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AArrqquuiitteeccttuurraa

ddee

OOrrddeennaaddoorreess

Centro Asociado Palma de Mallorca

Tutor: Antonio Rivero Cuesta

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UUnniiddaadd

DDiiddccttiiccaa11

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RReepprreesseennttaacciinnddee

llaaIInnffoorrmmaacciinn

yy

FFuunncciioonneessLLggiiccaass

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TTeemmaa

22

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AArriittmmttiiccaayyCCooddiiffiiccaacciinn

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AArriittmmttiiccaa

BBiinnaarriiaa

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SumaBinaria

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AcarreoSe define como el desbordamiento que se alcanza al

sumar al dgito de mayor valor (el 1) un valor distinto

de cero (0).Lo que conlleva al desplazamiento de una unidad en

el resultado de la suma.

No se puede realizar con slo el dgito inicialmente

existente.

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Realice la suma de dos nmeros binarios, de valor

decimal 7 y 12.

1 1 Acarreo

1 1 1

+ 1 1 0 0

1 0 0 1 1

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Realice la suma de dos nmeros binarios, de valor

decimal 5,5 y 6,75.

1 1 1 1 Acarreo

1 0 1, 1

+ 1 1 0, 1 1

1 1 0 0, 0 1

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RestaBinaria

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Aparece el concepto de prstamo.

El prstamo se define como el valor necesario que secedera al dgito anterior, de forma que ste pueda

restar un dgito que de otra forma sera suficiente.

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Realice la resta de dos nmeros binarios, 1100 y 111.

1 1 1 Prstamo

01 01 10 0 1 1 1

0 1 0 1

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Realice la resta de dos nmeros binarios, 10000 y 1.

1 1 1 1 Prstamo

01 10 10 10 0 1

0 1 1 1 1

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FFoorrmmaattoossddee

llooss

NNmmeerroossyyssuu

RReepprreesseennttaacciinn

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RepresentacindeNmerosenComa

Fija

sin

Signo

Un nmero se representa mediante dos partes

separadas mediante una coma, que ocupa una posicinfija dentro de los dgitos que componen el nmero.

A la izquierda de la coma se encuentra la parte entera,mientras que a su derecha est la parte fraccionaria.

Que la parte entera y fraccionaria tenga un nmero

fijo de bits, es el que obliga a que la coma seencuentre en una posicin fija, de ah la denominacin

de coma fija.

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RepresentacindeNmerosNaturales

en

Binario

Puro

El sistema de representacin en binario puro se realiza

mediante coma fija sin signo

Es un sistema polinomial de base b = 2 y sin parte

fraccionaria.Este sistema permite representar, con palabras de n

bits, todos los enteros positivos desde 0 hasta 2n1.

Por tanto su rango es de [0, 2n1] y su resolucin es

la unidad.

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RepresentacindeNmerosenComa

Fija

con

Signo

Los sistemas digitales deben ser capaces de procesar

tanto con nmeros positivos como con negativos, esdecir, informacin numrica con signo.

En la representacin habitual de nmeros se aade unsigno a su izquierda, + en los nmeros positivos y

en los nmeros negativos.

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La solucin adoptada para evitar la inclusin de un

nuevo nivel para el signo, es aadir un dgito ms queindique el signo del nmero.

Este bit denominado dgito de signo, se encuentrasituado en el extremo izquierdo de la representacindel nmero.

Toma el valor: 0 cuando se trate de nmeros positivos.

1 para los negativos.

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Los formatos ms habituales de representacin de los

nmeros con signo son: Signo-magnitud.

Complemento a la base. Complemento a la base menos uno.

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FormatodeNmerosBinariosen

Signo

Magnitud

Este tipo de representacin utiliza uno de los dgitos,

el situado ms a la izquierda del nmero, para indicarsu signo.

Recibe el nombre de signo-magnitud, porque undgito se dedica al signo y los dems a la magnitud.

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Con n bits, el valor decimal que se puede representar

estar comprendido en el rango simtrico:

[ (2

n1

1)]

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Un inconveniente, es la necesidad de utilizar circuitos

diferentes para realizar las operaciones de suma y de

resta.

