego

rodzaju prowadzi do rownan dynamiki czasowo-przestrzennej

∂x(t, z)

∂t= f(x(t, z), ∂x(t, z)/∂z, u(t, z), t, z),

y(t, z) = g(x(t, z), u(t, z), t, z), (t, z) ∈ [t0, t1]× [0, 1],

gdzie stan uk ladu x(t, z) jest funkcja czasu t i zmiennej przestrzennej z (lub

zmiennych przestrzennych z1, z2, z3), a rownania stanu maja postac rownan

rozniczkowych o pochodnych czastkowych.

W charakterze waznych przypadkow szczegolnych procesow sterowania o

parametrach roz lozonych mozna wymienic procesy z przep lywem t lokowym

opisywane rownaniami o pochodnych czastkowych pierwszego rzedu

∂x(t, z)

∂t= −q(t)∂x(t, z)

∂z+ f(x(t, z), u(t, z), t, z),

z predkoscia przep lywu q(t) oraz procesy z przep lywem t lokowo-dyfuzyjnym

opisywane rownaniami o pochodnych czastkowych pierwszego i drugiego rzedu

∂x(t, z)

∂t= −q(t)∂x(t, z)

∂z+ α

∂2x(t, z)

∂z2

+f(x(t, z), u(t, z), t, z),

8

ze wspo lczynnikiem dyfuzji α. Stosowany jest tez uproszczony zapis pochod-

nych czastkowych dla procesow t lokowych

xt(t, z) = −q(t)xz(t, z) + f(x(t, z), u(t, z), t, z),

oraz dla procesow t lokowo-dyfuzyjnych

xt(t, z) = −q(t)xz(t, z) + αxzz(t, z)

+f(x(t, z), u(t, z), t, z).

9

Z obiektami sterowania o czasie dyskretnym k = k0, k0 + 1, k0 + 2, ...

zwiazane sa nastepujace charakterystyczne wielkosci bedace funkcjami czasu

dyskretnego:

Obiekt sterowania

sterowanie u(k)-

zak locenie ξ(k)-

stan obiektu x(k) wyjscie y(k)-

• sterowanie obiektu z czasem dyskretnym jest to wektor wielkosci

zmienianych w chwilach czasu dyskretnego, za pomoca ktorych urzadzenie

sterujace oddzia luje na obiekt

u(k) =

u1(k)

u2(k)

...

um(k)

,

• wyjscie obiektu z czasem dyskretnym jest to wektor wielkosci mie-

rzonych w obiekcie w chwilach czasu dyskretnego

y(k) =

y1(k)

y2(k)

...

yp(k)

,

• zak locenie obiektu z czasem dyskretnym jest to wektor wielkosci

niekontrolowanych, za pomoca ktorych otoczenie oddzia luje na obiekt stero-

wania w chwilach czasu dyskretnego

ξ(k) =

ξ1(k)

ξ2(k)

...

ξq(k)

,

10

• stan obiektu z czasem dyskretnym jest to najmniejszy liczebnie

zespo l wielkosci, znajomosc ktorego w danej chwili czasu dyskretnego k wraz

ze znajomoscia wymuszen u(k) i ξ(k) poczawszy od chwili k pozwala jedno-

znacznie okreslic zachowanie sie obiektu z czasem dyskretnym w przysz losci tj.

okreslic przebiegi x(k) i y(k)

x(k) =

x1(k)

x2(k)

...

xn(k)

,

Zaleznosci miedzy wielkosciami charakteryzujacymi uk lad sterowania o cza-

sie dyskretnym obejmuja

• rownanie stanu obiektu w postaci rownania roznicowego (liniowego

lub nieliniowego)

x(k + 1) = f(x(k), u(k), ξ(k), k), x(k0) = x0,

k = k0, k0 + 1, ..., k1,

f : Rn ×Rm ×Rq ×R→ Rn,

• rownanie wyjscia obiektu w postaci dyskretnego rownania algebra-

icznego

y(k) = g(x(k), u(k), ξ(k), k), k = k0, k0 + 1, ..., k1,

g : Rn ×Rm ×Rq ×R→ Rp,

• rownanie urzadzenia sterujacego w postaci dyskretnego rownania

algebraicznego

u(k) = k(y(k), ξ(k), k), k = k0, k0 + 1, ..., k1,

k : Rp ×R→ Rm.

11

Charakterystyczne klasy uk ladow sterowania z czasem dyskretnym.

Liniowe dyskretne stacjonarne uk lady sterowania:

• rownanie stanu obiektu w postaci liniowego stacjonarnego rownania roznicowego

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), x(k0) = x0,

k = k0, k0 + 1, ...k1,

A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m,

• rownanie wyjscia obiektu w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego

rownania algebraicznego

y(k) = Cx(k), k = k0, k0 + 1, ..., k1,

C ∈ Rp×n,

• rownanie urzadzenia sterujacego w postaci liniowego stacjonarnego dys-

kretnego rownania funkcyjnego

u(k) = Ky(k) + ξ(k), k = k0, k0 + 1, ..., k1,

K ∈ Rm×p,

gdzie A - macierz stanu uk ladu dyskretnego, B - macierz sterowania uk ladu

dyskretnego, C - macierz wyjscia uk ladu dyskretnego, K - macierz sprzezenia

zwrotnego uk ladu dyskretnego.

Liniowe dyskretne niestacjonarne uk lady sterowania:

• rownanie stanu obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego rownania

roznicowego

x(k + 1) = A(k)x(k) +B(k)u(k), x(k0) = x0,

k = k0, k0 + 1, ..., k1,

A(k) ∈ Rn×n, B(k) ∈ Rn×m,

12

• rownanie wyjscia obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego dyskret-

nego rownania funkcyjnego

y(k) = C(k)x(k), k = k0, k0 + 1, ..., k1,

C(k) ∈ Rp×n,

• rownanie urzadzenia sterujacego w postaci liniowego niestacjonarnego dys-

kretnego rownania funkcyjnego

u(k) = K(k)y(k) + ξ(k), k = k0, k0 + 1, ..., k1,

K(k) ∈ Rm×p,

gdzie A(k) - niestacjonarna macierz stanu uk ladu dyskretnego, B(k) - niesta-

cjonarna macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C(k) - niestacjonarna ma-

cierz wyjscia uk ladu dyskretnego, K(k) - niestacjonarna macierz sprzezenia

zwrotnego uk ladu dyskretnego.

Podstawowe zadania sterowania zwiazane z realizacja pozadanych pro-

cesow w uk ladach sterowania obejmuja:

• zadanie sterowania statycznego - zadanie polega na wyborze sta lego

w czasie oddzia lywania na obiekt zapewniajacego sta ly w czasie przebieg stanu

obiektu. Poszukujemy takiego statycznego procesu sterowania, ktory ma duzy

zapas stabilnosci i/lub ma la wrazliwosc na zmiany parametrow. Zadanie to

odnosi sie do autonomicznych obiektow sterowania funkcjonujacych na d lugim

horyzoncie czasowym przy braku zak locen,

• zadanie optymalnego sterowania statycznego - zadanie polega na

wyborze takiego optymalnego statycznego procesu sterowania, ktory zapewnia

optymalna wartosc wskaznika jakosci procesu (maksymalny poziom produkcji

substancji uzytecznej, minimalne zuzycie substancji surowcowych niezbednych

do prowadzenia procesu produkcyjnego, maksymalna selektywnosc procesu tj.

wzgledny poziom substancji uzytecznej w odniesieniu do poziomu szkodliwej

substancji ubocznej),

• zadanie sterowania docelowego - zadanie polega na przeprowadzeniu

obiektu z zadanego stanu poczatkowego do zadanego stanu koncowego lub

13

do zadanego zbioru stanow koncowych; poszukujemy takiego dynamicznego

procesu sterowania, ktory ma duzy zapas stabilnosci i/lub ma la wrazliwosc na

zmiany parametrow,

• zadanie optymalnego sterowania docelowego - zadanie polega na

tym, aby sposrod wszystkich trajektorii stanu przeprowadzajacych obiekt z za-

danego stanu poczatkowego do zadanego stanu koncowego wybrac trajektorie

optymalna, dla ktorej minimalizowany jest wskaznik jakosci procesu np.

