Transmiss~ao Digital em Banda...

Transmissao Digital em Banda Base

Luis Henrique Assumpcao Lolis

27 de maio de 2014

Luis Henrique Assumpcao Lolis Transmissao Digital em Banda Base 1

Conteudo

1 Introducao

2 Analise de erro de bits

3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist

4 Diagramas de Olho

5 Receptor Linear Ideal


Sumario

1 Introducao



4 Diagramas de Olho



Introducao

Conceitos a serem abordados

Filtro casadoCalculo de taxa de erro em presenca de ruıdoInterferencia intersimbolicaCriterio de Nyquist

Filtragem do sinal em banda base.

O canal tem uma resposta em frequencia nao uniforme.

ISI - Inter Symbol Interference / Interferencia Intersimbolica.

Os filtros de forma limitam a banda mas podem causar ISI.


Deteccao na presenca de ruıdo e filtro casado

O receptor linear recebe o sinal com um ruıdo e filtra por h(t),linear e invariante no tempo.

x(t) = g(t) + w(t), g(t) o sinal enviado.

h(t) e definido para otimizar a deteccao de g(t) do ponto devista estatıstico.

y(t) = g0(t) + n(t)


Definindo a relacao sinal sobre ruıdo de pico

Relacao sinal ruıdo: η =|g0(T )|2

E[n2(t)]

Vamos definir go(t) como a transformada inversa de G0(f)

g0(t) =

∫ ∞−∞

H(f)G(f) exp(j2πft)df

Agora calculando o quadrado do modulo para t = T

|g0(T )|2 =∣∣∣∣∫ ∞−∞

H(f)G(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣∣2Considerando um ruıdo branco de Densidade Espectral ePotencia PSD (Power Spectral Density) N0/2, o ruıdo na

saıda do filtro fica. E[n2(t)] =N0

2

∫ ∞−∞|H(f)|2df


Definindo a relacao sinal sobre ruıdo de pico

η =

∣∣∣∣∫ ∞−∞

H(f)G(f) exp(j2πfT )df

∣∣∣∣2N0

2

∫ ∞−∞|H(f)|2df

O problema e achar G(f) que maxima η.

Usando a desigualdade de Schwartz (prova omitida) o maximodo η fica:

ηmax =2

N0

∫ ∞−∞|G(f)|2df

E para esse maximo H(f) deve ser o complexo conjugado deG(f) multiplicado por um fator exponencial e uma constantek:

Hopt(f) = kG∗(f) exp(−j2πfT )Da propriedade G∗(f) = G(−f), h(t) fica:

hopt(t) = kg(T − t)


Aplicando o filtro casado na relacao sinal sobre ruıdo depico

Primeiro se define a energia do sinal E =

∫ ∞−∞|G(f)|2df

Depois se aplica Hopt(f) para a equacao de ηmax

ηmax =2E

N0

A relacao sinal ruıdo de pico de pulso de um filtro casado dependeapenas da razao entre a energia do sinal e a densidade espectral depotencia do ruıdo branco na entrada do filtro.


Exemplo - filtro casado retangular


Sumario

1 Introducao



4 Diagramas de Olho



Analise de Taxa de Erro de Bits

Vamos aplicar o sinal NRZ polar de amplitude A e duracao Tb

w(t) e considerado ruıdo branco gaussiano de media 0 ePSD = N0/2 W/Hz

Aplica-se o filtro casado e faz-se a escolha em t = T com umlimiar λ

O sinal de chegada:

x(t) =

{+A+ w(t), sımbolo 1 foi enviado−A+ w(t), sımbolo 0 foi enviado


Analise de Taxa de Erro de Bits

Dois tipos de erro

Decidir “1” quando y > λ mas um “0” foi transmitido.Decidir “0” quando y < λ mas um “1” foi transmitido.


Decisao no Canal Gaussiano

Pe = P (y < λ|A)P (A) + P (y > λ| −A)P (−A)P (A) = P1 e P (−A) = P0


A funcao erfc esta ligada a integral da gaussiana de maneiraque:

P (y < λ|A) = py0|x1 = FY (λ) = Q

(−(λ−A)√N0/2Tb

)=

1

2erfc

(A− λ√N0/Tb

)

P (y > λ| −A) = py1|x0 = Q

(λ+A√N0/2Tb

)=

1

2erfc

(A+ λ√N0/Tb

)Logo a probabilidade de erro fica:

Pe = p(x0)p(y1|x0) + p(x1)p(y0|x1)


Um limiar otimo λopt minimiza pe, derivando a equacao de pepara λ e definindo o resultado igual a zero (prova omitida):

λopt =N0

4ATblog

(p0p1

)Para p1 = p0 = 1/2, λopt = 0.

