Tożsamości trygonometryczne

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

TOZSAMOSCI TRYGONOMETRYCZNEBogactwo tozsamosci trygonometrycznych jest niewatpliwie zrdem frustracji niejednegoucznia trzeba duzo wprawy, zeby sprawnie sie nimi posugiwac. Z drugiej strony, dziekitym tozsamosciom swiat trygonometrii jest niezwykle ciekawy.

Jedynka trygonometryczna

Najpopularniejsza tozsamoscia trygonometryczna jest jedynka trygonometryczna

sin2 + cos2 = 1

Jedynke musi znac kazdy i nalezy myslec, ze pozwala ona zamieniac sin2 na cos2 i od-wrotnie.

Zbadajmy zbir wartosci funkcji f (x) = 3 sin2 x + 5 cos2 x.Z jedynki trygonometrycznej mamy

f (x) = 3(1 cos2 x) + 5 cos2 x = 3 + 2 cos2 x.Korzystajac teraz z nierwnosci 0 6 cos2 x 6 1 atwo uzasadnic, ze zbir wartoscif (x) to przedzia 3, 5.

Wzory redukcyjne

Jest wiele wzorw redukcyjnych i dokadnie omwilismy je w poradniku o wzorach reduk-cyjnych. Najwazniejsze z nich to

sin(pi

2 x

)= cos x cos

(pi2 x

)= sin x

sin(pi

2+ x

)= cos x cos

(pi2+ x

)= sin x

sin (pi x) = sin x cos (pi x) = cos xsin (pi + x) = sin x cos (pi + x) = cos x.

oraz

tg(pi

2 x

)= ctg x ctg

(pi2 x

)= tg x

tg(pi

2+ x

)= ctg x ctg

(pi2+ x

)= tg x

tg (pi x) = tg x ctg (pi x) = ctg xtg (pi + x) = tg x ctg (pi + x) = ctg x.

Wzory te pozwalaja przesuwac argument funkcji trygonometrycznych o wielokrotnosc pi2 .Ponadto wzory z pi2 pozwalaja zamieniac funkcje sinus/tangens na cosinus/cotangens i od-wrotnie.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Obliczmy tg(411pi4

).

Liczymy

tg(411pi

4

)= tg 411pi

4= tg

(102pi +

3pi4

)=

= tg(

3pi4

)= tg

(pi2+

pi

4

)= ctg

pi

4= 1.

Rozwiazmy nierwnosc cos(pi4 + x

)sin

(pi4 x

)> 1.

Przeksztacamy lewa strone.

cos(pi

4+ x

)sin

(pi2(pi

4+ x

))=

= cos(pi

4+ x

) cos

(pi4+ x

)= cos2

(pi4+ x

).

Mamy zatem

cos2(pi

4+ x

)> 1 cos2

(pi4+ x

)= 1

cos(pi

4+ x

)= 1 pi

4+ x = kpi x = pi

4+ kpi.

Podwojenie kata

Mamy dwa niezwykle uzyteczne wzorki

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x sin2 x.

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej, drugi z tych wzorw mozemy zapisac w postaci

cos 2x = 2 cos2 x 1 = 1 2 sin2 x.

Wzory te bardzo czesto wystepuja w zadaniach szkolnych, wiec warto wyrobic sobie nawyk,ze jak widzimy prawa strone ktregos z tych wzorw, to dzwoni nam dzwoneczek sin 2x/cos 2x.

Wyznaczmy zbir wartosci funkcji f (x) = sin 3x cos 3x.Ze wzoru na sin 2x mamy

f (x) = sin 3x cos 3x =12

sin 6x.

A wiec zbir wartosci funkcji f to przedzia 12 , 12 (bo zbir wartosci sin 6x toprzedzia 1, 1).



Rozwiazmy rwnanie sin2 x = cos2 x.Ze wzoru na cos 2x, mozemy rwnanie przeksztacic nastepujaco

cos2 x sin2 x = 0cos 2x = 0

2x =pi

2+ kpi x = pi

4+

kpi2

, k C.