czas realizacji procesu (zadanie sterowania minimalnoczasowego) lub straty

energetyczne na sterowanie (zadanie sterowania minimalnoenergetycznego),

• zadanie sterowania okresowego - zadanie polega na zastosowaniu

okresowych oddzia lywan sterujacych na obiekt, ktore zapewniaja pozadane

usrednione charakterystyki procesow zachodzacych w obiekcie np. kompensuja

okresowe zak locenia oddzia lujace na obiekt,

• zadanie optymalnego sterowania okresowego - zadanie polega na

tym, aby sposrod wszystkich okresowych oddzia lywan sterujacych wybrac ta-

kie, ktore zapewni optymalny usredniony wskaznik jakosci procesu np. jego

maksymalna srednia wydajnosc,

• zadanie optymalnego sterowania stochastycznego- zadanie polega

na tym, aby zminimalizowac wartosc oczekiwana wskaznika jakosci dla uk ladu

sterowania, na ktory oddzia luja zak locenia przypadkowe,

• zadanie sterowania adaptacyjnego - zadanie polega na modyfikacji

sterowania uwzgledniajacej zmiany parametrow uk ladu,

14

• zadanie regulacji stanu - zadanie polega na tym, aby na podstawie

pomiaru wyjscia obiektu okreslic taka korekte sterowania, ktora zniweluje od-

chylenie aktualnej trajektorii stanu od jej nominalnego przebiegu; zadanie to

realizowane jest wiec w uk ladzie ze sprzezeniem zwrotnym,

• zadanie optymalnej regulacji stanu - zadanie polega na wyborze

optymalnego sterowania korygujacego przebieg trajektorii stanu, ktore np. mi-

nimalizuje straty energetyczne na sterowanie korygujace.

Podstawowe zagadnienia zwiazane z realizacja zadan sterowania to:

• badanie stabilnosci uk ladow sterowania tj. badanie wrazliwosci no-

minalnej trajektorii stanu na zaburzenia stanu poczatkowego; zaburzona tra-

jektoria stanu uk ladu niestabilnego moze oddalac sie od trajektorii pozadanej

powodujac awarie uk ladu (uszkodzenie mechaniczne wskutek nadmiernego na-

prezenia wa lu silnika, pozar instalacji wskutek nadmiernie narastajacej tempe-

ratury uk ladu, wybuch nadmiernie sprezonego sk ladnika chemicznego procesu

produkcyjnego),

• badanie wrazliwosci parametrycznej uk ladow sterowania tj. badanie

wrazliwosci nominalnej trajektorii stanu na zaburzenia parametrow uk ladu,

• badanie sterowalnosci uk ladow sterowania tj. badanie istnienia stero-

wania docelowego przeprowadzajacego obiekt z zadanego stanu poczatkowego

do zadanego stanu koncowego; w zwiazku z tym okreslane sa warunki ca lkowitej

lub czesciowej sterowalnosci uk ladu,

• badanie obserwowalnosci uk ladow sterowania tj. okreslanie warunkow,

przy ktorych na podstawie znajomosci sterowania i wyjscia uk ladu mozna

jednoznacznie okreslic stan uk ladu; w zwiazku z tym okreslane sa warunki

ca lkowitej lub czesciowej obserwowalnosci uk ladu,

• synteza uk ladow sterowania o zadanych w lasnosciach dynamicz-

nych np. synteza uk ladu o zadanych wartosciach w lasnych macierzy stanu,

dla ktorych uk lad sterowania ma duzy zapas stabilnosci i ma la oscylacyjnosc,

15

• synteza wejsciowo-wyjsciowych uk ladow sterowania o zadanych

zerach i biegunach transmitancji operatorowej zapewniajacych zarowno duza

dok ladnosc jak i stabilnosc uk ladu sterowania,

• synteza obserwatorow stanu uk ladow sterowania zapewniajacych

dok ladne lub przyblizone odtwarzanie stanu uk ladu,

• badanie algorytmow sterowania optymalnego tj. okreslanie wa-

runkow ich zbieznosci i szybkosci ich zbieznosci.

