System M|M|m|-|m

Leszek SmolarekLeszek Smolarek

Akademia Morska w GdyniAkademia Morska w Gdyni

2005/20062005/2006

Modelowanie procesów transportowychModelowanie procesów transportowych

• wykładniczy rozkład odstępów czasu pomiędzy sąsiednimi zgłoszeniami (tzw. poissonowski rozkład przybyć)

• wykładniczy rozkład czasów obsługi zgłoszeń

• m kanałów obsługi

• brak kolejki

To system z m kanałami obsługi. Zwany jest także systemem ze stratami, ponieważ nie posiada kolejki, co oznacza, że gdy nie ma wolnych kanałów obsługi zgłoszenia otrzymują odmowę i opuszczają system.

Stany w jakich może znaleźć się system: Ej oznacza j zgłoszeń w systemie ( j należy do przedziału [0,m] ).

Układ równań Chapmana-Kołmogorowa dla tego systemu

Warunki początkowe:

Prawdopodobieństwo odmowy obsługi w tym systemie jest równe prawdopodobieństwu tego, że wszystkie kanały obsługi są zajęte.

Prawdopodobieństwa ustalenia się poszczególnych stanów wynoszą:

względna intensywność obsługi r wynosi:

prawdopodobieństwo tego, że w systemie nie ma zgłoszeń

Pozostałe parametry systemu:

względną zdolność obsługi systemu:

            

bezwzględną zdolność obsługi systemu:

                    

średnią liczbę zgłoszeń przebywających w systemie, która w tym przypadku równa jest średniej liczbie zajętych kanałów obsługi:

                                    

Można też zauważyć, że:

Na parking przybywają samochody zgodnie z rozkładem poissona o intensywności lambda=2. Obsługa polega na przydzieleniu miejsca. Czas postoju samochodów na parkingu podlegają rozkładowi wykładniczemu o wartości średniej 1/3. Parking posiada 3 miejsca. Na zewnątrz parkingu nie ma warunków do ustawienia kolejki. Obliczyć średnią liczbę aut na parkingu oraz prawdopodobieństwo, że nie ma miejsca.

Widać wyraźnie, że jest to przykład systemu M|M|m|-|m, gdyż nie ma warunków na ustawienie kolejki. Oznacza to, że samochody, które przyjażdżają w czasie, gdy parking jest zajęty, odjeżdżają bez obsługi.

Aby obliczyć średnią liczbę aut na parkingu oraz prawdopodobieństwo, że nie ma miejsca, najpierw podstawiamy wartości do wzoru:

Przykład

I otrzymujemy:

Następnie możemy policzyć prawdopodobieństwo, że nie ma miejsca, ze wzoru:

Otrzymujemy, że prawdopodobieństwo odmowy wynosi 0,07. Na końcu możemy policzyć średnią liczbę aut na parkingu:

Dziękuję za uwagęDziękuję za uwagę