Tajemniczy Tajemniczy ciąg ciąg

FibonacciegFibonacciegoo

Przygotowała:Przygotowała:

Justyna WolskaJustyna Wolska

   Leonardo Fibonacci

włoski matematyk pochodzący z Pizy,

żył w latach 1175-1250.

Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska

matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku dzięki i za sprawą

Fibonacciego nazwanego też

Leonardo z Pizzy.

Matematyk epoki średniowiecza.

Wprowadził do Europy cyfry arabskie.

Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu liczbowego.

Uważał 0 za pierwszą liczbę naturalną.

Zajmował się rozkładem liczby na czynniki pierwsze.

Pracował nad cechami podzielności.

Nauczał działań na liczbach mieszanych i na ułamkach.

Dodawał i odejmował ułamki o różnych mianownikach sprowadzając je do wspólnego mianownika – znajdując najmniejsza wspólną wielokrotność mianowników.

Ciąg FibonacciegoCiąg Fibonacciegoto ciąg liczb naturalnych określony w następujący sposób:

Pierwsza liczba: 1

Druga liczba : 1

Trzecia liczba : 2

Czwarta liczba : 3

Każda następna liczba jest sumą dwóch liczb poprzednich.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, …

Ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii – pokrycie płaszczyzny kwadratami będącymi n-tym

wyrazem ciagu.

Ciąg Fibonaciego

należy do ulubionych ciągów spotykanych w  przyrodzie – można go

odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian

w strukturach dynamicznych.

 W XIII w. Leonardo Bonacci, postawił w jednym ze swych dzieł następujący

problem:

Ile par królików może spłodzić jedna para królików w ciągu roku, jeżeli staje się płodna po miesiącu, a w ciągu miesiąca może spłodzić jedną parę?.

Policzmy.

W pierwszym miesiącu jest jedna para królików, w

następnym dalej jedna, gdyż jeszcze się nie rozmnożyła. W trzecim miesiącu są już

dwie stara i młoda. W czwartym trzy, gdyż stara

para rozmnoży się ponownie. W piątym miesiącu mamy pięć

par, gdyż rozmnożyły się już dwie pary. Ogólnie każda

kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich, jako że pierwsza z nich reprezentuje potomstwo

płodnych par, a druga liczbę par dorosłych królików, która

pozostaje bez zmian.

Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się

trutniom. Samiec pszczoły przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak matkę – inną

królową) powstaje wyłącznie dzięki matce.

Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne?

samiec ---- samica                samica         samiec ---- samica             I                                  I                         I         samica                         samiec  ----------  samica             I                                               I         samiec  ---------------------------  samica                                    I                               samica                                    I                               samiec

Również wśród roślin występuje ta zależność.

Przykładem może być wszędobylski krwawnik, którego pędy rozwijają się zgodnie z naszym ciągiem.

Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego.

Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju:

widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.

Własności ciągu FibonacciegoWłasności ciągu Fibonacciego

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1441 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Jeśli od kwadratu którejkolwiek liczby z ciągu Jeśli od kwadratu którejkolwiek liczby z ciągu Fibonacciego odejmiemy iloczyn liczb Fibonacciego odejmiemy iloczyn liczb sąsiednich, to zawsze otrzymamy 1 lub -1.sąsiednich, to zawsze otrzymamy 1 lub -1.

Sprawdź: Sprawdź: