TOPOLOGÍA GENERAL II - riemann.unizar.es · TOPOLOGÍA GENERAL II José Luis Navarro...

TOPOLOGIA GENERAL II

Jose Luis Navarro

Departamento de Matematicas

Universidad de Zaragoza

(1) Introduccion(2) Topologıa Producto(3) Topologıa Cociente(4) Separacion(5) Compacidad(6) Conexion(7) Espacios Homogeneos(8) Grupos Lineales

1 INTRODUCCION

La Topologıa General tiene sus propios objetivos, pero tambien nutre los fun-damentos de muchas areas matematicas como el Analisis, la Geometrıa yotros campos de la topologıa (Topologıa Algebraica, Topologıa Geometricao Topologıa Diferencial).

Tomando como modelos los espacios metricos, se ha definido sobre un conjuntoX una topologıa τ ⊂ P(X) y el par (X, τ) se dice espacio topologico (e.t.)Las aplicaciones relevantes entre dos e.t. son las aplicaciones continuas y elconcepto de equivalencia en topologıa se llama homeomorfismo.

Uno de los objetivos de cualquier area matematica es clasificar y contar. Enparticular, para clasificar es necesario saber discernir cuando dos objetos sono no equivalentes (en nuestro caso, cuando dos e.t. son o no homeomorfos).En general, este es un problema muy difıcil y esta muy lejos de ser resuelto.

La (corta) duracion del curso hace necesario optar entre los diferentes caminosa seguir tras un primer cuatrimestre de generalidades. La opcion elegida aquıes un curso basico sobre las diferentes propiedades de un espacio topologico,tanto en su version local como global, con aplicaciones a espacios usuales(euclıdeos, proyectivos, grupos lineales,...) y estudiar si estas propiedades seconservan o no bajo operaciones usuales (productos, cocientes,...). Definiremos

Preprint submitted to Elsevier Science 12 December 2006

pues una serie de propiedades (separacion, compacidad, conexion,...) queseran invariantes topologicos de los espacios (es decir, si un e.t. tiene unade estas propiedades, tambien la tienen todos los que son homeomorfos a el).

Es mas ”facil” dar una respuesta negativa al problema del homeomorfismo queuna respuesta positiva: por ejemplo Rn y Rm tienen los mismos invariantestopologicos mencionados pero no son homeomorfos si n 6= m (Teorema de laDimension). En este curso probaremos parcialmente este resultado, dejandopara cursos posteriores una respuesta general.

En ellos se definiran otro tipo de invariantes, los invariantes algebraicos,que consiste en asociar a todo e.t. X ciertas estructuras algebraicas (como porejemplo el grupo fundamental π1(X) o los grupos de homologıa Hn(X), n ≥ 0)que nos dara mas criterios para una respuesta negativa al problema: si losinvariantes algebraicos son no isomorfos, los espacios no son homeomorfos.

La respuesta afirmativa sigue siendo difıcil: Uno de los grandes problemas de laTopologıa es saber si una 3-variedadM3 con los mismos invariantes topologicosy algebraicos que S3 es homeomorfa a S3 (Conjetura de Poincare, 1904).Esta conjetura no pudo ser resuelta durante todo el siglo XX y paso a seruno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay MathematicsInstitute. En 2002 el matematico ruso Gregori Perelman anuncio una soluciona traves de dos publicaciones en internet. En el XXV Congreso Internacionalde Matematicas celebrado en Madrid en agosto de 2006 se reconocio comocorrecto el trabajo de Perelman y dicha conjetura paso a ser un teorema.

Volviendo al contenido de este curso, lo primero que cabe destacar es queen un e.t. (X, τ) es mas relevante la topologıa τ que el conjunto X: entre latopologıa indiscreta τI = {∅, X} y la topologıa discreta τD = P(X) puedendefinirse muchas topologıas sobre un mismo conjunto X t.q. los (X, τ) tienenpropiedades distintas y por tanto no son homeomorfos mientras que conjuntosdistintos pueden ser topologicamente equivalentes.

En el curso previo se dieron una serie de topologıas no usuales sobre espaciosusuales (recta de Sorgenfrey, plano de Moore, plano del semidisco,...) queconviene recordar por ser utiles ejemplos (mas bien contraejemplos) de queciertas propiedades no se conservan en subespacios, productos o cocientes.

2 TOPOLOGIA PRODUCTO

Dado un conjunto X y una aplicacion f : X −→ (Y, τY ), la familia

f−1(τY ) = {f−1(V )|V ∈ τY }

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es la menor topologıa sobre X t.q. f es continua: si τX es otra topologıa sobreX t.q. f es continua entonces es claro que f−1(τY ) ⊂ τX . Tal topologıa f−1(τY )se denomina topologıa debil inducida por f .

Dados dos e.t. X e Y , consideramos el producto cartesiano X×Y y queremosdefinir una topologıa sobre el t.q. las proyecciones canonicas p1 y p2 seancontinuas, es decir p−1

1 (U) = U × Y y p−12 (V ) = X × V deben ser abiertos en

X × Y para todo U ∈ τX y V ∈ τY . Es claro que la menor topologıa sobreX × Y que hace continuas las proyecciones es la que tiene a dichos conjuntoscomo subbase, es decir

Sp = {U × Y |U ∈ τX} ∪ {X × V |V ∈ τY }

es subbase de una topologıa τp sobre X × Y que se denominara topologıaproducto.

Dadas f : Z −→ X y g : Z −→ Y , existe una aplicacion h : Z −→ X × Yunica t.q. t.q. p1h = f y p2h = g (propiedad universal del producto directo).Notar que h(z) = (f(z), g(z)) y es usual denotar h = (f, g).

2.1 Proposicion h es continua si y solo si lo son f y g. En particular, ladiagonal ∆ : X −→ X ×X es continua.

Dem. Si h es continua, entonces f = p1h y g = p2h tambien lo son, por serlo lasproyecciones. Recıprocamente, si f y g son continuas y U×V es un abierto enX×Y , entonces h−1(U×V ) = h−1(U×Y ∩X×V ) = h−1(p−1

1 (U)∩p−12 (V )) =

h−1p−11 (U)∩h−1p−1

2 (V ) = (p1h)−1(U)∩(p2h)

−1(V ) = f−1(U)∩g−1(V ) abiertoen Z, luego h continua.

Ejercicio 01 Probar los siguientes homeomorfismos

(1) X × Y ≈ Y ×X.(2) (X × Y )× Z ≈ X × (Y × Z).(3) X × {pt} ≈ X ≈ {pt} ×X.

Ejercicio 02 Dados A ⊂ X y B ⊂ Y , probar las siguientes afirmaciones:

(1) A×B = A×B.(2) (A×B)′ = A′ ×B ∪ A×B′

(3) Int(A×B) = Int(A)× Int(B).(4) Fr(A×B) = [A× Fr(B)] ∪ [Fr(A)×B].(5) A×B es denso en X × Y si y solo si A denso en X y B denso en Y .

Ejercicio 03 Sean Bx y By bases de entornos de x ∈ X e y ∈ Y , probar que{Ux × V y|Ux ∈ Bx, V y ∈ By} es una base de entornos de (x, y) en X × Y .

Ejercicio 04 Probar que X×Y es I-AN, II-AN y separable, respectivamente,

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si y solo si lo son ambos factores.

Ejercicio 05 Sea RS la recta de Sorgenfrey. ¿Cual es la topologıa productoen RS × RS? ¿Cual es la topologıa inducida en A = {(x, y) ∈ R2|x+ y = 1}?

Ejercicio 06 En R2, con la topologıa usual, se consideran los subespaciosA = {(x, y) ∈ R2|xy = 0} y B = {(x, y) ∈ R2|xy = 1}. Estudiar si A esabierto en R2 y en M = A ∪ B. Estudiar si U = {(x, 0) ∈ R2|x ∈ R} esentorno del origen en R2 y en M .

Ejercicio 07 En R2, con la topologıa usual, se consideran los subespaciosC = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1} y D = {(x, y) ∈ R2|x = y} y sea N = C ∪D.Estudiar si C es entorno de (

√2,√

2) y de (0, 1) en N .

Sea X un conjunto, {(Xi, τi)}i∈J una familia de e.t. y {fi : X −→ Xi}i∈J unafamilia de aplicaciones. Definimos la topologıa debil sobre X inducida porla familia {fi}i∈J como la menor topologıa que hace continuas las fi.

El conjunto S =⋃

i∈J Si con Si = {f−1i (Ui)|Ui ∈ τi} es una subbase para dicha

topologıa.

2.2 Teorema Sea X con la topologıa debil inducida por {fi}i∈J , entonces unaaplicacion h : Y −→ X es continua si y solo si fih es continua para todo i ∈ J .

Dem. Si h es continua, entonces fih es continua para todo i ∈ J , ya que lasfi son continuas. Recıprocamente, sea U abierto en X, entonces U es unionarbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma f−1

i (Ui), por tantoh−1(U) sera union arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la formah−1f−1

i (Ui) = (fih)−1(Ui), abiertos en Y si las fih son continuas para todo

i ∈ J , luego h−1(U) abierto y por tanto h continua.

Sea ahora X =∏Xi, un punto del producto es una |J |-tupla (xi) y denotamos

por pk :∏Xi −→ Xk t.q. pk((xi)) = xk la proyeccion canonica sobre el k-simo

factor, entonces definimos la topologıa producto τp sobre∏Xi como la

topologıa debil inducida por las proyecciones {pi}i∈J .

Si U ∈ τk notar que p−1k (U) =

∏Ui, donde Uk = U y Ui = Xi para todo i 6= k.

Una subbase de τp viene dada por

Sp = {p−1i (U)|U ∈ τi, i ∈ J} =

⋃i∈J

{p−1i (U)|U ∈ τi}

y, si F recorre los subconjuntos finitos de J , una base para τp viene dada por

Bp = {∏Uj|Uj ∈ τj, Uj = Xj,∀j ∈ J − F}

Dada una familia de aplicaciones {fi : X −→ Xi}i∈J , existe una aplicacionf : X −→ ∏

Xi definida por f(x) = (fi(x)), unica t.q. pif = fi. Entonces

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2.3 Corolario f es continua si y solo si cada fi = pif lo es.

La topologıa caja sobre∏Xi esta definida por

∏τi = {∏i∈J Ui|Ui ∈ τi}.

Es claro que τp ⊆∏τi y notar que τp =

∏τi si J = {1, 2, ...n} (es decir, si

|J | <∞). Pero estas topologıas no coinciden en el caso de una familia infinita.

Ejemplo Dada una familia infinita {(Xi, τi)}i∈J t.q. cada Xi es un espaciodiscreto con mas de un punto, entonces la topologıa caja

∏τi es la topologıa

discreta mientras que la topologıa producto τp no es discreta.

2.4 Proposicion Dada una familia arbitraria {(Xi, τi)}i∈J de e.t. entonces:

(1) Las proyecciones pj :∏Xi −→ Xj son continuas, abiertas y sobre.

(2) Si Ai ⊂ Xi, entonces∏Ai =

∏Ai.

(3) Int(∏Ai) ⊂

∏Int(Ai) y en general el contenido es estricto.

(4)∏Di denso en

∏Xi si y solo si Di denso en Xi para todo i ∈ J

Ejercicio 08 Sea {fi : Xi −→ Yi}i∈J una familia de aplicaciones y definimosf :

∏Xi −→

∏Yi por f((xi)) = (fi(xi)), es decir f =

∏fi. Probar que f es

continua si y solo si fi es continua para todo i ∈ J .

3 TOPOLOGIA COCIENTE

Sea (X, τ) un e.t. y f : X −→ Y una aplicacion suprayectiva o sobre, entoncesla coleccion de partes de Y

τ(f) = {U ⊂ Y |f−1(U) ∈ τ}

es una topologıa sobre Y llamada topologıa identificacion o topologıacociente inducida sobre Y por f .

Ejercicio 09 Sea R con la topologıa usual τU , Y = {a, b, c} un conjunto yf : R −→ Y una aplicacion dada por f(x) = a si x > 0, f(x) = b si x < 0 yf(0) = c. Hallar la topologıa identificacion τ(f) sobre Y inducida por f .

Si τY es una topologıa sobre Y t.q. f es continua notar que τY ⊆ τ(f), entonces

3.1 Lema τ(f) es la mayor topologıa sobre Y que hace continua a f .

Dada una aplicacion continua y sobre f : (X, τX) −→ (Y, τY ), diremos quef es una identificacion si τY = τ(f). Es claro que todo homeomorfismoes una identificacion y, como (gf)−1(U) = f−1g−1(U), es claro tambien quecomposicion de identificaciones es identificacion.

Ejercicio 10 Sea I = [0, 1] con la topologıa usual, S0 = {0, 1} con la topologıa

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de Sierpinski y sea χ : I −→ S0 la funcion caracterıstica de A = [1/2, 1].Probar que χ es una identificacion pero que no es abierta ni cerrada.

3.2 Proposicion Sea f : X −→ Y una aplicacion sobre, continua y abierta(o cerrada), entonces f es una identificacion. En particular, una biyeccioncontinua es una identificacion si y solo si es un homeomorfismo.

Dem. Sabemos que τY ⊆ τ(f). Recıprocamente, sea U ∈ τ(f), entoncesf−1(U) ∈ τX y por ser f abierta ff−1(U) ∈ τY . Pero f sobre implica queff−1(U) = U , luego U ∈ τY y por tanto τ(f) ⊆ τY . Concluimos que τY =τ(f). Por otra parte, si f es una identificacion biyectiva y U ∈ τX , comof−1f(U) = U se sigue que f(U) ∈ τ(f) = τY , luego f abierta y sabemos quetoda biyeccion continua y abierta es un homeomorfismo.

Dada una aplicacion continua f : X −→ Y llamaremos seccion de f a unaaplicacion continua s : Y −→ X t.q. fs = 1Y .

3.3 Proposicion Sea f : X −→ Y una aplicacion continua. Si f admite unaseccion entonces f es una identificacion.

Dem. Notar que fs = 1Y implica que f es sobre. Sea U ∈ τ(f), entoncesf−1(U) ∈ τX y s continua implican que s−1f−1(U) ∈ τY , pero s−1f−1(U) =(fs)−1(U) = 1−1

Y (U) = U , luego U ∈ τY y por tanto τ(f) ⊆ τY . Concluimosque τ(f) = τY y en consecuencia f es una identificacion.

3.4 Proposicion Sea f : X −→ Y una identificacion y g : Y −→ Z unaaplicacion. Entonces g es continua (identificacion) si y solo si la composiciongf es continua (identificacion).

Dem. Sea U ∈ τZ , si gf continua entonces f−1g−1(U) = (gf)−1(U) ∈ τX ,pero f identificacion implica que g−1(U) ∈ τ(f) = τY , por tanto g continua.Notar que U ∈ τ(gf) sı y solo si f−1g−1(U) = (gf)−1(U) ∈ τX , lo cual ocurresı y solo si g−1(U) ∈ τ(f) = τY , o equivalentemente si U ∈ τ(g). Por tantoτ(gf) = τ(g) y es claro que gf es identificacion sı y solo si g es identificacion.

Dada una aplicacion continua f : X −→ Y y A ⊂ X, en general se tiene queA ⊆ f−1f(A). Diremos que A es un conjunto f-saturado si A = f−1f(A).Notar que una identificacion f es abierta (cerrada) si y solo si f−1f(U) esabierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) en X.

3.5 Teorema Sea f : X −→ Y una identificacion y h : X −→ Z unaaplicacion continua. Si h es constante sobre f−1(y), para cada y ∈ Y , entoncesg : Y −→ Z, dada por g(y) = hf−1(y), es continua (notar que gf = h).Ademas g es abierta (cerrada) si y solo si h(U) es abierto (cerrado) para todoU abierto (cerrado) y f -saturado.

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Dem. Sea U ∈ τZ , entonces f−1g−1(U) = (gf)−1(U) = h−1(U) ∈ τX luegog−1(U) ∈ τ(f) = τY , ya que f es identificacion, por tanto g continua. Porotra parte, sea U = f−1f(U) abierto en X, como f es identificacion se sigueque f(U) ∈ τ(f) = τY , entonces si g es abierta, tambien h(U) = gf(U) esabierto. Recıprocamente, si V es abierto en Y se sigue que g(V ) = hf−1(V )sera abierto en Z, ya que f−1(V ) es un abierto f -saturado (en efecto, f sobreimplica que f−1(A) es f -saturado para todo A ⊂ Y ), por tanto g es abierta.

Sea (X, τ) un e.t. yR una relacion de equivalencia sobre X, denotaremos X/Rel conjunto cociente y q : X −→ X/R, dada por q(x) = [x], la proyeccion.Entonces X/R con la topologıa identificacion τ(q) inducida por q se diraespacio cociente de X por R.

Ejemplo Definimos una relacion de equivalenciaR sobre R3−{0} como sigue:x ∼ y si y solo si existe t ∈ R−{0} t.q. y = tx. El espacio cociente R3−{0}/Rse llama plano proyectivo real y lo denotaremos RP 2.

Ejercicio 11 Sea D2 = {x ∈ R2|‖x‖ ≤ 1} el disco unidad, definimos unarelacion de equivalencia R sobre D2 como sigue: x ∼ y si y solo si x = y o sonantipodales (es decir, x, y ∈ S1 y y = −x). Probar que D2/R ≈ RP 2.

Sean X1, X2 e.t. con relaciones de equivalencia R1 y R2, respectivamente.Diremos que una aplicacion f : X1 −→ X2 conserva la relacion si para todox ∼ y se sigue que f(x) ∼ f(y). En tal caso, se sigue que f induce unaaplicacion en los cocientes f∗ : X1/R1 −→ X2/R2 dada por f∗[x] = [f(x)].

3.6 Proposicion Si f es continua entonces tambien f∗ es continua. Si f esidentificacion, tambien f∗ es identificacion.

Dem. Notar que f∗q1 = q2f , entonces dado U ∈ τ(q2) se tiene que q−11 f−1

∗ (U) =f−1q−1

2 (U) ∈ τX1 ya que f continua. Entonces f−1∗ (U) ∈ τ(q1) y por tanto f∗ es

continua. Por otra parte, f identificacion implica que tambien lo es q2f = f∗q1,es decir τ(f∗q1) = τ(q2), pero τ(f∗) = τ(f∗q1) por (3.4), ya que q1 es unaidentificacion. Entonces τ(f∗) = τ(q2) y por tanto f∗ es identificacion.

