Danuta Stanek

Systemy Liczenia - I

Przez system liczbowy rozumiemy sposób zapisywania i nazywania liczb.

Rozróżniamy: pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe.

Danuta Stanek

ADDYTYWNE SYSTEMY LICZBOWE

W systemach niepozycyjnych poszczególne cyfry zachowują swą wartość liczbową bez

względu na miejsce, jakie zajmują w liczbie. Przykładem takiego systemu jest system

rzymski.

Danuta Stanek

Dziesiątkowy system liczbowy

W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych.

Dla nas naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cyfr. Są nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem oraz dziewięć. Oznacza się je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. Jest ich dziesięć. Spróbujcie uświadomić sobie, że liczenie jest tylko i wyłącznie ILOŚCIĄ, a nie zapisem liczb. Zapis dziesiętny powstał wieki temu, prawdopodobnie dlatego, że mamy dziesięć palców.

Danuta Stanek

Liczba 7 4 9

System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, że wartość liczby zależy od pozycji na której znajduje się liczba, np. w liczbie 555 każda cyfra oznacza inną wartość bowiem:

555= 5*100+5*10+5*1

najsłabsza pozycjanajmocniejsza pozycja liczby

SETKI

DZIESIĄTKI

JEDNOŚCI

3 pozycje liczby

Danuta Stanek

PRZYKŁAD - Liczba 749Czyli siedemset czterdzieści dziewięć. Na najsłabszej pozycji widnieje cyfra 9. Pozycja ta nosi nazwę pozycji jedności. Mamy 9 jedności. Dalej jest cyfra 4. Cyfra ta znajduje się na drugiej pozycji, czyli pozycji dziesiątek. Można więc powiedzieć, że jest tam cztery dziesiątki, inaczej mówiąc 40 jedności. Na trzeciej natomiast pozycji jest cyfra 7. Trzecia pozycja to pozycja setek, czyli jest siedem setek. Innymi słowy, liczba 749 to siedem setek, cztery dziesiątki i 9 jedności. Można to zapisać następująco: 9*1 + 4*10 + 7*100. Razem 749. Jak widać, każdy kolejny składnik zawiera cyfrę z powyższej liczby oraz ciągle wzrastający mnożnik. Mnożnik ten najpierw jest równy 1, potem 10, a na końcu 100. Znaczy to, że każdy następny jest pomnożony przez 10. Można więc zapisać to inaczej. Liczba 749 to tak jak: 9*100 + 4*101 + 7*102. Mnożnikiem jest liczba 10 ze zwiększającą się potęgą.

Danuta Stanek

Liczba 749

Każdą z cyfr mnożymy przez tzw. wagę pozycji, która jest kolejną potęgą liczby 10 będącej podstawą systemu liczenia. Możemy to zapisać jako:

749(10) =7*102+ 4*101 + 9*100 a dowolną liczbę dziesiętną można zapisać jako:

LICZBA(10) =an-1*10n-1 + an-2*10n-2 ...+... a2*102 + a1*101 + a0*100,

gdzie liczba n jest ilością cyfr (pozycji) w liczbie

Przy czym współczynniki a mogą mieć wartość 0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

n – jest ilością cyfr (pozycji) w liczbie

11

0

10*

nn

iia

Danuta Stanek

Dodawanie i pozycje liczb

• 351 + 1= 352• 749 + 1 = 750• 999 + 1 = 1000 (mamy nową

pozycję)Skoro powstał system dziesiętny, można wymyślać dowolne systemy liczenia o dowolnej podstawie (na przykład czwórkowy, ósemkowy itd.)

Danuta Stanek

System ósemkowy• W systemie tym jest osiem cyfr.• Są to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz 7. Jest ich

więc 8.• Liczby takie jak: 6, 7, 8, 9, 10, w systemie

ósemkowym będą wyglądać odpowiednio: 6, 7, 10, 11, 12.

• Liczba cyfr w systemie jest równa podstawie systemu, a więc w systemie dziesiętnym – 10, w systemie ósemkowym – 8, dwójkowym – 2 itd.

Danuta Stanek

SYSTEM BINARNY (dwójkowy)• Dla systemu binarnego podstawą jest 2 i wagami odpowiednie potęgi tej liczby.

• Zgodnie z pokazanym poprzednio rozwinięciem, liczbę w systemie o podstawie 2, możemy przedstawić jako:

LICZBA(2) =an-1*2n-1 + an-2*2n-2 ... + ... a2*22 +a1*21 + a0*20

współczynniki an mogą przybierać tylko dwie wartości: 0 lub 1

11

0

2*

nn

iia

Danuta Stanek

Zapis w systemie dwójkowym

• Kolejne pozycje liczby zwane są pozycjami jedynek, dwójek, czwórek, ósemek itd.

• Liczba 101002) = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 +0x20

»=1*16 =0*8+1*4+0*2+0*1=

»20

Danuta Stanek

System dwójkowy (binarny)

• Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101(2)

• 11100101(2) = 1x27 + 1x26 + 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20

• 11100101(2) = 1x128 + 1x64 + 1x32 + 0x16 + 0x8 + 1x4 +0x2 + 1x1

11100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 1

11100101(2) = 229(10)

Danuta Stanek

W technice komputerowej praktyczne zastosowanie znalazły systemy:o podstawie 2 - tzw. system binarny

(dwójkowy) używany do przechowywania i przetwarzania danych przez układy elektroniczne komputera.o podstawie 16 - tzw. system heksadecymalny (szesnastkowy), który nie jest używany bezpośrednio przez układy cyfrowe. Używa się go głównie do prezentacji niektórych danych m.in. adresów komórek pamięci.

Danuta Stanek

System heksadecymalny (szesnastkowy)Liczbę w systemie szesnastkowym

(o podstawie 16) możemy przedstawić jako:

LICZBA(16) =an-1*16n-1 + an-2*16n-2 ... + ... +a2*162 + a1*161 + a0*160

Ponieważ symboli graficznych oznaczających cyfry arabskie jest 10, brakuje symboli sześciu cyfr. Cyfry od 10 do 15 zastąpiono w zapisie literami:

10 - A, 11 - B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F

jednak aby zapis liczby był jednoznaczny, na każdej pozycji powinna być umieszczona tylko 1 cyfra – np. pisząc 145 nie możemy mieć wątpliwości czy kolejne cyfry tak zapisanej liczby to:

1 4 5 czy 14 5

Danuta Stanek

System heksadecymalny(16)

• Znaleźć wartość liczby dziesiętnej odpowiadającej liczbie heksadecymalnej 4C2 (16)

4C2 (16)= 4x162 + Cx161 + 2x160

4C2 (16) = 4x256 + 12x16 + 2x1

4C2 (16) = 1218 (10)

Lub 4C2 H = 1218 D