Metody teorii sterowania stosowane sa do projektowania i optymalizacji

uk ladow mechanicznych, elektromechanicznych, chemicznych procesow pro-

dukcyjnych, procesow biotechnologicznych i wielu innych.

16

Przyk lad: Uk lad sterowania tarcza obrotowa

tarcza obrotowa@@I

θ(t),Ω(t)

6

-

6

U(t)

i(t)

silnik rewersyjny przek ladnia

Wielkosci fizyczne zwiazane z uk ladem:

• θ(t) - po lozenie katowe tarczy w chwili t,

• Ω(t) - predkosc katowa tarczy w chwili t,

• i(t) - natezenie pradu obwodu sterujacego silnika w chwili t,

• U(t) - napiecie obwodu sterujacego silnika w chwili t,

Z tarcza zwiazane sa przetworniki w postaci uk ladu mostkowego przetwa-

rzajacego jej po lozenie katowe na napiecie U1(t) oraz pradnicy tachometrycznej

przetwarzajacej jej predkosc katowa na napiecie U2(t).

Zaleznosci miedzy wielkosciami fizycznymi uk ladu: pochodna po lozenia

katowego tarczy okresla jej predkosc katowa

θ(t) = Ω(t), θ(t0) = θ0, t ∈ [t0, t1],

pochodna predkosci katowej tarczy (przyspieszenie tarczy) jest proporcjonalna

do natezenia pradu obwodu sterujacego silnika ze wspo lczynnikiem proporcjo-

nalnosci b

Ω(t) = b i(t), Ω(t0) = Ω0, t ∈ [t0, t1],

napiecia wyjsciowe przetwornikow sa proporcjonalne do mierzonych wielkosci

U1(t) = c1 θ(t), U2(t) = c2 Ω(t), t ∈ [t0, t1],

gdzie c1 i c2 sa wspo lczynnikami proporcjonalnosci przetwornikow.

Jesli stosujemy sprzezenie zwrotne to wielkoscia sterujaca staje sie napiecie

obwodu sterujacego silnika U(t) powiazane np. liniowo z napieciami wyjsciowymi

przetwornikow

U(t) = −k1 U1(t)− k2 U2(t), t ∈ [t0, t1],

17

gdzie k1 i k2 sa wspo lczynnikami ujemnego sprzezenia zwrotnego.

Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania:

x1(t).= θ(t), x2(t)

.= Ω(t) - zmienne stanu uk ladu,

u(t).= i(t) - zmienna sterujaca uk ladu,

y1(t).= U1(t), y2(t)

.= U2(t) - zmienne wyjsciowe uk ladu.

Zapisujemy rownania stanu uk ladu

x1(t) = x2(t), t ∈ [t0, t1], x1(t0) = x10,

x2(t) = b u(t), t ∈ [t0, t1], x2(t0) = x20

rownania wyjscia uk ladu,

y1(t) = c1x1(t), y2(t) = c2x2(t), t ∈ [t0, t1],

oraz rownanie sprzezenia zwrotnego

u(t) = k1y1(t) + k2y2(t), t ∈ [t0, t1].

Celem sterowania moze byc minimalizacja strat energetycznych na sterowa-

nie lub minimalizacja czasu realizacji zadania sterowania. Wskazniki jakosci

procesu sterowania docelowego tarcza obrotowa tj. procesu przestawiania tar-

czy z zadanego po lozenia poczatkowego do zadanego po lozenia koncowego

moga wiec przybierac postac:

dla sterowania minimalnoenergetycznego

Q =

∫ t1

t0

u2(t)dt,

a dla sterowania minimalnoczasowego

Q =

∫ t1

t0

dt = t1 − t0.