Una aplicacion f : X −→ Y define una relacion R(f) en X como sigue:x1 ∼ x2 si y solo si f(x1) = f(x2). Claramente R(f) es de equivalencia. Elespacio cocienteX/R(f) se llama espacio descomposicion de f . Denotamospor q : X −→ X/R(f) la identificacion, como f es constante sobre cada fibraq−1([x]) = f−1f(x), se sigue por (3.5) que la aplicacion f : X/R(f) −→ Y ,dada por f([x]) = f(x), es continua. Notar que f = f q y que f es inyectiva.

3.7 Teorema Sea f : X −→ Y continua y sobre, entonces f : X/R(f) −→ Yes un homeomorfismo si y solo si f es una identificacion.

Dem. Si f es un homeomorfismo entonces f = f q es una identificacion, ya

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que q lo es. Recıprocamente, notar que si f = f q es sobre, tambien lo es f ,por tanto f es una biyeccion continua. Como τ(f) = τ(f q) = τ(f), si f esidentificacion tambien lo es f y el teorema se sigue por (3.2).

Coproductos

Dados dos espacios X1, X2 definimos la el coproducto o suma topologicaX1

∐X2 como la union disjunta de X1 y X2. Definimos una topologıa sobre

X1∐X2 como sigue: U ⊂ X1

∐X2 es abierto si y solo si U ∩X1 y U ∩X2 son

abiertos en X1 y X2 respectivamente. Es claro que esta topologıa es la mayort.q. las inclusiones i1 : X1 −→ X1

∐X2 y i2 : X2 −→ X1

∐X2 son continuas

(en efecto, notar que U ∩Xk = i−1k (U), para k = 1, 2).

Dadas fk : Xk −→ Z (k = 1, 2) existe una aplicacion f : X1∐X2 −→ Z unica

t.q. fi1 = f1 y fi2 = f2 (propiedad universal del coproducto)

3.7 Teorema f es continua si y solo si f1 y f2 son continuas.

Dem. Sean f1 y f2 continuas y U abierto en Z, notar que f−1(U) es abiertoen X1

∐X2 sı y solo sı f−1(U) ∩Xk es abierto en Xk para k = 1, 2, pero

f−1(U) ∩Xk = i−1k (f−1(U)) = (fik)

−1(U) = f−1k (U)

el cual es abierto en Xk por ser fk continua. El recıproco es obvio.

Sean A,B ⊂ X con la topologıa inducida, las inclusiones jA y jB de A y Ben A ∪ B respectivamente, son continuas e inducen por tanto una aplicacioncontinua y sobre j : A

∐B −→ A ∪ B. Si f : A −→ Y y g : B −→ Y son

dos aplicaciones t.q. f(x) = g(x) para todo x ∈ A∩B, definimos la aplicacion”pegamiento” de f y g como la aplicacion f ∪ g : A ∪ B −→ Y dada por(f ∪ g)(x) = f(x) si x ∈ A y (f ∪ g)(x) = g(x) si x ∈ B.

3.8 Lema Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas, si A y B son cerrados(o abiertos) en A ∪B entonces f ∪ g : A ∪B −→ Y es tambien continua.

Dem. Por (3.7) la composicion (f ∪ g)j : A∐B −→ Y es continua si lo

son f y g. Si A y B son cerrados en A ∪ B se sigue que j aplica cerradosen cerrados luego es cerrada. Por (3.2) se sigue que j es una identificacion,entonces (f ∪ g)j continua y (3.4) implican que f ∪ g es continua.

Sea A un subespacio cerrado de X y f : A −→ Y una aplicacion continua,definimos una relacion de equivalencia R sobre X

∐Y como sigue: a ∼ f(a)

para todo a ∈ A. El espacio cociente X∐Y/R se llama adjuncion o pegado

de X e Y a traves de f y lo denotaremos X ∪f Y . Si A cerrado en X yf : A −→ Y continua t.q. Y = {∗} entonces X ∪f {∗} se denota usualmentepor X/A. Este ultimo espacio denota tambien el espacio cociente X/R, dondeR es la siguiente relacion de equivalencia: xRy sı y solo si x = y o x, y ∈ A.

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4 SEPARACION

Un e.t. X se dice T0-espacio si para todo par de puntos x 6= y en X, existe unabierto que contiene a uno de ellos y no al otro (es decir, ∃ U ∈ τ t.q. x ∈ U ,y ∈ (X − U) o bien ∃ V ∈ τ t.q. y ∈ V , x ∈ (X − V )).

Ejemplo Espacios indiscretos no son T0-espacios. El espacio de Sierpinski(X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X}) es un T0-espacio.

Un e.t. X se dice T1-espacio si para todo par de puntos x 6= y en X, existenentornos de cada uno de ellos que no contienen al otro (es decir, ∃ U, V ∈ τt.q. x ∈ U ∩ (X − V ), y ∈ V ∩ (X − U)).

Ejemplo Todo T1-espacio es T0-espacio pero no recıprocamente: Notar que elespacio de Sierpinski es un T0-espacio pero no T1-espacio.

4.1 Proposicion Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(1) X es un T1-espacio.(2) Todo punto en X es cerrado.(3) Todo subespacio de X es interseccion de abiertos que lo contienen.

Dem. Sea X un T1-espacio, x ∈ X y sea y ∈ X − {x}, como existe U entornoabierto de y que no contiene a x se sigue que y ∈ U ⊂ X−{x}, luego X−{x}es abierto y por tanto {x} es cerrado. Si todo punto es cerrado y A ⊂ X esclaro que A = ∩{X − {x}|x ∈ X − A}. Finalmente, sea x 6= y y supongamosque se satisface (3), entonces para A = {x} es claro que existe un entornoabierto de x que no contiene a y y analogamente, tomando A = {y}, existiraun entorno abierto de y que no contiene a x, por tanto X es un T1-espacio.

Notar que la menor topologıa que hace de un conjunto X un T1-espacio es laque tiene como subbase a S = {X−{x}|x ∈ X}, es decir la topologıa cofinitaτCF = {U ⊂ X|card(X −U) <∞}. En particular, si X es un conjunto finito,la unica topologıa que hace de X un T1-espacio es la discreta.

Ejercicio 12 Sea X un T1-espacio y A ⊆ X. Si A es finito probar que A′ escerrado. Si A infinito y x ∈ A′, probar que todo entorno de x contiene infinitospuntos de A.

Ejercicio 13 Una relacion de equivalencia R se dice cerrada si las clasesRx = {y|y ∼ x} son subconjuntos cerrados de X. Sea R una relacion deequivalencia sobre un e.t. X, probar que X/R es T1 si y solo si R es cerrada.

Ejercicio 14 Sea X un T1-espacio y A ⊂ X, entonces probar: (1) A′ cerrado.(2) (A′)′ ⊂ A′. (3) (A)′ = A′.

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Espacios Hausdorff o T2-espacios.

Un e.t. X se dice T2-espacio o que es Hausdorff si para todo par de puntosdistintos existen abiertos disjuntos que los contienen (es decir, para todo x 6= yen X, existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅).

Es claro que todo T2-espacio es un T1-espacio. Un conjunto de cardinal infinitoX con la topologıa cofinita es T1 pero no T2. La propiedad de ser un Tk-espacio(k = 0, 1, 2) es hereditaria: subespacios de un Tk-espacio son Tk-espacios.


(1) X es Hausdorff.(2) Sea x ∈ X, para todo y 6= x existe U ∈ τ t.q. x ∈ U , y /∈ U .(3) Para todo x ∈ X,

⋂{U |U ∈ τ, x ∈ U} = {x}.(4) La diagonal ∆ = {(x, x)|x ∈ X} es cerrado en X ×X.

Dem. Sea x 6= y y suponer que X es Hausdorff, entonces existen U, V ∈ τ t.q.x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅, en particular y ∈ Int(X − U) = X − U . Que (2)implica (3) es inmediato. Notar que U ∩ V = ∅ sı y solo si U × V ∩ ∆ = ∅.Sea (x, y) ∈ X × X − ∆ y supongamos que existe U entorno abierto dex t.q. y ∈ X − U , entonces (x, y) ∈ U × (X − U) ⊂ X × X − ∆, luegoX×X−∆ es abierto y por tanto ∆ es cerrado. Finalmente, si ∆ es cerrado sucomplementario es abierto, entonces dados x 6= y existiran abiertos U, V t.q.(x, y) ∈ U × V ⊂ X ×X −∆, por tanto U × V ∩∆ = ∅ o equivalentementeU ∩ V = ∅ y se sigue que X es Hausdorff.

Ejercicio 15 Sea X un espacio Hausdorff y F = {x1, ....xn} un conjuntofinito. Probar que existen entornos Ui de xi, 1 ≤ i ≤ n, disjuntos dos a dos.

4.3 Proposicion Sea Y Hausdorff y f, g : X −→ Y continuas, entoncesC = {x ∈ X|f(x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso enX y f |D = g|D entonces se sigue que f = g.

Dem. Veamos que X−C es abierto. Si x ∈ X−C entonces f(x) 6= g(x) y comoY es Hausdorff existiran U, V abiertos t.q. f(x) ∈ U , g(x) ∈ V y U ∩ V = ∅.Como f y g continuas se sigue que f−1(U) ∩ g−1(V ) abierto y es claro quex ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ) ⊂ X − C (en efecto, si z ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ) entoncesf(z) 6= g(z), ya que f(z) ∈ U , g(z) ∈ V y U ∩ V = ∅, luego z ∈ X − C). SeaD denso en X y f |D = g|D entonces D ⊂ C y X = D, como C es cerrado sesigue que X = C, es decir f(x) = g(x) para todo x ∈ X y por tanto f = g.

Ejercicio 16 Diremos que un A ⊂ X es un retracto de X si existe r : X −→ Acontinua t.q. ri = 1A, siendo i : A −→ X la inclusion. Probar que A esun retracto de X si y solo si para todo espacio Y , toda aplicacion continuaf : A −→ Y se extiende a X, es decir existe g : X −→ Y continua t.q. gi = f .

10

Probar que si X es un espacio Hausdorff y A es un retracto de X, entonces Aes cerrado en X

Ejercicio 17 Diremos que un espacio X tiene la propiedad del punto fijo sipara toda aplicacion continua f : X −→ X existe x ∈ X t.q. f(x) = x. Probarque si X tiene la propiedad del punto fijo, tambien la tiene todo retracto de X.Sea X un espacio Hausdorff y f : X −→ X continua. Probar que el conjuntode puntos fijos de f es cerrado en X.

Ejercicio 18 Sea f : X −→ Y una aplicacion continua, definimos el grafo def como el conjunto Γf = {(x, f(x))|x ∈ X} ⊂ X × Y . Probar que Γf , con latopologıa inducida por la topologıa producto, es homeomorfo a X.

Ejercicio 19 Sea Y un e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicacion continua.Probar que Γf es cerrado en X × Y .

4.4 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicacion continua. Si Y es Hausdorffentonces C = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X ×X.

Dem. Veamos que el complementario de C es abierto. Si (x1, x2) ∈ X×X−Centonces f(x1) 6= f(x2) y como Y es Hausdorff, existiran abiertos disjuntosU1, U2 t.q. f(x1) ∈ U1 y f(x2) ∈ U2. Entonces f−1(U1)× f−1(U2) es abierto y(x1, x2) ∈ f−1(U1)× f−1(U2) ⊂ X ×X −C (probaremos el ultimo contenido:si (z1, z2) ∈ f−1(U1) × f−1(U2) se sigue que f(z1) ∈ U1 y f(z2) ∈ U2, luegof(z1) 6= f(z2), ya que U1 ∩ U2 = ∅, y por tanto (z1, z2) ∈ X ×X − C).

Si f es abierta y sobre, entonces se satisface el recıproco:

4.5 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicacion continua, abierta y sobre, siC = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X ×X, entonces Y es Hausdorff.

Dem. Sean f(x1) 6= f(x2), entonces (x1, x2) ∈ X ×X − C, abierto por ser Ccerrado, luego existen abiertos U1, U2 t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂ X ×X − C ypor tanto U1 × U2 ∩ C = ∅ y esto implica U1 ∩ U2 = ∅, ya que ∆ ⊂ C. Si fes abierta, se sigue que f(U1) y f(U2) son dos abiertos disjuntos que separana f(x1) y f(x2) y concluimos que Y es Hausdorff (probaremos que f(U1) yf(U2) son disjuntos: si y ∈ f(U1) ∩ f(U2) existiran x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q.f(x1) = y = f(x2), luego U1 × U2 ∩ C 6= ∅ y llegamos a una contradiccion).

4.6 Proposicion Dada una familia no vacıa {Xi}i∈J , entonces el producto∏Xi es un Tk-espacio (k = 0, 1, 2) si y solo si cada factor Xi lo es.

Dem. Lo probaremos para el caso k = 2. Supongamos que Xi es un T2-espaciopara todo i ∈ J , si (xi) 6= (zi) en

∏Xi, tales puntos diferiran al menos una

coordenada, es decir existe k ∈ J t.q. xk 6= zk. Como Xk es Hausdorff existiranUk, Vk ∈ τk t.q. xk ∈ Uk, zk ∈ Vk y Uk ∩ Vk = ∅. Entonces (xi) ∈ p−1

k (Uk),

11

(zi) ∈ p−1k (Vk) abiertos en

∏Xi t.q. p−1

k (Uk) ∩ p−1k (Vk) = p−1

k (Uk ∩ Vk) = ∅.Recıprocamente, si

∏Xi es Hausdorff y k ∈ J , elegimos un punto x0

i ∈ Xi

para cada i 6= k y sea ik : Xk −→∏Xi, dada por ik(xk) = (xi) con xi = x0

i

para todo i 6= k. Como la propiedad ”Hausdorff” es hereditaria se sigue queik(Xk) es Hausdorff, pero ik(Xk) es homeomorfo a Xk, y esto para todo k ∈ J .

Cocientes de espacios Hausdorff no son necesariamente Hausdorff.

Ejemplo Sea X = R2 con la topologıa usual y definimos la siguiente relacionde equivalencia (x1, y1)R(x2, y2) sı y solo si y1, y2 < 0 o y1, y2 ≥ 0. SeanA = {(x, y)|y ≥ 0} y B = {(x, y)|y < 0} y consideremos la identificacionq : X −→ X/R, denotamos q(A) = a y q(B) = b. Entonces X/R = {a, b}.Como q−1(b) = B abierto en la topologıa usual, se sigue que {b} es abierto enX/R, luego la topologıa cociente es τ(q) = {∅, {b}, X/R}, es decir (X/R, τ(q))es el espacio de Sierpinski, que no es Hausdorff.

Dada una relacion de equivalencia R sobre un e.t. X, podemos mirarla comoun subespacio del producto: R = {(x1, x2)|x1 ∼ x2} ⊂ X ×X. La aplicacionq × q : X ×X −→ X/R×X/R es continua y es claro que R = (q × q)−1(∆).Notar que si X/R es Hausdorff entonces R debe ser un cerrado en X ×X.

4.7 Proposicion Sea X un e.t., R una relacion de equivalencia sobre X. Si Res cerrado en X×X y q : X −→ X/R es abierta, entonces X/R es Hausdorff.

Dem. Sean [x1] 6= [x2] en X/R, es decir (x1, x2) ∈ X×X−R, el cual es abiertopor ser R cerrado, entonces existen U1, U2 abiertos t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂X ×X −R. Como q abierta, q(U1) y q(U2) son dos abiertos t.q. [x1] ∈ q(U1),[x2] ∈ q(U2) y q(U1) ∩ q(U1) = ∅ (en efecto, si [x] ∈ q(U1) ∩ q(U1) entoncesexisten x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q. [x] = q(x1) = q(x2) o bien [x1] = [x2], y portanto (x1, x2) ∈ R, lo cual es una contradiccion ya que U1×U2 ⊂ X×X−R).

4.8 Proposicion Si Y es un espacio Hausdorff y f : X −→ Y es una aplicacioncontinua e inyectiva entonces tambien X es Hausdorff. En particular, si YHausdorff y f : X −→ Y continua entonces X/R(f) es Hausdorff.

Dem. Sean x1 6= x2 en X, si f es inyectiva entonces f(x1) 6= f(x2) y comoY es Hausdorff, existiran abiertos U1 y U2 t.q. f(x1) ∈ U1, f(x2) ∈ U2 yU1 ∩ U2 = ∅. Entonces, si f es continua, f−1(U1) y f−1(U2) son abiertos t.q.x1 ∈ f−1(U1), x2 ∈ f−1(U2) y f−1(U1)∩f−1(U2) = f−1(U1∩U2) = f−1(∅) = ∅,luego X ∈ T2. La segunda parte se sigue inmediatamente ya que f continuaimplica que f : X/R(f) −→ Y es continua e inyectiva.

Espacios regulares y T3-espacios.

Un e.t. (X, τ) se dice regular si para todo F cerrado en X y x /∈ F existenU, V ∈ τ t.q. x ∈ U , F ⊂ V y U ∩V = ∅. En general, un espacio regular no es

12

necesariamente un T1-espacios (en efecto, un espacio indiscreto es regular perono es T0, por tanto tampoco T1). Un T1-espacio regular se dira T3-espacio.

Ejemplo Todo T3-espacio es Hausdorff pero no recıprocamente. Sea X = Rcon la topologıa τ definida como sigue: los entornos basicos para cada puntox 6= 0 son los usuales y los entornos basicos del 0 son de la forma (−ε, ε)−A,donde A = {1/n}n∈N. Entonces (R, τ) es Hausdorff, ya que τ es mas fina quela topologıa usual (es decir, τU ⊂ τ), pero (R, τ) no es un T3-espacio: A es uncerrado en X que no se puede separar de 0 por abiertos disjuntos.

4.9 Teorema Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) X es regular.(2) Sean U ∈ τ y x ∈ U , entonces existe V ∈ τ t.q. x ∈ V y V ⊂ U .(3) Todo x ∈ X admite una base de entornos Bx = {Bx} t.q. Bx cerrado.

Dem. Sea U entorno abierto de x, entonces x /∈ X−U cerrado, si X es regularexistiran V,W abiertos t.q. x ∈ V , X − U ⊂ W y V ∩W = ∅. En particularV ⊂ X − W ⊂ U y X − W cerrado implica V ⊂ X − W ⊂ U . Que (2)implica (3) es obvio. Finalmente, si se satisface (3) y F es un cerrado en Xt.q. x /∈ F , notar que X − F es un abierto que contiene a x, luego existe Ventorno cerrado de x t.q. x ∈ V ⊂ X−F . Es claro que x ∈ Int(V ), F ⊂ X−Vy Int(V ) ∩ (X − V ) = ∅, por tanto X es regular.

Ejercicio 20 Si X es un T3-espacio probar que para todo par de puntos x 6= yexisten entornos U de x y V de y t.q. U ∩ V = ∅.

La regularidad es hereditaria y se conserva en productos:

4.10 Proposicion Dada una familia {Xi}i∈J , entonces el producto∏Xi es

regular (T3-espacio) si y solo si cada factor Xi es regular (T3-espacio).

Dem. Si∏Xi es regular tambien lo seraXk ≈ ik(Xk) ⊂

∏Xi. Recıprocamente,

suponer que Xk es regular para todo k ∈ J y sean (xi) ∈∏Xi y U =

∏Ui ∈ τp

t.q. (xi) ∈ U (recordar que Ui = Xi para todo i ∈ J−F ). Para cada xi elegimosVi ∈ τi t.q. xi ∈ Vi ⊂ Vi ⊂ Ui de forma que Vi = Xi cuando Ui = Xi, entonces(xi) ∈

∏Vi ⊂

∏Vi =

∏Vi ⊂

∏Ui = U . Por (4.9) se sigue que

∏Xi es regular.

Por (4.5) la proposicion se satisface tambien para T3-espacios.

Cocientes de T3-espacios no son necesariamente regulares:

Ejemplo Sea X = {(x, 0)|x ∈ R}∪ {(x, 1)|x ∈ R} y sea Y el espacio cocientede X obtenido al identificar los puntos p0 ≡ (x, 0) con p1 ≡ (x, 1) para todo0 6= x ∈ R. Claramente X es T3 y la proyeccion q : X −→ Y es continua sobrey abierta pero los puntos p0 y p1 no se pueden separar por abiertos. Por tantoY es T1 pero no T2 y como los puntos son cerrados, tampoco es regular.

13

4.11 Lema Sea f : X −→ Y una aplicacion continua y cerrada, B ⊂ Y yU ∈ τX t.q. f−1(B) ⊂ U , entonces existe V ∈ τY t.q. B ⊂ V y f−1(V ) ⊂ U .

Dem. Definimos V = Y −f(X−U) que es abierto si f cerrada. Si f−1(B) ⊂ U ,entonces B ⊂ V (en efecto, si y ∈ B entonces f−1(y) ⊂ U o equivalentementef−1(y) ∩ (X − U) = ∅, luego y = ff−1(y) ∈ Y − f(X − U) = V ). Ademas,f−1(V ) = f−1(Y − f(X − U)) = X − f−1f(X − U) ⊂ X − (X − U) = U .

4.12 Teorema Sea X un T3-espacio y f : X −→ Y una aplicacion continua,sobre, abierta y cerrada. Entonces Y es Hausdorff.

Dem. Notar en primer lugar que si f es continua, sobre y abierta se sigue enparticular que f es una identificacion. Para que Y sea Hausdorff, por (4.4)bastara probar que R(f) = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X × X obien que su complementario es abierto: sea (x1, x2) ∈ X×X−R(f), entoncesf(x1) 6= f(x2) y por tanto x1 /∈ f−1f(x2). Notar que este ultimo conjuntoes cerrado ya que X es T1-espacio (en particular {x2} sera cerrado) y f escerrada, entonces como X es regular existiran abiertos U, V en X t.q. x1 ∈ U ,f−1f(x2) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Aplicando (4.11) para B = f(x2), existira unabierto W t.q. f(x2) ∈ W y f−1f(x2) ⊂ f−1(W ) ⊂ V y como U ∩f−1(W ) = ∅se sigue que (x1, x2) ∈ U × f−1(W ) ⊂ X ×X −R(f), luego R(f) cerrado.

Sea A un subespacio cerrado de X, notar que la identificacion q : X −→ X/Aes una aplicacion cerrada. En efecto, sea F cerrado en X, como X/A tiene latopologıa cociente, notar que q(F ) sera cerrado en X/A sı y solo si q−1q(F )es cerrado en X. Pero q−1q(F ) = F , si F ∩ A = ∅ y q−1q(F ) = F ∪ A, siF ∩A 6= ∅. Por tanto q−1q(F ) es cerrado en ambos casos, supuesto A cerrado.

4.13 Teorema Si X es un T3-espacio y A es cerrado en X, entonces X/A conla topologıa cociente es un espacio Hausdorff.

Dem. Si [x1] 6= [x2] caben dos casos: x1, x2 /∈ A o x1 /∈ A y x2 ∈ A. En elprimer caso, como X−A es Hausdorff, existiran U, V abiertos en X−A y portanto en X, ya que X − A abierto en X, t.q. x1 ∈ U , x2 ∈ V y U ∩ V = ∅.Notar que U = q−1q(U) y V = q−1q(V ), por tanto q(U) y q(V ) son abiertosen X/A t.q. [x1] ∈ q(U), [x2] ∈ q(V ) y q(U)∩ q(V ) = ∅. En el segundo caso, six1 /∈ A existiran U, V abiertos en X t.q. x1 ∈ U , A ⊂ V y U ∩ V = ∅, ya queA cerrado y X es un T3-espacio. Como U ⊂ X −A se sigue que U = q−1q(U),luego [x1] ∈ q(U) abierto en X/A. Es claro tambien que V = q−1q(V ) y portanto [x2] = {A} ∈ q(V ) abierto en X/A. Como q(U) ∩ q(V ) = ∅ concluimosque X/A es Hausdorff.

Espacios normales y T4-espacios

Un e.t. (X, τ) se dice normal si para todo par de subespacios cerrados ydisjuntos A y B, existen abiertos U y V t.q. A ⊂ U , B ⊂ V y U ∩ V = ∅.

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Ejemplo Un espacio normal no es necesariamente regular. En efecto, sea Rcon la siguiente topologıa τ = {∅,R} ∪ {(a,+∞)|a ∈ R}, entonces (R, τ)es trivialmente normal, ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no esregular ya que 1 ∈ R y el cerrado (−∞, 0] no se pueden separar por abiertosdisjuntos (el unico abierto que contiene a (−∞, 0] es R).

Notar que (R, τ) es T0-espacio pero no T1-espacio. Analogamente, el espaciode Sierpinski es normal ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no esun T1-espacio. Un T1-espacio normal se dira T4-espacio. En un T1-espacio,normalidad implica regularidad, luego todo T4-espacio es T3-espacio.

Ejemplo La recta de Sorgenfrey (R, τS) es un T4-espacio: dados dos cerradosdisjuntos A,B ⊂ R, para todo a ∈ A existe ra > a t.q. [a, ra) ∩ B = ∅ ypara todo b ∈ B existe sb > b t.q. [b, sb) ∩ A = ∅. Sean UA =

⋃a∈A[a, ra) y

UB =⋃

b∈B[b, sb). Entonces UA y UB son abiertos t.q. A ⊂ UA, B ⊂ UB yUA∩UB = ∅. En efecto, si x ∈ UA∩UB existen a, b ∈ R t.q. x ∈ [a, ra)∩ [b, sb)luego a ≤ x < ra y b ≤ x < sb. Pero si suponemos a < b entonces b ∈ [a, ra) locual contradice que [a, ra) ∩ B = ∅. Concluimos que (R, τS) es normal. ComoτS ⊃ τU , es claro que (R, τS) es un T1-espacio y por tanto es un T4-espacio.

Ejemplo Todo espacio metrico (X, d) es un T4-espacio: sean A,B cerradosdisjuntos, para cada x ∈ A existe δx > 0 t.q. B(x, δx) ∩ B = ∅ y para caday ∈ B existe εy > 0 t.q. B(y, εy) ∩ A = ∅. Definimos U =

⋃x∈AB(x, δx/3)

y V =⋃

y∈B B(y, εy/3), entonces U, V son abiertos en (X, d) t.q. A ⊂ U ,B ⊂ V . Supongamos que z ∈ U ∩ V , entonces d(x, z) < δx/3, d(z, y) < εy/3y por la desigualdad triangular d(x, y) < δx/3 + εy/3 < δx, suponiendo δx =max{δx, εy}, se sigue que y ∈ B(x, δx) y esto contradice que B(x, δx)∩B = ∅.Por tanto U ∩ V = ∅ y en consecuencia (X, d) es normal. Claramente todoespacio metrico es un T2-espacio y por tanto un T1-espacio.


(1) X es normal.(2) Para todo cerrado A y abierto U t.q. A ⊂ U , existe un abierto V t.q.

A ⊂ V ⊂ V ⊂ U .(3) Para todo par de cerrados disjuntos A,B existe un abierto U t.q. A ⊂ U

y U ∩B = ∅.(4) Todo par de cerrados disjuntos admiten entornos cuyas clausuras son

disjuntas.

Dem. Sea A cerrado y U abierto t.q. A ⊂ U , entonces X − U es cerrado yA∩(X−U) = ∅. Si X es normal existen abiertos V,W t.q. A ⊂ V , X−U ⊂ Wy V ∩W = ∅. En particular V ⊂ X −W y como X −W es cerrado se sigueA ⊂ V ⊂ V ⊂ X −W ⊂ U , luego (1) =⇒ (2). Supongamos cierto (2) y seanA,B cerrados disjuntos, entonces A ⊂ X − B abierto implica que existe unabierto U t.q. A ⊂ U ⊂ U ⊂ X − B, en particular U ∩ B = ∅ y por tanto

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(2) =⇒ (3). Sean A,B cerrados disjuntos, por (3) existe U abierto t.q. A ⊂ Uy U ∩ B = ∅, aplicando de nuevo (3) a los cerrados disjuntos B y U , existiraun abierto V t.q. B ⊂ V y V ∩ U = ∅, luego (3) =⇒ (4). Finalmente, que(4) =⇒ (1) es obvio.

El siguiente resultado debido a F.B. Jones es util para construir espacios queno sean normales.

4.15 Lema Si un e.t. X contiene subespacios D,S t.q. D denso, S cerrado ydiscreto (con la topologıa inducida) y |S| ≥ 2|D|, entonces X no es normal.

Dem. Sea T ⊂ S, como τS es la topologıa discreta es claro que T es cerradoen S y por lo tanto en X. Entonces T y S − T son cerrados disjuntos y sisuponemos que X es normal existiran abiertos UT , VT t.q. T ⊂ UT , S−T ⊂ VT

y UT ∩ VT = ∅. Sean T1, T2 ∈ P(S) y notar que si T1 6= T2 entonces tambienUT1 ∩ D 6= UT2 ∩ D (en efecto, T1 6= T2 implica T1 ∩ (S − T2) 6= ∅ o bienT2 ∩ (S − T1) 6= ∅. Supongamos T1 ∩ (S − T2) 6= ∅, entonces UT1 ∩ VT2 6= ∅ ycomo D es denso UT1 ∩ VT2 ∩ D 6= ∅, pero como UT1 ∩ VT2 ∩ D ⊂ UT1 ∩ D yUT1 ∩ VT2 ∩D ∩ UT2 = ∅, ya que UT2 ∩ VT2 = ∅, se sigue UT1 ∩D 6= UT2 ∩D).Entonces la aplicacion Φ : P(S) −→ P(D), dada por Φ(T ) = UT ∩ D, esinyectiva y por tanto |S| < |P(S)| ≤ |P(D)| = 2|D|, lo cual contradice lahipotesis, luego X no puede ser normal.

Ejercicio 21 Probar que el plano de Moore es T3-espacio pero no T4-espacio.

La normalidad no es hereditaria en general paro sı para cerrados.

4.16 Proposicion Sea X un espacio normal (T4-espacio) y F cerrado en X,entonces F con la topologıa inducida tambien es normal (T4-espacio).

Dem. Sean A,B cerrados disjuntos en F , entonces A y B son cerrados en Xy como X es normal, existiran U, V abiertos en X t.q. A ⊂ U , B ⊂ V yU ∩ V = ∅. Entonces F ∩ U y F ∩ V son abiertos en F t.q. F ∩ U ∩ V = ∅,por tanto F es normal.

El producto de espacios normales no es necesariamente normal

Ejercicio 22 Sea RS = (R, τS) la recta de Sorgenfrey, probar que RS ×RS noes normal.

En general, la normalidad no se conserva en cocientes.

4.17 Proposicion Sea X un espacio normal (T4-espacio) y f : X −→ Y unaaplicacion continua, cerrada y sobre, entonces Y es normal (T4-espacio).

Dem. Sea f : X −→ Y una aplicacion continua, sobre y cerrada, dados A,Bcerrados disjuntos en Y se sigue que f−1(A) y f−1(B) son cerrados disjuntos

16

en X, como X es normal existiran U, V abiertos en X t.q. f−1(A) ⊂ U ,f−1(B) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Por (4.11) existiran UA, VB abiertos en Y t.q.A ⊂ UA y f−1(UA) ⊂ U , B ⊂ VB y f−1(VB) ⊂ V . Notar que f−1(UA ∩ VB) =f−1(UA) ∩ f−1(VB) ⊂ U ∩ V = ∅, por tanto UA ∩ VB = ∅ y concluimos que Yes normal. Como la imagen de un T1-espacio bajo una aplicacion continua ycerrada es un T1-espacio, la proposicion se sigue para T4-espacios.

4.18 Corolario Si X es normal y A cerrado en X entonces X/A es normal.

Dem. Notar que si A cerrado entonces q : X −→ X/A es una aplicacioncontinua, sobre y cerrada.

Finalizamos el capıtulo con dos utiles caracterizaciones de la normalidad

Lema de Urysohn Un espacio X es normal si y solo si para todo par A,Bde cerrados disjuntos, existe una aplicacion continua f : X −→ [0, 1] t.q.f(A) = 0 y f(B) = 1.

Teorema de extension de Tietze Un espacio X es normal si y solo si paratodo A cerrado en X y toda aplicacion continua f : A −→ R existe unaaplicacion continua F : X −→ R extendiendo a f (es decir, tal que F |A = f).

5 COMPACIDAD

Un recubrimiento abierto de X es una coleccion de abiertos U = {Ui}i∈J t.q.X =

⋃i∈J Ui. Diremos que un espacio X es compacto si todo recubrimiento

abierto U = {Ui}i∈J de X admite un subrecubrimiento finito, es decir si existeun conjunto finito de ındices F ⊂ J t.q. X =

⋃i∈F Ui.

Ejemplos Con la topologıa usual, R no es compacto: en efecto, si Un = (−n, n)entonces U = {Un}n∈N es un recubrimiento abierto de R que no admite unsubrecubrimiento finito. Todo espacio finito es obviamente compacto. En unespacio discreto, vale el recıproco: compacto ⇐⇒ finito. Un espacio X con latopologıa cofinita es compacto.

Diremos que un e.t. X tiene la propiedad de interseccion finita (p.i.f.)si para toda familia de cerrados {Ci}i∈J t.q. cualquier numero finito de ellostiene interseccion no vacıa entonces tambien

⋂i∈J Ci 6= ∅.

5.1 Teorema Un espacio topologico es compacto si y solo si tiene la p.i.f..

Dem. Sea X compacto y {Ci}i∈J una familia de cerrados t.q.⋂

i∈F Ci 6= ∅ paratodo conjunto finito de ındices F ⊂ J y suponer

⋂i∈J Ci = ∅, entonces X =

X−∅ = X−⋂i∈J Ci =

⋃i∈J(X−Ci), es decir {X−Ci}i∈J es un recubrimiento

17

abierto de X y como X compacto, existe un conjunto finito de ındices F ⊂ Jt.q. {X − Ci}i∈F recubre X. Entonces X =

⋃i∈F (X − Ci) = X − ⋂

i∈F Ci ypor tanto

⋂i∈F Ci = ∅, llegando a contradiccion. Recıprocamente, sea X con la

p.i.f. y supongamos que X no es compacto, entonces existira un recubrimientoabierto U = {Ui}i∈J de X que no admite un subrecubrimiento finito, es decir∅ 6= X − ⋃

i∈F Ui =⋂

i∈F (X − Ui) para todo subconjunto finito de ındicesF ⊂ J , entonces ∅ 6= ⋂

i∈J(X −Ui) = X −⋃i∈J Ui y llegamos a contradiccion.

Ejercicio 23 Probar que en un espacio compacto todo subconjunto infinitotiene punto de acumulacion (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Un subespacio K ⊂ X se dice compacto si (K, τ |K) es compacto o bien sipara todo recubrimiento abierto U = {Ui}i∈J de K, es decir t.q. K ⊂ ⋃

i∈J Ui,existe algun conjunto finito de ındices F ⊂ J t.q. K ⊂ ⋃

i∈F Ui.

5.2 Teorema Todo subespacio cerrado en un espacio compacto es compacto.

Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de K, como K es cerradoes claro que U ′ = U ∪ {X − K} es un recubrimiento abierto de X. ComoX compacto, existira un subrecubrimiento finito {X − K,U1, ..., Un} de X,entonces es claro que K ⊂ U1 ∪ · · ·Un y por tanto que K es compacto.

El recıproco no es cierto en general: sea X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X} elespacio de Sierpinski, entonces X y K = {a} son compactos por ser finitospero K no es cerrado en X.

5.3 Lema Sea X un e.t. Hausdorff, K compacto en X y x ∈ X−K. Entoncesexisten abiertos U, V t.q. x ∈ U , K ⊂ V y U ∩ V = ∅.

Dem. Sea x ∈ X −K, si X es Hausdorff para todo y ∈ K existiran abiertosdisjuntos Uy

x , Vy t.q. x ∈ Uyx y y ∈ Vy. Es claro que {Vy}y∈K es un recubrimiento

abierto deK y por serK compacto existira un subrecubrimiento finito, es decirK ⊂ Vy1∪· · ·∪Vyn . Definimos U = Uy1

x ∩· · ·∩Uynx y V = Vy1∪· · ·Vyn , entonces

U, V abiertos, x ∈ U , K ⊂ V y U ∩ V = ∅ (en efecto, U ∩ Vyk⊂ Uyk

x ∩ Vyk= ∅

para 1 ≤ k ≤ n, por tanto U ∩ V = (U ∩ Vy1) ∪ · · · ∪ (U ∩ Vyn) = ∅).

5.4 Corolario En un espacio Hausdorff todo subespacio compacto es cerrado.

Dem. Sea X Hausdorff y K un subespacio compacto de X, si x ∈ X − Kpor 5.3 existiran U, V abiertos disjuntos t.q. x ∈ U y K ⊂ V . En particularx ∈ U ⊂ X−V ⊂ X−K, es decir X−K es abierto y por tanto K es cerrado.

5.5 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff y K1, K2 dos subespacios compactos ydisjuntos. Entonces existen abiertos U, V t.q. K1 ∈ U , K2 ⊂ V y U ∩ V = ∅.

