Struktury i Algorytmy Sterowania - eia.pg.edu.pl - W03... · Motywacja zastosowania tej metody:...

Politechnika Gdańska

Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Struktury i Algorytmy Sterowania

Linearyzacja przez sprzężenie zwrotne

Autor:

Tomasz Zubowicz, mgr inż.

semestr zimowy 2012

[STRUKTURY I ALGORYTMY STEROWANIA] 30 listopada 2012

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania | WEiA, PG 2

1. Motywacja

Linearyzacja poprzez sprzężenie zwrotne jest jedną z podstawowych idei praktycznego

podejścia do sterowania obiektami o charakterze nieliniowym. W ogólnym podejściu polega

ona na sprowadzeniu problemu nieliniowego do liniowego poprzez zręczną podmianę

zmiennych (transformację przestrzeni).

Motywacja zastosowania tej metody:

Metoda „uproszczenia” dynamiki systemu dla potrzeb projektowania prawa

sterowania

Transformacja systemu nieliniowego do postaci liniowej

Projektowanie nieliniowych praw sterowania z wykorzystaniem technik znanych z

klasycznej teorii sterowania

Zastosowanie do systemów typu MIMO

2. Koncepcja

Przykład 1

Rozważmy obiekt w postaci wahadła.

l

m

Rys. 1 Wahadło matematyczne



Niech dane będzie uproszczone równanie opisujące dynamikę wahadła:

2

1sin

gt t t

l ml (1)

gdzie: t jest kątem wychylenia wahadła; t jest momentem napędowym; l jest

długością cięgna; .. jest masą wahadła; g jest stałą przyciągania ziemskiego.

Przyjmując definicję zmiennych stanu:

T

x (2)

można zapisać model (1) wykorzystując opis przestrzeni stanu:

1 2

2 1

1sin

x t x t

gx t x t u t

l ml

(3)

gdzie: u t jest wejściem i u t t .

Niech dane będzie wejście sterujące u t zależne od v t :

1sing

u t ml x t v tl

(4)

gdzie: v t będzie nowym wejściem sterującym.

Podstawiając (4) do drugiego równania z (3):

2 1

1 1

1 1

1sin

1sin sin

sin sin

gx t x t u t

l ml

g gx t ml x t v t

l ml l

g gx t x t v t

l l

v t

(5)

ostatecznie otrzymano system postaci:

1 2

2

x t x t

x t v t

(6)

System (6) ma charakter liniowy!!!



Konsekwencje: v t może być zaprojektowane jako liniowe prawo sterowania!

Uwaga!

Jakie praktycznewymagania należy postawić odnośnie modelu dynamiki obiektu (1)/(2), jak i

prawa sterowania (4), aby (6) można uznać zapoprawnie sformułowane?

Przykład 2

Przyjmijmy przypadek bardziej ogólny. Rozważany jest system mechaniczny postaci:

,M x t x t F x t x t u t (7)

gdzie: jest wektorem położenia; u t jest wektorem sił i momentów napędowych;

:n n n

M

R R jestfunkcją, któraw przypadku „klasycznym” ma wartości o postaci

macierzysymetrycznych momentów bezwładności; :n n n

F R R R jest funkcją o

wartościach wektorowych.

Zakładając, że nie istnieją żadne „specjalne” wymagania na u t prosta podmiana

zmiennych postaci:

,u t M x t v t F x t x t (8)

pozwala na zapisanie (7):

x t v t (9)

co, z kolei przyjmując definicję zmiennych stanu:

T

x xx (10)

można zapisać jako:

1 2

2

x t x t

x t v t

. (11)

Komentarz 1 Transformacja systemu z (1)/(3) do (6), czy też w przypadku ogólnym z (7) do

(11) jest przykładem linearyzacji przez sprzężenie zwrotne.

Komentarz 2 Technika sterowania linearyzacji poprzez sprzężenie zwrotne jest często

stosowana w odniesieniu do układów mechanicznych. Stąd, jest to popularna metoda

stosowana w zagadnieniach związanych z systemami sterowania spotykanymi w robotyce.



Uwaga!

Transformacja (8) nie zawsze jest możliwa! Dzieje się tak w przypadku gdy na u t nałożone

są jakieś ograniczenia.

Uwaga!

Linearyzacja przez sprzężenie zwrotne jest w swej istocie czymś całkowicie odmiennym niż

poszukiwanie liniowej aproksymacji systemu np. poprzez rozwinięcie w szereg Taylora.