Jesli stosujemy sprzezenie zwrotne to sterowanie minimalnoenergetyczne mozna

zrealizowac w uk ladzie z liniowym sprzezeniem zwrotnym, zas sterowanie mi-

18

nimalnoczasowe - w uk ladzie z nieliniowym sprzezeniem zwrotnym.

Przyk lad: Sterowanie statyczne chemicznym procesem produkcyjnym

Proces syntezy A+B → C-

-

-

Do zbiornikowego reaktora chemicznego wprowadzane sa substancje su-

rowcowe A i B. W reaktorze zachodzi proces syntezy A+B → C, gdzie C jest

produktem uzytecznym. Niech cA0 i cB0 oznaczaja stezenia substancji A i B

na wejsciu reaktora, zas cA i cB - stezenia tych substancji w reaktorze.

Statyczne rownania stanu procesu wynikajace z bilansu masy dla sk ladnikow

A i B przybieraja postac

q1cA0 − qcA − κcp1A c

p2B = 0,

q2cB0 − qcB − κcp1A c

p2B = 0,

gdzie q1 jest natezeniem dop lywu substancji A do reaktora, q2 jest natezeniem

dop lywu substancji B do reaktora, q = q1 + q2 jest natezeniem wyp lywu mie-

szaniny reagujacej z reaktora, κ jest wspo lczynnikiem szybkosci reakcji, a p1 i

p2 sa wspo lczynnikami okreslajacymi rzad reakcji syntezy.

Suma stezen sk ladnikow reakcji jest sta la: cA + cB + cC = 1. Na podstawie

tego rownania mozna wyeliminowac zmienna cC = 1− cA − cB.

Zmienne sterujace - stezenia substancji A i B na wejsciu reaktora u1 =

cA0 i u2 = cB0 .

Zmienne stanu - stezenia substancji A i B w reaktorze x1 = cA i x2 = cB.

Zmienna wyjsciowa - stezenie produktu uzytecznego w strumieniu wyjsciowym

y = 1− cA − cB.

19

Statyczne rownania stanu obiektu:

q1u1 − qx1 − κxp11 xp22 = 0,

q2u2 − qx2 − κxp11 xp22 = 0,

Statyczne rownanie wyjscia:

y = 1− x1 − x2.

Przedstawiony model opisuje proces sterowania przebiegajacy w sta lej tem-

peraturze tj. proces izotermiczny. Jesli reaktor wyposazyc w obwod grzejny

wymuszajacy temperature T w reaktorze, to wspo lczynnik szybkosci szybkosci

reakcji staje sie funkcja temperatury zgodnie z prawem Arrheniusa

κ(T ).= κ0e

−β/T ,

gdzie κ0 i β sa dodatnimi parametrami. Zmieniajac natezenie dop lywu czyn-

nika grzejnego mozemy wp lywac na temperature procesu i traktowac ja jako

dodatkowe sterowanie u3 = T . Statyczne rownania stanu ze sterowaniem tem-

peraturowym przybiora postac

q1u1 − qx1 − κ0e−β/u3xp11 xp22 = 0,

q2u2 − qx2 − κ0e−β/u3xp11 xp22 = 0,

Oprocz rownan stanu uwzglednic nalezy takze ograniczenia zakresu zmiennych

procesowych

u−i ≤ ui ≤ u+i , x−i ≤ xi ≤ x+i i = 1, 2, 3.

Dla szeregu procesow sterowania statyczne sa ustalone na poziomach wyni-

kajacych z ograniczonych srednich wydajnosci zrode l surowcow i energii tj.

ui = ui, i = 1, 2, 3. Okresleniu podlegaja wtedy statyczne przebiegi zmien-

nych stanu.

Celem sterowania moze byc maksymalizacja wydajnosci procesu tj. mini-

malizacja wyrazenia

x1 + x2.