Dem. Por 5.3, para todo y ∈ K2 existiran abiertos Uy, Vy t.q. y ∈ Uy, K1 ⊂ Vy

18

y Uy∩Vy = ∅. Notar que {Uy}y∈K2 es un recubrimiento abierto de K2 y por serK2 compacto existira un subrecubrimiento finito, es decir K2 ⊂ Uy1∪· · ·∪Uym .Sean U = Uy1∪· · ·∪Uym y V = Vy1∩· · ·∩Vym , es claro que U y V son abiertost.q. K1 ⊂ U , K2 ⊂ V y, como en 5.3, es facil probar que U ∩ V = ∅.

Una consecuencia inmediata de 5.5 es el siguiente resultado

5.6 Corolario Todo espacio compacto y Hausdorff es un T4-espacio.

Ejercicio 24 Sea A = {an}n∈N una sucesion de puntos en un e.t. X queconverge a un punto a ∈ X. Probar que K = A ∪ {a} es compacto.

Ejercicio 25 Sea X un e.t. Hausdorff y A ⊂ X un subespacio compacto.Probar que el derivado A′ tambien es compacto.

Ejercicio 26 Sea {Ki}ni=1 una familia finita de subespacios compactos de un

e.t. X. Probar que la union K = K1 ∪ · · · ∪Kn es un compacto.

5.7 Proposicion Sea X compacto y f : X −→ Y una aplicacion continua,entonces f(X) es compacto. Si ademas Y es Hausdorff entonces f es cerrada.

Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de f(X), como f continua sesigue que {f−1(Ui)}i∈J es un recubrimiento abierto de X y siendo X compactoexistira un conjunto finito F ⊂ J t.q. X =

⋃i∈F f

−1(Ui), entonces f(X) =f(

⋃i∈F f

−1(Ui)) =⋃

i∈F ff−1(Ui) ⊆

⋃i∈F (Ui), por tanto f(X) compacto. Sea

C cerrado en X, entonces C es compacto y tambien f(C) compacto, por tantocerrado cuando Y es Hausdorff. Concluimos que f es una aplicacion cerrada.

Se sigue inmediatamente un importante resultado

5.8 Corolario Toda biyeccion continua de un espacio compacto en un espacioHausdorff es un homeomorfismo.

Es tambien inmediato probar (ver 3.5)

5.9 Corolario Si f : X −→ Y es una identificacion, h : X −→ Z continuay constante sobre las fibras f−1(y), X compacto, Z Hausdorff y g : Y −→ Z,dada por g(y) = hf−1(y), es biyectiva entonces g es un homeomorfismo.

5.10 Teorema Si Y es compacto, entonces la proyeccion pX : X × Y −→ Xes una aplicacion cerrada.

Dem. Sea C cerrado en X × Y y vamos a probar que X − pX(C) es abierto.Si x ∈ X − pX(C) es claro que {x} × Y ∩ C = ∅, luego (x, y) ∈ X × Y − Cpara todo y ∈ Y . Como X × Y −C es abierto, existiran abiertos Uy

x y Vy t.q.x ∈ Uy

x , y ∈ Vy y (x, y) ∈ Uyx ×Vy ⊂ X ×Y −C. Es claro que {Uy

x ×Vy}y∈Y esun recubrimiento abierto de {x} × Y y siendo este ultimo compacto, por ser

19

homeomorfo a Y , admitira un subrecubrimiento finito {Uy1x ×Vy1 , ..., U

ynx ×Vyn}.

Entonces U = Uy1x ∩ ... ∩ Uyn

x es un abierto t.q. x ∈ U ⊂ X − pX(C), ya queU∩pX(C) = ∅. Concluimos que X−pX(C) es abierto, luego pX(C) es cerrado.

5.11 Corolario Sea Y compacto, A ⊂ X y U un abierto en X × Y t.q.A× Y ⊂ U , entonces existe un abierto V en X t.q. A× Y ⊂ V × Y ⊂ U .

Dem. Como p−1X (A) = A × Y y pX es cerrada, se sigue de (4.11) que existe

V abierto en X t.q. A ⊂ V y V × Y = p−1X (V ) ⊂ U .

5.12 Corolario Sea Y un e.t. compacto y Hausdorff, entonces f : X −→ Yes continua si y solo si su grafo Γf es cerrado en X × Y .

Dem. Sea C cerrado en Y , si Γf es cerrado entonces p−1Y (C)∩Γf = X×C∩Γf

sera cerrado en X×Y . Notar que pX(X×C ∩Γf ) = {x|f(x) ∈ C} = f−1(C),como pX cerrada se sigue que f−1(C) es cerrado y por tanto que f es continua.Para el recıproco ver Ej.19

5.13 Teorema Un producto finito de espacios es compacto si y solo si lo soncada uno de sus factores.

Dem. Sea X×Y es compacto, entonces por (5.7) tambien X, Y son compactosya que pX y pY son continuas. Recıprocamente, sean X, Y compactos y seaU = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de X × Y . Dado x ∈ X es claro que{x} × Y es compacto, ya que es homeomorfo a Y , entonces {x} × Y admiteun subrecubrimiento finito {U1, ..., Un}. Sea Ux = U1 ∪ · · · ∪ Un, por (5.11)existira un abierto Vx t.q. {x} × Y ⊂ Vx × Y ⊂ Ux. Como X es compacto yX =

⋃x∈X Vx, admitira un subrecubrimiento finito {Vx1 , ..., Vxk

}, entonces esclaro que {Vx1 × Y, ..., Vxk

× Y } es un recubrimiento abierto de X × Y , peroVxi

× Y ⊂ Uxiy cada Uxi

es union finita de miembros de U , luego X × Ycompacto. Por induccion lo podemos extender a cualquier producto finito.

Este ultimo resultado se extiende tambien al caso infinito (Dugundji, 224)

Teorema de Tychonoff Dada una familia arbitraria {Xi}i∈J entonces elproducto

∏i∈J Xi es compacto si y solo si Xi es compacto para todo i ∈ J .

Espacios metricos compactos

5.14 Lema Sea R con la topologıa usual, todo intervalo cerrado [a, b] ⊂ R escompacto y K ⊂ R es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de [a, b] y sea c el supremode los x ∈ [a, b] t.q. [a, x] ⊂ U1∪ · · · ∪Un, para algun numero finito de Ui ∈ U .Supongamos que c < b y sea U0 ∈ U t.q. c ∈ U0, claramente existira ε con0 < ε < b − c t.q. [c − ε, c + ε] ⊂ U0. Como [a, c − ε] se puede recubrir

20

con un numero finito de abiertos {U1, ..., Un} ⊂ U es claro que [a, c + ε] sepodra recubrir con {U0, U1, ..., Un}, lo cual contradice que c sea el supremo.Entonces necesariamente c = b y por tanto [a, b] es compacto. Sea K unsubespacio compacto, como (R, τU) es Hausdorff, se sigue que K es cerrado.Es claro que U = {(−n, n)}n∈N es un recubrimiento abierto de K, por tantoexistira n0 ∈ N t.q. K ⊂ (−n0, n0), luego K esta acotado. Recıprocamente,supongamos que K es cerrado y acotado, por ser K acotado existiran a, b ∈ Rt.q. K ⊂ [a, b], si K es cerrado en R tambien sera cerrado en [a, b] y siendoeste ultimo compacto se sigue por (5.2) que K es compacto.

Claramente K ⊂ Rn es acotado si y solo si existen ai, bi ∈ R, para 1 ≤ i ≤ n,t.q. K ⊂ [a1, b1]× · · · × [an, bn].

5.15 Teorema de Heine-Borel Un subespacio K ⊂ Rn es compacto si ysolo si es cerrado y acotado.

Dem. Notar que Rn no es compacto (en otro caso, por (5.13) tambien lotendrıa que ser R). Sea K ⊂ Rn compacto, como Rn es Hausdorff se sigue queK es cerrado. Por otra parte, pi(K) sera compacto en R, para todo 1 ≤ i ≤ n,luego pi(K) ⊂ [ai, bi], para algun ai, bi ∈ R, entonces K ⊂ [a1, b1]×· · ·×[an, bn]y por tanto K esta acotado. Recıprocamente, sea K cerrado y acotado, por seracotado es claro que K ⊂ [a1, b1]×· · ·× [an, bn], y siendo este ultimo compactoy K cerrado, se sigue por (5.2) que K tambien es compacto.

Sea (E, d) un espacio metrico y A ⊂ E, definimos el diametro de A comod(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} y diremos que A esta acotado si d(A) <∞. Unafuncion continua f : X −→ E se dira acotada si existe un numero real M ≥ 0t.q. d(f(X)) ≤M , es decir si f(X) es un subespacio acotado de E.

5.16 Corolario Sea X un e.t. compacto y f : X −→ R una aplicacioncontinua, entonces f esta acotada y alcanza sus cotas.

Dem. Sean m = inf{f(x)|x ∈ X} y M = sup{f(x)|x ∈ X}, claramente my M son puntos de acumulacion de f(X), es decir m,M ∈ f(X). EntoncesX compacto implica f(X) compacto en R, por tanto cerrado y acotado. Enparticular m,M ∈ f(X), es decir ∃ x0, y0 ∈ X t.q. f(x0) = m y f(y0) = M .

5.17 Lema de Lebesgue Sea (E, d) un espacio metrico compacto y U ={Ui}i∈J un recubrimiento abierto de E, entonces existe ρ > 0 t.q. toda bolaB(x, ρ) = {y ∈ E|d(x, y) < ρ} esta contenida en algun Ui ∈ U (llamaremos aρ el numero de Lebesgue del recubrimiento U).

Dem. Dado xi ∈ E existe Ui ∈ U t.q. xi ∈ Ui y como las bolas formanbase de la topologıa inducida por la metrica, existe ri > 0 t.q. B(xi, ri) ⊂Ui. Notar que {B(xi, ri/2)}xi∈E es un recubrimiento abierto de E y comoE compacto existira un subrecubrimiento finito {B(x1, r1/2), ..., B(xn, rn/2)},

21

entonces dado x ∈ E se sigue que x ∈ B(xi, ri/2) para algun i ∈ {1, 2, .., n}.Denotamos ρ = min{r1/2, ..., rn/2}, entonces si z ∈ B(x, ρ) se tiene

d(z, xi) ≤ d(z, x) + d(x, xi) < ρ+ri

2≤ ri

luego z ∈ B(xi, ri) y por tanto B(x, ρ) ⊂ B(xi, ri) ⊂ Ui.

Ejercicio 27 Probar que Sn−1 = {x ∈ Rn|‖x‖ = 1} es compacto en Rn.

Ejercicio 28 Sea H2 = S2∩{(x, y, z)|z ≥ 0} ⊂ R3 el hemisferio norte. Probarque H2 es compacto y si D2 = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1} es el disco unidad enR2, entonces h : H2 −→ D2 dada por h(x, y, z) = (x, y) es homeomorfismo.

Ejercicio 29 Sea A = [0, 1) ⊂ R, B = {(x, y) ∈ R2|y = x2, x ≥ 0} ⊂ R2

y C = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1, x ≥ 0} ⊂ R2. Probar que A y B sonhomeomorfos pero ninguno de ellos es homeomorfo a C.

Espacios localmente compactos

Un subespacio A de un e.t.X se dice relativamente compacto si su clausuraA es compacta. Un e.t. X se dice localmente compacto si todo punto de Xtiene un entorno abierto relativamente compacto.

Ejemplos (1) Todo espacio compacto es localmente compacto. (2) El espacioeuclıdeo Rn es localmente compacto para todo n ≥ 1. (3) Todo espacio infinitoy discreto es localmente compacto. La recta racional Q y la recta irracionalR−Q no son localmente compactos.

5.18 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff, entonces son equivalentes:

(1) X es localmente compacto.(2) Para todo x ∈ X y todo abierto U t.q. x ∈ U , existe un abierto V

relativamente compacto t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U .(3) Para todo subespacio compacto K y todo abierto U ⊃ K, existe un

abierto V relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U .(4) X tiene una base que consiste en abiertos relativamente compactos.

Dem. Sea x ∈ X y U abierto en X t.q. x ∈ U . Si X localmente compacto, xadmitira un entorno W relativamente compacto. Por (5.6), notar que W esun T4-espacio y en particular sera regular, como U∩W es un abierto en W t.q.x ∈ U ∩W , por (4.9) existira A abierto en W t.q. x ∈ A ⊂ ClW (A) ⊂ U ∩W .Notar que A = B∩W con B abierto en X, definimos entonces V = B∩W y esclaro que x ∈ V ⊂ V ⊂ U , luego hemos probado que (1) =⇒ (2). Supongamoscierto (2) y seanK compacto y U abierto t.q.K ⊂ U , para cada x ∈ K existiraun abierto Vx relativamente compacto t.q. x ∈ Vx ⊂ Vx ⊂ U . Es claro que{Vx}x∈K es un recubrimiento abierto de K y siendo K compacto existira un

22

subrecubrimiento finito {Vx1 , ..., Vxn}. Definimos V = Vx1 ∪ · · · ∪Vxn , entonceses claro que V es un abierto relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U (enefecto, V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn , compacto por ser union finitade compactos) por tanto (2) =⇒ (3). Sea B = {V ∈ τ |V compacto}, comoK = {x} es compacto se sigue de (3) que B es una base, luego (3) =⇒ (4).Finalmente, es evidente que (4) =⇒ (1)

5.19 Corolario Todo e.t. Hausdorff y localmente compacto es un T3-espacio.

Dem. Basta probar que X es regular, pero eso se sigue por (2) en (5.18).

Un subespacio A ⊂ X se dira localmente compacto si para todo x ∈ A existeV abierto en X t.q. x ∈ V y V ∩ A es compacto.

5.20 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff. Si A ⊂ X es localmente compactoentonces A = U ∩F , con U abierto y F cerrado. Si X es localmente compactoy A = U ∩F , con U abierto y F cerrado, entonces A es localmente compacto.

Dem. Sea A localmente compacto, para todo x ∈ A existira Ux abierto enX t.q. Ux ∩ A es compacto y por tanto cerrado, por ser X Hausdorff. ComoUx ∩ A = Ux ∩ (Ux ∩ A), se sigue que Ux ∩ A es cerrado en Ux, para todox ∈ A, por tanto A es cerrado en U =

⋃x∈A Ux, es decir A = U ∩ F para

algun F cerrado en X. Supongamos ahora que X es localmente compacto ysea A = U ∩ F con U abierto y F cerrado, para todo punto x ∈ A, comox ∈ U existe un abierto relativamente compacto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U .Entonces V ∩ A es un abierto en A t.q. V ∩ A = V ∩ (U ∩ F ) = V ∩ F seracerrado en V y por tanto compacto, luego V ∩ A es relativamente compactoy en consecuencia A es localmente compacto.

En particular, la propiedad de ser localmente compacto es hereditaria para losabiertos y para los cerrados de un espacio localmente compacto.

Ejercicio 30 Sea X un e.t. Hausdorff y localmente compacto y sea D densoen X, probar que entonces D es localmente compacto si y solo si es abierto.

5.21 Teorema Sean X, Y dos e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicacioncontinua, sobre y abierta. Si X es localmente compacto tambien lo es Y .

Dem. Notar que, en particular, f es una identificacion. Sea y ∈ Y y sea U unabierto t.q. y ∈ U . Elegimos x ∈ f−1(y) ⊂ f−1(U), como f−1(U) es abierto yX es localmente compacto existira un abierto V relativamente compacto t.q.x ∈ V ⊂ V ⊂ f−1(U). Pero V compacto implica f(V ) compacto y por tanto

cerrado, ya que Y es Hausdorff, entonces f(V ) ⊂ f(V ) = f(V ), por otra partef continua implica f(V ) ⊂ f(V ), entonces f(V ) = f(V ) es compacto. Comof es abierta se sigue que f(V ) es abierto, luego es un abierto relativamentecompacto t.q. y ∈ f(V ) ⊂ f(V ) ⊂ U . Por tanto Y es localmente compacto.

23

5.22 Teorema Dada una familia {Xi}i∈J de espacios Hausdorff, entonces∏i∈J Xi es localmente compacto si y solo si cada Xi es localmente compacto

y todos los factores Xi, salvo un numero finito, son compactos.

Dem. Sea∏Xi localmente compacto, como las proyecciones pk :

∏Xi −→ Xk

son continuas, sobre y abiertas se sigue que Xk es localmente compacto paratodo k ∈ J . Ademas, si V es un abierto relativamente compacto notar queV =

∏Vi t.q. Vi = Xi para todo i ∈ J − F , donde F ⊂ J es un conjunto

finito de ındices, entonces Xi = pi(V ) ⊂ pi(V ) y por tanto Xi = pi(V ),para todo i ∈ J − F , el cual es compacto por serlo V . Recıprocamente, seaXi localmente compacto para todo i ∈ J , compacto para todo i ∈ J − F ysuponer F = {1, 2, ..., n}. Dado (xi) ∈

∏Xi, para cada k ∈ F existe un abierto

Vk relativamente compacto t.q. xk ∈ Vk. Como∏Vi =

∏Vi, por el teorema

de Tychonoff se sigue que V =∏Vi, con Vi = Xi para i > n, es un abierto

relativamente compacto t.q. (xi) ∈ V . Por tanto∏Xi localmente compacto.

Compactacion de Alexandroff

Una compactacion o compactificacion de un e.t. X es un par (Y, h) dondeY es un T2-espacio compacto y h : X −→ Y aplica X de manera homeomorfasobre un subespacio denso de Y (es decir, X ≈ h(X) denso en Y ).

Ejercicio 31 Probar que X es localmente compacto si y solo si h : X −→ Yes abierta para toda compactificacion (Y, h) de X.

5.23 Teorema Un espacio X Hausdorff y localmente compacto se puedeincrustar en un espacio Hausdorff y compacto X t.q. X −X es un punto {p}.

Dem. Definimos X = X∐{p}, donde p es un punto ideal disjunto de X y sea

τ = τ∪{X−K|K ⊂ Xcompacto}. Es facil probar que τ es una topologıa sobreX y es claro que dos puntos distintos de X se pueden separar por abiertosdisjuntos si ambos estan en X. Sea ahora x ∈ X y p = X − X, como Xes localmente compacto existira U ∈ τ relativamente compacto t.q. x ∈ U ,entonces X − U ∈ τ , p ∈ X − U y es claro que U ∩ (X − U) = ∅, por tanto(X, τ) es Hausdorff. Finalmente, sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto deX y sea U0 ∈ U un abierto conteniendo a p, entonces U0 = X −K para algunK compacto en X y si {U1, ..., Un} ⊂ U es un subrecubrimiento finito de K esclaro que {U0, U1, ..., Un} es un subrecubrimiento finito de X, por tanto (X, τ)es compacto.