3. Zagadnienia

Kluczowe zagadnienia:

Linearyzacja przez sprzężenie zwrotne;

Różnice pomiędzy linearyzacją w punkcie pracy a linearyzacją poprzez sprzężenie

zwrotne;

Linearyzacja typu: wejście – wyjście oraz wejście - stan;

Dynamika wewnętrzna systemu i dynamika zer

Narzędzia matematyczne

Przypadek SISO i uogólnienie dla MIMO.

4. Intuicyjne sformułowanie problemu

Rozważmy nieliniowy układ dynamiczny:

nx t f t b t u t x x (12)

Definiując wektor stanu:

1 1

2 1

T

n n

Tn n

t x t x t x t

x t x t x t

x (13)

system (12) przedstawić można jako układ nieliniowych równań różniczkowych pierwszego

rzędu:

21

1 nn

n

x tx t

d

x tx tdt

f t b t u tx t

x x

(14)



Przyjmujac, że 0b t x można zaporponować prawo sterowania:

1

u t v t f tb t

xx

(15)

gdzie jest nowym wejściem do układu, co po zastosowaniu do (14) prowadzi do:

1 2

1n n

n

x t x t

d

x t x tdt

x t v t

(16)

lub prościej:

nx t v t (17)

Wtedy poszukiwane prawo sterowania pozwalające kontrolować obiekt ma postać:

v t t x (18)

gdzie t x ma charakter liniowy.

Otrzymany układ sterowania przedstawiono na Rys. 1.

Rys. 1 Poszukiwany układ sterowania (linearyzacja wejście – stan)

-

+ v t t x

0



Przykład 3

Rozważ układ dynamiczny:

1 1 2 1

2 2 1 1

2 sin

cos cos 2

x x ax x

x x x u x

(19)

Przykładając do obiektu wejście u(t) nie można „usunąć” nieliniowości z pierwszego

równania. Można jednak tego dokonać po transformacji przestrzeni stanu stosując nowe

zmienne stanu zdefiniowane jako:

1 1

2 2 1sin

x x

x ax x

(20)

Wykorzystując (21) i wstawiając do (20):

1 1

2 2 1 1 2 2

2 2 1

2 1

2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

1 1 2 1 1 2 2 2 1 2

sin sin

sin

sin

1sin

1cos

sin

Biorąc równanie pierwsze z (20):

2 sin 2 2

Biorąc równanie drugie z (2

x x

x ax x x x ax

x ax x

ax x

x x xa

x x x xa

ax x x

x x ax x x ax x ax x x

2 2 1 1 2 1 1

2 2 1 1 2 1 1

2 1 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1 1 1

1 1 2 1 2 1 1 1 1

1

0):

cos cos 2 cos cos 2

1cos cos cos 2

cos cos cos 2

2 cos sin cos cos 2

2 cos cos cos sin cos cos 2

2 cos

x x x u x x x u x

x x x x x x u xa

x x x ax x au x

x x x x x x x au x

x x x x x x x x au x

x

1 1 1 1sin cos cos 2x x x au x

otrzymano model:

1 1 2

2 1 1 1 1 1

2

2 cos cos sin cos 2

x x x

x x x x x au x

(21)



Dla którego możliwe jest znalezienie takiego u(t), aby nieliniowość w jego opisie została

zniesiona. Takie sprzężenie linearyzujące dane jest zależnością:

1 1 1 1

1

12 cos cos sin

cos 2u x x x x v

a x (22)

W wyniku zastosowania (23) do (22) ostatecznie można zapisać:

1 1 2

2

2x x x

x v

(23)

Rozważmy kolejno dwa problemy sterowania:

Stabilizację;

Śledzenie zadanej trajektorii.

Jeżeli problemem sterowania będzie stabilizacja układu, wtedy prawo sterowania (18)

można dobrać jako:

v t x t F (24)

a zatem jako liniowe sprzężenie od stanu, gdzie Fjest macierzą wzmocnień.

Prowadzi to do dynamiki układu zamkniętego:

0n

x t x t F (25)

dla której alokacja biegunów ściśle w lewej półpłaszczyźnie pozwala zagwarantować

exponecjalną zbieżność do punktu równowagi tzn. 0x t .

Jeżeli natomiast problemem jest śledzenie trajektorii dx t prawo sterowania można wyrazić

w następujący sposób:

n

dv t x t t Fe (26)

gdzie wektor te :

2 1T

n nt e t e t e t

e (27)



a e t jest błędem śledzenia trajektorii zdefiniowanym jako:

de t x t x t (28)

Uwaga!

