Teoria kablowa (cable theory) – propagacja potencjału czynnościowego

parametry membrany parametry kabla (zależą od geometrii)

aCc

aRr

aRr

mm

mm

ii

2

2/

/ 2

m

m

i

C

R

R - wewnątrzkomórkowy opór właściwy ( *cm) - oporność osiowa ( /cm )

- oporność błony ( * cm )

- pojemność błony (F/cm )

- opór właściwy błony ( *cm2)

- pojemność właściwa błony (F/cm2 )

Ri, total=Ri*l/A Rm, total=Rm/S Cm, total=Cm*S

Aby opisać propagację potencjału czynnościowego należy rozważyć teorię kablową opisującą rozchodzenie się jonów wzdłuż aksonu. W teorii kablowej aksony i dendryty są traktowane jako cylindry złożone z pojemności cm i oporu rm połączonych równolegle. Wzdłuż włókna występuje opór ri połączony szeregowo.

Parametry membrany o długości l, przekroju A = a2 i powierzchni S = l2a :

Integracja w neuronie – teoria kablowa

Sfera izopotencjalna

m

mmmm R

V

dt

dVCI

Prąd płynący przez jednostkową powierzchnie sfery

Dla skończonego impulsu prądowego

TteRIV mtmmm 0 )1( /

gdzie

mmm CR

TteRIV mtmmm /

Po zakończeniu impulsu

Dla długotrwałego impulsu Im (t -> inf)

mmm RIV )( - stan ustalony

20 4/ aIIm

Dla sfery

Opór wejściowy

0

)(

I

VRR m

def

Ninput

Opór wejściowy dla sfery

24 a

RR m

N

- stała czasowa

Komórka nieizopotencjalna (walec)

Założenia1.Membrana jednorodna. Parametry membrany są stałe i nie zależą od napięcia2.Prąd płynie wzdłuż kierunku x. Tj. prąd radialny wynosi 0.3. Oporność zewnątrzkomórkowa, r0, wynosi 0.

Vm jest funkcją czasu i odległości od punktu wstrzyknięcia prądu

iim ir

x

txV

),(

mi ix

i

Zanik ii wraz z odległością

mii

im ir

x

ir

x

txV

2

2 ),(

Dostajemy

m

mmmionicCm r

V

t

Vciii

m

mmm

m

i r

V

t

Vc

x

V

r

2

21

Pamiętając

Dostajemy r-nie kablowe

mm

mm V

t

V

x

V

2

22

W innej postaci

gdzie

i

m

r

r - stała przestrzenna (długości)

Rozwiązanie równania kablowego – kabel nieskończony

mtT

xX

/

/

)

2()

2(

4),( 0 T

T

XerfceT

T

Xerfce

IrTXV XXi

m

Wprowadzamy nowe zmienne

R-nie kablowe

02

2

mmm V

T

V

X

V

Rozwiązanie ogólne r-nia kablowego dla kabla nieskończonego

erfc(x) – komplementarna funkcja błędu

)()( ,1)( ,0)0( gdzie

1)(1)(22

2

0

2

xerfxerferferf

dyedyexerfxerfcx

yx

y

Rozwiązanie równania kablowego – kabel nieskończony Rozwiązanie stacjonarne

Szukamy rozwiązania stacjonarnego )( T

Xim e

IrTXV

2),( 0

lub

/0

2),( xi

m eIr

TXV

)

2()

2(

4),( 0 T

T

XerfceT

T

Xerfce

IrTXV XXi

m

Opór wejściowy - kabel nieskończony

2/32

0

2

2/*

22

1

22

/

2

),0(

a

RR

a

R

a

R

rrrrrr

I

txVR

imim

imimiimN

Opór wejściowy - kabel półnieskończony

2/3)(

2/*2

a

RRRR im

NsemiN

Znaczenie : określa własności kabla w stanie ustalonym; jest to odległość, na której napięcie w stanie ustalonym maleje e razy.

Rozwiązanie równania kablowego – kabel nieskończony Rozwiązanie przejściowe

Szukamy rozwiązania przejściowego dla X = 0

)(2

),0( 0 TerfIr

TV im

)

2()

2(

4),( 0 T

T

XerfceT

T

Xerfce

IrTXV XXi

m

Kabel nieskończony

)(1)(

)(1)(

TerfTerfc

TerfTerfc

inf),0(2),0( TVTV msemim

Kabel półnieskończonyPorównanie funkcji erf i 1 - exp

Rozwiązanie równania kablowego – kabel nieskończonyPełne rozwiązanie

)

2()

2(

4),( 0 T

T

XerfceT

T

Xerfce

IrTXV XXi

m

Rozwiązanie równania kablowego w x i t dla impulsu prądowego w x = 0 i kabla półnieskończonego