Sea i : X −→ X la inclusion, notar que el par (X, i) es una compactacionde X: en efecto, X ≈ i(X) y si U = X − K es un abierto que contiene a p,entonces U ∩ X 6= ∅, luego p ∈ X y por tanto X = X, es decir X es densoen X. Tal compactacion (X, i) se dira compactacion a un punto o deAlexandroff de X.

24

5.24 Teorema Sea Y un espacio Hausdorff y compacto, q ∈ Y un punto noaislado y X = Y − {q}, entonces Y es homeomorfo a X. En particular, lacompactificacion de Alexandroff es unica salvo homeomorfismo.

Dem. Sea X = Y −{q} y f : X −→ Y t.q. f |X = idX y f(p) = q, claramente fes una biyeccion. Veamos que f es una aplicacion abierta o equivalentementeque f−1 es continua: sea U ∈ τ , si U ⊂ X entonces f(U) = U es abierto enY ya que X abierto en Y , si U = X −K con K compacto es un abierto quecontiene a {p}, entonces f(U) = f(X − K) = Y − f(K) = Y − K, ya queK ⊂ X y f |X = idX , como todo compacto en un Hausdorff es cerrado se sigueque f(U) es abierto. Entonces f−1 : Y −→ X es una biyeccion continua de unespacio compacto en un espacio Hausdorff, por tanto un homeomorfismo.

Ejercicio 32 Probar que Rn ≈ Sn

6 CONEXION

Sea X un e.t., llamaremos separacion de X a un par de abiertos {U, V } t.q.U 6= ∅, V 6= ∅, U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V . Diremos que X es conexo si noadmite una separacion.

Ejemplo El espacio de Sierpinski es conexo. Espacios discretos con mas de unpunto, en particular S0 = Z2 = {0, 1}, no son conexos. Espacios indiscretosson conexos. La recta racional Q no es conexa: U = (−∞,

√2) ∩ Q y V =

(√

2,+∞) ∩ Q es una separacion de Q. La recta de Sorgenfrey no es conexa:en efecto, {(−∞, a), [a,+∞)} es una separacion de (R, τS).

6.1 Lema Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) X es conexo.(2) ∅ y X son los unicos que son simultaneamente abiertos y cerrados en X.(3) No existe aplicacion continua y sobre f : X −→ S0.(4) Fr(B) 6= ∅ para todo B 6= ∅, X.

Dem. Si A 6= ∅, X es abierto y cerrado entonces {A,X−A} es una separaciondeX, luego (1) =⇒ (2). Supongamos que existe f : X −→ S0 continua y sobre,entonces f−1(0) 6= ∅, X es abierto y cerrado en X, ya que {0} es abierto ycerrado en S0, lo cual contradice (2), luego (2) =⇒ (3). Supongamos que Xno es conexo y sea {U, V } una separacion, entonces la funcion caracterısticacV : X −→ S0, dada por cV (x) = 0 si x ∈ U , cV (x) = 1 si x ∈ V , es continua ysobre, contradiciendo (3), luego X debe ser conexo y por tanto (3) =⇒ (1). SeaB 6= ∅, X y supongamos que Fr(B) = ∅, como X = Int(B) ∪ Ext(B) ∪ Fr(B)se sigue que {Int(B),Ext(B)} es una separacion de X, luego (1) =⇒ (4).

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Recıprocamente, supongamos X no conexo y sea {U, V } una separacion deX, entonces Fr(U) = U ∩X − U = U ∩V = U ∩V = ∅, por tanto (4) =⇒ (1).

Ejercicio 34 Sean {U, V } una separacion de X y sea A un subespacio conexode X. Probar que entonces A ⊂ U o A ⊂ V .

6.2 Proposicion Sea f : X −→ Y una aplicacion continua, si X es conexoentonces f(X) tambien es conexo.

Dem. Sea g : X −→ f(X) t.q. g(x) = f(x) la restriccion de f a su imagen,entonces g es continua y sobre. Sea X conexo y supongamos que f(X) no loes, es decir supongamos que existe una aplicacion h : f(X) −→ S0 continuay sobre, entonces la composicion hg : X −→ S0 tambien es continua y sobre,contradiciendo que X sea conexo. Por tanto, necesariamente f(X) conexo.

En particular, la conexion es un invariante topologico.

6.3 Proposicion Sea A un subespacio conexo de un e.t. X y sea B t.q.A ⊆ B ⊆ A, entonces B y en particular A tambien son conexos.

Dem. Supongamos que existe una aplicacion continua f : B −→ S0 y vamos aprobar que f no puede ser sobre. Como A conexo, la restriccion f |A : A −→ S0

es continua, por tanto no puede ser sobre, supongamos f(A) = 0. Por otraparte B ⊆ A y f continua implican f(B) ⊆ f(A) ⊆ f(A) = {0} = {0}, luegof : B −→ S0 no es sobre. Por tanto B y A son tambien conexos.

Ejercicio 35 Sea C ⊂ X un subespacio conexo y A ⊂ X t.q. C ∩ A 6= ∅ yC ∩ (X − A) 6= ∅. Probar que entonces C ∩ Fr(A) 6= ∅.

Ejercicio 36 Sea f : X −→ Y una identificacion t.q. las fibras f−1(y) sonconexas para todo y ∈ Y . Probar que un abierto (cerrado) B ⊂ Y es conexosi y solo si f−1(B) es conexo. En particular para B = Y , se sigue que X esconexo si y solo si lo es Y .

Ejercicio 37 Sea C un subespacio conexo de un e.t. conexo X. Si {U, V }forman una separacion de X − C probar que C ∪ U y C ∪ V son conexos.

6.4 Teorema Sea C = {Ci}i∈J una familia de subespacios conexos de X ysupongamos que existe C0 ∈ C t.q. C0 ∩ Ci 6= ∅ para todo i ∈ J . Probar queentonces C =

⋃Ci es conexo.

Dem. Supongamos que C =⋃Ci no es conexo y sean U, V dos abiertos en C

no vacıos t.q. C = U ∪ V y U ∩ V = ∅, entonces para todo i ∈ J se tieneque Ci ⊂ U o bien Ci ⊂ V , ya que en otro caso {Ci ∩ U,Ci ∩ V } serıa unaseparacion del conexo Ci. Notar que si C0 ⊂ U , entonces tambien Ci ⊂ U paratodo i ∈ J (ya que si existe k ∈ J t.q. Ck ⊂ V entonces C0∩Ck ⊂ U ∩V = ∅),

26

y por tanto se tendrıa que V = ∅, lo cual es una contradiccion.

Ejercicio 38 Sea C = {Ci}i∈J una familia de subespacios conexos de X t.q.⋂Ci 6= ∅. Probar que C =

⋃Ci es conexo.

Ejercicio 39 Sea {Cn}n∈N una familia de subespacios conexos de X tales queCn ∩ Cn+1 6= ∅ para todo n ∈ N. Probar que C =

⋃Cn es conexo.

6.5 Proposicion Un producto de e.t. es conexo si y solo si lo es cada factor.

Dem. Si X × Y es conexo entonces por (6.2) lo son X, Y ya que las proyec-ciones son continuas. Recıprocamente, supongamos que X,Y son conexos yelegimos x0 ∈ X, entonces C0 = {x0} × Y es conexo por ser homeomorfo aY . Analogamente, Cy = X × {y} ≈ X son conexos para todo y ∈ Y . En-tonces X × Y =

⋃y∈Y Cy ∪C0 y (6.4) implican que X × Y es conexo, ya que

C0 ∩ Cy = {(x0, y)} 6= ∅ para todo y ∈ Y . Por induccion, la proposicion sesigue para un numero finito de factores.

Tambien se satisface (6.5) para un numero infinito de factores pero omitiremosla demostracion por ser mucho mas compleja.

6.6 Teorema Sea R con la topologıa usual y A ⊂ R un subespacio conteniendomas de un punto, entonces A es conexo si y solo si es un intervalo.

Dem. Sea A un subespacio conexo de R con mas de un punto y supongamosque A no es un intervalo, es decir existen a, b ∈ A y c ∈ (a, b) t.q. c /∈ A,entonces {A∩(−∞, c), A∩(c,+∞)} es una separacion de A lo cual contradiceque A es conexo, por tanto A debe ser un intervalo. Recıprocamente, sea Aun intervalo en R y supongamos que {U, V } es una separacion de A, elegimosa ∈ U , b ∈ V y si a < b definimos c = sup{x|[a, x) ⊂ U}, entonces c ≤ b ypor tanto c ∈ A, ya que A es un intervalo. Es claro que c ∈ ClAU y como Ues cerrado en A se sigue que c ∈ U , por otra parte U tambien es abierto enA, luego existira ε > 0 t.q. (c− ε, c+ ε) ⊂ U , lo cual contradice que c sea unsupremo. Por tanto A no admite una separacion y en consecuencia es conexo.

Una consecuencia de (6.6) es el siguiente resultado conocido como el Teoremadel valor intermedio

6.7 Corolario Sea X conexo y f : X −→ R una aplicacion continua, sia, b ∈ f(X) y c ∈ R es t.q. a < c < b, entonces existe x ∈ X t.q. f(x) = c.

Dem. Por (6.2) y (6.6) se sigue que f(X) es un intervalo, luego si a, b ∈ f(X)es claro que (a, b) ⊂ f(X), entonces si c ∈ (a, b) existira x ∈ X t.q. f(x) = c.

Ejercicio 40 Probar que I = [0, 1] es conexo.

Ejercicio 41 Probar que Rn es conexo para todo n ≥ 1.

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Ejercicio 42 Si X e Y son conexos y A ⊂ X, B ⊂ Y son subespacios propios,probar que X × Y − A×B es conexo.

Ejercicio 43 Probar que Rn − {0} es conexo para todo n ≥ 2.

Ejercicio 44 Probar que R y Rn no son homeomorfos si n 6= 1.

Ejercicio 45 Probar que todo intervalo abierto, semiabierto o cerrado en Res homeomorfo, respectivamente, a (−1, 1), (−1, 1] o [−1, 1]. Probar tambienque estos intervalos no son homeomorfos entre si.

Ejercicio 46 Sea I = [0, 1] y f : I −→ I una aplicacion continua, probar quef tiene un punto fijo (es decir, que existe x ∈ I t.q. f(x) = x).

Ejercicio 47 Sea n ≥ 2 y Sn−1 = {x ∈ Rn|‖x‖ = 1} la esfera unidad. Probarque Sn−1 es conexo y que Rn − Sn−1 no lo es.

Ejercicio 48 Probar que A = {(x, y) ∈ R2|y > x2 + 1} es conexo.

Ejercicio 49 Sea p ∈ S1, probar que S1 − {p} es conexo y deducir que S1 noes homeomorfo a R.

Ejercicio 50 Sea X un conjunto infinito con la topologıa cofinita, notar queτCF tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X} y es por tanto la menortopologıa que hace de X un T1-espacio. Probar que (X, τCF ) es conexo.

Ejercicio Sea (X, τCF ) un e.t. infinito con la topologıa co-finita, probar quelos conjuntos {x, y} no son conexos.

Solucion Si B = {x, y} es claro que {x} = (X − {y}) ∩ B y analogamente{y} = (X − {x}) ∩B. Como X − {y}, X − {x} ∈ τCF se sigue que {x} e {y}son abiertos en B, es decir la topologıa inducida en B = {x, y} es la discreta,por tanto B no es conexo.

Ejercicio Sean A y B dos subespacios conexos de un e.t. X t.q. A ∩ B 6= ∅.Probar que A ∪B es conexo.

Solucion Sea x ∈ A ∩ B, como A ⊂ A ∪ {x} ⊂ A, se sigue por (6.3) queA ∪ {x} es tambien conexo. Como x ∈ (A ∪ {x}) ∩ B 6= ∅ se sigue de (6.4)que A ∪B = A ∪ {x} ∪B es conexo.

Componentes conexas

Dado x ∈ X, llamaremos componente conexa C(x) de x a la union de todoslos subespacios conexos de X que contienen a x. Claramente X es conexo siy solo si C(x) = X para todo x ∈ X

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Ejemplo En espacios discretos las componentes de un punto se reducen adicho punto. La recta racional Q con la topologıa inducida por la de R no esun espacio discreto, pero tambien en este caso C(x) = {x} para todo x ∈ Q.Espacios con esta ultima propiedad se dicen totalmente inconexos.

Ejercicio 51 Probar las siguientes afirmaciones:

(1) Cada componente C(x) es un conexo maximal en X.(2) El conjunto de las componentes forman una particion de X.(3) Toda componente conexa es cerrada.(4) Sea f : X −→ Y continua, entonces f [C(x)] ⊂ C(f(x)).(5) El numero de componentes conexas de un e.t. es un invariante topologico.(6) Sea X = X1× · · · ×Xn y x = (x1, ..., xn) ∈ X, entonces C(x) =

∏C(xi).

Ejercicio Sea R con la topologıa usual y Q con la topologıa inducida, probarque una aplicacion f : R −→ Q es continua sı y solo sı es constante.

Solucion Si f continua entonces f(R) es conexo por serlo R. Si x0 ∈ f(R) sesigue que f(R) ⊂ C(x0), pero Q es totalmente inconexo, es decir C(x0) = {x0},luego f(R) = {x0} y por tanto f es constante. El recıproco es obvio ya quetoda aplicacion constante es continua.

Ejercicio Probar que un e.t. X es conexo si y solo si para todo par de puntosx, y ∈ X existe un subespacio conexo A(x, y) ⊂ X t.q. x, y ∈ A(x, y).

Solucion 1 Si X es conexo basta tomar A(x, y) = X. Recıprocamente, fijamosx ∈ X, entonces los subespacios {A(x, y)}y∈X son conexos y tienen interseccionno vacıa x ∈ ∩y∈XA(x, y) 6= ∅. Por (6.4) se sigue que la union ∪y∈XA(x, y) esconexo, pero notar que ∪y∈XA(x, y) = X.

Solucion 2 Fijamos x ∈ X, como la componente conexa C(x) es la unionde todos los conexos que contienen a x, en particular A(x, y) ⊂ C(x), paratodo y ∈ X, luego ∪y∈XA(x, y) ⊂ C(x). Pero ∪y∈XA(x, y) = X y por tantoX = C(x), concluimos que X es conexo.

Ejercicio SeaX = {x, y, z} con la topologıa τ = {∅, {x}, {z}, {x, y}, {x, z}, X}.¿EsX conexo? ¿Son A = {x, y},B = {y, z} y C = {x, z} subespacios conexos?Hallar las componentes conexas de cada punto, C(x), C(y) y C(z)

Solucion: X no es conexo ya que {z} = X − {x, y} es abierto y cerrado. SeanτA, τB, τC las topologıas inducidas por τ en A,B y C respectivamente. En-tonces τA = {∅, {x}, A} luego A conexo ya que los unicos subespacios abiertosy cerrados en A son el vacıo y el total, τB = {∅, {y}, {z}, B} luego B no conexoya que τB es la topologıa discreta, τC = {∅, {x}, {z}, C} por tanto C es noconexo pues τC es la topologıa discreta. Como la componente de un punto es elmayor conexo que lo contiene se sigue que C(x) = A, C(y) = A y C(z) = {z}.

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Espacios localmente conexos

Un espacio topologico (X, τX) se dice localmente conexo si su topologıa τXtiene una base formada por abiertos conexos.

Ejemplos (1) Como las bolas B(x, r) ⊂ Rn son conexas, Rn es localmenteconexo. (2) Espacios discretos con mas de un punto son localmente conexospero no son conexos. (3) Un espacio puede ser conexo y no localmente conexo:en efecto, si X ⊂ R2 es el espacio que consta de los segmentos que unen elorigen 0 con los puntos del conjunto {(1, 1/n)|n ∈ N} junto con el segmento

(1/2, 1] en el eje−→0x, entonces X es conexo mientras que X−{0} no lo es y las

componentes de cada punto es el rayo que lo contiene. Si p ≡ (3/4, 0) ∈ X yU es un abierto que contiene a p, entonces U = B(p, ε)∩X para algun ε > 0.Es claro que U no es conexo, ya que la interseccion de U con el segmento queune el origen 0 con el punto q ≡ (1, 1/n) es a la vez abierto y cerrado en U .

Llamaremos componente de B ⊂ X a un conexo maximal contenido en B.

6.8 Teorema Un e.t. X es localmente conexo si y solo si toda componentede todo abierto en X es abierta.

Dem. Sea C una componente de un abierto U y x ∈ C, como X es localmenteconexo existira un abierto conexo V t.q. x ∈ V ⊂ U , entonces x ∈ V ⊂ C ypor tanto C abierto. Recıprocamente, si toda componente de todo abierto U esabierta es claro que la familia de todas las componentes de todos los abiertosde X forman una base para su topologıa, luego X es localmente conexo.

En particular las componentes de un espacio localmente conexo son a la vezabiertas y cerradas, entonces se sigue facilmente

6.9 Corolario Un espacio compacto y localmente conexo tiene a lo mas unnumero finito de componentes.

Ejemplo En general, la imagen de un e.t. localmente conexo no es localmenteconexo: Sea X = {0} ∪ N y Y = {0} ∪ {1/n|n ∈ N} como subespacios de R.Definimos f : X −→ Y t.q. f(0) = 0 y f(n) = 1/n. Como X es discreto f escontinua y sobre, ademas X es localmente conexo pero Y no lo es.

Pero la propiedad ”localmente conexo” sı se conserva en cocientes

6.10 Teorema Sea X localmente conexo y f : X −→ Y una identificacion,entonces tambien Y es localmente conexo.

Dem. Sea U abierto en Y y C una componente de U , por (6.8) bastara probarque C es abierto. Como f es una identificacion, es decir τY = τ(f), notar queC es abierto en Y sı y solo si f−1(C) es abierto enX. Sea pues x ∈ f−1(C) y Cx

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la componente de x en el abierto f−1(U), entonces f(Cx) conexo y f(Cx) ⊂ Uimplican f(Cx) ⊂ C, ya que C maximal. Por tanto x ∈ Cx ⊂ f−1(C) y comoCx es abierto se sigue que f−1(C) es abierto y concluimos que C es abierto.

La propiedad ”localmente conexo” tambien se conserva en productos finitos.Mas generalmente se tiene

6.11 Teorema Un producto∏Xi es localmente conexo si y solo si todo factor

es localmente conexo y todo factor, salvo un numero finito, es conexo.