Do rozwiązania problemu stabilizacji można podejść na bazie śledzenia stałej trajektorii

Pytania:

Czy zaprezentowana metoda nadaje się do zastosowania dla dowolnego systemu

nieliniowego?

Jakie są jej ograniczenia, wady i zalety?

5. Różnica pomiędzy linearyzacją w punkcie pracy a linearyzacją poprzez

sprzężenie zwrotne

Rozważmy ogólnie system nieliniowy:

x t f x t b x t u t

y t h x t

(29)

Linearyzacja w sensie poszukiwania nieliniowej aproksymacji systemu wokół punktu

równowagi 0 0 0, ,u x y dąży do znalezienia modelu typu:

0 0

0 0 0 0

0

0 0

f x b xx t u x t x b x u t u

x x

h xy t y x t x

x

(30)

lub wykorzystując zmienne przyrostowe:

x t A x t B u t

y t C x t

(31)

gdzie macierze A, B, C są zdefiniowane w oczywisty sposób.

Fakt: model (31) opisuje dokładnie dynamikę systemu (29) tylko w pojedynczym punkcie

pracy systemu 0 0,u x .



Linearyzacja poprzez sprzężenie zwrotne w wyniku nieliniowej transformacji zmiennych i

nieliniowego sprzężenia od stanu:

1

u t v t f x tb x t

(32)

x t x t

(33)

prowadzi do otrzymania systemu o charakterze liniowym w szerokim zakresie warunków

operacyjnych:

x t Ax t Bv t

y t Cx t

(34)

gdzie macierze A, B, C mają postać kanoniczną.

Fakt: linearyzacja poprzez sprzężenie zwrotne nie gwarantuje otrzymania rozwiązania

globalnego. Spełnienie warunków na otrzymanie systemu liniowego w sensie globalnym nie

jest trywialne a dla systemów rzędu > 2 może okazać się niemożliwe.

6. Linearyzacja typu: wejście –stan oraz wejście –wyjście

6.1. Przypadek wejście – stan

Rozważmy przypadek nieliniowego systemu dynamicznego o skalarnym wejściu:

,t f t u tx x (35)

Technika linearyzacji typu wejście stan radzi sobie z problemem w dwóch korkach

1. Transformacja zmiennych stanu: x t x t

2. Transformacja wejścia ,u t u t v t x

Ilustracją tej techniki jest Przykład 3. Dla przypomnienia w wersji kompaktowej:

Przykład 4

Rozważ układ dynamiczny:

1 1 2 1

2 2 1 1

2 sin

cos cos 2

x x ax x

x x x u x

(36)



Transformacja zmiennych:

1 1

2 2 1sin

x x

x ax x

(37)

Stosując (37) do (36) otrzymano:

1 1 2

2 1 1 1 1 1

2

2 cos cos sin cos 2

x x x

x x x x x au x

(38)

Wtedy transformacja wejścia:

1 1 1 1

1

12 cos cos sin

cos 2u x x x x v

a x (39)

ostatecznie pozwala zapisać (36) jako:

1 1 2

2

2x x x

x v

(40)

Zakładając, że celem sterowania jest stabilizacja układu, i przyjmując prawo sterowania w

postaci liniowego sprzężenia od stanu otrzymano:

Rys. 2 Linearyzacja wejście – stan ze sprzężeniem od "nowych" zmiennych stanu

-

+ x

x



Spostrzeżenia:

wynikiem jest system zlinearyzowany poddany linowemu prawu sterowania;

nie jest to rozwiązanie dające globalne rezultaty np. ze względu na mianownik

wyrażania (22), który w niektórych punktach przestrzeni może być równy 0, a zatem

w tym punkcie zaprojektowane prawo sterowania nie jest dobrze zdefiniowane;

oryginalny stan obiektu musi być dostępny.

6.2. Przypadek wejście – wyjście

Niech dany będzie obiekt opisany:

x t f x t g x t u t

y t h x t

(41)

gdzie: x t jest wektorem stanu zdefiniowanym na otwartym podzbiorze 0X w n

R ;

mu t R jest wektorem sterowań; m

y t R jest wektorem wyjść; funkcje

0 0 0: , : , :

n n m mf X g X h X

R R R są gładkie (tzn. są klasy C , a pochodne 0

C ).