20

Przyk lad: Sterowanie wsadowym chemicznym procesem produkcyjnym

zbiornikowy reaktor chemiczny

proces przemianyA → B

t0, A-

obwod grzejny T-

-t1, A,B

Do zbiornikowego reaktora chemicznego za ladowany zostaje w chwili t0

substrat A (substancja surowcowa). Ulega on przemianie w produkt uzyteczny

B pod wp lywem katalizatora K w wyniku egzotermicznej reakcji przemiany

A→ B. Reaktor zostaje roz ladowany w chwili t1. Na temperature procesu

mozna wp lywac za pomoca obwodu grzejnego zainstalowanego w reaktorze.

Wielkosci fizyko-chemiczne zwiazane z procesem:

• cA(t) - stezenie substratu A w reaktorze w chwili t,

• T (t) - temperatura w reaktorze w chwili t,

• T0(t) - temperatura czynnika grzejnego na wejsciu reaktora,

Zaleznosci miedzy wielkosciami fizyko-chemicznymi procesu: szybkosc zmiany

stezenia substratu A (i produktu uzytecznego B) w reaktorze okreslona jest

przez szybkosc reakcji A→ B zalezna od aktualnego stezenia A w reaktorze i

temperatury mieszaniny reagujacej zgodnie z prawem Arrheniusa

cA(t) = −a e−b/T (t)c2A(t), t ∈ [t0, t1], cA(t0) = cA0,

21

szybkosc zmiany temperatury w reaktorze zalezy od przebiegu temperatury

wejsciowej i szybkosci poch laniania ciep la przez reakcje

T (t) = T0(t)− c e−b/T (t)c2A(t), t ∈ [t0, t1], T (t0) = T0,

gdzie a, b i c sa parametrami procesu.

Jesli okreslony jest pozadany przebieg temperatury na wejsciu reaktora

T0(t) i w reaktorze T (t) (np. przebieg optymalny w sensie pewnego wskaznika

jakosci), to zaburzenie tego przebiegu moze byc regulowane za pomoca sprzezenia

zwrotnego

T0(t) = T0(t)− k(T (t)− T (t)),

gdzie k jest wspo lczynnikiem sprzezenia zwrotnego.

Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania:

u(t).= T0(t) - zmienna sterujaca procesu,

x1(t).= cA(t), x2(t) = T (t) - zmienne stanu procesu,

y(t).= T (t) - zmienna wyjsciowa procesu.

Zapisujemy rownania stanu procesu

x1(t) = −a e−b/x2(t)x21(t), t ∈ [t0, t1], x1(t0) = x10,

x2(t) = u(t)− c a e−b/x2(t)x21(t), t ∈ [t0, t1], , x2(t0) = x20

rownanie wyjscia procesu,

y(t) = x2(t), t ∈ [t0, t1],

oraz rownanie sprzezenia zwrotnego procesu

u(t) = u(t)− k (x2(t)− x2(t), t ∈ [t0, t1].

Wskaznik jakosci procesu sterowania wsadowym chemicznym proce-

sem produkcyjnym moze przybierac postac kombinacji kosztow nagrzewania i

wartosci produktu uzytecznego

Q =

∫ t1

t0

u(t)dt− d (1− x1(t1)),

gdzie d jest wspo lczynnikiem wartosci tego produktu. Cel sterowania jest

wiec rownowazny maksymalizacji zysku z prowadzenia procesu.

22

Przyk lad: Sterowanie procesem biotechnologicznym w bioreaktorze przep ly-

wowym

bioreaktor przep lywowy

proces przemiany

S → P

S0(t) -

-S(t), P (t)

Rozwazmy proces sterowania stezeniem wejsciowym substratu S wprowa-

dzanego do zbiornikowego bioreaktora przep lywowego, gdzie zachodzi jego

przemiana w biomase dokonywana przez populacje mikrobiologiczna P

umieszczona w bioreaktorze (lub przemiana w produkt metabolizmu tej po-

pulacji). Substratem moze byc specjalnie dobrana pozywka dla populacji P

(produkcja farmaceutykow), a takze scieki lub odpady (procesy biooczyszcza-

nia).

Wielkosciami fizyko-biochemicznymi procesu sa:

• S0(t) - stezenie substratu S na wejsciu bioreaktora w chwili t,

• S(t) - stezenie substratu S w bioreaktorze w chwili t,

• P (t) - stezenie populacji mikrobiologicznej P w bioreaktorze w chwili t.