Dem. Sea∏Xi localmente conexo, las proyecciones pk :

∏Xi −→ Xk son

continuas, sobre y abiertas por tanto son identificaciones y se sigue de (6.10)que Xk es localmente conexo para todo k ∈ J . Ademas, sea (xi) ∈

∏Xi y U

un abierto conexo t.q. (xi) ∈ U , entonces U =∏Ui con Ui = Xi para todo

i ∈ J − F , donde F es un conjunto finito de ındices, por tanto Xi = pi(U)es conexo para todo i ∈ J − F . Recıprocamente, sea Xi localmente conexopara todo i ∈ J y conexo para todo i ∈ J − F1, dado (xi) ∈

∏Xi y U =

∏Ui

un abierto t.q. (xi) ∈ U , notar que Ui = Xi para todo i ∈ J − F2, entoncesexisten abiertos conexos Vk t.q. xk ∈ Vk ⊂ Uk para todo k ∈ F1∪F2. DefinimosV =

∏Vi, con Vi = Xi para todo i ∈ J − {F1 ∪ F2}, entonces por (6.5) se

sigue que V es un abierto conexo y es claro que (xi) ∈ V ⊂ U .

Ejercicio 52 Sea X un espacio localmente conexo, y sea C la componenteconexa de un abierto U de X. Probar que U ∩ Fr(C) = ∅.

Ejercicio 53 Sea X localmente conexo, A ⊂ X y C una componente de A.Probar: (1) Int(C) = C ∩ Int(A). (2) Si A es cerrado, Fr(C) = C ∩ Fr(A).

Ejercicio 54 Sean A y B subespacios localmente conexos de un e.t. X, probarque entonces A∩B es localmente conexo. Si ademas A y B son cerrados, probarque A ∪B es tambien localmente conexo.

Ejercicio 55 Sean A y B cerrados en X t.q. X = A∪B y A∩B son localmenteconexos. Probar que entonces A y B son tambien localmente conexos.

Conexion por caminos

A lo largo de esta seccion denotaremos por I al intervalo cerrado [0, 1] con latopologıa usual. Dados x, y ∈ X llamaremos camino en X juntando a x cony a una aplicacion continua γ : I −→ X t.q. γ(0) = x, γ(1) = y. Diremosque X es conexo por caminos o arcoconexo si todo par de puntos en Xpueden juntarse por un camino.

Ejemplos (1) El espacio de Sierpinski es arcoconexo. (2) Espacios indiscretosson arcoconexos mientras que espacios discretos con mas de un punto no loson. (3) Rn y Sn son arcoconexos.

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Ejercicio 56 Definimos una relacion sobre X como sigue: x ∼ y si y solo siexiste un camino en X juntando a x con y. Probar que dicha relacion es deequivalencia. Llamaremos arcocomponente de x a la clase de equivalenciaCx = {y ∈ X|y ∼ x} y es el mayor subespacio arcoconexo que contiene a x. Elconjunto de las arcocomponentes X/ ∼ se denota usualmente por π0(X).

Ejercicio 57 Fijado x0 ∈ X, probar que si todo punto de X puede juntarsecon x0, entonces X es arcoconexo.

6.12 Lema Todo espacio arcoconexo es conexo.

Dem. Sea X arcoconexo y x0 ∈ X, entonces para todo x ∈ X existe un caminoγx : I −→ X t.q. γx(0) = x0 y γx(1) = x. Como I conexo y γx continua sesigue que γx(I) conexo y es claro que x0 ∈ γx(I) para todo x ∈ X, luego⋂

x∈X γx(I) 6= ∅. El lema se sigue por (6.4) ya que X =⋃

x∈X γx(I).

El recıproco no es cierto

Ejemplo Si C = Γf siendo f : (0, 1] −→ R t.q. f(x) = sin 1/x, entoncesC = C ∪ {(0, y)| − 1 ≤ y ≤ 1} es conexo. Sin embargo C no es arcoconexo yaque no existe ningun camino juntando el origen 0 con p ≡ (1/π, 0).

Un subespacio A ⊂ X es arcoconexo si todo par de puntos en A puedenjuntarse por un camino γ totalmente contenido en A (es decir, γ(I) ⊂ A).Diremos que un e.t. X es localmente arcoconexo si cada punto tiene unabase de entornos arcoconexos.

6.13 Lema Un e.t. es localmente arcoconexo si y solo si sus arcocomponentesson abiertas (y por tanto tambien cerradas).

Dem. Suponer X localmente arcoconexo y sea Cx la arcocomponente de x,si U es un abierto arcoconexo t.q. x ∈ U entonces es claro que x ∈ U ⊂ Cx

ya que Cx maximal, luego Cx abierto. Como el conjunto de arcocomponentes{Cx} definen una particion de X, toda arcocomponente es el complementariode una union de arcocomponentes, por tanto el complementario de un abierto,luego toda arcocomponente es tambien cerrada. El recıproco es obvio.

6.14 Teorema Un e.t. es arcoconexo ⇐⇒ es conexo y localmente arcoconexo.

Dem. Si X es arcoconexo entonces es conexo por (6.12) y el propio X sirvecomo entorno arcoconexo de todo x ∈ X, luego X es tambien localmentearcoconexo. Recıprocamente, sea X conexo y localmente arcoconexo entoncesla arcocomponente Cx de x es abierta, cerrada y no vacıa, como X conexo sesigue que Cx = X y por tanto X arcoconexo.

En particular todo abierto y conexo en Rn o en Sn es arcoconexo.

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Ejercicio 58 Sea X localmente arcoconexo, probar que la arcocomponenteCx coincide con la componente C(x) de todo punto x ∈ X.

La relacion de Homotopıa

Dado un e.t. X llamaremos cilindro de X al producto X × I y cono de X alcociente CX = X × I/X × {1}. Podemos identificar X con la base del conoX × {0} y denotamos por i : X −→ CX, dada por i(x) = (x, 0), la inclusion.

Dadas dos aplicaciones continuas f, g : X −→ Y , llamaremos homotopıade f a g a una aplicacion continua H : X × I −→ Y t.q. H(x, 0) = f(x)y H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Si tal aplicacion existe diremos que f yg son homotopas y lo denotaremos f ' g. La homotopıa esta estrechamenterelacionada a la conexion por caminos: si H es una homotopıa de f a g,entonces notar que γx = H(x,−) : I −→ Y es un camino en Y de f(x) a g(x).

6.15 Proposicion La relacion de homotopıa es de equivalencia en el conjuntoC(X, Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y .

Dem. La relacion es reflexiva: dada f : X −→ Y , es claro que H : X×I −→ Ydada por H(x, t) = f(x) para todo t ∈ I (homotopıa estatica) es continuay por tanto f ' f . La relacion es simetrica: dadas f, g : X −→ Y y H unahomotopıa de f a g, es claro queG : X×I −→ Y dada porG(x, t) = H(x, 1−t)es una homotopıa de g a f . La relacion es transitiva: dadas f, g, h : X −→ Yy homotopıas H de f a g y G de g a h, es claro que F : X× I −→ Y dada porF (x, t) = H(x, 2t) para 0 ≤ t ≤ 1/2 y F (x, t) = G(x, 2t−1) para 1/2 ≤ t ≤ 1,es continua y por tanto una homotopıa de f a h.

6.16 Proposicion La relacion de homotopıa es compatible con la composicion(es decir, si f ' f ′ y g ' g′ entonces gf ' g′f ′).

Dem. Dadas aplicaciones f, f ′ : X −→ Y y g, g′ : Y −→ Z, sean H : f ' f ′ yG : g ' g′ sendas homotopıas, entonces gH : X × I −→ Z es una homotopıade gf a gf ′ y G(f ′ × 1) : X × I −→ Z es una homotopıa de gf ′ a g′f ′. Comola relacion de homotopıa es transitiva se sigue que gf ' g′f ′.

Dado y0 ∈ Y , en abuso de lenguaje, denotaremos tambien por y0 : X −→ Yla aplicacion constante a y0 (es decir y0(x) = y0 para todo x ∈ X).

Diremos que f : X −→ Y es nulhomotopa si es homotopa a una aplicacionconstante (es decir si existe y0 ∈ Y t.q. f ' y0). Un e.t. X se dira contractilsi existe x0 ∈ X t.q. 1X ' x0.

Ejemplo Definimos H : Rn×I −→ Rn t.q. H(x, t) = tx, claramente H es unanulhomotopıa de la identidad y por tanto Rn es contractil. Analogamente, eldisco unidad Dn es contractil.

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Ejercicio 59 Probar que el cono CX de todo e.t. X, es un espacio contractil.

Ejercicio 60 Probar que f : X −→ Y es nulhomotopa si y solo si se extiendea CX (es decir, existe g : CX −→ Y t.q. f = gi, donde i : X −→ CX es lainclusion en la base.

Diremos que f : X −→ Y es una equivalencia de homotopıa si existeg : Y −→ X t.q. gf ' 1X y fg ' 1Y . Si tal aplicacion existe, diremos que Xtiene el mismo tipo de homotopıa que Y , y lo denotaremos X ' Y . Es claroque espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotopıa.

Ejercicio 61 Probar que un espacio es contractil si y solo si tiene el mismotipo de homotopıa de un espacio con un solo punto.

Ejercicio 62 Probar que todo espacio contractil es arcoconexo.

Ejercicio 63 Probar que el numero de arcocomponentes es un invariante deltipo de homotopıa (es decir, si X ' Y entonces |π0(X)| = |π0(Y )|).

Diremos que A ⊂ X es un retracto de X si existe una aplicacion continua(retraccion) r : X −→ A t.q. ri = 1A, donde i denota la inclusion.

Ejemplo (1) Todo punto x0 ∈ X es un retracto de X. (2) El disco Dn es unretracto de Rn (la aplicacion r : Rn −→ Dn dada por r(x) = x si ‖x‖ ≤ 1,r(x) = x/‖x‖ si ‖x‖ ≥ 1, es una retraccion).

Ejercicio 64 Sean f : X −→ Y y g : Y −→ X continuas t.q. gf = 1X . SiY es Hausdorff probar que X tambien lo es y que f(X) es cerrado en Y . Enparticular todo retracto de un espacio Hausdorff es cerrado.

Diremos que A ⊂ X es un retracto por deformacion de X si existe unaretraccion r : X −→ A y una homotopıa H : X × I −→ X de 1X a ir. Enparticular, si A es un retracto por deformacion de X, entonces A y X tienenel mismo tipo de homotopıa.

Ejercicio 65 Probar que Sn−1 es un retracto por deformacion de Rn − {0}.

7 ESPACIOS HOMOGENEOS

Un espacio se dice homogeneo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe unhomeomorfismo h : X −→ X t.q. h(x) = y. Ello implica en particular que enun espacio homogeneo las propiedades topologicas locales de uno cualquierade sus puntos determina las de los otros. Los grupos topologicos nos daranlos primeros ejemplos de estos espacios. Empezaremos este capıtulo con un

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repaso de las nociones mas elementales en Teorıa de Grupos.

Un grupo es un conjunto G junto con una operacion binaria m : G×G −→ Gt.q. si denotamos m(x, y) = xy, se satisfacen las siguientes condiciones:

(1) Existe e ∈ G t.q. xe = x = ex para todo x ∈ G (el elemento distinguidoe se dice elemento neutro de G, claramente es unico).

(2) Para todo x, y, z ∈ G, se tiene x(yz) = (xy)z (es decir m es asociativa).(3) Para todo x ∈ G, existe x′ ∈ G t.q. xx′ = x′x = e (x′ es unico y se llama

inverso de x, lo denotaremos por x′ = x−1).

Si ademas se satisface xy = yx para todo x, t ∈ G, entonces el grupo G se diraabeliano. Es usual manejar notacion aditiva para grupos abelianos y notacionmultiplicativa (como en la definicion dada aquı) para el caso no abeliano.

Ejemplo (1) Sea F = R o C, entonces Fn con la suma y F∗ = F− {0} con elproducto son ejemplos de grupos (abelianos). (2) Denotaremos por M(n,F)el conjunto de matrices cuadradas n × n con coeficientes en F y por In lamatriz identidad. Sea det : M(n,F) −→ F la aplicacion determinante, comodet(AB) = det(A)det(B) se sigue que el conjunto de las matrices regulares

GL(n,F) = {A ∈M(n,F)|det(A) 6= 0}

con la multiplicacion de matrices es un grupo (no abeliano) con In comoelemento neutro. El grupo GL(n,F) se llama Grupo General Lineal.

Un subconjunto H de un grupo G se dice subgrupo de G, y lo denotamosH ≤ G, si x−1y ∈ H para todo x, y ∈ H. En particular H es un grupo con laoperacion binaria inducida m|H , es decir H−1 ⊆ H y H2 = HH ⊆ H.

Dado un subgrupo H ≤ G, la relacion x ∼ y ⇔ x−1y ∈ H es de equivalencia.El conjunto xH = {xh|h ∈ H} ⊂ G se llama clase lateral a izquierda.Analogamente definirıamos las clases laterales a derecha Hx = {hx|h ∈ H}.En particular todo subgrupo define una particion del grupo en clases laterales.Denotaremos G/H el conjunto cociente y p : G −→ G/H t.q. p(x) = {xH} laproyeccion. Un subgrupo H de G se dice normal, y lo denotaremos H �G sixH = Hx para todo x ∈ G. Si H �G entonces el cociente G/H es un grupo.

Ejercicio 66 El numero de clases laterales |G/H| = [G : H] se llama ındicede H en G. Probar que si [G : H] = 2 entonces H es subgrupo normal de G.

Ejercicio 67 El conjunto Z(G) = {x ∈ G|xy = yx,∀y ∈ G} se llama centrode G. Probar que Z(G) es un subgrupo normal de G.

Una aplicacion f : G −→ H se dice homomorfismo si f(xy) = f(x)f(y) paratodo x, y ∈ G. Es claro que si f es un homomorfismo entonces f(eG) = eH .

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Un homomorfismo biyectivo se dice isomorfismo. Si G = H, hablaremos deendomorfismo y automorfismo respectivamente.

Ejercicio 68 Dado un homomorfismo f : G −→ H, llamaremos nucleo de fal conjunto Ker(f) = {x ∈ G|f(x) = eH}. Probar que Ker(f) �G.

Grupos topologicos

Un conjunto G se dice grupo topologico si existe una operacion binaria mt.q. (G,m) es un grupo, esta dotado de una topologıa τ que hace de (G, τ)un T1-espacio y ambas estructuras son compatibles, en el sentido de que lamultiplicacion m : G × G −→ G dada por m(x, y) = xy, y la inversionη : G −→ G dada por η(x) = x−1 son aplicaciones continuas.

Ejemplos (1) (F,+) y (F∗, ·). (2) S1 = {z ∈ C|zz = 1} con la multiplicacioncompleja. (3) Todo grupo con la topologıa discreta.

Si U, V ⊂ G, denotamos UV = m(U, V ) = {xy|x ∈ U, y ∈ V } y U−1 =η(U) = {x−1|x ∈ U}. En terminos de entornos, la continuidad de m y η laexpresaremos como sigue: para todo x, y ∈ G y entorno W de xy en G, existenentornos U de x y V de y t.q. UV ⊂ W y para todo U entorno de x−1, U−1

es un entorno de x. Notar que η es una involucion (η2 = 1 o bien η−1 = η) ypor tanto es un homeomorfismo.

Ejercicio 69 Sea G un grupo y un T1-espacio, probar que G es un g.t. si ysolo si la aplicacion φ : G×G −→ G dada por φ(x, y) = xy−1 es continua.

Sea G un g.t. y x ∈ G, la aplicacion Lx : G −→ G, dada por Lx(y) = xy,se dira traslacion a izquierda (analogamente Rx : G −→ G, dada porRx(y) = yx, se dira traslacion a derecha). Notar que las traslaciones Lx, Rx

son homeomorfismos de G en sı mismo: Lx = m(x,−) continua y las relacionesLxLy = Lxy y Le = 1 implican (Lx)

−1 = Lx−1 (analogamente para Rx).

En particular, todo g.t. G es un espacio homogeneo: en efecto, dados x, y ∈ Gentonces y = Lz(x), donde z = yx−1. Por lo tanto las propiedades locales delelemento neutro determinan las de los demas: U es un entorno de x ∈ G si ysolo si U = Lx(V ) = xV , para algun V entorno de e ∈ G.

Un subespacio V ⊂ G se dice simetrico si V = V −1. Denotaremos porE(e) = {Ui}i∈J el sistema completo de los entornos abiertos de e.

7.1 Lema Para todo U ∈ E(e), existe V ∈ E(e) simetrico t.q. V 2 ⊂ U .

Dem. Como m continua y m(e, e) = e, dado U ∈ E(e) existiran U1, U2 ∈ E(e)t.q. U1U2 ⊂ U . Definimos W = U1 ∩ U2 y V = W ∩W−1, entonces es claroque V ∈ E(e) es simetrico y que V 2 ⊂ U1U2 ⊂ U .

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7.2 Proposicion Sea G un grupo topologico, entonces A =⋂AUi =

⋂UiA,

donde los Ui recorren E(e), para todo A ⊂ G.

Dem. Sea x ∈ A, entonces xU−1i ∩A 6= ∅ o bien x ∈ AUi para todo Ui ∈ E(e),

por tanto x ∈ ⋂AUi. Recıprocamente, supongamos que x ∈ AUi para todo

Ui ∈ E(e) y sea V un abierto t.q. x ∈ V , entonces V −1x ∈ E(e) y por tantox ∈ AV −1x, esto implica que x = av−1x para algun a ∈ A, v ∈ V o bien quea = v, luego A ∩ V 6= ∅ y por tanto x ∈ A

7.3 Corolario Todo grupo topologico es un T3-espacio.

Dem. Como G es un T1-espacio bastara probar que G es regular. Por (4.9),debemos probar que para todo x ∈ G y abierto U t.q. x ∈ U existe unabierto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U y como todo grupo topologico es un espaciohomogeneo bastara probarlo para x = e. Por (7.1), dado U ∈ E(e) existeV ∈ E(e) simetrico t.q. V 2 ⊂ U , pero por (7.2) es claro que V ⊂ V V = V 2,luego hemos probado que e ∈ V ⊂ V ⊂ U .

Sea G un grupo topologico y H ≤ G, si G/H tiene la topologıa cocienteentonces p : G −→ G/H es continua. Ademas se tiene

7.4 Lema La identificacion p : G −→ G/H es abierta.

Dem. Sea U abierto en G, como G/H tiene la topologıa cociente p(U) seraabierto en G/H sı y solo si p−1p(U) es abierto en G, pero notar que p−1p(U) =UH =

⋃x∈H Ux =

⋃x∈H Rx(U) es abierto ya que Rx homeomorfismo.