Uproszczenie poprzez linearyzację jest możliwe o ile istnieje transformacja w torze

sprzężenia zwrotnego jak i stanu:

1

u t v t x tx t

(42)

.. (43)

gdzie: 0 0 0: , : 0, :

n m m mX b X i x t f X

R R R są ciągłymi i różniczkowalnymi

funkcjami takimi, że Jakobian (macierz pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu) jest

nieosobliwy (wyznacznik macierzy Jakobiego jest różny od zera) na zbiorze 0X .Wtedy

zależność pomiędzy v t , y t , x t przyzałożeniu (15) i (16) można opisać:

0 0 0,

l l

l

l

x t x t v t

y t x t

x t a x x

A B

C (44)

gdzie: , ,A B C są stałymi macierzami o wymiarach odpowiednio k x k, k x m i m x k przy

założeniu, że para (A,B) jest sterowalna, a para (A,C) obserwowalna, a funkcja

0:

k n k n ka

R R R jest ciągła i różniczkowalna.



Komentarz:

Intuicyjnie rozszerzając metodę z 6.1 można wydedukować, że celem techniki typu wejście -

wyjście jest znalezienie zgrabnej relacji pomiędzy wejściem a wyjściem systemu.

Przykład 5

Rozważ system:

1 2 2 3

5

2 1 3

2

3 1

1

sin 1x x x x

x x x

x x u

y x

(45)

W celu znalezienia relacji miedzy wejściem a wyjściem zróżniczkujmy równanie wyjścia

obustronnie:

1y x (46)

Wtedy łatwo można zaobserwować, że otrzymana zależność jest równa pierwszemu

równaniu stanu:

2 2 3sin 1y x x x (47)

jednak (47) nadal nie wiąże wyjścia z wejściem. Powtarzając operację obustronnego

różniczkowania w stosunku do (47) otrzymano:

1

2 2 2 3 2 3

2

2 2 3 2 1

5 2

1 3 2 3 2 1 2

cos 1

cos 1

cos 1 1

f

y x x x x x x

x x x x x u

x x x x x x x u

(48)

i ostatecznie:

1 2

5

1 1 3 3 2 2 3

1

cos 1

y f x u

f x x x x x x

(49)

Przyjmując wejście sterujące jako zależne od nowego wejścia v, jak następuje:

1

2

1

1u v f

x

(50)



otrzymano model dynamiki systemu (45):

y v (51)

Przyjmując, że rozważanym problemem sterowania jest śledzenie zadanej trajektorii v będzie

miało postać:

1 2dv y k e k e (52)

co po podstawieniu do (51) pozwoli zapisać dynamikę rozważanego systemu w postaci

dynamiki błędu śledzenia:

2 1 0e k e k e (53)

Fakt:

Jest to dynamika eksponencjalnie stabilna, a zatem startując z zerowego warunku

początkowego (53) układ "doskonałe" śledzi zadaną trajektorie. W przypadku gdy błąd w

chwili czasu t0 jest rożny od zera trajektoria systemu zbiega się z trajektorią śledzona w

sposób eksponencijlany.

Uwaga:

Prawo sterowania posiada punkt osobliwy!

W celu implementacji powyższych rozważań konieczna jest znajomość pełnego stanu!

Uwaga:

Zauważ ze rozważany w przykładzie 5 system posiada rzad dynamiki n = 3,

1 2 2 3

5

2 1 3

2

3 1

1

sin 1x x x x

x x x

x x u

y x

(54)

natomiast po zastosowaniu techniki linearyzacji typu wejście - wyjście otrzymano dynamikę

rzędu niższego:

1 2

5

1 1 3 3 2 2 3

1

cos 1

y f x u

f x x x x x x

(55)



Oznacza to, że istnieje dynamika systemu nieobserwowana na wyjściu - jest to tak zwana

dynamika wewnętrzna systemu.

Dla systemu z przykładu 5 dynamika wyrażona będzie w następujący sposób:

2

3 1 1 2 1

2

1

1dx x y k e k e f

x

(56)

7. Użyteczne narzędzia matematyczne

Gradient

Niech f(x) będzie gładką funkcją skalarną stanu x i :n

f R R . Wtedy gradient funkcji f dany

jest:

1 1n n

f f f ff

x x x

x

x (57)

Jakobian

Niech dana będzie funkcja wektorowa/pole wektorowe :n nf R R

w przestrzeni Rn, wtedy

Jakobian pola wektorowego :

1

1n

n

f

f

f

x

ff x

xx

x

(58)

Pochodna Lie

Niech dana będzie funkcja skalarna h(x) i pole wektorowe f(x).

Niech L hf

będzie nową funkcją skalarną zwaną pochodną Lie lub po prostu pochodną funkcji

h względem pola wektorowego f.



Definicja. Niech :n

h R R będzie gładką funkcją skalarną, a :n nf R R polem

wektorowym w nR , wtedy pochodna Lie funkcji h względem pola wektorowego f jest funkcją

skalarną zdefiniowaną:

L h h f

f .