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ComplementosPara evitar el inconveniente del sistema de

representacin en signo-magnitud se utilizan los

complementos.Son transformaciones en la representacin de nmeros

utilizados por las mquinas digitales para convertir

restas en sumas.

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Los complementos pueden ser de dos clases:

Complemento a la base b.

Complemento a la base menos uno.

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ComplementoalaBaseDado un nmero positivo N, de n dgitos enteros y

representado en base b, se define su complemento a la

base, como el nmero Cb(N) que cumple:

N + Cb(N) = bn

ParaN = 0 su complemento vale Cb(N) = 0.

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En el sistema decimal recibe el nombre de

complemento a diezEn el sistema binario se denomina complemento a

dos.

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Calcular el complemento a la base de los nmeros:

C10(72) = 10272 = 100 72 = 28(10

C2(110,01) = 23110,01 = 1000 110,01 = 001,11

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ComplementoalaBaseMenos

Uno

Dado un nmero positivo N en base b, compuesto por

n dgitos en la parte entera y m dgitos en la partefraccionaria, se define su complemento a la base

menos uno, como el nmero Cb1(N) que cumple:

N + Cb1(N) = bnbm

0

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Cuando la parte fraccionaria es cero, bm = b0 = 1,

siendo en este caso el complemento a la base menosuno igual a:

Cb1(N) = bn1 N

Se debe observar que bn 1 es el valor mximo que sepuede representar en la base b con n dgitos enteros.

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Para N > 0, el valor de su complemento a la base

menos uno es igual a:

Cb(N) = bn 1 N.

ParaN = 0 su complemento vale:

Cb-1(N) = bn 1 N = bn 1,

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Calcular el complemento a la base menos uno:

C9(72) = 1021 72 = 99 72 = 27(10

C2(110,01) = 2322110,01 = 111,11 111,01 =

001,10

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ConveniodelComplementoa

dosen

Nmeros

Binarios

l i d l l d f

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En el convenio del complemento a dos con formato

denbits, incluido el signo, se pueden representar slonmeros comprendidos en elrango asimtrico:

[2n1, 2n11]

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ConveniodelComplementoa

Unoen

Nmeros

Binarios

E l i d l l t f t

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En el convenio del complemento a uno con formato

de n bits, incluido el signo, se pueden representarnmeros comprendidos en el rango simtrico:

[(2n11), 2n11]

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CCoommppaarraacciinn

eennttrree

llaassRReepprreesseennttaacciioonneessDDiiffeerreenntteessddee

NNmmeerroossBBiinnaarriiooss

ccoonnSSiiggnnoo

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R t i d l N

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RepresentacindelosNmeros

Realesen

Binario

Todos los nmeros reales binarios, que se han

representado anteriormente, tienen un formato decoma fija.

Con este formato un nmero real se representamediante dos partes separadas mediante una coma.

Modificar la posicin de la coma tiene un efecto de

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Modificar la posicin de la coma tiene un efecto de

multiplicacin por un factor que es potencia de dos: Negativa 2n.

Positiva 2m.

Segn se desplace n posiciones a la izquierda o m

posiciones a la derecha respectivamente.

Representar el nmero 12 25(10 en binario con formato

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Representar el nmero 12,25(10en binario con formato

de coma fija.Desplazar, en la representacin binaria, la coma una

posicin a derecha e izquierda y calcular los nuevos

valores que toma en cada caso el nmero binariomodificado.

12,25(10= 1100,01(2

11000,1(2= 24,5(10

110,001(2= 6,125(10

Coma Flotante

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ComaFlotanteEl tamao de los nmeros binarios o palabras de

memoria, con el que operan los sistemas digitales,

suele ser demasiado pequeo para representarnmeros reales en coma fija, ya que limita

considerablemente su rango de representacin.

En la notacin en coma flotante un nmero tiene tres

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En la notacin en coma flotante, un nmero tiene tres

componentes:

Una mantisa M.

Un exponente E.

Una base b.