1. Dla dużych t, rozkład potencjału wzdłuż kabla jest rozwiązaniem w stanie ustalonym.

2. Dla czasów pośrednich, spadek potencjału wzdłuż kabla jest szybszy niż w stanie ustalonym.

3. Dla x = 0 narastanie potencjału jest opisane funkcją erfc(T1/2).

4. Dla rosnących wartości x, krzywe wskazują wolniejszy wzrost i osiągają mniejsze wartości w stanie ustalonym.

Rozwiązanie równania kablowego – kabel skończonyRozwiązanie stacjonarne

R-nie kablowe

02

2

mmm V

T

V

X

V

W stanie ustalonym

0

T

Vm

Dostajemy

mm V

X

V

2

2

Rozwiązanie ogólne

XXm eAeAXV 21),(

x = 0 x = l

I0

- koniec zamknięty

- koniec otwarty

/

/

lL

xX

- odległość elektrotoniczna

- długość elektrotoniczna

Warunki brzegowe dla x = l

Nowe zmienne

2)sinh(

2)cosh(

XX

XX

eeX

eeX

Cosinus i sinus hiperboliczny

Rozwiązanie równania kablowego – kabel skończonyRozwiązanie stacjonarne

Rozwiązanie ogólne możemy zapisać

)sinh()cosh(),( 21 XBXBXVm

Lub

)sinh()cosh(),( 21 XLCXLCXVm

Dla X = L

121 )0sinh()0cosh(),( CCCVLV Lm

Podstawmy BL = C2/VL i wstawmy do równania (BL – warunek brzegowy)

)]sinh()[cosh(),( XLBXLVXV LLm

)]sinh()[cosh()0,( 0 LBLVVV LLm

Dla X = 0

Lub

)]sinh()/[cosh(0 LBLVV LL

Rozwiązanie równania kablowego – kabel skończonyRozwiązanie stacjonarne

)sinh()cosh(

)sinh()cosh(),( 0 LBL

XLBXLVXV

L

Lm

Ostatecznie rozwiązanie stacjonarne

Wpływ warunków brzegowych

GGB LL / - przewodnictwo na zakończeniu kabla, LG - przewodnictwo kabla półnieskończonego G

1. Dla GGL1LB czyli

Xm eVXV 0),( tak jak dla kabla półnieskończonego

2. Dla GGL0LB czyli (koniec zamknięty)

)cosh(

)cosh(),( 0 L

XLVXVm

3. Dla GGLLB czyli (koniec otwarty)

)sinh(

)sinh(),( 0 L

XLVXVm

Zanik napięcia dla impulsu prądowego w x = 0 i kabla skończonego.

kabel skończ. zamknięty

kabel skończ. otwarty

kabel półnieskończ.

Rozwiązanie równania kablowego – kabel skończonyRozwiązanie przejściowe

ntn

ttm eCeCeCXtV //

0/

0 ...),( 10

Rozwiązanie stacjonarne

Dla membrany jednorodnej

nnn Ln /1 ,/ 02

Narastanie napięcia w kablu skończonym dla różnych długości elektrotonicznych . Impuls prądowy podawany

oraz napięcie mierzone w x = 0.

gdzie

m 0 - stała czasowa membrany

Rozwiązanie równania kablowego – prąd zmienny

Spadek napięcia w kablu skończonym (L = 1) dla różnych częstości impulsu prądowego podawanego w x = 0 (soma)

Zmiana stałej długości

f – częstość (w Hz)2)2(11

2

m

DCACf

Model Ralla

Założenia1. Jednorodne właściwości membrany Ri, Rm, Cm

2. R0 = 03. Izopotencjalna soma 4. Wszystkie dendryty mają tą samą długość elektrotoniczną

Opór wejściowy - kabel półnieskończony

2/3)(

2/*2

a

RRRR im

NsemiN

Schemat neuronu z drzewem dendrytycznym. X1, X2, X3 – punkty rozgałęzienia, d - średnica

Opór wejściowy - kabel półnieskończony

2/3

2/

a

RRR im

N

Przewodnictwo - kabel półnieskończony

adRR

dG

im

N 2 ,2

2/3

im

NRR

KdG2

K ,2/3

Upraszczając

Przewodnictwo gałęzi d3111

2/331113111 )()( dKdGN

Oraz podobnie dla d3112

Przewodnictwo w punkcie X3

])()[(

)()()(2/3

31122/3

3111

311231113

ddK

dGdGXG NNN

Jeśli w punkcie X3 przedłużymy d211 do nieskończoności to

2/3211211 )()( dKdGN

Jeśli

2/33112

2/33111

2/3211 )()()( ddd

to gałęzie d3111 i d3112 są równoważne matematycznie rozciągnięciu gałęzi d211 do nieskończoności!

Model Ralla - cd

2/3112122112 )()()()( dKdGdGXG NNN

to

Jeśli zrobimy taką samą operacje dla gałęzi d212, to w X2 mamy dwa półnieskończone kable d211 i d212 przyłączone do gałęzi d11. Jeśli

2/3212

2/3211

2/311 )()()( ddd

co jest równoważne rozciągnięciu gałęzi d11 do nieskończoności.