Pochodne dowolnego rzędu:

0

1 1

1, 2,...

i i i

L h h

L h L L h L h

i

f

f f f ff

(59)

Przykład 6

Niech dany będzie system dynamiczny:

f

y h

x x

x (60)

Pochodna wyjścia:

h h

y h L h

fx f x f x

x x (61)

Wtedy drugą pochodną wyjścia można zapisać:

2y L h

f (61)

Przykład 7

Niech dana będzie funkcja Lyapunova V, wtedy jej pochodnąV można wyrazić poprzez L Vf

.

Nawias Lie

Definicja. Niech f i g będą polami wektorowym w nR , wtedy nawias Lie pól wektorowych f i

g jest również polem wektorowym:

, f g g f f g .

Notacje: , adf

f g g



Rekursywność

0

1,

1, 2,...

i i

ad

ad ad

i

f

f f

g g

g f g (62)

Własności:

1. Biliniowość

1 1 1 2 1 1 2 2

1 1 1 2 1 1 2 2

, , ,

, , ,

f f g f g f g

f f g f g f g (63)

2. Skrośna przemienność

, , f g g f (64)

3. Tożsamość Jakobiego

adL h L L h L L h

f g f g g f (65)

Przykład 8


1 2 1

12 1

02 sin

cos 2cos

x ax xx

xx x

f x g x

(66)

Nawias Lie ,f g można policzyć w następujący sposób:

1 2 1

1 2 1

12 1 1

1

1 1 1 1 2 1

0 0 2 sin,

2sin 2 0 cos

02

cos 2sin cos

cos 2

cos cos 2 2sin 2 2 sin

x ax x

x x x

a

xx x x

a x

x x x x ax x

f g

(67)



Dyfeomorfizm

Definicja. Funkcja :n n R R zdefiniowana na obszarze Ω

jest nazywana

dyfeomorfizmem jeżeli jest gładka i istnieje jej odwrotność 1

która również jest gładka.

Fakty:

Jeżeli obszar Ω

jest całym nR to dyfeomorfizm jest globalny;

Dyfeomorfizm globalnie występuje rzadko, jednak lokalne są również często

użyteczne.

8. Dynamika wewnętrzna systemu i dynamika zer

8.1. Wyznaczanie dynamiki wewnętrznej

Niech dany będzie nieliniowy system dynamiczny:

u

y h

x f x b x

x (68)

Przyjmując wektor stanu:

1 1

2 1

1

T

r r

Tr r

y y y

μ (69)

Można system (XX) zapisać w postaci normalnej:

2

, ,

,

r

a b u

μ

μ ψ μ ψ

ψ w μ ψ

(70)

Przy wyjściu z systemu:

1y (71)



Komentarz: Dla systemu o relatywnym rzędzie r gradienty: 1 , 2 , ..., r

są liniowo niezależne

w dziedzinie.

Dynamika wewnętrzna systemu, otrzymywana przy linearyzacji typu wejście-wyjście dana jest

poprzez ostanie n r równań z postaci normalnej ,ψ w μ ψ .

Uwaga:

Stabilność dynamiki wewnętrznej jest niezbędna!!!

Przykład 9


1 2

1 2 2

2

3

2

2 sin 0.5

2 0

x exp x

x x x u

x

y x

x (72)

Ponieważ

2

2 1 2 2

2

2 2 2 sin

y x

y x x x x u

(73)

System posiada względny rząd równy 2, i:

22 ; 0

1

L h x L h

L L h

f g

g f

x x

x (74)

W celu wyznaczenia postaci normalnej przyjmijmy:

1 3

2 22

h x

L h x

f

x

x (75)

Trzecia funkcja powinna spełniać równanie:

2

1 2

2 0.5 0L exp xx x

g

ψ ψψ (76)



Jednym z rozwiązań jest:

1 21 exp 2x x x (77)

Definiując transformację stanu:

1 2

Tz (78)

Można pokazać że jej Jakobian jest nieosobliwy dla każdego x. Transformacja odwrotna dana

jest:

1 2

2 2

3 1

1 exp

0.5

x

x

x

(79)

Zatem transformacja jest dobrze zdefiniowana globalnie. Normalną postać systemu (72)

można zapisać:

1 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 1 exp 2sin 0.5

1 exp 1 2 exp

2sin 0.5 exp

u

(80)

Fakt

Analiza stabilności dynamiki wewnętrznej systemu może okazać sie bardzo złożona ze względu na

interakcje od innych zmiennych stanu i wejść. Dlatego też można się posłużyć analizą dynamiki zer.