7.5 Teorema Sea G un grupo topologico y H ≤ G, entonces el espaciocociente G/H es Hausdorff sı y solo si H es cerrado.

Dem. Si G/H es Hausdorff el punto {H} es cerrado y siendo p continua sesigue que H = p−1({H}) es cerrado en G. Recıprocamente, supongamos Hcerrado en G y sean {xH} 6= {yH} en G/H, entonces xH ∩ yH = ∅ en G yen particular x /∈ yH. Como yH = Ly(H) es cerrado existira U ∈ E(e) t.q.Ux∩yH = ∅. Sea V ∈ E(e) simetrico t.q. V 2 ⊂ U , entonces p(V x) = V (xH) yp(V y) = V (yH) son abiertos en G/H t.q. {xH} ∈ V (xH), {yH} ∈ V (yH) yV xH∩V yH = ∅ (en efecto, si V xH∩V yH 6= ∅ existiran v1, v2 ∈ V , h1, h2 ∈ Ht.q. v1xh1 = v2yh2 o bien v−1

2 v1x = yh2h−11 , pero v−1

2 v1x ∈ V 2x ⊂ Ux yyh2h

−11 ∈ yH lo cual contradice Ux ∩ yH = ∅). Por tanto G/H es Hausdorff.

Ejercicio 70 Probar que todo subgrupo abierto de un grupo topologico estambien cerrado. En particular todo subgrupo discreto es cerrado.

Ejercicio 71 Si E(e) = {Ui}i∈J , probar que⋂Ui = {e}.

Ejercicio 72 Sea G un grupo topologico, probar que si H ≤ G entonces

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tambien H ≤ G. Ademas si H �G, tambien H �G.

Ejercicio 73 Sea G un grupo topologico, probar que Z(G) �G es cerrado.

Ejercicio 74 Sea G un grupo topologico y V ∈ E(e) simetrico, probar que⋃n≥1 V

n es un subgrupo abierto y cerrado de G (en particular, un grupotopologico conexo esta generado por cualquier entorno simetrico de e ∈ G).

7.6 Lema Sea G un grupo topologico, K ⊂ G compacto y U ⊂ G abierto t.q.K ⊂ U , entonces existe V ∈ E(e) t.q. KV ⊆ U .

Dem. Como U abierto, para cada xi ∈ K existe Ui ∈ E(e) t.q. xi ∈ xiUi ⊂ U .Sea Vi ∈ E(e) simetrico t.q. V 2

i ⊂ Ui, es claro que {xiVi}xi∈K es un re-cubrimiento abierto de K y siendo K compacto existira un subrecubrimientofinito {x1V1, ..., xnVn}. Denotamos V = V1 ∩ · · · ∩ Vn, entonces es claro queV ∈ E(e) y KV ⊂ x1V1V ∪ · · · ∪ xnVnV . Como ViV ⊂ ViVi ⊂ Ui se sigue quexiViV ⊂ xiUi ⊂ U para 1 ≤ i ≤ n, por tanto KV ⊂ U .

7.7 Proposicion Sea G un grupo topologico, F ⊂ G un cerrado y K ⊂ G uncompacto t.q. F ∩K = ∅, entonces existe V ∈ E(e) t.q. FV ∩KV = ∅.

Dem. Si F cerrado t.q. F ∩K = ∅ entonces K ⊂ G − F abierto y por (7.6)existira U ∈ E(e) t.q. KU ⊂ G−F o bien F ∩KU = ∅. Sea V ∈ E(e) simetricot.q. V 2 ⊂ U , entonces FV ∩ KV = ∅ (en efecto, si FV ∩ KV 6= ∅ existiranx ∈ F , y ∈ K y v1, v2 ∈ V t.q. xv1 = yv2 o bien x = yv2v

−11 ∈ KV 2 ⊂ KU , lo

cual contradice F ∩KU = ∅).

7.8 Proposicion Sea G un grupo topologico, F ⊂ G cerrado y K ⊂ Gcompacto, entonces FK es cerrado.

Dem. Veamos que G − FK es abierto. Si x /∈ FK entonces F−1x ∩ K = ∅y notar que F−1x = Rxη(F ) es cerrado, ya que Rx y η son homeomorfismos.Por (7.7) existira V ∈ E(e) t.q. F−1xV ∩KV = ∅. Sea W = V V −1 ∈ E(e),entonces xW ∩FK = ∅. Por tanto xW es un abierto t.q. x ∈ xW ⊂ G−FK.

7.9 Teorema Sea G un grupo topologico y H ≤ G cerrado, entonces G escompacto si y solo si H y G/H son compactos.

Dem. SeanH yG/H compactos y sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto deG, como U es tambien un recubrimiento de xH para todo x ∈ G y xH = Lx(H)es compacto, existira un subrecubrimiento finito {U1, ..., Un} de xH, es decirxH ⊂ Ux = U1 ∪ · · · ∪ Un. Por (7.6) existira V x ∈ E(e) t.q. V xxH ⊆ Ux.Pero (V xx)H = p(V xx) = pRx(V

x) es abierto en G/H, ya que p abierta yRx homeomorfismo, ademas x ∈ V xxH ya que x = exe, entonces es claroque {(V xx)H}x∈G es un recubrimiento abierto de G/H, por tanto existiraun subrecubrimiento finito {(V x1x1)H, ..., (V

xkxk)H} ya que G/H compacto.

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Entonces G = p−1(G/H) = V x1x1H ∪ · · · ∪ V xkxkH ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪Uxk y cadaUxi es union de un numero finito de miembros de U , por tanto G compacto.

Ejercicio 75 Sea G un grupo topologico compacto y H ≤ G cerrado, probarque entonces la proyeccion p : G −→ G/H es tambien cerrada.

Ejercicio 76 Sea G un grupo topologico y H � G cerrado en G, probar queentonces G/H es tambien un grupo topologico.

7.10 Teorema Sea G un grupo topologico y H ≤ G cerrado. Si H y G/Hson conexos, entonces tambien G es conexo.

Dem. Sea U, V abiertos no vacıos t.q. G = U ∪ V , vamos a probar que U yV no pueden ser disjuntos. Como p : G −→ G/H es una aplicacion abierta ysobre G/H = p(U) ∪ p(V ) = UH ∪ V H y siendo G/H conexo se sigue queUH ∩ V H 6= ∅. Sea xH ∈ UH ∩ V H, como xH ∈ UH existiran h ∈ H yu ∈ U t.q. xh = u, por tanto xH ∩ U 6= ∅. Analogamente, xH ∈ V H implicaxH ∩V 6= ∅. Claramente xH = xH ∩ (U ∪V ) = (xH ∩U)∪ (xH ∩V ) y comoxH = Lx(H) es conexo, por ser H conexo y Lx homeomorfismo, se sigue quexH ∩ U ∩ V 6= ∅ y en particular que U ∩ V 6= ∅. Por tanto G es conexo.

Ejercicio 77 Sea C(e) la componente conexa del elemento neutro e ∈ G,probar que G/C(e) es un grupo topologico.

Ejercicio 78 Sea f : G −→ H homomorfismo continuo de grupos topologicos,probar queKer(f) es cerrado. Si ademas f es sobre y abierta (o cerrada) o bienf sobre y G compacto, el isomorfismo de grupos inducido f : G/Ker(f) −→ Hes tambien un homeomorfismo.

Grupos de transformaciones topologicas

Sea G un g.t. y X un e.t. Hausdorff, una accion a izquierda de G sobre Xes una aplicacion continua φ : G×X −→ X t.q. si φ(g, x) = gx, se satisface:(1) ex = x, ∀x ∈ X y (2) g(hx) = (gh)x, para todo g, h ∈ G y todo x ∈ X.

Notar que G actua como un grupo de homeomorfismos o de transformacionestopologicas de X: dado g ∈ G, la aplicacion φg = φ(g,−) : X −→ X dada porφg(x) = gx es continua y tambien lo es (φg)

−1 = φg−1 , por tanto g = φg es unhomeomorfismo de X en sı mismo. Si tal accion existe, diremos que (X,φ) esun G-espacio a izquierda. (Analogamente definirıamos acciones a derecha).

Ejemplo Si G es un g.t. y H ≤ G cerrado entonces el par (G/H, φ) conφ : G×G/H −→ G/H dada por φ(g, g′H) = (gg′)H, es un G-espacio.

Definimos una relacion en un G-espacio X como sigue: x ∼ y si existe g ∈ Gt.q. gx = y. Esta relacion es de equivalencia y define una particion de X. Las

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clases de equivalencia G(x) = {gx|g ∈ G} se llaman orbitas de x bajo G yel conjunto de las orbitas X/G, con la topologıa cociente, se dice espacio deorbitas de X bajo G.

Ejemplos

(1) (Z,+) actua sobre R como sigue: φ : Z × R −→ R t.q. φ(n, x) = n + x¿Quien es el espacio de orbitas R/Z?

(2) La aplicacion antipodal a : Sn −→ Sn dada por a(x) = −x genera elgrupo cıclico Z2 (en efecto, a2 = 1). Definimos φ : Z2 × Sn −→ Sn t.q.φ(a, x) = a(x). El espacio de orbitas Sn/Z2 es el espacio proyectivo RP n.

(3) Un mismo grupo puede actuar de distintas maneras sobre un e.t. Enefecto, sea T el toro generado por la rotacion del cırculo en R3 de ecuacion(x−3)2+z2 = 1 alrededor del eje

−→0z y sea Z2 = {g|g2 = 1} el grupo cıclico

de orden 2, definimos φi : Z2 × T −→ T , i = 1, 2, 3 t.q. φ1(g, (x, y, z)) =(x,−y,−z), φ2(g, (x, y, z)) = (−x,−y, z) y φ3(g, (x, y, z)) = (−x,−y,−z)(es decir, φ1, φ2, φ3 son, respectivamente, la rotacion de angulo π alrededor

del eje−→0x, la rotacion de angulo π alrededor del eje

−→0z y la simetrıa

respecto del origen. ¿Quienes son los correspondientes espacios de orbitas?

Ejercicio 79 Probar que la proyeccion π : X −→ X/G es abierta.

7.11 Teorema Sea (X,φ) un G espacio con G un grupo finito. Entonces laproyeccion π : X −→ X/G es tambien cerrada y X/G es Hausdorff.

Dem. Sea G = {e, g1, ...gn} y F cerrado en X, notar que π(F ) sera cerradoen X/G sı y solo si π−1π(F ) es cerrado en X, pero este ultimo es cerrado porser union finita de cerrados π−1π(F ) = GF = F ∪ g1F ∪ · · · ∪ gnF (en efecto,gF = φg(F ) y φg homeomorfismo), por tanto π es cerrada. Veamos que X/Ges Hausdorff, sea G(x) 6= G(y) en X/G o equivalentemente G(x)∩G(y) = ∅ enX, como G es finito G(x) y G(y) seran finitos y por tanto compactos, entoncespor 5.5 existiran abiertos U, V t.q. G(x) ⊂ U , G(y) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Enparticular U∩G(y) = ∅, entonces π(U) es un abierto en X/G t.q. G(x) ∈ π(U)ya que π abierta. Por otra parte π(U) sera cerrado enX/G, ya que π es tambiencerrada, y por tanto X/G − π(U) es un abierto t.q. G(y) ∈ X/G − π(U). Esclaro que π(U) ∩ (X/G− π(U)) = ∅ y concluimos que X/G es Hausdorff.

Fijado x ∈ X, el conjunto Gx = {g ∈ G|gx = x} de los elementos de Gque fijan x es un subgrupo de G llamado subgrupo de isotropıa o deestabilidad de G respecto de x.

7.12 Proposicion Gx es un subgrupo cerrado de G para todo x ∈ X.

Dem. Dado x ∈ X la aplicacion φx = φ(x,−) : G −→ X es continua y notarque Gx = φ−1

x ({x}), pero {x} es cerrado ya que X es Hausdorff.

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Sea (X,φ) un G-espacio, diremos que φ es libre o que G actua librementesobre X si no deja puntos fijos, es decir si gx 6= x para todo g 6= e y todox ∈ X o equivalentemente si Gx = {e} para todo x ∈ X.

Sea (X,φ) un G-espacio, diremos que φ es una accion discontinua o que Gactua de manera discontinua sobre X, si para todo x ∈ X existe un abierto Ut.q. x ∈ U y g1U ∩ g2U = ∅ para todo g1 6= g2.

7.13 Proposicion Toda accion discontinua φ : G × X −→ X es libre. Si Ges un grupo finito y φ es una accion libre entonces φ es tambien discontinua.

Dem. Si φ es discontinua y g 6= e para todo x ∈ X existe U abierto t.q.x ∈ U y gU ∩ U = ∅ para todo g 6= e, en particular gx 6= x y por tanto φes libre. Por otra parte, sea G = {e, g1, ..., gn} un grupo finito y φ una accionlibre, entonces gix 6= x para 1 ≤ i ≤ n y como X es Hausdorff, existiranabiertos U0, U1, ..., Un t.q. x ∈ U0, gix ∈ Ui y U0 ∩ Ui = ∅, para 1 ≤ i ≤ n.Sea U = U0 ∩ g−1

1 U1 ∩ · · · ∩ g−1n Un, entonces U es un abierto t.q. x ∈ U y

como gi puede mirarse como un homeomorfismo de X en sı mismo, notar quegiU ⊂ Ui. Entonces giU ∩ gjU = gi(U ∩ g−1

i gjU) = gi(U ∩ gkU), pero U ⊂ U0,gkU ⊂ Uk y U0 ∩ Uk = ∅. Por tanto giU ∩ gjU = ∅ y φ sera discontinua.

Dado un G-espacio (X,φ) y x ∈ X sea ψx : G −→ G(x) t.q. ψx(g) = gx larestriccion de φx en la imagen y sea q : G −→ G/Gx la identificacion, entoncesdefinimos ϑx : G/Gx −→ G(x) por ϑx(gGx) = gx, y notar que ϑxq = ψx.

7.14 Proposicion ϑx : G/Gx −→ G(x) es una biyeccion continua.

Dem. Como ϑxq = ψx y ψx sobre se sigue que ϑx es sobre. Supongamos queϑx(g1Gx) = ϑx(g2Gx) o bien que g1x = g2x, entonces g−1

2 g1 ∈ Gx y por tantog1Gx = g2Gx y se sigue que ϑx es inyectiva. Solo queda probar que ϑx escontinua: dado U abierto en G(x) notar que ϑ−1

x (U) sera abierto en G/Gx sı ysolo si q−1(ϑ−1

x (U)) es abierto en G, pero q−1(ϑ−1x (U)) = (ϑxq)

−1(U) = ψ−1x (U)

que es abierto por ser ψx continua.

Dado un G-espacio (X,φ) diremos que la accion φ es transitiva si para todox, y ∈ X existe g ∈ G t.q. y = gx (equivalentemente, si G(x) = X para todox ∈ X o bien el espacio de orbitas X/G consta de un unico punto).

Como G es un grupo de homeomorfismos de X se sigue en particular que Xsera un espacio homogeneo. Dado un grupo topologicoG y un subgrupoH ≤ Gcerrado es claro que φ : G×G/H −→ G/H, dada por φ(g, g′H) = (gg′)H, esuna accion transitiva que hace de G/H un espacio homogeneo. Como ϑx esuna biyeccion continua, notar que si G es compacto y actua transitivamentesobre X, entonces ϑx : G/Gx −→ X es un homeomorfismo.

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8 GRUPOS LINEALES

Dados A = (aij) ∈M(n,C) y r > 0, consideramos los conjuntos

Ur(A) = {B = (bij) ∈M(n,C)|‖aij − bij‖ < r, ∀i, j}

entonces {Ur(A)|A ∈ M(n,C), r > 0} es una base para una topologıa sobreM(n,C) t.q. la biyeccion h : M(n,C) −→ Cn2

dada por

h(A) = (a11, ..., a1n, a21, ..., a2n, ..., an1, ..., ann)

es un homeomorfismo. Consideramos GL(n,C) con la topologıa inducida ysean πij : M(n,C) −→ C t.q. πij(A) = aij la composicion de h con lasproyecciones canonicas pij : Cn2 −→ C, con 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces

m : GL(n,C)×GL(n,C) −→ GL(n,C)

dada por m(A,B) = AB = (∑aikbkj), sera continua si y solo si πijm es

continua para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Pero πijm(A,B) =∑aikbkj es una funcion

polinomial y por tanto continua. Analogamente, sea

η : GL(n,C) −→ GL(n,C)

t.q. η(A) = A−1 la inversion, notar que πijη(A) = Aij/det(A) es tambien unafuncion polinomial, luego πijη y por tanto η es continua. En consecuencia,GL(n,C) es un grupo topologico.

Ejercicio 80 Probar que GL(n,C) no es compacto.

Subgrupos relevantes de GL(n,C) son los Grupos Especiales Lineales

SL(n,C) = {A ∈ GL(n,C)|det(A) = 1} y SL(n,R) = SL(n,C) ∩GL(n,R)

Como det : GL(n,F) −→ F es una aplicacion continua y F = C,R es unespacio Hausdorff se sigue que SL(n,F) = det−1(1) es cerrado en GL(n,F).

Ejercicio 81 Probar que SL(n,F) es un subgrupo normal de GL(n,F) y queGL(n,F)/SL(n,F) ≈ F∗, donde F∗ = F− {0}.

Una matriz regular A ∈ GL(n,F) no es otra cosa que una transformacion oisomorfismo lineal A : Fn −→ Fn t.q. A(x) = Ax, donde x ≡ (x1, ..., xn) ∈ Fn

podemos mirarlo como una matriz columna. Por otra parte, Fn es un espaciocon un producto escalar dado por < x, y >= xty, donde x denota la matrizconjugada de x ∈ Fn, entonces Fn es un espacio normado con ‖x‖2 = xtx.

Una matriz A ∈ GL(n,R) se dira ortogonal si ‖Ax‖ = ‖x‖. Es claro que Aes ortogonal si y solo si AtA = I o bien At = A−1. Sea O(n) el conjunto de

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las matrices ortogonales, es claro que I ∈ O(n) y que si A,B ∈ O(n) entonces‖(AB)x‖ = ‖A(Bx)‖ = ‖Bx‖ = ‖x‖, luego AB ∈ O(n). Por tanto O(n) esun subgrupo de GL(n,R) y se conoce como el Grupo Ortogonal.