Sumy i rznice katw

Wzory troche oglniejsze od wzorw na sinus/cosinus podwojonego kata:

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos xsin(x y) = sin x cos y sin y cos xcos(x + y) = cos x cos y sin x sin ycos(x y) = cos x cos y + sin x sin y.

W zasadzie wystarczy pamietac tylko pierwszy i trzeci z tych wzorw, dwa pozostae do-stajemy wstawiajac do nich y zamiast y.

Oczywiste zastosowanie tych wzorw to mozliwosc obliczenia funkcji trygonometrycz-nych kata x + y jezeli znamy funkcje katw x i y.

Obliczmy sin 75.Liczymy

sin 75 = sin(30 + 45) = sin 30 cos 45 + sin 45 cos 30 =

=12

22

+

2

2

32

=

2 +

64

.

Uzasadnij, ze jezeli cos x = 0 to sin(x + y) = sin(x y).Na mocy powyzszych wzorw mamy

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x = sin x cos ysin(x y) = sin x cos y sin y cos x = sin x cos y = sin(x + y).



Sumy i rznice funkcji

Ostatnia seria wzorkw to wzory na sumy i rznice sinusw/cosinusw.

sin x + sin y = 2 sinx + y

2cos

x y2

sin x sin y = 2 sin x y2

cosx + y

2

cos x + cos y = 2 cosx + y

2cos

x y2

cos x cos y = 2 sin x + y2

sinx y

2.

Wzory te sa bardzo uzyteczne w rwnaniach i nierwnosciach, gdyz pozwalaja zamieniacrwnania typu suma rwna 0, na rwnania typu iloczyn rwny 0, a te drugie rozwiazuje sie owiele atwiej.

Rozwiazmy rwnanie cos 4x cos 2x = 0.Z wzoru na rznice cosinusw mamy

2 sin 3x sin x = 0.Czyli 3x = kpi lub x = kpi. Stad x = kpi3 , k C.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Jedynka trygonometryczna pozwala pozbywac sie sinusw i cosinusw jezeli spotykaja siew kwadratach. Czasami te kwadraty warto zrobic samemu.

Rozwiazmy rwnanie | sin x|+ | cos x| = 2.Obie strony sa nieujemne, wiec podnosimy rwnanie stronami do kwadratu.

sin2 x + 2| sin x cos x|+ cos2 x = 2| sin 2x| = 1sin 2x = 1 cos 2x = 0 2x = pi

2+ kpi x = pi

4+

kpi2

.



Oblicz sin4 x + cos4 x, jezeli sin x cos x = 14 .Liczymy

sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 2 sin2 x cos2 x = 1 2 116

=78

.

2Jedynka trygonometryczna pozwala prawie wyliczyc wszystkie funkcje trygonometrycznejezeli znamy jedna z nich. Prawie, bo zawsze jest problem z wyborem znaku. Aby ustalicznaki musimy wiedziec, w ktrej cwiartce jest kat.

Wyznaczmy sin jezeli tg = 34 i pi, 3pi2 .Liczymy

sin cos

=34

4 sin = 3 cos /()2

16 sin2 = 9 cos2 = 9(1 sin2 )25 sin2 = 9 sin = 3

5.

Znak wybralismy korzystajac z warunku pi, 3pi2 . Po wiecej informacji na temat ustala-nia znaku funkcji trygonometrycznych odsyam do poradnika o wzorach redukcyjnych.

3Wzory cos 2 = 2 cos2 1 = 1 2 sin2 mozna zapisac w postaci

cos2 =cos 2+ 1

2sin2 =

1 cos 22

.

To, w niektrych sytuacjach, pozwala nam pozbywac sie kwadratw sinusw i cosinusw(kosztem zamiany na 2).

Rozwiazmy rwnanie 2 sin2 x = 1. Z powyzszego wzoru mamy

1 cos 2x = 1 cos 2x = 0 2x = pi2+ kpi x = pi

4+

kpi2

.