8.2. Dynamika zer

Przyjmując wejście do systemu takie, że jego wyjście jest utrzymywane w 0, tzn.

0 1

0

lub

,

,

r

L h

L L h

a

b

f

g f

xu x

x

0 ψu ψ

0 ψ

(81)



dynamikę wewnętrzną systemu nazwiemy dynamiką zer:

,

μ 0

ψ w 0 ψ (82)

Przykład 10

Rozważając system w postaci normalnej:

1 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 1 exp

2sin 0.5

1 exp 1 2 exp

2sin 0.5 exp

u

(83)

Jego dynamika wewnętrzna dana jest ostatnim z równań z (83).

Zgodnie z (82) dynamikę zer można wyznaczyć poprzez przyjęcie μ 0 , a zatem:

(84)

Wejście u = 0 utrzyma wyjście równe zero.

9. Linearyzacja przez sprzężenie zwrotne

9.1. Linearyzacja wejście – stan

Definicja Nieliniowy system dynamiczny:

x f x b x u (85)

gdzie: :n

D Rx

f

i :n p

D R

x

b

są wystarczająco gładkie na dziedzinie nD R

x , jest

linearyzowalny w sensie wejście – stan jeżeli istnieje dyfeomorfizm :n

T D Rx

taki, że

xD T Dx

zawiera punkt równowagi, a zamiana zmiennych Tx x transformuje system

(56) do postaci:

1 x Ax B x u x (86)

gdzie: (A,B) jest sterowalna, a x jest nieosobliwa dla każdego x Dx .



Komentarz Wtedy prawo sterowania, zależne od v, ma postać ogólną:

u v x x (87)

Twierdzenie Nieliniowy system dynamiczny (85) jest linearyzowalny w sensie wejście-stan

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje region Dx , taki, że spełnione są następujące warunki:

Pola wektorowe 1, , ...,

nad ad

f fb b b są liniowo niezależny w D

x lub jeżeli macierz

utworzona posiada rząd równy n dla każdego Dx

x

Zbiór 1, , ...,

nad ad

f fb b b jest inwolucją w D

x .

Definicja Liniowo niezależny zbiór pól wektorowych 1 2, , ..., mf f f jest inwolutywny wtedy i

tylko wtedy jeżeli istnieją funkcje skalarne: :n

ijk R R takie, że:

1

, , ,m

i j ijk k

k

i j

f f x x f x (88)

Fakt:

Stałe pola wektorowe są zawsze inwolutywne;

Zbiór jednoelementowy pól wektorowych jest inwolutywny;

Sprawdzenie kryterium (88) jest równoznaczne ze sprawdzeniem czy ,i j spełnione

jest:

1

1

...

... ,

m

m i j

rank

rank

f x f x

f x f x f f x (89)

Przepis na linearyzację:

Zbuduj pola wektorowe: 1, , ...,

nad ad

f fb b b ;

Sprawdź warunki z Opisane w Twierdzeniu;

Znajdź pierwszy stan transformacji:

1

1

0, 1, ..., 2

0

i

i

x ad i n

x ad

f

f

b

b (90)



Znajdź całą transformację:

o Dyfeomorfizm

1

1 1 1

Tn

T x L x L x f f

x x (91)

o Elementy prawa sterowania

1

1

1

1

n

n

n

L x

L L x

L L x

f

g f

g f

x

x

(92)

9.2. Linearyzacja wejście – wyjście

Definicja Nieliniowy system dynamiczny:

y h

x f x b x u

x (93)

gdzie: :n

D Rx

f , :n p

D R

x

b

i :h D Rx są wystarczająco gładkie na dziedzinie

nD R

x , posiada względny stopień r, 1 r n w regionie 0

D Dx jeżeli:

0, 1, 1; 0i ri r

b x b xx x

(94)

dla każdego Dx

x gdzie:

1

1, 1, 1i

i

h

i r

x x

x f xx

(95)

Metoda linearyzacji

Jeżeli relatywny rząd systemu jest dobrze zdefiniowany w rozważanej dziedzinie to

różniczkując równanie wyjścia systemu (92) można zapisać:

y h u L h L h u f g

f b x x (96)



Wtedy, jeżeli 0L h g

x to prawo sterowania można wyznaczyć z:

1u L h v

L h

f

g

xx

(97)

A otrzymany w ten sposób system można zapisać jako:

y v (98)

Jeżeli natomiast 0L h g

x , to powtarzamy proces brania pochodnej i robimy to tak długo,

aż 10

rL L h

g fx , gdzie r jest względnym rzędem systemu.