Zaleznosci miedzy wielkosciami fizyko-chemicznymi procesu: szybkosci zmia-

ny stezenia substratu i populacji sa okreslone przez wielkosci dop lywu i odp lywu

biosk ladnikow procesu oraz przez szybkosc przetwarzania substratu przez po-

pulacje

S(t) = q(S0(t)− S(t)− a S(t)

b+ S(t)P (t),

S(t0) = S0, t ∈ [t0, t1], t1 >> t0,

P (t) = −qP (t) + cS(t)

b+ S(t)P (t),

P (t0) = P0, t ∈ [t0, t1],

gdzie a, b i c sa parametrami funkcji przyrostu populacji, zas q jest natezeniem

przep lywu biomieszaniny przez bioreaktor.

23

Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania:

u(t).= S0(t) - zmienna sterujaca procesu tj. stezenie wejsciowe substratu

w chwili t,

x1(t).= S(t), x2(t)

.= P (t) - zmienne stanu procesu tj. stezenia substratu

i populacji w reaktorze w chwili t,

Zapisujemy rownania stanu procesu w postaci standardowej

x1(t) = q(u(t)− x1(t))− ax1(t)

b+ x1(t)x2(t),

x1(t0) = x0, t ∈ [t0, t1],

x2(t) = −qx2(t) + cx1(t)

b+ x1(t)x2(t),

x1(t0) = x0, t ∈ [t0, t1].

Dla niektorych bioprocesow charakterystyczne jest opoznienie szybkosci

przyrostu populacji po zmianie stezenia substratu. Rownania stanu bioprocesu

przybieraja wtedy postac rownan rozniczkowych z odchylonym argumentem

x1(t) = q (u(t)− x1(t))− ax1(t)

b+ x1(t)x2(t),

x1(t0) = x0, t ∈ [t0, t1],

x2(t) = −q x2(t) + cx1(t− h)

b+ x1(t− h)x2(t),

x1(t0) = x0, t ∈ [t0, t1],

gdzie h jest opoznieniem szybkosci przyrostu populacji po zmianie stezenia

substratu.

24

Celem sterowania moze byc w tym przypadku maksymalizacja suma-

rycznego uzysku biomasy tj.

maksymalizacja wskaznika jakosci procesu postaci∫ t1

t0

qx2(t)dt.

Przyk lad: Sterowanie mechanicznym oscylatorem

sciana podstawowa

amortyzatorsprezynowy

@@@

Maszyna

M

si lastabilizujaca

Po lozenie `(t) maszyny M stabilizowane jest w punkcie ¯ = 0 (po lozenie

neutralne) za pomoca si ly stabilizujacej F (t) i amortyzatora sprezynowego o

wspo lczynniku sprezystosci a. Podstawowe rownanie ruchu maszyny M od-

zwierciedla redukcje jej przyspieszenia przez amortyzator proporcjonalnie do

jej odchylenia od po lozenia neutralnego i proporcjonalnie do si ly stabilizujacej

F (t):

¨(t) = −a`(t)− F (t), `(t0) = `0, ˙(t0) = ˙0, t ∈ [t0, t1].

Rownanie ruchu swobodnego maszyny (F (t) = 0) przybiera postac

¨(t) = −a`(t), `(t0) = `0, ˙(t0) = ˙0, t ∈ [t0, t1].