Una matriz A ∈ GL(n,C) se dira unitaria si ‖Ax‖ = ‖x‖ y notar que Aes unitaria si y solo si AtA = I o bien At = A−1. Analogamente al caso realprobarıamos que conjunto de las matrices unitarias U(n) es un subgrupo deGL(n,C), el cual se conoce como Grupo Unitario.

Otros subgrupos relevantes de GL(n,C) son el Grupo Especial OrtogonalSO(n) = O(n)∩SL(n,R) y el Especial Unitario SU(n) = U(n)∩SL(n,C).

Ejercicio 82 Probar que SO(n) �O(n) ≤ U(n) y SO(n) ≤ SU(n) � U(n).

Denotamos por A = (aij) la matriz conjugada de A.

8.1 Proposicion La conjugacion c : GL(n,C) −→ GL(n,C) y la trasposiciont : GL(n,C) −→ GL(n,C), dadas por c(A) = A y t(A) = At respectivamente,son homeomorfismos de GL(n,C).

Dem. Ambas aplicaciones son biyectivas ya que son involuciones (c2 = t2 = 1),entonces bastara probar que son continuas, pero eso es consecuencia de queπijc(A) = aij y πijt(A) = aji son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n.

8.2 Corolario U(n) es un subgrupo cerrado de GL(n,C).

Dem. Notar que U(n) = {A ∈ GL(n,C)|At = A−1}, es decir tc(A) = η(A).Entonces GL(n,C) Hausdorff y (4.3) implican que U(n) cerrado en GL(n,C).

8.3 Corolario SU(n), O(n) y SO(n) son cerrados en U(n) y en GL(n,C).

Dem. Como U(n) es cerrado en GL(n,C), bastara probar que SU(n), O(n) ySO(n) son cerrados en U(n).Pero SL(n,C) cerrado en GL(n,C) y SU(n) =U(n)∩SL(n,C) implican SU(n) cerrado en U(n). Analogamente probarıamosque SO(n) es cerrado en O(n). Finalmente, notar que por (4.3) se sigue queGL(n,R) = {A ∈ GL(n,C)|A = A} es un subgrupo cerrado de GL(n,C),como O(n) = U(n) ∩GL(n,R) concluimos que O(n) es cerrado en U(n).

Dada A = (aij) ∈ M(n,R) podemos mirar la i-sima columna de A comoun vector ai = (a1i, ...ani) ∈ Rn . Notar que si A ∈ GL(n,R), el conjunto{a1, ..., an} es linealmente independiente y por tanto una base de Rn y que siB ∈ O(n), entonces BtB = I implica que < bi, bj >= δij, con bi = (b1i, ...bni),es decir {b1, ..., bn} es una base ortonormal de Rn. El proceso de Gram-Schmidtnos da un metodo para ortonormalizar una base {a1, ..., an} dada: en primer

43

lugar construimos una base ortogonal {c1, ..., cn} como sigue

c1 = a1, c2 = a2 −< a2, c1 > c1< c1, c1 >

, ......., cn = an −n−1∑i=1

< an, ci > ci< ci, ci >

entonces si C = (cij) es la matriz que tiene a ci = (c1i, ...cni) como i-simacolumna es claro que C = AS, donde S = (sij) es una matriz triangularsuperior, es decir sij = 0 para j < i, con sii = 1. La segunda etapa esnormalizar la base {c1, ..., cn}, definimos bi = ci/‖ci‖ para 1 ≤ i ≤ n, entoncessi B = (bij) es la matriz que tiene a bi = (b1i, ...bni) como i-sima columna, sesigue que B = CD con D = diag(1/‖c1‖, ..., 1/‖cn‖) una matriz diagonal. Porlo tanto A = B(SD)−1, donde B ∈ O(n).

8.4 Lema Sea T+(n) el conjunto de las matrices triangulares superiores cuyoselementos de la diagonal son reales positivos, entonces T+(n) ≤ GL(n,R).

Dem. Si A ∈ T+(n) entonces det(A) = a11 · · · ann > 0 luego T+(n) ⊂ GL(n,R).Sean A,B ∈ T+(n) y notar que (AB)ij =

∑aikbkj. Si j < i, entonces k < i

o j < i ≤ k, en el primer caso aik = 0 y en el segundo caso bkj = 0, luegoen cualquier caso (AB)ij = 0 para todo j < i. Ademas, para i = j, se tiene(AB)ii = aiibii > 0, por tanto AB ∈ T+(n). Por otra parte, dada A ∈ T+(n)denotamos B = A−1, entonces AB = BA = I y notar que annbnn = 1 y queannbnj = 0 para j < n, luego bnn > 0 y bnj = 0 para todo j < n ya queann > 0. Suponer que bkj = 0 para todo j < k y k > i, entonces aiibij = 0 yaii > 0 implican bij = 0 para todo j < i. Ademas aiibii = 1, luego bii > 0 paratodo 1 ≥ i ≥ n, por tanto A−1 ∈ T+(n) y concluimos que T+(n) ≤ GL(n,R)

8.5 Lema O(n) ∩ T+(n) = {I}

Dem. Sea D ∈ O(n) ∩ T+(n), entonces Dt = D−1 ∈ T+(n). Como Dt es unamatriz triangular inferior se sigue que D = diag(d11, ..., dnn) es una matrizdiagonal y por tanto D = Dt. Como I = DtD = D2 se sigue que d2

ii = 1,luego dii = 1 ya que dii > 0 pues D ∈ T+(n). Entonces concluimos que D = I.

8.6 Teorema GL(n,R) ≈ O(n)× T+(n)

Dem. Sea Φ : O(n) × T+(n) −→ GL(n,R) la restriccion de m, es decirΦ(B, T ) = BT . Por otra parte, dada A ∈ GL(n,R) vimos que A = B(SD)−1

con B ∈ O(n) y S,D ∈ T+(n). Por (8.4) se sigue que T = (SD)−1 ∈ T+(n),luego toda matriz regular A descompone como A = BT con B ∈ O(n) yT ∈ T+(n), en particular Φ es sobre. Ademas esta descomposicion es unica: siB1T1 = B2T2 entonces B−1

2 B1 = T2T−11 ∈ O(n)∩ T+(n) = {I}, luego B1 = B2

y T1 = T2, por tanto Φ es inyectiva. Entonces Φ es biyeccion continua yun homeomorfismo, ya que su inversa Ψ = Φ−1 dada por Ψ(A) = (B, T ) siA = BT , tambien es continua (su composicion con las proyecciones πij espolinomial en cada coordenada).

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Vamos a presentar las esferas como espacios homogeneos en la luz de (7.14).

8.7 Proposicion Para n ≥ 2, se tienen homeomorfismos

(1) Sn−1 ≈ O(n)/O(n− 1) ≈ SO(n)/SO(n− 1).(2) S2n−1 ≈ U(n)/U(n− 1) ≈ SU(n)/SU(n− 1).

Dem. Definimos φ : O(n) × Sn−1 −→ Sn−1 por φ(A, x) = Ax y notar que φesta bien definida ya que ‖Ax‖ = ‖x‖ = 1, luego Ax ∈ Sn−1. Como Ix = xy A(Bx) = (AB)x se sigue que φ es una accion continua de O(n) sobreSn−1. Sea {e1, ..., en} la base ortonormal estandar de Rn y x ∈ Sn−1, entoncespodemos construir una segunda base ortonormal con x como primer vectory si A es la matriz asociada al cambio de base es claro que A ∈ O(n) yque Ae1 = x. Entonces la orbita de e1 bajo O(n) es Sn−1, es decir φ es unaaccion transitiva. Si identificamos B ∈ O(n − 1) con la matriz de bloques(1|B), podemos mirar a O(n−1) como subgrupo de O(n), entonces notar queAe1 = e1 sı y solo sı A = (1|B), luego O(n− 1) es el subgrupo de estabilidadde e1 y por (7.14) se sigue que Sn−1 ≈ O(n)/O(n−1), ya que O(n) compactoy Sn−1 es Hausdorff. Sea ψ : SO(n) × Sn−1 −→ Sn−1 definida como antes,entonces ψ es tambien transitiva, ya que podemos elegir la matriz A del cambiode base t.q. det(A) = 1, luego tambien como antes Sn−1 ≈ SO(n)/SO(n− 1).Analogamente lo probarıamos en el caso complejo para U(n) y SU(n).

Como SO(1) = {1} se sigue en particular que SO(2) ≈ S1.

8.8 Teorema U(n), SU(n), O(n) y SO(n) son compactos.

Dem. Como O(n), SO(n) y SU(n) son cerrados en U(n) bastara probar queeste ultimo es compacto. En efecto, claramente U(1) = S1 es compacto y sisuponemos que U(k) es compacto para 1 ≤ k ≤ n− 1, entonces (8.7) y (7.9)implican que U(n) es compacto, completando la induccion.

Ejercicio 83 Probar que U(n) ≈ SU(n)× S1 y O(n) ≈ SO(n)× S0.

8.9 Teorema U(n), SU(n) y SO(n) son conexos para todo n ≥ 1, pero O(n)tiene dos componentes, una de ellas SO(n).

Dem. Notar que SO(1) = {1} = SU(1) y U(1) = S1 son conexos y suponerque SO(k), SU(k) y U(k) son conexos para 1 ≤ k ≤ n−1, entonces el teoremase sigue por induccion a partir de (8.7) y (7.10). Por otra parte, sea S0 ={−1, 1} y notar que det : O(n) −→ S0 es continua y sobre, entonces O(n)es no conexo para todo n ≥ 1. Claramente SO(n) = det−1(1) es una de lascomponentes, siendo {A ∈ O(n)|det(A) = −1} la otra componente.

Un e.t. X se dice localmente euclıdeo de dimension n si todo punto deX tiene un entorno homeomorfo a un abierto de Rn. Como todo abierto en

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Rn es localmente arcoconexo, espacios euclıdeos son localmente arcoconexos.En particular, GL(n,C) y todos sus subgrupos definidos aquı son localmenteeuclıdeos, luego son arcoconexos sı y solo si son conexos y en todo caso, susarcocomponentes coinciden con sus componentes conexas.

8.10 Corolario GL(n,R) tiene dos arcocomponentes.

Dem. Notar que T+(n) ≈ Rn(n+1)/2, en particular T+(n) es contractil, es decirT+(n) ' {I}, por tanto GL(n,R) ≈ O(n)×T+(n) ' O(n)×{I} ≈ O(n), peroel numero de arcocomponentes es un invariante del tipo de homotopıa.

Analogamente en el caso complejo se tiene GL(n,C) ≈ U(n) × T+(n,C) ycomo T+(n,C) es contractil, se sigue que GL(n,C) ' U(n). Pero U(n) esarcoconexo y por lo tanto tambien GL(n,C) sera arcoconexo.

CUATERNIONES

Sea {1, i, j, k} una base estandar de R4, definimos un producto bilineal sobreR4, con 1 como elemento neutro, definido por la siguientes reglas:

(1) i2 = j2 = k2 = −1(2) ij = k = −ji, jk = i = −kj y ki = j = −ik

Claramente este producto es asociativo y no conmutativo. El espacio vectorialR4 con este producto bilineal es un algebra real llamada algebra de cuater-niones, usualmente denotada por H en honor de su descubridor W. Hamilton.

Un cuaternion q ∈ H tiene una expresion unica de la forma q = a+bi+cj+dky como en el caso de los complejos, consta de parte real Re(q) = a y parteimaginaria pura Pu(q) = bi+ cj + dk. Diremos que q es puro si Pu(q) = q.

8.11 Lema Un cuaternion es real si y solo si conmuta con todo elemento deH, es decir Z(H) = R.

Dem. Sea q = a+ bi+ cj + dk ∈ Z(H), entonces

0 = iq − qi = −b+ ai− dj + ck + b− ai− dj + ck = −2dj + 2ck

y como {1, i, j, k} es base se sigue que c = d = 0. Por tanto q = a + bi, peroqj = jq implica 0 = jq − qj = aj − bk − aj − bk = −2bk luego b = 0 yconcluimos que q = a ∈ R. El recıproco es obvio.

8.12 Lema Un cuaternion es puro si y solo si su cuadrado es real y negativo.

Dem. Sea q = a+ bi+ cj + dk ∈ H, haciendo cuentas se tiene

q2 = a2 − b2 − c2 − d2 + 2a(bi+ cj + dk)

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Si q es puro entonces a = 0 y por tanto q2 = −(b2 + c2 + d2) es un numeroreal negativo. Recıprocamente, supongamos que q2 es un numero real negativoy que no es puro, es decir que a 6= 0, entonces por ser q2 real se sigue queab = ac = ad = 0, luego b = c = d = 0 y por tanto q2 = a2 > 0 contradiciendoque q2 negativo. Necesariamente a = 0 y por tanto q puro

Dado un cuaternion q = Re(q) + Pu(q), definimos su conjugado de maneraanaloga a los numeros complejos: q = Re(q) − Pu(q). Notar que qq = qq =a2 + b2 + c2 + d2 > 0 es un numero real positivo. Claramente ¯q = q y es facilcomprobar que q1q2 = q2q1, es decir la conjugacion en H es una anti-involucion.

Si <,> denota el producto escalar estandar sobre R4, se tiene que < q1, q2 >=12(q1q2 + q2q1). En particular < q, q >= qq y definimos una norma en H por‖q‖ =

√qq. Todo elemento 0 6= q ∈ H tiene inverso q−1 = ‖q‖−2q, por tanto

H∗ = H− {0} es un grupo topologico (con la topologıa usual de R4).

8.13 Lema ‖q1q2‖ = ‖q1‖‖q2‖, para todo q1, q2 ∈ H.

Dem. en efecto, como q1q1 ∈ R y el producto en H es asociativo, se tiene

‖q1q2‖2 = q1q2q1q2 = q2q1q1q2 = q2(q1q1)q2 = q1q1q2q2 = ‖q1‖2‖q2‖2

pero ‖q1‖, ‖q2‖ ≥ 0, por tanto ‖q1q2‖ = ‖q1‖‖q2‖.

Notar que S3 = {x ∈ H|‖x‖ = 1} ≤ H∗ es tambien un grupo topologico.Dado x ∈ S3 definimos una aplicacion Tx : H −→ H por Tx(q) = xqx−1.Es claro que ‖Tx(q)‖ = ‖xqx−1‖ = ‖q‖, por tanto Tx es una transformacionlineal ortogonal (ya que H es R4 como espacio vectorial) es decir Tx ∈ O(4)para todo x ∈ S3. Definimos T : S3 −→ O(4) t.q. T (x) = Tx y notar queTxTy(q) = Txy(q), luego T es un homomorfismo continuo de grupos. Es claroque T (1) = I ∈ SO(4), con I la matriz identidad, entonces T continua y S3

conexo implican T (S3) ⊂ SO(4). Ademas Tx(1) = 1, es decir Tx fija el 1 ∈ H,entonces Tx ∈ SO(3) ≤ SO(4) para todo x ∈ S3 y por tanto T (S3) ⊆ SO(3).

8.14 Proposicion T (S3) = SO(3) y Ker(T ) = Z2.

Dem. Denotamos por Hi, Hj y Hk los subgrupos uniparametricos de SO(3),es decir el conjunto de las matrices de SO(3) que fijan, respectivamente, i, jy k. Si ω = eiϑ ∈ S3 entonces Tω(i) = i, es decir Tω ∈ Hi. Notar queTω(j) = (cos2ϑ)j + (sen2ϑ)k y Tω(k) = (cos2ϑ)k − (sen2ϑ)j. Es decir Tω

es una rotacion de angulo 2ϑ en el plano expandido por j y k, por tantoHi ⊂ T (S3). Analogamente probarıamos que Hj, Hk ⊂ T (S3). Entonces setiene que T (S3) = SO(3), ya que Hi, Hj y Hk generan SO(3). Por otra parte,sea x ∈ Ker(T ) entonces Tx = I y por tanto q = Tx(q) = xqx−1 o bienxq = qx para todo q ∈ H, es decir x ∈ Z(H) = R y como ‖x‖ = 1 se sigue quex = ±1, por tanto Ker(T ) = Z2.

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8.15 Teorema SO(3) ≈ RP 3

Dem. El espacio proyectivo RP 3 es el espacio obtenido a partir de S3 poridentificar puntos antipodales, es decir el espacio de orbitas S3/Z2, denotamospor π : S3 −→ RP 3 la identificacion y consideramos el diagrama

S3

π

��

T //SO(3)

RP 3

h

55jjjjjjjjj

notar que T (x) = T (y) sı y solo sı x = ±y luego T es constante sobre lasfibras de π y por (3.5) existira h : RP 3 −→ SO(3) continua t.q. hπ = T .Claramente h inyectiva y como T sobre se sigue que h tambien es sobre, luegoes una biyeccion continua. Como RP 3 es compacto y SO(3) es Hausdorff sesigue por (5.8) que h es un homeomorfismo y el teorema esta probado.

8.16 Teorema SO(4) ≈ SO(3)× S3

Dem. Dada A ∈ SO(4) podemos mirarla como una aplicacion lineal ortogonalA : H −→ H y sea ω = A(1), entonces ‖ω‖ = 1 y por tanto ω ∈ S3. DefinimosC : H −→ H t.q. C(x) = A(x)ω−1, claramente C ∈ SO(4) y C(1) = 1,entonces C = (1|B) con B ∈ SO(3). Definimos h : SO(4) −→ SO(3)×S3 porh(A) = (B,ω) y es facil probar que h es una biyeccion continua. Como SO(4)es compacto y SO(3)×S3 es Hausdorff, se sigue que h es un homeomorfismo.

Una matriz A ∈ GL(n,H) se dira simpletica si ‖Ax‖ = ‖x‖ y notar que Aes simpletica si y solo si AtA = I o bien At = A−1. Analogamente al casoreal y complejo, el conjunto de las matrices simpleticas Sp(n) es un subgrupode GL(n,H), el cual se conoce como Grupo Simpletico y se prueba comoen (8.6) que GL(n,H) ≈ Sp(n)× T+(n,H), con T+(n,H) contractil. Es claroque Sp(1) = S3 y como en (8.7) se tiene que S4n−1 ≈ Sp(n)/Sp(n − 1). Porinduccion en n se sigue de (7.9) que Sp(n) compacto para todo n ≥ 1 y de(7.10) que Sp(n) es conexo (y por tanto arcoconexo) para todo n ≥ 1.

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REFERENCIAS

(1) J. Dugundji Topology (1966)(2) P.J. Higgins An Introduction to Topological Groups (1979)(3) J.R. Munkres Topology (2000)(4) S. Willard General Topology (1970)

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