Generalizando un nmero N en coma flotante tiene la

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Generalizando, un nmero N en coma flotante tiene la

siguiente composicin:

N = S M(b)E

S: es el signo del nmero.

M: es el valor absoluto de la mantisa.

E: es el valor del exponente.

b: es la base del sistema de numeracin utilizado.

La precisin de los clculos depende directamente del

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La precisinde los clculos depende directamente delnmero de dgitos que tenga la mantisa.

El rangode representacin, o valores extremos que elsistema digital es capaz de manejar, lo determina el

nmero de dgitos que tiene el exponente.

La representacin de un nmero en coma flotante no

es nica, pues tiene tantas variaciones como lugares

pueda ocupar la coma.

Para evitar representaciones mltiples del mismo

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Para evitar representaciones mltiples del mismo

nmero, se adopta el convenio de situar la coma en un

lugar fijo de la mantisa.

Para mantener el mayor nmero de dgitos

significativos en la mantisa y con ello disponer de lamayor precisin posible, los nmeros en coma

flotante se normalizan.

Al proceso que transforma cualquier mantisa, en una

mantisa normalizada se denomina normalizacin.

Implica el ajuste del exponente para que el valor delnmero no quede alterado.

Un formato de coma flotante muy extendido en los

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y

sistemas digitales es el estndar IEEE 754:

Un bit de signo S, que es el signo de la mantisa.

El campo del exponente E de 8 bits (incluido

implcitamente el signo del exponente).

El campo de la mantisa m de 23 bits.

N = (1)S 2E127 (1,m)

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( ) ( , )

El estndar IEEE 754 tambin establece un formato

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de 64 bits, 11 bits en el campo del exponente y 52 bits

en el campo de la mantisa, cumplindose la expresin:

N = (1)S 2E1023 (1,m)

Representar el nmero 6,125(10 segn el estndar

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p ( g

IEEE 754 con formato de 32 bits.

El nmero 6,125(10 se representa, su valor positivo

en binario, como 110,001.

Segn el estndar IEEE 754, el nmero propuesto,debe cumplir la expresin:

N = (1)S 2E127 (1,m) =

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N = (1)1

(2129127

(10) (1,10001(2) =N = (1) (4(10) (1,53125(10) = 6,125

Su almacenamiento, segn el estndar IEEE 754 para

nmeros de 32 bits en coma flotante, es:

31 23 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Casos especiales de representacin mediante el

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estndar IEEE 754:

El cero se representa mediante una secuencia de 32

ceros.

Los nmeros en los que el exponente E = 255representan valores infinitos o expresiones de la forma

0/0.

El ltimo caso trata de cubrir el hueco dejado por la

representacin en coma flotante con mantisa

normalizada, y conseguir una representacin cercanaal cero que tenga una distribucin de errores

uniforme.

Para ello este estndar emplea la representacin no

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normalizada para E = 0 y M 0, cumpliendo el

nmero N representado la siguiente expresin.

N = (1)S 2126 (0,m)

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Determinar el valor decimal del nmero siguiente

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expresado en el formato binario de coma flotante de

32 bits, segn el estndar IEEE 754:

0000 0000 0001 1101 0100 0000 0000 0000

El nmero representado en coma flotante es un casoespecial de los representados en la Tabla 3.6, donde el

exponente E = 0 y la mantisa M 0.

Aplicando la expresin correspondiente a este caso

i l b i

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especial, se obtiene:

N = (1)0 2126(0,001110101(2) =

N = 1,175494 1038 0,228515 =

N = 2,686188 1039

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DDeeffiinniicciioonneessyy

CCooddiiffiiccaacciinn

ddee

llaa

IInnffoorrmmaacciinn

PropiedadesdeIntersdelos

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p

Cdigos

UNIFORMIDAD: Un cdigo es uniforme si a cada

smbolo fuente le corresponde una palabra cdigo. Alos cdigos que cumplen esta propiedad tambin se

les denomina cdigo bloque.

NO SINGULARIDAD: Un cdigo uniforme es nosingular si a cada smbolo fuente le corresponde

palabras de cdigo distintas.