Oblicz wartosc wyrazenia cos2 pi12 sin2 pi8 .Przeksztacamy (korzystajac z powyzszych wzorw).

cos pi6 + 12

1 cospi4

2=

3

2 +

22

2=

3 +

24

.



4Wzory na sinus/cosinus sumy sa czesto wykorzystywane od prawa do lewa, czyli pozwalajazwinac sume do jednego sinusa/cosinusa.

Rozwiazmy rwnanie sin x + cos x = 1.

sin x + cos x = 1 /

22

sinpi

4sin x + cos

pi

4cos x =

2

2

cos(

x pi4

)=

2

2x pi

4=

pi

4+ 2kpi x pi

4= pi

4+ 2kpi

x =pi

2+ 2kpi x = 2kpi.

5Czasami, aby zastosowac wzr na sume sinusw/cosinusw musimy jednego sinusa/cosinusazrobic sobie sami.

Uzasadnijmy tozsamosc

1 + sin x1 sin x = tg(

pi

4+

x2) ctg(

pi

4 x

2).

Przeksztacamy lewa strone

1 + sin x1 sin x =

sin pi2 + sin xsin pi2 sin x

=2 sin

pi2 +x

2 cospi2x

2

2 sinpi2x

2 cospi2 +x

2

=

=sin(pi4 +

x2 )

cos(pi4 +x2 ) cos(

pi4 x2 )

sin(pi4 x2 )= tg

(pi4+

x2

)ctg

(pi4 x

2

).

Zdarza sie tez, ze uzywamy tych wzorw w druga strone.

Uproscmy wyrazenie

sin(x y) cos(x + y) + 12 sin 2ysin 2x

.

Przeksztacamy korzystajac ze wzoru na rznice sinusw.

sin(x y) cos(x + y) + 12 sin 2ysin 2x

=

=12(sin 2x sin 2y) + 12 sin 2y

sin 2x=

12 sin 2xsin 2x

=12

.



6

Na og pozbywamy sie tangensa i cotangensa zamieniajac je na sinus i cosinus, lub pozby-wamy sie samego cotangensa zamieniajac go na 1tg x .

Uproscimy wyrazenie (1 sin )(tg + 1cos ).

(1 sin )(

tg +1

cos

)= (1 sin )

(sin cos

+1

cos

)=

= (1 sin )(

sin + 1cos

)=

1 sin2 cos

=cos2 cos

= cos .

Uzasadnij, ze dla dowolnego x 6= kpi4 , gdzie k C, speniona jest nierwnosc1 + ctg x1 + tg x

ctg x > 0.

Przeksztacamy lewa strone.

1 + ctg x1 + tg x

ctg x =1 + 1tg x1 + tg x

ctg x =tg x+1

tg x

1 + tg x ctg x =

=1

tg x ctg x = ctg2 x.

Otrzymane wyrazenie jest oczywiscie dodatnie (bo x 6= kpi2 ).

7

Przed chwila napisalismy, ze na og pozbywamy sie tangensa i cotangensa, ale zdarza sie,ze wygodnie jest postapic odwrotnie.

Rozwiazmy rwnanie sin x =

3 cos x.Jest jasne, ze nie moze byc cos x = 0, wiec podzielmy rwnanie przez cos x.

sin xcos x

=

3 tg x =

3 x = pi3+ kpi.

8

Nie mozna nie wspomniec o dosc przykrej, a niestety lubianej przez nauczycieli, kwestiidziedziny tozsamosci trygonometrycznych. Otz tozsamosci trygonometryczne sa spenio-ne tylko w swojej dziedzinie, i czasami nauczyciele oczekuja, zeby odpowiedz na pytanieczy rwnosc jest tozsamoscia? zawieraa w sobie ustalenie jaka jest dziedzina tozsamosci.



