1

Ten wykład podaje wstępne informacje dotyczące kluczowych zagadnień i

zadań statystyki.

Wnioskowanie statystyczne.

Wartości każdej cechy elementów należących do populacji generalnej możemy

rozważać jako wartości pewnej zmiennej losowej.

Gdy mówimy o zmiennej losowej to myślimy zwykle o jej rozkładzie

prawdopodobieństwa.

W statystyce mówimy krótko, że rozważana populacja ma rozkład

prawdopodobieństwa.

Z kolei jeśli z populacji pobieramy próbę n - elementową to wartości

x1, x2, …,xn przedstawiają układ pewnych liczb rzeczywistych.

Jeśli próbę będziemy uważać za jedną ze wszystkich możliwych prób to

x1, x2, …,xn możemy uznać za zmienne losowe ( bo przy każdym wyborze próby

przybierają one różne wartości) o jednakowych rozkładach.

Stąd oznaczymy je X1, X2, …, Xn.

Wówczas dowolną funkcję tych zmiennych losowych

nazywamy statystyką.

Jest to więc zmienna losowa będąca funkcją z próby i ma określony rozkład.

Nazywamy go krótko rozkładem z próby. Znajomość rozkładów statystyk

odgrywa bardzo ważna rolę we wnioskowaniu statystycznym.

2

Rozkłady z próby.

1. Rozkład średniej arytmetycznej

Z populacji o rozkładzie normalnym losujemy n – elementową

próbę i przez X1, X2, …, Xn oznaczamy kolejne wyniki w próbie, będące

zmiennymi losowymi.

Statystyka

tj. średnia arytmetyczna, ma rozkład

.

Wniosek:

Średnia arytmetyczna podlega mniejszej zmienności niż pojedyncze

wyniki i zmienność ta maleje wraz ze wzrostem liczebności próby n.

2. Rozkład chi-kwadrat

Z populacji o rozkładzie normalnym losujemy n – elementową

próbę i przez X1, X2, …, Xn oznaczamy kolejne wyniki w próbie, będące

zmiennymi losowymi.

Statystyka

gdzie

ma rozkład zwany rozkładem chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody.

Gęstość ma dość skomplikowany wzór.

Wykres przyjmuje różny kształt w zależności od liczby stopni swobody.

W zastosowaniach statystycznych korzystamy z prawdopodobieństw

postaci:

przy danej wielkości i określonej liczbie stopni swobody:

3

Wartości dla r=1,2,…,30 i dla niektórych wartości zostały stablicowane.

4

Przykład:

Dla jakiej wartości prawdopodobieństwo , gdy liczba

stopni swobody :

a)k=2

b)k=15

c)k=30

Odpowiedź:

a) =4,605

b) =22,31

5

c) =40,26

3. Rozkład t-Studenta.

Z populacji o rozkładzie normalnym losujemy n – elementową próbę i

przez X1, X2, …, Xn oznaczamy kolejne wyniki w próbie, będące zmiennymi

losowymi.

Statystyka

gdzie

zwana statystyką Studenta ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody.

Kształt funkcji gęstości jest zbliżony do gęstości rozkładu normalnego

standardowego.

W praktyce korzystamy z prawdopodobieństwa

Wielkości te są stablicowane dla określonej liczby stopni swobody i

niektórych wielkości .

(tablica z książki S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka,

t -t

1-

6

„Statystyka. Elementy teorii i zadania.)

7

Przykład:

Dla jakiej wartości t prawdopodobieństwo 0,01P t t , gdy liczba

stopni swobody :

a)k=2

b)k=15

c)k=120

Odpowiedź:

d) t =6,925

e) t=2,947

f) t=2,617