Ostatnie rownanie posiada rownanie charakterystyczne r2 = −ar, ktorego

pierwiastki sa urojone r1,2 = ±√a. Oznaczajac ω

.=√a mozemy zapisac

rozwiazanie rownania ruchu swobodnego jak nastepuje

`(t) = C1cos ωt+ C2sin ωt, t ∈ [t0, t1],

gdzie sta le C1 i C2 sa okreslone przez warunki poczatkowe. Tak wiec ruch swo-

bodny maszyny M ma charakter oscylacyjny. Obiekt sterowania mozna okreslic

25

mianem oscylatora mechanicznego. Jesli uk lad jest wyposazony oprocz amor-

tyzatora sprezynowego takze w t lumik i wprowadzone sa dwa oddzia lywania

zewnetrzne - stabilizujace F1(t) i t lumiace drgania pochodzace z otoczenia

F2(t), to rownanie ruchu maszyny przybierze postac

¨(t) = −a1`(t)− a2 ˙(t)− F1(t)− F2(t),

`(t0) = `0, ˙(t0) = ˙0, t ∈ [t0, t1],

gdzie a1 jest wspo lczynnikiem sprezystosci amortyzatora, zas a2 - wspo lczynni-

kiem t lumienia t lumika. Amortyzator moze wykazywac dzia lanie nieliniowe

stabilizujace przy wiekszych odchyleniach obiektu od po lozenia rownowagi

¨(t) = −a1`(t)− a11` 3(t)− a2 ˙(t)− F1(t)− F2(t),

`(t0) = `0, ˙(t0) = ˙0, t ∈ [t0, t1],

oraz dzia lanie nieliniowe destabilizujace obiekt przy takich odchyleniach (tzw.

efekt miekkiej sprezyny)

¨(t) = −a1`(t) + a11`3(t)− a2 ˙(t)− F1(t)− F2(t),

`(t0) = `0, ˙(t0) = ˙0, t ∈ [t0, t1],

gdzie a11 jest wspo lczynnikiem sprezystosci nieliniowej sk ladowej amortyza-

tora. W innych sytuacjach r’owniez dzia lanie t lumika ma nieliniowy charakter

¨(t) = −a1`(t)− a2 ˙2(t)sign( ˙(t))− F1(t)− F2(t),

`(t0) = `0, ˙(t0) = ˙0, t ∈ [t0, t1],

gdzie funkcja znaku sign jest wprowadzona dlatego, aby si la oporu by la zawsze

przeciwna do predkosci.

Zak ladamy, ze zarowno po lozenie `(t) maszyny jak i jej predkosc ˙(t) sa

mierzone za pomoca przetwornikow reprezentujacych te wielkosci w postaci

sygna low napieciowych U1(t) i U2(t) (ze wspo lczynnikami proporcjonalnosci c1 i

c2), ktore moga byc wykorzystane w petli sprzezenia zwrotnego do generowania

si ly stabilizujacej F (t) w odpowiednim uk ladzie napieciowym.

26

Stosujemy oznaczenia standardowe teorii sterowania do modelu oscylatora

mechanicznego:

x1(t).= `(t), x2(t)

.= ˙(t) - zmienne stanu oscylatora,

u1(t).= F1(t), u2(t)

.= F2(t) - zmienne sterujace oscylatora,

y1(t).= U1(t), y2(t)

.= U2(t) - zmienne wyjsciowe oscylatora,

rownania stanu liniowego oscylatora mechanicznego

x1(t) = x2(t), x1(t0) = 0, t ∈ [t0, t1],

x2(t) = −a1x1(t)− a2x2(t)

−b1u1(t)− b2u2(t), x2(t0) = 0, t ∈ [t0, t1],

gdzie b1 i b2 sa wspo lczynnikami normalizacyjnymi sterowania,

rownania wyjscia oscylatora mechanicznego

y1(t) = c1x1(t), t ∈ [t0, t1],

y2(t) = c2x2(t), t ∈ [t0, t1],

rownania stanu oscylatora mechanicznego z nieliniowym amortyzatorem

x1(t) = x2(t), x1(t0) = 0, t ∈ [t0, t1],

x2(t) = −a1x1(t)± a11x 31 (t)− a2x2(t)

−b1u1(t)− b2u2(t), x2(t0) = 0, t ∈ [t0, t1],

rownania stanu oscylatora mechanicznego z nieliniowym t lumikiem

x1(t) = x2(t), x1(t0) = 0, t ∈ [t0, t1],

x2(t) = −a1x1(t)− a2x22(t)sign(x2(t))

−b1u1(t)− b2u2(t), x2(t0) = 0, t ∈ [t0, t1].

27