Pe =1

2Q

(+A√N0/2Tb

)+

1

2Q

(+A√N0/2Tb

)

Pe = Q

(A√

N0/2Tb

)=

1

2erfc

(A√N0/Tb

)


Com Eb = A2T - Energia por bit:

Pe = Q(√

2EbN0

)=

1

2erfc

(√EbN0

)


BER da Sinalizacao Binaria no Canal Gaussiano


Exercıcios

Em um sistema de comunicacao binaria digital, a saıda doreceptor de correlacao e ai(T ) = +1 ou −1 com igualprobabilidade. Se o ruıdo na saıda do receptor tem varianciaunitaria, qual a probabilidade de erro binaria?

Um sinal binario bipolar si(t) e um pulso +1 ou −1 comduracao T . Um ruıdo aditivo branco branco gaussiano temuma densidade espectral de potencia bilateral de 10−3 W/Hze adicionado ao sinal. Se aplicado um filtro casado perfeito,qual a maxima taxa de bits pode ser transmitida para que aprobabilidade de erro seja de PB ≤ 10−3


BER da Sinalizacao Binaria no Canal Gaussiano

Ex 1 da lista 7. (8.1 Haykin 5a. edicao).


Sumario

1 Introducao



4 Diagramas de Olho



Receptor Otimo com ISI

No pulso retangular a energia de um bit jamais entra notempo do bit seguinte.

s(t) =∑

k akg(t− kTb)ak ={

+1 se o sımbolo bk e 1+1 se o sımbolo bk e 0

g(t− kTb) e um pulso que inicialmente e retangular deduracao Tb.

O canal h(t) pode mudar a situacao pois pode ser um filtroque se espalha para alem de Tb e c(t) e o filtro do receptor.


Saıda do filtro c(t): y(t) =∑k

akp(t− kTb) + n(t)

Amostrandoy(t) para instantes ti = iTb:

y(ti) = µ

∞∑k=−∞

akp[(i− k)Tb] + n(ti)

= µai + µ

∞∑k=−∞k 6=i

akp[(i− k)Tb] + n(ti)

g(t) e a resposta ao impulso do filtro de transmissao. p(t) e oresultado de passar g(t) pelo canal h(t) por um filtro derecepcao c(t) mas um fator multiplicativo µ:

µP (f) = G(f)H(f)C(f)


Ex: Canal Telefonico

SNR alto mas limitado em banda, gerando ISI.

Nao passa componente DC e corta rapidamente depois de3,5KHz.



R=1600bps. Manchester nao tem componente DC e NRZtem. Manchester ocupa mais banda.



R=3200bps. Maior velocidade nao impacta na distorcao doNRZ em alta frequencia. Ja o Manchester passa a serrejeitado para frequencias > 3, 5KHz


A forma do pulso final passando pelos filtros de transmissao,canal e recepcao definido por p(t). Para evitar ISI:

p(iTb − kTb) ={

1, i = k0, i 6= k

Dessa maneira a saıda do receptor fica y(ti) = µai para todoi.

Se a condicao for respeitada, os instantes ideais deamostragem contem unicamente a informacao de ak noinstante i:

y(ti) = µai

Recepcao perfeita na ausencia de ruıdo.


Criterio de Nyquist para transmissao - Analise frquencial

O espectro do pulso amostrado e uma versao periodica doespectro de origem:

Pδ(f) = Rb

∞∑m=−∞

P (f − nRb)


Criterio de Nyquist para transmissao - Analise frquencial

Identificando o espectro da funcao amostrada de p(t),p(mTb) = p((i− k)Tb), entao m = i− k

Pδ(f) =

∫ ∞−∞

∞∑m=−∞

[p(mTb)δ(t−mTb)] exp(−j2πft)dt

Da condicao anterior, se i 6= k, ou seja m 6= 0, p(mTb) = 0,entao o unico que sobra m = 0, p(0) = 1:

Pδ(f) =

∫ ∞−∞

∞∑m=−∞

p(0)δ(t) exp(−j2πft)dt = p(0)

E que p(0) = 1 Para normalizar a recepcao:∞∑

m=−∞P (f − nRb) = Tb


Ex:

Sequencia 001101001. E filtro de forma p(t) = sinc

(t

T b

)

−10 −5 0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo(s)

s(t)

Os bits individualmente na saıda do modulador.


Ex:

−10 −5 0 5 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

tempo(s)

s(t)

Na saıda do modulador.

−15 −10 −5 0 5 10 15−600

−400

−200

0

200

400

600

tempo(s)

y(t)

Na saıda do filtro casado.


Canal Ideal de Nyquist

P (f) = 12W rect

(f

2W

),

onde W = Rb2 = 1

2Tb

p(t) = sin(2πWt)2πWt = sinc(2Wt)


Sequencia de Pulsos sem ISI


Sinalizacao 4-PAM

1/T em sımbolos por segundo

T = Tb log2M

Para mesmo desempenho em BER, a potencia deve seraumentada de M2/ log2M


Exercıcio - 8.11 do Haykin

Um sinal analogico e amostrado, quantizado e codificado emuma onda PCM binaria. As especificacoes do sistema PCMinclem: fs=8KHz. Nb=6 bits. Determine a mınima largura debanda se for permitido que cada pulso assume o seguintenumero de nıveis de amplitude: 2, 4 e 8.