Sprawdzmy czy rwnosc sin 2x = 2tg x+ctg x jest tozsamoscia.Przeksztacamy prawa strone

2tg x + ctg x

=2

sin xcos x +

cos xsin x

=2

sin2 x+cos2 xsin cos x

= 2 sin x cos x = sin 2x.

Dla jakich x-w powyzsze rachunki maja sens? Musza byc zdefiniowane funkcjetg x i ctg x, czyli musi byc sin x 6= 0 i cos x 6= 0. Daje to nam x 6= kpi2 .Jeszcze trzeba sie zastanowic, czy moze byc tg x + ctg x = 0? to jest jednak nie-mozliwe, bo funkcje te sa zawsze tego samego znaku i nigdy nie zeruja sie jedno-czesnie. Mozna tez to atwo policzyc:

tg x + ctg x = tg x +1

tg x=

tg2 x + 1tg x

6= 0.

9

Jako ciekawostke warto podac wzory

sin x =2 tg x2

1 + tg2 x2cos x =

1 tg2 x21 + tg2 x2

tg x =2 tg x2

1 tg2 x2ctg x =

1 tg2 x22 tg x2

Wzory te oznaczaja, ze (przynajmniej teoretycznie) mozna kazde wyrazenie z funkcjami try-gonometrycznymi tego samego kata, zamienic (przez podstawienie t = tg x2 ) na wyrazeniebez funkcji trygonometrycznych (sztuczke te wykorzystuje sie np. przy liczeniu caek). Je-dyny kopot, to ze otrzymane wyrazenie moze byc dosc skomplikowane.

Rozwiazmy rwnanie sin x1+cos x = 1.Podstawiamy t = tg x2 i mamy

2t1+t2

1 + 1t21+t2= 1

2t2

= 1 t = 1tg

x2= 1 x

2=

pi

4+ kpi x = pi

2+ 2kpi.

Tak naprawde, to powinnismy jeszcze sprawdzic, ze podstawienie miao sens, tzn.,ze cos x2 6= 0, to jest jednak dosc proste, bo w przeciwnym wypadku byoby sin x =0.



10Czasami uzywa sie jeszcze jednego wzoru:

tg(x y) = tg x tg y1 + tg x tg y

.

Wzr ten jest bardzo wygodny jezeli chcemy obliczyc kat pod jakim przecinaja sie proste,gdy mamy ich rwnania (jezeli umiemy liczyc pochodne, to mozemy w ten sam sposbliczyc katy przeciecia sie dowolnych krzywych, niekoniecznie prostych).

Pod jakim katem przecinaja sie proste y = 12 x + 2 i y = 3x 3?Jezeli pierwsza tworzy z osia Ox kat , a druga to mamy wyliczyc . Mozemyto zrobic, bo wiemy, ze tg = 12 i tg = 3. Mamy zatem

tg( ) = 312

1 + 32= 1 = 45.

-10 -2 +2 +10 x

-10

-2

+2

+10

y

y=0.5x+2

y=3x-

3

-

11Ze wzoru na cosinus sumy atwo wyprowadzic wzr

cos 3 = 4 cos3 3 cos .

Jezeli wezmiemy teraz np. 3 = 60, to widzimy, ze cos 20 jest pierwiastkiem rwnania

12= 4x3 3x.

Widac wiec bliski zwiazek miedzy obliczaniem funkcji trygonometrycznych, a rozwiazywa-niem rwnan wielomianowych. Co wiecej, w tym przykadzie, otrzymany wielomian niema pierwiastkw wymiernych, wiec znalezienie jego pierwiastkw jest bardzo trudne (wdodatku nie da sie ich przyzwoicie zapisac nie uzywajac liczb zespolonych). To powinnoilustrowac dlaczego obliczanie funkcji trygonometrycznych (z wyjatkiem kilku szkolnychprzykadw: 30, 60 itp.) jest trudne, lub wrecz niemozliwe.


Tożsamości trygonometryczne

Documents

Transcript of Tożsamości trygonometryczne