DECODIFICACIN UNVOCA: Un cdigo es t d difi bl i l i t i

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unvocamente decodificable si, y slo si, su extensin

de orden n es no singular para cualquier valor finito n.

DECODIFICACIN INSTANTNEA: Se

denomina instantneo, a un cdigo unvocamentedecodificable, cuando ste permite decodificar sin

ambigedad las palabras contenidas en una secuencia

de smbolos del alfabeto cdigo, sin necesitar elconocimiento de los smbolos que les suceden.

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CCddiiggoossBBiinnaarriiooss

PONDERADOS: Son aquellos cdigos que a cadadgito binario se le asigna un peso y a cada palabra

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dgito binario se le asigna un peso y a cada palabra

cdigo la suma de los pesos de los dgitos binarios

con valor uno, siendo el resultado igual al nmero

decimal al que representan.La distancia entre dos palabras de cdigo, se definecomo el nmero de dgitos que deben ser invertidos en

una de ellas para obtener la otra.

DISTANCIA DEL CDIGO BINARIO: se definecomo la menor de las distancias entre dos

cualesquiera de sus palabras cdigo.

Dos palabras de cdigo son adyacentessi su distanciaes uno es decir slo difieren en un bit

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es uno, es decir, slo difieren en un bit.

CONTINUOS: Son aquellos cdigos cuyas palabrasconsecutivas son adyacentes; es decir, si dos

cualesquiera de sus palabras de cdigo consecutivasslo difieren en un bit.

CCLICOS: Son aquellos cdigos que adems de sercontinuos, la primera y ltima palabra de cdigo

tambin son adyacentes.

DENSO: Se define a un cdigo como denso siteniendo una longitud de palabra de n bits estformado por 2

npalabras de cdigo.

AUTOCOMPLEMENTARIOS AL NMERO N:Son aquellos cdigos cuya palabra de cdigo y su

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Son aquellos cdigos, cuya palabra de cdigo y su

complementada suman N. Los cdigos con esta

propiedad posibilitan efectuar ms fcilmente las

operaciones de resta mediante el complemento a N.

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TTiippooss

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CCddiiggooss

NNuummrriiccooss

CdigoBinarioNatural

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Este cdigo representa los valores decimales en elsistema de base dos.

En la Tabla 3.15 se representa, a modo de ejemplo, elcdigo binario natural, para el caso de longitud de

palabra de cuatro bits.

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CdigosBCD

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En aplicaciones de introduccin de informacindigital en forma decimal y en su visualizacin, como

son por ejemplo los displays, resulta aconsejable, para

simplificar los circuitos digitales, el empleo de

cdigos que representen por separado cada uno de los

dgitos del nmero decimal.

Este tipo de cdigos se denomina decimales

codificados en binario (Binary Coded Decimal,

cdigos BCD en lo sucesivo).

El nmero de dgitos binarios necesarios para la

codificacin es cuatro.

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Pueden ser cdigos:

Ponderados.

No ponderados.

Dentro de los cdigos ponderados se pueden destacar

el BCD Natural o BCD 8421.

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La conversin de un nmero decimal a cdigo BCD

se realiza expresando cada dgito decimal mediante la

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combinacin binaria correspondiente del cdigo BCDelegido.

La conversin del cdigo BCD a un nmero decimalse realiza dividiendo el nmero, a partir de la coma,

en grupos de cuatro bits, expresando en cada grupo su

valor decimal correspondiente del cdigo BCDelegido.

La representacin del nmero decimal 37,6 en el

cdigo BCD natural es:

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3 7 , 6

0 0 1 1 0 1 1 1 , 0 1 1 0

El valor decimal del cdigo BCD natural:

1001010011,011 es:

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1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 , 0 1 1 0

2 5 3 , 6

Representar el nmero decimal 127,25 en los cdigos

BCD natural, Aiken 2421, exceso 3 y en binario

l

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natural.

Determinar el nmero decimal del cdigo: 0100 0101

1000,0011 cuando est expresado en: BCD natural,

Aik 2421 3 bi i l

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Aiken 2421, exceso 3 y en binario natural.