Pulso Cosseno Levantado

A janela no tempo do Sinc tem de ir de menos infinito ainfinito (impraticavel)

Vamos procurar outro P (f) que respeito o criterio de Nyquistde transmissao sem ISI e que e mais facil de implementar(resposta ao impulso de decaimento rapido)

O resultado e um filtro um pouco menos seletivo nafrequencia, porem realizavel


Pulso Cosseno Levantado

p(t) =

[sinc(2Wt)]

[cos(2παWt)

1− 16α2W 2t2

]α = 1−

f1

W

P (f) =1

2W, 0 ≤ |f | < f1,

14W

{1− sin

[π(|f |−W )2W−2f1

]}, f1 ≤ |f | < 2W − f1,

0, |f | > 2W − f1.

BT = 2W − f1 =W (1 + α), W =1

0Tb=Rb

2


Ex: Pulso Cosseno Levantado

Reconsiderando o sistema T1 com PCM de 8 bits e fs=8KHz,e TDMA com 24 canais mais um bit de sincronismo. Qual alargura de banda mınima para transmitir considerando doisnıveis de pulso? Qual a banda ocupada pelo sistema T1 se ospulsos forem na forma de cosseno elevado com α = 0.5?


Pulsos de Nyquist e Square-root Nyquist


Sequencias Formatadas com Pulsos de Nyquist eSquare-root Nyquist


Sumario

1 Introducao



4 Diagramas de Olho



O Diagrama de Olho

Indica varias amostras do sinal em banda base com duracaode um perıodo de sımbolo, todas elas sobrepostas.

Em um osciloscopio com a opcao “persistent” e com umajanela de Ts de observacao.

DA - Distorcao dodiagrama de olho no pontootimo de amostragem (ISI).

JT - Distorcao no tempodos cruzamentos por zero,“jitter”.

MN - Margem de ruıdo(espaco que resta antes deatravessar o limiar).

ST - Sensibilidade notempo.

Olho fechado - alto ISI

Olho aberto - baixo ISI


Diagrama de Olho


Sistema com Limitacao de Potencia

(a) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario sem Ruıdo.

(b) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario com SNR = 20dB.

(c) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario com SNR = 10dB.

Sistema Limitado em Banda

(a) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario Limitado emBanda sem Ruıdo: frequenciade corte f0 = 0, 975 Hz.

(b) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario Limitado emBanda sem Ruıdo: frequenciade corte f0 = 0, 5 Hz.

Sumario

1 Introducao



4 Diagramas de Olho



O ruıdo e a ISI foram tratados separadamente ate agora.

Equalizador Forcador a Zero - Forcando a ISI a zero para todot = kT , exceto para k = 0 onde o sımbolo de interesse eenviado. Mas ha perda de desempenho com o aumento doruıdo que se amplifica.

O erro medio quadratico e um compromisso entre ISI e ruıdo.


Sistemas Limitados por Ruıdo e por ISI


Saıda do filtro Rx - y(t) =∫∞−∞ c(τ)x(t− τ)dτ

Saıda do canal x(t) =∑k

akq(t− kTb) + w(t)

q(t) - e a convolucao de g(t) (filtro de forma Tx) e h(t) (filtrodo canal).O sinal recebido e separado em ruıdo e sinal comcomponentes de ISI:

y(iTb) = ξi + ni

ξi =∑k

ak

∫ ∞−∞

c(τ)q(iTb − kTb − τ)dτ

ni =

∫ ∞−∞

c(τ)w(iTb − τ)dτLuis Henrique Assumpcao Lolis Transmissao Digital em Banda Base 48

Forcar ξi maximo para i = k e zero para i 6= k faria aumentarni

Tudo isso esta em definir o melhor c(t) para isso.

O sımbolo transmitido e ai e o erro fica:

ei = ξi + ni − aiO erro quadratico medio e definido como J = 1/2E[e2i ]

Aplicando a definicao do erro acima e usando a definicao daintegral para o valor esperado (considerando o sinal e o ruıdogaussianos e estacionario), derivando e igualando a zero.(demonstracao omitida Haykin pgs. 284 - 286)

C(f) =Q∗(f)

Sq(f) +N0

2Sq(f):


Sq(f) =1

Tb

∑k

∣∣∣∣Q(f +k

Tb

)∣∣∣∣2

C(f) e periodica em 1/Tb. c(t) e a cascata dos seguintescomponentes:

Filtro casado q(−t) onde q(t) = q(t) ∗ h(t)Um equalizador transversal (com derivacoes apos os retardos)cuja resposta em frequencia e o inverso da funcao periodicaSq(f) + (N0/2)


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