Model Ralla - cd

2/32/3DP dd

Stosując regułę potęgi 3/2

możemy zredukować drzewo dendrytyczne o dowolnej ilości rozgałęzień do równoważnego kabla półnieskończonego

Model Ralla – cdRównoważny kabel skończony

Stosując regułę potęgi 3/2 oraz założenie, że wszystkie dendryty maja takie same L możemy zredukować dowolne drzewo dendrytyczne do równoważnego kabla skończonego. Jego długość elektrotoniczna wynosiłaby:

Dla dendrytów, zazwyczaj l < 2, co odpowiada kablowi skończonemu. Przewodnictwo dla kabla skończonego

)tanh(2

2/3

LRR

dG

im

N

mmiiim drRrdRrr ,)2/(,/ 2

Korzystając z

)tanh(1

Lr

Gi

N

Dostajemy

...211

211

11

11

0

0

lll

L

L – długość elektrotoniczna, taka sama dla wszystkich dendrytów

Model Ralla – zastosowanie do impulsów synaptycznych

Krótki impuls prądowy podawany w somie, w połowie kabla i na końcu kabla

Wnioski:- amplituda EPSP w somie maleje wraz z odległością powstania impulsu- stała narastania oraz pozycja maksimum maleje z odległością powstania impulsu- końcowa stała zaniku jest taka sama dla wszystkich odległości

Narastanie i zanik potencjałów postsynaptycznych

Przewodnictwo synaptyczne gs i potencjał postsynaptyczny EPSP

Synapsa AStała czasowa narastania Cm/(GsA + Gr)Stała czasowa zanikania Cm/ Gr

Obwód zastępczy dla dwóch synaps A i B

Synapsa A + BStała czasowa narastania Cm/(GsA + GsA + Gr)Stała czasowa zanikania Cm/ Gr

Sumowanie przestrzenne i czasowe potencjałów postsynaptycznych

Procesy w dendrytach

Przykład sumowania impulsów dendrytycznych w modelu neuronu. Z Arbib, M. A., 1989, The Metaphorical Brain 2: Neural Networks and Beyond, New York: Wiley-Interscience, p. 60.

Procesy w dendrytach – modele komputerowe

Modele komputerowe dendrytów (A) w postaci kablowej (B) i w postaci dyskretnych izopotencjalnych układów RC - model kompartmentowy ( C).

Morfologie dendrytów (a, b,c) i ich realistyczne modele komputerowe (d,e)

4D obrazowanie neuronu przy użyciu mikroskopii dwufotonowej

Procesy w dendrytach - podsumowanie

Z Idan Segev and Michael London Dendritic Processing. Rozdział w M. Arbib (edytor). The Handbook of Brain Theory and Neural Networks. THE MIT PRESS Cambridge, Massachusetts London, England, 2002

Procesy w dendrytach – asymetria oraz filtrowanie

Zanik napięcia z synapsy dystalnej jest szybszy niż z synapsy proxymalnej. W wyniku pasywnych własności (RC) dendrytów, tworzy się filtr dolnoprzepustowy dla wejść synaptycznych. Z Idan Segev i Michael London. Untangling Dendrites with Quantitative Models. Science 290, 2000

Opór wejściowy - kabel półnieskończony

2/3)(

2/*2

a

RRRR im

NsemiN

Procesy w dendrytach – sumowanie nieliniowe i wpływ tła

Nieliniowe sumowanie wejść synaptycznych z synaps na tej samej gałęzi i liniowe sumowanie z synaps na różnych gałęziach. Z Idan Segev i Michael London. Untangling Dendrites with Quantitative Models. Science 290, 2000

Dynamiczne skalowanie parametrów kablowych poprzez aktywność tła. Z Idan Segev i Michael London. Untangling Dendrites with Quantitative Models. Science 290, 2000

))(,( ionionion VVtVgI

i

m

r

r

mtT

xX

/

/

mmm CR

Dendryty aktywne

Efektywność klastrów synaps pobudzających w generowaniu odpowiedzi komórki. Z Idan Segev i Michael London. Untangling Dendrites with Quantitative Models. Science 290, 2000

Somo – dendrytyczny ping – pong. Z Idan Segev i Michael London. Untangling Dendrites with Quantitative Models. Science 290, 2000

Kodowanie informacji przez dendryty

Analiza wejście –wyjście neuronu przy użyciu analizy informacji.A. 400 synaps pobudzających aktywowanych 10 razy/s i 100 synaps hamujących pobudzanych 65 razy/s w sposób losowy. B. EPSP w somie. C. Pozycja jednej synapsy pobudzającej zmieniona z dystalnej na proxymalną. D. Informacja wzajemna (mutual information MI). Synapsy dystalne przekazują znacząco mniej informacji niż synapsy proxymalne.Z Idan Segev i Michael London. Untangling Dendrites with Quantitative Models. Science 290, 2000