La ventaja que presentan los cdigos BCD, como yase ha indicado anteriormente, es que al efectuarse

difi i i d di t d d it

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codificaciones independientes para cada dgito, sefacilita la conversin decimal-binario.

La desventaja que presentan es que se necesitan msbits para ser representados.

CdigosContinuosyCclicos

L di li d fi i i ti

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Los cdigos cclicos por definicin son continuos.

Garantizan que entre dos palabras de cdigo

adyacentes solamente cambiar un bit.Se evita la aparicin de palabras transitorias de cdigo

debidas a la imposibilidad de conmutacin de dos o

ms dgitos.

Una de las aplicaciones importantes de estos cdigos

est en los sistemas de conversin de digital a

analgico y de analgico a digital.

CdigoGray

El di G d l di li

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El cdigo Gray es uno de los cdigos cclicos msusados.

Tambin recibe el nombre de cdigo reflejado,debido al reflejo que se debe realizar en las palabrascdigo al construirlo.

TABLA 3.25Construccin del cdigo Gray o cdigo reflejado

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TABLA 3.26Cdigo Gray de cuatro bits

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TABLA 3.27Propiedades del cdigo Gray

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ConversindeBinarioaGray

101011 en cdigo binario natural a cdigo Gray

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101011, en cdigo binario natural, a cdigo Gray.

ConversindeGrayaBinario

111110 en cdigo Gray a cdigo binario natural

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111110, en cdigo Gray, a cdigo binario natural.

CdigoJohnson

El cdigo Johnson es continuo y cclico

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El cdigo Johnson es continuo y cclico.

Este cdigo recibe tambin el nombre de cdigoprogresivo, debido a que el nmero de unos aumentay disminuye progresivamente de una combinacin a la

siguiente.

Presenta la desventaja de tener una capacidad decodificacin para n bits de tan slo 2 n smbolos

fuentes distintos, por lo que no es denso.

TABLA 3.28Cdigo Johnson

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TABLA 3.29Propiedades del cdigo Johnson

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TABLA 3.30Propiedades de los cdigos

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CdigosAlfanumricos

Se caracterizan porque permiten representar tanto

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Se caracterizan porque permiten representar tantonmeros como caracteres alfabticos.

Incluyen caracteres especiales y de control,

necesarios, estos ltimos, para la transferencia de

informacin.

Podemos destacar:

EBCDIC

ASCII

CdigoASCII

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CdigosDetectoresdeError

Cuando se transmite informacin digital por un medio

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Cuando se transmite informacin digital por un mediofsico, tal como cable, radio, fibra ptica, etc., se

pueden producir errores, debido a la presencia de

ruido, interferencias electromagnticas, fallo decomponentes, falsos contactos, etc.

En un cdigo denso no es posible la deteccin de unerror.

Es necesario que las palabras cdigo no presenten

todas las posibles combinaciones.

Esta condicin es necesaria, pero no suficiente.

La condicin necesaria y suficiente para que un

cdigo binario permita detectar errores en un bit es

que su distancia sea superior a la unidad.

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que su distancia sea superior a la unidad.

Para ello, se aade informacin redundante (bits de

chequeo) a la palabra a transmitir aumentando sudistancia.

CdigosdeParidad

Se define la paridad de una combinacin o palabra de

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p pcdigo binario, como el nmero de unos que contiene.

Si el nmero de unos:

Es par, la configuracin tendr paridad par.

En caso contrario, tendr paridad impar.

Los cdigos de paridad se forman partiendo de

cualquier cdigo cuya distancia mnima sea uno.

A cada combinacin del cdigo base se le aade un

bit llamado bit de paridad.

El bit de paridad toma un valor tal que hace que el

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El bit de paridad toma un valor tal que hace que el

nmero total de unos en el grupo sea siempre par o

impar.Si se desea obtener un cdigo de paridad par, dicho bit

ser tal que el nmero de unos en cada palabra del

nuevo cdigo sea par.