Można zatem przyjąć, że ogólnie wyznaczmy:

1r r ry L h L L h u

f g fx x (99)

a prawo sterowania zależne od v ma postać:

1

1 r

ru L h v

L L h

f

g f

xx

(100)

co prowadzi do sformułowania systemu:

ry v (101)

10. Problem śledzenia i stabilizacji

Niech dana będzie trajektoria referencyjna dy t . Niech:

1T

r

d d d dt y t y t y t

μ (102)

wtedy błąd śledzenia dany jest:

dt t t μ μ μ (103)

Zakładając postać systemu o względnym rzędzie r dany jest:

y h

x f x b x u

x (104)

a d tμ jest gładka i ograniczona wtedy istnieje rozwiązanie:



,

0

d d d

d

ψ w μ ψ

ψ 0 (105)

I dodatkowo jest ograniczone i jednostajnie asymptotycznie stabilne.

Wybierając wzmocnienia w taki sposób, aby pierwiastki wielomianu:

1

1 1 0...

r r

rK k k k

(106)

leżały w lewej półpłaszczyźnie zespolonej poszukiwane prawo sterowania przyjmie postać:

1 1 0 11

1

1...

rr

d r rru t L y k k

L L

f

g f

(107)

Fakt:

Zastosowanie tak zaprojektowanego prawa sterowania gwarantuje, że cały stan jest

ograniczony, a błąd śledzenia tμ zbiega eksponencjalnie do zera.

Stabilizacja układu może być osiągnięta poprzez zastosowanie prawa sterowania:

1 0

1 01

1...

rr

rru t L y k y k y

L L y

f

g f

(108)

11. Uogólnienie do systemów MIMO

Niech dany będzie system:

x f x b x u

y h x (109)

gdzie: nRx jest wektorem stanu; m

Ru jest wejściem sterującym; mRy jest wektorem

wyjść. Niech ir jest liczbą całkowitą, taką, że przynajmniej jedno z wejść pojawi się w ir

iy ,

wtedy:

1

1

i i i

mr r r

i i j i j

j

y L h L L hu

f g f (110)

przy założeniu, że dla przynajmniej jednego j w otoczeniu punktu pracy systemu:

10ir

j i jL L hu

g f

(111)



Po przeprowadzeniu powyższych operacji otrzymano:

1

1 1

mm

r

rrmm

y L h

L hy

f

f

x

B x u

x

(112)

gdzie definicja macierzy B(x) wynika bezpośrednio z powyższych przekształceń.

Komentarz: Obszar działania tego systemu będzie dany przecięciem lokalnych obszarów

podsystemów (112).

Prawo sterowania stanowiące transformację wejścia dane jest:

1

1 1

1

1m

r

r

m

v L h

v L h

f

f

x

u B

x

(113)

co daje m równań postaci:

iri iy v (114)

Fakty:

Prawo sterowania (113) od sprzęga układ tzn. i-te wejście ma wpływ tylko i-te

wyjście;

Macierz B(x) nazywana jest macierzą odsprzęgającą;

System (111) posiada relatywny stopień 1, , mr r i całkowity relatywny stopień

1

m

i

i

r r

;

Jeżeli całkowity relatywny stopień systemu jest równy n to system nie posiada tzw.

Dynamiki wewnętrznej. Wtedy poprzez zastosowanie prawa sterowania dla

linearyzacji wejście-wyjście otrzymujemy linearyzację typu wejście-stan, a prawa

sterowania mogą być zaprojektowane analogicznie jak dla SISO.

Dynamika zer dla MIMO jest prostym rozszerzeniem tego co było zdefiniowane dla

SISO;

Przedstawiona linearyzacja typu wejście- wyjście może być przeprowadzona tylko w

przypadku gdy macierz B(x) jest odwracalna w obrębie rozważanego obszaru pracy

systemu;

W przypadku, gdy powyższe jest niespełnione należy dokonać przekształcenia

systemu poprzez przedefiniowanie wejść lub wyjść.