Por el contrario, para obtener un cdigo de paridad

impar, dicho bit ser tal que el nmero de unos encada palabra del nuevo cdigo sea impar.

TABLA 3.32Cdigo de paridad correspondiente al cdigo base BCD natural

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La deteccin de errores requiere que el transmisor

genere el cdigo de paridad, a partir del cdigo base,

aadiendo el bit de paridad (par o impar) y enviando

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p (p p ) yesta informacin por el medio de transmisin.

El receptor, en el otro extremo del medio detransmisin, debe comprobar si la paridad se mantiene

igual a la prefijada en el transmisor (par o impar),

detectando el error cuando sta no se cumpla.

CdigosdePesoFijo

Cabe destacar el cdigo 2 entre 5 y el cdigobi i i

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g y gbiquinario.

Este ltimo es ponderado y consta de dos partes, una

de dos bits y otra de cinco bits, de ah su nombre.

Los dos cdigos indicados se caracterizan por tener

una distancia de cdigo igual a dos (lo que permite ladeteccin de un bit de error) y todas sus palabras

cdigo tienen exactamente dos unos (paridad par).

TABLA 3.33

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CdigosCorrectoresdeError

Adems de detectar la presencia de un error,proporcionan informacin indicando los bits en los

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proporcionan informacin, indicando los bits en los

que se ha producido el error.

Una vez identificados los bits errneos basta con

invertir su valor y as obtener el valor correcto de los

datos.Estos cdigos, se utilizan principalmente en la

transmisin de informacin, y en especial en aquellos

casos donde la transmisin se realiza una sola vez,existiendo la imposibilidad de volver a repetirla

cuando se detecta que se ha producido el error.

Tal es el caso de los sistemas que trabajan en tiempo

real, en los que la informacin que se transmite es

utilizada por el sistema receptor en el mismo instantel ib

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en el que se recibe.

La condicin necesaria y suficiente para que uncdigo permita corregir errores en un bit es que la

distancia mnima debe ser superior a dos.

CdigoHamming

Para detectar F bit errneos la distancia mnima ha deser:

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ser:

2 F + 1

A una palabra de n bits habr que aadir k bits de

paridad tal que:

2kn+ k

Se dice que es ptimocuando cumple la igualdad:

2k= n+ k+ 1

Procedimiento:

Numerar de derecha a izquierda los bits con 1,2,3,4...

Los bits de paridad ocuparn las posiciones:

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Los bits de paridad ocuparn las posiciones:

20, 21, 22, 23,... 1,2,4,8,...

Los bits del testTideben de cumplir que el conjunto

evaluado tengaparidad par.

TABLA 3.34Palabra de test de paridad, en funcin de la posicin del error,

para el cdigo Hamming

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GeneradorHamming

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CorrectorHamming

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117/123

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El valor sealado por los bits de test, representa la

posicin (T3T2T1) = (011).

El bit de la posicin tercera del mensaje recibido

(0110111) d b i ti

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(0110111) se debe invertir.

Obtenindose el mensaje correcto 0110011 del dgitodecimal 6.

TablaHamming

Determinar si el dato 1010101 recibido en cdigoHamming, es correcto o bien corregirlo si es

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g, g

necesario.

B4 B3 B2 C3 B1 C2 C1

PosicinPi P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 Ti

Mensaje 1 0 1 0 1 0 1P7P5P3P1 1 1 1 1 T1= 0

P7P6P3P2 1 0 1 0 T2= 0P7P6P5P4 1 0 1 0 T3= 0

TablaHamming

Determinar si el dato 1000010 recibido en cdigoHamming, es correcto o bien corregirlo si es

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g, g

necesario.

B4 B3 B2 C3 B1 C2 C1

PosicinPi P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 Ti

Mensaje 1 0 0 0 0 1 0P7P5P3P1 1 0 0 0 T1= 1

P7P6P3P2 1 0 0 1 T2= 0P7P6P5P4 1 0 0 0 T3= 1

El valor sealado por los bits de test, representa la

posicin (T3T2T1) = (101).

El bit de la posicin 5 del mensaje recibido se debeinvertir

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invertir.

1010010