Przedefiniowanie wejść

Przyjmijmy system 2 x 2 (dwa wejścia, dwa wyjścia):

1

2

11

22

( )

r

r

L hy

L hy

f

f

xB x u

x (115)

gdzie rząd macierzy B(x) jest równy 1 tak, że po uproszczeniu można zapisać:

1

2

11

1 1

22

r

r

L hyb u

L hy

f

f

xx

x (116)

Różniczkując powyższy system obustronnie otrzymano:

1

2

1

1 1

1 1 1122

, ,

r

r

y uu u

uy

c x B x (117)

wtedy jeżeli macierz jest 1 1,uB x odwracalna to równanie to ma postać:

1

1 1

mm

r

rrmm

y L h

L hy

f

f

x

B x u

x

(118)

a zatem linearyzacja w sensie wejście-wyjście może być przeprowadzona poprzez

zastosowanie prawa sterowania:

1 1

1

2

,u

uu

B v c x (119)

z wektorem v dobranym tak, aby bieguny otrzymanego systemu liniowego znajdowały się w

pożądanym położeniu.

Przedefiniowanie wyjść

Rozważmy układ postaci:

1

2

11

1 1

22

r

r

L hyb u

L hy

f

f

xx

x (120)



Zamiast różniczkować go obustronnie, wykorzystując nową zmienną:

1 2

12 1 11 1

r rx b y b y x x (121)

gdzie: 1 11 12

T

b b b x x x .

Wykorzystując definicję systemu (120) można pokazać, że:

1 2

12 1 11 2

r rx b L h b L h

f fx x x x (122)

różniczkując powyższe otrzymano:

0 1 1 2 2x u u x x x (123)

Jeżeli macierz:

11

2

1 2

0b

xB x

x x (124)

jest odwracalna, to przyjmując jako wyjścia: 1y oraz x , a jako wejścia: 1

u i 2u , to przy

wykorzystaniu:

1

1 1 1 1

2 2 0

ru v L h

u v

fB (125)

otrzymamy mechanizm linearyzacji typu wejście - wyjście, co doprowadzi do postaci

systemu:

1

1

2

r vy

vx

(126)

gdzie: 1v i 2

v są nowymi wejściami sterującymi projektowanymi w celu sterowania y i x .

Uwaga:

Jeżeli okaże się, że macierz 2B x

jest osobliwa to powtarzamy procedurę.



12. Przykład

Rozważmy manipulator (Rys. 4) składający się z dwóch połączonych ze sobą ramion, opisany

równaniem dynamicznym:

11 12 1 2 1 2 1 1 1

21 22 2 1 2 2 20

H H q hq hq hq q g

H H q hq q g

(127)

gdzie: 1 2

Tq qq jest wektorem stanu sprzężonych przesunięć kontowych, 1 2

T u a

wektorem sprzężonych wejść, oraz:

1 2 2

2

2 2

2

1 2

2

2 2 2

11 1 1 2 1 1 2 2

2

22 2 2

2

12 21 2 1 2 2 2

2 1 2

1 1 1 2 1 2 1 1

2 2 1 2

2 cos

cos

sin

cos cos cos

cos

c c c

c

c c

c

c c

c

H m l J m l l l l q J

H m l J

H H m l l q m l J

h m l l q

g m l g q m g l q q l q

g m gl q q

(128)

Rys. 4 Manipulator



Model (127) można zapisać w sposób ogólny jako:

, H q q h q q q g q τ (129)

gdzie definicje poszczególnych elementów wynikają bezpośrednio z (127) i (128).

Wtedy nadążanie za trajektorią referencyjną można zrealizować przyjmując prawo

sterowania zależne od v:

, τ H q v h q q q g q (130)

gdzie:

22d v q q q (131)

Definiując błąd śledzenia jako:

d q q q (132)

oraz zakładając, że 0 , dynamika:

22 0 q q q (133)

zbiega do zera w sposób eksponencjalny.

Komentarz W robotyce to prawo sterowania znane jest pod nazwą "computed torque"

13. Podsumowanie

Polega na transformacji dynamiki systemu poprzez objęcie go sprzężeniem

linearyzującym

Linearyzacja poprzez sprzężenie zwrotne może być realizowana w sensie wejście-stan

(istnieją jasne warunki zastosowania metody) lub wejście- wyjście (w zależności od

relatywnego rzędu systemu);

Ograniczenia:

o Nie jest to metoda generyczna, tzn. jej zastosowanie jest ograniczone a wyniki

rzadko są globalne. Niemniej jednak jest stosowana m.in. w robotyce;

o stan systemu musi być dostępny (mierzlany lub obserwowalny - uwaga

system jest nieliniowy);

o nie można zagwarantować bezpośrednio krzepkości względem niepewności w

parametrach czy błędu struktury modelu.

Struktury i Algorytmy Sterowania - eia.pg.edu.pl - W03... · Motywacja zastosowania tej metody:...

Documents

Transcript of Struktury i Algorytmy Sterowania - eia.pg.edu.pl - W03... · Motywacja zastosowania tej metody:...